Teoria das Estruturas II - Programa, Conceitos e Exercícios

TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 1 UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Disciplina TEORIA AS ESTRUTURAS II formato remoto Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho Programa Conceito de rigidez Metodologia de resolução com utilização de vetores Método da rigidez direta Desenvolvimento do modelo o Aplicação às treliças planas matriz de rigidez e transformação de sistemas o Aplicações influência de recalque e apoios elásticos o Aplicação a vigas contínuas matriz de rigidez e aplicações Aplicação do 1º Exercício Escolar o Aplicação aos pórticos planos matriz de rigidez e aplicações o Aplicação às grelhas planas matriz de rigidez e aplicações Sistemas computacionais Ftools e TQS Aplicação do 2º Exercício Escolar Metodologia de ensino no formato remoto Aulas através da plataforma googlemeet com interação e presença Material será disponibilizado ao final de cada aula em formato PowerPointpdf Referências bibliográficas Método da rigidez direta para cálculo de estruturas planas Prof Carlos Welligton UPE 2020 Métodos básicos para análise de estruturas Prof Luiz Fernando Martha httpwwwtecgrafpucriobrlfm O método da rigidez direta sob enfoque matricial Prof Luiz Fernando Martha PUCRJ 1993 Fundamentos do Método dos Elementos Finitos Prof Victor Franco ENIDH 2011 1 CONCEITO DE RIGIDEZ Seja uma barraengastelivre submetida à ação de uma carga axial TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 2 Considerando que o material da barra esteja no campo elástico então segue a 𝑬𝑨 Denominando K 𝑳 como rigidez e considerando que δ é um deslocamento virtual valor qualquer então tomando δ 1 valor Unitário Podese dizer que A rigidez K é equivalente a ação necessária para produzir um deslocamento unitário EXEMPLO 1 Seja a barra bi engastada a seguir Determinar as reações Ra e Rb e o deslocamento δc a Solução do problema utilizando o método dos deslocamentos Ação das forças externas Deslocamento devido a P Ação dos esforços internos Esforços gerados pelo deslocamento δc Fazendo o equilíbrio no nó C FH 0 F1 F2 P Sendo F1 K1δc e F2 K2δc K1δc K2δc K1 K2δc P δc 𝑃 𝐾 Assim a rigidez global K1 K2 é a soma da rigidez de cada barra TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 3 Pela definição da rigidez K1 𝐸𝐴 𝑎 𝐸𝐴 e K2 𝑏 𝐸𝐴 K 𝑎 𝐸𝐴 𝑏 𝐸𝐴𝐿 K 𝑎𝑏 Assim o deslocamento δc pode ser escrito como Determinação dos esforços internos Trecho 1 ac F1 K1 δc Trecho 2 cb F2 K2 δc 𝐸𝐴 𝑎 𝐸𝐴 𝑏 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑏 𝐿 𝑃𝑎 𝐿 Determinação das reações de apoio Diagrama de esforços finais esforços axiais Em resumo o método dos deslocamentos segue as seguintes etapas 1 Escrevese as equações de equilíbrio em função do deslocamento desconhecido 2 Após a determinação dos deslocamentos calcular as forças elásticas esforços internos e reações de apoio δc 𝑃 𝑷𝒂𝒃 𝐾 𝑬𝑨𝑳 𝑷𝒃 F1 𝑳 𝑷𝒂 F2 𝑳 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 4 b Solução alternativa utilizando o conceito da rigidez TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 5 Ação das forças externas Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Equações de equilíbrio P K1δc K2δc P k1 k2δc Assim a rigidez global K1 K2 é a soma da rigidez de cada barra Mesmo procedimento anterior 𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝐸𝐴 𝐸𝐴𝐿 Pela definição da rigidez K1 e K2 K 𝐸𝐴 K 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑃 𝑷𝒂𝒃 Assim o deslocamento δc pode ser escrito como δc 𝐾 𝑬𝑨𝑳 Determinação dos esforços internos 𝐸𝐴 𝑃𝑎𝑏 𝑃𝑏 𝑷𝒃 Trecho 1 AC F1 K1 δc F1 𝑎 𝐸𝐴𝐿 𝐿 𝑳 𝐸𝐴 𝑃𝑎𝑏 𝑃𝑎 𝑷𝒂 Trecho 2 CB F2 K2 δc F2 𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝐿 𝑳 xx xx Exemplo 2 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob carregamento aplicado Características da estrutura sob análise Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo aplicado Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C P K1δc K2δc K2δd Equação de equilibro no nó D P K2δc K2δd K3δd TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 6 Agrupando no formato matricial P K1 K2 K2 δc x P K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 Substituindo no sistema P 𝐸𝐴 𝐸15𝐴 𝑎 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 δc x P 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 𝐸𝐴 3𝑎 𝑎 δd Simplificando P 3 1 δc 𝐸 𝐴 2 𝐴 x x P 1 3 δd Resolvendo o sistema e Cálculo das forças elásticas nodais Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra δc 2𝐸𝐴 δd TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 7 Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 8 Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra xxxx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 9 CONSIDERAÇÕES SOBRE CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO Seja uma barra bi engastada sob carregamento uniformemente distribuído q Calcular as reações de apoio Como esta é um sistema hiperestático uma equação de equilíbrioFH0 para duas reações RA e RB Um dos caminhos para a determinação das reações é utilizar o método das forças Equação de equilíbrio estático FH RA RB qL 0 O método das forças propõe transformar o sistema hiperestático em isostático sistema principal através da liberação de esforços internos ou reações e introduzir ações incógnitas correspondentes a cada uma das liberações e utilizar o princípio da superposição dos efeitos criando equações de compatibilidade geométrica Princípio da superposiçã o dos efeitos Equação de compatibilidade geométrica no ponto e direção que houve a liberação da reação RB Neste caso o hiperestático X1 representa a reação RB Fazendo X1 unitário temos Neste caso o deslocamento B na estrutura real bi engastada é nulo B0 condições de contorno Já o deslocamento devido as ações externas B0 podes ser calculado utilizando o método da carga unitária já que o sistema agora é isostático Onde N0 é o esforço axial devido às ações externas N1 é o esforço axial devido à ação do hiperestático X11 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 10 Ação do carregamento externo q Ação da carga unitária X11 N0fx qlx Integrando Semelhante Aplicando na equação de compatibilidade 0 𝒒𝑳 𝒒𝑳 Onde X1 𝟐 assim RB 𝟐 Sendo FH RA RB qL 0 RA 𝑞𝐿 qL 2 RA 𝒒𝑳 𝟐 Assim para uma carga uniformemente distribuída ao longo de uma barra as reações de apoio são Semelhante comportamento se faz quanto à ação de temperatura T B0 αTL B 𝐿 1 𝐸𝐴 RA EAT RB EAT xx xx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 11 Exemplo 3 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob carregamento uniformemente distribuído aplicado Características da estrutura sob análise Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo traduzido em interno Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 0 K1δc K2δc K2δd 2 2 Equação de equilibro no nó D 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 0 K2δc K2δd K3δd 2 2 Obs Não existe carga nodal trabalho externo e sim esforços na barra trabalho interno Agrupando no formato matricial 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 2 2 K1 K2 K2 δc x 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 2 2 K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 12 Substituindo no sistema 2qa 𝐸𝐴 𝐸15𝐴 𝑎 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 δc x 2qa 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 𝐸𝐴 3𝑎 𝑎 δd Simplificando 2qa 3 1 δc 𝐸 𝐴 2 𝑎 x x 2qa 1 3 δd Resolvendo pelo método de triangularização de Gauss 2qa 3 1 Δc L1 𝐸 𝐴 2 𝑎 x x 2qa 1 3 Δd L2 1 L2 3xL2 𝐸𝐴 3x1 𝛿𝑐 𝐸𝐴 A linha L2 permite determinar 8qa 0 2𝑎 δc 8 𝐸𝐴 2𝑎 𝛿𝑑 Substituindo na linha L1 2qa 𝐸𝐴 2𝑎 3 δc 𝐸𝐴 2𝑎 2𝑞𝑎2 𝐸𝐴 2qaqa 3𝐸𝐴 2𝑎 δc Cálculo das forças elásticas nodais δd δc L1 3x2qa 2qa 2qa 2𝑎 3 3 3x 1 31 𝛿𝑑 Δc L1 𝐸 𝐴 2 𝑎 x x 0 8 Δd L2 8qa TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 13 Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 14 Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 15 Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra xxxx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 16 Exemplo 4 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob combinação de carga concentrada e carregamento uniformemente distribuído Características da estrutura sob análise Considere Pqa Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo aplicado nos nós Ação do carregamento externo traduzido em interno Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 P K1δc K2δc K2δd 2 2 Equação de equilibro no nó D 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 P K2δc K2δd K3δd 2 2 Obs Não existe carga nodal trabalho externo e sim esforços na barra trabalho interno Agrupando no formato matricial 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 qa 2 2 K1 K2 K2 δc x 𝑞 𝑎 𝑞𝑎 3𝑞𝑎 2 2 K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 17 Substituindo no sistema 3qa 𝐸𝐴 𝐸15𝐴 𝑎 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 δc x qa 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 𝐸𝐴 3𝑎 𝑎 δd Simplificando 3qa 3 1 δc 𝐸 𝐴 2 𝑎 x x qa 1 3 δd Resolvendo o sistema Resolvendo pelo método de triangularização de Gauss 3qa 3 1 δc L1 𝐸 𝐴 2 𝑎 x x qa 1 3 δd L2 L2 3xL2 L1 3xqa3qa 𝐸𝐴 2𝑎 3x1 3 3x3 1 𝛿𝑐 𝛿𝑑 3qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 3 1 δc L1 x x qa 0 8 δd L2 𝐸𝐴 A linha L2 permite determinar 6qa 0 2𝑎 δc 8 𝐸𝐴 2𝑎 𝛿𝑑 Substituindo na linha L1 3qa 𝐸𝐴 2𝑎 3 δc 𝐸𝐴 2𝑎 3𝑞𝑎2 2𝐸𝐴 3𝑞𝑎 3qa 4 3𝐸𝐴 2𝑎 δc Cálculo das forças elásticas nodais Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores δd δc TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 18 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 19 Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 20 Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra Análise comparativa TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 21 Pqa TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 22 2 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA O Método da rigidez direta é uma forma algoritmizada do método dos deslocamentos sendo esta a base dos programas computacionais Seja um elemento genérico de barra Sistema Local Os vetores relacionados ao Sistema LocalSL tem uma barra superior para diferir do Sistema GlobalSG e o grau de liberdade para o SL é sempre 2 para um elemento de barra Cálculo as forças internas nas extremidades do elemento Desenvolvimento o processo de montagem da matriz de rigidez Seja a barra dos exercícios anteriores Discretização definição dos elementos através da definição dos nós definindo o sistema global TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 23 Nós são posicionados obrigatoriamente nas extremidades nas mudanças de direções nas mudanças de materiais e nas mudanças de seção Opcionalmente no interior entre nós obrigatórios Para nós posicionados nas extremidades ou sobre apoios devem ter seu deslocamento potencial condicionado as condições de contorno Por exemplo sendo o nó pertencente a extremidade fixaengaste tem seu deslocamento potencial nulo Cada deslocamento potencial tem um vetor com numeração crescente de forma que o número dos deslocamentos potenciais definem o grau de liberdadegdl da estrutura discretizada Sistema Local Sistema Global gdl do elemento local gdl da estrutura discretizada Vetor de forças internas Vetor de forças internas Matriz de rigidez local Matriz de rigidez global Assim voltando a estrutura discretizada anterior Desenvolvimento do algoritmo de montagem da matriz de rigidez Contribuição do elemento 1 SG Associando o elemento 1 do SG ao elemento local genérico de barra Contribuição do elemento 2 SG Associando o elemento 2 do SG ao elemento local genérico de barra TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 24 Contribuição do elemento 3 SG Associando o elemento 3 do SG ao elemento local genérico de barra Sendo A a matriz de incidência cinemática associando o SL ao SG Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais Assim Como o deslocamento virtual δu é qualquer este pode seu unitário assim TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 25 Assim aplicando ao problema temse Contribuição do elemento 1 Contribuição do elemento 2 Contribuição do elemento 3 Então a matriz de rigidez para o problema discretizado é Semelhante à matriz de rigidez encontrada anteriormente Computacionalmente a montagem da matriz de rigidez é realizada desta forma computandose a contribuição de cada um dos elementos Na prática podemos podese aplicar uma correspondência entre o SL e o SG da seguinte forma Relembrando TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 26 Sabendo da matriz do elemento base no caso de elemento de barra é Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Concluindo as contribuições temos TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 27 A matriz de rigidez do problema discretizado semelhante às obtidas com os demais processos A determinação dos deslocamentos incógnitos ui i variando de 1 a n onde n é o gdl no SG é realizada pela expressão Onde F é o vetor das forças aplicadas nos nós f é o vetor das forças transferidas dos elementos para os nós K a matriz de rigidez no SG U o vetor dos deslocamentos desconhecidos Após a determinação dos deslocamentos desconhecidos ui é possível determinas os esforços internos para cada elemento utilizando No Sistema Global No Sistema Local Aplicação Exemplo 5 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob combinação de carga concentrada e carregamento uniformemente distribuído Características da estrutura sob análise Considere Pqa Resolução pelo método da rigidez direta a Discretização do problema a discretização mínima leva em consideração extremidades apoios mudança de seção ou material b Montagem da matriz de rigidez TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 28 b1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra b2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Concluindo as contribuições temos A matriz de rigidez do problema discretizado semelhante às obtidas com os demais processos C Construção dos vetores de carga C1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 29 No caso C2 Vetor de cargas nos elementos f Neste caso cada elemento irá contribuir utilizando as tabelas de reação de apoio para cada tipo de carga c21 vetor de carga do elemento 1 Já vimos que para uma barra carregada uniformemente temos a tabela Assim aplicado ao elemento 1 Assim aplicado ao elemento 2 Assim aplicado ao elemento 3 O Vetor final f é a soma vetorial dos vetores dos elementos D Montagem e resolução das equações de equilíbrio Resolvendo ver exercício anterior TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 30 E Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos E1 Elemento 1 Representação dos esforços no elemento 1 E2 Elemento 2 Representação dos esforços no elemento 2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 31 E3 Elemento 3 Representação dos esforços no elemento 3 A representação final dos esforços na estrutura é a combinação das partes No caso Diagrama de Esforços normais DEN xx xx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 32 Exercícios propostos Ex1 Determinar os esforços e reações para as estruturas abaixo pelo método da rigidez direta Ex1aEstrutura de barra sob carga concentrada Ex1bEstrutura de barra sob carregamento uniformemente distribuído TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 33 Exercício 6 Determinar o deslocamento do centro da estrutura anterior bem como comprar os esforços obtido com discretizações distintas Características da estrutura sob análise Considere Pqa Resolução pelo método da rigidez direta a Discretização do problema Para possibilitar a determinação de deslocamentos oi esforços em um determinado ponto da estrutura há necessidade de discretizar este ponto b Montagem da matriz de rigidez b1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra b2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 34 Elemento 3 Elemento 4 Assim computados todas as contribuições temse a matriz global C Construção dos vetores de carga C1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos No caso C2 Vetor de carga nos elementos f transferida aos nós Este vetor é calculado para cada elementos utilizando tabelas de engastamento perfeito na direção dos deslocamentos incógnitos No caso só existem atuantes na estrutura carregamento uniformemente distribuído assim a única tabela a ser utilizada TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 35 C21 Elemento 1 C22 Elemento 2 C23 Elemento 3 C24 Elemento 4 Concluídas as contribuições dos elementos o vetor final é a soma D Montagem e resolução do sistema de equações TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 36 Resolução pelo método de triangularização de Gauss Após a matriz triangularizada os deslocamentos são obtidos por retro substituição E Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos E1 Elemento 1 Os mesmos resultados obtidos o exercícios similares anteriores porém neste caso conseguimos determinar o deslocamento do ponto centralu2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 37 Representação dos esforços no elemento 1 E2 Elemento 2 Representação dos esforços no elemento 2 E3 Elemento 3 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 38 Representação dos esforços no elemento 3 E4 Elemento 4 Representação dos esforços no elemento 4 e reações no nó extremo A representação final dos esforços na estrutura é a combinação das partes No caso Diagrama de Esforços normais DEN Semelhante ao diagrama anterior porém sendo conhecido o esforço no meio do vão o que antes não se tinha determinado xxxxx Conclusão discretização diferentes não altera os resultados possibilita conhecer valores deslocamento e esforços em pontos além do mínimo TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 39 Exercício 7 Determinar o deslocamento na extremidade de uma barra de aço conforme mostrada abaixo considerando a atuação da carga aplicada e do peso próprio Considere Densidade do aço ɤ 80 kNm3 Módulo de elasticidade do aço E210 GPa Conversão 210 Gpa 21x108 kNm2 Resolução do problema A Discretização do problema Utilizando a discretização mínima B Montagem da matriz de rigidez B1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra B2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 40 B21 Elemento 1 A 006x006 00036 m2 L 02m 𝐸𝐴 21𝑥108𝑥00036 k 378x106 𝐿 02 Contribuição para matriz de rigidez global B22 Elemento 2 A 002 x 002 00004 m2 L 03 m 21𝑥108 𝑥00004 k 028 x 106 03 Contribuição para matriz de rigidez global Assim após todas as contribuições a matriz de rigidez do problema discretizado é C Construção dos vetores de carga C1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 41 A convenção positiva segue a orientação C2 Vetor de carga nos elementos f transferida aos nós Este vetor é calculado para cada elementos utilizando tabelas de engastamento perfeito na direção dos deslocamentos incógnitos C21 Contribuição do elemento 1 C22 Contribuição do elemento 2 Computada as contribuições o vetor de carga nos elementos é TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 42 E Montagem e resolução do sistema de equações Simplificando Resolvendo por Gauss 406 406 406 406 𝑢1 L2 028 x L2 L1 028 𝑥1048 336 028 𝑥028 406 028 𝑥028 028 𝑢2 Primeira resposta a extremidade deslocou 41 milésimo de milímetro para baixo Dando sequência E Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos E1 Elemento 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 43 E2 Elemento 2 F Representação final Diagrama de esforço normal As mínimas diferenças entre esforços no mesmo nó que deveriam ser os mesmos já que não tem carga apli neste decorrem de aproximações numéricas TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 44 Exercícios propostos Ex21 Determinar o deslocamento no meio do vão os esforços e reações para as estrutura abaixo pelo método da rigidez direta Ex22 Determinar o deslocamento no olhal da barra bem como os esforços e reações para as estruturas abaixo pelo método da rigidez direta TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 45 ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ Treliças Planas São estruturas compostas por barras articuladas por nós rotulados As cargas aplicadas apenas nos nós Não é considerado cargas atuantes nos elementos Em uma barra de treliça plana cada nó tem dois graus de liberdade Sendo estes relacionados à deslocamentos lineares E por ser necessário considerar elementos com orientações distintas há necessidade de utilizar na montagem e resolução do problema sistema global Sistema Global SG Sistema Local SL TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 46 Determinação da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema local Seja um elemento de treliça no sistema local Para U11 Para deslocar U1 em uma unidade necessitase de uma força de intensidade da rigidez por outro lado surge esforço igual no nó contrário Para U2 1 L𝐿 2 𝑈22 L1 𝑈2 2 𝐿 𝐿𝘍𝐿 Para U2 L Є 0 𝐿 Não surgem esforços Para U31 Para deslocar U3 em uma unidade necessitase de uma força de intensidade da rigidez por outro lado surge esforço igual no nó contrário Para U4 1 L𝐿 2 𝑈42 L1 𝑈4 2 𝐿 𝐿𝘍𝐿 Para U2 L Є 0 𝐿 Não surgem esforços TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 47 Assim montando a matriz Consideração dos elementos da matriz Transformação de sistemas Para possibilitar a soma das contribuições de elementos com orientações diferentes o SL o eixo dos elementos é necessário que todos os elementos estejam relacionados ao Sistema Global Assim Fazendo Ccosθ e Ssenθ Estendendo para os dois nós TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 48 Onde T é a matriz de transformação para este tipo de elemento Determinação da matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema global Desta forma Operando se obtém a expressão de recorrência para a matriz no sistema global TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 49 L 𝐿𝑥2 𝐿𝑦2 𝐿𝑥 C cosθ 𝐿 𝐿𝑦 S senθ 𝐿 Assim seguindo o procedimento anterior a montagem da matriz de rigidez é formada pela contribuição de cada elemento assim considerado Desta forma o procedimento para montagem da matriz do problema será realizado no sistema global com a contribuição de cada elemento O vetor de carga também e construído no sistema global sendo obtido os deslocamentos no sistema global F KU Após a determinação dos deslocamentos os esforços nos elementos são calculados no sistema Global utilizando a matriz do elemento no sistema global com os deslocamentos que atuam nesses elementos g Ku Para obter os esforços nos elementos no sistema local utiliza a matriz de transformação TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 50 Exercício 8 Determinar os deslocamentos esforços nos elementos e reações nos apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas Considere EA 20000 kN A Discretização No caso de treliças como por definição a treliça é formada por barras articuladas as articulações se confundem com os próprios nós não havendo espaço para outro tipo de discretização TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 51 B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 Assim Na memória B1 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V22 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 52 Assim Na memória Não tendo mais elementos a contribuir a matriz final é C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F Observe que não há cálculo os valores correspondem as ações associadas a cada deslocamento desconhecido respeitando os sentidos positivos C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 53 Resolvendo 7560 xL2L1 1920 7560 1920 x2010 7560 1920 𝑥1920 7560 7560 1920 𝑥1440 1920 𝑈1 𝑈2 L2 8875 0U1 3750U2 U2 002367m 2367 mm L1 10 7560U1 1920002367 U1 000733m 733 mm E Cálculo dos esforços E1 Elemento 1 gi KiUi TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 54 2668 kN 2000 kN 2668 kN 2000 kN TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 55 Transformação para o Sistema Local TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 56 Diagrama de esforços axiais Sistema Local E2 Elemento 2 Transformação para o Sistema Local TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 57 Diagrama de esforços axiais Sistema Local Esforços finais Diagramas de esforços axiais xx xx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 58 Exercício 9 Determinar os deslocamentos esforços nos elementos e reações nos apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas Considere EA 10000 kN A Discretização TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 59 B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 L 22 352 403 m C 2 05 403 S 35 087 403 U10 V10 U21 V22 Na memória TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 60 B2 Contribuição do elemento 2 L 35 m EA 15000 C 0 S 1 U10 V10 U21 V22 Na memória TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 61 B3 Contribuição do elemento 3 L 22 352 403 m C 2 05 403 S 35 087 403 U10 V10 U21 V22 Na memória C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 62 C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU Assim o nó superior central desloca 125mm para baixo E Cálculo dos esforços internos nas barras E1 barra 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 63 Transformação para sistema local E2 barra 2 Transformação para sistema local TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 64 E3 barra 3 Transformação para sistema local TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 65 Diagrama de esforços finais Observem que a soma dos esforços no topo é 233 535 233 1001 10 kN carga aplicada por ser simétrica cargas geometrias e materiais mostra esforços simétricos as reações nas bases são Va 233kN Há 133 kN Vb 535kN Hb 0 Vc 133 kN e Hc 233 kN os esforços nas barras são xx xxx xx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 66 Exercício 10 Determinar os deslocamentos e a reação no apoio da treliça às ações indicadas Considere EA 20000 kN A Discretização B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 67 L 32 42 5 4 C 08 5 3 S 06 5 U10 V10 U21 V20 Assim Na memória B2 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V20 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 68 Assim Na memória Sendo esta a matriz final K7560 C Vetores de carga F 10 ID Equações de equilíbrio F KU 10 7560u1 u1 7520 U1000132m E Cálculo dos esforços E1 Elemento 1 10 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 69 Transformação de sistemas 422 kN 001 0 422 kN 0 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 70 E2 Elemento 2 IF Esforços finais xx xx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 71 Exercícios propostos E31 Determinar os esforços e reaçoes na treliça abaixo Considere EA10000 kN TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 72 Exercício 11 Determinar os esforços e reações que surgem na treliça abaixo quando submetida às cargas aplicadas e ao recalque imposto Considere EA 20000 kN A Discretização No caso de deslocamento imposto geralmente conhecido consideramos inicialmente o deslocamento desconhecido e na resolução impõese o valor deste B Montagem da matriz de rigidez aproveitaremos o realizado no exercício 9 B1 Contribuição do elemento 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 73 L 32 42 5 4 C 08 5 3 S 06 5 U10 V10 U21 V22 Assim Na memória B1 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V22 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 74 Assim Na memória Não tendo mais elementos a contribuir a matriz final é C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F Observe na direção F1 a carga está aplicada na direção positiva já na direção F2 existem duas cargas a carga vertical 20 negativa pois está para baixo e a ação da reação positiva pois está indicada para cima C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 75 10384 L1 10 7560xU1 1920x0002 U1 7560 000183 m L2 R20 1920x000183 1440x0002 R2063 kN E Cálculo dos esforços gi Kiui E1 Elemento 1 Transformação de sistemas TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 76 E2 Elemento 2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 77 F Esforços finais XX XX TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 78 ANÁLISE DE VIGAS CONTÍNUAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ Viga contínua São estruturas compostas por elementos lineares sobre apoios As cargas aplicadas transversalmente na vertical Não se considera esforço axial Em um elemento de viga cada nó tem dois graus de liberdade Sendo estes relacionados a um deslocamento transversal d outro rotação Sistema Global SG Sistema Local SL Determinação da matriz de rigidez de um elemento de viga contínua Seja um elemento genérico de viga Para u1 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 79 Para u2 1 Para u3 1 Para u4 1 Sendo assim a matriz de rigidez de uma viga Os vetores de carga seguem os mesmos procedimentos anteriores O vetor de carga aplicada nos nós F nas direções dos deslocamentos desconhecidos TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 80 O vetor de carga aplicada nos elementos f deve ser deduzido das tabelas de engastamento perfeito semelhante ao desenvolvido para elemento de barra No caso das vigas as tabelas de engastamento perfeito bi engastada utilizado nas disciplinas de Concreto 2 e Teoria 1 Porém em algumas situações a depender da discretização se faz necessário também conhecer as reações Neste caso utilizando os momentos nas extremidades é possível determinar as reações através das equações de equilíbrio TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 81 Exemplo Exercício proposto Exercício 41 Completar a tabela abaixo sendo estas as situações mais utilizadas TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 82 Exercício 12 Determinar os esforços e reações que surgem na viga abaixo quando submetida às cargas aplicadas Resolvendo simplificando o balanço já que não foi explicitado a determinação da flecha em sua extremidade A Simplificação B Discretização do problema simplificado C Montagem da matriz de rigidez C1 Contribuição do elemento 1 Formulação genérica p elementos de viga Aplicando Observação quando não se tem interesse em deslocamentos ou esforços específicos como no balanço é possível simplificar a estrutura desde que não se altere seu comportamento TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 83 Logo só existe o K11 4𝐸𝐼𝐿 como só tem um elemento K 4𝐸𝐼 𝐿 D Vetores de carga D1 Cargas Nodais F F F1 qL232 D2 Cargas nos elementos D21 Elemento 1 E Equações de equilíbrio F Cálculo dos esforços nos elementos gi fi Kiui TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 84 F1 Elemento 1 Calculando G Diagramas de esforços G1 Momento Fletor Para o desenvolvimento do diagrama de momento fletor utilizamos como apoio a linha de fechamento no qual em se aplicando os valores dos momentos entre dois pontos é possível considerar sobre estes o diagrama do carregamento entre estes pontos como estrutura bi apoiada TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 85 G1 Esforço cortante xx xx Exercício 13 Determinar os esforços e reações que surgem na viga abaixo quando submetida às cargas aplicadas e a flecha na extremidade do balanço No desenvolvimento do diagrama de esforço cortante aplica o valor da reação da esquerda positiva para cima e decresce conforme as cargas atuantes para a esquerda TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 86 A Discretização mínima neste caso não se pode simplificar o balanço B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 K4EIl B2 Contribuição do elemento 2 CVetores de carga C1 Cargas nodais F C2 Cargas nos elementos f C21 Elemento 1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 87 C22 Elemento 2 Assim D Equações de equilíbrio Resolvendo TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 88 U3 10625qL4384EI U2 4qL3384EI U1 5qL3384EI E Determinação dos esforços nos elementos gi fi Kiui E1 Elemento 1 Calculando F2 Elemento 2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 89 G Diagramas G1 Elemento 1 G2 Elemento 2 xxxxxxx TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 90 Exercício proposto Exercício 42 Determinar a flecha no meio do vão e os esforços e reações que surgem na viga abaixo quando submetida às cargas aplicadas Considere EI 6000 kNm2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 91 Exercício 14 Determinar os deslocamentos na região do apoio que surgem na viga abaixo quando submetida às cargas aplicadas e do efeito mola que corresponde a um apoio móvel que varia com a açãoreação e a rigidez km deste elemento que está servindo de apoio Resolução A Simplificações possíveis A1 Observase que a estrutura apresenta simetria de carregamento Geometria e condições de contorno neste caso é possível utiliza a simetria reproduzindo no ponto de simetria o comportamento esperado Neste caso o apoio central que é o ponto de simetria apresenta rotação nula assim sem poder deformar verticalmente e sem poder rotacionar funciona como engaste A figura abaixo mostra um esquema da deformação esperada da estrutura A2 Como não se faz referência à determinação de deslocamentos e esforços em pontos específicos podese utilizar a simplificação do balanço reproduzindo no apoio extremo às ações que reproduzem o balanço Assim a resolução da estrutura simplificada traduz a estrutura inicial TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 92 B Discretização C Montagem da matriz de rigidez C1 Contribuição do elemento 1 Memória C2 Contribuição do elemento 2 Memória CVetores de carga TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 93 C1 Cargas nodais F C2 Cargas nos elementos f C21 Elemento 1 C22 Elemento 2 D Equações de equilíbrio Resolvendo TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 94 Analisando algumas situações xxxx Exercício Proposto TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 95 ANÁLISE DE PÓRTICOS PLANOS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ Pórtico São estruturas compostas por elementos reticulares barras que se unem entre si formando um arcabouço espacial No caso de pórticos planos uma estrutura de barras em um mesmo plano As cargas são aplicadas em todas as direções axial transversal e de flexão Como as direções dos eixos das barras não são necessariamente nas mesmas direções há necessidade de trabalhar com sistema globalSG para estruturação e determinação dos deslocamentos desconhecidos e os esforços para posterior retorna para cada elemento em seu sistema local TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 96 Desenvolvimento da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano Assim a matriz de rigidez SL para um elemento de pórtico plano é Sistema Global SG Sistema Local SL TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 97 Já a matriz no sistema global SG necessita utilizar a transformação entre os sistemas na forma já mostrada antes A matriz de transformação construção da matriz no sistema global a partir do sistema local é TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 98 Aplicando a transformação entre sistemas a matriz no sistema global segue Os vetores de carga seguem os mesmos procedimentos anteriores O vetor de carga aplicada nos nós F nas direções dos deslocamentos desconhecidos O vetor de carga aplicada nos elementos f deve ser deduzido das tabelas de engastamento perfeito semelhante ao desenvolvido para elemento de barra No caso das vigas as tabelas de engastamento perfeito bi engastada utilizado nas disciplinas de Concreto 2 e Teoria 1apresentada anteriormente Cálculo dos deslocamentos E o cálculo dos esforços nos elementos gi fi Kiui TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 99 Exemplo 15 Determinar os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 Resolução A Simplificação sem a necessidade de informação do balanço B Discretização TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 100 C Montagem da matriz de rigidez C1 Contribuição do elemento 1 L 3m C0 S1 EAL 5105 12EIL3 222222 6EIL2 333333 4EIL 666667 2EIL 333333 0 0 0 1 2 3 222222 0 0 222222 0 0 0 0 5105 0 0 5105 0 0 K1 333333 0 666667 333333 0 333333 0 222222 0 333333 222222 0 333333 1 0 5105 0 0 5105 0 2 333333 0 333333 333333 0 666667 3 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 101 C2 Contribuição do elemento 2 L 5m C1 S0 EAL 3105 12EIL3 480 6EIL2 1200 4EIL 4000 2EIL 2000 1 2 3 0 0 0 K2 3105 0 0 3105 0 0 1 0 480 1200 0 480 1200 2 0 1200 4000 0 1200 2000 3 3105 0 0 3105 0 0 0 0 480 1200 0 480 1200 0 0 1200 2000 0 1200 4000 0 A matriz global da estrutura discretizada 3022105 0 333333 K 0 50048105 1200 333333 1200 1066667 D Vetores de carga D1 Cargas nodais 0 F 20 20 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 102 D2 Nos Elementos f00 f10 f00 f230 f00 f325 f10 f00 f20 f030 f30 f025 f10 f f230 f325 E Resolução do sistema e determinação dos deslocamentos 0 0 30222105 0 333333 x U1 20 30 0 50048105 1200 U2 20 25 333333 1200 1066667 U2 U15065x106 m U2988x105 m U3459x104 rad FDeterminação dos esforços nos elementos gi fi Kiui F1 Elemento 1 1 g0 0 222222 0 333333 x 0 1 g0 0 0 5x105 0 0 1 g0 0 333333 0 333333 0 1 g1 0 222222 0 333333 U15065x106 1 g2 0 0 5x105 0 U2988x105 1 g3 0 333333 0 666667 U3459x104 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 103 1 6 4 g0 2222225065x10 333333459x10 152 1 5 5 g0 5x10 98810 494 1 6 4 g0 3333335065x10 333333459x10 153 1 6 4 g1 2222225065x10 333333459x10 152 1 5 5 g2 5x10 98810 494 1 6 4 g3 3333335065x10 666667459x10 304 F2 Elemento 2 g1 2 0 3105 0 0 x U15065x106 g2 2 30 0 480 1200 U2988x105 g3 2 25 0 1200 4000 U3459x104 g0 2 0 3105 0 0 0 g0 2 30 0 480 1200 0 g0 0 25 0 1200 2000 0 g120 31055065x106152 g2230 480988105 1200459104294 g322512009881054000459x1042305 g02 031055065x106152 g2230 480988105 1200459104306 g322512009881052000459x1042604 GDiagramas de esforços TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 104 G1 Momentos fletores TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 105 G2 Esforço cortante G3 Esforço Normal As mesmas considerações feitas para simetrias recalque e uso de mola podem ser utilizadas neste tipo de estrutura TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 106 Podemos utilizar uma simplificação no cálculo de estruturas aporticadas visto que a rigidez da deformação axial EAL é bem maior que a rigidez de flexão 6EIL2 ou 12EIL3 Só para ter uma ideia um elemento de 20x50 cm2 e um comprimento de 5m EAEx05x025 Ex002 já o 6EIL2 Ex6x02x05312x52 Ex000049 quase 50 vezes menor e o 12EIL3 Ex12x02x05312x5300002 quase 100 vezes menor Assim em algumas discretizações de estruturas que se comportem como indeslocáveis ao deslocamento vertical e horizontal é possível utilizar a discretização só com os deslocamentos rotacionais Uma característica de uma estrutura indeslocável é que deslocar linearmente vertical ou horizontal se faz necessário haver deformação axial Exemplo de estruturas indeslocáveis TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 107 A depender da discretização pode ser utilizada pode ser utilizada os seguintes elementos Exemplo 16 Determinar os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 108 Resolução ASimplificações A1 sem a necessidade de informação do balanço A2 Discretização como estrutura indeslocável e só rotações Com esta discretização possibilitada pela indeslocabilidade da estrutura discretizada é possível reduzir o gdl gdl1 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 109 B MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ B1 Contribuição do elemento 1 E 108 kNm2 I 5105 m4 L30m 4EIL 666667 2EIL 333333 B2 Contribuição do elemento 2 E 108 kNm2 I 5105 m4 L50m 4EIL 4000 2EIL 2000 Assim a matriz da estrutura discretizada é K 1066667 C VETORES DE CARGA C1 Cargas nodais F F 20 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 110 C2 Cargas nos elementos f f 25 D DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS 20 25 1066667xU1 U1 468x104 rad Quando comparado ao resultado sem simplificação U3459x104 o erro é de 21 E CÁLCULO DOS ESFORÇOS gi fi KiU E1 Elemento 1 E2 Elemento 2 TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 111 FDIAGRAMAS DE ESFORÇOS Os momentos fletores são obtidos semelhantes aos anteriores Já os demais diagramas devemos utilizar as equações de equilíbrio para cada elemento Obtenção dos vetores o elemento 1 H Ra Rb 0 Mb 156 312 Rbx30 Rb 156 kN Ra 156 kN TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 112 Obtenção dos vetores o elemento 2 V Ra Rb 12x5 0 Ma 2315 2594 12x5x52 Rbx5 0 Rb3056 Ra2944 Compondo os vetores e os elementos diagramas semelhantes de cortante e normal são encontrados TEORIA DAS ESTRUTURA II Departamento de Engenharia Civil Escola Politécnica de Pernambuco Prof Dr Carlos Welligton Pires Sobrinho 113 Exercício proposto Exercício 51 Determinar a flecha no meio do vão da viga e os esforços e reações no pórtico abaixo sob as ações indicadas Considere E 108 kNm2 I 5105 m4 A 0015m2