Trabalho Power Point

CAPÍTULO 4 A RETA 41 Equação Vetorial da Reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo v Para que um ponto P do espaço pertença á reta r é necessário e suficiente que os vetores AP e v sejam colineares Fig 41 isto é AP tv ou P A tv 41I Figura 41 De 41I vem P A tv 99 ou x y z x1 y1 z1 ta b c 41II se Px y z Ax1 y1 z1 e v a b c Qualquer uma das equações 41I e 41II é denominada equação vetorial da reta r O vetor v a b c é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro É fácil verificar que a cada valor de t corresponde um ponto particular P quando t varia de a o ponto P descreve a reta r Exemplo Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v 2i 2j k Designando por Px y z um ponto genérico dessa reta temse P A tv isto é x y z 3 0 5 t2 2 1 Quando t varia de a P descreve a reta r Assim se t 2 por exemplo x y z 3 0 5 22 2 1 x y z 3 0 5 4 4 2 x y z 7 4 7 O ponto P7 4 7 é um ponto da reta r Reciprocamente a cada ponto P r corresponde um número real t Por exemplo sabese que o ponto P7 4 7 pertence à reta r x y z 3 0 5 t2 2 1 logo é verdadeira a afirmação 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 para algum número real t Dessa igualdade vem t2 2 1 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 4 4 2 2t 2t 1t 4 4 2 Da definição de igualdade de vetores vem t 2 42 Equações Paramétricas da Reta Sejam 0 i j k um sistema de coordenadas Px y z e Ax1 y1 z1 um ponto genérico e um ponto dado respectivamente da reta r e v ai bj ck um vetor de mesma direção de r Da equação vetorial da reta r P A tv ou x y z x1 y1 z1 ta b c ou ainda x y z x1 at y1 bt z ct vem x x1 at y y1 bt z z1 ct 42 BIBLIOTECA UNIBH As Equações 42 nas quais a b e c não são todos nulos v 0 são denominadas equações paramétricas da reta r em relação ao sistema de coordenadas fixado A reta r é o conjunto de todos os pontos x y z determinados pelas equações paramétricas quando t varia de a Exemplo As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A3 1 2 e é paralela ao vetor v 3 2 1 são x 3 3t y 1 2t z 2 t Para se obter um ponto desta reta basta atribuir a t um valor particular Por exemplo para t 3 temse x 6 y 7 z 5 isto é o ponto 6 7 5 é um ponto da reta r Observese que o ponto A3 1 2 é obtido fazendo t 0 Já o ponto 0 3 4 não pertence a esta reta pois as equações 0 3 3t 3 1 2t 4 2 t não são satisfeitas para o mesmo valor de t t 1 satisfaz a primeira equação mas não as duas 43 Reta Definida por Dois Pontos A reta definida pelos pontos Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 é a reta que passa pelo ponto A ou B e tem a direção do vetor v AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 Exemplo A reta r determinada pelos pontos A1 2 3 e B3 1 4 tem a direção do vetor v AB 2 3 1 e as equações paramétricas x 1 2t y 2 3t z 3 t representam esta reta r passando pelo ponto A com a direção do vetor v AB analogamente as equações paramétricas x 3 2t y 1 3t z 4 t ainda representam a mesma reta r passando pelo ponto B com a direção do vetor v AB Observemos que embora estes sistemas sejam diferentes eles permitem encontrar todos os pontos da mesma reta fazendo t variar de a Por exemplo para t 1 obtemos o ponto P1 3 1 4 no primeiro sistema e o ponto P2 5 4 5 no segundo sistema e ambos são pontos da mesma reta É fácil ver que o ponto P1 pode ser obtido no segundo sistema fazendo t 0 e o ponto P2 no primeiro sistema fazendo t 2 Observação Assim como o vetor v 2 3 1 é um vetor diretor desta reta qualquer vetor αv α 0 também o é Portanto apenas para exemplificar se α 2 e α 1 as equações x 1 4t y 2 6t z 3 2t e x 1 2t y 2 3t z 3 t ainda representam respectivamente a reta r 44 Equações Simétricas da Reta Das equações paramétricas 42 supondo abc 0 vem t x x1a t y y1b t z z1c logo x x1a y y1b z z1c 44I Estas equações são denominadas equações simétricas ou normais de uma reta que passa por um ponto Ax1 y1 z1 e tem a direção do vetor v a b c Exemplo As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v 2i 2j k são x 32 y2 z 51 Observação Se a reta é determinada pelos pontos Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 suas equações simétricas são x x1x2 x1 y y1y2 y1 z z1z2 z1 44II pois um vetor diretor é v AB x2 x1 y2 y1 z2 z1 com x2 x1 0 y2 y1 0 e z2 z1 0 Exemplo As equações simétricas da reta determinada pelos pontos A2 1 3 e B4 0 2 são x 2 4 2 y 1 0 1 z 3 2 3 isto é x 2 2 y 1 1 z 3 1 Estas são as equações da reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor v AB As equações x 4 2 y 1 z 2 1 representam a mesma reta passando pelo ponto B e com a direção de v AB 441 Condição para que Três Pontos Estejam em Linha Reta A condição para que três pontos A1x1 y1 z1 A2x2 y2 z2 e A3x3 y3 z3 estejam em linha reta é que os vetores A1A2 e A1A3 sejam colineares isto é A1A2 mA1A3 para algum m R ou x2 x1 x3 x1 y2 y1 y3 y1 z2 z1 z3 z1 441 Exemplo Os pontos A15 2 6 A21 4 3 e A37 4 7 estão em linha reta De fato substituindo as coordenadas dos pontos nas equações 441 temse 1 5 7 5 4 2 4 2 3 6 7 6 ou 6 2 6 2 3 1 45 Equações Reduzidas da Reta As equações simétricas 441 da reta x x1 a y y1 b z z1 c podese dar outra forma isolando as variáveis y e z e expressandoas em função de x Assim y y1 b x x1 a fazendo b a m y y1 b ax x1 y y1 b ax b ax1 y b ax b ax1 y1 fazendo c a p z z1 c x x1 a z z1 c ax x1 z z1 c ax c ax1 z c ax c ax1 z1 b ax1 y1 n vem y mx n c ax1 z1 q vem z px q 451 Estas equações são as equações reduzidas da reta Exemplo Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A2 1 3 e B4 0 2 a As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A2 1 3 e tem a direção do vetor v AB 2 1 1 são x 2 2 y 1 1 z 3 1 Dessas equações obtémse x 2 2 y 1 1 2y 1 1x 2 2y 2 x 2 2y x 2 2 2y x 4 y x 4 2 1 2 x 2 x 2 2 z 3 1 2z 3 1x 2 2z 6 x 2 2z x 2 6 2z x 8 z x 8 2 1 2 x 4 b As equações simétricas da reta que passa pelo ponto B4 0 2 e tem a direção do vetor v AB 2 1 1 são x 4 2 y 1 z 2 1 Dessas equações obtémse x 4 2 y 1 2y x 4 2y x 4 y x 4 2 1 2 x 2 x 4 2 z 2 1 2z 2 1x 4 2z 4 x 4 2z x 4 4 z x 8 2 1 2 x 4 Comparando as equações reduzidas obtidas em a e b verificase que são equações da mesma reta r o que aliás vem confirmar a afirmação feita no Exemplo da Observação do Item 44 Observações a Nas equações reduzidas y mx n z px q a variável x figura como variável independente Se expressarmos as equações de forma que a variável independente seja y ou z ainda assim as equações são chamadas equações reduzidas Por exemplo as equações reduzidas da reta do exemplo anterior também podem ser expressas por x 4 2y z y 2 ou x 2z 8 y z 2 b Das equações reduzidas 45I y mx n z px q podese obter x y n z q 1 m p 45II Comparando 45II com as equações 44I x x1 y y1 z z1 a b c verificase que as equações reduzidas representam a reta que passa pelo ponto N0 n q e tem a direção do vetor v 1 m p Exemplo As equações y 2x 3 z 4x 5 representam a reta que passa pelo ponto N0 3 5 e tem a direção do vetor v 1 2 4 Observese que o ponto N é obtido fazendo x 0 nas equações reduzidas Se se der a x outro valor x 1 por exemplo se terá o ponto M1 1 1 e um vetor diretor será NM 1 2 4 ou qualquer múltiplo dele 46 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados Vimos que as equações 42 x x1 at y y1 bt z z1 ct ou as equações 44I x x1 y y1 z z1 a b c representam uma reta r determinada por um ponto Ax1 y1 z1 e por um vetor diretor v a b c Até agora supôsse que as componentes do vetor são diferentes de zero Entretanto uma ou duas destas componentes podem ser nulas Então temos dois casos 19 Uma só das componentes de v é nula Neste caso o vetor v é ortogonal a um dos eixos coordenados e portanto a reta r é paralela ao plano dos outros eixos Assim a Se a 0 v 0 b c Ox r yOz As equações de r ficam x x1 y y1 z z1 b c nas quais se verifica que das coordenadas x y z de um ponto genérico P da reta r variam somente y e z conservandose x x1 constante Isto significa que a reta r se acha num plano paralelo ao plano coordenado yOz Fig 46a b Se b 0 v a 0 c Oy r xOz As equações de r ficam y y1 x x1 z z1 a c Das coordenadas de um ponto genérico Px y z da reta r variam somente x e z conservandose y y1 constante A reta r se acha num plano paralelo ao plano xOz Fig 46b c Se c 0 v a b 0 Oz r xOy As equações de r ficam z z₁ x x₁ a y y₁ b Das coordenadas de um ponto genérico Px y z da reta r variam somente x e y conservandose z z₁ constante A reta r se acha num plano paralelo ao plano xOy Fig 46c 20 Duas das componentes de v são nulas Neste caso o vetor v tem a direção de um dos vetores i 1 0 0 ou j 0 1 0 ou k 0 0 1 e portanto a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de i ou de j ou de k Assim a Se a b 0 v 0 0 c k r Oz As equações de r ficam x x₁ y y₁ z z₁ ct Costumase dizer simplesmente que as equações da reta r são x x₁ y y₁ subentendendose z variável Fig 46d b Se a c 0 v 0 b 0 j r Oy As equações de r ficam x x₁ y y₁ bt z z₁ ou simplesmente x x₁ z z₁ subentendendose y variável Fig 46e c Se b c 0 v a 0 0 i r Ox As equações de r ficam x x₁ at y y₁ z z₁ ou simplesmente y y₁ z z₁ subentendendose x variável Fig 46f Observação Os eixos Ox Oy e Oz são retas particulares Assim o eixo Ox é uma reta que passa pela origem O0 0 0 e tem a direção do vetor i 1 0 0 Logo suas equações são y 0 z 0 De forma análoga as equações do eixo Oy são x 0 z 0 e as equações do eixo Oz são x 0 y 0 461 Problemas Resolvidos 1 Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A2 3 2 e tem a direção do vetor v 3i 2k Solução As componentes do vetor v são a 3 b 0 c 2 Tendo em vista que b 0 a reta se acha num plano paralelo ao plano xOz e suas equações são y 3 x23 z22 2 Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A1 0 9 e B4 8 9 Solução As componentes do vetor v B A que define a direção da reta são a 4 1 3 b 8 0 8 c 9 9 0 Tendo em vista que c 0 a reta se acha num plano paralelo ao plano xOy e as suas equações são z 9 x 13 y8 3 Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A0 3 2 e tem a direção do vetor v 2i Solução As componentes do vetor v são a 2 b 0 c 0 Tendo em vista que b 0 e c 0 a reta é paralela ao eixo Ox e as suas equações são y 3 z 2 47 Ângulo de Duas Retas Sejam as retas r₁ que passa pelo ponto A₁x₁ y₁ z₁ e tem a direção de um vetor v₁ a₁ b₁ c₁ e r₂ que passa pelo ponto A₂x₂ y₂ z₂ e tem a direção de um vetor v₂ a₂ b₂ c₂ Fig 47 Chamase ângulo de duas retas r₁ e r₂ o menor ângulo de um vetor diretor de r₁ e de um vetor diretor de r₂ Logo sendo θ este ângulo temse cos θ v₁ v₂ v₁ v₂ com 0 θ π2 47i Figura 47 ou em coordenadas cos θ a₁ a₂ b₁ b₂ c₁ c₂ a₁² b₁² c₁² a₂² b₂² c₂² 47II Observação Na figura o ângulo α é suplementar de θ e portanto cos α cos θ O ângulo α é o ângulo formado por v₁ e v₂ ou v₁ e v₂ Exemplo Calcular o ângulo entre as retas r₁ x 3 t y t z 1 2t e r₂ x 22 y 31 z1 Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são respectivamente v1 1 1 2 v2 2 1 1 Pela fórmula 471 cos θ v1 v2 v1v2 1 1 22 1 1 1² 1² 2² x 2² 1² 1² cos θ 2 1 2 1 1 4 x 4 1 1 3 6 x 6 36 12 logo θ arc cos 12 π3 rad 60 48 Condição de Paralelismo de Duas Retas A condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores v1 a1 b1 c1 e v a2 b2 c2 que definem as direções dessas retas isto é v1 m v2 ou a1a2 b1b2 c1c2 481 Exemplo A reta r1 que passa pelos pontos A13 4 2 e B15 2 4 e a reta r2 que passa pelos pontos A21 2 3 e B25 5 4 são paralelas De fato I A direção de r1 é dada pelo vetor v1 A1B1 8 6 2 II A direção de r2 é dada pelo vetor v2 A2 B2 4 3 1 III A condição de paralelismo de duas retas é a1a2 b1b2 c1c2 e neste caso 84 63 21 o que prova serem paralelas as retas r1 e r2 Observações I Seja uma reta r1 que passa por um ponto A1x1 y1 z1 e tem a direção de um vetor v1 a1 b1 c1 expressa pelas equações x x1a1 y y1b1 z z1c1 Qualquer reta r2 paralela à reta r1 tem parâmetros diretores a2 b2 c2 proporcionais aos parâmetros diretores a1 b1 c1 de r1 Em particular a1 b1 c1 são parâmetros diretores de qualquer reta paralela à reta r1 Nestas condições se A2 x2 y2 z2 é um ponto qualquer do espaço as equações da paralela à reta r1 que passa por A2 são x x2a1 y y2b1 z z2c1 II Se as retas r1 e r2 forem expressas respectivamente pelas equações reduzidas r1 y m1 x n1 z p1 x q1 r2 y m2 x n2 z p2 x q2 cujas direções são dadas respectivamente pelos vetores v1 1 m1 p1 v2 1 m2 p2 a condição de paralelismo permite escrever 11 m1m2 p1p2 ou m1 m2 p1 p2 Assim por exemplo as retas r1 y 2x 3 z 4x 5 e r2 y 2x 1 z 4x são paralelas 49 Condição de Ortogonalidade de Duas Retas A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores v1 a1 b1 c1 e v2 a2 b2 c2 que definem as direções dessas retas isto é v1 v2 0 ou a1 a2 b1 b2 c1 c2 0 Exemplo As retas r1 y 3 x 38 z 16 e r2 x3 y 15 z 34 são ortogonais De fato I A direção de r1 é dada pelo vetor v1 8 0 6 II A direção de r2 é dada pelo vetor v2 3 5 4 III A condição de ortogonalidade de duas retas é a1b1 a2b2 a3b3 0 e neste caso 8 3 0 5 6 4 24 0 24 0 o que prova serem ortogonais as retas r1 e r2 491 Problema Resolvido 4 Calcular o valor de m para que as retas r1 y mx 3 z 2x e s x 1 2t y 3 t z 5t sejam ortogonais Solução Os vetores u 1 m 2 e v 2 1 5 são vetores diretores de r e s respectivamente A condição de ortogonalidade permite escrever u v 0 ou 1 m 2 2 1 5 0 2 m 10 0 m 10 2 m 8 Observação Uma reta r cujo vetor diretor v é ortogonal ou normal a um plano π é ortogonal a qualquer reta contida nesse plano Assim existem infinitas retas que passam por um ponto A π e são ortogonais à reta r Fig 49 A v r π Figura 49 410 Condição de Coplanaridade de Duas Retas A reta r1 que passa por um ponto A1x1 y1 z1 e tem a direção de um vetor v1 a1 b1 c1 e a reta r2 que passa por um ponto A2x2 y2 z2 e tem a direção de um vetor v2 a2 b2 c2 são coplanares se os vetores v1 v2 e A1A2 forem coplanares isto é se for nulo o produto misto v1 v2 A1A2 Fig 410 v1 v2 A1A2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 4101 A2 v2 t2 A1 r1 v1 Figura 410 Exemplo As retas r1 x 22 y3 z 54 e r2 x 51 y 31 z 63 são coplanares De fato I a reta r1 passa pelo ponto A12 0 5 e o vetor que define a sua direção é v1 2 3 4 II a reta r2 passa pelo ponto A25 3 6 e o vetor que define a sua direção é v2 1 1 3 III o vetor determinado pelos pontos A1 e A2 é A1A2 7 3 1 IV a condição de coplanaridade das retas r1 e r2 é que seja nulo o produto misto v1 v2 A1A2 No caso presente v1 v2 A1A2 2 3 4 1 1 3 7 3 1 0 o que prova serem coplanares as retas r1 e r2 4101 Problema Resolvido 5 Determinar o valor de m para que as retas r1 y mx 2 z 3x 1 e r2 x t y 1 2t z 2t sejam coplanares Solução I a reta r1 é definida pelo ponto A10 2 1 e pelo vetor v1 1 m 3 II a reta r2 é definida pelo ponto A20 1 0 e pelo vetor v2 1 2 2 III o vetor A1A2 0 1 1 IV pela condição de coplanaridade devese ter v1 v2 A1A2 0 isto é 1 m 3 1 2 2 0 1 1 0 ou 2 3 2 m 0 m 3 Quando m 3 as retas r1 e r2 são coplanares 411 Posições Relativas de Duas Retas Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser a coplanares isto é situadas no mesmo plano Nesse caso as retas poderão ser I concorrentes r1 r2 I I é o ponto de interseção das retas r1 e r2 II paralelas r1 r2 ϕ ϕ é o conjunto vazio O caso de serem r1 e r2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo b reversas isto é não situadas no mesmo plano Nesse caso r1 r2 ϕ Observações A igualdade 410I v1 v2 A1A2 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e r2 que passam respectivamente pelos pontos A1 e A2 e têm por vetores diretores os vetores v1 e v2 a se r1 e r2 forem paralelas serão coplanares isto é v1 v2 A1A2 0 pois duas linhas do determinante utilizado para calcular v1 v2 A1A2 apresentam elementos proporcionais v1 kv2 b se r1 e r2 não forem paralelas a igualdade v1 v2 A1A2 0 exprime a condição de concorrência dessas retas c se o determinante utilizado para calcular v1 v2 A1A2 for diferente de zero as retas r1 e r2 são reversas 4111 Problemas Resolvidos 6 Estudar a posição relativa das retas r1 y 2x 3 z x e r2 x 1 3t y 4 6t z 3t Solução São vetores diretores de r1 e r2 v1 1 2 1 e v2 3 6 3 Como v2 3 v1 as retas r1 e r2 são paralelas e não coincidentes basta ver que o ponto A10 3 0 pertence a r1 e não pertence a r2 7 Estudar a posição relativa das retas r1 x2 y11 z e r2 x 2 4t y 2t z 2t 1 Solução São vetores diretores de r1 e r2 v1 2 1 1 e v2 4 2 2 Então v1 v2 e r1 r2 neste caso r1 r2 basta ver que um ponto qualquer de r1 digamos A10 1 0 pertence também a r2 8 Estudar a posição relativa das retas r1 x22 y3 z54 e r2 x 5 t y 2 t z 7 2t Solução a As retas não são paralelas pois 21 31 42 b Calculemos o produto misto v1 v2 A1A2 para A12 0 5 e A25 2 7 v1 v2 A1A2 2 3 4 1 1 2 3 2 2 0 o que significa que as retas r1 e r2 são concorrentes A determinação do ponto de concorrência de duas retas será estudada no Item 412 9 Estudar a posição relativa das retas r1 y3 z2x e r2 xyz Solução a As retas não são paralelas pois 11 01 21 b Calculemos o produto misto v1 v2 A1A2 para A10 3 0 e A20 0 0 v1 v2 A1A2 1 0 2 1 1 1 0 3 0 0 o que significa que as retas r1 e r2 são reversas 412 Interseção de Duas Retas Duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas são concorrentes Consideremos as retas r1 y3x2 z3x1 e r2 xt y12t z2t e determinemos o seu ponto de interseção Se Ix y z é este ponto suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2 isto é Ix y z é a solução do sistema y3x2 z3x1 xt y12t z2t Eliminando t nas três últimas equações temos o sistema equivalente y3x2 z3x1 y12x z2x Resolvendo o sistema encontramos x1 y1 z2 logo o ponto de interseção das retas r1 e r2 é I1 1 2 413 Reta Ortogonal a Duas Retas Sejam as retas r1 e r2 não paralelas com as direções dos vetores v1 a1 b1 c1 e v2 a2 b2 c2 respectivamente Qualquer reta r simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2 terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor v1 v2 Fig 413 Nas condições dadas uma reta r estará bem definida quando se conhece um de seus pontos Exemplo Determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A2 1 3 e é ortogonal comum às retas r1 x2t y12t z3t e r2 x13 z1 y2 Solução As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores v1 1 2 3 e v2 3 0 1 Então a reta r tem a direção do vetor v1 v2 i j k 1 2 3 3 0 1 2 8 6 Logo escrevendo as equações simétricas de r vem x22 y18 z36 Observação Se as retas r1 e r2 são paralelas existem infinitas retas que passam por um ponto A e são ortogonais ao mesmo tempo a elas 414 Ponto que Divide um Segmento de Reta numa Razão Dada Dados os pontos P1x1 y1 z1 e P2x2 y2 z2 dizse que um ponto Px y z divide o segmento de reta P1P2 na razão r Fig 414a se P1P rP2P isto é se x x1i y y1j z z1k rx x2i ry y2j rz z2k ou x x1 rx x2 y y1 ry y2 z z1 rz z2 414 Das equações 414 vem x x1 rx21 r y y1 ry21 r z z1 rz21 r x y z são as coordenadas do ponto P que divide o segmento de reta P1P2 na razão r Exemplo Dados os pontos P12 4 1 e P23 0 5 determinar o ponto Px y z que divide o segmento P1P2 na razão r 13 i O fato de a razão ser negativa significa que o ponto P está situado entre P1 e P2 Fig 414b P1P 13 P2P II As coordenadas de P são dadas por x x1 rx21 r y y1 ry21 r z z1 rz21 r No caso presente r 13 x1 2 y1 4 z1 1 x2 3 y2 0 z2 5 logo x 2 13 31 13 2 143 94 y 4 13 01 13 443 3 z 1 13 51 13 1 5343 84 2 O ponto que divide o segmento P1P2 na razão r 13 é P94 3 2 4141 Ponto que Divide um Segmento de Reta ao Meio No caso de o ponto P dividir o segmento de reta P1P2 ao meio Fig 414c devese ter P1PP2P isto é r 1 Neste caso x x1 x2 2 y y1 y2 2 z z1 z2 2 Nota O estudo da reta no plano não será feito neste livro por pertencer ao currículo do 2º grau 415 Problemas Propostos 1 Verificar se os pontos P15 5 6 e P24 1 12 pertencem à reta r x31 y12 z22 2 Determinar o ponto da reta r x 2 t y 3 t z 1 2t que tem abcissa 4 3 Determinar m e n para que o ponto P3 m n pertença à reta s x 1 2t y 3 t z 4 t 4 Determinar os pontos da reta r x32 y11 z2 que têm a abcissa 5 b ordenada 4 c cota 1 5 O ponto P2 y z pertence à reta determinada por A3 1 4 e B4 3 1 Calcular P 6 Determinar as equações reduzidas com variável independente x da reta que passa pelo ponto A4 0 3 e tem a direção do vetor v 2î 4ĵ 5k 7 Estabelecer as equações reduzidas variável independente x da reta determinada pelos pares de pontos a A1 2 3 e B3 1 1 b A1 2 3 e B2 1 3 8 Determinar as equações reduzidas tendo z como variável independente da reta que passa pelos pontos P11 0 3 e P21 2 7 9 Mostrar que os pontos A1 4 3 B2 1 3 e C4 1 7 são colineares 10 Qual deve ser o valor de m para que os pontos A3 m 1 B1 1 1 e C2 10 4 pertençam à mesma reta 11 Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas a x13 z34 y1 d y 3 z 1 b x 2y z 3 e y x z 3 x c x 2t y 1 z 2 t f x y z 12 Determinar as equações das seguintes retas a reta que passa por A1 2 4 e é paralela ao eixo dos x b reta que passa por B3 2 1 e é perpendicular ao plano xOz c reta que passa por A2 3 4 e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y d reta que passa por A4 1 2 e tem a direção do vetor î ĵ e reta que passa pelos pontos M2 3 4 e N2 1 3 13 Representar graficamente as retas cujas equações são a x 1 t y 10 5t z 9 3t d x 1 t y 3 t z 2t g z 2y x3 b x 4 2t y 3 z 5 5t e y 2x z3 h x 3 y 4 c y 3x 6 z x 4 f y 3 z 2x i x 3 z 4 14 Determinar o ângulo entre as seguintes retas a r x 2 2t y 2t e s x4 y 62 z 12 z 3 4t b r y 2x 1 e s y3 z 13 x 2 z x 2 c r x 1 2 t y t e s x 0 y 0 z 5 3t d r x 42 y1 z 12 e s x 1 y 14 z 23 15 Determinar o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas r x 24 y 45 z3 e s y nx 5 z 2x 2 16 Calcular o valor de n para que seja de 30 o ângulo que a reta r y nx 5 z 2x 3 forma com o eixo dos y 17 A reta r x 1 2t y t z 3 t forma um ângulo de 60 com a reta determinada pelos pontos A3 1 2 e B4 0 m 18 Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas a r x 3t y 3 t e s x 56 y 1m z 6 b r x 2 3t y 3 e s x 46 z 15 y 7 z mt 19 A reta r passa pelo ponto A1 2 1 e é paralela à reta s x 2 t y 3t z t Se P3 m n r determinar m e n 20 Quais as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A 2 1 0 e é paralela à reta r x 11 y4 z1 21 A reta que passa pelos pontos A 2 5 1 e B1 3 0 é paralela à reta determinada por C3 1 1 e D0 y z Determinar o ponto D 22 A reta r y mx 3 z x 1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A1 0 m e B 2 2m 2m Calcular o valor de m 23 Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas a r y 2x 3 z3x1 e s x 12 y1 zm b r x 1 y 3 e s y 4x m z x c r x mm y 43 z 6 e s y 3x 4 z 2x 24 Calcular o ponto de interseção das retas a r y 3x 1 e s y 4x 2 z 2x 1 z 3x b r x 22 y3 z 54 e s x 5 t y 2 t z 7 2t c r y 2x 3 e s x y 73 z 127 z 4x 10 d r y 5 e s x 12 z 53 y 5 z 4x 1 25 Dadas as retas r y 32 z 12 x 2 s y 2x z x 3 x 3 t h y 1 3t z t determinar a o ponto de interseção de s e h b o ângulo entre r e s 26 Em que ponto a reta que passa por A2 3 4 e B1 0 2 intercepta o plano xy 27 Sejam as retas r x 2 3t y 4 5t z mt e s y 2x 1 z x2 32 a calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes b determinar para o valor de m o ponto de interseção de r e s 28 Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A3 2 1 e é simultaneamente ortogonal às retas r x3 z1 e s y 2x 1 z x 3 29 Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas r x2 y1 z32 e s y 3x 1 z x 4 30 Determinar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A2 0 1 e é simultaneamente ortogonal à reta r y32 z11 x1 e ao eixo dos y 31 Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r x2 y12 z3 e s x1y z22y e é ao mesmo tempo ortogonal a r e s 32 A reta r x1a yb z2 é paralela à reta que passa pelo ponto A1 0 0 e é simultaneamente ortogonal às retas r1 xt y 2t 3 z 3t 1 e r2 yx z2x Calcular a e b 33 Dados os pontos P17 1 3 e P23 0 12 determinar a o ponto P que divide o segmento P1P2 na razão 23 b o ponto Q que divide o segmento P1P2 ao meio 34 O ponto P9 14 7 divide o segmento P1P2 na razão 23 Determinar P2 sabendo que P11 4 3 35 Seja o triângulo de vértices A1 0 2 B2 1 6 e C4 5 2 Estabelecer as equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC 4151 Respostas dos Problemas Propostos 1 Apenas P1 2 4 1 5 3 m 2 n 5 4 5 2 2 7 4 10 2 12 1 5 P2 1 9 6 y 2x 8 e z 52 x 13 7 a y x2 52 z 2x 5 b y x 1 z3 8 x 12 z 52 e y 12 z 32 10 m 5 12 a y 2 z 4 b x3 z1 c x2 y3 d z2 xy3 e x2 y12 z31 14 a 60 b 30 c 30 d θ arc cos 23 48 11 15 7 ou 1 16 15 17 4 142 Geometria analítica 31 x 2 t y 1 5t z 3t 32 a 14 b 10 33 a P15 3 33 b Q5 12 92 34 P23 1 1 35 x 1 2t y 2t z 2 18 a 2 b 52 19 m 10 e n 5 20 y 4x 9 e z x 2 21 D0 1 0 22 1 ou 32 23 a 4 b 7 c 32 24 a 1 2 3 b 4 3 9 c 2 1 2 d 1 5 5 25 a 2 4 1 b θ arc co 36 26 43 1 0 27 a m 2 b 1 1 2 28 x 3 t y 2 z 1 t 29 y 0 x z 30 y 0 z 1 CAPÍTULO 5 O PLANO 51 Equação Geral do Plano Seja Ax1 y1 z1 um ponto pertencente a um plano π e n aî bĵ ĉk n 0 0 0 um vetor normal ortogonal ao plano O plano π pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos Px y z do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n Fig 51a O ponto P pertence a π se e somente se n AP 0 511 Figura 51a Ângulo e Paralelismo entre Retas Nome 1 Nome 2 Nome 3 Ângulo entre retas O ângulo entre duas retas é a medida da inclinação de uma reta em relação à outra Se as retas se cruzam o ângulo entre elas é o ângulo formado no ponto de interseção Quando as retas formam um ângulo de 90º dizemos que elas são ortogonais θ r s Por exemplo ao lado temos o ângulo θ formado pelas retas r e s Vetor diretor Para entendermos melhor a respeito de ângulo entre retas temos que ter a noção sobre vetor diretor Um vetor diretor é um vetor que indica a direção de determinada reta 𝑟 Por exemplo se temos a reta Seu vetor diretor é pois Portanto os escalares que estiverem multiplicando indicaram o vetor diretor Ângulo entre duas retas sejam as retas que passa pelo ponto e tem vetor diretor e que passa pelo ponto e tem vetor diretor Assim teremos Observe que o numerador é o do produto escalar entre e Já o denominador é o produto das normas dos vetores e Exemplo Sejam as retas e Vamos determinar o ângulo θ entre elas Observe que o vetor diretor de é já o vetor diretor de s é Então teremos 𝑢1212 226 𝑣2212126 Exemplo Portanto Aplicando a função arco cosseno Como então Exemplo Veja a seguir a visualização geométrica desse exemplo 𝑟 𝑠 𝑢 𝑣 Ângulo entre duas retas Um caso especial de ângulo entre retas é o ângulo de 90 Nesse caso teremos duas retas ortogonais Duas retas serão perpendiculares quando o produto escalar entre seus vetores diretores é igual a 0 Ou seja Exemplo Sejam as retas e Verifique se elas são ortogonais ou seja formam um ângulo de 90º Veja que o vetor diretor de é e o vetor diretor de é Então Portanto as retas e são ortogonais Exemplo Veja a visualização geométrica desse exemplo 𝑢 𝑣 𝑟 𝑠 Paralelismo entre retas Retas que nunca se encontram são paralelas e possuem um ângulo de 0 graus entre elas Uma condição necessária para que duas retas sejam paralelas é que seus vetores diretores sejam múltiplos um do outro ou seja Exemplo Seja a reta que passa pelos ponto e B 5 2 4 e a reta que passa pelos pontos C 1 2 3 e D5 5 4 Verifique se são as retas e são paralelas O vetor diretor de é e o vetor diretor de é Então 𝐶𝐷𝐷𝐶554123431 Exemplo No entanto note que e como Então Portanto de fato as retas e são paralelas Exemplo Veja a visualização geométrica desse exemplo 𝐴𝐵 𝐶𝐷 OBRIGADO