Geometria Analítica - Problemas Resolvidos sobre Lugares Geométricos e Círculos

48 Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distância à reta 4x 3y 12 0 seja sempre igual a duas vezes a sua distância ao eixo OX 424 Posição relativa entre dois círculos Sejam C1 e C2 dois círculos de centro A1 e A2 e raios r1 e r2 respectivamente Sendo c dA1 A2 mostre que a C1 C2 é vazio se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c b C1 C2 consiste de um único ponto se e somente se c r1 r2 ou r1 r2 c ou r2 r1 c c C1 C2 consiste de dois pontos se e somente se c r1 r2 r1 r2 c e r2 r1 c Conclua que C2 possui um ponto interior e um ponto exterior a C1 se e somente se C1 C2 consiste de dois pontos 416 Sejam as retas r1 4x 3y 0 e r2 3x 4y 0 Determine as bissetrizes das retas r1 e r2 e as equações dos círculos de raio igual a 75 que são tangentes às retas r1 e r2 Distância entre um ponto 𝑃 𝑥0𝑦0 e uma reta 𝑎𝑥2 𝑏𝑥 𝑐 0 é 𝑑 𝑎𝑥0 𝑏𝑦0 𝑐 𝑎2 𝑏2 Em nosso caso a distância entre o ponto e a reta é igual a 2y porque o mesmo ponto está distante do ponto x por um valor de y 𝑎 4 𝑏 3 𝑐 12 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑑 4𝑥 3𝑦 12 42 32 4𝑥 3𝑦 12 25 2𝑦 4𝑥 3𝑦 12 5 2𝑦 Passando o 5 para o lado direito da igualdade e elevando ambos os lados ao quadrado 4𝑥 3𝑦 122 10𝑦2 4𝑥 3𝑦 124𝑥 3𝑦 12 100𝑦2 16𝑥2 12𝑥𝑦 48𝑥 12𝑥𝑦 9𝑦2 36𝑦 48𝑥 36𝑦 144 100𝑦2 16𝑥2 9𝑦2 24𝑥𝑦 96𝑥 72𝑦 144 100𝑦2 16𝑥2 9𝑦2 100𝑦2 24𝑥𝑦 96𝑥 72𝑦 144 0 O lugar geométrico procurado é o conjunto dos pontos reais 𝑥 𝑦 que respeitam a equação abaixo 16𝑥2 91𝑦2 24𝑥𝑦 96𝑥 72𝑦 144 0 Se os perímetros dos dois círculos são tangentes um ao outro a distância entre seus centros será igual à soma dos raios de ambos 𝑐 𝑑𝐴1𝐴2 𝑟1 𝑟2 A intersecção 𝐼 𝐶1 𝐶2 𝑥𝐼𝑦𝐼 dos círculos se dará em um único ponto Caso a distância entre os centros seja maior que a soma dos raios não há intersecção e 𝐼 𝐶1 𝐶2 Isso ocorre para 𝑐 𝑟1 𝑟2 𝑐 𝑟1 𝑟2 0 𝑟1 𝑐 𝑟2 𝑟2 𝑐 𝑟1 Como mencionado no item a para que tenhamos 𝐼 𝐶1 𝐶2 𝑥𝐼𝑦𝐼 precisamos ter 𝑐 𝑟1 𝑟2 ou 𝑟1 𝑐 𝑟2 𝑟2 𝑐 𝑟1 Se a distância entre os centros for menor que a soma dos raios teremos dois pontos de intersecção 𝐼 𝐶1 𝐶2 𝑥1𝐼 𝑦1𝐼 𝑥2𝐼 𝑦2𝐼 Assim 𝑐 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 𝑐 𝑟2 𝑟1 𝑐 Podemos escrever 4𝑥 3𝑦 42 32 3𝑥 4𝑦 32 42 4𝑥 3𝑦 5 3𝑥 4𝑦 5 Como os denominadores são iguais podemos levar em conta apenas os numeradores 4𝑥 3𝑥 4𝑦 3𝑦 Bissetrizes 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Quando há um círculo localizado entre duas retas que formam um ângulo entre si o círculo vai interceptar a reta superior num ponto 𝑥1𝑦1 𝑎 𝑏 e ao mesmo tempo vai interceptar a reta inferior no ponto 𝑥2 𝑦2 𝑏 𝑎 pois os pontos são diametralmente opostos nesse círculo Vamos ilustrar A distância entre os dois pontos mencionados acima será igual ao diâmetro do círculo 𝑑2 𝑥1 𝑥22 𝑦1 𝑦22 𝑎 𝑏 2 𝑏 𝑎 2 2 7 5 2 2𝑎 𝑏2 2 7 5 2 2𝑎 𝑏 2 7 5 𝑎 𝑏 72 5 Usando o ponto a b na reta 1 4𝑎 3𝑏 0 Vamos isolar 𝑎 em ambas as equações e igualálas 𝑎 72 5 𝑏 3𝑏 4 72 5 3𝑏 4 𝑏 𝑏 4 𝑏 282 5 𝑎 3𝑏 4 212 5 O primeiro círculo tem intersecções com a reta 1 em 𝑎 𝑏 212 5 282 5 e com a reta 2 em 𝑏 𝑎 282 5 212 5 Para encontrarmos o centro do círculo vamos usar estes dois pontos na equação 𝑥 ℎ2 𝑦 𝑘2 𝑟2 7 5 2 Assim teremos duas equações e duas incógnitas 212 5 ℎ 2 282 5 𝑘 2 7 5 2 282 5 ℎ 2 212 5 𝑘 2 7 5 2 Simplificando Subtraindo a segunda da primeira 0 0 2ℎ42 56 2𝑘56 42 0 5 0 0 2ℎ14 2𝑘14 0 𝑘 ℎ Usando na primeira equação 212 5 ℎ 2 282 5 ℎ 2 7 5 2 Cuja solução é ℎ 7 𝑘 ℎ 7 Assim temos uma equação circular do tipo igual a 𝑥 72 𝑦 72 7 5 2 centralizado em 77 Por simetria também teremos um círculo com a equação 𝑥 72 𝑦 72 7 5 2 centralizado em 77 Distância entre um ponto 𝑃𝑥0 𝑦0 e uma reta 𝑎 𝑥 2𝑏𝑥𝑐0 é 𝑑𝑎 𝑥0𝑏 𝑦0𝑐 𝑎 2𝑏 2 Em nosso caso a distância entre o ponto e a reta é igual a 2y porque o mesmo ponto está distante do ponto x por um valor de y 𝑎4𝑏3𝑐12 𝑥0𝑥 𝑦0𝑦 𝑑4𝑥 3 𝑦12 4 23 2 4 𝑥3 𝑦12 25 2 𝑦 4 𝑥3 𝑦12 5 2 𝑦 Passando o 5 para o lado direito da igualdade e elevando ambos os lados ao quadrado 4 𝑥 3 𝑦12 210 𝑦 2 4 𝑥 3 𝑦12 4 𝑥3 𝑦12100 𝑦 2 16 𝑥 212𝑥𝑦48 𝑥12𝑥𝑦9 𝑦 236 𝑦48𝑥36 𝑦144100 𝑦 2 16 𝑥 29 𝑦 224 𝑥𝑦96𝑥 72 𝑦144100 𝑦 2 16 𝑥 29 𝑦 2100 𝑦 224 𝑥𝑦96𝑥 72 𝑦1440 O lugar geométrico procurado é o conjunto dos pontos reais 𝑥 𝑦 que respeitam a equação abaixo 16 𝑥 291 𝑦 224 𝑥𝑦96 𝑥72 𝑦1440 Se os perímetros dos dois círculos são tangentes um ao outro a distância entre seus centros será igual à soma dos raios de ambos 𝑐𝑑 𝐴1 𝐴2𝑟 1𝑟 2 A intersecção 𝐼𝐶1𝐶2𝑥𝐼 𝑦 𝐼 dos círculos se dará em um único ponto Caso a distância entre os centros seja maior que a soma dos raios não há intersecção e 𝐼𝐶1𝐶2 Isso ocorre para 𝑐𝑟1𝑟2 𝑐𝑟1𝑟20𝑟1𝑐𝑟2𝑟 2𝑐𝑟1 Como mencionado no item a para que tenhamos 𝐼𝐶1𝐶2𝑥𝐼 𝑦 𝐼 precisamos ter 𝑐𝑟1𝑟2 ou 𝑟1𝑐𝑟2𝑟2𝑐𝑟1 Se a distância entre os centros for menor que a soma dos raios teremos dois pontos de intersecção 𝐼𝐶1𝐶2𝑥1 𝐼 𝑦1 𝐼 𝑥2 𝐼 𝑦2 𝐼 Assim 𝑐𝑟1𝑟2𝑟1𝑟2𝑐 𝑟2𝑟 1𝑐 Podemos escrever 4 𝑥3 𝑦 4 23 2 3 𝑥4 𝑦 3 24 2 4 𝑥3 𝑦 5 3 𝑥4 𝑦 5 Como os denominadores são iguais podemos levar em conta apenas os numeradores 4 𝑥 3 𝑥4 𝑦3 𝑦 Bissetrizes 𝑦𝑥 𝑦𝑥 Quando há um círculo localizado entre duas retas que formam um ângulo entre si o círculo vai interceptar a reta superior num ponto 𝑥1 𝑦1𝑎𝑏 e ao mesmo tempo vai interceptar a reta inferior no ponto 𝑥2 𝑦2𝑏𝑎 pois os pontos são diametralmente opostos nesse círculo Vamos ilustrar A distância entre os dois pontos mencionados acima será igual ao diâmetro do círculo 𝑑 2𝑥1𝑥2 2𝑦1𝑦2 2𝑎 𝑏 2𝑏 𝑎 22 7 5 2 2 𝑎𝑏 22 7 5 2 2 𝑎𝑏 2 7 5𝑎𝑏72 5 Usando o ponto a b na reta 1 4 𝑎3𝑏0 Vamos isolar 𝑎em ambas as equações e igualálas 𝑎72 5 𝑏 3𝑏 4 72 5 3𝑏 4 𝑏𝑏 4 𝑏282 5 𝑎 3𝑏 4 212 5 O primeiro círculo tem intersecções com a reta 1 em 𝑎 𝑏 212 5 282 5 e com a reta 2 em 𝑏 𝑎 282 5 212 5 Para encontrarmos o centro do círculo vamos usar estes dois pontos na equação 𝑥h 2𝑦 𝑘 2𝑟 2 7 5 2 Assim teremos duas equações e duas incógnitas 212 5 h 2 282 5 𝑘 2 7 5 2 282 5 h 2 212 5 𝑘 2 7 5 2 Simplificando Subtraindo a segunda da primeira 002h 4256 2𝑘56420 5 00 2h 142𝑘14 0𝑘h Usando na primeira equação 212 5 h 2 282 5 h 2 7 5 2 Cuja solução é h7𝑘h7 Assim temos uma equação circular do tipo igual a 𝑥7 2𝑦 7 2 7 5 2 centralizado em 77 Por simetria também teremos um círculo com a equação 𝑥7 2𝑦7 2 7 5 2 centralizado em 77