Slide - Probabilidade de Absorção 2021 2

Aula 29/11/2021 Probabilidades de Absorção s : é o único estado absorvente e os demais estados são transientes s Qual a Probabilidade da Cadeia assumir o Estado “s”, quando n cresce, dado que inicialmente estava no Estado “i” ? • Quando i=s • Quando “i” for transiente 1º Caso: s é o único estado absorvente 2º Caso: s não é o único estado absorvente 2° Caso a_s = 1, a_i = 0, \text{ for all absorbing } i \neq s, a_i = \sum_{j=1}^{m} p_{ij}a_j, \text{ for all transient } i. Exemplo 1: (a) (b) a_6 = P(X_n = 6 | X_0 = 6) = 1 a_1 = P(X_n = 6 | X_0 = 1) = 0 a_2 = p_{21} \cdot a_1 + p_{23} \cdot a_3 + p_{22} \cdot a_2 + p_{26} \cdot a_6 a_3 = p_{32} \cdot a_2 + p_{36} \cdot a_6 \{ a_2 = 0,4 \cdot a_3 + 0,3 \cdot a_2 + 0,1 \cdot (1) \} \{ a_3 = 0,2 \cdot a_2 + 0,8 \cdot 1 \} Exemplo 2: • Fixar o estado 4: s=4 • Como ficam as probabilidades de absorção? a_1 = (1 - p) . 0 + p . a_2 \Rightarrow a_1 = p . a_2 P(X_n = 4 | X_0 = 1) P(X_n = 4 | X_0 = 1) a_2 = p_{21} a_1 + p_{23} a_3 a_2 = (1 - p) . a_1 + p . a_3 a_3 = p_{32} . a_2 + p_{34} . a_4 = (1 - p)a_2 + p . a_4 a_2 . (1 - p + p^2) = p_0 . (1 - p) a_2 + p^2 a_2 [1 - p + p^2 - p + p^2] = p^2 1 - 2p + 2p^2 a_2 = \frac{p^2}{1 - 2p + 2p^2} , a_1 = \frac{p^3}{1 - 2p + 2p^2} a_3 = \frac{(1-p) . p^2}{1 - 2p + 2p^2} , a_4 = 1, a_0 = 1 a_i = \frac{(1-p)^i - 1}{p^i} \frac{(1-p)^4}{(1-p)^4 - 1} = \frac{p^4 [(1-p)^i - p^i]}{p^i [(1-p)^4 - p^4]} Q_1 = \frac{p^3 (1-2p)}{(1-p)^4 - p^4} = \frac{p^3 (1-2p)}{(1-p)^2 - p^2} [1] Exemplo 2: Vamos generalizar? • Fixar o estado m: s=m. • Como ficam as probabilidades de absorção? Exemplo 3: (1-p) . a_i + p . a_i = (1-p) . a_i-1 + p . a_i+1 (1-p) (a_i - a_i-1) = p (a_i+1 - a_i) δ_i-1 δ_i ρ = 1-p / p δ_i = ρ . δ_i-1 i = 1, 2, ..., m-1 δ_0 + δ_1 + ... + δ_m-1 = (a_1 - a_0) + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + ... + (a_m - a_m-1) = a_m - a_0 δ_0 + δ_1 + ... + δ_i-1 = a_i = a_i + δ_i → δ_i = ρ . δ_i-1 δ_1 = ρδ_0, δ_2 = ρδ_1 = ρ . ρ . δ_0 = ρ² . δ_0 δ_3 = ρδ_2 = ρ . ρ² . δ_0 = ρ³ . δ_0 → δ_i = ρ^i . δ_0 , i=1,2,...