Atividade Unidade 4 - Matemática e Física

Atividade 4 1 Sejam 𝐚 e 𝐛 vetores em um plano cujo ponto O é a origem comum a ambos. Ao vetor 𝐛 é permitido girar em torno de O, de modo que define um ângulo 𝜃 com 𝐚. O produto escalar entre 𝐚 e 𝐛 é representado pela relação: 𝐚 ⋅ 𝐛 = |𝐚| ⋅ |𝐛| ⋅ cos 𝜃, enquanto que 𝐚 × 𝐛 (Produto vetorial entre 𝐚 e 𝐛) é representado pela relação: 𝐚 × 𝐛 = |𝐚| ⋅ |𝐛| ⋅ sin 𝜃 (k versor) onde k é um versor unitário (ou possui módulo igual a |𝐚| ⋅ |𝐛| ⋅ sin 𝜃, que é 𝐚 × 𝐛?). Considere os gráficos seguintes: Fonte: Elaborado pelo autor. Os valores numéricos dos produtos 𝐚 . 𝐛 e 𝐚 × 𝐛 podem ser representados, em função de 𝜃, respectivamente, pelos gráficos: Resposta correta. Justificativa: As variações numéricas dos produtos escalar e vetorial entre e são, respectivamente, cossenoidal ou senoidal. Ambas as variáveis possuem amplitude 2ab, considerando-se que o =o a = b, portanto, estão representados pelos gráficos IV e III. IV x III. 1.1 IV e III. Atividade 4 2 Dados dois vetores, o produto escalar entre eles é representado e definido por 𝐀 𝐁 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑧 = |𝐀| ⋅ |𝐁| ⋅ cos𝜃, em que 𝜃 é o ângulo subentendido entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k, -1, 20k), e R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos. Com base na proposição, analise as afirmativas a seguir e assinale (V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k. II. Os pontos P, Q e R não determinam um triângulo. III. (𝑄 − 𝑅) se situa na direção do vetor P. IV. 𝑘 > 1, 3 se 𝑘, então a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. Resposta correta. Justificativa: Não há valor de k para o qual III não vale, o que implica que os pontos P e Q são distintos e que os pontos distintos em R3 determinam um triângulo. Se k > 1 ? (0, vec, 100) = eso meg conclusio é ao de que os vetores que originam com ao pontem, o triângulo é retângulo em R mas a sua pode ser Veia Loc/contr_error: null retângulo!, ) cada. Basta No apreci [ver se de) respectivamente continuib1 Area", keogo torna ______ seguit, Ve Ia, 25 e Apino um Válida: vet Mach a™ 52 360 Atividade 4 3 Nos estudos de Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuídas uma direção e um sentido. Não é suficiente especificarmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas são denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre grandezas vetoriais, não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora. A seguir, assinale a alternativa que lista grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo uso direto de uma calculadora. Resposta correta. Justificativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica são denominadas escalares. Para defini-las completamente, basta conhecermos os valores numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo, pode ser conhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em uma calculadora. Basta que as unidades de medida utilizadas sejam as mesmas. nenhum tentativa massa, potência, resistência elétrica. Atividade 4 A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores \(\overrightarrow{v_{1}}\) e \(\overrightarrow{v_{2}}\) são vetores caraterísticos e possuem módulo de valor unitário. Fonte: Elaborado pelo autor Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente: Resposta correta. Justificativa: V_{m} = \frac{\|\overrightarrow{v_{2}}\| - \|\overrightarrow{v_{1}}\|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\sqrt{2}\right){2} \Delta t = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\sqrt{2}\right){2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \overrightarrow{v}_{m} = \overrightarrow{v}_{m} \overrightarrow{v}_{m} \approx \frac{3}{sin\left(-\sin\right)-\left(-\sin\right)} = \sqrt{-\sin\left(-3\right)} \frac{\sin}{\overrightarrow{v}_{2}} \overrightarrow{v}_{m}\, A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período \left(\overrightarrow{v}_{m}\right) m/s. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período = 4,7 \frac{m}{s}. = 47 m/s. Resultado correto: 3,7 m/s ≠ 4,7 m/s. Atividade 4 Pela geometria euclidiana, três pontos distintos P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}\) é definido \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}\), em que θ é o valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas dos segmentos em um sistema de eixos cartesianos: A(3, 9, 3), B(0, −3) e C(6, 0, 4). Com base nessa proposta, assinale as assertivas a seguir e a relação proposta entre elas. I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo. PORQUE II. O produto escalar \(AB \cdot BC\) ≠ 0. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta correta. Justificativa: São três pontos distintos em \({R}^{2}\) o que define os vértices de um triângulo. O produto escalar \begin{vmatrix} {AB \cdot BC} = 0 \end{vmatrix} A = (3, 2) A = (-6, 6) 0 = (6 - 0)(-6) BC = (0, -3) 0 = 0\ , então \bm{.} Significa que os vetores {(0, 3, 0), (-6)} = 3 = 0 \begin{vmatrix} 0\ , significa\ que\ o\ nível\ ii \end{vmatrix} , são ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B. Considerando que I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Atividade 4 Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é a origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo \(\|\overrightarrow{v_1}\| = 1 m/s\), inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é \(\|\overrightarrow{v_2}\| = \sqrt{3} \frac{m}{s}\). Em t = 0 s, a partícula 1 está 20 m de O, horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1. Fonte: Elaborado pelo autor A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a(s) verdadeira(s) e (F) para a(s) falsa(s). I. ( ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: \(r_1(t) = \left(20 - \frac{35t}{\sqrt{2}} + \left(20 - \frac{3t}{\sqrt{2}}\right)\right).\) II. ( ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: \(r_2(t) = \left(20 - \sqrt{3}\right) + \left(\sqrt{3}\frac{t}{\sqrt{2}}\right).\) III. ( ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si. IV ( ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x =0 em instantes diferentes. A seguir, assinale a alternativa que representa a sequência correta. Resposta correta. Justificativa: Para partícula 1 , 20t - t^2 = 20 > x ; Para t = 7 > - 20(7) + 20 t - t^2 = 0. Logo: 20t - t^2 = 20(7) + 20(7) - 49 20t = (20 - x) Então: x - (20 - 20t) = -20(t) +10 > 20 = 0 Para partícula 2: x = -20(t) +10 > 20 = 0. Como ele atinge no momento t ao qual as partículas nunca se chocam. Para x = -20(t) + 20 = -20. Para 20 - 2(0 = t (+x) +10 20 = 20 . x = 20 20t x = 0 e anterior à passagem da partícula 2 pelo mesma coordenada. x = 10 ou seja, a passagem da partícula 1 pela coordenada x = 0 anterior à passagem da partícula 2 pela mesma coordenada. Resposta correta V . F . V . F Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema matriz de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de um sistema de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixo XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores d⃗ representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos. De acordo com o enunciado e aplicada pela figura apresentada, analise as assertões a seguir e a relação proposta entre elas. I. O vetor d⃗ representa a trajetória integral da formiga. PORQUE II. O vetor d⃗ possui origem em (0, 0), e o término na posição final. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento possui origem nas coordenadas em que o movimento do corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado. Resposta correta As assertões I e II são proposições falsas. Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto (a⃗ ∙ b⃗ × c⃗ ) está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(2, -2, -2). Eles definem os vetores P⃗Q = (1, -1, 1), P⃗R = (1, -3, -1) e P⃗S = (2, -1, -3), dentre outros. A respeito desses vetores, analise as assertões a seguir e a relação proposta entre elas. I. Pertencem ao mesmo plano. PORQUE ( P⃗R × P⃗S ) . P⃗Q = 0 A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto ( P⃗R × P⃗S ) . P⃗Q X = 0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares. Resposta correta As assertões I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Suponha que o vetor posição 𝑟 de uma partícula 𝑃 em movimento no espaço ℝ3 seja dado, em função do tempo, pela expressão 𝑟(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)𝐢 + 𝐵𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)𝐣 + 𝐶𝐭𝐤. Os vetores 𝐢, 𝐣 e 𝐤 possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de um sistema cartesiano de coordenadas. A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. O componente z da aceleração vetorial é zero. II. A velocidade vetorial é: \(\vec{v}(t) = −2𝜋𝐴𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)\hat{i} + 2𝜋𝐵cos(2𝜋𝑡)\hat{j} + 𝐶\hat{k}. \) III. A posição inicial da partícula é 𝐴𝐢 + 𝐂𝐤. IV. A trajetória da partícula é helicoidal. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. Resposta correta. Justificativa: 𝑟(𝑡) = (-𝜋 + 2𝜋𝑡)𝐢 + 𝑐𝐣 𝑟(𝑡) = 𝐶𝐭𝐤 𝑣(𝑡) = (-𝜋 + 2𝜋𝑡)𝐣 𝑣(𝑡) = 2𝜋𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)𝐢 𝑎(𝑡) = 𝑐𝐣 𝑎(𝑡) = 𝐶𝐣 [Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cosenoidais ou senoídais. Portanto, a partícula descreve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.] V, V, V, V.