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Inferência Estatística 1
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Inferência Estatística Julienne Borges Um teste de hipóteses é um procedimento em que utilizamos resultados experimentais provenientes de uma amostra para verificar se uma afirmação sobre uma população mais especificamente sobre um parâmetro dessa população é contrariada ou não Vamos entender alguns conceitos básicos sobre os testes de hipóteses que serão utilizados em todos os testes ao longo dessa unidade Hipóteses Estatísticas Hipótese nula denotada por H0 é uma hipótese estatística que contém uma afirmativa de igualdade e deve escrever como ou Para uma média temos as três formas possíveis para a hipótese nula Onde 0 é algum valor que você deseja testar H0 0 H0 0 H0 0 Para uma proporção temos as três formas possíveis para a hipótese nula Onde p0 é algum valor que você deseja testar H0 p p0 H0 p p0 H0 p p0 Hipóteses Estatísticas Hipótese alternativa denotada por Ha é o complemento da hipótese nula É uma afirmativa que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmativa de desigualdade tal como ou Para uma média a hipótese alternativa comporta apenas uma das três formas Ha 0 Ha 0 Ha 0 Para uma proporção a hipótese alternativa comporta apenas uma das três formas Ha p p0 Ha p p0 Ha p p0 Tipos de Hipóteses Estatísticas Para uma média H0 0 vs Ha 0 Hipótese bilateral ou bicaudal H0 0 vs Ha 0 Hipótese unilateral à esquerda H0 0 vs Ha 0 Hipótese unilateral à direita Para uma proporção H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese bilateral ou bicaudal H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese unilateral à esquerda H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese unilateral à direita Estabeleça as hipóteses nula e alternativa para cada situação proposta a Uma universidade alega que a proporção de seus alunos formados em quatro anos é de 82 H0 vs Ha b Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira é inferior a 25 galões por minuto H0 vs Ha c Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso médio do conteúdo de suas caixas de cereais é de no máximo 200 gramas H0 vs Ha d Uma estação de rádio alega que sua proporção de audiência local é superior a 39 H0 vs Ha Exemplos Tipos de erros Decisão do teste A verdade real de H0 H0 é verdadeira H0 é falsa Não rejeitar H0 Decisão correta 1 Erro do tipo II Rejeitar H0 Erro do tipo I Decisão correta 1 Tipos de erros Seria ótimo se pudéssemos ter sempre 0 e 0 mas na realidade isto não é possível então devemos tentar administrar as probabilidades de erro e Matematicamente podese mostrar que e n estão todos relacionados de modo que quando escolhemos ou determinamos quaisquer dois deles o terceiro fica automaticamente determinado A prática usual é selecionar os valores de e n de modo que o valor de fica determinado Tipos de erros Considerações práticas sobre os tipos de erros em um teste de hipóteses Para qualquer fixo um aumento no tamanho amostral n causará um decréscimo em Isto é um tamanho amostral maior diminuirá a chance de que você cometa o erro de não rejeitar a hipótese nula quando ela é na verdade falsa Para qualquer tamanho amostral n fixo um decréscimo em causará um aumento em Reciprocamente um aumento em causará um decréscimo em Para diminuir tanto quanto aumente o tamanho da amostra Nível de significância Determina o erro máximo tolerado no teste de hipóteses O nível de significância de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada quando verdadeira Nível de confiança x Nível de significância 1 95 5 98 2 Estatística de teste A estatística de teste é uma estatística amostral ou um valor baseado nos dados amostrais Utilizase uma estatística de teste para tomar uma decisão sobre a rejeição ou não da hipótese nula Valor p O valor p quantifica o erro cometido ao rejeitar a hipótese nula Um valor p muito pequeno sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a hipótese nula ou seja constitui evidência contra a hipótese nula O critério de decisão baseado no valor p é feito da seguinte maneira Rejeitar a hipótese nula H0 se o valor p é no máximo igual ao nível de significância Não rejeitar a hipótese nula H0 se o valor p é maior do que o nível de significância Como conduzir um teste de hipóteses 1 Identificar o parâmetro que está sendo testado média proporção variância 2 Identificar os dados amostrais disponíveis 3 Especificar o nível de significância que será utilizado 4 Identificar o teste que deverá ser realizado teste Z teste t teste quiquadrado teste não paramétrico 5 Identificar as hipóteses estatísticas H0 e Ha 6 Calcular a estatística de teste 7 Escolher o método de conclusão do teste região de rejeição valor p ou intervalo de confiança quando possível 8 Concluir o teste de hipóteses sempre dentro do contexto Teste de hipóteses para uma média Hipóteses estatísticas H0 0 Ha 0 Denominada hipótese bilateral H0 0 Ha 0 Denominada hipótese unilateral à esquerda H0 0 Ha 0 Denominada hipótese unilateral à direita Teste de hipóteses para uma média Estatísticas de teste n x zteste 0 Utilizada quando desvio padrão da população é conhecido n s x tteste 0 Utilizada quando NÃO é conhecido Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à direita em que a estatística de teste seja igual a 2 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à direita em que a estatística de teste seja igual a 2 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste bilateral em que a estatística de teste seja igual a 15 o valor p seria Tipo de teste Valor p Bilateral 2 x a área à direita do módulo da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à esquerda em que a estatística de teste seja igual a 1 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à esquerda em que a estatística de teste seja igual a 1 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Exemplo 1 Adaptado de Levine et al Uma das principais medidas de qualidade dos serviços oferecidos por qualquer organização corresponde à velocidade através da qual ela responde a uma reclamação feita pelos clientes Uma grande loja de departamentos de controle familiar passou por uma grande expansão nos últimos anos Foi selecionada uma amostra de 50 reclamações com relação à instalação de pisos deste ano ou seja correspondem ao tempo de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação Nesta amostra o tempo médio de espera foi de 29 dias Sabese que o desvio padrão da população é de 21 dias O gerente afirma que o tempo médio de espera é de no máximo 20 dias Com um nível de 5 de significância há evidências que comprovem a alegação do gerente Parâmetro Tempo médio de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação Dados disponíveis Tamanho da amostra n 50 Média da amostra ҧ𝑥 29 Desvio padrão da população σ 21 Distribuição Normal Nível de significância 5 005 Erro máximo tolerado no teste Questão do problema O gerente afirma que o tempo médio de espera é de no máximo 20 dias Há evidências que comprovem a alegação do gerente Hipóteses estatísticas H0 20 vs Ha 20 Hipótese unilateral à direita Qual teste estatístico devo utilizar Como estamos testando uma afirmação sobre uma média e o desvio padrão populacional é conhecido devemos utilizar o teste Z para uma média Valor p 000122 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 0122 Como valor p Rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que NÃO há evidências que comprovem a alegação do gerente ou seja o tempo médio de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação NÃO é de no máximo 20 dias Exercício 1 Adaptado de Stevenson 2001 Suponha que queiramos avaliar a afirmação de um fabricante de que seus pneus radiais suportam uma quilometragem de 40000 milhas no mínimo Para uma amostra aleatória de 49 pneus observouse uma média de duração de 38000 milhas Sabese que o desvio padrão populacional da duração dos pneus é de 3500 milhas Utilize um nível de significância de 003 O que você pode concluir Valor p 000003 Se rejeitarmos a H0 cometemos um erro de 000003 Valor p Rejeitamos a H0 Conclusão do teste Concluise com 3 de significância que o tempo médio de duração dos pneus NÃO é de 40000 milhas no mínimo ou seja não há evidências para comprovar a alegação do fabricante Exercício 2 Agora é a sua vez Um estudante de direito quer conferir a alegação de sua professora de que fraudadores condenados passam em média 123 meses na cadeia Uma amostra aleatória de 35 casos do arquivo judiciário indicou uma média de 115 meses Suponha que o desvio padrão seja 38 meses Adote um nível de 4 de significância O que o estudante pode concluir a partir dos dados da amostra Utilize o valor p e o intervalo de confiança Valor p 021295 Representa um erro de 21295 ao rejeitar H0 Valor p 004 NÃO rejeitamos H0 Conclusão do teste Podemos concluir com 4 de significância que o tempo médio que os fraudadores condenados passam na cadeia é igual a 123 meses ou seja a afirmação da professora é válida Interpretação do intervalo de confiança Podemos afirmar com 96 de confiança que o tempo médio que os fraudadores condenados passam na cadeia pode variar de 1018 a 1282 meses H0 123 Ha 123 Bilateral Como o 123 pertence ao intervalo de confiança devemos aceitar a H0 Exemplo 2 Adaptado de Morettin Bussab 2007 A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano Tentouse um programa de prevenção de acidentes após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número de horashomens perdidas por acidente obtendose uma média de 50 horas e um desvio padrão de 20 horas Você diria considerandose um nível de significância de 5 que houve alguma alteração no tempo perdido com acidentes de trabalho Suponha que a população segue aproximadamente a distribuição normal AMOSTRA S Desvio padrão da amostra Distribuição tStudent Parâmetro Tempo médio perdido com acidentes de trabalho Dados disponíveis Tamanho da amostra n 9 Média da amostra ҧ𝑥 50 Desvio padrão da amostra s 20 Nível de significância 5 005 Questão do problema Houve alguma alteração no tempo perdido com acidentes de trabalho o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano Hipóteses estatísticas H0 60 vs Ha 60 Hipótese bilateral ou bicaudal Qual teste estatístico devo utilizar Como estamos testando uma afirmação sobre uma média e o desvio padrão populacional NÃO é conhecido devemos utilizar o teste t para uma média Valor p 0172 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 172 Como valor p NÃO rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que NÃO houve alteração no tempo médio perdido com acidentes de trabalho ou seja o tempo médio é igual a 60 horashomem indicando que o programa de prevenção de acidentes implementado não foi eficaz Exercício 3 Tente fazer Adaptado de Morettin Bussab Um escritório de investimentos acredita que o rendimento médio das diversas ações que movimenta é de 20 Uma nova estratégia foi definida com o objetivo de aumentar o rendimento médio das diversas ações que movimenta Para verificar esta hipótese tomaramse 18 empresas ao acaso obtendose um rendimento médio de 2456 e um desvio padrão de 5 Suponha que a população tenha distribuição aproximadamente normal Faça o teste estatístico para comprovar que a nova estratégia é realmente eficiente para aumentar o rendimento médio das diversas ações Use um nível de significância de 1 Valor p 000062 Se rejeitarmos H0 cometemos um erro de 000062 Valor p 001 Rejeito H0 Conclusão do teste Concluise com 1 de significância que o rendimento médio das ações é superior a 20 ou seja a estratégia implementada foi eficaz Teste de hipóteses para uma amostra utilizando o R Teste t para uma média utilizando o R xcx1x2xn ttestx alternative ctwosided less greater mu m0 conflevel 095 Onde x representa o vetor de valores observados na amostra alternative ctwosided less greater representa o tipo de hipótese que será testado twosided bilateral less Unilateral à esquerda greater Unilateral à direita m0 você deve indica a média que está sendo testada por meio das hipóteses conflevel você deve especificar o nível de confiança para o teste de hipóteses Exercício 4 Uma amostra aleatória de oito pedidos dos arquivos de uma companhia mostra que os pedidos de certa peça de uma máquina forma despachados em 12 10 17 14 13 18 11 9 dias Ao nível de 5 de significância podemos concluir que em média tais pedidos são despachados em menos de 10 dias H0 10 Ha 10 Unilateral à esquerda Parâmetro Tempo médio para despachar os pedidos Dados disponíveis Tamanho da amostra n 8 Média da amostra ҧ𝑥 13 Obtida utilizando a função media do Excel Desvio padrão da amostra s 32071 Obtido por meio da função desvpada do Excel Nível de significância 5 005 Questão do problema em média tais pedidos são despachados em menos de 10 dias Hipóteses estatísticas H0 10 vs Ha 10 Hipótese unilateral à esquerda Como não conhecemos o σ vamos utilizar o teste t para uma média Valor p 098343 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 98343 Como valor p NÃO rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que o tempo médio para despachar os pedidos é superior ou igual a 10 dias Utilizando o R xc121017141318119 ttestxalternativeclessmu10conflevel095 One Sample ttest data x t 26458 df 7 pvalue 09834 alternative hypothesis true mean is less than 10 95 percent confidence interval Inf 1514825 sample estimates mean of x 13 Curiosidade Para o exemplo anterior em que a média é o parâmetro a ser estimado não conhecemos o desvio padrão populacional σ e temos a amostra de valores observados no estudo podemos utilizar o mesmo comandos ttest para encontrar um intervalo de confiança Observe ttestxconflevel095 One Sample ttest data x t 11465 df 7 pvalue 8631e06 alternative hypothesis true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval 1031877 1568123 sample estimates mean of x 13 Teste de hipóteses para uma proporção Hipóteses estatísticas H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese bilateral H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese unilateral à esquerda H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese unilateral à direita Teste de hipóteses para uma proporção Estatística de teste n p p p p zteste 0 0 0 1 ˆ e p0 5 n 5 1 0 p n Teste de hipóteses para uma proporção Valor p Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Bilateral 2 x a área à direita do módulo da estatística de teste Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Exemplo 3 Em um estudo da eficácia do airbag em automóveis constatouse que em 821 colisões de carros de tamanho médio equipados com airbag 46 colisões resultaram em hospitalização do motorista Ao nível de significância de 001 teste a afirmação de que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança Parâmetro Taxa proporção de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag Dados disponíveis Tamanho da amostra n 821 Número de motoristas hospitalizados x 46 Ƹ𝑝 468210056 proporção amostral Nível de significância 1 001 Questão do problema Teste a afirmação de que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança Hipóteses estatísticas H0 p 0078 vs Ha p 0078 Hipótese unilateral à esquerda Qual teste estatístico devo utilizar np0 8210078640385 n1p0 82109227569625 Como estamos testando uma afirmação sobre uma proporção e as condições de uso da distribuição normal foram satisfeitas devemos utilizar o teste Z para uma proporção Valor p 000937 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 0937 Como valor p 001 Rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 1 de significância que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança ou seja o airbag parece ser um item eficaz na segurança dos motoristas Teste de hipóteses para uma proporção utilizando o R Teste para uma proporção utilizando o R O R utiliza a distribuição quiquadrado e não distribuição normal para esse teste proptestx n p NULL alternative ctwosided less greater conflevel 095 correct FALSE Onde x número de itens que apresentam a característica de interesse n tamanho da amostra NULL você deve indica a proporção que está sendo testada por meio das hipóteses alternative ctwosided less greater representa o tipo de hipótese que será testado twosided bilateral less Unilateral à esquerda greater Unilateral à direita conflevel você deve especificar o nível de confiança para o teste de hipóteses IMPORTANTE O R utiliza a distribuição quiquadrado e não a distribuição Normal para a realização do teste Utilizando o R proptest46 821 p 0078 alternative cless conflevel 099 correct FALSE 1sample proportions test without continuity correction data 46 out of 821 null probability 0078 Xsquared 55107 df 1 pvalue 000945 alternative hypothesis true p is less than 0078 99 percent confidence interval 000000000 007777309 sample estimates p 005602923 Exercício 5 Vamos fazer esse Um sistema de reservas da companhia Y acusa uma taxa de 7 de nãocomparecimento Adotouse então um novo processo pelo qual as reservas são confirmadas no dia anterior ao do vôo fazendose um estudo de 5218 reservas pelo novo sistema selecionadas aleatoriamente Se se registraram 333 nãocomparecimentos teste a afirmação de que a taxa de nãocomparecimento é menor no novo sistema O novo sistema se afigura eficiente na redução do nãocomparecimento Utilize um nível de 2 de significância Exercício 6 Para finalizar Em um estudo de 71 fumantes que estavam procurando deixar de fumar utilizando uma terapia especial 32 não estavam fumando um ano após o tratamento Ao nível de 010 de significância teste a afirmação de que dos fumantes que procuram deixar de fumar com aquela terapia no máximo 25 voltam a fumar um ano após o tratamento Esses resultados sugerem que a terapia não é eficaz Valor p 0 Cometemos um erro de 0 ao rejeitar H0 Valor p 010 Rejeitar H0 Conclusão do teste Podemos concluir com 10 de significância que o tratamento NÃO é eficaz visto que mais de 25 dos indivíduos voltam a fumar um ano após o tratamento proptest3971p025alternativecgreaterconflevel09correctFALSE 1sample proportions test without continuity correction data 39 out of 71 null probability 025 Xsquared 3392 df 1 pvalue 2871e09 alternative hypothesis true p is greater than 025 90 percent confidence interval 04733577 10000000 sample estimates p 05492958 Testes de hipóteses no Python Testes para uma e duas médias variâncias e normalidade httpstmfilhogithubiopyestbookmath03sciphtmlhighlighttesttestesde hipotese Teste para uma proporção httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsbinomtesthtmlscipy statsbinomtest Além do básico Teste para duas médias Testes paramétricos são aplicáveis quando as duas populações seguem a distribuição normal Faça o teste de normalidade Normalidade ok Escolha o teste de acordo com o esquema ao lado Não normal Veja opções de testes não paramétricos Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsttestindhtml Como vou saber se as variâncias são iguais Testando Faça o teste para igualdade de variâncias Algumas opções Teste F teste de Levene teste de Bartlett 3 ou mais grupos teste de Cochram etc Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Exemplo 4 Foram avaliadas duas amostras de computadores selecionadas de duas empresas A e B concorrentes especializadas em serviços computacionais a terceiros A empresa A apresentou em uma amostra de 26 computadores média de MIPS milhões de instruções executadas por segundo de 5000 com desvio padrão de 2500 e a empresa B em uma amostra de 16 computadores apresentou média de MIPS de 4000 com desvio padrão de 2400 Supondo que as variâncias são iguais teste a hipótese de que a média de desempenho dos computadores das empresas A e B seja diferente Utilize um nível de significância de 3 Dados do enunciado Hipóteses estatísticas H0 µAµB HA µAµB Empresa Tamanho amostral Média da amostra Desvio padrão da amostra A 26 5000 2500 B 16 4000 2400 Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Hipóteses estatísticas H0 µAµB HA µAµB ValorT GL Valorp 128 40 0209 O que você pode concluir As médias são iguais ou diferentes Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Exemplo 5 Um analista de sistemas deseja comparar o desempenho de duas amostras de programas na solução de um problema Na amostra 1 os programas foram feitos na linguagem de programação A em 40 diferentes algoritmos Na amostra 2 os programas foram feitos na linguagem de programação B em 60 diferentes algoritmos Na amostra 1 a proporção de acerto da resposta do problema foi de 65 e na B 90 Considerando um nível de 1 de significância há evidência suficiente para dizer que existe diferença na proporção de acerto da resposta entre as duas linguagens de programação Além do básico Teste para duas proporções Dados do enunciado Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB Programação Tamanho amostral Proporção de acerto A 40 065 B 60 090 Além do básico Teste para duas proporções Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB O que você pode concluir Considerando um nível de 1 de significância há evidência suficiente para dizer que existe diferença na proporção de acerto da resposta entre as duas linguagens de programação Método ValorZ Valorp Aproximação normal 306 0002 O teste baseado na aproximação normal usa a estimativa combinada da taxa 08 Além do básico Teste para duas proporções Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB Observe que as hipóteses podem ser reescritas da seguinte forma H₀ pA pB 0 HA pA pB 0 Estimativa da diferença Diferença IC de 99 para a Diferença 025 0468377 0031623 IC com base na aproximação normal Verificamos que há diferença na proporção de acerto entre as duas linguagens de programação A partir do intervalo de confiança para a diferença entre as estimativas como podemos identificar qual linguagem apresentou maior proporção de acerto Além do básico Teste para duas proporções Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Use um teste de normalidade para determinar se os dados não seguem uma distribuição normal Para um teste de normalidade as hipóteses são as seguintes H0 os dados seguem uma distribuição normal HA os dados não seguem uma distribuição normal Alguns testes de normalidade que podem ser utilizados Teste de ShapiroWilk Teste de KolmogorovSmirnov Teste de AndersonDarling etc Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsshapirohtml httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatskstesthtml Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Exemplo 6 O engenheiro de alimentos em uma empresa fabricante de alimentos processados deseja avaliar o percentual de gordura nos molhos engarrafados da empresa O percentual anunciado é 15 O engenheiro mede o percentual de gordura em 20 amostras aleatórias Desejase verificar a suposição de normalidade antes de realizar o teste de hipótese Percentual de Gordura 152 185 124 163 154 20 165 192 159 123 171 128 169 179 143 163 191 187 182 162 Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Lembrando que nesse teste as hipóteses estatísticas são H0 os dados seguem uma distribuição normal HA os dados não seguem uma distribuição normal O que você pode concluir utilizando um nível de 5 de significância Além do básico Teste para igualdade de variâncias Use Teste para 2 variâncias para determinar se as variâncias ou os desvios padrão de dois grupos são diferentes Para um teste para 2 variâncias as hipóteses são como a seguir Ho 1 2 2 2 Amostras homocedásticas variâncias iguais HA 1 2 2 2 Amostras heterocedásticas variâncias diferentes Algumas opções de teste de igualdade de variâncias que podem ser utilizados Teste F teste de Levene teste de Bartlett 3 ou mais grupos teste de Cochram etc Além do básico Teste para igualdade de variâncias No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsbartletthtmlscipys tatsbartlett Além do básico Teste para igualdade de variâncias Exemplo 7 Queremos verificar se 2 máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto ao diâmetro em mm Para isso sorteamos vinte amostras de peças de cada máquina e obtivemos as seguintes medidas do diâmetro em mm Máquina A Máquina B 145 138 133 135 142 131 123 139 136 139 133 151 133 140 130 136 131 123 129 141 131 137 129 147 132 128 133 145 127 137 137 139 138 133 142 151 139 132 151 139 Além do básico Teste para igualdade de variâncias Hipóteses estatísticas Ho A 2 B 2 Amostras homocedásticas variâncias iguais HA A 2 B 2 Amostras heterocedásticas variâncias diferentes Considerando um nível de 5 de significância o que podemos concluir MUITO OBRIGADA profjuliennegmailcom
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Inferência Estatística Julienne Borges Um teste de hipóteses é um procedimento em que utilizamos resultados experimentais provenientes de uma amostra para verificar se uma afirmação sobre uma população mais especificamente sobre um parâmetro dessa população é contrariada ou não Vamos entender alguns conceitos básicos sobre os testes de hipóteses que serão utilizados em todos os testes ao longo dessa unidade Hipóteses Estatísticas Hipótese nula denotada por H0 é uma hipótese estatística que contém uma afirmativa de igualdade e deve escrever como ou Para uma média temos as três formas possíveis para a hipótese nula Onde 0 é algum valor que você deseja testar H0 0 H0 0 H0 0 Para uma proporção temos as três formas possíveis para a hipótese nula Onde p0 é algum valor que você deseja testar H0 p p0 H0 p p0 H0 p p0 Hipóteses Estatísticas Hipótese alternativa denotada por Ha é o complemento da hipótese nula É uma afirmativa que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmativa de desigualdade tal como ou Para uma média a hipótese alternativa comporta apenas uma das três formas Ha 0 Ha 0 Ha 0 Para uma proporção a hipótese alternativa comporta apenas uma das três formas Ha p p0 Ha p p0 Ha p p0 Tipos de Hipóteses Estatísticas Para uma média H0 0 vs Ha 0 Hipótese bilateral ou bicaudal H0 0 vs Ha 0 Hipótese unilateral à esquerda H0 0 vs Ha 0 Hipótese unilateral à direita Para uma proporção H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese bilateral ou bicaudal H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese unilateral à esquerda H0 p p0 vs Ha p p0 Hipótese unilateral à direita Estabeleça as hipóteses nula e alternativa para cada situação proposta a Uma universidade alega que a proporção de seus alunos formados em quatro anos é de 82 H0 vs Ha b Um fabricante de torneiras alega que a taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira é inferior a 25 galões por minuto H0 vs Ha c Uma companhia que fabrica cereais alega que o peso médio do conteúdo de suas caixas de cereais é de no máximo 200 gramas H0 vs Ha d Uma estação de rádio alega que sua proporção de audiência local é superior a 39 H0 vs Ha Exemplos Tipos de erros Decisão do teste A verdade real de H0 H0 é verdadeira H0 é falsa Não rejeitar H0 Decisão correta 1 Erro do tipo II Rejeitar H0 Erro do tipo I Decisão correta 1 Tipos de erros Seria ótimo se pudéssemos ter sempre 0 e 0 mas na realidade isto não é possível então devemos tentar administrar as probabilidades de erro e Matematicamente podese mostrar que e n estão todos relacionados de modo que quando escolhemos ou determinamos quaisquer dois deles o terceiro fica automaticamente determinado A prática usual é selecionar os valores de e n de modo que o valor de fica determinado Tipos de erros Considerações práticas sobre os tipos de erros em um teste de hipóteses Para qualquer fixo um aumento no tamanho amostral n causará um decréscimo em Isto é um tamanho amostral maior diminuirá a chance de que você cometa o erro de não rejeitar a hipótese nula quando ela é na verdade falsa Para qualquer tamanho amostral n fixo um decréscimo em causará um aumento em Reciprocamente um aumento em causará um decréscimo em Para diminuir tanto quanto aumente o tamanho da amostra Nível de significância Determina o erro máximo tolerado no teste de hipóteses O nível de significância de um teste é a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada quando verdadeira Nível de confiança x Nível de significância 1 95 5 98 2 Estatística de teste A estatística de teste é uma estatística amostral ou um valor baseado nos dados amostrais Utilizase uma estatística de teste para tomar uma decisão sobre a rejeição ou não da hipótese nula Valor p O valor p quantifica o erro cometido ao rejeitar a hipótese nula Um valor p muito pequeno sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a hipótese nula ou seja constitui evidência contra a hipótese nula O critério de decisão baseado no valor p é feito da seguinte maneira Rejeitar a hipótese nula H0 se o valor p é no máximo igual ao nível de significância Não rejeitar a hipótese nula H0 se o valor p é maior do que o nível de significância Como conduzir um teste de hipóteses 1 Identificar o parâmetro que está sendo testado média proporção variância 2 Identificar os dados amostrais disponíveis 3 Especificar o nível de significância que será utilizado 4 Identificar o teste que deverá ser realizado teste Z teste t teste quiquadrado teste não paramétrico 5 Identificar as hipóteses estatísticas H0 e Ha 6 Calcular a estatística de teste 7 Escolher o método de conclusão do teste região de rejeição valor p ou intervalo de confiança quando possível 8 Concluir o teste de hipóteses sempre dentro do contexto Teste de hipóteses para uma média Hipóteses estatísticas H0 0 Ha 0 Denominada hipótese bilateral H0 0 Ha 0 Denominada hipótese unilateral à esquerda H0 0 Ha 0 Denominada hipótese unilateral à direita Teste de hipóteses para uma média Estatísticas de teste n x zteste 0 Utilizada quando desvio padrão da população é conhecido n s x tteste 0 Utilizada quando NÃO é conhecido Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à direita em que a estatística de teste seja igual a 2 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à direita em que a estatística de teste seja igual a 2 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste bilateral em que a estatística de teste seja igual a 15 o valor p seria Tipo de teste Valor p Bilateral 2 x a área à direita do módulo da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à esquerda em que a estatística de teste seja igual a 1 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Teste de hipóteses para uma média Valor p Por exemplo para um teste unilateral à esquerda em que a estatística de teste seja igual a 1 o valor p seria Tipo de teste Valor p Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Exemplo 1 Adaptado de Levine et al Uma das principais medidas de qualidade dos serviços oferecidos por qualquer organização corresponde à velocidade através da qual ela responde a uma reclamação feita pelos clientes Uma grande loja de departamentos de controle familiar passou por uma grande expansão nos últimos anos Foi selecionada uma amostra de 50 reclamações com relação à instalação de pisos deste ano ou seja correspondem ao tempo de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação Nesta amostra o tempo médio de espera foi de 29 dias Sabese que o desvio padrão da população é de 21 dias O gerente afirma que o tempo médio de espera é de no máximo 20 dias Com um nível de 5 de significância há evidências que comprovem a alegação do gerente Parâmetro Tempo médio de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação Dados disponíveis Tamanho da amostra n 50 Média da amostra ҧ𝑥 29 Desvio padrão da população σ 21 Distribuição Normal Nível de significância 5 005 Erro máximo tolerado no teste Questão do problema O gerente afirma que o tempo médio de espera é de no máximo 20 dias Há evidências que comprovem a alegação do gerente Hipóteses estatísticas H0 20 vs Ha 20 Hipótese unilateral à direita Qual teste estatístico devo utilizar Como estamos testando uma afirmação sobre uma média e o desvio padrão populacional é conhecido devemos utilizar o teste Z para uma média Valor p 000122 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 0122 Como valor p Rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que NÃO há evidências que comprovem a alegação do gerente ou seja o tempo médio de espera em dias entre o recebimento da reclamação e a solução do problema relacionado com a reclamação NÃO é de no máximo 20 dias Exercício 1 Adaptado de Stevenson 2001 Suponha que queiramos avaliar a afirmação de um fabricante de que seus pneus radiais suportam uma quilometragem de 40000 milhas no mínimo Para uma amostra aleatória de 49 pneus observouse uma média de duração de 38000 milhas Sabese que o desvio padrão populacional da duração dos pneus é de 3500 milhas Utilize um nível de significância de 003 O que você pode concluir Valor p 000003 Se rejeitarmos a H0 cometemos um erro de 000003 Valor p Rejeitamos a H0 Conclusão do teste Concluise com 3 de significância que o tempo médio de duração dos pneus NÃO é de 40000 milhas no mínimo ou seja não há evidências para comprovar a alegação do fabricante Exercício 2 Agora é a sua vez Um estudante de direito quer conferir a alegação de sua professora de que fraudadores condenados passam em média 123 meses na cadeia Uma amostra aleatória de 35 casos do arquivo judiciário indicou uma média de 115 meses Suponha que o desvio padrão seja 38 meses Adote um nível de 4 de significância O que o estudante pode concluir a partir dos dados da amostra Utilize o valor p e o intervalo de confiança Valor p 021295 Representa um erro de 21295 ao rejeitar H0 Valor p 004 NÃO rejeitamos H0 Conclusão do teste Podemos concluir com 4 de significância que o tempo médio que os fraudadores condenados passam na cadeia é igual a 123 meses ou seja a afirmação da professora é válida Interpretação do intervalo de confiança Podemos afirmar com 96 de confiança que o tempo médio que os fraudadores condenados passam na cadeia pode variar de 1018 a 1282 meses H0 123 Ha 123 Bilateral Como o 123 pertence ao intervalo de confiança devemos aceitar a H0 Exemplo 2 Adaptado de Morettin Bussab 2007 A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano Tentouse um programa de prevenção de acidentes após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número de horashomens perdidas por acidente obtendose uma média de 50 horas e um desvio padrão de 20 horas Você diria considerandose um nível de significância de 5 que houve alguma alteração no tempo perdido com acidentes de trabalho Suponha que a população segue aproximadamente a distribuição normal AMOSTRA S Desvio padrão da amostra Distribuição tStudent Parâmetro Tempo médio perdido com acidentes de trabalho Dados disponíveis Tamanho da amostra n 9 Média da amostra ҧ𝑥 50 Desvio padrão da amostra s 20 Nível de significância 5 005 Questão do problema Houve alguma alteração no tempo perdido com acidentes de trabalho o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano Hipóteses estatísticas H0 60 vs Ha 60 Hipótese bilateral ou bicaudal Qual teste estatístico devo utilizar Como estamos testando uma afirmação sobre uma média e o desvio padrão populacional NÃO é conhecido devemos utilizar o teste t para uma média Valor p 0172 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 172 Como valor p NÃO rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que NÃO houve alteração no tempo médio perdido com acidentes de trabalho ou seja o tempo médio é igual a 60 horashomem indicando que o programa de prevenção de acidentes implementado não foi eficaz Exercício 3 Tente fazer Adaptado de Morettin Bussab Um escritório de investimentos acredita que o rendimento médio das diversas ações que movimenta é de 20 Uma nova estratégia foi definida com o objetivo de aumentar o rendimento médio das diversas ações que movimenta Para verificar esta hipótese tomaramse 18 empresas ao acaso obtendose um rendimento médio de 2456 e um desvio padrão de 5 Suponha que a população tenha distribuição aproximadamente normal Faça o teste estatístico para comprovar que a nova estratégia é realmente eficiente para aumentar o rendimento médio das diversas ações Use um nível de significância de 1 Valor p 000062 Se rejeitarmos H0 cometemos um erro de 000062 Valor p 001 Rejeito H0 Conclusão do teste Concluise com 1 de significância que o rendimento médio das ações é superior a 20 ou seja a estratégia implementada foi eficaz Teste de hipóteses para uma amostra utilizando o R Teste t para uma média utilizando o R xcx1x2xn ttestx alternative ctwosided less greater mu m0 conflevel 095 Onde x representa o vetor de valores observados na amostra alternative ctwosided less greater representa o tipo de hipótese que será testado twosided bilateral less Unilateral à esquerda greater Unilateral à direita m0 você deve indica a média que está sendo testada por meio das hipóteses conflevel você deve especificar o nível de confiança para o teste de hipóteses Exercício 4 Uma amostra aleatória de oito pedidos dos arquivos de uma companhia mostra que os pedidos de certa peça de uma máquina forma despachados em 12 10 17 14 13 18 11 9 dias Ao nível de 5 de significância podemos concluir que em média tais pedidos são despachados em menos de 10 dias H0 10 Ha 10 Unilateral à esquerda Parâmetro Tempo médio para despachar os pedidos Dados disponíveis Tamanho da amostra n 8 Média da amostra ҧ𝑥 13 Obtida utilizando a função media do Excel Desvio padrão da amostra s 32071 Obtido por meio da função desvpada do Excel Nível de significância 5 005 Questão do problema em média tais pedidos são despachados em menos de 10 dias Hipóteses estatísticas H0 10 vs Ha 10 Hipótese unilateral à esquerda Como não conhecemos o σ vamos utilizar o teste t para uma média Valor p 098343 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 98343 Como valor p NÃO rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 5 de significância que o tempo médio para despachar os pedidos é superior ou igual a 10 dias Utilizando o R xc121017141318119 ttestxalternativeclessmu10conflevel095 One Sample ttest data x t 26458 df 7 pvalue 09834 alternative hypothesis true mean is less than 10 95 percent confidence interval Inf 1514825 sample estimates mean of x 13 Curiosidade Para o exemplo anterior em que a média é o parâmetro a ser estimado não conhecemos o desvio padrão populacional σ e temos a amostra de valores observados no estudo podemos utilizar o mesmo comandos ttest para encontrar um intervalo de confiança Observe ttestxconflevel095 One Sample ttest data x t 11465 df 7 pvalue 8631e06 alternative hypothesis true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval 1031877 1568123 sample estimates mean of x 13 Teste de hipóteses para uma proporção Hipóteses estatísticas H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese bilateral H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese unilateral à esquerda H0 p p0 Ha p p0 Denominada hipótese unilateral à direita Teste de hipóteses para uma proporção Estatística de teste n p p p p zteste 0 0 0 1 ˆ e p0 5 n 5 1 0 p n Teste de hipóteses para uma proporção Valor p Tipo de teste Valor p Unilateral direito Área à direita da estatística de teste Bilateral 2 x a área à direita do módulo da estatística de teste Unilateral esquerdo Área à esquerda da estatística de teste Exemplo 3 Em um estudo da eficácia do airbag em automóveis constatouse que em 821 colisões de carros de tamanho médio equipados com airbag 46 colisões resultaram em hospitalização do motorista Ao nível de significância de 001 teste a afirmação de que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança Parâmetro Taxa proporção de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag Dados disponíveis Tamanho da amostra n 821 Número de motoristas hospitalizados x 46 Ƹ𝑝 468210056 proporção amostral Nível de significância 1 001 Questão do problema Teste a afirmação de que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança Hipóteses estatísticas H0 p 0078 vs Ha p 0078 Hipótese unilateral à esquerda Qual teste estatístico devo utilizar np0 8210078640385 n1p0 82109227569625 Como estamos testando uma afirmação sobre uma proporção e as condições de uso da distribuição normal foram satisfeitas devemos utilizar o teste Z para uma proporção Valor p 000937 Ao rejeitar a hipótese nula cometese um erro de 0937 Como valor p 001 Rejeitase H0 Conclusão teste Concluise com 1 de significância que a taxa de hospitalização dos motoristas nos casos de carros equipados com airbag é inferior à taxa de 78 para colisões de carros de tamanho médio equipados somente com cintos automáticos de segurança ou seja o airbag parece ser um item eficaz na segurança dos motoristas Teste de hipóteses para uma proporção utilizando o R Teste para uma proporção utilizando o R O R utiliza a distribuição quiquadrado e não distribuição normal para esse teste proptestx n p NULL alternative ctwosided less greater conflevel 095 correct FALSE Onde x número de itens que apresentam a característica de interesse n tamanho da amostra NULL você deve indica a proporção que está sendo testada por meio das hipóteses alternative ctwosided less greater representa o tipo de hipótese que será testado twosided bilateral less Unilateral à esquerda greater Unilateral à direita conflevel você deve especificar o nível de confiança para o teste de hipóteses IMPORTANTE O R utiliza a distribuição quiquadrado e não a distribuição Normal para a realização do teste Utilizando o R proptest46 821 p 0078 alternative cless conflevel 099 correct FALSE 1sample proportions test without continuity correction data 46 out of 821 null probability 0078 Xsquared 55107 df 1 pvalue 000945 alternative hypothesis true p is less than 0078 99 percent confidence interval 000000000 007777309 sample estimates p 005602923 Exercício 5 Vamos fazer esse Um sistema de reservas da companhia Y acusa uma taxa de 7 de nãocomparecimento Adotouse então um novo processo pelo qual as reservas são confirmadas no dia anterior ao do vôo fazendose um estudo de 5218 reservas pelo novo sistema selecionadas aleatoriamente Se se registraram 333 nãocomparecimentos teste a afirmação de que a taxa de nãocomparecimento é menor no novo sistema O novo sistema se afigura eficiente na redução do nãocomparecimento Utilize um nível de 2 de significância Exercício 6 Para finalizar Em um estudo de 71 fumantes que estavam procurando deixar de fumar utilizando uma terapia especial 32 não estavam fumando um ano após o tratamento Ao nível de 010 de significância teste a afirmação de que dos fumantes que procuram deixar de fumar com aquela terapia no máximo 25 voltam a fumar um ano após o tratamento Esses resultados sugerem que a terapia não é eficaz Valor p 0 Cometemos um erro de 0 ao rejeitar H0 Valor p 010 Rejeitar H0 Conclusão do teste Podemos concluir com 10 de significância que o tratamento NÃO é eficaz visto que mais de 25 dos indivíduos voltam a fumar um ano após o tratamento proptest3971p025alternativecgreaterconflevel09correctFALSE 1sample proportions test without continuity correction data 39 out of 71 null probability 025 Xsquared 3392 df 1 pvalue 2871e09 alternative hypothesis true p is greater than 025 90 percent confidence interval 04733577 10000000 sample estimates p 05492958 Testes de hipóteses no Python Testes para uma e duas médias variâncias e normalidade httpstmfilhogithubiopyestbookmath03sciphtmlhighlighttesttestesde hipotese Teste para uma proporção httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsbinomtesthtmlscipy statsbinomtest Além do básico Teste para duas médias Testes paramétricos são aplicáveis quando as duas populações seguem a distribuição normal Faça o teste de normalidade Normalidade ok Escolha o teste de acordo com o esquema ao lado Não normal Veja opções de testes não paramétricos Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsttestindhtml Como vou saber se as variâncias são iguais Testando Faça o teste para igualdade de variâncias Algumas opções Teste F teste de Levene teste de Bartlett 3 ou mais grupos teste de Cochram etc Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Exemplo 4 Foram avaliadas duas amostras de computadores selecionadas de duas empresas A e B concorrentes especializadas em serviços computacionais a terceiros A empresa A apresentou em uma amostra de 26 computadores média de MIPS milhões de instruções executadas por segundo de 5000 com desvio padrão de 2500 e a empresa B em uma amostra de 16 computadores apresentou média de MIPS de 4000 com desvio padrão de 2400 Supondo que as variâncias são iguais teste a hipótese de que a média de desempenho dos computadores das empresas A e B seja diferente Utilize um nível de significância de 3 Dados do enunciado Hipóteses estatísticas H0 µAµB HA µAµB Empresa Tamanho amostral Média da amostra Desvio padrão da amostra A 26 5000 2500 B 16 4000 2400 Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Hipóteses estatísticas H0 µAµB HA µAµB ValorT GL Valorp 128 40 0209 O que você pode concluir As médias são iguais ou diferentes Além do básico Teste para duas médias com variâncias iguais Exemplo 5 Um analista de sistemas deseja comparar o desempenho de duas amostras de programas na solução de um problema Na amostra 1 os programas foram feitos na linguagem de programação A em 40 diferentes algoritmos Na amostra 2 os programas foram feitos na linguagem de programação B em 60 diferentes algoritmos Na amostra 1 a proporção de acerto da resposta do problema foi de 65 e na B 90 Considerando um nível de 1 de significância há evidência suficiente para dizer que existe diferença na proporção de acerto da resposta entre as duas linguagens de programação Além do básico Teste para duas proporções Dados do enunciado Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB Programação Tamanho amostral Proporção de acerto A 40 065 B 60 090 Além do básico Teste para duas proporções Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB O que você pode concluir Considerando um nível de 1 de significância há evidência suficiente para dizer que existe diferença na proporção de acerto da resposta entre as duas linguagens de programação Método ValorZ Valorp Aproximação normal 306 0002 O teste baseado na aproximação normal usa a estimativa combinada da taxa 08 Além do básico Teste para duas proporções Hipóteses estatísticas H0 pApB HA pApB Observe que as hipóteses podem ser reescritas da seguinte forma H₀ pA pB 0 HA pA pB 0 Estimativa da diferença Diferença IC de 99 para a Diferença 025 0468377 0031623 IC com base na aproximação normal Verificamos que há diferença na proporção de acerto entre as duas linguagens de programação A partir do intervalo de confiança para a diferença entre as estimativas como podemos identificar qual linguagem apresentou maior proporção de acerto Além do básico Teste para duas proporções Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Use um teste de normalidade para determinar se os dados não seguem uma distribuição normal Para um teste de normalidade as hipóteses são as seguintes H0 os dados seguem uma distribuição normal HA os dados não seguem uma distribuição normal Alguns testes de normalidade que podem ser utilizados Teste de ShapiroWilk Teste de KolmogorovSmirnov Teste de AndersonDarling etc Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsshapirohtml httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatskstesthtml Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Exemplo 6 O engenheiro de alimentos em uma empresa fabricante de alimentos processados deseja avaliar o percentual de gordura nos molhos engarrafados da empresa O percentual anunciado é 15 O engenheiro mede o percentual de gordura em 20 amostras aleatórias Desejase verificar a suposição de normalidade antes de realizar o teste de hipótese Percentual de Gordura 152 185 124 163 154 20 165 192 159 123 171 128 169 179 143 163 191 187 182 162 Além do básico Teste de normalidade para uma variável quantitativa Lembrando que nesse teste as hipóteses estatísticas são H0 os dados seguem uma distribuição normal HA os dados não seguem uma distribuição normal O que você pode concluir utilizando um nível de 5 de significância Além do básico Teste para igualdade de variâncias Use Teste para 2 variâncias para determinar se as variâncias ou os desvios padrão de dois grupos são diferentes Para um teste para 2 variâncias as hipóteses são como a seguir Ho 1 2 2 2 Amostras homocedásticas variâncias iguais HA 1 2 2 2 Amostras heterocedásticas variâncias diferentes Algumas opções de teste de igualdade de variâncias que podem ser utilizados Teste F teste de Levene teste de Bartlett 3 ou mais grupos teste de Cochram etc Além do básico Teste para igualdade de variâncias No Python httpsdocsscipyorgdocscipyreferencegeneratedscipystatsbartletthtmlscipys tatsbartlett Além do básico Teste para igualdade de variâncias Exemplo 7 Queremos verificar se 2 máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto ao diâmetro em mm Para isso sorteamos vinte amostras de peças de cada máquina e obtivemos as seguintes medidas do diâmetro em mm Máquina A Máquina B 145 138 133 135 142 131 123 139 136 139 133 151 133 140 130 136 131 123 129 141 131 137 129 147 132 128 133 145 127 137 137 139 138 133 142 151 139 132 151 139 Além do básico Teste para igualdade de variâncias Hipóteses estatísticas Ho A 2 B 2 Amostras homocedásticas variâncias iguais HA A 2 B 2 Amostras heterocedásticas variâncias diferentes Considerando um nível de 5 de significância o que podemos concluir MUITO OBRIGADA profjuliennegmailcom