Exercícios Olimpíadas de Matemática

Questão 1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2006 3ª FASE 4000231259 DISCURSIVA Encontre todos os pares ordenados x y de inteiros tais que x³ y³ 3x² y² Questão 2 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 1999 1ª FASE 4000231575 Sendo a b e b 0 sabese que as raízes da equação x² ax b 0 são exatamente a e b Então a b é igual a A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Questão 3 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2001 1ª FASE 4000231694 O número de soluções inteiras distintas da equação 6x² 12x 2x² 2x 2 4 é A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 Questão 4 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2001 1ª FASE 4000231713 A soma dos valores reais de x tais que x² x 1 156x² x é A 13 B 6 C 1 D 2 E 6 Questão 5 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2001 3ª FASE 4000231723 DISCURSIVA Sejam a b e c números reais não nulos tais que a b c 0 Calcule os possíveis valores de a³ b³ c³² a⁴ b⁴ c⁴ a⁵ b⁵ c⁵² Questão 6 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2008 1ª FASE O número de soluções reais do sistema a2 b 2 b2 c 2 c2 a 2 é igual a A 0 B 1 C 2 D 4 E 8 Questão 7 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2010 1ª FASE Os números a e b são reais não negativos tais que a3 a b b3 Então A b a 1 B a b 1 C a 1 b D a b 1 E 1 a b Questão 8 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2011 2ª FASE DISCURSIVA Sejam a e b números reais não nulos tais que a equação x2 ax b 0 possui soluções a e b Determine a b Questão 9 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2012 1ª FASE Se x2 2x 4 então x 11 é igual a A x 2 B x 3 C x 1 D 2x 5 E 3x 5 Questão 10 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2014 2ª FASE DISCURSIVA Determine o número de soluções com x e y inteiros positivos da equação x2 y2 36 Questão 11 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2012 2ª FASE DISCURSIVA Considere a equação ax2 bx c 0 em que a b e c são reais e a 0 Suponha que esta equação tenha duas raízes reais r e s tais que 0 r 1 e 0 s 1 Mostre que b c 0 Questão 12 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2014 1ª FASE As raízes da equação x² ax b 0 são diferentes de zero e são os quadrados das raízes da equação x² bx a 0 As raízes das equações não são necessariamente reais mas a e b são reais Então o valor de a é A 2 B 2 C 3 D ³2 E ³3 Questão 13 OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA 2018 FASE ÚNICA Para cada número natural n 2 encontrar as soluções inteiras do sistema de equações x₁ x₂ x₃ x₄ xₙ²⁰¹⁸ x₂ x₁ x₃ x₄ xₙ²⁰¹⁸ xₙ x₁ x₂ x₃ xₙ₁²⁰¹⁸ Questão 14 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2015 2ª FASE O professor Piraldo passou para Esmeralda uma equação da forma ax b sendo a e b reais Esmeralda se enganou e resolveu a equação bx a obtendo uma solução que é igual à correta menos 60 Se a solução correta é da forma m n com m e n inteiros qual é o valor de m n Questão 15 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2012 1ª FASE Ao calcular as raízes da equação do segundo grau x² mx m 5 0 Samuca percebeu que elas eram os catetos de um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 5 A soma dos possíveis valores de m é A 2 B 12 C 7 D 10 E 8 Questão 16 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2020 FASE ÚNICA Em uma lousa encontrase o seguinte texto A equação x² 824x 143 0 possui duas soluções inteiras Onde representa alguma quantidade de algarismos de um número que está borrada na lousa Quais são as possíveis equações originalmente na lousa Questão 17 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2006 2ª FASE Sejam a e b números reais distintos tais que a² 6b 5ab e b² 6a 5ab a Determine o valor de a b b Determine o valor de ab Questão 1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2002 3ª FASE No quadrículado ao lado estão escritos todos os inteiros de 1 a 25 Considere todos os conjuntos formados por cinco desses números de modo que para cada conjunto não existem dois números que estão na mesma linha ou na mesma coluna 2 13 16 11 23 15 1 9 7 10 14 12 21 24 8 3 25 22 18 4 20 19 6 5 17 a Apresente um conjunto cujo maior elemento é o 23 b Apresente um conjunto cujo maior elemento é o menor possível Questão 2 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2010 1ª FASE Numa sala do 6º ano todos gostam de pelo menos uma das duas matérias Matemática ou Português Sabese que 34 dos alunos gostam de Matemática e 57 dos alunos gostam de Português A sala tem 56 alunos Quantos alunos gostam dessas duas matérias ao mesmo tempo A 4 B 8 C 13 D 24 E 26 Questão 3 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2011 2ª FASE Duas tribos vivem numa ilha Os da tribo azul só dizem a verdade e os da vermelha só mentira Um dia 100 pessoas da ilha se reuniram num círculo e um repórter se dirigiu a cada uma delas com a pergunta O seu vizinho à direita é um mentiroso Terminada a pesquisa verificouse que 48 pessoas responderam sim No máximo quantas pessoas da tribo vermelha poderiam estar no círculo Questão 4 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2006 3ª FASE Quantos subconjuntos a b c de três elementos distintos de 1 2 3 100 são tais que b é a média aritmética de a e c a b c Questão 6 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2014 1ª FASE Ana enfileira 2014 cartões e os numera de 1 até 2014 Em seguida ela os pinta a partir do primeiro com as cores amarela verde e preta um de cada cor sempre nessa ordem Considere as seguintes afirmações I O número de cartões é igual para as três cores II Há mais cartões amarelos impares do que verdes pares III Há mais cartões pretos impares do que verdes impares Quais afirmações são verdadeiras A Somente I B Somente II C Somente III D Somente I e II E Somente II e III Questão 7 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2008 3ª FASE Sendo A um conjunto de números inteiros definimos SA como o conjunto formado pelas somas de dois elementos não necessariamente distintos e DA como o conjunto formado pelas diferenças de dois elementos não necessariamente distintos Por exemplo se A 1 2 3 10 então SA 2 3 4 5 6 11 12 13 20 e DA 9 8 7 2 1 0 1 2 7 8 9 Mostre que existe um conjunto finito A tal que SA tem no máximo 1097 elementos e DA tem no mínimo 10¹⁰⁰ elementos Questão 8 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2002 1ª FASE Vamos provar que 4 é maior que 4 Sejam a e b dois números tais que a 4 e a b 1 Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação a b a 4 b 4 2 Colocamos 1 em evidência no segundo membro da equação a 4 1 b 4 a 4 1 4 b 3 Elevamos ambos os termos da equação ao quadrado a 4² 1 4 b² a 4² 1² 4 b² a 4² 1 4 b² a 4² 4 b² 4 Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação a 4² 4 b² a 4 4 b 5 Como a b substituímos b por a a 4 4 a 6 Resolvemos a equação a 4 4 a 2a 8 a 4 Como escolhemos a tal que a 4 chegamos à inacreditável conclusão de que 4 4 Onde está o erro no argumento acima A Na passagem 2 B Na passagem 3 C Na passagem 4 D Na passagem 5 E Na passagem 6 Sejam A e B dois conjuntos disjuntos tais que nA 5 e nB 7 em que nX é a quantidade de elementos do conjunto X Quantos subconjuntos nãovazios C de A B são tais que nA C nB C A 790 B 791 C 792 D 793 E 794 Para cada numero real r entre 0 e 1 podemos representar r com decimal infinito r 0 r1r2r3 com 0 r i 9 Por exemplo 14 025000 13 0333 e 12 0707106 a Mostre que podemos escolher dois racionais p e q entre 0 e 1 de modo que a partir das representações decimais deles p 0 p1p2p3 e q 0 q1q2q3 e é possivel construir um numero irracional α 0 a1a2a3 tal que para cada i 1 2 3 temos ai pi ou ai qi b Mostre que existem um racional s 0 s1s2s3 e um irracional β 0 b1b2b3 tais que para todo N 2017 o numero de índices 1 x N tais que si bi é menor ou igual a N2017 Questão 11 Seja S um conjunto de n elementos Determine o menor inteiro positivo k com a seguinte propriedade dados quaisquer k subconjuntos distintos A1 A2 Ak de S existe uma escolha adequada dos sinais e de modo que S A1 A2 Ak onde Ai Ai e Ai S Ai é o complementar de de Ai em relação a S Questão 12 Um grafo cujo conjunto de vértices V tem n elementos é bacana se existir um conjunto D N e uma função injetiva f V 1n²4 N tal que os vértices p e q são ligados por uma aresta se e somente se fp fq D Mostre que existe n0 N tal que para todo n n0 existem grafos com n vértices que não são bacanas Observação Um grafo com conjunto de vértices V é um par V E onde E é um conjunto de subconjuntos de V todos com exatamente dois elementos Um conjunto p q é chamado de aresta se pertencer a E e neste caso dizemos que esta aresta liga os vértices p e q Questão 13 Para cada inteiro positivo n seja An x R xx n em que R é o conjunto dos reais positivos e x é o maior inteiro menor ou igual a x Determine a quantidade de elementos do conjunto A1 A2 A3 A2009 Questão 14 Sejam S um conjunto de n elementos e S1 S2Sk subconjuntos de Sk 2 cada um deles com pelo menos r elementos Demonstrar que existem i e j com 1 i j k tais que o número de elementos comuns a Si e Sj é maior ou igual a r nk4k1 Questão 1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 1998 2ª FASE 4000229860 DISCURSIVA João comprou um livro e reparou que ele tinha 200 páginas Seu irmão mais novo arrancou ao acaso 25 folhas e somou os números das 50 páginas Explique porque o resultado desta soma não pode ser igual a 1998 Atenção cada folha tem duas páginas A primeira folha tem as páginas 1 e 2 a segunda folha tem as páginas 3 e 4 e assim por diante Questão 2 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 1999 2ª FASE 4000229923 DISCURSIVA Sabese que três meses consecutivos de um determinado ano não bissexto possuem cada um exatamente quatro domingos a Estes meses podem ser janeiro fevereiro e março b Podem ser agosto setembro e outubro Questão 3 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 1999 3ª FASE 4000229936 DISCURSIVA Emanuela Marta e Isabel são três nadadoras que gostam de competir e por isso resolveram organizar um desafio de natação entre elas Ficou combinado o total de pontos para o primeiro o segundo e o terceiro lugares em cada prova A pontuação para primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro As pontuações são números inteiros positivos O desafio consistiu de várias provas e ao final observouse que Emanuela fez 20 pontos Marta 9 pontos e Isabel 10 A primeira prova foi vencida por Isabel a Quantas provas foram disputadas b Determine o total de pontos para o primeiro segundo e terceiro lugares Questão 4 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2000 2ª FASE 4000230049 DISCURSIVA Seja N o número inteiro positivo dado por N 1² 2² 3² 4² 196883² Qual é o algarismo das unidades de N Questão 17 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2018 FASE ÚNICA 4000233184 DISCURSIVA Azambuja escreve um numero racional q em uma lousa Uma operação consiste em apagar q e substituilo por q 1 ou por q 1 ou por q12q1 se q 12 O objetivo final de Azambuja e escrever o numero 12018 após realizar uma quantidade finita de operações a Mostre que se o numero inicial escrito e 0 então Azambuja não poder a alcançar seu objetivo b Encontre todos os números iniciais para os quais Azambuja pode atingir seu objetivo Questão 18 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 3 2019 FASE ÚNICA 4000233432 DISCURSIVA a Prove que dadas constantes a b com 1 a 2 b não existe partição do conjunto dos inteiros positivos em dois subconjuntos A0 A1 tal que se j 0 1 e m n pertencem a Aj então nm a ou nm b b Determine todos os pares de reais a b com 1 a 2 b para os quais vale a seguinte propriedade existe uma partição do conjunto dos inteiros positivos em três subconjuntos A0 A1 A2 tal que se j 0 1 2 e m n pertencem a Aj então nm a ou nm b Observação Uma partição de um conjunto é escrever tal conjunto como união de subconjuntos disjuntos dois a dois Questão 5 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2002 1ª FASE 4000230057 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos de forma que as somas dos quatro números em cada uma das pás da hélice sejam iguais e de maior valor possível Esse valor é A 23 B 22 C 21 D 20 E 19 Questão 6 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2003 2ª FASE 4000230152 DISCURSIVA Quantos números inteiros maiores do que 2003² e menores do que 2004² são múltiplos de 100 Questão 7 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2003 2ª FASE Na multiplicação a seguir a b c e d são algarismos 45 x a3 3bcd Calcule b c d Questão 8 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2004 2ª FASE Na multiplicação a seguir a b e c são algarismos Calcule a b c Questão 9 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2004 3ª FASE Encontre todos os números naturais n de três algarismos que possuem todas as propriedades abaixo n é ímpar n é um quadrado perfeito A soma dos quadrados dos algarismos de n é um quadrado perfeito Questão 10 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2005 1ª FASE Dentre os números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e 10 escolha alguns e coloqueos nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito Atenção o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos além disso círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é A 36 B 46 C 47 D 49 E 55 Questão 11 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2006 3ª FASE Na adição abaixo cada símbolo representa um único algarismo e símbolos diferentes representam algarismos diferentes Determine o valor de cada símbolo ou seja descubra tais valores e mostre que não existem outras possibilidades Questão 12 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 1998 1ª FASE No quadrado mágico abaixo a soma dos números em cada linha coluna e diagonal é sempre a mesma Por isso no lugar do X devemos colocar o número A 30 B 20 C 35 D 45 E 40 Questão 13 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 1998 1ª FASE 4000230969 Observe as igualdades a seguir 3² 4² 5² 5² 12² 13² 7² 24² 25² 9² 40² 41² Considere a igualdade 17² x² y² com base nos exemplos anteriores procure determinar os números naturais x e y Podemos concluir que x y é igual a A 289 B 121 C 81 D 144 E 196 Questão 14 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 1999 2ª FASE 4000230998 DISCURSIVA Três meses consecutivos de um determinado ano não bissexto possuem exatamente quatro domingos cada um Prove que um destes meses é fevereiro Questão 15 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 1999 2ª FASE 4000231005 DISCURSIVA Determine o maior natural n para o qual existe uma reordenação a b c d de 3 6 9 12 isto é a b c d 3 6 9 12 tal que o número ³a³b⁶c⁹d¹² seja inteiro Justifique sua resposta Questão 16 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 1999 2ª FASE 4000231007 DISCURSIVA Determine todos os inteiros positivos n para os quais é possível montarmos um retângulo 9 x 10 usando peças 1 x n Questão 17 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2000 2ª FASE 4000231096 DISCURSIVA O campeonato Venusiano de futebol é disputado por 10 times em dois turnos Em cada turno cada equipe joga uma vez contra cada uma das outras Suponha que o Vulcano FC vença todas as partidas do 1º turno Caso não vença o 2º turno o Vulcano FC jogará uma final contra o vencedor do 2º turno na qual terá vantagem caso faça mais pontos que o adversário durante todo o campeonato vitória vale 3 pontos empate vale 1 ponto e derrota 0 pontos a Determine o menor n tal que se o Vulcano FC fizer exatamente n pontos no segundo turno garantirá pelo menos a vantagem na final independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos b Determine o menor n tal que se o Vulcano FC fizer pelo menos n pontos no segundo turno garantirá pelo menos a vantagem na final independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos Questão 18 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 2 2000 2ª FASE 4000231097 DISCURSIVA Listamos os inteiros de 1 a n Desta lista apagamos o inteiro m A média dos n 1 números restantes é 13411 Determine n e m Questão 19 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2008 2ª FASE 4000231144 DISCURSIVA A partir das igualdades 3² 1² 8 8 1 5² 3² 16 8 2 7² 5² 24 8 3 e 2009² 2007² 8 N podemos escrever 2009² 1 4 N N1 Qual é o valor de N Questão 20 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL 1 2009 3ª FASE 4000231182 DISCURSIVA As casas de um tabuleiro 4 x 4 devem ser numeradas de 1 a 16 como mostrado parcialmente no desenho formando um Quadrado Mágico ou seja as somas dos números de cada linha de cada coluna e de cada uma das duas diagonais são iguais 14 11 5 X 8 12 3 Y a Que números devem ser escritos no lugar de X e de Y b Apresente o Quadrado Mágico completo na sua folha de respostas Olimpíada Brasileira de Matemática Resoluções das Questões 117 1 Questão 1 A igualdade x3 y3 3x2 y2 pode ser fatorada como x yx2 xy y2 3x yx y Se x y qualquer par k k Z2 satisfaz a equação Se x y dividimos por x y e obtemos x2 xy y2 3x y Considerandoa como quadrática em x e exigindo discriminante inteiro nãonegativo chegamos a Δ 12 3 y 12 0 y 1 0 1 2 3 a única exclusão é y 1 Resolvemse os casos restantes e obtêmse os pares adicionais 2 1 3 0 1 2 0 3 x y k k k Z ou 2 1 3 0 1 2 0 3 2 Questão 2 Se as raízes de x2 ax b 0 são a e b com b 0 pelo Teorema de Viète a b a ab b O sistema implica b 2a e depois a 1 Logo a b 1 2 3 3 Questão 3 Escreva Px 6x2 12x 2 4 6x 12 Ex x2 2x 2 x 12 1 Seja t x 12 N A equação é 4 6tt1 4 Os únicos t viáveis são 0 e 1 dando x 1 0 2 Existem 3 soluções inteiras 4 Questao 4 Coloque t x2 x t 1 156 t t2 t 156 0 t 12 13 Somente t 12 gera raızes reais x 3 ou x 4 A soma e 3 4 1 5 Questao 5 Com a b c 0 e σ2 ab bc ca σ3 abc Newton fornece a3 b3 c3 3σ3 a4 b4 c4 2σ2 2 a5 b5 c5 5σ2σ3 Portanto a3 b3 c32a4 b4 c4 a5 b5 c52 3σ32 2σ2 2 5σ2σ32 18 25 6 Questao 6 O sistema a2 b 2 b2 c 2 c2 a 2 implica a f 3a com fx x2 2 Os unicos pontos fixos reais de f 3 sao a 2 e a 1 gerando 2 2 2 e 1 1 1 Logo existem 2 solucoes reais 7 Questao 7 Se a b 0 e a3 a b b3 o termo b b3 b1 b2 so e positivo quando b 1 ademais precisamos a b Concluise 0 a b 1 8 Questao 8 Na multiplicacao abaixo a b c sao algarismos 1ab b3 1 c c 0 1 Calcule a b c 2 Solução Seja N 100 10a b M 10b 3 N M 1cc01 1 Último dígito 3b 1 mod 10 b 7 2 Módulo 100 10a773 730a511 30a11 1 mod 100 30a 90 mod 100 a 3 3 Produto completo 137 73 10001 c 0 Portanto a b c 3 7 0 10 9 Questão 9 De x2 2x 4 segue x 1 5 Assim x 11 1x 1 12 5 5 2 x 3 10 Questão 10 Fatorase x2 y2 x yx y 36 Posto m x y n x y mn 36 e mesma paridade O único par positivo adequado é m n 2 18 gerando x y 10 8 Há 1 solução inteira positiva 11 Questão 11 Para raízes r s 0 1 de ax2 bx c 0 a 0 r s ba rs ca Então b c a rs r s 0 b c 0 12 Questão 12 Se α β são raízes de x2 bx a 0 α β b αβ a As raízes de x2 ax b 0 são α2 β2 de modo que α2 β2 a α2β2 b Substituindo b a2 e a b2 2a obtémse a4 3a a 0 logo a 33 13 Questao 13 Seja S x1 xn O sistema xi S xi2018 i 1 n mostra que se S 0 entao xi xi2018 xi 0 para todo i Se S 0 e n 3 obtemse contradicao para n 2 restam 0 0 e 1 1 Assim 0 0 para todo n 2 1 1 se n 2 14 Questao 14 Trocar ax b por bx a da a b b a 60 Com t b a t260t1 0 t 30 901 A solucao valida e xcor 30 901 m n m 30 n 901 Logo m n 931 15 Questao 15 Para raızes r s de x2 mxm5 0 r s m rs m5 e o triˆangulo retˆangulo exige r2 s2 25 Mas r2 s2 m2 2m 10 25 m2 2m 35 0 m 7 ou m 5 O ultimo impossibilita rs m 5 0 Assim a soma dos valores de m e 7 16 Questao 16 Com raızes inteiras α β 824 e αβ 143 mod 1000 resolvendo k824 k 143 mod 1000 obtemse os produtos 79 143 130 143 167 143 As possıveis equacoes sao x2 824x 79 143 0 x2 824x 130 143 0 x2 824x 167 143 0 17 Questao 17 Do sistema a2 6b 5ab b2 6a 5ab subtraindo abab 6ab ab 6 pois a b Somando as equacoes e usando a2 b2 a b2 2ab 36 2ab 36 10ab 12ab 72 ab 6 Portanto a b 6 ab 6 4 Resolucoes Questoes 1 a 16 Questao 1 Considere o tabuleiro 5 5 contendo os inteiros de 1 a 25 Um conjunto valido deve conter exatamente um numero por linha e por coluna a Maior elemento 23 Um exemplo e 5 12 15 22 23 b Menor maximo possıvel Testando as 5 120 permutacoes obtemse que o menor maximo e 11 atingido unicamente pelo conjunto 1 3 6 8 11 Questao 2 Na sala ha 56 alunos M 3 4 56 42 P 5 7 56 40 Como todos gostam de ao menos uma disciplina M P 42 40 56 26 Questao 3 Um entrevistado responde sim sse ele e o vizinho a direita pertencem a tribos distintas Logo ha 48 fronteiras entre blocos azuis e vermelhos isto e 48 blocos alternados Para maximizar os vermelhos faca cada bloco azul ter tamanho 1 A 24 V 100 24 76 1 Questão 4 Desejamos subconjuntos a b c 1 100 com b a c2 Basta escolher pares a c de mesma paridade Existem 50 choose 2 1225 pares de pares e o mesmo para ímpares totalizando 2450 Questão 5 Leitura do gráfico meninos meninas Esporte Meninos Meninas Futebol 25 12 Vôlei 10 8 Basquete 15 12 Meninos futebol ou vôlei não jogam basquete sobreposição total de 10 jogadores Total de meninos distintos 25 10 15 10 40 Meninas vôlei ou basquete não jogam futebol sobreposição total de 8 jogadoras Total de meninas distintas 12 8 12 8 24 Há ainda 5 meninos e 3 meninas sem esporte Portanto 40 24 8 72 Questão 6 Sequência de cores amareloverdepreto período 3 em 2014 cartões 672 amarelos 671 verdes 671 pretos I Falso contagens diferentes II Falso amarelos ímpares verdes pares 336 III Verdadeiro 336 335 Logo somente a afirmação III é verdadeira alternativa C Questão 7 Seja A 10101i j mid 0 leq ij leq 32 A 332 1089 Somas SA 10101 i1 i2 j1 j2 com 0 leq i1 i2 j1 j2 leq 64 logo SA leq 652 4225 10972 Diferenças DA 10101 i1 i2 j1 j2 valores são todos distintos quando i1 i2 eq j1 j2 produzindo pelo menos A2 10100 elementos Assim existe A finito com SA 1097 e DA 10100 Questão 8 Na passagem sqrta42 sqrt4b2 deveríamos concluir a 4 4b não a4 4b Logo o erro está na passagem 4 alternativa C Questão 9 Para xyz0 vale x3y3z3 3xyz Divisível por 3 sempre Pelo menos um dos fatores é par Rightarrow xyz é par Rightarrow divisível por 2 Contraexemplo para 5 213 dá 18 Corretas i e ii alternativa C Questão 10 Tome A 22k 1 mid k1ldots2002 subset 12ldots Todos os elementos são equiv 3 mod 4 logo qualquer soma contém pelo menos dois dígitos 1 na representação binária não podendo ser potência perfeita ab b geq 2 Questão 11 Mostrase que kmin n1 se k n1 e os Ai são singletons distintos não há como representar o elemento faltante com k n1 uma cadeia de complementos sempre permite ajustar os sinais Questão 12 Sejam n vértices Número de grafos bacanas Nbac binomn4n 2n4 2n log2n4 n4 Como o total de grafos é 2binomn2 para n geq n0 aprox 30 Nbac 2binomn2 logo existem grafos não bacanas Questão 13 Para x in An escreva k lfloor x rfloor então k2 leq n kk1 e x nk Para cada k há exatamente k valores de n e 1 leq k leq 44 leftbigcupn12009 An right sumk144 k 990 Questão 14 Contando pares x ij com x in Si cap Sj obtémse sumij Si cap Sj sumx in S binommx2 geq n binombarm2 quad barm fracsumi Sin geq frack rn Dividindo por binomk2 resulta a desigualdade desejada Questão 15 Número de subconjuntos não vazios C com C cap A C cap B sumi15 binom5i binom7i 791 Questão 16 a Dados racionais p 0 p1 p2 ldots e q 0 q1 q2 ldots inicie alpha 0 p1 q1 p2 q2 p3 q3 ldots A expansão não é periódica Rightarrow alpha é irracional e satisfaz a2i1 pi a2i qi b Intercale blocos de N dígitos de um racional s com um dígito de um irracional beta que possua todos os dígitos infinitas vezes gamma 0 s1 ldots sN b1 sN1 ldots s2N b2 ldots Em cada segmento inicial de N cdot 2017 algarismos há pelo menos N algarismos vindos de beta atendendo ao enunciado Questão 17 Azambuja e o número 12018 Operações permitidas q o q pm 1 quad q o fracq12q1 q eq frac12 a Começando em q0 0 é impossível Escreva cada racional reduzido como q fracpr r 0 Invariante de paridade nas três operações o denominador r preserva a paridade r mapsto rr2pr equiv r extmod 2 Como 0 frac01 tem r ímpar e 12018 tem r par o alvo nunca será atingido b Quais valores iniciais funcionam A paridade de r é invariante Rightarrow só números com denominador par podem chegar a 12018 Se r é par o numerador p conserva a paridade somamossubtraímos r ou trocamos p mapsto p r logo para chegar a frac12018 numerador ímpar é necessário p ímpar Todas as operações são invertíveis aplicandoas de trás para frente a partir de 12018 alcançamos qualquer fração ímparpar boxed extAzambuja vence iff q0 frac extímpar extpar Questão 18 partições e razões proibidas Queremos evitar razões no intervalo ab onde 1 a 2 b a Duas cores não bastam Suponha uma bipartição N A0 A1 satisfazendo a condição Escolha um n considere a PG n 2n 4n 8n Como só há duas cores dois termos consecutivos 2k n 2k1 n têm a mesma cor mas 2k1 n 2k n 2 ab contradição Não existe partição em duas classes b Quando três cores são suficientes Suficiente se e somente se sqrt2 a 2 b a2 Construção prova de existência Supondo defina para j 0 1 2 Bj k0 a3kj a3kj1 Aj Bj N Se mn pertencem ao mesmo Aj mesmo bloco nm a blocos distintos nm a2 b Necessidade esboço Se b a2 ou a sqrt2 escolhendo inteiros consecutivos ou potências de 2 e aplicando o Princípio da Casa dos Pombos mostrase que inevitavelmente dois números de mesma cor terão razão em ab violando a condição Portanto é também necessário partição em 3 classes sqrt2 a 2 b a2 Resoluções OBM Nível 1 Questão 1 OBM 1998 2ª fase Cada folha de um livro traz duas páginas consecutivas Se a késima folha contém as páginas 2k 1 2k sua soma vale 2k 1 2k 4k 1 3 mod 4 Foram arrancadas 25 folhas portanto somaramse 25 números congruentes a 3 módulo 4 3 3 3 75 3 mod 4 25 vezes Como 1998 2 mod 4 a soma nunca pode ser 1998 Questão 2 OBM 1999 2ª fase Suponha um ano não bissexto a Janeiro Fevereiro e Março Janeiro e março têm 31 dias fevereiro 28 Se o dia 1º de janeiro cai numa segunda terça quarta ou quintafeira o domingo surge apenas 4 vezes em cada um desses três meses Logo é possível b Agosto Setembro e Outubro Denote por X o dia da semana do 1º de agosto As proibições sobre o domingo tornamse incompatíveis para os três meses simultaneamente portanto não é possível Questão 3 OBM 1999 3ª fase Sejam A B C 0 os pontos atribuídos a 1º 2º e 3º lugares e n o número de provas Observouse 20 9 10 39 pontos no total logo A B C divide 39 O único valor admissível é A B C 13 donde n 3 Testes mostram que A B C 8 4 1 satisfaz todas as condições Resposta disputaramse 3 provas e a pontuação é 841 Questão 4 OBM 2000 2ª fase O algarismo das unidades de N 12 22 196832 repetese a cada 10 termos 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 soma 5 Há 1968 blocos completos contribuição 0 e sobram 12 22 32 14 4 Logo N termina em 4 Questão 5 OBM 2002 1ª fase Coloque o 1 no quadrado central Restam 2 9 soma 44 para as duas pás Para que tenham soma igual e máxima cada pá deve somar 22 Um arranjo possível é 9 6 5 2 e 8 7 4 3 logo o maior valor é 22 Questão 6 OBM 2003 2ª fase 20032 4 012 009 20042 4 016 016 Primeiro múltiplo de 100 acima de 20032 4 012 100 Último abaixo de 20042 4 016 000 4 016 000 4 012 100 100 1 40 Há 40 múltiplos de 100 no intervalo Questão 7 OBM 2003 2ª fase 45 a3 3bcd Como 4510a 3 450a 135 deve estar entre 3000 e 3999 temos a 7 ou 8 45 73 3285 45 83 3735 Nos dois casos b c d 2 8 5 15 ou 7 3 5 15 Resposta b c d 15 Questão 8 OBM 2004 2ª fase Na multiplicação 1ab b3 o algarismo das unidades impõe 3b 1 mod 10 b 7 A igualdade completa fornece a 3 e c 0 Assim a b c 10 Questão 9 OBM 2004 3ª fase Quadrados ímpares de três algarismos 289 361 441 529 625 729 841 961 Apenas para 841 a soma dos quadrados dos algarismos é 82 42 12 81 92 2 Resposta n 841 Questão 10 OBM 2005 1ª fase Distribuição 2 fixo lado esquerdo 7 e 9 nó central direito 3 braço superior 1 e 8 braço inferior 6 e 10 Todas as somas de vizinhos são quadrados 2 7 9 3 1 8 6 10 46 3