Integrais - Técnicas de Integração: Substituição e Integração por Partes

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INTEGRAIS Técnicas de Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Substituição de Variáveis Integração por Partes Integrais Trigonométricas Substituição Trigonométrica Frações Parciais SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS A técnica da Substituição de Variáveis baseiase na Regra da Cadeia para derivadas Devemos substituir uma parte do integrando pela variável u desde que seja possível obter a diferencial du Se u gx for uma função diferenciável num intervalo I e f é contínua em I então f u du f g x g x dx SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Exemplo 1 Calcular a integral dx x x 1 cos 4 3 Solução Devemos procurar uma substituição que gere uma integral mais simples ou tabelada desde que possa haver o termo du no integrando x dx du x u 3 4 4 1 g x dx du g x u onde SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Observe que no integrando não há o termo du exatamente igual Porém podemos fazêlo igual multiplicando e dividindo o integrando por 4 x dx x dx x x 3 4 4 3 14 4 cos 1 1 cos C x C u u du 1 4 sen 1 4 sen 1 4 cos 1 4 SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Exemplo 2 Calcular a integral xdx tg Solução Vamos utilizar aqui uma identidade trigonométrica conhecida x x x cos sen tg SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Substituindo temos x dx x xdx cos sen tg Fazendo a mudança de variáveis acima temos xdx du x u sen cos C u u du x dx x x dx x xdx ln cos sen cos sen tg C x C x ln sec cos ln NesSa última passagem fizemos uso de leis de logaritmos e identidades trigonométricas SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Exemplo 3 Calcular a integral e xdx 5 Solução Fazendo a substituição dx du x u 5 5 Temos C e C e e du dx e dx e x u u x x 5 5 5 5 1 5 1 5 1 5 5 1 EXERCÍCIO PROPOSTO O valor da integral d sen cos4 é A 5 cos5 C 1 B 5 sen5 C 1 C D E C 5 cos5 1 Resposta C C 5 cos5 1 C 5 sen5 1 INTEGRAÇÃO POR PARTES A integração por partes advém da fórmula de derivada de um produto vdu uv udv INTEGRAÇÃO POR PARTES Exemplo 1 Calcular a integral xdx x 3 cos Solução Utilizando a fórmula de integração por partes temos que xdx dv x u cos3 x xdx v dx du 3sen 3 1 cos3 INTEGRAÇÃO POR PARTES Substituindo x dx x x xdx x 3sen 3 1 3sen 3 1 3 cos xdx x 3 sen 3 1 3sen 3 1 C x x 3 cos3 1 3 1 3sen 3 1 C x x 9 cos3 1 3sen 3 1 INTEGRAÇÃO POR PARTES Exemplo 2 Calcular a integral xdx ln Solução Utilizando a fórmula de integração por partes temos que dx dv x u ln x dx v x dx du 1 INTEGRAÇÃO POR PARTES Substituindo x x dx x x xdx 1 ln ln dx x xln C x x x ln INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Algumas integrais envolvem potências de funções trigonométricas Em geral elas são solucionadas com o uso de identidades trigonométricas Eis algumas delas 1 cos sen 2 2 x x x x 2 2 tg 1 sec x x 2 2 1 cotg cossec x x x cos 2sen sen 2 x x x 2 2 sen cos cos2 x x x tg2 1 2tg tg 2 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Exemplo 1 Avaliar a integral x dx cos3 Solução Vamos reescrever o integrando assim x x x x x cos sen 1 cos cos cos 2 2 3 Jogando na integral temos xdx x xdx x xdx cos sen 1 cos cos cos 2 2 3 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Isso nos permite fazer a seguinte substituição xdx du x u cos sen xdx x xdx x xdx cos sen 1 cos cos cos 2 2 3 Continuando C u u du u 3 1 3 2 C x x 3sen3 1 sen INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Exemplo 2 Avaliar a integral xdx x 2 5 cos sen Solução Reescrevendo o integrando temos x x x x x x x x sen cos cos 1 sen cos sen cos sen 2 2 2 2 2 2 2 5 Substituindo temos xdx x x xdx x sen cos cos 1 cos sen 2 2 2 2 5 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS xdx du x u sen cos Trocando as variáveis Temos xdx x x xdx x sen cos cos 1 cos sen 2 2 2 2 5 du u u u du u u 2 1 6 4 2 2 2 2 C x x x C u u u 7 5 3 7 5 3 7 cos 1 5 cos 2 3 cos 1 7 5 2 3 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Exemplo 3 Avaliar a integral x dx x sec tg 4 6 Solução x dx x x x dx x sec sec tg sec tg 2 2 6 4 6 x dx x x sec tg 1 tg 2 2 6 du u u 1 2 6 C u u 9 7 9 1 7 1 C x x 9 7 9 tg 1 7 tg 1 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Muitas integrais envolvem expressões dos tipos 2 2 x a 2 2 a x 2 2 a x SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Esta técnica consiste em substituir a variável x por uma função trigonométrica de acordo com a tabela a seguir Expressão Substituição Identidade 2 2 x a 2 2 a x 2 2 x a 2 2 sen a x 2 3 2 ou sec 0 a x 2 2 tg a x 1 cos sen 2 2 2 2 tg 1 sec 2 2 tg 1 sec SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Exemplo 1 Avaliar a integral dx x x 2 2 9 Solução d dx x cos 3 sen 3 d dx x x 3cos sen 9 3cos 9 2 2 2 d d cotg sen cos 2 2 2 1 d cossec 2 C cotg SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 3 x 2 9 x x x2 9 cotg C x x x dx x x 3 sen 9 9 1 2 2 2 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Exemplo 2 Avaliar a integral dx x x 4 1 2 2 Solução d dx x sec 2 tg 2 2 d d x x dx 2 2 2 2 2 tg sec 4 1 2 sec tg 4 sec 2 4 2 2 2 2 sen cos sen cos cos 1 tg sec SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA d du u cos sen 2 2 2 2 4 1 sen cos 4 1 4 u du d x x dx C C u sen 4 1 1 4 1 C 4 cossec SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 2 x 2 4 x x x 4 cossec 2 C x x x x dx 4 4 4 2 2 2 FRAÇÕES PARCIAIS Consideremos funções racionais do tipo x Q P x f x Se o grau do numerador for maior que o grau do denominador podemos fazer uma divisão longa obtendo um quociente Sx e um resto Rx Assim x Q R x S x x Q P x f x FRAÇÕES PARCIAIS Exemplo 1 Avaliar a integral dx x x x 1 3 Solução 1 2 2 1 2 3 x x x x x x dx x x x dx x x x 1 2 2 1 2 3 C x x x x 1 2ln 2 2 3 2 3 FRAÇÕES PARCIAIS O caso em que o grau do numerador é menor que o do denominador pode ser subdividido como segue Caso 1 O denominador Qx é um produto de fatores lineares distintos Caso 2 Qx é um produto de fatores lineares mas alguns são repetidos Caso 3 Qx contém fatores quadráticos irredutíveis e não repetidos Caso 4 Qx contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos FRAÇÕES PARCIAIS Caso 1 O denominador Qx é um produto de fatores lineares distintos 2 2 1 1 n n b a x b a x b a x Q x n n n b x a A b x a A b x a A x Q x R 2 2 2 1 1 1 FRAÇÕES PARCIAIS Exemplo 1 Avaliar a integral x dx x x x x 2 3 2 1 2 2 3 2 Solução 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 x x x x x x x x x 2 1 2 2 1 2 1 2 2 x C x B x A x x x x x 1 2 2 2 1 2 1 2 2 x Cx Bx x x x A x x A C x B A C x B A x x 2 2 3 2 2 1 2 2 2 FRAÇÕES PARCIAIS 1 2 2 2 3 1 2 2 A C B A C B A 10 1 5 1 2 1 C B A dx x x x x dx x x x x 2 1 10 1 1 2 1 5 1 1 2 1 2 3 2 1 2 2 3 2 C x x x 2 10 ln 1 1 10 ln 2 1 2 ln 1 FRAÇÕES PARCIAIS Caso 2 Qx é um produto de fatores lineares mas alguns são repetidos Suponha que um dos fatores lineares digamos seja repetido r vezes Então teríamos r parcelas do tipo r k k b a x r k k r k k k k b x a A b x a A b x a A 2 2 1 FRAÇÕES PARCIAIS Exemplo 2 Avaliar a integral dx x x x x x x 1 1 4 2 2 3 2 4 Solução 1 4 1 1 1 4 2 2 3 2 3 2 4 x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 4 2 2 x C x B x A x x x FRAÇÕES PARCIAIS 21 1 1 1 4 C x B x x A x x 2 2 C B A C x B C x A 0 4 2 0 C B A C B C A 1 2 1 C B A FRAÇÕES PARCIAIS dx x x x x dx x x x x x x 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 2 2 2 3 2 4 C x x x x x 1 ln 1 2 1 ln 2 2 C x x x x x 1 1 ln 1 2 2 2 FRAÇÕES PARCIAIS Caso 3 Qx contém fatores quadráticos irredutíveis e não repetidos Se Qx tiver um fator quadrático irredutível c bx ax 2 então a expressão em frações parciais terá um termo da forma c bx ax B Ax 2 onde 0 4 2 ac b FRAÇÕES PARCIAIS Exemplo 3 Avaliar a integral dx x x x x 4 4 2 3 2 Solução 4 4 2 3 x x x x 4 2 4 2 2 2 2 x C Bx x A x x x x C x Bx A x x x 4 4 2 2 2 A Cx B x A 4 2 FRAÇÕES PARCIAIS A B 2 C 1 4 4 A 1 1 1 C B A dx x x x dx x x x x 4 1 1 4 4 2 2 3 2 FRAÇÕES PARCIAIS dx x dx x x dx x x 4 1 4 4 1 2 2 2 dx x dx x x x dx dx x x x x 4 1 4 2 4 2 2 2 2 2 C x x x 2 2 tg 1 4 2 ln 1 ln 1 2 FRAÇÕES PARCIAIS Caso 4 Qx contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos Caso Qx tenha um fator do tipo c r bx ax 2 onde 0 4 2 ac b então a decomposição em frações parciais terá uma soma do tipo r r r c bx ax B x A c bx ax B x A c bx ax B x A 2 2 2 2 2 2 1 1 FRAÇÕES PARCIAIS Exemplo 4 Avaliar a integral dx x x x x x 2 2 3 2 1 2 1 Solução 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 x E Dx x C Bx x A x x x x x E x Dx C x x Bx A x x x x 1 1 1 2 2 2 2 3 Ex Dx x C x x B x x A x 2 3 2 4 2 4 1 2 A E x C D x B A Cx B x A 2 2 3 4 FRAÇÕES PARCIAIS A B 0 C 1 2 2 D B A C E 1 1 A 0 1 1 1 1 E D C B A FRAÇÕES PARCIAIS dx x x x x x dx x x x x x 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 2 1 dx x x x dx dx x x x dx 2 2 2 2 1 1 1 C x x x x 1 2 1 tg 1 2 ln 1 ln 2 1 2