Probabilidade-Conceitos-Regras-e-Aplicacoes

Probabilidade Profª Lívia S Ribeiro O que devemos aprender REGRAS DE CONTAGEM PROBABILIDADE DE EVENTOS REGRAS DA PROBABILIDADE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS EVENTOS INDEPENDENTES PROBABILIDADE CONDICIONAL Por que estudar Teoria das Probabilidades O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de decisões em nossa sociedade Conhecemos como probabilidade a área da matemática que estuda a chance de um determinado evento acontecer para dar a base matemática ao estudo da Inferência Estatística para servir de apoio à decisão quantificação da incerteza Probabilidade como base da Inferência Estatística não é possível tirar conclusões a partir de um único caso já que a variabilidade entre as pessoas é muito grande por outro lado não é possível examinar toda a população grande parte da pesquisa é feita utilizandose amostras qualquer resultado obtido numa amostra é incerto o que podemos fazer é buscar resultados altamente prováveis como tirar conclusões a partir de uma amostra Usando a teoria de Inferência Estatística que se baseia na Teoria das Probabilidades Probabilidade como apoio à decisão O resultado de quase qualquer ação teste exame intervenção procedimento etc é incerto nunca podemos ter certeza do resultado O que podemos é analisar as probabilidades e escolher as ações que tem mais probabilidade de terem bons resultados Por que estudar Probabilidade O estudo da probabilidade no cotidiano ocorreu durante a pandemia de COVID19 assim como pode ocorrer em outras possíveis futuras pandemias nela ferramentas da estatística e da probabilidade são utilizadas para preverse o comportamento da transmissão da doença nas próximas semanas É com base na probabilidade que se faz as estimativas para que os governadores e prefeitos tomem providências em relação ao afrouxamento ou endurecimento de medidas de isolamento social Para compreender o cálculo da probabilidade antes precisamos dominar alguns conceitos como espaço amostral evento e experimento aleatório Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BYSANC Experimento aleatório probabilístico É o experimento que ao ser realizado várias vezes nas mesmas condições ainda sim gera um resultado imprevisível Estamos cercados de experimentos aleatórios no nosso cotidiano por exemplo ao realizarmos o lançamento de um dado comum ainda que seja possível calcular a chance de cada um dos resultados ocorrer é impossível termos com precisão o resultado do lançamento Ao lançarmos o dado uma vez e obtermos por exemplo 1 como resultado ao realizarmos um novo lançamento respeitando as mesmas condições o resultado continua sendo imprevisível ele pode ou não ser 1 novamente Realizar uma cirurgia com uma determinada técnica e observar se o paciente fica livre dos sintomas após um mês Exemplos Exemplos nas ciências exatas erro de medição erros aleatórios e sistemáticos Exemplos nas ciências da vida resultados do cruzamento de ervilhas de Mendel propriedades de um exame laboratorial sens VPP VPN Porque estudar experimentos aleatórios Porque existe uma regularidade ou padrão que só se manifesta quando o experimento é repetido um grande número de vezes regularidade estatística A probabilidade nos permite fazer previsões aproximadas sobre o resultado de um grande número de repetições de um experimento mas não diz muito sobre o que acontece com cada repetição individual ou com uma pequena quantidade de repetições Ponto amostral É um elemento que pertence ao espaço amostral ou seja um entre os vários resultados possíveis do experimento aleatório Esta Foto de Autor Desconhecido está licenciado em CC BYSA Espaço amostral Ω O conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório Exemplos 1 Uma moeda é lançada duas vezes e observamse as faces obtidas Ω CC CR RC RR onde aqui C é cara e R coroa 2 Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara Ω CRCRRCRRRC Evento Os subconjuntos do espaço amostral são chamados de eventos e são representados por letras maiúsculas A B C Classificando os tipos de probabilidade Probabilidade clássica usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer A probabilidade é baseada no conhecimento prévio do processo envolvido Probabilidade empírica baseiase em observações obtidas de experimentos aleatórios Os resultados são baseados em dados observados e não no conhecimento prévio do processo De acordo com a Lei dos grandes números a medida que um experimento é repetido mais e mais vezes a probabilidade empírica frequência relativa de um evento tende à sua probabilidade real Probabilidade subjetiva intuição estimativa ou palpite Normalmente baseada em experiência no passado opinião pessoal ou análise de algum indivíduo Pode ser útil quando não há possibilidade de utilização da probabilidade clássica ou empírica Conceito inicial o que é probabilidade A probabilidade é um número entre 0 e 1 que mede quão incerta é a ocorrência de um evento P 1 a ocorrência é certa P 0 a nãoocorrência é certa P 05 a ocorrência e a nãoocorrência têm a mesma probabilidade Cálculo da probabilidade Exemplo Jogase um dado de 6 lados O evento B é obter um 4 Qual a probabilidade de isso acontecer Cálculo da probabilidade Exemplo Jogase um dado de 6 lados O evento B é obter um 4 Qual a probabilidade de isso acontecer Probabilidade do complemento do evento Sabendo que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorra sucesso e q a probabilidade de que ele não ocorra insucesso para um mesmo evento existe sempre a relação Eventos complementares Exemplo Se você jogar um dado e considerar como A o evento o número é pelo menos 5 Em outras palavras A 56 e A 1234 Eventos complementares Exemplo Se você jogar um dado e considerar como A o evento o número é pelo menos 5 Em outras palavras A 56 e A 1234 Eventos complementares Exemplo Você levanta uma amostra de mil funcionários em uma companhia e registra a idade de cada um Os resultados estão na tabela a seguir qual a probabilidade de escolher ao acaso um funcionário que não tenha entre 25 e 34 anos de idade Idade dos funcionários Frequência 15 a 24 54 25 a 34 366 35 a 44 233 45 a 54 180 55 a 64 125 65 ou mais 42 Eventos complementares Exemplo Você levanta uma amostra de mil funcionários em uma companhia e registra a idade de cada um Os resultados estão na tabela a seguir qual a probabilidade de escolher ao acaso um funcionário que não tenha entre 25 e 34 anos de idade Idade dos funcionários Frequência 15 a 24 54 25 a 34 366 35 a 44 233 45 a 54 180 55 a 64 125 65 ou mais 42 Probabilidade Condicional É a probabilidade de ocorrer um evento dado que um outro evento já ocorreu A probabilidade condicional de o evento B ocorrer dado que o evento A já ocorreu é denotado por PAB Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho comum Determine a probabilidade de a segunda ser uma dama dado que a primeira foi um rei assuma que o rei não foi recolocado Probabilidade Condicional É a probabilidade de ocorrer um evento dado que um outro evento já ocorreu A probabilidade condicional de o evento B ocorrer dado que o evento A já ocorreu é denotado por PAB Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho comum Determine a probabilidade de a segunda ser uma dama dado que a primeira foi um rei assuma que o rei não foi recolocado Eventos independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e viceversa Assim sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade do segundo evento a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por Eventos independentes Exemplo Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente Qual a probabilidade de obtenção de cara e seis Eventos independentes Exemplo Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente Qual a probabilidade de obtenção de cara e seis Eventos Mutuamente Exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização dos outros Assim no lançamento de uma moeda o evento tirar cara e o evento tirar coroa são mutuamente exclusivos já que ao se realizar um deles o outro não se realiza Se dois eventos são mutuamente exclusivos a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de cada um deles se realize Regras de Contagem É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial combinação arranjo permutação Entender esse princípio é essencial para compreender situações que envolvem contagem Esse princípio afirma que se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas pode ser tomada de x y z maneiras para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente basta calcular o produto dessas possibilidades O que é o princípio fundamental da contagem O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinarse Se uma decisão pode ser tomada de n maneiras e outra decisão pode ser tomada de m maneiras o número de maneiras que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é calculado pelo produto de n m Essa regra pode ser estendida para um número qualquer de eventos que ocorram em sequência Exemplo Quantas placas de automóvel você pode fazer considerando que uma placa consiste em 1 Três letras em 26 que podem ser repetidas 2 Três letras em 26 que não podem se repetidas Exemplo Quantas placas de automóvel você pode fazer considerando que uma placa consiste em 1 Três letras em 26 que podem ser repetidas 2 Três letras em 26 que não podem se repetidas Permutação Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos O número de permutações diferentes de n objetos é n n n n1 n2 n3 Exemplo A fila inicial para um time de beisebol tem nove jogadores De quantas maneiras diferentes podese definir a ordem dos batedores Permutação Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e colocalos em ordem Essa ordenação é chamada de permutação de n objetos tomando r a cada vez 𝑃𝑟 𝑛 𝑛 𝑟 Onde r n Exemplo Determine o número de maneiras de formar códigos com três dígitos sem que eles sejam repetidos Permutação Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e colocalos em ordem Essa ordenação é chamada de permutação de n objetos tomando r a cada vez 𝑃𝑟 𝑛 𝑛 𝑟 Onde r n Exemplo Determine o número de maneiras de formar códigos com três dígitos sem que eles sejam repetidos Combinações Uma combinação é uma seleção de r objetos sem que tenha importância a ordem denotada por nCrO número de combinações de objetos selecionados em um grupo de n objetos é n𝐶𝑟 𝑛 𝑛 𝑟 𝑟 Exemplo Um departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seção de uma estrada interestadual e recebe 16 propostas para o projeto O estado planeja contratar quatro das companhias que fizeram ofertas Quantas combinações diferentes das quatro companhias podem ser selecionadas a partir das 16 que fizeram propostas Agora vamos aos exercícios Os exercícios são de fixação sem campo para entregar Aproveite para fazer os exercícios e se prepare para as avaliações Bons estudos