Atividade 1 - Análise de Sistemas de Potência

As linhas de transmissão de energia elétrica desempenham um papel crucial no transporte de eletricidade das usinas geradoras até os centros consumidores Para estudar o comportamento dessas linhas em diferentes condições operacionais são utilizados modelos elétricos que representam as características físicas da linha como impedância capacitância e condutância Esses modelos permitem prever a queda de tensão perdas de potência e correntes de curtocircuito ao longo da linha Dependendo da extensão da linha e da frequência do sistema diferentes modelos como o modelo de linha curta média ou longa podem ser aplicados para análises precisas Explique os principais modelos de linhas de transmissão utilizados na análise de sistemas de potência e discuta em que situações cada modelo é mais adequado Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ª Prof Manoel Afonso de CaMlho línlor Coordenadtr do LOSP DEE I CTG I UFPE Editora Livraria da Física Luiz Cera Zanetta Jr Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Editora Livraria da Física São Paulo 2006 1 edição Copyright 2005 Editora Livraria da Física Editor José Roberto Marinho Capa Arte Ativa Impressão Gráfica Paym Diagramação Carlos Eduardo de Morais Pereira Ilustrações Ricardo Vianna Lacourt Revisão do texto Tânia Mano Maeta Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Zanetta Júnior Luiz Cera Fundamentos de sistemas elétricos de potência Luiz Cera Zanetta Jr 1 ed São Paulo Editora Livraria da Física 2005 Bibliografia l Centrais elétricas 2 Correntes elétricas 3 Energia elétrica Distribuição 4 Energia elétrica Sistemas 5 Energia elétrica Transmissão 6 Linhas elétricas 1 Titulo iWÍ e 1fonso de carvalho Jm ç Jenador do LDSP OEE I CTG I UFPE 051252 Índices para catálogo sistemático 1 Sistemas eletricos de potência Engenharia elétrica 6213191 ISBN 8588325411 Editora Livraria da Física Telefone 11 39363413 wwwlivrariadafisicacom br CDD621 3191 Sumário PREFÁCI0 1 CAPÍTULO 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas de Transmissão 5 11 Introdução 5 12 Condutores Utilizados em Sistemas de Potência 6 121 Resistência de Condutores 8 122 Efeito da Temperatura na Resistência dos Condutores em Corrente Contínua 9 13 Indutância de Linhas de Transmissão 11 131 Generalidades 11 132 Fluxo Concatenado com um Condutor 15 133 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Interno 15 134 Efeito Pelicular 20 135 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Externo 24 136 Adição dos Fluxos Interno e Externo 28 137 Indutância de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilíndricos 29 138 Fluxo Concatenado com um Condutor por um Grupo de Condutores 3 1 139 Linha Bifásica com Condutores Compostos ou em Feixe 34 131 OReatância Indutiva da Linha com Utilização de Tabelas 43 1311 Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Eqüilátero 45 l 312Linhas Trifásicas com Espaçamento Assimétrico 47 14 Capacitância de Linhas de Transmissão 50 141 Generalidades 50 142 Condutor Isolado 51 143 Diferença de Potencial entre Dois Pontos no Espaço 52 144 Capacitância de uma Linha Bifásica 53 145 Linha Trifásica com Espaçamento Eqüilátero 59 146 Linha Trifásica com Espaçamento Assimétrico 62 147 Consideração de Condutores Compostos ou Bundle 65 15 Referências Bibliográficas 70 CAPÍTULO 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas de Transmissão 71 21 Introdução 71 22 Cálculo de Parâmetros Incluindo o Efeito do Solo 71 221 Matriz de Impedâncias Série 72 222 Aplicação do Método das Imagens 73 223 Solo com Resistividade não Nula 76 224 Efeito dos CabosGuarda 78 225 Aplicação de Componentes Simétricas 83 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 23 Matriz de Capacitâncias 88 231 Consideração dos CabosGuarda 95 23 2 Aplicação das Componentes Simétricas no Cálculo de Capacitância 98 24 Linhas de Transmissão com Circuitos em Paralelo e Cabosguarda 100 25 Cálculo Computacional de Parâmetros de Linhas de Transmissão 114 251 Cálculo da Impedância Série Matriz de Impedâncias 114 252 Cálculo da Matriz de Admitâncias Capacitiva 118 26 Referências Bibliográficas 121 CAPÍTULO 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 123 31 Introdução 123 32 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em uma Linha de Transmissão 123 33 Impedância Característica de uma Linha de Transmissão 127 34 Regime Permanente em Linhas de Transmissão 127 341 Modelo de Linhas de Transmissão com Comprimento Finito 130 342 Quadripolo Equivalente 133 343 Modelo rr Equivalente de uma Linha Genérica Linha Longa 134 344 ModelorrNominal 140 345 Modelo para Linhas Curtas 141 346 Modelo T Nominal 142 35 Algumas Propriedades de Quadripolos 143 351 Associação em Cascata de Quadripolos 143 352 Associação de Qudripolos em Paralelo 144 353 Representação de Elementos Concentrados Através de Quadripolos 145 36 Transmissão de Potência 146 3 7 Compensação Reativa de Linhas de Transmissão 150 3 7 1 Linha de Transmissão em Vazio 150 3 7 2 Linha de Transmissão em Carga 154 3 8 Referências Bibliográficas 164 CAPITULO 4 Curtocircuito 165 41 Introdução 165 42 Modelos de Geradores 167 421 Motor Síncrono 170 422 Motor de Indução 170 43 Curtocircuito Considerando as Condições Préfalta 171 44 Modelo de Carga e Análise Préfalta 179 441 Modelo de Carga 179 442 Estudo das Condições PréFalta 180 45 Curto Trifásico Equilibrado r 46 Curtocircuito Faseterra 183 47 Curto Duplafase 188 4 8 Curto Duplafaseterra 191 49 Potência de Curtocircuito 195 491 Potência de Curtocircuito Trifásica 195 492 Potência de Curtocircuito Monofásica 198 41 O Referências Bibliográficas 212 CAPÍTULO 5 Tratamento Matricial de Redes 213 51 Introdução 213 5 2 Matrizes para Redes de Seqüências 213 521 Formação da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem Mútuas 213 522 Formação da Matriz Y Considerando Elementos Indutivos com Mútuas 216 523 Obtenção da Matriz de Impedâncias Nodais 218 53 Matrizes Trifásicas 220 53 l Formação da Matriz YTrifásica 221 54 Referências Bibliográficas 224 CAPÍTULO 6 Cálculo Matricial do Curtocircuito 225 61 Introdução 225 62 Informações da Rede Préfalta 225 63 Informações da Rede em Falta 226 64 Superposições 228 65 Componentes de Fase 228 66 Cálculos de Curtocircuito 229 661 Curto Trifásico 229 662 Curto Duplafase 230 663 Curto Faseterra 231 664 Curto Duplafaseterra 232 67 Referências Bibliográficas 238 CAPÍTULO 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 239 71 Introdução 239 72 Análise de uma Rede Elementar 240 73 Variáveis e Análises de Interesse 244 73 l Barras 244 732 Ligações 245 74 Considerações sobre o Método Iterativo de Gauss e GaussSeidel 250 741 Método de Gauss 250 742 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de GaussSeidel 253 75 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de NewtonRaphson 254 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 751 Método Iterativo de NewtonRaphson 254 752 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica com o Método de NewtonRaphson 258 7 53 Montagem da Matriz Jacobiana 259 7 6 Fluxo de Potência com o Método NewtonRaphson Desacopladorápido 273 77 Referências Bibliográficas 284 CAPÍTULO 8 Estabilidade 285 81 Introdução 285 82 Modelo Elementar 286 821 Modelo Clássico 286 822 Obtenção da Curva Px ô 286 83 Análise da Estabilidade 289 83 l Elevação da Potência Mecânica 291 832 Ocorrência de Curtocircuito 292 84 Equação Eletromecânica 294 841 Equação de Oscilação Swing 294 842 Critério das Áreas lguais 296 851 Modelo Eletromecânico Simples 300 85 Referências Bibliográficas 312 FUNDAMENTOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PREFÁCIO Um sistema elétrico de potência é constituído por usinas geradoras linhas de alta tensão de transmissão de energia e sistemas de distribuição As usinas geradoras estão localizadas próximo dos recursos naturais energéti cos como as usinas hidroelétricas estabelecidas nos pontos favoráveis para o apro veitamento dos desníveis e quedas de água dos rios assim corno locais propícios para a formação de lagos e o armazenamento da água Da mesma forma as usinas térmicas localizamse próximo das reservas de combustíveis fósseis como o carvão ou gás Cabe mencionar que pode ser mais econômico fazer o aproveitamento des ses combustíveis por meio de sua queima geração de calor e sua transformação em energia elétrica transportandoa via linhas de alta tensão até os centros de consumo do que efetuar o transporte do combustível por veículos ferrovias ou embarcações Até mesmo as usinas nucleares que eventualmente poderiam se localizar próximo aos centros de consumo por razões de segurança são instaladas em regiões afasta das das grandes cidades As grandes empresas estatais ou privadas são normalmente as responsáveis pela geração de energia elétrica devido ao expressivo aporte de capital necessário nesses empreendimentos Nas usinas geradoras a energia elétrica é produzida em um nível de tensão da ordem de urna ou duas dezenas de quilovolts sendo muito comum a tensão de 138 kV mas essa é urna tensão baixa demais para que o seu transporte seja economicamente viável a longas distâncias Desse modo utilizamse transformadores encarregados de elevar esse nível de tensão a um patamar superior que vai de algumas dezenas de quilovolts até algumas centenas Essa energia ao chegar aos grandes centros de consumo corno as cidades e parques industriais percorre regiões densamente habitadas com circulação perma nente de pessoas cuja segurança exige a redução do nível de tensão a patamares inferiores novamente sendo muito comum a tensão de 138 kV Dessa tarefa se encarregam as empresas distribuidoras que fornecem energia elétrica aos consumi dores geralmente classificados em grupos corno residenciais comerciais e industriais 2 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Fatores macroeconômicos empréstimos juros variações de preços interna cionais de insumos energéticos previsões de demanda e contratos de energia for mam o pano de fundo de toda uma engenharia financeira que determina a viabilida de e o sucesso de cada empreendimento Tudo isso ocorre ainda ligado a uma ten dência recente de desregulamentação do setor elétrico ou seja a grosso modo di minuindo a participação estatal na geração transmissão e distribuição e permitindo a entrada no mercado de um número maior de agentes empreendedores privados Após mais de um século de exploração da energia elétrica as fontes de ener gia mais próximas dos centros de consumo já se encontram em utilização plena ou quase isso o que implica a busca de potenciais cada vez mais distantes com desafi os a serem superados no transporte destas grandes quantidades de energia Embora diversos aspectos ligados aos sistemas elétricos de grande porte como os anterior mente mencionados sejam assuntos palpitantes nosso interesse neste trabalho é dirigido a um aspecto extremamente importante neste encadeamento que é o da transmissão de energia elétrica por meio de linhas de alta tensão Inúmeros proble mas técnicos devem ser superados para que a energia elétrica possa ser transportada atendendo aos requisitos de segurança das instalações e das pessoas envolvidas Aspectos cruciais como confiabilidade flexibilidade e custos envolvidos no trans porte estabelecem o núcleo das ações das equipes técnicas encarregadas da opera ção e planejamento dos sistemas elétricos de potência Do ponto de vista das linhas aéreas de transmissão cabe a nós entender os aspectos básicos dos campos elétrico e magnético que estabelecem os fundamentos para a transmissão de energia através de cabos Dessa forma trataremos dos aspec tos básicos no cálculo dos parâmetros das linhas de transmissão com e sem a pre sença do solo Em seguida estabeleceremos a modelagem elementar da linha de transmissão em regime permanente delineando modelos utilizáveis do ponto de vista da teoria de circuitos que são úteis no cálculo de variáveis elétricas como tensões correntes e potências assim como suas relações matemáticas Faz parte ainda de nosso objetivo analisar o cálculo das correntes de curto circuito principalmente do ponto de vista de sua avaliação para os diferentes tipos de faltas em redes elétricas com o uso das componentes simétricas Um outro tema de nosso interesse e igualmente importante será a abordagem do fluxo de potência em redes pois como sabemos os sistemas elétricos são consti tuídos por diversas usinas de geração e centros de consumo interligados por redes elétricas com diferentes configurações que evoluem e se modificam devido a vários fatores As interligações elétricas na transmissão permitiram um aproveitamento mais econômico e confiável dos recursos energéticos e dos equipamentos elétricos Fará parte de nossa investigação a compreensão do fluxo desta energia pelos dife rentes caminhos possíveis de uma rede interligada com o seu equacionamento por meio de uma formulação eficiente no cálculo das grandezas elétricas envolvidas Desfrutamos de notórios beneficias que as interligações de sistemas propor cionam às redes elétricas como redução de custos e aumento da confiabilidade No entanto a partir destas interligações também surgiram dificuldades técnicas para uma operação estável dos sistemas diante de perturbações inevitáveis algumas normais provenientes de alterações operativas e variações da carga Outras pertur bações são causadas por curtocircuitos cuja origem muitas vezes se encontra em tempestades e quedas de raios nas linhas de transmissão além de outros fatores Desse modo complementamos o texto com uma introdução à estabilidade de geradores conectados a barramentos suficientemente robustos conhecidos como barramentos infinitos introduzindo os conceitos elementares de estabilidade de redes com base no modelo clássico de geradores Mencionamos que o objetivo deste livro foi reunir os elementos de transmis são de energia elétrica em um sistema de potência particularmente aqueles empre gados na cadeira de Sistemas de Potência I na formação de engenheiros eletricistas pela Escola Politécnica da USP Sua despretensiosa elaboração não pretende substi tuir uma vasta e rica literatura de textos clássicos existente sobre o tema mas ape nas condensar aspectos fundamentais empregados em um curso de graduação Para sua leitura o aluno de graduação necessita apenas conhecimentos de componentes simétricas e modelos de equipamentos em valores por unidade desenvolvidos em cursos mais básicos A análise introdutória desenvolvida se ampliará num segundotrabalho im presso ainda em elaboração abordando aspectos complementares mais avançados 4 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO AOS PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 11 Introdução O projeto de uma linha de transmissão envolve cálculos elétricos e mecâni cos pois o bom dimensionamento elétrico está intimamente ligado a fatores mecâ nicos como por exemplo o dimensionamento das estruturas capazes de suportar o peso dos cabos rajadas de ventos e outras ocorrências como rompimento de cabos etc Como o cabo sofre deformações a sua altura em relação ao solo entre duas estruturas é inferior à sua altura nas torres Além disso como os vãos entre torres podem ser irregulares por exemplo em trechos montanhosos nas travessias de rios ou de vales existe a necessidade de uma otimização do número de torres e de suas alturas visando reduzir custos assim como a definir adequadamente o tracionamen to admissível desses cabos nas estruturas A elevação da tensão necessita de maior altura dos condutores em relação ao solo assim como de um maior distanciamento entre fases o que implica maiores estruturas de sustentação freqüentemente metálicas conhecidas como torres de linhas de transmissão Os cabos condutores são presos às estruturas por meio de cadeias de isoladores e são constituídos por fios encordoados que apresentam ca racterísticas elétricas e mecânicas Do ponto de vista mecânico destacamse como variáveis o peso e a resistência à tração assim como sua flexibilidade fundamental para a fabricação transporte e montagem no campo Do ponto de vista elétrico são importantes variáveis a condutividade e a seção condutora Nosso objetivo básico voltase para os aspectos elétricos fundamentais do cálculo dos parâmetros de uma linha de transmissão correspondentes às caracterís ticas elétricas dimensões e espaçamento dos condutores Com o cálculo dos cam pos magnéticos e elétricos definiremos os parâmetros indutivos e capacitivos das linhas de transmissão Na avaliação elementar de parâmetros desenvolvida a seguir desconsideramos o efeito do solo mas dele nos ocuparemos em capítulo posterior dedicado aotema 6 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Nosso interesse no cálculo dos parâmetros elétricos justificase pela impor tância dessa tarefa da qual são dependentes e alicerçadas as demais avaliações que se façam de um sistema elétrico de potência 12 Condutores Utilizados em Sistemas de Potência Uma preocupação básica na seleção de um condutor definido o material a ser utilizado cobre ou alumínio é com a área de seção transversal que está associada ao volume de material a ser utilizado e portanto ao custo da transmissão Os aspec tos de custo são tratados dentro de um tópico chamado de seleção do condutor eco nômico que não será objeto de nossa análise Ao alterarmos o diâmetro do condutor modificamos a densidade de corrente I S e conseqüentemente as perdas Os aspectos positivos em aumentar o diâmetro são reduzir as perdas e também o gradiente elétrico na superficie do condutor ate nuando o efeito corona Em contrapartida isso aumenta o custo da transmissão S área da seção condutora Figura 11 Condutores com raios diferentes Quando comparamos condutores de cobre com os de alumínio fixados um mesmo comprimento e uma mesma resistência elétrica do circuito o volume de alumínio será maior pois será necessária uma seção condutora maior para compen sar sua condutividade inferior em relação à do cobre Apesar disso devido à maior densidade do cobre o peso em cobre será aproximadamente o dobro em relação ao do alumínio Isso confere uma vantagem adicional ao alumínio que pode ser utili zado com estruturas de sustentação mais leves além do seu custo mais baixo A dificuldade prática em se fabricar condutores com diâmetros elevados im plica o uso de cabos formados por diversos fios denominados cabos encordoados Quando um só cabo encordoado não é suficiente para transmitir a corrente total adicionamos mais cabos em paralelo separados por espaçadores formando cabos múltiplos Existem diferentes tipos de condutores e os mais usados em linhas de transmissão são normalmente por razões econômicas condutores de alumínio Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 7 CA condutor de alumínio puro AAAC condutor de liga de alumínio de ai aluminium alloy conductor CAA condutor de alumínio com alma de aço cuja denominação muito conhe cida em inglês é ACSR de aluminium cable steel reinforced ACAR condutor de alumínio com alma de liga de alumínio de aluminium conductor alloy reinforced Seção condutora em forma de coroa Suporte mecânico de aço Figura 12 Formação 247 de um cabo CAA que apresenta 24 fios de alumínio e 7 de aço No processo de encordoamento os fios descrevem uma trajetória helicoidal em tomo do centro do condutor Levandose em conta ainda que os cabos sofrem uma deformação provocada pelo seu peso o comprimento real é um pouco maior que a extensão da linha e Figura 13 Efeitos de encordoamento e flecha f comprimento da linha eea e 102e 8 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Da mesma fonna a resistência total da linha pode ser estimada em um valor um pouco acima dos obtidos nos cálculos 121 Resistência de Condutores As perdas nos condutores em corrente contínua devidas ao efeito Joule são representadas por meio de resistências com a seguinte expressão conhecida pe R s 1 1 Figura 14 Dimensões de um condutor São importantes as seguintes variáveis que definem um condutor cilíndrico e comprimento do condutor ou da linha pés metros km r raio do condutor centímetros polegadas S área da seção do condutor mm2 ou CM circular mil p resistividade do material utilizado J condutividade do material utilizado A área de l CM corresponde à área de um círculo com diâmetro de um milé simo de polegada A área de 1 MCM corresponde a 1000 vezes a área de 1 CM Obtemos a seguinte correspondência entre áreas dadas em mm2 e CM S mm 2 ScM5067x104 Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 9 ou aproximadamente em MCM S 2 05SMCM mm A resistividade ou condutividade ppadrão ou Opadrão padronizada para um condutor é a do cobre recozido Dessa forma para outros processos metalúrgicos podemos estabelecer uma correspondência entre suas resistividades com a padroni zada conforme os exemplos a seguir para o cobre e o alumínio O cobre à têmpera dura tem 97 da condutividade do Opadrão apresentando a resistividade p 1 77 X 108 f2m 20 C O alumínio à têmpera dura tem 61 da condutividade do Opadrão com resis tividade p283x 108 nm 20 ºC 122 Efeito da Temperatura na Resistência dos Condutores em Corrente Contínua Sem entrarmos em maiores detalhes a figura abaixo ilustra o efeito conheci do da variação linear da resistência em função da temperatura quando o condutor é percorrido por corrente contínua com Temperatura Resistência T Figura 15 Gráfico temperaturax resistência R2ITl 12 R1 ITlt 1 O Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência T Temperatura de referência na qual a resistência seria teoricamente desprezível T 2345 ºC para cobre recozido com 100 de condutividade do Opadrão T 2410 ºC para cobre à têmpera dura T 2280 ºC para alumínio à têmpera dura Para a correção da resistência em função de temperatura utilizamos a seme lhança de triângulos tomando a temperatura Tem módulo Vejamos alguns valores tabelados de resistência de condutores utilizando o cabo Grosbeak 636 MCM 636 mil circular mil ou 636000 CM com Rdc O 0268 n 11000 pés CC Em corrente contínua passando a unidade de comprimento para milhas ob temos Rdc 00268 Qmi 20 ºC O 1894 Muitos dados encontramse tabelados em unidades inglesas e desse modo é conveniente nos habituarmos a trabalhar com as conversões de unidades para o sistema internacional A conversão de 1000 pés para milhas é feita da seguinte forma 1 pé 7 03048 m 1000 pés 7 03048 km 1000 03048 pes7 m1 1609 1000 pés 7 01894 mi Corrigindo essa resistência para 50 ºC obtemos 22850 Rdc SOºC Rdc 20ºC O 1586 Om1 228 20 Nesse caso t1 20 ºC t2 50 ºC e T 228 ºC No entanto cabe mencionar que em corrente alternada as resistências apre sentam um comportamento dependente do efeito pelicular sendo mais conveniente sua obtenção em tabelas fornecidas pelos fabricantes Para o mesmo cabo Grosbeak extrairíamos os seguintes valores Rac 20ºC O 1454 Omi Rac50ºC O 1596 Omi Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 11 13 Indutância de Linhas de Transmissão Neste item introduziremos o cálculo de indutâncias de linhas de transmissão sem levar em conta a presença do solo Antes porém recordemos alguns conceitos básicos de fluxo concatenado em espiras ou bobinas assim como os conceitos de fluxos interno e externo concatenados com condutores 131 Generalidades i vt q t Figura 16 Indutância com núcleo ferromagnético Dada uma bobina envolvendo um núcleo composto por material ferromagné tico sabemos que para densidades de fluxo elevadas pode ocorrer a saturação do núcleo e nessa situação obtemos indutâncias não lineares que variam com a inten sidade da corrente L não linear l l i Figura 17 Curva rJX i Nos meios com permeabilidade magnética constante como por exemplo o ar encontramos uma relação linear entre o fluxo e a corrente i rjJ Li Nas linhas de transmissão aéreas assumimos a indutância l com um valor 12 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência constante para qualquer nível de corrente adotando µar µ0 sendo µ0 a permea bilidade do vácuo No caso linear sabemos que vt L dit dt Analisaremos a relação entre a tensão e a corrente em grandezas alternadas no campo complexo aplicando a transformada de Laplace Vs sLIs Em regime permanente senoidal calculando no ponto s jOJ sendo OJ a freqüência de excitação obtemos a relação fasorial entre tensão e corrente V jmlf com a corrente atrasada de 90º em relação à tensão simplificamos a notação V XI 12 Definimos a reatância indutiva do bipolo por X ml Quando ternos circuitos relativamente próximos encontramos uma indutân cia mútua entre eles definida pela relação entre fluxo concatenado com um circuito devido à corrente no outro 5 CD Figura 18 Indutância mútua Sendo Capítulo Introdução aos Parâmetros de Linhas 13 rp12 o fluxo concatenado com o circuito 1 devido à corrente no circuito 2 Observa mos que nesse exemplo o fluxo concatenado com o circuito 1 corresponde às linhas de fluxo 2 3 e 4 da figura 18 fJJ2 M12I2 M 12 a indutância mútua entre os circuitos 1 e 2 Vj jmM12f 2 X 12 mM12 a reatância mútua entre os circuitos 1 e 2 No cálculo de circuitos magnéticos o fluxo Jt concatenado com uma espi ra está confinado no material ferromagnético conforme a figura 19 et e t rJB H fluxo concatenado Figura 19 Fluxo magnético concatenado com uma espira As linhas fechadas de B e H aqui também denominadas linhas de fluxo en volvem completamente o condutor Quando temos N espiras o fluxo concatenado com a bobina colocando em série todas as espiras é dado por À N J sendo J como vimos o fluxo concatenado com uma espira A tensão nos terminais de cada espira é obtida com a aplicação da Lei de Lenz adotando a convenção do receptor em todas as espiras A tensão nos terminais da bobina é obtida por v t N d t ou n vt Lei Net iI que pode ser reescrita como 14 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência e admitindo  como o fluxo concatenado com N espiras em série definimos  Li sendo L a indutância do enrolamento que se comporta como um fator de proporção entre a corrente e o fluxo nos casos sem saturação it vt e e2 l e3 e4 espü vista superior Figura 11 O Fluxo concatenado com N espiras Quando temos dois condutores longos de comprimento e espaçados por uma distância D com f D podemos analogamente aplicar o conceito de fluxo conca tenado com uma espira definida pelo retângulo formado pelos dois condutores desprezando o efeito do fluxo nas duas extremidades Novamente as linhas de flu xo envolvem completamente o condutor 1 B 1 1 1 ID 1 e t 1 1 X X X X X X X X 1 X X X X X X X X 1 1 1 1 1 B C D Figura 111 Fluxo concatenado com a espira com dois condutores paralelos Do ponto de vista do circuito elétrico podemos associar uma indutância ao circuito formado pelos dois condutores Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 15 132 Fluxo Concatenado com um Condutor Uni conceito importante que se aplica ao cálculo de parâmetros de linhas de transmissão é o de fluxo concatenado com um condutor apenas Para isso necessa riamente precisamos fazer uma abstração e supor que o outro condutor de retorno encontrase muito distante a uma distância D tendendo ao infinito j et condutor 1 1 J X 1 condutor 2 B X X X X condutor 1 1 1 B 1 1 1 I Figura 112 Fluxo concatenado com um condutor Nesse caso podemos aceitar o conceito de fluxo concatenado com um condutor Veremos a seguir de modo bastante simplificado como tratar o fluxo interno em um condutor 133 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Interno Para uma precisão maior no cálculo consideramos a indutância interna do condutor Vejamos como obter essa indutância supondo um condutor sólido com raio R e seção S percorrido por corrente contínua com intensidade que apresenta densidade uniforme de corrente em toda a seção condutora J s 13 Para isso fazemos uma extensão do conceito de fluxo concatenado definindo o fluxo parcial concatenado em um condutor ao calcularmos o fluxo interno cor respondente a uma seção condutora com raio r R 16 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência B111 r R Bexi r R 1 1 1 1 1 Figura 113 Fluxo interno e externo Para r R calculemos a densidade de fluxo em uma linha fechada Na figura 114 Bri B2 e B3 são densidades de fluxo internas ao condutor a distâncias r1 r2 r3 R etc Figura 114 Densidades de fluxo internas ao condutor O fluxo interno ao condutor inserido em um elemento tubular de raio r R e espessura dr é dado pela expressão dJr Bdr a ser novamente examinada logo mais adiante Definimos o fluxo parcial concatenado com a corrente envolvida por esse elemento tubular pela expressão Obtemos o vetor H r em um ponto no interior do condutor à uma distância r do centro utilizando a Lei Circuitai de Ampere Capítulo Introdução aos Parâmetros de Linhas 17 H r Figura 115 Fluxo em um elemento tubular Supondo a corrente contínua uniformemente distribuída pela seção transver sal obtemos a corrente interna ao círculo de raio r com r R dada pela relação de áreas 2 I Tfr I r JrR Fazendo a circuitação do vetor intensidade de campo magnético Hr em um caminho fechado obtemos ou Como Hr é constante a uma distância r do centro do círculo 2 Hdl r 2 I R r H 2 I 21fR 14 18 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Conseqüentemente como Br µHr obtemos De posse da densidade de fluxo Br calcularemos a indutância interna do condutor segundo dois procedimentos distintos o primeiro por meio da energia eletromagnética interna e o segundo por meio do fluxo interno concatenado parcial mente Energia eletromagnética interna do condutor Podemos calcular a energia magnética interna ao condutor considerando o volume do condutor em um comprimento unitário Para isso consideremos um elemento tubular de comprimento unitário com volume dvol 2rcrdr resultando em 1 R µr212 µ12 R 3 µ12 R4 wmag f 2 2trr dr 4 f r dr 4 2 0 2rc R4 4trR 0 4trR 4 µ12 l 6tr que corresponde à energia magnética em uma indutância Li percorrida por urna corrente 1 Considerando a permeabilidade do condutor próxima da permeabilidade do vácuo obtemos µ 1 7 L xlO Hm I 8Jr 2 15 Ou seja a indutância interna de um condutor percorrido por corrente contínua é uma constante que independe das suas dimensões Por sua vez podemos obter o fluxo interno do condutor por meio da relação Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 19 Ai Lf fr I resultando em 1 Lí I I I I I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 ds 1 r 1 jcz lr Hf H r r Figura 116 Elemento tubular Fluxo interno concatenado parcialmente O fluxo incremental em um elemento tubular com raio r e espessura dr é da do pelo produto Brds sendo ds dr x 1 no caso de comprimento unitário resul tando em 16 µr drJr 2 dr Wbm 21R Este fluxo interno drJr concatena somente a parcela Ir de corrente interna já obtida anteriormente Faremos a seguir o cálculo da indutância interna empregando o conceito de fluxo parcialmente concatenado com um condutor definido pela expressão d À r d Ai J fr resultando em 20 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência µr3 d 4 dr 27rR O fluxo parcial envolve apenas uma parcela da corrente interna do condutor e desse modo integrandoo no intervalo O r R obtemos ou Observamos que a idéia de fluxo concatenado está relacionada com a corren te envolvida pelos enlaces de fluxo que são linhas fechadas e a indutância interna do condutor é definida pela relação entre o fluxo concatenado interno total e a cor rente total do condutor que se expressa por Liµ 8Jr Admitindose µ µ0 47rl07 obtemos L 107 Hm 2 Esse resultado coincidente com o da expressão 15 demonstra a validade do conceito de fluxo parcialmente concatenado com o condutor Lembramos que os resultados anteriormente obtidos para o fluxo concatenado só valem para condutores cilíndricos percorridos por corrente contínua sendo um conceito teórico importante para o cálculo da indutância interna Do ponto de vista prático para os cabos encor doados veremos posteriormente como abordar essa indutância 134 Efeito Pelicular Antes de prosseguir faremos uma breve explanação sobre a distribuição de correntes internas em um condutor percorrido por corrente alternada A densidade de corrente em um condutor percorrido por corrente alternada não é mais uniforme diferentemente do caso de condução em corrente contínua como fizemos na hipótese adotada na expressão 13 obedecendo a uma distribui Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de linhas 21 ção que depende da permeabilidade e resistividade do material assim como da fre qüência de excitação fo 0 Ro pi So Figura 117 Distribuição de correntes com o efeito pelicular Esse efeito conhecido como pelicular altera a indutância interna do condutor e tem implicações na avaliação das perdas quando empregamos corrente alternada pois ocorre uma concentração de correntes do centro do condutor para sua periferia à medida que a freqüência aumenta o que causa uma elevação da resistência com uma redução na área efetiva de condução Obviamente o aumento da concentração de correntes é gradual do centro do condutor para a superfície externa não ocorrendo as descontinuidades indicadas na figura 117 apenas ilustrativas do fenômeno eletromagnético Não será o nosso propósito explorar detalhadamente o equacionamento do efeito pelicular neste texto introdutório Com o objetivo de apresentar os passos do equacionamento mencionamos que na dedução a seguir são utilizadas formulações básicas do eletromagnetismo convenientemente elaboradas no campo complexo em valores fasoriais Da mesma forma como empregamos grandezas fasoriais de tensões e correntes dada a linearidade das relações que utilizaremos é equivalente obter resultados instantâneos ou fasoriais em regime permanente Por exemplo como lf LI sendo L linear a associação de valores fasoriais aos fluxos a partir dos fasores de corrente alternada é imediata Para isso tomemos um condutor cilíndrico de raio R e comprimento unitário e chamemos a densidade fasorial das correntes Jr no sentido longitudinal do con dutor à umadistância radial r R do seu centro 22 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1 í 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I Figura 118 Contornos para aplicação das equações de Maxwell a Circuitação no contorno a aplicando a Lei de Ampere ao longo do círculo de raio r que envolve a corrente contida no cilindro correspondente 18 Com a equação 18 trabalhando nesse contorno a sabemos que a corrente interna do cilindro com seção circular de raio r e área interna A é função da densi dade de corrente J r r Ir J 2JrrJdr o Das fórmulas 18 e 19 concluímos que r 2JrrH J 2Jrr1dr o Diferenciando em relação à r é imediato obter a seguinte expressão dH H J r r dr r b Circuitação no retângulo de espessura dr Lei de Lenz 19 11 O 111 Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 23 No primeiro membro da equação 111 como o campo elétrico é longitudi nal e proporcional à densidade de corrente Er pJr calculamos a queda de ten são ao longo do contorno retangular JJ adotando o sentido horário Com relação ao segundo membro obtemos o fluxo na superficie envolvida por esse contorno Exprimindo de forma incremental a alteração da densidade de corrente LJJr dr dr dr escrevemos dlr d H d p r1wµ r r dr O que implica a relação entre Jr e Hr H jp dlr r i wµ ur com a qual podemos eliminar H r da expressão 11 O resultando em uma equação diferencial de segunda ordem da densidade de corrente em relação à distância radial r ao centro do condutor d 2 j r dJ r j wµ J r O dr2 r dr p 112 Tal equação diferencial apresenta solução em série bem conhecida denomi nada série de Bessel de primeira espécie e ordem zero Chamando m JwµI p e conhecida a densidade de corrente na superfície do condutor J R escrevemos a expressão da densidade de corrente interna ao con dutor J em variáveis complexas na qual os termos ber e bei relativos à parte real e à imaginária das séries estão definidos em expressões matemáticas não explora das aqui J bermr j beimr R bermR jbeimR A figura a seguir exemplifica um possível comportamento do módulo da va riável complexa Jn em função der para uma dada freqüência de excitação em um condutor cilíndrico 24 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência J r R Figura l 19 Densidade de corrente em função da distância r ao centro do condutor em corrente alternada Cabe comentar que a indutância interna corresponde a uma pequena parcela da indutância total de um condutor O efeito pelicular visto anteriormente reduz ainda mais essa parcela não sendo por isso um aspecto preponderante no cálculo de indutâncias O impacto mais significativo do efeito pelicular se manifesta na eleva ção da resistência e conseqüentemente nas perdas Joule 135 Indutância de um Condutor devida ao Fluxo Externo Neste item faremos o cálculo da parcela de indutância correspondente ao flu xo externo ao condutor o qual pode ser feito em valores instantâneos ou fasoriais indiferentemente Como o cálculo anterior de indutâncias internas foi feito em cor rente contínua voltaremos a empregar essa hipótese em nossa formulação Vejamos como obter uma expressão que forneça o fluxo confinado em duas superfícies cilíndricas determinadas pelas distâncias D1 e D2 ao centro do condutor que passam pelos pontos Pi e P2 mostrados na figura 120 Para isso calcularemos o fluxo na superfície S2 apoiada em um plano que passa pelo centro do condutor e contém os pontos Pi e P2 sendo ortogonal a todas as linhas do vetor densidade de fluxo J f BdS f Bds S S2 Aplicando novamente a Lei de Ampere a um caminho fechado e circular com raio r r R do vetor intensidade de campo Hr obtemos Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 25 elemento tubular 1 Figura 120 Superfícies concêntricas de um elemento tubular Nessa linha circular como o vetor Hr é constante podemos fazerÇ que resulta em ou 2trrHr l l Hr 2trr Sendo o vetor densidade de fluxo dado por B µ r 2trr Observamos que o vetor Hr internamente cresce de modo linear com a dis tância em relação ao centro do condutor r R e externamente decresce com uma função hiperbólica em função da distância ao centro r 2 R 26 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência I 2rrR r R R ri H 2 2rrR r R I H 2rrr Figura 121 Curva Hx r r O fluxo inserido em um elemento tubular com raio r e com espessura dr é dado por µ dJ dr 27rr que integrado fornece o fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 ou Pi e P2 ex ternos ao condutor 113 Observamos que estamos impondo D2 D1 e que o fluxo externo concatena a corrente uma vez de tal modo que d J d À N 1 Sabendo que µ µ0 47rX107 a expressão 113 também pode ser colo cada na forma 114 Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 27 Esse fluxo dividido pela corrente do condutor fornece uma indutância parcial que chamaremos de Li 2 L12 2x107 ln D2 Hm Di ou ainda L12 2xl04 ln D2 Hkm D1 l15 Novamente lembrando o conceito de energia armazenada em um volume aqui particularmente empregado na coroa ou na região tubular externa ao condu tor com comprimento unitário e compreendida entre os pontos Pi e P2 podemos escrever na qual dvol 2Jrrdr é o incremento de volume do elemento tubular com raio r e espessura dr D2 1 2 W mag J µ 2 2Jrr dr D1 2 2Jrr Temos Que resulta nçi mesma expressão anteriormente obtida em 114 28 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 136 Adição dos Fluxos Interno e Externo Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com um condutor até um ponto P externo ao mesmo situado a uma distância D do centro 2 p D Figura 122 Fluxo concatenado com um condutor desde o seu centro até um ponto externo P Calculemos o fluxo total concatenado em duas etapas O fluxo interno como vimos é dado por J µ I 8Jl Observamos que colocando o ponto 1 na superfície do condutor a uma dis tância D1 r do centro e o ponto 2 coincidente com P a uma distância D2 D do centro o fluxo externo empregando a expressão 113 é dado por µ D Pe ln 2Jr r Somando as duas parcelas interna e externa J µ ln D J 2Jr 4 r Usando o artificio de escrever 1 1 14 lne lne 4 4 ficamos com a expressão Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 29 jJ µJ 1ne114 ln D 2TC r ou ou ainda µJ D J ln 14 2TC re Chamando r re114 de raio corrigido escrevemos a expressão modificada para o fluxo concatenado J2x107 Jln r 116 correspondente ao fluxo concatenado desde o seu centro até um ponto externo P Podemos calcular a indutância incluindo todo o fluxo do condutor do seu centro até um ponto P externo correspondente à energia magnética armazenada nessa região do espaço Tomando a expressão anterior escrevemos 137 µ D Lln 2 1C r L 2x107 ln Hm r 117 Indutância de uma Linha a Dois Fios com Condutores Cilíndricos B B l ri a br 2 0 I lb 1 E carga SDxl I Figura 123 Linha monofásica a dois fios 30 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Consideremos os dois fios a e b da figura 123 compostos por condutores ci líndricos com raios externos i e r2 respectivamente Observamos que no plano transversal que corta o circuito se convencionar mos como positivas as correntes que entram no plano teremos 1 ª 1 e 1 h 1 portanto com uma soma de correntes nula penetrando no plano transversal Vejamos como calcular o fluxo total concatenado com o circuito formado pe los dois condutores espaçados por uma distância D A área associada a um com primento unitário dos fios é dada por D x 1 Cl la B r1 a a X X X X X X s z D X X X X X X b b lb B r1 IaI6 0 Figura 124 Fluxo concatenado com dois condutores A contribuição do fluxo dada pelo condutor a utilizando a expressão 117 é rJa 2x107 la ln com indutância parcial La 2xl o7 ln lj lj A contribuição do condutor b é dada por Observamos que rJa tem sentido horário e fJb sentido antihorário de modo que podemos somálos na superficie apoiada entre as duas espiras assim como as indutâncias obtendo a indutância total do circuito F Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 31 1 I Lembremos que essa expressão é válida para corrente contínua e condutor ci líndrico com seção circular de raio r exercendo r o papel de um raio equivalente Elaborando a expressão um pouco mais obtemos L 4x107 ln D e no caso particular de condutores iguais quando r r r2 L 4x 107 In Hm r 118 Observamos que o número quatro aparece apenas nas expressões de linhas a dois fios quando somamos as indutâncias individuais de cada fio 138 Fluxo Concatenado com um Condutor por um Grupo de Condutores Desenvolveremos a seguir um conceito fundamental no cálculo de indutân cias quando estão presentes vários condutores retilíneos e paralelos percorridos por diferentes correntes Precisamos então tratar o fluxo concatenado com um condutor devido a um grupo de condutores convencionando como positivas as correntes que penetram no corte transversal do circuito e supondo que a soma das correntes nos condutores seja nula o que de certa forma nos conduz novamente à idéia de circuito elétrico ou seja que deve haver um retomo de corrente por parte de alguns condutores Sejam n condutores separados espacialmente por distâncias Du percorridos por correntes I 1 i n de tal modo que Assumindo um ponto P distante do grupo de condutores calculemos inicial mente a parcela de fluxo concatenado com o condutor 1 utilizando a fórmula geral do fluxo concatenado entre os pontos 1 e 2 genéricos no espaço Faremos o ponto P coincidir com o ponto 2 e o ponto 1 estará situado na su perficie do condutor 1 Incluindo o fluxo interno e utilizando o conceito de raio corrigido obtemos utilizando a equação 116 32 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência D nI 2x107 J lne ri p 1 r1 B Figura 125 Fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores 2 p Empregando a equação 113 a parcela de fluxo concatenado com o condu tor 1 devida ao condutor 2 é Supomos ainda que o fluxo entre os pontos 1 e P devido ao condutor 2 não altera as linhas de fluxo já existentes do condutor 1 Estendendo esse resultado aos demais condutores fazemos a superposição dos fluxos escrevendo genericamente 1 2 n 7 D1p D2p Dnp J J1p J1p J1p Jip 2x10 1 ln 12 ln f11 ln r1 D1 2 Din que pode ser desmembrada na seguinte expressão Utilizando a restrição imposta de soma de correntes nula escrevemos Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 33 que substituída na equação anterior fornece 1 1 1 J 11ln12 ln 11 ln 1 ln D1P 12 ln D217 rJip 2x 107 r D12 D111 111 lnDc111p 1112 111 ln D1117 ou ainda rfJ 17 2x107 Deslocando o ponto P a uma distância muito grande do condutor 1 tendendo ao infinito os quocientes Dp D11P tendem ao valor unitário e conseqüentemente os limites são nulos resultando em uma expressão mais simplificada do fluxo concatenado com o condutor 1 7 1 1 1 J rjJ1 2x1 O 1 ln I 2 ln 111 ln i D12 D111 119 A expressão 119 apresenta um resultado interessante que será a base de nossas avaliações de fluxos concatenados com condutores na presença de outros percorridos por correntes submetidas à restrição de apresentarem uma soma nula Voltemos ao caso simplificado da linha a dois fios com o intuito de avaliar essa expressão aplicando agora o conceito de fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores Para a fase a escrevemos como I b J ª convencionando como positiva a corrente I ª que penetra no plano transversal aos condutores 34 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência resultando em Desse modo associamos uma indutância ao condutor a dada por e analogamente para o condutor b e desse modo obtemos a indutância total da linha a dois fios 120 Verificamos assim a equivalência dos procedimentos ao compararmos as e quações 118 e 120 No cálculo de indutâncias de linhas de transmissão com vários condutores dispostos espacialmente usaremos o conceito de fluxo concate nado com um condutor por um grupo de condutores que facilita o cálculo 139 Linha Bifásica com Condutores Compostos ou em Feixe Veremos a seguir como tratar o caso de uma linha bifásica na qual cada fase é composta por um conjunto de subcondutores o que introduz algumas vantagens na transmissão de energia elétrica Uma primeira vantagem é aumentar a capacidade de corrente de cada fase da linha de transmissão pois cada condutor tem um limite máximo de corrente admissível Uma segunda vantagem igualmente importante é diminuir a indutância equivalente de cada fase conforme veremos a seguir Esse conjunto de subcondutores é chamado de feixe também conhecido como bundle na sua denominação original em inglês Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 35 Figura 126 Disposição espacial dos subcondutores Cálculo da indutância da fase a l 0 Tomemos o caso com n subcondutores na fase a em subcondutores na fase b conforme a figura a seguir fase a fase b ln I a ln m carga I b m n subcondutores m subcondutores Figura 127 Linha bifásica com n subcondutores na fase a em subcondutores na fase b O cálculo será desenvolvido em quatro etapas 1 ª etapa Cálculo do fluxo concatenado j1 com o subcondutor l da fase a 2ª etapa Cálculo da indutância desse subcondutor percorrido por uma corrente 1 3ª etapa Cálculo da indutância média dos subcondutores de uma mesma fase es tendendo o resultado aos demais subcondutores L l1 l 2 Ln n 36 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 4ª etapa Cálculo da indutância equivalente dos n subcondutores em paralelo L la n Calculamos inicialmente o fluxo concatenado com o subcondutor 1 devido à contribuição do conjunto correspondente à fase a Faremos ainda uma hipótese adicional admitindo também que os subcondu tores são aproximadamente iguais e que as correntes se distribuem igualmente por todos os subcondutores Desse modo Nesse caso calculemos o fluxo concatenado com o condutor I devido ao conjunto a lembrando que nessa parcela contribuem apenas os subcondutores dessa fase 7 I l I I J f10 2xl0 ln ln ln n r1 D12 Din Em seguida obtemos o fluxo concatenado com o condutor 1 da fase a devido ao conjunto b considerando a parcela do fluxo correspondente aos condutores da outra fase assumindo as mesmas hipóteses de subdivisão de correntes entre condutores da fase b 7 I 1 1 1 J f16 2x10 ln ln ln m D D12 D1m resultando no fluxo concatenado total com o condutor 1 colocado na fonna compacta I 21 No numerador encontramos a média geométrica das distâncias do subcondutor I da fase a a todos os subcondutores da fase b No denominador encontramos a mé dia geométrica do raio corrigido do subcondutor a com as distâncias a todos os sub condutores da própria fase a Para o condutor 2 escrevemos analogamente 92 2xlo7 ln D21D22D2m D21r D2n Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 37 Estendendo esse resultado aos demais subcondutores obtemos as indutâncias individuais de cada um fazendo a divisão do fluxo pela parcela de corrente I n Li 1L2xl07nln Di 1D1m I n rD12 Dln n D i D L Yn 2 X 1o7 n ln n nm n n Dni Dnnlr Calculando a indutância médiaL dos subcondutores da fase a conjunto a fazendo a soma das expressões logarítmicas L Li L2 Ln n Como os n subcondutores estão ligados em paralelo a indutância do conjunto a é dada por L La n La 2x 101 ln m Di i Di 2 Dim D21 D22 D1 Dnl Dn2 Dnm n rD12 DinD21r D2nDn1 r que pode ser recalculada da seguinte forma La 2x l o7 ln nm D11D12 D1m D2 rD22 D2 Dn1Dn2 Dnm 1 22 nriD12 D1n D21r D2n Dnl r Introduzimos então o conceito de distância média geométrica mútua entre os con juntos de subcondutores das fases a e b Observe que os conjuntos a e b não têm correntes em fase sendo que nesse caso particular na realidade as correntes estão em oposição de fases DMG nDi lDit Dim D2rD22 D2m Dn1Dn2 Dnm 123 Da mesma forma apresentamos o conceito de raio equivalente do conjunto de subcondutores a ou distância média geométrica própria do conjunto a Lembra 38 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência mos que todos os subcondutores do conjunto a apresentam a mesma parcela de corrente em módulo e sinal 1 n subdividida igualmente por todos os subconduto res Em corrente alternada admitimos uma hipótese semelhante supondo as corren tes com o mesmo módulo e fase em todos os subcondutores Para evitar confusão de nomenclatura passaremos a chamar a distância mé dia geométrica própria de raio equivalente do conjunto de subcondutores ou bun dle de uma fase A letra z tem a finalidade de especificar o cálculo voltado para impedâncias ou reatâncias indutivas da linha de transmissão que como veremos será um pouco diferente do cálculo de capacitâncias Definimos o raio equivalente da fase a 124 Finalmente escrevemos a expressão da indutância da fase a na sua forma compacta Cálculo da indutância da fase b e total Analogamente obtemos a indutância do conjunto b Lb 2x 107 ln DMG reqb resultando para a indutância total da linha bifásica 7 DMG L La Lh 2X1 O ln Colocando essa expressão na forma usual obtemos L4x107 ln DMG reqa reqb 125 Se as fases possuírem características idênticas teremos reqa reqb req resultan do em uma expressão análoga à obtida anteriormente para a linha bifásica a dois fios a a D DMG Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 39 b b linha bifásica a dois fios linha bifásica com feixe de subcondutores Figura l 28 Cálculo da indutância Linha com a fase constituída por condutor cilíndrico Linha com um feixe de subcondutores em cada fase na qual reqzª é o raio equivalente da fase a Em vez de continuarmos usando o raio corrigido do condutor sólido r váli do para corrente contínua passaremos a utilizar o raio médio geométrico rmg váli do para cabos encordoados e corrente alternada que leva em conta a média geomé trica das distâncias entre os fios que compõem um cabo encordoado de forma se melhante ao conceito anterior de média geométrica própria dos subcondutores de uma fase além de levar em conta a disposição dos condutores em torno do suporte mecânico no caso de cabos CAA ACSR Em geral não fazemos o cálculo do raio médio geométrico sendo o mesmo obtido de tabelas de condutores assim como as demais características elétricas ou mecânicas do cabo fornecidas pelos fabricantes 40 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como exemplo a linha com a fase constituída por um cabo encordoado apre sentaria a indutância Resumo da nomenclatura para distâncias médias geométricas próprias Faremos aqui um breve resumo da nomenclatura adotada para os subconduto res de uma fase a Condutor sólido e o seu raio corrigido r que é um conceito mais teórico com a finalidade de incluir o fluxo interno do condutor em corrente contínua r Figura 129 Condutor cilíndrico b Cabo encordoado para o qual usaremos uma extensão do conceito de distância média geométrica própria expressa pelo raio médio geométrico rmg No caso práti co de feixes de cabos encordoados e corrente alternada trocamos r pelo raio mé dio geométrico rmg e as expressões se mantêm 1 rmg Figura 130 Cabo condutor encordoado c Feixe de subcondutores cilíndricos e o seu raio equivalente req nrD12 D1n D21r D2n Dnl Dnnlr í2 Q Q I 1 3 n i Q Q Figura 131 Feixe de condutores cilíndricos Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 41 d Cabos encordoados em feixe A expressão a seguir é utilizada em casos práticos em corrente alternada Figura 132 Feixe com n cabos encordoados Na realidade os programas existentes de cálculo de parâmetros não utilizam o conceito do raio médio geométrico tratando os cabos encordoados como conduto res tubulares utilizando fórmulas relativamente complexas para correções de con centrações de correntes em função da freqüência Nessa etapa do nosso curso introdutória ao cálculo de parâmetros continua remos utilizando o conceito de raio médio geométrico que é suficientemente preci so para os nossos propósitos Assim substituímos o bundle percorrido pela corrente 1 por um condutor equivalente dado pela distância média geométrica própria do bundle ou raio equivalente o que facilita muito os cálculos Os casos práticos de cabos em feixe apresentam sempre subcondutores iguais espaçados uniformemente circunscritos em um círculo A simetria dessas configu rações permite um cálculo mais simples como veremos a seguir nos casos mais comuns de 2 3 e 4 subcondutores em um mesmo feixe a Caso de dois subcondutores I I 1 I Q 1 I e 2R R I I I I I Figura 133 Disposição espacial de dois subcondutores em feixe e espaçamento entre subcondutores 42 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A distância média geométrica própria Ds segundo a referência 2 ou raio equivalente reqz é dada por 126 Para a resistência equivalente do feixe adotamos R Rac eq 2 sendo R0 c a resistência em corrente alternada para cada condutor em uma dada temperatura b Caso de três subcondutores I e 1 1 1 1 e Figura 134 Disposição espacial de três subcondutores em feixe req Ds rmg e e 3 rmg e2 Para a resistência equivalente R Rac eq 3 c Caso de quatro subcondutores I I I I 1 1 1 1 e 1 1 1 1 1 e e 1 1 1 1 1 e 1 1 1 I I I I Figura 135 Disposição espacial de quatro subcondutores em feixe 127 Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 43 128 Para a resistência equivalente R Rac eq 4 O raio equivalente também pode ser calculado genericamente pela expressão a seguir conhecido o número de subcondutores e o raio do círculo circunscrito R Rn1 reqz n rmg Lembramos ainda que na nomenclatura da referência 2 temos Dm DMG A distância DMG também é conhecida por distância equivalente ou Deq 1310 Reatância Indutiva da Linha com Utilização de Tabelas Apesar do menor uso de tabelas atualmente vejamos como utilizar os valores de reatâncias indutivas Xi constantes destas tabelas 23 que se referem sempre a um condutor por fase nesse caso Ds rmg e Dm DMG e apresentam normal mente valores em unidades inglesas Dada a reatância distribuída de um condutor em Okm sabemos que xi 2r jL 27r f m Xi 2rf2x10 7 ln DMG 4r 1 o7 ln DMG Om rmg rmg Passando a unidade de comprimento para milhas X nmi xi Okm x 1 609 Observamos que na referência 2 as expressões usam log logaritmo na base 1 O em vez de ln logaritmo na base e X 2022x l 0 3 f ln DMG Omi rmg Separando em duas parcelas 44 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Xª é definida como a reatância do condutor para espaçamento de 1 pé Xª 2022x 103 f ln1 rmg Observamos que dispondo da reatância Xª obtemos o raio médio geométri co em pés ou seja essa é uma maneira indireta de fornecer o raio médio geométrico do condutor X d é o fator de espaçamento também em pés Xd 2022xl03 flnDMG EXEMPLO 1 Calcular a reatância da fase a de uma linha bifásica com cabo Grosbeak com a geometria indicada abaixo a b 25 pés Figura 136 Disposição espacial de dois condutores com cabo Grosbeak Dm DMG25 pés Consultando uma tabela de cabos obtemos Grosbeak 636 MCM 26Al7aço D1 rmg O 0335 pés Xª 0412 Qmi para l pé de afastamento Sabemos também que a reatância de uma fase é dada por Xi 2022x10 3ln DMG rmg Xª 0412 Qmi Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 45 xd 0391 1mi X 0803 1mi No caso de linha bifásica a dois fios multiplicamos o resultado por 2 X 2x08031606 1mi J311 Indutância de Linhas Trifásicas com Espaçamento Equilátero Vejamos o cálculo da indutância de uma fase em um sistema trifásico Em corrente alternada no caso de um condutor utilizamos o rmg e no caso de cabos em feixe utilizamos o req substituindo os subcondutores de uma fase pelo condutor com raio equivalente concêntrico com o círculo que circunscreve o feixe ª a reqz D D e D lb reqz eqz e b Figura 137 Linha trifásica com espaçamento equilátero D Novamente admitiremos que a soma das correntes trifásicas é nula conforme as hipóteses adotadas para o cálculo do fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores Esse artificio nos permitirá introduzir uma simplificação signifi cativa com boa aproximação no cálculo da distância média geométrica mútua DMG Essa restrição corresponde a assumir que não temos corrente de seqüência ze ro na linha ou seja que os resultados serão razoáveis apenas para a seqüência posi tiva Supondo as três fases idênticas calculamos o fluxo concatenado com a fase a aplicando a equação 119 trocando r por reqz obtemos Sabendo que 46 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência resultando em rJa 2xl0710 ln1ln1 J reqz D ou Obtemos a indutância da fase a L0 2x107 lnQ Hm 129 req o Vcfc Ü Figura 138 Sistema trifásico equilibrado Observamos que nessa estrutura particular o valor de DMG coincide com o espaçamento entre fases D pois DMGefiJ3 D Verificamos também que a indutância ou reatância de uma fase relaciona ten sões e correntes que compõem um sistema trifásico simétrico e equilibrado e portan to as tensões e correntes de uma fase estão referidas a uma tensão de neutro nula EXEMPLO 2 Dada uma linha com espaçamento equilátero com D 25 pés e um cabo Grosbeak por fase calculamos a reatância de uma fase aplicando 129 Consultando uma tabela sabemos que rmg O 0335 pés Capítulo Introdução aos Parâmetros de Linhas 47 25 X wL wx2x 104 ln 0499 Qkm 00335 que corresponde a O 803 Qmi conforme o exemplo anterior Observamos que DMG e reqz devem estar na mesma unidade 1312 Linhas Trifásicas com Espaçamento Assimétrico No caso de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico o cálculo da indutân cia de uma fase com as expressões anteriores só é possível em linhas com transposição Calculamos o fluxo médio concatenado com o condutor da fase a ou bundle supondo as fases a b e e com a mesma composição de subcondutores Introduzimos a idéia de transposição dos condutores tomando o fluxo médio concatenado nos três trechos da linha de transmissão Observamos que cada condutor ocupa em cada trecho uma das três possíveis posições distintas resultando em um fluxo médio para cada condutor ao longo da linha de transmissão Desse modo subdividimos a linha em três trechos 1 II e III com urna rotação das posições ocupadas por cada condutor conforme a figura a seguir trechos I II III 1 a e b b a e b e b a e 3 ef 3 1 3 e 13 Corte transversal dos condutores no trecho I e Posicão aérea dos condutores Figura 139 Linha trifásica com espaçamento assimétrico Consideremos uma linha com feixes de mesma característica reirª reqzh reqzc reqz e assumiremos que os condutores sofrerão uma rotação no sentido anti horário Os fluxos médios em cada fase serão obtidos pela média dos fluxos conca tenados em cada trecho da linha 48 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência n Pai Pau Jam a 3 n Jc1 Jcii Jcm e 3 Obtemos o fluxo concatenado com a fase a no trecho I b a e 3 Figura 140 Trecho 1 7 1 1 1 J Pai 2x10 IªInIbinIcin reqz D12 D13 Para o trecho II a c 1 b 3 Figura 141 Trecho II Capítulo Introdução aos Parâmetros de Linhas 49 E também para o trecho III 2xl07 1ª ln 1 Ib ln e ln 1J reqz LJ13 23 b 1 e a 3 Figura 142 Trecho III O fluxo médio concatenado com o condutor da fase a é dado pela média aritmética Como Ib lc ªescrevemos Pa 2xl07 Ia ln D12IJ2D13 2 x l07 Ia ln VD12D23IJ13 3 req reqz Resultando na indutância da fase a 3 La2xl07 lnJ 12 23 13 Hm reqz La 2xl07 ln DMG req na qual a distância média geométrica mútua IJMG é dada por 130 50 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 14 Capacitância de Linhas de Transmissão 141 Generalidades Neste item apresentaremos o cálculo de capacitâncias de linhas de transmis são ainda sem levar em conta o efeito do solo Ao energizarmos condutores aéreos por meio de um gerador mesmo sem alimentar nenhuma carga observaremos uma corrente capacitiva fornecida pelo gerador Tal efeito é semelhante ao de energizarmos um capacitor com duas placas em paralelo conforme o caso da linha bifásica da figura 143 Figura l 43 Linha bifásica com dois fios Aplicandose uma tensão alternada a cada semiciclo as polaridades se alternam vt 1 vt I I 1 Figura 144 Semiciclo positivo e semiciclo negativo I I I Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 51 Ao associarmos uma capacitância C Q V aos condutores obtemos uma relação entre tensão e corrente dada pela admitância susceptância capacitiva da linha sendo válida a equação em valores fasoriais 1 jmCV 142 Condutor Isolado Suponhamos um condutor cilíndrico isolado no espaço carregado com uma densidade de carga Q por unidade de comprimento j ED Figura 145 Campo elétrico de um condutor isolado R raio do condutor r raio da superficie cilíndrica r R A carga do condutor é obtida por meio do cálculo do fluxo do vetor desloca mento D em uma superficie cilíndrica externa ao condutor com raio r e compri mento unitário o que corresponde à aplicação da Lei de Gauss f fás º 131 Sabemos que o vetor deslocamento D densidade de fluxo e o campo elétrico E estão relacionados pela relação constitutiva DeE 132 na qual ê é a permissividade do dielétrico 52 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como as linhas do campo elétrico são radiais e portanto normais à superfície cilíndrica que envolve o condutor a densidade de fluxo é constante nessa superfí cie simplificando o cálculo EE fdsQ 133 A área de uma superficie cilíndrica com raio r e comprimento unitário é dada por S Jds 2Trr 134 Obtemos então o campo elétrico em uma linha radial a uma distância r do seu centro EJL 21Er 135 Observamos que como não temos cargas internas no condutor o cálculo do campo elétrico só tem interesse a uma distância r do centro tal que r R Desse modo considerando a distribuição de cargas na superficie do condutor diferentemen te do cálculo de indutâncias não há necessidade de considerarmos efeitos internos como as correções do raio efetivo Sendo assim o raio do condutor a ser utilizado nos cálculos será sempre o seu raio externo Em contrapartida para o cálculo do campo externo em vez de considerarmos a carga distribuída na superficie do condutor resul ta em boa aproximação considerála concentrada no centro desse condutor 143 Diferença de Potencial entre Dois Pontos no Espaço Figura 146 Condutor e dois pontos do espaço Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 53 De posse da expressão do campo elétrico calculamos a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer do espaço 1 e 2 onde D1 e D2 são as distâncias entre o centro do condutor e os pontos 1 e 2 no espaço que estão localizados em superfí cies concêntricas e equipotenciais Como a diferença de potencial entre os pontos 2 e 2 é nula pois a superfície cilíndrica é equipotencial faremos o cálculo em uma linha radial que passa pelos pontos 1 e 2 Observamos que estamos utilizando o símbolo D para as distâncias que não deve ser confundido com o vetor deslocamento f5 Esta expressão será fundamental para o cálculo de capacitâncias de linhas de transmissão a ser utilizada nos itens a seguir 136 144 Capacitância de uma Linha Bifásica Linha bifásica De posse da expressão fundamental da diferença de potencial entre dois pon tos no espaço externos ao condutor podemos dar início ao cálculo de capacitâncias de linhas de transmissão começando pela linha bifásica Equipotencial que intercepta o condutor 2 D 1 2 1 1 J r2 ÔQ2 1 1 1 Figura 147 Linha monofásica a dois fios A hipótese básica de cálculo utilizada é que a soma das cargas dos conduto res é nula 54 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Q1 Q Q2 Q Ou seja admitiremos por hipótese que a soma das cargas é nula mesmo no caso de n condutores no espaço 13 7 Calculemos inicialmente a diferença de potencial entre os condutores 1 e 2 devida apenas à carga do condutor 1 O cálculo da diferença de potencial entre os dois condutores é feito entre o ponto 1 localizado na superfície do condutor 1 e um ponto 2 no espaço localizado em uma linha equipotencial que intercepta o condutor 2 e passa pelo seu centro Embora o condutor 1 não tenha carga no seu interior para efeito de cálculo assumi remos uma carga filiforme localizada no seu centro Como a distância D entre os eixos é bem maior do que o raio dos condutores D r1 e D r2 assumiremos que esta aproximação no cálculo do campo elétrico nas proximidades da superfície do condutor não introduz uma variação significativa no cálculo da diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 Com relação à fórmula 136 D2 corresponde a D e D1 corresponde a r1 A diferença de potencial devida à carga do condutor 2 é obtida com a mesma expressão considerandose esta carga também como filiforme e localizada no cen tro do condutor Na aplicação da fórmula básica isso corresponde a fazer D2 r2 pois o pon to 2 está localizado na superfície do condutor 2 e D1 D v2 Q ln r2 12 2TCE D Superpondo o efeito dos dois condutores na diferença de potencial encontramos Capitulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 55 ou Q D2 Ví2 ln 2JCE r1r2 que pode ser representada como Q D Ví2 ln e CE jr1r2 No caso particular de maior interesse quando r1 r2 r obtemos Q D Ví2 ln CE r Desse modo a capacitância entre os condutores 1 e 2 é dada por e CE F 12 m lnD r Nota r será sempre o raio externo mesmo no caso de cabos encordoados 138 139 140 Normalmente estamos interessados em uma capacitância faseneutro e usa remos o artificio de considerar a capacitância entre os condutores 1 e 2 como a composição série de duas capacitâncias iguais dos condutores para o neutro Observamos que na figura abaixo o ponto n é considerado no potencial zero Q 2 Q Figura 148 Capacitância faseneutro 56 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Capacitância faseneutro da linha bifásica 2JrE C1n C111 C211 2C12 n ln r 141 Ao alimentarmos uma linha bifásica com dois condutores mesmo sem carga encontramos uma corrente capacitiva dada por l mC12 Ví2 I Ví2 2 Figura 149 Energização da linha Essa corrente capacitiva ocorre em todas as linhas de transmissão quando a plicamos tensão nos terminais da linha em vazio sendo essa operação conhecida na prática como energização da linha A admitância da linha ou mais corretamente a susceptância pois despreza mos a condutância é dada pela expressão l Yc mC12 Sm ou nm Aumentando o comprimento da linha R aumentamos a capacitância total e conseqüentemente a admitância Yc que são proporcionais ao comprimento da linha e desse modo aumentamos também a corrente Esta também aumenta se elevarmos a tensão de alimentação Yc101a1 J mC12 R Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 57 Podemos definir uma reatância capacitiva para a linha A reatância capacitiva é inversamente proporcional ao comprimento As tabelas contendo características elétricas de condutores podem apresentar informações das reatâncias capacitivas faseneutro Vejamos como utilizálas Reatância por fase faseneutro Consideremos a permissividade do ar como igual à do vácuo Eo 885xl0 12 Fim Obtemos a expressão da reatância capacitiva fazendo X 1 e me fn 1 1 2862xl0 9 1nD f r 2Tr 2TrE ln D Ir 9 6 X 2862xl0 lnDQm Xl779xl0 l DQ e f r ou e f n m1 Que pode ser desmembrada em X Reatância capacitiva para afastamento de 1 pé com o raio r dado em pés 1 pé 12 polegadas X fator de afastamento ou espaçamento da reatância capacitiva em pés EXEMPL03 Vejamos o caso do cabo Grosbeak com diâmetro externo D ext 099 lem bramos novamente que para o cálculo de capacitâncias usamos o raio externo e não o rmg do condutor Consideramos nesse caso um afastamento D 20 pés Da tabela para o cabo Grosbeak obtemos a reatância para espaçamento de 1 pé X O 0946 Mümi 58 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Calculamos o fator de espaçamento X l 779 ln 20 O 0888 MDmi 60 Resultando em uma reatância de 183 420 nmi Obtemos o raio externo em pés para trabalhar com a mesma unidade do es paçamento entre fases r dext 099 O 04125 pés 2 2x12 E podemos aplicar a fórmula da reatância para uma fase 6 X l 779xl0 ln 2º 183350 Dmi l 60 004125 que praticamente coincide com o resultado anterior Para uma linha de 100 milhas obteríamos a reatância total faseneutro 183350 xctota 18335 n 100 Neste ponto é conveniente efetuar o mesmo cálculo a partir da admitância de uma fase para o neutro utilizando a expressão 141 C 2JrE 2Jr885x10 l2 fn D 20 ln ln Fim r 004125 C fn 8 992 nFkm Nota Conforme veremos no capítulo 2 podemos trabalhar com o inverso da capa citância 1 D Prn l 798ln kmµF cfn r Calculamos a admitância da linha Yc 2Jr60x8992xl09 S km Yc 339x106 Skm Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 59 Para um comprimento de 100 mi correspondente a 1609 km obtemos a ad mitância total da linha 4 Yctotal 5 45 X l O S que corresponde a uma reatância de 1 xctotal y ctotal X ctotal 183 3 3 D reatância de uma fase para o neutro Verificada a equivalência dos dois procedimentos comentamos que o cálculo da capacitância tornouse tão rotineiro que não há necessidade de extrairmos os valores de reatâncias das tabelas Podemos calcular a corrente capacitiva da linha monofásica a dois fios Para uma tensão entre condutores de 200 kV J 200000 54 5 A 2x1833 145 Linha Trifásica com Espaçamento Equilátero Vejamos como obter a capacitância faseneutro de uma linha trifásica com espaçamento equilátero a D D D e b Figura 150 Linha trifásica com espaçamento equilátero 60 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Adotaremos a restrição de que a soma das cargas nas três fases é nula ou se Ja nesse desenvolvimento admitiremos apenas seqüência positiva para cargas e tensões Em um caso genérico com n condutores generalizaremos esta condição para Admitiremos ainda que os condutores são iguais com o mesmo raio externo Para obter a capacitância faseneutro necessitamos calcular inicialmente as diferenças de potenciais fasefase lembrando que a diferença de potencial entre dois pontos 1 e 2 no espaço é dada pela equação básica 136 Nesse caso calculando as diferenças de potenciais entre fases V06 e Vhc super pondo a contribuição de todos os condutores obtemos para vab posicionando o pontol na superfície do condutor da fase a e o ponto 2 na fase b 1 D r DJ vab ºª ln Qh ln ºe ln 2 r D D Observamos que o cálculo da diferença de potencial entre os condutores a e b com relação às cargas Q0 e Q6 é similar ao realizado para a linha bifásica A contribuição da carga Qc é nula pois estes condutores estão situados em uma super fície equipotencial em relação a esta carga Analogamente a diferença de potencial Vac é dada por 1 D D rJ vac ºª ln Qb ln ºe ln 2 r D D Somando as diferenças de potencial Pela hipótese anteriormente adotada sabemos que Capitulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 61 então resultando na expressão Qª 1 D vab vac 3 n 27rê r 7 1 Figura 151 Tensões de fase e de linha Porém sabemos que em um sistema trifásico simétrico e equilibrado conforme a figura 151 podemos escrever as relações IVab J JJJvan J 13 1 vab vac 1 21vab1 2 1 Vab Vac 1 J3IVab1 3 I Van I Como a soma vetorial Vah V0 c é um número real 3v 3Qª 1 D an n 27rê r Finalmente obtemos a capacitância faseneutro que apresenta uma expressão idên tica à obtida para a capacitância faseneutro da linha monofásica a dois fios 14 l e Van 27rê FI an D m ºª ln 142 62 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 146 Linha Trifásica com Espaçamento Assimétrico Para obtermos a capacitância faseneutro no caso de uma linha com espaça mento assimétrico é necessário que a linha seja transposta A fim de explicitar o cálculo adotaremos um procedimento semelhante ao adotado para o cálculo de indutâncias no item 121 O e também ao caso anterior de espaçamento equilátero calculando a tensão entre fases Vah nos três trechos de transposição 1 II III com os condutores ocupando as possíveis posições espaciais e 3 Corte transversal dos condutores no trecho I I a b e f3 trechos II e a b f 3 e Posicão aérea dos condutores Figura 152 Transposição da linha III b e a C3 Novamente lembrando da expressão para diferença de potencial entre dois pontos aplicamos a fórmula para os trechos 1 II e III Para o trecho 1 Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 63 a 1 b e 3 Figura 153 Trecho 1 Para o trecho II vi I ºª ln D23 Qb ln r Qc ln D 3 J 2Tré r D23 D12 a E finalmente para o trecho III e e 1 b 3 Figura 154 Trecho II b a 3 Figura 155 Trecho III 64 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência V111 IQ 1 D13 Q 1 r Q 1 D12 ab n b n e n 27rE r D13 D23 Calculando o valor médio das tensões entre fases ao longo da linha vU vun vu11 V ab ah ab ab 3 Multiplicando por 3 e simultaneamente extraindo a raiz cúbica dos argumentos a expressão não se altera Conforme definição anterior de distância média geométrica sabemos que DMG D12D23D13 é a distância média geométrica mútua entre fases Desse modo podemos escrever uma expressão mais simples Vab 1Qa ln DMG Qb lnr J 2trE r DMG Analogamente escrevemos para a tensão entre as fases a e e 1 DMG r J vac ºª ln ºe ln 2trE r DMG Novamente somando V0 b com V0c que como vimos anteriormente resulta em 3V0n 1 DMG r r J vab vac 2Qa ln Qb ln ºe ln 27rE r DMG DMG Sabendo que Qb Qc Qa 3Van 13Qª ln DMGJ 2trE r e portanto Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 65 Van 1Qa ln DMG J 2TrE r Resultando para a capacitância faseneutro 2TrE Can DMG Fim ln r 14 7 Consideração de Condutores Compostos ou Bundle 143 A consideração de condutores compostos no cálculo de capacitâncias de li nhas de transmissão é semelhante ao cálculo de indutâncias com a substituição dos vários subcondutores por um condutor com raio equivalente Vejamos o caso de uma linha monofásica com dois subcondutores por fase cadá subcondutor com metade da carga total da fase a 1 1 Q2 Q2 Q Q e b D e 1 1 Q2 Q2 Q Q 2 e Figura 156 Disposição espacial da linha Admitimos que a distância entre fases é bem maior do que o espaçamento en tre subcondutores D e assim como e r D distância entre eixos das fases a e b e espaçamento entre os subcondutores de cada fase Calculemos a diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 da figura usando a equação 136 Vab 1 Q ln D Q ln D Q ln Q ln J 2TrE 2 e 2 r 2 D 2 D l D DJ Q D 2 vab QlnQln ln 2JrE e r 2TrE re A diferença de potencial considerando a presença dos quatro subcondutores é dada por 66 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Q D vab ln trê v re a D b Figura 157 Linha monofásica com dois condutores por fase Chamando o raio equivalente para dois subcondutores em uma mesma fase de na qual ré o raio externo do condutor temos Q D vb ln ª trê reqc Observamos a semelhança de tratamento com o caso de indutâncias Para os casos com três e quatro subcondutores dispostos em uma figura regular usamos as mes mas expressões obtidas em 127 e 128 apenas trocando o raio médio geométri co pelo raio externo do condutor EXEMPLO 4 Dada uma linha trifásica com espaçamento equilátero de 107 m e raio equiva lente do feixe de condutores de 4457 cm alimentando o seu início com tensão no minal obter a corrente e a potência fornecidas pelo gerador considerando os se guintes dados Tensão nominal de linha 500 kV Comprimento 250 km Cálculo da capacitância aplicando a expressão 142 2trê C011 lO Fim êê0 885xl012 Fm ln 004457 Cw1 10272 nFkm Cálculo da corrente absorvida pela linha em vazio V110m 500Ve 250km Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 67 Uma primeira possibilidade de cálculo é trabalharmos em valores por unidade Sb 100 MVA Vb 500 kV V 2 zb b2500 n sb 4 Ybase 4 X 1 O S cito 1O272X109 X 250 nF YI li jwC1101al j377xl0272x109 x250 2 4203 4 pu Ybase Ybase 4X1 O ivaio yv 2 4203X1 j2 4203 pu 100 jillivaiolhase 24203x J3x 500 02795 kA III 2795 A Q242 MVA Outra possibilidade é trabalharmos diretamente com os valores nominais y jwx 10272xl09 x250 I YV I x9681x104 02795 kA Potência reativa trifásica Q 5002 X377X10 272X109 X 250 242 MV A Nesse exemplo verificamos que a passagem para valores por unidade quan do não temos transformadores não é necessária ao cálculo 68 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência EXEMPLOS Calcular as reatâncias indutivas e capacitivas por fase da linha de transmis são dadas as distâncias em metros utilizando o cabo Drake 18 Figura 158 Disposição espacial dos condutores da linha de transmissão Das tabelas de cabos extraímos os dados rmg00373pés Xa0399Qmi dexil108polegadas Calculamos DMG D 10x10x18 12164 m admitindo a transposição da linha Sabendo que 1 pé 03048 m convertemos o rmg para metros rmg 001137 m Calculemos a reatância por fase L 2x107 ln 12 164 L 1395xl06 Hm ª 001137 ª Obtemos a reatância indutiva da linha Xi 2r fLa O 526 Okm O 526x1 609 Omi O 846 Omi ou Xi X 0 Xd espaçamento de 3991 pés 39 91 és 12 164 m p o 3048 Xi 03992022X103 X 60X ln 39910846 Qmi que coincide com o resultado anterior Calculemos a capacitância convertendo o raio externo para metros Capítulo 1 Introdução aos Parâmetros de Linhas 69 1 108 r x00254 001407 m 2 observe que o raio externo tem valor diferente do rmg 2 1 Can Fim EE0 885x10 Fim ln 12 164 001407 can 822 x l0 IL Fim ou na forma mais usual C0 n 822 nFlkm As fónnulas apresentadas nesse capítulo para linhas trifásicas de indutâncias e capacitâncias contêm algumas limitações conforme veremos no capítulo a seguir No entanto dada a simplicidade desse tratamento sua aplicação é interessante quando necessitamos analisar alterações na geometria da cabeça de torre ou mesmo na configuração dos subcondutores Propomos a seguir um exercício que condensa os principais graus de liberdade nos parâmetros de uma linha de transmissão com relação às distâncias médias geométricas própria e mútua EXERCÍCIO PROPOSTO Considerando os mesmos dados do exemplo 5 calcule os parâmetros induti vos e capacitivos da linha de transmissão a Admita feixe com dois e quatro subcondutores por fase e espaçamento de 45 e 80 cm b Altere as distâncias entre fases em mais 50 e menos 50 c Compare os valores obtidos de indutâncias e capacitâncias da linha de transmis são d Como podemos reduzir a indutância de uma linha O que ocorre com a capaci tância 70 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência EXEMPLO DE TABELA DE CABOS CAA ACSR Resistência Resistência Resistência Real 1 n Real 1 rt Area AI NFios D Ext GMR 60Hz 60Hz Nome cmil AIAço pol DC 20ºC AC 60Hz AC 60Hz nng n Indutiva Capacitiva Dli OOOpes 20ºC Dmi 50ºC Dmi X0Dmi XMDmi Linnet 336400 267 0721 00507 02737 03006 00243 0451 O 1040 Hawk 477000 267 0858 00357 01931 02120 00289 0430 00988 Grosbeak 636000 267 0990 00268 01454 01596 00335 0412 00946 Drake 795000 267 1108 00215 01172 0 1284 00373 0399 00912 Rail 954000 457 1165 00181 00997 01092 00386 0395 00897 Bluejay 11 13000 457 1259 00155 00861 00941 00415 0386 00874 Bobo link 1431000 457 1427 00121 00684 00746 00470 0371 00837 Bluebird 2156000 84119 1762 00080 00476 00515 00586 0344 00776 Dados de condutores extraídos de Aluminium Electrical Cvnductor Handbook New York September 1971 15 Referências bibliográficas l Purcell E M Eletricidade e Magnetismo São Paulo Edgar Blucher 1973 Curso de Física de Berkeley 2 2 Stevenson Junior W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ed McGrawHill 1986 3 Electric Power Research Institute Transmission Line Reference Book 345 kV and Above 2 ed Palo Alto 1982 CAPÍTULO 2 CÁLCULO MATRICIAL DE PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 21 Introdução Estenderemos as análises efetuadas no capítulo 1 calculando os parâmetros elétricos de uma linha de transmissão com a presença do solo o que nos levará a uma abordagem matricial das impedâncias e capacitâncias distribuídas da linha Nosso propósito é incluir a presença do solo ainda que de maneira elementar de tal modo que avaliações simplificadas do seu efeito possam ser realizadas Considera mos inicialmente o solo como um condutor perfeito com resistividade nula o que irá permitir a aplicação do método das imagens viabilizando desse modo a exten são dos conceitos anteriormente desenvolvidos Poderemos então avaliar os efeitos de outros cabos aéreos nas proximidades das linhas de transmissão e assim dos efeitos dos cabosguarda também conheci dos por cabos páraraios Cabe mencionar que a consideração mais ampla do solo com resistividade não nula só é possível através de formulações matemáticas mais complexas como por exemplo o desenvolvimento das expressões em séries na for mulação de Carson que estão fora do escopo deste texto e por isso aqui brevemen te mencionadas Apresentaremos a seguir os conceitos elementares do cálculo de parâmetros de linhas de transmissão com a presença simplificada do solo o que permitirá ao aluno o aprendizado dos elementos básicos úteis como ponto de partida em estu dos mais aprofundados que porventura sejam necessários em atividades mais especializadas 22 Cálculo de Parâmetros Incluindo o Efeito do Solo Neste item introduziremos o cálculo matricial de impedâncias série de linhas de transmissão incluindo o efeito da presença do solo considerado como um con dutor perfeito com resistividade p O 72 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 221 Matriz de Impedâncias Série Inclusão da presença do solo 11 Vii li lk 111 Inicio Fim Figura 21 Linha de transmissão polifásica f lk Figura 22 Catenária No cálculo de parâmetros de cabos aéreos adotaremos as hipóteses descritas a seguir a Consideramos os cabos cilíndricos retilíneos paralelos ao plano do solo uni formes e com comprimento suficientemente longo para desprezar o efeito de distor ções de campos nas extremidades Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 7 3 b Consideramos a altura média do condutor para levar em conta o efeito da defor mação do cabo que descreve uma curva na forma de uma catenária Uma hipótese razoável para calcularmos a altura média é adotar considerando que h1 altura do cabo na torre hmin altura do cabo no meio do vão supondo o terreno plano flecha no meio do vão f h1 hmin c A resistividade p do solo é admitida constante com o terreno plano e homogê neo com permeabilidade relativa magnética aproximadamente igual a µr 1 µµo d O campo eletromagnético produzido por um cabo individualmente não se altera com a presença de campos causados pela passagem de corrente em outros cabos aéreos Iniciemos nossa consideração do efeito do solo admitindo um solo perfeito com resistividade nula p O Até aqui para aplicarmos a fórmula do fluxo concatenado com um condutor por um grupo de condutores admitimos a hipótese de que a soma das correntes era nula Isto implica limitar o cálculo considerando apenas o efeito das correntes de seqüência positiva ou negativa desprezando o efeito da seqüência zero em que A consideração do efeito do solo resolve este problema quando aplicamos o mé todo das imagens permitindo analisar casos em que a soma das correntes não é nula 222 Aplicação do Método das Imagens Na figura 23 temos h altura média do condutor i em relação ao solo diJ distância entre os condutores aéreos i ej escritas com letras minúsculas Du distância entre condutor i e imagem do condutor j escritas com letras maiús culas req raio equivalente do iésimo condutor ou feixe de subcondutores 74 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 1 o f 1 eqz o D 2h p O f J ln Q Figura 23 Disposição espacial dos cabos condutores Sabemos que du dJi e Du Dp Para os cabos aéreos podemos admitir uma somatória de correntes não nula No entanto para as imagens encontramos a mesma somatória com o sinal trocado f LJ I de tal modo que para todo o conjunto de condutores a soma total das correntes é nula permitindo então a aplicação da expressão do fluxo concatenado com um con dutor genérico i por um grupo de condutores CaJculemos o fluxo concatenado com o condutor i por unidade de comprimento do cabo considerando o grupo de condu tores e incluindo as imagens rJ 2X107 1 1 1 11 ln ln ln d 1 d il req i11 1 1 1 11 ln In1 ln h 1 D1 2 D11 Resultando na expressão mais compacta que será doravante utilizada 2 101 1 1 Dn 1 2h 1 D11 J r x 1 n 1 n111 n d1 req di11 2 1 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 75 Para esse condutor incluindo a parcela resistiva a queda de tensão série na linha por unidade de comprimento pode ser escrita como d fJ t LlV t Rt t 1 li dt Aplicando a transformada de Laplace nesta equação obtemos L1Vj s RJ s sfJ s 22 Incluindo a queda de tensão por efeito resistivo escrevemos para o iésimo condu tor com s jOJ em regime permanente senoidal a expressão da queda de tensão ao longo da linha de transmissão para uma dada unidade de comprimento LlV RJ mn 1 li 1 ft Lembrando que d d e D D ao multiplicar a expressão 21 por Ij JI Ij 1 jOJ e somar o resultado com a queda resistiva obtemos 7 1 D1 1 1 2h Dni L1V R f 2mx10 11 n n 1 1 11 1 1 n dli reqzi d ni Denominamos as reatâncias próprias 7 2h X 2mx10 ln Om req e as reatâncias mútuas D X iJ 20JX 1 o7 ln 0m para i 7 j d Ij 23 24 Escrevendo as expressões para as quedas de tensão em regime pennanente em um grupo de condutores acoplados obtemos LlVj jXn 11 R jX 1 jXn1 n Chamando as impedâncias por unidade de comprimento Z R jX impedância própria do iésimo condutor 76 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Z ij jX ij impedância mútua entre os condutores i e j Obtemos a matriz de impedâncias série dos cabos acoplados em regime per manente senoidal para uma freqüência OJ 2r f rads L1Ví 2 Zi Zn f 1 LV 1 ZiJ z li 2 in X J I 25 LVn 2 nl 2ni 2nn ln ou LtVZI na qual z é a matriz de impedâncias série da linha de transmissão que apresenta estrutura simétrica Z11 ZJi 2In Z zil z li 2 in z 1 zji ZnJ 2ni 2nn Como d d D D entãoz z 1 JI 1 JI 1 jl Com o objetivo de facilitar o tratamento no caso de feixes de condutores trabalharemos sempre com o conceito de raio equivalente do feixe apresentado no capítulo anterior Os programas de cálculo de parâmetros inicialmente consideram cada cabo do feixe o que implica na formação de uma matriz de impedâncias de ordem mais elevada Em uma segunda etapa como esses cabos estão submetidos à mesma diferença de potencial operase uma redução na matriz obtendose os pa râmetros equivalentes de cada fase No entanto adotaremos o raio equivalente do feixe o que é suficientemente preciso para os propósitos do nosso texto 223 Solo com Resistividade não Nula Vimos até aqui a consideração do efeito do solo com resistividade nula Na realidade o solo não é um condutor perfeito apresentando uma resistividade p O Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 77 Isto faz com que as correntes pelo solo se distribuam de modo diferente de acordo com a freqüência ou seja para freqüências mais elevadas as correntes tendem a se concentrar na superfície apresentando um efeito semelhante ao efeito pelicular em um condutor visto no capítulo 1 A formulação matemática deste tratamento é rela tivamente complexa envolvendo uma decomposição em série de Bessel sendo muito aceita a proposição feita por Carson em 1926 que passou a ser denominada correção de Carson Nessa correção o efeito equivalente é o de se considerar para diferentes fre qüências as imagens com posições diferentes não sendo objetivo do nosso curso um aprofundamento deste tratamento matemático Consideramos então os parâmetros calculados admitindo o solo com resisti vidade nula mais um termo de correção de Carson para levar em conta p t O 1 Zii Rii i1Rii j2mx 104 ln ji1X nkm req e Com resistividade nula p O adotamos JR i1R O li lj i1Xii 2m X 104 ln 2h i1X iJ 2mx 1 o4 ln Du Permanecendo válidas todas as expressões anteriormente apresentadas Com a finalidade de considerar o efeito de resistividade do solo não nula com p t O aplicamos as correções de Carson abaixo indicadas válidas na faixa de O a 100 Hz LJR 4mx l 04 1 5708 O 0026492 h hi JTiP J lj 4 4 LJX 4mx104 ln 6588 00026492h hi JTiP lj 4 flp 4 78 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Comentamos que os programas atuais de cálculo de parâmetros consideram correções mais complexas envolvendo um número bem maior de termos e de coe ficientes que são apresentados no item 25 224 Efeito dos CabosGuarda autoportante estaiada Figura 24 Torres de linhas de transmissão Em linhas de transmissão que atravessam regiões com nível elevado de des cargas atmosféricas para a terra é conveniente protegêlas com cabosguarda posi cionados de tal forma que os raios atinjam preferencialmente estes cabos e não os condutores Este assunto é tratado no estudo do desempenho atmosférico da linha de transmissão a surtos atmosféricos lightning performance Para considerar a influência dos cabosguarda na matriz de impedâncias série de uma linha de transmissão esses são simplesmente incluídos na matriz de impe dâncias de modo análogo aos demais condutores Consideremos as quedas de ten são longitudinais variações de tensão com a corrente na linha na forma compacta admitindo a possibilidade de mais de um caboguarda Zcc matriz de impedâncias série dos cabos condutores Z gg matriz dos cabosguarda 26 Capitulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 79 Zcg matriz de impedâncias mútuas entre condutores e cabosguarda No caso de apenas um caboguarda exemplificamos L1Vj 2 11 2 12 Z13 1 1 2 14 11 1 L1V2 Z21 Z22 Z23 1 12 1 2 24 27 1 X L1V3 2 31 2 32 Z33 Z34 13 L1V4 2 41 2 42 Z43 1 Z44 14 1 Como a matriz Z tem estrutura simétrica Zcg Zc Antes de introduzirmos a eliminação dos cabosguarda recordemos o proce dimento algébrico simples de eliminação de uma equação na solução de um siste ma linear com as características definidas a seguir Suponhamos um sistema linear de duas equações tendo como incógnitas as variáveis x e y e admitindo os coeficientes a 3 y 8 e p conhecidos a Jx yy Oôxpy Tomando a segunda equação a variável y pode ser colocada em função de x na forma 8 yx p que substituída na primeira equação fornece yô a Jxx p e finalmente A obtenção das variáveis x e y é então imediata O mesmo procedimento po de ser adotado quando temos um sistema de equações escrito na forma matricial sendo x e y vetores de incógnitas e a BJ 1 8 e p matrizes e vetores a fJx yy Ü ô X p y 80 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Novamente eliminando o vetor de variáveis y na segunda equação ypr18x que substituído na primeira equação resulta em aLBrpr 1 ôJx e facilmente obtemos x com a solução do sistema linear de equações Aplicamos o mesmo procedimento no cálculo de parâmetros de linhas de transmissão quando temos sistemas de equações lineares com algumas condições de contorno conhecidas como no caso do uso de cabosguarda Tal procedimento é conhecido como redução dos cabosguarda Cabosguarda aterrados Vejamos inicialmente o uso de cabosguarda conectados com a torre e por tanto aterrados Quando o caboguarda for continuamente aterrado ou seja aterrado em todas as torres podemos admitir quedas de tensão longitudinais LlVg O ao longo do trecho examinado JV O Figura 25 Cabosguarda aterrados Entre duas torres consecutivas k e k l na faixa de freqüências do regime permanente a 60 Hz podemos admitir que as bases das torres se encontram prati camente no mesmo potencial de terra V7j Vr2 e que as quedas de tensão L1Vi nas estruturas sejam nulas Desse modo as quedas de tensão nos cabosguarda L1Vg Vk Vkl também são nulas e tal resultado pode ser estendido ao longo de todo o trecho de linha examinado Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 81 O sistema de equações 26 com LlVg O pode ser particionado na forma de duas equações matriciais Ll Vc Z cc f e Z cg J f g J O Z gc J J e Z gg J f g J Podemos então eliminar o vetor de corrente 1 g J nos páraraios 1 g J z gg r 1 z gc J 1 e que substituído na equação de quedas de tensão fornece LlVc Z cc f e Z cg Z gg JI Z gc J f e e finalmente Desse modo eliminamos as correntes nos cabosguarda e ficamos com uma matriz de impedâncias equivalente que inclui o seu efeito Esta simples eliminação de equações recebe o nome de redução de Kron 28 Essa operação de certa forma nos leva a fazer uma analogia com os enrola mentos primário e secundário de um transformador cujas tensões e correntes po dem ser relacionadas pela matriz J1í 11 tensão e corrente do primário V2 12 tensão e corrente do secundário Z1 Z2 impedâncias próprias do primário e secundário zm impedância mútua entre primário e secundário 82 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Quando temos o secundário em curto podemos obter uma impedância equiva lente vista do primário fazendo V2 O portanto V z1 1 v Zcc Vejamos o caso de eliminação de apenas um caboguarda e sem perda de generalidade consideremos o caso de uma linha trifásica com um caboguarda ater rado Para isso tomemos a expressão 2 7 fazendo L1V4 O L1Ví ZJJ ZJ2 Z13 214 11 L1V2 Z21 Z22 Zz3 224 X 12 L1V3 Z31 Z3z Z33 Z34 13 o Z41 242 Z43 Z44 14 Aplicando a expressão 28 obtemos l dV l wll 212 ZIJ l l Z14 l Z431Jl L1V2 Z2 1 Z22 Zz3 224 z 4 2 41 Z42 L1V3 Z31 Z32 Z33 Z34 l dV l wll Z12 Z13 l l Z14Z41 Z14Z42 Z14Z43 ll l JI l L1V2 Z21 Z22 Z23 l Z24Z41 Z24Z42 Z24Z43 X 12 L1V3 Z31 Z44 Z34Z43 13 232 Z33 Z34Z41 Z34Z42 Voltando a um caso genérico observamos que cada novo elemento da matriz zij após a eliminação das linhas e colunas n será constituído por 29 ZJJ Z12 zlj zln 1 i l i No caso de eliminação de um caboguarda essa operação é relativamente simples de ser efetuada sem necessitarmos recorrer aos cálculos matriciais No caso Capitulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 83 de eliminação de dois ou mais cabosguarda é recomendável o uso de expressões matriciais Cabosguarda isolados A eliminação dos cabosguarda nesse caso é mais simples pois os mesmos encontramse isolados em todas as torres da linha de transmissão por meio de pe quenos isoladores sem passagem de corrente a 60 Hz Nesse caso para o regime permanente admitiremos 1 g O ltcjxJc L1Vg Zgc 1 Zgg O 1 Resultando em Ou seja sob o ponto de vista das quedas de tensão nos condutores a presença dos cabosguarda pode ser ignorada Podemos no entanto calcular a tensão induzi da nos cabosguarda como em qualquer condutor paralelo à linha de transmissão Após a eliminação dos cabosguarda nos casos de cabos aterrados ou isola dos obtemos uma matriz correspondente aos condutores das três fases que chama remos de fases a b e e de forma a não confundir com as componentes simétricas O 1 e 2 Neste caso escrevemos ou na forma compacta vabc z abc 1 abc 225 Aplicação de Componentes Simétricas O fato de as equações de queda de tensão apresentarem acoplamento entre fa ses sugere a aplicação de transformações de componentes de fase para componentes simétricas 84 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Em um sistema de potência trabalhamos com tensões e correntes trifásicas senoidais chamadas de componentes de seqüências de fase escritas em regime permanente para um ponto da rede Ía V ª 1 lb v b1 e v1 c1 rede Figura 26 Grandezas de fase Definimos uma transformação de coordenadas Vabc Iahc para um novo sistema de coordenadas V012 e J 012 e chamamos essas novas coordenadas de componentes simétricas Essa operação matemática conhecida como uma mudança de base de um sistema é comum na da álgebra linear A matriz de transformação utilizada em sistemas trifásicos em regime permanente senoidal é dada por Vabc T Vo 12 21 O Sendo na qual definimos os números complexos a 1Ll20º O 5 jO 866 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 85 a 2 1 L 120º O 5 JO 866 Desmembrando a expressão 21 O temos Estabelecemos então que a tensão V0 está associada a uma seqüência de faso res em paralelo alinhados no plano complexo Vi está associada a uma seqüência de fasores de seqüência direta ou seja com a rotação das componentes em sentido antihorário e V2 está associada a urna seqüência de fasores de seqüência inversa ou seja com rotação em sentido horário aVj a2v2 Vª Vo Vi aV2 a2v l Figura 27 Decomposição em componentes simétricas Dado que a matriz T é uma base e portanto inversível a transformação in versa é feita tomandose simplesmente sendo como vimos Quando trabalhamos com condições transitórias de redes em detenninados casos temos a necessidade de aplicar as chamadas transfonnações modais que não 86 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência serão objeto de nossa discussão mas que podem ser encontradas em diversas refe rências Com essas transformações conseguimos o desacoplamento das equações com vantagens introduzidas no cálculo dos transitórios em sistemas de potência Podemos entender a transformação em componentes simétricas como uma operação semelhante no regime permanente na qual efetuamos o mesmo desaco plamento das componentes de fase através de matrizes de transformação que dia gonalizam o sistema de equações em análise Desse modo podemos estabelecer uma correspondência entre valores de fase e de seqüências para as quedas de tensões longitudinais L1 vabc z abc 1 abc L1Vabc T L1Vo 12 1 abc T f O 12 nas quais 2 11 212 213 L1V0 L1Vj e L1V2 são as quedas de tensão em série da linha de transmissão dadas em componentes de seqüências zero positiva e negativa respectivamente Da mesma forma 10 1 e 12 são as correntes de seqüência na linha Vejamos agora como obter os parâmetros série da linha de transmissão em componentes simétricas Para isso substituímos 212 e 213 em 211 T L1Vo 12 Z abc T 1o12 A matriz Zabc é simétrica com cada termo dependente da posição geomé trica dos cabos Prémultiplicando toda a expressão matricial por r1 encontramos L1Vo 12 r I Z abc T 1o12 Essa passagem resulta na matriz de impedâncias série em componentes simétricas Zo 12 rI Z abc T 214 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 87 na qual l zoo ZoJ z02 Zo12 z10 ZJJ ZJ2 Z20 Z21 Z22 Para os termos da diagonal z00 ou z0 é a impedância de seqüência zero z 11 ou z 1 é a impedância de seqüência positiva z 22 ou z 2 é a impedância de seqüência negativa 215 Os termos fora da diagonal correspondem às impedâncias mútuas entre se qüências Quando fazemos a transposição de uma linha de transmissão trifásica obte mos para os termos próprios da diagonal principal Zaa zbb Zcc z p 3 216 e para as mútuas fora da diagonal 217 Isso ocorre porque todas as fases ocupam em média todas as possíveis posições no espaço como vimos anteriormente Observamos que esse é um procedimento semelhante ao adotado para trans posições no capítulo 1 Então para linhas com transposição obtemos uma matriz com a seguinte composição Zp Zm Zm Zabc Zm 2 p Zm Esta matriz tem uma estrutura particular simétrica e balanceada que favore ce a aplicação de componentes simétricas Aplicadas as transformações obtemos um sistema de equações desacoplado com a matriz de impedâncias em componentes simétricas com elementos nulos fora da diagonal 88 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência na qual o 2 11 o z00 z P 2zm o o Z22 218 A impedância de seqüência zero z0 z00 é a soma dos elementos da primei ra linha de Zabc transposta As impedâncias de seqüência positiva e negativa z1 z11 e z2 z22 são iguais e dadas pela expressão 219 Essas impedâncias de seqüência positiva e negativa são iguais à diferença en tre as impedâncias própria e a mútua No caso de linhas não transpostas a matriz T não diagonaliza a matriz de im pedâncias de fase sendo necessário obter uma matriz adequada a esta finalidade através do cálculo dos autovalores e autovetores No caso de matrizes balanceadas a matriz T é sempre a mesma tomando conveniente a aplicação de componentes simétricas Embora possamos solucionar os problemas usando componentes de fase no caso de linhas transpostas é conveniente a aplicação de componentes simétricas 23 Matriz de Capacitâncias Vejamos como obter a matriz de capacitâncias de uma linha admitindo o so lo como um condutor perfeito e aplicando o método das imagens Ao incluirmos o solo permitimos uma generalização do nosso problema pois podemos trabalhar com a hipótese de somatório das cargas de n condutores não nulo Considerando inicialmente o caso de dois condutores aéreos e aplicando o método das imagens temos a representação da figura 28 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 89 1 h 2 I I I I I x y I I I I I 2 I 1 1 1 1 1 1 1 ó X Y 1 Qj b Figura 28 Dois condutores aéreos Com a aplicação do método das imagens temos para os condutores aéreos n Lºi iI e para as imagens de tal modo que o somatório total de cargas é nulo Calculemos a diferença de potencial do condutor i em relação ao solo consi derado com potencial nulo Para isso tomemos a equação básica de diferença de potencial entre dois pontos 136 apresentada no capítulo 1 Situando o ponto 2 sobre a superfície do solo e o ponto 1 na superfície do condutor e superpondo os resultados das quatro cargas de condutores e imagens obtemos Q h h J Qj X X J VV12 ln ln ln ln 27rE 2h 27rE d D I I IJ IJ 90 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ou V Qi 1 2hi QJ 1 Du J i n n 2trE r 2trE d I lj 220 Observamos que podemos deslocar o ponto 2 ao longo da equipotencial do solo que os resultados não se alteram por exemplo na posição 2 indicada na figura 28 a contribuição da carga Q1 seria Q y y J Q D 1 ln ln 1 ln 2JrE d Dii 2trE d lj lj mantendo o resultado obtido anteriormente com o ponto 2 h I 1 1 1 1 h1 I 1 1 1 1 1 ô 1 h o 1 p Figura 29 Linha com n condutores aéreos Para uma linha de transmissão genérica com n condutores aéreos estende mos o resultado da expressão 220 fazendo Ví ª1 ln 2h1 Qi ln Dti Qn ln Din J 2trE r1 2trE du 2trE d1 n V ª1 ln Dii iL ln 2hi Qn ln Dn J 2trE d 2trE ri 2trE din Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 91 V1 12L1n Dnl Qi ln Dni Qn ln 2hn J 2JrE dnl 2JrE dni 2JrE rn Essas expressões podem ser colocadas na forma matricial fazendo ln 2h1 1 Dli n 1 Din n Vi r1 dli dln Q1 D1 1 2h 1 Din V ln n n X Qi 1 2trE dn din r I vn 1 Dn1 1 Dni ln 2hn Qn n n dnl dni rn ou Vi P11 Pti P1n Q1 V Pn Pn Pin X Qi vn Pn1 Pni Pnn º11 que pode ser colocada na forma compacta VPQ 221 E denominamos P matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell na qual estes coeficientes são obtidos pelas expressões 1 n P ln L i j 2JrE d lj 222 1 2h 1 P n 1 2JrE ri 223 ri será sempre o raio externo do condutor i ou o raio equivalente quando os condu tores de uma fase formarem um feixe Obviamente o raio equivalente deverá ser calculado com o raio externo do condutor A matriz P é simétrica pois D DJi e du dJi 92 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como 1 1 6 1798 kmµF 2JrE 2rr885X1 o12 Fim 10 2rrx885x1012 3 µFkm 10 é aceitável trabalharmos com a expressão mais simplificada D 1j Pu l 798ln kmµF d lj Lembrando que i t dq t dt Ao considerarmos as três fases essa expressão pode ser colocada na forma vetorial iabc t J q abc t J dt Para o regime permanente senoidal obtemos a seguinte relação entre correntes e cargas elétricas em valores fasoriais 1 JmQ Obtemos as cargas elétricas a partir da expressão 221 fazendo Chamamos a matriz inversa dos coeficientes de potência de Maxwell de matriz de capacitâncias e CPrt resultando em Q cv Para o nosso sistema matricial de equações escrevemos sendo 1 Jm cv 1 YV 224 225 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 93 1 vetor de correntes fasoriais V vetor de tensões fasoriais Y matriz de admitâncias nodais Y Jw e Nessa altura comentamos que a matriz Y tem a estrutura de uma matriz de admitâncias sendo J as correntes injetadas nos nós e V as tensões nodais 1 k l cik C1 1 1 Cn 1 n Figura 21 O Rede capacitiva Observamos que estamos trabalhando com parâmetros distribuídos e quando falamos em corrente injetada nos nós estamos nos referindo a uma parcela de cor rente transversal às linhas de transmissão f j il il Figura 211 Corrente nodal injetada na rede de capacitâncias para linha com comprimento unitário Ou seja ao aplicarmos tensão no condutor i estamos nos referindo à corrente li injetada transversalmente na linha que atua no nó i da matriz de admitâncias no 94 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência dais formada pelos condutores com comprimento unitário e 1 Para avaliarmos a corrente transversal total evidentemente somamos todas as parcelas unitárias que compõem o comprimento total da linha Observamos que estamos desprezando até aqui o efeito de correntes longitudinais que alteram a distribuição de tensões ao longo da linha pois estamos analisando apenas a parcela eletrostática A formulação com pleta que leva em conta os efeios longitudinais e transversais será objeto do próximo capítulo no qual desenvolveremos modelos mais completos de linhas de transmissão A matriz de capacitâncias é dada por Ct l C12 Ctn CJ C21 C22 C2n cnl cn2 cnn Sendo cii a soma das capacitâncias incidentes no nó i e cu a capacitância entre os nós i e j com sinal trocado No caso de uma linha trifásica exemplificamos e para as capacitâncias mútuas entre fases temos em regime permanente senoidal valores eficazes 226 e assim por diante Se os condutores aéreos 1 2 e 3 corresponderem às fases a b e e de uma li nha teremos A obtenção das capacitâncias C01 Cbt Cct Cab Cbc Cca de uma linha trifásica é feita no exemplo 1 figura 219 Para o caso de uma linha trifásica exemplificamos as matrizes mencionadas até aqui Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 95 l Vi l P11 P12 p13 l Q V2 P21 P22 p23 X Q2 V3 P31 P32 p33 Q3 l QI l C11 C12 C13 l Vi Q2 C21 C22 C23 X V2 Q3 C31 C32 C33 V3 231 Consideração dos CabosGuarda A consideração da presença dos cabosguarda é feita de modo semelhante ao caso da matriz de impedâncias admitindose os casos de cabos aterrados e cabos isolados Figura 212 Torres com um e dois cabosguarda Tomemos o caso de uma linha trifásica com as fases a b e e correspondentes aos condutores 1 2 e 3 A inclusão de um caboguarda é feita com a adição de mais uma linha e uma coluna na matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell IVª Paa Pab Pac Pag ºª vb Pba Pbb Pbc Pbg Qb l X Pca Pcb Pcc Pcg Qc Pga Pgb Pgc Pgg Qg 96 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Analogamente a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell com dois cabos guarda é feita com a inclusão de duas linhas e duas colunas Vª Paa Pab Pac 1 Pagl Pag2 ºª 1 1 vh Pba Pbh Phc 1 Pbgl Pbg2 Qb 1 1 vc 1 Qc Pca Pcb Pcc 1 Pcgl Pcg2 X 1 vg 1 T Qgl Pgla Pglb Pg1c PgigI Pglg2 vg2 1 Qg2 Pg2a Pg2b Pg2c Pg2gl Pg2g2 Ou na forma compacta para um caso genérico Quando necessitamos efetuar cálculos que dependem apenas dos condutores é conveniente eliminar os cabosguarda cujo procedimento será descrito a seguir Cabosguarda aterrados g a b e Figura 2 I 3 Caboguarda aterrado V 0 g Quando os cabosguarda forem aterrados para baixas freqüências como a freqüência nominal operativa assumimos uma queda de potencial nula na torre estando o caboguarda no mesmo potencial do solo e assim Capitulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 97 Essa equação pode ser particionada na forma de duas equações matriciais Vc e Qc Pcg J Q g O J Pgc Qc Pgg J Q g J Podemos então eliminar a carga Qg dos páraraios tomando a segunda equação particionada que substituída na primeira equação fornece Vc e Qc g Pgg I Pgc Qc vc J Icc Pcgpgg lpgc Qc J Desse modo eliminamos as cargas do caboguarda e ficamos com uma matriz equivalente de coeficientes de potenciais que inclui o efeito dos cabosguarda p J Icc Icg pgg I pgc Cabosguarda Isolados g a b e Figura 2 t 4 Caboguarda isolado 227 98 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Nesse caso a carga do caboguarda é nula Qg O Resultando em Vc pcc Qc Vg g J Qc 228 229 Para se obter a tensão induzida no caboguarda isolado ou em qualquer con dutor paralelo à linha de transmissão em vazio reescrevemos a expressão 228 230 que substituída na equação 229 fornece 231 232 Aplicação das Componentes Simétricas no Cálculo de Capacitância No caso de linha trifásica transposta fazemos o baanceamento na matriz dos deficientes de potenciais de Maxwell conforme o procedimento anteriormente ado tado no cálculo de impedâncias Consideremos a linha trifásica com as fases a b e e coincidentes com os con dutores 1 2 e 3 respectivamente rnJ Pp Pm Pm ºª J Pm Pp Pm X Pm Pm Pp 232 onde P P11 P22 p33 p 3 P P12 P13 P23 m 3 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 99 Após o balanceamento efetuamos a inversão da matriz P obtendo a matriz de capacitâncias da linha transposta Aplicando as componentes simétricas obtemos Substituindose as relações anteriores em 232 obtemos Prémultiplicando os dois membros da igualdade por r 1 na qual 233 234 Verificamos que como cm tem sinal negativo na matriz de capacitâncias as capa citâncias de seqüência positiva são maiores do que as capacitâncias de seqüência zero c1 c0 100 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 24 Linhas de Transmissão com Circuitos em Paralelo e Cabosguarda Figura 215 Circuitos em paralelo Em uma mesma torre de uma linha de transmissão podemos encontrar até dois circuitos Além disso podem existir outras linhas na mesma faixa de passagem ou mesmo nas proximidades Há casos em que devemos levar em conta o acopla mento entre os condutores desses circuitos construindo matrizes de impedâncias e capacitâncias expandidas Examinaremos o tratamento de múltiplos condutores com a formação da ma triz de impedâncias série sendo esse procedimento análogo ao que seria também adotado para a matriz de capacitâncias Quedas de tensão nos condutores Para cada circuito trifásico escrevemos as quedas de tensão série nos condu tores L1Vª1 L1V ª111 L1Vabc1 L1Vb1 L1V b a c111 L1V blll L1Vc1 L1V cm e também para os cabosguarda Capitulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas J O J Assumimos a existência de q cabosguarda em uma torre Normalmente en contramos q 2 no entanto podem existir alguns projetos especiais com q 3 No caso de várias linhas na mesma faixa de passagem com todos os circuitos aco plados podemos encontrar q 3 A obtenção da matriz de impedâncias série dos circuitos acoplados segue os seguintes passos 1 º Passo montagem da matriz de impedâncias série com todos os condutores aé reos incluindo os cabosguarda L1Vabc1 2 11 ztm ztg Jabc1 abc ahc abc L1Vabc zml zmg X 1 zmm m abc abc abc abc111 L1Vg zgt zgm zgg Jg abc abc na qual Zaiai Zaibi zal zªiªJ Zaibj 2 aC II I zii J abc zbiai zbibi zbC II zU abc zbiªJ zbibJ 2 bC I Zciai Zch ZCC 2 ca 2 cb ZCC II I I I zbc J matriz de impedâncias série dos cabos abc do circuito i zthc J matriz de impedâncias mútuas entre os condutores abc dos circuitos i e j Zc J impedâncias mútuas entre os condutores abc do circuito i com os cabos guarda Zgg J matriz de impedâncias série considerando somente os cabosguarda 2 Passo eliminação dos cabosguarda isolados ou aterrados L1V l ztt abc abc LIV b Z As matrizes reduzidas Zbc nesse passo apresentam elementos distintos da queles do passo 1 após a redução no caso de cabosguarda aterrados 3º Passo se houver transposição em k seções obtemos uma média das impedâncias dos condutores segundo suas posições espaciais ao longo de toda a linha de transmissão 102 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A seguir analisaremos o caso mais comum de um circuito duplo com dois cabosguarda e nesse caso particular aproveitamos para calcular os parâmetros seqüenciais sendo esse procedimento extensível ao caso de múltiplos circuitos Uma transposição que não introduza acoplamento entre seqüências não é usual sendo executada com um circuito transposto em três seções e outro em nove seções Consideremos o caso mais comum de circuitos com disposições simétricas na mesma torre com transposições em três trechos para cada circuito segundo um esquema de rotação de fases em direções opostas para os dois circuitos denominada de rotação antisimétrica 7 8 Figura 216 Rotação de fases antisimétrica A matriz de impedâncias série para cada trecho teria a seguinte constituição respeitando a nomenclatura da figura anterior 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 21 Z22 Z23 2 24 2 25 2 26 Z27 2 28 2 31 232 Z33 Z34 Z35 236 Z37 2 38 Z 2 41 2 42 Z43 Z44 Z45 246 Z47 2 48 2 51 2 52 Z53 Z54 Z55 2 56 Z57 2 58 2 61 2 62 2 63 2 64 265 266 2 67 268 2 71 Z72 Z73 Z74 Z75 2 76 Z77 Z73 281 2 82 2 83 2 84 2 85 286 2 87 Zgg Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 103 As fases a b e de cada circuito ocupariam as seguintes posições espaciais nos trechos de transposição 1 II III Trecho ª1 b Ct ª2 b2 C2 g g2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 II 2 3 1 6 4 5 7 8 III 3 1 2 5 6 4 7 8 Com a eliminação dos cabosguarda temos a matriz reduzida cujos elementos se rão diferentes daqueles da matriz completa original se os cabosguarda forem ater rados 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 21 Z22 Z23 2 24 2 25 2 26 Z 2 31 2 32 Z33 Z34 Z35 2 36 2 41 2 42 Z43 Z44 Z45 2 46 2 51 2 52 Z53 Z54 Z55 2 56 Z6J 2 62 2 63 264 2 65 2 66 Após a transposição proposta temos uma matriz com a seguinte estrutura adequada para a aplicação de componentes simétricas zpl 2 ml 2 ml 2 p12 2 ml2 2 ml2 2 ml zpl 2 ml 2 ml2 2 pl2 2 ml2 2 ml Zm zpl 2 ml2 2 ml2 2 p l2 Z 2 pl2 2 ml2 2 ml2 zp2 2 m2 2 m2 2 ml2 2 p12 2 ml2 2m2 zp2 2 m2 2 ml2 2 ml2 2 pl2 2 m2 2 m2 zp2 na qual cada submatriz apresenta os termos da diagonal iguais entre si e os fora da diagonal também iguais entre si 104 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Escrevemos o sistema de equações matricial na forma compacta L1V l zl 1 abc ahc L1Vbc Zfhc Zc x Jihc 2 22 12 ahc ahc 4º passo Transformamos em componentes simétricas as tensões e correntes segun do o tratamento matricial abaixo indicado 2 12 r abc X z22 o abc Prémultiplicando os dois membros por temos ou r 1 o J o r 1 O Zbc r1 x z21 abc Llv1 r1z11 r r1 2 12 r 11 012 abc abc X 012 Ltv2 r12 21 r r12 22 r 12 012 abc abc 012 Resultando na expressão transformada Nesse caso com a transposição proposta para 1 ij 2 obtemos z o o l Zg12J i zii o 1 o Zf ziJ o o o Zg12 o ziJ 1 o o o ziJ 2 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 105 Os circuitos duplos em geral apresentam zg Zi Zf Desse modo em termos práticos muitas vezes levamos em conta apenas o acoplamento mútuo entre seqüências para a seqüência zero principalmente no cál culo de correntes de curtocircuito envolvendo circuitos paralelos 2 11 circ 1 2 22 circ 2 Figura 217 Circuito equivalente de seqüência zero com mútua entre circuitos Os resultados anteriores obtidos para o cálculo de indutâncias de linhas de transmissão podem ser estendidos ao cálculo de capacitâncias em linhas com cir cuitos múltiplos sendo que normalmente desprezamos também as mútuas de se qüências zero EXEMPLO 1 hc altura média do condutor IOm IOm 1 1 1 1 120 cm 1 120 cm 1 1 1 1 1 1 a b o o o o hc 20 m hc 20 m Figura 218 Geometria da linha do exemplo 1 1 1 120 cm 1 1 o e o 106 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Uma linha de transmissão trifásica a b e com feixe de dois subcondutores aéreos utilizando cabo Drake apresenta a geometria indicada na figura 218 a Calcular a matriz de impedâncias série em Qkm sem a presença de caboguarda sendo fornecida a resistência a 70 ºC Considerar a resistividade do solo p O Dados Consultando uma tabela de cabos obtemos para o cabo Drake rmg O 0373 pés e convertendo para cm rmg 1 1369 cm Dext 1108 pol Rac 008751 para o feixe R Rac temperatura a 70 ºC km 2 Calculemos o raio equivalente do feixe com dois subcondutores e espaça mento e 20cm reqz rmg e reqz 4 768 cm Impedâncias z R 1m2x 104 ln 2hc ªª req Z 00 004375 j050758 km Zab J010681 Zhc zah km zac jwx 2x 104 ln 2hc 2 2d 2 2d Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 107 n Zac 006067 km Matriz de impedâncias l 004375 j050758 z j010681 j006067 j010681 004375 j050758 jO 10681 j006067 1 jO 10681 004375 j050758 n km b Impedâncias de seqüência positiva e seqüência zero considerandose a transposi ção da linha n n zp 004375 050758 Zm 009143 km km Zp Zm Zm Z1 zm zp zm n ZJ 004375 j041615 km z0 zp 2zm Zo 004375 j069045 n km Com o solo considerado ideal obtemos resistências de seqüência positiva e zero iguais porém sabemos que em casos reais essa igualdade não ocorre quando p0 c Supondo o condutor e aterrado nas extremidades e sabendo que foram medidas as 108 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência correntes nas fases a e b 1 ª 500LOº A e 1 h 800L 11 Oº A calcular a queda de tensão na fase a admitindose a linha sem transposição e comprimento de 50 km 1 a 500 A e 800L 110º A Da terceira linha extraímos a corrente e J z xi z6 xlb ac ª e 1 15 711 156 836 A e e l 2cc ou e 157621L9572º A L1V0 z00 0 z0 blb zaJce L1V0 4633 jl 1181 kV resultando em L1V0 12102L6493º kV Embora essa situação seja bem incomum nesse caso mostramos a versatili dade do cálculo matricial para se obter informações em condições desequilibradas Além disso é fácil obter as correntes e tensões induzidas em cabos paralelos à li nha por exemplo a corrente na fase e poderia indicar a corrente que circularia em um condutor aterrado nas duas extremidades e paralelo à linha de transmissão d Cálculo da matriz de capacitâncias sem o caboguarda Pela tabela Dext 1 108 pol reqc 5305 cm 2h p 11 l798ln req Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 109 2h 2 d2 p 12 17 98 ln d 2h 2 2d 2 p 13 1798ln 2d p 11 11912 kmµF pi 1 P22 p33 p 12 25471 kmµF p 13 14469 kmµF r l 1912 25471 P 25471 11912 14469 25471 Sabemos que CP1 144691 25471 kmµF 11912 Resultando na matriz de capacitâncias sem transposição r 8852 e I743 0 703 a 1743 9140 1743 C0 64071 07031 1743 nFkm 8852 Cac O 703 Cab 1743 b cbc 1 743 cb1 5655 e 64071 Capacitâncias em nF km Figura 219 Rede de capacitâncias para comprimento unitário c 11 O Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Fazendo a transposição escrevemos 2P12 P13 P p P1 1 P m 3 kmnF Pm 21803 kmnF Pp Pm Pm P Pm Pp Pm kmµF Pm Pm Pp Pl11912 21803 21803 11912 21803 11912 Obtemos a matriz de capacitâncias com transposição 8899 1377 1377 e 1377 8899 1377 1377 1377 8899 C1 CpCm 10276 µFkm Co CP 2Cm 6145 µFkm e Desconsiderando o efeito do solo calcularemos a impedância série e a capacitân cia da linha comparando com os valores de seqüência positiva obtidos no item a Com os cálculos preliminares R Dext ext 2 reqc j 1exte 1 DMG d2ddri 2d 3 ifid reqz J rmg e DMG 12599 m reqz 4 768 cm reqc 5305 cm Aplicamos as expressões de impedâncias e capacitâncias ZR jcvx2xl04lnDMG Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 111 e 2tro e ln DMG 1798ln DMG Sem efeito do solo obtemos os valores Z 004375 j04204QkmC10165 nFkm Comparando com os resultados de parâmetros de seqüência positiva obtidos dos cálculos matriciais e considerando o efeito do solo Z1 004375 j04162 Qkm C1 10276 nFkm Observamos a proximidade dos resultados de impedâncias e capacitâncias em linhas transpostas sem caboguarda quando utilizamos os métodos dos capítu los 1 e 2 sem incluir ou incluindo o efeito do solo respectivamente para o cálculo de parâmetros de seqüência positiva EXEMPL02 Na mesma linha de transmissão do exemplo 1 verificouse a necessidade de dois cabosguarda simetricamente espaçados 5m 5m 5m 5m lOm lOm 20cm 1ocm 20cm 1i 1 1 1 1 a b c o o o o o o E E N N o o hc altura média do condutor N N s li s li s o o o h1 altura na torre do N N N cabo guarda li li li flecha do cabo guarda 6 m Figura 220 Geometria da linha com a inclusão de dois cabosguarda 112 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A posição dos cabos assim como suas conexões com as torres são indicadas na figura 221 sendo um aterrado e o outro isolado torre dados do cabo guarda Rac 5430km X 0 1 pé0840mi torre Figura 221 Configuração dos cabosguarda a Obter a matriz de impedâncias série Na matriz de impedâncias só se considera o caboguarda 2 pois o cabo guarda 1 não está conectado com a torre h1 29 2 m f 6 m Altura média do caboguarda 2 hg h1 f hg 25 2 m 3 Matriz de impedâncias série incluindo o caboguarda 2 A matriz de impedâncias dos cabos condutores permanece a mesma e acres centamos a linha e a coluna correspondentes ao caboguarda 2 2aa 2ab 2ac Zag Z 2ba 2bb 2bc Zbg 2ca 2cb 2cc Zcg Zga Zgb zgc Zgg Cálculo do rmg do caboguarda conhecendose a reatância de um pé Xª X 0 084 Omi Aplicando a fórmula de reatância de um cabo para afastamento de um pé Ca pz ruw2Cáku loMatri ci aldePa ra metro sdeLi nha sl 13 1 í 1 Xa 2022x 103 x60ln rmg resultando em rmg expC022x3 x60 rmg 0000984 ft ou rmg 003 cm Obtemos a complementação da matriz de impedâncias série Z 7 2hg Zgg rg jáJX2XlO ln rmg n Zgg543j09071 km Zbg JO 1388 g km 00438 J05076 jO 1068 jO 1068 00438 J05076 j00607 jO 1068 j00828 jO 1388 j00607 J00828 J01068 jO 1388 O 0438 jO 5076 jO 1388 j01388 5 43 jO 9070 n km 114 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência b Considerando a linha sem transposição determinar a mútua entre as fases a e b após a eliminação dos cabosguarda Para se obter a mútua devese eliminar o caboguarda fazendo a redução de Kron mas apenas para o elemento z06 zb O 0021 jO 1065 Qkm mútua entre fases a e b Observamos após a eliminação do caboguarda o surgimento de uma com ponente resistiva na impedância mútua entre fases 25 Cálculo Computacional de Parâmetros de Linhas de Transmissão 251 Cálculo da Impedância Série Matriz de Impedâncias No cálculo da impedância série consideramos o efeito das variações de fre qüências na passagem da corrente pelos condutores chamado de efeito pelicular e também no seu retomo pela terra O estudo das correntes com retomo pela terra e sua influência para o cálculo de parâmetros resulta nas correções de Carson 4 Qd 2r 1 I li 1 1 1 d J ij 1 1 1 1 f h u D J ij 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xiJ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 Figura 222 Disposição espacial dos condutores e método das imagens Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 115 hi altura do condutor i em relação ao solo d ij distância entre os condutores i e j Du distância entre o condutor i e a imagem do condutor j ri raio do condutor i Ju ângulo xu distância horizontal entre os condutores i e j OJ 2TC f rads O cálculo da reatância série de uma linha de transmissão em uma primeira fa se supõe a terra como um condutor perfeito de tal modo que podemos aplicar o método das imagens Em uma segunda fase são introduzidas as correções de Carson e o efeito pelicular 3 A matriz de impedâncias série é composta pelos seguintes elementos em Qkm Reatâncias próprias elementos da diagonal 2ü riint t1ri7 jJµo ln 2 hi x t1xfJ 2Jr r z m l µo 2xl04 Hkm 2TC Reatâncias mútuas O D J e µ lJ e zij Jrij J JJln Jxij 2Jr d lj µ0 permeabilidade magnética do ar iint resistência interna do condutor xiint reatância interna do condutor Llre correção de Carson da parcela resistiva Lixe correção de Carson da parcela indutiva Llre e Lixe são as correções de Carson que introduzem o efeito do retomo pela terra As correções são função do ângulo Jij jJ O para termos próprios e J Pu para os termos mútuos Essas correções são também função da variável a dada por a 4rJ5 xJ04 D H f freqüência Hz 116 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência p resistividade do solo Qm D é igual a 2hi para as impedâncias próprias e igual a Dij para as impedâncias mútuas As correções L1rc e Lixe são apresentadas na forma de séries infinitas arran jadas para facilidade do cálculo computacional e podem ser colocadas nas formas abaixo dependendo do valor do parâmetro a a a 5 freqüências não muito elevadas 1f 8b1 a cos Jb2 c2 ln a a2 cos 2jJjJa2 sen 2J b3a3 cos 3J L1rc 4wxl Q4 d4a4 cos 4jJb5a5 cos 5Jb6 c6 ln a a6 cos6jJjJa6 sen 6J b7a 7 cos 7 Jd8a8 cos 8J 1 O 6159315ln a b1a cosjJd2a2 cos 2Jb3a3 cos3J 2 Lixe 4wxl04 b4 C4 ln aa4 cos4jJjJa4 sen4J b5a5 cos5jJd6a6 cos6 b7a 7 cos 7 Jb8 C8 ln a a 8 cos 8JJa8 sen 8J Os coeficientes b e d são calculados com fórmulas recursivas e prepara dos previamente em tabelas b 2 d 1 V6 param ice impar b 1 d 2 para m ice par 16 b b sinal com os valores iniciais l 12 ii2 sinal 1 que muda de quatro em quatro termos i 1 2 3 4 sinal 1 i 5 6 7 8 sinal 1 etc 1 1 C C 2 1 i i 2 Cz 13659315 Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 117 As funções trigonométricas são obtidas conforme a figura 222 hh 1 J cos Ju D lj X e sen Ju lj D lj b a 5 freqüências elevadas Para o caso de a 5 a expansão em série melhor ajustada é LtrC COS J J2 COS 2J COS 3J 3 COS 5J 45 COS 7 J J 4áJX o 4 Qkm a a2 a3 as a 7 J2 e cos J cos 3J 3 cos 5J 45 cos 7 J 4w X 104 rk Ltx 3 5 r m a a a a v2 riint e xiint podem também levar em conta o efeito pelicular 3 O cálculo da resistência interna é mais importante do que o cálculo da reatân cia interna que representa uma pequena parcela da reatância total A determinação mais atual destes parâmetros é feita para os condutores com alma de aço ACSR considerando uma coroa circular de alumínio em tomo da alma de aço sendo os condutores circulares um caso particular destes condutores tubulares Figura 223 Condutor tubular q e r são respectivamente o raio interno e externo desta coroa A expressão para o cálculo dos parâmetros internos do condutor é dada por riint jwliint mrls2 bermr jbeimrrpkermr jkeimr rc 1 2 ber mr jbei mr rpker mr jkei mr na qual ber mq j bei mq rp ker mq j kei mq rc resistência em corrente contínua 118 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência q 2 1 2 s 2 s mr k2 mq k2 k 8JrX 104 f µr r 1s 1s r cc E no caso dos materiais não magnéticos como os condutores de alumínio e cobre µr 1 As funções de Bessel modificadas ber ker hei kei ber etc etc são calculadas com aproximações polinomiais havendo também os aplicativos matemáticos que contêm estas funções Comentamos ainda que o efeito das correções de Carson pode ser aproxima damente calculado com as expressões da referência 5 que introduz a distância complexap CL p µo 2hi P 2 ii riint J Wln xiint 2Jr r I A referência 3 comenta que em casos estudados os resultados obtidos com esta fórmula aproximada e com as de Carson apresentam uma diferença máxima de 9 na faixa de freqüências de 100 Hz a 1 O kHz sendo inferior para outras freqüên cias podendo ser considerada uma boa aproximação 252 Cálculo da Matriz de Admitâncias Capacitiva Desprezaremos no cálculo as condutâncias para a terra de uma linha de transmissão e deste modo o problema é dirigido para a obtenção da matriz de capa citâncias Inicialmente montamos a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell No cálculo destes coeficientes supomos a terra como um condutor perfeito e com potencial nulo e deste modo aplicamos diretamente o método das imagens Os termos da diagonal são expressos por 1 2h p ln li 2Jrêo r Capitulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 119 em que 1 17 975109x106 kmF 3 usando a velocidade da luz 2997925 kms 2Jrc0 Escrevemos para os termos fora da diagonal 1 D lj Pu ln 2JrEo d lj Sendo P a matriz dos coeficientes de potenciais de Maxwell P Ef 1 i j n n número de condutores Obtemos a matriz de capacitâncias C pela inversão de P A matriz de capacitâncias C tem a estrutura de uma matriz de admitâncias na diagonal temos a soma das capacitâncias incidentes no nó e fora da diagonal as capacitâncias entre os nós com sinal trocado EXEMPL03 Faremos a seguir um exemplo de cálculo de parâmetros usando a rotina Line Constants do programa ATP 7 Os dados de condutores e a geometria da linha de transmissão são apresentados a seguir Frequência 60 Hz Cabo Condutor 636 MCM ACSR Formação 267 Grosbreak Diâmetro externo 2516 cm Diâmetro interno 0927 cm Relação TD 03156 ou seja TD rr2r Resistência AC 00922 Qkm Flecha 17 m Cabos PáraRaios Aço EHS 516 classe B Diâmetro O 794 cm Resistência AC 49 Qkm Flecha 15 m 120 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Cabos Páraraios Aterrados através de operações matriciais podemos eli minar os cabos páraraios aterrados Resistividade do solo 1000 Qm Geometria Figura 224 Geometria da torre Considerando linha de transmissão não transposta temos a matriz de impe dâncias em Qkm apresentamos apenas a parte triangular inferior pela simetria 021309 J090263 1 R jwL 012160 j042877 021606 j090126 011990 J037722 012160 J042877 021309 j090263 Matriz de susceptâncias em Skm triangular inferior 029596 1 JwCJ 0047818 030446 x105 0018609 0047818 029596 Considerando a linha perfeitamente transposta tomamos a média dos ele mentos da diagonal e fora da diagonal também a média dos seus elementos obte mos os resultados a seguir usando as expressões 219 233 e 234 Seqüência zero R0 JX0 045613 jl7253 Qkm jwC0 j02263xl05 Skm C0 59 nFkm Capítulo 2 Cálculo Matricial de Parâmetros de Linhas 121 Seqüência positiva R1 JX1 O 09304 JO 49057 Qkm jmC1 j033687xl05 Skm C1 8 94 nF km 26 Referências Bibliográficas 1 Electric Power Research lnstitute Transmission Line Reference Book 345 kV and Above 2 ed Palo Alto 1982 2 ElHawary M E Electrical Power Systems Piscataway IEEE Press 1995 3 Dommel H W Electromagnetic Transients Program Reference Manual EMTP Theory Book Portland BP A 1986 4 Carson J R Wave Propagation in Overhead wires with Ground Return Bell System Technical Joumal vol 5 pp53954 1926 5 Deri A Tevan G Semlyen A Castanheira A The Complex Ground Re turn Plane A Simplified Model for Homogeneous and Multilayer Earth Re turn IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems vol 100 n 8 pp368693 Aug 1981 6 Zanetta L C Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência São Paulo Edusp 2002 7 ATP Alternative Transients Program Rufe Book Leuven KU Leuven EMTP Center 1987 CAPÍTULO 3 RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E CORRENTES EM UMA LINHA DE TRANSMISSÃO 3 1 Introdução Neste capítulo serão estabelecidas as relações fundamentais entre tensões e correntes em uma linha de transmissão A formulação matemática mais completa baseada em parâmetros distribuídos permite o equacionamento das ondas trafegan tes em uma linha de transmissão A partir desta formulação são obtidos os modelos mais precisos de representação da linha considerados aqui no cálculo do regime permanente senoidal de redes elétricas Com o conhecimento destas relações é possível estabelecer modelos na forma de quadripolos assim como modelos equivalentes na forma de circuitos rc exatos ou aproximados que são básicos na representação de linhas para avaliação de fe nômenos elétricos em regime permanente senoidal São ainda tratados neste capítulo aspectos como a compensação reativa deri vada e série assim como algumas limitações na transferência da potência elétrica entre as extremidades de uma linha de transmissão O assunto é bem amplo ficando o aluno ciente de que os conceitos fundamentais aqui desenvolvidos merecem um aprimoramento no caso de avaliações da compensação reativa em sistemas reais 32 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em uma Linha de Transmissão Consideremos uma linha de transmissão com parâmetros distribuídos R L e C por unidade de comprimento representados na figura em segmentos de linha com comprimento L1x O equacionamento de propagação de ondas aqui reproduzi do encontrase descrito em referências que tratam da teoria de ondas e linhas Para a variação de tensão longitudinal L1vxt em um trecho Llx conside ramos os parâmetros R L1x L L1x e C L1x concentrados nesse trecho e escrevemos 124 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência dixt v xtvx L1xt RL1xixt L L1x dt L1v x t RL1x liJx ixt i vxt ix L1xt CLlxl vxLlxt L1x L1x x xL1x X 2L1x Figura 31 Propagação de ondas em uma rede genérica Analogamente para variações de correntes ixt d V X L1x f i xt i xL1xt C L1x ot r Aplicando a transformada de Laplace supondo condições iniciais quiescentes V x s V x L1x s R L1xl x s sL L1xl x s JxsJx L1xs sCL1xVx L1xs Reescrevemos as duas equações anteriores VxL1xsVxs R sL 1 xs L1x xL1xs sC V xL1xs L1x Passando ao limite L1x 7 O obtemos as derivadas parciais em relação à va riável x avxs R sL J xs dx 31 J xs dx sC V xs 32 Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 125 Derivando novamente a fórmula 3 1 em relação a x a2vxs olxs ax2 R sL ox e usando a expressão 32 obtemos o 2 Vxs 2 R sL sC V xs d X 33 Temos em 33 uma equação de propagação de ondas de tensão e seguindo um procedimento análogo obtemos uma expressão semelhante para propagação de ondas de corrente o 21xs 2 R sL sC 1 x s d X 34 A solução geral da equação 33 ainda no domínio da freqüência pode ser proposta na forma V xs v Os e rsx v Os e rsx 35 na qual Vcs e Vcos são expressões transformadas de funções temporais conheci das no ponto x O associadas às ondas progressivas e regressivas Definimos a constante de propagação y s y s R sL sC 36 O mesmo procedimento anterior pode ser repetido para correntes resultando em 37 Uma interpretação mais simples da solução geral apresentada em 35 pode ser feita no domínio do tempo e para isto desprezaremos as perdas supondo R O Reescrevemos as equações 33 34 e 36 d 2Vxs 2 2 s LCV xs d X 38 2 f X S 2 2 S L CJ xs d X 126 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência yssJLC Chamando a velocidade de propagação 1 V JLC temos s rs V v O s representa a transformada de Laplace F s de uma função f t conhe cida na origem no ponto x O a partir da qual obtemos a onda de tensão em um ponto x qualquer da linha Obtemos a expressão 35 simplificada SX X V x s V o s e v vOse v 39 As duas parcelas da equação 39 são solução de 38 Para obtermos a solu l ção no tempo desta equação aplicamos a transformada inversa de Laplace lembran l do da propriedade de translação no tempo F s esª H f t a Antitransformando a expressão 39 vxt v 01 v Ot 310 1 na qual v é uma onda que se propaga no sentido positivo de x onda progressiva e v é uma onda que se propaga no sentido negativo de x onda regressiva A tensão total é obtida pela superposição das duas componentes Analogamente para correntes escrevemos sx sx 1 x s o s e v 0se v Resultando na solução no domínio do tempo Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 127 Nesse caso particular de linha monofásica de transmissão aérea sem perdas usando as expressões de indutâncias e capacitâncias monofásicas obtidas nos capí tulos anteriores temos a velocidade de propagação 1 v Wo 300000 kms µoo que é a velocidade de propagação da luz Detalhes adicionais sobre a propagação de ondas eletromagnéticas no domínio do tempo em linhas de transmissão assim como de análises das componentes progressivas e regressivas podem ser encontrados em diversas referências sobre o assunto 3 3 Impedância Característica de uma Linha de Transmissão Estabeleceremos uma relação fundamental entre tensão e corrente em uma li nha de transmissão Substituindo a solução geral da tensão 3 5 em 3 1 obtemos ou 1 xs R sL r s v O s e rsx r s v O s ersx 1 x s R sL V O s ersx v O s eysx Lembrando da expressão 36 substituímos ys em 312 1 xs 1 v Os e ysx V Os eysx Zcs na qual Zcs é a impedância característica da linha de transmissão dada por R sL sC 3 12 3 13 314 Mais detalhes sobre propagação de ondas eletromagnéticas no domínio do tempo podem ser encontrados na referência 7 3 4 Regime Permanente em Linhas de Transmissão As equações de propagação de ondas no domínio da freqüência são formal mente as mesmas no domínio do tempo bastando calcular as expressões com a 128 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência transformada de Laplace no ponto s jOJ para obtermos o regime permanente senoidal Para uma linha com comprimento infinito fazendo s jOJ na expressão 33 obtemos no ponto x ª x R f ú1LJú1C v x Simplificando a notação definimos a constante de propagação y em uma dada freqüência s jOJ pela expressão r R jOJL JwC 315 Temos ainda a impedância característica para s jOJ 3 16 na qual Z R jwL e Y jwC Reescrevemos a expressão 35 apenas em função da variável x em regime permanente senoidal na qual V x é o fasor da tensão em um ponto x da linha de transmissão Nessa expressão identificamos a parcela progressiva Ji x Ji O e rx assim como a parcela regressiva Em regime permanente senoidal obtemos a expressão da tensão no tempo pela equação v x t J2 Re V x ewt Para o cálculo em regime permanente com s jOJ separemos a constante de propagação y em duas parcelas uma real e outra imaginária ra J3 317 na qual Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 129 a constante de atenuação fJ constante de defasagem Com a finalidade de interpretarmos essas constantes tomemos uma compo nente da solução da equação de onda por exemplo a parcela progressiva em uma linha com comprimento semiinfinito O fasor da tensão aplicado na origem x O é dado por v o e assim V X V Ü eyx Tal expressão nos informa que conhecido o fasor da tensão cossenoidal na origem v OL e podemos obter o fasor da tensão em qualquer ponto X da linha de transmissão por meio do operador complexo erx Vx v OLB erx Ou chamando v OLB VeiB V x VeJB e rx que é equivalente a Vx veax eJBfJx No domínio do tempo obtemos a tensão na origem V 0t J2V cos OJ 8 No ponto x V X t J2Veax COS OJt J Jx Para um observador que se desloca com uma velocidade 318 o argumento do cosseno se mantém inalterado pois mt Jx e v l é chamada de velocidade de fase No caso particular de uma linha sem perdas temos OJ aO e fJ V No estudo do regime permanente estaremos analisando ondas senoidais esta cionárias de tensão e corrente À exceção de alguns casos especiais nos quais real 130 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência çaremos o módulo e a fase as grandezas fasoriais de tensão V e corrente I estarão simplificadamente representadas por V e 1 341 Modelo de Linhas de Transmissão com Comprimento Finito Voltemos ao nosso objetivo inicial que é o de formular um modelo para uma linha de transmissão com comprimento finito em regime permanente senoidal Para isso retomemos as equações 35 e 313 simplificando ainda um pouco mais a notação fasorial de tensões e correntes f X l V e yx Ve yx zc 319 320 Para a linha de comprimento finito conhecemos as condições de contorno nas extremidades dadas pelos fasores de correntes e tensões Suponhamos uma linha com comprimento finito na qual V1 e 1 são as ten sões e correntes no lado emissor ou lado fonte e Vr e Ir são as tensões e correntes no lado receptor emissor receptor JS 1 VJ V Figura 32 Linha com dois terminais No lado emissor para x O temos as condições de contorno V O V1 e 1 O Is Então v v 1 s z z e e 321 Ca ítulo 3 Rela ões entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 131 ou Somandose 321 com 322 obtemos a componente progressiva v v 1 ZJ1 2 322 A identificação da tensão v com ondas trafegantes é imediata pois se con siderarmos a linha com comprimento semiinfinito ao aplicarmos uma onda pro gressiva Vs no início obtemos 1 e portanto V 2Vs V 2 Supondo a linha com comprimento semiinfinito ternos 1 se propagando indefinidamente pela linha com as atenuações de erx como vimos anteriormente Tal formulação tem correspondência com o método das características muito utili zado no estudo de propagação de ondas em linhas de transmissão Agora subtraindose 322 de 321 obtemos v 1 ZJ1 2 Reescrevemos 319 l rx rx J V x 2 v ZJ1 e 1 ZJs e Reagrupando os termos nas variáveis 1 e 11 obtemos que pode ser reescrita como V x cosh rx Vs Zc senh rx I1 pois sabemos que 323 132 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência erx eyx eyx eyx senh rx e cosh rx 2 2 em que a constante de propagação y já definida anteriormente é um número com plexo ra jJ No lado receptor para x e temos outras condições de contorno Vf Vr e 11 1 que substituídas em 323 fornecem 324 Reescrevendo a fórmula 320 1 X 2 U1 ZJ1 e yx ZJs eyx J e ou 1 X 2 eyx eyx 1 eyx eyx ZJs J e senhyx f X Vs COSh YX fs zc Desse modo novamente no ponto x e escrevemos Ir senhye z 1 coshyíIs e 325 Colocandose 324 e 325 na forma matricial obtemos l v coshye Zcsenhyel l senhye x Ir coshye Is zc Ou na forma mais tradicional invertendose a matriz l 1 l cosh ye Zc senh yell V senhye 11 cosh ye Ir zc 326 Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 133 pois sabemos que cosh yf 2 senh re 2 1 A expressão 326 condensa as relações fundamentais entre os fasores de tensões e correntes no início e fim de linha a serem empregadas no cálculo de ten sões e correntes em linhas de transmissão 342 Quadripolo Equivalente Com base na expressão 326 estabelecemos o modelo de um quadripolo equivalente de uma linha de transmissão definido pelas constantes A B C e D A coshyf B Zc senh ye e senh re z e D cosh ye Observamos que dadas as condições de simetria da linha de transmissão ob temos A D Temos as relações entre tensões e correntes em uma linha de transmissão com comprimento finito e na forma de um quadripolo A BxVrl 1 C D Ir 327 Para linha em vazio ou seja sem carga no lado receptor portanto com Ir O temos O termo A representa a relação de tensões entre início e fim de linha ou o in verso do ganho de tensão em vazio A V V A corrente no início da linha para linha em vazio é dada por 134 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Para linha em curtocircuito no terminal receptor com Vr O temos V Blr portanto B V1 Finalmente para a linha em curto sabemos que fsDfr 343 Modelo rr Equivalente de uma Linha Genérica Linha Longa Vejamos agora como estabelecer correspondências entre tensões e correntes por meio de um modelo n composto por uma impedância série e duas admitâncias para a terra no caso de uma linha genérica Esse modelo normalmente é emprega do para linhas longas mas pela sua generalidade pode ser usado para qualquer linha de transmissão Nesse modelo válido para uma dada freqüência representamse os parâmetros indutivos e capacitivos de modo exato sem qualquer aproximação sen do também conhecido como modelo n exato 1 Figura 33 Modelo 7t equivalente Chamemos ze impedância série exata Jí admitância para a terra do lado 1 Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 135 Y2 admitância para a terra do lado 2 Para uma linha sem compensação reativa por razões de simetria sabemos que Jí Y2 Ye 2 No entanto trabalharemos inicialmente de modo genérico com Yi Y2 que facilita o entendimento de linhas compensadas com reatores que po dem apresentar esta assimetria em um modelo equivalente Da figura 33 equacionando para a tensão podemos estabelecer a igual dade ou Comparando com a primeira linha da equação 327 identificamos e desse modo obtemos A1 Y2 B Equacionando para a corrente Is temos Substituindo Vs da expressão 328 em 332 11 Jí 1 Z eY2 Vr Z el r 1 Y2 Vr Comparando com a segunda linha da equação 327 Da equação 334 obtemos D 1 Jí B 328 329 330 331 332 333 334 335 136 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência As expressões genéricas 330 331 333 334 e 335 serão úteis posteriormente na análise de alguns casos particulares de quadripolos Essas ex pressões são também muito interessantes para fazermos a conversão do modelo na forma de quadripolos para a forma de matriz de admitâncias No caso de linhas de transmissão concentramos metade da admitância em cada extremidade com a finalidade de obtermos o modelo n da linha Desse modo chamemos então Das relações anteriores 331 335 e 336 é imediato que ADl zeye 2 Das expressões 333 e 336 escrevemos C 2 Z Das equações 330 e 337 temos Ye cosh yf 1 A l Como sabemos cosh ye 2 senhyR 2 l Lembrando que definimos e senhr e zc 336 3 37 338 339 multiplicando o numerador e denominador dessa expressão por senh ye escre vemos Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 137 senh yl J 2 C B Verificamos desse modo que 3 40 Observamos que o modelo de quadripolos da linha de transmissão está com pletamente definido com a obtenção das constantes A e B Com relação ao modelo n equivalente podemos estabelecer algumas rela ções e para tanto chamemos os valores totais de impedâncias e admitâncias da linha de transmissão por z ze 341 Y Ye 342 Sabemos que Multiplicandose o numerador e o denominador por Z Ze obtemos ze Z ze ze senh re Como escrevemos a expressão da impedância série do circuito Jr exato em função da impedância Z multiplicada por um fator de correção senhye ZeZ ye 343 138 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Da equação 339 Ye cosh ye 1 I 2 senh re zc Usando a identidade yR cosh re1 tanh 2 senhye verificamos que Y tanh 2i reJ tanh 2 z 2 I Multiplicando e dividindo essa expressão por fre como JY JYR y JZ ffR yf obtemos ye tanhyfJ 2 yf 2 tanh ye Ye Y 2 2 2 yf 344 2 Com as expressões 343 e 344 encontramos formas alternativas de se ol ter o circuito 7t exato de uma linha de transmissão Como a impedância característica e a constante de propagação são númen complexos é interessante avaliarmos suas fases quando estamos trabalhando co linhas de transmissão na freqüência de 60 Hz Denominamos z IZIL9 Y mC L90º Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 139 Em linhas de alta tensão como R X observamos que o ângulo rp é ele vado situado freqüentemente na região acima de 70 Desse modo no cálculo da constante de propagação normalmente encontramos que em condições normais apresenta fase próxima de 90º ou seja a fJ No cálculo da impedância característica J IZI qi90º zc L me 2 com uma parte imaginária bem menor do que a parte real ou seja com a fase leve mente negativa Com o modelo de quadripolos verificamos uma característica interessante quando a carga apresenta uma impedância igual à impedância característica Zc Nesse caso conhecemos a relação entre a tensão e a corrente no lado receptor Vr ZJr Calculemos a tensão V em um ponto x qualquer ou até mesmo sem perda de generalidade no ponto x O em que V V1 Vi coshye senhye JS zc Zc senh yfl ZJ coshyf x I Calculando a relação entre Vs e 1 no início da linha encontramos novamente o valor de Zc pois v1 Irzccoshyesenhyf Z Is rcoshyesenhyf e 345 ou seja temos a mesma relação entre tensão e corrente ao longo de toda a linha de transmissão pois o ponto x é genérico resultando no início da linha V1 ZJ1 Observamos que a igualdade V1 erevr ou V ercv1 só é válida para uma onda progressiva em uma linha de transmissão com comprimento infinito sem re flexões 140 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Como vimos a impedância característica calculada na freqüência de 60 Hz z e R jmL jmC é número complexo com a fase levemente negativa apresentando uma pequena parcela reativa No caso particular de linha ideal sem perdas a impedância caracte rística apresenta um comportamento puramente resistivo dado por 346 Nesta expressão Z0 é denominada de impedância de surto caracterizada por uma resistência muito utilizada na interpretação de fenômenos de alta freqüência Percebemos que se admitirmos uma linha semiinfinita ideal composta de indutores e capacitores puros ou uma linha ideal finita alimentando uma carga Z0 a potência absorvida por esta linha é puramente ativa Das expressões 345 e 346 verifi camos que V2mC L1x J2mL L1x ou seja a cada incremento L1x do comprimento de linha a potência reativa capacitiva gerada é cancelada pela potência reativa indu tiva absorvida 344 Modelo 1C Nominal Podemos com o modelo 7t exato estabelecer algumas relações mais simplifi cadas ainda com uma boa precisão admitindo algumas restrições Para freqüências na faixa de 50 a 60 Hz considerando linhas médias com comprimentos na faixa de 80 a 240 km sabemos que re tanh senhrR Y 2 Ze Z ye ye 2 rR 2 Nessas condições temos aproximadamente tanh R senh yf l e l rR re 2 e portanto Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 141 y y e ze z 2 2 Essa faixa de 80 a 240 km é apenas orientativa e não deve ser entendida co mo uma restrição muito rígida Nesse caso é fácil construir o quadripolo corres pondente ao modelo n nominal ZY ADI 2 BZ C 2 zn z icJ r l rl 21 21 Figura 34 Modelo 7t nominal 3 4 5 Modelo para Linhas Curtas Figura 35 Modelo para linha curta 347 3 48 349 Para linhas com comprimentos inferiores a 80 km a 60 Hz é razoável des prezar as capacitâncias admitâncias para a terra ficando o modelo apenas com uma impedância em série Nesse caso fazendo Y O e analisando as equações 3 4 7 3 48 e 3 49 é imediato que 142 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ADl BZ CO 34 6 Modelo T Nominal Is z 12 cJ V 1 y I z 12 cJ V Figura 36 Modelo T de linha de transmissão Usando a figura 36 equacionamos z z V1 21 21 V Reagrupando os termos em tensões e correntes resultando em 350 3 51 352 Escrevendo as expressões de V1 e Is em função de V e na forma matri cial temos Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão J 43 V 1 1 2 x l Vr 1 YZ 1 y l 2 353 Este modelo é menos utilizado do que o modelo 7t e o mesmo procedimento poderia ser adotado na obtenção do modelo T exato 35 Algumas Propriedades de Quadripolos 351 Associação em Cascata de Quadripolos J 1 J V Figura 37 Associação em cascata de quadripolos Para o primeiro quadripolo 354 Para o segundo quadripolo 355 Substituindose a expresão 355 em 354 356 Obtemos então um quadripolo equivalente dado pelo produto das matrizes dos quadripolos em cascata 144 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência resultando nos parâmetros A B C e D equivalentes dessa associação A A1 A2 B1 C2 B A1 B2 B1 D2 e cA2 DC2 D C1 B2 D1 D2 Usando as relações anteriores 330 331 e 335 escrevemos os parâme tros do modelo 7t equivalente da associação em cascata 352 Z e B A1 B2 B1 D2 Ye2 A1A2 B1C2 1 2 B Ye1 C1B2 D1D2 1 2 B Associação de Quadripolos em Paralelo A1 B1 C1 D1 vs A2 B2 C2 D2 J Figura 38 Associação de quadripolos em paralelo vr Pelo fato de envolver várias operações matriciais embora não seja uma ope ração muito complexa é recomendável que a associação de quadripolos em paralelo seja feita com rotinas em computador No entanto essa associação pode ser feita facilmente por meio de um passo intennediário convertendo suas representações em forma de matrizes de admitâncias e somando as matrizes ou convertendoas em forma de modelos rr com impedância em série e admitâncias para a terra associ ando em paralelo os componentes de ambos os modelos rr Após o passo intenne diário retomamos ao quadripolo equivalente da associação Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 145 Figura 39 Quadripolo equivalente com associação dos modelos 7t No caso da figura 39 com modelos n sabemos que As constantes A B C e D podem então ser calculadas usando as expressões 329 330 333 e 334 A 1 ZeYe21 BZe C Ye1 ZeYe1 Ye2 Ye2 D lZeYei 3 5 3 Representação de Elementos Concentrados Através de Quadripolos Elementos Concentrados em Série Em sistemas de potência encontramos os reatores limitadores de curto circuito em redes de média tensão ou os bancos de capacitares série esses mais comuns de serem encontrados em vários níveis de tensão O modelo de quadripolo é idêntico ao de linha curta ou mais genericamente podemos retornar às equações 329 330 333 e 334 fazendo Yi Y2 O resultando em 146 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Vs l Z Vr Is O 1 X Ir 357 Z impedância do elemento em série Elementos Concentrados em Derivação para a Terra Esses elementos podem representar cargas capacitares ou reatores de com pensação da potência reativa da linha Simplificando o modelo T encontramos fa cilmente o quadripolo de um elemento em derivação shunt fazendo Z O na expressão 353 Vs 1 º X V Is Y 1 Ir 358 36 Transmissão de Potência A análise do fluxo de potência em uma linha de transmissão utiliza a matriz de admitâncias nodais empregando como modelo de linha o circuito rr considerado mais conveniente nesse caso O estudo do fluxo de potência por meio dos quadripolos não é usual porém com essa formulação estabelecemos algumas relações interessantes do ponto de vista de transmissão de potência em uma linha de transmissão A B e D Figura 31 O Constantes de um quadripolo Vs e Vr são as tensões faseterra em um circuito monofásico ou tensões de seqüên cias em um circuito trifásico Como obtemos a corrente Ir Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 147 1 VsAVr r B Trabalhando com os fasores de tensão na forma polar representados em mó dulo e fase escrevemos 1 IVslL8 vr IVrlLOº Desse modo AIAILa BIBILb Reescrevemos a expressão da corrente A potência aparente transmitida por fase entregue no ponto receptor é dada por Lembramos que vr IVr 1 LOº ou seja com fase nula obtemos 359 com as parcelas ativa e reativa 360 361 Estas parcelas podem ser analisadas por meio de uma representação chamada diagrama de círculo formada pela diferença dos dois vetores que compõem a ex pressão 359 Supondo os módulos das tensões constantes assim como os parâme tros da linha resta como variável o ângulo 8 Na figura 311 o primeiro vetor NO tem o módulo constante e um ângulo variável b 8 que descreve um círculo em 148 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência tomo do ponto O O segundo vetor MO é fixo e a potência complexa Sr é dada pela diferença entre esses vetores NO MO M constante AV B o ângulo variável Figura 311 Diagrama de círculo N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Trabalhando com tensões de fase Vs e Vr e considerando a potência monofá s1ca Pr JQr obtemos a expressão da máxima potência ativa transmitida pela li nha para a condição de abertura angular correspondente a 8 b o que maximiza a primeira parcela de 359 sendo a segunda parcela fixa 362 Vejamos o caso particular de linha sem perdas do qual será possível extrair uma fórmula muito comum em análises de sistemas de potência principalmente nos estudos de estabilidade Ao desprezarmos as perdas a constante de propagação tomase um número imaginário r JJ Xr e a constante A da linha Jxrc Jxre e1 e 1 cosh rt 2 Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 149 é a soma de dois números complexos conjugados portanto A é um número real com fase a 0 A IAILOº Como nesse caso trabalhamos com a impedância de surto que é um número real temos B Z0senh yi JxYe Jxre e 1 e 1 rt B Z0 2 jZ0 sen v XYe A constante B é um número imaginário puro com fase b 90º Substituindo se esses valores de a e b na equação 360 obtemos 1 1 Vr 1 rc s P JsJ cos 2 u Sabendo que cos 8 sen 8 simplificamos para 363 1C 12 Figura 312 Curva Px ó Esta expressão apresenta uma relação senoidal entre a potência ativa transmi tida e a abertura angular das tensões de início e fim de linha 150 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Observamos que uma expressão ainda mais simplificada é facilmente obtida se admitirmos a linha composta apenas pela sua reatância série modelo de linha curta com A 1 e B jX o que implica uma fórmula muito utilizada na descri ção da potência ativa em função do ângulo o IVsllVI s sen u X 364 3 7 Compensação Reativa de Linhas de Transmissão 3 7 1 Linha de Transmissão em Vazio A potência reativa capacitiva gerada pela presença das capacitâncias das li nhas de transmissão é normalmente compensada com a instalação de reatores em derivação nas extremidades da linha Dependendo dos requisitos operativos do sistema e do comprimento da linha podemos instalar reatores em apenas um terminal ou em ambos sendo que nas li 1 nhas curtas normalmente não há necessidade de reatores Como introdução ao assunto vejamos um caso bem simples analisando o e feito de instalar um reator em apenas uma extremidade da linha de transmissão em vazio no caso o lado receptor Calculemos inicialmente a tensão no final da linha conhecendo a tensão de alimentação do gerador conectado no seu início Com o circuito n equivalente da figura 33 admitindo Ir O aplicamos o divisor de tensão obtendo 2 V ye r 2 V Z e Y e Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 151 Utilizando a expressão 337 obtemos V1 AVr Verificamos que na linha em vazio a constante A corresponde ao inverso de um divisor de tensão No caso particular de uma linha sem perdas utilizando o 1t nominal temos y mce me 2 12 12 z JmLe JX Substituindose na expressão anteriormente obtida temos Observamos que em uma linha de transmissão a constante A tem módulo menor do que um sendo este fato mais facilmente observado nesse caso de linha sem perdas o que implica uma elevação da tensão no final da linha sem carga Tal elevação da tensão também conhecida como efeito Ferranti pode ser proibitiva no caso de linhas longas ou mesmo quando conectamos linhas em série nas interliga ções à longa distância A configuração de uma linha conectada a uma barra e em vazio na outra extremidade pode ser encontrada na operação de energização da li nha ou mesmo em manobras de abertura de cargas também conhecidas como re jeições de carga Vejamos agora o que acontece quando ligamos um reator no final da linha em vazio 1 r 1 r 1 1 1 Ze 1 1 1 E Y 1 1 L1 J Figura 3 13 Compensação reativa t Yr é a admitância do reator 152 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Normalmente o reator é fornecido com uma potência trifásica Q3J e uma tensão nominal de linha V Se a potência for trifásica obtemos admitância Y com a tensão nominal de linha Com a potência monofásica obtemos Y segundo a expressão 2 Q1cp YrVf Com o reator ligado no fim da linha associamos os quadripolos em cascata Resultando no quadripolo equivalente da associação Novamente para o conjunto linha em vazio com reator ou seja sem carga no terminal receptor obtemos a constante A equivalente da associação em cascata f Supondo a tensão fixa no início da linha se quisermos impor a mesma tensão no final da linha em vazio o que corresponderia a um perfil plano de tensão durantei a energização é necessária a condição Ae 1 ou seja ABY 1 Resultando na seguinte admitância do reator necessária para impor tensões de início e fim de linha iguais 1 1A Y r B Lembrando que o valor da admitância do n equivalente é dado por Ye A1 2 B Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 153 encontramos nesse caso a admitância do reator que cancela exatamente a admitân cia da linha de transmissão Y Ye r 2 Voltando ao nosso divisor de tensão teremos uma admitância predominan temente indutiva cancelando a admitância predominantemente capacitiva concen trada no circuito rc o que corresponde a uma impedância infinita no fim da linha condição ressonante para o indutor e o capacitor e deste modo obtemos a tensão de início igual à tensão de fim de linha pois não há corrente no circuito Quando a alimentação é feita pela extremidade oposta pelo lado receptor e o início da linha está desconectado de qualquer fonte tudo se processa da mesma forma sendo provavelmente necessário também instalar um reator de início de li nha Nesse caso alteramos a constante D da linha Figura 314 Quadripolo com reatores na entrada e saída Desse modo os reatores podem ser utilizados no início e fim de linha com a finalidade de controlar as tensões quando temos a alimentação apenas por um dos dois lados como por exemplo nas energizações ou rejeições de carga ou mesmo nas condições de baixo carregamento em carga leve com a corrente 1 r pequena As linhas de transmissão apresentam potências reativas também nas demais condições operativas sendo que equipamentos de potência reativa indutivos e ca pacitivos são empregados para controlar as tensões e a potência transmitida Em casos práticos não é recomendável cancelarmos completamente a admi tância capacitiva da linha em 100 com reatores limitando essa compensação na faixa de 40 a 80 A razão para isso está na possível ocorrência de ressonâncias com a linha desconectada da rede estando próxima de outras linha de transmissão operando em paralelo 7 154 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 372 Linha de Transmissão em Carga Levando em conta o modelo de linha longa condensado na expressão 326 é conveniente estabelecer alguns conceitos de transmissão de potência ativa associados ao seu correspondente consumo de potência reativa de tal modo a viabilizar o transporte de energia requerido Para isso simplifiquemos algumas expressões trabalhando com linhas sem perdas no sentido de analisarmos os efeitos preponderantes mais significativos A seguir veremos algumas definições adicionais VxIx ondas estacionárias de tensão e corrente em um ponto x da linha de transmissão em regime permanente senoidal 8 ângulo de transmissão Z0 J L I C impedância de surto 3 mJ L e 2rr f 2rr V À ÀVT ou ÀVI f À comprimento de onda f freqüência de excitação e 3 comprimento elétrico da linha de transmissão P0 V L potência natural da linha Zo V tensão nominal da linha 365 366 Se V for tensão faseterra a potência natural é monofásica Em caso contrá rio se V for tensão de linha a potência natural será trifásica A linha de transmissão sem perdas transportando potência natural apresenta um perfil plano de tensão ao longo de toda a sua extensão 345 e 346 É recomendável por motivos práticos operar transmitindo potência inferior à potência natural e dessa forma P0 será sempre uma referência importante na trans missão de energia elétrica l Faremos a seguir um resumo de alguns aspectos mais elementares na trans missão de potência ativa Seja a linha de transmissão sem compensação com os fasores de início e fim de linha segundo a notação Capitulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 155 emissor 1 receptor 1 P JQ Figura 3 15 Linha sem compensação Como desprezamos as perdas o que facilita o equacionamento sem prejudi car a interpretação dos aspectos fundamentais sabemos que as constantes do qua dripolo da linha ficam A cose B jZ0 sene e que a corrente no receptor pode ser escrita como 1 PJQ V r Desse modo obteremos uma expressão interessante para entendermos a rela ção entre as tensões de início e fim de linha com a potência entregue no sistema receptor assim como sua dependência do comprimento elétrico da linha de trans missão e Para isso reescrevemos a primeira linha da expressão 326 P Q V1 cosô jsen ô V cose JZ0 sen e VJ r Separando as partes real e imaginária Q cosô V cose Z0 sene V p V sen ô Z0 Vsen e r Da expressão 368 367 368 369 156 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Q Vr V1 cos 8 Vr cose Z0 sen 8 Da expressão 369 P ViVr sen 8 Z0 sene 370 3 71 A equação 3 71 é equivalente à equação 3 63 Com o propósito de inter pretarmos de forma ainda mais simplificada essa equação para linhas não muito longas aproximamos e sen e Nesse caso verificamos que o produto Z0j3e resulta na reatância série total da linha de transmissão X 3 L Zo f 2úJ L e e X e X Ficando a expressão 372 coincidente com a 364 P vsvr s senu X 372 na qual identificamos um primeiro indicador do máximo valor de potência ativa a ser transmitido por uma linha de transmissão p VVr max X 373 Se considerarmos módulos de tensões iguais no início e fim de linha V1 Vr simplificamos a fórmula 371 R Pºsen8 sene ou ainda P sen8 P0 sen Para linhas pouco carregadas e não muito longas p 8 P0 e 3 74 Transmissão 157 As expressões anteriores nos oferecem os elementos básicos para analisarmos o comportamento das tensões e potências em uma linha de transmissão Não tem sido prática a utilização de linhas longas sem compensação reativa Linhas com comprimentos razoáveis apresentam um bom desempenho quando compensadas Os principais objetivos da compensação são modificar os parâmetros Z0 e e com influência nas tensões e potências viabilizando as operações em car ga e em vazio com enfoque em aspectos de estabilidade da transmissão e controle das tensões ao longo da linha À medida que aumentamos o comprimento e da linha de transmissão ele vamos o comprimento elétrico e Uma análise mais cuidadosa da expressão 367 revela ser proibitivo o transporte de níveis razoáveis de potência a grandes distân cias sem compensação sendo um dos motivos os elevados valores requeridos de tensão V no início da linha além da grande sensibilidade desses valores em relação ao fator de potência da carga para mantermos tensão nominal V no sistema receptor Na fase de projeto da geometria da torre e disposição espacial dos conduto res já estamos visando características favoráveis ao transporte de energia Esgota dos os graus de liberdade disponíveis no projeto da linha adicionamos as compen sações que em última instância suprem as deficiências reativas que a linha apre sentaria isoladamente Condições estáveis para o transporte de potência também são fundamentais em um projeto de transmissão de energia elétrica a longas distâncias A expressão 373 nos dá um primeiro indicador muito simplificado do limite máximo admis sível de transporte de potência ativa na linha de transmissão Para comprimentos elevados verificamos o impacto da reatância série no limite de potência e conse qüentemente a necessidade de sua redução para se estender a capacidade de trans porte e elevar as condições de robustez do sistema assunto que será um pouco mais 1 detalhado no capítulo 8 dedicado à estabilidade de sistemas elétricos 1 Imaginemos uma situação ideal de compensação com capacitares série e rea tores em derivação incrementais buscando uma compensação continuamente distri buída ao longo da linha de transmissão Ao adicionarmos capacitares fictícios em série estamos reduzindo a reatância série conseqüentemente diminuindo Z0 e e Ao adicionarmos reatores fictícios em paralelo estamos reduzindo a capacitância em derivação conseqüentemente aumentando Z0 e diminuindo e As linhas lon gas com comprimentos da ordem de 700 km a 1000 km de certa forma utilizam essa combinação de recursos ao distribuírem mesmo que parcialmente reatores em derivação e capacitores em série instalados em subestações de seccionamento in 158 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência termediárias que permitem a adição desses equipamentos ao longo da rota da linha l Dessa forma estamos adequando as indutâncias e capacitâncias da linha para uma operação mais segura diante das várias condições de carregamento ou até mesmo de linha em vazio Notamos ainda embora alguma menção anterior já tenha sido feita a conve niência da instalação de capacitores série reduzindo o comprimento elétrico sobre tudo nas linhas longas de alta tensão JXc Figura 316 Quadripolos de seções de linha ligadas por capacitor série Para finalizar comentamos que a definição de compensação reativa shunt e série de um sistema de transmissão a longa distância é uma tarefa relativamente ampla que deve abordar todas as condições operativas normais e de emergência EXEMPLO 1 São dadas duas linhas de transmissão de 500 kV tensão nominal de linha com os parâmetros de seqüência positiva L Tl Zí 04L80º Qkm Cí 11 nFkm comprimento270 km LT2 Zí03L76º Qkm Cí12 nFkm comprimento350 km Obter para as duas linhas as constantes ABCD o circuito n exato e o reator a ser instalado no fim de linha para tornar as tensões de início e fim de linha iguais na operação em vazio n LTl Z1 00695 103939 km Y jC1m Jí j4 1469x 106s km f 1 270 km z rzr cl vY zcl 3093943 270685 n r ZíJí Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 159 rl1225x104 J00013 km 1 Analogamente para a LT2 LT2 z 00726 J02911 r jXCw Y2 j45239x106 k i 2 350 km Zc 2 255 5966 313833 Q r2 zr y2 14197x104 j00012 km 1 Parâmetros dos quadripolos A1 cosh y1I 1 A2 cosh y2 e 2 B1 Zc 1 sinh y1f 1 B2 Zc 2 sinh y2e 2 C2 1sinh r2e2 Zc2 Circuitos rr exatos LTl Ramo série B1 180161 1043252 Q Ramo shunt A10941 j00103 A2 O 9204OO196 B1 180161 1043252 Q B2 24052 993301 Q c1 3 87x1 o6 JO oo 1 1 s C2 1 0444x 105 jO 0015 S Ye1 Ai 1 1 0034X106 1s 6545X104 s 2 s 160 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência L T2 Ramo série B2 24052 j993301 n Ramo shunt Ye2 A2 l 2 7412xl06 18 0249x104 s 2 B2 Quadripolo equivalente com reatores no fim da linha Impondo que a constante A tenha valor unitário obtemos a admitância do reator lA Yr B ou para a impedância z r 1A zrl 31381 jl7685x103 n Zr2 42565 jl2461xlOJ Q Observamos que o cancelamento perfeito da admitância da linha usando o modelo n exato exigiria um reator com resistência negativa o que é impossível de ser realizado com elementos passivos Desse modo fazemos uma aproximação tomando apenas a parte imaginária xrl 17685 n X2 1246 1 Q EXEMPL02 Neste exemplo adotaremos os dados da LTI do exemplo 1 Capitulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão 161 a Para atender a uma carga trifásica de 800 MW com fator de potência de 09 instalase um capacitor série no fim da linha L Tl com reatância de 60 Q Com uma tensão faseterra medida no fim da linha de 1039 L 1 Oº pu pedese a tensão e corrente no início da linha Adotar tensão nominal de linha 500 kV Trabalharemos com potências monofásicas e tensões faseneutro 8 0 MW cosp 09 Sr 1 jtanp Sr 2666667 j1291526 MVA vr 1039L10º zcs 60 Q Para obtermos os valores de tensão em kV sabemos que Associação em cascata do quadripolo da linha e do capacitor º H zJ A AZcsB Qe C CZcs A Obtemos a corrente no terminal receptor da linha 1 s r vr 1 O 8008 jO 5785 kA Com os parâmetros do quadripolo equivalente calculemos os resultados no início da linha V1 AVr AZcs B1 11 cvr CZC A1r Resultando nos valores V1 3211022 184206 kV 11 08684 j02496 A IV11321 6302 kV IJs 1O9036 kA 162 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência b Analisando o saldo de potência entre início e fim de linha quais são as perdas ativa e reativa na linha de transmissão Obtemos a potência monofásica no início da linha Ss VJs Ss 2834509 641518 MVA resultando na potência trifásica no início da linha S3rp 850 33 192 45 Perdas trifásicas na linha de transmissão L1S 3 S1 S L1S 5035271950023 MVA As perdas ativas são de 50 MW devido ao efeito resistivo dos cabos As per das de potência reativa de 195 MV A com valor negativo indicam na nossa con venção uma potência capacitiva absorvida pela linha fato que no jargão tradicio nal é conhecido como um fornecimento de reativos indutivos ao sistema externo à linha de transmissão c Qual é o circuito n exato do conjunto linha e capacitor Ramo série Beq AZCS B186336 478636 n Ramo shunt A1 4 y 22981 X10 J00011 S AXC B D1 6 4 Yi 10034 x lo J56545 x l0 s B EXEMPL03 Um operador conecta em série as linhas de transmissão LTl e L T2 do exem plo 1 por meio de um banco de capacitares série Com a linha em vazio são encon tradas as tensões 1 032L8º pu de tensão no início da linha e 1 2156L4 144º pu no fim da linha 2 3 4 LT1 LT2 r tl i t 1 270km 350km Figura 317 Rede elétrica Capítulo 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão J 63 a Qual o valor da reatância do banco de capacitores Tensões em coordenadas polares v1 1032L8º pu vr l2156L4144º pu Tensões em coordenadas cartesianas v1 102201436 pu vr 12124 J00878 pu Tensões faseterra em kV Temos os quadripolos Associando os quadripolos em cascata obtemos A1B2 A2A1Zc1 A2B1 C1B2 A2C1Zcs A1A2 Como a linha está em vazio Ir O temos V1 AeVr zcs Ooos 980121 n A parcela resistiva se deve a uma pequena imprecisão na medição dos faso res com o capacitor apresentando uma reatância de 98 n b Mantida essa tensão em módulo no início da linha e considerando tensão nominal no fim da linha qual a potência ativa máxima que pode ser transferida para uma carga no fim da linha 164 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Tomemos os parâmetros do quadripolo equivalente Aeq A1 A2 C2A1Zc1 C2B1 Chamemos a a fase de Aeq e b a fase de Beq Aplicando a expressão 362 l1iiv1 IAeqliv1 2 J P 3 1 1 1 1 cos b a max B B eq eq Pmax 152621 MW 1 vr valores de tensão faseterra 3 8 Referências Bibliográficas 1 Stevenson Junior W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ed 1 McGrawHill 1986 2 Miller T J E Reactive Power Contra in Electric Systems New York John Wiley 1988 3 Westinghouse Electric Corporation Electrical Transmission and Distribution Reference Book 4 ed East Pittsburgh 1964 4 Johnson W C Transmission Lines and Networks New York McGrawHill 1950 5 Mariotto P A Ondas e Linhas Rio de Janeiro Guanabara Dois 1981 6 Orsini L Q Curso de Circuitos Elétricos São Paulo Edgard Blucher 1993 2v 7 Zanetta L C Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência São Paulo Edusp 2002 CAPÍTUL04 CURTOCIRCUITO 41 Introdução O cálculo da corrente de curtocircuito é necessário para a especificação dos equipamentos de um sistema elétrico Durante o curtocircuito altas correntes são estabelecidas com a elevação de temperaturas e solicitações térmicas além dos esforços mecânicos e deformações de materiais Os sistemas de proteção de sistemas elétricos são ajustados para operar o mais rápido possível porém a atuação coordenada de relés de proteção e disjuntores pode levar à permanência do curtocircuito por alguns ciclos Além disso como os sistemas de proteção estão sujeitos a falhas os equipamentos que compõem a rede devem ser dimensionados para suportar essas correntes elevadas até que algum dispositivo de proteção de retaguarda acione o disjuntor Desse modo equipamentos e disjuntores devem ser especificados para os ní veis de corrente de curto e durações correspondentes o que é fundamental para uma operação segura e sem danos ao sistema elétrico Em uma abordagem mais avançada o tratamento do curtocircuito é feito matricialmente inclusive por meio de matrizes trifásicas que representam os acoplamentos entre fases quando necessário No entanto neste capítulo não empregaremos o cálculo matricial e seguiremos a metodologia convencional com a aplicação das componentes simétricas que é ferramenta essencial ao en genheiro eletricista da área de sistemas de potência Com exceção dos geradores todos os modelos necessários ao cálculo preten dido já devem estar suficientemente amadurecidos pelo estudante Embora a compreensão mais aprofundada do comportamento transitório da máquina síncrona faça parte de um curso específico de máquinas elétricas faremos aqui uma introdu ção resumida aos modelos de geradores dirigida ao estudo de curtocircuito em regime permanente senoidal 166 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 42 Modelos de Geradores O equacionamento de fenômenos transitórios em geradores é feito sob a for mulação da teoria geral das máquinas elétricas e transformação de Park compreendendo um determinado número de equações diferenciais que envolvem fluxos correntes e tensões nos eixos diretos e de quadratura Desse modo os fenô menos transitórios são estudados por meio de funções de transferências que condensam os efeitos dos enrolamentos representados em ambos os eixos Sem entrarmos em detalhes dessa teoria o cálculo do curtocircuito pode ser simplificado tomando como base o modelo do gerador composto por uma tensão interna e uma reatância também conhecido como modelo de tensão atrás de uma reatância X Figura 41 Modelo de gerador Nesse modelo as tensões internas têm estreita correspondência com o com portamento dos fluxos nos enrolamentos pois tensão e fluxo em um enrolamento qualquer estão relacionados pela expressão e drp L di dt dt 41 Em variáveis complexas E jwLI ou E jwP Supondo a freqüência constante com w na freqüência nominal adotando ba ses de tensões e fluxos relacionadas pela expressão Vh w6Ph verificamos que tensões e fluxos apresentam nesse caso valores percentuais ou mesmo valores por unidade idênticos Quando aplicamos um curtocircuito trifásico nos terminais de um gerador síncrono a corrente em uma fase apresenta uma componente oscilatória superposta com uma componente de corrente contínua que depende do instante de aplicação do curto Capítulo 4 Curtocircuito 167 lt 1 Ili t ee componente contínua Figura 42 Corrente de curtocircuito assimétrica Analisando mais detalhadamente a componente oscilatória observamos um comportamento delimitado por três regiões distintas conforme a figura 43 As cor rentes de curto nas regiões 1 11 e Ili são chamadas de subtransitória transitória e de regime permanente respectivamente Desse modo o modelo proposto para as máquinas elétricas em estudos de curtocircuito simplifica as equações de Park e está focado essencialmente no eixo direto dada a natureza preponderantemente desmagnetizante do curtocircuito Esse modelo admite que durante o curto a força eletromotriz pela sua correspondência com fluxos permanece razoavelmente constante de acordo com a Lei de Lenz Essa tensão atrás de urna reatância variável resulta nas correntes de curto subtran sitórias transitórias e em regime permanente senoidal O modelo de reatância variável é relativamente simples e prestase ao cálculo de diferentes níveis de corrente de curto supondo uma tensão interna constante Des se modo na operação do gerador em vazio a tensão interna E terá o mesmo valor da tensão no terminal v pois não há quedas de tensão pela passagem da corrente I corrente subtransitória de curtocircuito JXd I corrente transitória de curtocircuito li jXd 1 corrente de curtocircuito em regime permanente III JXd 168 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A condição de maior interesse para os nossos propósitos no cálculo da cor rente de curtocircuito é a subtransitória que envolve os níveis de corrente mais elevados t I subtransitória II III 1 transitória 1 1 i 1 1 1 regime 1 t Figura 43 Períodos da corrente de falta Os modelos dinâmicos de geradores utilizados em programas de estabilida de são baseados nas equações de Park e permitem o cálculo da evolução dos fasores durante fenômenos transitórios como por exemplo um curtocircuito na rede Alguns modelos são ainda mais complexos como os utilizados em programas de transitórios eletromagnéticos O modelo simplificado composto por uma tensão atrás de uma reatância permite o cálculo fasorial da corrente em cada uma das eta pas predominantes do curtocircuito mencionadas anteriormente viabilizando o cálculo por meio de uma metodologia simplificada e suficientemente precisa na avaliação dessas correntes em valores eficazes Com o gerador operando em carga no sentido de adequar a precisão do mo delo é necessário ajustar a tensão interna correspondente ao período analisado do curto Para esse modelo existem as possíveis condições internas de excitação E tensão atrás de uma reatância subtransitória Xj E tensão atrás de uma reatância transitória Xd E tensão atrás de uma reatância síncrona X d Esse artificio permite melhorar a precisão da corrente obtida em cada um dos períodos selecionados Supondo um determinado período do curtocircuito calcu lamos as tensões internas que estão relacionadas com as tensões terminais pelas reatâncias e corrente de carga 42 Vr tensão no terminal J corrente de carga sobreexcitado Capítulo 4 Curtocircuito 169 subexcitado JXíl Vi Figura 44 Diagramas fasoriais da tensão interna no período subtransitório Com a finalidade de esclarecer um pouco melhor esse aspecto suponhamos o cálculo da corrente subtransitória de curtocircuito admitindo o gerador alimentan do uma carga com impedância Z Aproveitaremos também para dar início à uma de nossas tarefas que é a de apresentar o cálculo do curtocircuito levando em conta as condições préoperativas dos geradores e recursos de cálculo empregando o teorema de Thevenin Para isso suponhamos o gerador operando com tensão v no terminal Aplicando o teorema de Thevenin calculamos a corrente de curtocircuito tri fásico no terminal do gerador no período subtransitório h Resultando na corrente subtransitória J V X Z I XZ d I z Figura 45 Gerador em carga e corrente de curto subtransitória 170 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Com base nesse modelo a corrente de curtocircuito trifásico no terminal do gerador ao fecharmos a chave S também é dada pela expressão Para que a corrente de curtocircuito seja a mesma igualamos as duas equações anteriores e obtemos uma expressão familiar dada pelo divisor de tensão ZE V Z Xj Sabemos ainda que na condição préfalta temos as relações E l Z JXd V ZI Verificamos então a necessidade de que a tensão interna E esteja relaciona da com a tensão terminal V pela expressão 42 para que o cálculo das correntes esteja coerente Para os demais períodos o raciocínio é análogo como por exemplo o transitó rio no qual obtemos a tensão interna E E V Xd 4 21 Motor Síncrono Admitimos que durante o curtocircuito o comportamento do gerador e do motor síncronos como máquinas elétricas são similares Para um motor síncrono estabelecemos como positiva a corrente absorvida e nesse caso apenas trocamos o sinal da corrente para obter a tensão interna 422 E V Xjl E V XJI Motor de Indução 43 Devido à inércia do rotor e ao fluxo interno os motores de indução durante a falta atuam como geradores contribuindo para a corrente de curto embora em um Capítulo 4 Curtocircuito 171 período de tempo relativamente menor Conhecendo a impedância de curtocircuito do motor de indução ou utilizando valores típicos 5 trabalhamos de modo análo go ao anteriormente exposto obtendo uma tensão interna e a corrente de curtocircuito correspondente 43 Curtocircuito Considerando as Condições Préfalta Vejamos a seguir os passos necessários ao cálculo da corrente de curto circuito levando em conta as condições préfalta Utilizaremos uma rede elétrica simples composta por dois geradores ideais e duas impedâncias conforme a liga ção da figura 46 Essa rede pode representar desde a conexão singela de um gerador com um motor até o paralelismo de dois sistemas complexos representa dos pelos seus equivalentes de Thevenin no ponto P JPÍ p JPÍ Figura 46 Circuito a ser analisado rede A préfalta Tensões E1 Eil Lô1 e E2 IE2 I Lô2 Impedâncias Z1 e Z2 Trabalharemos com o princípio da superposição excitando a rede em duas si tuações uma denominada de préfalta e outra de falta É portanto conveniente introduzir a nomenclatura a ser utilizada e que nos acompanhará ao longo do texto 1 Pf corrente préfalta ou corrente de carga 1 f corrente de falta 1 e 1 contribuições de falta 172 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência I corrente de curto com superposição 11 e I 2 contribuições de curto com superposição Na condição préfalta temos os sistemas operando interligados sendo possí vel obter as tensões e correntes ao longo da rede Calculamos a corrente No ponto P em regime permanente escrevemos a tensão préfalta EPf E JPz E E1 E2 z p 1 1 1 z z I 1 2 EPf E1Z2 E1Z1 P Z1 Z2 Observamos que aplicando o princípio da superposição quando somente a fonte E1 está ligada encontramos a tensão em P dada pelo divisor de tensão Quando somente a fonte E2 está ligada obtemos E E2Z1 p 2 Z1 Z2 p I i Figura 47 Falta no ponto P Ao superpor no ponto P o efeito das duas tensões encontramos E jf E pi E P2 que coincide com o valor obtido anteriormente Capitulo 4 Curtocircuito 17 3 Na figura 47 apresentamos a rede quando ocorre um curtocircuito no ponto P com tensão operativa préfalta Ef Veremos a seguir duas possibilidades de cálculo da corrente de curto I a Resolução do circuito elétrico por análise de malhas método 1 Neste caso particular como as malhas são independentes calculamos a cor rente de curto no ponto P assim como as contribuições das duas ligações adjacentes a esse ponto de um modo muito simples ll1f2 f 1 Ei e I 2 E2 Z1 Z2 Portanto I E2 Z1 Z2 As correntes obtidas já são os valores finais do cálculo também denominadas em nossa nomenclatura de valores superpostos Circuitos mais complexos podem necessitar do uso de equacionamento ma tricial como as matrizes de impedâncias de malhas matrizes de impedâncias nodais ou de admitâncias nodais a serem estudadas no capítulo 6 Com esse procedimento é necessário conhecer as tensões internas em todos os geradores da rede nesse caso representadas pelas fontes E1 e E2 b Resolução pelo equivalente de Thevenin método 2 Utilizando o teorema de Thevenin a corrente de curto I também pode ser obtida pelo cálculo I th z11 na qual E11 Eff ou seja a tensão préfalta em P I I i p Figura 48 Equivalente de Thêvenin 17 4 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A impedância de Thevenin vista do ponto P é dada por Z1Z2 Zh Z1 li Z2 Z1 Z2 Desse modo a corrente 1 é obtida pela expressão IE1Z2 E2Z1 JZ1 Z2 J E2 Z1 Z2 Z1Z2 Z1 Z2 44 Verificamos que a solução é idêntica à do caso anterior o que demonstra a u tilidade do uso do equivalente de Thevenin principalmente no estudo de redes mais complexas Nesse caso precisamos conhecer a tensão apenas no ponto de falta sem a necessidade de calcular as tensões internas de todos os geradores da rede Vejamos a seguir a resolução da rede da figura 47 com a utilização do prin cípio da superposição Introduziremos a nomenclatura de rede em falta em concordância com uma vasta literatura sobre o terna Para isso calculamos a corren te de curto 1 E1h I Z1h A rede préfalta opera inicialmente em regime permanente na condição da figura 46 e com a falta encontrase conforme a figura 47 Com a finalidade de explicar a solução passo a passo substituiremos a ligação representativa do curto por um gerador de corrente cuja intensidade é igual à corrente de curto conforme a figura 49 p I i Figura 49 Representação do curtocircuito com um gerador de corrente Observamos que com esse artificio a distribuição de tensões e correntes ao longo da rede em falta não se modifica Podemos aplicar o princípio da superposição supondo em urna primeira eta pa a rede apenas com os geradores de tensão que se encontra solucionada segundo considerações anteriores denominada rede préfalta Capítulo 4 Curtocircuito 175 Em uma segunda etapa obtemos o efeito do gerador de corrente 1 que passa remos a chamar de 1 f em uma rede denominada de falta conforme a figura 41 O p t ti I Figura 41 O Rede em falta apenas com o gerador de corrente de curto Resolvemos então a rede apenas com o gerador de corrente obtendo as com ponentes 1 e 1 pelo divisor de corrente JÍ L2 JÍ 1 Z1 Z2 substituindose o valor de 1 JÍ da expressão 44 vem J E2 J Z2 E1Z2 E2Z1 Z2 1 Z1 Z2 Z1 Z2 Z1Z2 Z1 Z2 11 E1Z2 E2Z1 1 Z1 Z1 Z2 que pode ser reescrita como Analogamente para 1 No circuito da figura 41 O considerando apenas o gerador de corrente obte mos a tensão no ponto P na rede em falta Ef Jf Z 1z E p 1 1 2 2 th 176 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Superposição A etapa final consiste em aplicar o princípio da superposição e para isso so mamos as correntes e tensões obtidas com as soluções das redes préfalta figura 47 e de falta figura 410 Para a contribuição oriunda da fonte 1 correspondente à ligação adjacente Z1 superpomos 1 PI e 1 Da mesma forma para a contribuição da fonte 2 111 JPI Figura 41 l Superposição de correntes Vejamos o cálculo de 11 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2 Z1 Z1 Z2 Z1 Analogamente encontramos 12 E1 E2 E1Z2 E2Z1 E2 Z1 Z2 Z2 Z1 Z2 Z2 A superposição de tensões no ponto P sob curtocircuito E EPÍ Ef p p p obviamente resulta em uma tensão nula E Erh Eth O Capítulo 4 Curtocircuito 177 Na superposição da corrente de curto para a terra como a corrente para a ter ra na rede préfalta é nula escrevemos lJf O Ou seja a corrente de falta para a terra e a corrente superposta se equivalem Essa coincidência nos favorece pois a corrente de curtocircuito recebe a denomi nação por norma de corrente de falta sem associála à rede de falta como fizemos de acordo com uma extensa literatura De qualquer forma como os valores são os mesmos esse aspecto não apresenta maiores complicações de denominação No caso dessa rede simples vimos que é equivalente resolver a rede tanto pe lo método 1 como pelo método 2 no entanto em redes mais complexas envolvendo cálculos matriciais é conveniente seguirmos o método 2 pois é mais imediato dispor da informação do equivalente de Thevenin na barra de curto sendo a tensão de Thevenin extraída de um programa de fluxo de potência a ser estudado no capítulo 7 O artificio utilizado na substituição do curto por um gerador de corrente é equivalente ao de substituirmos o curto por dois geradores de tensão no ponto P em oposição de fases e com valor EP Erh Desse modo o circuito da figura 47 é equivalente ao da figura 412 p Figura 412 Representação do curto com geradores de tensão Esse circuito pode ser resolvido em duas etapas aplicandose o princípio da superposição aos geradores conectados ao ponto P Na resolução do circuito da figura 413 observamos que a ligação ou não do gerador E P E1h no ponto P em nada modifica a distribuição de tensões e corren tes na rede préfalta e tal gerador pode ser omitido com os resultados idênticos aos obtidos anteriormente na solução da rede da figura 46 178 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência PI p f Pf Circuito a Figura 413 Rede préfalta p Circuito b Figura 414 Rede de falta A resolução do circuito da figura 414 é idêntica àquela obtida anteriormente para a figura 41 O que resulta na corrente de curto Concluímos portanto que os procedimentos são equivalentes ao substituir mos o curto por um gerador de corrente ou por dois geradores de tensão em oposição de fases Comentamos ainda que em boa parte dos estudos a parcela da corrente de carga é bem inferior à corrente de curto e além disso algumas configurações da rede não apresentam as suas condições de carregamento bem definidas como análises de evoluções da rede Desse modo é comum desprezarmos o efeito das condições pré falta utilizando a rede sem carga e adotando o valor de tensão nominal de 10 pu em todas as barras o que implica uma sensível simplificação do cálculo sem gran de impacto nos resultados Capítulo 4 Curtocircuito 179 44 Modelo de Carga e Análise Préfalta 4 41 Modelo de Carga Quanto aos modelos de carga esta é uma questão relativamente complexa e trabalhamos genericamente com três modelos z Impedância constante Corrente constante Figura 415 Modelos de carga PjQ Potência constante Ao considerarmos os carregamentos da rede em condições préfalta no cál culo do curtocircuito estamos extrapolando o comportamento de modelos mais adequados para outros estudos como fluxo de potência ou estabilidade Fica portan to uma dúvida sobre o real comportamento da carga nos breves períodos transitórios ou subtransitórios do curto muitas vezes em condições desequilibradas Os modelos de corrente constante ou de potência constante ou mesmo uma composição de ambos são mais adequados para estudos de fluxo de potência ou de estabilidade Pelo fato de estarmos aplicando o princípio da superposição podemos utilizar apenas os modelos lineares ficando descartado o modelo de carga com potência constante que envolve o produto da tensão pela corrente Nessa mesma categoria encontramse as cargas não lineares de circuitos retificadores muito comuns em processos industriais cujo comportamento é dependente da malha de controle utili zada A representação detalhada desses equipamentos só é possível em programas de transitórios eletromagnéticos Cabe salientar que algumas aproximações no modelo de carga não apresen tam uma grande imprecisão no cálculo pois em geral a parcela correspondente à corrente préfalta é relativamente pequena em relação à corrente total de curto Por essa razão muitas vezes a contribuição da corrente préfalta não é considerada o que simplifica todo o procedimento de cálculo As cargas constituídas por motores têm tratamento semelhante ao de gerado res conforme discussão do item 42 Determinados componentes da rede como reatores ou bancos de capacitores ou mesmo cargas resistivas como as de ilumina 180 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ção apresentam um comportamento de impedância constante devendose tomar um cuidado especial com transitórios causados por descarga de bancos de capacitores 442 Estudo das Condições PréFalta Normalmente as condições préfalta são estabelecidas em um estudo de fluxo de potência como veremos no capítulo 7 do qual são extraídas as tensões nas bar ras correntes e fluxos de potência nos ramos de ligações Faremos aqui um breve resumo do ponto de vista das informações préfalta básicas VLB 1 1 1P jQ Figura 416 Representação da carga numa barrai Para cada barra i são definidas as variáveis P Q V B Nesse caso P e Q são potências absorvidas por cargas ligadas para a terra Em uma ligação temos um fluxo de potência da barrai em direção à barra j i S lu ij VLB Figura 417 Fluxo de potência Com as tensões V e v1 obtemos a corrente na ligação i j dada por vv 1 J lj z lj 45 O fluxo de potência por fase e o trifásico são calculados pelas expressões s V lj 1 lj s 3Vf lj 1 lj Capítulo 4 Curtocircuito 181 Vejamos como obter a impedância de uma carga do tipo impedância cons tante conhecendo a potência absorvida e a tensão na barra Admitiremos os dados em valores por unidade Modelo RL série s Pi jqi vi ziii Pi jqi vii S 1 No caso de tensão nominal 1 pu 1 1 zi ou Yi si Si Zi zi impedância para a terra pu Yi admitância para a terra pu Modelo RL paralelo 45 Curto Trifásico Equilibrado rede k a b c ia ib ic Zg Figura 418 Curto trifásico 46 47 Zg 182 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Consideremos uma rede trifásica equilibrada da qual são acessíveis as três fases em uma barra k do sistema Ao aplicarmos uma falta trifásica considerando iguais as impedâncias de fal ta Z g nas três fases estamos diante de um caso semelhante ao de uma carga equilibrada ligada em estrela aterrada ou não com o envolvimento apenas da se qüência positiva resultando no circuito equivalente de seqüência positiva Figura 419 Curto trifásico com envolvimento da seqüência positiva Dadas as condições equilibradas concluímos que o curto trifásico pode ser aterrado ou isolado sendo indiferente a presença ou não do aterramento do centro estrela com correntes idênticas de fase em ambos os casos resultando na soma i0 ib ic O no ponto N de neutro Supondo as grandezas E Z em valores por unidade e i z escrevemos e1 i1 Z 1 zg Com exceção de alguns casos especiais para calibragem de proteções é co mum desprezarmos a impedância de falta zg em relação às demais impedâncias da rede resultando em um cálculo levemente conservativo com z g O e1 l1 Zt que chamaremos de corrente de curtocircuito trifásica 48 Capítulo 4 Curtocircuito 183 Da mesma forma conhecidas a tensão préfalta e a corrente de curtocircuito trifásica sabemos o valor da impedância de seqüência positiva 2 1 do equivalente de Thevenin da barra 46 Curtocircuito Faseterra Consideremos o curto faseterra ocorrendo por meio de uma impedância de falta Zg rede k ia a ib o i 0 e e Figura 420 Curto faseterra As condições de contorno em um nó genérico k para curto através de impe dância são apresentadas a seguir em valores por unidade 49 41 O Essas condições de contorno serão utilizadas na obtenção dos modelos em componentes simétricas e para isso escrevemos genericamente 411 l i0 1 I 1 l2 1 412 184 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência j 1 1 1 x1 1 ª2 a 1 a ª 2 413 J 1 1 f l 1 a ª2 1 ª2 a 414 Da expressão 412 sabemos que 1 io i1 i2 31ª 415 ou i0 3i0 416 Da primeira linha da fórmula 413 e com as equações 410 e 416 escre vemos Como as correntes nos três diagramas são iguais conforme a expressão 415 e a tensão na fase a é igual a 3zgio ou nula no caso de zg O podemos pro por a conexão em série dos diagramas de impedâncias de seqüência positiva de seqüência negativa e de seqüência zero apresentada na figura 421 Lembramos que as impedâncias de seqüência positiva e negativa são iguais A partir do circuito obtemos 417 Observamos que e1 vthl corresponde à tensão de seqüência positiva dada pela tensão do equivalente de Thevenin no ponto de falta As impedâncias equiva lentes de Thevenin de seqüência positiva e seqüência zero são z1 z1h1 e zo z117o respectivamente No caso particular de curto franco adotamos zg O e a dedução do equacio namento passa a ser mais imediata pois v0 v1 v2 O Sabendo que Capitulo 4 Curtocircuito 185 seq 1 seq 2 seq O Figura 421 Conexão dos diagramas de seqüências no curto faseterra e como z1 z2 obtemos e l 012 2 Zo ZI 186 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Isso corresponde a colocar os três diagramas de seqüências em série e poste riormente em curto No ponto de curto encontramos 3e1 l ª z0 2z1 Ao longo do texto chamaremos a corrente de curto monofásica de i1J sendo 3e1 zlb z0 2z1 É interessante obter as tensões v0 v1 e v2 nos diagramas de seqüências Sabendo que v0 v1 v2 O obtemos z0 zie1 v z0 2z1 418 419 420 421 Observamos que também podemos obter v1 do divisor de tensão em relação à tensão aplicada ao circuito e1 Para v0 e v2 encontramos divisores análogos po rém com polaridade trocada Em componentes de fase obtemos as tensões vb e v e Lembrando que calculemos as tensões nas fases b e e Capitulo 4 Curtocircuito 187 422 vcz0 1az1aa2 e z0 2z1 423 Observamos que se desprezarmos as resistências da rede ou seja trabalhando apenas com reatâncias z jx obtemos valores iguais em módulo para as tensões vb e vc nas fases sãs b e e Neste ponto é conveniente definirmos o fator de sobretensão como a relação mais elevada entre a tensão em uma fase sã vb ou vc durante o curto pela tensão preexistente antes do curto correspondente à tensão do equivalente de Thevenin e1 Fator de sobretensão calculado para a fase b 424 Repetimos o cálculo para a fase e e tomamos o pior caso Com a finalidade de obtermos uma expressão mais simples adotaremos k z0 z1 na equação 422 e aproximaremos este número complexo k por um número real admitindo que as impedâncias de seqüência positiva e zero apresentem fases aproximadamente iguais obtendo k 150 e r vb v3e1 k2 Desenvolvendo o número complexo k 150 e J k2 e lembrando que k passa a ser um número real obtemos k11 k2 k2 k2 425 kJ3 j k 2 2k2 188 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Em módulo 3k2 k2 4k 4 k 2 k1 2k2 k2 Resultando no módulo do fator de sobretensão para o curto faseterra 426 Para sistemas com z0 z1 portanto com k 1 o fator de sobretensão é unitá rio pois não havendo mútuas a tensão em uma fase não depende do que ocorre com a outra Conhecidas a tensão do equivalente de Thevenin e da corrente de curto fase terra temos informações sobre as impedâncias de seqüências positiva e zero a se rem exploradas no item 49 47 Curto Duplafase A figura 422 mostra a representação do curto duplafase através de impedância rede k Í0 O a ib b ic zf c Figura 422 Curto duplafase com impedância entre fases Estabelecemos as condições de contorno para esse tipo de falta escrevendo 427 428 429 Capítulo 4 Curtocircuito 189 Das equações de correntes 427 e 428 concluímos que o que implica uma corrente de seqüência zero nula ou seja sem o envolvimento dessa seqüência no curto duplafase pois i0 O Como i0 O temse i0 i1 i2 O o que implica 430 A expressão de tensão 429 reescrita em componentes simétricas apresenta v0 a 2 v1 av2 v0 av1 a 2 v2 z 1 i0 a 2 i1 ai2 que pode ser rearranjada em ª2 a v1 ª2 a v2 ª2 a z f i1 431 Cancelando o termo a 2 a resulta em 432 Das expressões 430 a 432 obtemos o circuito em componentes simétri cas para o cálculo do curto duplafase seq 1 seq2 Figura 423 Conexão dos diagramas de seqüências positiva e negativa no curto duplafase 190 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Calculando a corrente no circuito e como temos Calculemos as correntes nas fases b e e 2 2 zb a z1 az2 a a z1 2 2 zc a z1 a z2 a a z1 que satisfaz a condição de contorno ic ib Cálculo da tensão na fase a Escrevemos a tensão de seqüência positiva obtida do divisor de tensão el Z2 z f VI z1 z2 zf Esta tensão também poderia ser obtida pelo cálculo da queda de tensão no dia grama de seqüência positiva A tensão v2 é dada por Como i1 i2 escrevemos v2 z2i1 A tensão na fase a como v0 O é dada pela soma de v1 v2 das duas ex 1 pressões anteriores resultando em v ª e1 Concluímos que independentemente de valor de z f não há sobretensão na fase a Em geral adotamos z f O e simplificamos as equações Capítulo 4 Curtocircuito 191 Quando z 1 O a simplificação permite uma dedução rápida da ligação dos diagramas de seqüências pois i1 i2 e como vb vc é imediato que v1 v2 tor nandose óbvia a ligação em paralelo dos diagramas de seqüências Calculemos as correntes em componentes de fase adotando z 1 O l J 1 1 o 1 ª2 a lxl 1 2z1 a a J 1 e1 l o o J a2aí J3 e1 1 2z1 2 ZI aa2í J3 e1 1 2z1 2 ZJ Lembrando que obtemos em módulo da corrente de curto duplafase 433 que é inferior ao módulo da corrente de curto trifásico 148 Curto Duplafaseterra 1 1 j Condições de contorno i0 O 192 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência rede k i o a a ib Zj b ic e Figura 424 Curto duplafaseterra Como a corrente na fase a é nula ia O temos i0 i1 i2 o Zg sugerindo a conexão dos três diagramas de seqüências em um mesmo ponto de tal forma que a soma das correntes seja nula Da expressão 412 sabemos que ia ib ic 3i0 e como ia O temos Reescrevendo as equações de tensões em componentes simétricas 434 45 Subtraindose a equação 435 da 434 a2 a v1 z 1 i1 a2 a v2 z 1 i2 ou 436 Da expressão 434 isolando os termos de seqüência zero Usando 436 e sabendo que Capítulo4 Curtocircuito 193 a 2 a1 resulta o diagrama de impedâncias visto na figura 425 Desse diagrama a corrente de seqüência positiva é dada pela expressão As correntes i2 e i0 são obtidas pelo divisor de corrente composto pelas im pedâncias de seqüência negativa e seqüência zero seq 1 io i2 t 3zg seq O zf seq2 Zz Figura 425 Conexão dos diagramas seqüenciais para o curto duplafaseterra Em geral adotamos z 1 z g O e nesse caso a dedução é imediata pois co mo i0 O obtemos i0 i1 i2 O Como vb O e vc O obtemos Essas equações resultam em condições duais do curto faseterra que impli cam uma ligação em paralelo dos diagramas de seqüências 194 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Curto duplafaseterra v0 v1 v2 e i0 i1 i2 O Curto faseterra i0 i1 i2 e v0 v1 v2 O A corrente i1 é obtida pela expressão mais simplificada e1 l1 z1 z0 z2 Lembrando que z2 z1 temos e1 i1 ZoZ1 z1 zo z1 As correntes i2 e i0 são extraídas pelo divisor de corrente conforme menção anterior lembrando que nos casos de interesse z1 z2 I z0 Das expressões anteriores são extraídas as correntes de fase i0 ih ic l r zl l e a x z1 zo 2zo z1z1 a2 Zo Para calcularmos ih a expressão é semelhante à 423 para o cálculo de ten sões durante o curto faseterra trocando z0 por z1 e dividindo por z1 Cálculo da tensão na fase a Sabemos que v0 v1 v2 v 0 3 e como v0 i0z0 das expressões anterio res obtemos Capítulo 4 Curtocircuito 195 Observamos que fazendo z0 00 ou seja impedindo a circulação de cor rente de seqüência zero recaímos no mesmo resultado do curto duplafase com v1 e1 1 2 e v1 v0 nesse caso Analogamente ao curto faseterra definimos um fator de sobretensão para a fase a adotando k z0 z1 como um número real 3k 3kz 2klz1 2kl na qual k z0 z 1 49 Potência de Curtocircuito 491 Potência de Curtocircuito Trifásica Em um circuito trifásico simétrico e equilibrado trabalhamos com tensões nominais de fase e de linha Tensão nominal de linha V Tensão nominal de fase V LOº f J3 Para a seqüência positiva conhecidas as tensões obtemos vh vc e vbc e vca pelos correspondentes defasamentos de 120º Conhecida a corrente J3r de curto trifásico em uma barra definimos a potên cia de curtocircuito trifásico nesse local da rede pela seguinte expressão considerando a tensão nominal da barra 196 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Essa expressão fornece a potência aparente de curtocircuito trifásico em mó dulo Podemos estender um pouco mais o conceito definindo em valor complexo V v1 LOº a J3 Figura 426 Tensões de linha e de fase Adotando a potência de base trifásica na qual Vbase V é a tensão de linha em valores por unidade obtemos s vi Como na tensão nominal v 1 O pu temos o valor da potência dado pelo complexo conjugado da corrente s i Com tensão nominal sabemos que a corrente é igual ao valor da admitância em pu pois i y Conseqüentemente verificamos que o conjugado da potência complexa é i gual ao valor da admitância de Thevenin no local do curto ys Ou seja a informação da potência de curtocircuito trifásica nada mais é do que a informação da impedância ou admitância do equivalente de Thevenin nesse ponto da rede elétrica o que será útil na exposição a seguir Consideremos um sistema com as possíveis configurações Capitulo 4 Curtocircuito 197 A y B A B l y b Y y série paralelo Figura 427 Elementos em série e paralelo ligados ao barramento infinito A barra A é chamada de barramento infinito considerada com freqüência e tensão constantes independentemente de qualquer alteração na rede Em termos de circuitos elétricos a tensão nesse ponto é imposta por uma fonte ideal de tensão senoidal Obviamente a potência de curtocircuito da barra A é infinita Para elementos conectados em paralelo entre as barras A e B a potência de curtocircuito na barra B admitindose a presença apenas do iésimo elemento e supondo condições nominais é dada por Isso ocorre pois em vazio o equivalente de Thevenin nessa barra apresenta a mesma tensão nominal da barra A de 10 pu e com a barra A aterrada a admitância deste equivalente tem valor igual a Yi A potência de curtocircuito trifásica total na barra B quando todos os ele mentos estão conectados simultaneamente é dada pela soma n n s LYi e Y1 LYi iI iI ou ou seja a potência de curtocircuito total na barra B com todos os elementos liga dos em paralelo corresponde à soma das potências de curtocircuito de cada elemento ligado individualmente Para elementos conectados em série sabemos que a impedância do equiva lente de Thevenin é dada pela soma dos componentes individuais 198 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Essa expressão pode ser escrita na forma 1 1 1 1 Yt Yt Y2 Yn ou 1 1 1 1 St St S2 Sn Ou seja a soma dos inversos das admitâncias corresponde ao paralelo desses elementos Em termos de potências de curtocircuito analogamente A potência de curtocircuito resultante da barra com n elementos em série é dada pelo paralelo das potências de curtocircuito de cada elemento conectado indivi dualmente ao barramento infinito Como no curtocircuito trifásico temos o envolvimento apenas da seqüência positiva Z1 Z1h também podemos calcular a potência trifásica pela expressão 492 Potência de Curtocircuito Monofásica Cabe ainda definir a potência de curtocircuito monofásica aparente ou em valor complexo assumindo tensão de fase v1 LO Os equivalentes de Thevenin de seqüência positiva e zero podem ser forneci dos indiretamente através das potências de curtocircuito monofásica e trifásica Com a potência de curtocircuito trifásica s3J obtemos Capítulo 4 Curtocircuito 199 Com a potência de curtocircuito monofásica s1rJ sabendo que srJ i1rJ es crevemos que pode ser reescrita como Porém como resulta em valores por unidade 3 2 Zo SlrJ S3rp ou ainda EXEMPLO 1 Um conjunto de dez motores síncronos de 5 MV A cada um representado pe la sua potência equivalente é conectado a um sistema elétrico por meio de uma linha de transmissão de 69 kV com 60 km de comprimento e as respectivas trans formações de tensão no início e fim da linha O sistema elétrico de alimentação apresenta as potências de curtocircuito trifásica e monofásica indicadas na figura São fornecidos os parâmetros de seqüência positiva e zero da linha de transmissão valores nominais e reatâncias dos transformadores e motores Sabemos que o conjunto de motores opera com tensão nominal na barra 4 i absorvendo a potência de 465 MW com fator de potência unitário l 200 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência l2 conjunto de sistema linha motores equivalente 1 3 4 síncronos 60km 6j cwl 1 1 6j XI j04 388 Qkm S3rJ 500 MVA 13869 kV x0 j 1 l 053 Okm 69138 kV xd j018 pu S1rJ 600 MVA 60MVA 50MVA O x 5 MVA x 12 x 10 Figura 428 Sistema de alimentação dos motores a Curto trifásico Considerandose um curto trifásico na barra 2 calcular as correntes de fase no primário e no secundário do transformador 1i admitindo a superposição com as correntes préfalta A potência de base adotada é S h 100 MV A Iniciamos a solução obtendo o diagrama de impedâncias de seqüência positi va e zero em valores por unidade 30º 1 2 seqüência positiva 1 2 seqüência zero j01 3 3 jl393 30 4 4 j036 j02 Figura 429 Redes de seqüência positiva e zero em valores por unidade Impedância de base 692 Zh4761Q 100 Reatâncias da linha em valores por unidade 04388x60 0 553 Xi l Z l b 11053x60 1 393 Xo l l zb Reatâncias dos transformadores em pu X11 012lOO 020 60 100 X12011020 50 Capítulo 4 Curtocircuito 201 Reatâncias do equivalente de Thevenin do sistema de alimentação S3J 500 MV A em pu s3J j JS 1 Xi 10 2 S3J x 3x100 2x100 0 l o l 600 500 l Condição préfaJta Examinemos as condições préfalta a partir das informações operativas do motor A carga i 0465 pu total tem o fator de potência unitário e como s vi obtemos Como a tensão na barra 4 é unitária em pu obtemos a tensão na barra 2 com as respectivas rotações angulares de seqüência positiva que ocorrem no transformador vff 1 j0753x0465x1L30º vPf 1 06L 193ºx 1L30º 1 06L49 3º 2 As correntes no primário e secundário do transformador 71 são 202 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Barra 1 if 0465L0º Barra 2 iJf O 465L30º Pf O 465LOº 30º pf O 465L30º 30º pf O 465LOº 1 2 3 4 V2 e17 1 06L493º Figura 430 Rede préfalta Condição de falta trifásica na barra 2 Equivalente de Thevenin Impedância equivalente de Thevenin de seqüência positiva Z1hl 0411 jl113 0294 1 30º 1 2 Figura 431 Rede de falta Cálculo de correntes fÍ l06L 4930 3 60L40 7º o 294 J Capítulo 4 Curtocircuito 203 Figura 432 Equivalente de Thevenin Com relação à corrente de curtocircuito trifásica total este já é o valor final não havendo corrente préfalta da barra para a terra em regime permanente Até aqui obtivemos a corrente de curtocircuito trifásica total Vejamos as contribuições de cada lado do circuito e para isso montemos o circuito equivalente jl 113 04 Figura 433 Divisor de corrente Aplicando o divisor de corrente obtemos a contribuição vinda do secundário do transfonnador 7 jI 113 3 6L 40 7º s 1 513 J A corrente corresponde à corrente I no circuito de falta da figura 41 O i 2648L40 7º Analogamente obtemos a contribuição do lado da linha de transmissão 1 da figura 41 O 12 36L 40 7º 0952L40 7º 1 513 Calculemos a contribuição para a corrente de curto i do lado do secundário do transformador 7 aplicando o princípio da superposição Como todas as rotações 204 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência já foram efetuadas basta somar as correntes de falta e préfalta i iff if 0465L30º 2648L40 7º 2836L3 l80º pu Resultando finalmente nos valores em kA para a corrente na fase a Is 2836 ÁOO 2373 secundário 3 X 69 la 2373L3180º kA As correntes nas fases b e e são obtidas com as respectivas rotações de fase Obtemos também a corrente no primário ip if i x1L30º04652648L707º2836L6180º Observamos que bastava rodar 30º a corrente is do secundário 100 I p 2836 r 11865 primário 3X13 8 la 1187 L6180º kA As correntes nas fases b e e são obtidas com as respectivas rotações de fase Ih lªL120º lc l 0 Ll20º Cálculo de tensões Figura 434 Rede de falta Capítulo 4 Curtocircuito 205 Como vimos podemos resolver a rede em falta usando um gerador de tensão ou um gerador de corrente Calculemos por exemplo a tensão na barra 4 durante 0 curto Com o gerador de tensão Obtemos a tensão na barra 4 na rede de falta simplesmente com o divisor de tensão v º 36 xl06L493ºxlL30º0343Ll93º 0343L 1 607º pu 1 113 Com o gerador de corrente Com o gerador de corrente conhecemos a contribuição da corrente do lado da linha de transmissão chamada de 1 que precisa ter o defasamento correspon dente para utilização na barra 4 da rede I x36L407 1 513 v j036IL30º j036x 0952L70 7º 0343L160 7º Apresentando o mesmo resultado anterior Obtemos o valor final da tensão na barra 4 superpondo os resultados das ten sões préfalta e de falta v4 vf v l00343L1607º 0686L952º b Curto faseterra Para o curto faseterra calcular as correntes de fase no primário e no secun dário do transformador 7 Vejamos agora como seria a solução quando admitimos um curto monofási co no ponto 2 Iniciamos o cálculo da corrente de falta com a ligação em série dos diagramas de seqüências compostos pelos equivalentes de Thevenin no ponto de falta Impedância equivalente de seqüência positiva Zthl O 294 Impedância equivalente de seqüência zero ZthO j02jl593z1ho 0178 206 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Figura 435 Ligação dos diagramas de seqüências Sabendo que e1h é a tensão do equivalente de Thevenin no ponto 2 obtemos as correntes de seqüências i i i l06L 49Jº l 384L40 7º u 0 1 2 J2x02940178 P JÍ 3xl384L407º4152L407º pu A corrente de falta faseterra já é o valor final pois a corrente préfalta é nula para a terra b 1 Contribuição do lado secundário do transformador 7J 69 k V Contribuição da seqüência positiva Novamente usando o mesmo divisor de corrente de seqüência positiva 1113 1384L407º J 1513 obtemos a contribuição da corrente de falta existente no lado 69 k V do transforma dor 7 iI 1 02L 40 7 Capítulo 4 Curtocircuito 207 Superpondo com a corrente de préfalta obtemos o valor total da contribui ção de corrente de seqüência positiva do lado secundário do transformador 1j iI zPfI 0 465L30º 1 02L40 7º 1 253L 20 2 s s s Contribuição da seqüência negativa A contribuição de seqüência negativa é idêntica à de seqüência positiva pois o divisor de corrente é o mesmo i 2 1 02L 40 7º Como não há corrente préfalta de seqüência negativa essa já é a contribui ção total Contribuição da seqüência zero Tomandose o divisor de corrente de seqüência zero iO 1593 1 384L40 7º 1 230L40 7º 1 793 Correntes de fase Obtemos as contribuições de correntes de fase do lado secundário do trans formador 1j que também já são valores superpostos l ml 1 1 ª2 1sb lC 1 1 1 l l230L407º1 l345L3340º1 a x l253L202º 062L7518º a2 1 02L 40 7º O 26Ll 5 8 5 8º a Finalmente em valores reais basta multiplicar pela corrente de base em 69 kV l fsal lisal l289L 3340º1 lb ib 0 69 052L7518 kA fsc 1c 022Ll5858 b2 Contribuição do primário 138 kV do transformador 1j As correntes existentes no lado de 138 kV desse transformador podem ser calculadas com os correspondentes defasamentos das correntes de seqüências posi tiva e negativa lembrando que não existe componente de seqüência zero 208 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ipa lpb ª2 lpc a ou em valores reais 1 100 b f3x138 1 a ª2 l O l2141L3256º x l253L202ºxlL30º 1741Ll5451º pu l02L40 7ºx1L 30º 0465Ll20º 1 pa l8 956L32 56º Ipb 7285Ll5451º kA J 1 945Ll 20º pc b3 Cálculo das tensões na barra 2 para o curto faseterra v2 j0294x l384L40 7 0407 L130 7 v0 jO 1778x1384L40 7 O 246L 130 7º v1 v0 v2 0653L493º Jº 070 6 J 394L612º kV a2 lo407L1307º v3 l394L 6258º Podemos ainda obter o módulo da tensão na fase b utilizando a fórmula sim plificada f J3k 2 kl st 2 k k O 178 O 605 0294 ft O 934 Como fst vb e1 e lembrando da tensão de Thevenin nesse ponto e1 106 pu Capítulo 4 Curtocircuito 209 b4 Cálculo da corrente de curto e a tensão na barra 2 considerando um reator de neutro de 20 Q no transformador 11 A instalação de um reator no neutro do transformador 11 altera o diagrama de seqüência zero xneutro 20 n 20 o 42 Xn J J pu 4761 2 126 3 3xj042 Figura 436 Diagrama de seqüência zero com reator de neutro ZthO jl46 j1593 JO 762 i1 l 06L49 30 O 785L 40 7º j 2 X O 294 O 762 i1J 2356 pu v2 O 294x O 785L40 7 O 23 IL130 7º v0 O 762 x O 785L 40 7 O 598L130 7º V1 Vo V2 0829L493º lJ ºº 6 J 5113L8504º kV lv2c 1 a a 2 lo231L1307º 3 lsl13L17636º 21 O Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência EXEMPLO 2 Considere o sistema descrito a seguir 1 62 3 6j 1 1 350km 1 230500 kV 800MVA x8 Figura 437 Rede do exemplo 2 As potências de curtocircuito trifásica e monofásica na barra 1 são respecti vamente 5000 MV A e 6000 MV A Parâmetros da linha de transmissão z1 004 j035 Qkm c 1 13 nFkm zo O 14 j065 Qkm co 9 nF km Utilizando o modelo de linha longa pedese calcular a corrente de curto fase terra no fim da linha sabendo que a mesma possui tensão nominal no início e en contrase em vazio Adotando S b 1000 MV A Vb 5 00 k V obtemos Xs1 J02 Xso JOI x 1 JOI Solução com modelo de linha longa Calculemos os parâmetros A e B de linha longa para as seqüências positiva e zero usando as expressões do capítulo 3 A cosh re B Zc senh re Seqüência positiva A1 0897 j00116 B1 13 03 jl 18 31 Q Seqüência zero Ao O 868 jO 028 Bo 44675 21785 Q Capítulo 4 Curtocircuito 21 J Com a linha em vazio obtemos a tensão no final da linha que é a tensão préfalta B1xvv 1115LO 741 º D O A l l eth v Equivalente de Thevenin de seqüência positiva visto no fim da linha Figura 438 Equivalente de Thevenin de seqüência positiva B Zl 1 00521 j04732 pu zb Zcl Jl 00094 458 pu A1 1 Zb zthl O 0768 O 960 pu Equivalente de Thevenin de seqüência zero J zhO Figura 439 Equivalente de Thevenin de seqüência zero Bo z0 0179 J0871 pu zb 212 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência B0 l zco 0033 16589 A0 1 zh zthO zo zco li zco O 0678 j3 0597 pu 3eth zrJt 0585 1282 pu 2zthl 2 th0 1 1000 b J3 x500 1 1547 kA lrJt 3325L7828 kA 41 O Referências Bibliográficas 1 Stevenson Junior W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ed McGrawHill 1986 2 Stagg G H ELAbiad A H Computer Methods in Power System Analysis New York McGrawHill 1968 3 Anderson P M Analysis of Faulted Power Systems Ames Iowa State Uni versity Press 1973 4 Ramos D S Dias E M Sistemas Elétricos de Potência Regime Perma nente Rio de Janeiro Guanabara Dois 1982 2 vols 5 IEEE Std 14193 Recommended Practice for Electric Power Distribution for Industrial Plants CAPÍTULO 5 TRATAMENTO MATRICIAL DE REDES 5 1 Introdução O tratamento matricial de redes é objeto de uma extensa literatura que explo ra suas propriedades fundamentais Recordaremos os aspectos básicos na formação da matriz de admitâncias que exprime propriedades nodais da teoria de circuitos mencionando de passagem a formação da matriz de impedâncias nodais Para uma abordagem mais detalhada do assunto quanto ao aspecto de eficiência computacional que não é o objetivo deste texto o aluno pode contar com várias publicações dedicadas ao tema 5 2 Matrizes para Redes de Seqüências O estudo de uma rede equilibrada em regime permanente utiliza a representa ção apenas da seqüência positiva No caso de desequilíbrios ou mesmo em alguns tipos de curtocircuitos necessitamos também da rede de seqüência zero ou até mesmo da rede trifásica 521 Formação da Matriz Y Considerando os Elementos Indutivos sem Mútuas Façamos uma breve recordação da técnica de formação da matriz de admi tâncias nodais Y que requer o conceito de matriz primitiva dos elementos Consideremos inicialmente o caso básico de rede monofásica constituída por bipolos puramente passivos sem a existência de geradores de corrente ou de tensão nesses elementos Figura 5 1 Elementos de rede 214 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Temos então 51 ou 52 Por meio da análise da estrutura da rede obtemos a equação básica para a formação da matriz de admitâncias nodais 23 Y Af YP A 53 A matriz de incidência nodal A ou de conexão nodal contém as informa ções topológicas e a matriz primitiva de admitâncias YP fornece os elementos da rede Com as matrizes primitivas escrevemos as equações vpq J z PJ I pq J 1 pq Y P V pq vpq J vetor de diferenças de potenciais entre os nós dos elementos da rede 1 pq J vetor de correntes nos elementos da rede Portanto YP pode ser obtida pela inversão de ZP fazendo 54 1 55 1 1 56 A formação da matriz Y a partir da expressão 53 não é eficiente em ter mos computacionais sendo mais prático aplicarmos a regra de colocar na diagonal a soma das admitâncias incidentes nos nós e fora da diagonal as admitâncias de ligações entre nós com sinal trocado As linhas da matriz de admitâncias nodais podem ser obtidas aplicando a pri meira lei de Kirchhoff o que faremos a seguir para um nó genérico i A soma de todas as correntes injetadas no nó i incluindo a parcela do gerador de tensão ou um eventual gerador de corrente deve ser nula Desse modo Capítulo 5 Tratamento Matricial de Redes 215 V lil l yil 12 Yi2 li3 vn Figura 52 Elementos conectados nó genérico i n J Y V V Yo V 1 LJ 1j 1 I 1 Desenvo Ivendo n li Ji1Ví Ji2V2 Vf LJi1 Jio JinVn jI Escrevendo essa equação para todos os nós da rede obtemos lYV vetor de correntes injetadas nos nós V vetor de tensões nodais Y matriz de admitâncias nodais Os termos da matriz Y indicados por letras minúsculas são dados por n Y y Yo li LJIJ j I 57 58 59 510 511 Nos termos fora da diagonal temos as admitâncias da rede com o sinal troca do Nos termos da diagonal temos o somatório de todas as admitâncias que incidem no nó inclusive as admitâncias para a terra representadas por Jfo na figura 52 Obviamente a matriz Y tem uma série de propriedades que não são discuti das em detalhes neste texto Em sua formação ou em modificações de sua estrutura nos sistemas de ordem elevada empregamos técnicas de compactação devido à 216 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência elevada esparsidade das redes elétricas assim como de ordenação ótima o que leva a um tratamento computacional eficiente Para efeito prático consideraremos que o nó de referência é a terra fazendo portanto parte da rede Uma confusão comum que fazemos é na consideração da corrente injetada no nó i Na figura 52 se não houver o gerador de tensão a corrente injetada f com ponente do vetor será nula Por outro lado se o termo Yio não for incluído na matriz de admitâncias uma parcela da corrente injetada na rede seria fo 522 Formação da Matriz Y Considerando Elementos Indutivos com Mútuas Esses elementos indutivos referemse a circuitos com um acoplamento mútuo de seqüência positiva ou de seqüência zero sendo este último caso o mais significa 1 tivo principalmente em condições de falta com circuitos em paralelo O caso mais importante de inclusão de mútuas é o de linhas de transmissão normalmente na rede de seqüência zero Nesse caso verificamos que a submatriz de admitâncias primitiva entra com o mesmo sinal nos blocos matriciais alinhados com a diagonal principal e com sinal trocado nos blocos fora dessa diagonal Tal proprie dade facilita a adição de elementos com mútuas na matriz de admitâncias nodais e 1 pode ser deduzida a partir de uma simples extensão da equação 57 escrita matri cialmente ou seja subdividiremos a barra i em subnós correspondentes aos circui tos em paralelo ou acoplados incidentes nesse nó original Como exemplo tome mos os subnós ia ib e ic trifásicos se estivermos utilizando componentes de fase para uma dada linha de transmissão ou i1 i2 e i3 se estivermos representando três circuitos acoplados em paralelo em uma dada seqüência Escrevendo de forma vetorial a primeira lei de Kirchhoff em cada barra i su pondo circuitos acoplados para as demais barras da rede jt i temos 1 I Jíf Vi vi Jíb V jI na qual d vetor cujos elementos são as correntes injetadas nos subnós da barra i V Vi vetores cujos elementos são as tensões nos subnós da barra i e j 512 1 jf matriz primitiva de elementos conectados aos conjuntos de subnós existentes 1 na barrai e na barra incluindo os acoplamentos existentes Desenvolvendo Capítulo 5 Tratamento Matricial de Redes 217 É imediato verificar que nos blocos da diagonal principal correspondentes à barra i as submatrizes entram com o mesmo sinal e nas demais barras fora da dia gonal principal as submatrizes entram com o sinal trocado Yi Yif J Yi Jif J rtn Figura 53 Inserção das submatrizes dos elementos com mútuas Para curtocircuitar dois ou mais nós ou subnós em circuitos acoplados em uma detenninada barra da rede por exemplo dois ou mais circuitos conectados na mesma barra i1 i2 i3 a modificação na matriz é muito simples bastando reter um determinado nó ou subnó adicionandose as linhas e colunas correspondentes aos nós ou subnós a serem eliminados à linha e à coluna desse nó retido Na matriz de admitâncias nodais a seguir exemplifiquemos a operação de curtocircuitar os nós k e m supondo mantido o nó k e extinto o nó m Nesse nó k isso corresponde a somar as correntes injetadas Ik I m e igualar as tensões Vk Vm cuja operação corresponde a uma soma das linhas e colunas k em man tendose a linha e coluna k f 1 Y11 Y1k Y1m Y1n Vj Ik Yk1 Ykk Ykm Ykn vk X Im Yml Ymk Ymm Ymn vm ln Yn1 Ynk Ynm Ynn vn Com o curtocircuito dos nós k em 218 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Y11 Yk Yim Ytn Ykt Y1111 Ykk 2Ykm Ymm Ykn Ymn X Vk Ynt Ynk Ynm Ynn 523 Obtenção da Matriz de Impedâncias Nodais Existem algoritmos para a formação direta da matriz Zbus porém o modo mais conveniente de obtêla para os nossos propósitos é por meio da inversão da matriz Y usando a fórmula 59 VZbusI 514 sendo zbus rr 1 515 Verificamos que injetando numa dada rede uma corrente de valor unitário 1 k no nó k podemos construir uma coluna da matriz Zbus medindo as tensões nos nós da rede Nesse caso devemos tornar inativos os geradores da rede como por exemplo curtocircuitando os nós de todos os geradores de tensão k r ref Figura 54 Rede genérica com n nós Vj Capítulo 5 Tratamento Matricial de Redes 2 J 9 Desse modo obtemos a impedância equivalente de Thevenin da rede no nó k zkk p01s 516 Obtemos também as impedâncias zk pois Observamos que a partir da matriz Y é conveniente calcular a coluna k da matriz Zbus simplesmente pela solução do sistema linear Fazendo 1 k 1 calculamos o vetor de incógnitas x com métodos de trian gularização e retrosubstituição Desse modo operando em uma coluna k da matriz de impedâncias referente a um nó de entrada k injetada uma determinada corrente neste nó obtemos as ten sões ao longo de toda a rede Na obtenção da impedância equivalente de Thevenin vista dos nós k e m uti lizamos a expressão 5 15 z bus y r 1 A inversão é obtida com a tabela de fatores previamente montada seguida da retrosubstituição 3 Aplicamos o vetor de correntes a seguir no sistema de equações lo lk lm o ou seja injetando um gerador de corrente unitário 1 no nó k e um gerador com sinal trocado 1 no nó m O vetor V é numericamente igual à diferença das co lunas k e m da matriz Lembramos ainda que ao utilizarmos a matriz Y para obter o equivalente de Thevenin aterramos os nós internos de geradores de tensão da rede E 7 O 220 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Obtemos então na qual zk e zm são as colunas k em da matriz Senão vejamos k m 1 X 1 Como zkm zmk temos a impedância de Thevenin entre os nós k em 517 Para obtermos a impedância equivalente de Thevenin vista apenas do nó k tornamos nulos os elementos da linha e coluna m na expressão 517 resultando em Z1 zkb que é um resultado coincidente com a expressão 516 Desse modo observamos que a impedância equivalente de Thevenin vista de uma determinada barra encontrase no elemento da diagonal da matriz de impedân cias nodais correspondente ao nó dessa barra Essa propriedade será útil na extra ção das impedâncias equivalentes de Thevenin a partir da matriz de impedâncias nodais de uma determinada rede elétrica tomandose uma simples operação de consulta aos elementos da diagonal 53 Matrizes Trifásicas Veremos a seguir um método simples de formação da matriz de admitâncias nodais trifásica Capítulo 5 Tratamento Matricial de Redes 221 No estudo de algumas condições de desequilíbrio em uma rede como é o ca so de linhas não transpostas ou quando ocorrem simultaneamente duas ou mais condições de desequilíbrio como por exemplo uma fase aberta e um curtocircuito não convém a aplicação das componentes simétricas Nessas ocasiões é mais indi cado analisar a rede por meio da sua estrutura trifásica O tratamento das indutâncias mútuas entre fases é idêntico ao de mútuas en tre circuitos de redes monofásicas conforme descrição anterior 531 Formação da Matriz Y Trifásica Para a formação da matriz Y trifásica utilizamos os conceitos anteriores ob servando que a matriz YP mantém o sinal quando inserida nos elementos que compõem os blocos da diagonal principal submatrizes e troca de sinal ao ser inse rida nos elementos fora dessa diagonal A matriz é convenientemente expandida para comportar os subnós trifásicos de cada barra Os componentes indutivos série da linha de transmissão apresentam ligações entre barras trifásicas da rede Vejamos então como inserir na matriz de admitâncias estes elementos a ka ma Zac zb Zab 2 ab 21 kb mb 7 7 Zbc ac 2 2bc Z3 7 e kc me Figura 55 Elementos indutivos com indutâncias mútuas z impedância própria considerada a mesma nas três fases z1 z2 e z3 impedâncias mútuas l V w l l V mal l Z z Z2 l lw mal vkb vmb z z Z3 X hbmb OU V kl V11c Zz Z3 Z Jkcmc VWmal l Z z Z2 l J kama l vkb mb z z 2 3 X Jkb mb Vkcmc Z2 Z3 Z Jkcmc 222 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência obtendo a matriz YP primitiva temos r rPJ Y1 Y2 z ZJ Z2 y Y3 21 z Z3 Y2 Y3 y Z2 Z3 z Aplicando as regras anteriores obtémse ka kb ke ka y Y1 Y2 kb Y1 y Y3 kc Y2 Y3 y ma y yl y2 mb y1 y y3 me y2 y3 y ma y yl y2 y Y1 Y2 mh yl y y3 Y1 y Y3 me y2 y3 y Y2 Y3 y ou seja chamando G YP temos para o caso de uma linha de transmissão 1 1 1 1 ka 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 kb 1 1 1 1 G G 1 1 1 1 kc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rrr Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ma tt 1 1 1 1 1 1 1 1 mb 1 1 1 1 G G 1 1 1 1 1 1 1 1 me 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Figura 56 Introdução de G na matriz de admitâncias nodais Uma dada matriz G1 que descreva as admitâncias de um componente ligadc a uma barra trifásica da rede elétrica com ligações entre os seus nós e a terra sem transferências para outros barramentos da rede é inserida simplesmente com sua adição ao bloco trifásico correspondente da diagonal principal Capitulo 5 Tratamento Matricial de Redes 223 Como exemplo desse caso temos as matrizes de admitâncias capacitivas de linhas trifásicas que são concentradas nas extremidades da linha e inseridas na ma triz de admitâncias conforme o procedimento descrito No exemplo a seguir veremos como tratar as capacitâncias e indutâncias de uma linha de transmissão trifásica elucidando os aspectos discutidos até aqui EXEMPLO 1 Para uma linha de transmissão com tensão nominal de 230 kV são fornecidas as matrizes de capacitâncias concentradas nas extremidades para formação do cir cuito n trifásico e a matriz de impedâncias série dos elementos Montar a matriz de admitâncias trifásica da linha de transmissão Essa linha tem elementos diferentes fora da diagonal significando que não é transposta correspondendo a um perfil de torre com configuração plana z1 z3 1 Za zb Zc z Matriz de impedâncias série e matriz de capacitâncias em cada extremidade l j50 25 z p J 25 50 20 25 l jl5 JC J j025 J01 solução 201 25 Q 50 J025 jl54 J025 J011 J025 x 104 s jl5 Montagem da matriz Y de admitâncias da linha de transmissão a Montagem da matriz Y com nós que apresentam ligações para a terra Chamemos ci J m e 2 A submatriz G1 que é igual nas duas extremidades e não apresenta mútuas indutivas entra com o mesmo sinal nos blocos alinhados com a diagonal principal b Obtenção das admitâncias primitivas dos elementos série da linha 224 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Calculando a matriz inversa G2 Zr det 67500 e também a matriz dos cofatores l 1875 750 375J 750 2100 750 375 750 1875 A matriz inversa é o resultado da divisão da matriz dos cofatores transposta pelo determinante l 0 027778 O 011111 O 005555 J G2 j O O 11111 0 031111 O O 11111 0005555 0011111 0027778 c Introdução dos elementos série na matriz de admitâncias A submatriz G2 entra com o mesmo sinal nos blocos alinhados com a dia gonal principal e com sinal trocado fora dessa diagonal 5 4 Referências Bibliográficas l Orsini L Q Curso de Circuitos Elétricos São Paulo Edgard Blucher 1993 2 vols 2 Stagg G H ELAbiad A H Computer Methods in Power System Analysis New York McGrawHill 1968 3 Ramos D S Dias E M Sistemas Elétricos de Potência Regime Perma nente Rio de Janeiro Guanabara Dois 1982 2vols 4 Dommel H W Electromagnetic Transients Program Reference Manual EMTP Theory Book Portland BP A 1986 CAPÍTULO 6 CÁLCULO MATRICIAL DO CURTOCIRCUITO 61 Introdução Veremos a seguir o cálculo matricial das correntes de falta e contribuições ocorrendo os curtos trifásico faseterra duplafase e duplafaseterra Fundamen talmente o procedimento é o mesmo descrito no capítulo 4 com exceção da técnica de extração de informações contidas nas matrizes de admitâncias ou de impedâncias nodais que apresentam a forma organizada para trabalharmos com redes elétricas A impedância de seqüência necessária ao cálculo do curtocircuito em uma determinada barra k é a impedância equivalente de Thevenin nessa barra dada pelo elemento zkk da diagonal da matriz Zbus Dessa forma os equivalentes de Thevenin para a barra em curto são obtidos das matrizes de impedâncias nodais de seqüências positiva negativa e zero Estudos detalhados de curtocircuito podem necessitar de uma representação das condições préfalta modelo n equivalente da linha de transmissão perdas em geradores e transformadores etc Em determinados casos como em análises de planejamento nem sempre são necessárias análises muito rigorosas e muitas vezes simplificamos a representação dos componentes assim como desprezamos as con dições préfalta considerando 10 pu em todas as barras do sistema Nas redes elétricas de grande porte o estudo do curtocircuito só é viável com a utilização dos métodos computacionais Desse modo necessitamos de ferra mentas que tracem um panorama das correntes de curto ao longo de toda a rede e apresentem as medidas corretivas mais indicadas causando o menor impacto possí vel na operação em regime permanente além de não comprometer outras restrições como limites de tensão e sobretensões 62 Informações da Rede Préfalta As informações da rede préfalta são obtidas de programas de fluxo de potên cia que apresentam as tensões e correntes de seqüência positiva em uma rede elé 226 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência trica Em todos os tipos de curto utilizaremos essas informações de modo semelhan te superpostas com os valores calculados de seqüência positiva da rede em falta Conhecidas as tensões préfalta ao longo da rede pf 1 i n as correntes préfalta em cada ligação são calculadas da seguinte forma JPf vpf vPIyI lj J lj na qual ICJ corrente préfalta da barrai para a barra pf tensão préfalta na barrai V ff tensão préfalta na barra r admitância de seqüência positiva da ligação entre a barrai e a barra 61 Nos casos de ligações com componentes para a terra cálculos adicionais de vem ser convenientemente realizados Os estudos de curtocircuito podem envolver diferentes modelos de componentes da rede principalmente da linha de transmis são cujo modelo mais completo considera a impedância série da linha e a capaci tância além de realizar correções hiperbólicas no cálculo do circuito 7t equivalente 63 Informações da Rede em Falta Aplicando o teorema de Thevenin com as impedâncias equivalentes calcula das para as seqüências zero positiva e negativa obtemos as correntes de seqüências no local de curto seguindo o mesmo procedimento do capítulo 4 Apresentamos a seguir a notação a ser utilizada nos cálculos para as variáveis de seqüências I s corrente seqüencial de falta na barra k s O 1 2 V1 tensão do equivalente de Thevenin tensão préfalta de seqüência positiva na barra k V Cs tensão seqüencial de falta na barra k s O 1 2 s l d d l d Z zkk e ementas a iagona a matnz bus de seqüência zero positiva ou negativa s012 De posse das correntes de falta calculadas na para diferentes tipos de curto obte mos as tensões em cada barra da rede nas seqüências correspondentes Capítulo 6 Cálculo Matricial do Curtocircuito 227 3J 3JT seq 1 seq2 seq 1 seq O 2J Saberto trjT série 2J T Sfechado Figura 6 1 Ligação dos diagramas de seqüências seq2 s seq O No cálculo dessas tensões de falta f s utilizamos informações da matriz Zbus para todas as barras 1 i n de cada seqüência s O 1 2 f s s fs ikIin V zk lk I 1 vs s s s o 1 zl 1 2 tk 2 1n vfs s s s X Jfs k 2 kl 2 kk 2 kn k vfs s s s o n 2 n 2nk 2 nn zl elemento ik da matriz de impedâncias nodais na seqüências s O 1 2 1sl O i k 1 sl obtida da solução dos diagramas de seqüências 62 O procedimento empregando a matriz de impedâncias Z bus é praticamente equivalente à utilização da matriz de admitâncias nodais Y pois o sistema linear de equações é o mesmo Colocando o sistema de equações na forma da matriz de ad mitâncias escrevemos o s s s vfs Y11 Y1k Y 1n 1 rls s s s X vfs k Yk1 Ykk Ykn k o s s s vfs Yn1 Ynk Ynn 17 228 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência YUs elemento ij da matriz de admitâncias nodais de seqüência s O 1 2 rela cionado com a admitância da ligação por yif YY Esse sistema linear de equações pode ser resolvido de diferentes formas sendo conveniente a triangularização de Gauss com retrosubstituição juntamente com téc nicas de compactação e de eliminação ótima de nós não apresentadas neste texto Eventualmente quando se pretende analisar alterações na rede o método de formação da matriz Zbui pela definição pode ser mais eficiente Em seguida obtemos as correntes nas ligações 1 sl corrente na ligação ij na rede em falta de seqüência zero positiva ou negativa s O 1 2 Um cálculo importante é o da contribuição da corrente de uma ligação contí gua à barra de curto k em uma dada seqüência A contribuição é definida pela cor rente que percorre a ligação em direção ao ponto de curto bastando fazer j k 64 Superposições Obtemos as tensões superpostas de seqüência positiva nas barras i adicio nando a tensão préfalta à tensão de seqüência positiva de falta V1 vPf v1 63 l tensão superposta na barra i de seqüência positiva para curto na barra k 1ij corrente superposta na ligação ij de seqüência positiva para curto na barra k Calculamos as correntes superpostas de seqüência positiva nas ligações ij adicionando a corrente préfalta à corrente de seqüência positiva de falta 1I 1Pf 1I IJ lj lj 64 Nos casos mais simplificados sem o estudo préfalta adotamos PI 1 O pu em todas as barras e ignoramos o passo de superposição 65 Componentes de Fase va Jx vO 1 1 vb ª2 vI l l vc a ª2 v2 1 1 Capítulo 6 Cálculo Matricial do Curtocircuito 229 Calculamos as componentes de fase de correntes e tensões aplicando as ma trizes de transformação às componentes superpostas de seqüências O 1 2 lx 1 a a 2 1 66 Cálculos de Curtocircuito Analisaremos a seguir o curto trifásico e o curto duplafase que não envol vem a seqüência zero 6 61 Curto Trifásico O cálculo do curto trifásico equilibrado aterrado ou não tem o envolvimento apenas da seqüência positiva pois não há retomo de corrente pela terra Corrente de curto na barra em falta vpf JfI k k 2 kk Tensões e correntes de seqüência positiva nas ligações Obtemos as tensões de falta nas barras da rede de seqüência positiva vJI z I I 65 66 De posse das tensões de falta em cada barra da rede calculamos as correntes de falta nas ligações 11c1 vt vft y1 lj 1 lj 67 Superposição A corrente de curto é obtida da solução da rede de falta não necessitando de superposição A corrente de contribuição de cada ligação é obtida com a superposi ção da corrente préfalta com a cmTente de falta 230 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 11 1Pf 1CI 1 1 1 Da mesma forma calculamos a tensão em uma dada barra i 1 i n super pondo a tensão préfalta com a tensão de falta Vj Vjpf vCI A corrente de contribuição pode igualmente ser obtida com a superposição das tensões préfalta e de falta e em seguida calculamos as correntes de contribuição 1c1 vPI vfOvpf vfCIY1 1 1 1 IJ Essa alternativa de cálculo poderá ser aplicada em todos os tipos de curto e desse modo não repetiremos mais este comentário Componentes de fase Obtemos a componente da fase a coincidente com a seqüência positiva e a plicamos as respectivas defasagens de 120 graus para as fases b e e 6 62 Curto Duplafase Cálculo das correntes de seqüências No curto duplafase há envolvimento apenas das seqüências positiva e negativa 1 Vf 1k 2 2 kk 2 kk 11 1f2 k k Tensões e correntes de seqüências nas ligações 68 69 O cálculo das contribuições é análogo ao do caso do curto trifásico podendo existir correntes préfalta apenas de seqüência positiva No curto duplafase deve mos considerar a seqüência negativa nos cálculos de tensão e corrente vCs s 1 fs I 2 1 2 1k k s 1 f s vCs V J s ys 1 1 l Superposição A corrente de curtocircuito fasefase já é a corrente de curto fasefase de fal Capítulo 6 Cálculo Matricial do Curtocircuilo 231 ta obtida Finalmente as tensões e correntes de contribuição de seqüência positiva são obtidas superpondo os valores préfalta com os de falta 11 lPf lfI lj lj lj vY vf 1 Componentes de fase Obtemos as componentes de fase com as matrizes de transformação utilizan do as componentes de seqüências positiva e negativa impondo componente de se qüência zero nula em todas as operações Vejamos a seguir os curtos com envolvimento da tena e portanto da seqüên cia zero que são o curto faseterra e o curto duplafaseterra 663 Curto Faseterra Cálculo das correntes de seqüências V pf fs k Jk O 1 2 2 kk 2 kk 2 kk J fO JfI 2 k k k Tensões e correntes de seqüências nas ligações Obtemos as tensões de falta nas barras i vfs zs r f s s O 1 2 I ik k 6 1 O 6 11 O cálculo das correntes nas ligações é análogo aos casos anteriores podendo existir correntes préfalta mas apenas de seqüência positiva A principal diferença é que devido ao envolvimento da terra devem ser consideradas as três seqüências nos cálculos de tensão e corrente Em particular na seqüência zero levamos em conta as mútuas de circuitos em paralelo entre as ligações mn e ij Por exemplo para um circuito duplo ij mn calculamos as correntes nas li gações usando a matriz primitiva de admitâncias l jO l lyPO lj lj lj O y pO 111111 11111ij yPO J lVO VO l 1j 11111 1 X yJJO O O mn11111 vm 1 61 2 232 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência YJ admitância da matriz primitiva dos elementos mútua entre as ligações ij e mn lº admitância da matriz primitiva dos elementos própria da ligação ij Nas demais seqüências desprezamos as mútuas de circuitos em paralelo J fs vfs V fs Ys S 1 2 1 1 J 1 Superposição A corrente de curto faseterra na rede de falta já é a corrente de curto na barra As correntes nas ligações de seqüência positiva são obtidas superpondose a corrente préfalta com a corrente de falta JI JJf 1fl 1 1 1 Da mesma forma calculamos a tensão de seqüência positiva em uma dada barrai 1 i n superpondo a tensão préfalta com a tensão de falta vCI vPl vfl 1 1 1 Componentes de fase Obtemos as componentes de fase com as matrizes de transformação utilizan do as componentes de seqüências positiva negativa e zero em todas as operações 664 Curto Duplafaseterra Cálculo das correntes de seqüências vPf k Jk i zO li z2 kk kk kk 613 2 JfO Jfl 2 kk k k O 2 2 kk 2 kk 614 O 1J2 1Jl 2 kk k k O 2 2 kk 2 kk 615 Tensões e correntes de seqüências nas ligações vfs zs rfs s O 1 2 I 1k k Capítulo 6 Cálculo Matricial do Curtocircuito 233 J s vf s V s ys lj I lj O cálculo das correntes nas ligações é análogo ao caso do curto faseterra Superposição A corrente de curtocircuito duplafaseterra de falta já é a corrente de curto na barra O cálculo das contribuições é análogo ao do caso do curto faseterra podendo existir correntes préfalta mas apenas de seqüência positiva Componentes de fase Obtemos as componentes de fase com as matrizes de transfonnação utilizan do as componentes de seqüências positiva negativa e zero em todas as operações EXEMPLO 1 Para o exemplo a seguir serão calculados os valores de curto trifásico curto faseterra curto duplafase e curto duplafaseterra além dos fatores de sobretensão para curto faseterra e curto duplafaseterra A rede será a mesma do exemplo 1 do capítulo 4 exceto que analisaremos também a possibilidade de um segundo circuito na linha de transmissão sistema equivalente 13869 kV 60km 4 69138 kV conjunto de motores sincronos Figura 62 Rede exemplo para cálculo de curtocircuito Os valores dos parâmetros da rede são ligação parâmetro em pu 23a e 23b XI 0553 XO 1393 23a23b Xm 0378 10 x1 02 xo 01 40 X J 036 XO 036 12 XJ 02 xo 02 34 xi 02 xo 02 234 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Os cálculos são realizados considerando o valor de tensão nominal em todas as barras da rede desprezando portanto as correntes préfalta A potência de base adota da é de 100 MVA e os valores de base para a tensão são de 138 kV e de 69 kV Os cálculos foram feitos usandose um programa didático de curtocircuito Cálculo com os dois circuitos 23a e 23b Curto circuito franco na barra 1 Vbase 1380 kV j Sbase 10000 MVA 1 Ibase 4184 kA 1 Zbase EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 1380 fase O kV Zthl Oj01677 pu Oj03193 Ohms ZthO O 01 pu Oj01904 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 1 59648 fase 90 pu 249549 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 1 68918 fase 90 pu 288331 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 0932 fator de sobretensao na fase e pul FstC 0932 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 1 51657 fase 180 pu 216116 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 1 65826 fase l4E02 pu 275394 fase 1416975 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0816 Curto circuito franco na barra 2 190 Ohms Vbase 6900 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 0837 kA j Zbase 4761 Ohms EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase o pu 6900 fase O kV Zthl Oj02706 pu Ojl28834 Ohms ZthO Oj01689 pu Oj80406 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 2 36955 fase 90 pu 30921 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 2 42248 fase 90 pu 35351 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 0937 fator de sobretensao na fase e pu FstC 0937 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 2 32004 fase 180 pu 26779 fase 180 kA vf atricial corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 2 40400 fase 14E02 pu 33804 fase 1423888 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0833 Curto circuito franco na barra 3 vbase 6900 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 0837 kA 1 Zbase 4761 Ohms EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 6900 fase O kV Zthl Oj03064 pu Oj145868 Ohms ZthO Oj01689 pu Oj80406 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 3 32639 fase 90 pu 27310 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 3 38381 fase 90 pu 32115 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 0925 fator de sobretensao na fase C pu FstC 0925 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 3 28266 fase 180 pu 23652 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 3 36623 fase 14E02 pu 30644 fase 1405174 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0787 Curto circuito franco na barra 4 Vbase 1380 kV Sbase 10000 MVA 1 Ibase 4184 kA 1 Zbase EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 1380 fase O kV Zthl Oj02552 pu Oj04860 Ohms ZthO O 03600 pu Oj06856 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 4 39187 fase 90 pu 163946 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 4 34468 fase 90 pu 144203 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 1065 fator de sobretensao na fase e pu FstC 1065 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 4 33937 fase 180 pu 141981 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 4 37260 fase l6E02 pu 155884 fase 1556179 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 1107 190 Ohms 236 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Matriz Ybusl valores em pu 1 1 Ojl0000 2 Oj5000 3 O jO 4 OjO Ma triz YbusO valores em pu 1 1 0jl0 000 2 OjO 3 Oj O 4 OjO Cálculo com um circuito 23a 2 Oj5 000 0j8617 Oj3617 OjO 2 OjO 0j6 129 Ojl 129 OjO Curto circuito franco na barra 1 3 OjO Oj3617 0j8617 Oj5 000 3 Oj O Ojl 129 0j6 129 OjO Vbase 1380 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 4 184 kA 1 Zbase EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 1380 fas e O kV Zthl Oj0 173 6 pu Oj 033 05 Ohms ZthO OjO l pu Oj01904 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 1 57616 fase 90 pu 241049 fase 90 kA corre nte de CURTO FASETERRA na barra 1 67095 fase 90 pu 280707 fas e 90 kA fator de sobretens a o na f ase B pu FstB 0 929 fator de sobretensao na fase c pu FstC 0 929 c orr e n t e de CURTO DUPLA FASE na barra 1 49897 fase 180 pu 208754 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 1 6 4047 fase l4E02 pu 267955 fase 1411751 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0803 4 OjO OjO Oj5 000 0j7778 4 OjO OjO OjO 0j2778 1 90 Ohms Curto circuito franco na barra 2 Vbase 69 00 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 0 837 kA 1 Zbase 47 61 Ohms EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase o pu 69 00 fase O kV Zthl O j0 2942 pu Oj14 0092 Ohms ZthO Oj0 1777 pu Oj84 598 Ohms corren te de CURTO TRIFASICO na barra 2 33985 fase 90 pu 28436 fas e 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 2 39155 fase 90 pu 32762 fase 90 kA fator de sobretensao na f ase B pu FstB 0 933 fator de sobretensao na fase e pu FstC 0933 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 2 29432 fase 180 pu 24627 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 2 37408 fase l4E02 pu 31301 fase 1418847 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0821 7 Curto circuito franco na barra 3 Vbase 6900 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 0837 kA 1 Zbase 4761 Ohms EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 6900 fase O kV Zthl Oj03527 pu Ojl67934 Ohms ZthO Oj01777 pu OjS4598 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 3 28350 fase 90 pu 23722 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 3 33969 fase 90 pu 28424 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 0917 fator de sobretensao na fase C pu FstC 0917 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 3 24552 fase 180 pu 20544 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 3 32427 fase 14E02 pu 27133 fase 1392130 kA fator de sobretensao na fase A pu FstA 0753 Curto circuito franco na barra 4 Vbase 1380 kV 1 Sbase 10000 MVA 1 Ibase 4184 kA 1 Zbase EQUIVALENTE DE THEVENIN DA BARRA Vthl 1000 fase O pu 1380 fase O kV Zthl Oj02743 pu Oj05225 Ohms ZthO Oj03600 pu Oj06856 Ohms corrente de CURTO TRIFASICO na barra 4 36451 fase 90 pu 152499 fase 90 kA corrente de CURTO FASETERRA na barra 4 33015 fase 90 pu 138124 fase 90 kA fator de sobretensao na fase B pu FstB 1050 fator de sobretensao na fase e pu FstC 1050 corrente de CURTO DUPLA FASE na barra 4 31567 fase 180 pu 132068 fase 180 kA corrente de CURTO DUPLA FASETERRA na barra 4 34987 fase l5E02 pu 146374 fase 1544579 kA 190 Ohms 238 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência f a tor d e sobretensao na fase A pu FstA 1 086 Matri z Ybusl valore s e m pu 1 2 3 4 1 Ojl0 000 OjS000 OjO Oj O 2 OjS000 0j68 08 Ojl808 OjO 3 OjO Ojl808 0 j6 80 8 O jS 00 0 4 OjO Oj O O j S 000 0j 7 778 Matriz YbusO valores e m pu 1 2 3 4 1 0jl0000 Oj O OjO OjO 2 OjO 0jS718 O j 0 718 Oj O 3 OjO Oj0718 0 j S 71 8 Oj O 4 OjO OjO Oj O O j2 778 A tabela 61 mostra a influência do segundo circuito nas correntes de falta barra corrente de falta trifásica kA corrente de falta faseterra kA 1 circuito 2 circuitos dif 1 circuito 2 circuitos dif 1 2410 2495 352 2807 2883 271 2 284 309 880 328 354 793 3 237 273 15 19 284 321 1303 4 1524 1639 755 1381 1442 442 Tabela 61 Influência do segundo circuito nas correntes de falta No caso com 2 circmtos para curto faseterra nas barras 2 ou 3 quando a mútua de seqüência zero é desconsiderada nos cálculos ocorre um pequeno aumen to nos valores de corrente de falta Para linhas mais longas o efeito da mútua pode ria ser um pouco maior do que nesse caso em que a linha tem somente 60 km barra com mútua sem mútua diferença 2 354 kA 356 kA 056 3 321 kA 323 kA 062 Tabela 62 Influência da mútua nas correntes de falta faseterra 67 Referências Bibliográficas 1 Stagg G H ELAbiad A H Computer Methodr in Power System Analysis New York McGrawHill 1968 2 Anderson P M Analysis of Faulted Power Systems Ames Iowa State Uni versity Press 1973 3 Ramos D S Dias E M Sistemas Elétricos de Potência Regime Perma nente Rio de Janeiro Guanabara Dois 1982 2vols CAPÍTULO 7 FLUXO DE POTÊNCIA EM UMA REDE ELÉTRICA 7 1 Introdução O planejamento e a operação de sistemas de energia elétrica têm como finali dade atender ao contínuo crescimento da carga assim como suas variações diárias e sazonais Uma indústria de grande porte uma rede de distribuição de energia elétrica ou mesmo todo o sistema elétrico integrado nacional SIN são exemplos de sistemas de potência O atendimento da carga representando os consumidores de energia elé trica residenciais comerciais e industriais é uma tarefa que requer a previsão de ins talação de novos equipamentos e reforços nos sistemas de transmissão e distribuição assim como sua adequada utilização nos procedimentos operativos A análise do fluxo de potência no atendimento das cargas pressupõe a dispo nibilidade de ferramentas adequadas e confiáveis principalmente quando o sistema envolvido é de grande porte Para o correto dimensionamento da rede elétrica den tro dos critérios vigentes e normas de projeto é necessário comparar alternativas de transmissão e construção de novas linhas programar investimentos de geração assim como adequar a compensação reativa necessária Na solução de circuitos elétricos em regime permanente estamos habituados a tratar com redes com impedâncias fixas e conhecidas formando um sistema linear de equações Na solução de uma rede elétrica colocada na forma de um problema de fluxo de potência a formulação é um pouco diferente pois algumas impedâncias para a terra principalmente aquelas conectadas a determinados pontos de entrega de energia como subestações também conhecidas como barras de carga não são co nhecidas a priori Como exemplo não se pode afamar que uma barra representan do uma cidade ou uma indústria tenha uma impedância para a terra determinada e que a mesma seja constante para diferentes condições operativas da rede A forma usual encontrada como mais adequada é admitir que a potência complexa absorvi da por algumas barras de carga tenha uma potência determinada e admitida cons tante dentro de certas flutuações da rede Sendo a potência complexa o resultado do produto fasorial de tensões e correntes surge essa característica de não linearidade das equações envolvidas objeto de nossas considerações neste capítulo 240 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 72 Análise de uma Rede Elementar Com a finalidade de estabelecermos as noções fundamentais do fluxo de po tência será necessário desenvolver o equacionamento básico a ser empregado em nossa análise As potências absorvidas por cargas ligadas para a terra ativa P e reativa Q fonnam a potência complexa na fonna retangular SP jQ 71 Além disso sabemos que a potência complexa em função das grandezas fa soriais de tensão e corrente é definida pela expressão S VI 72 A associação das expressões 7 1 e 7 2 pode ser escrita em uma forma mais con veniente PjQ I V na qual o fasor da tensão é definido por um módulo e urna fase V L B Iniciemos a interpretação da distribuição de fluxos de potência em uma rede elétrica tomando uma rede simples constituída por uma barra de geração e uma barra de carga interligadas por meio de uma linha de transmissão representada apenas pela sua impedância série Z R X V2Lfh V1L B1 R X 1 i E 2 1 fJ JQ1 Figura 7 1 Rede elementar Conforme a figura 7 1 a barra 1 é uma barra de carga e a barra 2 é uma barra de geração Admitiremos conhecido o fasor da tensão na barra de geração com os valores do módulo da tensão V2 e da fase 82 especificados Tensão na barra 2 V2LB2 Caso a impedância para a terra da barra 1 fosse conhecida a solução do pro Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 241 blema seria trivial No entanto estamos admitindo como fixas ou especificadas as componentes Pi e Q1 da potência complexa absorvida pela carga da barra 1 restan do determinar Vj e 81 Da rede elétrica extraímos a equação 1 V2 L B2 Vi L B1 R JX Na carga aplicamos a expressão 73 Para simplificar a solução adotaremos 82 0 Como o circuito é radial impomos a condição de igualdade das correntes na linha e na carga 111 fazendo V2 VjL81 Fj JQ1 R j X Vi L 81 ou V1 V2 L 81 Vi 2 R X Fj j Q1 Observamos que no primeiro membro Vi e 81 são incógnitas e que no segundo membro todos os termos são conhecidos Escrevemos na qual ARFj XQ1 B XPi RQ1 A equação com variáveis complexas pode ser decomposta em duas equações rela tivas às componentes real e imaginária Igualandose a parte real dos dois membros obtemos VjV2 cosB1 Vj2 A e portanto 242 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Para a parte imaginária analogamente ou B sen81 ViV2 Nesse caso simples sabemos que 2 8 2 sen 1 cos 81 1 Chamando o módulo da tensão Vi x que é a nossa incógnita com a expressão anterior eliminamos o ângulo 81 e obtemos uma equação em função apenas do mó dulo da tensão Resultando na equação do quarto grau com os coeficientes determinados que apre senta a possibilidade de obtermos as raízes com expressões conhecidas 74 EXEMPLO 1 Com tensão nominal na barra de geração obter a tensão na barra de carga I para a rede da figura 7 1 conhecendo a potência complexa nessa barra Dados da rede Tensão nominal de linha 69 kV R30 km X 0555 Qkm R O Pi lOMW Q1 0 Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 243 Adotando os valores de base Sb 1 O MVA e Vi 69 kV obtemos os valores empu 10 x0555x30x2 0035 pu 69 rO Pi 1 pu ql 0 Com os valores numéricos do nosso exemplo calculamos as constantes A e B A O e B 0035 Montamos a equação 74 x4 x2 l225x103 0 chamando yx2 y 2 y l225x103 O 1 J1 O 0049 1O9975 y 2 2 Obtemos duas soluções Y109988 ou Y2 00012 Considerando como solução viável apenas y 1 temos X 0999 OU VI 0999 pu Como JíV2 sen81 B sen 81 0 035 e portanto 81 0035 rad 81 2 Observamos que nesse caso bem simples quando fixamos as potências e não as impedâncias obtemos um polinômio do quarto grau que ainda apresenta método conhecido para obter as raízes Quando aumentamos o número de barras de carga e geração obtemos polinômios com graus mais elevados que requerem métodos nu méricos iterativos para obtenção das raízes 244 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 7 3 Variáveis e Análises de Interesse 731 Barras Normalmente um estudo de fluxo de potência envolve o cálculo das tensões nas barras potências injetadas ou absorvidas em determinados pontos da rede as sim como fluxos de potência nos ramos de ligações A potência absorvida por uma determinada barra de carga é caracterizada pe las variáveis indicadas na figura 7 2 Figura 72 Barra de carga i De certa forma para cada barra i as correntes absorvidas pelas cargas são de finidas pelas quatro variáveis básicas f1 Q V B com os fasores de tensões escri tos na forma polar como na equação 73 75 Considerando o circuito a seguir exemplificamos Vi V2 V3 Z12 Z23 P3 JQ3 112 23 3 Figura 7 3 Circuito em estudo Na barra 2 como não temos carga especificamos P2 Q2 O Na barra 3 especificamos os valores de e Q3 que compõem a potência complexa drenada pela carga Elétrica 245 Os dados de barras definem as potências injetadas ou extraídas da rede elétri ca nas barras de geração ou de carga No sentido de caracterizarmos os diferentes tipos de barras de uma rede elé trica convencionamos três diferentes possibilidades barras de carga barras de ge ração e uma única barra de geração denominada de barra oscilante também conhe cida como swing a Barras de carga do tipo 1 também conhecidas como do tipo PQ nas quais conhecemos P e Q restando determinar V e e Lembramos que no nosso exem plo simples anteriormente apresentado trabalhamos com uma barra na qual conhe cíamos as potências especificadas b Barras de geração ou do tipo 2 também conhecidas como do tipo P V nas quais fixamos as grandezas P e V dado que em uma usina hidrelétrica o ope rador dispõe de recursos para controlar a potência ativa por meio de controles na turbina e também da tensão por meio do sistema de excitação dos geradores sín cronos Nessas barras resta determinar Q e B c Barra oscilante do tipo VB ou do tipo 3 Definimos uma única barra de geração como barra oscilante na qual conhecemos V e e restando determi nar P e Q Essa necessidade pode ser vista no exemplo 1 anteriormente apresenta do ao fixarmos a tensão e o ângulo da barra de geração Os dados de ligações definem a topologia da rede e fornecem os elementos para a formação da matriz de admitâncias nodais caracterizandose por parâmetros de seqüência positiva das linhas de transmissão tensão e potência nominal de equi pamentos reatância de dispersão taps de transformadores reatância de equipamen tos série como reatores e capacitores etc Ligações sem elementos para a terra Figura 74 Fluxo de potência na ligação ij 246 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Em uma dada ligação estamos interessados em obter o fluxo de potência da barra i em direção à barra j Adicionalmente queremos avaliar a potência que sai da barrai e a potência que efetivamente chega na barra Observamos que a corren te na ligação caso não existam caminhos para a terra é a mesma porém a potência se altera em função das perdas na transmissão Nesse caso a ligação ij tem o comportamento de um bipolo Com as tensões V e VJ obtemos a corrente dada por VLB VLB 1 1 J J lj z lj L L 1 1 1 Figura 75 Correntes na ligação ij Exemplificamos a seguir alguns casos de fluxo de potência em ligações O fluxo de potência por fase entrando na barra i e dirigindose à barra j é dado por s VJ lj 1 lj 76 O fluxo de potência por fase entrando na barra e dirigindose à barrai é dado por S Vf jl J jl O fluxo de potência por fase chegando na barra proveniente da barrai é dado por s Vf ljj JIJ 77 ou s v1 s c jl J jl lj J Sabemos ainda que a soma das potências em uma barra é nula o que decorre da primeira lei de Kirchhoff portanto SiJJ SJi Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 247 Perdas na transmissão Como vimos a corrente é a mesma porém as tensões são diferentes o que explica a alteração no fluxo de potência calculado nas extremidades da linha de transmissão cuja diferença é responsável pelas perdas na transmissão dada pela expressão L1S s S lj lj IJJ L1S VJ V f L1Vf lj li Jlj ljlj 78 Queda de tensão e abertura angular Em uma ligação é interessante observar as relações de fluxos de potência com quedas de tensão e aberturas angulares pois essas são as variáveis normalmen te utilizadas quando analisamos os resultados dos cálculos e processamentos em computadores digitais Para isso tomemos uma ligação bem simples constituída por uma impedância complexa desprezando eventuais conexões com a terra Com a finalidade de simplificar ainda mais a análise adotaremos a tensão na barra de iní cio do ramo considerado com fase nula Desse modo temos L1V RjX Figura 76 Queda da tensão no ramo RjX A queda de tensão nesse ramo é dada pelo produto L1VR 1XPJQ V 1 AV RP XQ RQ XP a 1 V V 1 1 Em uma boa parte das linhas de EAT e nos transformadores em uma primei ra análise podemos desprezar o efeito da resistência em relação ao da reatância indutiva Fazendo R O resulta na queda de tensão 248 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência L1V XQ j XP V V I I 79 A tensão no final da linha é igual à tensão de início menos a queda de tensão na ligação ou seja 71 O Em geral com os valores mais usuais para essas variáveis a parcela imaginá ria tem um efeito preponderante na abertura angular entre as tensões e dessa forma o fluxo de potência ativa atua principalmente no atraso do ângulo da tensão da batTa final em relação à barra inicial i Considerando Q O XP L1Vj V I Outro conceito igualmente importante referese ao impacto da potência reati va no módulo da tensão com uma redução no valor da tensão da barra j em relação ao da barra i segundo o sentido adotado para o fluxo de potência reativa conside rado positivo da barra i para a barra j Considerando P O 1 1 XQ XP V Figura 77 Diagrama fasorial da equação 710 Um conceito prático empregado usualmente é o de que o fluxo de reativos em uma ligação está orientado do nó com tensão mais elevada para o nó com tensão mais baixa válido obviamente nos casos de ligações em que se pode desprezar o efeito de fugas de correntes para a terra Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 249 Ligações com elementos para a terra As ligações podem ser compostas por quadripolos também representados por circuitos n como no caso de modelos mais completos de linha de transmissão ou de transformadores fora do tap nominal A presença de elementos para a terra obviamen te altera a corrente na ligação e o cálculo do fluxo de potência deve considerar este fato VLB Iu z l VL J s o i SuJ IJ I f y 1 Figura 78 Ligação com circuito n Os elementos ZiJ Yj e Y1 compõem o circuito Jr da ligação ij Zu impedância série Yj elemento em derivação na barra i r1 elemento em derivação na barra Nas ligações com circuitos n precisamos levar em conta o efeito dos ramos para a terra nas extremidades Tais ramos têm influência na corrente que agora não pode mais ser considerada a mesma no início e fim de linha Esse fato pode ainda apresentar algumas surpresas na aplicação das fórmulas simplificadas apresentadas anteriormente de queda de tensão Nesse caso complementamos a expressão 77 do fluxo de potência acres cendo a parcela direcionada para a terra s cv 7 11 1j I I 1j I na qual Iit é a corrente para a terra no elemento e Ii é a corrente para a terra no elemento i A expressão 711 pode ser reescrita como 2 s VJ V Y 71 3 lj 1 1 1j I I 250 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 74 Considerações sobre os Métodos Iterativos de Gauss e GaussSeidel 7 41 Método de Gauss Podemos obter a solução de uma equação transcendental segundo diferentes métodos iterativos O algoritmo do ponto fixo cujo princípio está apoiado em subs tituições sucessivas é um dos métodos possíveis de serem aplicados ao escrever mos o equacionamento da seguinte forma calculando a variável x na iteração k 1 Caso fosse necessário obter a solução de um polinômio por exemplo x5 x 7 no qual é possível isolar a variável x escrevemos xkI 7 xk 5 Desse modo é simples obter a solução do polinômio sem maiores recursos ma temáticos Obviamente o número de iterações irá depender do valor inicialmente adota do xO ou seja de quão próximo esteja esse valor da solução final da variável x A solução de um problema de fluxo de potência em uma rede elétrica por meio do algoritmo de Gauss tem estreita correspondência com o algoritmo do pon to fixo Vejamos como seria a solução do fluxo de potência da mesma rede elementar do exemplo 1 anteriormente apresentado com o método iterativo de Gauss carga rede 9 1i 2 l E PJQ Figura 79 Rede elementar para o estudo do método iterativo de Gauss Para calcularmos a corrente na barra 1 precisamos conhecer a tensão nessa barra visto que a potência complexa é um dado do problema Se essa tensão for conhecida a obtenção da corrente é imediata em caso contrário precisamos desco brir a tensão por meio de um procedimento iterativo Uma formulação possível é subdividir a solução iterativa do problema em duas etapas na forma de duas equa Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 251 ções uma para a corrente equacionada sob o ponto de vista das restrições da carga e outra sob o ponto de vista das restrições da rede elétrica conforme o encaminha mento a seguir i Equação da carga no passo k segundo a equação 7 3 Ik P jQ vk ii Equação da rede no passo k visando obter a tensão para o passo k 1 Nesse caso equacionamos a corrente saindo da barra de geração para a barra de carga pela expressão E 11kI Jk 1 1 Z21 ou VíkI EZ2if 1 Na primeira iteração adotamos um valor inicial de partida para a tensão na barra de carga vº 2 Em qualquer iteração k conhecido o valor da tensão vk obtemos a corrente k usando a expressão contida em i equacionada sob o ponto de vista da potência fixada para a carga 3 Com a corrente k calculamos a tensão da próxima iteração vkl utilizando a expressão contida em ii 4 Obtemos o módulo das diferenças entre duas iterações consecutivas para módulo e fase da tensão Livkl lvkI vk 1 LiekI lekl ek I 5 Testamos o erro com um critério de parada dado por uma precisão a ser adotada no cálculo Se o erro não for admissível fazemos k k 1 e voltamos ao passo 2 252 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência EXEMPLO 2 Aplicar o algoritmo de Gauss ao exemplo 1 adotando um erro de Ev Ee O 005 lª Iteração Como em princípio todas as barras da rede devem operar com um valor pró ximo da tensão nominal seria razoável adotar como ponto de partida de qualquer solução iterativa o valor inicial de 10 pu Adotaremos um valor inicial na primeira iteração k O para módulo e fase da tensão na barra de carga como uma primeira tentativa v 0 O 9LOº proposi talmente diferente do valor de 10 pu Para a solução na carga aplicando i observando que os índices superiores entre parênteses referemse ao número da iteração encontramos O l jO 1 ILOº 1 O 9LO sendo fixados p 1 1 e q1 O Para a solução na rede aplicando ii usando a corrente obtida com a equação na carga itº temse I lLOº 1 1x10 035 1 vf 1L O 03848 Comparamos o valor da tensão obtido com o equacionamento na rede com o ante riormente proposto para o equacionamento na carga que devem ser iguais Encon tramos a solução se o erro estiver dentro de uma determinada precisão Erro no ângulo da tensão Lte 00385 Erro no módulo da tensão Como o erro no valor angular está acima do critério de parada repetimos o proce dimento numa segunda iteração tomando agora o valor previamente obtido na rede e impondo na carga vf 1 1L O 03 848 reiniciando o processo Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 253 2ª Iteração k 1 i iI l JO lL0 03848 1 1L003848 Recalculamos a tensão na rede com ii vf2 1 JO 035X1L O 0384810 035Ll 532 vf2 O 9987 jO 035 09993L O 035 Comparamos o valor de v1 proposto inicialmente na carga com o calculado na rede jL1vj jvf2 v 1 j jo 9993 lj O 0007 jL1BI o00348 L1B10 3 Com o erro dentro da precisão desejada Para uma precisão maior damos continui dade ao procedimento iterativo 74 2 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de GaussSe ide Conhecidos os fundamentos do procedimento iterativo do método de Gauss vejamos uma introdução ao algoritmo de GaussSeidel que apresenta maior eficiên cia de cálculo sendo a versão mais difundida do método Em uma rede elétrica mais complexa organizamos as equações com a matriz de admitâncias nodais I YJV 7 14 na qual é o vetor coluna das correntes fasoriais injetadas nas barras V é vetor coluna das tensões fasoriais nas barras e Y é a matriz de admitâncias nodais Reescrevendo a equação da potência complexa 73 para uma determinada barra de carga i P Q V xf I I I I 7 15 associada à equação nodal de corrente extraída da matriz de admitâncias n 1 yv I lj jI 254 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência obtemos 11 P 1Q v yv I I ILlj 7 16 jI Essa equação escrita na forma iterativa do método de Gauss supondo tensões de barras como incógnitas se apresenta como vkI l P Qi YVk J I y vk LJ 1 li I i 7 17 com a qual podemos introduzir o método aprimorado denominado de GaussSeidel Esse método no cálculo da tensão de uma determinada barra i na iteração k 1 a póiase na atualização dos valores de tensão obtidos previamente calculados até a barra i1 nesta mesma iteração k 1 conforme a expressão a seguir vu1 1 P JQi yvk1 yv J I y vk IJ lj li i jl 11l 7 18 Essa formulação proporciona ao algoritmo maior eficiência computacional que pode ser complementada por medidas que evitem cálculos repetidos ao longo das iterações Exceto algumas situações muito especiais os algoritmos iterativos baseados no método de Gauss não se apresentam com a solução mais indicada na solução de um problema de fluxo de potência em uma rede elétrica portanto não entraremos em maiores detalhes de sua aplicação Para essa finalidade algoritmos baseados no método de NewtonRaphson a presentam um desempenho superior que passaremos a descrever a seguir 7 5 Fluxo de Potência com o Método Iterativo de N ewtonRaphson 751 Método Iterativo de NewtonRaphson Vejamos como obter a solução de uma equação não linear com o método ite rativo de NewtonRaphson também conhecido como método das tangentes Tal método enquadrase em uma proposição que busca levar em conta o gradiente da função a cada passo de execução Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 255 A figura 7 1 O lustra a aplicação progressiva do método para obtermos a solu ção da equação transcendental f x y de um ponto de partida x0 f x0 co nhecida a derivada da função em qualquer ponto Escrevendo a expressão da derivada da função f x no ponto x0 df X f X f Xo hmxxo dx xxo xxo Os valores incrementais em tomo do ponto x0 podem ser obtidos com a de rivada dfx L1 f X L1x dx O ponto x1 da figura pode ser escrito como dfx J 1 Xi xo dx xxo y fxo ou J 1 x1 x0 dfx yx0 dx xxo Analogamente escrevemos o ponto x2 E assim sucessivamente até encontrarmos a solução numérica da equação dentro de uma precisão desejada O critério de parada é definido por um erro máximo E Obviamente quanto mais perto estiver a estimativa inicial x0 da solução menor será o número de iterações necessárias durante o cálculo 256 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência y fxo y o 1 1 yfxo 1 Figura 710 Método iterativo de NewtonRaphson X Quando temos um sistema de equações podemos generalizar construindo a matriz Jacobiana formada pela derivada primeira de todas as equações em relação a todas as variáveis do sistema ou seja fj X1 Xn Y1 2 x1 xn Y2 7 19 Efetuando a expansão em série de Taylor em torno de um ponto conhecido xf 0 x xO J obtemos f O O O afn fn n xi X2 xn L1x1 L1xn Yn axl xO dX 0 n XII Capitulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 257 O sistema de equações pode ser convenientemente colocado na forma matricial O O O Y1 fi xi x2 xn Ô lxO X 11 Ô11 1 0 ÔX XII 11 Escrevemos L1 f J Llx 720 J é a matriz Jacobiana de primeira ordem calculada em um ponto xO conhecido A aplicação desse método numérico de solução de sistemas não lineares con siste então nos seguintes passos 1 Sugerimos um valor de partida como solução do problema xO ou seja L1 resolvida em função de xO Em qualquer iteração executamos os passos a seguir 2 Calculamos o valor de diferenças L1 e a matriz Jacobiana J no ponto determinado 3 Verificamos se os L1 estão dentro da precisão 4 Se a precisão for satisfatória encerramos o cálculo Em caso contrário se a precisão for insuficiente damos andamento ao procedimento iterativo resolvendo o sistema de equações 7 20 obtendo o vetor de incógnitas Llx 5 Calculamos o novo ponto de solução xkI xk Ltx e voltamos ao passo 2 7 5 2 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica com o Método de NewtonRaphson Apresentaremos a seguir um método de solução muito eficiente no cálculo do fluxo de potência em uma rede elétrica conhecido como o método de Newton Raphson utilizando a matriz de admitâncias nodais da rede elétrica Para o cálculo do fluxo de potência o sistema de equações não lineares a ser resolvido com variáveis complexas é análogo à expressão 719 constituído pelas expressões 258 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência J Vj V2 V3 V1 fl JQ f2 Vj V2 V3 V1 P2 Q2 7 21 Esse sistema colocado em função das equações nodais apresentadas em 717 é rearranjado da seguinte fomrn 11 fJ JQ1 ViLYí1V1 jI 11 P2 JQ2 vIr21V1 jI 11 P1 JQ11 v L Jlj V Jl Prosseguindo de forma análoga à indicada anteriormente temse 7 22 que pode ser explicitado em termos das incógnitas correspondentes às variações de tensão L1V a cada passo de iteração k ainda em variáveis complexas Detalhando um pouco mais a expressão 7 22 para uma barra genérica i na qual a admitância entre os nós i e j está colocada na forma retangular YiJ Gu Bu e os fasores de tensão estão escritos na forma polar VL Bi VíeJB temos L n J e e P 1Q VVe 1 1 G 1B 1 I 1 1J 1J jl ou 11 P1Q vvcosB e senB eG 1B I I I J 1 J 1 1J l 1 Capitulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 259 Resultando em n P L V Gu cos B ei Bu sen B ei J j I n Qi L V Bu cos B ei Gij sen B ei J jI 723 724 Considerando a e1 Bi podemos reescrever as equações de potência ativa e reativa da seguinte fonna n P v20 VV G cosaE sena 1 1 li LJ 1 J lj lj 725 jI Jii n º I V2 B vv e sena B cosa I li LJ I f 1 726 Jl j 753 Montagem da Matriz Jacobiana Barras de carga Para uma barra de carga supondo P e Qi conhecidos as equações acima se enquadram na fonnulação anterior para o método de NewtonRaphson sendo o vetor de incógnitas composto por ângulos ei e módulos Construímos as derivadas parciais por meio de uma fonnulação bem difun dida proposta inicialmente por Van Nesse Griffin na qual exemplificamos os vetores componentes do vetor de incógnitas dJ 260 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Sendo necessária a preparação adequada das submatrizes H N J e L dj éJi H ae1 ae11 aP aP1 d81 ae11 V ªPi V é1i lªVí 11 av N 11 V é1P1 V jpn ªVi 11 av 11 ªº ªº CJB1 Bn ªºli ªº11 CJB1 Bn Vªº V CJQ1 ICJVj 11 av L 11 V Qn V CJQ11 1 CJVj 11 av 11 Construção da submatriz H a Elementos fora da diagonal f H 1 VV BcosaG sena u ae 1 1 lj lj J b Elementos da diagonal aJ aP aª In 1 1 X vv GsenaB cosa ae aa ae 1 1 lj lj 1 1 na qual da l ae 1 Íi Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 261 Lembrando da equação de potência reativa reescrevemos o somatório 2 H QVE li 1 I li Elementos da submatriz N a Fora da diagonal à Pi N v VV e cosaE sena lj 1 av 1 lj lj b Na diagonal p n N V 1 V 2VG V vG cosaE sena li I av I I li I lj lj I jI jti p 2 N V 1 PV G li av I 1 li I Elementos da submatriz J a Fora da diagonal ªª J VV E sena G cosa lj ae 1 lj b Na diagonal J àQi àQi x aa na qual àa 1 11 ae aa ae ae I 1 I n J B sena e cosa vv li L lj 1 l j I j ti 262 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência J Pvc li I 1 li º Elementos da submatriz L a Fora da diagonal ªºi L VVV s cosaG sena 11 J a v J lj lj J b Na diagonal oQ n V1 V2VB V v s cosa e sena li t1v 1 Ili tLj 1j 1 º O 1 jI jti Obtemos r Qvs li li Observamos ainda que H L eJ N IJ lj IJ ljº Algoritmo 1 Entrada de dados de barras e ligações e proposição de um valor inicial para as incógnitas 2 Cálculo das potências e do vetor de diferenças entre potências especifica das e calculadas em cada iteração Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 263 na qual P é a potência ativa especificada na barra i e Qe é a potência reativa espe cificada na barra i Se todos os componentes do vetor de diferenças D estiverem dentro da precisão desejada encerramos o processamento Em caso contrário passamos ao passo 3 3 Calculamos o vetor de incógnitas resolvendo o sistema linear montando a matriz Jacobiana LIX n vetor de incógnitas Quanto ao método de solução desse sistema de equações linearizado como a matriz Jacobiana é nãosimétrica a sua ordem pode ser muito elevada a técnica apropriada consiste na triangularização de Gauss e retrosubstituição conhecidas do curso de cálculo numérico e portanto não reproduzidas neste texto As derivadas parciais necessárias ao cálculo das quatro submatrizes H N J e L são obtidas com as expressões Elementos Submatriz Fora da diagonal ij Da diagonal ii Jp Jp 2 H 1 VV B cosaG sena Q V B ae 1 u u I Jp Jp N v 1 VV G cosaB sena v 1 Pvc 1 av 1 1 u lj I av I I li I ªª àQ 2 J vv B senae cosa P V G ae 1 1 u lj ae li I ªº ªº 2 L v 1 VV s cosa G sena V 1 QV B 1 av 1 1 u u 1 av 11 1 Tabela 71 Elementos das submatrizes componentes da matriz Jacobiana Lembramos que 264 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência H L J N lj IJ lj lj 4 Atualizamos o vetor de incógnitas e voltamos ao passo 2 para a próxima iteração Até aqui abordamos o equacionamento básico nas barras de carga do ti po PQ cabendo ainda destacar que ao utilizarmos equações nodais adotamos a convenção de correntes positivas injetadas nos nós Como nas equações de potên cias nas cargas adotamos a convenção de bipolos passivos ou seja correntes positi vas entrando no bipolo necessitamos adequar as convenções o que é solucionado por meio de um artifício muito simples trocando o sinal das potências especificadas nas barras de carga Barras de geração Apresentado o tratamento das barras de carga resta portanto comentar a in clusão das barras de geração do tipo PV no equacionamento Essas barras de tensão controlada na formulação em coordenadas polares são levadas em conta de modo trivial pois como a potência reativa desse tipo de barra não é especificada a equação correspondente a Qi não é necessária Além disso sendo o módulo da tensão nesse tipo de barra constante as derivadas parciais em relação a V são nulas e portanto desnecessário o cálculo de L1 Desse modo ao considerarmos essas barras simplesmente descartamos a linha e coluna corres pondentes a Qi do sistema de equações Para a barra de geração selecionada como swing ou do tipo VB simples mente eliminamos as equações correspondentes de potência ativa e reativa por razões análogas Como não conhecemos a priori as perdas do sistema antes de resolvêlo é óbvio que não podemos trabalhar apenas com barras do tipo PV e do tipo PQ dada a impossibilidade de fixarmos a potência ativa em todas as barras de geração ficando assim clara a necessidade de pelo menos uma barra do tipo V e Dado um sistema com n barras composto por nc barras de carga do tipo 1 ng barras de geração do tipo 2 e uma barra de geração oscilante n nc ng 1 a ordem do sistema de equações a ser resolvido iterativamente será 2nc ng EXEMPL03 Vejamos a solução do nosso exemplo elementar com a aplicação do método de NewtonRaphson Capitulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 265 Em valores por unidades construímos a matriz Y e chamamos Y Y11 Y21 Y12 jb11 Y22 b21 Desenvolvimento das equações de potências nos nós Temos Jb11 2857 Jb12 2857 Adotamos o valor inicial para a tensão na barra de carga Calculamos as potências injetadas nas barras usando as expressões 266 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência p1 v12857 sen 82 81 2857v1 sen 81 ql 28 57 V V1 COS 82 81 J 28 57 V Vl COS 81 As potências calculadas para a estimativa inicial são pº o qº o Obtemos as diferenças entre valores calculados e especificados 0 e Ll P P1 P1 1 em que pf e qf são valores especificados Considerando que o critério de parada seja como Llp0 1 continuamos os cálculos 1ª Iteração Definimos o vetor de diferenças das incógnitas e também o vetor de diferenças das potências HO LlDO J O J LlX O O Como a barra 2 é uma barra de referência as expressões se simplificam restando apenas os primeiros elementos das diagonais das submatrizes H N J e L Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 267 2 iJ qO vO b1 l 01X28 57 28 57 Substituindo os valores numéricos resulta em L1X 2857 O I x1 0035 o 2857 o o P t vt 28 57sen e1 1x28 57 sen 0 035 pt O 9998 l 1 1 1 qf 2857 vf l vf cos ef1l 2857 1cos 0035 J qf 1l0O175 L1p p pl l0999800002 L1q f q r q f 1 O O O 1 7 5 O O 1 7 5 Como IL1q11001 passamos para a 2ª Iteração 2ª Iteração 1 1 l 2 2 H 11 q1 v1 b1100l75l x2857285525 268 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 2 ln pf 1 vf 1 gl 1 0 99981 2 X 0 0 9998 1 1 1 2 2 L11 q1 v1 B11 001751 x2857285875 substituindo nas matrizes 28 5525 0 9998I 0 0002 0 0285 3 LlX x xlO 09998 285875 00175 06132 e2 o 0285x103 o 035 eC2 o 035 1 1 2 1 0 6132x103 2 2 0 9994 1 1 1 pf2 O 9994x 2857 sen 0 035 0 9991 q2 2857 O 99942 0 9994cosO 035 J O 0004 L1p2 1 O 9991 O 0009 1 L1qf2 00 0004 0 0004 Como não há necessidade de se fazer novas iterações convergindo a solução para VI 09994 B1 0035 EXEMPLO 5 Aplicaremos o método de NewtonRaphson a um sistema de quatro barras conforme a figura 7 12 na qual apresentamos os dados de barras e admitâncias de ligações em valores por unidades Desenvolvimento das equações de potências nos nós considerando as ex pressões P vvc cose eB sene e 1 1 J lj J 1 lj J 1 JI Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 269 Pt 06 V1 105 I P2 05 q2 02 pv 05 5 2 pq 05 5 1 3 02 3 3 pq p3 0 6 q3 0 1 Figura 711 Dados e configuração do sistema de quatro barras n Qi LVJ Bu cos BJ Bi Gu sen BJ Bi J l Temos os valores especificados VI 105 E como valores iniciais Calculamos as potências com os valores anteriores para uma estimativa inicial PO 0 105 1 PO 0 025 2 PO 0 05 3 qO 0 25 2 Obtemos as diferenças entre valores calculados e especificados 270 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência L1pf O pf pf O 0 495 L1piº p Piº 0 475 L1pjº p pjº 0 55 L1qiº q qiº O 05 L1qjº q qjº O 05 Considerando que o critério de parada seja jL1POj0001 e jL1QOj0001 e como este não é satisfeito continuamos os cálculos Definimos o vetor de diferenças das incógnitas E também o vetor de diferenças das potências lª Iteração L1DO J JO J L1X fO 13650 5250 5250 8250 3 150 3000 0525 1525 1050 1000 0495 0475 L1DO 0 550 0050 0050 HO NCºl JO JO LO 3 150 0525 1 050 3000 1475 1000 9150 1000 2150 1000 7 750 3000 2 250 3000 8850 Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 271 00370 0 1219 L1X O JI L1DO J 0 1118 00028 00055 Sabendose que l L1B fl fO e L1V vt V Temos vI 0 9972 2 VI 0 9945 3 fCl O 0370 1 e 1 O 121 9 2 ej1 01118 Calculamos os novos valores de potência para as tensões e ângulos obtidos na iteração anterior Pl o 6019 1 Pt O 4960 2 Pl05919 3 qI 0 1812 2 qj1 0 0728 Obtemos as diferenças entre os valores calculados e especificados L1pf1 pf pf1 00019 LlpI p Pil 0 0040 L1pj1 p pj1 0 0081 L1qil q qI 00188 L1qj1 q qj1 0 0272 272 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência como o critério de parada não é satisfeito continuamos os cálculos 2ª Iteração LlDl lI LlX 136899 52611 32018 51722 8 13 71 29649 11 30457 29850 89732 09660 19878 1 0218 1 2755 09615 2 7676 00019 00040 LlDI J 00081 00188 00272 00018 00024 LlX 1CI r 1 L1Dl 00020 00043 00046 Sabendose que L18 g2 gl e LlV 2 V temos v2 O 9929 2 v2 O 9898 3 00773 08070 09957 10218 0 9615 1 5838 7 7747 29649 29850 88276 g2 O 0388 l gC2 O 1244 2 e 2 01138 Calculamos os novos valores de potência para as tensões e ângulos obtidos na iteração anterior Capitulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 273 PZ o 6 1 PZ O 5 2 P Z O 6 3 qZ O 1999 2 q 2 0 0999 Obtemos as diferenças entre os valores calculados e especificados L1pf2 p p2 00143x 103 L1pf p pZ 0 0327X103 L1p 2 p p 2 00456xlo3 L1q 2 q q 2 0 0836X103 L1q 2 qJ qf 0 1353X103 Como o critério de parada é satisfeito não há necessidade de fazermos novas iterações convergindo a solução para vZ O 9929 vZ O 9898 2 3 eC2 o 0388 eC2 o 1244 1 2 e o 1138 7 6 Fluxo de Potência com o Método N ewtonRaphson Desacopladorápido O método desacopladorápido introduz simplificações na formulação anterior mente descrita fundamentadas em hipóteses válidas para sistemas de EAT e UAT apresentando facilidades de implementação e eficiência computacional Para isso reescrevemos a equação básica com a finalidade de introduzir alte rações na matriz Jacobiana da seguinte forma n P1Q vveiªc 1B 1 1 Llj lj lj 274 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Na qual redefinimos a variável a agora escrita como A primeira hipótese admite que nas ligações temos a relação Ru X ij Sendo as sim o método trabalha apenas com as susceptâncias extraídas da matriz de admi tâncias compostas pelos elementos Bu Os elementos da matriz de admitâncias são calculados da seguinte forma z R1X IJ IJ IJ 1 R x Y IJ IJ i R x 22 J 2 2 J R x R X IJ IJ IJ IJ IJ IJ Desprezando a condutância temos x IJ Eu 2 2 RX IJ IJ Nesse caso o equacionamento obtido das relações nodais resulta em n n P 1Q 1B V V cosa 1 sena V V B sena 1B cosa 1 1 IJ 1 J 1 J IJ 1 jI jI Considerando ainda as aproximações sena a e cosa 1 obtemos n P vvs e e 1 ljlj 1 J 727 JI jofi n º vvs I 1 J IJ 728 jI Com as condutâncias desprezadas a potência reativa apresenta uma influência pequena na abertura angular das tensões de barras conforme análise do item 13 Para a equação 7 27 que relaciona potência ativa e abertura angular é con veniente reescrevêla como p n n 1 vs e vs e frjljl frllJJ jofi jofi Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 275 Nessa formulação são omitidos os elementos que afetam o fluxo de potência reativo como elementos em derivação capacitivos ou indutivos assim como as capacitâncias de linhas de transmissão Como nessa equação a potência nodal é principalmente afetada pelos ângu los com as quedas de tensão desempenhando um papel secundário assumimos Supondo L1V V assumimos que para valores incrementais que L1 PJ L1P V V e escrevemos L1P n n B Lte B Lte LJIJ I LJIJ j l j l jfi j fi Porém das equações nodais como desprezamos os elementos reativos para a terra sabemos que n B B li LJ lj j l j fi e portanto L1P n B Lte B Lte V li I LJ lj J 1 j l j fi Agrupamos os dois termos do segundo membro escrevendo L1P n B Lte V LJ IJ J i j I compondo as linhas do equacionamento matricial Ln B LI Chamando B B ou seja trocando o sinal da matriz de susceptâncias mon tada com o procedimento anteriormente sugerido obtemos 276 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Para a equação 7 28 relativa à potência reativa e tensões de barras ternos º I vv s LJij lj º Jl Rearranjando essa equação Assumindo as mesmas hipóteses anteriores podemos admitir que Ll ºJ LlQ V V escrevendo LlQ n 1 B LlV V Li IJ J I jl ou ainda Da mesma forma chamando B B temos LI B LIV Para a formação de B omitimos os transformadores de rotação de fase que afetam o fluxo de potência ativo Consideramos as capacitâncias de L Ts reatâncias em derivação incluindo os elementos reativos oriundos de transformadores fora do tap nominal O sistema iterativo de equações fica Ll B L18 k 729 Capitulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 277 L1VQ E L1V k A seqüência de cálculo está condicionada aos seguintes passos 1 Calculamos L18 da equação L1 E L18 k 2 Atualizamos ekI jCk L18 730 3 Utilizamos os novos eCkI no cálculo de L1Q V e obtemos L1V da expressão a seguir L1VQ E L1V k A vantagem do método desacopladorápido é acelerar o cálculo evitando a atualização do Jacobiano a cada iteração o que implica uma elevação do número de iterações porém com ganho no tempo total de solução O exemplo a seguir é eluci dativo da aplicação do método EXEMPL06 Fluxo de potência com o método NewtonRaphson desacoplado A rede a seguir é composta por um gerador uma linha de transmissão de 69 kV um transformador abaixador 69138 kV e duas cargas uma na tensão de 69 kV e outra na tensão de 138 kV Obter as tensões nas barras de carga 3 2 69 kV 138 kV LT Figura 712 Circuito exemplo utilizando o método NewtonRaphson desacoplado Dados LT X0055 Qkm 30km T s11 8 Mv A x 5 5 278 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Pi lOMW Q1 OMVAr P2 5 MW Q2 375 MVAr Precisão adotada ILlPI O 002 ILlQI O 002 Convertendo os dados para valores em pu e tomando 1 O MV A como potência de base temos Linha de transmissão x j0055x30xl0692 j0035 pu y 13 2857 Transformador x j0055xl08 j006875 pu Yi2 1454 e O e p 1 1 pu q1 O pu P2 05 pu q2 0375 pu O quadro abaixo apresenta um resumo dos dados de barras nº da barra tipo dadospu incógnitas Pi 1 V1 81 1 carga ql 0 2 carga P2 05 V2 82 q2 0375 3 swing V3 1 0 B3 0º p3 q3 A matriz de susceptâncias com as resistências desprezadas é dada por 43 11 B j 1454 2857 1454 1454 o 2857 1 o 2857 Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 279 Nesse caso particular sem ramos reativos para terra e transformadores defasadores temos para as barras 1 e 2 4311 1454 BB 14 54 14 54 Escrevendo as equações de potências ativas 725 para as barras de carga p 1 v1 1454v2 sen 82 81 2857v3 sen 83 81 J p2 1454v1v2 sen8182 Aplicando a equação 7 26 a b q1 vf x 43 l lv1v2 x1454xcos 82 81v1v3 x2857 cos 83 8i c q2 v1v2 xl454cos8182vixl454 d Vamos adotar a precisão de 0005 e os seguintes valores iniciais O 1 0 1 vO 10 Início dos cálculos 1ª Iteração Cálculo de L1PO Substituindose os valores iniciais em a e b obtemos PO O pO 0 L1pO p pf º 1 O O 1 O 280 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência L1 pO PÍ pO 0 5 0 0 5 Que são valores superiores em módulo à precisão adotada Cálculo de LJP I vO L1 O 1 0 P1 1 O O 1 0 VI L1 O 0 5 P2 O 5 O 1 0 V2 Cálculo de e1 O L1 B L1B 10 4311 1454xL181 t L1B1 00525 05 1454 1454 L1B2 L1B2 00869 ell elO L181 O O 0525 0 0525 ei eiº L1B2 oo 0869 o 0869 Cálculo de L1QO No cálculo de qo já utilizaremos os valores de 81 calculados nesta iteração usando as equações da barra de carga da rede qf0 0048 qO 0 0086 2 L1qf O qf qf O 0 048 L1qO q2 qO 03836 que são valores superiores em módulos à precisão adotada L1QO Cálculo de V Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 281 O L1q1 0 048 O 048 O 1 0 v O L1q2 03836 O 3836 O 1 0 Vz Cálculo de v1 L1VQ B11 L1V O O 4311 1454 L1v1 L1v1 00151 0375 1454 1454 x dvz L1v2 00415 vI vO dv 1 O O O 151 O 9849 1 1 1 vI vO L1v2 100041509585 za Iteração Repetindo o processo utilizamos agora os valores do Bi e Vj calculados na iteração anterior Cálculo de 1pI P l 1 0045 l P I O 4721 2 dpI pe pI 1O1 0045 O 0045 1 1 l dpI p 2e pI O 5 O 4721 O 0279 2 2 que são valores em módulo superiores à precisão adotada Cálculo de dP VI 1 L1p1 00045 o 0046 o 9849 V 282 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência L1pI 0 0279 0 0291 l o 9585 V2 Cálculo de r2 1 L1 E L1B 00046 4311 1454xL1B1 00291 1454 1454 L1B2 L1Bt O 0009 1 L1Bt O 0029 2 e2 gI L1B O 0525 O 0009 O 0534 1 1 1 e2 gI L1B O 08690 0029 O 0898 2 2 2 Cálculo de L1Qt qI 0 0024 1 qI O 3588 2 L1qI 00 0024 0 0024 1 L1qI 0375 03588 00162 que são valores superiores em módulo à precisão adotada L1QI Cálculo de V L1qf I 0 0024 O 0024 I o 9849 vi L1qI 00162 0 0169 I o 9585 V2 Cálculo de v2 Capítulo 7 Fluxo de Potência em uma Rede Elétrica 283 LlVQ B x L1V 1 00024 4311 1454xL1v1 00169 1454 1454 L1v2 L1v1 0 0007 L1v2 0 0018 v2 vI Llv O 9849 O 0007 O 9842 1 1 1 v2 vl Llv O 9585 O 0018 O 9567 2 2 2 3ª Iteração Cálculo de L1P2 P2 1 0026 1 P2 O 4982 2 L1p2 1 1 0026 o 0026 1 L1p 2 0 5 O 4982 0 0018 que são valores inferiores em módulo à precisão adotada 1p2 Cálculo de V L1 pf2 0 0026 o 0026 V2 o 9842 1 L1p2 0 0018 O 0019 2 o 9567 V2 Cálculo de eC3 2 Ll BL1B 284 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 00026 4311 1454xL1B1 00019 1454 1454 L1B2 L181 0 245X10J L1B2 01062x103 g3 g2 L1B O 0534 O 0001245 O 0532 1 1 1 g3 g2 L1B O 08980 0001062 O 0899 2 2 2 Cálculo de L1Q2 q2 o 0017 1 q2 O 3733 2 L1q2 O O 0017 O 0017 1 L1q 2 0375 O 3733 0 0017 que são valores em módulo inferiores à precisão adotada Dessa forma encerra mos os cálculos obtendo os seguintes valores como solução para o problema VI 09842 V2 09567 81 O 0532 B2 00899 7 7 Referências Bibliográficas l Stevenson Junior W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ed McGrawHill 1986 2 Ramos D S Dias E M Sistemas Elétricos de Potência Regime Perma nente Rio de Janeiro Guanabara Dois 1982 2 vols 3 ElHawary M E Electrical Power Systems Piscataway IEEE Press 1995 4 Monticelli A Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica São Paulo Edgar Blücher 1983 CAPÍTULO 8 ESTABILIDADE 8 1 Introdução Os conceitos de estabilidade são amplos com diversos tipos de problemas a serem avaliados como a estabilidade a grandes e pequenas perturbações análises estáticas e dinâmicas estabilidade da tensão etc No estudo da estabilidade dinâmica a pequenas perturbações verificamos se as oscilações de pequena intensidade são bem amortecidas ou seja estudamos o amortecimento das oscilações com base nas equações linearizadas da rede elétrica A estabilidade estática é voltada para o conhecimento dos limites operativos em condições de regime permanente Ao analisar a estabilidade a grandes perturbações interessa investigar a capa cidade do sistema elétrico de absorver os grandes impactos causados por modifica ções estruturais sensíveis como curtocircuito saídas de linhas efeitos em cascata etc que dão origem a desligamentos temporários também conhecidos como ble cautes Essa análise se concentra basicamente na capacidade do sistema em desen volver torques sincronizantes para que a operação síncrona não se desfaça O propósito deste capítulo é introduzir as idéias fundamentais sobre operação estável de máquinas rotativas corno os geradores e motores operando em urna rede interligada Nesta análise inicial tornaremos como base o caso simplificado da ope ração de um gerador conectado a um barramento infinito que é o caminho mais indicado para a apresentação dos princípios elementares Consideraremos então um gerador ligado a um barramento capaz de manter a tensão e a freqüência constantes ficando as oscilações angulares por conta do gerador estudado Análises mais com plexas da estabilidade elétrica podem ser encontradas em textos específicos e mais detalhados sobre o tema 286 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 82 Modelo Elementar 821 Modelo Clássico Nesta análise elementar da estabilidade de sistemas elétricos de potência lan çaremos mão de um equacionamento baseado no modelo clássico de uma máquina síncrona acoplada a um barramento infinito por meio de uma reatância Esse mode lo de gerador considera a tensão interna constante E supondo que os fluxos perma neçam inalterados durante o período considerado de oscilações eletromecânicas desprezando as saliências rotóricas da máquina Figura 81 Modelo clássico de uma máquina síncrona conectada a um barramento infinito Sendo V LOº tensão do barramento infinito ELô tensão interna do gerador com E fixo e 5 variável X reatância total do sistema entre o barramento infinito e a tensão do gerador Desse modo a máquina síncrona é representada por urna força eletromotriz atrás de urna reatância transitória denominada Xd A reatância X da figura pode englobar a linha o transformador e a reatância transitória da máquina 822 Obtenção da Curva Pxô Construiremos a seguir a curva Px 5 que apresenta a potência elétrica forne cida pelo gerador em função do ângulo de conjugado ou de potência em nosso sistema simples composto por um gerador ligado a um barramento infinito por meio de urna impedância constituída apenas pela sua parcela reativa Trabalharemos com valores por unidade adotando a potência nominal igual à potência de base da máquina síncrona S base Sn Calculamos o valor da corrente no circuito da figura 81 81 Capítulo 8 Estabilidade 287 p EV p 11GX x TC 2 Figura 82 Curva da potência transmitida P em função do ângulo S cujo valor conjugado é dado por i ELS VLOº X Obtemos a potência complexa fornecida pelo gerador a partir da tensão in terna ELS SEl 82 SELS J EL8VLOºJ X 83 Como estamos interessados na potência ativa tomemos a parte real de S P ReS resultando na potência ativa transmitida em função do ângulo S EV PsenS X 84 É interessante notar que como não há perdas nesse modelo elementar a po tência ativa transferida será a mesma em qualquer ponto da rede 288 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência A curva da potência ativa transmitida em função do ângulo 5 é uma função senoidal cujo valor máximo depende de E V e X Em uma condição operativa de equilíbrio sabemos que a potência mecânica no eixo é igual à potência elétrica transmitida P resultando em dois pontos de equilíbrio com apenas um deles estável conforme análise a ser feita no próximo item Pm potência mecânica constante sem regulação p 3 1 1 1 1 1 1 2 li y 1 1 1 1 1 1 1 J 12 Figura 83 Curva da potência ativa transmitida em função do ângulo 5 numa condição operativa de equilíbrio Ponto 1 ponto de equilíbrio operativo estável Ponto 2 ponto de equilíbrio instável Ponto 3 condição limite de estabilidade 5 Jr 2 EXEMPLO 1 Obter a curva Px 5 e o ponto de operação de urna máquina ligada direta mente ao barramento infinito Os dados são fornecidos em valores por unidade Reatância transitória do gerador xd O 3 pu Tensão do barramento infinito v lLOº pu Potência entregue ao barramento infinito p 09 pu cosp 09 p 2584 Solução Obtemos a tensão interna E calculando a queda de tensão a partir do valor da corrente e da potência complexa Com v 1 pu ternos s i sp jq09 j0436 Capitulo 8 Estabilidade 289 el j0309 j0436 e 1 l 63Ll3 43º tensão interna do modelo clássico em pu Obtemos a curva Px ô utilizando a equação 84 ev p senô xd p 3877 sen ô Ppu 3877 09 5 1343º Figura 84 Curva Px ô do gerador ligado ao barramento infinito 83 Análise da Estabilidade Para analisarmos a estabilidade da máquina síncrona em relação ao barramen to infinito admitiremos inicialmente que o sistema está operando em uma condição de equilíbrio ou seja que a potência mecânica transmitida ao gerador pela turbina é igual à potência elétrica produzida pelo gerador e conseqüentemente que a máqui na síncrona opera com velocidade constante A posição angular do rotor é expressa pelo ângulo ô escrito como úJr velocidade angular do rotor úy velocidade síncrona de referência 60 ângulo inicial 85 Desse modo ô representa mudanças angulares em relação à referência sín crona A velocidade úJ d ó dt representa uma velocidade relativa em relação à velocidade síncrona 290 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência w w w1 P1 p f I 1 1ª gerador 1h 1 e ú p P111 p P1 1 1 r L 1 1 1 Figura 85 Gerador com potências mecânicas no eixo P11 e P111 86 Em um gerador síncrono de pólos salientes segundo o modelo de Park não explorado neste texto o ângulo o indica a posição angular do eixo de quadratura em relação a uma referência da rede Conforme menção anterior trabalharemos com o modelo clássico de geradores sem considerar a saliência rotórica ou o núme ro de pólos do rotor simplificando o tratamento de variáveis mecânicas e elétricas Desse modo em regime permanente para um observador localizado em uma refe rência com rotação angular síncrona denominada de referência síncrona o ângulo o será constante e eventualmente nulo se porventura essa referência for coinciden te com a posição angular do rotor o que geralmente não ocorre como por exemplo no circuito da figura 81 com a referência angular posicionada na tensão síncrona do barramento infinito Em nosso modelo suporemos ainda que os fenômenos a serem estudados têm curta duração e desse modo podemos admitir que P11 é constante não havendo tempo para os controladores da potência mecânica atuarem Assim iremos assumir como constantes a potência mecânica Pm e o módulo de tensão interna E Obser vamos então que quando ocorrem distúrbios elétricos na rede temos variações na potência elétrica transmitida que podem acelerar ou frear a máquina síncrona 291 Na figura 85 observamos que na condição de equilíbrio P11 P obtemos duas soluções para o ângulo do gerador em relação ao barramento infinito 50 e Jr5o No gerador sabemos que quando P111 P a rotação aumenta e conseqüente mente o ângulo J Em caso contrário quando P11 P a rotação diminui assim como o ângulo 5 Desse modo verificamos que somente o ângulo 50 corresponde a um ponto de operação estável pois se admitirmos uma pequena perturbação nas condições operativas com aumento da velocidade e conseqüentemente do ângulo 5 a potência elétrica passa a ser maior do que a potência mecânica causando en tão o retomo à operação no valor do ângulo J0 Por outro lado se a velocidade reduzir com a diminuição do ângulo J a potência mecânica passa a superar a po tência elétrica desenvolvida ocorrendo uma aceleração e novamente o retorno ao ângulo operativo 50 De modo análogo verificamos que o ponto Jr 50 não corresponde a uma condição operativa estável pois dada uma perturbação que aumente a velocidade assim como o ângulo 5 a potência mecânica supera a potência elétrica com uma aceleração e elevação ainda maior do ângulo 5 Da mesma forma com uma redu ção da velocidade e do ângulo 5 a potência elétrica é maior do que a potência mecânica o que causa uma redução desse ângulo até que o mesmo se estabilize no valor J0 Analisemos inicialmente o caso de uma elevação na potência mecânica de P11 para P111 conforme a figura 85 O gerador que inicialmente opera com o ângu lo 50 deverá se estabilizar na nova condição de equilíbrio 51 Para isso ocorre uma aceleração positiva na velocidade com P111 P com o aumento do ângulo 5 até atingir o ângulo 51 porém ao atingir o ângulo 51 embora nesse ponto a aceleração seja nula o rotor tem velocidade suficiente para que este ângulo seja ultrapassado Após ultrapassar o ângulo 51 a aceleração passa a ser negativa agora com P111 P com uma redução na velocidade passando o rotor a ser submetido a uma condição de freio eletromecânico A velocidade se reduz até atingir um valor nulo na máxima excursão do ângulo 5 aqui chamado de 5r Nesse ponto apesar da velocidade nula existe uma aceleração negativa que promove a redução do ângulo 5 Após algumas oscifações o ângulo deverá se estabilizar no seu novo ponto de equilíbrio com valor 5 51 se considerarmos as componentes de torque que causam o amor tecimento das oscilações 292 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Sabemos que os torques são proporcionais às acelerações angulares e como estamos trabalhando com torques iguais às potências em valores por unidade co nhecemos as acelerações através da diferença P11 P conhecida como potência acelerante 832 Ocorrência de Curtocircuito Analisemos agora uma condição igualmente simplificada de um curto circuito trifásico aplicado no terminal da máquina síncrona durante um certo perío do de tempo dado pelo tempo de eliminação do defeito pelo disjuntor que supore mos ocorrer quando o ângulo atingir o valor óºª ºª é o ângulo no qual ocorre a abertura do disjuntor disjuntor curto 3 Figura 86 Curtocircuito no terminal da máquina síncrona A reatância X 1 representa a reatância interna do gerador e X 2 a reatância da linha que conecta o gerador ao barramento infinito Durante o período do curto podemos supor que a potência elétrica transmitida é nula pois a tensão no terminal do gerador também é nula Nesse caso a potência mecânica fica maior do que a potência elétrica conjugado resistente e a máquina começa a acelerar com a velo cidade superando a velocidade síncrona Com a elevação da velocidade ocorre um aumento do ângulo ó do rotor confonne indicado na figura 8 7 O ângulo inicial ó 50 aumenta até ºª durante o período de tempo ta da do pela eliminação do curtocircuito Durante esse tempo ta a máquina é acelerada pela potência acelerante Pª Pm P pois Pm é maior do que P sendo P neste caso particular igual a zero Com a eliminação do defeito em ta correspondente ao ângulo ºª a potência elétrica desenvolvida passa a ser a da curva original sendo que agora a potência elétrica volta a ser transferida para o barramento infinito e nessa condição P é maior do que Pm começando a máquina a frear com acelera ção negativa crescente até atingir a velocidade síncrona conforme indicado na figura 88 pelo pontof Capítulo 8 Estabilidade 293 p P antes do curto Potência acelerante Ôo i Ôa P durante o curto Figura 87 Curva Px 8 para curtocircuito no terminal da máquina síncrona No ponto f temos uma velocidade relativa nula em relação à velocidade angu lar síncrona de referência mr Nesse ponto correspondente à máxima excursão angular do ângulo 8 81 encontramos a máxima aceleração negativa p P após o curto p P11 Figura 88 Curva P X 8 com a abertura do disjuntor em 80 eliminando o curto Nessa figura as setas indicam seqüencialmente a potência elétrica P desen volvida pelo gerador 1 curto 2 aceleração durante o curto com o aumento de 8 3 eliminação do curto 4 aceleração negativa com o aumento de 8 e redução da velocidade 5 redução do ângulo 8 e oscilação em torno do ponto de equilíbrio Ao atingir o ponto como temos P maior do que P11 como indicado na figu 294 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência ra obtemos uma aceleração negativa tendendo a diminuir o ângulo e assim por diante O novo ponto de equilíbrio final depende da curva Px 5 e da potência me cânica P11 para a condição final do sistema Neste caso particular a curva P x 5 final coincide com a inicial assim como a potência mecânica P11 retornando o sistema ao seu ponto de equilíbrio original 50 Em um caso geral se ocorrer uma modificação permanente no sistema a sua curva Px 5 deverá se alterar na condi ção final assim como o novo ponto de equilíbrio Um critério que pode ser empregado para análise da estabilidade é o critério das áreas iguais com o qual podemos demonstrar que a condição de estabilidade é dada por uma área de aceíeração A1 menor ou igual à área de freio A2 Para a estabilidade vemos então que alguns aspectos são básicos como as condições de operação do sistema P11 P E 5 X antes da ocorrência e o tipo de defeito Nesse caso vimos um defeito muito grave que leva a potência elétrica a zero no entanto existem outros nos quais parte da potência ainda é transmitida Podemos incluir outros aspectos como o tempo de eliminação do curto seqüência de atuação da proteção etc Devemos ainda lembrar que os fenômenos elétricos reais são mais complexos que os exemplos simplificados expostos anteriormente sendo necessário representar a existência de outros torques elétricos dados por representações mais detalhadas de enrolamentos da máquina e da atuação de reguladores de tensão e velocidade etc Nos sistemas reais existem ainda outros fatores que introduzem amortecimento nessas oscilações que não estão incluídos em nosso modelo 84 Equação Eletromecânica A seguir introduziremos a equação fundamental que relaciona grandezas elé tricas e mecânicas para o nosso estudo de estabilidade de geradores em uma rede elétrica que será útil na construção de um modelo eletromecânico do sistema 8 41 Equação de Oscilação Swing A equação dinâmica do movimento angular do gerador é chamada de equa ção de swing ou de oscilação relacionando o torque de aceleração com o produto do momento de inércia pela aceleração angular 8 7 Capítulo 8 Estabilidade 295 O primeiro membro da equação é dado pelo produto do momento de inércia J de todas as massas rotativas ligadas ao eixo do rotor pela aceleração angular O torque de aceleração pode ser expresso por 88 na qual Tm torque mecânico Te torque eletromagnético Vimos anteriormente que a posição angular do rotor o é expressa pela equa ção 85 O lr úJ1 t Oo O ângulo 1 úJJ é o resultado do movimento angular do rotor na velocida de nominal que chamaremos mn mn m1 O ângulo o é variável no tempo e representa desvios do deslocamento angular do rotor em relação à posição angular síncrona eI Com as equações 87 e 88 escrevemos 89 Uma forma bem interessante de tratarmos a equação 89 é dividila pelo torque nominal T1 aqui tomado como um valor de base ou de referência com a finalidade de encontrarmos uma expressão em valores por unidade J Tn Te u T T1 T1 81 O Relembrando a definição de energia cinética de um corpo em rotação na ve locidade nominal escrevemos 1 7 wk J m 2 Então J 811 296 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Sabendo que a potência nominal é dada por P1 m11T1 reescrevemos a ex pressão 811 acima da seguinte forma 812 Denominamos a razão entre a energia cinética na velocidade angular m11 e a potência nominal P1 como a constante de inércia H da máquina 813 A constante de inércia H é útil para o nosso propósito de relacionar as grande zas elétricas e mecânicas de uma maneira simples sendo uma grandeza dada em se gundos A equação de oscilação com os torques em valores por unidade é dada por 814 Introduzindo ainda uma consideração adicional normalmente adotada admi tiremos que Tpu PP11 ou seja os valores de potências e torques em valores por unidade são aproximadamente iguais quando a velocidade não se altera substanci almente em relação à velocidade síncrona Sendo P mT e P1 m11T1 obtemos em valores por unidades m1 P1 Jn Tn Com P1711 Tpu quando m m11 Rearranjando a equação 814 temos a equação de oscilação ou de swing em valores por unidade 842 2H Ó pmP Jn Critério das Áreas Iguais 815 Definimos a potência acelerante em valores por unidade pela expressão Pa Pm P Capítulo 8 Estabilidade 297 Nas regiões 1 e 2 indicadas na figura 89 sabemos que em 1 Pa O região de aceleração em 2 Pa O região de freio Pm Figura 89 Curva Px Ó regiões de aceleração e freio O critério das áreas iguais estabelece as bases conceituais para o entendimen to dos fenômenos que envolvem a estabilidade de máquinas elétricas Chamando 2H a ú1 a equação de oscilação 815 pode ser reescrita como dm Pa dt a dó na qual úJ e Pa é a potência acelerante dt 816 Podemos escrever a derivada parcial a seguir utilizando a regra da cadeia dó dó dm dt dm dt Nessa expressão substituindose dó dm p por m e por dt dt a 298 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência obtemos a expressão incremental 817 Entendemos w como uma velocidade relativa com base na velocidade angu lar síncrona ws ou seja com w w11 Wy Integrando a equação a partir de uma condição de equilíbrio inicialmente na velocidade síncrona com w0 O obtemos ou ainda 818 Essa expressão fornece os elementos básicos para a proposição do critério das áreas iguais e para isso analisemos a figura 81 O Pe ô f Figura 81 O Critério das áreas iguais A partir de um ângulo inicial 50 como Pm p e portanto Pa O a veloci dade do rotor aumenta com o conseqüente aumento do ângulo 5 e portanto a área A1 é uma área de aceleração Ao atingir o ponto de equilíbrio 5e temos uma acele ração nula porém a velocidade é máxima após um período de aceleração positiva Após 5e a aceleração passa a ser negativa dando início à redução da veloci dade Para que a velocidade se anule no ângulo l é necessário que a área sob ace leração negativa A2 seja igual em módulo à área sob aceleração positiva A1 Co Capitulo 8 Estabilidade 299 locado de outra forma podemos entender o critério das áreas iguais tomando como base a equação 818 ou seja para que a velocidade inicialmente nula em o0 tornese novamente nula em ºr é necessário que a integral da potência acelerante seja nula no intervalo o0 51 o que de fato ocorre quando A1 A2 Esse critério das área iguais é útil no entendimento de diversos fenômenos em sistemas elétricos de potência Um caso bem interessante é o da análise de uma perturbação iniciada por um curtocircuito seguido da abertura de linha confonne indicado na figura 811 p P111 operação normal LTi e LT2 presentes 1 1 1 aceleração 1 eliminação do curto com a saída de LT2 Figura 811 Curtocircuito seguido de abertura da linha Uma das avaliações é saber se após a eliminação da falta o sistema será ca paz de desenvolver torques sincronizantes que o conduzam a uma situação de equi líbrio o que em suma se traduz em urna avaliação das áreas de aceleração e freio Há ainda uma questão relativa aos tempos críticos de atuação da proteção que estão associados aos ângulos críticos de abertura de faltas O ângulo crítico de eliminação da falta oc é definido pela condição de igual dade das áreas At e A2 estabelecendo o limite angular de permanência da falta para que o sistema seja estável após a eliminação do curto com a abertura da linha Em termos elementares essas áreas têm correspondência com uma energia acrescentada ou retirada do sistema pois a integral do torque em um intervalo de ângulo 5 corresponde a um trabalho executado e o torque é considerado igual à 300 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência potência elétrica em valores por unidade Nesse caso para que o sistema seja estável é necessário que a soma de todas as áreas que acrescentem energia cinética com p 0 O seja inferior ou igual à soma de todas as áreas que possam retirar energia cinética do sistema com Pa O 843 Modelo Eletromecânico Simples Vejamos como construir um modelo que leva em conta as equações elétricas e mecânicas simultaneamente A parte elétrica será dada pela curva P xô associa da à potência que o gerador consegue transmitir através de uma rede elétrica repre sentada pela reatância de transferência X A parte mecânica é obtida através de uma equação do tipo torque igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular Não entraremos em detalhes deste equacionamento levando em conta aspec tos de número de pólos e conversão de variáveis mecânicas em elétricas Apresenta remos apenas a constante de inércia H do gerador que condensa este tratamento conforme formulação do item 84 l A constante de inércia é dada em segundos na base do gerador em MV A Se todas as variáveis estiverem na base do gerador simplesmente tomamos a constante de inércia Ao trabalharmos em outra base precisamos corrigir a constante de inér cia adequadamente No sentido de diferenciarmos os valores por unidade usaremos preferencialmente letras minúsculas para essas grandezas A equação do movimento angular mecânico é expressa por na qual w é a velocidade angular de referência síncrona Como vimos originalmente essas equações referemse a torques porém em valores por unidade os torques podem ser aproximados por potências elétricas sen do essa uma forma mais conveniente para se abordar este equacionamento A velocidade angular é dada por dô w rads dt e a aceleração dw 2H 2 p p rads dt m OJ1 Capítulo 8 Estabilidade 301 Lembrando da equação 84 que relaciona a potência elétrica com o ângulo 5 podemos colocar essas equações em um modelo realimentado dando origem a um oscilador de segunda ordem que descreve a dinâmica do sistema eletromecânico Pm p Pa án 2Hs á ôrad 1s rads EV seno X Figura 812 Modelo eletromecânico simples EXEMPLO 2 Neste exemplo aplicaremos o critério das áreas iguais a um caso bem simples de curtocircuito em uma barra suposta como um barramento infinito à qual se conecta um gerador Observamos que estamos trabalhando com um caso idealizado de barramento infinito que apresenta uma contribuição infinita para a corrente de curto a qual não será objeto de nossa análise A reatância total entre a tensão interna e a barra é de O 4 pu e a tensão interna do gerador é fixada em e l 1 pu A potência elétrica fornecida ao barramento é de 1 pu Vamos determinar o ângulo crítico de abertura do curto ou de eliminação do curto para que o sistema permaneça estável X Ü4 Figura 813 Circuito do exemplo 2 Determinação do ângulo crítico de abertura Se Como vimos entendemos o ângulo crítico como aquele a partir do qual o sis tema perderá a estabilidade Desse modo delimitaremos a curva Px o em duas regiões uma de aceleração A1 compreendida entre 51 e oe e outra de freio A2 compreendida entre Se e rr 51 de tal modo que A1 A2 Para qualquer ângulo de abertura maior que Se o sistema será instável 302 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Obtenção do ângulo operativo 81 usando a equação 84 1 llxl s senu1 04 81 0372 rad o2 rc 81 2 77 rad A curva P x o é dada pela expressão em valores por unidade p 2 7 5 sen o Pmax 275 A potência mecânica é fixada em Pm l p pu Pmax 2 75 Pm 10 Figura 814 Curva P X o do exemplo 2 A área de aceleração é estabelecida pela área do retângulo A área A2 é calculada como a área sob a função senoidal menos a área do re tângulo A área sob a função senoidal em um intervalo o1 o1 é dada por fºr lºr A o Pmax sen o Pmax coso o Pmax cos oi cos ol I Capítulo 8 Estabilidade 303 p p cos Ô cos 5 f Figura 815 Área sob um trecho de função senoidal A área A2 é dada por A2 Pmax COS 8c COS 82 Pm 82 8c Impomos a condição de estabilidade com A1 A2 Pm 8c 81 PI COS 8c COS 82 Pm 82 8c Substituindose os valores numéricos 1277 0372 2 75cos2 77 2 75cos 8c 0 164 2 7 5 cos 8c 8c 1 63 rad O ângulo crítico para eliminação do curto é 163 rad EXEMPL03 O sistema a seguir apresenta um gerador fornecendo potência ativa p 1 pu para um barramento infinito por meio de um transformador e dois circuitos com reatâncias iguais Verificaremos a máxima excursão angular que ocorre quando os disjuntores d1 e d2 fazem a abertura de um circuito X 04 X 02 X 04 lILo Figura 816 Circuito antes da abertura dos disjuntores 304 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência Operação em regime permanente Observamos que coincidentemente a operação em regime permanente antes da abertura é exatamente a mesma do exemplo anterior Determinação do ângulo operativo na condição de préabertura 1 1X1 1sen51 51 0372 rad 04 Determinamos a curva P x b durante a operação em regime permanente p 2 75sen b Após a abertura de um circuito obtemos a nova condição operativa X Ü2 X Ü4 Figura 817 Circuito após a abertura dos disjuntores Temos a nova curva de transferência de potência ativa com o sistema bus cando uma nova condição de equilíbrio em be 1 X 1 p sen b 183sen b 06 p pu p 1 2 75 p 2 183 Pm 10 antes após Figura 818 Curvas P X b antes e após a abertura dos disjuntores Capítulo 8 Estabilidade 305 Aplicando o critério das áreas iguais obtemos as áreas Ai e A2 pelas diferen ças indicadas na figura 818 Ôe Ai fPmP2sen6d6 Pm6e6ip2cos61 ô Obtemos o ângulo 6e 1 83 sen 6e 1 6e are sen 1J O 577 rad 183 Substituindose os valores numéricos determinamos a área de aceleração A1 1 O 577 0372183 cos 0372 cos 0577 J Ai 00339 A área de freio A2 é dada pela expressão Impondo a condição de áreas iguais A1 A2 obtemos O 0339 O 577 61 183 cos O 577 l83cos 61 20776r183cos61 Nesse caso resolvendo por tentativas encontramos 61 O 794 rad embora possamos também aplicar um algoritmo de solução mais elaborado como por e xemplo o método iterativo de NewtonRaphson EXEMPL04 Um gerador síncrono conectado à barra A está fornecendo a potência indi cada na figura 819 a um grande sistema B que pode ser representado como um 306 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência barramento infinito A linha AC que está operando em vazio sofre um curto circuito no terminal C Determinar o ângulo máximo de abertura do disjuntor d para que o sistema permaneça estável Dados em pu Gerador xd 03pu Transformador x O 1 pu Linhas x 04pu Tensão na barra A v A 1 O l 9L2433º Potência entrando na barra A s 1 0496 jO 275 pu ILOº s x 04 d X Ü4 B e Figura 819 Circuito referente ao exemplo 4 Solução Conhecidas a tensão e a potência na barra A calculamos a corrente s vi l 0496 jO 275 z l019L2433º i l065L9646º Obtemos a tensão interna do gerador sabendo que a reatância entre essa ten são e a barra A é dada por x x1 e j04x 1065L9646º lOl 9L2433º e 120L44427º Como desconsideramos as perdas do gerador conhecida sua potência ativa fornecida determinamos a potência mecânica Pm 1 0496 pu Capítulo 8 Estabilidade 307 Na situação préfalta temos uma reatância total entre o gerador e o sistema de x O 8 pu e conseqüentemente a potência máxima da curva P x b de acordo com a equação 84 é l2xl Pi 08 15 pu Na situação de falta ainda há possibilidade de transferência de potência mesmo com o curtocircuito na barra C Para calcular a curva P xô durante o cur tocircuito montamos o diagrama de seqüência positiva A 1 j04 3 J04 B 2 Figura 820 Redução do nó 3 Para obtermos a reatância entre os nós 1 e 2 fazemos a transformação da es trela em delta conforme a figura 820 aqui facilitada pela igualdade das reatâncias Observamos que o curtocircuito poderia ter ocorrido nas proximidades da barra A e nesse caso a reatância para a terra assumiria um valor menor A transformação estreladelta é equivalente à redução do nó 3 da matriz de admitâncias conforme descrição no capítulo 2 item 224 Na matriz de admitâncias nodais temos corrente nodal nula no nó 3 1 2 3 j25 o j25 J Y O 25 25 25 25 75 Com a redução do nó 3 obtemos o novo elemento de ligação entre os nós 1 e 2 o25x25J l Yi 2 J 7 5 J 1 2 Trocando o sinal para obtermos a admitância do elemento de transferência 308 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência y 1 i2 112 correspondendo a uma reatância xi 2 jI 2 pu Na situação 2 com o curtocircuito obtemos a potência máxima da curva P x 8 com essa reatância equivalente calculada p 2 12xll 12 Obtemos então a figura ilustrativa das duas condições p pu Pm 10496 Figura 821 Curvas P X 8 do exemplo 4 Temos as áreas Ai p m 8c 8i p2 cos 8i cos 8c A2 Pi cos 8c cos ó2 Pm ó2 óc P m Óc Ói P2 COS Ó1 COS Óc Pi COS Óc COS Ô2 p m Ó2 Óc Pi P2 cos 8c p m 82 8i p 1 cos 82 p2 cos 81 cos8 Pm Ó2 Ói Pi cos82 p2 cosó1 e P1P2 Substituindose os valores numéricos 10496 l5sen 81 ó1 0775 rad ó2 Jró1 2366 rad Obtemos cosóc 02311óc1804 rad correspondendo a 10336º EXEMPLOS Capítulo 8 Estabilidade 309 O sistema está operando em regime permanente conectado a um barramento infinito quando ocorre a abertura de uma linha através da operação dos disjuntores d1 ed2 Dados Gerador xd O 3 pu Transformador x1 O 1 pu Linha x1 08 pu Tensão interna do gerador e 12L3930º Determinar o ângulo máximo de religamento da linha com o fechamento de d 1 e d2 para que o sistema permaneça estável IL Oº x 08 Figura 822 Circuito do exemplo 5 Solução Com o sistema em regime permanente temos a reatância total entre o gerador e o barramento infinito Xt xxc1 x1 08 2 Obtemos as curvas P x 8 1 Em regime permanente ternos a potência máxima 31 O Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência l2xl l 5 P1 O 8 Com o ângulo de operação 81 O 686 rad conhecido obtemos a potência a tiva transmitida que coincide com a potência mecânica fornecida pelo gerador p 1 5sen O 686 p 095 pu Pm095 pu 2 Com a abertura da linha temos a segunda situação da curva P x 8 com x 1 2 sendo a potência máxima dada por P2 l2xl 1 pu 12 Obtemos o ângulo de equilíbrio nessa condição 095 lsen82 82 1253 rad Obtemos as representações das curvas P x o p pu p1 15 P2 10 Pm 095 81 O 686 rad 82 1 253 rad Figura 823 Curva Px 8 do exemplo 5 03 tr 82 1889 rad 84 tr81 2456 rad Análise das áreas A1 pmô2 ôilcosô1 cosô200774 A2 1 cos 52 cos 53 Pm 53 52 O 021 O Capitulo 8 Estabilidade 311 Como A2 A1 concluímos que com a abertura da linha o sistema não é es tável e desse modo temos um saldo de área de aceleração de A1 A LIA até o ângulo 83 L1A O 0564 Se o religamento ocorrer em o3 temos uma área de freio A3 A4 Como A3 A4 L1A verificamos que está sobrando área de freio e portanto o ângulo crítico de religamento está entre o3 e 84 Desse modo calculamos as á reas As p m Ôc Ô3 P2 cos Ô3 cos Oc Â4 P1 COS Oc COS Ô4 Pm 04 Oc Obtemos o seguinte balanço de áreas Substituindose as equações anteriores escrevemos P1 P2 cos oc Pm 04 Ô3 Pt cos 04 P2 cos 03 L1A Pm 04 03 Pt COS04 P2 COS03 L1A COSOc P1 p2 Finalmente cosôc 0506 ou Oc 2101 rad 312 Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência 85 Referências Bibliográficas 1 Stevenson Junior W D Elementos de Análise de Sistemas de Potência 2ed McGrawHill 1986 2 Kimbark E W Power System Stability Vol Elements of Stability Calcula tions New York John Wiley Sons 1947 3 ElHawary M E Electrical Power Systems Piscataway IEEE Press 1995 4 Anderson P M Fouad A A Power System Control and Stability Piscata way IEEE Press 1993 5 Kundur P Power System Stability and Contrai New York McGrawHill 1994 1 6 Prof Manoel Afonso de 28iho ji1ilr Coordenador do LDSP DEE I CTG I UFPE UNIVERSIDADE CESUMAR Disciplina Sistemas de Potência Aluno Matrícula ATIVIDADE 1 Análise De Sistemas De Potência As linhas de transmissão de energia elétrica desempenham um papel crucial no transporte de eletricidade das usinas geradoras até os centros consumidores Para estudar o comportamento dessas linhas em diferentes condições operacionais são utilizados modelos elétricos que representam as características físicas da linha como impedância capacitância e condutância Esses modelos permitem prever a queda de tensão perdas de potência e correntes de curtocircuito ao longo da linha Dependendo da extensão da linha e da frequência do sistema diferentes modelos como o modelo de linha curta média ou longa podem ser aplicados para análises precisas Questão 1 Explique os principais modelos de linhas de transmissão utilizados na análise de sistemas de potência e discuta em que situações cada modelo é mais adequado Na análise de sistemas de potência a escolha do modelo de linha de transmissão depende principalmente do comprimento da linha e da necessidade de se considerar efeitos específicos como a capacitância e a indutância distribuídas ao longo da linha Os três principais modelos são linha curta linha média e linha longa Cada um deles apresenta características específicas e diferentes níveis de complexidade para representar a relação entre tensões e correntes em uma linha de transmissão O modelo de linha curta é adequado para linhas de transmissão com comprimento menor que 80 km Neste caso a capacitância da linha é considerada insignificante de modo que apenas a impedância série que inclui resistência e indutância é relevante Assim o modelo de linha curta é bem simplificado e eficiente especialmente para cálculos em que os efeitos capacitivos não são significativos Por isso esse modelo é utilizado principalmente em linhas de distribuição e linhas de transmissão curtas onde o acúmulo de carga e os efeitos de capacitância não têm impacto significativo no comportamento elétrico da linha O modelo de linha média é aplicado para linhas com comprimento entre 80 e 240 km Para linhas desse porte a capacitância não pode ser ignorada e é preciso utilizar modelos que considerem esse fator Para isso são utilizados modelos como o modelo em π e o modelo em T No modelo em π a capacitância é representada por duas admitâncias distribuídas nas extremidades da linha enquanto no modelo T ela é concentrada no meio da linha Esses modelos são mais complexos do que o de linha curta mas proporcionam maior precisão na análise de quedas de tensão e correntes ao longo da linha Assim o modelo de linha média é mais adequado para linhas de transmissão intermediárias onde o efeito da capacitância começa a influenciar o desempenho da linha Por fim o modelo de linha longa é utilizado para linhas de transmissão com comprimento maior que 240 km Neste tipo de linha tanto a indutância quanto a capacitância são significativas e é necessário considerar os efeitos de propagação das ondas eletromagnéticas ao longo da linha Para isso utilizase um modelo que se baseia na solução de equações diferenciais de propagação O comportamento da linha é descrito por parâmetros distribuídos e as expressões para impedância e constante de propagação são fundamentais para a modelagem Esse modelo é essencial para a análise de linhas de transmissão de alta tensão especialmente aquelas que interligam regiões distantes como na transmissão de energia de grandes usinas geradoras até centros consumidores O uso do modelo de linha longa permite prever de forma precisa fenômenos como a elevação de tensão no fim da linha em vazio efeito Ferranti além de possibilitar uma análise adequada da estabilidade do sistema Portanto cada um desses modelos se aplica a situações específicas dependendo do comprimento da linha e dos fenômenos que se deseja analisar Para linhas curtas a análise é simplificada pela exclusão da capacitância sendo ideal para situações em que a simplicidade é mais importante do que a precisão Para linhas médias utilizase um modelo que proporciona um equilíbrio entre simplicidade e precisão adequado para quando os efeitos capacitivos começam a se manifestar Já para linhas longas é necessário um modelo mais detalhado que considere todos os efeitos de propagação e garanta uma análise precisa dos fenômenos eletromagnéticos e dos regimes transitórios O uso adequado desses modelos garante uma representação precisa das tensões correntes e perdas ao longo das linhas otimizando a operação e o planejamento dos sistemas de energia elétrica REFERÊNCIAS ZANETTA JÚNIOR Luiz Cera Fundamentos de sistemas elétricos de potência São Paulo Editora Livraria da Física Acesso em 01 nov 2024 CAPÍTULO 3 Relações entre Tensões e Correntes em uma Linha de Transmissão123 31 Introdução 123 32 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em uma Linha de Transmissão 123 33 Impedância Característica de uma Linha de Transmissão 127 34 Regime Permanente em Linhas de Transmissão 127 341 Modelo de Linhas de Transmissão com Comprimento Finito 130 342 Quadripolo Equivalente 133 343 Modelo π Equivalente de uma Linha Genérica Linha Longa 134 344 Modelo π Nominal 140 345 Modelo para Linhas Curtas 141 346 Modelo T Nominal 142 35 Algumas Propriedades de Quadripolos 143 351 Associação em Cascata de Quadripolos 143 352 Associação de Quadripolos em Paralelo 144 353 Representação de Elementos Concentrados Através de Quadripolos 145 36 Transmissão de Potência 146 37 Compensação Reativa de Linhas de Transmissão 150 371 Linha de Transmissão em Vazio 150 372 Linha de Transmissão em Carga 154 38 Referências Bibliográficas 164