Slide - Aulas 1 e 2 - Séries de Potências Aplicações em Edos - Equações de Legendre Euler e Bessel - 2023-2

Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries de Potências Aplicações em Equações Diferenciais Ordinárias: Equações de Legendre, Euler e Bessel Cálculo IV Prof. Jorge Diaz Calle Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries • Uma série é um somatório de infinitos termos de uma sequência 𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ. Representa-se: ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑘→∞ ෍ 𝑛=1 𝑘 𝑎𝑛 = lim 𝑘→∞ 𝑆𝑘 = 𝑆 Se o somatório tem um valor finito (𝑆 ∈ ℝ) a série é convergente. Caso contrário é divergente: – Nem sempre é possível definir um valor resultante. – O valor da soma pode ser infinito. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Qual a diferença entre sequência e série? • Cálculo III -Sequências e Séries. Prof. Valle. https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA311/Aula14.pdf • Séries geométricas: Um exemplo ෍ 𝑛=1 ∞ 2 7 𝑛−1 = 1 1− 2 7 = 7 5 = ෍ 𝑚=0 ∞ 2 7 𝑚 Observar que se pode identificar uma sequência 𝑎𝑚 = 2 7 𝑚 desde 𝑚 = 0 até o infinito: 2 7 0 = 1, 2 7, 2 7 2 = 4 49, 8 343, 16 2401, 32 16807, …, 1024 282.475.249 → 0 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Qual a diferença entre sequência e série? • Assim a sequência é: 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, … … … 1, 2 7, 4 49, 8 343, 16 2401, 32 16807, 64 117649, … … … Limite: 0 • Construimos uma sequência de somas: 𝑠0, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4, 𝑠5, 𝑠6, … … … 1, 9 7, 67 49, 477 343, 3355 2401, 23517 16807, 164683 117649, … Limite: 7 5 = 1 + 2 5 𝑠2 = σ𝑚=0 2 2 7 𝑚 , 𝑠3 = σ𝑚=0 3 2 7 𝑚 , … Limite: S = σ𝑚=0 ∞ 2 7 𝑚 NOTA: As séries geométricas satisfazem: σ𝑛=1 ∞ 𝑟𝑛−1 = 1 1−𝑟 , converge para todo 𝑟 < 1, 𝑟 ∈ ℝ. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries convergentes: Exemplo série • Para: 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ: (quais são geométricas?) ෍ 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 𝑛 = ln 2 . σ𝑛=1 ∞ −1 𝑛−1 2𝑛−1 = 𝜋 4 e σ𝑛=0 ∞ −1 𝑛 4 2𝑛+1 = 𝜋 ෍ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 − 1 ! = 𝑒 σ𝑛=1 ∞ 1 𝑚𝑛−1 = 𝑚 𝑚−1 e σ𝑛=1 ∞ −1 𝑚 𝑛−1 = 𝑚 𝑚+1. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries convergentes • Por exemplo: 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ: ෍ 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 𝑛 = 1 1+−1 2 +1 3−1 4+1 5−1 6+⋯ ⋯ = ln 2 ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 4 2𝑛 + 1 = 4 1−4 3+4 5−4 7+4 9−⋯ ⋯ = 𝜋 ෍ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 − 1 ! = 1 1+1 1+1 2+1 6+ 1 24+ 1 120+⋯ ⋯ = 𝑒 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries convergentes • Série hiper-harmónica: σ𝑛=1 ∞ 𝐶 𝑛𝑝 para 𝑝 > 1 ෍ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + ⋯ = 𝜋2 6 • Série geométrica: (Lembrando) ෍ 𝑛=1 ∞ 𝐶𝑟𝑛−1 = 𝐶 1 − 𝑟 para 𝑟 < 1. Exemplo: ෍ 𝑛=1 ∞ 2 1 3 𝑛−1 = 2 1 − 1 3 = 3 2 2 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries divergentes • Série harmónica: ෍ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ • Série hiper-harmónica: σ𝑛=1 ∞ 𝐶 𝑛𝑝 para 𝑝 ≤ 1 • Série geométrica: ෍ 𝑛=1 ∞ 𝐶𝑟𝑛−1 se 𝑟 ≥ 1. ∙ σ𝑛=1 ∞ 𝑛 ∙ σ𝑛=1 ∞ 2 𝑛 = ∞ ∙ σ𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 = ቊ 1 −1 ? Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Para verificar a convergência • Teste da divergência: Se σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 converge (se a série converge) então 𝑎𝑛 converge para zero. Equivalentemente, utilizando a negação: Se 𝑎𝑛 diverge ou não converge para zero então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 diverge (a série diverge). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Integral • Suponha que 𝑓 seja uma função contínua, positiva e crescente em 1, ∞ . Se em σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 se considera 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) então: – Se ׬1 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 converge, então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 converge – Se ׬1 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 for divergente, então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 diverge. • Cuidado! Só garante que converge mas não garante que σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = ׬1 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ??? Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Integral – Exemplo 1 • Seja σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = σ𝑛=1 ∞ 1 𝑛2+1. • Então 𝑓 𝑥 = 1 𝑥2+1. • Calculando a integral ׬1 ∞ 1 𝑥2+1 𝑑𝑥 = 𝜋 4. • Logo σ𝑛=1 ∞ 1 𝑛2+1 converge, … • Mas não pode fazer σ𝑛=1 ∞ 1 𝑛2+1 = 𝜋 4 . O limite pode coincidir mas o teorema não garante isto. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Integral – Exemplo 2 • Seja σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = σ𝑛=1 ∞ 1 𝑛𝑝. Para que 𝑝 converge? • Então 𝑓 𝑥 = 1 𝑥𝑝. • Integral: ׬1 ∞ 1 𝑥𝑝 𝑑𝑥 = 𝑥1−𝑝 1−𝑝 |1 ∞ = ൝ 1 𝑝−1 𝑝 > 1 +∞ 𝑝 ≤ 1. • Logo a 𝑝-série converge se 𝑝 > 1. • E a 𝑝-série diverge se 𝑝 ≤ 1. A divergência em 𝑝 = 1 se calcula facilmente como logaritmo (ln). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Razão • Dada uma série σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 , suponha que lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝐿, em que 𝐿 é um número não-negativo ou infinito. Tem-se: – Se 𝐿 < 1 então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 é absolutamente convergente. – Se 𝐿 > 1, então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 diverge. – Nada se pode afirmar se 𝐿 = 1. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Razão – Exemplo • Seja σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = σ𝑛=1 ∞ (−1)𝑛𝑛3 3𝑛 . É convergente? • Como lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ (−1)𝑛+1(𝑛+1)3 3𝑛+1 (−1)𝑛𝑛3 3𝑛 = 1 3 < 1 • Então a série converge, pelo teste da razão. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Raiz • Dada uma série σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 , suponha que lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑎𝑛 = 𝐿, em que 𝐿 é um número não-negativo ou infinito. Tem-se: – Se 𝐿 < 1 então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 é absolutamente convergente. – Se 𝐿 > 1, então σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 diverge. – Nada se pode afirmar se 𝐿 = 1. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Verificação de convergência de séries • Teste da Raiz – Exemplos • Seja σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = σ𝑛=1 ∞ 4𝑛+3 3𝑛+1 3𝑛. É convergente? • Como lim 𝑛→∞ 𝑛 4𝑛+3 3𝑛+1 3𝑛 = lim 𝑛→∞ 4𝑛+3 3𝑛+1 3 = 64 27 > 1 • Então a série diverge, pelo teste da raiz. • Mas, para σ𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = σ𝑛=1 ∞ 𝑛+3 3𝑛+1 2𝑛, temos que lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛+3 3𝑛+1 2𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛+3 3𝑛+1 2 = 1 9 < 1, converge. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries de funções • É possível que os elementos de uma sequência sejam funções dependentes de uma variável independente no lugar de números reais? SIM. • Isto é: A sequência 𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ é uma sequência de funções 𝑎𝑛(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑥) , 𝑛 ∈ ℕ. AQUI INICIA NOSSA DISCIPLINA: • Assim um exemplo de série de funções é: ෍ 𝑛=1 ∞ 𝜋 𝑥𝑛−1 𝑛 = lim 𝑘→∞ ෍ 𝑛=1 𝑘 𝜋 𝑥𝑛−1 𝑛 = lim 𝑘→∞ 𝑆𝑘(𝑥) = 𝑆(𝑥) Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Séries de funções • Se a sequência é de funções 𝑓𝑛(𝑥) , 𝑛 ∈ ℕ, podemos falar de série de funções, com a mesma de ideia de somar funções até o limite. • Assim uma série de funções é representada por ෍ 𝑛=1 ∞ 𝑓𝑛(𝑥) = lim 𝑘→∞ ෍ 𝑛=1 𝑘 𝑓𝑛(𝑥) = lim 𝑘→∞ 𝑆𝑘(𝑥) = 𝑆(𝑥) • A série pode ser divergente ou convergente. • Quando convergente, pode ser pontualmente ou uniformemente. Em cada caso, pode ser condicionalmente ou absolutamente. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Série de Taylor • Expansão em série de Taylor para uma função derivável 𝑢(𝑥) no entorno do ponto 𝑥0 : 𝑢 𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑢 𝑛 (𝑥0) 𝑛! (𝑥 − 𝑥0)𝑛 Quando tem (𝑚 + 1) derivadas finitas, aparece um resíduo 𝑢 𝑥 = ෍ 𝑛=0 𝑘 𝑢 𝑛 (𝑥0) 𝑛! (𝑥 − 𝑥0)𝑛 + 𝑢 𝑘+1 (𝑥0) (𝑘 + 1)! (𝑥 − 𝑥0)𝑘+1 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exemplos de série de Taylor para • Função exponencial em 𝑥 → 0, ou 𝑥0 = 0: 𝑢 𝑥 = 𝑒𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ 1 𝑛! 𝑥𝑛 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑥𝑛 𝑛! • Função seno e cosseno 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 + 1 ! 𝑥2𝑛+1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥) = ෍ 𝑛=0 ∞ (−1)𝑛 (2𝑛)! 𝑥2𝑛 Observar: Todas as séries consideram potências da variável 𝒙. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Série de Potências e sua convergência Uma série de potências ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 Converge em torno de um ponto x se lim 𝑚→∞ ෍ 𝑛=0 𝑚 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 existe para esse x. OBSERVAR, considere: 𝑢 𝑥 = σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Convergência da série de potências A série de potências pode ser convergente: - Pontualmente, p.e: no ponto 𝑥 = 𝑥0, - Uniformemente, p.e: em todo 𝑥 ∈ ℝ. - Uniformemente em um domínio (no intervalo), isto é, quando converge em todos os pontos de um intervalo de infinitos pontos e diverge nos pontos fora do intervalo. - Absolutamente, quando converge o valor absoluto da função, pontualmente ou uniformemente. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Convergência absoluta A série ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 converge absolutamente num ponto 𝑥 se ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 converge. Se uma série converge absolutamente, então ela converge. (A recíproca não é necessariamente verdadeira) Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Os critérios das séries numéricas são válidos • O teste da razão é um dos testes mais úteis para verificar a convergência absoluta de uma série de potências. • Se 𝑎𝑛 ≠ 0 e se para um valor fixo de 𝑥0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1(𝑥 − 𝑥0)𝑛+1 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛 = 𝑥 − 𝑥0 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑥 − 𝑥0 𝐿 Então a série converge absolutamente em 𝑥 para 𝑥 − 𝑥0 𝐿 < 1 E diverge para 𝑥 − 𝑥0 𝐿 > 1. Para 𝑥 − 𝑥0 𝐿 = 1, no é conclusivo (caso a caso). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Análise de convergência - Exemplo • A série σ𝑛=0 ∞ (−1)𝑛+1𝑛(𝑥 − 2)𝑛 converge? • Aplicando o teste da razão: lim 𝑛→∞ −1 𝑛+2(𝑛 + 1)(𝑥 − 2)𝑛+1 −1 𝑛+1𝑛(𝑥 − 2)𝑛 = 𝑥 − 2 lim 𝑛→∞ 𝑛 + 1 𝑛 = 𝑥 − 2 Logo a série converge absolutamente em 𝑥 − 2 < 1 ⇔ −1 < 𝑥 − 2 < 1 ⇔ 1 < 𝑥 < 3. Será divergente em 𝑥 − 2 > 1. Em 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3 deve ser verificado cada caso. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Análise de convergência - Exemplo Analisando para 𝑥 = 1: a série toma a forma ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛+1𝑛 1 − 2 𝑛 = ෍ 𝑛=0 ∞ −1 2𝑛+1𝑛 Observar o termo geral da série: −1 2𝑛+1𝑛 → −∞, 𝑠𝑒 𝑛 → ∞. portanto a série é divergente em 𝑥 = 1. Analisando para 𝑥 = 3: a série toma a forma ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛+1𝑛 3 − 2 𝑛 = ෍ 𝑛=0 ∞ −1 𝑛+1𝑛 O termo geral da série vá para infinito. A série diverge em 𝑥 = 3. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Raio de convergência Para uma série de potências ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 existe um número não negativo 𝜌 ∈ ℝ , o raio de convergência, tal que a série de potências converge absolutamente para 𝑥 − 𝑥0 < 𝜌, e diverge para 𝑥 − 𝑥0 > 𝜌 . Se a série converge apenas em 𝑥 = 𝑥0 define-se como raio de convergência o zero, 𝜌 = 0. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Intervalo de convergência • Se o raio de convergência de uma série não é zero: 𝜌 > 0, então o intervalo 𝑥 − 𝑥0 < 𝜌 é o intervalo de convergência (região achurada): 𝑥0 − 𝜌 𝑥0 + 𝜌 𝑥0 A série diverge 𝑥 < 𝑥0 − 𝜌 converge absolutamente 𝑥 − 𝑥0 < 𝜌 pode convergir ou divergir em 𝑥 = 𝑥0 − 𝜌 pode convergir ou divergir em 𝑥 = 𝑥0 + 𝜌 A série diverge 𝑥 > 𝑥0 + 𝜌 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exemplo • Determine a convergência da série ෍ 𝑛=1 ∞ (𝑥 + 1)𝑛 𝑛2𝑛 • Utilizando o critério da razão lim 𝑛→∞ 𝑛2𝑛(𝑥 + 1)𝑛+1 (𝑛 + 1)2𝑛+1(𝑥 + 1)𝑛 = 𝑥 + 1 2 lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 + 1 = 𝑥 + 1 2 a série converge absolutamente para 𝑥 + 1 < 2. O raio de convergência é 𝜌 = 2 e 𝑥0 = −1. O intervalo de convergência é −3 < 𝑥 < 1. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exemplo (continuação) • Verificando nos extremos do intervalo: – Para 𝑥 = 1, a série é a harmónica, então diverge. – Para 𝑥 = −3, a série toma a forma ෍ 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛 𝑛 = − ln 2 converge condicionalmente, não absolutamente. A série converge para −3 ≤ 𝑥 < 1 e diverge para os outros valores de 𝑥. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Convergência pontual implica absoluta Se a série de potências ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 converge no ponto 𝑥 = ҧ𝑥, então converge absolutamente para 𝑥 − 𝑥0 < ҧ𝑥 − 𝑥0 . Se a série diverge em 𝑥 = ҧ𝑥, então diverge para 𝑥 − 𝑥0 > ҧ𝑥 − 𝑥0 . Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exercícios (Kreyzig 10ª Ed) • Determine o raio de convergência de • 1. • 2. • 3. • 4. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” O índice da série é mudo • O índice do somatório de uma série é uma variável muda (como no caso da variável de integração), portanto pode ser utilizada qualquer letra: ෍ 𝑛=0 ∞ 2𝑛𝑥𝑛 𝑛! = ෍ 𝑗=0 ∞ 2𝑗𝑥𝑗 𝑗! = ෍ 𝑚=0 ∞ 2𝑚𝑥𝑚 𝑚! ෍ 𝑛=0 ∞ 2𝑛𝑥𝑛 𝑛! = ෍ 𝑗=0 ∞ 2𝑗𝑥𝑗 𝑗! = ෍ 𝑚=0 ∞ 2𝑚𝑥𝑚 𝑚! Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Deslocamento do índice do somatório • Na série a seguir ෍ 𝑛=2 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 o índice inicia com 2. Pode ser iniciado em 0? – Como 𝑛 = 2, então 𝑛 − 2 = 0. – Fazendo 𝑚 = 𝑛 − 2, temos o índice tal que 𝑚 = 0 quando 𝑛 = 2. Substituindo na série dá: ෍ 𝑚=0 ∞ 𝑎𝑚+2 𝑥 − 𝑥0 𝑚+2 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exemplos 1. Leve o índice para iniciar em zero. ෍ 𝑛=2 ∞ 𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛−2 =? 2. Expresse a série 𝑥2 σ𝑛=0 ∞ (𝑟 + 𝑛)𝑎𝑛𝑥𝑟+𝑛−1 utilizando apenas as potências 𝑥𝑟+𝑛. 𝑥2 ෍ 𝑛=0 ∞ (𝑟 + 𝑛)𝑎𝑛𝑥𝑟+𝑛−1 =? ? ? Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Derivada de uma série de potências • Série de potências é uma função: 𝑢 𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 • Logo, pode ter derivada 𝑢′ 𝑥 . Como ela é??? • Teorema: A derivada de uma série de potências tem o mesmo raio de convergência da série. – Se 𝑢 𝑥 tem raio de convergência 𝜌 então 𝑢′ 𝑥 tem o mesmo raio de convergência. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Derivada de uma série de potências • Teorema: A derivada de uma série de potências é o somatório das derivadas dos termos da série sobre o raio de convergência da série. • Isto é: 𝑢′ 𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑥0 𝑛 e converge sobre 𝑥 − 𝑥0 < 𝜌. (A série quanto a derivada da série). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Integral de uma série de potências • Série de potências é uma função: 𝑢 𝑥 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0 𝑛 • Logo, pode ter integral ׬0 𝑥 𝑢 𝑡 𝑑𝑡. Como ela é ? • Teorema: A integral de uma série de potências tem o mesmo raio de convergência da série. – Se 𝑢 𝑥 tem raio de convergência 𝜌 então ׬0 𝑥 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 tem o mesmo raio de convergência. Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Integral de uma série de potências • Teorema: A integral de uma série de potências é calculada integrando termo a termo a série de potências. • Isto é: න 0 𝑥 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 න 0 𝑥 𝑡 − 𝑥0 𝑛𝑑𝑡 e converge sobre 𝑥 − 𝑥0 < 𝜌. (A série quanto a integral da série). Não é válido para toda série de funções!!! Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Vale nota para próxima aula: 10 minutos. 1. Resolver e explicar o exemplo 14 dos slides de aula, apresentados da Unicamp (Prof. Marcos Eduardo Valle) 2. Resolver e explicar o exemplo 17 dos slides de aula, apresentados da Unicamp (Prof. Marcos Eduardo Valle) 3. Resolver os dois últimos exercícios (último slide da aula 1). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Exemplos 1. Leve o índice para iniciar em zero. ෍ 𝑛=2 ∞ 𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛−2 = ෍ 𝑛=0 ∞ 𝑛 + 4 𝑛 + 3 𝑎𝑛+2(𝑥 − 𝑥0)𝑛 2. Expresse a série 𝑥2 σ𝑛=0 ∞ (𝑟 + 𝑛)𝑎𝑛𝑥𝑟+𝑛−1 utilizando apenas as potências 𝑥𝑟+𝑛. 𝑥2 ෍ 𝑛=0 ∞ (𝑟 + 𝑛)𝑎𝑛𝑥𝑟+𝑛−1 = ෍ 𝑛=0 ∞ (𝑟 + 𝑛)𝑎𝑛𝑥𝑟+𝑛+1 = ෍ 𝑚=1 ∞ (𝑟 + 𝑚 − 1)𝑎𝑚−1𝑥𝑟+𝑚 = ෍ 𝑛=1 ∞ (𝑟 + 𝑛 − 1)𝑎𝑛−1𝑥𝑟+𝑛 Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Teste 1. Converge? Se converge qual o valor limite? 2. Qual o intervalo de convergência? 3. Qual o raio de convergência? Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Teste 2 (D) 1. Represente em série de potências 2. Represente em série de potências 3. A série converge absolutamente? E o raio? e 𝑓′′ 𝑥 = −𝑓(𝑥). Laboratório de Simulação Numérica e Modelagem “Juca Costa” Teste 2 (N) 1. Represente em série de potências 2. Represente em série de potências 3. Qual o raio de convergência da série? é possível que: 𝑓 𝑥 = −𝑓′′ 𝑥 .