Exercícios - Equações Diferenciais Parciais - Cálculo 4 - 2023-2

ENGENHARIA DE BIOSSISTEMAS – CÁLCULO IV EXERCÍCIOS – Equações Diferenciais Parciais Prof. Dr. Sergio A. David Instruções: • Esses exercícios não são, necessariamente, suficientes para um bom desempenho. Devem ser encarados como tarefa mínima e orienta-los na busca por mais exercícios na bibliografia do curso. 1) Classificar cada uma das equações abaixo como elíptica, hiperbólica ou parabólica. a) \( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0 \) b) \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 4 \) c) \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x + 3y \) d) \( x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) e) \( (x^2 - 1) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (x^2 - 1) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + (y^2 - 1) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \) f) \( (M^2 - 1) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \), com \( M > 0 \) 2) Resolver pelo método de separação de variáveis: a) \( 3 \frac{\partial u}{\partial x} + 2 \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \), \( u(x,0) = 4e^{-x} \) b) \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \frac{\partial u}{\partial y} + u \), \( u(x,0) = 3e^{-5x} + 2e^{-3x} \) c) \( \frac{\partial u}{\partial t} = 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \), \( u(0,t) = 0 \), \( u(\pi, t) = 0 \), \( u(x,0) = 2\sen(3x) - 4\sen(5x) \) d) \( \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \), \( u(0, t) = 0 \), \( u(2, t) = 0 \), \( u(x,0) = 8\cos \frac{3\pi x}{4} - 6\cos \frac{9\pi x}{4} \) e) \( \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} \), \( u(x,0) = 8e^{-2x} \) f) \( \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} - 2u \), \( u(x,0) = 10e^{-x} - 6e^{-4x} \) g) \( \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \), \( u(0, t) = 0 \), \( u(4, t) = 0 \), \( u(x,0) = 6\sen \frac{\pi x}{2} + 3\sen(\pi x) \)