Atividade Unidade 4 - Matemática e Física

Atividade 4 1 Sejam x e g vetores em um plano cuja ponto O é origem comum a ambos. Ao vetor g é permitido girar em torno de O, de modo que define um ângulo a com Q. O produto escalar e x * g é representado pela relação x * g = xg cos α = adx + d3 + c esa v e i módulo 1: (g) e O produto vetorial entre x e g é representado pela notação x (g) = (r1sin a)} = mıysüak) i seq; me se16ny módulo | ay |. seg rn c e (1 y Considere os gráficos seguintes: Os valores numéricos dos produtos x * g e x (g) podem ser representados, em função de e, respectivamente, pelos gráficos: Resposta correta. Justificativa: As variações numéricas do produto escalar e vetorial entre e e são, respectivamente, cosenoidal ou senoidal. Ambas as variações possuem amplitude e, assim, considerando-se que was c = b, portanto, estão representados pelo gráficos IV e III. Resposta correta c) IV e III. Atividade 4 2 Dado dos vetores, o produto escalar entre eles é representado e definido por a * b = “a solidariedade das f ol 2,- lo, } = 'eil cosp. em que e é o ângulo subtendido entre eles:. Suponha os pontos de coordenadas P(10, 10, 0); Q(10x +k1 -20k, 20) e R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos. Com base nos pontos, assinale as afirmativas a seguir e assinale V (para a(s) verdadeira(s)) ou F (para a(s) falsa(s)). I. Os pontos P e Q e R são distintos em E para qualquer x. II. O produto de PQ e a são n large em relação a k. III. | sec k | <1, então o triãngulo é um retângulo em relação P. IV. | x- k | seca área do triãngulo é aproximadamente 500 u.a. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. Resposta correta. Justificativa: Não há valor de k para o qual e cujo que implica que os pontos P, Q e R são distintos e que pontos distintos em R 3 definem um triãngulo. Se k = 1 ? Px + secz e (p ue,. Lio . isto y q wüpO es F s seumingol a qator c conto alinhado. e J, je then at sammen. à condição é a de que se um vetor aorgaangelha única ser mesmo alte p, enquanto, o triãngulo é retãngulo em R 2 e dono parte ser eu consideraste) Área . ) . x, > 2! sie. x a quantidades 250 Atividade 4 v, v, v, f Atividade 4 3 Nos estudos da Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuída uma direção e um sentido. Não é suficiente especificarmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas são denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre grandezas vetoriais, não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora. A seguir, assinale a alternativa que tais grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo uso direto de uma calculadora. Resposta correta. Justificativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica são denominadas escalares. Para defini-las completamente, basta conhecermos os valores numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo, pode ser desconhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em uma calculadora. Basta que as unidades de medida utilizadas sejam as mesmas. Massa, potência, resistência elétrica. Atividade 4 1 A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores \( \vec{v} \) e \( \vec{a} \) são vetores constantes e possuem módulo de valor variá-vel. Fonte: Elaborado pelo autor Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente. Resposta correta. Justificativa: Sendo R = 2m 2πR/6 2π/3 2 = \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3π}{6} - \dfrac{\pi}{3} então o módulo da velocidade vetorial média = 2 = \dfrac{\pi}{2} = 4,7 \text{m/s} 4\pi/6 3\pi/6 \dfrac{\pi}{3} u.c. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período = \dfrac{3π}{2}/1 = 4,7 \text{m/s}. = 9,7m/s ≃ 4,7 m/s. Atividade 4 5 Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}\) define \([PQ], [PR]\) em que θ é o valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas no sistema eu-los aos outros e assinale se adequada a relação proposta entre eles. Os pontos P e B definem um triângulo retângulo. PORQUE 1. O produto escalar \( \vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0 \) Resposta correta. Justificativa: São três pontos distintos em \(\mathbb{R}^{2} \) O que define os vértices de um triângulo. O produto escalar \(\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = 0\) =(-8 - 6) = (-6 - 6) Atividade 0⋅0+(-2)⋅(-2) = -6 (-, 3) = ((-6) ⋅ 3) =((((0 - (0, –3) − -\[(\vec{Q}) - 0 =(-6 + (0) = (-3) = 6\). Significa que os vetores são ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B. As assertões I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. Atividade 4 6 Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é origem de um sistema de coor- nadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo ’ \(|\vec{v} = 1^{m/s}\)| Inclinação de 45° e a velocidade da partícula 2 é \\displaystyle \\dfrac{\dfrac{-\sqrt{2} + \dfrac{\sqrt{2} }}{1 ” }} eo = 1\nm = 1 तत = 0, a partícula 1 dista 20 em deg. horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1. Fonte: Elaborado pelo autor A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale \( V \) para a(s) verdadeira(s) e \( F \) para a(s) falsa(s). I. ( ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: \( \vec{r}(t) = (20 − \dfrac{3}{5} t)\hat{i} − \dfrac{2}{5} t\hat{j} \). II. ( ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: \( \vec{r}(t) = (20 − \dfrac{3}{5} )\hat{i} + \dfrac{3}{5} t\hat{j} \). III. ( ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si. IV. ( ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: Resposta correta. Justificativa. Para a partícula 1. x₁ = 20t - 20t² -4t² + 0t + 20 = 0 20 = 4t² 5 = t² \sqrt{5} \pm\sqrt{5} \sqrt{5} \pm\sqrt{5} Como não existe um momento t no qual as partículas nunca se chocam. Para Em que as partículas nunca se chocam. Para y₁ = -20t -20t + 0 = -20t = Para y = \frac{10}{5} x₁ = 10t -20t + 0 = -20t + 0 <= O passao b. Ou seja, a passagem da partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma coordenada. V, F, V, F. Linha exibição de formiga registra os movimentos em um sistema material de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema do eixo XY. Considere que uma delas executa movimento de acordo com o desenho superior. Os vetores \overrightarrow{q} representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos. Mistura Formigueiro \overrightarrow{q} \overrightarrow{q} \overrightarrow{(q)} Posição final Formigueiro Posição De acordo com o enunciado e apoiada pela figura apresentada, analise as assertivas a seguir e a relação proposta entre elas. I. O vetor \overrightarrow{q} representa a trajetória integral da formiga. PORQUE II. O vetor \overrightarrow{q} possui origem em (0, 0) e término na posição final. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento possui origem nas coordenadas em que o movimento do corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado. As assertivas I e II são proposições falsas. Segundo uma propriedade de geometria vetorial, o produto misto (\vec{d} \overrightarrow{x}) está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ³: P(1, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, 0, 0) e S ≠ S(2, 2, -2). Eles definem os vetores \overrightarrow{PQ} = (-1, 1, 1), \overrightarrow{PR} = (1, -1, 1), \overrightarrow{PS} = (2, 1, 0), dentre outros. I. Apresento esses vetores, analise as assertivas a seguir e a relação proposta entre elas. II. Pertencem ao mesmo plano PORQUE III. \overrightarrow{(PQ \times PS)} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0 A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto \overrightarrow{(PR \times PS)} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0 X = 0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares. As assertivas I e II são proposições verdadeiras, a III é uma justificativa correta da I. Suponha que o vetor posição \( \vec{r} \) de uma partícula P em movimento no espaço \({\mathbb{R}}^3\) seja dado, em função do tempo, pela expressão \( \vec{r}(t) = A\cos(2\pi t)\ \hat{i} + A\sen(2\pi t)\ \hat{j} + ct\ \hat{k} \). Os vetores \( \hat{i} \) e \( \hat{j} \) possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y e z de um sistema cartesiano de coordenadas. A partir do escopo acima, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. O componente axial do vetor aceleração é zero. II. A velocidade vetorial é igual a \( \frac {d\vec{r}}{dt} = -2\pi A\sen(2\pi t)\ \hat{i} + 2\pi A\cos(2\pi t)\ \hat{j} + c\ \hat{k} \). III. A posição inicial da partícula é \( A\ \hat{i} \). IV. A trajetória da partícula é helicoidal. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. Resposta correta. Justificativa: \( a(t) = \frac {d\vec{v}}{dt} = -4\pi^2 A\cos(2\pi t) \hat{i} - 4\pi^2 A\sen(2\pi t) \hat{j} \) \( \vec{v}(t) = \frac {d\vec{r}}{dt} = (-2\pi A\sen(2\pi t))\ \hat{i} + (2\pi A\cos(2\pi t))\ \hat{j} + (c)\ \hat{k} \) \( \vec{v}(t) = \frac {d\vec{r}}{dt} = \left( -2\pi A\sen(2\pi t) \right) + \left( 2\pi A\cos(2\pi t) \right) + c \ \Rightarrow 0 = -4\pi^2 A + 0 + 0= 0 \ \Rightarrow \vec{a}(t) = 0 = A \) Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula descreve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY. V, V, V, V