Resistência dos Materiais

Autor Prof Cristiano Roberto Martins Foli Colaboradores Prof Ariathemis Moreno Bizuti Prof José Carlos Morilla Resistência dos Materiais Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Professor conteudista Cristiano Roberto Martins Foli Natural de Franca SP graduado em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Unesp 2002 mestrado em Engenharia Aeronáutica e Mecânica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA 2004 e doutorado em Engenharia Aeronáutica e Mecânica pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA 2011 Ministra aulas em cursos de Engenharia na UNIP desde 2006 tais como Resistência dos Materiais Complementos de Resistência dos Materiais Estática nas Estruturas Estruturas Hiperestáticas Teoria das Estruturas É coordenador do curso de Engenharia Civil da UNIP São José dos Campos desde 2011 Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP F665s Foli Cristiano Roberto Martins Resistência dos materiais Cristiano Roberto Martins Foli São Paulo Editora Sol 2018 192 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ano XXIV n 204418 ISSN 15179230 1 Equilíbrio das estruturas 2 Tensão e deformação 3 Flexão I Título CDU 6217 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento Administração e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades Universitárias Prof Dr Yugo Okida ViceReitor de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa Elisabete Brihy Prof Marcelo Souza Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial Dra Angélica L Carlini UNIP Dra Divane Alves da Silva UNIP Dr Ivan Dias da Motta CESUMAR Dra Kátia Mosorov Alonso UFMT Dra Valéria de Carvalho UNIP Apoio Profa Cláudia Regina Baptista EaD Profa Betisa Malaman Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Kleber Nascimento Carla Moro Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Sumário Resistência dos Materiais APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 REVISÃO DE MECÂNICA GERAL ESTÁTICA 9 11 Sistema internacional de medidas SI 10 12 Resultante de uma força 11 121 Composição de forças 11 122 Decomposição de forças 11 13 Momento estático 17 2 EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS 24 21 Classificação das estruturas 24 22 Vínculos ou apoios 26 221 Apoio simples ou de primeiro gênero 26 222 Articulação ou apoio de segundo gênero 27 223 Engate ou apoio de terceiro gênero 27 23 Tipos de carregamento 27 24 Cálculo de reações de apoio 28 3 ESFORÇOS SOLICITANTES 49 31 Força cortante V 49 32 Momento fletor M 50 33 Convenção de sinais 50 34 Diagrama de força cortante V e momento fletor M 51 35 Diagrama de força normal N 75 4 TENSÃO E DEFORMAÇÃO 86 41 Tensão 86 42 Deformação 88 43 Diagrama tensão x deformação 89 44 Lei de Hooke 92 45 Tensão admissível 97 Unidade II 5 CISALHAMENTO 107 51 Tensão de cisalhamento 108 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 52 Deformações no cisalhamento 118 6 TORÇÃO 122 61 Tensão de cisalhamento na torção 122 62 Convenção de sinais 125 63 Deformação em um eixo circular 132 64 Aplicação de conceitos de torção em engrenagens 138 Unidade III 7 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 150 71 Momento estático 150 72 Centro de gravidade de uma figura plana 152 73 Momento de inércia 161 74 Translação de eixos 164 75 Módulo resistente 168 76 Raio de giração 168 8 FLEXÃO 173 7 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 APRESENTAÇÃO A disciplina Resistência dos Materiais tem como principal objetivo relacionar as cargas aplicadas a uma peça ou estrutura às deformações resultantes projetando assim dimensões e aplicações para um funcionamento sem falhas São apresentados ao estudante de Engenharia conceitos e fundamentos de fenômenos referentes ao projeto de corpos rígidos o que permite associar aplicações práticas de pensamentos complexos em situações reais da vida profissional Portanto o objetivo geral é prover ao aluno o desenvolvimento da habilidade de análise dos fenômenos e capacitálo ao uso e emprego das equações fundamentais que regem os corpos rígidos O livrotexto abordará a revisão de alguns tópicos com ênfase mais aprofundada em revisão de mecânica geral equilíbrio das estruturas esforços solicitantes tensão e deformação Em seguida demonstrará novos conceitos e tratará sobre cisalhamento torção Por fim retratará os seguintes assuntos características geométricas de figuras planas flexão Recomendase uma leitura apurada do texto quantas vezes for preciso para que seja adquirido o conceito apresentado INTRODUÇÃO Este livrotexto é indicado aos alunos dos cursos de Engenharia no qual consta a disciplina de Resistência dos Materiais Os conceitos básicos são abordados de forma simples e objetiva para que o estudante dê início à análise estrutural e do comportamento dos materiais 8 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 A disciplina de Resistência dos Materiais considera um conhecimento prévio em mecânica física matemática e principalmente em estática Porém nos capítulos iniciais esses conceitos serão revistos As teorias e equações apresentadas serão aplicadas em exercícios resolvidos assim o aluno terá um contato mais prático com os conceitos da disciplina 9 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Unidade I 1 REVISÃO DE MECÂNICA GERAL ESTÁTICA Figura 1 O estudo da Mecânica é dividido em três grandes áreas de conhecimento Mecânica dos Corpos Rígidos Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos A resistência dos materiais se baseia nas leis da Estática e será aplicada para corpos rígidos e corpos deformáveis A Estática está fundamentada na primeira e terceira leis de Newton que compreendem corpos rígidos sob ação de forças em equilíbrio Desta maneira será feita uma revisão de conceitos de grandezas vetoriais força e momento O estudo dos efeitos de uma ou várias forças sobre um corpo é de extrema importância em resistência dos materiais uma vez que em todo projeto de Engenharia o efeito das forças sobre a peça ou estrutura definirá um funcionamento sem apresentar falha Força segundo as leis de Newton definese força como a ação de um corpo sobre outro É utilizado para sua representação o conceito vetorial portanto a força tem um ponto de aplicação intensidade direção e sentido Equação F ma Quando a força é aplicada a um corpo pode provocar deformação eou movimento Um dos conceitos mais utilizados é o da força peso Peso é força que existe sobre todos os corpos sendo exercida sobre eles por meio do campo gravitacional da Terra conforme figura a seguir 10 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Peso características vetoriais Direção vertical Sentido de cima pra baixo Ponto de aplicação centro de gravidade do corpo Figura 2 Força peso Consequentemente cuidados devem ser utilizados para não se confundir massa e peso porque enquanto o peso de um corpo muda de acordo com a gravidade o da massa nunca varia ou seja é constante 11 Sistema internacional de medidas SI Para padronizar as unidades de medida de várias grandezas é adotado o SI O quadro a seguir apresentará valores definidos como básicos e também os valores estabelecidos a partir deles denominados derivados Quadro 1 Unidade de medidas do Sl Grandeza Unidade Símbolo Comprimento Metro m Massa Quilograma kg Tempo Segundo s Força Newton N kgms2 Peso Newton N kgms2 Pressão Pascal Pa Nm2 Tensão Pascal Pa Nm2 A utilização de unidades maiores ou menores que a do SI pode ser acompanhada de múltiplos e submúltiplos das referidas unidades mediante o emprego dos prefixos SI Vejamos alguns exemplos Quadro 2 Múltiplos e submúltiplos da unidade Prefixos Símbolo Fator Giga G 109 Mega M 106 Quilo K 103 Deci D 101 Centi C 102 Mili M 103 11 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Como dito a força é uma grandeza vetorial e conceitos de mecânica vetorial serão apresentados Lembrete As unidades mais comumente utilizadas para força são Newton N ou Quilogramaforça kgf em que 1 kgf é aproximadamente 10 N Elas devem ser representadas no Sistema Internacional de Medidas SI 12 Resultante de uma força Quando temos várias forças sendo aplicadas a um corpo determinado a força resultante efeito de uma só força ajuda no estudo de seus efeitos sobre o corpo A força resultante pode ser determinada por composição ou decomposição das forças 121 Composição de forças A soma ou subtração de forças somente será feita se elas estiverem na mesma direção encontrando sua resultante Figura 3 Composição de forças Portanto forças com a mesma direção e sentido são somadas enquanto aquelas com a mesma direção e sentidos opostos são subtraídas 122 Decomposição de forças Forças com direções diferentes da sua resultante podem ser encontradas através da decomposição daquelas que talvez estejam no plano direções x e y ou no espaço direções x y e z como demonstrado a seguir Figura 4 Forças no espaço 12 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Para essa situação utilizase a resultante Fr ou suas componentes Fx Fy e Fz para o estudo do efeito no corpo De maneira geral o efeito das forças no plano é a maneira mais utilizada para análise de problemas envolvendo forças F força a ser decomposta α ângulo formado por F em relação ao eixo x Fx Fy componentes nas direções x e y Figura 5 Forças no plano Utilizando a trigonometria temse para essa situação Fx Fcos Fy Fsen Fy tg Fx α α α Pelo Teorema de Pitágoras a resultante fica 2 2 F Fx Fy Exemplo 1 Dadas duas forças sobre um parafuso determine a resultante atuando 13 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 6 Resolução Como a força resultante é dada por 2 2 F Fx Fy temse que calcular a componente das duas forças em relação a x Fx e a y Fy Fx1 F1cos15º 200 096 192 kN Fx2 F2cos35º 15º F2cos50º 50 064 32 kN Fx Fx1 Fx2 224 kN Fy1 F1sen15º 200 025 50 kN Fy2 F2sen35º 15º F2sen50º 50 076 38 kN Fy Fy1 Fy2 88 kN Logo a força resultante é 2 2 F 224 88 24066kN 14 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Portanto podemse substituir as duas forças F1 e F2 por uma única F Porém qual seria o ângulo que essa nova força resultante teria sobre o parafuso 15º 35º ou um novo ângulo Figura 7 Utilizando a relação trigonométrica temos tg cateto oposto cateto adjacente Fy Fx α 88 224 0 392 arctg0392 2140º Ou seja podese substituir o efeito das duas forças por uma única de aproximadamente 24066 kN com um ângulo de 2140º Exemplo 2 Verifique se o sistema de forças está em equilíbrio Figura 8 Resolução Em um sistema de forças em equilíbrio a somatória de todas as forças em x e y são iguais a zero 15 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Fx 0 Fy 0 Fx F1cos60º F2sen30º F4 10 5 15 0 Fy F1sen60º F2cos30º F3 1732 866 866 0 Sim o sistema está em equilíbrio de forças Exemplo 3 Determine as forças nos cabos para manter o motor em equilíbrio Figura 9 Resolução Transformando nosso sistema de eixos x e y temos 16 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Figura 10 Lembrando que P m a 100 10 100 N Para manter o sistema em equilíbrio a somatória das forças em x e y tem que ser igual a zero então Fx 0 FAcos25º FBcos65º 0 1 Fy 0 FAsen25º FBsen65º 0 2 isolando FA na equação 1 temse FBcos65º FA FA 0466FB cos25º 3 Substituindo FA da equação 3 na equação 2 0466FB sen25º FBsen65º P 0 0466FB 0906FB 1000 0 0196FB 0906FB 1000 071FB 1000 FB 140845 N Substituindo FB na equação 3 FA 0466 140845 65633 N FA 65633 N FB 140845 N 17 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13 Momento estático Momento é definido como a grandeza física que dá a medida da tendência de uma força F provocar rotação em torno de um eixo fixo A determinação do deve levar em consideração o módulo da força F e a distância da força em relação ao eixo fixo Figura 11 Força e momento O momento escalar é determinado como a relação do vetor F que atua sobre um corpo rígido fixo no ponto O da seguinte maneira Equação M Fxd onde M é o momento escalar O é o polo ou o centro de momento d é a distância perpendicular de O a linha de ação de F A unidade de momento é força vezes distância portanto no SI MNm Newton metro A fim de entender melhor o efeito da força em relação ao eixo fixo um bom exemplo é a aplicação da força para se abrir uma porta 18 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Figura 12 Efeito da força sobre um eixo fixo Lembrete Para cálculo do momento força e distância devem formar um ângulo de 90º Na figura é possível ver duas forças uma na direção tangencial à distância do eixo fixo F1 e outra perpendicular à distância do eixo fixo F2 A força F1 tem efeito de compressão sobre a porta não tendo efeito giro Já a F2 quando aplicada à maçaneta faz com que a porta gire em torno do eixo fixo abrindo ou fechando Quanto maior a distância de aplicação da força em relação ao eixo fixo maior será o momento por isso quanto maior a distância da maçaneta da porta posição A mais fácil a sua abertura Esse mesmo conceito pode ser aplicado na troca de um pneu de carro quanto maior for a barra da ferramenta menor o esforço para girar o parafuso No exemplo apresentado o efeito da força faz com que o objeto gire em torno de um eixo fixo Porém no curso de Resistência dos Materiais projetamse peças ou estruturas resistentes a esse giro ou seja a aplicação da força não necessariamente trará giro ao corpo 19 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 1 Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras a F 300 N 5 m O Figura 13 Solução M F x d M 300 x 5 M 1500 N m Neste momento é importante determinar o sentido de giro da estrutura Como ela está travada no ponto O a tendência de giro é no sentido horário lembrando que a estrutura não irá fazêlo tratase apenas de sua tendência b 5 m 3 m O F 300 N Figura 14 20 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Resolução M F x d M 300 x 3 M 900 N m sentido horário Linha de ação da força F F 300 N 3 m 5 m O Figura 15 Observe que se unirmos a linha de ação de F com a distância de 5 m não teremos um ângulo de 90º Portanto a distância que gera momento é de 3 m c F 300 N F 200 N 3 m 5 m O Figura 16 21 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Observação Neste exemplo têmse duas forças logo devese considerar o efeito delas sobre o eixo O Este livrotexto sempre irá considerar como positivo o sentido antihorário nada impedindo que se adote o contrário Os resultados encontrados invariavelmente serão os mesmos y x M Figura 17 Resolução M F x d M 300 x 3 200 x 5 M 1900 O sinal negativo mostra o sentido de giro uma vez que foi adotado antihorário como positivo temos que o sentido real de giro é horário Assim será dada uma resposta positiva M 1900 N m sentido horário d F 300 N F 500 N 3 m 25 m 25 m O Figura 18 22 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Resolução M F x d M 300 x 3 500 x 25 M 350 M 350 N m sentido antihorário e 100 kN 40º 4 m 3 m O Figura 19 Resolução Neste exemplo temse uma força com ângulo de 40º Para o cálculo do momento é necessário efetuar a decomposição da força nas direções x e y 100 kN 40º 4 m 3 m O Figura 20 Fx F cos40º 100 0766 766 kN Fy F sen40º 100 0642 642 kN 23 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Podese se observar que a linha de ação da força Fx não forma ângulo de 90º não gerando momento Já a decomposição da força em relação ao eixo y configura um ângulo de 90º e será utilizada para o cálculo do momento M F x d 642 x 3 1926 M 1926 N m sentido horário f F1 250 N 2 m 5 m 30º O 60º 3 m 3687º F2 300 N F3 500 N Figura 21 Resolução Decompondose as forças em relação a x e y utilizando somente aquelas que geram momento temse M F x d M F1cos30º x 2 F2sen60º x 5 F3cos3687º x 5 F3sen3687º M 43304 129903 2000 1200 M 2532 M 2532 N m sentido horário 24 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Saiba mais Para o estudo de Mecânica Geral é importante que o aluno entenda o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais tais como unidades modelos e leis de movimento e equilíbrio A fim de conhecer mais a respeito leia HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 2 EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS Figura 22 Ao olhar a seu redor é possível encontrar uma infinidade de estruturas Elas estão presentes em vários formatos máquinas automóveis aviões edifícios e até mesmo no corpo humano na forma de ossos músculos tendões etc Tratase de sistemas compostos de uma ou mais peças ligadas entre si e ao meio exterior constituindo um conjunto estável O comportamento de uma estrutura independe de sua finalidade e os mesmos conceitos são utilizados nas diversas áreas de conhecimento ou seja idêntica teoria que explica o funcionamento de uma estrutura mecânica aplicase por exemplo àquelas civis navais ou aeronáuticas 21 Classificação das estruturas As estruturas podem ser classificadas em três principais grupos dependendo de sua geometria ou seja em função das dimensões de comprimento espessura e altura São elas Unidimensionais uma dimensão predomina sobre as outras Por exemplo vigas treliças pilares e colunas 25 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 23 Barra unidimensional Bidimensionais duas dimensões predominam sobre a terceira Por exemplo placas lajes e chapas Figura 24 Chapa bidimensional Tridimensionais três dimensões têm a mesma ordem de grandeza Por exemplo barragens e blocos Figura 25 Bloco tridimensional 26 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Observação Há também a classificação quanto ao seu equilíbrio estático sendo isostáticas hipostáticas e hiperestáticas Para as duas primeiras os esforços internos e externos são determinados utilizandose as três equações de equilíbrio estático ΣFx0 ΣFy0 ΣM0 Para as estruturas hiperestáticas somente as três equações de equilíbrio não determinam os esforços Este livrotexto abordará somente problemas isostáticos ou hipostáticos 22 Vínculos ou apoios Para uma estrutura em equilíbrio estático quando a somatória de todas as forças aplicadas a ela é zero devese impedir o deslocamento de pontos da estrutura introduzindo vínculos barreiras Os pontos impedidos de deslocamento reagirão às forças aplicadas à estrutura em sentido contrário O objetivo aqui é determinar o valor dessa força conhecida como reação de apoio No plano um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento deslocamento em duas direções e rotação Dependendo do tipo de apoio ele impedirá tais movimentos 221 Apoio simples ou de primeiro gênero Esse tipo de apoio trava a estrutura em uma única direção portanto temse apenas uma reação Figura 26 Apoio simples Para facilitar a representação utilizamse as seguintes simbologias Figura 27 Representações de apoio simples 27 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Como exemplo de movimento temse o skate podese movimentálo para frente e para trás e girar porém se o skatista ficar parado em cima haverá uma reação no sentido contrário impedindo o deslocamento para baixo 222 Articulação ou apoio de segundo gênero Esse tipo de apoio trava a estrutura em duas direções portanto têmse duas reações de apoio Figura 28 Apoio de segundo gênero e sua representação Como exemplo temse a dobradiça da porta para a qual o único movimento possível é o de rotação Ela impede os movimentos para baixo e para cima assim como para frente e para trás 223 Engate ou apoio de terceiro gênero Esse tipo de apoio trava a estrutura em três direções logo têmse três reações de apoio Nesse tipo de vínculo é necessário calcular o momento Figura 29 Apoio de terceiro gênero e sua representação Como exemplo de movimento temse um poste enterrado no solo todos os movimentos estão impedidos 23 Tipos de carregamento Segundo Philpot 2013 em geral vários tipos de cargas são suportados pelas estruturas Aquelas que atuam em um pequeno comprimento são denominadas cargas concentradas As cargas de pilares colunas ou de outros elementos assim como as forças de reações de apoio são representadas 28 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I tipicamente por cargas concentradas As cargas concentradas também podem representar cargas por roda de veículos ou as forças aplicadas por equipamentos à estrutura As cargas que se estendem ao longo de uma parte da estrutura são denominadas cargas distribuídas Aquelas que possuem módulo constante são denominadas cargas uniformemente distribuídas Exemplos delas incluem o peso da laje de um piso de concreto ou as forças resultantes da ação do vento Em alguns casos a carga pode ser linearmente distribuída o que significa que a carga distribuída como o próprio termo sugere tem seu módulo variando de modo uniforme ao longo do vão de carregamento Pressões de neve de solo e de fluidos são exemplos de considerações que podem criar cargas linearmente distribuídas Uma estrutura também pode estar sujeita aos momentos concentrados que tendem a flexionála e a girála Com frequência eles são criados por outros elementos que se conectam à estrutura principal Carga concentrada Carga uniformemente distribuída Carga linearmente distribuída Momento concentrado carga momento Figura 30 Símbolos usados para vários tipos de cargas 24 Cálculo de reações de apoio Para o cálculo das reações de apoio serão utilizados os conceitos de estática ou seja um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que nele atuam forem nulas Fx 0 Fy 0 M 0 Serão utilizados exemplos para melhor explicar o procedimento do cálculo das reações de apoio 29 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 1 Calcule as reações de apoio da estrutura 100 kN 4 m 4 m B A Figura 31 Resolução A fim de facilitar o desenvolvimento do exercício é possível colocar todas as forças em um diagrama chamado diagrama de corpo livre DCL Ray Rby Rbx 100 kN DCL Figura 32 Lembrando que do lado A temos um vínculo de primeiro gênero e do lado B de segundo gênero Portanto precisamos determinar o valor das reações causadas por tais vínculos Observação Este livrotexto sempre adotará o seguinte sistema de eixos y x M Figura 33 30 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I O procedimento utilizado para resolver esses tipos de exercício será 1 A somatória de forças em x deve ser igual a zero sistema em equilíbrio Fx 0 Como há somente RBx na direção x então Rbx 0 2 A somatória de forças em y deve ser igual a zero sistema em equilíbrio Fy 0 Em y têmse Ray Rby 100 0 Ray Rby 100 Por enquanto não é possível determinar as reações devido às duas incógnitas 3 A somatória de momento em um ponto deve ser igual a zero sistema em equilíbrio Podese escolher qualquer trecho geralmente selecionase aquele onde estão as duas reações de apoio Neste caso o ponto B MB 0 Rayx8 100x4 0 Rayx8 100x4 100x4 Ray 8 Ray 50kN 4 Após a determinação de uma das reações de apoio através da equação de momento voltase à somatória de forças em y para determinar a faltante portanto Ray Rby 100 50 Rby 100 Rby 100 50 31 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Rby 50 kN Ray 50 kN Rby 50 kN Neste exemplo podese perceber que há uma força no centro da estrutura a força se distribuirá igualmente para os dois lados A e B Exemplo 2 Calcule as reações de apoio da estrutura 100 kN 200 kN 3 m 2 m 3 m B A Figura 34 Resolução Ray Rby Rbx 200 kN 100 kN DCL Figura 35 1 Fx 0 Rbx 0 2 Fy 0 Ray Rby 200 100 0 Ray Rby 300 3 MB 0 32 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Rayx8 200x6 100x3 0 Rayx8 200x6 100x3 1500 Ray 8 Ray 1875kN 4 Ray Rby 300 1875 Rby 300 Rby 300 1875 Rby 1125 kN Ray 1875 kN Rby 1125 kN Exemplo 3 Calcule as reações de apoio da estrutura 8 m 2 m 150 kN 35º B A Figura 36 Ray Rby Rax 150 kN DCL Fx Fy Figura 37 Fx Fcos35º 150 x 082 123 kN 33 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Fy Fsen35º 150 x 057 855 kN 1 Fx 0 Rax 123 0 Rax 123 kN 2 Fy 0 Ray Rby 855 0 Ray Rby 855 Lembrete Sempre que se tiver uma força inclinada ela deverá ser decomposta nos eixos x e y para análise de seus efeitos sobre a estrutura 3 Neste exemplo será encolhido o ponto A para somatória de momentos MA 0 Rbyx10 855x8 0 Rbyx10 855x8 684 Rby 10 Rby 684kN 4 Ray Rby 855 Ray 684 855 Ray 855 684 Ray 171 kN Ray 123 kN 34 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Ray 171 kN Rby 684 kN Exemplo 4 Calcule as reações de apoio da estrutura Q 50 kNm 4 m A B Figura 38 A carga está uniformemente distribuída sempre que ela estiver assim deverá ser concentrada Para concentrála devese calcular a área da carga distribuída Note que a carga representa um retângulo em que o valor é a altura A carga concentrada é encontrada multiplicandose o comprimento da carga pelo seu valor Ray Rby Rax 50 x 4 200 kN 2 m 2 m DCL Figura 39 O ponto de aplicação da carga concentrada deve ser no centro geométrico da figura no caso do retângulo na metade do comprimento total da carga distribuída Atenção esse ponto não fica no centro da estrutura mas no centro da carga distribuída Uma vez que a carga foi concentrada o exercício fica semelhante aos anteriores 1 Fx 0 Rax 0 35 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 Fy 0 Ray Rby 200 0 Ray Rby 200 3 MA 0 Rbyx4 200x2 0 Rbyx4 200x2 400 Rby 4 Rby 100kN 4 Ray Rby 200 Ray 100 200 Ray 200 100 Ray 100 kN Rax 0 kN Ray 100 kN Rby 100 kN Exemplo 5 Calcule as reações de apoio da estrutura Q 50 kNm 5 m 6 m A B Figura 40 36 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Ray Rby Rax 50 x 6 300 kN 8 m 3 m DCL Figura 41 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray Rby 300 0 Ray Rby 300 3 MA 0 Rbyx11 300x8 0 Rbyx11 300x8 2400 Rby 11 Rby 21818kN 4 Ray Rby 300 Ray 21818 300 Ray 300 21818 Ray 8182 kN Rax 0 kN Ray 8182 kN Rby 21818 kN 37 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 6 Calcule as reações de apoio da estrutura Q 30 kNm 100 kN 5 m 3 m 05 m 2 m A B Figura 42 Ray Rby Rax 3 x 30 90 kN 100 kN 65 m 2 m 2 m DCL Figura 43 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray Rby 100 90 0 Ray Rby 190 3 MA 0 Rbyx105 90x85 100x2 0 Rbyx105 90x85 100x2 965 Rby 105 Rby 9190kN 38 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 4 Ray Rby 190 Ray 9190 190 Ray 190 9190 Ray 9810 kN Rax 0 kN Ray 9810 kN Rby 9190 kN Exemplo 7 Calcule as reações de apoio da estrutura Q 60 kNm 6 m A B Figura 44 A carga é linearmente distribuída e a figura geométrica é um triângulo Portanto para calcular a carga concentrada devese determinar a área do triângulo em que o valor da carga é a altura do triângulo Ray Rby Rax 4 m 2 m 180 kN DCL 6 3 6 x 60 2 Figura 45 39 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Como a carga tem a forma de triângulo seu ponto de aplicação fica no centro geométrico do triângulo ou seja é o valor da base comprimento da carga dividido por 3 Uma vez que a carga foi concentrada o exercício fica semelhante aos anteriores 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray Rby 180 0 Ray Rby 180 3 MA 0 Rbyx6 180x4 0 Rbyx6 180x4 720 Rby 6 Rby 120kN 4 Ray Rby 180 Ray 120 180 Ray 180 120 Ray 60 kN Rax 0 kN Ray 60 kN Rby 120 kN 40 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Exemplo 8 Calcule as reações de apoio da estrutura 4 m A B 4 m 40 kN m Figura 46 Ray Rby Rax 40 kN m 4 m 4 m DCL Figura 47 Neste exemplo temse um momento concentrado de 40 kNm consequentemente o procedimento adotado para o cálculo das reações de apoio será igual O cuidado que se deve ter é que o momento independe da distância em qualquer ponto em que for calculado na estrutura seu valor será de 40 kNm 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray Rby 0 Apesar de não haver força em y não significa que as reações sejam nulas A soma das duas é que será zero ou seja elas terão sentidos opostos 3 MA 0 Rbyx8 40 0 Rbyx8 40 40 Rby 8 Rby 5 41 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS No início do exemplo considerouse no DCL o sentido de Rby para cima Ao encontrar o valor negativo de Rby não é que as contas estejam erradas mas o sentido de Rby Portanto basta indicar no final do exemplo o sentido correto de B Rby 5 kN 4 Como já se sabe o sentido de Rby adotará o valor negativo para Rby pois aponta o contrário ao eixo considerado positivo de y Ray Rby 0 Ray 5 0 Ray 5 kN Rax 0 kN Ray 5 kN Rby 5 kN Exemplo 9 Calcule as reações de apoio da estrutura 100 kN 4 m Figura 48 Ray Rax 100 kN 4 m DCL Ma Figura 49 42 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Neste exemplo a estrutura está engastada ou seja possui vínculo de terceiro gênero Além de calcular as reações em x e y temse uma terceira reação a ser calculada o momento Ma O sentido de Ma pode ser escolhido aleatoriamente se ao final dos cálculos ficar positivo estará correto caso contrário basta invertêlo Para tanto podese ver que a força de 100 kN tem a tendência de fazer a estrutura girar no sentido horário como Ma é uma reação ela deverá ser contrária Um cuidado a ser tomado é que a estrutura esteja vinculada somente em A não havendo reações em outro ponto 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray 100 0 Ray 100 kN 3 MA 0 100 x 4 Ma 0 Ma 100 x 4 Ma 400 kN m Rax 0 kN Ray 100 kN Ma 400 kN m 43 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 10 Calcule as reações de apoio da estrutura Q 25 kNm 8 m Figura 50 Ray Rax 200 kN 4 m 4 m DCL Ma Figura 51 1 Fx 0 Rax 0 2 Fy 0 Ray 200 0 Ray 200 kN 3 MA 0 200 x 4 Ma 0 Ma 200 x 4 Ma 800 kN m Rax 0 kN Ray 200 kN Ma 800 kN m 44 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Nos exemplos seguintes serão calculadas as reações de apoio às estruturas denominadas pórticos Exemplo 11 Calcule as reações de apoio da estrutura Figura 52 Figura 53 45 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Será adotado o mesmo procedimento dos exemplos anteriores 1 Fx 0 Rax 10 0 Rax 10 kN 2 Fy 0 Ray Rby 20 0 Ray Rby 20 3 MA 0 Rbyx4 20x2 10x3 0 Rbyx4 10 10 Rby 4 Rby 25kN 4 Ray Rby 20 Ray 25 20 Ray 20 25 Ray 175 kN Rax 10 kN Ray 175 kN Rby 25 kN 46 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Exemplo 12 Calcule as reações de apoio da estrutura Figura 54 Figura 55 1 Fx 0 Rax 30 0 Rax 30 47 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Como o valor da reação em x ficou negativa isso indica que o sentido adotado no DCL está errado portanto Rax 30 kN 2 Fy 0 Ray Rby 30 25 20 0 Ray Rby 75 3 MA 0 Rbyx5 20x6 25x3 30x1 30x15 0 Rbyx5 180 180 Rby 5 Rby 36kN 4 Ray Rby 75 Ray 54 75 Ray 75 54 Ray 21 kN Rax 30 kN Ray 21 kN Rby 54 kN Exemplo 13 Uma empilhadeira de 2700 kg é usada para levantar um caixote de 1500 kg Determine a reação em cada uma das duas a rodas dianteiras A e b traseiras B 48 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 04 m 06 m A B G G 03 m Figura 56 Para o exemplo temse o seguinte DCL Figura 57 Cuidado com o valor da força que deve ser transformada em Newton Para simplificação a gravidade será adotada com 10 ms2 Fx 0 Ray Rby 15 28 0 Ray Rby 43 MB 0 49 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 15x13 Rayx09 28x03 0 Rayx09 279 279 Rby 09 Rby 31kN Ray Rby 46 Ray 31 46 Ray 12 kN Como a empilhadeira possui duas rodas dianteiras e duas traseiras as reações são divididas por dois A reação na roda dianteira é de 6 kN com 155 kN na traseira 3 ESFORÇOS SOLICITANTES Anteriormente foi demonstrado o efeito da aplicação de forças externas em um ponto e o que ele gerava em outro local reações de apoio Estudaremos o efeito dessa força internamente na estrutura As forças internas podem gerar forças de tração ou compressão forças normais forças cortantes cisalhantes e momentos internos momento fletor Para o projeto de uma estrutura devese estudar o efeito da força ao longo da estrutura que varia com o seu comprimento Uma das maneiras de estudar o comportamento das forças internas ao longo da estrutura é com a utilização de diagramas de força cortante diagrama de momento fletor e diagrama de força normal Os diagramas expressam os valores de forças cortantes momentos fletores e forças normais como funções de uma posição arbitrária x ao longo da estrutura Com as suas respectivas equações é possível determinar seus valores para qualquer ponto ao longo da estrutura Tais informações são úteis aos engenheiros para estabelecer os pontos de máximo valor das forças e definir onde colocar materiais de reforço A construção de diagramas será abordada através de exemplos de aplicação No início serão apresentados os diagramas de força cortante e momento fletor ao final o diagrama de força normal 31 Força cortante V Esforço cortante é a força perpendicular à peça que é calculada a partir da tensão cisalhante sobre ela O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear no sentido do esforço de uma seção sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da peça É indicado pela letra V 50 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I O exemplo a seguir ilustra como o esforço cortante atua em uma barra qualquer Figura 58 Força cortante 32 Momento fletor M O momento fletor é definido como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da seção tomada como referência em relação a um eixo nela contido no caso o eixo z O momento fletor tende a flexionar a peça como resultado de tensões normais de sinais contrários na mesma seção ou seja tende a fazer a seção girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano comprimindo uma parte e distendendo a outra O momento fletor é indicado pela letra M Figura 59 Momento fletor 33 Convenção de sinais Para a construção dos diagramas de força cortante e momento fletor é importante definir uma convenção de sinais antes de determinar as equações que definirão os esforços internos Este livrotexto seguirá a seguinte convenção de sinais 51 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 60 Convenção de sinais Para melhor entendimento resolveremos os exercícios sempre utilizando a convenção demonstrada na figura à esquerda ou seja um esforço cortante interno positivo de baixo para cima e um momento fletor positivo no sentido antihorário Nada impede que se utilize a convenção mostrada na figura à direita 34 Diagrama de força cortante V e momento fletor M Os exemplos a seguir demonstrarão de forma prática a construção dos diagramas de força cortante V e momento fletor M Saiba mais Para determinar a magnitude e o sentido da força cisalhante e do momento fletor em uma seção arbitrária da peça aplicase o método das seções que consta em UGURAL A C Mecânica dos materiais Rio de Janeiro LTC 2009 Exemplo 1 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para seguinte estrutura 100 kN 4 m A B 4 m Figura 61 52 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Resolução Para facilitar a resolução do exemplo será seguido um roteiro de cálculo 1 Determine as reações de apoio Observação Este é um passo importante pois caso as reações sejam determinadas de forma incorreta todos os cálculos estarão errados Ray Rby Rbx 100 kN DCL Figura 62 Fx 0 Rbx 0 Fy 0 Ray Rby 100 0 Ray Rby 100 MB 0 Rayx8 100 x 4 0 Ray 50 kN Ray Rby 100 50 Rby 100 Rby 50 kN 53 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ray 50 kN Rby 50 kN Rbx 0 2 O próximo passo a ser seguido é fazer cortes na estrutura e introduzir os esforços internos Eles devem ser realizados antes e depois de uma carga concentrada lembrando que as reações de apoio são cargas concentradas O corte é executado em uma posição arbitrária e desconhecida 100 kN 4 m 4 m a A B b a b Figura 63 É necessário iniciar pelo corte aa As equações que serão encontradas estão no intervalo entre 0 x 4 onde 0 representa o início da estrutura Ray 50 kN M V x Figura 64 Para determinar a força cortante V será calculada a somatória de forças em y Fy 0 50 V 0 Portanto V 50 kN 54 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Essa equação será utilizada para a construção do diagrama de força cortante Para determinar o momento fletor M será calculada a somatória de momentos no corte Ma a 0 50 x M 0 Consequentemente M 50 xkN m Uma verificação importante pode ser feita a derivada do momento M é igual a cortante V Caso contrário há algum erro Ao finalizar o corte aa passe ao corte bb Ray 50 kN 100 kN x x 4 4 m b b V M Figura 65 Para esse segundo corte a estrutura deve ser novamente desenhada desconsiderando o corte aa As novas equações que forem encontradas valem no intervalo entre 4 x 8 o intervalo de valores de x deve ser acumulado ou seja onde um intervalo terminar outro deve começar Neste exemplo como temos dois cortes o término será o final da estrutura A distância precisa ser sempre do início da estrutura até o corte e vale x Como já se conhece a distância do início até a carga de 100 kN e o seu comprimento total é x a parte que falta da força até o corte é x4 Procedendo como no corte anterior determinamse as equações de força cortante e momento fletor 55 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Fy 0 50 100 V 0 V 50 kN Mb b 0 50 x 100 x 4 M 0 50 x 100 x 400 M 0 M 50 x 400 Resumindo Tabela 1 Intervalo Cortante V kN Momento fletor M kNm 0 x 4 V 50 M 50 x 4 x 8 V 50 M 50 x 400 3 Construção do diagrama de força cortante e momento fletor Figura 66 Para construção do diagrama de força cortante observase que no intervalo entre 0 x 4 a equação é constante a 50 kN No intervalo em que há cargas concentradas sempre o valor da cortante será constante O mesmo ocorre no intervalo 4 x 8 56 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I A equação para a construção do diagrama de momento fletor é linear ou seja uma reta Para a construção de uma reta são necessários dois pontos O ideal é que sejam usados os pontos de início e fim de intervalo 0 x 4 M 50 x para x 0 M 50 0 0 para x 4 M 50 4 200 Marcando os dois pontos no diagrama e ligandoos com uma reta temse a primeira parte do diagrama 4 x 8 M 50 x 400 para x 4 M 50 4 400 200 para x 8 M 50 8 400 0 Assinalando os dois pontos no diagrama e ligandoos com uma reta temse a segunda parte do diagrama Observação No diagrama de momento fletor o valor de x onde um intervalo termina é igual onde outro começa portanto nesse ponto ambas as equações encontradas devem ter o mesmo valor ou seja substituindo o valor 4 nas equações dos dois intervalos encontrase o valor 200 kNm Esta é uma maneira de conferir se as equações estão corretas o que ocorre somente se não houver momento concentrado na estrutura Tal situação será estudada em exemplos posteriores Em estruturas com apoios de primeiro e segundo gêneros estruturas apoiadas o diagrama de momento fletor sempre será zero nos apoios Em estruturas engastadas o diagrama se inicia ou termina com o valor do momento no engaste 57 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 2 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para a seguinte estrutura 100 kN 150 kN 4 m 3 m 3 m A B Figura 67 Resolução 1º passo reações de apoio Ray Rby Rbx 100 kN 150 kN DCL Figura 68 Os procedimentos para se determinar as reações de apoio já foram apresentados portanto Rbx 0 Ray 130 kN Rby 120 kN 58 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 2º passo fazer os cortes na estrutura 100 kN 150 kN 3 m 3 m 4 m c c b b a A B a Figura 69 Intervalo 0 x 3 Ray 130 kN X a a V M Figura 70 Fy 0 130 V 0 V 130 kN Ma a 0 130 x M 0 M 130 x Intervalo 3 x 6 59 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ray 130 kN 3 m 100 kN x 3 x b b V M Figura 71 Fy 0 130 100 V 0 V 30 kN Mb b 0 130 x 100 x 3 M 0 130 x 100 x 300 M 0 M 30 x 300 Intervalo 6 x 10 Ray 130 kN 3 m 100 kN 150 kN 3 m x 6 x c c V M Figura 72 60 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Fy 0 130 100 150 V 0 V 120 kN Mc c 0 130 x 100 x 3 150 x 6 M 0 130 x 100 x 300 150 x 900 M 0 M 120 x 1200 Resumindo Tabela 2 Intervalo Cortante V kN Momento fletor M kNm 0 x 3 V 130 M 130 x 3 x 6 V 30 M 30 x 300 6 x 10 V 120 M 120 x 1200 3º passo construção do diagrama de força cortante V e momento fletor M Figura 73 0 x 3 M 130 x 61 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS para x 0 M 0 para x 3 M 330 3 x 6 M 30 x 300 para x 3 M 330 para x 6 M 480 6 x 10 M 120 x 1200 para x 6 M 4800 para x 10 M 0 Nos exemplos anteriores foram vistos o diagrama de força cortante e o momento fletor para cargas concentradas Agora serão construídos os diagramas para cargas distribuídas Exemplo 3 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para seguinte estrutura Q 100 kNm 5 m A B Figura 74 Resolução 1º passo reações de apoio 62 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Os procedimentos para determinar as reações de apoio já foram apresentados portanto Rax 0 Ray 250 kN Rby 250 kN 2º passo fazer os cortes na estrutura A principal diferença no corte quando se tem uma carga distribuída é que ele deve ser feito dentro da carga distribuída em uma posição arbitrária e desconhecida x a a A B 5 m Q 100 kNm Figura 75 Como a carga está distribuída no comprimento total da estrutura o intervalo será entre 0 x 5 Q 100 kNm 100 x x2 x2 x a a V M Ray 250 kN Figura 76 Sempre que uma carga estiver distribuída ela deve ser concentrada Como visto multiplicase o comprimento pelo valor da carga sendo seu ponto de aplicação o centro Na parte da estrutura que foi cortada o valor se mantém 100kNm porém o seu comprimento foi reduzido a x Portanto a carga concentrada é 100x e seu ponto de aplicação fica na metade de x Conforme os exemplos anteriores 63 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Fy 0 250 100 x V 0 V 250 100x Ma a 0 2 x 250x 100x M 0 2 M 250x 50x Outra diferença encontrada no diagrama para cargas distribuídas é que a equação da cortante sempre será de primeiro grau reta e o momento fletor uma equação de segundo grau parábola 3º passo construção do diagrama de força cortante V e momento fletor M Figura 77 0 x 5 V 250 100 x para x 0 V 250 para x 5 V 250 Como a equação da cortante é de primeiro grau ligase os dois pontos com uma reta 64 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 0 x 5 M 250 x 50 x2 para x 0 M 0 para x 5 M 0 Como a equação do momento fletor é de segundo grau ligase os dois pontos com uma parábola o sinal do termo quadrático definirá o lado da parábola Um conteúdo importante que deve ser encontrado para cargas distribuídas é o ponto máximo ou mínimo da parábola Quando a cortante passar pelo eixo zero ou seja VO temse um ponto de máximo ou mínimo da parábola então V 250 100x 0 250 100x 250 x 100 x 25m Aplicando o valor de x encontrado na equação do momento fletor temse o valor de momento máximo M 250 x 50 x2 M 250 25 50 252 M 3125 kN m 65 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 4 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para seguinte estrutura 2 m 2 m 2 m 2 m B B 50 kN 150 kNm Figura 78 Resolução 1º passo reações de apoio Rbx 0 Ray 150 kN Rby 200 kN 2º passo fazer os cortes na estrutura 50 kN 150 kNm d c b a d c b a 2 m 2 m 2 m 2 m B A Figura 79 Intervalo 0 x 2 66 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Ray 150 kN x M V a a Figura 80 Fy 0 150 V 0 V 150 kN Ma a 0 150 x M 0 M 150 x Intervalo 2 x 4 Ray 150 kN x M 2 m 2 m x 2 50 kN V b b Figura 81 Fy 0 150 50 V 0 V 100 kN Mb b 0 67 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 150 x 50 x 2 M 0 150 x 50 x 100 M 0 M 100 x 100 Intervalo 4 x 6 Ray 150 kN x M 2 m 2 m x 4 50 kN 150 x 4 V c c Figura 82 Fy 0 150 50 150 x 4 V 0 150 50 150 x 600 V 0 V 150 x 700 Mc c 0 2 2 2 2 x 4 150x 50x 2 150 x 4 M 0 2 150x 50x 100 75 x 8x 16 M 0 150x 50x 100 75x 600x 1200 M 0 700x 75x 1100 M 0 M 75x 700x 1100 68 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Intervalo 6 x 8 50 kN 2 m 2 m 2 m x 6 x M V d d 300 kN 150 kNm Ray 150 kN Figura 83 Fy 0 150 50 300 V 0 V 200 kN Md d 0 150 x 50 x 2 300 x 5 M 0 150 x 50 x 100 300 x 1500 M 0 M 200 x 1600 Resumindo Tabela 3 Intervalo Cortante V kN Momento fletor M kNm 0 x 2 V 150 M 150 x 2 x 4 V 100 M 100 x 100 4 x 6 V 150 x 700 M 75 x2 700 x 1100 6 x 8 V 200 M 200 x 1600 69 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3º passo construção do diagrama de força cortante V e momento fletor M Aplicando as equações como nos exemplos anteriores temse Figura 84 Observação Na região onde a carga é distribuída é preciso determinar o momento máximo que ocorre onde a cortante é zero V 150 x 700 0 150 x 700 x 467 M 75 x2 700 x 1100 M 75 4672 700 467 1100 M 5333 kN m 70 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Exemplo 5 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para a seguinte estrutura 100 kN 4 m Figura 85 Resolução 1º passo reações de apoio Ray Rax 100 kN 4 m DCL Ma Figura 86 Como visto estruturas engastadas geram reação de momento no engaste portanto Rax 0 Ray 100 kN Ma 400 kN m 71 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2º passo fazer os cortes na estrutura Ma 400 kN m Ray 100 kN x a a V M Figura 87 Intervalo 0 x 4 Fy 0 100 V 0 V 100 kN Ma a 0 100 x 400 M 0 M 100 x 400 3º passo construção do diagrama de força cortante V e momento fletor M Figura 88 0 x 4 M 100 x 400 72 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I para x 0 M 400 para x 4 M 0 Exemplo 6 Construa o diagrama de força cortante V e momento fletor M para seguinte estrutura M 80 kN m Q 50 kN m 2 m 1 m 1 m Figura 89 1º passo reações de apoio Rax 0 Ray 100 kN Ma 220 kN m 2º passo fazer os cortes na estrutura M 80 kN m Q 50 kN m c c b b a a 1 m 1 m 2 m Figura 90 73 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Intervalo 0 x 1 Ma 220 kN m Ray 100 kN x a a V M Figura 91 Fy 0 100 V 0 V 100 kN Ma a 0 100 x 220 M 0 M 100 x 220 Intervalo 1 x 2 Ma 220 kN m 1 m x 1 M V b b x Ma 80 kN m Ray 100 kN Figura 92 Fy 0 100 V 0 V 100 kN Mb b 0 74 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 100 x 220 80 M 0 M 100 x 300 Intervalo 2 x 4 Ma 220 kN m 1 m 1 m x 2 50 x 2 M c c V x Mx 80 kN m Ray 100 kN Figura 93 Fy 0 100 50 x 2 V 0 100 50 x 100 V 0 V 200 50 x Mc c 0 2 2 2 x 2 100x 220 80 50 x 2 M 0 2 100x 220 80 25 x 4x 4 M 0 100x 220 80 25x 100x 100 M 0 M 25x 200x 400 Resumindo Tabela 4 Intervalo Cortante V kN Momento fletor M kNm 0 x 1 V 100 M 100 x 220 1 x 2 V 100 M 100 x 300 2 x 4 V 200 50 x M 25 x2 200 x 400 75 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3º passo construção do diagrama de força cortante V e momento fletor M Figura 94 No diagrama de momento fletor observase um degrau para o comprimento x 2 m Essa diferença é ocasionada pelo momento concentrado de 70 kNm 35 Diagrama de força normal N O diagrama de força normal apresenta o efeito da força que age no sentido de compressão ou tração na peça ou estrutura ou seja na direção perpendicular à área da seção transversal O efeito provocado pela força normal é de alongamento ou encurtamento da estrutura mantendo sua seção transversal paralela e plana Figura 95 Efeitos da força normal A convenção de sinais adotada considera a força normal como positiva se seu efeito for de tração e negativa se ele for de compressão Adotaremos a força normal positiva saindo do corte 76 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Figura 96 Sinais no corte Exemplo 1 Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura 25 kN 5 m Figura 97 1º passo reações de apoio Ray Rax 25 kN DCL Ma Figura 98 Fx 0 Rax 25 0 Rax 25 kN Fy 0 Ray 0 FMa 0 77 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ma 0 Rax 25 kN Ray 0 Ma 0 2º passo fazer os cortes na estrutura Figura 99 Fx 0 25 N 0 N 25 kN 3º passo construção do diagrama de força normal Figura 100 Podese observar que a força normal de compressão de 25 kN age em todo o comprimento da estrutura Exemplo 2 Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura 78 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Placas de suporte 60 kN 80 kN d c b a 120 kN Figura 101 1º passo reações de apoio Ray 100 kN 2º passo fazer os cortes na estrutura Placas de suporte 60 kN 80 kN d c b a 120 kN Figura 102 79 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Analisando de baixo para cima N Ray 100 kN Figura 103 Fy 0 100 N 0 N 100 kN 120 kN N Ray 100 kN Figura 104 Fy 0 100 120 N 0 N 20 kN 80 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 80 kN c b a 120 kN N Ray 100 kN Figura 105 100 120 80 N 0 N 60 kN 3º passo construção do diagrama de força normal Figura 106 81 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Exemplo 3 Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura Figura 107 Resolução 1º passo reações de apoio Ray 533 kN Rbx 120 kN Rby 733 kN 2º passo fazer os cortes na estrutura Ela será dividida em três partes e analisada do ponto A ao ponto B 82 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Figura 108 Na barra 1 somente a reação de apoio de 533 kN causa compressão Então nessa região o diagrama fica Figura 109 83 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS As forças de 533 kN e 120 kN são transferidas para a barra 2 Nela a energia que causa força normal é 120 kN que foi transportada da barra 1 As forças agora devem ser transferidas para barra 3 Em x teremos 120 kN que não causa força normal na barra 3 Em y temos a somatória delas 5336070 733 Figura 110 Nessa região o diagrama fica Figura 111 84 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Exemplo 4 Determine o diagrama de força normal para a seguinte estrutura Figura 112 Resolução 1º passo reações de apoio Ray 1671 kN Rbx 210 kN Rby 679 kN 2º passo fazer os cortes na estrutura As cargas distribuídas devem ser concentradas será adotado o mesmo procedimento do exemplo anterior A estrutura será dividida em quatro partes e analisada do ponto A ao ponto B 85 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 113 Analisando da mesma maneira o exemplo anterior temse o diagrama de força cortante Figura 114 Estudamos os três principais efeitos de uma força aplicada a uma peça ou estrutura construindo o seu diagrama A seguir inseriremos o material e a geometria da peça da qual é feita podendo assim projetála Ao se aplicar uma força na peça ou estrutura aparecerão tensões que podem ser normais diagrama de força normal cisalhantes diagrama de força cortante e de flexão diagrama de momento fletor Por isso existe a importância de se conhecer os diagramas aqui apresentados 86 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 4 TENSÃO E DEFORMAÇÃO Anteriormente analisouse o efeito da aplicação de forças sobre uma peça ou estrutura considerando a estática das leis de Newton Apenas com conhecimento dos efeitos da aplicação dessas leis o engenheiro não será capaz de projetar uma peça para que ela funcione sem apresentar falha Um projeto de engenharia deve levar em consideração a relação entre as forças aplicadas a uma peça a geometria e o material a ser utilizado A realização de um projeto que atenda aos quesitos de segurança e à funcionalidade como de carros aviões pontes edifícios e equipamentos deve levar em consideração sua resistência rigidez e estabilidade É necessário o conhecimento das forças internas e deformações que agem no interior do corpo como um entendimento das características mecânicas do material usado para fazer a peça ou estrutura 41 Tensão Tensão é o resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção analisada na estrutura submetida a solicitações mecânicas Força Tensão Área A tensão pode ser de dois tipos cisalhante e normal Tensão cisalhante Tensão normal Figura 115 Tensões agindo em uma peça Tensão cisalhante τ é provocada por torção e cisalhamento além de atuar na direção tangencial à área da seção transversal Tensão normal Σ é ocasionada por tração compressão e flexão que ocorrem na direção normal perpendicular à área da seção transversal 87 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Matematicamente quando uma força normal F que atua na peça origina nela uma tensão normal Σ sigma que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada F e a área da seção transversal da peça A temos Equação F A σ Figura 116 Tensão normal A unidade de medida no SI é F Newton N A metros quadrados m2 Σ Nm2 Pa Na prática o pascal tornase uma medida pequena para tensão então se usa múltiplos desta unidade MPa GPa Exemplo 1 Uma barra de seção circular com 70 mm de diâmetro é tracionada por uma carga 100 kN Determine a tensão normal atuante na barra 88 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I 100 kN Figura 117 3 2 2 2 F 10010 N d 80mm 008m d 008 A 0005m 4 4 π π 3 6 2 F 10010 N 2010 20MPa A 0005 m σ 42 Deformação Quando uma força é aplicada a um corpo tende a mudar a forma e o tamanho dele Tais alterações são denominadas deformação ε Matematicamente se expressa a deformação como a relação entre a variação do comprimento da peça L e comprimento inicial da peça Lo Equação L L Lo Lo Lo ε Figura 118 Deformação 89 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A deformação é adimensional porém algumas literaturas apresentam a unidade como comprimento comprimento por exemplo mmmm Exemplo 1 Uma carga de 25 kN é aplicada a um fio metálico com 500 mm de comprimento e diâmetro de 10 mm provocando um alongamento de 020 mm Determine a deformação deste fio Figura 119 Resolução Dados L0 500 mm L 020 mm Note que o alongamento é a variação de comprimento do fio não a deformação Uma maneira de diferenciar as informações é por meio da unidade lembrese que a deformação é adimensional L 020 00004 Lo 500 ε Como visto a aplicação de força em um corpo provoca nele tensão e deformação Podese então relacionar a tensão e a deformação através de um gráfico conhecido como diagrama tensão x deformação 43 Diagrama tensão x deformação Para projetar adequadamente um componente estrutural ou mecânico o engenheiro deve entender e trabalhar respeitando as características e as limitações do material usado no objeto Materiais como aço alumínio plástico e madeira respondem de maneira diferente a cargas e tensões aplicadas A fim de determinar a resistência e as características dos elementos são exigidos ensaios laboratoriais De 90 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I acordo com Philpot 2013 um dos mais simples e eficientes modos para se obter informações úteis aos projetos de engenharia sobre um material é denominado ensaio de tração Ele consiste em aplicar uma força variável em um corpo de prova cujas dimensões são padronizadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT Em se tratando de chapas pode ser cilíndrico ou chato Figura 120 Corpos de prova para ensaio de tração O corpo de prova é colocado em uma máquina de tração que vai aumentando o valor da carga aplicada ao corpo de prova até seu rompimento Garra superior Garra inferior Comprimento útil F F A Lo Bordas de lâmina Extensômetro Figura 121 Esquematização de um ensaio de tração Atualmente as máquinas de tração são equipadas com sensores e conectadas a computadores No início do ensaio de tração o operador insere os dados de comprimento inicial Lo e a área do corpo de prova A Os sensores extensômetros medem a variação do comprimento inicial enquanto as células de carga mensuram a variação da força Esses dados são enviados ao computador que calcula a tensão 91 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS forçaárea e a deformação variação do comprimentocomprimento inicial a partir daí criase o diagrama tensão x deformação Figura 122 Principais pontos do diagrama tensão x deformação No diagrama tensão x deformação podese observar alguns pontos importantes Tensão de proporcionalidade representa o valor máximo da tensão abaixo deste o material retorna ao estado inicial Tensão limite de resistência corresponde à máxima tensão atingida no ensaio de tração Tensão de ruptura equivale à ruptura do corpo de prova Deformação elástica referese ao trecho da curva tensão x deformação compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade Deformação plástica tratase do espaço constante entre o limite de proporcionalidade e a ruptura do material 92 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Saiba mais O ensaio de tração segue normas técnicas determinadas pela ABNT especificamente a contida em ISO 6892 que estipula o método de ensaio de tração de materiais metálicos e define as propriedades mecânicas que podem ser determinadas à temperatura ambiente Para mais informações leia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR ISO 6892 Materiais metálicos Ensaio de Tração Parte 1 Método de ensaio à temperatura ambiente Rio de Janeiro 2013 Os materiais durante o ensaio de tração podem ser frágeis e dúcteis devido às suas propriedades e diagramas tensão x deformação semelhante Materiais frágeis apresentam pouca ou nenhuma deformação na região plástica por exemplo concreto vidro giz ferro fundido cerâmica Eles demonstram grande limite de resistência principalmente quando submetidos à compressão Suas grandes desvantagens são não absorverem impacto por possuírem baixa ductilidade e o acontecimento de fraturas repentinas Material dúctil têm grandes deformações plásticas antes da ruptura por exemplo latão alumínio e aço Apesar de sua resistência ser menor que a dos materiais frágeis sua capacidade de deformação o torna mais maleável fazendo com que a sua ruptura não seja tão brusca Tensão Frágil Dúctil Deformação Figura 123 Diagrama tensão x deformação Materiais dúcteis e frágeis 44 Lei de Hooke A disciplina Resistência dos Materiais abrange a parte inicial do diagrama tensão x deformação ou seja a peça ou estrutura projetada não deve ultrapassar o limite de escoamento do material Para efeito de projeto se a peça iniciar o escoamento plástico por segurança ela deve ser retirada de uso 93 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Na região inicial do diagrama a relação entre tensão e deformação é linear sendo a tensão diretamente proporcional à deformação Temse pela equação Σ E ε E representa o módulo de elasticidade do material ou módulo de Yong O módulo de elasticidade é uma propriedade do material cuja característica vem da força de atração entre os átomos A tabela a seguir apresenta o módulo de elasticidade de alguns materiais selecionados Observação A lei de Hooke somente pode ser usada na região elástica ou seja antes do limite de escoamento do material Tabela 5 Propriedade dos materiais Materiais Limite escoamento MPa Módulo de elasticidade GPa Aço estrutural ASTMA36 247 200 Alumínio Liga 2014T4 290 73 Latão C23000 124 115 Bronze C76100 331 105 Titânio 6Al4V 727 114 Exemplo 1 Uma carga de 250 kN é aplicada a uma barra com 70 cm de comprimento e diâmetro de 10 cm provocando um alongamento de 020 mm Determine o módulo de elasticidade do material Figura 124 94 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Resolução Dados 3 2 2 2 F 25010 N Lo 80cm 800mm L 020mm d 10cm 01m d 01 A 00078m 4 4 π π Utilizando as equações apresentadas neste capítulo F A σ L L Lo Lo Lo ε Σ E ε Para o cálculo do módulo de elasticidade será utilizada a lei de Hooke portanto devese determinar a tensão e a deformação da barra 3 6 2 F 25010 N 320510 3205MPa A 00078 m σ L 020 000025 Lo 800 ε 6 9 320510 E E 12810 Pa 128GPA 00025 σ ε σ ε Exemplo 2 Uma barra de alumínio possui seção transversal retangular com 45 cm de base e 170 cm de altura seu comprimento é de 2 m A carga axial aplicada nela é de 900 kN Determine seu alongamento EAl 70 GPa 95 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Figura 125 Resolução F 900 kN 900 103N LO 2 m A b h 045 18 081 m2 E 70 GPa 70 109Pa Utilizando a lei de Hooke temse Σ E ε Substituindo as equações de tensão e deformação F L E A Lo isolando o alongamento L temse 3 5 9 FLo 90010 L 158710 m 00158mm EA 7010 081 96 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Exemplo 3 Determine o deslocamento da barra de aço A submetida às forças dadas Eaço 220 GPa Figura 126 Resolução Diagrama de força normal Figura 127 O deslocamento será calculado para três regiões e o deslocamento total será a soma A1 A2 600 mm2 6 103m2 A3 200 mm2 2 103m2 Lo1 Lo2 400 mm 04 mm Lo3 500 mm 05 m FLo L EA 3 1 6 3 FLo 33010 04 L 0100m EA 22010 610 97 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3 2 6 3 FLo 7010 04 L 0021m EA 22010 610 3 3 6 3 FLo 18010 05 L 0204m EA 22010 210 Ltotal L1 L2 L3 0100 0021 0204 Ltotal 0283 m 283 mm 45 Tensão admissível No projeto de uma peça ou estrutura o engenheiro deve garantir que a carga limite do material não seja atingida ou seja tal objeto deverá suportar em condições normais de utilização um carregamento menor que esse limite O carregamento menor é chamado de admissível de projeto ou trabalho Ao se utilizar a carga admissível somente uma parte da capacidade do material está sendo utilizada a outra é reservada para garantir ao produto condições seguras de utilização Σesc Σadm Deformação Trabalho Segurança Tensão Figura 128 Tensão admissível Para materiais dúcteis a tensão admissível é determinada pela relação entre a tensão de escoamento do material Σe e o coeficiente de segurança CS Em materiais frágeis utilizase a tensão de ruptura ao invés da tensão de escoamento e adm Material ductil CS σ σ 98 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I r adm Material frágil CS σ σ A escolha do coeficiente de segurança adequado para diferentes aplicações requer uma análise cuidadosa Sua determinação é feita com base nas normas de cálculo muitas vezes pelo próprio projetista baseado em experiências e de acordo com seu critério Os principais fatores que devem ser levados em consideração são material a ser utilizado tipos de carregamento ambiente de utilização grau de importância da estrutura projetada Este último item deve ser sempre classificado como essencial para o aumento na segurança Quanto maior o risco à vida humana maior deve ser o conhecimento da peça ou estrutura projetada Exemplo 1 A barra circular mostrada tem seções de aço latão e alumínio São aplicadas cargas axiais nas partes transversais A B C e D Se as tensões normais são 250 MPa no aço 100 MPa no latão e 170 MPa no alumínio determine os diâmetros para cada uma das seções Considere o fator de segurança CS igual a 2 para aplicação Figura 129 Resolução Diagrama de força normal Figura 130 99 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Alumínio 6 adm 17010 85MPa 2 σ Latão 6 adm 10010 50MPa 2 σ Aço 6 adm 25010 125MPa 2 σ 2 adm adm adm adm F F d F 4F A d A 4 π σ σ σ π σ 3 alum alum 6 437010 d d 00744m 744mm 8510 π 3 lat lat 6 413010 d d 00573m 573 mm 5010 π 3 aço aço 6 428010 d d 00534m 534mm 12510 π Exemplo 2 Determine o diâmetro dos cabos para sustentar um motor de massa de 300 kg sabendo que ele é feito de aço com tensão de escoamento de 220 MPa Considere o fator de segurança de 30 para aplicação 100 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Figura 131 Resolução Figura 132 Fy 0 Fsen45º Fsen45º 3000 0 2Fsen45º 3000 3000 F 212132N 2sen45º 6 adm 22010 7333MPa 30 σ 101 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 5 2 6 adm F F 212132 A A 289210 m A 733310 σ σ 2 5 d 22892 A d 2 π π d 429 103 m 429 mm Exemplo 3 Determine as áreas mínimas das seções transversais das barras 1 2 e 3 da estrutura As barras são de alumínio Liga 2014T4 Σe 290 MPa e o coeficiente de segurança indicado para esta estrutura é 20 Figura 133 Resolução Força axial na barra 3 Figura 134 ME 0 102 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I RF3 x 7 640 x 4 0 RF3 3657 kN RF3 é a reação na barra 3 portanto a força na barra 3 é F3 3657 kN Força axial nas barras 1 e 2 Figura 135 Como as cargas estão aplicadas de forma simétrica temse 240 3657 RF1 RF2 3028kN 2 Então a força nas barras 1 e 2 é F1 F2 3028 kN Cálculo das áreas 6 adm 29010 145MPa 2 σ F F A σ A σ 103 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Barras 1 e 2 3 3 2 1 2 6 302810 A A 20810 m 14510 A1 A2 208 cm2 Barra 3 3 3 2 3 6 365710 A 25210 m 14510 A3 252 cm2 Resumo Nesta unidade foi apresentada uma revisão dos conceitos de força e momento Foi feito o estudo do equilíbrio de estruturas utilizando as três equações de equilíbrio estático somatória de forças em x y e momento Esses conceitos foram aplicados na construção dos diagramas de força cortante momento fletor e de força normal Tais diagramas serão importantes para os estudos futuros Por fim demonstrouse os conceitos de tensão e deformação inserindo a geometria e as propriedades dos materiais iniciando o dimensionamento de peças e estruturas sujeitas a cargas que geram tensões normais de tração e compressão Exercícios Questão 1 Enade 2011 adaptada Na figura a seguir temse a representação de uma viga submetida a um carregamento distribuído W e a um momento externo m A partir dessa representação é possível determinar os diagramas do esforço cortante e do momento fletor W m O Figura 136 104 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Assinale a opção que representa o diagrama do esforço cortante e momento fletor respectivamente A B C D E Figura 137 Resposta correta alternativa E Análise das alternativas Para responder esta questão é necessário saber que no trecho onde se tem uma força distribuída de intensidade constante o gráfico da força cortante é uma reta inclinada e o do momento fletor uma parábola Nos demais o gráfico da cortante é uma constante e o do momento fletor uma reta Essencial ainda se faz saber que na seção onde está aplicado o momento M ocorrerá uma descontinuidade no gráfico do momento Nessa seção o gráfico da força cortante não sofre nenhuma alteração A Alternativa incorreta Justificativa embora o gráfico da cortante pareça correto o do momento não apresenta a descontinuidade na seção de aplicação de M e não possui a forma de parábola no trecho onde está aplicada a força distribuída 105 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS B Alternativa incorreta Justificativa embora o gráfico da cortante pareça correto o do momento não apresenta a forma de parábola no trecho onde está aplicada a força distribuída Além disso nos trechos onde a cortante é constante o gráfico do momento deve ser de linhas inclinadas e não de trechos constantes C Alternativa incorreta Justificativa embora o gráfico da cortante pareça correto entretanto a partir da seção onde está aplicado o momento M esse gráfico mostra uma força cortante constante e igual a zero Além disso existe um trecho no diagrama de parábola no diagrama de momentos onde não existe força distribuída aplicada na barra D Alternativa incorreta Justificativa o gráfico da cortante não apresenta a forma de reta inclinada no trecho onde está aplicada a força distribuída O gráfico do momento não apresenta a forma de parábola no trecho onde está aplicada a carga distribuída e não apresenta a descontinuidade na seção onde está o momento M E Alternativa correta Justificativa o gráfico da cortante parece estar correto pois apresenta o trecho em forma de reta inclinada onde é aplicada a carga distribuída é constante no restante da barra e não sofre alteração pela presença de M O gráfico do momento apresenta a descontinuidade na seção de aplicação de M é representado por retas inclinadas no trecho onde a cortante é constante e apresenta a forma de parábola no trecho onde está aplicada a força distribuída Questão 2 Enade 2014 adaptada Um vaso de pressurização de uma linha hidráulica para pressão de 4 Nmm2 conforme ilustra a figura tem seu bocal de inspeção com diâmetro interno de 200 mm fixada por oito parafusos de cabeça sextavada M10 x 40 com porca Considere que tanto a tampa quanto o espelho de fixação são confeccionados em aço e que a espessura total da junta espelho tampa é de 28 mm Sabese que o parafuso é feito de um material cujo limite de escoamento é 540 Mpa Figura 138 106 Revisão Kleber Diagramação Jefferson 280917 Unidade I Na situação descrita qual o coeficiente de segurança dos parafusos A 200 B 135 C 540 D 270 E 100 Resolução desta questão na plataforma