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Engenharia Mecatrônica ·
Matemática Aplicada
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LOGARÍTMO UM POUCO DE HISTÓRIA O matemático escocês John NAPIER 1550 1617 é considerado o inventor dos logaritmos por ter sido o primeiro a publicar embora outros matemáticos da época tenham trabalhado nessa teoria Apesar dos logaritmos envolverem potenciação o interessante é que eles foram criados sem o conhecimento da notação exponencial que hoje conhecemos Napier estudava um sistema que facilitasse a multiplicação de senos e que mais tarde foi generalizado a outras operações envolvendo quaisquer números Seu trabalho levou mais de 20 anos sendo publicado em 1614 A palavra logaritmos também foi criada por Napier a partir das palavras gregas logos razão e aritmonúmero Imagine que sem calculadora tivéssemos que efetuar constantemente operações do tipo 2 3 3 45 2 67 1 55 5 48 21 1 que é um cálculo demorado e trabalhoso Com o surgimento dos logaritmos no século XVI o cálculo envolvendo operações matemáticas como estas foram simplificadas pois com a utilização dos logaritmos podemos transformar produto em adição divisão em subtração potenciação em multiplicação e radiciação em divisão ou seja transformamos as operações em operações mais simples No estudo de Napier já aparece não de um modo explicito o número que hoje designamos por e e que somente um século depois viuse a verdadeira importância dele com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal O logaritmo neperiano original não é o mesmo que o logaritmo natural que conhecemos atualmente Na época Napier utilizava o número e1 como base enquanto que hoje usamos o número e Embora denominemos número e como número de Napier e o logaritmo utilizando essa base como neperiano Um outro personagem de fundamental importância da época do surgimento dos logaritmos foi o matemático inglês Henry BRIGGS 1561 1639 Ele contribui para a teoria dos logaritmos elaborando um tabela em que escreve os números inteiros positivos de 1 a 1000 na forma de potência de 10 com um grau de aproximação espantosa até a 14ª casa decimal Nessa mesma tabela é possível também descobrir qual é o valor de qualquer potência de 10 Briggs constrói o que denominamos de tabela dos logaritmos de base 10 ou logaritmos decimais Para calcular os logaritmos ele utiliza o processo de aproximações sucessivas através da média geométrica Embora a grande maioria desses logaritmos terem sidos obtidos recorrendose a outros calculados anteriormente isto não diminui o mérito de seu trabalho DEFINIÇÃO Sejam a e b números reais a 0 a 1 e b 0 Chamase logaritmo de b na base a e denotamos por log a b ao número real c tal que a c b c a b log Exemplos a 3 log2 8 pois 23 8 b 2 9 log 3 1 pois 9 3 3 1 2 2 c 2 1 5 log 5 pois 5 5 2 1 NOTAÇÃO 1 O logaritmo de x na base 10 é denotado por log x e é chamado de logaritmo decimal x log significa log10 x 2 O logaritmo de x na base e número de Euler é denotado por ln x e é chamado de logaritmo neperiano x ln significa loge x LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL Na álgebra é comum usar as bases a 10 e a 2 mas no cálculo costuma ser mais conveniente utilizar como base um número representado pela letra e número de Euler e e definido da seguinte forma x x x 1 0 1 lim e 271828 x 1 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 2 225 259374 270481 271692 271815 271827 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 x 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 4 286797 2732 271964 271842 271823 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 Dessa maneira podemos dizer que x x x 1 0 lim 1 e 271828 A medida que x 0 temos que x x 1 1 e 271828 PROPRIEDADES 1 Logaritmo do produto log b c a c b a a log log 2 Logaritmo do quociente log c b a c b a a log log 3 Logaritmo da potência n log a b b n log a 4 b a a b log 5 Mudança de base a b b c c a log log log EXERCICIOS PROPOSTOS Calcule o valor dos logaritmos sem o uso de uma calculadora 1 log 4 1 2 2 log 9 27 3 log 8 4 4 2 log 2 1 5 100 log 10 6 0 001 log 7 1 log 0 01 8 5 log 5 9 8 log 2 10 3 3 log 3 1 11 10 1 log 12 2 10 1 log 10 13 ln 1e 14 2 ln e 15 eln5 16 0 23 ln e 17 eln2 18 04 1 ln e 19 2e ln3 20 e3ln2 Usando 0 301 50 log estime os valores dos seguintes logaritmos sem o uso de uma calculadora 21 log 50 22 log 25 23 log 2 24 log 8 25 log 20 26 log 3 5 Utilize as aproximações 0 631 log3 2 e 1771 log3 7 para calcular os valores dos logaritmos 27 log 4 1 3 28 14 log3 29 log3 18 30 log9 2 31 7 log 3 1 Utilizando uma calculadora calcule o valor de x nas equações dadas 32 1 463 log x 33 0 418 log 100 x 34 0103 log 10 x 35 1233 log x 36 10 21411 x 37 100 204 5 x 38 2 47 5 ln 3 x 39 0 ln 4 2 ex 40 x e x x 3 ln 41 0 ln 1 x2 42 6 1 2ln x e 43 x e x 2 ln 1 Determine o valor de x sem usar uma calculadora 44 7 2 1 e x 45 e x2 1 46 10 e x 2 47 7 2 xe 48 1 1 ln x 49 3 ln2 x 50 5 ln x3 51 0 2 ln 2 x 52 0 lnln x 53 8 3ln x e 54 8 3 xe ln 55 1 3 2 2 xe x 56 3 2 ln x ex 57 7 3 2 e x 58 0 ln ln1 x Simplifique o máximo possível a expressão dada 59 1 ln x2 e 60 e 4ln2 61 e ln x 62 2 4 ln e 63 1 2 ln x e 64 t e 3 ln ln3 65 t te ln 66 x e x ln 2 1 67 ln ln2 2 x x e 68 2 ln ln x e e x Utilizando uma calculadora calcule os logaritmos 69 log 5 12 70 log 12 5 71 log 2 10 72 log 2 e 73 log3 2 74 log 7 4 Resolva as equações 75 0 2 ln ln x x 76 0 8 2 2 x x e e 77 Determine a solução da equação 23 5 x1 com precisão de 5 casas decimais RESPOSTAS 1 2 2 2 3 3 3 2 4 1 5 2 6 3 7 0 8 2 1 9 2 3 10 2 3 11 2 1 12 2 1 13 2 1 14 2 15 5 16 0 23 17 2 1 18 40 19 9 20 8 1 21 699 1 22 398 1 23 0 301 24 0 903 25 301 1 26 0 233 27 1 262 28 201 1 29 2 631 30 0 315 31 1 771 32 2904 33 818 261 34 0 897 35 415 291 36 2 33 37 155 1 38 96706 39 2 ln 4 40 ln3 41 0 42 3 449 43 e 44 0 4729 45 2 46 15174 47 8918 3 48 71828 1 49 100427 50 5 2944 51 2 3 52 e 53 2 54 8927 1 55 1 ou 3 56 3 57 0 527 58 1 59 x2 1 60 16 1 61 x 1 62 2 63 2 2 e x 64 3 3t 65 t et 66 x 1 67 4 68 0 69 5439 1 70 0 64768 71 3222 3 72 44272 1 73 0 63091 74 0 7124 75 2 1 5 76 ln4 77 2 9481 12 log₀₁1012 10x 1012 x 12 13 ln1e ex e12 x 12 14 ln e2 ex e2 x 2 15 eln 5 ln5 y ey 5 y 5 16 ln e023 ex e023 x 023 17 eln 2 eln 21 eln 12 12 18 ln 1e04 ln e04 04 19 e2ln3 eln 3² eln 9 9 20 e3ln 2 eln 23 eln 18 18 1 log₂14 x 2 2 log₉27 x 32 3 log₈4 x 23 4 log122 x 1 5 log₀₁1₀₀ x 2 6 log₀₀₀₁ x 3 7 log₀₀1₁ x 0 8 log₅5 x 12 9 log₂8 x 32 10 log13 33 x 32 11 log₁110 x 12 log₀₅ 0301 log510 log5 log10 0301 log5 1 log5 1 0301 log5 0699 21 log₅0 log510 log5 log10 1 0699 1699 22 log₂5 log5² 2 log5 20699 1398 23 log₂ log105 log10 log5 1 0699 0301 24 log₈ log₂³ 3 log2 30301 0903 25 log₂0 log210 log2 log10 1301 26 log 5 log 513 13 log5 13 0699 0233 27 log3 14 log3 22 2 log3 2 2 0631 1262 28 log3 14 log3 2 log3 7 12 log3 2 12 log3 7 12 log3 2 log3 7 12 0631 1771 1201 29 log3 18 log3 9 2 log3 9 log3 2 2 0631 2631 30 log9 2 log3 2 log3 9 0631 2 03155 31 log13 7 log3 7 log3 13 1771 1 1771 32 x 101463 2904 33 log x log 100 0418 log x 2418 x 102418 261818 34 log 10x log 10 log x 1 0103 log x 1 0103 log x 0897 35 log x log x12 12 log x 1233 log x 2466 x 291415 36 x log10 21411 x 233 37 102x 2045 102x 2045 log 102x log 2045 log 2x 2045 x 12 log 2045 1155 38 ln 3x5 247 3x5 e247 3x e247 5 x e247 5 3 96706 39 2 ln 4 ex 0 ln 4 ex 2 ln 4 ln ex 2 x ln 4 2 x ln 4 2 40 ex ln x 3x ex eln x 3x x ex 3x x ex 3x 0 xex 3 0 x 0 x ln 3 ln 0 não está definido Portanto x ln 3 41 ln 1 x2 0 1 x2 1 x2 0 x 0 42 e2 ln x1 6 eln x12 6 x12 6 x1 6 x 1 6 x 3449 43 e 1ln x 2 x e 12 ln x e 12 x e 12 e 12 ln x x e 12 x x e 12 x e 12 x x 51 ln 2x 2 0 2x 2 1 2x 3 x 32 52 ln ln x 0 y ln x ln y 0 y 1 ln x 1 x e 53 e3 ln x 8 eln x3 8 x3 8 x 8 2 54 ex ln 3 8 eln 3x 8 3x 8 x log3 8 18927 55 ex2 2x 3 1 x2 2x 3 0 S 2 P 3 x 3 x 1 56 lnex 2x 3 x 2x 3 x 3 57 e2x3 7 2x3 ln 7 2x ln 7 3 x ln 7 3 2 58 ln1 ln x 0 1 ln x 1 ln x 0 x 1 59 eln x2 1 x2 1 60 e4 ln 2 eln 24 24 116 61 eln x eln x1 x1 1x 62 eln 4 2 e12 ln 4 e12 2 ln 2 eln 2 2 44 e2x1 7 2x1 ln 7 2x ln 7 1 x ln 7 1 2 047729 45 ex2 1 x 2 ln 1 x 2 0 x 2 46 ex2 10 x2 ln 10 x ln 10 x 15174 47 ex2 7 x2 ln 7 x 2 ln 7 38918 48 ln x 1 1 x 1 e x e 1 x 171828 49 ln 2x 3 2x e3 x 12e3 100427 50 ln x3 5 3 ln x 5 ln x 53 x e53 52944 63 e2lnx1 e2lnx2 e2lnxe2 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LOGARÍTMO UM POUCO DE HISTÓRIA O matemático escocês John NAPIER 1550 1617 é considerado o inventor dos logaritmos por ter sido o primeiro a publicar embora outros matemáticos da época tenham trabalhado nessa teoria Apesar dos logaritmos envolverem potenciação o interessante é que eles foram criados sem o conhecimento da notação exponencial que hoje conhecemos Napier estudava um sistema que facilitasse a multiplicação de senos e que mais tarde foi generalizado a outras operações envolvendo quaisquer números Seu trabalho levou mais de 20 anos sendo publicado em 1614 A palavra logaritmos também foi criada por Napier a partir das palavras gregas logos razão e aritmonúmero Imagine que sem calculadora tivéssemos que efetuar constantemente operações do tipo 2 3 3 45 2 67 1 55 5 48 21 1 que é um cálculo demorado e trabalhoso Com o surgimento dos logaritmos no século XVI o cálculo envolvendo operações matemáticas como estas foram simplificadas pois com a utilização dos logaritmos podemos transformar produto em adição divisão em subtração potenciação em multiplicação e radiciação em divisão ou seja transformamos as operações em operações mais simples No estudo de Napier já aparece não de um modo explicito o número que hoje designamos por e e que somente um século depois viuse a verdadeira importância dele com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal O logaritmo neperiano original não é o mesmo que o logaritmo natural que conhecemos atualmente Na época Napier utilizava o número e1 como base enquanto que hoje usamos o número e Embora denominemos número e como número de Napier e o logaritmo utilizando essa base como neperiano Um outro personagem de fundamental importância da época do surgimento dos logaritmos foi o matemático inglês Henry BRIGGS 1561 1639 Ele contribui para a teoria dos logaritmos elaborando um tabela em que escreve os números inteiros positivos de 1 a 1000 na forma de potência de 10 com um grau de aproximação espantosa até a 14ª casa decimal Nessa mesma tabela é possível também descobrir qual é o valor de qualquer potência de 10 Briggs constrói o que denominamos de tabela dos logaritmos de base 10 ou logaritmos decimais Para calcular os logaritmos ele utiliza o processo de aproximações sucessivas através da média geométrica Embora a grande maioria desses logaritmos terem sidos obtidos recorrendose a outros calculados anteriormente isto não diminui o mérito de seu trabalho DEFINIÇÃO Sejam a e b números reais a 0 a 1 e b 0 Chamase logaritmo de b na base a e denotamos por log a b ao número real c tal que a c b c a b log Exemplos a 3 log2 8 pois 23 8 b 2 9 log 3 1 pois 9 3 3 1 2 2 c 2 1 5 log 5 pois 5 5 2 1 NOTAÇÃO 1 O logaritmo de x na base 10 é denotado por log x e é chamado de logaritmo decimal x log significa log10 x 2 O logaritmo de x na base e número de Euler é denotado por ln x e é chamado de logaritmo neperiano x ln significa loge x LIMITE FUNDAMENTAL EXPONENCIAL Na álgebra é comum usar as bases a 10 e a 2 mas no cálculo costuma ser mais conveniente utilizar como base um número representado pela letra e número de Euler e e definido da seguinte forma x x x 1 0 1 lim e 271828 x 1 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 2 225 259374 270481 271692 271815 271827 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 x 05 01 001 0001 00001 000001 x x 1 1 4 286797 2732 271964 271842 271823 Portanto x x x 1 0 1 lim e 271828 Dessa maneira podemos dizer que x x x 1 0 lim 1 e 271828 A medida que x 0 temos que x x 1 1 e 271828 PROPRIEDADES 1 Logaritmo do produto log b c a c b a a log log 2 Logaritmo do quociente log c b a c b a a log log 3 Logaritmo da potência n log a b b n log a 4 b a a b log 5 Mudança de base a b b c c a log log log EXERCICIOS PROPOSTOS Calcule o valor dos logaritmos sem o uso de uma calculadora 1 log 4 1 2 2 log 9 27 3 log 8 4 4 2 log 2 1 5 100 log 10 6 0 001 log 7 1 log 0 01 8 5 log 5 9 8 log 2 10 3 3 log 3 1 11 10 1 log 12 2 10 1 log 10 13 ln 1e 14 2 ln e 15 eln5 16 0 23 ln e 17 eln2 18 04 1 ln e 19 2e ln3 20 e3ln2 Usando 0 301 50 log estime os valores dos seguintes logaritmos sem o uso de uma calculadora 21 log 50 22 log 25 23 log 2 24 log 8 25 log 20 26 log 3 5 Utilize as aproximações 0 631 log3 2 e 1771 log3 7 para calcular os valores dos logaritmos 27 log 4 1 3 28 14 log3 29 log3 18 30 log9 2 31 7 log 3 1 Utilizando uma calculadora calcule o valor de x nas equações dadas 32 1 463 log x 33 0 418 log 100 x 34 0103 log 10 x 35 1233 log x 36 10 21411 x 37 100 204 5 x 38 2 47 5 ln 3 x 39 0 ln 4 2 ex 40 x e x x 3 ln 41 0 ln 1 x2 42 6 1 2ln x e 43 x e x 2 ln 1 Determine o valor de x sem usar uma calculadora 44 7 2 1 e x 45 e x2 1 46 10 e x 2 47 7 2 xe 48 1 1 ln x 49 3 ln2 x 50 5 ln x3 51 0 2 ln 2 x 52 0 lnln x 53 8 3ln x e 54 8 3 xe ln 55 1 3 2 2 xe x 56 3 2 ln x ex 57 7 3 2 e x 58 0 ln ln1 x Simplifique o máximo possível a expressão dada 59 1 ln x2 e 60 e 4ln2 61 e ln x 62 2 4 ln e 63 1 2 ln x e 64 t e 3 ln ln3 65 t te ln 66 x e x ln 2 1 67 ln ln2 2 x x e 68 2 ln ln x e e x Utilizando uma calculadora calcule os logaritmos 69 log 5 12 70 log 12 5 71 log 2 10 72 log 2 e 73 log3 2 74 log 7 4 Resolva as equações 75 0 2 ln ln x x 76 0 8 2 2 x x e e 77 Determine a solução da equação 23 5 x1 com precisão de 5 casas decimais RESPOSTAS 1 2 2 2 3 3 3 2 4 1 5 2 6 3 7 0 8 2 1 9 2 3 10 2 3 11 2 1 12 2 1 13 2 1 14 2 15 5 16 0 23 17 2 1 18 40 19 9 20 8 1 21 699 1 22 398 1 23 0 301 24 0 903 25 301 1 26 0 233 27 1 262 28 201 1 29 2 631 30 0 315 31 1 771 32 2904 33 818 261 34 0 897 35 415 291 36 2 33 37 155 1 38 96706 39 2 ln 4 40 ln3 41 0 42 3 449 43 e 44 0 4729 45 2 46 15174 47 8918 3 48 71828 1 49 100427 50 5 2944 51 2 3 52 e 53 2 54 8927 1 55 1 ou 3 56 3 57 0 527 58 1 59 x2 1 60 16 1 61 x 1 62 2 63 2 2 e x 64 3 3t 65 t et 66 x 1 67 4 68 0 69 5439 1 70 0 64768 71 3222 3 72 44272 1 73 0 63091 74 0 7124 75 2 1 5 76 ln4 77 2 9481 12 log₀₁1012 10x 1012 x 12 13 ln1e ex e12 x 12 14 ln e2 ex e2 x 2 15 eln 5 ln5 y ey 5 y 5 16 ln e023 ex e023 x 023 17 eln 2 eln 21 eln 12 12 18 ln 1e04 ln e04 04 19 e2ln3 eln 3² eln 9 9 20 e3ln 2 eln 23 eln 18 18 1 log₂14 x 2 2 log₉27 x 32 3 log₈4 x 23 4 log122 x 1 5 log₀₁1₀₀ x 2 6 log₀₀₀₁ x 3 7 log₀₀1₁ x 0 8 log₅5 x 12 9 log₂8 x 32 10 log13 33 x 32 11 log₁110 x 12 log₀₅ 0301 log510 log5 log10 0301 log5 1 log5 1 0301 log5 0699 21 log₅0 log510 log5 log10 1 0699 1699 22 log₂5 log5² 2 log5 20699 1398 23 log₂ log105 log10 log5 1 0699 0301 24 log₈ log₂³ 3 log2 30301 0903 25 log₂0 log210 log2 log10 1301 26 log 5 log 513 13 log5 13 0699 0233 27 log3 14 log3 22 2 log3 2 2 0631 1262 28 log3 14 log3 2 log3 7 12 log3 2 12 log3 7 12 log3 2 log3 7 12 0631 1771 1201 29 log3 18 log3 9 2 log3 9 log3 2 2 0631 2631 30 log9 2 log3 2 log3 9 0631 2 03155 31 log13 7 log3 7 log3 13 1771 1 1771 32 x 101463 2904 33 log x log 100 0418 log x 2418 x 102418 261818 34 log 10x log 10 log x 1 0103 log x 1 0103 log x 0897 35 log x log x12 12 log x 1233 log x 2466 x 291415 36 x log10 21411 x 233 37 102x 2045 102x 2045 log 102x log 2045 log 2x 2045 x 12 log 2045 1155 38 ln 3x5 247 3x5 e247 3x e247 5 x e247 5 3 96706 39 2 ln 4 ex 0 ln 4 ex 2 ln 4 ln ex 2 x ln 4 2 x ln 4 2 40 ex ln x 3x ex eln x 3x x ex 3x x ex 3x 0 xex 3 0 x 0 x ln 3 ln 0 não está definido Portanto x ln 3 41 ln 1 x2 0 1 x2 1 x2 0 x 0 42 e2 ln x1 6 eln x12 6 x12 6 x1 6 x 1 6 x 3449 43 e 1ln x 2 x e 12 ln x e 12 x e 12 e 12 ln x x e 12 x x e 12 x e 12 x x 51 ln 2x 2 0 2x 2 1 2x 3 x 32 52 ln ln x 0 y ln x ln y 0 y 1 ln x 1 x e 53 e3 ln x 8 eln x3 8 x3 8 x 8 2 54 ex ln 3 8 eln 3x 8 3x 8 x log3 8 18927 55 ex2 2x 3 1 x2 2x 3 0 S 2 P 3 x 3 x 1 56 lnex 2x 3 x 2x 3 x 3 57 e2x3 7 2x3 ln 7 2x ln 7 3 x ln 7 3 2 58 ln1 ln x 0 1 ln x 1 ln x 0 x 1 59 eln x2 1 x2 1 60 e4 ln 2 eln 24 24 116 61 eln x eln x1 x1 1x 62 eln 4 2 e12 ln 4 e12 2 ln 2 eln 2 2 44 e2x1 7 2x1 ln 7 2x ln 7 1 x ln 7 1 2 047729 45 ex2 1 x 2 ln 1 x 2 0 x 2 46 ex2 10 x2 ln 10 x ln 10 x 15174 47 ex2 7 x2 ln 7 x 2 ln 7 38918 48 ln x 1 1 x 1 e x e 1 x 171828 49 ln 2x 3 2x e3 x 12e3 100427 50 ln x3 5 3 ln x 5 ln x 53 x e53 52944 63 e2lnx1 e2lnx2 e2lnxe2 x2e2 64 eln33lnk eln3e3lnk 3elnk3 3k3 65 eklnk ekelnk ek1k ekk 66 ln e2x1 x 2x1ln e x 2x1x x1 67 eln2x ln2x eln2xeln2x 2x 2x 68 lnex elnx2 x e12lnx x x12 0 69 log₅ 12 log 12 log 5 15439 70 log₁₂ 5 log 5 log 12 064765 71 log₂ 10 log 10 log 2 33227 72 log₂ e ln e ln 2 144272 73 log₃ 2 log 2 log 3 063091 74 log₇ 4 log 4 log 7 07124 75 ln x ln x2 0 lnxx2 0 lnx2 2x 0 x2 2x 1 x2 2x 1 0 Δ 22 411 Δ 8 x 2 22 2 2 1 Resposta encostada do gabarito 76 e2x 2ex 8 0 ex y y2 2y 8 0 S 2 P 8 4 2 não convém ex 4 x ln 4 5x1 23 x1 ln 5 ln 3 x1 ln 3ln 5 x ln 3ln 5 1 x ln 3 ln 55 29481