Introdução à Integração e Primitivas

INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO PRIMITIVAS Definição Uma função F é chamada uma primitiva ou antiderivada de f sobre um intervalo I se Fxfx para todo x em I Exemplos 2 x f x 3 3 1 x F x Se então mas 2 x f x 100 3 1 F x x3 Se então ou 2 x f x C x F x 3 3 1 Se então Para qualquer constante C PRIMITIVAS Teorema Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I então a antiderivada mais geral de f em I é onde C é uma constante arbitrária FxC PRIMITIVAS Exemplo 1 Encontre uma antiderivada mais geral de cada uma das seguintes funções a x f x sen b x f x 1 c nx f x n 1 PRIMITIVAS Solução a C x F x cos b C x F x ln c C n x x F n 1 1 n 1 PRIMITIVAS Tabela de Primitivas Básicas Função Primitiva cf x x cF g x f x G x F x 1 n xn 1 1 n xn xe xe cos x x sen Função Primitiva sen x x cos x tg x tg x sec x sec 2 1 1 x 1 x sen 2 1 1 x 1 x tg sec2 x PRIMITIVAS Exemplo 2 Encontre todas as primitivas da função 3 4 5 6 3 4sen x x x g x PRIMITIVAS Solução Vamos reescrever a função e aplicar a tabela de primitivas 3 4 5 6 3 4sen x x x g x C x x x G x 6 7 4 3 6 4 cos 7 4 6 C x x x G x 7 24 2 4cos 74 6 INTEGRAL INDEFINIDA A partir do conceito de primitivas podemos definir a Integral Indefinida f x F x C F x x dx f Isso significa que a integral indefinida de uma função é uma família de Primitivas ou antiderivadas desta função INTEGRAL INDEFINDA TABELA BÁSICA f x dx c cf x dx C kx kdx C n x dx x n n 1 1 1 n C e e dx x x C x xdx cos sen C x xdx tg sec2 C x xdx x sec sec tg C x dx x 1 2 tg 1 1 g x dx f x dx g x dx f x C x x dx ln 1 C a a dx a x x ln C x xdx sen cos C x xdx cotg cossec2 C x xdx x cossec cotg cossec C x dx x 1 2 sen 1 1 INTEGRAL INDEFINIDA Exemplo 3 Encontre a integral indefinida geral x dx x 2sec 10 2 4 INTEGRAL INDEFINIDA Solução Usando a tabela de integrais indefinidas temos xdx x dx x dx x 2 4 2 4 2 sec 10 2sec 10 C x x 2tg 5 10 5 C x x 2tg 2 5 INTEGRAL INDEFINIDA Exemplo 3 Encontre a integral indefinida geral x dx x 2sec 10 2 4 INTEGRAL INDEFINIDA Solução Usando a tabela de integrais indefinidas temos xdx x dx x dx x 2 4 2 4 2 sec 10 2sec 10 C x x 2tg 5 10 5 C x x 2tg 2 5 INTEGRAL INDEFINIDA Exemplo 4 Encontre a integral indefinida geral d sen2 cos INTEGRAL INDEFINIDA Solução Usando a tabela de integrais indefinidas temos d d sen cos sen 1 sen cos 2 C cossec cotg cossec d EXERCÍCIO PROPOSTO A velocidade de um móvel em movimento retilíneo é dada em unidades do Sistema Internacional SI pela função horária 5 2 t t v Se a posição inicial do móvel é dada por 4 m 0 s Podemos afirmar que a função horária da posição é A 4 5 2 t t t s B 4 10 2 2 t t t s C 1 8 5 2 t t t s D 1 5 2 t t t s E 3 5 2 t t t s Para o TI Resposta A Dica Observe que a velocidade é a derivada da posição EXERCÍCIO PROPOSTO A integral indefinida dx x x sen2 1 sen é A x C cos B x C sen C x C sec D x C cotg E x C tg Resposta C INTEGRAL DEFINIDA Problema da Área No estudo de Geometria Plana desenvolvemos fórmulas para calcular áreas de figuras planas simples tais como retângulos círculos e triângulos Porém como podemos estender o conceito de área para uma figura arbitrária O matemático B Riemann estudou esse problema baseandose nas ideias Iniciais de Eudoxo e procurou calcular a área abaixo da curva de uma função INTEGRAL DEFINIDA Considere uma função y fx não negativa definida no intervalo fechado ab Desejamos calcular a área sob o gráfico dessa função nesse intervalo INTEGRAL DEFINIDA Para isso dividimos o intervalo ab em n subintervalos tão pequenos quanto se deseje n a b x n j i x f x S 1 Em cada intervalo escolhemos um ponto de amostra que será a altura de cada retângulo INTEGRAL DEFINIDA Se aumentarmos o número de intervalos a aproximação será melhor Se fizermos n tender a infinito temos a área exata da figura A esse conceito chamamos integral definida n j j n b a x f x x dx f 1 lim INTEGRAL DEFINIDA É difícil calcular integrais definidas por meio da definição Porém existe um teorema do Cálculo que une as duas partes derivadas e integrais Chamase Teorema Fundamental do Cálculo F a F b x dx f b a Nessa fórmula F é uma primitiva de f Assim podemos calcular a área sobre o gráfico de uma função contínua conhecendose apenas os valores funcionais de sua primitiva nos extremos desse intervalo INTEGRAL DEFINIDA Exemplo 1 Encontre a área sobre o gráfico da função 2 x f x no intervalo 12 INTEGRAL DEFINIDA Solução 3 7 3 1 3 2 3 3 3 2 1 3 2 1 2 x x dx A INTEGRAL DEFINIDA Exemplo 2 Calcular a integral definida 4 0 tg sec d INTEGRAL DEFINIDA Solução 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 sec0 sec 4 sec tg sec 4 0 4 0 d INTEGRAL DEFINIDA Exemplo 2 Calcular a integral definida dt t t t t 9 1 2 2 2 1 2 INTEGRAL DEFINIDA Solução 9 1 9 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 dt t t dt t t t t 9 1 1 2 3 1 3 2 2 t t t 9 1 32 1 3 2 2 t t t 1 1 31 2 12 9 1 3 9 2 92 32 2 3 9 32 4 EXERCÍCIO PROPOSTO O valor da integral 0 3sen 5 x dx ex é A 2 5 e B 2 5 e C 2 e D 1 5 e E 4 e Resposta B EXERCÍCIO PROPOSTO O valor da área sobre o gráfico da função x x f x 3 2 no intervalo 03 é A 9 B 2 C 2 27 D 2 9 E 3 Resposta C