Exercício Obm Produtos Notáveis fatoração

Questão 21 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2010 3ª FASE 4000231212 DISCURSIVA As casas de um tabuleiro 3 x 3 são numeradas de 1 a 9 cada número sendo utilizado exatamente uma vez Em cada linha horizontal pintamos de vermelho a casa com o maior número e de verde a casa com o menor número Seja A o menor dos números das casas vermelhas e B o maior dos números das casas verdes a Mostre uma maneira de preencher o tabuleiro de forma que A B 4 b Mostre uma maneira de preencher o tabuleiro de forma que A B 3 c É possível obter A 4 e B 3 Não se esqueça de justificar a sua resposta Questão 22 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2011 1ª FASE 4000231222 O produto de três números naturais é 105 e a sua soma é a maior possível Qual é essa soma A 15 B 23 C 27 D 39 E 107 Questão 23 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2011 1ª FASE 4000231231 Esmeralda rasgou uma folha de papel em n pedaços e em seguida pegou uma dessas partes e rasgoua também em n pedaços Não satisfeita pegou uma destas últimas partes e também a rasgou em n partes Qual dos números a seguir poderia ser a quantidade total de pedaços obtida por Esmeralda A 15 B 18 C 24 D 26 E 28 Questão 24 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2003 2ª FASE 4000231245 DISCURSIVA Quais números inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de base 3 e expoente positivo Por exemplo 12 3² 3¹ é um número deste tipo mas 18 3² 3² não é Questão 25 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2004 2ª FASE 4000231249 DISCURSIVA Esmeralda a digitadora construiu uma tabela com 100 linhas e 100 colunas preenchendo uma casa com 1 se o número da linha da casa divide o número da coluna e com 0 caso contrário Assim por exemplo a casa da linha 2 e da coluna 4 foi preenchida com 1 porque 2 divide 4 e a casa na linha 3 e da coluna 7 foi preenchida com 0 a Qual a soma dos números escritos na linha 5 b Qual a soma dos números da coluna 60 Questão 26 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2004 2ª FASE 4000231250 DISCURSIVA a É possível dividir o conjunto 1² 2²7² em dois grupos A e B de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B Justifique b É possível dividir o conjunto 1² 2² 3²9² em dois grupos C e D de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de D Justifique Questão 27 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2007 2ª FASE 4000231265 DISCURSIVA Observe como o quadriculado ao lado é preenchido a Qual é a soma dos elementos da diagonal 9 b Qual é o resto da divisão por 100 da soma dos elementos da diagonal 2007 Questão 28 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2007 3ª FASE 4000231268 DISCURSIVA Mostre que existe um inteiro positivo a tal que a²⁹1a1 tem pelo menos 2007 fatores primos distintos Questão 29 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2007 3ª FASE 4000231269 DISCURSIVA Prove que não existem soluções inteiras e positivas para a equação 3ᵐ 3ⁿ 1 t² Questão 30 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2009 2ª FASE 4000231276 DISCURSIVA Esmeralda ia multiplicar um número A de três algarismos por outro número B de dois algarismos mas na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos de B e obteve um resultado 2034 unidades maior a Qual era o número A se os dígitos de B eram consecutivos b Qual seria o número A se os dígitos de B não fossem consecutivos Questão 31 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2010 2ª FASE 4000231279 DISCURSIVA Maria tem 90 cartões Ela numerou os cartões de 10 a 99 numa das faces e para cada número escrito escreveu a soma dos seus algarismos na outra face Por exemplo o cartão de número 43 tem o número 7 escrito no verso Em quais cartões um número de uma face é o dobro do número escrito na outra face Questão 32 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2012 1ª FASE 4000231303 Na reta numerada abaixo os pontos indicados com balõezinhos representam números inteiros maiores do que 93 e menores do que 112 Exatamente três dos números marcados são múltiplos de 4 Qual é o maior dos números indicados A 100 B 102 C 104 D 106 E 108 Questão 33 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2012 2ª FASE Colocando apenas parêntesis tantos quantos necessários mas usando apenas as adições e subtrações já indicadas podemos fazer com que a expressão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 represente o maior número possível Qual é este número Questão 34 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2012 3ª FASE Elaine usa cada um dos algarismos de 1 a 8 para escrever dois números de quatro algarismos cada a Se a diferença entre os dois números é a maior possível qual é a soma desses números b Se a soma desses dois números é a menor possível qual é a menor diferença possível entre eles Questão 35 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2013 2ª FASE Um número natural é chamado quadrado perfeito quando ele é o quadrado de outro número natural Por exemplo 1 e 25 são quadrados perfeitos pois 1 1² e 25 5² Qual é o menor valor de a b com a e b números naturais não nulos para que os números 28a³b e 7ab⁵ sejam ambos quadrados perfeitos Questão 36 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2013 2ª FASE Em uma prova de múltipla escolha Júlia acertou 100 das 128 questões possíveis Ela verificou que a maior quantidade de questões consecutivas que ela acertou é N Qual é o valor mínimo para N Questão 37 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2013 3ª FASE Desejamos preencher tabuleiros 3 x 3 com 9 inteiros positivos distintos sendo que números a e b que têm um lado em comum devem ser tais que a é divisível por b ou b é divisível por a Vejamos uma configuração que satisfaz as condições do problema Observe que o maior número que aparece no tabuleiro é o 25 8 2 10 4 20 5 12 1 25 a Apresente uma maneira de preencher um tabuleiro de modo que o maior número que aparece é o 22 b Qual é o menor inteiro positivo que pode ser o maior número que aparece no tabuleiro Questão 38 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2014 2ª FASE O conjunto de números 18 54 tem a seguinte propriedade a soma dos seus elementos 72 é igual ao dobro de sua diferença 36 Quantos conjuntos de dois números inteiros positivos ambos menores do que 100 possuem esta propriedade Observação os conjuntos 18 54 e 54 18 são iguais Questão 39 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2014 2ª FASE Colocando sinais de ou ou x ou entre os algarismos de 2014 e calculando o valor da expressão podemos obter muitos resultados diferentes Por exemplo 2 0 1 x 4 2 2 01 x 4 2 e 2 0 1 x 4 6 Observação lembrese de que não existe divisão por zero por isso não é permitido formar expressões que tenham esta operação a Quantos desses resultados não são números inteiros b De quantas maneiras podemos colocar os sinais entre os algarismos c Quantos resultados diferentes são possíveis Questão 40 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2014 3ª FASE A seguir as letras O B e M representam algarismos todos diferentes e não nulos Assim OBM e BOM por exemplo são números de três algarismos distintos e se O 1 B 4 e M 7 temos OBM 147 e BOM 417 a Qual é a soma de todos os números de três algarismos dados por O 1 B 2 e M 3 b Quais são todos os valores do número OBM na adição a seguir na qual X também é um algarismo OBM OBM MBO MOB BMO BOM O O O X a A B 4 7 3 5 Vermelho 7 Verde 3 8 1 4 Vermelho 8 Verde 1 9 2 6 Vermelho 9 Verde 2 Vermelhos maiores de cada linha A 7 Verdes menores de cada linha 3 1 2 B 3 Diferença A B 7 3 4 b A B 3 7 8 9 Vermelho Verde 7 5 1 6 Vermelho 6 Verde 1 2 3 4 Vermelho 4 Verde 2 Vermelhos maiores de cada linha 9 8 4 A 4 Verdes menores de cada linha 7 1 2 B 7 Diferença A B 4 7 3 c A 4 e B 3 não é possível c Não é possível Para A 4 uma linha deve ter 4 como maior número exigindo que os demais números dessa linha sejam 1 2 ou 3 Porém para B 3 esses mesmos números 1 2 3 precisariam ser os menores de suas linhas com pelo menos uma linha tendo 3 como menor Isso cria uma contradição pois os números 1 2 3 não podem ser simultaneamente menores em linhas distintas e ocupar a linha com 4 como maior sem repetição 2º B 3 4 7 1 1 105 soma 1 1 105 107 Incli o maior fator possível 1 3 35 Soma 1 3 35 39 1 5 21 Soma 1 5 21 27 1 7 15 Soma 1 7 15 23 3 5 7 Soma 3 5 7 15 3º primeiro rango n Segundo rango n n 1 2n 1 terceiro rango 2n 1 n 3 3n 2 24 28 3n 2 28 n 10 inteiro Letra Z 24números inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de base 3 com expoentes positivos 25º a soma dos números na linha 6 A linha 6 terá 16 nas colunas que não múltiplos de 6 1006 16 pois 6 16 96 Soma 16 1 16 b soma dos números da coluna 60 Divisores 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 12 12 x 1 12 26º Divisão 1 2 75 Sim pois Soma 1 2 3 4 5 6 7 7 7 12 28 Grupo A 7 6 3 7 6 1 14 Grupo B 5 4 3 2 5 4 3 2 14 b Divisão do conjunto 1 2 95 em dois grupos C e D com somas iguais Soma 9 9 12 45 A soma é ímpar logo não é possível 27º a Diagonal 9 Soma dos elementos 9 9 9 0 0 27 b Soma da diagonal 0 único elemento 0 diagonal 200 repete o padrão da diagonal 0 por 20 ciclos completos 20010 20 Soma 20 0 0 Resposta 0 28º a201a 1 Soma de uma progressão geométrica 2ª n Para que essa soma tenha muitos fatores primos distintos é necessário que a seja escolhido de forma que a soma seja altamente composta 29º 3n 3m j2 módulo 3 2 3n j j2 3n 0 para n 1 2 0 j j2 A j2 j² j mod 3 é possível Módulo 4 0 se é par ou 3 é ímpar Caso 1 n par n 2k 32k mod 4 2 1 1 3 mod 4 j² 3 3 não é residuo quadrático módulo 4 Caso 2 n ímpar n 2k 1 32k1 3 mod 4 o que é impossível logo não existe solução 35º O menor valor obtido quando a7 e b1 28ab 287 196 14² quadro perfeito 7ab 771 49 7² quadro perfeito a b 7 1 8 36º Distribuição dos erros 28 erros dividimos 100 acertos 28 1 281 100 29 345 maior bloco de acertos consecutivos seria 4 134 163 52 48 100 O maior bloco de acentos consecutivos é 4 N 4 37º O maior número possível é 32 38º a b ab 2a b a 3b 100 ab 2a 2b 3b 100 a 3b 0 a 3b b 100 3 39º a 14 a divisão deve estar entre 3 e 4 o primeiro espaço entre 2 e 0 3 opções t r x segundo espaço entre 0 e 1 4 opções terceiro espaço entre 3 e 4 3 x 4 x 1 12 14 b terceiro espaço 3 x 4 x 1 4 48 c 2 0 1 4 7 20 1 x 4 4 20 14 6 2 x 0 1 4 4 repetido 72 resultados distintos 40º O1 B2 M3 O3M 123 OM3 132 B30M 213 BM30 231 M0B 312 M30 321 Somando 1332 b OBM 220 OBM 11100 x BM40 x0 1 O2 BM 38 pares válidos 57 71 35 53 números OBM 217 235 253 1 O4 B M 36 pares válidos 79 97 08 B M 12 pares válidos 48 84 57 75 números OBM 348 384 357 375 12 30º a B 10 x x1 B 10 x1 x A 11x 30 A 11x 1 2034 A 9 2034 A 226 a 226 b B 10m n A 9nm 2034 n m deve ser divisor de 226 e dígito 1 ou 2 A 226 nm A 226 ou 113 31º N 10a b N 2 a b 100 b 2a 2b verificando 8a b S18 1 8 9 18 29 a 1 b 8 N 18 32º Determinar o maior número possível Se 108 estiver marcado é múltiplo de 4 os três múltiplos seriam 100 104 108 O maior número seria 108 K 108 33º 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9 25 34º a números 8765 maior e 1234 menor soma 8765 1234 9999 b menor diferença possível números 1358 e 2457 soma 1358 2467 3825 2467 1358 1109 Número OOM 479 497 Valores finais 217 235 243 271 348 357 373 384 479 497