Lista de Exercícios - Transferência de Calor e Condução Térmica

EXERCÍCIOS 9 ATIVIDADE M2 AS RESPOSTAS DEVEM SER APRESENTADAS À CANETA Questão 1 Uma barra cilíndrica de combustível nuclear de 15 mm de diâmetro é envolto em um cilindro oco de cerâmica concêntrico com diâmetros interno de 35 mm e externo de 110 mm ver figura 1 Isso criou um espaço de ar entre as barras de combustível e do cilindro oco de cerâmica com coeficiente de transferência de calor por convecção de 10 Wm2K O cilindro de cerâmica tem condutividade térmica de 007 WmK e a superfície externa mantém a temperatura constante de 30 ºC Considerando que a barra de combustível gera calor à taxa de 1 MWm3 determine a temperatura na superfície da barra Questão 2 Na figura 2 uma placa de circuito de 02 cm de espessura 10 cm de altura e 15 cm de comprimento contém em um lado componentes eletrônicos que dissipam uniformemente a taxa total de calor de 15 W A placa é impregnada com recheios de metal condutor de condutividade térmica efetiva de 32 WmK Todo o calor gerado nos componentes é conduzido através da placa de circuito dissipada a partir do fundo da placa para o meio à 37 ºC com coeficiente de transferência de calor de 45 Wm2K Considerandose o sistema determine a As temperaturas dos dois lados da placa de circuito b Agora a chapa é de alumínio k 237 WmK de 01 cm de espessura 15 cm de altura e 15 cm de comprimento com aletas de alumínio de perfil retangular com 02 cm de espessura 2 cm de comprimento e 15 cm de largura espaçadas de 02 cm de cada fixadas na base da placa de circuito impresso com adesivo epóxi k 18 WmK de 003 cm de espessura determine as novas temperaturas dos dois lados da placa do circuito Questão 3 A dissipação de calor em um transistor de formato cilíndrico pode ser melhorada inserindo um cilindro vazado de cobre k 372 WmK que serve de base para 16 aletas axiais ver figura 3 O transistor tem raio externo de 2 mm e altura de 6 mm enquanto que as aletas têm altura de 10 mm e espessura de 035 mm O cilindro base cuja espessura é 1 mm está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica desprezível Sabendo que ar fluindo a 20 ºC sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de película de 25 Wm2K calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for 80 ºC sua eficiência e sua eficácia nas aletas Figura 1 Figura 2 Calorimetria Fluxo de Calor Resistência Térmica Condução Convecção Plana Cilíndrica Aletas Rendimento Prismática Circular Logarítmo Figura 3 FORMULÁRIO Questão 1 Aqui vemos que o calor gerado igual ao fluxo de calor é dado por qq V qq π r1 2 L q110 6π 00075 2 L q1767L A resistência equivalente total é dada por ReqRconv 1Rconv 2Rcond Req 1 h A1 1 h A2 ln r3 r2 2 πkL Logo a taxa de transferência de valor é dada por qT Req qT1T 3 Req Assim a temperatura requerida vale T 1q ReqT3 T 11767L 1 h A1 1 h A2 ln r3 r 2 2πk LT 3 T 11767L 1 h2 π r1L 1 h2π r 2L ln r3 r2 2πk LT 3 T 11767 1 h2π r1 1 h2 π r2 ln r 3 r 2 2πk T 3 T 11767 1 102π00075 1 102π00175 ln 110 35 2π00730 T 11026C Questão 2 a neste cenário ainda não há aletas instaladas A resistência equivalente total é dada por ReqRconvRcond Req 1 h A L k A Logo a taxa de transferência de valor é dada por qT Req qT1T Req Assim a temperatura do lado de dentro vale T 1q ReqT T 1q 1 hA L kAT T 115 1 45010015 0002 3201001537 T 1593 C E a temperatura do lado de fora vale T 2q RconvT T 2q 1 hAT T 215 1 4501001537 T 2592 C Ou seja as temperaturas serão praticamente iguais devido à minúscula espessura da placa b para as aletas temos m hext P kA m hext 2t 2w ktw m 45201520002 2370150002 m1387m 1 Logo a eficiência para uma única aleta considerando extremidade adiabática é calculada por ηatanh m L m L ηatanh 13870020 13870020 ηa0975 Assim a taxa de transferência de calor pela área numa e pelas aletas é dada por qqnuaqaletas qh Anua T3T hηa Aaletas T 3T qh Anuahηa AaletasT 3T Logo temos T 3 q h Anuahηa Aaletas T T 3 q h H wnwt hηa n 2t2w T O número de aletas é dado por n H t e 015 0002000237 Logo temos T 3 15 45 015015370150002450975 237 002015 37 T 3385 C Logo a temperatura mais externa da placa será T 2q L kA T 3 T 215 00003 18015015385 T 2386C E a temperatura mais interna da placa será T 1q L kA T 2 T 115 0001 237015015 386 T 1386C Questão 3 A dissipação de calor em um transistor de formato cilíndrico pode ser melhorada inserindo um cilindro vazado de cobre k 372 WmK que serve de base para 16 aletas axiais ver figura 3 O transistor tem raio externo de 2 mm e altura de 6 mm enquanto que as aletas têm altura de 10 mm e espessura de 035 mm O cilindro base cuja espessura é 1 mm está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica desprezível Sabendo que ar fluindo a 20 ºC sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de película de 25 Wm²K calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for 80 ºC sua eficiência e sua eficácia nas aletas Aqui temos m hext P kA m hext 2e2w k e w m 2hext ke m 225 372000035 m196m 1 Logo a eficiência da aleta é dada por ηatanh 1960010 1960 010 ηa0987 A taxa de transferência de calor é dada por q T T ext Req Aqui a resistência equivalente é dada por ReqRcond 1 1 Rna 1 Ra Reqln dext d 2πk b 1 1 1 Aext nuahext 1 1 ηa Aaletashext Reqln dext d 2πk b 1 Aext nuahextηa Aaletashext Reqln dext d 2πk b 1 hext 1 Aext nuaηa Aaletas Reqln dext d 2πk b 1 hext 1 2 π rextnebηan2Lb Como temos n16 aletas temos Req ln 3 2 2π3720006 1 25 1 2π 0003160000350006098716200100006 Req ln 3 2 2π3720006 1 25 1 2π 0003160000350006098716200100006 Req203 K W Logo a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é dada por q T T ext Req q8020 203 q296 W m Agora note que o calor que seria transferido caso não houvesse aletas e apenas o envoltório de alumínio é dado por qsa T T ext Req sa qsa TText ln dext d 2 πkb 1 hext 1 2π r extb qsa 8020 ln 3 2 2 π3720006 1 25 1 2π 00030006 qsa0170W Logo a eficácia é dada por ε q qsa ε 296 0170 ε174 Questão 1 Aqui vemos que o calor gerado igual ao fluxo de calor é dado por 𝑞 𝑞𝑉 𝑞 𝑞𝜋𝑟1 2𝐿 𝑞 1 106 𝜋000752𝐿 𝑞 1767 𝐿 A resistência equivalente total é dada por 𝑅𝑒𝑞 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣1 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣2 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑅𝑒𝑞 1 ℎ𝐴1 1 ℎ𝐴2 ln 𝑟3 𝑟2 2𝜋𝑘𝐿 Logo a taxa de transferência de valor é dada por 𝑞 𝑇 𝑅𝑒𝑞 𝑞 𝑇1 𝑇3 𝑅𝑒𝑞 Assim a temperatura requerida vale 𝑇1 𝑞𝑅𝑒𝑞 𝑇3 𝑇1 1767 𝐿 1 ℎ𝐴1 1 ℎ𝐴2 ln 𝑟3 𝑟2 2𝜋𝑘𝐿 𝑇3 𝑇1 1767 𝐿 1 ℎ2𝜋𝑟1𝐿 1 ℎ2𝜋𝑟2𝐿 ln 𝑟3 𝑟2 2𝜋𝑘𝐿 𝑇3 𝑇1 1767 1 ℎ2𝜋𝑟1 1 ℎ2𝜋𝑟2 ln 𝑟3 𝑟2 2𝜋𝑘 𝑇3 𝑇1 1767 1 10 2𝜋 00075 1 10 2𝜋 00175 ln 110 35 2𝜋 007 30 𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟐𝟔𝑪 Questão 2 a neste cenário ainda não há aletas instaladas A resistência equivalente total é dada por 𝑅𝑒𝑞 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑅𝑒𝑞 1 ℎ𝐴 𝐿 𝑘𝐴 Logo a taxa de transferência de valor é dada por 𝑞 𝑇 𝑅𝑒𝑞 𝑞 𝑇1 𝑇 𝑅𝑒𝑞 Assim a temperatura do lado de dentro vale 𝑇1 𝑞𝑅𝑒𝑞 𝑇 𝑇1 𝑞 1 ℎ𝐴 𝐿 𝑘𝐴 𝑇 𝑇1 15 1 45 010 015 0002 32 010 015 37 𝑻𝟏 𝟓𝟗 𝟑𝑪 E a temperatura do lado de fora vale 𝑇2 𝑞𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑇 𝑇2 𝑞 1 ℎ𝐴 𝑇 𝑇2 15 1 45 010 015 37 𝑻𝟐 𝟓𝟗 𝟐𝑪 Ou seja as temperaturas serão praticamente iguais devido à minúscula espessura da placa b para as aletas temos 𝑚 ℎ𝑒𝑥𝑡𝑃 𝑘𝐴 𝑚 ℎ𝑒𝑥𝑡2𝑡 2𝑤 𝑘𝑡𝑤 𝑚 45 2 015 2 0002 237 015 0002 𝑚 1387 𝑚1 Logo a eficiência para uma única aleta considerando extremidade adiabática é calculada por 𝜂𝑎 tanh𝑚𝐿 𝑚𝐿 𝜂𝑎 tanh1387 0020 1387 0020 𝜂𝑎 0975 Assim a taxa de transferência de calor pela área numa e pelas aletas é dada por 𝑞 𝑞𝑛𝑢𝑎 𝑞𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑞 ℎ𝐴𝑛𝑢𝑎𝑇3 𝑇 ℎ𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠𝑇3 𝑇 𝑞 ℎ𝐴𝑛𝑢𝑎 ℎ𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠𝑇3 𝑇 Logo temos 𝑇3 𝑞 ℎ𝐴𝑛𝑢𝑎 ℎ𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑇 𝑇3 𝑞 ℎ𝐻𝑤 𝑛𝑤𝑡 ℎ𝜂𝑎𝑛2𝑡 2𝑤 𝑇 O número de aletas é dado por 𝑛 𝐻 𝑡 𝑒 015 0002 0002 37 Logo temos 𝑇3 15 45015 015 37 015 0002 45 09752 37002 015 37 𝑇3 385𝐶 Logo a temperatura mais externa da placa será 𝑇2 𝑞 𝐿 𝑘𝐴 𝑇3 𝑇2 15 00003 18 015 015 385 𝑻𝟐 𝟑𝟖 𝟔𝑪 E a temperatura mais interna da placa será 𝑇1 𝑞 𝐿 𝑘𝐴 𝑇2 𝑇1 15 0001 237 015 015 386 𝑻𝟏 𝟑𝟖 𝟔𝑪 Questão 3 A dissipação de calor em um transistor de formato cilíndrico pode ser melhorada inserindo um cilindro vazado de cobre k 372 WmK que serve de base para 16 aletas axiais ver figura 3 O transistor tem raio externo de 2 mm e altura de 6 mm enquanto que as aletas têm altura de 10 mm e espessura de 035 mm O cilindro base cuja espessura é 1 mm está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica desprezível Sabendo que ar fluindo a 20 ºC sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de película de 25 Wm²K calcule o fluxo de calor dissipado quando a temperatura do transistor for 80 ºC sua eficiência e sua eficácia nas aletas Aqui temos 𝑚 ℎ𝑒𝑥𝑡𝑃 𝑘𝐴 𝑚 ℎ𝑒𝑥𝑡2𝑒 2𝑤 𝑘𝑒𝑤 𝑚 2ℎ𝑒𝑥𝑡 𝑘𝑒 𝑚 2 25 372 000035 𝑚 196 𝑚1 Logo a eficiência da aleta é dada por 𝜂𝑎 tanh196 0010 196 0010 𝜼𝒂 𝟎𝟗𝟖𝟕 A taxa de transferência de calor é dada por 𝑞 𝑇𝑖𝑛𝑡 𝑇𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑞 Aqui a resistência equivalente é dada por 𝑅𝑒𝑞 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 1 1 𝑅𝑛𝑎 1 𝑅𝑎 𝑅𝑒𝑞 ln 𝑑𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑘𝑏 1 1 1 𝐴𝑒𝑥𝑡 𝑛𝑢𝑎ℎ𝑒𝑥𝑡 1 1 𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠ℎ𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑞 ln 𝑑𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑘𝑏 1 𝐴𝑒𝑥𝑡 𝑛𝑢𝑎ℎ𝑒𝑥𝑡 𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠ℎ𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑞 ln 𝑑𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑘𝑏 1 ℎ𝑒𝑥𝑡 1 𝐴𝑒𝑥𝑡 𝑛𝑢𝑎 𝜂𝑎𝐴𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑅𝑒𝑞 ln 𝑑𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑘𝑏 1 ℎ𝑒𝑥𝑡 1 2𝜋𝑟𝑒𝑥𝑡 𝑛𝑒𝑏 𝜂𝑎𝑛2𝐿𝑏 Como temos 𝑛 16 aletas temos 𝑅𝑒𝑞 ln 3 2 2𝜋 372 0006 1 25 1 2𝜋0003 16 0000350006 0987 16 2 0010 0006 𝑅𝑒𝑞 ln 3 2 2𝜋 372 0006 1 25 1 2𝜋0003 16 0000350006 0987 16 2 0010 0006 𝑅𝑒𝑞 203 𝐾 𝑊 Logo a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é dada por 𝑞 𝑇𝑖𝑛𝑡 𝑇𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑞 𝑞 80 20 203 𝒒 𝟐𝟗𝟔 𝑾 𝒎 Agora note que o calor que seria transferido caso não houvesse aletas e apenas o envoltório de alumínio é dado por 𝑞𝑠𝑎 𝑇𝑖𝑛𝑡 𝑇𝑒𝑥𝑡 𝑅𝑒𝑞𝑠𝑎 𝑞𝑠𝑎 𝑇𝑖𝑛𝑡 𝑇𝑒𝑥𝑡 ln 𝑑𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑘𝑏 1 ℎ𝑒𝑥𝑡 1 2𝜋𝑟𝑒𝑥𝑡𝑏 𝑞𝑠𝑎 80 20 ln 3 2 2𝜋 372 0006 1 25 1 2𝜋00030006 𝑞𝑠𝑎 0170 𝑊 Logo a eficácia é dada por 𝜀 𝑞 𝑞𝑠𝑎 𝜀 296 0170 𝜺 𝟏𝟕𝟒