Analise de Series Temporais: Testes de Adequacao e Diagnostico de Modelos ARIMA

ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Identificar os testes de adequação de modelos ARIMA Usar resíduos para a modificação de modelos ARIMA Reconhecer as aplicações envolvendo o diagnóstico de modelos ARIMA Introdução Neste capítulo você avançará mais um degrau quanto à aplicação de análise de séries temporais Você aprenderá como testar qual o melhor ajuste a sua série de dados para que assim possa realizar previsões em séries temporais Este é um ponto fundamental na análise de séries temporais já que nessa etapa se verifica o ajuste mais adequado aos dados investigados para posterior projeção Testes de adequação de modelos ARIMA Após estimar o modelo é preciso verificar se ele representa ou não adequa damente os dados Ainda veremos que qualquer insuficiência revelada pode sugerir um modelo alternativo como adequado Uma técnica que pode ser utilizada se suspeitarmos que um modelo mais elaborado contendo mais parâmetros é necessário é o superajustamento Estimamos um modelo com parâmetros extras e examinamos se estes são significativos bem como se sua inclusão diminui significativamente a variância residual Esse método é útil Diagnóstico de modelos ARIMA Juliane Silveira Freire da Silva quando sabemos a priori em que direção pode estar ocorrendo a inadequação do modelo A verificação pode ser feita pela análise dos resíduos Suponha que o modelo ajustado seja ϕBWt θBat Com Wt dZt Se este modelo for verdadeiro então os erros verdadeiros at θ 1B ϕBWt constituirão um ruído branco MORETIN 2011 at é uma sequência aleatória Supõese que as variáveis aleatórias at sejam não correlacionadas tenham média zero e variância constante Eat 0 t Eat 2 σa 2 t Eatas 0 s t A série at com as características apresentadas é conhecida como ruído branco PORTAL ACTION 2020 Os testes de diagnóstico de um modelo ajustado a uma série temporal se baseiam em geral nas autocorrelações estimadas dos resíduos Teste de autocorrelação residual Estimados ϕ e θ as quantidades na seguinte equação at θ 1Bϕ BWt são chamadas de resíduos estimados ou simplesmente resíduos Se o modelo for adequado os valores estimados de at deverão estar próximos dos at e portanto ser aproximadamente não correlacionados Se indicarmos por r k as autocorrelações dos resíduos at então deveríamos ter r k 0 Em particular deveríamos ter Diagnóstico de modelos ARIMA 2 sempre supondo que o modelo ajustado é apropriado As autocorrelações r k são calculadas por Contudo o desviopadrão de r k pode ser consideravelmente menor que 1 sobretudo para pequenos valores de k como demonstrou Durbin 1970 Ele provou que para um que pode ser bem menor que 1n Outros autores em 1994 provaram que para um modelo AR1 temse que onde δij é o delta de Kronecker Daqui temos que para k grande ou moderado a variância de r k é aproximadamente 1n e as autocorrelações são não correlacionadas Lembremos que n N d De qualquer modo a comparação de r kcom os limites fornece uma indicação geral de possível quebra de comportamento de ruído branco em at com a condição de que seja lem brado que para pequenos valores de k estes limites subestimarão a signi ficância de qualquer discrepância MORETIN 2011 Diagnóstico de modelos ARIMA 3 Vale lembrar que na matemática o delta de Kroneker é definido por Teste de BoxPierceLjung Box e Pierce 1970 sugeriram um teste para as autocorrelações dos resíduos estimados que apesar de não detectar quebras específicas no comporta mento de ruído branco pode indicar se esses valores são muito altos Uma variação desse teste foi sugerida por Ljung e Box 1979 Se o modelo for apropriado a estatística terá aproximadamente uma distribuição χ2 com K p q graus de liberdade A distribuição assintótica é obtida sob a hipótese que K Kn quando n e condições adicionais em Box e Pierce 1970 a saber a ψj On12 j Kn onde os ψj são os coeficientes na expansão em médias móveis de Wt Kn On12 n A hipótese de ruído branco para os resíduos é rejeitada para valores gran des de QK Em geral basta utilizar as 10 ou 15 primeiras r k MORETIN 2011 Teste da autocorrelação cruzada A verificação das autocorrelações r k fornece a informação sobre novos termos de médias móveis a serem incluídos no modelo Por exemplo se r 8 2 um termo θ8at8 deverá ser incluído no modelo Diagnóstico de modelos ARIMA 4 Outro teste capaz de auxiliar no procedimento de identificação é aquele baseado na correlação cruzada entre valores passados da série e o valor presente do ruído De fato se o modelo for adequado então at e Ztk serão não correlacionadas para k 1 logo Covat Ztk γazk 0 k 1 Isso sugere investigar a função de correlação cruzada FCC Se para um dado k0 sk0 tem valor grande isso sugere que o modelo é inadequado Em particular se o modelo tentativo é um ARp um novo termo autorregressivo no lag k0 deve ser incluído no modelo Como não conhecemos os verdadeiros at consideramos os resíduos estimados a t e os substituímos sk por Podese demonstrar que se Zt for estacionário com fac ρk então Esk 0 As relações Esk e Varsk mostram que γazk é significativamente diferente de zero se sk 2 Porém Esk e Varsk não são válidas quando usamos os resíduos estimados at Diagnóstico de modelos ARIMA 5 Contudo Hokstad 1983 mostra que 1n é um limite superior para Varsk quando Zt ARp Portanto o critério de julgar sk significante quando sk 2 é razoável exceto para k pequeno Observase que para k pequeno o mesmo problema ocorre para o teste da FAC dos resíduos Assim podemos utilizar esses resultados para construir um modelo ARMA MORETIN 2011 1 começando com um ARp de baixa ordem podemos incluir novos termos autorregressivos analisando a FCC sk 2 quando sk não se apresentar mais significativo a FAC r k pode indicar termos de médias móveis a serem incluídos 3 se termos de médias móveis são incluídos em um estágio anterior de identificação a interpretação de valores grandes para sk não é tão óbvia Uso de resíduos para a modificação de modelos ARIMA Suponha que os resíduos bt do modelo ajustado não sejam aleatórios Usando o método de identificação vistos neste capítulo podemos descrever os resíduos pelo modelo Substituindo a segunda equação na primeira temos um novo modelo cujos resíduos são aleatórios e que deverá ser ajustado aos dados O ciclo de identificação estimação e verificação deve ser continuado até que um modelo satisfatório seja encontrado MORETIN 2011 Diagnóstico de modelos ARIMA 6 Exemplo Consideremos a série CELTINS Centrais Elétricas do Tocantins no período de jan86 a abr97 T 136 observações mensais cujos gráfico e FAC estão nas Figuras 1 e 2 A partir desses dois gráficos podemos constatar que a série não é estacionária FRANCO 2010 Assim tornase necessário tomar a primeira diferença da série Figura 1 Gráfico da série e função de autocorrelação amostral Fonte Adaptada de Franco 2010 Figura 2 Gráfico da série com a primeira diferença da série Fonte Adaptada de Franco 2010 Diagnóstico de modelos ARIMA 7 A Figura 2 apresenta os gráficos referentes à primeira diferença da série Por meio do gráfico da série e da FAC podemos observar que a série se tornou estacionária Ainda na Figura 2 podemos ver que existe apenas um pico significativo no primeiro lag de cada um dos gráficos da FAC e FACP Isso nos leva ao ajuste inicial de um modelo ARIMA 111 aos dados conforme apresentado na Figura 3 Figura 3 a Modelo 1 b Ajuste do modelo ARIMA 211 c Ajuste do modelo ARIMA 112 Fonte Adaptada de Franco 2010 a b c Pelos resultados apresentados verificamos que o melhor modelo é o ARIMA 111 A Figura 4 mostra os gráficos de FAC e FACP dos resíduos nos quais podemos verificar que não existe autocorrelação na série dos ruídos Diagnóstico de modelos ARIMA 8 Figura 4 Gráfico dos resíduos do modelo ARIMA111 com a FAC e a FACP Fonte Adaptada de Franco 2010 Vemos no exemplo que com base nas estimativas dos parâmetros e na análise de resíduos é possível verificar o melhor modelo que se ajusta aos dados estudados Aplicações envolvendo diagnóstico de modelos ARIMA Como podemos perceber muitas vezes temos um modelo apropriado mas não necessariamente o melhor modelo de ajuste aos dados Por esse motivo vimos os testes de adequação dessa unidade Agora observaremos um exemplo de aplicação desse diagnóstico apre sentado por Moretin 2011 Diagnóstico de modelos ARIMA 9 Exemplo Estudando a série MICV simplesmente ICV no período de janeiro de 1970 a junho de 1979 utilizando N 114 observações testaremos se o modelo ARIMA 110 com 1 B1 ϕ1BYt θ0 at onde Yt lnICV proposto para a série lnICV é adequado A Figura 5 apresenta os valores dos parâmetros estimados e os respectivos valores da estatística t além dos valores de p e o valor do critério AIC corrigido Figura 5 Valores dos parâmetros estimados e os valores da estatística t de p e valor do critério AIC corrigido Fonte Moretin 2011 p 210211 Para os parâmetros estimados os pvalores indicam que ambos são não nulos pois foram inferiores ao nível de significância de 5 A estimativa denominada constant é na realidade a estimativa da média μ Desse modo a estimativa da constante do modelo é dada por θ 0 1 ϕ μ 0 01045 Para verificar o ajustamento do modelo analisamos os resultados apre sentados na Figura 6 da análise de resíduos do modelo ARIMA 110 ajustado à série lnICV Diagnóstico de modelos ARIMA 10 Figura 6 Análise de resíduos do modelo ARIMA 110 Fonte Moretin 2011 p 210211 Os valores das autocorrelações residuais não indicam nenhuma quebra de comportamento de ruído branco nos resíduos Os pvalores associados à estatística de LjungBox para K 12 também indicam um bom ajustamento do modelo ARIMA 110 com constante Seguese que o modelo ajustado à série lnICV é dado por 1 0 5073B1 B lnICV 0 01045 at Com σ a 2 00000908 Diagnóstico de modelos ARIMA 11 Se mais de um modelo for adequado utilizamos o princípio da parcimônia a partir do modelo que tiver a menor quantidade de parâmetros Ao final deste capítulo vimos que além das análises gráficas da função de autocorrelação e da autocorrelação parcial precisamos verificar os valoresp para checar a significância dos estimadores e no caso de mais de um modelo adequado fazer uso do princípio da parcimônia Referências BOX G E P PIERCE D A Distribution of residual autocorrelations in autoregressive integrated moving average time series models Journal of the American Statistical Association s l v 65 n 332 p 15091526 1970 FRANCO G C Apostila sobre modelagem box and jenkins Belo Horizonte UFMG 2010 Disponível em ftpestufmgbrpubglauraMet20PrevisaoModelagem20 Box20and20Jenkinspdf Acesso em 10 dez 2020 HOKSTAD P A method for diagnostic checking of time series models Journal of Time Series Analysis s l v 4 n 3 p 177184 1983 LJUNG G M BOX G E P The likelihood function of stationary autoregressivemoving average models Biometrika s l v 66 n 2 p 265270 1979 MORETIN P A Econometria financeira um curso em séries temporais financeiras 2 ed São Paulo Blucher 2011 PORTAL ACTION Modelos para séries temporais 2020 Disponível em httpwww portalactioncombrseriestemporais15modelosparaseriestemporais Acesso em 9 dez 2020 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Diagnóstico de modelos ARIMA 12 Conteúdo S A G A H SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS