Exercícios - Séries de Fourier - Cálculo 4 - 2023-2

EXERCICIOS – Series de Fourier Prof. Dr. Sergio A. David Instruções: Esses exercícios não são, necessariamente, suficientes para um bom desempenho. Devem ser encarados como tarefa mínima e orientá-los na busca por mais exercícios na bibliografia do curso. 1-) Classifique a função como par ou impar e esboce seu gráfico mostrando, pelo menos, dois períodos. f(x) = \{ 2, 0 < x < 3 -2, -3 < x < 0 Periodo = 6 2-) Desenvolva f(x) = x, 0 < x < 2 a-) Em uma semi-série de Fourier de senos b-) Em uma semi-série de Fourier de cossenos 3-) Faça o gráfico de cada uma das funções abaixo e determine a série de Fourier correspondente utilizando, quando aplicáveis, propriedades das funções pares e ímpar. a-) f(x) = \{ 8, 0 < x < 2 -8, 2 < x < 4 Periodo = 4 b-) f(x) = \{ -x, -4 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤ 4 Periodo = 8 c-) f(x) = \{ 2x, 0 ≤ x ≤ 3 0, -3 < x < 0 Periodo = 6 4-) É possível mostrar que a equação de condução do calor é \( \frac{\partial{u}}{\partial{t}} = k \nabla^2 u \), em que u(x,y,z,t) é a temperatura, k é a difusividade térmica e \( \nabla^2 u \) é o Laplaciano de u. Considere uma barra delgada de comprimento \( \pi \), com as extremidades isoladas, cuja temperatura inicial em t=0 é f(x), ou seja, u(x, 0) = f(x), (para 0 < x < \pi) e \( u_x(0, t) = u_x(\pi, t) = 0 \). Use séries de Fourier e mostre que a temperatura u(x,t) que é a solução desse problema de contorno é dada por: