Conceitos Hidráulicos e Equação de Bernoulli

Saneamento Básico Prof Dra Monalisa Franco monalisafrancoanhembibr Aula CONCEITOS HIDRÁULICOS Conservação de energia Equação de Bernoulli Número de Reynolds Perda de carga Equação Universal de perda de carga 1 Regimes de escoamento Condutos livres e forçados Condutos livres Tubulação aberta canais e drenagem Tubulação fechada Esgoto ou Águas Pluviais Seção parcial Pressão atmosférica sobre a superfície do líquido Escoamento por gravidade Condutos livres e forçados Condutos forçados Tubulação fechada Seção plena Pressão sobre o líquido diferente da Pressão atmosférica Escoamento pode ser por gravidade ou bombeamento Condutos livres e forçados forçado livre Condutos livres e forçados forçado livre Tipos de Escoamento Regime Permanente As condições do fluidos são invariáveis em relação ao tempo V1t1 V1t2 V1t3 Tipos de Escoamento Regime Não Permanente As condições do fluidos são VARIÁVEIS em relação ao tempo V1t1 V1t2 V1t3 Tipos de Escoamento Regime Permanente Uniforme As condições do fluidos são invariáveis em cada ponto em relação ao tempo Também não há variação nas seções ao longo do tempo V1t1 V2t1 V3t1 V1t2 V2t2 V3t2 V1 V2 V3 Tipos de Escoamento Regime Permanente Variado As condições do fluido não variam em relação ao tempo mas sim no espaço V1t1 V2t1 V3t1 V1t2 V2t2 V3t2 V1t1 V1 t2 V2t1 V2 t2 V3t1 V3 t2 Tipos de Escoamento Regime Não Permanente Uniforme As condições do fluidos invariáveis em cada ponto em relação ao tempo NA variável V1t1 V2t1 V3t1 V1t2 V2t2 V3t2 V1t1 V1 t2 V2t1 V2 t2 V3t1 V3 t2 Tipos de Escoamento Regime Não Permanente Variado As condições do fluido variam em relação ao tempo e espaço V1t1 V2t1 V3t1 V1t2 V2t2 V3t2 V1t1 V1 t2 V2t1 V2 t2 V3t1 V3 t2 2 Equação de Bernoulli e balanço de energia para fluidos ideais Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli século XVIII foi um matemático suíço membro de uma família de talentosos matemáticos físicos e filósofos É particularmente lembrado por suas aplicações da matemática à mecânica especialmente a mecânica de fluidos e pelo seu trabalho pioneiro em probabilidade e estatística e o primeiro a entender a pressão atmosférica em termos moleculares A quantidade total de energia em um sistema isolado permanece constante energia não pode ser criada nem destruída ela apenas pode se transformar de uma forma para outra A energia pode acumular em diversas formas Energia potencial Energia cinética Energia pressão etc Massa também pode ser convertida em energia e viceversa Equação de Bernoulli Conservação de energia Considere um ponto dentro do fluido 3 tipos de energia mecânica podem ser associados a este ponto 1 Energia potencial gravitacional Ep é o estado de energia associado à altura do ponto fluido em relação a um referencial Quanto maior a altura em relação ao referencial maior é a Ep Equação de Bernoulli Tipos de energia mecânica em um fluido 2 Energia cinética Ec é o estado de energia determinado pelo movimento do fluido Seja um sistema de massa m e velocidade V Equação de Bernoulli Tipos de energia mecânica em um fluido 3 Energia potencial devido à pressão Epr corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão no fluido Quanto maior a pressão no ponto maior é Epr A energia mecânica total E em um ponto do fluido é então dada por Equação de Bernoulli Tipos de energia mecânica em um fluido E Ec Ep Epr Deixando passar um intervalo de tempo dt uma massa infinitesimal dm1 de fluido a montante da seção 1 atravessaa e penetra no trecho 12 Equação de Bernoulli Fluidos ideais Restrições Escoamento em regime permanente Escoamento incompressível Escoamento sem atrito ou viscosidade Escoamento ao longo da linha de corrente Sem a presença de máquinas Equação de Bernoulli Fluidos ideais 2 constante 2 p V z H g Restrições Escoamento em regime permanente Escoamento incompressível Escoamento sem atrito ou viscosidade Escoamento ao longo de uma linha de corrente Sem a presença de máquinas entre os pontos comparados Energia potencial devido à pressão do fluido Energia cinética Energia potencial gravitacional p pressão no ponto Nm2 peso específico Nm3 V velocidade do fluido ms g gravidade ms2 z altura relativa do ponto em relação a um plano horizontal de referência PHR m H carga do fluido m Equação de Bernoulli Fluidos ideais Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Soprar entre duas latas Bolinha e jato de água Funcionamento Chaminé Equilibrar bola com soprador httpswwwyoutubecomwatchvBW0UmTEMMAc Assistir os primeiros 5 minutos Equação de Bernoulli Fluidos ideais p pressão no ponto Nm2 peso específico Nm3 V velocidade do fluido ms g gravidade ms2 z altura relativa do ponto em relação a um plano horizontal de referência PHR m Princípio de Bernoulli para um fluxo sem viscosidade um aumento na velocidade ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido Equação de Bernoulli Fluidos ideais p pressão no ponto Nm2 peso específico Nm3 V velocidade do fluido ms g gravidade ms2 z altura relativa do ponto em relação a um plano horizontal de referência PHR m Aplicações Escoamento em regime permanente Escoamento incompressível Escoamento sem atrito ou viscosidade Escoamento ao longo de uma linha de corrente Sem a presença de máquinas entre os pontos comparados A equação de Bernoulli é muito importante para a Mecânica dos fluidos Ela ajuda a entender diversos fenômenos da Natureza Exemplo asa de avião Exemplo bocais e difusores Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Outros exemplos Chaminés as chaminés são altas para aproveitar que a velocidade do vento é maior e mais constante em alturas maiores Quanto mais rapidamente sopra o vento sobre a boca da chaminé mais baixa é a pressão e maior é a diferença de pressão entre a base e a boca da chaminé Consequentemente os gases são extraídos mais rapidamente Cortina voando com a janela aberta 1 Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Outros exemplos Chaminés as chaminés são altas para aproveitar que a velocidade do vento é maior e mais constante em alturas maiores Quanto mais rapidamente sopra o vento sobre a boca da chaminé mais baixa é a pressão e maior é a diferença de pressão entre a base e a boca da chaminé Consequentemente os gases são extraídos mais rapidamente Cortina voando com a janela aberta se está ventando do lado de fora de uma casa uma cortina em uma janela aberta irá voar para fora pois a velocidade do lado externo é maior resultando em uma pressão menor se comparado com o lado interno da casa Carro em movimento com janela aberta 1 Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Outros exemplos Chaminés as chaminés são altas para aproveitar que a velocidade do vento é maior e mais constante em alturas maiores Quanto mais rapidamente sopra o vento sobre a boca da chaminé mais baixa é a pressão e maior é a diferença de pressão entre a base e a boca da chaminé Consequentemente os gases são extraídos mais rapidamente Cortina voando com a janela aberta se está ventando do lado de fora de uma casa uma cortina em uma janela aberta irá voar para fora pois a velocidade do lado externo é maior resultando em uma pressão menor se comparado com o lado interno da casa Carro em movimento com janela aberta quando o vidro da janela de um carro é aberto a pressão reduzida causada pelo ar que se move rapidamente no lado externo do veículo faz os objetos voarem para fora 1 Equação de Bernoulli Exemplos de aplicação Equação de Bernoulli Tubo de Venturi Equação de Bernoulli Tubo de Venturi 21 Aplicação Fluidos ideais De uma pequena barragem parte uma canalização de 250 mm de diâmetro com poucos metros de extensão havendo depois uma redução para 125 mm do tubo de 125 mm a água passa para a atmosfera na forma de jato A vazão foi medida encontrandose 105 Ls Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 250 mm a altura H na barragem a potência bruta do jato 𝑍1 𝑃1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 𝑍2 𝑃2 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 𝑃1 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 𝑉1 2 2𝑔 𝑉1 𝑄 𝐴 0105 𝜋 025² 4 2139 ms 𝑉2 𝑄 𝐴 0105 𝜋 0125² 4 8 556 𝑚𝑠 𝑃1 𝛾 85562 2 981 21392 2 981 3497 m 𝑃 3497 9810 34 305 57 𝑃𝑎 343 𝐾𝑃𝑎 𝐻 𝑃1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 3497 0233 373 𝑚 𝑃𝑜𝑡 𝑄 𝐻 75 105 373 75 52 cv P2 Patm 0 3 Experimento e Número de Reynolds Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Consiste na injeção de um corante líquido na posição central de um escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transparente O comportamento do filete de corante ao longo do escoamento no tubo define três características distintas Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Escoamento Laminar Escoamento de Transição Escoamento Turbulento Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Regime Laminar O corante não se mistura com o fluido permanecendo na forma de um filete no centro do tubo O escoamento processase sem provocar mistura transversal entre escoamento e o filete observável de forma macroscópica Como não há mistura o escoamento aparenta ocorrer como se lâminas de fluido deslizassem umas sobre as outras escoamento laminar ocorre quando as partículas de um fluido movemse ao longo de trajetórias bem definidas apresentando lâminas ou camadas No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento de turbulência Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidade e em fluidos que apresentam grande viscosidade Classificação dos escoamentos Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Regime de Transição O filete apresenta alguma mistura com o fluido deixando de ser retilíneo sofrendo ondas Essa situação ocorre para uma pequena gama de velocidades e liga o regime laminar a outra forma mais caótica de escoamento Foi considerado um estágio intermediário entre o regime laminar e o turbulento Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Regime Turbulento O filete apresenta uma mistura transversal intensa com dissipação rápida São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da massa fluida que provocam o deslocamento de moléculas entre as diferentes camadas do fluido perceptíveis macroscopicamente Há mistura intensa e movimentação desordenada escoamento de transição Representa a passagem do escoamento laminar para o escoamento turbulento ou viceversa Classificação dos escoamentos escoamento turbulento ocorre quando as partículas de um fluido não movemse ao longo de trajetórias bem definidas ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares Este tipo de escoamento é comum na água cuja a viscosidade é relativamente baixa Classificação do Escoamento Experimento de Reynolds Reynolds observou que o fenômeno estudado dependia das seguintes variáveis ρ massa específica do fluido v velocidade média do escoamento D diâmetro interno da tubulação μ viscosidade do fluido Escoamento laminar x escoamento turbulento depende da massa específica velocidade dimensão característica e viscosidade Experiência de Reynolds Reynolds verificou que Re 2000 Escoamento Laminar 2000 Re 4000 Escoamento de transição Re 4000 Escoamento turbulento Experiência de Reynolds 𝑅𝑒 𝜌 𝑉 𝐷 𝜇 𝑉 𝐷 𝑣 Onde Re Número de Reynolds D Diâmetro do tubo ρ massa específica 𝑣 viscosidade cinemática µ viscosidade dinâmica V velocidade 31 Aplicação Um fluido mantido à temperatura de 20C escoa à 8 Ls por uma tubulação de 100mm Determine o regime de escoamento se o fluido for a Hidrogênio 108104 m²s b Ar atmosférico 151105 m²s c Gasolina 406107 m²s d Água 102106 m²s e Mercúrio 115107 m²s f Glicerina 118103 m²s 𝑄 8 𝐿 𝑠 0008 𝑚3 𝑠 𝐷 100 𝑚𝑚 01 𝑚 𝑉 𝑄 𝐴 0008 π 012 4 𝑉 1019 𝑚𝑠 𝑎 𝑅𝑒 𝑉 𝐷 𝑣 1019 01 108 104 9435 𝑏 𝑅𝑒 𝑉 𝐷 𝑣 1019 01 151 105 6 74834 Um fluido mantido à temperatura de 20C escoa à 8 Ls por uma tubulação de 100mm Determine o regime de escoamento se o fluido for a Hidrogênio 108104 m²s b Ar atmosférico 151105 m²s c Gasolina 406107 m²s d Água 102106 m²s e Mercúrio 115107 m²s f Glicerina 118103 m²s Repostas a 943 Laminar b 6744 Turbulento c 250837 Turbulento d 99849 Turbulento e 885565 Turbulento f 86 Laminar 31 Aplicação O número de Reynolds O fluxo laminar ocorre em um tubo circular quando o escoamento acontece de forma laminar ordenada No fluxo turbulento o movimento turbulento faz as partículas de água Mais lentas adjacentes à parede do tubo se misturarem continuamente com as partículas em alta velocidade que estão no meio O número de Reynolds Em condições normais a água perde energia à medida que escoa ao longo de um tubo Grande parte da perda de energia é causada por 1 atrito contra as paredes do tubo 2 dissipação por forças viscosas ao longo do escoamento A figura anterior deixa evidente que o fluxo turbulento apresenta maior gradiente de velocidade da parede do que o fluxo laminar portanto maior perda de atrito pode ser esperada conforme o número de Reynolds aumenta 4 Conservação de Energia em fluidos Reais Perda de carga Equação de Bernoulli Fluidos ideais p pressão no ponto Nm2 peso específico Nm3 V velocidade do fluido ms g gravidade ms2 z altura relativa do ponto em relação a um plano horizontal de referência PHR m Aplicações Escoamento em regime permanente Escoamento incompressível Escoamento sem atrito ou viscosidade Escoamento ao longo de uma linha de corrente Sem a presença de máquinas entre os pontos comparados Equação de Bernoulli Fluidos REAIS Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS 65 Energia no escoamento dos tubosFORÇADOS CONDUITOS SOB PRESSÃO Pressão em Conduto Sem Escoamento CONDUITOS SOB PRESSÃO Pressão em Conduto Com Escoamento P1 P atmosférica P2 300 KPa v1 0 abastecimento constante v2 Z1 50 m Z2 0 Q 5m³h D 25mm Baseado nos dados acima Determine a perda de carga H no sistema 41 Aplicação Um tanque suspenso mostrado abaixo está sendo drenado para um local de armazenamento subterrâneo através de um tubo de 03048 m de diâmetro A vazão é de 02 m3s e a perda de carga é de 351 m Determine o nível da água no tanque g 981 ms2 R 237 m 1524 m PHR 42 Aplicação 5 Tipos de Perda de carga Equações de perda de carga contínua A perda de carga energia em escoamento forçado em dutos pode ocorrer de duas formas diferentes Perda de carga distribuída é a perda que ocorre em trechos retos de condutos devido ao atrito viscoso do fluido ou rugosidade das paredes do tubo Perda de carga localizada ou singular é a perda que ocorre devido a uma mudança brusca no escoamento do fluido Mudança de direção curvas ou cotovelos Mudança no tamanho da seção alargamento ou estreitamento Presença de dispositivos válvulas medidores de vazão flanges etc 51 Perda de carga perdas totais perdas distribuídas perdas localizadas 𝐻𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐻𝑑𝑖𝑠𝑡 𝐻𝐿𝑜𝑐 Exemplo perdas totais perdas distribuídas perdas localizadas 𝐻𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐻𝑑𝑖𝑠𝑡 𝐻𝐿𝑜𝑐 51 Perda de carga 52 Perda de carga contínua Perda de Carga Contínua Distribuída ao longo do comprimento da canalização Ocorre devido ao atrito entre as diversas camadas do escoamento e ainda ao atrito entre o fluido e as paredes do conduito efeitos da viscosidade e da rugosidade Hagen Poiseuille 𝐻 32 𝜇 𝐿 𝑉 𝛾 𝐷2 𝐻 128 𝜋 𝑔 𝜗 𝐿 𝑄 𝐷4 𝐻 perda de carga contínuam 𝜇 viscosidade dinâmica Nsm² 𝐿 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚 𝑉 velocidade média ms 𝛾 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑁𝑚³ 𝐷 Diâmetro m 𝜗 viscosidade cinemática m²s 521 Perda de carga Contínua Escoamento laminar Equação Universal ou Equação de Darcy Weisbach 𝐻 𝑓 𝐿 𝐷 𝑉2 2 𝑔 𝐻 8 𝑓 𝐿 𝑄2 𝜋2 𝑔 𝐷5 𝐻 perda de carga contínua m f fator de atrito adimensional 𝐿 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚 𝐷 Diâmetro m 𝑉 velocidade média ms g aceleração da gravidade ms² 522 Perda de carga Contínua Escoamento turbulento Igualandose a equação de HagenPouseuille com a equação de DarcyWeisbach 𝑓 𝐿 𝐷 𝑉2 2 𝑔 32 𝜇 𝐿 𝑉 𝛾 𝐷2 𝑓 2 𝑔 32 𝜇 𝛾 𝑉 𝐷 𝑓 64 𝑔 𝜇 𝜌 𝑔 𝑉 𝐷 𝑓 64 𝑅𝑒 Relação utilizável apenas para regimes laminares Para a equação Universal é necessária a estimação do valor de f fator de atrito Se Regime Laminar f varia em função do Número de Reynolds f64Re Se Regime de Transição e Turbulento f varia em função do Número de Reynolds e da rugosidade relativa Se Regime Turbulento f varia em função da rugosidade relativa 𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑘 𝐷 Onde K rugosidade absoluta D Diâmetro Um ensaio de campo de uma adutora de 6 de diâmetro na qual a vazão era de 265 ls foi feito medindose a pressão em dois pontos A e B que se distanciam 1017m com uma diferença topográfica igual a 30m cota em A mais baixa que B A pressão em A foi igual a 684104 Nm² e em B 206104 Nm² Determine o coeficiente de atrito f da adutora Assuma 1 0025m g 98 ms² 𝛾 9800 Nm³ 𝜗água 20C 10 x 106 m²s Resposta f 0025 Fonte Adaptado de Porto Rodrigo de Melo Hidráulica Básica 4ª edição São Carlos EESC USP Pag 52 53 Aplicação Diâmetro 6 polegadas Q 265 Ls L 1017 m Zb 30 m Pa 684104 Nm² Pb 206104 Nm² PHR a b 30 m 1º Descobrir se escoamento é Laminar ou turbulento 2º Descobrir valor de perda de carga Área Velocidade 𝑧1 𝑃1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 𝑧2 𝑃2 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 𝐻12 53 Aplicação Diâmetro 6 polegadas Q 265 Ls L 1017 m Zb 30 m Pa 684104 Nm² Pb 206104 Nm² PHR a b 30 m 3º Descobrir valor de f 𝐻 8 𝑓 𝐿 𝑄2 𝜋2 𝑔 𝐷5 𝐻 𝑓 𝐿 𝐷 𝑉2 2 𝑔 53 Aplicação