Projeto de Sistema de Controle para Processos Fermentativos Modelagem Matematica e Aplicações

III Propor a Composição de um sistema de controle A Tipo de mecanismo acionamento válvulas bombas etc B Sistema de controle Feedback ou Feedforward IV A função de transferência 15 ponto A Ordem do sistema B Ganho estático e o a constante de tempo V Elaborar um Diagrama de blocos VI Definir as Ações de controle A Funções de transferência B Parâmetros INTRODUÇÃO A modelagem matemática de processos fermentativos pode ser definida como a tentativa de representar através de equações matemáticas os balanços de massa para cada componente no biorreator associados às complexas transformações bioquímicas que ocorrem no processo e às velocidades com que essas transformações se processam Anderson et al 2019 Ardenghi et al 2003 Em razão da complexidade do processo real que envolve leis físicoquímicas bioquímicas e genéticas somada às limitações matemáticas os modelos são baseados geralmente na idealidade e em geral fornecem uma representação fiel de apenas algumas das propriedades do processo Baia et al 2020 Chen Wang 2012 Sendo assim Karagoz Ozkan 2019 Estudaram a imobilização de Saccharomyces Cerevisiae na esfera em alginato de cálcio com nano partículas magnéticas e constataram que a absorção de água pela não causa as rachaduras presentes no suporte durante a fermentação concluindo que estas rachaduras são causadas pelo crescimento celular no interior da esfera Uma investigação foi feita sobre a produção econômica de bioetanol utilizando células imobilizadas Saccharomyces cerevisiae NCIM 3095 Kumar et al 2019 a partir de fonte renovável O aprisionamento de células de levedura em filme de alginato de cálcio mostrouse como matriz imobilizadora mais adequada para aumentar a estabilidade e o limite de tolerância durante a fermentação contínua Sob condições operacionais semelhantes as células de levedura imobilizadas produziram maior rendimento de etanol 048gg e produtividade 28gLh em comparação com o sistema tradicional de células livres suspensas em fermentação contínua com taxa de diluição de 04h Ainda segundo os autores o novo design do processo é compacto e flexível ecologicamente correto com uso intensivo de energia e processo sustentável para o desenvolvimento da produção econômica de biocombustíveis A análise desenvolvida neste trabalho foi baseada em um modelo proposto em OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 com algumas modificações Este modelo diferencial parcial será aplicado para se estudar o processo de transferência de massa na produção de etanol em biorreatores com células imobilizadas Coimbra et al 2022 DorantesLanda et al 2020 ElDalatony et al 2016 Correa Cotta 1998 No mesmo sentido as EDPs do modelo original serão reduzidas em um sistema de EDOs através de um processo de média e o emprego da Técnica das Equações Integrais Acopladas CIEA na simplificação do modelo proposto a fim de se eliminar a dependência radial das equações que governam a transferência de massa nas partículas Cotta et al 2020 Costa NaveiraCotta 2019 Dantas et al 2007 É importante ressaltar que uma das vantagens do emprego da CIEA é que o sistema de equações resultantes carrega o máximo de informações das condições de contorno Dorantes Landa et al2020 Guerreiro Amorim 2019 Naveira et al 2009 Mennig Ozisik 1985 Hermite Borchardt 1878 É importante salientar que não há aplicação da CEIA na produção de bioetanol em reatores contínuos com células imobilizadas em alginato de cálcio porém dentre os pesquisadores que aplicaram a metodologia Quaresma et al 2009 apresentaram uma modelagem matemática e abordagem de solução para o processo de secagem de sólidos esferoidais com aplicação de microondas em meio poroso baseado nas equações de Luikov Os resultados obtidos foram comparados com outros resultados previamente relatados na literatura para verificar a metodologia e posteriormente mostraram concordância satisfatória com esses resultados da literatura Se abordou a técnica da CIEA para redução de modelos a partir de um modelo matemático tridimensional difusivoconvectivoreativo que descreve as concentrações locais das espécies envolvidas na síntese do biodiesel Costa NaveiraCotta 2019 Também fizeram uma abordagem em termos de rendimentos na produção de biodiesel com tempos de residência curtos por meio da tecnologia de microrreatores Os resultados mostraram que a CIEA produz resultados eficiente e robusto para a análise direta de tais problemas de transferência de massa reativa Ao mesmo tempo há uma necessidade crescente de desenvolvimento e aplicação de métodos matemáticos dos quais são analíticos por natureza para resolver modelos em vários campos da ciência ElDalatony et al 2016 Erdem Pamuk 2007 Dentre metodologias que satisfazem essa condição é a chamada Técnica de Transformada Integral Generalizada GITT que é capaz de tratar muitos problemas não lineares e dessa forma uma alternativa ferramenta para resolvelos Guerrero Amorim 2019 Pontes et al 2019 Naveira et al 2009 Menning Ozisik 1985 Para esta finalidade considerando a natureza híbrida numéricaanalítica da abordagem GITT e sua garantia de controle de erros local e global o objetivo deste trabalho é apresentar as principais características aplicando esta metodologia para estudar produção de etanol em biorreatores com células imobilizadas Em termos de aplicações práticas da engenharia podese citar o sucesso da utilização da GITT Pontes et al 2019 estudaram a magneto hidrodinâmica micropolar fluxo oscilatório com transferência de calor e massa sobre uma placa em um meio sujeito a reações químicas e obtiveram resultados satisfatórios O método das linhas MOL Coimbra et al 2022 Anderson et al 2019 Younes et al 2011 Naveira et al 2009 Dantas et al 2007 Erdem Pamuk 2007 também será utilizado para permitir uma comparação numérica entre essas duas metodologias Os modelos matemáticos são obtidos a partir das equações de balanços de massa assumindo propriedades físicas constantes utilizadas por Costa NaveiraCotta 2019 O comportamento de convergência da GITT bem como o MOL foram realizados para avaliar a a convergência da malha Uma análise detalhada dos efeitos da variação dos principais parâmetros adimensionais número de Biot Bim e crescimento celular para algumas situações típicas na velocidade de agitação e mistura e perfis de concentração de bioetanol e substrato foram discutidos Além disso comparouse os resultados da GITT com a abordagem do MOL e a Técnica das Equações Integrais Acopladas CIEA Dentre os trabalhos envolvendo desenvolvimento comparativo entre as técnicas GITT e MOL destacase Coimbra et al 2022 que estudaram o modelo de condução de calor hiperbólico aplicado à espectroscopia de Lente Térmica LT onde o perfil de temperatura é descrito pelo método de Fourier para Lei da condução de calor O Método das Linhas método puramente numérico e a Técnica da Transformada Integral Generalizada método analíticonumérico Ambas as abordagens possuíram excelentes taxas de convergência além de terem bons resultados verificados com dados experimentais DESCRIÇÃO DO MODELO O problema abordado neste trabalho é definido ao considerarse a produção de etanol por Saccharomyces cerevisiae OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 O crescimento da biomassa e a formação de etanol podem ser limitados tanto pelas suas próprias concentrações quanto pela concentração da glicose alimentada no fermentador Os demais nutrientes podem estar presentes em excesso mas não em quantidades tóxicas durante o período da fermentação Sehnem et al 2020 Santos et al 2018 Mohamad et al 2016 Mandli Modakjm 2014 O sistema de interesse é representado na Figura1 em que o substrato é continuamente alimentado a um reator de mistura contendo partículas com células imobilizadas e mantidas suspensas devido a agitação mecânica DorantesLanda et al 2020 Karagoz et al 2019 Kumar et al 2019 ElDalatony et al 2016 Ivanova et al 2011 Lee et al 2011 Para a elaboração do modelo as seguintes hipóteses foram propostas i O Reator pode ser adotado como perfeitamente misturado no que se refere ao meio líquido e na distribuição das partículas ii As partículas são consideradas como perfeitamente esféricas e não sofrem rompimento durante a operação de mistura iii O processo de transferência de massa na partícula é unidimensional transiente tr e entre a superfície da partícula e o meio líquido circundante é por convecção Mahakuntha et al 2021 Naveira et al 2009 Mennig Ozisik 1985 iv O coeficiente de transferência de massa depende da velocidade do misturador v As propriedades físicas são consideradas constantes sistema isotérmico e isobárico Figura 1 Representação esquemática de um reator de mistura Perfeita em Operação Contínua OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 Formulação Matemática para o Sistema Imobilizado Adotandose as hipóteses simplificadoras apresentadas podese expressar o modelo do biorreator OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 aplicando se um balanço de massa global e desenvolvendo para o consumo do substrato formação do produto e crescimento celular resulta 2 es s 0 2 2 ep p 0 2 S 1 S D r R em 0 r R e t 0 1a t r r r P 1 P D r R em 0 r R e t 0 t r r r 0 1b X X em 0 r R e t 0 1c t 0 0 0 S 0 P 0 em 0 r R e t0 1de X X em 0 r R e t0 1f S P 0 0 em r 0 e t 0 1gh r r es m m L 0 ep m m L 0 S D K S K S em r R e t 0 1i r P D K P K P em r R e t 0 1j r Onde s p p s s x s max s R m X R y R e 1kl y S S k S 1m Nas Eqs 1 S é o consumo de substrato s R é a taxa de reação na superfície da partícula para o consumo de substrato Karagoz et al 2019 Freita et al 2017 Ivanova et al 2011 Des é a difusividade específica do substrato r o raio da partícula imobilizante t é o tempo de duração da análise do fenômeno p R é a taxa de reação na superfície da partícula para a formação de produto e P Dep X e µ são respectivamente a formação do produto difusividade específica do produto crescimento celular e a velocidade específica de crescimento celular Karagoz et al 2019 Kumar et al 2019 Habbi et al 2013 Ivanova et al 2011 Keesman Stiger 2002 Os termos SL PL e Km nas Eqs 1ij expressam respectivamente a concentração de substrato no meio líquido a concentração do produto no meio líquido e o coeficiente convectivo de transferência de massa Nas Eqs 1km m é o coeficiente de manutenção celular YPS é a conversão de substrato em produto YXS é a conversão de substrato em célula e KS é a constante de saturação em relação ao substrato Formulação Matemática Para o Meio Líquido De modo equivalente ao que foi adotado anteriormente uma vez que a análise do fenômeno se concentra na superfície da partícula podemos relacionar a área Ap com volume da partícula Vp para se obter uma relação do termo reacional com a massa da partícula mp massa específica ρ e o raio R0 da seguinte forma 0 0 p L L 0 L m L r R p 0 p L L 0 L m L r R p 0 L 0 L 3m V dS F S S k S S em t 0 2a dt R 3m V dP F P P k P P em t 0 2b dt R S S P 0 L em t 0 2cd X 0 em t 0 2e Nas condições de contorno devem ser tomadas os fluxos mássicos de difusão e convecção na superfície da partícula de modo a obter relações dessa interação de forma que são as mesmas das Eqs 2ce consideradas para análise na partícula Adimensionalização do Problema A adimensionalização das equações que governam a transferência de massa Mahakuntha et al 2021 Lee et al 2011 assim como das condições iniciais e de contornos são feitas a partir dos seguintes grupos adimensionais 2 P ref S P o es ref 0 0 0 ref P L L S P im S 0 0 0 es 0 R r t S P t τ θ θ 3ae R D t S S KmR t R S P X Φ Φ W B R 3fj S S X D S η p ref 0 0 L p 0 0 XS ep ref S S P ref S max ref max 0 es 0 ref L m mt X X ρ M γ V ρ S S Y D t R K R μ t μ λ μ t μ 3ko S D S t F α V 3ps Portanto o modelo adimensional para o processo de transformação é dado por 2 S S S 2 2 P P P 2 1 em 0 1 e 0 4a em 0 1 e 0 max S S S 4b W W em 0 1 e 0 4cd S S im S S 1 P P im P P 1 d 1 3 B em 0 4e d d 3 B em 0 d 4f S P S P 0 0 W 1 em 0 4gi 0 0 em 0 4jk S P S im S S 1 S1 S 1 0 0 em 0 4lm B f em 1 P im P P 2 P1 P 1 4n B f em 1 4o Onde S P PS S im 1 im S S 2 P P M W Y 4pq B f B f 4rs MATERIAIS E MÉTODOS Metodologia de Solução O problema proposto apresenta três EDPs para a conversão de açúcar produção de etanol e crescimento populacional nas partículas de células imobilizadas respectivamente Além destas temse as EDOs para o balanço de substrato e produtos no tanque de reação O objetivo aqui é apresentar uma formulação simplificada melhorada para as EDPs e com isso as Eqs 4ad tornamse um sistema de EDOs Integrais de Hermite Com o objetivo de obter formulações melhoradas em termos de parâmetros concentrados para as Eqs 4ad se considera as seguintes fórmulas de aproximação de Hermite para integrais DorantesLanda et al2020 Guerreiro Amorim 2019 Naveira et al 2009 Mennig Ozisik 1985 Hermite Borchardt 1878 h 00 0 h H fxdx f0 fh 2 Regra do trapézio 5a 2 h 11 0 h h H f xdx f 0 f h f 0 f h 2 12 Regra do trapézio corrigida 5b 2 h 01 0 h h H fxdx f0 2fh f h 3 6 5c Procurouse uma formulação simplificada para as Eqs 4ac através da eliminação da dependência espacial pela integração das EDPs na variável independente sobre o domínio de validade e utilizando a Eq 5b Resultando assim num sistema de equações diferenciais ordinárias para os potenciais médios S P θ τ θ τ e Wτ Para isso partiuse da definição dos potenciais médios 1 1 1 2 2 2 S S P P 0 0 0 θ τ 3 η θ τηdη θ τ 3 η θ τηdη Wτ 3 η Wτ ηdη 6a c Agora multiplicando as EDPs das Eqs 4ac por 2 integrandoas no domínio de validade fazendose uso das Eqs 6ac e das condições de contorno se chega às EDOs para os potenciais médios dadas por S 1 θs P 2 θp W dθ 3f I 7a dτ dθ 3λf I 7b dτ dW I 7c dτ Onde S P P S1 S P1 P 1 1 1 1 P im im S1 S 1 S η 1 η 1 0 0 0 0 0 0 7d f W W 7g i B B f η η η η η P1 P 2 1 1 2 2 s S W 0 0 1 2 p PS s W S 0 f 7jk I 3 η dη 3 η M W ηdη MW I 7l I Y I I 3 η W ηdη 7mn Cujo objetivo é encontrar relações explícitas para as Eqs 7de e 7k Aproximação Clássica Parâmetros Concentrados A aproximação em termos de parâmetros concentrados consiste na mais simples que se pode propor Mahakuntha et al 2021 Quaresma et al 2020 Naveira et al 2009 Pontes et al 2019 Mennig Ozisik 1985 Esta se baseia na hipótese de que os gradientes na direção radial são pequenos de modo que os potenciais da superfície Eqs 7de podem ser aproximados pelos seus valores médios descritos nas Eqs 6ac então dessa forma S1 S P1 P 8ab Além dessa aproximação calculouse a Eq 7k Para isso foi proposto que a Eq 7k os potenciais locais Eqs 4ac serão aproximados pelos seus valores médios Eqs 6ac de modo a obter um resultado aproximado analítico dessa forma W S I μθ Wτ 9a Portanto o sistema de EDOs para esta formulação se torna S 1 θs P 2 θp W dθ 3f I 8c dτ dθ 3λf I 8d dτ dW I 8e dτ S S im S S P P im P P S P S P dΦ αΦ 1 3ρB θ Φ τ 0 8f dτ dΦ αΦ 3ρB θ Φ τ 0 8g dτ θ 0 0 θ 0 0 W0 1 8h j Φ 1 Φ 0 8kl A Técnica de Integrais Acopladas CIEA A aproximação de parâmetros concentrados foi refinada pela introdução de um método para melhorar a forma de aproximação do potencial no contorno em termos do potencial médio no meio Zhao 2021 Baia 2020 Cardoso et al 2014 Chen Wang 2012 Younes et al 2011 Monteiro et al 2009 Schunemann et al 2004 A integral do fluxo η S p ou W e a integral de η3 η no meio são avaliadas analiticamente e aproximadamente pela fórmula de Hermite do tipo H11 apresentada na Eq 5b O objetivo da CIEA é reter as informações importantes do fenômeno na coordenada a ser eliminada O primeiro passo é encontrar uma solução para a integral de Ω η da seguinte forma 11 2 2 1 1 0 2 2 0 η 0 η 1 η 0 η 1 Analítico Aproximação H Ω 1 Ω Ω 1 Ω Ω dη Ω Ω 9a η 2 η η 12 η η Substituindo na Eq 9a as condições de contorno do problema definido pelas Eqs 4 Obtevese a seguinte equação 2 2 1 0 2 2 η 1 η 0 η 1 1 Ω 1 Ω Ω Ω Ω 9b 2 η 12 η η Aplicando o método de integrais por parte na integral 1 3 0 Ω η dη η para obter a solução analítica e também a aproximação H11 substituindo a condição de contorno e igualandose os resultados temos 11 1 3 3 3 3 3 1 0 η 0 η 1 η 0 η 1 Analítico Aproximação H Ω 1 Ω Ω 1 Ω Ω η dη Ω Ω η η η η η 2 η η 12 η η η η 9c Desenvolvendo a Eq 9c obtevese uma equação explicita para 2 2 η 1 Ω η em função dos potenciais médio da superfície e do fluxo 2 1 2 η 1 η 1 Ω Ω 12Ω Ω 3 9d η η Substituindo a Eq 9d na Eq 9b obtevese uma expressão para 2 2 η 0 Ω η 2 0 2 η 1 η 0 Ω Ω 12Ω Ω 3 9e η η Para S ou p o fluxo no contorno 2 2 η 1 Ω η são definidos pelas condições de contorno nas Eqs 4no Porém para o potencial W não se obteve uma condição explícita para η 1 W η em função de W e 1 W Uma forma de encontrar está relação é aplicar a aproximação de Hermite do tipo H11 Eq 5b na definição do potencial médio dessa forma 11 2 2 η 0 η 1 1 2 0 2 2 η 0 η 1 Aproximação H 1 η Wτη η Wτη 2 Wτ 3 η Wτ d 3 1 η Wτη η Wτη 12 η η η η 9f De onde resulta a seguinte aproximação para Eq 9g 1 η 1 W 4 W W 9g η O termo fonte da Eq 7k será determinado pelo uso da aproximação de Hermite do tipo H1 1 Eq 5b O que resulta na Eq 9h a seguir 1 1 1 2 2 W S S 0 0 0 Fτη Fτη 1 W 0 η 1 I 3 η μθ Wτηd 3 Fτ d 3 η μθ Wτηd 1 1 F I 3 Fτ d 3 Fτ1 2 12 η η η η η η η 9h Onde S S1 1 S1 1 1 S1 S η 1 η 1 η 1 η 1 θ F μ W Fτ1 μθ W 2μθ W W μθ 9ij η θ η η Na análise acima apresentada não se obteve expressões explícitas entre os potenciais da superfície Eqs 7de e os médios Eqs 7ab Então fezse necessário usar as EDPs das Eqs 4ac em η 1 de onde temse duas EDOs que junto com as condições de contorno completam a formulação melhorada na qual é mostrada a seguir S P 1 θs 2 θp W S P S im S1 S P im P1 P S1 1 dθ dθ dW 3f I 3λf I I 9ac dτ dτ dτ dΦ dΦ αΦ 1 3ρB θ Φ αΦ 3ρB θ Φ 10de dτ dτ dθ 5f dτ S S1 S η 1 P1 1 S S1 P η 1 12θ θ 10f dθ λ 5f 12θ θ 1 dτ 1 1 1 0g dW μ W 10h dτ S P S P θ 0 0 θ 0 0 W0 1 10ik Φ 0 Φ 0 S1 P1 1 10lm θ 0 0 θ 0 0 W 0 0 10np Onde 2 S S1 max S max S1 max S 1 S S S S1 s 1 S 1 1 P PS S 1 1 1 10qs M W Y η η η η 10tu A Técnica de Transformada Integral Generalizada GITT O problema de expressar o perfil de produção de bioetanol em células imobilizadas será resolvido neste subitem por GITT Coimbra et al 2022 Cotta et al 2020 Pontes et al 2019 Naveira et al 2009 Dantas et al 2007 Correa Cotta 1998 com a mesma mudança de variável do Método de Linha Este método tem uma forma híbrida com equações resolvidas analiticamente e numericamente bO problema de autovalor auxiliar apropriado é escolhido para a equação na qual o método é aplicado para obter o máximo de informação possível do fenômeno estudado Neste caso o seguinte problema com suas condições de contorno foi escolhido Para o consumo de substrato temos 2 2 2 Si Si Si Si d d 0 11a d d d 0 Para 0 0 d Si im Si 11b d 1 1 B 1 0 d 11d De modo que a autofunção é Si Si Si Si Si Sin i123 11e i123 N 11f Onde Si representa as autofunções normalizadas e aplicando as condições de contorno resulta que o autovalor pode ser calculado pela seguinte equação transcendente Si Si im Si cos B 1sin 0 i 123 12a Com a integral de normalização com as condições de ortogonalidade dadas por 1 2 Si Sj 0 Si si Si si 0 i j d 12b N i j sin2 1 N 1 2 2 12c Isso permite definir o seguinte par transformada inversa pois esta solução é a núcleo de transformação Desse modo Shi Sh Si i 1 1 2 Shi Si Sh 0 Potencial Transformado 13a d Fórmula de inversão 13b Ao estabelecer o par transformadainversa e definidas a autofunção e as propriedades de ortogonalidade do problema de autovalor escolhido prosseguiuse com a transformação integral do problema diferencial original A seguir mostrase o resultado da transformação de cada um dos termos desta equação Em todos os casos aplicouse a fórmula de inversão e suas derivadas em τ e em Coimbra et al 2022 Cotta et al 2020 Dantas et al 2007 Costa NaveiraCotta 2019 Guerrero Amorim 2019 Pontes et al 2019 Naveira et al 2009 Monteiro et al 2009 Os novos termos são apresentados a seguir 2Sp Sp Si ij j j 1 im 1 1 2 Si i i Si Sj j j 1 0 0 Si 1 C M A1 14cd B sin ˆf d d N 1 2 ij Si Sj S 0 14ef A1 d 14g Do mesmo modo temos para a produção do produto 2 2 2 Pi Si Pi d d 0 15a d d Pi Pi im Si d 0 Para 0 0 15b d d 1 B 1 1 0 d 15d De modo que a autofunção é Pi Pi Pi Pi Pi Sin i123 15e i123 N 15f Onde Pi representa as autofunções normalizadas e aplicando as condições de contorno resulta que o autovalor pode ser calculado pela seguinte equação transcendente im Pi Pi Pi B cos 1sin 0 i 123 16a Com a integral de normalização com as condições de ortogonalidade dadas por 1 2 Pi Pj 0 Pi Pi Pi Pi 0 i j d 16b N i j sin2 1 N 1 2 2 16c É mostrado a seguir o resultado da transformação para a formação de produtos de cada um dos termos desta equação invertendose os potenciais e suas derivadas em τ e em η Phi 2 Phi Si 1 2Pp i Pi Phi d ˆ Q C f 17a d 0 0 17b Os novos termos são apresentados a seguir 2Pp Pp Pi P S ij ij j j 1 j 1 im 1 1 2 Pi i ij Pi Sj 0 0 Pi C y M B1 B2 18ab B sin ˆg d B1 d N 1 2 ij Pi Sj S 0 18cd B2 d 18e Como a EDP do crescimento celular X e as condições de contorno são homogêneas apresentase a relação direta a partir da Eq 4c em relação a transformada inversa Eq 13a e fórmula de inversão Eq 13b Quaresma et al 2020 Guerrero Amorim 2019 Pontes et al 2019 Considerase também que o potencial acompanha as condições do potencial para o substrato As equações são apresentadas a seguir 1 2 Si 0 i Si i 1 d Potencial Transformado 19a Fórmula de inversão 19b A seguir a transformada integral da EDP Eq 4c 1 i 2 Si Sj S j j 1 0 d d 19c d Substituindo Eq 14g na Eq 19c temos i j ij j 1 i i d A1 19d d 0 f 19e Então o modelo é transformado no seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias Shi 2 Shi Si 1 2Sp i Si Phi 2 Phi Si 1 2Pp i Pi d ˆ Q C f 20a d d ˆ Q C f d i j ij j 1 20b d A1 d Shi Phi i i 20c 0 0 0 0 0 f 20df Método das Linhas MOL Um dos métodos numéricos comumente utilizado para resolver equações diferencias parciais EDPs é o Método da Linhas MOL Younes et al 2011 Erdem Pamuk 2007 no qual consiste em discretizar todas as variáveis exceto uma delas Geralmente a variável temporal é mantida contínua obtendose assim um sistema de equações diferenciais ordinárias EDOs Nesse sentido os seguintes passos serão seguidos para o caso do modelo apresentado neste trabalho a Discretização da variável espacial b Transformação do EDP para obtenção do sistema EDOs c Solução do sistema de equações através de um algoritmo computacional A discretização da variável espacial é realizada dividindo o domínio de cálculo em um certo número de subdomínios finitos aqui denominado de i Estipulamse os pontos que delimitem os subdomínios que no caso são iguais a i1 em número As aproximações das derivadas estão representadas nas Eqs 20ab respectivamente diferenças centrais com dois pontos de segunda ordem para a primeira derivada e diferença central com dois pontos de segunda ordem para a segunda derivada δi 1 δi 1 2 δi 1 δi δi 1 2 δi 2 δi 2 2 θ θ θ θ θ θ θ θ Δ 20a 2Δ 2 θ Δ Δ 20b Onde δ representa o consumo de substrato S ou formação de produtos P e θΔη2 erro de truncamento Quaresma et al 2020 Santos et al 2018 Mohamad et al 2016 Naveira et al 2009 No mesmo sentido para as condições de contorno utilizouse o método das diferenças progressivas e regressivas com três pontos e segunda ordem de truncamento representadas pelas Eqs 21ab respectivamente δ0 δ1 δ2 δi 2 δi 1 δi int 2 δ 0 i 0 2 δ 1 i N θ θ θ θ θ θ θ θ 3 4 θ 0 21a 2Δ 4 3 θ 2Δ 21b Onde Nint é o número de intervalos na malha Após a discretização o modelo é transformado no seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias Si Si Si int Pi Pi Pi int dθ Ω 1 i N 1 22a dτ dθ Ω 1 i N 1 dτ max Si i i i int S Si 22b μ θ dW μ W μ 1 i N e τ 0 22cd dτ θ S S im S S N P P im P P N int int dΦ αΦ 1 3ρB θ Φ τ 0 22e dτ dΦ αΦ 3ρB θ Φ τ 0 dτ 22f Si Pi i w i θ 0 θ 0 em τ 0 22gh W f W em τ 0 S P 22i Φ 0 Φ 0 em τ 0 22jk S1 S2 P1 P2 S0 P0 s Si 1 Si 2 Si int im 4 4 em i 0 22lm 3 3 2 Q 4 em i N 3 2 B P Pi 1 Pi 2 Pi int im 22n 2 Q 4 em i N 22o B 3 2 1 2 S S S 0 1 2 P P P 0 2 S 2 S 3 d f 3 d f 22p 1 2 0 2 S W 3 W d f W 22q 22r Onde i Si i i Pi PS Si 1 W i M W Y 22st f 1 exp i 22uv RESULTADOS E DISCUSSÕES Na obtenção de modelos de sistemas físicos partese da hipótese de que os valores dos parâmetros são conhecidos e constantes Ver Tabela I Assim o objetivo aqui é de se avaliar nas aproximações o efeito que a variação paramétrica Coimbra et al 2022 Baia et al 2020 Dias et al 2020 Ardenghi et al 2003 Keesman Stiger 2002 tem sobre as concentrações em relação ao número de Biot Bim rendimento celular γ em torno da partícula Tabela I Lista de parâmetros admensionalizados a partir de OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 Parâmetro admensional Símbolo Valor Número de Biot Bim Obs¹ Relação entre difusividades especificas 11478 Coeficiente de conversão de substrato em produto YS P 0479 Constante de saturação do substrato S 00842 Velocidade específica máxima máx 01965 Vazão de alimentação 17391 Massa específica 10 Manutenção Celular M 0018542 Conversão celular em função do substrato Obs¹ Obs¹ Parâmetros ajustados ao modelo proposto O processo de Produção de Bioetanol em células imobilizadas envolve a metabolização do substrato pelas células em um meio de suporte seguindo de reação de formação de Produto DorantesLanda 2020 Karagoz et al 2019 Kumar et al 2019 Feita et al 2017 ElDalatony et al 2016 Farias et al 2014 Ivanova et al 2011 Para simulações desse fenômeno utilizaramse os parâmetros de OliveiraLopes Cunha 2008 Nakasaki et al 1989 Esses valores devem compor os grupos nas Eqs 3 formando assim os parâmetros adimensionais Tabela I Analise das Técnicas Para calcular os resultados obtidos pela GITT foi desenvolvido um código em linguagem Fortran Pontes et al 2019 Habibi et al 2013 Naveira et al 2009 Nesse caso foram utilizadas várias rotinas computacionais da Biblioteca IMSL A rotina IVPAG foi usada para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias dadas pelas Eqs 4ab e Eqs 4ef Como a solução de equações por meio do GITT envolve expansões em série é necessário realizar uma análise minuciosa de quantos termos esta série deve conter para atender os resultados obtidos com precisão Quaresma et al 2020 Pontes et al 2019 Mohamad et al 2016 Ivanova et al 2011 Naveira et al 2009 Neste caso a convergência foi inicialmente testada no cálculo dos potenciais de consumo de substrato Eq 4a e formação de produtos Eq 4b no meio líquido Tabela II respectivamente para variável espacial η em diferentes intervalos de tempo 518 4025 e 11227 Coimbra et al 2022 Zhao 2021 Aderson et al 2019 Guerrero Amorim 2019 Pontes et al 2019 Naveira et al 2009 Younes et al 2011 Monteiro et al 2009 Erdem Pamuk 2007 Os valores são obtidos de acordo com certos números de termos na série Os resultados foram verificados com os métodos da CEIA MOL Os dados são mostrados na Tabela II a seguir Tabela II Análise e verificação das técnicas GITT CIEA e MOL para os potenciais de consumo de substrato S τ Φ e formação de produtos P τ Φ no meio líquido entre os intervalos de tempo τ no início meio e final do fenômeno Parâmetro τ Potencial consumo de substrato no meio líquido S τ Φ GITT CIEA MOL Nt 40 Nt 80 Nt 150 Nt 180 ɛ Aprox Clássica ɛ H11 ɛ Nint 900 Bim 15 518 09361 09360 09361 09360 005 09368 002 09365 001 09366 4025 00738 00738 00738 00738 220 00407 4609 00450 4036 00755 11227 00440 00433 00432 00432 285 00372 1633 00372 1633 00445 Bim 015 518 Na 09215 Na 003 09217 000 09217 0003 09217 4025 07972 001 07947 032 07955 022 07973 11227 07953 0009 07944 012 07945 012 07954 Parâmetro τ Potencial produção de produto no meio líquido P τ Φ Nt 40 Nt 80 Nt 150 Nt 180 ɛ Aprox Clássica ɛ H11 ɛ Nint 900 Bim 15 518 00246 00246 00246 00246 108 00248 175 00244 045 00243 4025 04436 04436 04436 04436 017 04595 377 04574 330 04428 11227 04580 04583 04583 04583 013 04612 076 04612 076 04577 Bim 015 518 Na 00769 Na 092 00757 070 00761 015 00762 4025 04788 001 04785 005 04781 012 04787 11227 04802 001 04790 023 04790 023 04801 Erro relativo 100 GITT CIEA MOL MOL Ao analisar os dados da tabela II notase que as taxas de convergência para os campos do substrato no meio líquido S Φ ficaram entre 150 a 180 termos Destacase que o comportamento da convergência foi mais rápido e desse modo é considerado boa para o potencial de produção de produto no meio líquido P Φ e a ordem de truncamento dos termos nos somatórios ficou entre 40 e 80 termos Dessa forma foram gerados resultados com uma série de 150 termos A consistência dos resultados apresentados na Tabelas II é uma verificação direta do código computacional desenvolvido neste trabalho De modo similar foi realizada análise de convergência de malha para a o MOL e verificouse que com 900 intervalos Nint na malha há convergência na ordem da quarta casa decimal Ainda observando a Tabela II podese inferir que a solução obtida pela GITT quanto a formulação MOL apresentam desempenhos similares quando analisase o meio líquido Para confirmar a informação calculouse o erro relativo entre as duas técnicas e constatase que o erro relativo está entre 102 a 104 para o substrato e 102 a 103 para o produto para Bim variando entre 015 a 15 Enquanto que a CIEA em comparação com o MOL apresentou melhor desempenho no intervalo próximo a τ 518 quando o ɛ ficou entre 102 a 104 para ambos potenciais Substrato e produto Para os casos próximos aos intervalos entre τ 4025 e τ 11227 percebese que não houve boa correlação entre as técnicas para o caso de Bim elevado Neste caso as formulações apresentam as melhores concordâncias para Bim menores próximos a 005 A seguir a Tabela III mostra a análise de convergência usando GITT como metodologia de solução para os potenciais de consumo de substrato Eq 4e e formação de produtos Eq 4f na partícula de maneira análoga ao que foi realizado no meio líquido Tabela III Análise e verificação das técnicas GITT CIEA e MOL para os potenciais de consumo de substrato τ θS e formação de produtos τ θP na partícula entre os intervalos de tempo τ no início meio e final do fenômeno Parâmetro τ Potencial consumo de substrato na partícula τ θS GITT CIEA MOL Nt 40 Nt 80 Nt 150 Nt 180 ɛ Aprox Clássica ɛ H11 ɛ Nint 900 Bim 15 518 09263 09263 09263 09263 006 09344 081 09282 014 09269 4025 00053 00053 00053 00053 891 00036 2667 00042 1463 00049 11227 00071 00072 00073 00073 062 00000 9999 00000 9998 00072 Bim 015 518 Na 06304 Na 023 06404 135 06333 023 06319 4025 00016 968 00011 2575 00012 1657 00015 11227 00035 174 00000 9999 00000 9992 00034 Parâmetro τ Potencial produção de produto na partícula τ θP Nt 40 Nt 80 Nt 150 Nt 180 ɛ Aprox Clássica ɛ H11 ɛ Nint 900 Bim 15 518 00246 00246 00246 00246 108 00248 175 00244 046 00243 4025 04436 04436 04436 04436 017 04595 377 04574 330 04428 11227 04580 04583 04583 04583 013 04612 076 04612 076 04577 Bim 015 518 Na 00769 Na 092 00757 070 00761 015 00762 4025 04788 002 04785 005 04781 012 04787 11227 04802 001 04790 023 04790 023 04801 Observase na Tabela III que o erro relativo comparando a GITT com o MOL estabilizou entre 102 a 104 para o substrato e produto na partícula para os dois casos Bim 015 e Bim 15 O mesmo caso ocorre quando comparado CIEA e MOL para o potencial de produção de produto na partícula Para o caso do potencial de consumo de substrato na partícula da CIEA os valores entre os intervalos τ 4025 e τ 11227 percebese que não houve boa correlação entre as técnicas para os casos de Bim Bim 015 e Bim 15 Evidenciando que a técnica possui boa concordância próximo do intervalo de τ 518 na partícula Influência do número de Biot Bim Foram realizadas simulações e obtidas a Fig 1 e Fig 2 das quais apresentamse os resultados para o consumo de substrato formação de produto no meio líquido respectivamente para os casos de Bim 015 15 e 15 mantendose constante os demais parâmetros para o substrato e produto Os demais parâmetros são mantidos constantes como rendimento celular γ 015 e Velocidade específica máxima max 001 Figura 1 Resultados das formulações clássicas H11 GITT e MOL variando o número de Biot Bim 015 Bim 15 e Bim 15 mantendose constante os demais parâmetros adimensionais para os potenciais do substrato e produto no meio líquido Figura 2 Resultados das formulações clássicas H11 GITT e MOL variando o número de Biot Bim 015 Bim 15 e Bim 15 mantendose constante os demais parâmetros adimensionais para o potencial de crescimento celular na partícula Através da Fig 1 observase que com a variação de Bim a sensibilidade é maior para valores pequenos e menor a medida que o número de Biot aproximase de Bim 15 Coimbra et al 2022 Baia et al 2020 Anderson et al 2019 Pontes et al 2019 Cardoso et al 2014 Younes et al 2011 Naveira et al 2009 Moon et al 2001 Correa Cotta 1998 Essa informação é importante para a estimativa de parâmetros caso de estudo de trabalhos futuros Baia et al 2020 Ardenghi et al 2003 Observase ainda a relação entre as resistências que descrevem o fenômeno Eq 27 m o im es K R B D Na relação do número de Biot Km coeficiente convectivo de transferência de massa representa os efeitos convectivos cujo aumento indica diminuição na resistência no meio líquido de transferência de massa O Des difusividade específica do substrato representa os efeitos difusivos cujo aumento indica diminuição na resistência interna na partícula para transferência de massa Anderson et al 2014 Pontes et al 2019 Younes et al 2011 Naveira et al 2009 Diante do exposto é possível afirmar que com aumento de Bim os efeitos convectivos também o fazem e consequentemente a resistência externa no meio líquido diminui No mesmo raciocínio quando aumentase Bim o processo de transporte de massa para as partículas de células imobilizadas aumenta Como consequência há um maior consumo de substrato e aumento na formação de produto Em relação a Figura 2 observase que há um pequeno distanciamento entre as curvas após o intervalo de τ 40 Isso ocorre devido o modelo de crescimento celular na partícula no qual não prevê um limite máximo da população de microrganismo e a Eq 4c tem a tendência de crescimento exponencial Mahakuntha et al 2021 Karagoz et al 2019 Kumar et al 2019 Santos et al 2018 Mohamad et al 2016 Mandli Modakjim 2014 Lee et al 2011 Ainda que aumente o número da série da malha há uma convergência monotonica lenta Vale salientar que a Técnica da CEIA são convenientes para pequenas partículas e Bim próximo de 101 e uma forma de levantar o limite de validade para as aproximações seria comparálas com a solução das EDPs em todo o domínio Quaresma et al 2020 Pontes et al 2019 Naveira et al 2009 Monteiro et al 2009 Schunemann et al 2004 Keesman Stigter 2002 Mannig Ozisik 1985 o que pode ser realizado em novas pesquisas Vale a pena salientar que podese afirmar também que as soluções obtidas pelas técnicas apresentam desempenhos similares para o substrato e produto Influência do Rendimento Celular A seguir apresentase uma análise da influência do rendimento celular nos resultados para o caso de γ 00015 γ 0015 γ 015 quando Bim 15 Na fig 3 é possível observar que quando o valor do crescimento celular aumenta há aceleração da metabolização devido o aumento da concentração na partícula Baia et al 2020 Dias et al 2020 DorantesLanda et al 2020 Sehnem et al 2020 Santos et al 2018 El Dalatony et al 2016 A concentração de substrato diminui e a concentração de produto aumenta evidenciando que com o aumento do coeficiente de transporte de massa mais substrato é transferido para as partículas e consequentemente esta é metabolizada pelas células imobilizadas Figura 4 Resultados das formulações clássicas H11 MOL e GITT variando a concentração celular γ 00015 γ 0015 e γ 015 mantendose constante os demais parâmetros no meio líquido para o potencial do Substrato e produto Comparação com Dados Simulados da literatura A Fig 4 mostra uma comparação entre os resultados obtidos aplicando a CIEA GITT MOL com os resultados da literatura OliveiraLopes Cunha 2008 para o consumo de substrato e formação de produtos no meio líquido Figura 4 Gráfico obtido dos Valores simulados de Cunha e Oliveira 2008 em comparação com o método da CIEA e GITT utilizando o parâmetro estimado Bim 15 015 para o substrato e produto no meio líquido A finalidade principal da Fig 4 é de comparar o resultado da presente metodologia CIEA GITT e MOL para as concentrações de substrato e produto ao longo do tempo utilizando resultados simulados de Cunha e oliveira 2008 Sendo assim é possível observar que os resultados do presente trabalho foram comparados e possuem uma excelente concordância global com os resultados daqueles da literatura CONCLUSÃO Utilizouse o Método de Integrais Acopladas CIEA que é baseado nas integrais de Hermite para reduzir concentrar as EDPs eliminando uma coordenada espacial em um sistema de EDOs Coimbra et al 2022 Zhao 2021 Quaresma et al 2020 Costa NaveiraCotta 2019 Monteiro et al 2009 Cardoso et al 2014 Schunemann et al 2014 Chan Wang 2012 o método de aproximação clássica que se baseia na avaliação do potencial médio Zhao 2021 Schunemann et al 2014 o método das linhas MOL no qual consiste em discretizar todas as variáveis exceto um deles geralmente a variável temporal é mantida contínua obtendose assim um sistema de equações diferenciais ordinárias Coimbra et al 2022 Younes et al 2011 Erdem Pamuk 2007 e a técnica de integrais generalizadas GITT Este método tem uma forma híbrida com equações resolvidas analiticamente e numericamente Coimbra et al 2022 Cotta et al 2020 Dantas et al 2007 Guerreiro Amorim 2019 Neste artigo o modelo de produção de bioetanol utilizando células imobilizadas em alginato de cálcio no biorreator contínuo foi estudado Baia t al 2020 Dias et al 2020 DorantesLanda et al 2020 ElDalatony et al 2016 Ivanova et al 2011 comparando as técnicas da CIEA parâmetros concentrados métodos das linhas MOL e técnica de transformada integral generalizada GITT Um código computacional em linguagem de programação Fortran foi desenvolvido Nesse caso foram utilizadas várias rotinas computacionais da Biblioteca ISML A rotina IVPAG foi usada para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias Baia et al 2020 Cardoso et al 2014 Os resultados mostraram que o modelo proposto representa de maneira coerente a física do problema ou seja quanto maior o número de Biot Bim menor a resistência externa e mais substrato disponibilizase para o metabolismo celular E quanto maior a concentração celular mais rápido o consumo de substrato e consequente formação de produtos Baia et al 2020 Dias et al 2020 DorantesLanda et al 2020 Eldalatony et al 2016 Ressaltase também que a abordagem do método mostrouse satisfatória em fornecer uma solução mais rápida ou seja com menor esforço computacional Coimbra et al 2022 Baia et al 2020 Anderson et al 2019 Cardoso et al2014 Ardenghi et al 2013 Chen Wang 2012 Este artigo fornece uma nova perspectiva para o estudo de bioreatores contínuos com células imobilizadas em alginato de cálcio não existem estudos publicados onde a técnica da integral generalizada GITT e o método das linhas MOL são empregadas na produção de bioetanol Assim um novo horizonte de análise se abre pois novas representações para o potencial de formação de produtos consumo de substrato e crescimento celular podem ser formuladas considerando novos parâmetros a serem examinados Dias et al 2020 DorantesLanda et al 2020 Costa NaveiraCotta 2019 Em consequência disso o objetivo do trabalho foi alcançado de forma satisfatória uma vez que foi realizada uma análise detalhada das técnicas com relação ao fenômeno de transferência de massa em um biorreator contínuo operando com células imobilizadas E dessa forma podese aceitar que o modelo pode ser aplicado a pequenas partículas Porém ressaltase que o modelo apresentado deve ser validado com dados experimentais NOMENCLATURA PL Formação do Produto no meio líquido SL Consumo de Substrato no meio liquido X Crescimento Celular na partícula P Formação do produto na partícula S Consumo de Substrato na partícula Coeficiente de conversão de substrato em célula Coeficiente de conversão de substrato em produtos t Tempo de análise Constante de Saturação do substrato para celular Constante de Saturação do substrato para o produto r Raio da partícula DAB Coeficiente de difusividade do componente B em relação ao A A N Fluxo difusivo do componente A A C Concentração do componente A A R Taxa de reação na superfície da Partícula para o substrato U Fluxo convectivo no meio líquido es D Coeficiente de difusividade especifica para o substrato ep D Coeficiente de difusividade especifica para o produto p R Taxa de reação na superfície da partícula para o produto p m Massa da particula km Coeficiente convectivo L V Volume do meio líquido F Vazão do processo A p Área da partícula W Concentração celular adimensional Bim Número de Biot S Taxa de Reação para o substrato adimensional na superfície da partícula tref Tempo de referência adimensional P Taxa de Reação para o produto adimensional na superfície da partícula S Coeficiente de saturação de substrato adimensional M Taxa de manutenção celular adimensional m Taxa de manutenção celular H00 Integral de Hermite relação 00 H11 Integral de Hermite relação 11 H01 Integral de Hermite relação 01 1f Concentração de substrato na superfície da partícula quando r1 Iθs Taxa de reação média para o substrato na superfície da partícula 2f Concentração de produto na superfície da partícula quando r1 Iθp Taxa de reação média para o substrato na superfície da partícula W Potencial média de concentração celular IW Taxa de reação média para a concentração celular na superfície da partícula Agradecimentos REFERÊNCIAS ARDENGHI JI MACIEL MC VERDIELL AB 2003 A trustregionapproach for solving a parameter estimation problem from the biotechnology area Applied numerical mathematics 4734 281292 ANDERSON DM BENSON JD KEARSLEY AJ 2019 Numerical solution of inward solidification of a dilute ternary solution towards a semipermeable spherical cell Mathematical Biosciences 316 1 108240 BAIA RT LOBATO SLA MACÊDO EN OLIVEIRA KB BRAGA EM ESTUMANO DC 2020 Inverse problem for estimating and optimization of parameters of batch ethanol fermentation process using Bayesian techniques Brazilian journal of development 65 2649626516 CARDOSO SDA MACÊDO EN QUARESMA JN 2014 Improved lumped solutions for mass transfer analysis in membrane separation process of metals International Journal of Heat and Mass Transfer 681 599611 CHEN YZ WANG ZX 2012 Solution of multiple crack problem in a finite plate using coupled integral equations International Journal of Solids and Structures 491 8794 COIMBRA IJC SILVA LFL MOREIRA SGC ESTUMANO DC MACEDO EN 2022 Application of Hyperbolic Heat Conduction Model in Thermal Lens Spectroscopy International Journal of Heat and Mass Transfer XX XXXX XXXX CORREA EJ COTTA RM 1998 Enhanced lumpeddifferential formulations of diffusion problems Applied Mathematical Modelling 223 137152 COSTA JR JM NAVEIRACOTTA CP 2019 Estimation of kinetic coefficients in microreactors for biodiesel synthesis Bayesian inference with reduced mass transfer model Chemical Engineering Research and Design 1411 550565 COTTA RM NAVEIRACOTTA CP VAN GENUCHTEN MT SU J QUARESMA JNN 2020 Integral transform analysis of radionuclide transport in variably saturated media using a physical nonequilibrium model application to solid waste leaching at a uranium mining installation An Acad Bras Cienc 92 e20190427 DOI 1015900001 3765202020190427 DANTAS LB ORLANDE HR COTTA RM 2007 Improved lumpeddifferential formulations and hybrid solution methods for drying in porous media International journal of thermal sciences 469 878889 DIAS CS MATOS JUNIOR BC VIEGAS BM RIBEIRO NFP MACÊDO EN ESTUMANO DC 2020 Analysis of the influence of transition kernel in the estimation of parameters in model applied to the process of ethanol production by saccharomyces cerevisiae Brazilian Journal of Development 66 3402334042 DORANTESLANDA DN COCOTLERONZÓN Y MORALESCABRERA MA HERNÁNDEZMARTÍNEZ E 2020 Modeling of the xylitol production from sugarcane bagasse by immobilized cells Journal of Chemical Technology Biotechnology 957 19361945 ELDALATONY MM KURADE MB ABOUSHANAB RA KIM H SALAMA ES JEON BH 2016 Longterm production of bioethanol in repeatedbatch fermentation of microalgal biomass using immobilized Saccharomyces cerevisiae Bioresource technology 2191 98105 ERDEM A PAMUK S 2007 The method of lines for the numerical solution of a mathematical model for capillary formation The role of tumor angiogenic factor in the extracellular matrix Applied mathematics and computation 1861 891897 FARIAS D DE ANDRADE RR MAUGERIFILHO F 2014 Kinetic modeling of ethanol production by Scheffersomyces stipitis from xylose Applied biochemistry and biotechnology 1721 361379 FREITA CM FREITA LA TRALLI LF SILVA AF MENDES FQ TEIXEIRA V MUTTON MJ 2017 Bioethanol production with different dosages of the commercial Acrylamide polymer compared to a Bioextract in clarifying sugarcane juice Annals of the Brazilian Academy of Sciences 894 30933102 DOI 1015900001 3765201720170473 GUERRERO JS AMORIM NS 2019 A review of hybrid integral transform solutions in fluid flow problems with heat or mass transfer and under NavierStokes equations formulation Numerical Heat Transfer Part B Fundamentals 762 6087 HABIBI A VAHABZADEH F ZAIAT M 2013 Dynamic mathematical models for biodegradation of formaldehyde by Ralstonia eutropha in a batch bioreactor Journal of environmental management 1291 548554 HERMITE MC BORCHARDT M 1878 Sur la formule dinterpolation de Lagrange Journal für die reine und angewandte Mathematik Crelles Journal 187884 7079 IVANOVA V PETROVA P HRISTOV J 2011 Application in the ethanol fermentation of immobilized yeast cells in matrix of alginatemagnetic nanoparticles on chitosanmagnetite microparticles and cellulosecoated magnetic nanoparticles arXiv preprint arXiv 11050619 KARAGOZ P BILL RM OZKAN M 2019 Lignocellulosic ethanol production Evaluation of new approaches cell immobilization and reactor configurations Renewable energy 1431 741752 KEESMAN KJ STIGTER JD 2002 Optimal parametric sensitivity control for the estimation of kinetic parameters in bioreactors Mathematical Biosciences 1791 95 111 KUMAR R GHOSH AK PAL P 2019 Fermentative ethanol production from Madhuca indica flowers using immobilized yeast cells coupled with solar driven direct contact membrane distillation with commercial hydrophobic membranes Energy Conversion and Management 1811 593607 LEE KH CHOI IS KIM YG YANG DJ BAE HJ 2011 Enhanced production of bioethanol and ultrastructural characteristics of reused Saccharomyces cerevisiae immobilized calcium alginate beads Bioresource technology 10217 81918198 MAHAKUNTHA C REUNGSANG A NUNTA R LEKSAWASDI N 2021 Kinetics of Whole Cells and Ethanol Production from Candida tropicalis TISTR 5306 Cultivation in Batch and Fedbatch Modes Using Assorted Grade Fresh Longan Juice An Acad Bras Cienc 93 e20200220 DOI 10159000013765202120200220 MANDLI AR MODAKJM 2014 Optimal control analysis of the dynamic growth behavior of microorganisms Mathematical biosciences 2581 5767 MENNIG J ÖZIŞIK MN 1985 Coupled integral equation approach for solving melting or solidification International journal of heat and mass transfer 288 1481 1485 MOHAMAD NL KAMAL SMM MOKHTAR MN HUSAIN SA ABDULLAH N 2016 Dynamic mathematical modelling of reaction kinetics for xylitol fermentation using Candida tropicalis Biochemical Engineering Journal 1111 1017 MOON SH LEE KB PARUEKAR SJ 2001 Rigorous model for spherical cell support aggregate Biotechnology and Bioprocess Engineering 61 4250 NAKASAKI K MURAI T AKIYAMA T 1989 Dynamic modeling of immobilized cell reactor application to ethanol fermentation Biotechnology and bioengineering 3310 13171323 NAVEIRA CP LACHI M COTTA RM PADET J 2009 Hybrid formulation and solution for transient conjugated conductionexternal convection International Journal of Heat and Mass Transfer 5212 112123 OLIVEIRALOPES LC DA CUNHA MB 2008 Simulação de Biorreatores Contínuos com Células Imobilizadas para a Produção de Etanol Horizonte Científico 21 120 PONTES FA MIYAGAWA HK PONTES PC MACEDO EN QUARESMA JN 2019 Integral transform solution of micropolar magnetohydrodynamic oscillatory flow with heat and mass transfer over a plate in a porous medium subjected to chemical reactions Journal of King Saud UniversityScience 311 114126 QUARESMA JN CABRAL E SOUZA M MACEDO EN VIEGAS BM 2020 Coupled Integral Equations Approach in the Solution of Luikov Equations with Microwave Effect Journal of Heat and Mass Transfer Research 71 6375 MONTEIRO ER MACÊDO EN QUARESMA JN COTTA RM 2009 Integral transform solution for hyperbolic heat conduction in a finite slab International Communications in Heat and Mass Transfer 364 297303 SANTOS EL ROSTROALANÍS M PARRASALDÍVAR R ALVAREZ AJ 2018 A novel method for bioethanol production using immobilized yeast cells in calcium alginate films and hybrid composite pervaporation membrane Bioresource technology 2471 165173 SHNEM NT MACHADO AS MATTE CR MORAIS JR MA AYUB MAS 2020 Secondgeneration ethanol production by Wickerhamomyces anomalus strain adapted to furfural 5hydroxymethylfurfural HMF and high osmotic pressure An Acad Bras Cienc 92 e20181030 DOI 1015900001 3765202020181030 SCHÜNEMANN K SEREBRYANNIKO AE VASYLCHENKO OE 2004 Analysis of nonperiodic azimuthally corrugated structures by coupledintegral equations technique AEUInternational Journal of Electronics and Communications 582 7985 YOUNES A KONZ M FAHS M ZIDANE A HUGGENBERGER P 2011 Modelling variable density flow problems in heterogeneous porous media using the method of lines and advanced spatial discretization methods Mathematics and Computers in Simulation 8110 23462355 ZHAO Z 2021 A Hermite extension method for numerical differentiation Applied Numerical Mathematics 1591 4660