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Engenharia Agronômica ·
Matemática Aplicada
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Cálculo Diferencial e Integral I Prof Luiz Elpídio de Melo Machado 3 LIMITES 31 Introdução O limite permite estudar o comportamento funcional de valores próximo a um número qualquer do domínio e para valores muito grandes ou muito pequenos da variável Exemplo Ex1 Determine o valor do limite x x sen xlim 0 Quando x tende a zero pela direita ou seja para x 0 x x sen x 1 0841470984 01 0998334166 001 0999983333 0001 0999999833 00001 0999999998 1 lim 0 x x sen x Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 0 x x sen x 1 0841470984 01 0998334166 001 0999983333 0001 0999999833 00001 0999999998 1 lim 0 x x sen x Ex2 Seja f a função definida por 1 1 2 x x f x O domínio de f é dada por 1 x x D Para saber o comportamento de f quando x tende a 1 determinese o valor do limite 1 1 2 1 lim x x x Quando x tende a um pela direita ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 2 3 15 25 11 21 101 201 1001 2001 2 1 1 2 1 lim x x x Para x 2 3 1 1 4 1 2 1 2 2 Para x 51 52 50 25 1 50 25 1 2 1 51 1 51 2 Para x 11 12 10 21 0 10 21 1 1 1 11 1 11 2 Para x 101 2 01 0 01 0201 0 01 0 0201 1 1 01 1 1 1 01 1 2 Para x 1001 2 001 0 001 002001 0 001 0 002001 1 1 001 1 1 1 001 1 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 0 1 05 15 09 19 099 199 0999 1999 2 1 1 2 1 lim x x x Para x 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 Para 50 x 51 50 75 0 50 25 1 0 1 50 1 50 2 Para 90 x 91 10 19 0 10 81 1 0 1 90 1 90 2 Para x 0 99 199 0 01 0199 0 01 0 9801 1 0 99 1 0 1 99 0 2 Para x 0 999 1999 001 0 001999 0 001 0 998001 1 0 999 1 0 1 999 0 2 Como os limites laterais são iguais 2 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim x x x x x x podese afirmar que o limite em 1 existe ou seja 2 1 1 2 1 lim x x x Ex3 Seja f a função definida por 1 1 2 x x f x O domínio de f é dada por 1 x x D Para saber o comportamento de f quando x tende a 1 determinese o valor do limite 1 1 2 1 lim x x x Quando x tende a um pela direita ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 2 5 15 65 11 221 101 2021 1001 2002001 1 1 2 1 lim x x x Para x 2 5 1 1 4 1 2 1 2 2 Para x 51 56 50 25 3 50 1 25 2 1 51 1 51 2 Para x 11 221 10 21 2 10 21 1 1 1 11 1 11 2 Para x 101 20201 0 01 0201 2 01 0 0201 1 1 01 1 1 1 01 1 2 Para x 1001 2 002001 0 001 002001 2 001 0 002001 1 1 001 1 1 1 001 1 2 Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 1 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado x 1 1 2 x x 0 1 05 25 09 181 099 19801 0999 1998001 1 1 2 1 lim x x x Para x 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 Para 50 x 52 50 25 1 50 25 1 0 1 50 1 50 2 Para 90 x 181 10 81 1 10 81 1 0 1 90 1 90 2 Para x 0 99 19801 01 0 9801 1 01 0 9801 1 0 99 1 0 1 99 0 2 Para x 0 999 1 998001 001 0 998001 1 001 0 998001 1 0 999 1 0 1 999 0 2 Como os limites laterais são diferentes 1 1 2 1 lim x x x e 1 1 2 1 lim x x x podese afirmar que o limite em 1 não existe ou seja 2 1 1 1 lim x x x Ex4 Determine o valor do limite x x x lim 0 x x x 1 1 01 0794328234 001 0954992586 0001 0993116048 00001 099907939 000001 0999884877 1 lim 0 x x x Ex5 Determine se a afirmativa é verdadeira e x x x 1 1 lim ou seja se o limite tende para o valor dado x x x 1 1 1 2 10 259374246 100 2704813829 1000 2716923932 10000 2718145927 100000 2718268237 1000000 2718280469 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado O valor de e é aproximadamente 2 71828182846 o limite está tendendo a este valor logo a afirmativa é verdadeira Exercício Determine o valor do limite E1 x x x 1 cos lim 0 E2 x x x 1 0 lim 1 E3 x x e lim 0 E4 x x e lim E5 x x ln lim 0 E6 x x ln lim Exemplo Ex6 Verifique se o limite tende para o valor indicado e x n x n 0 1 lim Resolução Valor aproximado do e é 2718281828 Analisando o comportamento do limite para valores sucessivos de n Para n 0 temos 0 0 1 1 1 1 0 1 x x Para n 1 temos 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 x x Para n 2 temos 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 25 0 1 2 1 1 2 2 2 x ou x Para n 3 temos 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 2666666667 0 1 2 3 1 1 2 6 2 6 3 x ou x Para n 4 temos 4 3 0 0 1 1 1 8 1 65 2708333333 4 3 24 24 x x ou x x Para n 5 temos 5 4 0 0 1 1 1 65 1 163 2716666667 5 24 120 60 x x ou x x Para n 6 temos 6 5 0 0 1 1 1 163 1 1957 2718055556 6 60 720 720 x x ou x x Para n 7 temos 7 6 0 0 1 1 1 1957 1 685 2718253968 7 720 5040 252 x x ou x x Ex7 Verifique se o limite tende para o valor indicado 2 0 2 lim e x n x x n Valor aproximado do 2e é 7389056099 Analisando o comportamento do limite para valores sucessivos de n ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Para n 0 temos 0 0 0 2 2 1 1 0 1 x x x Para n 1 temos 0 1 1 0 2 2 2 1 2 1 2 3 0 1 1 1 x x x Para n 2 temos 0 1 2 2 0 2 2 2 2 1 2 4 1 2 2 5 0 1 2 1 1 2 x x x Para n 3 temos 0 1 2 3 3 0 2 2 2 2 2 1 2 4 8 4 19 1 2 2 6333333333 0 1 2 3 1 1 2 6 3 3 x x ou x Para n 4 temos 4 4 3 0 0 2 2 2 19 16 19 2 7 4 13 24 3 3 x x x x x x Para n 5 temos 5 5 4 0 0 2 2 2 32 4 109 7 7 7266666667 5 120 15 15 x x x x ou x x Para n 6 temos 6 6 5 0 0 2 2 2 109 64 109 4 331 7355555556 6 15 720 15 45 45 x x x x ou x x Para n 7 temos 7 7 6 0 0 2 2 2 331 128 331 8 155 7380952381 7 45 5040 45 315 21 x x x x ou x x Para n 8 temos 8 8 7 0 0 2 2 2 155 256 155 2 2327 7387301587 8 21 40320 21 315 315 x x x x ou x x Exercício Verifique se o limite tende para o valor indicado E7 e x n x n 0 1 lim E8 ln 2 1 1 1 lim n x x n x E9 4 1 2 1 0 lim n x x n x Resposta R 1 0 R 2 e 2 718281828 R 3 1 R 4 R 5 R 6 R 7 Sim R 8 Sim R 9 Sim 32 Limites no Infinito Definição 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Se f for uma função que está definida em um intervalo a O limite de f quando x cresce indefinidamente é L escrito L f x x lim se para todo 0 não importa quão pequeno existir um número N 0 tal que se x N então L f x Definição 3 Se f for uma função que está definida em um intervalo a O limite de f quando x decresce indefinidamente é L notado por L f x x lim se para todo 0 não importa quão pequeno existir um número N 0 tal que se x N então L f x Teorema 1 Se n for um número inteiro positivo qualquer então i n x lim x ii n for impar se se n for par x n x lim iii 1 0 lim n r r iv 1 0 lim n r r iii n r r 1 lim 0 iv n for impar se n for par se r n r 1 lim 0 Definição 4 A reta y L é denotada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmativas for válida i L f x x lim e para um número N se x N então f x L Ii L f x x lim e para um número N se x N então f x L ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Exemplo Ache o limite Ex8 5 25 2 4 lim x x x Resolução 9 5 25 9 1 9 5 4 25 16 5 4 25 4 5 25 2 4 2 2 4 lim lim x x x x x x Ex9 5 25 2 6 lim x x x 11 5 25 11 1 11 5 6 25 36 5 6 25 6 5 25 2 6 2 2 6 lim lim x x x x x x Ex10 5 25 2 5 lim x x x 10 5 25 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 min det 0 0 0 25 25 5 5 25 5 5 25 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x Ex11 6 18 9 2 5 lim x x x x Ex12 6 18 9 2 6 lim x x x x Ex13 6 18 9 2 3 lim x x x x Ex14 2 6 5 2 2 2 lim x x x x x Ex15 6 6 lim 6 x x x Ex16 8 2 9 6 4 2 6 lim x x x x Ex17 5 3 5 2 7 5 3 lim x x x x Ex18 2 8 3 5 7 lim x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Ex19 6 1 1 5 lim x x x Ex20 7 1 1 5 lim x x x Ex21 8 1 1 4 lim x x x Ex22 9 1 1 4 lim x x x Exercícios Ache o limite E10 3 9 2 3 lim x x x E11 49 7 2 7 lim x x x E12 5 25 2 5 lim x x x E13 36 6 2 6 lim x x x E14 4 16 2 4 lim x x x E15 25 5 2 5 lim x x x E16 9 3 2 3 lim x x x E17 7 49 2 7 lim x x x E18 2 4 2 2 lim x x x E19 64 8 2 8 lim x x x E20 8 64 2 8 lim x x x E21 4 2 2 2 lim x x x E22 9 81 2 9 lim x x x E23 1 1 2 1 lim x x x E24 22 13 20 12 2 2 2 lim x x x x x E25 10 7 8 6 2 2 2 lim x x x x x E26 12 8 10 7 2 2 2 lim x x x x x E27 18 11 16 10 2 2 2 lim x x x x x E28 8 6 6 5 2 2 2 lim x x x x x E29 20 12 18 11 2 2 2 lim x x x x x E30 5 5 lim 5 x x x E31 11 11 lim 11 x x x E32 7 7 lim 7 x x x E33 17 17 lim 17 x x x E34 3 3 lim 3 x x x E35 19 19 lim 19 x x x E36 23 23 lim 23 x x x E37 1 5 6 2 3 lim x x x x E38 1 5 6 2 1 lim x x x x E39 3 15 8 2 7 lim x x x x E40 3 15 8 2 3 lim x x x x E41 1 2 3 2 2 lim x x x x E42 1 2 3 2 1 lim x x x x E43 6 18 9 2 4 lim x x x x E44 6 18 9 2 6 lim x x x x E45 0 ² 7 6 1 lim x x x x E46 1 ² 7 6 1 lim x x x x E47 6 12 8 2 8 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E48 6 12 8 2 6 lim x x x x E49 7 7 8 2 9 lim x x x x E50 7 7 8 2 7 lim x x x x E51 1 10 17 8 2 3 3 lim x x x x x E52 1 10 17 8 2 3 1 lim x x x x x E53 1 4 5 2 1 lim x x x x E54 1 4 5 2 1 lim x x x x E55 8 32 12 2 9 lim x x x x E56 8 32 12 2 8 lim x x x x E57 1 7 ² 8 lim 3 x x x x E58 1 7 ² 8 lim 1 x x x x E59 8 16 10 2 2 lim x x x x E60 8 16 10 2 8 lim x x x x E61 1 12 19 8 2 3 2 lim x x x x x E62 1 12 19 8 2 3 1 lim x x x x x E63 3 1 1 6 lim x x x E64 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x E65 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x E66 5 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x E67 5 10 17 8 2 3 5 lim x x x x x E68 4 2 2 3 lim x x x E69 2 10 17 8 2 3 4 lim x x x x x E70 2 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x E71 4 1 1 6 lim x x x E72 2 5 2 1 lim t t t E73 1 3 4 26 lim x x x E74 x x x 5 4 7 2 lim E75 x x x 3 2 1 5 lim E76 5 8 3 1 2 7 2 2 lim x x x x x E77 1 2 3 4 2 2 lim s s s E78 5 3 4 2 lim x x x E79 3 2 5 lim x x x E80 1 3 2 2 lim y y y y E81 1 7 5 2 3 2 lim x x x x x E82 2 8 5 2 4 3 2 4 lim x x x x x E83 1 2 2 7 3 4 2 4 lim x x x x E84 3 5 4 2 3 lim y y y E85 1 4 7 12 5 2 3 lim x x x x E86 2 1 lim 3 x x x E87 t t t 4 2 2 lim E88 6 6 7 8 4 lim x x x E89 6 6 7 8 2 4 lim x x x E90 6 ³ 6 7 8 4 lim x x x E91 3 2 5 8 2 lim x x x E92 3 13 5 6 lim x x x E93 3 4 4 6 2 6 lim x x x x x E94 5 2 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x E95 x x x x x 6 24 7 3 4 3 4 lim ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E96 5 7 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x E97 Resposta R 10 3 9 2 3 lim x x x 6 3 9 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 min det 0 0 3 3 9 3 3 9 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 11 49 7 2 7 lim x x x 14 1 49 7 14 1 7 7 1 7 1 7 7 7 7 7 49 7 min det 0 0 49 49 7 7 49 7 7 7 49 7 2 7 7 7 2 2 7 2 7 2 2 7 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 12 5 25 2 5 lim x x x 10 5 25 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 min det 0 0 0 25 25 5 5 25 5 5 25 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 2 5 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 13 36 6 2 6 lim x x x 12 1 36 6 12 1 6 6 1 6 1 6 6 6 6 6 36 6 min det 0 0 36 36 0 36 6 6 6 36 6 2 6 6 6 2 2 6 2 6 2 2 6 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x çaõ Matemática er In x x x x x x x x R 14 4 16 2 4 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 8 4 16 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 16 min det 0 0 4 4 16 4 4 16 2 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 4 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 15 25 5 2 5 lim x x x 10 1 25 5 10 1 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 25 5 min det 0 0 25 5 5 5 25 5 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 16 9 3 2 3 lim x x x 6 1 9 3 6 1 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 9 3 min det 0 0 9 3 3 3 9 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x açãoMatemática er In x x x x x x x x R 17 7 49 2 7 lim x x x 14 7 49 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 49 det 0 0 0 49 49 7 7 49 7 7 49 2 7 7 7 2 2 7 2 7 2 2 7 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x erminação Matemática In x x x x x x x x R 18 2 4 2 2 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 min det 0 0 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ção Matemática er In x x x x x x x x R 19 64 8 2 8 lim x x x 16 1 8 8 1 8 1 8 8 8 8 8 64 8 det 0 0 64 64 8 8 64 8 8 8 64 8 lim lim lim lim lim 8 8 2 2 8 2 8 2 2 8 x x x x x x x x erninação Matemática In x x x x x x x 16 1 64 8 2 8 lim x x x R 20 8 64 2 8 lim x x x 16 8 64 16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64 min det 0 0 8 8 64 64 8 8 64 8 8 64 2 8 8 8 2 2 8 2 8 2 2 8 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 21 4 2 2 2 lim x x x 4 1 4 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 min det 0 0 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 22 9 81 2 9 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 18 9 81 18 9 9 9 9 9 9 9 9 9 81 min det 0 0 0 81 81 9 9 81 9 9 81 2 9 9 9 2 2 9 2 9 2 2 9 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 23 1 1 2 1 lim x x x 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 min det 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 lim lim lim lim lim x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 24 22 13 20 12 2 2 2 lim x x x x x 9 8 22 13 20 12 0 0 22 26 4 20 24 4 22 2 13 2 20 2 12 2 22 13 20 12 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim x x x x x x x x x x R 25 10 7 8 6 2 2 2 lim x x x x x 3 2 10 7 8 6 3 2 5 2 4 2 5 4 5 2 4 2 10 7 8 6 min det 0 0 14 14 12 12 10 2 7 2 8 2 6 2 10 7 8 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 26 12 8 10 7 2 2 2 lim x x x x x 4 3 12 8 10 7 4 3 4 3 6 2 5 2 6 5 6 2 5 2 12 8 10 7 min det 0 0 12 28 2 10 27 2 12 8 10 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 27 18 11 16 10 2 2 2 lim x x x x x 7 6 18 11 16 10 7 6 9 2 8 2 9 8 9 2 8 2 18 11 16 10 min det 0 0 18 22 4 16 20 4 18 11 2 2 16 10 2 2 18 11 16 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 28 8 6 6 5 2 2 2 lim x x x x x 2 1 8 6 6 5 2 1 4 2 3 2 4 3 4 2 3 2 8 6 6 5 min det 0 0 8 12 4 6 10 4 8 2 6 2 6 2 5 2 8 6 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 29 20 12 18 11 2 2 2 lim x x x x x 8 7 20 12 18 11 8 7 10 2 9 2 10 9 10 2 9 2 20 12 18 11 min det 0 0 20 24 4 18 22 4 20 2 12 2 18 2 11 2 20 12 18 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 30 5 5 lim 5 x x x 10 5 5 2 1 5 5 10 5 5 2 1 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 min det 0 0 5 5 5 5 5 5 lim lim lim lim lim lim lim lim 5 5 5 5 2 2 5 5 5 5 ou x x ou x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 31 11 11 lim 11 x x x 22 11 11 2 1 11 11 22 11 11 2 1 11 11 1 11 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 min det 0 0 11 11 11 11 11 11 lim lim lim lim lim lim lim lim 11 11 11 11 2 2 11 2 11 11 11 ou x x ou x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x R 32 7 7 lim 7 x x x 14 7 7 2 1 7 7 14 7 7 2 1 7 7 1 7 1 7 7 7 7 7 7 7 min det 0 0 7 7 7 7 7 7 lim lim lim lim lim lim 7 7 7 2 7 7 7 ou x x ou x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 33 17 17 lim 17 x x x 34 17 17 2 1 17 17 34 17 17 2 1 17 1 17 17 17 17 17 min det 0 0 17 17 17 17 17 17 lim lim lim lim lim 17 17 17 17 17 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 34 3 3 lim 3 x x x 6 3 3 2 1 3 3 6 3 3 2 1 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 min det 0 0 3 3 3 3 3 3 lim lim lim lim lim 3 3 3 3 3 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 35 19 19 lim 19 x x x 38 19 19 2 1 19 19 38 19 19 2 1 19 19 1 19 19 19 1 19 19 19 19 19 19 19 min det 0 19 19 19 19 19 19 lim lim lim lim lim lim lim 19 19 19 19 2 2 19 19 19 ou x x ou x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 36 23 23 lim 23 x x x 46 23 23 2 1 23 23 46 23 23 2 1 23 23 1 23 1 23 23 23 23 23 min det 0 0 23 23 23 23 23 23 lim lim lim lim lim 23 23 23 23 23 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 37 1 5 6 2 3 lim x x x x 2 2 4 2 5 18 9 1 3 5 6 3 3 1 5 6 2 2 3 lim x x x x 2 1 5 6 2 3 lim x x x x R 38 1 5 6 2 1 lim x x x x 0 0 1 1 5 1 6 1 1 5 6 2 2 1 lim x x x x 4 5 1 5 1 5 1 1 6 5 lim lim lim 1 1 2 1 x x x x x x x x x x 4 1 5 6 2 1 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 39 3 15 8 2 7 lim x x x x 2 3 15 8 2 4 8 4 15 56 49 3 7 15 8 7 7 3 15 8 2 7 2 2 7 lim lim x x x x x x x x R 40 3 15 8 2 3 lim x x x x 2 3 15 8 2 5 3 5 3 5 3 3 15 8 min 0 0 3 3 24 15 9 3 3 8 3 15 3 3 15 8 2 3 3 3 2 3 2 2 3 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x açãomatemática inderte x x x x x x x x R 41 1 2 3 2 2 lim x x x x 4 3 12 3 2 6 4 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 lim lim x x x x x 4 1 2 3 2 2 lim x x x x R 42 1 2 3 2 1 lim x x x x 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 3 1 1 1 2 13 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 2 2 1 2 1 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 43 6 18 9 2 4 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 6 18 9 1 2 2 2 18 36 16 6 4 18 4 9 4 6 18 9 2 4 2 2 4 lim lim x x x x x x x x R 44 6 18 9 2 6 lim x x x x 3 6 18 9 3 3 6 3 6 6 3 6 18 9 0 0 0 54 18 36 6 6 9 6 18 6 6 18 9 2 6 6 6 2 6 2 2 6 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x INDETERMINAÇÃO x x x x x x x x R 45 1 6 ² 7 lim 0 x x x x 6 1 6 7 ² 6 1 6 1 0 6 70 0² 1 6 7 ² lim lim 0 0 x x x x x x x x R 46 1 6 ² 7 lim 1 x x x x 5 1 6 7 ² 5 6 1 6 1 6 1 1 6 7 ² min det 0 0 1 1 7 7 1 1 6 7 1 ² 1 1 6 7 ² lim lim lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x ação Matemática er in x x x x x x x x R 47 6 12 8 2 8 lim x x x x 6 6 12 8 6 2 12 2 12 64 64 6 8 12 8 8 8 6 12 8 2 8 2 2 8 lim lim x x x x x x x x R 48 6 12 8 2 6 lim x x x x 0 0 0 48 12 36 6 6 12 8 6 6 6 12 8 2 2 6 lim x x x x Indeterminação matemática ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 6 12 8 4 2 6 2 6 6 2 6 12 8 2 6 6 6 2 6 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 49 7 7 8 2 9 lim x x x x 8 7 7 8 8 2 16 2 7 72 81 7 9 7 8 9 9 7 7 8 2 9 2 2 9 lim lim x x x x x x x x R 50 7 7 8 2 7 lim x x x x 0 0 0 7 56 49 7 7 7 8 7 7 7 7 8 2 2 7 lim x x x x Indeterminação matemática 6 7 7 8 6 1 7 1 7 1 7 7 7 8 2 7 7 7 2 7 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 51 1 10 17 8 2 3 3 lim x x x x x 3 2 3 2 3 3 2 3 8 17 10 3 83 173 10 27 72 51 10 82 78 4 2 1 3 1 2 2 8 17 10 2 1 lim lim x x x x x x x x x x R 52 1 10 17 8 2 3 1 lim x x x x x 0 0 0 8 17 10 1 1 1 10 17 1 8 1 1 1 10 17 8 2 3 2 3 1 lim x x x x x Indeterminação matemática 4 1 10 17 8 4 1 7 10 10 7 1 10 7 1 1 10 17 8 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 53 1 4 5 2 1 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 5 1 4 5 5 2 10 2 4 5 1 1 1 4 5 1 1 1 4 5 2 1 2 2 1 lim lim x x x x x x x x R 54 1 4 5 2 1 lim x x x x 0 0 1 1 4 5 1 1 1 4 1 5 1 1 4 5 2 2 1 lim x x x x Indeterminação matemática 3 1 4 5 3 4 1 4 1 4 1 1 4 5 2 1 1 1 2 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 55 8 32 12 2 9 lim x x x x 5 8 32 12 5 1 5 1 32 108 81 8 9 32 129 9 8 32 12 2 9 2 2 9 lim lim x x x x x x x x R 56 8 32 12 2 8 lim x x x x 0 0 0 32 128 8 8 32 12 2 2 8 lim x x x x Indeterminação matemática 4 8 32 12 4 4 8 4 8 4 8 8 32 12 2 8 8 8 2 8 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 57 1 7 ² 8 lim 3 x x x x 4 2 8 2 7 24 9 1 3 7 38 ²3 1 7 ² 8 lim 3 x x x x R 58 1 7 ² 8 lim 1 x x x x 6 7 1 7 1 1 7 1 7 8 ² min det 0 0 1 1 7 8 1 1 1 7 81 ² 1 1 7 8 ² lim lim lim lim 1 1 1 1 x x x x x x x açãoMatemática er In x x x x x x x R 59 8 16 10 2 2 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 0 8 16 10 0 6 0 6 20 16 4 8 2 102 16 2 8 16 10 2 2 2 2 2 lim lim x x x x x x x x R 60 8 16 10 2 8 lim x x x x 6 8 16 10 6 2 8 2 8 2 8 8 16 10 0 0 0 80 16 64 8 8 108 16 8 8 16 10 2 8 8 8 2 8 2 2 8 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x INDETERMINAÇÃO x x x x x x x x R 61 1 12 19 8 2 3 2 lim x x x x x 2 1 12 19 8 2 1 2 19 2 12 8 2 2 1 12 19 8 2 3 2 2 3 2 3 2 lim lim x x x x x x x x x x R 62 1 12 19 8 2 3 1 lim x x x x x 0 0 1 1 19 1 12 8 1 1 1 12 19 8 2 3 2 3 1 lim x x x x x 6 1 12 19 8 6 7 1 12 1 12 7 1 1 12 7 1 12 19 8 2 3 1 2 2 1 2 1 2 3 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 63 3 1 1 6 lim x x x x 31 6 x x x 31 6 x x 0 6 2 4 09 5100 11 4999 099 5010000 101 4990000 0999 5001000000 1001 4999000000 09999 5 0001 1012 10001 4 9999 1012 3 1 1 6 lim x x x 3 1 1 6 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 3 1 1 6 lim x x x não existe R 64 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x 20 3 6 11 6 20 6 120 3 3 6 33 54 27 3 6 11 6 2 3 3 2 3 3 lim lim x x x x x x x x x x R 65 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x 2 3 6 11 6 2 2 9 9 2 3 3 3 2 3 3 6 11 6 3 2 3 3 3 6 11 6 0 0 0 6 33 54 27 3 3 6 11 3 6 3 3 3 6 11 6 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 66 5 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x 12 5 10 17 8 12 7 84 7 34 10 32 8 5 2 172 10 82 2 5 10 17 8 2 3 2 2 3 2 3 2 lim lim x x x x x x x x x x R 67 5 10 17 8 2 3 5 lim x x x x x 12 5 10 17 8 12 2 15 25 2 3 5 5 2 3 5 10 17 8 5 5 2 3 5 10 17 8 0 0 5 5 10 17 5 8 5 5 5 10 17 8 2 3 5 2 2 5 2 3 5 2 5 2 3 5 2 3 2 3 5 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 68 4 x 2 2 x 3x lim x 2 4 3 x x x 2 4 3 x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 3 3 9 19 104 75 21 36 104 199 5 97 108 201 6 03 108 1999 5 997 1012 2001 6 003 1012 19999 5 9997 1016 20001 6 0003 1016 199999 5 99997 1020 200001 6 00003 1020 4 2 2 3 lim x x x 4 2 2 3 lim x x x 4 2 2 3 lim x x x R 69 2 10 17 8 2 3 4 lim x x x x x 3 2 10 17 8 3 2 6 2 68 10 128 64 2 4 174 10 84 4 2 10 17 8 2 3 4 2 3 2 3 4 lim lim x x x x x x x x x x R 70 2 x 17x 10 8x x 2 3 2 xlim 3 2 x 10 17x 8x x 3 5 6 2 2 5 6x x 2 x 2 5x 6x x 2 x 10 17x 8x x 0 0 0 34 10 32 8 2 2 2 10 17 82 2 2 x 10 17x 8x x 2 3 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 3 2 x 2 3 2 3 2 x lim lim lim lim lim R 71 4 1 1 6 lim x x x x 41 6 x x x 2 4 x x 6 0 0 2 12 09 104 45 11 104 66 099 5 94 108 101 6 06 108 0999 5 994 1012 1001 6 006 1012 09999 5 9994 1016 10001 6 0006 1016 099999 5 99994 1020 100001 6 00006 1020 4 1 1 6 lim x x x 4 1 1 6 lim x x x 4 1 1 6 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 72 5 2 R 73 3 26 R 74 5 2 R 75 3 5 R 76 3 7 R 77 2 R 78 0 R 79 0 R 80 R 81 0 R 82 R 83 2 3 R 84 R 85 R 86 R 87 R 88 6 6 7 8 4 lim x x x 6 6 7 8 3 4 3 4 6 8 6 8 6 6 7 8 4 3 3 3 4 4 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x R 89 6 6 7 8 2 4 lim x x x 6 6 7 8 3 4 3 4 6 8 6 8 6 6 7 8 2 4 2 2 4 2 4 2 4 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 90 6 ³ 6 7 8 4 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 6 ³ 6 7 8 3 4 3 4 6 ³ 8 6 ³ 6 7 8 4 4 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x R 91 3 2 5 8 2 lim x x x 3 2 5 8 4 4 2 8 3 2 5 8 2 2 2 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x R 92 3 13 5 6 lim x x x 13 6 3 13 5 6 13 6 13 6 3 13 5 6 lim lim lim lim x x x x x x x x x x R 93 3 4 4 6 2 6 lim x x x x x 3 6 2 6 3 3 2 6 6 2 6 3 4 4 4 4 3 4 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 94 5 2 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x 5 2 2 2 3 8 4 4 2 8 5 2 2 2 3 8 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x R 95 x x x x x 6 24 7 3 4 3 4 lim 8 1 6 24 7 3 8 1 8 1 24 3 6 24 7 3 4 3 4 4 4 4 3 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 96 5 7 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 5 7 2 2 3 8 4 4 2 8 2 8 5 7 2 2 3 8 2 3 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 97 R 98 R 99 R 100 R 101 R 102 R 103 33 Reta Tangente a uma Função Definição 1 Suponhamos que a função f seja contínua em 1x A reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 1 f x x P é i a reta que passa por P tendo inclinação mt 1x dada por x f f m x x x x t x 1 1 1 lim 0 se o limite existir ii a reta 1x x se x f f x x x x 1 1 lim 0 e x f f x x x x 1 1 lim 0 forem ou Calcule o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto de abscissa 1x E98 3 8 x f x em 5 1 x E99 2 5 x f x em x1 4 E100 4 13 x f x em x1 0 E101 1 5 4 2 x x f x em x1 3 E102 1 7 2 2 x x f x em x1 2 E103 2 8 3 2 x x f x em x1 1 E104 6 3 5 2 x x f x em x1 0 E105 x x f x 7 2 3 em 1 1 x E106 1 5 6 2 3 x x f x em x1 1 E107 1 4 7 3 x x f x em 2 1 x E108 2 5 x f x para x1 6 E109 x2 3 f x para x1 2 E110 x2 3 f x para 5 1 x E111 1 6 2 3 x x f x para x1 1 E112 1 6 2 3 x x f x para x1 0 E113 5 4 2 3 x x f x para x1 3 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E114 3 2 4 3 x x f x para 2 1 x E115 4 3 x x f x para x1 7 E116 4 3 x x f x para 1 1 x E117 8 3 7 2 x x f x para x1 4 Definição 2 Suponhamos que a função f seja contínua em x A reta tangente ao gráfico de f no ponto x f x P é i a reta que passa por P tendo inclinação 1x ta dada por x f f m x x x x t x lim 0 se o limite existir ii a reta 1x x se x f f x x x x lim 0 e x f f x x x x lim 0 forem ou Exemplo Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função Ex23 5 4 3 2 x x f x Ex24 2 3 7x x f x Ex25 4 7 3 2 x x f x Exercício Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função E118 5 6 4 2 x x f x E119 9 7 6 2 x x f x E120 1 4 5 3 x x f x E121 12 8 2 2 3 x x f x E122 7 2 2 5 x x f x Resposta R 104 3 R 105 2 R 106 4 R 107 29 R 108 1 R 109 2 R 110 3 R 111 1 R 112 8 R 113 81 31 R 114 2 R 115 4 R 116 10 R 117 15 R 118 0 R 119 102 R 120 50 R 121 9 7 R 122 25 7 R 123 16 5 R 124 8 6 x a t x R 125 12 7 x a t x R 126 4 15 2 x a t x R 127 x x a t x 16 6 2 R 128 7 2 2 39 x a t x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 34 Aplicação 341 Movimento retilíneo Serão usadas unidades do sistema internacional de medidas SI para o tempo e o comprimento segundo s e metro m respectivamente 3411 Velocidade A velocidade de um corpo é definida como a variação da posição pela variação do tempo ou seja 1 2 1 2 t t P P v t t A velocidade é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero Para determinar a velocidade instantânea em um tempo específico usase o limite 1 1 1 1 lim t t P P v t t t t t para determinar a função velocidade usase o limite t P P v t t t t t lim 0 3412 Aceleração A aceleração de um corpo é definida como a variação da velocidade pela variação do tempo ou seja 1 2 1 2 t t v v a A aceleração é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero Para determinar a aceleração instantânea em um tempo específico usase o limite 1 1 1 1 lim t t v v a t t t t t para determinar a função aceleração usase o limite t v v a t t t t t lim 0 Exemplo Ex26 Dada a função posição 7 4 5 3 t t P t determine a velocidade instantânea no tempo s t 3 Resolução 7 4 4 5 15 15 5 7 4 4 3 3 5 7 4 5 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 t t t t t t t t P t t t t t t t t t t t t P t t t t 7 4 5 3 t t P t ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 15 4 0 5 0 15 15 4 5 15 15 4 5 15 15 4 5 15 15 7 4 5 7 4 4 5 15 15 5 7 4 5 7 4 4 5 15 15 5 2 2 2 2 2 0 2 2 0 3 2 2 0 3 3 2 2 3 0 3 3 2 2 3 0 0 lim lim lim lim lim lim t v t t t t t t v t t t t t t t t t t t t t v t t t t t t t t t t t v t t t t t t t t t t t t P P v t t t t t t t t t t t t t t Para s t 3 m s v v 131 4 135 4 3 15 3 2 3 Ex27 Seja 4 6 2 t t v t determine a aceleração instantânea no tempo t 0 Resolução 4 6 6 2 4 6 2 2 2 t t t t t t v t t t t v t t t t 4 6 2 t t v t 6 2 6 0 2 6 2 6 2 6 2 4 6 4 6 6 2 4 6 4 6 6 2 lim lim lim lim lim lim 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 t a t t t a t t t t t t t t t a t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t v v a t t t t t t t t t t t t t t Para t 0 2 3 3 6 6 0 6 0 2 m s a a Ex28 Seja 1 1 4 t t v t determine a aceleração instantânea no tempo s t 4 Resolução ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 1 4 4 1 1 4 t t t t t t t t v t t 1 1 4 t t v t 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 1 5 1 5 1 1 0 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 1 1 1 4 4 4 1 4 4 4 4 1 1 1 4 4 4 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 1 1 4 4 1 1 4 1 1 4 4 lim lim lim lim lim lim lim lim t a t t t t t t a t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t a t t t t t t t t v v a t t t t t t t t t t t t t t t t t t Para s t 4 5 1 5 5 1 4 5 2 2 4 a 2 3 5 1 m s a Exercícios Dada a função posição determine a velocidade instantânea no tempo dado E123 7 3 2 t t P t em s t 2 E124 4 5 4 3 t t P t em s t 1 E125 2 3 4 t t P t em t 0 Dada a função velocidade determine a aceleração instantânea no tempo dado E126 t t v t 2 3 7 em s t 1 4 E127 2 3 8t t v t em s t 1 1 E128 1 5 4 2 t t v t em s t 1 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Respostas R 129 1 m s R 130 17 m s R 131 2 m s R 132 2 89 m s R 133 2 13 m s R 134 2 25 8 m s ou 2 0 32 m s 342 Economia E129 O custo médio por disco em reais que a Companhia Herald Record tem ao fabricar x videodiscos é dado pela função custo médio x C x 7500 66 Calcule x x C lim e interprete o resultado obtido E130 O custo médio em reais obtido pela Gravadora Lincoln por semana na fabricação de q CDs é dado por q q C q 2 000 2 0 0001 para 6 000 1 000 q Interprete a variação de C neste intervalo E131 A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função 4 720 2 2 t t A t onde A t é medido em milhões de reais e t é o número de meses do filme em cartaz a Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento b E após o segundo mês c E após o terceiro mês d Qual será a arrecadação do filme a longo prazo E132 Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares quatro cilindros modelo 1992 revelou que o custo médio prestações combustível seguro manutenção e depreciação medido em centavos por quilômetro é aproximado pela função 5340 6030 2 2 x C x onde x denota o número milhares de quilômetros rodados em 1 ano a Qual é o custo médio ao dirigirmos um determinado veículo por 5000 kmano b E por 10000 kmano c E por 15000 kmano d E por 20000 kmano e E por 25000 kmano f O que acontece com o custo médio quando o número de quilômetros cresce ilimitadamente g Use os das anteriores para esboçar o gráfico da funçãoC E133 Numa certa cidade descobriuse que seu principal reservatório de água foi contaminado com tricloroetileno um composto químico cancerígeno em razão de um vazamento ocorrido num depósito de lixo químico abandonado Uma proposta submetida aos membros do conselho da cidade indica que o custo medido em milhões de reais da remoção de p por cento do poluente tóxico é dada por p p C p 100 51 para 100 0 p a Determine o custo da remoção de 50 60 70 80 90 95 99 e 999do poluente ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado b Calcule p x C lim 100 e interprete o resultado E134 Um grande grupo imobiliário está construindo um complexo de casas escritórios lojas escolas e igrejas numa área de 5000 acres no distrito de Ermida Santo Antônio dos Campos em Divinópolis Como resultado desse investimento os projetistas estimam que a população de Ermida em milhares daqui a t anos será dada por 40 5 200 125 25 2 2 t t t t P t a Represente o gráfico de P na região retangular 025 050 b Qual será a população de Ermida a longo prazo Resposta R 135 R 660 O custo médio da fabricação de videodiscos se aproxima de R660 por disco a longo prazo R 136 centavos km C 93 1 000 2 000 C 3 000 C 4 000 C 5 000 C 6 000 C INTERVALO VARIAÇÃO 1000 2000 2000 3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 c d R 137 a R144 milhões b R360 milhões c R4985 milhões d R720 milhões R 138 a 22823 centavosmilha b 9145 centavosmilha c 6899 centavosmilha d 6168 centavosmilha e 5847 centavosmilha f ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado g 534 centavosmilha R 139 a milhões C 51 50 milhões C 2 25 60 milhões C 53 70 milhões C 06 80 milhões C 90 13 5 milhões C 95 28 5 milhões C 99 148 5 milhões C 1498 5 99 9 b O limite não é definido à medida que a porcentagem de poluentes a ser removido se aproxima de 100 o custo se torna extremamente alto R 140 a b 25000 habitantes Bibliografia LEITHOLD L Cálculo com geometria analítica Tradução Cyro de Carvalho Patarra Revisão técnica Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto 3 ed São Paulo Ed Harbra 1994 v1 685p TAN ST Matemática aplicada á administração e economia 5ed americana Trad Edson de Faria São Paulo Pioneira Thompon Learning 2003 638p
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Cálculo Diferencial e Integral I Prof Luiz Elpídio de Melo Machado 3 LIMITES 31 Introdução O limite permite estudar o comportamento funcional de valores próximo a um número qualquer do domínio e para valores muito grandes ou muito pequenos da variável Exemplo Ex1 Determine o valor do limite x x sen xlim 0 Quando x tende a zero pela direita ou seja para x 0 x x sen x 1 0841470984 01 0998334166 001 0999983333 0001 0999999833 00001 0999999998 1 lim 0 x x sen x Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 0 x x sen x 1 0841470984 01 0998334166 001 0999983333 0001 0999999833 00001 0999999998 1 lim 0 x x sen x Ex2 Seja f a função definida por 1 1 2 x x f x O domínio de f é dada por 1 x x D Para saber o comportamento de f quando x tende a 1 determinese o valor do limite 1 1 2 1 lim x x x Quando x tende a um pela direita ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 2 3 15 25 11 21 101 201 1001 2001 2 1 1 2 1 lim x x x Para x 2 3 1 1 4 1 2 1 2 2 Para x 51 52 50 25 1 50 25 1 2 1 51 1 51 2 Para x 11 12 10 21 0 10 21 1 1 1 11 1 11 2 Para x 101 2 01 0 01 0201 0 01 0 0201 1 1 01 1 1 1 01 1 2 Para x 1001 2 001 0 001 002001 0 001 0 002001 1 1 001 1 1 1 001 1 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 0 1 05 15 09 19 099 199 0999 1999 2 1 1 2 1 lim x x x Para x 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 Para 50 x 51 50 75 0 50 25 1 0 1 50 1 50 2 Para 90 x 91 10 19 0 10 81 1 0 1 90 1 90 2 Para x 0 99 199 0 01 0199 0 01 0 9801 1 0 99 1 0 1 99 0 2 Para x 0 999 1999 001 0 001999 0 001 0 998001 1 0 999 1 0 1 999 0 2 Como os limites laterais são iguais 2 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim x x x x x x podese afirmar que o limite em 1 existe ou seja 2 1 1 2 1 lim x x x Ex3 Seja f a função definida por 1 1 2 x x f x O domínio de f é dada por 1 x x D Para saber o comportamento de f quando x tende a 1 determinese o valor do limite 1 1 2 1 lim x x x Quando x tende a um pela direita ou seja para x 1 x 1 1 2 x x 2 5 15 65 11 221 101 2021 1001 2002001 1 1 2 1 lim x x x Para x 2 5 1 1 4 1 2 1 2 2 Para x 51 56 50 25 3 50 1 25 2 1 51 1 51 2 Para x 11 221 10 21 2 10 21 1 1 1 11 1 11 2 Para x 101 20201 0 01 0201 2 01 0 0201 1 1 01 1 1 1 01 1 2 Para x 1001 2 002001 0 001 002001 2 001 0 002001 1 1 001 1 1 1 001 1 2 Quando x tende a zero pela esquerda ou seja para x 1 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado x 1 1 2 x x 0 1 05 25 09 181 099 19801 0999 1998001 1 1 2 1 lim x x x Para x 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 Para 50 x 52 50 25 1 50 25 1 0 1 50 1 50 2 Para 90 x 181 10 81 1 10 81 1 0 1 90 1 90 2 Para x 0 99 19801 01 0 9801 1 01 0 9801 1 0 99 1 0 1 99 0 2 Para x 0 999 1 998001 001 0 998001 1 001 0 998001 1 0 999 1 0 1 999 0 2 Como os limites laterais são diferentes 1 1 2 1 lim x x x e 1 1 2 1 lim x x x podese afirmar que o limite em 1 não existe ou seja 2 1 1 1 lim x x x Ex4 Determine o valor do limite x x x lim 0 x x x 1 1 01 0794328234 001 0954992586 0001 0993116048 00001 099907939 000001 0999884877 1 lim 0 x x x Ex5 Determine se a afirmativa é verdadeira e x x x 1 1 lim ou seja se o limite tende para o valor dado x x x 1 1 1 2 10 259374246 100 2704813829 1000 2716923932 10000 2718145927 100000 2718268237 1000000 2718280469 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado O valor de e é aproximadamente 2 71828182846 o limite está tendendo a este valor logo a afirmativa é verdadeira Exercício Determine o valor do limite E1 x x x 1 cos lim 0 E2 x x x 1 0 lim 1 E3 x x e lim 0 E4 x x e lim E5 x x ln lim 0 E6 x x ln lim Exemplo Ex6 Verifique se o limite tende para o valor indicado e x n x n 0 1 lim Resolução Valor aproximado do e é 2718281828 Analisando o comportamento do limite para valores sucessivos de n Para n 0 temos 0 0 1 1 1 1 0 1 x x Para n 1 temos 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 x x Para n 2 temos 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 25 0 1 2 1 1 2 2 2 x ou x Para n 3 temos 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 2666666667 0 1 2 3 1 1 2 6 2 6 3 x ou x Para n 4 temos 4 3 0 0 1 1 1 8 1 65 2708333333 4 3 24 24 x x ou x x Para n 5 temos 5 4 0 0 1 1 1 65 1 163 2716666667 5 24 120 60 x x ou x x Para n 6 temos 6 5 0 0 1 1 1 163 1 1957 2718055556 6 60 720 720 x x ou x x Para n 7 temos 7 6 0 0 1 1 1 1957 1 685 2718253968 7 720 5040 252 x x ou x x Ex7 Verifique se o limite tende para o valor indicado 2 0 2 lim e x n x x n Valor aproximado do 2e é 7389056099 Analisando o comportamento do limite para valores sucessivos de n ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Para n 0 temos 0 0 0 2 2 1 1 0 1 x x x Para n 1 temos 0 1 1 0 2 2 2 1 2 1 2 3 0 1 1 1 x x x Para n 2 temos 0 1 2 2 0 2 2 2 2 1 2 4 1 2 2 5 0 1 2 1 1 2 x x x Para n 3 temos 0 1 2 3 3 0 2 2 2 2 2 1 2 4 8 4 19 1 2 2 6333333333 0 1 2 3 1 1 2 6 3 3 x x ou x Para n 4 temos 4 4 3 0 0 2 2 2 19 16 19 2 7 4 13 24 3 3 x x x x x x Para n 5 temos 5 5 4 0 0 2 2 2 32 4 109 7 7 7266666667 5 120 15 15 x x x x ou x x Para n 6 temos 6 6 5 0 0 2 2 2 109 64 109 4 331 7355555556 6 15 720 15 45 45 x x x x ou x x Para n 7 temos 7 7 6 0 0 2 2 2 331 128 331 8 155 7380952381 7 45 5040 45 315 21 x x x x ou x x Para n 8 temos 8 8 7 0 0 2 2 2 155 256 155 2 2327 7387301587 8 21 40320 21 315 315 x x x x ou x x Exercício Verifique se o limite tende para o valor indicado E7 e x n x n 0 1 lim E8 ln 2 1 1 1 lim n x x n x E9 4 1 2 1 0 lim n x x n x Resposta R 1 0 R 2 e 2 718281828 R 3 1 R 4 R 5 R 6 R 7 Sim R 8 Sim R 9 Sim 32 Limites no Infinito Definição 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Se f for uma função que está definida em um intervalo a O limite de f quando x cresce indefinidamente é L escrito L f x x lim se para todo 0 não importa quão pequeno existir um número N 0 tal que se x N então L f x Definição 3 Se f for uma função que está definida em um intervalo a O limite de f quando x decresce indefinidamente é L notado por L f x x lim se para todo 0 não importa quão pequeno existir um número N 0 tal que se x N então L f x Teorema 1 Se n for um número inteiro positivo qualquer então i n x lim x ii n for impar se se n for par x n x lim iii 1 0 lim n r r iv 1 0 lim n r r iii n r r 1 lim 0 iv n for impar se n for par se r n r 1 lim 0 Definição 4 A reta y L é denotada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmativas for válida i L f x x lim e para um número N se x N então f x L Ii L f x x lim e para um número N se x N então f x L ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Exemplo Ache o limite Ex8 5 25 2 4 lim x x x Resolução 9 5 25 9 1 9 5 4 25 16 5 4 25 4 5 25 2 4 2 2 4 lim lim x x x x x x Ex9 5 25 2 6 lim x x x 11 5 25 11 1 11 5 6 25 36 5 6 25 6 5 25 2 6 2 2 6 lim lim x x x x x x Ex10 5 25 2 5 lim x x x 10 5 25 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 min det 0 0 0 25 25 5 5 25 5 5 25 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x Ex11 6 18 9 2 5 lim x x x x Ex12 6 18 9 2 6 lim x x x x Ex13 6 18 9 2 3 lim x x x x Ex14 2 6 5 2 2 2 lim x x x x x Ex15 6 6 lim 6 x x x Ex16 8 2 9 6 4 2 6 lim x x x x Ex17 5 3 5 2 7 5 3 lim x x x x Ex18 2 8 3 5 7 lim x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Ex19 6 1 1 5 lim x x x Ex20 7 1 1 5 lim x x x Ex21 8 1 1 4 lim x x x Ex22 9 1 1 4 lim x x x Exercícios Ache o limite E10 3 9 2 3 lim x x x E11 49 7 2 7 lim x x x E12 5 25 2 5 lim x x x E13 36 6 2 6 lim x x x E14 4 16 2 4 lim x x x E15 25 5 2 5 lim x x x E16 9 3 2 3 lim x x x E17 7 49 2 7 lim x x x E18 2 4 2 2 lim x x x E19 64 8 2 8 lim x x x E20 8 64 2 8 lim x x x E21 4 2 2 2 lim x x x E22 9 81 2 9 lim x x x E23 1 1 2 1 lim x x x E24 22 13 20 12 2 2 2 lim x x x x x E25 10 7 8 6 2 2 2 lim x x x x x E26 12 8 10 7 2 2 2 lim x x x x x E27 18 11 16 10 2 2 2 lim x x x x x E28 8 6 6 5 2 2 2 lim x x x x x E29 20 12 18 11 2 2 2 lim x x x x x E30 5 5 lim 5 x x x E31 11 11 lim 11 x x x E32 7 7 lim 7 x x x E33 17 17 lim 17 x x x E34 3 3 lim 3 x x x E35 19 19 lim 19 x x x E36 23 23 lim 23 x x x E37 1 5 6 2 3 lim x x x x E38 1 5 6 2 1 lim x x x x E39 3 15 8 2 7 lim x x x x E40 3 15 8 2 3 lim x x x x E41 1 2 3 2 2 lim x x x x E42 1 2 3 2 1 lim x x x x E43 6 18 9 2 4 lim x x x x E44 6 18 9 2 6 lim x x x x E45 0 ² 7 6 1 lim x x x x E46 1 ² 7 6 1 lim x x x x E47 6 12 8 2 8 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E48 6 12 8 2 6 lim x x x x E49 7 7 8 2 9 lim x x x x E50 7 7 8 2 7 lim x x x x E51 1 10 17 8 2 3 3 lim x x x x x E52 1 10 17 8 2 3 1 lim x x x x x E53 1 4 5 2 1 lim x x x x E54 1 4 5 2 1 lim x x x x E55 8 32 12 2 9 lim x x x x E56 8 32 12 2 8 lim x x x x E57 1 7 ² 8 lim 3 x x x x E58 1 7 ² 8 lim 1 x x x x E59 8 16 10 2 2 lim x x x x E60 8 16 10 2 8 lim x x x x E61 1 12 19 8 2 3 2 lim x x x x x E62 1 12 19 8 2 3 1 lim x x x x x E63 3 1 1 6 lim x x x E64 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x E65 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x E66 5 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x E67 5 10 17 8 2 3 5 lim x x x x x E68 4 2 2 3 lim x x x E69 2 10 17 8 2 3 4 lim x x x x x E70 2 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x E71 4 1 1 6 lim x x x E72 2 5 2 1 lim t t t E73 1 3 4 26 lim x x x E74 x x x 5 4 7 2 lim E75 x x x 3 2 1 5 lim E76 5 8 3 1 2 7 2 2 lim x x x x x E77 1 2 3 4 2 2 lim s s s E78 5 3 4 2 lim x x x E79 3 2 5 lim x x x E80 1 3 2 2 lim y y y y E81 1 7 5 2 3 2 lim x x x x x E82 2 8 5 2 4 3 2 4 lim x x x x x E83 1 2 2 7 3 4 2 4 lim x x x x E84 3 5 4 2 3 lim y y y E85 1 4 7 12 5 2 3 lim x x x x E86 2 1 lim 3 x x x E87 t t t 4 2 2 lim E88 6 6 7 8 4 lim x x x E89 6 6 7 8 2 4 lim x x x E90 6 ³ 6 7 8 4 lim x x x E91 3 2 5 8 2 lim x x x E92 3 13 5 6 lim x x x E93 3 4 4 6 2 6 lim x x x x x E94 5 2 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x E95 x x x x x 6 24 7 3 4 3 4 lim ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E96 5 7 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x E97 Resposta R 10 3 9 2 3 lim x x x 6 3 9 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 min det 0 0 3 3 9 3 3 9 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 11 49 7 2 7 lim x x x 14 1 49 7 14 1 7 7 1 7 1 7 7 7 7 7 49 7 min det 0 0 49 49 7 7 49 7 7 7 49 7 2 7 7 7 2 2 7 2 7 2 2 7 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 12 5 25 2 5 lim x x x 10 5 25 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 min det 0 0 0 25 25 5 5 25 5 5 25 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 2 5 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 13 36 6 2 6 lim x x x 12 1 36 6 12 1 6 6 1 6 1 6 6 6 6 6 36 6 min det 0 0 36 36 0 36 6 6 6 36 6 2 6 6 6 2 2 6 2 6 2 2 6 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x çaõ Matemática er In x x x x x x x x R 14 4 16 2 4 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 8 4 16 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 16 min det 0 0 4 4 16 4 4 16 2 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 4 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 15 25 5 2 5 lim x x x 10 1 25 5 10 1 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 25 5 min det 0 0 25 5 5 5 25 5 2 5 5 5 2 2 5 2 5 2 5 2 5 lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 16 9 3 2 3 lim x x x 6 1 9 3 6 1 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 9 3 min det 0 0 9 3 3 3 9 3 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x açãoMatemática er In x x x x x x x x R 17 7 49 2 7 lim x x x 14 7 49 14 7 7 7 7 7 7 7 7 7 49 det 0 0 0 49 49 7 7 49 7 7 49 2 7 7 7 2 2 7 2 7 2 2 7 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x erminação Matemática In x x x x x x x x R 18 2 4 2 2 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 min det 0 0 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ção Matemática er In x x x x x x x x R 19 64 8 2 8 lim x x x 16 1 8 8 1 8 1 8 8 8 8 8 64 8 det 0 0 64 64 8 8 64 8 8 8 64 8 lim lim lim lim lim 8 8 2 2 8 2 8 2 2 8 x x x x x x x x erninação Matemática In x x x x x x x 16 1 64 8 2 8 lim x x x R 20 8 64 2 8 lim x x x 16 8 64 16 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64 min det 0 0 8 8 64 64 8 8 64 8 8 64 2 8 8 8 2 2 8 2 8 2 2 8 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 21 4 2 2 2 lim x x x 4 1 4 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 min det 0 0 4 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 22 9 81 2 9 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 18 9 81 18 9 9 9 9 9 9 9 9 9 81 min det 0 0 0 81 81 9 9 81 9 9 81 2 9 9 9 2 2 9 2 9 2 2 9 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 23 1 1 2 1 lim x x x 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 min det 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 lim lim lim lim lim x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 24 22 13 20 12 2 2 2 lim x x x x x 9 8 22 13 20 12 0 0 22 26 4 20 24 4 22 2 13 2 20 2 12 2 22 13 20 12 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim x x x x x x x x x x R 25 10 7 8 6 2 2 2 lim x x x x x 3 2 10 7 8 6 3 2 5 2 4 2 5 4 5 2 4 2 10 7 8 6 min det 0 0 14 14 12 12 10 2 7 2 8 2 6 2 10 7 8 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 26 12 8 10 7 2 2 2 lim x x x x x 4 3 12 8 10 7 4 3 4 3 6 2 5 2 6 5 6 2 5 2 12 8 10 7 min det 0 0 12 28 2 10 27 2 12 8 10 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 27 18 11 16 10 2 2 2 lim x x x x x 7 6 18 11 16 10 7 6 9 2 8 2 9 8 9 2 8 2 18 11 16 10 min det 0 0 18 22 4 16 20 4 18 11 2 2 16 10 2 2 18 11 16 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 28 8 6 6 5 2 2 2 lim x x x x x 2 1 8 6 6 5 2 1 4 2 3 2 4 3 4 2 3 2 8 6 6 5 min det 0 0 8 12 4 6 10 4 8 2 6 2 6 2 5 2 8 6 6 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 29 20 12 18 11 2 2 2 lim x x x x x 8 7 20 12 18 11 8 7 10 2 9 2 10 9 10 2 9 2 20 12 18 11 min det 0 0 20 24 4 18 22 4 20 2 12 2 18 2 11 2 20 12 18 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 30 5 5 lim 5 x x x 10 5 5 2 1 5 5 10 5 5 2 1 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 min det 0 0 5 5 5 5 5 5 lim lim lim lim lim lim lim lim 5 5 5 5 2 2 5 5 5 5 ou x x ou x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 31 11 11 lim 11 x x x 22 11 11 2 1 11 11 22 11 11 2 1 11 11 1 11 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 min det 0 0 11 11 11 11 11 11 lim lim lim lim lim lim lim lim 11 11 11 11 2 2 11 2 11 11 11 ou x x ou x x x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x x R 32 7 7 lim 7 x x x 14 7 7 2 1 7 7 14 7 7 2 1 7 7 1 7 1 7 7 7 7 7 7 7 min det 0 0 7 7 7 7 7 7 lim lim lim lim lim lim 7 7 7 2 7 7 7 ou x x ou x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x R 33 17 17 lim 17 x x x 34 17 17 2 1 17 17 34 17 17 2 1 17 1 17 17 17 17 17 min det 0 0 17 17 17 17 17 17 lim lim lim lim lim 17 17 17 17 17 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 34 3 3 lim 3 x x x 6 3 3 2 1 3 3 6 3 3 2 1 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 min det 0 0 3 3 3 3 3 3 lim lim lim lim lim 3 3 3 3 3 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 35 19 19 lim 19 x x x 38 19 19 2 1 19 19 38 19 19 2 1 19 19 1 19 19 19 1 19 19 19 19 19 19 19 min det 0 19 19 19 19 19 19 lim lim lim lim lim lim lim 19 19 19 19 2 2 19 19 19 ou x x ou x x x x x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x x x R 36 23 23 lim 23 x x x 46 23 23 2 1 23 23 46 23 23 2 1 23 23 1 23 1 23 23 23 23 23 min det 0 0 23 23 23 23 23 23 lim lim lim lim lim 23 23 23 23 23 ou x x ou x x x x x x ação Matemática er In x x x x x x x R 37 1 5 6 2 3 lim x x x x 2 2 4 2 5 18 9 1 3 5 6 3 3 1 5 6 2 2 3 lim x x x x 2 1 5 6 2 3 lim x x x x R 38 1 5 6 2 1 lim x x x x 0 0 1 1 5 1 6 1 1 5 6 2 2 1 lim x x x x 4 5 1 5 1 5 1 1 6 5 lim lim lim 1 1 2 1 x x x x x x x x x x 4 1 5 6 2 1 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 39 3 15 8 2 7 lim x x x x 2 3 15 8 2 4 8 4 15 56 49 3 7 15 8 7 7 3 15 8 2 7 2 2 7 lim lim x x x x x x x x R 40 3 15 8 2 3 lim x x x x 2 3 15 8 2 5 3 5 3 5 3 3 15 8 min 0 0 3 3 24 15 9 3 3 8 3 15 3 3 15 8 2 3 3 3 2 3 2 2 3 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x açãomatemática inderte x x x x x x x x R 41 1 2 3 2 2 lim x x x x 4 3 12 3 2 6 4 1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 lim lim x x x x x 4 1 2 3 2 2 lim x x x x R 42 1 2 3 2 1 lim x x x x 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 3 1 1 1 2 13 1 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 2 2 1 2 1 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 43 6 18 9 2 4 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 6 18 9 1 2 2 2 18 36 16 6 4 18 4 9 4 6 18 9 2 4 2 2 4 lim lim x x x x x x x x R 44 6 18 9 2 6 lim x x x x 3 6 18 9 3 3 6 3 6 6 3 6 18 9 0 0 0 54 18 36 6 6 9 6 18 6 6 18 9 2 6 6 6 2 6 2 2 6 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x INDETERMINAÇÃO x x x x x x x x R 45 1 6 ² 7 lim 0 x x x x 6 1 6 7 ² 6 1 6 1 0 6 70 0² 1 6 7 ² lim lim 0 0 x x x x x x x x R 46 1 6 ² 7 lim 1 x x x x 5 1 6 7 ² 5 6 1 6 1 6 1 1 6 7 ² min det 0 0 1 1 7 7 1 1 6 7 1 ² 1 1 6 7 ² lim lim lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x ação Matemática er in x x x x x x x x R 47 6 12 8 2 8 lim x x x x 6 6 12 8 6 2 12 2 12 64 64 6 8 12 8 8 8 6 12 8 2 8 2 2 8 lim lim x x x x x x x x R 48 6 12 8 2 6 lim x x x x 0 0 0 48 12 36 6 6 12 8 6 6 6 12 8 2 2 6 lim x x x x Indeterminação matemática ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 6 12 8 4 2 6 2 6 6 2 6 12 8 2 6 6 6 2 6 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 49 7 7 8 2 9 lim x x x x 8 7 7 8 8 2 16 2 7 72 81 7 9 7 8 9 9 7 7 8 2 9 2 2 9 lim lim x x x x x x x x R 50 7 7 8 2 7 lim x x x x 0 0 0 7 56 49 7 7 7 8 7 7 7 7 8 2 2 7 lim x x x x Indeterminação matemática 6 7 7 8 6 1 7 1 7 1 7 7 7 8 2 7 7 7 2 7 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 51 1 10 17 8 2 3 3 lim x x x x x 3 2 3 2 3 3 2 3 8 17 10 3 83 173 10 27 72 51 10 82 78 4 2 1 3 1 2 2 8 17 10 2 1 lim lim x x x x x x x x x x R 52 1 10 17 8 2 3 1 lim x x x x x 0 0 0 8 17 10 1 1 1 10 17 1 8 1 1 1 10 17 8 2 3 2 3 1 lim x x x x x Indeterminação matemática 4 1 10 17 8 4 1 7 10 10 7 1 10 7 1 1 10 17 8 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 53 1 4 5 2 1 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 5 1 4 5 5 2 10 2 4 5 1 1 1 4 5 1 1 1 4 5 2 1 2 2 1 lim lim x x x x x x x x R 54 1 4 5 2 1 lim x x x x 0 0 1 1 4 5 1 1 1 4 1 5 1 1 4 5 2 2 1 lim x x x x Indeterminação matemática 3 1 4 5 3 4 1 4 1 4 1 1 4 5 2 1 1 1 2 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 55 8 32 12 2 9 lim x x x x 5 8 32 12 5 1 5 1 32 108 81 8 9 32 129 9 8 32 12 2 9 2 2 9 lim lim x x x x x x x x R 56 8 32 12 2 8 lim x x x x 0 0 0 32 128 8 8 32 12 2 2 8 lim x x x x Indeterminação matemática 4 8 32 12 4 4 8 4 8 4 8 8 32 12 2 8 8 8 2 8 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 57 1 7 ² 8 lim 3 x x x x 4 2 8 2 7 24 9 1 3 7 38 ²3 1 7 ² 8 lim 3 x x x x R 58 1 7 ² 8 lim 1 x x x x 6 7 1 7 1 1 7 1 7 8 ² min det 0 0 1 1 7 8 1 1 1 7 81 ² 1 1 7 8 ² lim lim lim lim 1 1 1 1 x x x x x x x açãoMatemática er In x x x x x x x R 59 8 16 10 2 2 lim x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 0 8 16 10 0 6 0 6 20 16 4 8 2 102 16 2 8 16 10 2 2 2 2 2 lim lim x x x x x x x x R 60 8 16 10 2 8 lim x x x x 6 8 16 10 6 2 8 2 8 2 8 8 16 10 0 0 0 80 16 64 8 8 108 16 8 8 16 10 2 8 8 8 2 8 2 2 8 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x INDETERMINAÇÃO x x x x x x x x R 61 1 12 19 8 2 3 2 lim x x x x x 2 1 12 19 8 2 1 2 19 2 12 8 2 2 1 12 19 8 2 3 2 2 3 2 3 2 lim lim x x x x x x x x x x R 62 1 12 19 8 2 3 1 lim x x x x x 0 0 1 1 19 1 12 8 1 1 1 12 19 8 2 3 2 3 1 lim x x x x x 6 1 12 19 8 6 7 1 12 1 12 7 1 1 12 7 1 12 19 8 2 3 1 2 2 1 2 1 2 3 1 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 63 3 1 1 6 lim x x x x 31 6 x x x 31 6 x x 0 6 2 4 09 5100 11 4999 099 5010000 101 4990000 0999 5001000000 1001 4999000000 09999 5 0001 1012 10001 4 9999 1012 3 1 1 6 lim x x x 3 1 1 6 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 3 1 1 6 lim x x x não existe R 64 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x 20 3 6 11 6 20 6 120 3 3 6 33 54 27 3 6 11 6 2 3 3 2 3 3 lim lim x x x x x x x x x x R 65 3 6 11 6 2 3 3 lim x x x x x 2 3 6 11 6 2 2 9 9 2 3 3 3 2 3 3 6 11 6 3 2 3 3 3 6 11 6 0 0 0 6 33 54 27 3 3 6 11 3 6 3 3 3 6 11 6 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 66 5 10 17 8 2 3 2 lim x x x x x 12 5 10 17 8 12 7 84 7 34 10 32 8 5 2 172 10 82 2 5 10 17 8 2 3 2 2 3 2 3 2 lim lim x x x x x x x x x x R 67 5 10 17 8 2 3 5 lim x x x x x 12 5 10 17 8 12 2 15 25 2 3 5 5 2 3 5 10 17 8 5 5 2 3 5 10 17 8 0 0 5 5 10 17 5 8 5 5 5 10 17 8 2 3 5 2 2 5 2 3 5 2 5 2 3 5 2 3 2 3 5 lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 68 4 x 2 2 x 3x lim x 2 4 3 x x x 2 4 3 x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 3 3 9 19 104 75 21 36 104 199 5 97 108 201 6 03 108 1999 5 997 1012 2001 6 003 1012 19999 5 9997 1016 20001 6 0003 1016 199999 5 99997 1020 200001 6 00003 1020 4 2 2 3 lim x x x 4 2 2 3 lim x x x 4 2 2 3 lim x x x R 69 2 10 17 8 2 3 4 lim x x x x x 3 2 10 17 8 3 2 6 2 68 10 128 64 2 4 174 10 84 4 2 10 17 8 2 3 4 2 3 2 3 4 lim lim x x x x x x x x x x R 70 2 x 17x 10 8x x 2 3 2 xlim 3 2 x 10 17x 8x x 3 5 6 2 2 5 6x x 2 x 2 5x 6x x 2 x 10 17x 8x x 0 0 0 34 10 32 8 2 2 2 10 17 82 2 2 x 10 17x 8x x 2 3 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 3 2 x 2 3 2 3 2 x lim lim lim lim lim R 71 4 1 1 6 lim x x x x 41 6 x x x 2 4 x x 6 0 0 2 12 09 104 45 11 104 66 099 5 94 108 101 6 06 108 0999 5 994 1012 1001 6 006 1012 09999 5 9994 1016 10001 6 0006 1016 099999 5 99994 1020 100001 6 00006 1020 4 1 1 6 lim x x x 4 1 1 6 lim x x x 4 1 1 6 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado R 72 5 2 R 73 3 26 R 74 5 2 R 75 3 5 R 76 3 7 R 77 2 R 78 0 R 79 0 R 80 R 81 0 R 82 R 83 2 3 R 84 R 85 R 86 R 87 R 88 6 6 7 8 4 lim x x x 6 6 7 8 3 4 3 4 6 8 6 8 6 6 7 8 4 3 3 3 4 4 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x R 89 6 6 7 8 2 4 lim x x x 6 6 7 8 3 4 3 4 6 8 6 8 6 6 7 8 2 4 2 2 4 2 4 2 4 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 90 6 ³ 6 7 8 4 lim x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 6 ³ 6 7 8 3 4 3 4 6 ³ 8 6 ³ 6 7 8 4 4 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x R 91 3 2 5 8 2 lim x x x 3 2 5 8 4 4 2 8 3 2 5 8 2 2 2 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x R 92 3 13 5 6 lim x x x 13 6 3 13 5 6 13 6 13 6 3 13 5 6 lim lim lim lim x x x x x x x x x x R 93 3 4 4 6 2 6 lim x x x x x 3 6 2 6 3 3 2 6 6 2 6 3 4 4 4 4 3 4 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 94 5 2 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x 5 2 2 2 3 8 4 4 2 8 5 2 2 2 3 8 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x R 95 x x x x x 6 24 7 3 4 3 4 lim 8 1 6 24 7 3 8 1 8 1 24 3 6 24 7 3 4 3 4 4 4 4 3 4 lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x R 96 5 7 2 2 3 8 2 3 lim x x x x x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 5 7 2 2 3 8 4 4 2 8 2 8 5 7 2 2 3 8 2 3 2 3 2 3 2 3 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x R 97 R 98 R 99 R 100 R 101 R 102 R 103 33 Reta Tangente a uma Função Definição 1 Suponhamos que a função f seja contínua em 1x A reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 1 f x x P é i a reta que passa por P tendo inclinação mt 1x dada por x f f m x x x x t x 1 1 1 lim 0 se o limite existir ii a reta 1x x se x f f x x x x 1 1 lim 0 e x f f x x x x 1 1 lim 0 forem ou Calcule o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto de abscissa 1x E98 3 8 x f x em 5 1 x E99 2 5 x f x em x1 4 E100 4 13 x f x em x1 0 E101 1 5 4 2 x x f x em x1 3 E102 1 7 2 2 x x f x em x1 2 E103 2 8 3 2 x x f x em x1 1 E104 6 3 5 2 x x f x em x1 0 E105 x x f x 7 2 3 em 1 1 x E106 1 5 6 2 3 x x f x em x1 1 E107 1 4 7 3 x x f x em 2 1 x E108 2 5 x f x para x1 6 E109 x2 3 f x para x1 2 E110 x2 3 f x para 5 1 x E111 1 6 2 3 x x f x para x1 1 E112 1 6 2 3 x x f x para x1 0 E113 5 4 2 3 x x f x para x1 3 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado E114 3 2 4 3 x x f x para 2 1 x E115 4 3 x x f x para x1 7 E116 4 3 x x f x para 1 1 x E117 8 3 7 2 x x f x para x1 4 Definição 2 Suponhamos que a função f seja contínua em x A reta tangente ao gráfico de f no ponto x f x P é i a reta que passa por P tendo inclinação 1x ta dada por x f f m x x x x t x lim 0 se o limite existir ii a reta 1x x se x f f x x x x lim 0 e x f f x x x x lim 0 forem ou Exemplo Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função Ex23 5 4 3 2 x x f x Ex24 2 3 7x x f x Ex25 4 7 3 2 x x f x Exercício Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função E118 5 6 4 2 x x f x E119 9 7 6 2 x x f x E120 1 4 5 3 x x f x E121 12 8 2 2 3 x x f x E122 7 2 2 5 x x f x Resposta R 104 3 R 105 2 R 106 4 R 107 29 R 108 1 R 109 2 R 110 3 R 111 1 R 112 8 R 113 81 31 R 114 2 R 115 4 R 116 10 R 117 15 R 118 0 R 119 102 R 120 50 R 121 9 7 R 122 25 7 R 123 16 5 R 124 8 6 x a t x R 125 12 7 x a t x R 126 4 15 2 x a t x R 127 x x a t x 16 6 2 R 128 7 2 2 39 x a t x ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 34 Aplicação 341 Movimento retilíneo Serão usadas unidades do sistema internacional de medidas SI para o tempo e o comprimento segundo s e metro m respectivamente 3411 Velocidade A velocidade de um corpo é definida como a variação da posição pela variação do tempo ou seja 1 2 1 2 t t P P v t t A velocidade é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero Para determinar a velocidade instantânea em um tempo específico usase o limite 1 1 1 1 lim t t P P v t t t t t para determinar a função velocidade usase o limite t P P v t t t t t lim 0 3412 Aceleração A aceleração de um corpo é definida como a variação da velocidade pela variação do tempo ou seja 1 2 1 2 t t v v a A aceleração é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero Para determinar a aceleração instantânea em um tempo específico usase o limite 1 1 1 1 lim t t v v a t t t t t para determinar a função aceleração usase o limite t v v a t t t t t lim 0 Exemplo Ex26 Dada a função posição 7 4 5 3 t t P t determine a velocidade instantânea no tempo s t 3 Resolução 7 4 4 5 15 15 5 7 4 4 3 3 5 7 4 5 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 t t t t t t t t P t t t t t t t t t t t t P t t t t 7 4 5 3 t t P t ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 4 15 4 0 5 0 15 15 4 5 15 15 4 5 15 15 4 5 15 15 7 4 5 7 4 4 5 15 15 5 7 4 5 7 4 4 5 15 15 5 2 2 2 2 2 0 2 2 0 3 2 2 0 3 3 2 2 3 0 3 3 2 2 3 0 0 lim lim lim lim lim lim t v t t t t t t v t t t t t t t t t t t t t v t t t t t t t t t t t v t t t t t t t t t t t t P P v t t t t t t t t t t t t t t Para s t 3 m s v v 131 4 135 4 3 15 3 2 3 Ex27 Seja 4 6 2 t t v t determine a aceleração instantânea no tempo t 0 Resolução 4 6 6 2 4 6 2 2 2 t t t t t t v t t t t v t t t t 4 6 2 t t v t 6 2 6 0 2 6 2 6 2 6 2 4 6 4 6 6 2 4 6 4 6 6 2 lim lim lim lim lim lim 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 t a t t t a t t t t t t t t t a t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t v v a t t t t t t t t t t t t t t Para t 0 2 3 3 6 6 0 6 0 2 m s a a Ex28 Seja 1 1 4 t t v t determine a aceleração instantânea no tempo s t 4 Resolução ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado 1 1 4 4 1 1 4 t t t t t t t t v t t 1 1 4 t t v t 2 2 0 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 1 5 1 5 1 1 0 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 1 1 1 4 4 4 1 4 4 4 4 1 1 1 4 4 4 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 1 1 4 4 1 1 4 1 1 4 4 lim lim lim lim lim lim lim lim t a t t t t t t a t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t t t t t t t a t t t t t t t t t t a t t t t t t t t v v a t t t t t t t t t t t t t t t t t t Para s t 4 5 1 5 5 1 4 5 2 2 4 a 2 3 5 1 m s a Exercícios Dada a função posição determine a velocidade instantânea no tempo dado E123 7 3 2 t t P t em s t 2 E124 4 5 4 3 t t P t em s t 1 E125 2 3 4 t t P t em t 0 Dada a função velocidade determine a aceleração instantânea no tempo dado E126 t t v t 2 3 7 em s t 1 4 E127 2 3 8t t v t em s t 1 1 E128 1 5 4 2 t t v t em s t 1 2 ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado Respostas R 129 1 m s R 130 17 m s R 131 2 m s R 132 2 89 m s R 133 2 13 m s R 134 2 25 8 m s ou 2 0 32 m s 342 Economia E129 O custo médio por disco em reais que a Companhia Herald Record tem ao fabricar x videodiscos é dado pela função custo médio x C x 7500 66 Calcule x x C lim e interprete o resultado obtido E130 O custo médio em reais obtido pela Gravadora Lincoln por semana na fabricação de q CDs é dado por q q C q 2 000 2 0 0001 para 6 000 1 000 q Interprete a variação de C neste intervalo E131 A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função 4 720 2 2 t t A t onde A t é medido em milhões de reais e t é o número de meses do filme em cartaz a Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento b E após o segundo mês c E após o terceiro mês d Qual será a arrecadação do filme a longo prazo E132 Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares quatro cilindros modelo 1992 revelou que o custo médio prestações combustível seguro manutenção e depreciação medido em centavos por quilômetro é aproximado pela função 5340 6030 2 2 x C x onde x denota o número milhares de quilômetros rodados em 1 ano a Qual é o custo médio ao dirigirmos um determinado veículo por 5000 kmano b E por 10000 kmano c E por 15000 kmano d E por 20000 kmano e E por 25000 kmano f O que acontece com o custo médio quando o número de quilômetros cresce ilimitadamente g Use os das anteriores para esboçar o gráfico da funçãoC E133 Numa certa cidade descobriuse que seu principal reservatório de água foi contaminado com tricloroetileno um composto químico cancerígeno em razão de um vazamento ocorrido num depósito de lixo químico abandonado Uma proposta submetida aos membros do conselho da cidade indica que o custo medido em milhões de reais da remoção de p por cento do poluente tóxico é dada por p p C p 100 51 para 100 0 p a Determine o custo da remoção de 50 60 70 80 90 95 99 e 999do poluente ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado b Calcule p x C lim 100 e interprete o resultado E134 Um grande grupo imobiliário está construindo um complexo de casas escritórios lojas escolas e igrejas numa área de 5000 acres no distrito de Ermida Santo Antônio dos Campos em Divinópolis Como resultado desse investimento os projetistas estimam que a população de Ermida em milhares daqui a t anos será dada por 40 5 200 125 25 2 2 t t t t P t a Represente o gráfico de P na região retangular 025 050 b Qual será a população de Ermida a longo prazo Resposta R 135 R 660 O custo médio da fabricação de videodiscos se aproxima de R660 por disco a longo prazo R 136 centavos km C 93 1 000 2 000 C 3 000 C 4 000 C 5 000 C 6 000 C INTERVALO VARIAÇÃO 1000 2000 2000 3000 3000 4000 4000 5000 5000 6000 c d R 137 a R144 milhões b R360 milhões c R4985 milhões d R720 milhões R 138 a 22823 centavosmilha b 9145 centavosmilha c 6899 centavosmilha d 6168 centavosmilha e 5847 centavosmilha f ENGENHARIA UEMG CÁLCULO I LIMITES Prof Luiz Elpídio M Machado g 534 centavosmilha R 139 a milhões C 51 50 milhões C 2 25 60 milhões C 53 70 milhões C 06 80 milhões C 90 13 5 milhões C 95 28 5 milhões C 99 148 5 milhões C 1498 5 99 9 b O limite não é definido à medida que a porcentagem de poluentes a ser removido se aproxima de 100 o custo se torna extremamente alto R 140 a b 25000 habitantes Bibliografia LEITHOLD L Cálculo com geometria analítica Tradução Cyro de Carvalho Patarra Revisão técnica Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto 3 ed São Paulo Ed Harbra 1994 v1 685p TAN ST Matemática aplicada á administração e economia 5ed americana Trad Edson de Faria São Paulo Pioneira Thompon Learning 2003 638p