Digitalização de Controladores Contínuos

Digitalização de Controladores Contínuos Introdução Nessa metodologia de projeto projetase um controlador contínuo e convertese para um controlador discreto utilizando uma transformação de s para z Em geral obtêmse bons controladores se a frequência de amostragem é maior do que 30 vezes a largura de banda do sistema Se a frequência de amostragem é menor do que 6 vezes a largura de banda do sistema o controlador precisa tipicamente ser melhorado Muitas vezes fazse um projeto contínuo mesmo que se vá fazer um projeto totalmente digital para servir de comparação Projeto Contínuo Considere um sistema de controle da elevação de uma antena para rastrear um satélite com momento de inércia J e coeficiente de atrito viscoso B tal que JB 10 mostrado na Fig 1 Desejase obter um overshoot 16 erro à rampa de 001 rds 001 rd e tempo de acomodação a 1 10s Figura 1 Sistema de controle da elevação de uma antena τ Jθ Bθ Ts Js²θs Bsθs θs 1 Ts 1 B J² Bs s 1 B 1 Us Ts B Θs 1 Us s10s 1 Θs 0 1 Us ss 0 1 Overshoot 16 ξ ln Mδ n 1 ln Mδ π² ξ ln 016 1 ln Mδ π² ξ 0 5 ângulo das assíntotas 1802k 1 n m 1802k 1 2 0 902k 1 E a intersecção das assíntotas ocorre em σa p₁ p₂ pₙ z₁ z₂ zₘ 0 01 n m 2 0 005 Os pontos de partida e chegada em relação ao eixo real são dados por dK ds 0 K s² 01s 01 dK ds 2s 01 01 dK ds 0 s 01 s 005 Os ângulos de partida e chegada dos polos e zeros complexos seriam dados por ângulo de partida 180 ângulos dos polos ângulos dos zeros No entanto nesse caso não se tem polos ou zeros complexos A Fig 4 mostra o lugar das raízes para o sistema sem qualquer compensador Percebese que apenas ajustando o ganho K não será possível posicionar os polos no lugar desejado Notase que a posição dos polos pode ser livremente escolhida desde que ξwn 005 que é o centro dos dois polos Se o polo de malha aberta que está em s 01 estivesse em s 1 os polos poderiam ser livremente alocados sobre o eixo s 05 Como se pode a princípio escolher livremente o controlador se pode fazer Cs 10 Ks 01 s 1 ts 10s te 46 ξωn 1 rds ωa ωn1 ξ² 0866 rds σ ξωn 05 rds A Fig 2 mostra os polos desejados A Fig 3 mostra um diagrama de blocos do sistema supondo que as especificações podem ser obtidas utilizandose apenas um ganho K Rs Es Ys K Ys 01 ss 01 Figura 3 Diagrama de blocos com ganho K A equação característica do sistema é dada por 1 K 01 ss 01 0 s² 01s 01K 0 que possui duas raízes portanto o lugar das raízes possui dois ramos Os ângulos das assintotas do lugar das raízes é dado por Figura 4 Lugar das raízes para o sistema não compensado de forma a terse o diagrama de lugar das raízes mostrado na Fig 5 E o ganho K pode ser ajustado para posicionar os polos no lugar desejado K distância dos polos distância dos zeros K 0866² 05² 0866² 05² K 1 e portanto Cs 10s 01 10s 1 s 1 s 1 O sistema em malha fechada é mostrado na Fig 6 O coeficiente de erro estático de velocidade é dado por Kv lim s0 CsGs lim s0 110s 1 ss 110s 1 Kv 1 e o erro à rampa unitária é dado por esv 1 Kv 1 Assim o erro à rampa de 001 rads é de 001 rad Portanto o projeto contínuo atende às especificações Figura 5 Lugar das raízes para o sistema compensado Nunca se deve cancelar polos ou zero no semiplano direito O que acontece se o cancelamento de polos e zeros não for perfeito ou seja se Cs 10Ks011 s 1 Digitalização do Controlador Para obtenção do controlador discreto será utilizado mapeamento de polos e zeros Para tanto precisase escolher o período de amostragem Temse ωn 1rads fn 016Hz Tn 628s Nesse caso como em malha fechada temse dois polos complexos que possuem o mesmo valor de ωn a largura de banda do sistema é aproximadamente Rs Es Ys Ys Figura 6 Diagrama de blocos com compensador igual a fn Assum a frequência de amostragem é fs 40fn 48Hz fe 5Hz Tf 0 2s Assim os polos e zeros de Cs são mapeados para o plano z por s1 01 z1 e01Ts e01x02 e002 09802 s2 1 z2 e1Ts e1x02 e02 08187 de modo que Cz Kz 09802 z 08187 com o valor de K determinado por limz 1 Cz lims 0 Cs limz 09802 Kz 09802 lims 0 10s 1 lims 0 s 1 1 1 K1 09802 1 08187 1 K 1 08187 K 1 09802 K 9 16 Logo Cz 916z 09802 z 08187 Uz Ez de onde pode obterse a equação a diferenças Uz1 08187z1 916Ez1 09802z1 uk 08187uk 1 916ek 09802ek 1 uk 08187uk 1 89786ek 1 916ek uk pode ser calculado enquanto aspirase ao próximo instante de amostragem Assim o loop de controle consiste em 1 ler o AD yk 2 calcular ek rk yk 3 calcular uk uk 916ek 4 escrever no DA uk 5 atualizar uk 6 esperar o próximo instante de amostragem Idealmente o tempo entre os passos 1 e 4 deveria ser zero Se esse tempo não puder ser desprezado devese incluir o atraso no modelo Note que no passo 6 esperar o próximo instante de amostragem é diferente de executar um delay de Ts segundos justamente devido ao tempo de processamento exigido nos passos anteriores Gz z 1 z 1 01 ss 01 Gz z 1 z A B s C s 01 A lim s01 s2 01 1 lim s0 g2s 01 B lim s0 dds s2 g2s 01 lim s0 01 lim s0 dds s 01 01 01 01 01 01 10 Gz z 1 z KTz 10 10e01Kz z 1 z Tz 10z 1z 1 z z e01T Tz 1 10 10z 1 lim s0 01 T Tz e01T 10z 1z e01T 10z 12 z 1z e01T 0001987z 0001974 z 1z 09802 Gz 0001987 09934 z 1z 09802 Raízes no plano z são obtidas resolvendose a equação característica 1 CzGz 0 916z 09802 1 0001987 z 09934 0 z 08187z 1z 09802 z 09003 j01623 z esT s 1 T ln z s 04452 j08918 A Fig 7 mostra dos polos resultantes ωn 08918² 04452² 09967 ωnξ σ 09968 04452 ξ 04471 desejavase ξ 05 ts 46 ξωn 46 1033s desejavase 10s overshoot e1ξ² 208 desejavase 16 Se por outro lado tivesse sido escolhido Tr 1s Tn6 Cs 10⁸s 01 s 1 s1 01 z1 es1T e01 09048 s2 1 z2 es2T e1 03679 O ganho seria K1 09048 1 1 03679 1 K 1 03679 K 1 09048 K 664 Logo Cz 664z 09048 z 03679 Gz T 10e01T 10 z Te01 10e01T 10 004842 00468 00484 z 09672 Gz 00484 z 09048 Raízes no plano z são obtidas resolvendose a equação característica 1 CzGz 0 1 664z 09048 03679 00484z 09048 0 z 05388 j05987 z esT s 1 T ln z s 02164 j0838 ωn 021642 0838² 08655 ωnξ σ ξ 02164 08655 025 desejavase ξ 05 ts 46 46 2126s desejavase 10s overshoot e1ξ² 44 desejavase 16 Obviamente o desempenho do sistema foi degradado A explicação para essa degradação é que embora Cz gere os mesmos valores aproximadamente que Cs a reconstrução de ut pelo segurador de ordem zero é apenas uma aproximação para ut contínuo assumindo no projeto de Cs A aproximação através de um segurador de ordem zero gera uma versão de ut atrasada de Tr Esse atraso de fase pode comprometer a estabilidade do sistema Uma alternativa seria considerar o atraso no projeto de Cs fazendo com que um avanço de fase fosse incluído em Cs Assim a discretização atrasaria o resultado para o valor desejado É importante notar que os cálculos devem ser feitos com um bom número de algarismos significativos para que a perda de precisão não afete os resultados