Vibrações Mecânicas - Atividade Preparatória: Sistemas com 1GL

PUCPR ENGENHARIA MECÂNICA SISTEMAS MECÂNICOS Atividade Preparatória para as Prática 7 e 8 Total 6 h 1 Leitura do Livro revisão dos temas de vibrações mecânicas RAO Singiresu Vibrações Mecânicas 4ª edição Editora Pearson 2008e 2 Páginas 24 a 26 seção 1105 Páginas 53 e 54 seções 223 e 224 Páginas 66 a 70 seções 261 a 263 Páginas 101 a 114 seções 32 a 341 e 37 Notas de aula de Vibrações Mecânicas sobre Vibração Forçada 2 Obtenção das equações relativas à vibração livre não amortecida para sistemas com 1 GL A barra de massa m representada no sistema abaixo pode oscilar em relação ao ponto O Esta barra é suportada por uma mola de constante de rigidez K Nestas condições determine explicitamente 2a A eq diferencial que rege o fenômeno físico da vibração livre não amortecida para o sistema 2b A frequência natural do sistema 2c A equação do deslocamento angular da barra considerando que o sistema possui 𝜃0 e 𝜃0 como condições iniciais 2d As equações da velocidade angular e da aceleração angular da barra a partir do deslocamento obtido em 2c 3 Obtenção das equações relativas à vibração livre amortecida para sistemas com 1 GL A barra de massa m representada no sistema abaixo pode oscilar em relação ao ponto O Esta barra suportada por uma mola de constante de rigidez K e um amortecedor com constante de amortecimento viscoso C Nestas condições determine explicitamente 3a A eq diferencial que rege o fenômeno físico da vibração livre amortecida para o sistema 3b A frequência natural do sistema 3c A constante de amortecimento crítico para o sistema Cc 3d O fator de amortecimento do sistema 3e A frequência de vibração amortecida 3f Escreva a equação geral do decremento logarítmico para o gráfico abaixo considerando o primeiro pico de aceleração e um mésimo1 pico ver eq 292 pág 70 Além disso escreva a equação do fator de amortecimento do sistema em função de 3g Para o gráfico do decremento logarítmico mostrado em 3f encontre o valor de fator de amortecimento do sistema considerando os picos 12 23 e 34 O que pode se concluir 3g A equação do deslocamento angular da barra considerando que o sistema é sub amortecido e que possui 𝜃0 e 𝜃0 como condições iniciais 3h As equações da velocidade angular e da aceleração angular da barra a partir do deslocamento obtido em 3g 4 Obtenção das equações relativas à vibração forçada amortecida para sistemas com 2 GL A barra de massa m representada no sistema abaixo pode oscilar em relação ao ponto O Esta barra suporta um motor de massa M posicionado na sua extremidade direita Este motor gira a uma velocidade angular Ao eixo de rotação do motor está acoplado um disco que possui uma massa desbalanceada md que imprime ao sistema uma força de excitação harmônica definida por 𝐹𝑡 𝑚𝑑𝑒𝜔2sen𝜔𝑡 Nestas condições determine a A eq diferencial que rege o fenômeno físico da vibração forçada amortecida com 1 GL b A frequência natural do sistema c A frequência amortecida do sistema d A solução particular do sistema Observações a Considere que o momento de inércia do motor em relação ao ponto O seja igual a ML2 onde L é a distância do motor ao ponto O b e representa a excentricidade da massa desbalanceada Q2 a I 13 m L13 F K Δx K L2 sinθ K L2 θ pequenos deslocamentos Momento em torno de θ Mθ I θ F L2 K L22 θ I θ K L22 θ 0 θ K L22 I θ 0 θ K L22 13 m L13 θ θ 3k m L2L12 θ 0 b ωn2 3k m L2L12 ωn L2 L1 3k m c θt A sin ωn t Ø θ0 θ0 A sin 0 Ø Ø θ0θ0 1ωn sin0cos0 tgØωn Ø tg1θ0 ωn θ0 θ0 A sinØ A sin tg1θ0 ωn θ0 A sin tg1θ0 ωn θ0 A θ0 sintg1θ0 ωn θ0 Ø tg1θ0 θ0 L2 L1 3k m A θ0 sintg1θ0 θ0 L2 L1 3k m θt θ0 sintg1θ0 θ0 L2 L1 3k m sinL2 L1 3k m t tg1θ0 θ0 L2 L1 3k m d Sabendo o valor de Ø para simplificas θt θ0 sin1Ø sinL2 L1 3k m t Ø θt θ0 sinØ L2 L1 3k m cosL2 L1 3k m t Ø θt θ0 sinØ L2 L12 3k m sinL2 L1 3k m t Ø do derivado do coswn t Ø θ3 F3 C ẋ3 C L3 θ F2 K x3 K L3 θ Soma dos momentos em 0 Mo I θ F0 L3 F3 L3 I θ c L32 θ k L32 θ 13 m L32 θ c L32 θ k L32 θ 0 θ 3cm L3L32 θ 3km L32 L32 θ 0 b A mesma do questão anterior Wn L2L3 3 km c Cc 2 m Wn m I Cc 2 13 m L32 L2L3 3 km Cc 233 L3 L3 k m 4 3d ξ CCc i C CL32 ξ c L32 233 L3 L3 k m 32 L32 L1 L2 c k m ξ 3e Wd Wn 1 ξ2 Wd2 Wn2 1 ξ2 L2L32 3km 3 32 L32L3 L2 ck m2 L2L32 3km 4 L32 L22 k m 3 L34 c2 L34 Wd 32 m L32 4 L32 L32 km 3 L34 c2 12 5 3f xsxn eδ xs e no possuem mesmo resultado para o termo trigonométrico xsxn1 eδ eδ cd enδ δ 1n ln xsxn1 mudando isso para θ δ ln θ3θ0 12 ln θ3θ3 13 ln θ3θ4 θ3t1θ3t2 A0 eξwn t1 sinWd t1 θ A0 eξwn t2 sin Wd t2 Ø t2 t1 Td onde Td 2πWd θ3t1θ3t2 eξwn t1 eξwn t1Td 1eξwn Td eξwn Td eξ 2πWd wn e2π ξ 1ξ2 θ δ ln x3t1x3t1 ln e2π ξ 1ξ2 δ 2π ξ 1ξ2 6 1ξ²ξ² 2πδ 1ξ² 1 2πδ² 1 1ξ² 2π² δ²δ² ξ² δ²2π² δ² ξ δ2π² δ² δ4π² δ² 3g considerando θ₀ 02 e θ₃ 03 ι lnθ₃θ₀ ln0302 ln32 069 ξ 0692π² 069² 01097 Vamos usar o seguinte esquema de solução θt eξωnt A cosωdt B sinωdt θt eξωnt A ξωn cosωdt B ξωn sinωdt ωd A sinωdt B ωd cosωdt eξωnt ξωn A B ωd cosωdt ξωn B A ωd sinωdt θ0 θ₀ A θ0 θ₀ B ωd ξωn A B θ₀ ξωn A ωd θ₀ ωd ξ 1ξ² θ₀ B Como as questões são sequenciais vou deixar nesse formato mesmo pois em caso de saber os valores o calculo seria feito sequencialmente θt eξωnt θ₀ cosωdt θ₀ ωd ξ1ξ² θ₀ sinωdt 3h θt eξωnt B ωd ξωn A cosωdt B ξωn A ωd sinωdt B ωd ξωn A θ₀ ξ ωn A ωd ωd ξ ωn θ₀ θ₀ ξ ωn ξ ωn θ₀ θ₀ A B ξ ωn A ωd θ₀ ξ ωn θ₀ ωd ξ ωn θ₀ ωd B θt eξωnt θ₀ cosωdt θ₀ ξ ωn θ₀ 1ξ² θ₀ ωd sinωdt 𝜃t e5𝜉 𝜔ₙ t A cos𝜔𝑑 t B sin𝜔𝑑 t 𝜃t 𝜔ₙ 𝜔𝑑 𝜃₀ 𝜔ₙ 𝜉 𝜉² 𝜔ₙ² 𝜃₀ 𝜃₀ 𝜔ₙ 1 𝜉² 𝜃₀ 𝜔ₙ 1 𝜉² 𝜃₄ d Vamos usar uma notação complexa mẍ cẋ kx Feiwt Vamos supor que xt A eiwt Ø ẋt Aiw eiwt Ø ẍt Ai2 w2 eiwt Ø A w2 eiwt Ø k m w2 iwc A eiwt Ø F eiwt k m w2 iwc A ei Ø F k m w22 w c2 A F A F k m w22 w c2 Ø tg1w c k m w2 Atribuindo os valores m I 13 m L32 md L3 Lh2 c C L32 F md e w2 k k L22 A md e w2 k L32 13 m L2 md L3 Lh2 w22 w C L32212 Ø tg1 w c L32 L22 k 13 m L32 md L3 Lt2 w2w2 Após calcularmos esses valores temos Θt A sin wt Ø