Lista 7 - Processos Estocásticos 2021 2

Lista 7 - Processos Estoc´asticos: primeiros conceitos - Man 2021 1. Considere um jogo de azar onde um jogador ganha 1 real se sai cara no lan¸camento de uma moeda, e perde 1 real se sai coroa. Um jogador tem i reais no bolso e decide entrar nesse jogo. Ele adota a estrat´egia de sair do jogo quando alcan¸car a quantia de 6 reais. Obviamente, ele sabe que o jogo termina para ele se perder tudo, que podemos chamar de ru´ına. A moeda n˜ao ´e necessariamente honesta: a probabilidade de sair coroa ´e 1 − p. Considere como estado do processo a quantidade de dinheiro que o jogador tem no bolso. Calcule: (a) A probabilidade do jogador perder tudo se i = 2 e p = 0.5. (b) A probabilidade do jogador perder tudo se i = 2 e p = 0.3. (c) Calcule o tempo m´edio para a ru´ına do jogador, dado que ele iniciou o jogo com 4 reais, para p = 0.3, p = 0.5 e p = 0.7. Vocˆe pode gerar as equa¸c˜oes em fun¸c˜ao de p e 1 − p e depois substituir os valores. 1 2. Suponha que uma mosca se movimente em um peda¸co de madeira reto de tamanho M, com mar- cas (posi¸c˜oes) nas unidades de cent´ımetros, que come¸cam no ponto 0 cm, seguido pelos pontos 1, 2, 3, · · · , M − 1, M cm. A mosca se move 1 cm por vez, e cada movimento ser´a contado como uma unidade de tempo (n), e se ignorar´a o per´ıodo de tempo que o inseto permanece em cada marca. Dado que ela est´a em uma marca, ela se move 1 cm para a esquerda com probabilidade 1 − p, 1 cm para direita com probabilidade p, independentemente das posi¸c˜oes que ocupou anteriormente. Quando a mosca chega `as posi¸c˜oes 0 ou M, ela ela ´e fisgada por uma das aranhas, que est˜ao nessas posi¸c˜oes. Para M = 5, encontre: (a) As probabilidades de absor¸c˜ao nos estados 0 e M, para p = 0.5. (b) As probabilidades de absor¸c˜ao nos estados 0 e M, para p = 0.3. (c) As probabilidades de absor¸c˜ao nos estados 0 e M, para p = 0.7. (d) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado M, dado que, inicialmente, a mosca estava no estado (posi¸c˜ao): i. 2, ii. 3, iii. 4. (e) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado 1, dado que, inicialmente, a mosca estava no estado (posi¸c˜ao): i. 2, ii. 3, iii. 4. 2 3. Suponha agora que a mosca continua se movimentando em um peda¸co de madeira reto de tamanho M, com marcas (posi¸c˜oes) nas unidades de cent´ımetros, que come¸cam no ponto 0 cm, seguido pelos pontos 1, 2, 3, · · · , M − 1, M cm. A mosca se move 1 cm por vez, e cada movimento ser´a contado como uma unidade de tempo (n), e se ignorar´a o per´ıodo de tempo que o inseto permanece em cada marca. Dado que ela est´a em uma marca, ela se move 1 cm para a esquerda com probabilidade 0.3, 1 cm para direita com probabilidade 0.7, independentemente das posi¸c˜oes que ocupou anteriormente. Quando a mosca est´a nas posi¸c˜oes 0 e M, ela s´o pode voar para as posi¸c˜oes adjacentes: 1 e M − 1, respectivamente. Para M = 5, encontre: (a) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado M, dado que, inicialmente, a mosca estava no estado (posi¸c˜ao): i. 2, ii. 3, iii. 4. (b) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado 1, dado que, inicialmente, a mosca estava no estado (posi¸c˜ao): i. 2, ii. 3, iii. 4. 4. Compare os resultados dos Exerc´ıcios anteriores para p = 0.7. 3 5. Considere a uma Cadeia de Markov com a seguinte matriz de transi¸c˜ao: 1 2 3 4 1 0 0 3/5 2/5 2 0 0 1/5 4/5 3 1/4 3/4 0 0 4 1/2 1/2 0 0 (a) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado 3, dado que, inicialmente, a Cadeia estava no estado: i. 1, ii. 2, iii. 4. (b) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado 2, dado que, inicialmente, a Cadeia estava no estado: i. 1, ii. 3, iii. 4. (c) Calcule o tempo m´edio de recorrˆencia ao estado 3: t∗ 3. (Sai do estado 3 e volta para o 3.) (d) Calcule o tempo m´edio de recorrˆencia ao estado 2: t∗ 2. (Sai do estado 2 e volta para o 2.) 4 6. (Weather Chain) Seja Xn o tempo clim´atico no dia n. Considere os seguintes trˆes estados: • 1 = chuva, • 2 = nublado, • 3 = ensolarado. O tempo clim´atico certamente n˜ao ´e uma cadeia de Markov. Mas neste exemplo, vamos supor que seja, e com a seguinte matriz de probabilidades de transi¸c˜ao: 1 2 3 1 0.25 0.1 0.65 2 0.10 0.20 0.70 3 0.10 0.10 0.80 (a) Calcule o tempo m´edio de primeira visita ao estado 3, dado que, inicialmente, a Cadeia estava no estado: i. 1, ii. 2. (b) Calcule o tempo m´edio de recorrˆencia ao estado 1: t∗ 1. (Sai do estado 1 e volta para o 1.) Ou seja, se estiver chovendo ”hoje”’, quantos dias em m´edia leva para voltar a chover novamente. Verifique se o valor que vocˆe encontrou corresponde a 1/π1. 5 7. (”Urna de Ehrenfest”) Esse sistema se originou na F´ısica, como um modelo de dois volumes c´ubicos de ar conectados por um pequeno buraco. Na vers˜ao matem´atica, temos duas urnas com bolas, em um total de N bolas. Escolhemos aleatoriamente uma das N bolas, que est´a obrigatoriamente em uma das urnas, e a colocamos na outra urna. Chamemos uma urna de A e outra de B. Considerando o n´umero de bolas na urna A, no instante n, como estado do sistema. Considere N = 4. (a) Qual o tempo m´edio para que a urna A volte a ter N bolas, dado que, em determinado instante (que podemos chamar de inicial), a urna B esteja com: i. 1 bola. ii. 2 bolas. iii. 3 bolas. (b) Dado que haja N bolas na urna A em determinado instante, qual o tempo m´edio para a urna A voltar a ter N bolas? (c) Dado que haja N bolas na urna B em determinado instante, qual o tempo m´edio para a urna B voltar a ter N bolas? 6