Análise da Distribuição Gama em R

1 Escolha uma variável aleatória contínua Qualquer uma menos a Normal a Mostre a fdp dessa variável R A distribuição de probabilidade contínua escolhida foi a distribuição Gama Se 𝑋 𝐺𝑎𝑚𝑎𝛼 𝛽 então a função densidade de probabilidade fdp de 𝑋 é dada por 𝑓𝑥 𝛽𝛼 Γ𝛼 𝑥𝛼1𝑒𝛽𝑥𝕀0𝑥 onde 𝛼 𝛽 0 são os parâmetros da distribuição e Γ é a função gama dada por Γ𝛼 𝑡𝛼1𝑒𝑡 0 𝑑𝑡 Neste trabalho adotouse 𝛼 4 e 𝛽 2 então a fdp de 𝑋 𝐺𝑎𝑚𝑎4 2 será 𝑓𝑥 24 Γ4 𝑥3𝑒2𝑥𝕀0𝑥 b Produza uma amostra de tamanho 𝑛 você escolhe R Para produzir uma amostra de tamanho 𝑛 1000 no R utilizamos a função rgamma Os valores dos parâmetros utilizados foram 𝛼 4 e 𝛽 2 Código R c Obtenha o histograma habitual e o histograma suavizado Código R Gama Distribution n 1000 Tamanho amostral setseed1 x rgamman 4 2 headx 6 primeiras observações Saída 1 1213062 3214959 3142633 2159352 3104412 2508780 parmfrow c1 2 marc5 5 1 1 histx probability T ylim c0 05 main col white plotdensityx ylim c0 05 main lwd 2 devoff Saída d Obtenha a distribuição acumulada empírica R A função plotecdfx plota a distribuição acumulada empírica dos valores simulados Código R e Calcule as estatísticas descritivas média mediana desvio padrão coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose Código R f Compare com os valores populacionais dessas estatísticas Código R Percebese que os valores amostrais estimados são próximos dos valores populacionais para todas as medidas estatísticas consideradas média mediana desvio padrão coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose plotecdfx main Saída librarye1071 para calcular assimetria e curtose librarydplyr para operador pip A cbindMédia meanx Mediana medianx Dpadrão sdx Assimetria skewnessx Curtose kurtosisx round2 A Saída Média Mediana Dpadrão Assimetria Curtose 1 195 175 099 091 105 B cbindMédia 42 Mediana 184 Dpadrão sqrt422 Assimetria 2sqrt4 Curtose 64 round2 rbindA B Saída Média Mediana Dpadrão Assimetria Curtose 1 195 175 099 091 105 2 200 184 100 100 150 2 Escolha uma variável aleatória discreta Qualquer uma menos a Bernoulli a Mostre a fp dessa variável R A distribuição de probabilidade discreta escolhida foi a distribuição Geométrica Se 𝑋 𝐺𝑒𝑜𝑝 0 𝑝 1 então a função de probabilidade fp de 𝑋 é dada por 𝑓𝑥 ℙ𝑋 𝑥 𝑝1 𝑝𝑥𝕀ℕ𝑥 onde ℕ 0 1 2 e 𝑝 é o parâmetro da distribuição b Produza uma amostra de tamanho 𝑛 você escolhe R Para produzir uma amostra de tamanho 𝑛 1000 no R utilizamos a função rgeomn p onde n e p são os argumentos da função indicando o tamanho amostral e o valor do parâmetro respectivamente O valor do parâmetro utilizado foi 𝑝 055 Código R c Obtenha o histograma R A função hist produz o histograma dos 𝑛 1000 valores simulados de 𝑋 𝐺𝑒𝑜055 Código R Gama Distribution n 1000 setseed2 x rgeomn 055 headx Saída 1 2 0 0 0 0 2 histx breaks seq0 10 1 probability T col white Saída d Obtenha a distribuição acumulada empírica R A função plotecdfx plota a distribuição acumulada empírica dos valores Código R e Calcule as estatísticas descritivas média mediana desvio padrão coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose Código R f Compare com os valores populacionais dessas estatísticas Código R Percebese que os valores amostrais estimados são próximos dos valores populacionais com exceção do coeficiente de curtose plotecdfx Saída A cbindMédia meanx Mediana medianx Dpadrão sdx Assimetria skewnessx Curtose kurtosisx round2 A Saída Média Mediana Dpadrão Assimetria Curtose 1 09 0 135 242 876 p 055 B cbindMédia 1pp Mediana round1 log21p 1 Dpadrão sqrt1pp Assimetria 2psqrt1p Curtose 6 p2 1p round2 rbindA B Saída Média Mediana Dpadrão Assimetria Curtose 1 090 0 135 242 876 2 082 0 122 216 667