Notas de Aula: Medidas de Dispersão em Probabilidade e Estatística

Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Estatística Notas de aula de Probabilidade e Estatística Anderson Castro Soares de Oliveira 2011 SUMÁRIO 01 Medidas de dispersão 3 011 Amplitude Total 3 012 Variância e Desvio Padrão 3 Propriedades da Variância 4 Propriedades do Desvio Padrão 6 013 Coeciente de Variação 6 014 Erro Padrão da Média 6 02 Exemplos 7 021 Dados Agrupados 7 a 01 Medidas de dispersao As medidas de posicéo séo importantes para caracterizar um conjunto de dados mas nao sao suficientes para caracterizar completamente a distribuicdo dos dados Para isso é necessario obter as medidas de dispersaéo que medem a variabilidade dos dados Por exemplo Considere as amostras referentes a altura em cm de dois grupos de pessoas Grupo A 185 185 185 Grupo B 187 183 185 A média para os dois grupos é a mesma X 4 185 e X gp 185 Os 2 conjuntos nao diferem entre si e consideramos somente a média pois se basearmos somente por essa medida os dois grupos sao considerados como de mesma altura Entretanto o grupo A tem todas as observacoes iguais a média Ja no grupo B ocorre uma certa dispersao nos dados As medidas de variabilidade ou dispersao possibilitam que facamos distingao entre os con juntos quanto 4 sua homogeneidade isto é o grau de concentracéo em torno de uma medida de tendéncia central 011 Amplitude Total Amplitude Total A é a diferenga entre o maior e o menor valor da amostra Essa medida é bastante simples e obtida pela expressao A Maz Min Para dados agrupados a amplitude total é a diferenga entre o ponto médio da tltima e da primeira classe Para expressar variabilidade a amplitude total nao é muito usada pois baseiase em apenas dois dados 012 Variancia e Desvio Padrao A variancia é baseada pela quadrado dos desvios dos dados em relacao 4 média Esta medida é expressa na unidade dos dados ao quadrado e Para a populacao a variancia é representada por N 2 S xi p 2 il oo N em que N é 0 tamanho da populacao e Para a amostra a varidncia é representada por 2 S xi X 92 1 n1 em que n é 0 tamanho da populacao 4 Para dados agrupados a varidncia é obtida por meio da expressao e Para a populacao a variancia é representada por k 2 S 5 ai 1 fai 2 il c k fai il e Para a amostra a varidncia é representada por n 2 y a X fa J 2 k 5 fai 1 il O desvio padrao é a raiz quadrada positiva da varidncia Esta medida é expressa na mesma unidade dos dados e Para a populacao o desvio padrao é representada por agVo e Para a amostra o desvio padrao é representada por SvS2 em que n é 0 tamanho da populacao Nota e O desvio padrao e a variancia sao medidas de dispersao ou variabilidade a opcao do uso de um ou outro depende da finalidade da informacao e A variancia tem pouca utilidade na estatistica descritiva porém muito importante na inferéncia estatistica e em combinacoes de amostras e O desvio padrao é muito usado na estatistica descritiva e E importante notar que se os dados representarem uma amostra e nao toda a populacao a expresséo matematica da variancia deve ter n 1 no denominador em substituigao ao fator n esta mudanca é chamada de fator de correcao de Bessel ou conforme os estatisticos namero de graus de liberdade Dessa forma temos a variancia da amostra Propriedades da Variancia A variancia apresenta um conjunto vasto de propriedades todas elas sem divida de grande utilidade no calculo do seu valor a 1 A variaéncia de uma constante k é nula n SkX n1 n Dd kk il n1 n 0 il n1 0 2 Somandose ou subtraindose uma constante k a todos os dados a variancia nao se altera X Xk n 2 x X ot ft n1 2 So Xi k X k il n1 2 So Xi k X k il n1 n S Xi X il n1 a 3 Multiplicandose todos os dados por uma constante k a variancia fica multiplicada por k X kx X kx n 2 x X n1 2 So bx 0 il n1 2 k X il n1 2 YH il n1 k S2 Propriedades do Desvio Padrao 1 Somandose ou subtraindose uma constante k a todos os dados o desvio padrao nao se altera X Xik Sg S2 S vS 2 Multiplicandose todos os dados por uma constante k a variancia fica multiplicada por k X kX st k S2 S vVkS2kS 013 Coeficiente de Variacao O coeficiente de variagao CV é uma medida de dispersao que expressa o desvio padrao em termos da média de forma percentual S xX Se as amostras tiverem unidade diferentes ou médias diferentes o CV pode ser utilizado para comparar a variabilidade entre duas amostras 014 Erro Padrao da Média O erro padrao da média é uma medida de dispersao que da a preciso com que a média populacional esta sendo estimada E obtido pela formula S SX em que A e S 0 desvio padrao da amostra e n éo tamanho da amostra 02 Exemplos Sejam dados referentes a um levantamento onde observouse 0 numero de pecas defeituosas em 25 maquinas de uma empresas Tabela 1 Numero de pecas defeituosas em 25 maquinas de uma empresa 1 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 5 5 7 2 4 5 5 8 A amplitude total A Mar Min817 Temos que a média é X 4 e como se trata de uma amostra temos a 7 xy 1 4 24 8 4 oa SEN 3041666667 3 04 n1 251 O desvio padrao S VS 304 1 7435595 2 O coeficiente de variacao S 2 CV 100 100 50 xX 4 O erro padrao da médio S 2 SX 04 021 Dados Agrupados Tabela 2 Resumo da distribuicgao de freqiiéncias aos pesos de caes de uma determinada raca 30 observagées Classes x Frequéncia 2X a Xfa Absoluta fa 627 F 762 694 3 75076 225228 72 897 829 7 19321 135247 897 1032 964 10 00016 0016 1032 1167 1099 6 17161 102966 1167 1302 1234 4 70756 283024 Total 30 746625 Assim Amplitude total A Maz Min 1234 694 540 a Temos que a média é X 968 e como se trata de uma amostra temos n 2 Ss a X fa 2 il o k So fai 1 i1 74 6625 7 29 25745689 2 5746 O desvio padrao S VS 25746 1 604556 1 60 O coeficiente de variacao S 160 CV 100 100 1653 X 968 53 O erro padrao da média S 160 SX 029 X Jn J30