Capitalização Simples vs. Composta: Diferenças e Exemplos Práticos

1 23 03 2022 Aula 7 Capitalizaçao composta Qual a diferença entre capitalizaçao simples e capitalizaçao composta No sistema de capitalização simples apenas o capital rende juros Na capitalização composta o rendimento auferido pela aplicação será incorporado a ela passando a gerar juros no período seguinte Em outras palavras o montante no final de cada período será o principal do período seguinte Neste regime de capitalização o dinheiro cresce mais rapidamente sendo por este motivo o mais utilizado no mundo dos negócios Problema da Vida real Suponha que você compre um carro no valor de R 20 00000 para trabalhar O vendedor é seu amigo e você combina pagar o carro de uma vez só daqui há um ano A taxa de juros é de 2 ao mês Quanto você pagaria usando a Capitalização composta b Capitalização simples Vejamos quais são os dados do problema PV20 00000 n 1 ano12 meses 𝑖 2 ao mês 002 FV a Resolvendo na capitalização composta temos 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 20000001 00212 2 𝐹𝑉 20 00000 10212 2000000 126824 2536484 b Resolvendo na capitalização simples 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖 𝑛 200001 002 12 2480000 Viram a diferença Dedução da Expressão genérica para a capitalização composta Aqui começa realmente a Matemática financeira Quase todas a movimentações financeiras são feitas na capitalização composta a No primeiro período de capitalização 𝑛 1 Capitalização simples capitalização composta Capital no início do período 𝑃𝑉 Juros do período capital x taxa 𝑃𝑉 𝑖 Capital no final do período 𝑭𝑽 𝑷𝑽 𝑱 𝑷𝑽 𝑷𝑽 𝒊 𝑭𝑽 𝑷𝑽𝟏 𝒊 Este montante será o capital no início do segundo período Este montante é o que será usado para calcular os juros do segundo período No segundo período os juros também rendem juros b No segundo período de capitalização n2 Capital no início do período 𝑃𝑉1 𝑖 Juros do períodocapital vezes a taxa 𝑃𝑉1 𝑖 𝑖 3 Capital no final do período capital no início do período Juros 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖 𝑃𝑉1 𝑖 𝑖 Colocando 𝑃𝑉1 𝑖 de fator comum temos 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖 1 𝑖 𝑃𝑉1 𝑖² c No terceiro período de capitalização n3 a fórmula pode ser deduzida de forma análoga e toma o seguinte aspecto 𝑭𝑽 𝑷𝑽𝟏 𝒊³ d Por Analogia no enésimo período de capitalização 𝑭𝑽 𝑷𝑽𝟏 𝒊𝒏 Exemplo 1 Calcular o montante de uma aplicação de R 15 00000 pelo prazo de 6 meses à taxa de 3 ao mês usando a Capitalização composta b Capitalização simples Solução a Capitalização composta PV 1500000 n6 meses i 3 ao mês 003 Usando a fórmula 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 temos 𝐹𝑉 15 00000 1 0036 FV 15 00000 1194052 17 91078 4 b Na capitalização simples temos 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 15 00000 1 003 6 17 70000 Exemplo 2 No final de 2 anos o Sr Pedro deverá efetuar um pagamento de R 200 00000 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje mais os juros devidos correspondentes à taxa de 4 ao mês Qual o valor emprestado Solução FV200 00000 i4 ao mês 𝑛 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Queremos saber o valor emprestado PV Usando a fórmula 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 Temos 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 00424 200 00000 𝑃𝑉 2563304 Assim 𝑃𝑉 200 00000 2563304 78 02429 Exemplo 3 Uma loja financia a venda de uma mercadoria no valor de R 16 00000 sem entrada para pagamento em uma única prestação de R 22 75361 no final de 8 meses Qual a taxa mensal cobrada pela loja Solução FV22 75361 5 PV16 00000 n 8 meses i 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 𝐹𝑉 16 000001 𝑖8 2275361 1 𝑖8 22753611600000 1 𝑖8 142210 1 𝑖 142210 8 1045 𝑖 1045 1 0045 45 ao mês Exemplo 4 Em que prazo um empréstimo de R 30 00000 pode ser quitado em um único pagamento de R 51 31018 sabendo que a taxa contratada é de 5 ao mês Solução FV5131018 PV30 00000 n i5 ao mês 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 𝐹𝑉 30 00000 1 005𝑛 5131018 105𝑛 5131018 3000000 171034 Para descobrir o valor de n que é um expoente aplicamos a função inversa da função exponencial que é a função logarítmica 𝑙𝑛 105𝑛 𝑙𝑛171034 𝑛 ln 105 𝑙𝑛 171034 𝒏 𝐥𝐧 𝟏𝟕𝟏𝟎𝟑𝟒 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟓 𝟎𝟓𝟑𝟔𝟔𝟗 𝟎𝟎𝟒𝟖𝟕𝟗 𝟏𝟏 meses Problemas propostos 6 1 Determinar o montante no final de 10 meses resultante da aplicação de um capital de R 100 00000 à taxa de 375 ao mês Resposta R 144 50439 2 Uma empresa consegue um empréstimo de R 80 00000 para a renovação de seu ativo fixo No contrato fica acordado que o principal e os juros serão pagos no fim de um período de 4 anos a uma taxa anual de 12 capitalizada anualmente Qual o valor a ser pago pela empresa no final deste período Resposta R 125 88155 3 Suponha agora que os equipamentos de uma empresa de software devam ser substituídos a cada 5 anos Estimase que o valor esperado de reposição deste equipamento é de R 250 00000 Calcular a soma em dinheiro que deveria ser aplicada hoje a 2 ao mês com capitalização mensal para que ao final de 5 anos haja recursos suficientes para a compra do equipamento Resposta R 76 19557 4 Sabendose que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12486 determinar qual é o prazo em que um empréstimo de R20 00000 será resgatado por R 36 01823 Resposta 5 trimestres ou 15 meses 5 Quanto devo aplicar hoje à taxa de 51107 ao ano para ter R 1000 00000 no final de 19 meses 7 Atenção na capitalização composta dar preferência em transformar o tempo na unidade da taxa Resposta R 520 15496 6 Uma pessoa empresta R 80 00000 hoje para receber R 50729446 no final de dois anos Calcular a taxa mensal e anual deste empréstimo Resposta 8 ao mês ou 151817 ao ano