Condução de Calor Unidimensional em Regime Estacionário

1 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO CONDUÇÃO DE CALOR SEM GERAÇÃO DE ENERGIA Parede Plana x0 xL fluido quente Too 1h1 fluido frio Too2h2 Too 1 Ts1 Ts2 Considerações 1 condução unidimensional 2 regime permanente 3 sem geração interna de calor q z z k T y y k T x x k T t T cp ρ x x k T 0 Para k constante 0 dx T d dx k d T 0 2 2 2 2 Integrando 2 1 C C x Tx 02 01 03 2 Aplicação das condições de contorno s1 2 2 1 s1 s1 T C C 0 C T T T 0 L T T C T L C T T T L s1 s2 1 s1 1 s2 2 s s1 s1 s2 T x L T T T x variação linear de temperatura s2 s1 x T L T kA dx kA dT q independe de x Resistência Térmica Resistência potencial ou força motriz taxa de transferência Condução de calor kA L q T T R x s2 s1 t cond Condução elétrica A L I E E Rel s2 1 s σ Lei de Ohm Convecção de calor hA 1 q T T R x s t conv 3 x0 xL Too 1h1 Ts1 Ts2 Too 2h2 1 h1A 1 h2A L kA h A 1 T T kA L T T h A 1 T T q 2 2 s2 s2 1 s 1 s1 1 x h A 1 kA L h A 1 R R T T q 2 1 t t 2 1 x Parede Composta Too 1h1 Ts1 Too 4h4 1 h1A 1 h4A T2 T3 Ts4 Too1 Too4 LA kAA LC kCA kA kC kB LA LC LB LB kBA 4 UA T qx Δ U coeficiente global de transmissão de calor 4 C C B B A A 1 t h 1 k L k L k L h 1 1 R A 1 U Nova parede composta T1 T2 kE kG kF LE LG LF kH A transferência de calor é bidimensional mas pode ser aproximada por LF kFA2 LE kEA LG kGA LH kHA2 k A L L k A 2 L k A 2 k A L R G G 1 H H F F E E t Outra forma de montar o circuito 5 Resistência de Contato Interface entre dois materiais efeito da rugosidade como minimizar preenchar as falhas com um fluido interfacial de alta condutividade Um chip de silício e um substrato de alumínio com 8 mm de espessura são separados por uma junta epóxi c 002 mm de espessura O chip e o substrato possuem 10 mm de lado e suas superfícies expostas são resfriadas por ar a 25oC h100 Wm2K Se o chip dissipa 104 Wm2 em condições normais de operação verificar se ele irá operar abaixo da temperatura permitida de 85oC Dados kalum238 WmK Rtcsilicioaluminio c 002mm epoxi 09x104 m2KW 1 h L k 1 h Rtc Rtchip chip aluminio 8 mm 002 mm ar 25oC ar 25oC 6 Considerações 1 condução unidimensional 2 regime permanente 3 sem geração interna de calor 4 chip isotérmico Tc 1 h L k R T T 1 h T T R T T R T T q q q ct c c 2 c 1 c 2 1 c Tc 753oC Sistemas Radiais fluido quente h1 Too1 fluido frio h2 Too2 Ts2 Ts1 r1 r2 L Considerações 1 condução unidimensional 2 regime permanente 3 sem geração interna de calor q z z k T k T r 1 r r r kr T 1 t T c 2 p φ φ ρ 02 01 03 7 0 r r r kr T 1 Integrando 2 1 C C ln r T r Aplicação das condições de contorno 2 1 1 s1 s1 1 C C ln r T T r T r 2 2 1 s2 s2 2 C C ln r T T r T r s2 2 2 1 s2 s1 T r ln r r ln r T T T r variação logaritmica de temperatura r k 2 rL C C dr C ln r k 2 rL d dr kA dT q 1 2 1 r π π s2 s1 1 2 s2 s1 2 1 r T T r lnr 2 kL T T r lnr 2 kL q π π 2 kL r lnr R 1 2 t cond π 8 Sistema Composto r1 r4 r3 r2 A C B h4 Too4 h 2 r L 1 2 k L r ln r 2 k L r ln r 2 k L r ln r h 2 r L 1 T T q 4 4 C 3 4 B 2 3 A 1 2 1 1 4 1 r π π π π π Isolamento térmico Existe uma espessura ótima que minimize as perdas aumento de espessura aumenta a resistência à condução diminui a resistência à convecção ri r Too Ti Exemplo tubo interno de cobre isolante k0055 WmK exterior ar h5Wm2K 9 Considerações 1 condução unidimensional 2 regime permanente 3 sem geração interna de calor 4 resistência térmica na parede do tubo de cobre é desprezível 5 isolamento tem propriedades constantes h2 rL 1 2 kL ln r 2 kL ln r h2 rL 1 2 kL rr ln R i i tot π π π π π Espessura ótima maximiza o valor de Rtot k h r 0 2 r L h 1 2 krL 1 dr dR otimo 2 tot π π 0 L k h 2 1 2 r L h 2 kr L 2 1 dr d R 2 3 3 2 2 tot 2 π π π Raio crítico rcrit k h A espessura do isolante deve garantir um raio superior ao valor crítico 10 Esfera Oca qr qrdr dr Ts2 Ts1 r2 r1 Lei de Fourier dr dT k 4 r dr kA dT q π 2 Balanço de energia r dr r q q qr é constante Integrando π 2 s 1 s 2 1 T T r r 2 r kdT r dr 4 q 2 1 s2 s1 r s2 s1 2 1 r 1 r 1 r T 4 k T q T k T r 1 r 1 4 q π π π 2 1 t cond r 1 r 1 4 k 1 R 11 CONDUÇÃO DE CALOR COM GERAÇÃO DE ENERGIA V I R q I R E el 2 el 2 g Parede Plana Ts1 Ts2 xL xL fluido quente Too 1h1 fluido frio Too2h2 x Considerações 1 condução unidimensional 2 regime permanente 3 geração uniforme de energia térmica q constante 4 condutividade térmica constante q z z k T y y k T x x k T t T cp ρ q x x k T 0 2 1 2 1 2 2 C C x 2k x q T C k x q dx dT 0 k q dx d T 02 01 12 Aplicação das condições de contorno s2 s1 T T L e T L T 2 T T L x 2 T T L x 1 2k qL T x s1 s2 s1 s2 2 2 2 Se as superfícies 1 e 2 são mantidas à mesma temperatura Ts s 2 2 2 T L x 1 2k qL T x máxima para x0 O que acontece com dTdx em x0 SIMETRIAdTdx0 Avaliação da temperatura da superfície T h T dx dT k s x L k L q L 2x 2k qL dx dT x L 2 2 L x h qL T T T h T k qL k s s Posso calcular Ts a partir de T 13 Exemplo água h1000Wm 2k T30oC A B T0 T2 T1 Dados 50mm L 51 x10 W m q 75W mK k A 3 6 A A 20mm L 0 q 150W mK k B B B Objetivo avaliar T0 e T1 a Cálculo de T2 B A A L sai x L entra x L q q 105 C h q L T T T h T q L q o A A 2 2 A A entra x 0 b Cálculo de T1 qALA Too T1 T2 115 C T R T T q L h 1 k L R o 1 t 1 A A B B t c Cálculo de T0 temperatura máxima para problema com simetria 140 C T T 2k qL T o 0 1 2 0 14 Sistemas radiais com geração interna fluido frio h Too r0 L Ts Equação de condução de calor k q dr dr r dT d r 1 0 Integrando 1 2 C 2k r q dr r dT Integrando novamente 2 1 2 C C ln r 4k r q T Condições de contorno Condição de simetria C1 0 2 0 s 2 0 s 4k r q T C r r em T T s 2 0 2 2 0 T r r 4k 1 qr T r Correlacionar Ts e T balanço de energia na superfície π π T h 2 r L T r L q s 0 2 0 2h qr T T 0 s 15 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES ESTENDIDAS fluido h Too Ts A Como aumentar a transferência de calor entre a superfície e o fluido T hA T q s aumentar a área Aleta superfície estendida alta condutividade pequena espessura aleta 16 Aleta plana fixada a uma parede plana Seção reta uniforme X Seção reta não uniforme espessura t largura w Aleta anular fixada circunferencialmente a um cilindro Aleta piniforme área de seção reta circular dx qxdx qx dAsup Asrx 17 Balanço de energia conv x dx x dq q q dx x dT kA q sr x dx dx dT kA dx d dx dT kA dx dx dq q q sr sr x x x dx T T hdA dq sup conv 0 T T hdA dx dx dT kA dx d sup sr Considerando k constante 0 T T dx dA k h dx dx dT dx A d sup sr 0 T T dx dA k h dx dA dx dT dx d T A sup sr 2 2 sr equação genérica para condução de calor unidimensional em uma superfície estendida 18 Aletas com área de seção reta uniforme t L Tb w x Too h Asr wt constante 0 dAsr dx Asup Px Pperímetro da aleta P dAsup dx w 2 t P 0 T T m dx d T 0 T T A P k h dx d T 2 2 2 sr 2 2 Seja θ T T 0 m dx d 2 2 2 θ θ mx 2 1 mx C e C e x θ Condições de contorno b b T T 0 θ θ L h dx kd T T L hA dx dT kA x L sr x L sr θ θ 19 Resolvendo para C1 e C2 h mk senh mL cosh mL x h mk senh m L x m L cosh b θ θ Calor total transferido pela aleta sup A x 0 sr x 0 sr x dA h dx kA d dx kA dT q a θ θ Outras condições de contorno Perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível 0 dx d x L θ Aleta muito longa θ L 0 L TASA DE TRANSFERENCIA DE CALOR ABILITADA 4 21 Exemplo bastão circular de cobre k398 WmK exposto ao ambiente ar 25oC h100 Wm2K 5 mm 100oC Qual o comprimento para que o bastão possa ser considerado infinito Bastão infinito b sr a hPkA M q θ Considerando aleta adiabática qa M tgh mL 1418 4 5 10 398 5 10 100 kA hP m 2 3 3 sr 2 π π 1 erro 019m L 2 65 mL 0 99 tgh mL 5 erro 013m L 183 mL 0 95 tgh mL 22 Desempenho da aleta Efetividade taxa de transmissão de calor com a aleta taxa de transmissão de calor sem a aleta b b sr a a hA q θ ε área da base da aleta εa deve ser o maior possível Em geral só se justifica o uso de aletas se εa 2 Exemplo aleta de seção uniforme com comprimento infinito sr b sr b sr srb b a hA Pk hA hPkA hA M θ θ θ ε Resistência térmica a b at q R θ at t b a R ε R razão entre resistências térmicas 23 Eficiência da aleta ηa Se toda a superfície da aleta se encontrasse à temperatura da base Tb o calor dissipado seria máximo b a a max a a hA q q q θ η Exemplo aleta plana com seção reta uniforme e extremidade adiabática mL tanh mL hPL tanh mL M b a θ η Estimativas precisas para aproximação de aletas adiabáticas t 2 L Lc seção retangular D 4 L Lc piniforme Aletas com área de seção reta não uniforme Incluir a variação de Asr com x ou r TABELA 35 Eficiência de aletas com formas comuns 25 Aproximação por métodos gráficos 26 Eficiência global da superfície Desempenho de um conjunto de aletas L t S superfície primária A b Tb qmax toda a superfície da aleta e a base estão a Tb b t t max t g hA q q q θ η b a t A NA A b b b a a t hA hA N q θ θ η a t a a b t NA A A N h q η θ b a t a t t 1 A NA 1 hA q θ η a t a g 1 A NA 1 η η t g t b gt hA 1 q R η θ