Vetores Soma

14 Mostrar que os pontos A4 0 1 B5 1 3 C3 2 5 e D2 1 3 são vértices de um paralelogramo 15 Determinar o simétrico do ponto P3 1 2 em relação ao ponto A1 0 3 281 Respostas dos Problemas Propostos 1 1 2 2 a w 152 152 b w 235 115 3 4 1 2 5 5 30 4 a 43 b 34 5 k1 1 e k2 2 6 D4 4 7 P3 1 12 8 14 10 6 9 v 1 1 1 10 a1 2 a2 3 11 a 32 b 92 12 a sim b não 13 a 3 b 13 15 5 1 4 28 Problemas Propostos 1 Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v 2 5 sabendo que sua origem é o ponto A1 3 2 Dados os vetores u 3 1 e v 1 2 determinar o vetor w tal que a 4u v 13 w 2u w b 3w 2v u 24w 3u 3 Dados os pontos A1 3 B2 5 e C3 1 calcular OA A B OC B C e 3BA 4C B 4 Dados os vetores u 3 4 e v 94 3 verificar se existem números a e b tais que u av e v bu 5 Dados os vetores u 2 4 v 5 1 e w 12 6 determinar k1 e k2 tal que w k1 u k2 v 6 Dados os pontos A1 3 B1 0 C2 1 determinar D tal que D C B A 7 Dados os pontos A2 3 1 e B4 5 2 determinar o ponto P tal que A P P B 8 Dados os pontos A1 2 3 e B4 2 0 determinar o ponto P tal que A P 3A B 9 Determinar o vetor v sabendo que 3 7 1 2v 6 10 4 v 10 Encontrar os números a1 e a2 tais que w a1 v1 a2 v2 sendo v1 1 2 1 v2 2 0 4 e w 4 4 14 11 Determinar a e b de modo que os vetores u 4 1 3 e v 6 a b sejam paralelos 12 Verificar se são colineares os pontos a A1 5 0 B2 1 3 e C2 7 1 b A2 1 1 B3 1 0 e C1 0 4 13 Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A3 1 2 B1 5 1 e Ca b 7 Problemas Propostos 1 v B A 2 5 B 1 3 B 2 5 1 3 B 1 2 2 u 3 1 e v 1 2 a 4u v 13 w 2u w 13 w w 2u 4u v 13 w w 2u 4u v 13 w 2u 4v w 34 2u 4v w 34 2 3 1 4 1 2 34 6 2 4 8 34 10 10 152 152 w 75 75 b 3w 2v u 24w 3u 3w 8w 6v 2v u 5w 7u 2v w 15 7u 2v 15 7 3 1 2 1 2 15 21 7 2 4 15 23 11 46 22 235 115 w 46 22 3 A1 3 B2 5 e C3 1 OA A B 1 3 2 5 1 3 1 3 3 2 4 1 OC B C 3 1 3 1 2 5 2 5 3BA 4C B 3 1 3 2 5 4 2 5 3 1 3 3 2 4 1 6 3 6 4 24 6 5 30 4 Suponha que exista a tal que v av então 3 4 a 94 3 3 a 94 e 4 a 3 a 394 3 49 43 e 4 a 3 a 43 Como os resultados foram iguais a 43 e b 34 6 A1 3 B1 0 C2 1 DC BA C D A B D A B C D A B C D 1 3 1 0 2 1 4 4 D 4 4 8 A1 2 3 e B 4 2 0 AP 3AB P A 3 B A P 3 B A A 3B 2A P 3 4 2 0 2 1 2 3 12 6 0 2 4 6 14 10 6 9 3 7 1 3V 6 10 4 V 3V 6 10 4 3 7 1 3V 3 3 3 V 1 1 1 10 W a1 V1 a2 V2 V1 1 2 1 V2 2 0 4 e W 4 4 14 4 4 14 a1 1 2 1 a2 2 0 4 a1 2a2 4 2a1 0 a2 4 2a1 4 a1 2 a1 2a2 4 2 2a2 4 2a2 6 a2 3 11 U 4 1 3 e V 6 a b Se U e V são paralelos então existe K tal que U K V logo 4 K 6 1 K a e 3 K b K 46 23 1 a 32 e 3 23 b b 92 12 Os pontos são colineares se o AB k AC a A1 5 0 B2 1 3 e C2 7 1 AB 2 1 3 1 5 0 3 6 3 AC 2 7 1 1 5 0 1 2 1 k 31 k 62 k 31 não colineares b A2 1 1 B3 1 0 e C1 0 4 AB 3 1 0 2 1 1 1 2 1 AC 1 0 4 2 1 1 1 1 5 k 11 k 21 k 21 Não são colineares 13 A3 1 2 B1 5 1 Cab7 AB 1 5 1 3 1 2 2 4 3 AC a b 7 3 1 2 a 3 b 1 9 k 33 13 2a3 13 6 a 3 a 3 4b1 13 b 1 12 b 13 14 Temos que AB 5 1 3 4 0 1 1 1 2 BC 3 2 5 5 1 3 2 1 2 CD 2 1 3 3 2 5 1 1 2 1 AB DA 4 0 1 2 1 3 2 1 2 1 BC Os pontos formam um paralelogramo com AB paralelo à CD e BC paralelo a DA 15 P3 1 2 e A1 0 3 Seja P o simétrico de P em relação a A Então PA AP 1 0 3 3 1 2 P 1 0 3 4 1 1 1 0 3 P P 5 1 4