Analise de Porticos Planos Metodo da Rigidez - Teoria das Estruturas II

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Disciplina TEORIA AS ESTRUTURAS II formato remoto Prof Carlos Welligton Pires Sobrinho Módulo 4 ANÁLISE DE PÓRTICOS PLANOS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ Pórtico São estruturas compostas por elementos reticulares barras que se unem entre si formando um arcabouço espacial No caso de pórticos planos uma estrutura de barras em um mesmo plano As cargas são aplicadas em todas as direções axial transversal e de flexão Como as direções dos eixos das barras não são necessariamente nas mesmas direções há necessidade de trabalhar com sistema globalSG para estruturação e determinação dos deslocamentos desconhecidos e os esforços para posterior retorna para cada elemento em seu sistema local Sistema Global SG Sistema Local SL Desenvolvimento da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano Assim a matriz de rigidez SL para um elemento de pórtico plano é Já a matriz no sistema global SG necessita utilizar a transformação entre os sistemas na forma já mostrada antes A matriz de transformação construção da matriz no sistema global a partir do sistema local é Aplicando a transformação entre sistemas a matriz no sistema global segue Os vetores de carga seguem os mesmos procedimentos anteriores O vetor de carga aplicada nos nós F nas direções dos deslocamentos desconhecidos O vetor de carga aplicada nos elementos f deve ser deduzido das tabelas de engastamento perfeito semelhante ao desenvolvido para elemento de barra No caso das vigas as tabelas de engastamento perfeito bi engastada utilizado nas disciplinas de Concreto 2 e Teoria 1apresentada anteriormente Cálculo dos deslocamentos E o cálculo dos esforços nos elementos gi fi Kiui Exemplo 15 Determinar os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 Resolução A Simplificação sem a necessidade de informação do balanço B Discretização gdl 3 C Montagem da matriz de rigidez C1 Contribuição do elemento 1 L 3m C0 S1 EAL 5105 12EIL3 222222 6EIL2 333333 4EIL 666667 2EIL 333333 K1 0 0 0 1 2 3 222222 0 0 222222 0 0 0 0 5105 0 0 5105 0 0 333333 0 666667 333333 0 333333 0 222222 0 333333 222222 0 333333 1 0 5105 0 0 5105 0 2 333333 0 333333 333333 0 666667 3 C2 Contribuição do elemento 2 L 5m C1 S0 EAL 3105 12EIL3 480 6EIL2 1200 4EIL 4000 2EIL 2000 K2 1 2 3 0 0 0 3105 0 0 3105 0 0 1 0 480 1200 0 480 1200 2 0 1200 4000 0 1200 2000 3 3105 0 0 3105 0 0 0 0 480 1200 0 480 1200 0 0 1200 2000 0 1200 4000 0 A matriz global da estrutura discretizada K 3022105 0 333333 0 50048105 1200 333333 1200 1066667 D Vetores de carga D1 Cargas nodais 0 F 20 20 D2 Nos Elementos f00 f10 f00 f230 f00 f325 f10 f00 f20 f030 f30 f025 f10 f f230 f325 E Resolução do sistema e determinação dos deslocamentos 0 0 30222105 0 333333 U1 20 30 0 50048105 1200 x U2 20 25 333333 1200 1066667 U3 U15065x106 m U2988x105 m U3459x104 rad FDeterminação dos esforços nos elementos gi fi Kiui F1 Elemento 1 g01 0 222222 0 333333 0 g01 0 0 5x105 0 0 g01 0 333333 0 333333 0 g11 0 222222 0 333333 x U15065x106 g21 0 0 5x105 0 U2988x105 g31 0 333333 0 666667 U3459x104 g01 2222225065x106333333459x104152 g015x105 988105494 g013333335065x106 333333459x104153 g11 2222225065x106333333459x104152 g215x105 988105 494 g313333335065x106 666667459x104304 F2 Elemento 2 g12 0 3105 0 0 U15065x106 g22 30 0 480 1200 U2988x105 g32 25 0 1200 4000 U3459x104 g02 0 3105 0 0 x 0 g02 30 0 480 1200 0 g00 25 0 1200 2000 0 g120 31055065x106152 g2230 480988105 1200459104294 g322512009881054000459x1042305 g02 031055065x106152 g2230 480988105 1200459104306 g322512009881052000459x1042604 GDiagramas de esforços G1 Momentos fletores G2 Esforço cortante G3 Esforço Normal As mesmas considerações feitas para simetrias recalque e uso de mola podem ser utilizadas neste tipo de estrutura Podemos utilizar uma simplificação no cálculo de estruturas aporticadas visto que a rigidez da deformação axial EAL é bem maior que a rigidez de flexão 6EIL2 ou 12EIL3 Só para ter uma ideia um elemento de 20x50 cm2 e um comprimento de 5m EAEx05x025 Ex002 já o 6EIL2 Ex6x02x05312x52 Ex000049 quase 50 vezes menor e o 12EIL3 Ex12x02x05312x5300002 quase 100 vezes menor Assim em algumas discretizações de estruturas que se comportem como indeslocáveis ao deslocamento vertical e horizontal é possível utilizar a discretização só com os deslocamentos rotacionais Uma característica de uma estrutura indeslocável é que deslocar linearmente vertical ou horizontal se faz necessário haver deformação axial Exemplo de estruturas indeslocáveis A depender da discretização pode ser utilizada pode ser utilizada os seguintes elementos Exemplo 16 Determinar os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 Resolução ASimplificações A1 sem a necessidade de informação do balanço A2 Discretização como estrutura indeslocável e só rotações Com esta discretização possibilitada pela indeslocabilidade da estrutura discretizada é possível reduzir o gdl gdl1 A MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ B1 Contribuição do elemento 1 E 108 kNm2 I 5105 m4 L30m 4EIL 666667 2EIL 333333 B2 Contribuição do elemento 2 E 108 kNm2 I 5105 m4 L50m 4EIL 4000 2EIL 2000 Assim a matriz da estrutura discretizada é K 1066667 B VETORES DE CARGA C1 Cargas nodais F F 20 C2 Cargas nos elementos f f 25 D DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS 20 25 1066667xU1 U1 468x104 rad Quando comparado ao resultado sem simplificação U3459x104 o erro é de 21 E CÁLCULO DOS ESFORÇOS gi fi KiU E1 Elemento 1 E2 Elemento 2 FDIAGRAMAS DE ESFORÇOS Os momentos fletores são obtidos semelhantes aos anteriores Já os demais diagramas devemos utilizar as equações de equilíbrio para cada elemento Obtenção dos vetores o elemento 1 H Ra Rb 0 Ma 156 312 Rbx30 Rb 156 kN Ra 156 kN Obtenção dos vetores o elemento 2 V Ra Rb 12x5 200 Ma 2315 2594 12x5x52 Rbx5 0 Rb3056 Ra4944 Compondo os vetores e os elementos diagramas semelhantes de cortante e normal são encontrados 2944 3056 156 156 4944 Exercício proposto Exercício 51 Determinar a flecha no meio do vão da viga e os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 1Simplificação e discretização gdl 3 2 Montagem da matriz de rigidez 21 Contribuição do elemento 1 L3m C0 S1 6EIL2333333 12EIL3222222 4EIL666667 2EIL333333 0 0 0 1 0 0 0 0 0 K1 0 666667 0 333333 0 0 0 0 0 0 0 333333 0 666667 1 K11666667 22 Contribuição do elemento 2 0 1 2 3 3840 4800 3840 4800 0 4800 8000 4800 4000 1 K2 3840 4800 3840 4800 2 4800 4000 4800 8000 3 L25m C1 S0 6EIL2480000 12EIL3384000 4EIL800000 2EIL400000 23 Contribuição do elemento 3 2 3 0 0 3840 4800 3840 4800 2 4800 8000 4800 4000 3 K2 3840 4800 3840 4800 0 4800 4000 4800 8000 0 L25m C1 S0 6EIL2480000 12EIL3384000 4EIL800000 2EIL400000 1466667 480000 400000 K 480000 768000 0 400000 0 1600000 3 Vetores de carga 31 cargas nodais F F1200 F F20 F30 32 Carga nos elementos 4 Equação de equilíbrio F f KU 20 625 1466667 480000 400000 U1 0 30 480000 768000 0 x U2 0 0 400000 0 1600000 U3 U1453x104 rad U2409x103 m U3113x104 rad Flecha no meio do vão 409 mm para baixo Quando comparado ao resultado sem simplificação U3459x104 o erro é de 13 Exemplo 17 Determinar os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 ASimplificações possíveis Considerando a simetria Comportamento esperado na deformação O apoio central apresenta um deslocamento vertical previsto porém como apresenta simetria a rotação neste apoio é nula assim podese utilizar isto para discretizar Discretização possível Gdl 2 Na resolução imposição de U20002 B Montagem da Matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 B2 Contribuição do elemento 2 B3 Contribuição do elemento 3 Assim a matriz de rigidez do problema discretizado é C Vetores de carga C1 Cargas nodais F C2 Cargas nos elementos C21 Elemento 1 C22 Elemento 2 C23 Elemento 3 Assim D Determinação dos deslocamentos E CÁLCULO DOS ESFORÇOS gi fi KiU E1 Elemento 1 E2 Elemento 2 10 17280 72000 17280 72000 75 72000 400000 72000 200000 10 17280 72000 17280 72000 75 72000 200000 72000 400000 0 0 0 00129 0 0 0 g₀¹ 071 g₀¹ 1830 g₀¹ 1929 g₁¹ 5910 g₀² g₁² f² 0 f₀² 0 f₀² 0 f₀² 0 f₁² 0 93750 187500 9375 187500 187500 500000 187500 250000 93750 187500 93750 187500 187500 250000 187500 500000 0 0 0 00129 0 0 0 g₀² 2418 g₀² 3225 g₀² 2418 g₁² 6450 12418 6450 3225 2418 2 1 Exercício proposto Determinar a flecha no meio do vão e os esforços e as reações no pórtico abaixo e os diagramas sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 Baixar na internet Ftools puc rj Manual Programa Resolver por sistema numérico e na mão esta estrutura tomar as caracteristicas de modulo e densidade como está no ftools como concreto Fernando matha