Questão - Pvi com Série de Potência - 2023-2

Exercícios • Resolva o PVI utilizando séries de potências • 1. y' + 4y = 1, y(0) = 1.25, x1 = 0.2 Resolva o PVI utilizando Séries de Potências 1. y '+4 y=1 , y(0)=1.25, x1=0,2 y=∑ n=0 ∞ an( x−x0) n y=∑ n=0 ∞ an (x−0) n=∑ n=0 ∞ an(x) n y '=a1+2a2(x)+...+nan(x) n−1=∑ n=1 ∞ nan x n−1 y '+4 y=1 [∑ n=1 ∞ nan x n−1]+4[∑ n=0 ∞ an (x) n]=1 n−1=m→n=m+1 [∑ m=0 ∞ (m+1)am+1 x m]+4[∑ n=0 ∞ an(x) n]=1 [∑ m=0 ∞ (m+1)am+1 x m]+[∑ n=0 ∞ 4 an(x) n]=1 Para 0⩽n: ((n+1)an+1+4an) x n=1 Para n=0: (a1+4a0)1=1 a1+4a0=1 Para n=1: (2a2+4a1)x=0 2a2+4a1=0 a2=−2+8a0 Para n=2: (3a3+4a2)x 2=0 3a3+4a2=0 a3=8 3 −32a0 3 Para n=3: (4a4+4 a3) x 3=0 4 a4+4 a3=0 a4=−8 3 + 32a0 3 Para n=4: (5a5+4a4) x 4=0 5a5+4a4=0 5a5=32 15−128a0 15 Para n=5: (6a6+4 a5) x 4=0 6a6+4 a5=0 a4=−64 45 + 256a0 45 y=∑ n=0 ∞ an x n=a3 x 3+a2x 2+a1x+a0+... y=a0+(1−4 a0)x+(−2+8a0)x 2+( 8 3 −32a0 3 )x 3+(−8 3 +32a0 3 )x 4+( 32 15−128a0 15 )x 5+... y=(1−4 x+8 x 2−32 3 x 3+ 32 3 x 4−128 15 x 5)a0+ x−x 2+ 8 3 x 3−8 3 x 4+ 32 15 x 5+O(x 6) p/ x=0: y=(1−4 x+8 x 2−32 3 x 3+ 32 3 x 4−128 15 x 5)1.25+x−x 2+ 8 3 x 3−8 3 x 4+ 32 15 x 5+O (x 6) Solução: y=1.25−4 x+8x 2−32 3 x 3+32 3 x 4−128 15 x 5+O(x 6)