Geometria Analítica - Exercícios Resolvidos sobre Círculos e Retas

413 Considere os pontos A 13 e B 35 e a reta r x 3y 1 Encontre os centros dos círculos de raio igual a 110 que passam pelos pontos A e B e são tangentes à reta r 414 Sejam r e r duas retas concorrentes no plano Dizemos que uma reta s é uma bissetriz de r e r quando os ângulos entre r e s e entre r e s são iguais Se s e s são as bissetrizes das retas concorrentes r e r mostre que s s P dPr dPr 415 Considere as retas r1 a1x b1y c1 e r2 a2x b2y c2 onde a12 b12 1 e a22 b22 1 Mostre que as duas bissetrizes dos ângulos formados por r1 e r2 são a1 a2 x b1 b2y c1 c2 e a1 a2x b1 b2y c1 c2 Indicação utilize o exercício anterior 416 Sejam as retas r1 4x 3y 0 e r2 3x 4y 0 Determine as bissetrizes das retas r1 e r2 e as equações dos círculos de raio igual a 75 que são tangentes às retas r1 e r2 417 A bissetriz de um ângulo PRQ cujos lados são as semirretas R P e R Q é a semirreta R S que divide o ângulo em dois ângulos iguais isto é P R S S R Q Mostre que a semirreta t R t u t 0 é a bissetriz do ângulo P R Q onde u R Q R P R P R Q Encontre a bissetriz do ângulo P R Q no caso particular em que R 11 P 21 e Q 22 418 Mostre usando o exercício anterior e escolhendo um sistema de coordenadas conveniente que as três bissetrizes dos ângulos de um triângulo ABC intersectamse num ponto I chamado incentro do triângulo Conclua usando o exercício 414 que o incentro I é o centro do círculo inscrito no triângulo ABC isto é do círculo tangente aos lados AB BC e AC do triângulo 419 Dados os pontos A 34 B 62 e C 46 encontre a equação cartesiana do círculo inscrito ao triângulo ABC 420 Sejam r uma reta e A um ponto não pertencente a r O ponto simétrico do ponto A em relação à reta r é o ponto A tal que r é a mediatriz do segmento A A Determine as coordenadas de A sabendo que r ax by c e A x0y0 Faça o caso particular em que r y 2x 1 e A 41 421 Sejam r e s duas retas concorrentes A reta obtida refletindo a reta s em relação à reta r é a reta s tal que r é uma das bissetrizes de s e s Supondo que r a x by c s a x b y c e r s x0y0 determine a equação da reta s Resolva o caso particular em que r x 3y 3 e s 2x y 1 422 Considere as retas paralelas r e s A reflexão da reta s em relação à reta r é a reta s paralela à reta r diferente de s tal que dsr dsr Supondo que r a x by c e s a x by c encontre c R em função de c e c de modo que s a x by c Faça o caso particular em que r 3x 2y 2 e s 3x 2y 4 423 Considere as retas r1 3x 4y 2 e r2 3x 4y 3 Determine em função de um parâmetro a equação da família de círculos tangentes às retas r1 e r2 Se o centro do círculo pertence à reta l x y 1 encontre sua equação 424 Posição relativa entre dois círculos Sejam C1 e C2 dois círculos de centro A1 e A2 e raios r1 e r2 respectivamente Sendo c dA1A2 mostre que a C1 C2 é vazio se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c b C1 C2 consiste de um único ponto se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c c C1 C2 consiste de dois pontos se e somente se c r1 r2 r1 r2 c e r2 r1 c Conclua que C2 possui um ponto interior e um ponto exterior a C1 se e somente se C1 C2 consiste de dois pontos