Exercícios sobre Limites e Continuidade de Funções

Exemplo Determine o valor do limite Ex1 lim𝑥 0 𝑥42 𝑥 resp 1 4 Ex2 lim𝑥5 𝑥5 𝑥43 resp 6 Exercício Determine o valor do limite E1 x x x 1 1 lim 0 E2 x x x 4 2 lim 0 E3 x x x 9 3 lim 0 E4 x x x 1 1 lim 0 E5 x x x 4 2 lim 0 E6 9 3 lim 0 x x x E7 1 3 2 lim 1 x x x E8 1 5 2 lim 1 x x x E9 2 2 2 lim 2 x x x E10 3 4 1 lim 3 x x x Continuidade de uma função em um número real Definição Dizemos que a função f é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas i f a existir ii a f a xlim existir iii f a a f a x lim A função não é contínua em x1 porque 𝑓1 não existe A função não é contínua em 𝑥 2 porque lim𝑥 2 𝑓𝑥 não existe A função não é contínua em 𝑥 2 porque 𝑓2 lim𝑥 2 𝑓𝑥 A função é contínua em 𝑥 2 porque 𝑓2 lim𝑥 2 𝑓𝑥 Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em a a função f será descontínua em a Teorema Se f e g forem funções contínuas em um número a então i f g será contínua em a ii f g será contínua em a iii f g será contínua em a iv g f será contínua em a desde que g a 0 Teorema Uma função polinomial é contínua em qualquer número Teorema Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio Teorema Se n for um inteiro positivo e n x f x então i Se n for impar f será contínua em qualquer número ii Se n for par f será contínua em todo número positivo Teorema A função f será contínua no número a se f estiver definida em algum intervalo aberto contendo a e se para todo 0 existir um 0 tal que se x a então f a f x Exemplo Verifique se as funções abaixo são contínuas Ex1 𝑓𝑥 𝑥27𝑥8 𝑥3 em 𝑥 3 Resp Não é contínua em 𝑥 3 Ex2 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑠𝑒 𝑥 2 3𝑥 1 𝑠𝑒 𝑥 2 em 𝑥 2 Resp Não é contínua em 𝑥 2 Ex3 𝑓𝑥 2 𝑠𝑒 𝑥 5 3 𝑠𝑒 𝑥 5 4 𝑠𝑒 𝑥 5 em 𝑥 5 Resp Não é contínua em 𝑥 5 Ex4 𝑓𝑥 𝑥21 𝑥1 𝑠𝑒 𝑥 1 3 𝑠𝑒 𝑥 1 em 𝑥 1 Resp Não é contínua em 𝑥 1 Ex5 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑠𝑒 𝑥 2 𝑥2 1 𝑠𝑒 𝑥 2 em 𝑥 2 Resp É contínua em 𝑥 2 Exercício Verifique se as funções são contínuas E11 2 6 2 x x x f x E12 3 6 5 2 x x x f x E13 3 2 3 3 9 2 x se x se x x f x E14 2 4 2 2 4 2 x se x se x x f x E15 1 3 x f x E16 2 4 x f x E17 5 3 5 5 2 x se x se x f x E18 6 1 6 6 3 x se x se x f x E19 0 1 0 2 0 3 x se x se x se f x E20 1 3 1 0 1 2 x se x se x se f x E21 0 0 0 0 1 se x x x se x se f x E22 1 1 1 1 1 1 se x x x se se x x f x E23 2 4 2 4 2 4 2 2 se x x x se se x x f x E24 2 1 2 2 2 2 2 1 se x x x se x se x x f x E25 0 1 0 3 se x x se x x f x E26 2 1 2 2 x se se x x f x E27 0 1 0 x se x se x x f x E28 0 1 0 2 x se x se x x f x E29 0 1 0 x se x se x x f x E30 0 0 0 2 x se x se x x f x Faça um esboço do gráfico da função caso haja descontinuidade use o teorema para justificar sua resposta