Cisalhamento e Tensão de Cisalhamento em Materiais

107 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Unidade II 5 CISALHAMENTO Anteriormente estudouse o efeito das forças normais na peça ou estrutura No entanto forças paralelas podem agir na seção transversal provocando tensões de cisalhamento Figura 139 Forças agindo em uma peça Figura 140 Tensão cisalhante agindo em uma peça A tensão de cisalhamento age sobre rebites pinos e parafusos que unem as diversas partes das máquinas e estruturas O esforço de cisalhamento tende a separar as moléculas por deslizamento de uma face sobre outra ou entre dois planos contínuos Lembrete Assim como a tensão normal a tensão de cisalhamento atua na área da seção transversal da peça 108 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II 51 Tensão de cisalhamento A ação da carga cortante sobre a área da seção transversal da peça causa nessa área uma tensão de cisalhamento que é definida pela relação entre a intensidade da carga aplicada e a área da seção transversal da peça sujeita a cisalhamento Equação V A τ Onde τ é a tensão de cisalhamento Pa V é a força cortante N A é a área da seção transversal m2 O cisalhamento causado por ação direta de uma carga é chamado de cisalhamento simples e geralmente ocorre em acoplamentos simples feitos com parafusos soldas ou pinos Figura 141 Cisalhamento simples No cisalhamento simples o valor da cortante V é igual à força F Já no cisalhamento duplo existem duas superfícies de cisalhamento que devem ser consideradas sendo que o valor da cortante V é metade da força F ou seja V F A 2A τ 109 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 142 Cisalhamento duplo Observação Quando houver mais de um elemento parafuso ou rebite utilizase V nA τ onde n é o número de parafusos ou rebites Exemplo 1 Determine a tensão de cisalhamento que ocorre no parafuso de aço SAE 1020 e diâmetro 10 cm quando a força aplicada às chapas for de 100 kN Figura 143 Resolução V A τ 2 2 2 d 01 A 00078m 4 4 π π 110 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II 3 6 10010 127310 τ 00078 τ 1282 MPa Exemplo 2 Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 15 m de largura de corte e 500 kN de capacidade Determine a espessura máxima de corte em chapas de aço τ 220 MPa Figura 144 Resolução V A τ 3 6 3 6 90010 22010 15e 90010 e 1522010 e 272 103 m 272 mm Saiba mais A norma ABNT NBR 83092006 especifica o método para determinação da resistência ao cisalhamento de rebites barras e arames para recalque a frio fabricados de alumínio e suas ligas Para visualizar os detalhes leia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR ISO 8309 Alumínio e suas ligas Rebites barras e arames para recalque a frio Determinação da resistência ao cisalhamento Rio de Janeiro 2006 111 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 3 Determine a tensão de cisalhamento do conjunto mostrado na figura quando a carga for de 6 kN referente ao parafuso sextavado M12 4 3 5 2 1 Q Figura 145 Resolução O parafuso tende a ser cisalhado nas seções AA e BB ou seja tratase de cisalhamento duplo então V F A 2A τ Parafuso sextavado M12 d 12 mm 0012 m 2 2 4 2 d 0012 A 11310 m 4 4 π π 3 6 4 610 265410 211310 τ τ 2654 MPa Exemplo 4 O conjunto da figura é composto de quatro parafusos Determine a tensão de cisalhamento em cada um deles Dados F 50 kN dparafuso 20 mm 112 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Figura 146 Resolução Neste exemplo temos quatro parafusos em cisalhamento simples então V V A 4A τ 2 2 4 2 d 0020 A 31410 m 4 4 π π 3 6 4 5010 398010 431410 τ τ 3980 MPa Exemplo 5 O conjunto da figura é composto de seis parafusos Determine a tensão de cisalhamento em cada um deles dparafuso 20 mm Figura 147 113 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Resolução Neste exemplo temos seis parafusos em cisalhamento composto então F F F 2A 62A 12A τ 2 2 4 2 d 0020 A 31410 m 4 4 π π 3 6 4 10010 265410 1231410 τ 2654MPa τ Exemplo 6 A barra rígida mostrada a seguir é suportada por uma haste de aço AB que tem diâmetro de 25 mm Os pinos de 20 mm de diâmetro em A e B estão submetidos a um cisalhamento simples Se a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino for τrup 600 MPa determine a carga P que pode ser aplicada à barra Considere o fator de segurança 20 para aplicação Figura 148 114 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Resolução Primeiro será determinada a força na barra AB Figura 149 Mc 0 AB AB AB F 2 P125 0 125P F 2 F 0625P adm 600 CS 2 τ τ τadm 300 MPa 2 2 4 2 d 0025 A 4910 m 4 4 π π adm V A τ 6 4 6 4 0625P 30010 4910 30010 4910 P 0625 P 2352 kN 115 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 7 A um eixo que tem 30 mm de diâmetro pretendese fixar uma polia por meio de um pino conforme mostrado na figura Considerando que o momento de torção torque no eixo é de 500 kNcm determine o diâmetro do pino D τadm 350 kNcm2 Figura 150 O primeiro passo é determinar o valor da força cortante M M Fxd F d 500 F 100kN 5 V A τ 3 3 2 10010 35010 A A 028cm d2 4A A d 4 π π 4028 d π d 06 cm 6 mm 116 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Exemplo 8 Dimensione os parafusos para construir a junta excêntrica representada na figura τadm105 MPa Figura 151 Resolução Inicialmente devese encontrar as forças aplicadas em cada parafuso Tais cargas aplicadas são compostas de dois componentes divisão força de 60 kN nos quatro parafusos 15 kN em cada e momento gerado por ela Figura 152 Chamando a força causada pelo momento de Fm e fazendo somatória de momentos no centro temse M0 0 117 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 4Fm01 6005 0 6005 Fm 401 Fm 75kN Nos parafusos 2 as forças são contrárias enquanto no parafuso 4 estão no mesmo sentido Figura 153 Nos parafusos 1 e 3 a força aplicada é aquela resultante das forças de 15 kN e 75 kN Portanto calculando a força total temse 2 2 F1 F3 Fr Fx Fy 2 2 F1 F3 15 75 F1 F3 765 kN Ao fazer a análise percebese que a força no parafuso 2 90 kN é a maior Como todos os parafusos devem ter o mesmo diâmetro ela será usada no cálculo da tensão de cisalhamento V τ A 118 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II 3 6 4 2 9010 10510 A A 85710 m d2 4A A d 4 π π 485710 4 d π d 33 102 m 33 mm 52 Deformações no cisalhamento Considere uma peça em que todas as forças atuantes dão origem somente a tensões de cisalhamento τ Ao receber a ação da carga cortante o ponto A deslocase para a posição A e o ponto B para a posição B gerando o ângulo denominado distorção γ Figura 154 Deformações cisalhantes em um corpo A distorção é medida em radianos portanto adimensional e determinada através da relação entre a tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material Equação G τ γ Onde γ é o ângulo de deformação 119 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS τ é a tensão cisalhante G é o módulo de elasticidade transversal do material Observação Para determinar as propriedades dos materiais sujeitos ao cisalhamento é feito um ensaio de cisalhamento O ensaio de cisalhamento apresenta as mesmas características do ensaio de tração assim determina se o diagrama tensão x deformação de cisalhamento γp γ τp τ Deformação Região elástica Tensão G Figura 155 Diagrama tensão x deformação de cisalhamento Da mesma maneira que se determina o módulo de elasticidade longitudinal E no ensaio de tração estabelecese o módulo de elasticidade transversal G Na região elástica a relação entre tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento é linear tg τ α γ G τ γ A relação entre o módulo de elasticidade longitudinal E e o módulo de elasticidade transversal G é dada por 120 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II E 2 G1 υ E G 2 1 υ Onde ν é conhecido como coeficiente de Poisson Desta forma se o valor de um dos módulos for conhecido o outro pode ser estimado A tabela a seguir apresenta os módulos para alguns materiais Tabela 6 Propriedade dos materiais Material Módulo de elasticidade longitudinal E GPa Módulo de elasticidade transversal G GPa Coeficiente de Poisson ν Aço 207 73 030 Latão 97 370 034 Alumínio 69 25 033 Cobre 110 46 034 Chumbo 135 56 044 Estanho 443 17 033 Exemplo 1 Um bloco é solicitado por uma força F 300 kN Calcule a a tensão cisalhante b o deslocamento do ponto A considerandose que a face inferior não se move Dados E 90 GPa ν 025 Figura 156 121 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Resolução a Cálculo da tensão de cisalhamento V A τ A b h 02 005 001 m2 3 6 30010 3010 001 τ τ 30 MPa b Deslocamento do ponto A Figura 157 tg 70 γ γ 70 γ Cálculo do módulo de elasticidade 9 E 9010 G 2 1 2 1 025 ν G 36 GPa 6 9 3010 G 3610 γ τ 122 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II γ 833 104rad Portanto 70 γ 70 833 104 583 102 m 5833 mm 6 TORÇÃO O problema da transmissão de um torque conjugado de um plano a outro paralelo é encontrado com frequência no projeto de máquinas O dispositivo mais simples para desempenhar essa função é um eixo circular como o que liga um motor elétrico a uma bomba um compressor ou outro mecanismo Um diagrama simplificado de corpo livre o peso e as reações do mancal não são mostrados porque não fornecem informações úteis ao problema de torção de um eixo usado para transmitir o torque de um motor A a um acoplamento B será mostrado na figura a seguir A resultante das forças eletromagnéticas aplicadas ao induzido A do motor é um binário conjugado equilibrado pela resultante das forças exercidas nos parafusos outro conjugado que atuam no acoplamento de flange B O eixo circular transmite o torque do induzido para o acoplamento Os problemas típicos de torção envolvem a determinação das tensões significativas e das deformações dos eixos Será estudado um segmento de eixo entre os planos transversais aa e bb Forças eletromagnéticas Induzido Acoplamento de flange Força nos parafusos A B a b a b Figura 158 Representação de um eixo usado para transmitir um torque de um motor 61 Tensão de cisalhamento na torção Torção é definida como o giro de uma barra retilínea carregada por momentos ou torques que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra 123 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 159 Torques agindo em um eixo Momentos que produzem giros na barra como T1 T2 e T3 são conhecidos como torques ou momentos torçores Este livrotexto analisará tensões e deformações que ocorrem em barras de seção circular ou em eixos circulares Em eixos circulares a deformação específica de cisalhamento varia linearmente com a distância ao centro do eixo ou seja quando um eixo circular é submetido à torção todas as seções transversais permanecem planas e indeformadas embora muitas delas ao longo do eixo girem em diferentes ângulos cada seção transversal gira como um disco sólido e rígido Observação Esta propriedade somente pode ser observada em seções circulares e portanto as equações utilizadas não se aplicam em outros tipos de seção Para seções circulares utilizase a equação a seguir para determinar a tensão de cisalhamento em torção max TR J τ Onde τmax é a tensão máxima de cisalhamento R é o raio da seção circular J é o momento polar de inércia 124 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II O momento polar de inércia é uma propriedade geométrica de figuras planas Para seções circulares definese pelas seguintes equações Barra circular maciça R4 J 2 π Barra circular vazada 4 4 2 1 R R J 2 π Figura 160 Seção circular vazada Os valores calculados pela equação da barra circular vazada determinam a máxima tensão de cisalhamento no eixo porém ela varia ao longo da seção transversal conforme a figura a seguir Figura 161 Variação da tensão de cisalhamento 125 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Observamos que a tensão de cisalhamento aumenta com a variação do raio atingindo o valor máximo na superfície externa do eixo Para se estabelecer a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer ao longo da seção transversal do eixo utilizase T J ρ τ Onde ρ é a distância do centro da seção transversal ao ponto que se deseja calcular Lembrete A tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície da peça ou seja quando a distância ρ for igual ao raio R da peça ρ R τ τmáx 62 Convenção de sinais Para convenção de sinais será adotada a convenção que se baseia na regra da mão direita Um torque é positivo se a regra da mão direita apontar no sentido externo da superfície seccionada quando os dedos da mão direita estiverem dobrados na direção que o torque tende a girar Figura 162 Convenção de sinais 126 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Saiba mais Elementos sob torção são encontrados em muitas aplicações de engenharia A mais comum delas é aquela dos eixos de transmissão que utiliza dados para transmitir potência de um ponto para outro Para mais informações leia FERDINAND P B et al Estática e mecânica dos materiais Porto Alegre Mc Graw Hill 2013 Exemplo 1 Uma coluna de diâmetro constante igual a 70 mm é solicitada por uma força de 10 kN conforme a figura a seguir Determine a tensão cisalhante máxima atuante Figura 163 Resolução Torque causado pela força de 10 kN é T F x d T 10 103x1 10 103 N m 127 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Momento polar de inércia da seção maciça 4 4 6 4 R 004 J 40210 m 2 2 π π 3 6 max 6 TR 1010 004 995010 J 40210 τ τmax 9950 MPa Exemplo 2 A estrutura mostrada na figura possui diâmetro externo de 600 mm e interno de 500 mm e está solicitada por um torque de 400 kNm Determine a tensão de cisalhamento máxima Figura 164 Resolução Momento polar de inércia da seção vazada 4 4 4 4 2 1 3 4 R R 03 025 J 65810 m 2 2 π π 3 6 max 3 TR 40010 03 182310 J 65810 τ τmax 1823 MPa 128 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Exemplo 3 Determine a tensão cisalhante máxima atuante no eixo com dois trechos circulares em equilíbrio sob ação de torques aplicados conforme a figura Dados diâmetro do eixo maior igual a 250 mm e diâmetro do eixo menor igual a 200 mm Figura 165 Resolução Como são vários os torques aplicados no eixo fazse necessária a construção do diagrama de torques Figura 166 Para construção do diagrama considerase o momento girando em sentido positivo e no sentido contrário negativo porém para determinação da tensão de cisalhamento será utilizado o valor do torque em módulo somente positivo Calcularemos a tensão para cada trecho do eixo Momento polar de inércia da seção maciça AB 4 4 4 4 AB R 0125 J 38310 m 2 2 π π Momento polar de inércia da seção maciça BC 129 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 4 4 4 4 BC R 01 J 15710 m 2 2 π π Tensão do trecho AB 3 6 AB 4 TR 4010 0125 130510 1305MPa J 38310 τ 3 6 BC 4 TR 2010 01 127310 1273MPa J 15710 τ Como a tensão no trecho AB é maior então τmax τAB 1305 MPa Exemplo 4 Determine o valor da tensão de cisalhamento máxima e onde ela ocorre no eixo de seção circular sujeito aos torques indicados na figura Figura 167 130 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Resolução Diagrama de torques Figura 168 Momento polar de inércia da seção maciça AB e BC 4 4 3 4 AB BC R 025 J J 61310 m 2 2 π π Momento polar de inércia da seção vazada CD DE e EF 4 4 4 4 2 1 3 4 R R 025 015 J 53410 m 2 2 π π max TR J τ 3 6 AB 3 8010 025 32610 326MPa 61310 τ 3 6 BC 3 12010 025 48910 489MPa 61310 τ 3 6 CD 3 12010 025 56110 561MPa 53410 τ 3 6 DE 3 3010 025 14010 140MPa 53410 τ 131 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3 6 EF 3 5010 025 23410 24MPa 53410 τ Portanto a tensão máxima ocorre no trecho CD τCD τmax 561 MPa Exemplo 5 Um eixo árvore de transmissão maciço e circular conecta um motor às engrenagens A e B O torque na engrenagem A é 700 Nm enquanto na B é 450 Nm atuando na direção mostrada na figura Determine o diâmetro do eixo sabendo que a tensão admissível é de 65 Mpa Figura 169 Resolução Diagrama de torques Figura 170 Para dimensionar o eixo será escolhido o maior torque portanto 450 Nm 132 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Momento polar de inércia da seção maciça R4 J 2 π não é conhecido o valor do raio adm TR J τ adm adm adm 4 4 3 TR 2TR 2T R R R 2 τ τ τ π π π 6 3 2450 6510 R π 3 6 2450 R 6510 π 3 6 2450 R 6510 π R 163 102m 1639 mm D 3280 mm 63 Deformação em um eixo circular Considere um eixo circular conectado a um suporte rígido em uma de suas extremidades O torque atuante no eixo provoca na seção transversal o deslocamento na periferia do ponto A para uma posição A na longitude do eixo Assim originase uma deformação de cisalhamento γ determinada em radianos pela relação da tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal G do material Figura 171 Deformação em eixos circulares 133 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS G τ γ Onde γ é a deformação de cisalhamento rad τ é a tensão de cisalhamento Pa G é o módulo de elasticidade transversal do material Pa O deslocamento do ponto A para posição A produz na seção transversal do eixo um ângulo de torção θ que é definido pela equação a seguir Figura 172 Ângulo de torção θ TL JG θ Onde θ é o ângulo de torção rad T é o torque atuante no eixo Nm L é o comprimento do eixo m J é o momento de inércia polar m4 G é módulo de elasticidade transversal do material Pa 134 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Em sistemas específicos sujeitos à torção ou em componentes rígidos como polias engrenagens acoplamentos e flanges fazse necessário determinar o ângulo de torção que relaciona a deformação devido à torção em eixos ou em segmentos de eixo Considere por exemplo o conjunto mostrado a seguir que consiste em dois eixos elásticos AD e BE cada um deles com comprimento L raio c e módulo de elasticidade transversal G que estão ligados a engrenagens acopladas em C Se for aplicado um torque T em E ambos os eixos sofrerão torção Como a extremidade D do eixo AD está fixa o ângulo de torção de AD é medido pelo ângulo de rotação θA da extremidade A No entanto como as duas extremidades do eixo BE giram seu ângulo de torção é igual à diferença entre os ângulos de rotação θB e θE isto é ele é semelhante ao ângulo segundo o qual a extremidade E gira em relação à extremidade B Designando esse ângulo relativo de rotação por θEB temos Suporte fixo Extremidade fixa D b a C C C rB rA C L L B B A A D E E Figura 173 Ângulo de rotação θEB θE θB Exemplo 1 Determine o diâmetro mínimo exigido para o eixo de aço G 75 GPa com comprimento de 600 mm e que deve transmitir um torque de 50 Nm A tensão cisalhante no eixo não deve ser superior a 70 MPa e o ângulo de torção deve ser superior a 005 rad Figura 174 135 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Resolução Projetando pela tensão de cisalhamento adm TR J τ adm adm adm 4 4 3 TR 2TR 2T R R R 2 τ τ τ π π π 6 3 250 7010 R π 3 6 250 R 7010 π 3 6 250 R 7010 π R 769 103m 769 mm D 1538 mm Projetando pelo ângulo de torção TL J G θ R4 TL 2 G π θ 4 4 2TL 2TL R R G G π θ π θ 4 9 25006 R 0057510 π 136 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II R 845 103m 845 mm D 1690 mm Portanto pelos dois cálculos temse que o diâmetro mínimo aceitável é D 1690 mm Exemplo 2 Dado o eixo maciço G 90 GPa com diâmetro variável e sujeito aos torques conforme figura determine os ângulos de rotação ao longo do eixo causado pelas engrenagens A B e C em relação à flange D O trecho AB do eixo tem diâmetro 40 mm o BC tem diâmetro 35 mm e o CD tem diâmetro 30 mm Figura 175 Resolução Diagrama de torques Figura 176 137 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Momento polar de inércia da seção maciça AB 4 4 7 4 AB R 0020 J 25110 m 2 2 π π Momento polar de inércia da seção maciça BC 4 4 7 4 BC R 00175 J 14710 m 2 2 π π Momento polar de inércia da seção maciça CD 4 4 8 4 CD R 0015 J 79510 m 2 2 π π Ângulo de torção TL JG θ Ângulo de torção do trecho AB AB 7 9 35015 0023rad 25110 9010 θ Ângulo de torção do trecho BC BC 7 9 50020 0075rad 14710 9010 θ Ângulo de torção do trecho CD CD 8 9 50010 0069rad 79510 9010 θ Ângulos de rotação A referência para o cálculo da rotação é a flange ponto D portanto θD0 θCD θC θD 138 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II 0069 θC 0 θC 0069 rad θBC θB θC 0075 θB 0069 θB 0069 0075 θB 0006 rad θAB θA θB 0023 θA 0006 θA 0023 0006 θA 0017 rad Resumindo θC 0069 rad θB 0006 rad θA 0017 rad 64 Aplicação de conceitos de torção em engrenagens Engrenagens são elementos rígidos utilizados na transmissão de movimentos rotativos ente eixos são basicamente feitos de dois cilindros nos quais são fabricados dentes responsáveis pela transmissão de movimento A figura a seguir mostra a relação entre os torques T1 e T2 Para o sistema estar em equilíbrio cada engrenagem deve satisfazer as condições necessárias O torque T1 é transmitido diretamente para a engrenagem A Esse torque faz com que ela gire no sentido antihorário 139 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 177 Conjunto de engrenagens À medida que as engrenagens A e B giram os dentes da engrenagem B exercem uma força na engrenagem A que age tangencialmente a ambas as engrenagens Tal força que se opõe à rotação da engrenagem A é indicada a seguir Figura 178 Forças agindo nas engrenagens A equação de equilíbrio de momentos em torno do eixo x fornece o relacionamento entre T1 e F para a engrenagem A Mx 0 140 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II T1 F RA 0 1 A T F R A equação de equilíbrio de momentos em torno do eixo x fornece o relacionamento entre T2 e F para a engrenagem B Mx 0 T2 F RB 0 T2 F RB Substituindo a equação anterior pela próxima temse o seguinte 1 2 B A T T R R B 2 1 A R T R T O valor absoluto de T2 está relacionado com T1 pela razão entre os dentes das engrenagens Entretanto como as duas engrenagens giram em direções opostas o sinal de T2 será oposto ao sinal de T1 Da mesma maneira podese relacionar os ângulos de rotação das engrenagens B A B A R θ R θ A relação RBRA também pode ser expressa pela ligação entre os diâmetros das engrenagens D ou pelo número de dentes das engrenagens Z B B B A A A R D Z R D Z Exemplo 1 Dois eixos maciços de aço G 90 GPa estão conectados pelas engrenagens mostradas Considere que os suportes mostrados permitem a livre rotação dos eixos O eixo AB tem diâmetro de 45 mm e 141 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS o CD possui diâmetro de 35 mm a engrenagem C contém 42 dentes e a B 54 dentes Um torque de 500 Nm é aplicado na engrenagem D Determine a Os valores absolutos da tensão cisalhante máxima em cada eixo b Os ângulos de torção θAB e θCD c Os ângulos de rotação θB e θC das engrenagens B e C respectivamente d O ângulo de rotação da engrenagem D Figura 179 Resolução Cálculo do torque no eixo AB Como há um torque antihorário o torque no eixo CD reage contrário MeixoCD 0 500 TCD 0 TCD 500 N m Os dentes da engrenagem B exercem uma força F nos dentes da engrenagem C então MeixoCD 0 142 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II TCD F RC 0 CD C T F R 1 Se os dentes da engrenagem B exercerem uma força F nos dentes da engrenagem C o equilíbrio exigirá que os dentes em C exerçam uma força de mesmo módulo na direção oposta sobre os dentes da engrenagem B MeixoAB 0 TAB F RB 0 TAB F RB 2 Substituindo a equação 1 em 2 B AB CD C R T R T Podese relacionar os raios das engrenagens com o número de dentes B B C C R Z 54 R Z 42 B A R 1285 R Portanto B AB CD C R T R T TAB 1285 500 TAB 6425 N m Cálculo das tensões cisalhantes 4 4 7 4 AB R 00225 J 40210 m 2 2 π π 143 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 4 4 7 4 CD R 00175 J 14710 m 2 2 π π TR J τ AB AB AB 7 AB T R 642500225 J 40210 τ 6 AB 359610 3596MPa τ CD CD CD 7 CD T R 50000175 J 14710 τ TCD 5952 106 5952 MPa Cálculo do ângulo de torção TL JG θ Ângulo de torção do trecho AB AB 7 9 642525 0044rad 40210 9010 θ Ângulo de torção do trecho CD CD 7 9 50030 0113rad 14710 9010 θ Cálculo do ângulo de rotação em D A referência para o cálculo da rotação é a flange do ponto A portanto θA 0 θAB θB θA 0044 θB 0 144 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II θB 0044 rad Ângulo de rotação das engrenagens C B C B C Z θ Z θ C 54 0044 θ 42 θC 0056 rad θCD θD θC θD θCD θC θD 0113 0056 θD 0169 rad Resumindo τAB 3596 MPa τCD 55952 MPa θAB 0044 rad θCD 0113 rad θD 0169 rad Resumo Nesta unidade analisamos os efeitos das forças e dos momentos que geram tensões de cisalhamento e torção O cisalhamento age em diversos elementos estruturais e de máquinas devido às forças cisalhantes que tendem a separar as moléculas por deslizamento de uma face sobre outra ou entre dois planos contínuos Demonstrouse o cálculo dessa tensão e a deformação causada pela força cortante 145 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A torção é causada por momentos que tendem a girar a peça ou a estrutura Verificamos a tensão e a deformação que ocorrem em barras de seção circular ou em eixos circulares além dos conjuntos de engrenagem Exercícios Questão 1 Enade 2011 adaptada Um acoplamento rígido tipo flange conforme mostrado na figura será usado para acoplar um motor elétrico de 135 kW e 900 rpm a um redutor de engrenagens do sistema de tração de uma esteira de transporte de calcário moído Cada um dos flanges é fixado à respectiva ponta de eixo por meio de chaveta e o acoplamento é realizado utilizandose oito parafusos igualmente espaçados distribuídos segundo um círculo de diâmetro d 300 mm conforme mostrado a seguir Chaveta Parafuso d 300 mm Figura 180 Nesta configuração qual é a força cisalhante agindo sobre cada parafuso A 300kN π B 375kN π C 150kN π D 750kN π E 185kN π Resposta correta alternativa B 146 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II Análise das alternativas A Alternativa incorreta Justificativa este resultado aparece quando se considera na junta a existência de apenas um parafuso Nesta situação 45 45 kNm kNm M 30 F kN n R 1 150mm 1 015m π π π B Alternativa correta Justificativa o torque a ser transmitido pelo acoplamento M é resultado do quociente entre a potência P e a velocidade angular ω P M ω Como a velocidade angular é dada por ω 2πN sendo N a frequência de rotação o torque fica P M 2 N π O problema forneceu P 135 kW e N 900 rpm Assim o torque fica 135kNm s M 1 2 90060s π 45 M kNm π Este torque será transmitido pelos oito parafusos Portanto quando se multiplica a força cisalhante de cada parafuso Fi pela distância entre o centro do parafuso e o centro de rotação Ri se obtém a parte do torque que cada parafuso transmite Desta maneira o torque nada mais é do que a soma destes produtos ou seja k i i i 1 M F R 147 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Como todos os parafusos estão à mesma distância do centro de rotação d 2 como se pode observar na figura a seguir força cisalhante de cada parafuso também é a mesma Sendo assim podemos escrever d 300 mm R d2 150 mm F Figura 181 Forças cisalhantes nos parafusos M n F R M F n R Como d 300mm R 150mm 2 2 a força cisalhante em cada parafuso fica 45 45 kNm kNm F 8 150mm 8 015m π π 375 F kN π C Alternativa incorreta Justificativa este resultado aparece quando há na junta a existência de apenas um parafuso e a distância R igual ao diâmetro de colocação dos parafusos Nesta situação 45 45 kNm kNm M 15 F kN n R 1 300mm 1 030m π π π 148 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade II D Alternativa incorreta Justificativa uma possibilidade de este resultado aparecer é a consideração que na junta existam apenas dois parafusos e a distância R igual ao diâmetro de colocação dos parafusos Nesta situação 45 45 kNm kNm M 75 F kN n R 2 300mm 2 030m π π π E Alternativa incorreta Justificativa um resultado próximo a este aparece quando se considerar a distância R igual ao diâmetro de colocação dos parafusos Nesta situação 45 45 kNm kNm M 1875 F kN n R 8 300mm 8 030m π π π Questão 2 Enade 2008 adaptada A figura mostra esquematicamente uma turbina de alta rotação que aciona um gerador através de um redutor com engrenagens helicoidais Turbina Acoplamento Transmissão Acoplamento Eixo Gerador Figura 182 O gerador opera com rotação ω de 50 rads 478 rpm a uma potência P de 280 kW O diâmetro do eixo de acionamento do gerador deve ser dimensionado utilizando um fator de segurança igual a π O material do eixo é o aço de alta resistência ASTMA242 cuja resistência ao cisalhamento vale 175 MPa Considerando o eixo sujeito à torção pura tmáxTRJ na qual JπR42 e desprezando qualquer perda no sistema de transmissão seu diâmetro mínimo em mm deve ser considere P T ω 149 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A 20 B 40 C 60 D 80 E 100 Resolução desta questão na plataforma