Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley - Stephen D Umans

Stephen D Umans MÁQUINAS ELÉTRICAS de Fitzgerald e Kingsley 7ª Edição McGraw Hill Education Bookman Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB102052 U48m Umans Stephen D Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley recurso eletrônico Stephen D Umans tradução Anatólio Laschuk 7 ed Dados eletrônicos Porto Alegre AMGH 2014 Editado também como livro impresso em 2014 ISBN 9788580553741 1 Engenharia elétrica 2 Máquinas elétricas I Título CDU 621313 O autor Stephen D Umans é graduado em engenharia elétrica pelo Massachusetts Institute of Technology MIT Hoje atua como consultor independente Já desempenhou a posição de en genheiro chefe de pesquisa no Laboratório de Sistemas Eletromecânicos do MIT e conferencista do Departamento de Engenharia Elétrica e Ciência da Computação do MIT É membro da Na tional Academy of Engineering dos Estados Unidos e Fellow do IEEE Recebeu do prêmio Cyril Veinott Electromechanical Energy Conversion Award da Power Engineering Society do IEEE Tradução Anatólio Laschuk Mestre em Ciência da Computação pela UFRGS Professor aposentado do Departamento de Engenharia Elétrica da UFRGS 2014 Versão impressa desta obra 2014 Consultor Independente ExEngenheiro Chefe de Pesquisa e Conferencista do Departamento de Engenharia Elétrica e Ciência da Computação e do Laboratório de Sistemas Eletromecânicos do Massachusetts Institute of Technology MIT Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à AMGH EDITORA LTDA uma parceria entre GRUPO A EDUCAÇÃO SA e McGRAWHILL EDUCATION Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Obra originalmente publicada sob o título Fitzgerald Kingsleys Electric Machinery 7th Edition ISBN 0073380466 9780073380469 Original edition copyright2014 The McGrawHill Global Education Holdings LLC New York New York 10121All rights reserved Portuguese language translation copyright 2014 AMGH Editora Ltda a Grupo A Educação SA company All rights reserved Gerente editorial Arysinha Jacques Affonso Colaboraram nesta edição Editora Verônica de Abreu Amaral Capa Maurício Pamplona Foto da capa WodeweituThinkstock Leitura final Bianca Basile Parracho Editoração Techbooks Esta edição de Máquinas Elétricas é dedicada ao Professor Gerald Wilson meu professor mentor e amigo querido Esta página foi deixada em branco intencionalmente Prefácio D esde que os professores Fitzgerald e Kingsley publicaram a primeira edi ção em 1952 Máquinas elétricas tem sempre enfatizado o desenvolvimento de uma visão física das características das máquinas elétricas e a facilidade das técnicas analíticas usadas para descrever seu desempenho Muito mudou desde a publicação da primeira edição o desenvolvimento de aços elétricos de menor perda ímãs permanentes de terras raras melhorias nas técnicas de fabricação e o surgimento dos sistemas de acionamento e do controle por eletrônica de potência O resultado final é que as máquinas elétricas modernas alcançam maior eficiência e são encontra das em um número sempre crescente de aplicações Entretanto os princípios básicos que regem o desempenho das máquinas elétri cas permanecem A reputação de longa data de Máquinas elétricas deriva em grande parte da ênfase nesses princípios fundamentais O desafio de cada nova edição está em modernizar adequadamente o tratamento enquanto esse foco básico é mantido Nas edições anteriores a modernização incluiu uma introdução aos ímãs permanen tes de terras raras a inclusão de máquinas CA com ímãs permanentes máquinas de relutância variável e motores de passo além de uma discussão dos algoritmos de controle de campo orientado Um acréscimo significativo à sexta edição foi a introdução do MATLAB para ser utilizado nos exemplos e nos problemas práticos assim como nos problemas de final de capítulo O MATLAB1 é muito usado em diversas universidades e encontra se disponível em uma versão para estudante2 Embora o leitor de Máquinas elétricas deva conhecer pouquíssimo de matemática sofisticada os cálculos podem se tornar um tanto volumosos e tediosos Isso é especialmente verdadeiro na análise de máqui nas CA nas quais há uma quantidade significativa de álgebra envolvendo números complexos Ferramentas analíticas como MATLAB podem aliviar o estudante de executar longos cálculos que em si não agregam ao entendimento Considere que na época da primeira edição deste livro a régua de cálculo era o principal instrumento de cálculo disponível para os estudantes Utilizando apenas uma régua de cálculo a obtenção do desempenho de um motor de indução em um único ponto de carga envolvia a resolução de diversas equações com argumentos complexos e tratavase de uma tarefa considerável que podia consumir muito tempo com muitas oportunidades para se cometer erros de cálculo Avancemos rapidamente até 2013 Um script programa de MATLAB para resolver o mesmo problema pode ser escrito e posto a funcionar com facilidade em 1 MATLAB e Simulink são marcas registradas da The MathWorks Inc 3 Apple Hill Drive Natick MA 01760 httpwwwmathworkscom 2 A versão de estudante do MATLAB é publicada e distribuída pela The MathWorks Inc httpwww mathworkscom viii Prefácio poucos minutos com a solução obtida logo em seguida de forma praticamente instan tânea Com uma pequena modificação o mesmo script pode ser usado para calcular plotar e pesquisar o desempenho do motor em sua faixa inteira de operação Também é possível estudar os efeitos das variações de parâmetros etc uma tarefa que se fosse feita com uma régua de cálculo ou mesmo uma calculadora exigiria o cálculo repetido para muitos pontos de funcionamento e o tempo consumido em cada ponto seria o mesmo do primeiro ponto Devese enfatizar que embora o MATLAB tenha sido escolhido para Máquinas elétricas programas alternativos de análise numérica equivalentes dos quais há mui tos podem ser usados com igual eficiência O pontochave é que o uso desses progra mas reduz muito o esforço computacional do estudante e assim aumenta significativa mente a sua capacidade de focar os princípios que estão sendo considerados Observe que mesmo nos casos em que não é diretamente sugerido a maio ria dos problemas de fim de capítulo do livro pode ser trabalhada com MATLAB ou um programa equivalente Dessa forma devese encorajar os estudantes que sa bem utilizar essas ferramentas a fazêlo poupandoos da necessidade de lidar com cálculos aritméticos volumosos à mão Quando estiverem resolvendo os problemas de casa devese continuar exigindo que os estudantes mostrem no papel como eles formularam a solução porque a chave do entendimento do material é a formulação da solução Em geral entretanto depois que um problema tiver sido formulado ade quadamente há pouca coisa mais que se pode aprender manuseando os números O valor de se trabalhar com os exemplos e os problemas de final de capítulo deriva principalmente do processo de formulação da solução e da análise dos resultados Além disso quando a revisão para a sexta edição estava sendo realizada os tópicos relacionados com conversão de energia voltaram a ser introduzidos nos cur rículos de diversos cursos de engenharia O retorno dado por professores envolvidos nesses cursos levou à inclusão de um capítulo que cobria os princípios básicos da eletrônica de potência com ênfase na sua aplicação às máquinas elétricas Natural mente esse capítulo não pretendia ser um substituto para uma disciplina completa sobre eletrônica de potência Hoje tais disciplinas existem em muitos cursos de engenharia Professores que revisaram com antecedência esta sétima edição indi caram que não havia mais necessidade de um capítulo sobre eletrônica de potência Como resultado o capítulo foi removido da sétima edição e transferido para o site da sétima edição Quando se fez a revisão para esta edição não houve questionamento sobre alte rar ou não o foco voltado aos princípios físicos que estão por trás do funcionamento das máquinas elétricas Esse foco tem sido o ponto forte de Máquinas elétricas desde a primeira edição Além disso um levantamento feito entre os professores que ado taram a sexta edição mostrou que com exceção da eliminação do capítulo sobre ele trônica de potência não havia necessidade de alterar os assuntos cobertos Por outro lado a eliminação do capítulo sobre eletrônica de potência resultou em espaço livre para expansão Portanto os destaques da revisão atual são A apresentação de todo o material do livro foi cuidadosamente revisada eou ampliada quando necessário para facilitar a compreensão Um exemplo disso é o tratamento ampliado das máquinas CA com ímãs permanentes do Capítulo 5 Prefácio ix Do mesmo modo a apresentação das máquinas CC do Capitulo 7 foi reorgani zada para aumentar a clareza 15 novos exemplos foram acrescentados a esta edição aumentando o número total de exemplos para 111 e ainda alguns exemplos da edição anterior foram revisados Do total de 371 problemas de fim de capítulo 96 são novos Quase todos os de mais problemas ainda que da mesma forma da edição anterior foram alterados tanto em conteúdo quanto numericamente Assim as soluções anteriores não são mais válidas Na sétima edição o uso de MATLAB foi ampliado consideravelmente em exemplos em problemas práticos e em problemas de final de capítulo Novo nesta edição é uma lista de variáveis com suas definições incluídas no final de cada capítulo A sétima edição apresenta alguns exemplos simples de dinâmica de máquinas elétricas incluindo alguns exemplos e problemas em MATLABSimulink A maioria das fotografias da edição anterior foi atualizada Como aconteceu com as edições anteriores é muito provável que simplesmente haja material demais nesta edição de Máquinas elétricas para uma única disciplina introdutória O livro foi organizado de modo que os professores possam selecionar e separar o material adequado aos tópicos que desejarem cobrir Os dois primeiros capítulos introduzem os conceitos básicos de circuitos magnéticos materiais magné ticos e transformadores O terceiro capítulo introduz os conceitos básicos de conver são eletromecânica de energia A seguir o quarto capítulo dá uma visão geral e uma introdução aos vários tipos de máquinas Para uma disciplina introdutória alguns professores podem optar por omitir a maioria ou todo o material do Capítulo 3 Isso pode ser feito sem um impacto significativo na compreensão da maior parte do con teúdo do restante do livro Os cinco capítulos seguintes discutem com profundidade os vários tipos de má quinas máquinas síncronas no Capítulo 5 máquinas de indução no Capítulo 6 má quinas CC no Capítulo 7 máquinas de relutância variável no Capítulo 8 e máquinas monobifásicas no Capítulo 9 Como os capítulos são relativamente independentes com exceção do material do Capítulo 9 baseado na discussão do Capítulo 6 sobre motores de indução polifásicos a ordem desses capítulos pode ser alterada eou o professor pode optar por enfatizar um ou dois tipos de máquinas sem cobrir o con teúdo dos cinco capítulos Por fim os professores podem selecionar tópicos isolados do material sobre controle dado no Capítulo 10 em vez de incluílo por completo O conteúdo sobre controle de velocidade é basicamente uma ampliação imediata do encontrado nos ca pítulos anteriores sobre os tipos individuais de máquinas O conteúdo sobre controle por orientação de campo exige uma compreensão um pouco mais sofisticada e é de senvolvido a partir da transformação dq0 encontrada no Apêndice C Certamente é razoável omitir em uma disciplina introdutória e postergála para uma disciplina mais avançada em que haja tempo suficiente para desenvolvêla x Prefácio Eu gostaria de agradecer especificamente ao Prof Charles Brice da University of South Carolina e ao Prof Gerald Brown da Cedarville University que cuidadosa mente revisaram várias seções do rascunho e localizaram diversos erros numéricos e de digitação Também gostaria de agradecer aos muitos outros revisores que fornece ram retorno durante o processo de planejamento desta edição Mukhtar Ahmad Aligarh Muslim University Said AhmedZaid Boise State University Steven Barrett University of Wyoming Tapas Kumar Bhattacharya Indian Institute of Technology Kharagpur Kalpana Chaudhary Indian Institute of Technology Banaras Hindu UniversityVaranasi Nagamani Chilakapati National Institute of Technology Tiruchirapalli S Arul Daniel National Institute of Technology Tiruchirapalli Jora M Gonda National Institute of Technology Surathkal N Ammasai Gounden National Institute of Technology Tiruchirapalli Alan Harris University of North Florida RK Jarial National Institute of Technology Hamirpur Urmila Kar National Institute ofTechnicalTeachersTraining and ResearchKolkata M Rizwan Khan Aligarh Muslim University Jonathan Kimball Missouri University of Science and Technology Dave Krispinsky Rochester Institute of Technology Prabhat Kumar Aligarh Muslim University Praveen Kumar Indian Institute of Technology Guwahati N Kumaresan National Institute of Technology Tiruchirapalli Eng Gee Lim Xian JiaotongLiverpool University Timothy Little Dalhousie University S N Mahendra Indian Institute of Technology Banaras Hindu University Varanasi Yongkui Man Northeastern University China David McDonald Lake Superior State University Shafique S Mirza New Jersey Institute of Technology Medhat M Morcos Kansas State University G Narayanan Indian Institute of Science Bangalore Adel Nasiri University of WisconsinMilwaukee Sudarshan R Nelatury Penn State Sanjoy K Parida Indian Institute of Technology Patna Amit N Patel Nirma University Peter W Sauer University of Illinois at UrbanaChampaign Hesham Shaalan US Merchant Marine Academy Karma Sonam Sherpa SikkimManipal Institute of Technology Ajay Srivastava GB Pant University of Agriculture Technology Murry Stocking Ferris State University A Subramanian VRS College of Engineering and Technology Wayne Weaver Michigan Technological University Jin Zhong University of Hong Kong Prefácio xi Visite o site wwwgrupoacombr e procure pelo livro no campo de busca O capítulo sobre Eletrônica de Potência em inglês da sexta edição está disponível no site Para professores no link Área do Professor da página do livro há uma versão do manual de soluções apresentações em PowerPoint das figuras do livro e resumos em PowerPoint das aulas em inglês Cópias dos arquivos MATLAB e Simulink dos diversos exemplos usados no livro estão disponíveis para estudantes e professores Minha mãe Nettie Umans com quem eu gostaria muito de ter compartilhado a sétima edição faleceu enquanto a revisão estava sendo feita Ela faz muitíssima falta e teria ficado muito emocionada ao ver este livro Stephen D Umans Belmont MA Sumário resumido 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 1 2 Transformadores 63 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 122 4 Introdução às máquinas rotativas 190 5 Máquinas síncronas 262 6 Máquinas polifásicas de indução 344 7 Máquinas CC 403 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 460 9 Motores mono e bifásicos 510 10 Controle de velocidade e conjugado 553 Apêndice A Circuitos trifásicos 635 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 651 Apêndice C A transformação dq0 664 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de máquinas elétricas 676 Apêndice E Tabela de constantes e fatores de conversão para unidades SI 688 Índice 689 Sumário Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 1 11 Introdução aos circuitos magnéticos 2 12 Fluxo concatenado indutância e energia 11 13 Propriedades dos materiais magnéticos 19 14 Excitação CA 22 15 Ímãs permanentes 29 16 Aplicações de ímãs permanentes 34 17 Resumo 45 18 Variáveis do Capítulo 1 46 19 Problemas 47 Capítulo 2 Transformadores 63 21 Introdução aos transformadores 63 22 Condições sem carga a vazio 65 23 Efeito da corrente do secundário transformador ideal 70 24 Reatâncias no transformador e circuitos equivalentes 74 25 Aspectos de engenharia da análise de transformadores 78 26 Autotransformadorestransformadores de múltiplos enrolamentos 87 27 Transformadores em circuitos trifásicos 91 28 Transformadores de tensão e corrente 96 29 O sistema por unidade 101 210 Resumo 109 211 Variáveis do Capítulo 2 110 212 Problemas 112 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 122 31 Forças e conjugados em sistemas de campo magnético 123 32 Balanço energético e o método da energia 126 33 Energia em sistemas de campo magnético de excitação única 129 34 Determinação da força e do conjugado magnéticos a partir da energia 133 35 Determinação da força e do conjugado magnéticos a partir da coenergia 139 36 Sistemas de campo magnético multiexcitado 146 37 Forças e conjugados em sistemas com ímãs permanentes 152 38 Equações dinâmicas 161 39 Técnicas analíticas 165 310 Resumo 171 311 Variáveis do Capítulo 3 172 312 Problemas 173 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 190 41 Conceitos elementares 190 42 Introdução às máquinas CA e CC 193 43 FMM de enrolamentos distribuídos 202 44 Campos magnéticos em máquinas rotativas 212 45 Ondas girantes de FMM em máquinas CA 216 46 Tensão gerada 223 xiv Sumário 47 Conjugado em máquinas de polos não salientes 229 48 Máquinas lineares 241 49 Saturação magnética 244 410 Fluxos dispersivos 247 411 Resumo 249 412 Variáveis do Capítulo 4 251 413 Problemas 252 Capítulo 5 Máquinas síncronas 262 51 Introdução às máquinas síncronas polifásicas 262 52 Indutâncias das máquinas síncronas circuitos equivalentes 265 53 Características a vazio e de curto circuito 274 54 Características de ângulo de carga em regime permanente 284 55 Características de operação em regime permanente 293 56 Efeitos dos polos salientes introdução à teoria dos eixos direto e em quadratura 306 57 Características de ângulo de carga das máquinas de polos salientes 312 58 Motores CA de ímã permanente 319 59 Resumo 330 510 Variáveis do Capítulo 5 331 511 Problemas 332 Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 344 61 Introdução às máquinas de indução polifásica 344 62 Correntes e fluxos em máquinas de indução polifásicas 348 63 Circuito equivalente do motor de indução 351 64 Análise do circuito equivalente 355 65 Conjugado e potência usando o teorema de Thévenin 360 66 Determinação de parâmetros a partir de ensaios a vazio e com rotor bloqueado 369 67 Efeitos da resistência do rotor rotores bobinados e de dupla gaiola de esquilo 380 68 Resumo 389 69 Variáveis do Capítulo 6 390 610 Problemas 390 Capítulo 7 Máquinas CC 403 71 Introdução 403 72 Ação do comutador 411 73 Fundamentos analíticos aspectos do circuito elétrico 413 74 Efeito da FMM da armadura 417 75 Fundamentos analíticos aspectos do circuito magnético 420 76 Análise de desempenho em estado permanente 428 77 Máquinas CC de ímã permanente 436 78 Comutação e interpolos 442 79 Enrolamentos de compensação 444 710 Motores série universais 446 711 Resumo 447 712 Variáveis do Capítulo 7 449 713 Problemas 450 Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 460 81 Fundamentos da análise MRV 460 82 Configurações MRV práticas 468 83 Formas de onda na produção de conjugado 474 84 Análise não linear 487 85 Motores de passo 494 86 Resumo 503 87 Variáveis do Capítulo 8 505 88 Problemas 505 Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 510 91 Motores de indução monofásicos um exame qualitativo 510 92 Desempenhos de partida e de funcionamento dos motores monofásicos de indução e síncronos 513 93 Teoria do campo girante de motores de indução monofásicos 521 94 Motores de indução bifásicos 528 95 Resumo 546 96 Variáveis do Capítulo 9 547 97 Problemas 548 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 553 101 Controle de motores CC 554 102 Controle de motores síncronos 572 103 Controle de motores de indução 597 104 Controle de motores de relaçã Esta página foi deixada em branco intencionalmente C AP Í TU LO 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos O objetivo deste livro é o estudo dos dispositivos usados na interconversão de energias elétrica e mecânica É dada ênfase às máquinas rotativas eletromag néticas pois é através delas que ocorre a maior parte dessa conversão No entanto as técnicas desenvolvidas aplicamse genericamente a uma larga faixa de outros dispositivos como máquinas lineares atuadores e sensores Mesmo não sendo um dispositivo de conversão eletromecânica de energia o transformador é um importante componente do processo global de conversão ener gética e será discutido no Capítulo 2 Como com a maioria dos dispositivos de con versão eletromecânica de energia discutidos neste livro os enrolamentos com aco plamento magnético estão na natureza do funcionamento do transformador Por essa razão as técnicas desenvolvidas para sua análise formam a base da discussão que se segue sobre máquinas elétricas Praticamente todos os transformadores e máquinas elétricas usam material fer romagnético para direcionar e dar forma a campos magnéticos os quais atuam como meio de transferência e conversão de energia Materiais magnéticos permanentes ou ímãs também são muito usados Sem esses materiais não seriam possíveis as implementações práticas da maioria dos dispositivos eletromecânicos familiares de conversão de energia A capacidade de analisar e descrever sistemas que contenham esses materiais é essencial ao projeto e entendimento desses dispositivos Este capítulo desenvolverá algumas ferramentas básicas para a análise de siste mas que usam campos magnéticos Dará também uma breve introdução às proprie dades dos materiais magnéticos usados na prática No Capítulo 2 esses resultados serão aplicados à análise de transformadores e nos capítulos seguintes serão usados na análise de máquinas rotativas Neste livro supõese que o leitor tenha um conhecimento básico da teoria de campos magnéticos e elétricos tal como é dada em disciplinas básicas de física para estudantes de engenharia É possível que alguns leitores já tenham cursado uma dis ciplina sobre a teoria do campo eletromagnético com base nas equações de Maxwell Entretanto uma compreensão profunda das equações de Maxwell não é um pré requisito para o estudo deste livro As técnicas de análise de circuitos magnéticos representam aproximações algébricas das soluções exatas da teoria de campo São 2 Máquinas elétricas muito utilizadas no estudo dos dispositivos eletromecânicos de conversão de energia e formam a base da maioria das análises apresentadas aqui 11 Introdução aos circuitos magnéticos Em engenharia a solução detalhada dos campos magnéticos da maioria das apli cações de interesse prático envolve a solução das equações de Maxwell juntamen te com várias relações constitutivas que descrevem as propriedades dos materiais Embora na prática muitas vezes as soluções exatas não sejam alcançáveis diversas suposições simplificadoras permitem obter soluções úteis em engenharia1 Começamos supondo que para os sistemas considerados neste livro as fre quências e os tamanhos envolvidos são tais que o termo da corrente de deslocamento das equações de Maxwell pode ser desconsiderado Esse termo associado à radiação eletromagnética é responsável pelos campos magnéticos que ocorrem no espaço e são produzidos por campos elétricos variáveis no tempo Desprezando esse termo obtémse a forma magnética quase estática das equações de Maxwell relacionando os campos magnéticos às correntes que os produzem 11 12 A Eq 11 muitas vezes referida como Lei de Ampère afirma que a integral de linha da componente tangencial da intensidade de campo magnético H ao longo de um contorno fechado C é igual à corrente total que passa através de qualquer superfície S delimitada por esse contorno Na Eq 11 vemos que a origem de H é a densidade de corrente J A Eq 12 frequentemente referida como Lei de Gauss dos campos mag néticos afirma que a densidade de fluxo magnético B é conservada ou seja em uma superfície fechada não há entrada nem saída líquida de fluxo isso equivale a afirmar que cargas magnéticas monopolares de campos magnéticos não existem Dessas equa ções vemos que as grandezas de um campo magnético podem ser determinadas usando apenas os valores instantâneos das correntes que lhe dão origem e que as variações no tempo dos campos magnéticos resultam diretamente das variações no tempo das fontes Uma segunda suposição simplificadora envolve o conceito de circuito magnéti co A solução genérica da intensidade de campo magnético H e da densidade de fluxo magnético B em uma estrutura de geometria complexa é muito difícil No entanto em muitas aplicações práticas incluindo a análise de muitos tipos de máquinas elé tricas um problema de campo tridimensional pode em geral ser reduzido ao que é essencialmente um circuito equivalente unidimensional dando soluções de exatidão aceitável em engenharia 1 As soluções numéricas baseadas em computador e no método dos elementos finitos fundamentam uma série de programas comerciais e tornaramse ferramentas indispensáveis de análise e projeto Geralmente essas técnicas são melhor utilizadas para refinar as análises iniciais baseadas em métodos analíticos tais como as encontradas neste livro Como seu uso pouco contribui para uma compreensão dos princípios fundamentais e do desempenho básico das máquinas elétricas elas não serão discutidas neste livro Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 3 Um circuito magnético consiste em uma estrutura que em sua maior parte é composta por material magnético de permeabilidade elevada2 A presença de um mate rial de alta permeabilidade tende a confinar o fluxo magnético aos caminhos delimita dos pela estrutura do mesmo modo que em um circuito elétrico as correntes são con finadas aos condutores O uso desse conceito de circuito magnético será ilustrado nesta seção e ao longo do livro veremos como ele se aplica muito bem a diversas situações3 Um exemplo simples de um circuito magnético está mostrado na Fig 11 Assu mese que o núcleo é composto de material magnético cuja permeabilidade magnéti ca μ é muito maior que a do ar μ μ0 em que μ0 4π 107 Hm é a permeabi lidade no vácuo O núcleo tem seção reta uniforme e é excitado por um enrolamento de N espiras conduzindo uma corrente de i ampères Esse enrolamento produz um campo magnético no núcleo como mostra na figura Devido à alta permeabilidade do núcleo magnético uma solução exata mos traria que o fluxo magnético está confinado quase inteiramente ao núcleo Mostraria também que as linhas de campo seguem o caminho definido pelo núcleo e que basi camente a densidade de fluxo é uniforme em uma seção reta qualquer porque a área desta é uniforme O campo magnético pode ser visualizado em termos de linhas de fluxo formando laços fechados interligados com o enrolamento No caso do circuito magnético da Fig 11 a fonte do campo magnético do núcleo é o produto N i em ampèresespiras Ae Na terminologia dos circuitos mag néticos N i é a força magnetomotriz FMM F que atua no circuito magnético Em bora a Fig 11 mostre apenas uma única bobina os transformadores e a maioria das máquinas rotativas têm no mínimo dois enrolamentos e N i deve ser substituído pela soma algébrica dos ampèresespiras de todos os enrolamentos O fluxo magnético líquido φ que atravessa uma superfície S é a integral de su perfície da componente normal de B assim 13 2 Em sua forma mais simples a permeabilidade magnética pode ser entendida como uma razão entre a densidade de fluxo magnético B e a intensidade de campo magnético H 3 Para um tratamento mais amplo dos circuitos magnéticos veja AEFitzgerald DE Higgenbotham e A Grabel Basic Electrical Engineering 5ª ed McGrawHill 1981 Capítulo 13 também EE Staff MIT Magnetic Circuits and Transformers MIT Press Capítulos 1 a 3 Enrolamento N espiras Linhas de fluxo magnético Comprimento médio do núcleo lc Área da seção reta Ac i Permeabilidade do núcleo magnético μ λ Figura 11 Circuito magnético simples λ é o fluxo concatenado do enrolamento como defini do na Seção 12 4 Máquinas elétricas Em unidades SI a unidade de φ é o weber Wb A Eq 12 afirma que o fluxo magnético líquido que entra ou sai de uma superfí cie fechada igual à integral de superfície de B sobre a superfície fechada é zero Isso equivale a dizer que todo fluxo que entrar em uma superfície que delimita um volume deverá deixar esse volume passando por uma outra região dessa superfície porque as linhas de fluxo magnético formam laços fechados Como um pouco de fluxo esca pa pelos lados do circuito magnético da Fig 11 esse resultado mostra que o fluxo líquido é o mesmo através de qualquer seção reta do núcleo Em um circuito magnético desse tipo é comum assumir que a densidade de flu xo magnético e consequentemente a intensidade de campo magnético é uniforme em qualquer seção reta ao longo do núcleo Nesse caso a Eq 13 reduzse simples mente à equação escalar φc Bc Ac 14 em que φc fluxo no núcleo Bc densidade do fluxo do núcleo Ac Área da seção reta do núcleo Da Eq 11 a relação entre a FMM que atua em um circuito magnético e a inten sidade de campo magnético naquele circuito é4 15 As dimensões do núcleo são tais que o comprimento do caminho de qualquer linha de fluxo é aproximadamente igual ao comprimento médio do núcleo lc Como resultado a integral de linha da Eq 15 tornase simplesmente o produto escalar Hclc do módulo de H vezes o comprimento médio lc do caminho de fluxo Assim a relação entre a FMM e a intensidade de campo magnético pode ser escrita na terminologia dos circuitos magnéticos como F Ni Hc lc 16 em que Hc é o módulo médio de H no núcleo O sentido de Hc no núcleo pode ser encontrado a partir da regra da mão direita que pode ser enunciada de dois modos equivalentes 1 Imagine uma cor rente sendo transportada em um condutor segurado pela mão direita com o polegar apontando no sentido da corrente Então os demais dedos apontarão no sentido do campo magnético criado por essa corrente 2 De forma equivalente se a bobina da Fig 11 for segurada na mão direita figurativamente falando com os dedos apontando no sentido da corrente então o polegar apontará no sentido do campo magnético N de T O índice c referese a núcleo core em inglês 4 Em geral a queda de FMM em um determinado segmento de um circuito magnético pode ser calculada como sendo aplicada a esse trecho do circuito magnético Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 5 A relação entre a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético B é uma propriedade do material em que se encontra o campo magnético Costumase supor uma relação linear Assim temos B μH 17 em que μ é conhecida como permeabilidade magnética do material Em unidades do SI H é medida em ampères por metro B em webers por metro quadrado ou como também é conhecida em teslas T e μ em webers por ampèreespirametro ou de forma equivalente em henrys por metro Em unidades do SI a permeabilidade do vácuo é μ0 4π 107 henrys por metro A permeabilidade dos materiais magnéti cos lineares pode ser expressa em termos de sua permeabilidade relativa μr ou seja seu valor relativo ao do vácuo ou μ μrμ0 Valores típicos de μr variam de 2000 a 80000 para os materiais usados em transformadores e máquinas rotativas As ca racterísticas dos materiais ferromagnéticos estão descritas nas Seções 13 e 14 Por enquanto vamos assumir que μr seja uma constante conhecida embora na realidade varie significamente em função do valor da densidade de fluxo magnético Os transformadores são enrolados em núcleos fechados como o da Fig 11 No entanto os dispositivos de conversão de energia que contêm um elemento móvel de vem incluir entreferros de ar em seus circuitos magnéticos Um circuito magnético com um entreferro de ar está mostrado na Fig 12 Quando o comprimento do entre ferro g for muito menor do que as dimensões das faces adjacentes do núcleo o fluxo magnético φc seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo entreferro Nesse caso as técnicas de análise de circuitos magnéticos poderão ser usadas Quando o compri mento do entreferro tornase excessivamente grande observase que o fluxo escapa ou dispersase pelos lados do entreferro e as técnicas de análise de circuitos mag néticos não são mais rigorosamente aplicáveis Assim desde que o comprimento do entreferro g seja suficientemente pequeno a configuração da Fig 12 pode ser analisada como um circuito magnético com dois componentes em série ambos conduzindo o mesmo fluxo φ um núcleo magnético de permeabilidade μ área de seção reta Ac e comprimento médio lc e um entreferro de permeabilidade μ0 área de seção reta Ag e comprimento g No núcleo 18 N de T O índice g referese a entreferro gap em inglês Permeabilidade do núcleo magnético μ Área Ac Entreferro permeabilidade μ0 Área Ag Comprimento do entreferro g Enrolamento N espiras λ Linhas de fluxo magnético i Caminho médio do núcleo lc Figura 12 Circuito magnético com entreferro de ar 6 Máquinas elétricas e no entreferro 19 A aplicação da Eq 15 a esse circuito magnético produz F Hc lc Hgg 110 e usando a relação linear BH da Eq 17 obtémse 111 Aqui a F N i é a FMM aplicada ao circuito magnético Da Eq 110 vemos que uma parte da FMM Fc Hc lc é necessária para produzir campo magnético no núcleo ao passo que o restante Fg Hgg produz campo magnético no entreferro Com os materiais magnéticos usados na prática como foi discutido nas Seções 13 e 14 Bc e Hc nem sempre se relacionam entre si de maneira simples através de uma permeabilidade constante conhecida μ como descrito pela Eq 17 De fato Bc é muitas vezes uma função não linear plurívoca de Hc Assim embora a Eq 110 continue sendo verdadeira ela não conduz diretamente a uma expressão simples que relacione a FMM com as densidades de fluxo como na Eq 111 Em vez disso devem ser usados gráfica ou analiticamente os detalhes específicos da relação não linear BcHc No entanto em muitos casos o conceito de permeabilidade constante aplicada a um material dá resul tados de exatidão aceitável em engenharia sendo usado com frequência Das Eqs 18 e 19 a Eq 111 pode ser reescrita em termos do fluxo φc como 112 Os termos que multiplicam o fluxo nessa equação são conhecidos como relu tâncias R do núcleo e do entreferro respectivamente 113 114 e assim F φ Rc Rg 115 Finalmente podese isolar o fluxo na Eq 115 obtendose 116 ou 117 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 7 Em geral para qualquer circuito magnético de relutância total Rtot o fluxo pode ser encontrado como 118 O termo que multiplica a FMM é conhecido como permeância P e é o inverso da relutância Assim por exemplo a permeância total de um circuito magnético é 119 Observe que as Eqs 115 e 116 são análogas às relações entre corrente e tensão em um circuito elétrico Essa analogia está ilustrada na Fig 13 A Fig 13a mostra um circuito elétrico em que uma tensão V impulsiona uma corrente I através dos resistores R1 e R2 A Fig 13b mostra a representação esquemática equivalente do cir cuito magnético da Fig 12 Vemos aqui que a FMM F análoga à tensão no circuito elétrico impulsiona um fluxo φ análogo à corrente no circuito elétrico através da combinação das relutâncias do núcleo Rc e do entreferro Rg Frequentemente essa analogia entre as soluções de circuitos magnéticos e elétricos pode ser explorada para se obter as soluções dos fluxos em circuitos magnéticos de grande complexidade A fração de FMM necessária para impulsionar o fluxo através de cada parte do circuito magnético em geral referida como queda de FMM naquela parte do circuito magnético varia proporcionalmente à sua relutância em analogia direta com a queda de tensão em um elemento resistivo de um circuito elétrico Considere o circuito magnético da Fig 12 Da Eq 113 vemos que uma alta permeabilidade no material pode resultar em uma baixa relutância de núcleo Esta pode ser tornada muito inferior à do entreferro para μAc lc μ0Ag g Rc Rg e assim Rtot Rg Nesse caso a relutância do núcleo pode ser desprezada e o fluxo pode ser obtido da Eq 116 em termos de apenas F e das propriedades do entreferro 120 V F I V R1 R2 R2 a φ F Rc Rg Rc Rg b φ R1 I Figura 13 Analogia entre circuitos elétrico e magnético a Circuito elétrico b circuito magnético 8 Máquinas elétricas Como será visto na Seção 13 na prática os materiais magnéticos têm permea bilidades que não são constantes mas que variam de acordo com o nível do fluxo Das Eqs 113 a 116 vemos que enquanto essa permeabilidade permanecer suficien temente elevada a sua variação não afetará de forma significativa o desempenho do circuito magnético Nos sistemas reais as linhas de campo magnético espraiamse um pouco para fora quando cruzam o entreferro como ilustrado na Fig 14 Se esse efeito de espraiamento não for excessivo o conceito de circuito magnético continuará aplicável O efeito desses campos de espraiamento é aumentar a área efetiva Ag da seção reta do entreferro Diversos métodos empíricos foram desenvolvidos para levar em conta esse efeito Em entreferros delgados uma correção para esses cam pos de espraiamento pode ser feita acrescentandose o comprimento do entreferro a cada uma de suas duas dimensões alterando assim a área de sua seção reta Nes te livro o efeito dos campos de espraiamento é em geral ignorado e nesse caso então Ag Ac Normalmente os circuitos magnéticos podem consistir em múltiplos elementos em série e em paralelo Para completar a analogia entre circuitos elétricos e magnéti cos podemos generalizar a Eq 15 para 121 em que F é a FMM total de ampèresespiras que atua para impulsionar o fluxo em um laço fechado de um circuito magnético e Fk Hklk é a queda de FMM no késimo elemento daquele laço Isso está em analogia direta com a lei das tensões de Kirchhoff aplicada a circuitos elétricos constituídos por fontes de tensão e resistores 122 em que V é a fonte de tensão que impulsiona a corrente em uma malha e Rk ik é a que da de tensão no késimo elemento resistivo daquele laço Entreferro Linhas de fluxo Campos de espraiamento Figura 14 Campos de espraiamento no entreferro Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 9 De modo semelhante a equação da lei das correntes de Kirchhoff 123 a qual afirma que a corrente líquida isto é a soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é zero tem como análoga a equação 124 a qual afirma que o fluxo líquido em um nó de um circuito magnético é zero Assim descrevemos os princípios básicos para reduzir um problema de campo magnético quase estático de geometria simples a um modelo de circuito magnético O objetivo limitado desta seção é introduzir a terminologia e alguns dos conceitos usados pelos engenheiros para resolver problemas práticos de projeto Devemos enfa tizar que esse tipo de pensamento depende muito do raciocínio e da intuição próprios de engenharia Por exemplo deixamos implícita a suposição de que a permeabilidade das partes de ferro do circuito magnético seja uma quantidade conhecida constante embora muitas vezes isso não seja verdadeiro veja a Seção 13 e que o campo mag nético esteja confinado unicamente ao núcleo e a seus entreferros Embora tratese de uma boa suposição para muitas situações também é verdadeiro que as correntes dos enrolamentos produzem campos magnéticos fora do núcleo Como veremos quando dois ou mais enrolamentos são colocados em um campo magnético como ocorre no caso de transformadores e máquinas rotativas esses campos externos ao núcleo conhecidos como campos de dispersão não podem ser ignorados e afetam de forma significativa o desempenho do dispositivo Exemplo 11 O circuito magnético mostrado na Fig 12 tem as dimensões Ac Ag 9 cm2 g 0050 cm lc 30 cm e N 500 espiras Suponha o valor μr 70000 para o material do núcleo a Encontre as relutâncias Rc e Rg Dada a condição de que o circuito magnético esteja operando com Bc 10 T encontre b o fluxo φ e c a corrente i Solução a As relutâncias podem ser obtidas das Eqs 113 e 114 b Da Eq 14 φ Bc Ac 10 9 104 9 104 Wb c Das Eqs 16 e 115 10 Máquinas elétricas Problema prático 11 Encontre o fluxo φ e a corrente para o Exemplo 11 se a o número de espiras for dobrado para N 1000 espiras mantendose as mesmas dimensões e b se o número de espiras for N 500 e o entreferro for reduzido a 0040 cm Solução a φ 9 104 Wb e i 040 A b φ 9 104 Wb e i 064 A Exemplo 12 A estrutura magnética de uma máquina síncrona está mostrada esquematicamente na Fig 15 Assumindo que o ferro do rotor e do estator têm permeabilidade infinita μ encontre o fluxo φ do entreferro e a densidade de fluxo Bg Neste exemplo I 10 A N 1000 espiras g 1 cm e Ag 200 cm2 Solução Observe que há dois entreferros em série de comprimento total 2g e que por simetria a densi dade de fluxo em cada um é igual Como assumimos que a permeabilidade do ferro é infinita a sua relutância é desprezível e a Eq 120 com g substituído pelo comprimento total de entre ferro 2g pode ser usada para encontrar o fluxo e Rotor μ Estator μ Comprimento de entreferro g Área Ag da face do polo Permeabilidade de entreferro μ0 Linhas de fluxo magnético I N espiras Figura 15 Máquina síncrona simples Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 11 Problema prático 12 Para a estrutura magnética da Fig 15 com as dimensões dadas no Exemplo 12 observase que a densidade de fluxo do entreferro é Bg 09 T Encontre o fluxo de entreferro φ e para uma bobina de N 500 espiras a corrente necessária para produzir esse valor de fluxo no entreferro Solução φ 0018 Wb e i 286 A 12 Fluxo concatenado indutância e energia Quando um campo magnético varia no tempo produzse um campo elétrico no espaço de acordo com outra equação de Maxwell conhecida como lei de Faraday 125 A Eq 125 afirma que a integral de linha da intensidade de campo elétrico E ao longo de um contorno fechado C é igual à razão no tempo da variação de fluxo magnético que concatena ou seja passa através aquele contorno Em estruturas magnéticas com enrolamentos de alta condutividade elétrica como na Fig 12 podese mostrar que o campo E no fio é extremamente pequeno podendo ser desprezado de modo que o primeiro membro da Eq 125 reduzse ao negativo da tensão induzida5 e nos terminais do enrolamento Além disso no segundo membro da Eq 125 predomina o fluxo do núcleo φ Como o enrolamento e portanto o contorno C concatena o fluxo do núcleo N vezes a Eq 125 reduzse a 126 em que λ é o fluxo concatenado do enrolamento Ele é definido como λ Nϕ 127 O fluxo concatenado é medido em webers ou de forma equivalente em weberses piras Observe que escolhemos o símbolo ϕ para indicar o valor instantâneo de um fluxo variável no tempo Em geral o fluxo concatenado de uma bobina é igual à integral de superfície da componente normal de densidade do fluxo magnético A integração é realizada sobre qualquer superfície delimitada pela bobina Observe que o sentido da tensão induzida e é definido pela Eq 125 de modo que se os terminais do enrolamento fossem curto circuitados uma corrente circularia em um sentido tal que se oporia à variação do fluxo concatenado 5 Frequentemente a expressão força eletromotiva FEM é usada no lugar de tensão induzida para repre sentar a componente de tensão referente a um fluxo concatenado variável no tempo 12 Máquinas elétricas Em um circuito magnético composto de material magnético de permeabilidade constante ou que inclua um entreferro dominante a relação entre λ e i será linear e poderemos definir a indutância L como 128 A substituição das Eqs 15 118 e 127 na Eq 128 produz 129 Dessa equação podemos ver que a indutância de um enrolamento em um circuito magnético é proporcional ao quadrado das espiras e inversamente proporcional à re lutância do circuito magnético associado a esse enrolamento Por exemplo a partir da Eq 120 supondo que a relutância do núcleo seja des prezível em comparação com a do entreferro a indutância do enrolamento da Fig 12 será igual a 130 A indutância é medida em henrys H ou webersespiras por ampère A Eq 130 mostra a estrutura dimensional das expressões de indutância Ela é proporcional ao quadrado do número de espiras a uma permeabilidade magnética a uma área de seção reta e inversamente proporcional a um comprimento Devese enfatizar que estritamente falando o conceito de indutância requer uma relação linear entre fluxo e FMM Assim ela não pode ser aplicada com rigor a situações em que as característi cas não lineares dos materiais magnéticos como discutido nas Seções 13 e 14 pre dominem no desempenho do sistema magnético No entanto em muitas situações de interesse prático a relutância do sistema é dominada pela do entreferro que é linear e os efeitos não lineares dos materiais magnéticos podem ser ignorados Em outros casos pode ser perfeitamente aceitável assumir um valor médio para a permeabilida de magnética do material do núcleo calculandose em seguida uma indutância média correspondente que pode ser usada com exatidão razoável em cálculos de engenha ria O Exemplo 13 ilustra o primeiro caso e o Exemplo 14 o último Exemplo 13 O circuito magnético da Fig 16a é constituído por uma bobina de N espiras enroladas em um núcleo magnético de permeabilidade infinita com dois entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2 e áreas A1 e A2 respectivamente Encontre a a indutância do enrolamento e b a densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o enrolamento está conduzindo uma corrente i Despreze os efeitos de espraiamento no entreferro Solução a O circuito equivalente da Fig 16b mostra que a relutância total é igual à combinação em paralelo das relutâncias dos dois entreferros Assim Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 13 em que Da Eq 128 b Do circuito equivalente podese ver que e assim Exemplo 14 No Exemplo 11 assumese que a permeabilidade relativa do material do núcleo do circuito magnético da Fig 12 é μr 70000 para uma densidade de fluxo de 10 T a Em um dispositivo real o núcleo poderia ser construído de aço elétrico como o de tipo M5 discutido na Seção 13 Esse material é altamente não linear e sua permea bilidade relativa definida neste exemplo como a razão BH varia entre um valor de aproximadamente μr 72300 para uma densidade de fluxo de B 10 T e um valor da ordem de μr 2900 à medida que a densidade de fluxo elevase até 18 T Calcule a indutância supondo que a permeabilidade relativa do aço do núcleo seja 72300 b Calcule a indutância supondo que a permeabilidade relativa seja 2900 b a Ni R2 R1 Entreferro1 Entre ferro 2 N espiras Área A2 Área A1 g1 g2 μ φ φ1 λ i φ2 Figura 16 a Circuito magnético e b circuito equivalente para o Exemplo 13 14 Máquinas elétricas Solução a Das Eqs 113 e 114 e baseandose nas dimensões dadas no Exemplo 11 obtémse ao passo que Rg permanece inalterada mantendose o valor calculado no Exemplo 11 como Rg 442 105 AeWb Assim a relutância total do núcleo e do entreferro é e portanto da Eq 129 b Para μr 2900 a relutância do núcleo aumenta de um valor de 379 103 A eWb para e portanto a relutância total aumenta de 446 105 A eWb para 534 105 A eWb Assim da Eq 129 a indutância diminui de 0561 H para Esse exemplo ilustra o efeito da linearização de um entreferro dominante em um circuito magnético Apesar da redução de permeabilidade do ferro por um fator de 723002900 25 a indutância diminui apenas de 04680561 083 apenas porque a relutância do entre ferro é significativamente maior que a do núcleo Em muitas situações é comum supor que a indutância seja constante o que corresponde a uma permeabilidade de núcleo de valor finito e constante ou como em muitos casos assumir simplesmente que μr Análises baseadas nessa forma de representar um indutor em geral levam a resultados que estão dentro da faixa de exatidão aceitável em engenharia Isso evita a enorme complicação decorrente da modelagem da não linearidade do material do núcleo Problema prático 13 Repita o cálculo de indutância do Exemplo 14 para uma permeabilidade relativa de μr 30000 Solução L 0554 H Exemplo 15 Usando MATLAB6 faça um gráfico da indutância do circuito magnético do Exemplo 11 e da Fig 12 em função da permeabilidade do núcleo no intervalo 100 μr 100000 6 MATLAB é uma marca registrada da The MathWorks Inc 3 Apple Hill Drive Natick MA 01760 httpwwwmathworkscom Uma versão do MATLAB para estudantes está disponível Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 15 Solução O script de MATLAB é clc clear Permeabilidade do vácuo mu0 pi4e7 Todas as dimensões expressas em metros Ac 9e4 Ag 9e4 g 5e4 lc 03 N 500 Relutância do entreferro Rg gmu0Ag mur 1100100000 Rc lcmurmu0Ac Rtot RgRc L N2Rtot plotmurL xlabelPermeabilidade relativa do núcleo ylabelIndutância H O gráfico resultante está mostrado na Fig 17 Observe que a figura confirma claramente que no circuito magnético deste exemplo a indutância é bastante insensível à permeabilidade rela tiva enquanto esta não baixar até a ordem de 1000 Assim enquanto a permeabilidade relativa efetiva do núcleo for elevada neste caso superior a 1000 qualquer não linearidade nas propriedades do núcleo terá um efeito pequeno nas propriedades finais do indutor 07 06 05 04 03 02 01 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Permeabilidade relativa do núcleo Indutância H 104 Figura 17 Gráfico de MATLAB da indutância versus a permeabilidade relativa do Exemplo 15 16 Máquinas elétricas Problema prático 14 Escreva um script de MATLAB para plotar a indutância do circuito magnético do Exemplo 11 com μr 70000 em função do comprimento do entreferro quando este varia de 001 cm até 010 cm A Fig 18 mostra um circuito magnético com um entreferro e dois enrolamen tos Nesse caso observe que a FMM do circuito magnético é dada pelo total de ampè resespiras que atua no circuito magnético ou seja o total líquido de ampèresespiras de ambos os enrolamentos e que os sentidos de referência das correntes foram es colhidos de modo a produzirem fluxos no mesmo sentido A FMM total é portanto F N1 i1 N2 i2 131 e da Eq 120 desprezando a relutância do núcleo e assumindo que Ac Ag o fluxo do núcleo φ é 132 Na Eq 132 φ é o fluxo resultante no núcleo produzido pela FMM total dos dois enrolamentos É esse φ resultante que determina o ponto de operação do material do núcleo Se a Eq 132 for decomposta em termos relacionados individualmente com cada corrente o fluxo concatenado resultante da bobina 1 pode ser expresso como 133 que pode ser escrita como λ1 L11i1 L12i2 134 em que 135 N1 espiras N2 espiras λ1 i1 i2 Entreferro Permeabilidade magnética do núcleo μ comprimento médio do núcleo lc área da seção reta Ac φ λ2 g Figura 18 Circuito magnético com dois enrolamentos Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 17 é a indutância própria ou autoindutância da bobina 1 e L11i1 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido a sua própria corrente i1 A indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 é 136 e L12i2 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente i2 na outra bobina Do mesmo modo o fluxo concatenado da bobina 2 é 137 ou λ2 L21i1 L22i2 138 em que L21 L12 é a indutância mútua e 139 é a indutância própria ou autoindutância da bobina 2 É importante observar que a decomposição dos fluxos concatenados resultantes em duas componentes produzidas por i1 e i2 baseiase na superposição dos efeitos individuais e portanto implica uma relação linear fluxoFMM característica de ma teriais de permeabilidade constante A substituição da Eq 128 na Eq 126 resulta em 140 para o caso de um circuito magnético com um único enrolamento Em um circuito magnético estático a indutância é fixa supondo que as não linearidades do material não causem variações na indutância Então essa equação reduzse à forma familiar da teoria de circuitos 141 Frequentemente no entanto em dispositivos de conversão eletromecânica de energia as indutâncias variam no tempo e a Eq 140 deve ser escrita como 142 Observe que nos casos de enrolamentos múltiplos o fluxo concatenado total de cada enrolamento deve ser usado na Eq 126 para encontrar a tensão nos terminais do enrolamento Em um circuito magnético a potência nos terminais de um enrolamento é uma medida da taxa com que o fluxo de energia flui para dentro do circuito naquele enro lamento em especial A potência p é determinada pelo produto da tensão pela corrente 143 e sua unidade é watts W ou joules por segundo Assim a variação da energia magnética armazenada ΔW no circuito magnético durante o intervalo de tempo t1 a t2 é ΔW t2 t1 p dt λ2 λ1 i dλ 144 A energia magnética armazenada W é medida em joules J No caso de um sistema de enrolamento único e indutância constante a variação da energia magnética armazenada quando o nível do fluxo varia de λ1 a λ2 pode ser escrita como ΔW λ2 λ1 i dλ λ2 λ1 λ L dλ 1 2L λ2 2 λ2 1 145 A energia magnética total armazenada para qualquer valor de λ pode ser obtida fazendose λ1 igual a zero W 1 2L λ2 L 2 i2 146 Exemplo 16 No circuito magnético do Exemplo 11 Fig 12 encontre a a indutância L b a energia magnética armazenada W quando Bc 10 T c a tensão induzida e para um fluxo de núcleo que varia no tempo a 60 Hz dado por Bc 10 sen ωT em que ω 2π60 377 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 19 Problema prático 15 Repita o Exemplo 16 para Bc 08 T supondo que o fluxo do núcleo varie a 50 Hz em vez de 60 Hz Solução a A indutância L permanece inalterada b W 0115 J c e 113 cos 314t V 13 Propriedades dos materiais magnéticos No contexto dos dispositivos de conversão eletromecânica de energia a importância dos materiais magnéticos é dupla Com seu uso é possível obter densidades elevadas de fluxo magnético com níveis relativamente baixos de força magnetizante Como as forças magnéticas e a densidade de energia elevamse com o aumento da densidade de fluxo esse efeito tem um papel enorme no desempenho dos dispositivos de con versão de energia Além disso os materiais magnéticos podem ser usados para delimitar e direcio nar os campos magnéticos dentro de caminhos bem definidos Em transformadores são usados para maximizar o acoplamento entre os enrolamentos assim como para diminuir a corrente de excitação requerida para operar o transformador Em máquinas elétricas os materiais magnéticos são usados para dar forma aos campos de modo que seja produzido o conjugado desejado e obtidas as características elétricas especí ficas desejadas nos terminais Os materiais ferromagnéticos normalmente compostos de ferro e de ligas de ferro com cobalto tungstênio níquel alumínio e outros metais são de longe os ma teriais magnéticos mais comuns Ainda que esses materiais sejam caracterizados por uma ampla faixa de propriedades os fenômenos básicos responsáveis por suas pro priedades são comuns a todos eles Observase que os materiais ferromagnéticos são compostos por um grande núme ro de domínios isto é regiões nas quais os momentos magnéticos de todos os átomos estão em paralelo dando origem a um momento magnético líquido naquele domínio Em uma amostra não magnetizada do material os momentos magnéticos dos domínios estão orientados aleatoriamente e o fluxo magnético líquido resultante no material é zero Quando uma força magnetizante externa é aplicada a esse material os momen tos dos domínios magnéticos tendem a se alinhar com o campo magnético aplicado Como resultado os momentos magnéticos dos domínios somamse ao campo apli cado produzindo um valor muito mais elevado de densidade de fluxo do que aquele que existiria devido apenas à força magnetizante Assim a permeabilidade efetiva μ igual à razão entre a densidade de fluxo magnético total e a intensidade do campo magnético aplicado é elevada em comparação com a permeabilidade do vácuo μ0 À medida que a força magnetizante aumenta esse comportamento continua até que to dos os momentos magnéticos estejam alinhados com o campo aplicado Nesse ponto eles não podem mais contribuir para o aumento da densidade do fluxo magnético e dizse que o material está completamente saturado 20 Máquinas elétricas Na ausência de uma força magnetizante externamente aplicada os momentos magnéticos tendem a se alinhar naturalmente segundo certas direções associadas à estrutura cristalina dos domínios conhecidas como eixos de mais fácil magnetização Assim se a força magnetizante aplicada for reduzida os momentos magnéticos dos domínios relaxamse indo para as direções de mais fácil magnetização próximas da direção do campo aplicado Como resultado quando o campo aplicado é reduzido até zero os momentos dos dipolos magnéticos embora tendendo a relaxar e a assumir suas orientações iniciais não são mais totalmente aleatórios em suas orientações Eles agora retêm uma componente de magnetização líquida na direção do campo aplicado Esse efeito é responsável pelo fenômeno conhecido como histerese magnética Devido a esse efeito de histerese a relação entre B e H em um material fer romagnético é não linear e plurívoca Em geral as características do material não podem ser descritas de forma analítica Muitas vezes são apresentadas em forma de gráficos constituídos por conjuntos de curvas determinadas empiricamente a partir de amostras de ensaios com os materiais seguindo os métodos prescritos pela Ameri can Society for Testing and Materials ASTM7 A curva mais comum usada para descrever um material magnético é a curva BH ou laço de histerese O primeiro e segundo quadrantes correspondendo a B 0 7 Dados numéricos de uma ampla variedade de materiais magnéticos estão disponibilizados pelos fabri cantes de materiais magnéticos Um problema com o uso de tais dados vem da diversidade dos sistemas de unidades usados Por exemplo a magnetização pode ser dada em oersteds ou em ampèresespiras por me tro e a densidade de fluxo magnético em gauss quilogauss ou teslas Alguns fatores úteis de conversão são dados no Apêndice E O leitor deve lembrarse de que as equações desse livro baseiamse em unidades SI Mudança de escala 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 0 10 20 30 H A em B Wbm2 40 50 70 90 110 130 150 170 10 Figura 19 Laços BH para aço elétrico de grão orientado tipo M5 de 0012 polegadas de espessura Apenas as metades superiores dos laços são mostrados aqui Armco Inc Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 21 de um conjunto de laços de histerese estão mostrados na Fig 19 para o aço M5 um típico aço elétrico de grão orientado usado em equipamentos elétricos Esses laços mostram a relação entre a densidade de fluxo magnético B e a força magnetizante H Cada curva é obtida variandose ciclicamente a força magnetizante aplicada entre valores iguais positivos e negativos de valor constante A histerese faz essas curvas serem plurívocas Depois de diversos ciclos as curvas BH formam laços fechados como se mostra na figura As setas indicam as trajetórias seguidas por B quando H cresce e decresce Observe que com um valor crescente de H as curvas começam a ficar horizontais à medida que o material tende à saturação Para uma densidade de fluxo em torno de 17 T podese ver que o material está muito saturado Observe também que quando H decresce desde seu valor máximo até zero a densidade de fluxo diminui mas não até zero Isso resulta do relaxamento das orien tações dos momentos magnéticos dos domínios como descrito acima O resultado é que quando H é zero uma magnetização remanescente está presente Felizmente para muitas aplicações em engenharia é suficiente descrever o ma terial por uma curva simples obtida pela plotagem dos lugares de valores máximos de B e H nas extremidades dos laços de histerese Essa curva é conhecida como curva de magnetização CC ou normal Uma curva de magnetização CC para o aço elétrico de grão orientado do tipo M5 está mostrada na Fig 110 A curva de magnetização CC despreza a natureza histerética do material mas exibe claramente as suas caracte rísticas não lineares Exemplo 17 Suponha que o material do núcleo do Exemplo 11 seja aço elétrico de grão orientado do tipo M5 o qual tem a curva de magnetização CC da Fig 110 Encontre a corrente i necessária para produzir Bc 1 T 24 22 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 01 10 100 1000 10000 100000 H A em B Wbm2 Figura 110 Curva de magnetização CC para o aço elétrico de grão orientado M5 de 0012 polegadas de espessura Armco Inc 22 Máquinas elétricas Solução O valor de Hc para Bc 1 T pode ser lido da Fig 110 como Hc 11 A em A queda de FMM no caminho do núcleo é Fc Hc lc 1103 33 A e Desprezando o espraiamento Bg Bc e a queda de FMM no entreferro é A corrente necessária é Problema prático 16 Repita o Exemplo 17 encontrando a corrente i para que Bc 16 T De quanto a corrente deve ser aumentada para resultar esse aumento de 16 vezes na densidade de fluxo Solução Podese mostrar que a corrente i deve ser 1302 A Assim a corrente deve ser aumentada de 130208 163 Devido ao predomínio da relutância do entreferro esse valor é ligeiramente maior do que o aumento fracionário na densidade de fluxo apesar de que o núcleo começa a saturar de forma significativa quando a densidade de fluxo atinge 16 T 14 Excitação CA Em sistemas de potência CA as formas de onda de tensão e de fluxo são bastante próximas de funções senoidais de tempo Para tais condições esta seção descreverá as características da excitação e das perdas associadas à operação CA em regime perma nente dos materiais magnéticos Como modelo usaremos um circuito magnético de núcleo fechado isto é sem entreferro tal como o mostrado na Fig 11 O comprimen to do caminho magnético é lc e a área da seção reta é Ac ao longo do comprimento do núcleo Além disso supomos uma variação senoidal para o fluxo ϕt do núcleo assim ϕt φmax sen ωt Ac Bmax sen ωt 147 em que φmax amplitude do fluxo no núcleo ϕ em webers Bmax amplitude da densidade de fluxo Bc em teslas ω frequência angular 2π f f frequência em Hz Da Eq 126 a tensão induzida no enrolamento de N espiras é et ωNφmax cos ωt Emax cos ωt 148 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 23 em que Emax ωNφmax 2π f NAc Bmax 149 Na operação CA em regime permanente muitas vezes estamos mais interessa dos nos valores eficazes ef das tensões e correntes do que nos valores instantâneos ou máximos Em geral o valor eficaz de uma função periódica de tempo ft de pe ríodo T é definido como Fef 150 A partir da Eq 150 podese mostrar que o valor eficaz de uma onda senoidal é vezes o seu valor de pico Assim o valor eficaz da tensão induzida é Eef 151 Uma corrente de excitação iϕ correspondente a uma FMM de excitação Niϕt é necessária para produzir o fluxo ϕt no núcleo8 Devido às propriedades magné ticas não lineares do núcleo a corrente de excitação correspondente a um fluxo se noidal no núcleo será não senoidal A curva da corrente de excitação em função do tempo pode ser obtida graficamente das características magnéticas do material do núcleo como ilustra a Fig 111a Como Bc e Hc se relacionam com ϕ e iϕ por cons tantes geométricas conhecidas o laço de histerese CA da Fig 111b foi desenhado em termos de ϕ Bc Ac e iϕ Hc lc N As ondas senoidais da tensão induzida e e do fluxo ϕ de acordo com as Eqs 147 e 148 estão mostradas na Fig 111a Em qualquer instante determinado o valor de iϕ correspondente a um valor dado de fluxo pode ser obtido diretamente do laço de histerese Por exemplo no tempo t o fluxo é ϕ e a corrente é iϕ no tempo t os valores correspondentes são ϕ e iϕ Observe que como o laço de histerese é multivalorado devese ter cuidado buscando os valores de fluxo crescente ϕ na figura na parte de fluxo crescente do laço de histerese Do mesmo modo a parte do fluxo decrescente do laço de histerese deve ser escolhida quando se buscam os valores de fluxo decrescente ϕ na figura Como o laço de histerese achatase devido aos efeitos da saturação observe que a forma de onda da corrente de excitação apresenta picos acentuados Seu valor eficaz Iϕef é definido pela Eq 150 em que T é o período de um ciclo Está relaciona do com o valor eficaz ef correspondente Hef de Hc pela equação ef ef 152 As características de excitação CA dos materiais usados em núcleos são des critas frequentemente em termos de voltsampères eficazes em vez de uma curva de N de T Na literatura nacional aparece também rms root mean square no lugar de ef 8 De forma mais genérica em um sistema com múltiplos enrolamentos a FMM de excitação é o total líquido de ampèresespiras que atua para produzir fluxo no circuito magnético 24 Máquinas elétricas magnetização que relacione B com H A teoria que fundamenta essa representação pode ser explicada combinando as Eqs 151 e 152 Assim das Eqs 151 e 152 os voltsampères eficazes necessários para excitar o núcleo da Fig 11 com uma densi dade de fluxo especificada é igual a Eef ef ef ef 153 Na Eq 153 podese ver que o produto Aclc é igual ao volume do núcleo e assim o valor necessário de excitação em voltsampères eficazes para excitar o nú cleo com uma onda senoidal é proporcional à frequência de excitação ao volume do núcleo e ao produto da densidade do fluxo de pico vezes a intensidade eficaz do campo magnético Para um material magnético com densidade de massa ρc a massa do núcleo é Ac lcρc e o valor dos voltsampères eficazes de excitação por unidade de massa Sa pode ser expresso como ef ef ef 154 Observe que com essa forma de normalização o valor dos voltsampères efi cazes depende apenas da frequência e de Bmax porque Hef é uma função unívoca de Bmax determinada pela forma do laço de histerese do material em uma frequência dada f qualquer Como resultado as condições de excitação CA de um material magnético são fornecidas em geral pelos fabricantes em termos de voltsampères eficazes por unidade de massa Esses valores são determinados por meio de ensaios de laboratório realizados com amostras de núcleo fechado do material Esses resul tados estão ilustrados na Fig 112 para o aço elétrico de grão orientado do tipo M5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ iϕ iϕ iϕ iϕ t t t i ϕ i ϕ e b a Figura 111 Fenômenos de excitação a Tensão fluxo e corrente de excitação b Laço de histerese correspondente Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 25 A corrente de excitação fornece a FMM necessária para produzir o fluxo no núcleo e o ingresso da potência associada com a energia do campo magnético do núcleo Parte dessa energia é dissipada como perdas das quais resulta o aquecimento do núcleo O restante aparece como potência reativa associada ao armazenamento de energia no campo magnético Essa potência reativa não é dissipada no núcleo Cicli camente ela é fornecida e absorvida pela fonte de excitação Dois mecanismos de perdas estão associados às variações de fluxo nos mate riais magnéticos O primeiro é devido à natureza histerética do material magnético Como já foi discutido em um circuito magnético como o da Fig 11 uma excitação variável no tempo submeterá o material magnético a uma variação cíclica descrita por um laço de histerese como o mostrado na Fig 113 A Eq 144 pode ser usada para calcular o ingresso de energia W no núcleo mag nético da Fig 11 quando o material é submetido a um único ciclo Obtémse 155 Constatando que Aclc é o volume do núcleo e que a integral é a área do laço de histerese CA vemos que há um fornecimento líquido de energia para dentro do ma terial a cada vez que ele é submetido a um ciclo Essa energia é requerida para girar os dipolos do material e é dissipada como calor Assim para um determinado ciclo as respectivas perdas por histerese são proporcionais à área do ciclo de histerese e ao volume total de material Como há uma perda de energia a cada ciclo a potência das perdas por histerese é proporcional à frequência da excitação aplicada O segundo mecanismo de perdas é o aquecimento ôhmico devido às corren tes induzidas no material do núcleo Pela lei de Faraday Eq 125 vemos que os campos magnéticos variáveis no tempo dão origem a campos elétricos Em materiais 22 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 0001 001 01 10 100 1 Sa ef VAkg Bmax Wbm2 Figura 112 Voltsampères eficazes de excitação por quilograma a 60 Hz para o aço elétrico de grão orientado do tipo M5 de 0012 polegadas de espessura Armco Inc 26 Máquinas elétricas magnéticos esses campos elétricos resultam em correntes induzidas normalmente denominadas correntes parasitas que circulam no material do núcleo e opõemse às mudanças de densidade de fluxo do material Para contrabalançar o respectivo efeito de desmagnetização a corrente no enrolamento de excitação deve aumentar Assim o laço BH dinâmico resultante da operação em CA é um pouco mais cheio do que o laço de histerese para condições que variem lentamente Esse efeito se inten sifica à medida que a frequência de excitação aumenta Por essa razão as caracterís ticas dos aços elétricos variam com a frequência Em geral elas são fornecidas pelos fabricantes para a faixa de frequência esperada de operação para cada aço elétrico em especial Observe por exemplo que o valor eficaz dos voltsampères de excitação da Fig 112 está especificado para a frequência de 60 Hz Para reduzir os efeitos das correntes parasitas as estruturas magnéticas são construídas usualmente com chapas delgadas ou lâminas de material magnético Es sas chapas alinhadas na direção das linhas de campo estão isoladas entre si por uma camada de óxido em suas superfícies ou por uma fina cobertura de esmalte ou verniz de isolação Isso reduz muito a magnitude das correntes parasitas porque as camadas de isolação interrompem os caminhos de corrente Quanto mais delgadas as chapas menores as perdas Em geral como primeira aproximação as perdas por correntes parasitas tendem a aumentar com o quadrado da frequência de excitação e também com o quadrado da densidade de fluxo de pico Muitas vezes essas perdas dependem do aspecto metalúrgico do material as sim como da densidade de fluxo e da frequência Os dados sobre perdas no núcleo são apresentados normalmente em forma de gráficos São plotados em termos de watts por unidade de massa em função da densidade de fluxo Com frequência é fornecida uma família de curvas para diferentes frequências A Fig 114 mostra as perdas Pc no núcleo para o aço elétrico de grão orientado do tipo M5 a 60 Hz N de T Conhecidas também como perdas no ferro B H Bmax Bmax Hmax Hmax Figura 113 Laço de histerese a perda por histerese é proporcional à área do laço sombreado Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 27 Quase todos os transformadores e certas partes de máquinas elétricas usam ma terial à base de chapas de aço Essas apresentam direções altamente favoráveis de magnetização ao longo das quais as perdas no núcleo são baixas e a permeabilidade é alta Esse material é denominado aço de grão orientado A razão dessa propriedade está na estrutura atômica cúbica de corpo centrado dos cristais da liga de silício e ferro Cada cubo tem um átomo em cada vértice assim como um outro no seu centro No cubo a aresta é o eixo de mais fácil magnetização a diagonal da face é o eixo mais difícil e a diagonal do cubo é o mais difícil de todos Usando técnicas adequadas de fabricação a maioria das arestas dos cubos dos cristais é alinhada na direção de la minação Desse modo essa tornase a direção favorável de magnetização Em relação às perdas no núcleo e à permeabilidade o comportamento nessa direção é superior ao dos aços não orientados nos quais os cristais estão orientados aleatoriamente produ zindo um material de características uniformes em todas as direções Como resultado os aços orientados podem operar em relação aos não orientados com densidades de fluxo mais elevadas Os aços elétricos não orientados são usados em aplicações em que o fluxo não segue um caminho que pode ser orientado na direção de laminação ou em que o bai xo custo é importante Nesses aços as perdas são maiores e a permeabilidade é muito menor do que nos aços de grão orientado Exemplo 18 O núcleo magnético da Fig 115 é feito de chapas de aço elétrico de grão orientado M5 O enrolamento é excitado com uma tensão de 60 Hz produzindo no aço uma densidade de fluxo de B 15 sen ωt T em que ω 2π60 377 rads O aço ocupa 094 da área da seção reta A densidade de massa do aço é 765 gcm3 Encontre a a tensão aplicada b a corrente de pico c a corrente eficaz de excitação e d as perdas no núcleo 22 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 00001 0001 001 01 10 1 Pc Wkg Bmax Wbm2 Figura 114 Densidade de perdas no núcleo a 60 Hz em watts por quilograma para o aço elétrico de grão orientado do tipo M5 de 0012 polegadas de espessura Armco Inc 28 Máquinas elétricas Solução a Da Eq 126 a tensão é b A intensidade de campo magnético correspondente a Bmax 15 T está dada na Fig 110 valendo Hmax 36 A em Observe que como esperado a permeabilidade relativa μr Bmax μ0Hmax 33000 para um fluxo de 15 T é inferior ao valor de μr 72300 encontrado no Exemplo 14 e correspondente ao valor de 10 T mesmo assim significa tivamente maior do que o valor de 2900 correspondente a um fluxo de 18 T lc 15 15 20 20 cm 070 m A corrente de pico é c A corrente eficaz é obtida do valor de Sa da Fig 112 para Bmax 15 T Sa 15 VAkg O volume do núcleo e a massa são 25 cm 20 cm 5 cm 5 cm 5 cm N 200 espiras e i Figura 115 Núcleo aço laminado com enrolamento para o Exemplo 18 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 29 Os voltsampères e a corrente totais são Eef ef d A densidade de perdas no núcleo é obtida da Fig 114 como Pc 12 Wkg As perdas totais no núcleo são Pnúcleo 12Wkg 126 kg 151 W Problema prático 17 Repita o Exemplo 18 para um tensão de 60 Hz dada por B 10 sen ωt T Solução a V 177 cos 377t V b I 0042 A c Iϕ 0041 A d P 65 W 15 Ímãs permanentes A Fig 116a mostra o segundo quadrante de um laço de histerese para o Alnico 5 um material magnético permanente ímã comum ao passo que a Fig 116b mostra o se gundo quadrante de um laço de histerese para o aço do tipo M59 Observe que as curvas têm naturezas semelhantes No entanto o laço de histerese do Alnico 5 é caracterizado por um alto valor de magnetização remanescente ou residual Br aproximadamente 122 T assim como um valor elevado de coercividade Hc aproximadamente 49 kAm A magnetização remanescente Br corresponde à densidade de fluxo que per maneceria atuando em uma seção do material se a FMM aplicada e portanto a in tensidade de campo magnético H fosse reduzida a zero No entanto embora o aço elétrico de grão orientado M5 tenha também um valor elevado de magnetização re manescente aproximadamente 14 T ele tem um valor muito menor de coercividade aproximadamente 6 Am menor por um fator superior a 7500 A coercividade Hc corresponde à intensidade de campo magnético proporcional à FMM requerida para reduzir a densidade de fluxo do material a zero Como veremos quanto menor for a coercividade de um determinado material magnético mais fácil é desmagnetizálo O significado da magnetização remanescente é que ela pode produzir fluxo magnético em um circuito magnético na ausência de uma excitação externa como correntes nos enrolamentos Esse é um fenômeno conhecido de qualquer um que já afixou bilhetes em um refrigerador usando ímãs Esses são muito usados em disposi tivos como altofalantes e motores de ímãs permanentes 9 Para obter o valor mais elevado de magnetização remanescente os laços de histerese da Fig 116 são os que seriam obtidos se os materiais tivessem sido excitados por uma FMM suficiente para assegurar que sejam colocados fortemente em saturação Isso é discutido com mais detalhes na Seção 16 30 Máquinas elétricas B T Br 10 05 0 10 20 30 40 50 H kAm 50 40 30 20 Hc Reta de carga para o Exemplo 19 Ponto de máximo produto energético Produto energético kJm3 a 10 15 05 5 0 10 B T Br H Am 4 105 2 105 38 105 0 6 B T H Am Reta de carga para o Exemplo 19 Inclinação 628 106 WbA m c b Hc Figura 116 a Segundo quadrante de um laço de histerese para o Alnico 5 b segundo quadrante de um laço de histerese do aço elétrico de grão orientado M5 c laço de histerese ampliado do M5 para valores pequenos de B Armco Inc Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 31 A partir da Fig 116 poderia parecer que o Alnico 5 e o aço elétrico de grão orientado M5 seriam úteis na produção de fluxo em circuitos magnéticos desprovi dos de excitação já que ambos têm valores altos de magnetização remanescente Esse não é o caso como se pode ilustrar por meio de um exemplo Exemplo 19 Como mostrado na Fig 117 um circuito magnético é constituído por um núcleo de alta per meabilidade μ um entreferro de comprimento g 02 cm e uma seção de material magnético de comprimento lm 10 cm A área da seção reta do núcleo e do entreferro é igual a Am Ag 4 cm2 Calcule a densidade de fluxo Bg no entreferro quando o material magnéti co é a Alnico 5 e b aço elétrico M5 Solução a Como se assume que a permeabilidade do núcleo é infinita então a intensidade H no núcleo é desprezível senão uma H infinita produziria uma B infinita Verificando que a FMM que atua no circuito magnético da Fig 117 é zero podemos escrever F 0 Hgg Hm lm ou em que Hg e Hm são as intensidades de campo magnético no entreferro e no material magnético respectivamente Como o fluxo deve ser contínuo ao longo do circuito magnético então φ AgBg AmBm ou em que Bg e Bm são as densidades de fluxo magnético no entreferro e no material mag nético respectivamente Entreferro permeabilidade μ0 Área Ag Material magnético g lm μ μ Área Am Figura 117 Circuito magnético do Exemplo 19 32 Máquinas elétricas Essas equações podem ser resolvidas fornecendo uma relação linear de Bm em termos de Hm Para obter Bm verificamos que para o Alnico 5 Bm e Hm estão relacionados também pela curva da Fig 116a Assim essa relação linear também conhecida como reta de carga pode ser plotada como na Fig 116a e a solução obtida graficamente resultando Bg Bm 030 T 3000 gauss b A solução para o aço elétrico M5 é feita exatamente como na parte a A reta de carga é a mesma da parte a porque ela é determinada apenas pela permeabilidade do entreferro e pelas geometrias do ímã e do entreferro Assim da Eq 116c Bg 38 105 T 038 gauss que é muito inferior ao valor obtido com o Alnico 5 sendo praticamente desprezível O Exemplo 19 mostra que há uma imensa diferença entre materiais magnéticos permanentes ou ímãs frequentemente referidos como materiais magnéticos duros tais como o Alnico 5 e materiais magnéticos moles como o aço elétrico de grão orientado M5 Essa distinção é caracterizada em grande parte pela imensa diferença entre as suas coercividades Hc A coercividade pode ser entendida como uma medida da magnitude da FMM requerida para reduzir a densidade de fluxo do material a zero Como visto no Exemplo 19 também é uma medida da capacidade do material para produzir fluxo em um circuito magnético que apresenta um entreferro Vemos assim que os materiais capazes de produzir bons ímãs permanentes são caracteriza dos por valores elevados de coercividade Hc bem acima de 1 kAm Uma medida útil da capacidade de desempenho de um ímã permanente é o chama do produto energético máximo Corresponde ao maior produto BH B Hmax que está localizado em um ponto do segundo quadrante do laço de histerese desse material Como se pode ver na Eq 155 o produto de B vezes H tem a dimensão de densidade de energia joules por metro cúbico Mostraremos agora que o funcionamento neste ponto de um determinado ímã permanente em um circuito magnético resulta no menor volume de material necessário para se produzir uma determinada densidade de fluxo no entreferro No Exemplo 19 encontramos uma expressão para a densidade de fluxo no entreferro do circuito magnético da Fig 117 156 Encontramos também que 157 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 33 A Eq 157 pode ser multiplicada por μ0 obtendose Bg μ0Hg Multiplicando pela Eq 156 obtémse 158 em que Volmag é o volume do ímã Volentreferro é o volume do entreferro e o sinal nega tivo surge porque no ponto de operação do circuito magnético o valor de H do ímã Hm é negativo Resolvendo a Eq 158 obtémse 159 que é o resultado desejado Ela indica que para obterse uma densidade desejada de fluxo no entreferro poderemos minimizar o volume necessário do ímã se ele for pos to em operação no ponto onde ocorre o maior valor possível do produto BH HmBm ou seja no ponto de máximo produto energético Além disso quanto maior o valor desse produto menor será o tamanho do ímã necessário para produzir a densidade de fluxo desejada Assim o produto energético máximo é uma medida útil do desempe nho de um material magnético e frequentemente é encontrado tabulado como figura de mérito em folhas de dados de especificações de ímãs permanentes Em termos práticos esse resultado pode ser utilizado em muitas aplicações práticas de engenha ria nas quais o uso de um ímã permanente com o maior produto energético máximo resultará no mínimo volume magnético necessário A Eq 158 parece sugerir que é possível obter uma densidade de fluxo arbitra riamente elevada no entreferro reduzindo o seu volume Na prática isso não é verda deiro porque uma redução no comprimento do entreferro aumentará a densidade de fluxo no circuito magnético e à medida que a densidade de fluxo do circuito magné tico aumentar um ponto será atingido a partir do qual o material magnético do núcleo começará a saturar e a suposição de permeabilidade infinita não será mais verdadeira invalidando assim a dedução que leva à Eq 158 Exemplo 110 O circuito magnético da Fig 117 é modificado de modo que a área do entreferro seja reduzida a Ag 20 cm2 como mostrado na Fig 118 Encontre o volume mínimo de ímã necessário para produzir uma densidade de fluxo de 08 T no entreferro Solução Observe que uma curva de produto BH constante é uma hipérbole Um conjunto de tais hipér boles para valores diferentes do produto BH está plotado na Fig 116a A partir dessas curvas vemos que o produto energético máximo para o Alnico 5 é 40 kJm3 e que isso ocorre no ponto B 10 T e H 40 kAm O menor volume de ímã será obtido com o ímã operando nesse ponto 34 Máquinas elétricas Assim da Eq 156 e da Eq 157 Portanto o volume mínimo de ímã é igual a 16 cm2 318 cm 509 cm3 Problema prático 18 Repita o Exemplo 110 supondo que a área do entreferro seja novamente reduzida até Ag 18 cm2 e que a densidade de fluxo desejada no entreferro seja 06 T Solução Volume mínimo de ímã 258 cm3 16 Aplicações de ímãs permanentes Os Exemplos 19 e 110 examinaram a operação de ímãs permanentes supondo que o ponto de operação possa ser determinado simplesmente a partir do conhecimento da geometria do circuito magnético e das propriedades dos vários materiais magnéticos Alnico 5 Entreferro permeabilidade μo Área Ag 2 cm2 g 02 cm lm μ μ Área Am Figura 118 Circuito magnético do Exemplo 110 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 35 envolvidos De fato nos dispositivos da prática da engenharia a situação é mais com plexa10 Esta seção irá ampliar essas questões A Fig 119 mostra as características de magnetização de alguns ímãs perma nentes comuns Essas curvas são simplesmente as características do segundo qua drante dos laços de histerese para cada material obtidas quando submetidas pesada mente à saturação O Alnico 5 é uma liga bastante utilizada de ferro níquel alumínio e cobalto originalmente descoberta em 1931 Apresenta uma densidade de fluxo re sidual relativamente elevada O Alnico 8 tem uma densidade de fluxo residual menor e uma coercividade maior do que a do Alnico 5 Como consequência é menos sujeito à desmagnetização do que o Alnico 5 As desvantagens dos materiais do tipo Alnico são a coercividade relativamente baixa e a fragilidade mecânica Os ímãs permanentes de cerâmica também conhecidos como ímãs de ferrite são feitos de pós de óxido de ferro ou carbonato de bário ou estrôncio e têm densi dades de fluxo residual inferiores às dos materiais do tipo Alnico mas suas coercivi dades são significativamente maiores Como resultado são menos propensos à des magnetização Um desses materiais a Cerâmica tipo 7 está mostrado na Fig 119 onde sua característica de magnetização é quase uma linha reta Os ímãs de cerâmica têm boas características mecânicas e sua fabricação é de baixo custo O samário 10 Para uma discussão adicional sobre os ímãs permanentes e suas aplicações veja P Campbell Permanent Magnet Materials and Their Application Cambridge University Press 1994 R J Parker Advances in Per manent Magnetism John Wiley Sons 1990 RC OHandley Modern Magnetic Materials Principles and Applications John Wiley Sons 2000 e EP Ferlani Permanent Magnet and Electromechanical Devices Academic Press 2001 B T 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 H kAm neodímioferroboro Alnico 5 Alnico 8 samáriocobalto Cerâmica 7 Figura 119 Curvas de magnetização para ímãs permanentes comuns 36 Máquinas elétricas cobalto representa um avanço significativo da tecnologia de ímãs permanentes que começou na década de 1960 com a descoberta de ímãs permanentes de terras raras Na Fig 119 podese ver que ele tem uma elevada densidade de fluxo residual tal como ocorre com os materiais de Alnico e ao mesmo tempo apresenta coercividade e produto energético máximo muito maiores O mais novo dos materiais magnéticos de terras raras é a família do neodímio ferroboro Caracterizase por valores de densidade de fluxo residual coercividade e produto energético máximo maiores ainda que os do samáriocobalto O desenvolvi mento dos ímãs de neodímioferro teve um tremendo impacto na área das máquinas rotativas e como resultado os motores de ímã permanente com especificações no minais cada vez maiores estão sendo desenvolvidos por diversos fabricantes ao redor do mundo Observe que na Figura 119 a natureza histerética das curvas características de magnetização do Alnico 5 e do Alnico 8 é imediatamente aparente ao passo que as características de magnetização dos demais materiais parecem ser linhas retas Essa característica linear é ilusória Em cada caso a característica do material quebrase acentuadamente para baixo do mesmo modo que ocorre com os materiais do tipo Alnico Entretanto de modo diferente dos materiais do tipo Alnico essa quebra em geral referida como o joelho da curva de magnetização ocorre no terceiro quadrante e portanto não aparece na Figura 119 Considere o circuito magnético da Fig 120 Compreende uma seção de mate rial magnético duro em um núcleo de material magnético mole altamente permeável e também um enrolamento de excitação com N espiras Em relação à Fig 121 supon do que no início o material magnético duro esteja desmagnetizado correspondendo ao ponto a da figura considere o que acontece quando a corrente é aplicada ao en rolamento de excitação Como se supõe que o núcleo tenha permeabilidade infinita o eixo horizontal da Fig 121 pode ser considerado como uma medida da corrente aplicada i Hlm N e também uma medida da intensidade H no material magnético À medida que a corrente i cresce em direção a seu valor máximo a trajetória sobre a curva BH sobe do ponto a da Fig 121 até seu valor máximo no ponto b Para magnetizar completamente o material supomos que a corrente seja aumentada até Ímã permanente lm Núcleo μ N espiras i Figura 120 Circuito magnético constituído por um ímã permanente e um enrolamento de excitação Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 37 um valor imax suficientemente elevado para que o material esteja bastante saturado no ponto b Em seguida quando a corrente é diminuída em direção a zero a curva BH começa a formar um laço de histerese atingindo o ponto c onde a corrente é zero No ponto c observe que H no material é zero mas B está em seu valor remanescente Br A seguir quando a corrente tornase negativa a curva BH continua a seguir o traçado de um laço de histerese Na Fig 121 isso é visto como a trajetória entre os pontos c e d Se a corrente for mantida no valor id o ponto de operação do ímã será o ponto d Observe que como no Exemplo 19 esse mesmo ponto de operação pode ria ser alcançado se mantendo nula a excitação e estando o material no ponto c fosse então inserido um entreferro de comprimento g lmAg Amμ0HdBd no núcleo Tornando a corrente ainda mais negativa a trajetória continuará seguindo o tra çado do laço de histerese em direção ao ponto e Se ao contrário a corrente voltar a zero em geral a trajetória não seguirá a trajetória de volta ao ponto c Em vez disso ela seguirá o traçado de um laço menor de histerese e atingirá o ponto f quando a corrente chegar a zero Se agora a corrente for variada entre zero e id a curva BH seguirá o traçado do laço menor como mostrado na figura Como é possível ver na Fig 121 a trajetória da curva BH entre os pontos d e f pode ser representada por uma linha reta conhecida como reta de recuo A inclina ção dessa linha é chamada permeabilidade de recuo μR Uma vez desmagnetizado o material até o ponto d vemos que a magnetização remanescente efetiva do material magnético será a do ponto f Essa magnetização é inferior à remanescente Br que seria esperada com base no laço de histerese Observe que se a desmagnetização tivesse sido diminuída para além do ponto d como por exemplo até o ponto e da Fig 121 então seria criado um novo laço menor com novas linha e permeabilidade de recuo Os efeitos de desmagnetização em função de uma excitação negativa como acabaram de ser discutidos são equivalentes aos de um entreferro no circuito magné Recoil line em inglês B T Bmax Br c b f Bd id Hd Hmax H kAm imax i A a 0 e d Laço menor Reta de recuo Figura 121 Parte de uma curva característica BH mostrando um laço menor e uma reta de recuo 38 Máquinas elétricas tico É claro por exemplo que o circuito magnético da Fig 120 poderia ter sido usa do como um sistema para magnetizar materiais duros O processo seria simplesmente aplicar uma excitação elevada ao enrolamento seguida de uma redução a zero Isso deixaria o material com uma magnetização remanescente Br ponto c na Fig 121 Seguindo esse processo de magnetização a remoção de material do núcleo equivale a abrir um grande entreferro no circuito magnético desmagnetizando o ma terial de modo similar ao visto no Exemplo 19 Nesse ponto o ímã foi efetivamente enfraquecido porque se fosse colocado de volta no núcleo magnético ele segui ria uma reta de recuo e apresentaria uma magnetização remanescente menor que Br Como resultado os materiais magnéticos duros como o Alnico da Fig 119 muitas vezes não operam de maneira estável em situações de FMM e geometria variáveis e também em geral há risco de que uma operação imprópria possa desmagnetizálos significativamente À custa de uma redução no valor da magnetização remanescente os materiais magnéticos duros como o Alnico 5 podem ser estabilizados para operar dentro de uma região determinada Esse procedimento baseado na reta de recuo mostrada na Fig 121 pode ser melhor ilustrado por meio de um exemplo Exemplo 111 A Fig 122 mostra um circuito magnético que contém um material magnético duro um núcleo um êmbolo de permeabilidade elevada suposta infinita e um enrolamento de 100 espiras que será utilizado para magnetizar o material magnético duro O enrolamento será removido depois que o sistema estiver magnetizado Como mostrado o êmbolo mo vese na direção x com o resultado de que a área do entreferro varia dentro do intervalo 2 cm2 Ag 4 cm2 Supondo que o material magnético duro seja o Alnico 5 e que o sistema seja inicialmente magnetizado com Ag 2 cm a encontre o comprimento do ímã lm tal que o sistema opere na reta de recuo que intercepta o ponto de produto BH máximo da curva de magnetização do Alnico 5 b conceba um procedimento para magnetizar o ímã e c calcule a densidade de fluxo Bg no entreferro quando o êmbolo movese para frente e para trás e o entreferro varia entre esses dois limites Bobina de magnetização de 100 espiras Ímã área Am 2 cm2 Êmbolo móvel Entreferro g 02 cm 2 cm2 Ag 4 cm2 g2 g2 x lm μ μ Núcleo i Figura 122 Circuito magnético do Exemplo 111 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 39 Solução a A Fig 123a mostra a curva de magnetização do Alnico 5 e as duas retas de carga cor respondentes aos dois extremos do entreferro Ag 2 cm2 e Ag 4 cm2 Vemos que o sistema irá operar na reta de recuo desejada se a reta de carga para Ag 2 cm2 interceptar a curva BH no ponto de produto energético máximo marcado como ponto a na Fig 123a e Das Eqs 156 e 157 vemos que a inclinação da reta de carga requerida é dada por e assim b A Fig 123b mostra uma família de retas de carga do sistema para Ag 2 cm2 com a cor rente i aplicada no enrolamento de excitação A equação genérica dessas retas de carga pode ser deduzida facilmente da Eq 15 Ni Hm lm Hgg e das Eqs 13 e 17 Bm Am Bg Ag μ0Hg Ag Assim Dessa equação e da Fig 123b vemos que para levar o material magnético até a satura ção no ponto Hmax Bmax a corrente de magnetização do enrolamento deve ser aumen tada até o valor imax em que Nesse caso não dispomos de um laço completo de histerese para o Alnico 5 e portanto teremos que estimar Bmax e Hmax Extrapolando linearmente a curva BH em H 0 de 4 vezes o valor da coercividade isto é Hmax 4 50 200 kAm obteremos Bmax 21 T Sem dúvidas esse valor será extremo e dará uma estimativa excessiva da corrente necessária Entretanto usando Bmax 21 T e Hmax 200 kAm obtemos imax 113 A Assim com uma área de entreferro de 2 cm2 a magnetização desejada será obtida aumentando a corrente até 113 A e em seguida reduzindoa a zero 40 Máquinas elétricas c Como não dispomos de informações específicas sobre a inclinação da reta de recuo va mos supor que seja igual à da curva BH no ponto H 0 e B Br Na Fig 123a a reta de recuo foi desenhada com essa inclinação Quando a área do entreferro varia entre 2 e 4 cm2 vemos que a densidade de fluxo magnético Bm varia entre 100 e 108 T Como a densidade de fluxo no entreferro é igual a Am Ag vezes esse valor a densidade de fluxo Reta de carga Ag 2 cm2 Reta de carga Ag 4 cm2 Reta de recuo veja o texto Ponto de máximo produto energético Bm T Br 124 108 10 05 0 10 20 30 40 50 Hm kAm a b a Bmax Bm Br b Reta de carga para i imax Intersecção mostra a magnetização Material inicialmente não magnetizado Reta de carga para i 0 Magnetização termina aqui a Bma Hma Hmax Hm A reta de carga movese para a esquerda quando i diminui A reta de carga movese para a direita quando i aumenta Figura 123 a Curva de magnetização do Alnico 5 para o Exemplo 111 b família de retas de carga para Ag 2 cm2 e diversos valores de i mostrando o procedimento de magnetização do Exemplo 111 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 41 no entreferro será igual a 22100 10 T quando Ag 20 cm2 e 24108 054 T quando Ag 40 cm2 Na Fig 123a observe que quando operado dentro dessas varia ções de entreferro o ímã parece ter uma densidade de fluxo residual efetivo de 117 T em vez do valor inicial de 124 T Se as variações no entreferro estiverem limitadas ao intervalo considerado aqui o sistema continuará a operar na linha indicada por Reta de recuo na Fig 123a e dizemos que o ímã está estabilizado Como já foi discutido os materiais magnéticos duros como o Alnico 5 estarão sujeitos à desmagnetização se seus pontos de operação forem variados excessivamen te Como mostrado no Exemplo 111 esses materiais podem ser estabilizados com alguma perda na magnetização remanescente efetiva No entanto esse procedimen to não garante a estabilidade absoluta de operação Por exemplo se o material do Exemplo 111 fosse submetido a uma área de entreferro inferior a 2 cm2 ou a uma corrente excessiva de desmagnetização o efeito de estabilização seria apagado e o material passaria a operar em uma nova reta de recuo com uma redução adicional de magnetização No entanto muitos materiais como o samáriocobalto a Cerâmica 7 e o neodí mioferroboro veja Fig 119 cujos valores de coercividade são elevados tendem a apresentar valores muito baixos de permeabilidade de recuo e a reta de recuo é essen cialmente tangente à curva BH dentro de uma grande parte da região útil de opera ção Um exemplo pode ser visto na Fig 119 que mostra a curva de magnetização CC do neodímioferroboro e na qual vemos que esse material tem uma magnetização re manescente de 125 T e uma coercividade de 940 kAm A porção da curva que está entre esses pontos é uma linha reta com uma inclinação igual a 106μ0 Esse valor é igual ao da inclinação de sua reta de recuo Se esses materiais operarem nessa região de baixa permeabilidade incremental de suas curvas BH não haverá necessidade de estabilização desde que não sejam excessivamente desmagnetizados Muitas vezes é conveniente supor que a curva de magnetização CC desses ma teriais é linear dentro do seu intervalo útil de operação com uma inclinação igual à permeabilidade de recuo μR Dada essa suposição a curva de magnetização CC desses materiais pode ser escrita na forma B μRH Hc Br μRH 160 Aqui Hc é a coercividade aparente associada a essa representação linear Como pode ser visto na Fig 119 em geral a coercividade aparente é um tanto maior isto é um valor negativo mais elevado do que a coercividade Hc do material porque a curva característica de magnetização CC tende a se dobrar para baixo nos valores baixos de densidade de fluxo Uma característica significativa e um tanto infeliz dos ímãs permanentes é que suas propriedades dependem da temperatura Por exemplo a magnetização remanes cente e a coercividade do neodímioferroboro e do samáriocobalto diminuem com o aumento de temperatura embora o samáriocobalto seja muito menos sensível à temperatura do que o neodímioferroboro A Fig 124 mostra curvas de magnetização em diversas temperaturas para uma liga de neodímioferroboro para uso em temperaturas elevadas Vemos que o magne 42 Máquinas elétricas tismo remanescente cai de em torno de 114 T a uma temperatura de 20 C para cer ca de 085 T a uma temperatura de 180 C A Tabela 11 dá uma lista mais completa da densidade de fluxo remanescente em função da temperatura para esse material que tem uma permeabilidade de recuo μR 104μ0 É interessante que diferentemente dos ímãs de terras raras embora os ímãs de cerâmica exibam uma diminuição do magnetismo remanescente com a temperatura eles exibem um aumento correspondente de coercividade A Fig 125 mostra a na tureza geral da dependência de temperatura da característica de magnetização de um típico material magnético cerâmico Embora esses materiais magnéticos permanentes exibam uma redução de mag netização com o aumento de temperatura essa diminuição de magnetização frequen temente é reversível Desde que o ponto de operação do material magnético que varia quando a temperatura muda permaneça na região linear da característica de magne B T 0 025 05 Reta de carga Excitação zero 180o C 210o C e d c b a 120o C 80o C 20o C 075 1 125 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 H kAm Figura 124 Curvas de magnetização do segundo quadrante para o neodímioferroboro mos trando a sua dependência de temperatura Tabela 11 Densidade de fluxo remanescente em função da temperatura para as curvas de magnetização da Fig 124 Temperatura Br T Temperatura Br T 20 C 115 150o C 099 80 C 108 180o C 094 120 C 103 210o C 089 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 43 tização ele recuperará toda a sua magnetização com uma diminuição de temperatura Entretanto se a temperatura atingir um valor conhecido como temperatura Curie o material se desmagnetizará por completo e o magnetismo não será restaurado com a redução de temperatura11 Considere um circuito magnético contendo um ímã permanente e um enrola mento como o mostrado na Fig 126 A Fig 124 contém uma reta de carga de exci tação zero correspondendo ao funcionamento desse circuito magnético com corrente de enrolamento nula Quando a temperatura varia entre 20o C e 120o C o ponto de operação varia entre os pontos a e c Cada ponto de operação nesse intervalo de temperatura está em uma porção do laço de histerese do material que é linear no segundo quadrante Como vimos a operação nessa porção linear da característica de magnetização está estabilizada e quando a corrente do enrolamento é variada o material magnético continuará operando na porção linear da característica de magne tização desde que a operação permaneça no segundo quadrante12 O material não será permanentemente desmagnetizado e quando a temperatura for reduzida ele recupe rará qualquer perda de magnetização induzida por temperatura Se a temperatura for novamente aumentada um valor será atingido no qual a quebra para baixo aparecerá no segundo quadrante da característica de magnetização Isso pode ser visto nas curvas de 180o C e 210o C da Fig 124 No caso da caracterís tica de 180o C a corrente de enrolamento pode ser variada sem desmagnetizar o ímã 11 A temperatura Curie do neodímioferroboro é da ordem de 350o C e a do samáriocobalto e Alnico é da ordem de 700o C 12 Observe que o ímã ficará permanentemente desmagnetizado se seu ponto de operação for deslocado para o terceiro quadrante além do ponto onde a característica de magnetização cessa de ser linear e começa a se curvar para baixo 0 B Hc2 Hc1 H T1 T2 T2 T1 Br1 Br2 Figura 125 Forma geral da dependência de temperatura da característica de magnetização de um típico material magnético cerâmico 44 Máquinas elétricas desde que a densidade de fluxo magnético não caia abaixo do ponto onde a caracte rística de magnetização tornase não linear A operação abaixo desse ponto é análoga à operação do Alnico 5 como foi discutido em relação ao laço menor e a reta de recuo da Fig 121 Assim se uma corrente de enrolamento suficiente for aplicada para acionar esse ímã abaixo desse ponto e então a corrente for reduzida um laço menor será criado e o ímã ficará um tanto desmagnetizado Se a temperatura do ímã for re duzida o ímã se tornará parcialmente desmagnetizado No caso da característica de 210o C vemos que o ponto de operação de excitação zero recai na porção não linear da corrente de magnetização Como resultado qualquer corrente de enrolamento que aumente a densidade de fluxo magnético desmagnetizará o ímã Exemplo 112 Um circuito magnético similar ao da Fig 126 tem um enrolamento de 200 espiras N 200 e contém um ímã de neodímioferroboro de comprimento lm 3 cm e uma área de seção reta Am 25 cm2 O entreferro tem uma área efetiva de Ag 0259 cm2 e um comprimento efetivo de g 09 cm a Deduza uma expressão para a reta de carga desse circuito magnético em função da cor rente de enrolamento i e mostre que ela coincide com a reta de carga de excitação zero da Fig 124 quando a corrente de enrolamento é igual a zero b O circuito magnético é excitado por uma corrente de enrolamento senoidal com ampli tude de pico Ipico Para evitar a possibilidade de desmagnetizar o ímã é desejável limitar Ipico a um valor tal que a densidade de fluxo Bm permaneça positiva Calcule a amplitude máxima Ipico para as temperaturas de operação do ímã de 20 C e 120 C g lm μ Área Am Entreferro Área Ag N espiras i Bm Ímã Figura 126 Circuito magnético com um ímã um entreferro e um enrolamento de excitação Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 45 Solução a Esse circuito magnético é essencialmente idêntico ao do Exemplo 111 e da Fig 122 As sim a equação da reta de carga é idêntica à deduzida naquele exemplo Especificamente Com i 0 quando Hm 600 kAm essa equação dá Bm 026 T que coincide muito com a reta de carga com excitação zero da Fig 124 b Da Eq160 na região de operação linear a relação entre BM e Hm no ímã é dada por Bm Br μRHm Combinando essa expressão com a equação da reta de carga da parte a obtemos Para uma corrente com amplitude de pico Ipico Bm permanecerá positiva enquanto Para uma temperatura de 80o C da Tabela 11 Br 115 T e assim o valor máximo de Ipico é 132 A De modo similar para uma temperatura de 120o C Br 103 T e o valor máximo de Ipico é 118 A 17 Resumo Os dispositivos eletromecânicos que operam com campos magnéticos usam frequen temente materiais ferromagnéticos para guiar e concentrar esses campos Como a permeabilidade magnética dos materiais ferromagnéticos pode ser elevada até de zenas de milhares de vezes a do meio ambiente a maior parte do fluxo magnético está confinada a caminhos muito bem definidos e determinados pela geometria do material magnético Além disso muitas vezes as frequências de interesse costumam ser baixas o bastante para permitir que os campos magnéticos sejam considerados quase estáticos Assim eles podem ser determinados simplesmente a partir do valor conhecido da FMM líquida que atua na estrutura magnética Nessas estruturas como resultado a solução dos campos magnéticos pode ser obtida de forma imediata usandose as técnicas de análise dos circuitos magnéticos Essas técnicas podem ser utilizadas para converter a solução complexa de um cam po magnético tridimensional no que é essencialmente um problema unidimensional Como em todas as soluções de engenharia uma certa experiência e bom senso são necessários mas a técnica fornece resultados úteis em diversas situações de interesse prático da engenharia 46 Máquinas elétricas Os materiais ferromagnéticos podem ser encontrados com uma ampla varie dade de características Em geral o seu comportamento é não linear e suas curvas características BH são muitas vezes representadas por famílias de laços BH de his terese As perdas por histerese e por correntes parasitas são funções do nível de fluxo da frequência de operação e também da composição dos materiais e dos processos de fabricação utilizados Um entendimento básico da natureza desses fenômenos é muito útil na aplicação desses materiais em dispositivos práticos Normalmente as propriedades importantes estão disponíveis na forma de curvas características forne cidas pelos fabricantes de materiais Certos materiais magnéticos em geral conhecidos como duros ou permanentes os ímãs são caracterizados por valores elevados de coercividade e de magnetização remanescente Esses materiais produzem um fluxo magnético significativo mesmo em circuitos magnéticos com entreferros de ar Por meio de um projeto adequado podem ser feitos para operar de forma estável em situações que os sujeitam a uma faixa ampla de variação de temperatura e de valores de FMM Os ímãs permanentes encontram aplicação em diversos dispositivos de pequeno porte como altofalantes motores CA e CC microfones e instrumentos analógicos de medida 18 Variáveis do Capítulo 1 μ Permeabilidade magnética Hm μ0 Permeabilidade do vácuo 4π 107 Hm μr Permeabilidade relativa μR Permeabilidade de recuo Hm φ ϕ φmax Fluxo magnético Wb ω Frequência angular rads ρ Densidade de massa kgm3 A Área da seção reta m2 B B Densidade de fluxo magnético T Br Magnetização residualremanescente T e Força eletromotiva V e E Tensão V E Intensidade de campo elétrico Vm f Frequência Hz F Força magnetomotriz A g Comprimento de entreferro m H H Hef Intensidade de campo magnético Am Hc Coercividade Am i I Corrente A iϕ Iφ ef Corrente de excitação A J Densidade de corrente Am2 l Dimensão linear m L Indutância H N Número de espiras P Potência W Pc Perdas no núcleo W Pa Voltsampères eficazes de excitação por massa unitária Wkg Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 47 48 Máquinas elétricas 13 Considere o circuito magnético da Fig 127 com as mesmas dimensões do Problema 11 Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita calcule a o número necessário de espiras para obter uma indutância de 15 mH e b a corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de 115 T 14 Repita o Problema 13 para uma permeabilidade de núcleo de μ 1700 μ0 15 O circuito magnético do Problema 11 tem um núcleo constituído de material não linear cuja permeabilidade em função de Bm é dada por em que Bm é a densidade de fluxo do material a Usando o MATLAB faça o gráfico de uma curva de magnetização CC para esse material Bm versus Hm no intervalo 0 Bm 21 T b Encontre a corrente necessária para se obter uma densidade de fluxo de 21 T no entreferro c Novamente usando o MATLAB faça o gráfico do fluxo concatenado da bobina em função da corrente da bobina quando essa varia de 0 até o valor encontrado na parte b 16 O circuito magnético da Fig 128 consiste em um núcleo e um êmbolo móvel de largura lp ambos de permeabilidade μ O núcleo tem uma área de seção reta Ac e um comprimento médio lc A área da sobreposição Ag para os dois entreferros é uma função da posição x do êmbolo e podese assumir que varie de acordo com Você pode desconsiderar os campos de espraiamento no entreferro e usar aproximações consistentes com a análise de circuitos magnéticos a Supondo que μ deduza uma expressão que forneça a densidade de fluxo magnético Bg no entreferro em função da corrente de enrolamen to i e da posição do êmbolo x assuma que x esteja limitada ao intervalo 0 x 05 X0 Escreva uma expressão para a respectiva densidade de fluxo no núcleo b Repita a parte a para uma permeabilidade finita μ x Êmbolo i g X0 lp g μ μ Bobina N espiras Núcleo comprimento médio lc área Ac Figura 128 Circuito magnético do Problema 16 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 49 17 O circuito magnético da Fig 128 tem 125 espiras e as seguintes dimensões Com x 05 X0 a indutância medida é 52 mH Usando aproximações ra zoáveis calcule a permeabilidade relativa μr do material do núcleo e do êmbolo 18 A Fig 129 mostra um indutor construído com dois núcleos em forma de C Cada núcleo tem uma área Ac e comprimento médio lc Há dois entreferros cada um de comprimento g e área efetiva Ag Finalmente há duas bobinas de N espiras uma em cada um dos núcleos em C Assumido uma permeabilidade infinita do núcleo e as dimensões seguintes para os núcleos Área da seção reta Ac Ag 387 cm2 Comprimento do núcleo lc 45 cm Comprimento de entreferro g 012 cm a Calcule o número de espiras necessário para obter uma indutância de 122 mH assumindo permeabilidade de núcleo infinita e que as bobinas estão conectadas em série Como o número de espiras deve ser inteiro a sua resposta deve estar arredondada para o inteiro mais próximo Calcule o valor de indutância com base no número resultante de espiras b A indutância poderá ser ajustada com mais precisão se alteramos o com primento do entreferro para obtermos a indutância desejada Com base no número de espiras encontrado na parte a calcule o comprimento de entreferro necessário para obter a indutância de 122 mH c Com base nesse último cálculo de indutor determine a corrente de indutor que produzirá uma densidade de fluxo no núcleo de 15 T Bobina 1 N espiras Bobina N espiras Núcleo em C Área Ac comprimento médio lc permeabilidade μ Entreferro Área Ag comprimento g Figura 129 Circuito magnético do Problema 18 50 Máquinas elétricas 19 Assumindo que as bobinas estão conectadas em paralelo repita o Problema 18 110 Repita o Problema 18 assumindo que o núcleo tem uma permeabilidade de 1800 μ0 111 O circuito magnético da Fig 128 e do Problema 16 tem as seguintes dimensões espiras a Supondo uma permeabilidade constante de μ 3150 μ0 calcule a cor rente requerida para obter uma densidade de fluxo de 125 T no entreferro quando o êmbolo está completamente retraído x 0 b Repita os cálculos da parte a para o caso em que o núcleo e o êmbolo são constituídos de um material não linear cuja permeabilidade é dada por em que Bm é a densidade de fluxo do material c Para o material não linear da parte b use o MATLAB para plotar a den sidade de fluxo do entreferro em função da corrente de enrolamento para x 0 e x 05X0 112 Um indutor com a forma da Fig 127 tem as dimensões Área da seção reta Ac 38 cm2 Comprimento médio do núcleo lc 19 cm N 122 espiras Supondo uma permeabilidade de núcleo de μ 3240 μ0 e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de espraiamento calcule o comprimen to de entreferro necessário para se obter uma indutância de 60 mH 113 O circuito magnético da Fig 130 consiste em anéis de material magnético dispostos em uma pilha de altura h Os anéis têm raios interno Ri e externo Re N espiras Ri g Re i Figura 130 Circuito magnético do Problema 113 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 51 Suponha que o ferro tenha permeabilidade infinita μ e despreze os efeitos de dispersão e de espraiamento magnéticos Para Ri 32 cm Re 41 cm h 18 cm g 015 cm calcule a O comprimento médio lc do núcleo e a área da seção reta Ac do núcleo b A relutância do núcleo Rc e a do entreferro Rg Para N 72 espiras calcule c A indutância L d A corrente i requerida para operar com uma densidade de fluxo no entre ferro de Bg 125 T e O respectivo fluxo concatenado λ da bobina 114 Repita o Problema 113 para uma permeabilidade de núcleo de μ 750 μ0 115 Usando o MATLAB faça o gráfico da indutância do indutor do Problema 113 em função da permeabilidade relativa do núcleo quando essa varia de μr 100 até μr 100000 Sugestão Plote a indutância versus o logaritmo da permeabilidade relativa Qual é a permeabilidade relativa mínima do nú cleo para assegurar que a indutância esteja a menos de 5 do valor calculado supondo que a permeabilidade do núcleo seja infinita 116 O indutor da Fig 131 tem um núcleo de seção reta circular uniforme de área Ac comprimento médio lc permeabilidade relativa μr e um enrolamento de N espiras Escreva uma expressão para a indutância L 117 O indutor da Fig 131 tem as seguintes dimensões Ac 11 cm2 lc 12 cm g 09 mm N 520 espiras a Desprezando os campos de espraiamento e dispersão e supondo μr 1000 calcule a indutância b Calcule a densidade de fluxo do núcleo e o fluxo concatenado do indutor para uma corrente de enrolamento de 12 A Bobina de N espiras g Núcleo comprimento médio lc área Ac permeabilidade relativa μr Figura 131 Indutor do Problema 116 52 Máquinas elétricas 118 O indutor do Problema 117 deve operar com uma fonte de tensão de 60 Hz a Supondo uma resistência de bobina desprezível calcule a tensão eficaz no indutor que corresponde a uma densidade de fluxo de pico no núcleo de 15 T b Com essa condição de operação calcule a corrente eficaz e a energia arma zenada de pico 119 Assuma que o material do indutor do Problema 117 tem a permeabilidade dada no Problema 15 Escreva um script de MATLAB para calcular a densidade de fluxo no núcleo e o fluxo concatenado do indutor com uma corrente de 12 A 120 Considere o circuito magnético cilíndrico da Fig 132 Essa estrutura conhe cida como potcore é constituída em geral de duas metades cilíndricas A bobina de N espiras é enrolada em um carretel e quando as duas metades são montadas ela pode ser facilmente inserida na coluna disposta no eixo central do núcleo Como o entreferro está no interior do núcleo e se este não entrar em saturação excessiva um fluxo magnético relativamente baixo se dispersará do núcleo Isso faz essa estrutura ter uma configuração especialmente atraente para uma ampla variedade de aplicações em indutores como o da Fig 131 e também em transformadores Suponha que a permeabilidade do núcleo seja μ 2300 μ0 e que N 180 espiras As seguintes dimensões são especificadas a Embora a densidade de fluxo nas seções radiais do núcleo as seções de es pessura h diminuam na realidade com o raio assuma que a densidade de fluxo permanece uniforme Encontre o valor de R3 para o qual a densidade de fluxo média na parede externa do núcleo é igual àquela no interior do cilindro central b Escreva uma expressão para a indutância da bobina e calculea para as dimensões dadas c O núcleo deve operar com uma densidade de fluxo de pico de 06 T em uma frequência de 60 Hz Encontre i o respectivo valor eficaz da tensão g l h h l i R3 R2 R1 μ ν CL Enrolamento de N espiras Figura 132 Indutor potcore do Problema 120 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 53 induzida no enrolamento ii a corrente eficaz na bobina e iii a energia armazenada de pico d Repita a parte c para a frequência de 50 Hz 121 Uma forma de onda quadrada de tensão com frequência fundamental de 60 Hz e semiciclos positivos e negativos iguais de amplitude E é aplicada a um enrolamento de 575 espiras em um núcleo fechado de ferro de seção reta igual a Ac 9 cm2 e comprimento lc 35 cm Despreze a resistência do enro lamento e todos os efeitos de fluxo disperso a Faça um esboço da tensão do fluxo concatenado no enrolamento e do flu xo no núcleo em função do tempo b Encontre o valor máximo admissível para E se a densidade máxima de fluxo não puder ser superior a 095 T c Calcule a corrente de pico no enrolamento se o núcleo tiver uma permeabi lidade magnética de μ0 122 Assuma que o núcleo de ferro do Problema 121 pode ser descrito por uma permeabilidade magnética dada por em que B é a densidade de fluxo do núcleo a Plote a curva BH do material do núcleo para densidades de fluxo no inter valo 18 T B 18 T b Uma tensão senoidal eficaz de 110 V e 60 Hz é aplicada ao enrolamento Usando MATLAB plote um ciclo da corrente de enrolamento resultante em função do tempo Qual é a corrente de pico c A tensão da parte b é dobrada para 220 Vef Acrescente um gráfico da corrente resultante em função do tempo para o gráfico da parte b Qual é a corrente de pico nesse caso 123 Repita as partes b e c do Problema 122 se um entreferro de 10 mm for inserido no núcleo magnético 124 Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada na Fig 131 O núcleo tem seção reta uniforme de área Ac 60 cm2 e compri mento médio lc 28 cm a Calcule o comprimento do entreferro g e o número de espiras N tais que a indutância seja 23 mH e de modo que o indutor possa operar com correntes de pico de 10 A sem saturação Suponha que a saturação ocorra quando a densidade de fluxo de pico do núcleo exceda a 17 T e que abaixo da satu ração o núcleo tenha permeabilidade μ 2700 μ0 b Para uma corrente de indutor de 10 A use a Eq 321 para calcular i a energia magnética armazenada no entreferro e ii a energia magnética ar mazenada no núcleo Mostre que a energia magnética armazenada total é dada pela Eq 146 125 Escreva um script de MATLAB para projetar indutores com base no núcleo magnético da Fig 131 Assuma que o núcleo tem uma seção reta com área de 54 Máquinas elétricas 100 cm2 um comprimento de 35 cm e uma permeabilidade magnética rela tiva de 1700 O indutor deve funcionar com uma corrente senoidal de 50 Hz e deve ser projetado de tal forma que o pico da densidade de fluxo no núcleo seja igual a 14 T quando o pico da corrente no indutor for 75 A Escreva um programa simples para projeto por computador na forma de um script de MATLAB Ele deve calcular o número de espiras e o comprimen to do entreferro em função da indutância desejada O script deve ser escrito de modo que solicite do usuário um valor de indutância em mH e que a saída seja o comprimento do entreferro em milímetros e o número de espiras Escreva o seu script de modo que rejeite os projetos nos quais o comprimento do entreferro esteja fora do intervalo de 005 mm a 60 mm ou nos quais o número de espiras seja menor do que 10 Usando o programa encontre as indutâncias a mínima e b máxima com o valor mais próximo em mH que satisfaça às especificações dadas Para cada um desses valores determine o comprimento de entreferro necessário o número de espiras assim como a tensão eficaz correspondente ao fluxo de pico do núcleo 126 Considere um indutor composto de dois núcleos em C como mostrado na Fig 129 Cada núcleo em C tem um seção reta de área Ac 105 cm2 e um compri mento médio de lc 48 cm a Assumindo que as bobinas estão conectadas em paralelo calcule o número de espiras N por bobina e o comprimento do entreferro g tal que a indutân cia seja 350 mH e tal que a corrente no indutor possa ser aumentada para 60 A sem ultrapassar uma densidade de fluxo no núcleo de 12 T evitando assim a saturação do núcleo Você pode ignorar a relutância do núcleo e os efeitos de espraiamento no entreferro b Repita a parte a assumindo que as bobinas estão conectadas em série 127 Assumindo que os núcleos em C do Problema 126 têm uma permeabilidade magnética de μ 3500 μ0 repita o Problema 126 128 Escreva um script de MATLAB para fazer o cálculo automático dos Proble mas 126 e 127 As entradas do seu script devem ser a área do núcleo o com primento médio do núcleo a permeabilidade do núcleo e o tipo de conexão dos enrolamentos paralelo ou em série assim como a indutância desejada a densidade de fluxo máxima no núcleo e a corrente Use o seu script para pro jetar um indutor de 220 mH cujos núcleos têm seção reta com área de 40 cm2 e comprimento médio de 35 cm O indutor deve ser capaz de suportar uma corrente de até 90 A com uma densidade de fluxo que não excede 11 T 129 Um mecanismo proposto para armazenar energia consiste em uma bobina de N espiras enrolada em torno de um grande núcleo toroidal de material não magnético μ μ0 como mostrado na Fig 133 Como se pode ver na figura o núcleo tem uma seção reta circular de raio a e um raio toroidal r medido até o centro da seção reta A geometria desse dispositivo é tal que o campo mag nético pode ser considerado nulo em qualquer ponto fora do toro Supondo que a r então podese considerar que o campo H no interior do toro esteja orientado acompanhando o toro e que tenha magnitude uniforme dada por Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 55 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 56 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 57 133 O circuito magnético simétrico da Fig 136 tem três enrolamentos Os enrola mentos A e B têm N espiras cada um e são enrolados nas duas pernas inferio res do núcleo As dimensões do núcleo estão indicadas na figura a Encontre a indutância própria de cada um dos enrolamentos b Encontre as indutâncias mútuas entre os três pares de enrolamentos c Encontre a tensão induzida no enrolamento 1 quando as correntes iAt e iBt dos enrolamentos A e B estão variando no tempo Mostre que essa tensão pode ser usada para medir o desequilíbrio diferença entre duas correntes senoidais de mesma frequência 134 O gerador alternador recíproco da Fig 137 tem um êmbolo móvel de posi ção x montado de tal modo que desliza para dentro e para fora de uma estru tura magnética conhecida como yoke mantendo o espaçamento g constante nos dois lados entre o êmbolo e o yoke Esses dois podem ser considerados com permeabilidade infinita O movimento do êmbolo está restringido de tal modo que sua posição limitase a 0 x w Há dois enrolamentos nesse circuito magnético O primeiro enrolamento tem N1 espiras e conduz uma corrente CC constante I0 O segundo de N2 espi ras está em circuito aberto e pode ser conectado a uma carga a Desprezando os efeitos de espraiamento encontre a indutância mútua en tre os enrolamentos 1 e 2 em função da posição x do êmbolo b O êmbolo é acionado por uma fonte externa de tal modo que o seu movi mento é descrito por em que ϵ 1 Encontre uma expressão para a tensão senoidal gerada como resultado desse movimento N de T Alusão à canga ou jugo devido à sua forma iB g N espiras N1 espiras iA i1 N espiras l1 l2 lA Núcleo Área Ac Permeabilidade μ Figura 136 Circuito magnético simétrico do Problema 133 Circuitos equivalentes para o Exemplo 22 a Impedância em série com o secundário b Impedância referida ao primário Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 59 a Encontre a relação entre a intensidade de campo magnético H nas chapas e a corrente i1 no enrolamento 1 b Encontre a relação entre a tensão v2 e a razão no tempo da variação de fluxo magnético B nas chapas c Encontre a relação entre a tensão v0 G v2dt e a densidade de fluxo Nesse problema mostramos que a intensidade do campo magnético H e a densidade do fluxo magnético B nas chapas são proporcionais à corrente i1 e à tensão v0 por meio de constantes conhecidas Assim no aço elétrico B e H podem ser medidas diretamente e as curvas características BH como discuti das nas Seções 13 e 14 podem ser determinadas 136 Da curva de magnetização CC da Fig 110 é possível calcular a permeabili dade relativa μr Bc μ0Hc do aço elétrico M5 em função do valor de fluxo Bc Supondo que o núcleo da Fig 12 seja feito de aço elétrico M5 com as dimensões dadas no Exemplo 11 calcule o intervalo de densidade de fluxo tal que a relutância do núcleo nunca exceda em 5 a relutância do circuito magnético total 137 Para testar as propriedades de uma amostra de aço elétrico chapas com a for ma dada na Fig 138 foram estampadas a partir de uma chapa de aço elé trico de espessura igual a 30 mm Os raios das chapas são Ri 80 mm e Re 90 mm Elas foram montadas em uma pilha de 15 chapas separadas por isolamento apropriado para evitar as correntes parasitas com o propósito de testar as propriedades magnéticas na frequência de 50 Hz a O fluxo na pilha de chapas será produzido com uma fonte de tensão de 50 Hz de amplitude variável com 20 V de amplitude de pico Desprezando qualquer queda de tensão na resistor de enrolamento calcule o número necessário de espiras N1 do enrolamento de excitação para assegurar que a pilha de chapas possa ser excitada até atingir uma densidade de fluxo de pico de 18 T b Com um enrolamento secundário de N2 10 espiras e um ganho de inte gração G 1000 observase que a saída do integrador é de 75 V de pico Calcule i o respectivo fluxo de pico da pilha de chapas e ii a respectiva amplitude da tensão aplicada ao enrolamento de excitação 138 As bobinas do circuito magnético mostrado na Fig 139 são conectadas em série de modo que os valores de FMM dos caminhos A e B tendem ambos a estabelecer fluxos na perna central C com o mesmo sentido As bobinas são enroladas com o mesmo número de espiras N1 N2 120 As dimensões são Área das seções retas das pernas A e B 8 cm2 Área da seção reta da perna C 16 cm2 Comprimento do caminho A 17 cm Comprimento do caminho B 17 cm Comprimento do caminho C 55 cm Entreferro 035 cm 60 Máquinas elétricas O material é do tipo aço elétrico M5 de 0012 polegadas Desconsidere o espraiamento e a dispersão a Quantos ampères são necessários para produzir uma densidade de fluxo de 13 T no entreferro b Dada a condição da parte a quantos joules de energia são armazenados no campo magnético do entreferro Com base nessa energia armazenada calcule a indutância desse enrolamento conectado em série c Calcule a indutância do sistema assumindo que o núcleo tenha permeabili dade infinita Compare a sua indutância com o valor calculado na parte b 139 A seguinte tabela mostra dados da metade superior de um laço de histerese simétrico de 60 Hz para uma amostra de aço magnético B T 0 02 04 06 07 08 09 10 095 09 08 07 06 04 02 0 H Aespirasm 48 52 58 73 85 103 135 193 80 42 2 18 29 40 45 48 Usando o MATLAB a plote esses dados b calcule a área do laço de histe rese em joules e c calcule a respectiva densidade de perdas no núcleo a 60 Hz em wattskg Assuma que a densidade do aço M5 é 765 gcm3 140 Um circuito magnético conforme mostrado na Fig 127 tem as seguintes dimensões Área da seção reta Ac 27 cm2 Comprimento médio do núcleo lc 70 cm Comprimento do entreferro g 24 mm N 95 espiras e é feito com aço elétrico M5 tendo as propriedades descritas nas Figs 110 112 e 114 Suponha que o núcleo esteja operando com uma densidade de fluxo senoidal de 60 Hz cuja densidade de fluxo eficaz é 11 T Desconsidere a resistência do enrolamento e a indutância de dispersão Para essas condições de operação obtenha a tensão do enrolamento a corrente eficaz do enrola mento e as perdas no núcleo A densidade do aço M5 é 765 gcm3 141 Repita o Exemplo 18 supondo que todas as dimensões do núcleo sejam duplicadas 142 Usando as curvas de magnetização do samáriocobalto dadas na Fig 119 encontre o ponto de produto energético máximo e os respectivos valores de densidade de fluxo e intensidade de campo magnético Usando esses valores repita o Exemplo 110 substituindo o ímã de Alnico 5 por um de samário A B C N1 N2 I1 I2 Figura 139 Circuito magnético do Problema 138 Capítulo 1 Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 61 cobalto De quanto isso reduz o volume de ímã necessário para se obter a densidade de fluxo desejada no entreferro 143 Usando as características de magnetização do neodímioferroboro dadas na Fig 119 encontre o ponto de produto energético máximo e os valores corres pondentes de densidade de fluxo e intensidade de campo magnético Usando esses valores repita o Exemplo 110 substituindo o ímã de Alnico 5 por um de neodímioferroboro De quanto isso reduz o volume de ímã necessário para se obter a densidade de fluxo desejada no entreferro 144 A Fig 140 mostra o circuito magnético de um altofalante de ímã permanen te A bobina móvel não mostrada produtora de som tem a forma cilíndrica e se ajusta ao entreferro Um ímã de samáriocobalto é usado para criar um campo magnético CC no entreferro Esse campo interage com as correntes da bobina móvel produzindo o movimento O projetista determinou que o entre ferro deve ter raio R 22 cm comprimento g 01 cm e altura h 11 cm Supondo que a estrutura em yoke e a peça polar tenham permeabilidade magnética infinita μ encontre a altura hm e o raio Rm do ímã de modo que seja fornecida uma densidade de fluxo magnético de 13 T no entreferro e seja requerido um volume mínimo de ímã Sugestão Refirase ao Exemplo 110 e à Fig 119 para determinar o ponto de produto energético máximo para o samáriocobalto 145 Repita o Problema 144 substituindo o ímã de samáriocobalto por um de neo dímioferroboro e utilizando as características de magnetização da Fig 119 146 Com base nas características de magnetização do material neodímioferro boro da Fig 124 e da Tabela 11 calcule o produto energético máximo para esse tipo de neodímioferroboro em cada uma das temperaturas da Tabela 11 além dos respectivos valores de H e B Sugestão Escreva uma expressão analítica para o produto energético máximo em termos de H usando o fato de que a permeabilidade de recuo é 104 μ0 147 No entreferro do circuito magnético da Fig 141 desejase obter uma densida de de fluxo magnético variável no tempo de acordo com Bg B0 B1 sen ωt em que B0 06 T e B1 020 T O campo CC B0 deve ser criado por um ímã de neodímioferroboro com a característica de magnetização da Fig 119 O Ímã Peça polar μ μ R g Yoke Entreferro h hm Rm CL Figura 140 Circuito magnético do altofalante do Problema 144 bobina móvel não mostrada 62 Máquinas elétricas campo variável no tempo deve ser criado por uma corrente variável no tempo Para Ag 7 cm2 g 035 cm N 175 espiras e com a característica de mag netização da Fig 119 encontre a o comprimento d e a área Am do ímã que permitirão obter a densidade de fluxo desejada no entreferro e minimizar o volume de ímã b A amplitude da corrente variável no tempo necessária para se obter a den sidade desejada de fluxo de entreferro variável no tempo 148 Um circuito magnético com a forma da Fig 141 deve ser projetado usando ma terial neodímioferroboro com as características da Fig 124 e da Tabela 11 O núcleo do circuito magnético terá uma área de seção reta Ag 9 cm2 e o comprimento do entreferro será g 032 cm O circuito deve ser projetado para operar com temperaturas de até 180o C a Encontre o comprimento d e a área Am do ímã que correspondem ao vo lume mínimo de ímã que produzirá uma densidade de fluxo magnético de 08 T com o sistema operando a uma temperatura de 180o C b Para o ímã da parte a encontre a densidade de fluxo no entreferro quando a temperatura de operação é 60o C N espiras Ímã Entreferro área Ag Área Am d g μ μ it Figura 141 Circuito magnético do Problema 147 C AP Í TU LO 2 Transformadores A ntes de prosseguir com este estudo de máquinas elétricas é desejável discutir certos aspectos da teoria dos circuitos magneticamente acoplados com ên fase na assim denominada ação do transformador Embora o transformador estático não seja um dispositivo de conversão de energia é um componente indispen sável de muitos sistemas de conversão de energia Como componente significativo de um sistema CA de potência o transformador torna possível a geração elétrica na tensão mais econômica a transmissão da energia na tensão mais econômica e a utilização da energia na tensão mais adequada de operação de um determinado dis positivo O transformador também é muito utilizado em circuitos de baixa potência em circuitos eletrônicos de baixas correntes e em circuitos de controle Eles executam funções como o isolamento de dois circuitos e o casamento de impedâncias entre uma fonte e sua carga permitindo a máxima transferência de potência Permitem ainda o isolamento da corrente contínua mantendo a continuidade CA entre dois circuitos Um transformador é um dos dispositivos mais simples e é constituído por dois ou mais circuitos elétricos acoplados por um circuito magnético comum Sua análise envolve muitos dos princípios essenciais ao estudo de máquinas elétricas Assim o nosso estudo do transformador servirá como ponte entre a introdução à análise de circuitos magnéticos do Capítulo 1 e o estudo mais detalhado de máquinas elétricas que veremos mais adiante 21 Introdução aos transformadores Basicamente um transformador consiste em dois ou mais enrolamentos acoplados por meio de um fluxo magnético comum Se um desses enrolamentos o primário for conectado a uma fonte de tensão alternada então será produzido um fluxo alternado cuja amplitude dependerá da tensão do primário da frequência da tensão aplicada e do número de espiras Uma porção desse fluxo denominado fluxo mútuo concate na um segundo enrolamento o secundário1 induzindo neste uma tensão cujo valor 1 Por convenção o primário é visto como a entrada do transformador e o secundário como a saída Entretanto em muitas aplicações a energia pode fluir em ambos os sentidos e o conceito de enrolamentos primário e secundário pode se tornar confuso Uma terminologia alternativa que se refere aos enrolamen tos como sendo de alta tensão e baixa tensão é usada normalmente eliminando essa confusão 64 Máquinas elétricas depende do número de espiras do secundário assim como da magnitude do fluxo comum e da frequência Ao se estabelecer uma proporção adequada entre os números de espiras do primário e do secundário praticamente qualquer relação de tensões ou relação de transformação pode ser obtida A essência de funcionamento de um transformador requer apenas a existência de um fluxo mútuo variável no tempo enlaçando dois enrolamentos Tal ação pode ocorrer entre enrolamentos acoplados pelo arquivo No entanto o acoplamento entre enrolamentos pode ser muito mais eficiente com o uso de um núcleo de ferro ou de algum outro material ferromagnético Nesse caso a maior parte do fluxo fica confi nada a um caminho delimitado de alta permeabilidade enlaçando os enrolamentos Tal transformador é normalmente denominado transformador de núcleo de ferro A maioria dos transformadores é desse tipo A maior parte da discussão a seguir ocupa se dos transformadores de núcleo de ferro Como discutido na Seção 14 para reduzir as perdas causadas por correntes parasitas no núcleo o circuito magnético consiste geralmente em uma pilha de chapas delgadas Dois tipos comuns de construção estão mostrados de forma es quemática na Fig 21 No tipo de núcleo envolvido Fig 21a os enrolamentos envolvem duas pernas de um núcleo magnético retangular e no tipo de núcleo envolvente Fig 21b os enrolamentos envolvem a perna central de um núcleo de três pernas Chapas de açosilício de 0014 polegadas 055 mm costumam ser usadas em transformadores que operam com frequências inferiores a algumas poucas centenas de hertz O açosilício tem as propriedades desejáveis de baixo custo e baixas perdas no núcleo apresentando alta permeabilidade em densidades de fluxo elevadas Algumas vezes os núcleos de pequenos transformadores usa dos em circuitos de comunicação de altas frequências e baixos níveis de energia são constituídos de ligas ferromagnéticas pulverizadas e comprimidas conhecidas como ferrites Em cada uma dessas configurações a maior parte do fluxo está confinada ao núcleo e portanto enlaça ambos os enrolamentos Os enrolamentos também produ Enrolamentos a Núcleo ϕ b ϕ 2 ϕ 2 Enrolamentos Núcleo Figura 21 Vistas esquemáticas de transformadores de a núcleo envolvido e b núcleo en volvente Capítulo 2 Transformadores 65 zem fluxo adicional conhecido como fluxo disperso enlaçando um dos enrolamen to sem enlaçar o outro Embora o fluxo disperso represente uma fração pequena do fluxo total desempenha um papel importante na determinação do comportamento do transformador Na prática a dispersão dos transformadores é reduzida subdivi dindose os enrolamentos em seções colocadas o mais próximo possível entre si Nos transformadores de núcleo envolvido cada enrolamento consiste em duas se ções uma em cada perna das duas pernas do núcleo e os enrolamentos do primário e do secundário são bobinas concêntricas Nos transformadores de núcleo envolven te variações da configuração de enrolamentos concêntricos podem ser usadas ou então os enrolamentos podem consistir em diversas bobinas delgadas em forma de panquecas que são montadas em uma pilha intercalandose as bobinas do primá rio e do secundário A Fig 22 ilustra a construção interna de um transformador de distribuição tal como usado em sistemas públicos de fornecimento de tensões adequadas ao uso por consumidores residenciais Um transformador de potência de grande porte está mostrado na Fig 23 22 Condições sem carga a vazio A Fig 24 mostra esquematicamente um transformador com o seu circuito secundário aberto e uma tensão alternada v1 aplicada aos terminais do primário Para simplificar os desenhos é prática comum em diagramas esquemáticos de transformadores mos trar os enrolamentos do primário e do secundário como se estivessem em pernas se paradas do núcleo como na Fig 24 embora na prática estejam intercalados Como Figura 22 Um transformador de distribuição típico dos tamanhos de 2 a 25 kVA 7200240120 V com proteção própria Apenas um isolador de alta tensão e um protetor contra raios são necessários porque um lado da linha de 7200 V e um lado do primário estão aterrados 66 Máquinas elétricas discutido na Seção 14 uma pequena corrente de regime estacionário iϕ denominada corrente de excitação circula no primário e estabelece um fluxo alternado no circuito magnético2 Esse fluxo induz uma FEM3 no primário igual a 21 2 Em geral a corrente de excitação corresponde ao valor líquido de ampèresespiras FMM que atua no circuito magnético não sendo possível distinguir se circula no enrolamento primário no secundário ou parcialmente em cada um deles 3 Como discutido no Capítulo1 o termo FEM força eletromotiva é usado muitas vezes no lugar de ten são induzida para representar aquela componente da tensão referente a um fluxo concatenado variável no tempo Figura 23 Um autotransformador de 230 kV Y115 kV Y 100133167 MVA Foto cortesia da empresa SPX Transformer Solutions Inc iφ φ e1 Enrolamento primário N espiras ν1 R1 Figura 24 Transformador com secundário aberto Capítulo 2 Transformadores 67 onde λ1 fluxo concatenado do enrolamento primário ϕ fluxo no núcleo enlaçando ambos os enrolamentos N1 número de espiras do enrolamento primário A tensão e1 é em volts quando ϕ é em webers Essa FEM junto com a queda de ten são na resistência de primário R1 mostrada esquematicamente como uma resistência em série na Fig 24 deve igualarse à tensão aplicada v1 Assim v1 R1 iϕ e1 22 Observe que para os objetivos desta discussão estamos desprezando os efeitos do fluxo disperso do primário o que corresponderia a acrescentar um termo adicional de FEM induzida à Eq 22 Em transformadores comuns esse fluxo é uma porcenta gem pequena do fluxo do núcleo por isso é justificável desprezálo aqui para nossos propósitos Entretanto representa um papel bem importante no comportamento dos transformadores e será discutido com algum detalhe na Seção 24 Na maioria dos transformadores de grande porte a queda de tensão a vazio sem carga na resistência de primário é de fato bem pequena Além disso a FEM in duzida e1 igualase bem de perto à tensão aplicada v1 Além disso as formas de onda de tensão e fluxo são quase senoidais A análise pode então ser bastante simplificada como já vimos na Seção 14 Assim se o fluxo instantâneo ϕ for ϕ φmax sen ωt 23 a tensão induzida e1 será 24 onde φmax é o valor máximo do fluxo e ω 2 πf onde a frequência é f Hz Em rela ção aos sentidos de referência da corrente e da tensão mostrados na Fig 24 a FEM induzida está adiantada 90 em relação ao fluxo O valor eficaz da FEM induzida e1 é 25 Conforme a Eq 22 se a queda de tensão na resistência for desprezível a força contraeletromotriz FCEM será igual à tensão aplicada Nessas condições quando uma tensão senoidal é aplicada a um enrolamento um fluxo senoidal deve estabele cerse no núcleo com um valor máximo de φmax satisfazendo a condição de que E1 na Eq 25 é igual ao valor eficaz V1 da tensão aplicada Assim 26 Nessas condições o fluxo do núcleo é determinado unicamente pela tensão apli cada a sua frequência e o número de espiras do enrolamento Essa importante relação aplicase não somente aos transformadores mas também a qualquer dispositivo que opere com uma tensão aplicada senoidal desde que as quedas de tensão referentes à 68 Máquinas elétricas resistência e à indutância do fluxo disperso sejam desprezíveis O fluxo do núcleo é estabelecido pela tensão aplicada e a corrente de excitação necessária é determinada pelas propriedades magnéticas do núcleo A corrente de excitação ajustase sozinha de tal forma que a FMM necessária é produzida criando o fluxo definido pela Eq 26 Não se deve subestimar a importância e utilidade desse conceito Em geral é muito útil na análise de máquinas elétricas alimentadas com fonte de tensão mono ou polifásicas Em um primeiro momento a resistência de enrolamento pode muitas vezes ser desconsiderada Apesar dos enrolamentos adicionais como por exemplo o enrolamento em curto do rotor nas máquinas de indução como veremos no Ca pítulo 6 o fluxo da máquina é determinado pela tensão aplicada e as correntes de enrolamento devem se ajustar para produzir a FMM correspondente Devido às propriedades magnéticas não lineares do ferro a forma de onda da corrente de excitação difere da forma de onda do fluxo A corrente de excitação de uma forma de onda de fluxo senoidal não será senoidal Esse efeito é especialmente evidente em circuitos magnéticos fechados como os encontrados em transformado res Em circuitos magnéticos nos quais a relutância é determinada em sua maior parte por um entreferro com característica magnética linear como é o caso de muitas máquinas elétricas as relações entre o fluxo líquido e a FMM aplicada é relativamen te linear Nesse caso a corrente de excitação será muito mais senoidal No caso de um circuito magnético fechado uma curva da corrente de excitação em função do tempo pode ser obtida graficamente a partir do laço de histerese CA como foi discutido na Seção 14 e mostrado na Fig 111 Se a corrente de excitação for analisada por métodos baseados em série de Fourier constatase que ela consiste em uma componente fundamental e uma série de harmônicas ímpares A componente fundamental pode por sua vez ser decomposta em duas componentes uma em fase com a FCEM e a outra atrasada 90 em relação à FCEM A componente em fase fornece a potência absorvida no núcleo pelas perdas por histerese e por correntes pa rasitas É referida como a componente de perdas no núcleo da corrente de excitação Quando a componente de perdas no núcleo é subtraída da corrente total de excitação o resultado é denominado corrente de magnetização Compreende uma componente fundamental atrasada 90 em relação à FCEM junto com todas as harmônicas A harmônica principal é a terceira No caso de transformadores de potência comuns a terceira harmônica representa cerca de 40 da corrente de excitação Exceto em problemas que tratam diretamente dos efeitos das correntes harmô nicas em geral as peculiaridades da forma de onda da corrente de excitação não precisam ser levadas em consideração porque a corrente de excitação em si é peque na especialmente em transformadores de grande porte Por exemplo no caso de um transformador de potência comum a corrente de excitação constitui cerca de 1 a 2 da corrente a plena carga Logo os efeitos das harmônicas são muitas vezes encober tos pelas correntes senoidais fornecidas aos outros elementos lineares do circuito A corrente de excitação pode então ser representada por uma corrente senoidal equiva lente de mesmo valor eficaz e frequência capaz de produzir a mesma potência média que a corrente de excitação real Tal representação é essencial à construção de um diagrama fasorial que repre senta em forma vetorial as relações de fase entre as várias tensões e correntes de um sistema Cada sinal é representado por um fasor cujo módulo é proporcional à am Capítulo 2 Transformadores 69 plitude do sinal e cujo ângulo é igual ao ângulo de fase do sinal medido em relação a um sinal de referência escolhido Na Fig 25 os fasores Ê1 e respectivamente re presentam as amplitudes complexas da FEM eficaz induzida e do fluxo O fasor Îϕ re presenta a amplitude complexa da corrente senoidal equivalente eficaz de excitação Em relação à FEM induzida Ê1 ela está atrasada de um ângulo θc Também mostrado na figura está o fasor Îc em fase com Ê1 que é a componente de perdas no núcleo da corrente de excitação A componente Îm em fase com o fluxo representa uma cor rente senoidal equivalente com o mesmo valor eficaz que a corrente de magnetização O valor das perdas no núcleo Pnúcleo igual ao produto das componentes em fase de Ê1 e Îϕ é dado por Pnúcleo E1 Iϕ cos θc E1 Ic 27 As Figs 112 e 114 mostram em voltsampères algumas curvas características da excitação e das perdas no núcleo para chapas de açosilício de alta qualidade usa das em transformadores de potência e distribuição Exemplo 21 No Exemplo 18 as perdas no núcleo e os voltsampères de excitação do núcleo da Fig 115 para Bmax 15 T e 60 Hz foram calculados obtendose Pnúcleo 16W V Ief 20 VA e a tensão induzida foi V 274 194 V eficaz quando o enrolamento tinha 200 espiras Encontre o fator de potência a corrente Ic das perdas no núcleo e a corrente de magne tização Im Solução Fator de potência cos θc 080 atrasado assim θc 369 Sabemos que o fator de potência está atrasado porque o sistema é indutivo Corrente de excitação Iϕ 010 A eficaz Componente de perdas no núcleo Ic 0082 A eficaz Componente de magnetização Im Iϕ sen θc 0060 A eficaz θc Îc Îϕ Îm ˆ Ê1 Figura 25 Diagrama fasorial sem carga a vazio 70 Máquinas elétricas 23 Efeito da corrente do secundário transformador ideal Como uma primeira aproximação para uma teoria quantitativa considere um trans formador com um enrolamento primário de N1 espiras e um secundário de N2 espiras como mostrado esquematicamente na Fig 26 Observe que a corrente do secundário é definida como positiva quando sai do enrolamento Assim uma corrente positiva no secundário produz uma FMM de sentido oposto ao criado por uma corrente positiva no primário Vamos idealizar as propriedades desse transformador supondo que as resistências dos enrolamentos são desprezíveis que todo o fluxo está confinado ao núcleo enlaçando completamente ambos os enrolamentos o fluxo disperso é consi derado desprezível que não há perdas no núcleo e que a permeabilidade do núcleo é tão alta que apenas uma FMM de excitação insignificante é requerida para criar o fluxo Na prática com os transformadores reais aproximações muito boas dessas pro priedades são alcançadas mas nunca inteiramente Um transformador hipotético que apresente essas propriedades é em geral denominado transformador ideal Dadas essas suposições quando uma tensão v1 variável no tempo é aplicada aos terminais do primário então um fluxo ϕ deve ser estabelecido no núcleo de modo que a FCEM e1 seja igual à tensão aplicada v1 Assim 28 O fluxo do núcleo também enlaça o secundário produzindo uma FEM induzida e2 e uma outra tensão igual v2 nos terminais do secundário dadas por 29 Da razão entre as Eqs 28 e 29 vem 210 Assim um transformador ideal transforma tensões na razão direta das espiras de seus enrolamentos Agora vamos assumir que uma carga que consome uma corrente i2 é conectada ao secundário A corrente de carga produzirá assim uma FMM N2i2 no secundário Como a tensão aplicada no primário determina o fluxo no núcleo conforme especificado pela N1 N2 i1 v1 i2 v2 Carga ϕ Figura 26 Transformador ideal com carga Capítulo 2 Transformadores 71 Eq 28 o fluxo no núcleo não se altera pela presença de uma carga no secundário Além disso como a FMM líquida que atua no núcleo igual a N1i1 N2i2 deve permanecer desprezível as correntes do primário e do secundário devem satisfazer à equação N1i1 N2i2 0 211 Da Eq 211 vemos que uma FMM de compensação deve surgir no primário para cancelar a do secundário Portanto N1i1 N2i2 212 Dessa discussão concluímos que o requisito de que o fluxo no núcleo e conse quentemente a respectiva FMM líquida permaneçam inalteradas é o meio pelo qual o primário toma conhecimento da presença de uma corrente de carga no secundário Qualquer mudança na FMM que circula no secundário resultante de uma carga se faz acompanhada de uma mudança correspondente na FMM do primário Observe que para os sentidos de referência mostrados na Fig 26 os valores de FMM de i1 e i2 estão em sentidos opostos e portanto compensamse Da Eq 212 213 Portanto um transformador ideal transforma correntes na razão inversa das espiras de seus enrolamentos Observe também das Eqs 210 e 213 que v1i1 v2i2 214 ou seja a potência instantânea de entrada do primário é igual à potência instantânea de saída do secundário uma condição necessária porque todos os mecanismos dissi pativos e de armazenamento de energia foram desconsiderados Uma propriedade adicional do transformador ideal pode ser vista examinando se o caso em que se aplica uma tensão senoidal e usase uma impedância como car ga O circuito está mostrado de forma simplificada na Fig 27a na qual os terminais do transformador assinalados com marcas circulares correspondem aos terminais marcados de forma semelhante na Fig 26 Como todas as tensões e correntes são senoidais elas são representadas por suas amplitudes complexas As marcas circula res indicam terminais de polaridades correspondentes isto é se seguirmos ao longo dos enrolamentos primário e secundário da Fig 26 começando nos terminais com a b N1 V1ˆ V2ˆ V1ˆ V1ˆ Z2 N2 a Î1 Î2 Î1 Î1 Î2 a b Z2 2 N2 N1 c a b N1 N2 Z2 2 N2 N1 b Figura 27 Três circuitos que são idênticos nos terminais ab quando o transformador é ideal 72 Máquinas elétricas marcas verificaremos que ambos os enrolamentos circundam o núcleo no mesmo sentido em relação ao fluxo Portanto se comparamos as tensões dos dois enrola mentos as tensões de um terminal com marca até o outro sem marca terão as mesmas polaridades instantâneas no primário e no secundário Em outras palavras as tensões e da Fig 27a estão em fase As correntes Î1 e Î2 também estão em fase como se vê a partir da Eq 212 Observe novamente que a polaridade de Î1 é definida como entrando no terminal marcado e a polaridade de Î2 como saindo do terminal marcado Os circuitos da Fig 27 nos permitirão investigar as propriedades da transfor mação de impedâncias de um transformador Em forma fasorial as Eq 210 e 213 podem ser expressas como 215 216 Dessas equações vem 217 Observamos que a impedância de carga Z2 relacionase com a tensão e a corren te do secundário por 218 onde Z2 é a impedância complexa da carga Consequentemente das Eqs 217 e 218 vemos que a impedância Z1 vista nos terminais ab é igual a 219 e consequentemente vemos que nos terminais ab uma impedância Z2 no circuito secundário poderá ser substituída por uma impedância equivalente Z1 no circuito pri mário se satisfizer à relação 220 Os três circuitos da Fig 27 são indistinguíveis quando os seus desempenhos são observados a partir dos terminais ab Esse modo de transferir a impedância de um lado a outro de um transformador é conhecido por referir ou refletir a impedância para o outro lado As impedâncias são transformadas proporcionalmente ao quadrado da relação de espiras Do mesmo modo as tensões e correntes podem ser referidas a um lado ou outro usandose as Eqs 215 e 216 para calcular a tensão e a corrente equivalentes no lado escolhido Em resumo em um transformador ideal as tensões são transformadas na ra zão direta da relação de espiras as correntes na razão inversa e as impedâncias na Um transformador de distribuição de 50 kVA 2400240 V e 60 Hz tem uma impedância de dispersão de 072 j092 Ω no enrolamento de alta tensão e 00070 j00002 Ω no de baixa tensão Na tensão e frequência nominais a impedância Zp do ramo em derivação igual à impedância de Re e jXm em paralelo responsável pela corrente de excitação é 632 j437 Ω quando vista do lado de baixa tensão 74 Máquinas elétricas 24 Reatâncias no transformador e circuitos equivalentes As diferenças de um transformador real em relação a um ideal devem ser incluídas em grau maior ou menor na maioria das análises de desempenho dos transformado res Um modelo mais completo deve levar em consideração os efeitos das resistências dos enrolamentos os fluxos dispersos e as correntes finitas de excitação relativas à permeabilidade finita não linear na realidade do núcleo Em alguns casos as capa citâncias dos enrolamentos também têm efeitos importantes notavelmente em pro blemas que envolvem o comportamento do transformador em frequências acima da faixa de áudio ou durante condições transitórias com variações muito rápidas como as encontradas em transformadores de sistemas de potência resultantes de surtos de tensão causados por raios ou transitórios de chaveamento Entretanto a análise desses problemas de alta frequência está além do escopo desta abordagem e por essa razão as capacitâncias dos enrolamentos serão desprezadas Dois métodos de análise pelos quais as características reais e não as ideais po dem ser levadas em consideração são 1 uma técnica de circuito equivalente baseada em raciocínio físico e 2 uma abordagem matemática baseada na teoria clássica dos circuitos magneticamente acoplados Ambos os métodos são de uso corrente e ambos encontram paralelos quase iguais nas teorias de máquinas rotativas Como oferece um excelente exemplo do processo de raciocínio usado na conversão de conceitos físicos em uma teoria quantitativa a técnica do circuito equivalente será apresentada aqui Para iniciar o desenvolvimento de um circuito equivalente de transformador examinaremos primeiro o enrolamento primário O fluxo total que concatena o en rolamento primário pode ser dividido em duas componentes primeiro o fluxo mú tuo resultante confinado essencialmente ao núcleo de ferro e produzido pelo efeito combinado das correntes de primário e de secundário e segundo o fluxo disperso de primário que concatena apenas o primário Essas componentes estão identificadas no transformador esquemático mostrado na Fig 29 onde para simplificar os enrolamen tos do primário e do secundário estão mostrados em pernas opostas do núcleo Em um 1 2 1 2 Fluxo disperso do secundário Fluxo mútuo resultante ϕ Fluxo disperso do primário Figura 29 Vista esquemática dos fluxos mútuo e disperso de um transformador O sinal e o ponto indicam sentidos da corrente nas diversas bobinas Capítulo 2 Transformadores 75 transformador real com enrolamentos entrelaçados os detalhes da distribuição de flu xo são mais complicados mas as características essenciais permanecem as mesmas No enrolamento primário o fluxo disperso induz uma tensão que se soma àquela produzida pelo fluxo mútuo Como a maior parte do caminho do fluxo disperso está no ar esse fluxo e a tensão induzida por ele variam linearmente com a corrente Î1 de pri mário Portanto pode ser representado por uma indutância de dispersão do primário igual ao fluxo de dispersão concatenado com o primário por unidade de corrente de primário A correspondente reatância de dispersão de primário é dada por 221 Além disso haverá uma queda de tensão na resistência de primário R1 não mostrada na Figura 29 Vemos agora que a tensão nos terminais do primário consiste em três compo nentes a queda Î1R1 na resistência do primário a queda oriunda do fluxo disperso do primário e a FEM Ê1 induzida no primário pelo fluxo mútuo resultante A Fig 210a mostra um circuito equivalente do enrolamento primário que inclui todas essas tensões N de T O índice l referese à dispersão leakage em inglês a R1 R1 Îϕ Rc R2 N2 Ê2 Ê1 R1 Î1 Îϕ N1 Xm Rc R1 Rc Xm Î1 Îϕ Î1 Îc Î92 Îm Xm Ê1 Î1 Xl1 Xl1 Ê1 V1ˆ V1ˆ V2ˆ b c Ideal d V1ˆ ˆ Xl2 Xl1 Î92 Î2 V1ˆ Xl1 X9l2 Î92 R92 V92 Figura 210 Passos do desenvolvimento do circuito equivalente do transformador 76 Máquinas elétricas O fluxo mútuo resultante concatena ambos os enrolamentos primário e se cundário e é criado por suas FMMs combinadas É conveniente tratar essas FMMs considerando que a corrente do primário deve atender a duas condições do circuito magnético deve não só produzir a FMM requerida para produzir o fluxo mútuo re sultante mas deve também contrabalançar o efeito da FMM do secundário que atua no sentido de desmagnetizar o núcleo Um ponto de vista alternativo é que a corrente do primário deve não só magnetizar o núcleo como também fornecer corrente para a carga conectada ao secundário De acordo com esse quadro convém decompor a corrente do primário em duas componentes uma componente de excitação e uma componente de carga A componente de excitação Îϕ é definida como uma corrente de primário adicional necessária para produzir o fluxo mútuo resultante É uma corrente não senoidal cuja natureza foi descrita na Seção 224 A componente de carga Î2 é de finida como uma componente da corrente de primário que contrabalança exatamente a FMM da corrente de secundário Î2 Como a componente de excitação é a que produz o fluxo do núcleo a FMM líquida deve ser igual a N1Îϕ e vemos assim que 222 e da Eq 222 temos que 223 Da Eq 223 vemos que a componente de carga da corrente de primário é igual à cor rente de secundário referida ao primário como no transformador ideal A corrente de excitação pode ser tratada como uma corrente senoidal equivalen te Îϕ no modo descrito na Seção 22 podendo ser decomposta em uma componente de perdas no núcleo Îc em fase com a FEM Ê1 e em uma componente de magneti zação Îm atrasada de 90o em relação a Ê1 No circuito equivalente da Fig 210b a corrente de excitação senoidal equivalente foi levada em conta por meio de um ramo em derivação conectado a Ê1 Compreende uma resistência de perdas no núcleo Rc e em paralelo uma indutância de magnetização Lm cuja reatância conhecida como reatância de magnetização é dada por Xm 2π f Lm 224 No circuito equivalente da Fig 210b as perdas no núcleo devido ao fluxo mútuo resultante são dadas pela potência E21Rc A resistência Rc é referida como a resistência de magnetização que juntamente com Xm forma o ramo de excitação do circuito equivalente A combinação em paralelo de Rc e Xm será referida como a im pedância de magnetização Zϕ Quando se assume que Rc é constante supõese como consequência que as perdas no núcleo variem proporcionalmente a E21 Estritamente falando a reatância de magnetização Xm varia com a saturação do ferro Entretanto frequentemente assumese que Xm é constante logo assumese também que a cor 4 De fato a corrente de excitação corresponde à FMM líquida que atua no núcleo do transformador e não pode em geral ser considerada circulando apenas no primário Entretanto para os propósitos desta discus são essa distinção não é significativa Capítulo 2 Transformadores 77 rente de magnetização é independente da frequência e diretamente proporcional ao fluxo mútuo resultante Muitas vezes em operação normal Rc e Xm são determinados com os valores nominais de tensão e frequência Supõese também que permanecerão constantes mesmo que ocorram pequenos desvios em torno desses valores nominais A seguir acrescentaremos uma representação do enrolamento secundário ao nosso circuito equivalente Começamos constatando que o fluxo mútuo resultante induz uma FEM Ê2 no secundário Como esse fluxo concatena ambos os enro lamentos a razão entre as FEMs induzidas deve ser igual à relação de espiras dos enrolamentos isto é 225 exatamente como em um transformador ideal Essa transformação de tensão e mais a de corrente da Eq 223 podem ser incluídas introduzindose um transformador ideal no circuito equivalente como mostrado na Fig 210c Entretanto como visto no caso do enrolamento primário a FEM Ê2 não é a tensão presente nos terminais do secun dário por causa da resistência R2 do secundário e porque a corrente Î2 do secundário cria um fluxo disperso no secundário veja a Fig 29 Entre a tensão nos terminais do secundário e a tensão induzida Ê2 há uma diferença dada pela queda de tensão referido à resistência de secundário R2 e à reatância de dispersão do secundário correspondente à indutância de dispersão do secundário como mostrado à di reita de Ê2 no circuito equivalente do transformador Fig 210c A partir do circuito equivalente da Fig 210 podese ver que um transformador real é equivalente a um transformador ideal mais impedâncias externas Referindo todas as grandezas ao primário ou ao secundário o transformador ideal da Fig 210c pode ser deslocado respectivamente à direita ou à esquerda do circuito equivalente Isso é feito quase sempre e o circuito equivalente é desenhado em geral como na Fig 210d onde o transformador ideal não é mostrado e todas as tensões correntes e impedâncias são referidas ao enrolamento do primário ou secundário No caso espe cífico da Fig 210d temos 226 227 e 228 O circuito da Fig 210d é chamado circuito equivalente T de um transformador Na Fig 210d na qual as grandezas do secundário foram referidas ao primário os valores referidos estão indicados com sinais de plica por exemplo e R 2 para distinguilos dos valores reais da Fig 210c Na discussão a seguir lidaremos quase sempre com valores referidos e as plicas serão omitidas Devese simplesmente ter em mente o lado do transformador ao qual todas as grandezas foram referidas Em análises de engenharia envolvendo o transformador como elemento de circuito costumase adotar uma entre as diversas formas de aproximação e não o circuito ideal Capítulo 2 Transformadores 79 completo para o circuito equivalente da Fig 210 A aproximação escolhida para um determinado caso depende muito do raciocínio físico baseandose nas ordens de grandeza das variáveis que foram desconsideradas As aproximações mais comuns são apresentadas nesta seção Além disso são fornecidos métodos de ensaio para determinar as constantes do transformador Os circuitos equivalentes aproximados normalmente utilizados nas análise de transformadores de potência em frequência constante estão resumidos para compa ração na Fig 212 Todas as quantidades nesses circuitos são referidas ou ao primário ou ao secundário e o transformador ideal não aparece Muitas vezes os cálculos podem ser bastante simplificados deslocandose o ramo em derivação que representa a corrente de excitação desde o meio do circuito T até os terminais do primário ou secundário como na Fig 212a e b Essas formas de circuito equivalente são referidas como circuitos L O ramo em série é a combinação das resistências e das reatâncias de dispersão do primário e do secundário referidas ao mesmo lado Essa impedância é chamada algumas vezes de impedância equiva lente em série Suas componentes são a resistência equivalente em série Req e a rea tância equivalente em série Xeq como mostrado nas Fig 212a e b Quando comparado com o circuito equivalente T da Fig 210d o circuito L apresenta erros porque é desprezada a queda de tensão causada pela corrente de ex citação na impedância de dispersão do primário ou secundário Como a impedância do ramo de excitação é normalmente bem elevada em transformadores de potência de grande porte a respectiva corrente de excitação é bem pequena Esse erro é insignifi cante na maioria das situações que envolvem transformadores de grande porte Exemplo 24 Considere o circuito equivalente T da Fig 211a do transformador de distribuição com 50 kVA e 2400240 V do Exemplo 23 no qual as impedâncias estão referidas ao lado de alta tensão N de T Cantilever circuits em inglês a V1ˆ V1ˆ V2ˆ V1ˆ V2ˆ V2ˆ V2ˆ V1ˆ Rc Xm Îϕ Req Xeq c Î1 Î2 Xeq d Req R1 R2 Xeq Xl1 Xl2 Xeq Xl1 Xl2 Req R1 R2 b Î2 Î1 Î2 Îϕ Rc Xm Î1 Figura 212 Circuitos equivalentes aproximados de transformadores Figura 213 Circuito equivalente L do Exemplo 24 a Desenhe o circuito equivalente L com o ramo em derivação nos terminais de alta tensão Calcule e indique numericamente no desenho os valores de Req e Xeq b Com os terminais de baixa tensão em circuito aberto e 2400 V aplicados aos terminais de alta tensão calcule a tensão nos terminais de baixa tensão para cada tipo de circuito equivalente Solução a O circuito equivalente L está mostrado na Fig 213 Os valores de Req e Xeq são calculados simplesmente como a soma das impedâncias em série dos enrolamentos de alta e baixa tensão da Fig 211a ou seja Req 072 070 142 Ω Xeq 092 090 182 Ω b Para o circuito equivalente T da Fig 211a a tensão nos terminais cd será dada por Vcd 2400 Zg Zg Z1 2399 j03 V correspondendo a uma tensão eficaz de 2399 V Quando refletida aos terminais de baixa tensão pela relação de espiras de baixa para alta tensão essa tensão corresponde a 2399 V No circuito equivalente L da Fig 213 como a impedância de magnetização está ligada diretamente aos terminais de alta tensão não haverá queda de tensão nas impedâncias de dispersão em série e a tensão do secundário prevista será 240 V Essas duas soluções diferem em 0025 o que está dentro de uma excitação razoável em termos de engenharia justificando claramente o uso do circuito equivalente L na análise desse transformador Os circuitos da Fig 212 têm a vantagem adicional de que a resistência equivalente total Req e a reatância equivalente total Xeq podem ser determinadas por meio de um ensaio muito simples no qual um dos terminais é curtocircuitado Por outro lado o processo para se determinar as reatâncias de dispersão X1 e X2 e também um conjunto completo de parâmetros é mais difícil no caso do circuito equivalente T da Fig 210c O Exemplo 24 ilustra que devido à queda de tensão nas impedâncias de dispersão a relação das tensões medidas de um transformador não será idênticamente igual à relação idealizada de tensões que seria medida se o transformador fosse ideal De fato sem algum conhecimento a priori da relação de espiras baseado por exemplo no conhecimento da construção interna do transformador não é possível fazer um conjunto de medidas que determine de forma única a relação de espiras a indutância de magnetização e as impedâncias individuais de dispersão Podese mostrar a partir de medidas feitas nos terminais que a relação de espiras a reatância de magnetização e as reatâncias de dispersão de um circuito equivalente de um transformador não são características únicas Por exemplo a relação de espiras pode ser escolhida de forma arbitrária e para cada escolha haverá um conjunto correspondente de valores de reatâncias de dispersão e de magnetização que se ajustam às características medidas Cada um dos circuitos equivalentes terá as mesmas características elétricas nos terminais Esse fato tem a feliz consequência de que qualquer conjunto autoconstituído de parâmetros determinados empiricamente pode representar adequadamente o transformador 82 Máquinas elétricas Do circuito equivalente da Fig 211 vemos que Embora uma solução algébrica dessa equação complexa seja frequentemente a forma mais simples e direta de obter uma solução algumas vezes é útil resolver esses tipos de pro blema com o auxílio de um diagrama fasorial Ilustraremos isso com um diagrama fasorial referido ao lado de alta tensão como mostrado Fig 214b Do diagrama fasorial vem Observe que bc I X cos θ I R sen θ ab I R cos θ I X sen θ onde R e X são respectivamente a resistência e a reatância combinadas do transformador e do alimentador Assim bc 208342080 208172060 355 V ab 208172080 208342060 714 V A substituição dos valores numéricos mostra que V2 2329 V referida ao lado de alta tensão A tensão real nos terminais do secundário é 232910 ou V2 233 V Problema prático 23 Repita o Exemplo 25 para uma carga que consome a corrente nominal do transformador com um fator de potência de 08 adiantado Solução V2 239 V Dois ensaios muito simples servem para determinar os parâmetros dos circuitos equivalentes das Figs 210 e 212 Consistem em medir tensão corrente e potência na entrada do primário primeiro com o secundário em curtocircuito e após com o b θ θ a c b O Î RÎ jXÎ Vsˆ V2ˆ Carga Alimentador Transformador Vs 2400 V ˆ V2ˆ 030 j160 142 j182 Î 208 A com 080 de FP atrasado a θ Figura 214 a Circuito equivalente e b diagrama fasorial do Exemplo 25 Capítulo 2 Transformadores 83 secundário em circuito aberto ou a vazio Observe que seguindo a prática comum a relação de tensões do transformador é utilizada como relação de espiras quando referimos parâmetros de um lado a outro com o propósito de determinar parâmetros Ensaio de curtocircuito O ensaio de curtocircuito pode ser usado para encontrar a impedância equivalente em série Req j Xeq Embora seja arbitrária a escolha de qual enrolamento usar para o curtocircuito simplificaremos essa discussão conside rando que o curtocircuito seja aplicado ao secundário do transformador e a tensão ao primário Nesse tipo de ensaio por conveniência o lado de alta tensão em geral é como o primário Em um transformador comum como a impedância em série equi valente é relativamente baixa então uma tensão da ordem de 10 a 15 ou menos do valor nominal quando aplicada ao primário resultará na corrente nominal A Fig 215a mostra o circuito equivalente com a impedância do secundário do transformador referida ao lado do primário e um curtocircuito aplicado ao secundá rio A impedância de curtocircuito Zcc olhando para o primário nessas condições é 229 Como a impedância Zϕ do ramo de excitação é muito maior do que a impedância de dispersão do secundário o que é verdadeiro a não ser que o núcleo esteja muito saturado por uma tensão excessiva aplicada ao primário que não é o caso aqui a impedância de curtocircuito pode ser aproximada por Zcc R1 j Xl1 R2 j Xl2 Req j Xeq 230 Observe que a aproximação feita aqui é equivalente à aproximação feita quando o circuito equivalente T é reduzido ao equivalente L Isso pode ser visto a partir da Fig 215b A impedância vista na entrada desse circuito equivalente é claramente Zcc Zeq Req j Xeq porque o ramo de excitação foi colocado diretamente em curto pelo curtocircuito do secundário Normalmente a instrumentação utilizada nesse ensaio mede em módulo os valores eficazes da tensão aplicada Vcc da corrente de curtocircuito Icc e da potência R1 R2 Xl2 Xl1 a Vcc ˆ Îcc Rc Xm Req R1 R2 Xeq Xl1 Xl2 b Vcc ˆ Icc ˆ Rc Xm Figura 215 Circuito equivalente com o secundário em curtocircuito a Circuito equivalente completo b Circuito equivalente L com o ramo de excitação no secundário do transformador 84 Máquinas elétricas Pcc Baseandose nessas três medidas a resistência e reatância equivalentes referidas ao primário podem ser obtidas a partir de 231 232 233 onde o símbolo indica o módulo da grandeza complexa envolvida A impedância equivalente pode claro ser referida de um lado a outro do modo habitual Observe que o ensaio de curtocircuito não fornece informação suficiente para determinar as impedâncias de fluxo disperso individuais dos enrolamentos primá rio e secundário Nas ocasiões em que se deve usar o circuito equivalente T da Fig 210d valores aproximados das resistências e reatâncias de dispersão individuais do primário e do secundário podem ser obtidas supondo que R1 R2 05Req e Xl1 Xl2 05 Xeq com todas as impedâncias referidas ao mesmo lado Estritamente falando é evidente que se pode medir R1 e R2 diretamente realizando uma medida CC de resistência em cada enrolamento e então referindo uma ou outra ao outro lado do transformador ideal Entretanto como já foi discutido não existe um teste sim ples como esse para as reatâncias de dispersão Xl1 e Xl2 Ensaio de circuito aberto O ensaio de circuito aberto ou a vazio é realizado com o secundário em aberto e uma tensão aplicada ao primário Sob essas condições obtémse uma corrente de excitação de alguns poucos por cento da corrente de plena carga menor nos grandes transformadores e maior nos pequenos Normalmente a tensão nominal é escolhida de modo a assegurar que o núcleo e por consequência a reatância de magnetização opere em um nível de fluxo próximo daquele que ocorre em condições normais de operação Se o transformador for usado com alguma ou tra tensão diferente da nominal então o ensaio deve ser feito com aquela tensão e não com a nominal Por conveniência nesse ensaio o lado de baixa tensão é tomado usualmente como sendo o primário Nesse teste se o primário escolhido for o en rolamento oposto ao usado no ensaio de curtocircuito deveremos garantir que as diversas impedâncias medidas sejam referidas a um mesmo lado do transformador para obter um conjunto autoconsistente de valores de parâmetros A Fig 216a mostra o circuito equivalente com a impedância do secundário do transformador referida ao lado do primário e o secundário em aberto A impedância de circuito aberto Zca vista no primário sob essas condições é ca 234 Como a impedância do ramo de excitação é bem elevada normalmente a queda de tensão na impedância de dispersão do primário causada pela corrente de excitação é desprezível e a tensão aplicada ao primário é quase igual à FEM Êca induzida pelo fluxo resultante no núcleo Do mesmo modo a perda no primário causada pela corrente de excitação é desprezível Desse modo a potência de entrada Pca é quase igual à perda no núcleo Como resultado é comum ignorar a impedância de Capítulo 2 Transformadores 85 dispersão do primário e aproximar a impedância de circuito aberto como sendo igual à impedância de magnetização 235 Observe que a aproximação feita aqui é equivalente à aproximação feita ao se reduzir o circuito equivalente T ao equivalente L da Fig 216b A impedância vista na entrada desse circuito equivalente é claramente Zϕ porque nenhuma corrente irá circular no secundário em aberto Como no ensaio de curtocircuito a instrumentação típica utilizada nesse en saio mede os valores eficazes da tensão aplicada Vca da corrente de circuito aberto Ica e da potência Pca Desprezando a impedância de dispersão do primário e baseandose nessas três medidas a resistência e a reatância de magnetização referidas ao primá rio podem ser obtidas a partir de 236 237 238 Naturalmente os valores obtidos são referidos ao lado usado como primário neste ensaio O ensaio de circuito aberto pode ser usado para se obter as perdas no núcleo em cálculos de rendimento e para se verificar o módulo da corrente de excitação Algu mas vezes a tensão nos terminais em aberto do secundário é medida para verificar a relação de espiras Observe que se desejado um cálculo ligeiramente mais exato de Xm e Rc é pos sível usandose as medidas de R1 e Xl1 obtidas do ensaio de curtocircuito referido ao lado adequado do transformador e baseando a dedução na Eq 234 Entretan to esse esforço adicional raramente é necessário para os propósitos de exatidão tais como os adotados em engenharia R1 R2 a Vca ˆ Êca Îca Rc Xm b Vca ˆ Îca Rc Xm Xl1 Xl2 Req R1 R2 Xeq Xl1 Xl2 Figura 216 Circuito equivalente com o secundário em circuito aberto a Circuito equivalente completo b Circuito equivalente L com o ramo de excitação no primário do transformador 86 Máquinas elétricas Exemplo 26 Com os instrumentos aplicados no lado de alta tensão e o lado de baixa tensão em curtocircuito as leituras do ensaio de curtocircuito com o transformador de 50 kVA e 2400240 V do Exemplo 23 são 48 V 208 A e 617 W Um ensaio de circuito aberto com o lado de baixa tensão ener gizado fornece as leituras naquele lado de 240 V 541 A e 186 W Determine o rendimento e a regulação de tensão a plena carga do transformador com um fator de potência de 080 atrasado Solução Do ensaio de curtocircuito os valores da impedância equivalente da resistência equivalente e da reatância equivalente do transformador referido ao lado de alta tensão indicado pelo índice A são A operação a plena carga com um fator de potência de 080 atrasado corresponde a uma corrente de e uma potência de saída de Psaída Pcarga 0850000 40000 W Observe que o ensaio de curtocircuito foi realizado com a corrente nominal e conse quentemente as perdas I2R a plena carga serão iguais às do ensaio de curtocircuito De modo semelhante o ensaio de circuito aberto foi realizado com a tensão nominal e portanto as perdas de plena carga serão iguais às do ensaio de circuito aberto Como resultado o valor das perdas totais nessas condições de operação é igual à soma das perdas no enrolamento A A e das perdas no núcleo determinadas pelo ensaio de circuito aberto Pnúcleo 186 W Assim Pperdas Penrol Pnúcleo 803 W e a potência de entrada do transformador é Pentrada Psaída Pperdas 40803 W O rendimento de um dispositivo conversor de potência é definido como s s que pode ser expresso em percentagem multiplicandose por 100 Assim para essa condição de operação vem A regulação de tensão de um transformador é definida como a variação de tensão nos terminais do secundário quando se passa da condição sem carga para carga total É expressa Capítulo 2 Transformadores 87 normalmente como uma porcentagem da tensão a plena carga Em aplicações de sistemas de potência a regulação é uma figura de mérito de um transformador um valor baixo indica que as variações de carga do secundário no transformador não afetam de forma significativa o valor da tensão fornecida à carga É calculada supondo que a tensão do primário permanece constan te quando a carga é removida do secundário do transformador O circuito equivalente da Fig 212c será usado com todas as variáveis referidas ao lado de alta tensão Supõese que a tensão do primário seja ajustada de modo que a tensão dos termi nais do secundário tenha o seu valor nominal a plena carga ou V2A 2400 V Para uma carga com o valor nominal e fator de potência 08 atrasado correspondendo a um ângulo de fator de potência de θ cos1 08 369 a corrente de carga será O valor necessário de tensão no primário V1A pode ser calculado como O valor de é 2446 V Se essa tensão fosse mantida constante e a carga removida a ten são do secundário em circuito aberto se elevaria para 2446V referida ao lado de alta tensão Então Problema prático 24 Repita o cálculo da regulação de tensão do Exemplo 26 com uma carga de 50 kW carga espe cificada fator de potência unitário Solução Regulação 124 26 Autotransformadorestransformadores de múltiplos enrolamentos Os princípios discutidos nas seções anteriores foram desenvolvidos tendo como referên cia específica os transformadores de dois enrolamentos Aplicamse também a transfor madores com outras configurações de enrolamentos Nesta seção aspectos relativos a autotransformadores e transformadores de múltiplos enrolamentos serão examinados 261 Autotransformadores Na Fig 217a um transformador de dois enrolamentos é mostrado com N1 e N2 es piras nos enrolamentos primário e secundário respectivamente O mesmo efeito de transformação sobre tensões correntes e impedâncias pode ser obtido quando esses enrolamentos são conectados como mostrado na Fig 217b No entanto observe que 88 Máquinas elétricas nessa figura o enrolamento bc é comum a ambos os circuitos do primário e do se cundário Esse tipo de transformador é chamado autotransformador É similar a um transformador normal conectado de forma especial exceto que os enrolamentos de vem ser isolados adequadamente para suportar a tensão de funcionamento Uma diferença importante entre o transformador de dois enrolamentos e o au totransformador é que os enrolamentos do transformador de dois enrolamentos estão eletricamente isolados ao passo que os do autotransformador estão conectados direta mente entre si Além disso conectado como autotransformador o enrolamento ab exige uma isolação extra pois deve estar isolado contra a plena tensão máxima do autotrans formador Os autotransformadores têm reatâncias de dispersão menores perdas mais baixas menores correntes de excitação e custam menos que os transformadores de dois enrolamentos desde que as relações de tensões não sejam muito diferentes de 11 O exemplo a seguir ilustra os benefícios de um autotransformador nas situações em que o isolamento elétrico entre os enrolamentos do primário e do secundário não é uma consideração importante Exemplo 27 O transformador de 2400240 V e 50 kVA do Exemplo 26 é conectado em forma de auto transformador como mostrado na Fig 218a na qual ab é o enrolamento de 240 V e bc é o de 2400 V Supõese que o enrolamento de 240 V tem isolação suficiente para suportar uma tensão de 2640 V em relação à terra a Calcule as tensões nominais VA e VB nos lados de alta e baixa tensão respectivamente do autotransformador b Calcule a especificação nominal em kVA do autotransformador c Dados relativos às perdas são fornecidos no Exemplo 26 Calcule o rendimento a plena carga do autotransformador operando com uma carga nominal cujo fator de potência é 080 atrasado Solução a Como o enrolamento bc de 2400 V é conectado ao circuito de baixa tensão então VB 2400 V Quando Vbc 2400 V uma tensão Vab 240V em fase com Vbc será induzida no enrolamento ab as quedas de tensão causadas pela impedância de dispersão são despre zíveis Portanto a tensão do lado de alta tensão é VA Vab Vbc 2640 V N1 N2 a N2 N1 b c N1 N2 b a Figura 217 a Transformador de dois enrolamentos b Conectado como autotransformador Capítulo 2 Transformadores 89 b A partir do valor nominal de 50 kVA como transformador normal de dois enrolamentos a corrente nominal do enrolamento de 240 V será 50000240 208 A Como o terminal de alta tensão do autotransformador está conectado ao enrolamento de 240 V a corrente nomi nal IA no lado de alta tensão do autotransformador é igual à corrente nominal do enrolamen to de 240 V ou 208 A Portanto a especificação em kVA como autotransformador é dada por Observe que nessa configuração de conexão o autotransformador tem uma rela ção de espiras equivalente de 26402400 Assim a corrente nominal no enrolamento de baixa tensão o enrolamento de 2400 V nessa conexão deve ser A princípio isso parece um tanto perturbador porque o enrolamento de 2400 V do trans formador tem uma corrente nominal de 50 kVA2400 V 208 A Mais intrigante é o fato de que esse transformador cujo valor nominal como transformador normal de dois enrolamentos é 50 kVA é capaz de lidar com 550 kVA como autotransformador O valor mais alto como autotransformador é consequência do fato de que nem todos os 550 kVA devem ser transformados por indução eletromagnética De fato tudo que o transformador precisa fazer é impulsionar uma corrente de 208 A através de uma elevação de potencial de 240 V correspondendo a uma capacidade de transformação de 50 kVA Esse fato é melhor ilustrado talvez pela Fig 218b que mostra as correntes no autotransfor mador sob condições nominais Observe que os enrolamentos conduzem apenas os seus va lores nominais de corrente apesar da especificação nominal mais elevada do transformador c Quando conectado como autotransformador com as correntes e tensões mostradas na Fig 218 as perdas são as mesmas do Exemplo 26 ou seja 803 W Entretanto a saída como autotransformador a plena carga com um fator de potência de 080 é 080 550000 440000 W O rendimento portanto é O rendimento é tão elevado porque as perdas são as correspondentes a transformar ape nas 50 kVA b 2288 A 208 A 2288 A 208 A 208 A a c b a VB 2400 V VA 2640 V Figura 218 a Conexão em forma de autotransformador para o Exemplo 27 b Correntes sob carga nominal 90 Máquinas elétricas Problema prático 25 Um transformador de 450 kVA e 460 V797 kV tem um rendimento de 978 quando alimenta uma carga nominal com um fator de potência unitário Se for conectado como um autotrans formador de 797843 kV calcule as correntes nominais nos terminais a potência aparente em kVA e o rendimento quando alimenta uma carga com fator de potência unitário Solução A corrente nominal no terminal de 843 kV é 978 A no de 797 kV é 1034 A e a potência apa rente nominal é 825 MVA O seu rendimento quando alimenta uma carga de fator de potência unitário é 9988 Do Exemplo 27 vemos que quando o transformador é conectado na forma de um autotransformador como na Fig 217 as tensões nominais do autotransformador podem ser expressas em termos das tensões de um transformador de dois enrolamentos como Baixa tensão VBnominal V1nominal 239 Alta tensão 240 A relação de espiras efetiva do autotransformador é assim N1 N2N1 Além disso a potência nominal do autotransformador é igual a N1 N2N2 vezes a do transfor mador de dois enrolamentos embora a potência real manipulada pelo transformador não será superior à de um transformador padrão de dois enrolamentos 262 Transformadores de múltiplos enrolamentos Transformadores com três ou mais enrolamentos conhecidos como transformadores de múltiplos enrolamentos ou de múltiplos circuitos são usados muitas vezes para interconectar três ou mais circuitos que podem ter tensões diferentes Para esses pro pósitos um transformador de múltiplos enrolamentos custa menos e é mais eficiente do que um número equivalente de transformadores de dois enrolamentos Transfor madores com um primário e múltiplos secundários são encontrados frequentemente em fontes de alimentação CC de saídas múltiplas para aplicações em eletrônica Os transformadores de distribuição usados no fornecimento de energia elétrica para uso doméstico têm em geral dois secundários de 120 V conectados em série Circuitos de iluminação e aplicações de baixa potência são conectados aos enrolamentos de 120 V ao passo que fogões elétricos aquecedores de água secadores de roupa e ou tras cargas de potências elevadas são abastecidos com uma tensão de 240 V obtida dos secundários conectados em série Do mesmo modo um grande sistema de distribuição pode ser alimentado atra vés de um banco trifásico de transformadores de múltiplos enrolamentos a partir de N de T O autor referese aos Estados Unidos Três transformadores monofásicos podem ser conectados para formar um banco trifásico de transformadores Isso pode ser feito utilizando qualquer uma das quatro maneiras mostradas na Fig 219 Nas quatro subfiguras os enrolamentos da esquerda são os primários e os da direita os secundários Além disso qualquer enrolamento primário em um transformador corresponde ao respectivo enrolamento secundário desenhado em paralelo Também estão mostradas as tensões e correntes que resultam da aplicação equilibrada ao primário de tensões de linha V e correntes de linha I Suponhase que a relação de espiras entre primário e secundário seja dada por N1N2 a que o transformador seja ideal5 Observe que as tensões e correntes nominais do primário e do secundário do banco trifásico de transformadores dependem da conexão utilizada mais que o valor nominal em kVA do banco trifásico e três vezes o dos transformadores monofásicos individuais independentemente do tipo de conexão A conexão YΔ ou estrelatriângulo em geral é utilizada no abaixamento de uma tensão alta para uma tensão média ou baixa Uma razão para isso é que assim podese dispor de um neutro para aterramento no lado da alta tensão um procedimento que pode Capítulo 2 Máquinas elétricas 92 Capítulo 2 Transformadores 93 Capítulo 2 Máquinas elétricas 94 Capítulo 2 Transformadores 95 Figura 221 Diagrama unifilar do Exemplo 29 Solução Os cálculos serão feitos com base em um equivalente por fase linhaneutro com todas as grandezas referidas ao alimentador de 2400 V A tensão da fonte é então 24003 1385 V tensão de fase Da Eq 241 a impedância em série equivalente monofásica do transformador em ΔΔ vista no seu lado de 2400 V é Zeq Re jXeq 142 j182 3 047 j061 Ωfase Então a impedância em série total no curtocircuito é a soma dessa impedância mais a do transformador do lado de envio e a reatância do alimentador Ztot 047 j061 017 j092 j080 064 j233 Ωfase que tem um valor de Ztot 242 Ωfase O valor da corrente de fase no alimentador de 2400 V pode agora ser calculado simplesmente como a tensão de fase dividida pela impedância em série Corrente nos enrolamentos de 2400 V 1385 242 572 A e como mostrado na Fig 219c a corrente no enrolamento de 2400 V do transformador no lado de recepção é igual a corrente de fase dividida por 3 ou Corrente nos enrolamentos de 240 V 5723 330 A ao passo que a corrente nos enrolamentos de 240 V é 10 vezes este valor Corrente nos enrolamentos de 240 V 10 330 3300 A Por fim referindose à Fig 219c a corrente de fase nos terminais de 240 V em curtocircuito é dada por Corrente nos terminais de 240 V 33003 5720 A Naturalmente observe que esse mesmo resultado poderia ter sido calculado apenas lembrando que a relação de espiras do banco de transformadores em ΔΔ é igual a 101 e portanto em condições de equilíbrio trifásico a corrente de fase no lado de baixa tensão será 10 vezes a do lado de alta tensão 96 Máquinas elétricas Solução Corrente no alimentador de 2400 V 572 A Corrente nos enrolamentos de 2400 V 330 A Corrente nos enrolamentos de 416 V 3300 A Corrente nos terminais de 416 V 3300 A 28 Transformadores de tensão e corrente Os transformadores são usados frequentemente em aplicações de instrumentação para compatibilizar os valores das tensões e correntes com as faixas de operação de um medi dor ou de algum outro instrumento Por exemplo a maioria da instrumentação para siste mas de potência de 60 Hz baseiase em tensões na faixa de 0120 V eficazes e correntes na faixa de 05 A eficazes Como as tensões dos sistemas de potência alcançam 765 kV de linha e as correntes podem alcançar dezenas de kA é necessário algum método para fornecer aos instrumentos uma representação exata e em níveis baixos desses sinais Uma técnica comum utiliza transformadores especializados conhecidos como transformadores de potencial ou TPs e transformadores de corrente ou TCs Se cons truído com uma relação de espiras de N1N2 um transformador ideal de potencial teria uma tensão de secundário igual ao valor de N2N1 vezes a do primário e de mes ma fase Do mesmo modo um transformador ideal de corrente teria uma corrente de saída no secundário igual a N1N2 vezes a corrente de entrada do primário e novamen te de mesma fase Em outras palavras os transformadores de potencial e de corrente também referidos como transformadores de instrumentação são projetados para na prática funcionarem tão próximo quanto possível dos transformadores ideais O circuito equivalente da Fig 222 mostra um transformador carregado com uma impedância Zb Rb j Xb em seu secundário Para as finalidades desta discus são a resistência de perdas no núcleo Rc foi desprezada Se desejado a análise apre sentada aqui pode ser estendida facilmente para incluir esses efeitos Seguindo a ter minologia convencional a carga de um transformador de instrumentação muitas vzese é referida como burden do transformador daí vem o índice b na equação de impedância acima Para simplificar a nossa discussão optamos por referir todas as grandezas do secundário ao lado primário do transformador Considere primeiro um transformador de potencial Idealmente deve medir com exatidão a tensão e ao mesmo tempo comportarse como um circuito aberto para o sis tema que está sendo medido isto é consumindo corrente e potência desprezíveis Assim sua impedância de carga deve ser elevada no sentido em que será quantificada agora Primeiro vamos supor que o secundário do transformador esteja em circuito aberto Zb Nesse caso podemos escrever que 242 N de T Expressão pela qual essa carga especial costuma ser conhecida Em inglês significa fardo ou carga especialmente pesados Capítulo 2 Transformadores 97 Figura 222 Circuito equivalente de um transformador de instrumentação Dessa equação vemos que um transformador de potencial com um secundário em aberto tem um erro inerente em valor e fase devido à queda de tensão produzida pela corrente de magnetização na resistência de primário e na reatância de dispersão Se for possível fazer a resistência de primário e a reatância de dispersão serem baixas em comparação à reatância de magnetização então poderemos diminuir muito esse erro inerente A situação é prejudicada na presença de uma carga burden finita Incluindo o efeito da impedância dessa carga a Eq 242 tornase ˆ V2 V1 N2 N1 Z eq Z b R1 jX1Zeq Z b R 2 jX 2 243 onde Z eq jX m R1 jX1 R1 jXm X1 244 e Z b N1 N2 2 Zb 245 é a impedância da carga burden referida ao primário do transformador Dessas equações podese ver que as características para se ter extraído em um transformador de potencial incluem uma reatância de magnetização elevada mais exatamente uma impedância de magnetização alta já que os efeitos das perdas no núcleo embora desprezados na análise apresentada aqui também devem ser minimizados Por fim como se verá no Exemplo 210 a impedância de carga burden deve ser mantida acima de um valor mínimo para evitar que erros excessivos sejam introduzidos no valor da tensão medida e no seu ângulo de fase a Supondo uma entrada de 2400 V que idealmente deve produzir uma tensão de 120 V no enrolamento de baixa tensão calcule os erros de módulo e de ângulo de fase da tensão do secundário se o enrolamento do secundário for posto em circuito aberto b Supondo que a impedância de carga seja puramente resistiva Zb Rk calcule a resistência mínima carga máxima que pode ser aplicada ao secundário de modo que o erro no valor da tensão seja inferior a 05 c Repita a parte b mas encontre a resistência mínima de modo que o erro de ângulo de fase seja inferior a 10 grau Solução a Esse problema é resolvido mais facilmente usando MATLAB Da Eq 242 sendo V1 2400 V o seguinte script de MATLAB fornece V2 11990 0045 V que corresponde a um erro de valor inferior a 01 e a um erro de ângulo de fase de 0045 O script de MATLAB é c l c c l e a r Parâmetros TP R1 128 X1 143 Xm 163e3 N1 2400 N2 120 N N1N2 Tensão de primário V1 2400 Tensão do secundário V2 V1N2N1jXmR1 jX1Xm magV2 absV2 phaseV2 180angleV2pi fprintf Valor de V2 g V magV2 fprintf e ângulo g graus phaseV2 b Aqui mais uma vez é relativamente imediato escrever um script de MATLAB capaz de implementar a Eq 243 e calcular o erro percentual do valor da tensão V2 quando comparada com a tensão de 120 V que deveria ser medida se o TP fosse ideal A resistência de carga Rb pode ser inicializada com um valor elevado e então reduzida até que o erro no valor da tensão alcance 05 O resultado do tal análise mostraria que a resistência mínima é 1625 Ω correspondendo a um erro de 050 no valor da tensão e de 022 no ângulo de fase Observe que isso aparece como uma resistência de 65 kΩ quando referido ao primário c O script de MATLAB da parte b pode ser modificado para obter a carga resistiva mínima que tornará o erro de ângulo de fase inferior a 10 grau O resultado mostraria que a resistência mínima é 441 Ω correspondendo a um ângulo de fase de 100 e um erro no valor da tensão de 170 Problema prático 28 Usando MATLAB repita as partes b e c do Exemplo 210 supondo que a impedância de carga seja pura e reativa Zb jXb e encontrando a impedância mínima correspondente Xb em cada caso Solução A reatância de carga mínima que resulta em uma tensão de secundário dentro de 05 do valor esperado de 120 V é Xb 1854 Ω do qual resulta um ângulo de fase de 025 A reatância de carga mínima que corresponde a um ângulo de fase na tensão de secundário dentro de 10 do ângulo de fase da tensão do primário é Xb 395 Ω e para o qual o erro no valor de tensão é 20 A seguir considere um transformador de corrente Um transformador de corrente ideal deve medir com exatidão a corrente ao mesmo tempo em que aparece como um curtocircuito para o sistema que está sendo medido isto é desenvolvendo uma queda de tensão desprezível e consumindo uma potência também desprezível Assim sua impedância de carga deve ser baixa no sentido em que iremos quantificar agora Vamos começar supondo que o secundário do transformador esteja em curtocircuito Zb 0 Nesse caso podemos escrever que I2I1 N1N2 jXmR2 jX2 Xm Com base em um argumento similar ao usado na discussão do transformador de potencial a Eq 246 mostra que em um transformador de corrente com um secundário em curtocircuito há um erro inerente em valor e fase devido ao fato de que parte da corrente de primário é desviada para a reatância de magnetização e não alcança o secundário Se for possível fazer a reatância de magnetização ser elevada em relação à resistência de secundário e à reatância de dispersão então esse erro poderá diminuir muito Uma carga finita burden aparecerá em série com a impedância de secundário e aumentará o erro Incluindo o efeito da impedância de carga a Eq 246 tornase I2I1 N1N2 jXmZb R2 jX2 Xm Exemplo 211 Um transformador de corrente com uma relação de 8005 A a 60 Hz tem os seguintes parâmetros referidos ao enrolamento de 800 A X1 448 µΩ X2 543 µΩ Xm 177 mΩ R1 103 µΩ R2 96 µΩ Supondo que o enrolamento de corrente elevada esteja conduzindo uma corrente de 800 A calcule o valor da corrente e da fase relativa no enrolamento de corrente baixa se a impedância de carga for puramente resistiva com Rb 25 Ω Solução A corrente no secundário pode ser obtida a partir da Eq 247 fazendo I1 800 A e Rb N1N2RB 0097 mΩ O seguinte script de MATLAB fornece I2 498 0346 A O script de MATLAB é clc clear Parâmetros TC R2p 96e6 X2p 543e6 Xm 177e3 N1 5 N2 800 N N1N2 Impedância de carga Rb 25 Xb 0 Zbp N2Rb j Xb Corrente de primário I1 800 Corrente de secundário I2 I1NXmZbp R2p jX2p Xm magI2 absI2 phaseI2 180angleI2pi fprintf Valor da corrente de secundário g AmagI2 fprintf e ângulo de fase g graus phaseI2 Problema prático 29 Para o transformador de corrente do Exemplo 211 encontre a impedância máxima de carga puramente reativa Zb jXb tal que para 800 A circulando no primário do transformador a corrente de secundário seja superior a 495 A haverá no máximo um erro de 10 no valor da corrente Solução Xb deve ser inferior a 319 Ω 102 Máquinas elétricas O resultado líquido é que apenas duas grandezas independentes de base podem ser escolhidas arbitrariamente As demais são determinadas usando as relações dadas pelas Eqs 249 e 250 Em aplicações comuns os valores de VAbase e Vbase são esco lhidos primeiro e então os valores de Ibase e de todas as demais grandezas das Eqs 249 e 250 são estabelecidos de forma única O valor de VAbase deve ser o mesmo em todo o sistema que está sendo analisado Isso pode ser visto no circuito equivalente da Fig 210c Se as tensões de base do pri mário e do secundário forem escolhidas com a mesma razão que a relação de espiras do transformador ideal então o transformador ideal por unidade terá uma relação de espiras unitária e portanto poderá ser eliminado Em geral as tensões nominais dos respectivos lados são escolhidas como valores de base Mesmo que como vimos os parâmetros do circuito equivalente do transformador variem segundo o quadrado da relação de espiras quando são refletidos de um lado a outro do transformador as im pedâncias por unidade serão as mesmas independentemente do lado do transformador que é escolhido para iniciar os cálculos Isso é coerente com a relação de espiras por unidade do transformador ideal ocorrendo automaticamente quando são usadas as Eqs 249 e 250 para determinar os valores por unidade Se essas regras forem seguidas o procedimento para realizar análises utilizando o sistema por unidade pode ser resumido como segue 1 Escolha uma base VA e uma tensão de base em algum ponto do sistema 2 Converta todas as grandezas para o sistema por unidade na base VA escolhida usando uma base de tensão que se transforme de acordo com a relação de espi ras dos transformadores encontrados à medida que se percorre todo o sistema 3 Realize uma análise elétrica padrão no circuito elétrico resultante com todas as grandezas no sistema por unidade 4 Quando a análise estiver completa todas as grandezas podem ser convertidas de volta às unidades reais por exemplo volts ampères watts etc multiplicando seus valores por unidade pelos valores de base correspondentes Quando apenas um dispositivo elétrico está envolvido como um transformador o próprio valor nominal do dispositivo em voltsampères costuma ser usado como base Quando seus parâmetros são expressos no sistema por unidade baseandose em seus valores nominais as características dos transformadores de força e de distribui ção não variam muito dentro de uma faixa ampla de valores Por exemplo normal mente a corrente de excitação está entre 002 e 006 por unidade 2 a 6 da corrente nominal ou menos nos transformadores de grande porte a resistência equivalente está entre 0005 e 002 por unidade os valores menores aplicamse a grandes trans formadores e a reatância equivalente está em geral entre 005 e 010 por unidade os valores maiores aplicamse a grandes transformadores de alta tensão como é necessário para limitar as correntes de curtocircuito Do mesmo modo os valores por unidade dos parâmetros das máquinas síncronas e de indução caem dentro de um intervalo relativamente estreito A razão disso é que a física por detrás de cada tipo desses dispositivos é a mesma e em um sentido não aprofundado eles podem sim plesmente ser considerados versões em escalas diferentes do mesmo dispositivo bási co Como resultado quando normalizados a suas próprias especificações nominais o efeito de escala é eliminado e o resultado é um conjunto de valores por unidade que é muito semelhante em todo o intervalo de tamanhos daquele dispositivo Muitas vezes os fabricantes fornecem os parâmetros de um dispositivo utilizandoo por unidade e baseandose no próprio dispositivo Entretanto quando diversos dispositivos estiverem envolvidos devese fazer normalmente uma escolha arbitrária de potência em voltsamperes passando a usar esse valor em todo o sistema Como resultado ao realizar uma análise do sistema pode ser necessário transformar os parâmetros por unidade fornecidos pelo fabricante nos valores por unidade correspondentes à base escolhida para a análise As seguintes relações podem ser utilizadas para converter valores por unidade pu de uma base para outra P Q VApu na base 2 P Q VApu na base 1 VAbase 1 VAbase 2 251 R X Zpu na base 2 R X Zpu na base 1 Vbase 1²VAbase 2 Vbase 2²VAbase 1 252 Vpu na base 2 Vpu na base 1 Vbase 1 Vbase 2 253 Ipu na base 2 Ipu na base 1 Vbase 2VAbase 1 Vbase 1VAbase 2 254 O circuito equivalente de um transformador de 100 MVA e 797 kV797 kV está mostrado na Fig 222a Os parâmetros do circuito equivalente são XB 0040 Ω XA 375 Ω Xem 114 Ω RB 076 mΩ RA 0085 Ω Observe que a indutância de magnetização foi referida ao lado de baixa tensão do circuito equivalente Converta os parâmetros do circuito equivalente para a forma por unidade utilizando as especificações nominais do transformador como base Solução As grandezas de base do transformador são Lado de baixa tensão VAbase 100 MVA Vbase 797 kV e das Eqs 249 e 250 Rbase XBbase V²base VAbase 0635 Ω Lado de alta tensão VAbase 100 MVA Vbase 797 kV e das Eqs 249 e 250 Rbase XBbase V²base VAbase 635 Ω Agora os valores por unidade dos parâmetros do transformador podem ser calculados dividindose pelos valores de base correspondentes XB 0040 0635 00630 por unidade XA 375 635 00591 por unidade Xem 114 0635 180 por unidade RB 76 x 10⁴ 0635 00012 por unidade RA 0085 635 00013 por unidade Finalmente cada uma das tensões que representam a relação de espiras do transformador ideal deve ser dividida pela tensão de base no respectivo lado do transformador Assim a relação de espiras por unidade 797 kV 797 kV797 kV 797 kV 11 Problema prático 210 Um transformador de 15 kVA e 120460 V tem uma impedância em série equivalente de 0018 j0042 por unidade Calcule a impedância em série equivalente em ohms a referida ao lado de baixa tensão e b referida ao lado de alta tensão Solução ZeqB 0017 j0040 e ZeqA 025 j060 Ω Quando aplicados à análise de sistemas trifásicos os valores de base do sistema por unidade são escolhidos de modo que entre eles as seguintes relações sejam verificadas em um sistema trifásico equilibrado Pbase Qbase VAbasetrifásico 3VAbase por fase 255 No tratamento de sistemas trifásicos normalmente são escolhidos primeiro VAbase trifásico a base trifásica de potência aparente em voltsamperes e Vbase trifásico Vbase linha ao lado de tensão de linha l1 linhalinha em volts Então os valores de base para a tensão de fase ln linhaneutro são obtidos fazendo Vbase ln 13 Vbase l1 256 Observe que a corrente de base em sistemas trifásicos é igual à corrente de fase à qual é a mesma que a corrente de base usada em uma análise monofásica por fase Assim Ibase trifásico Ibase por fase VAbase trifásico3 Vbase trifásico 257 Finalmente a impedância de base trifásica é escolhida como a impedância de fase monofásica Assim Zbase trifásico Zbase por fase Vbase lnIbase por fase Vbase trifásico3 Ibase trifásico Vbase trifásico²VAbase trifásico 258 As equações de conversão de base para base Eqs 251 a 254 aplicamse igualmente à conversão trifásica de bases Observe que os fatores 3 e 3 que estabelecem as relações entre grandezas Δ e Y de volts amperes e ohms em um sistema trifásico equilibrado surgem automaticamente no sistema por unidade a partir dos valores de base Assim os problemas trifásicos podem ser resolvidos no sistema por unidade como se fossem problemas monofásicos e os detalhes do transformador Y versus Δ no primário e secundário do transformador e as conexões de impedância Y versus Δ desaparecem exceto na transformação dos valores de volts amperes e ohms de e para o sistema por unidade Exemplo 214 Refaça o Exemplo 29 no sistema por unidade calculando especificamente as correntes de fase de curtocircuito que circulam no alimentador e nos terminais de 240 V no lado de recepção do banco de transformadores Utilizando o sistema por unidade faça os cálculos usando como base a tensão nominal trifásica do transformador de 150 kVA no lado de recepção Solução Começamos convertendo todas as impedâncias para o sistema por unidade A impedância no terminal de envio dotransformador de 500 kVA e 24 kV2400 V é 017 j092 Ωfase referida ao lado de 2400 V Da Eq 258 a impedância de base correspondente à base de 2400 V e 150 kVA é Zbase 2400²150 103 384 Ω Do Exemplo 29 a impedância total em série é igual a Ztotal 064 j233 Ωfase e assim no sistema por unidade tornase Zout 064 j233 384 00167 j00607 por unidade cujo valor é Zout 00629 por unidade A tensão aplicada ao lado de alta tensão do transformador de envio é Vs 240 kV 10 por unidade tomando a tensão nominal como base Assim a corrente de curtocircuito será Icc VsZout 1000629 159 por unidade Para calcular as correntes de fase em amperes é necessário simplesmente multiplicar a corrente de curtocircuito por unidade pela corrente de base apropriada Assim no alimentador de 2400 V a corrente de base será Ibase 2400V 150 1033 2400 361 A e portanto a corrente do alimentador será Ialimentador 159 361 574 A A corrente de base nos secundários de 240 V dos transformadores do lado de recepção é Ibase 240V 150 1033 240 361 A e assim a corrente de curtocircuito é I240V secundário 159 361 574 kA Como esperado esses valores são equivalentes dentro da precisão numérica aos cálculos no Exemplo 29 Problema prático 211 Calcule o valor da corrente de curtocircuito do alimentador do Exemplo 29 se o alimentador de 2400 V for substituído por um alimentador com uma impedância de 007 j068 Ωfase Realize esse cálculo tomando como base a tensão nominal do transformador de 500 kVA no lado de envio e expresse a sua solução no sistema por unidade e também em amperes por fase Solução Corrente de curtocircuito 520 por unidade 636 A Exemplo 215 Uma carga trifásica é alimentada a partir de um transformador de 24 kV460 V e 250 kVA cuja impedância equivalente em série é 0026 j012 por unidade em sua própria base Observase que a tensão de carga é 438 V de linha e está consumindo 95 kW com um fator de potência unitário Calcule a tensão no lado de alta tensão do transformador Faça os cálculos tomando como bases 460 V e 100 kVA Solução A impedância com base no lado de 460 V do transformador é Zbase transformador 460²250 103 0846 Ω ao passo que com base em 100 quilovoltsamperes é Zbase 100kVA 460²100 103 212 Ω Assim da Eq 252 a impedância por unidade do transformador na base de 100 kVA é Ztransformador 0026 j012 0864212 00106 j00489 por unidade A tensão de carga por unidade é Vcarga 438460 0952 0 por unidade onde a tensão de carga foi escolhida como referência para os cálculos de ângulos de fase A potência da carga por unidade é Pcarga 95100 095 por unidade e assim a corrente de carga por unidade que está em fase com a tensão de carga porque a carga opera com um fator de potência unitário é Icarga PcargaVcarga 0950952 0 por unidade Portanto podemos agora calcular a tensão no lado de alta tensão do transformador VA Vcarga Icarga Ztransformador 0952 0998 00106 j00489 0963 j00488 290 por unidade Assim a tensão no lado de alta tensão é igual a 0964 2400 V 2313 V de linha Capítulo 2 Transformadores 109 Problema prático 212 Repita o Exemplo 215 se o transformador trifásico de 250 kVA for substituído por um trans formador de 150 kVA com especificação nominal também de 24 kV460V e cuja impedância equivalente em série é 0038 j0135 por unidade em sua própria base Faça os cálculos tomando como bases 460 V e 100 kVA Solução Tensão do lado de alta tensão 0982 por unidade 2357 V de linha 210 Resumo Mesmo não sendo um dispositivo eletromecânico o transformador é um componente comum e indispensável de sistemas CA onde é usado para transformar tensões cor rentes e impedâncias em níveis apropriados para uma utilização otimizada Para os propósitos de nosso estudo de sistemas eletromecânicos o transformador serve de exemplo valioso das técnicas de análise que devem ser empregadas Oferecemnos oportunidades para investigar as propriedades dos circuitos magnéticos incluindo os conceitos de FMM corrente de magnetização fluxos mútuo dispersivo e de magne tização além de suas indutâncias associadas Tanto em transformadores como em máquinas rotativas um campo magnético é criado pela ação combinada das correntes nos enrolamentos Em um transformador de núcleo de ferro a maior parte do fluxo está confinada ao núcleo e enlaça todos os enrolamentos O fluxo mútuo resultante induz tensões nos enrolamentos proporcio nalmente a seus números de espiras e é responsável pela propriedade do transforma dor de converter tensões Em máquinas rotativas a situação é similar embora haja um entreferro de ar que separa a parte rotativa da estacionária da máquina De forma análoga ao modo pelo qual o fluxo do núcleo de um transformador enlaça os diversos enrolamentos o fluxo mútuo em máquinas rotativas atravessa o entreferro concate nando os enrolamentos do motor e do estator Como no transformador o fluxo mútuo induz tensões nesses enrolamentos proporcionalmente ao número de espiras e à ra zão no tempo da variação do fluxo Uma diferença significativa entre transformadores e máquinas rotativas é que nestas há um movimento relativo entre os enrolamentos do rotor e do estator Esse movimento relativo produz e acrescenta uma componente adicional à taxa de varia ção no tempo dos diversos fluxos concatenados de enrolamento Como será discu tido no Capítulo 3 a componente resultante de tensão conhecida como tensão de velocidade é característica do processo de conversão eletromecânica de energia Em um transformador estático entretanto a variação dos fluxos concatenados no tempo é causada simplesmente pela variação no tempo das correntes dos enrolamentos Não há movimento mecânico envolvido tampouco conversão eletromecânica de energia No núcleo de um transformador o fluxo resultante induz uma força contraele tromotriz FCEM no primário que juntamente com as quedas de tensão na resistên cia e na reatância dispersiva do primário deve ser igual à tensão aplicada Como essas quedas de tensão em geral são pequenas a FCEM deve ser aproximadamente igual 110 Máquinas elétricas à tensão aplicada e o fluxo no núcleo deve ajustarse sozinho de forma adequada Fenômenos semelhantes devem ocorrer nos enrolamentos da armadura de um motor CA A onda de fluxo resultante no entreferro deve ajustarse sozinha para gerar uma FCEM aproximadamente igual à tensão aplicada Tanto em transformadores como em máquinas rotativas a FMM líquida de todas as correntes deve ajustarse sozinha adequadamente para criar o fluxo resultante requerido por esse equilíbrio de tensões Em um transformador a corrente do secundário é determinada pela tensão indu zida no secundário pela impedância de dispersão do secundário e pela carga elétrica Como veremos em um motor de indução a corrente de secundário rotor é determi nada pela tensão induzida no secundário pela impedância de dispersão do secundário e pela carga mecânica em seu eixo Essencialmente os mesmos fenômenos ocorrem no enrolamento do primário de um transformador e nos enrolamentos da armadura estator dos motores síncronos e de indução Nos três a história é a mesma a corrente de primá rio ou de armadura deve ajustarse sozinha de modo que a FMM combinada de todas as correntes produza o fluxo requerido pela tensão aplicada e como resultado uma varia ção na corrente de carga resultará em mudança correspondente na corrente do primário Além dos fluxos mútuos úteis tanto em transformadores como em máquinas rota tivas há fluxos de dispersão que concatenam enrolamentos individuais sem concatenar outros Mesmo que o quadro detalhado dos fluxos de dispersão de máquinas rotativas seja mais complicado do que o de transformadores seus efeitos são basicamente os mes mos Em ambos os fluxos de dispersão produzem quedas de tensão nas reatâncias de dispersão dos enrolamentos e em geral reduzem o fluxo mútuo abaixo do nível que de outra forma seria produzido pela tensão aplicada Em ambos as relutâncias dos cami nhos dos fluxos de dispersão são dominadas pelas relutâncias de um caminho através do ar e portanto os fluxos de dispersão são quase linearmente proporcionais às correntes que os produzem Desse modo muitas vezes se assume que as reatâncias de dispersão são constantes independentemente do grau de saturação do circuito magnético principal Outros exemplos de semelhanças básicas entre transformadores e máquinas ro tativas podem ser citados Exceto pelo atrito e pelo deslocamento de ar as perdas nos transformadores e nas máquinas rotativas são essencialmente as mesmas Ensaios para determinar as perdas e os parâmetros dos circuitos equivalentes são semelhan tes um ensaio de circuito aberto ou a vazio dá informações sobre os requisitos de excitação e as perdas no núcleo junto com as perdas por atrito e por deslocamento de ar nas máquinas rotativas ao passo que um ensaio de curtocircuito junto com a medida CC de resistências fornece informações sobre as reatâncias de dispersão e as resistências de enrolamento O modelamento dos efeitos da saturação magnética é um outro exemplo tanto em transformadores como em máquinas rotativas CA em geral se assume que as reatâncias de dispersão não são afetadas pela saturação e além disso se assume que a saturação do circuito magnético principal é determinada pelo fluxo mútuo resultante ou de entreferro 211 Variáveis do Capítulo 2 λ Fluxo concatenado Wb ω Frequência angular rads ϕ φmax Fluxo magnético Wb Φ Fluxo magnético amplitude complexa Wb θ Ângulo de fase rad Bmax Densidade do fluxo de pico T Repita o Problema 214 para um transformador de distribuição com 75 kVA 50 Hz e 381 kV 230 V cujas resistências e reatâncias de dispersão são R1 485 Ω R2 162 mΩ X1 413 Ω X12 169 mΩ onde o índice 1 denota o enrolamento de 381 kV e o índice 2 o de 230 V Cada grandeza está referida a seu próprio lado do transformador Devese assumir que a carga das partes b e c estão operando com a tensão de 230 V Uma carga monofásica é abastecida através de um alimentador de 35 kV cuja impedância é 90 j320 Ω em um transformador de 35 kV2400 V cuja impedância em série equivalente é 021 j133 Ω referida a seu lado de baixa tensão A carga é de 135 kW com um fator de potência de 078 atuando a 2385 V a Calcule a tensão nos terminais de alta tensão do transformador b Calcule a tensão no lado de envio do alimentador c Calcule os ingressos de potências ativa e reativa no lado de envio do alimentador Escreva um script de MATLAB para repetir os cálculos do Problema 216 para fatores de potência de 078 adiantado unitário e 078 atrasado assumindo que a potência de carga continua constante em 135 kW e que a tensão de carga permanece constante em 2385 V b Use seu script de MATLAB para plotar versus o ângulo de fator de potência a tensão do terminal de energia requerida para manter uma tensão de carga de 2385 V quando o fator de potência varia de 07 adiantado passa pela unidade e chega a 07 atrasado Capítulo 2 Transformadores 115 c Fazendo as aproximações apropriadas desenhe um circuito equivalente T para o transformador 221 Execute os cálculos do Problema 220 para um transformador monofásico de 175 kVA e 50 Hz cuja tensão nominal é 38 kV64 kV Um ensaio de circuito aberto é realizado no lado de baixa tensão e as respectivas leituras nos ins trumentos são 38 kV 058 A e 603 W De modo semelhante um ensaio de curtocircuito no lado de alta tensão enrolamento de baixa tensão em curto circuito dá as leituras 372 V 273 A e 543 W 222 Uma tensão de 796 kV é aplicada ao enrolamento de baixa tensão de um transformador monofásico de 796 kV398 kV 60 Hz e 10 MVA com o enrolamento de alta tensão em circuito aberto resultando uma corrente de 173 A e uma potência de 480 kW A seguir o enrolamento de baixa tensão é colocado em curtocircuito e uma tensão de 192 kV é aplicada ao enrola mento de alta tensão resultando uma corrente de 252 A e uma potência de 603 kW a Calcule os parâmetros dos circuitos equivalentes L das Figs 212a e b referidos ao enrolamento de alta tensão do transformador b Calcule os parâmetros de circuito equivalente L referidos ao enrolamento de baixa tensão do transformador c Com o transformador operando com a carga nominal e a tensão nominal em seu terminal de baixa tensão calcule a potência dissipada no transformador 223 Os seguintes dados foram obtidos para um transformador monofásico de 25 MVA 50 Hz 191 kV381 kV em um ensaio a 50 Hz Tensão V Corrente A Potência kW Enrolamento BT com terminais AT em circuito aberto 3810 986 814 Enrolamento AT com terminais BT em curtocircuito 920 141 103 a Calcule os parâmetros dos circuitos equivalentes L das Figs 212a e b referidos ao enrolamento de alta tensão do transformador b Calcule os parâmetros de circuito equivalente L referidos ao enrolamento de baixa tensão do transformador c Com o transformador operando com a carga nominal e a tensão nominal em seu terminal de baixa tensão calcule a potência dissipada no transformador 224 Escreva um script de MATLAB para calcular os parâmetros dos circuitos equivalentes T das Figs 212a e b com os parâmetros referidos ao enrolamen to de alta tensão e baseado nos seguintes dados de um ensaio j Tensão corrente e potência de um ensaio de circuito aberto realizado no enrolamento de baixa tensão enrolamento de alta tensão em circuito aberto j Tensão corrente e potência de um ensaio de curtocircuito realizado no en rolamento de baixa tensão enrolamento de alta tensão em curtocircuito Teste o seu script com as medições feitas no transformador do Problema 222 O enrolamento de alta tensão do transformador do Problema 222 é substituído por um outro enrolamento idêntico com o dobro de espiras e um fio com metade da área de seção reta a Calcule a tensão e potência nominais desse transformador modificado b Com o enrolamento de alta tensão em circuito aberto e com a tensão nominal aplicada ao enrolamento de baixa tensão calcule a corrente e a potência fornecidas ao enrolamento de baixa tensão c Com o enrolamento de baixa tensão em curtocircuito calcule a tensão aplicada ao enrolamento de alta tensão que resultará em uma dissipação de curtocircuito de 603 kW a Determine o rendimento e a regulação de tensão do transformador do Problema 220 se ele estiver fornecendo a carga nominal fator de potência unitário com tensão nominal em seus terminais de baixa tensão b Repita a parte a assumindo que a carga está com um fator de potência de 09 adiantado Assuma que o transformador do Problema 223 está operando com a tensão nominal e com uma carga que consome a corrente nominal em seus terminais de baixa tensão Escreva um script de MATLAB para plotar a o rendimento e b a regulação de tensão do transformador como função do fator de potência da carga quando o fator de potência varia desde 075 atrasado passa pela unidade e chega a 055 adiantado Os seguintes dados foram obtidos para um transformador de distribuição de 25 kVA 60 Hz e 2400240 V em um ensaio a 60 Hz Enrolamento BT com terminais AT em circuito aberto 240 137 139 Enrolamento AT com terminais BT em curtocircuito 678 101 174 Um transformador monofásico de 450 kVA a 50 Hz com um enrolamento primário de 11 kV absorve sem carga 033 A e 2700 V com tensão e frequência nominais Um outro transformador tem um núcleo com todas as dimensões lineares 2 vezes maiores que as respectivas dimensões do primeiro transformador O material do núcleo e a espessura das chapas são as mesmas em ambos os transformadores a Se os enrolamentos do primário de ambos os transformadores tiverem o mesmo número de espiras qual tensão primária deve ser aplicada para produzir a mesma densidade de fluxo no núcleo b Com o primário excitado pela tensão encontrada na parte a calcule a corrente do primário e a potência A placa de um transformador monofásico de 25 MVA e 60 Hz indica que ele tem uma tensão nominal de 80 kV78 kV Um ensaio de curtocircuito é executado no lado de alta tensão enrolamento de baixa tensão em curtocircuito sendo as leituras 453 kV 321 A e 775 kW Um ensaio de curtocircuito é executado no lado de baixa tensão e as respectivas leituras nos instrumentos de medida são 80 kV 396 A e 862 kW a Calcule a impedância em série equivalente do transformador referida aos terminais de alta tensão b Calcule a impedância em série equivalente do transformador referida aos terminais de baixa tensão Três transformadores monofásicos de 75 MVA com especificações nominais de 398 kV133 kV devem ser conectados em um banco trifásico Cada transformador tem uma impedância em série de 097 j13 Ω referida a seu enrolamento de 133 kV a Se os transformadores forem conectados em YΔ calcule i a tensão e potência nominais da conexão trifásica ii a impedância equivalente referida a seus terminais de baixa tensão e iii a impedância equivalente referida a seus terminais de alta tensão b Repita a parte a se o transformador for conectado em Y no seu lado de baixa tensão e em Δ no seu lado de alta tensão Repita os cálculos do Problema 235 para três transformadores de 225 kVA 277 V797 kV cujas impedâncias em série são 31 j215 mΩ referidas a seus enrolamentos de baixa tensão 237 Repita o Exemplo 28 com uma carga que consome a corrente nominal dos transformadores com um fator de potência unitário 238 Um transformador trifásico YΔ tem especificações nominais de 25 MVA 138 kV69 kV e uma impedância em série equivalente de 62 j388 mΩ referida ao enrolamento de baixa tensão a Um curtocircuito trifásico é aplicado no enrolamento de baixa tensão Calcule qual deve ser a tensão aplicada ao enrolamento de alta tensão para que resulte a corrente nominal no curtocircuito O curtocircuito é removido e uma carga trifásica é conectada ao enrolamento de baixa tensão Com a tensão nominal aplicada ao enrolamento de alta tensão observase que a potência de entrada do transformador é 18 MW com um fator de potência 075 atrasado Calcule a tensão de linea terminal na carga Capítulo 2 Transformadores 121 26 kV e 800 MVA que pode ser representado como uma fonte de tensão em série com uma reatância de j128 por unidade na base do gerador a Converta a reatância por unidade do gerador para a base do transformador elevador b A unidade está fornecendo 750 MW em 345 kV e um fator de potência de 090 adiantado ao sistema nos terminais de alta tensão do transformador Desenhe um diagrama fasorial para essa situação usando o lado de alta tensão do transformador como fasor de referência c Calcule a tensão de terminal do gerador e a tensão interna por trás de sua reatância em kV para as condições da parte b Encontre a potência de saída do gerador em MW e o fator de potência CAP ÍTUL O 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia N este capítulo trataremos do processo de conversão eletromecânica de ener gia que utiliza como meio o campo elétrico ou magnético do dispositivo de conversão Ainda que os diversos dispositivos de conversão operem com princípios similares as suas estruturas dependem de suas funções Os dispositi vos de medida e controle frequentemente são denominados transdutores Em geral operam com sinais relativamente pequenos e sob condições lineares de entrada e saída Diversos exemplos podem ser dados como microfones cápsulas fonográfi cas sensores e altofalantes Uma segunda categoria de dispositivos abrange os dis positivos produtores de força incluindo solenoides relés e eletroímãs Uma terceira categoria inclui os equipamentos de conversão contínua de energia como motores e geradores Esse capítulo está voltado aos princípios de conversão eletromecânica de ener gia e à análise dos dispositivos que realizam essa função A ênfase será colocada na análise de sistemas que usam campos magnéticos como meio de conversão tendo em vista que os capítulos restantes deste livro tratarão de tais dispositivos No en tanto as técnicas de análise usadas em sistemas com campos elétricos são muito semelhantes Os propósitos de tal análise são três 1 auxiliar na compreensão de como ocor re a conversão de energia 2 fornecer técnicas de projeto e otimização de dispositi vos para necessidades específicas e 3 desenvolver modelos de dispositivos de con versão eletromecânica de energia que como componentes de sistemas de engenharia possam ser usados na análise de seus desempenhos Os transdutores e os dispositivos produtores de força são tratados neste capítulo e os dispositivos de conversão contí nua de energia serão tratados no restante do livro Os conceitos e as técnicas apresentados neste capítulo são bastante poderosos e podem ser aplicados a uma larga faixa de situações de engenharia que envolvem a conversão eletromecânica de energia As Seções 31 e 32 apresentam uma discussão quantitativa das forças em sistemas eletromecânicos e uma visão geral do méto Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 123 do baseado em energia que forma a base dos desenvolvimentos apresentados aqui Apoiados no método da energia no restante do capítulo desenvolveremos expressões para as forças e os conjugados em sistemas eletromecânicos baseados em campos magnéticos 31 Forças e conjugados em sistemas de campo magnético A Lei da Força de Lorentz F qE v B 31 dá a força F de uma partícula de carga q na presença de campos elétrico e magnético Em unidades SI F é dada em newtons q em coulombs A intensidade do campo elé trico E é dada em volts por metro a densidade de fluxo B é dada em teslas e v que é a velocidade da partícula relativa ao campo magnético em metros por segundo Assim em um sistema no qual só há campo elétrico B 0 a força é determi nada apenas pela carga da partícula e pelo campo elétrico ou seja F qE 32 A força atua na direção do campo elétrico e independe de qualquer movimento da partícula Em sistemas puramente magnéticos E 0 a situação é mais complexa Aqui a força F qv B 33 é determinada pelo módulo da carga da partícula pelo módulo do campo B assim como pela velocidade da partícula De fato a direção da força sempre é perpen dicular tanto à direção da velocidade da partícula quanto do campo magnético Mate maticamente isso é indicado pelo produto vetorial v B na Eq 33 O módulo desse produto vetorial é igual ao produto dos módulos de v e B e do seno do ângulo entre eles O seu sentido pode ser determinado pela regra da mão direita a qual afirma que quando o polegar da mão direita aponta no sentido de v e o dedo indicador no sentido de B então a força perpendicular a ambas as direções de B e v apontará no sentido normal à palma da mão como mostrado na Figura 31 Nas situações em que grandes quantidades de partículas com carga estão em movimento é conveniente reescrever a Eq 31 em termos da densidade de carga ρ medida em unidades de coulombs por metro cúbico como Fv ρE v B 34 em que o índice v indica que Fv é uma densidade de força força por unidade de volu me a qual em unidades SI é medida em newtons por metro cúbico O produto ρv é conhecido como densidade de corrente J ρv 35 124 Máquinas elétricas a qual é medida em ampères por metro quadrado A densidade de força do sistema magnético correspondente à Eq 33 pode ser escrita então como Fv J B 36 No caso de correntes fluindo em meios condutores a Eq 36 pode ser usada para encontrar a densidade de força que atua sobre o próprio material Observe que uma quantidade substancial de física está por detrás dessa expressão aparentemente sim ples tendo em vista que o mecanismo pelo qual a força é transferida das cargas mó veis para o meio condutor é complexo Exemplo 31 Um rotor cilíndrico não magnético montado em um eixo no seu centro contendo uma bo bina de espira única está colocado em um campo magnético uniforme de módulo B0 como v B F B F v Figura 31 Regra da mão direita para determinar o sentido da força de Lorentz F qv B em relação ao campo magnético θˆ rˆ xˆ Fio 1 corrente I para dentro do papel Campo magnético uniforme B0yˆ Fio 2 corrente I para fora do papel α R Figura 32 Rotor com bobina de espira única do Exemplo 31 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 125 mostrado na Figura 32 Os lados da bobina estão a uma distância do eixo igual ao raio R e o fio conduz uma corrente I como indicado Encontre o conjugado na direção θ em função da posição do rotor α quando I 10 A B0 002 T e R 005 m Suponha que o comprimento do rotor seja l 03 m Solução A corrente líquida I em um fio condutor é igual à integral da densidade de corrente J na área da seção reta do fio De modo semelhante a força líquida por unidade de comprimento em um fio colocado dentro de um campo magnético uniforme B pode ser encontrada pela integração da Eq 36 na área da seção reta do fio Assim Assim para o fio 1 que conduz a corrente I para dentro do papel a força na direção θ é dada por F1θ I B0l sen α e para o fio 2 que conduz a corrente no sentido oposto e dista 180 do fio 1 F2θ I B0l sen α onde l é o comprimento do rotor O conjugado T que atua sobre o rotor é dado pela soma dos produtos de força e braço de alavanca de cada fio ou seja T 2I B0 Rl sen α 21000200503 sen α 0006 sen α N m Problema prático 31 Repita o Problema 31 para a situação na qual o campo magnético uniforme aponta para a di reita em vez de apontar verticalmente para cima como na Figura 32 Solução T 0006 cos α N m Em situações onde as forças atuam apenas sobre elementos condutores de corrente de geometria simples tais como os do Exemplo 31 a Eq 36 é geral mente a maneira mais simples e fácil de se calcular as forças atuantes no sistema Infelizmente pouquíssimas situações práticas caem nessa classe De fato como discutido no Capítulo 1 a maioria dos dispositivos de conversão eletromecânica de energia contém material magnético e nesses sistemas as forças atuam diretamente no material magnético e é evidente que não podem ser calculadas a partir da Eq 36 Técnicas para calcular forças e conjugados nesses sistemas serão discutidas na próxima seção 126 Máquinas elétricas 32 Balanço energético e o método da energia Técnicas de cálculo detalhado e localizado de forças que atuam sobre os materiais magnéticos são extremamente complexas e exigem conhecimento minucioso da dis tribuição dos campos por toda a estrutura Felizmente a maioria dos dispositivos de conversão eletromecânica de energia é construída com estruturas rígidas indefor máveis O desempenho desses dispositivos é determinado normalmente pela força líquida ou conjugado que atua sobre o componente móvel Raramente é necessário calcular os detalhes da distribuição interna das forças Por exemplo em um motor projetado de forma adequada as características são determinadas pelo conjugado líquido da aceleração que atua sobre o rotor As forças associadas que atuam no sentido de esmagar ou deformar o rotor não representam papel significativo no de sempenho do motor e em geral não são calculadas Assim para se compreender o comportamento das máquinas rotativas uma ima gem física simples pode ser bem útil Associado à estrutura do rotor existe um campo magnético produzido em muitas máquinas por correntes nos enrolamentos do rotor e de modo similar o mesmo ocorre no estator Podese entender cada um deles como um par de polos magnéticos norte e sul associado a cada uma das estruturas Do mes mo modo que a agulha da bússola tenta alinharse com o campo magnético terrestre esses dois conjuntos de campos tentam alinharse surgindo um conjugado proporcio nal ao deslocamento desde a posição de alinhamento Assim em um motor o campo magnético do estator gira à frente do campo do rotor puxandoo e realizando trabalho O oposto é verdadeiro em um gerador no qual o rotor faz trabalho sobre o estator Começamos com o princípio da conservação da energia ele afirma que a ener gia não é criada nem destruída ela simplesmente muda de forma Por exemplo uma bola de golfe é impelida do seu suporte com uma certa quantidade de energia cinética No final quando a bola atingir o repouso sobre o gramado essa energia terá se dis sipado como calor devido ao atrito do ar ou do rolamento da bola Do mesmo modo depois que um prego penetrar em um pedaço de madeira no final a energia cinética do martelo terá se dissipado como calor Em sistemas isolados com os seus limites claramente identificáveis esse fato permitenos acompanhar a energia de maneira simples o fluxo líquido de energia que entra no sistema através de seus limites é igual à soma das taxas de variação no tempo da energia armazenada no sistema A técnica para calcular forças e conjugados no processo de conversão eletro mecânica de energia desenvolvida neste capítulo e usado em todo o livro é conhecida como o método da energia e baseiase no princípio da conservação da energia Esse resultado que é uma expressão da primeira lei da termodinâmica é bem genérico Neste capítulo iremos aplicálo a sistemas eletromecânicos cujo mecanismo predo minante de armazenamento de energia é o campo magnético Em tais sistemas pode se equacionar a transferência de energia como Entrada de energia a partir de fontes elétricas Saída de energia mecânica Aumento da energia armazenada no campo magnético Energia convertida em calor 37 A Eq 37 está escrita de modo que no caso de um motor os termos de energias elétrica e mecânica têm ambos valores positivos isto é a potência elétrica de entrada Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 127 é convertida em energia mecânica de saída No caso de um gerador no qual a po tência mecânica de entrada é convertida em potência elétrica de saída esses termos são ambos negativos Nos dois casos o sinal do termo da geração de calor é tal que quando essa geração ocorre dentro do sistema resulta um fluxo de energia térmica para fora do sistema Nos sistemas aqui considerados a conversão da energia em calor dáse por me canismos tais como aquecimento ôhmico devido à circulação de corrente nos enro lamentos dos terminais elétricos e atrito mecânico devido ao movimento dos com ponentes de sistema que formam os terminais mecânicos Nesses sistemas em geral é possível separar matematicamente os mecanismos de perda de armazenamento de energia Em tais casos a interação entre os terminais elétrico e mecânico isto é a conversão eletromecânica de energia ocorre através do meio da energia magnética armazenada O dispositivo pode ser representado como um sistema de armazenamen to de energia sem perdas com terminais elétricos e mecânicos como mostrado na Figura 33a Em sistemas que podem ser modelados dessa forma os mecanismos de perda podem ser representados por elementos externos conectados a esses terminais resistências nos terminais elétricos e amortecedores mecânicos nos terminais mecâ nicos As perdas não precisam ser consideradas em cálculos que envolvem o processo de conversão eletromecânica de energia A Figura 33b mostra um exemplo de tal sistema um dispositivo simples produtor de força com uma única bobina formando o terminal elétrico e um êmbolo móvel servindo como o terminal mecânico A Figura 33a pode ser generalizada de imediato para situações com um nú mero qualquer de terminais elétricos ou mecânicos Observe que a Figura 33a re presenta um sistema no qual há energia magnética armazenada e o campo magnéti co atua como meio de acoplamento entre os terminais elétricos e magnéticos Essa discussão também pode ser aplicada igualmente bem a um sistema com energia elétrica armazenada A capacidade de identificar um sistema de armazenamento de energia magné tica sem perdas é a essência do método da energia É importante entender que isso é feito matematicamente como parte do processo de modelagem Não é possível claro retirar a resistência dos enrolamentos nem o atrito dos mancais Entretanto estamos fazendo uso do fato de que um modelo no qual isso é feito é uma representação válida do sistema físico Êmbolo magnético móvel fcmp e v Resistência de enrolamento Enrolamento sem perdas i Núcleo magnético b a i fcmp Sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas λ e Terminal elétrico Terminal mecânico x x Figura 33 a Dispositivo esquemático de conversão eletromecânica de energia baseado em campo mag nético b dispositivo simples produtor de força 128 Máquinas elétricas Para um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas a Eq 37 pode ser escrita como dWcmp 38 onde Pele Entrada de energia elétrica Pmec Saída de energia mecânica dWcmp Taxa de variação de energia magnética armazenada Na Fig 33a o terminal elétrico tem duas variáveis de terminal uma tensão e e uma corrente i O terminal mecânico também tem duas variáveis de terminal a força fcmp cmp campo e a posição x A entrada de potência elétrica pode ser escrita como o produto da tensão e e da corrente i 39 e a potência de saída mecânica pode ser escrita como o produto da força fcmp e da velocidade a derivada em relação ao tempo da posição x como 310 A partir da Eq 38 e substituindo as Eqs 39 e 310 temos 311 Para um sistema de armazenamento de energia magnética o terminal elétrico é representado normalmente por um enrolamento como o mostrado na Fig 33b Ten do em conta que da Eq 126 a tensão nos terminais de um enrolamento sem perda é dada pela derivada em relação ao tempo do fluxo concatenado do enrolamento temos 312 A substituição na Eq 311 e multiplicando por dt fornece d Wcmp i dλ fcmp dx 313 Como foi mostrado na Seção 34 a Eq 313 permite obter a força simplesmente como uma função do fluxo concatenado λ e da posição x do terminal mecânico Ob serve novamente que este resultado surge como consequência de nossa suposição de que é possível separar as perdas em um problema físico resultando em um sistema de armazenamento de energia como na Fig 33a As Eqs 311 e 313 formam o fundamento do método da energia Essa técnica é bastante poderosa em sua capacidade de calcular forças e conjugados em sistemas complexos de conversão eletromecânica de energia O leitor deve reconhecer que Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 129 esse poder vem de uma visão detalhada do mecanismo de produção de força As forças em si são produzidas por fenômenos físicos bem conhecidos como a força de Lorentz que atua em elementos condutores de corrente descrita pela Eq 36 e a interação do campo magnético com os dipolos do material magnético 33 Energia em sistemas de campo magnético de excitação única Nos Capítulos 1 e 2 examinamos principalmente os circuitos magnéticos de geometria fixa tais como os usados em transformadores e indutores Nesses dispositivos a energia é armazenada nos campos de dispersão e até certo ponto no próprio núcleo No entanto a energia armazenada não entra diretamente no processo de transformação Nesse ca pítulo trataremos dos sistemas de conversão de energia Entre as partes estacionárias e móveis os circuitos magnéticos têm entreferros nos quais uma energia considerável é armazenada no campo magnético Esse campo atua como meio de conversão da ener gia e tal energia é o reservatório entre os sistemas elétricos e mecânicos Considere o relé eletromagnético mostrado esquematicamente na Figura 34 A resistência da bobina de excitação está mostrada como uma resistência externa R As variáveis do terminal mecânico estão mostradas como a força fcmp produzida pelo campo magnético dirigido do relé para o sistema mecânico externo e o deslocamen to x As perdas mecânicas podem ser incluídas como elementos externos conectados ao terminal mecânico Do mesmo modo a armadura móvel aparece com massa nula a sua massa representa energia mecânica armazenada e pode ser incluída como uma massa externa conectada ao terminal mecânico Como resultado o núcleo magnético e a armadura constituem um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas como representado esquematicamente na Figura 33a Essa estrutura de relé é essencialmente a mesma que as estruturas magnéticas analisadas no Capítulo1 Naquele capítulo vimos que o circuito magnético da Figura 34 pode ser descrito por uma indutância L que é função da geometria da estrutura magnética e das permeabilidades magnéticas dos diversos componentes do sistema Os dispositivos de conversão eletromecânica de energia têm entreferros em seus cir cuitos magnéticos para separar as partes móveis Como discutido na Seção 11 na maioria dos casos a relutância do entreferro é muito maior do que a do material mag λ e Fonte mecânica Fluxo ϕ v R i Núcleo magnético Fonte elétrica fcmp Armadura magnética sem massa Bobina sem perdas x Figura 34 Desenho esquemático de um relé eletromagnético 130 Máquinas elétricas nético Assim o armazenamento predominante de energia ocorre no entreferro e as propriedades do circuito magnético são determinadas pelas dimensões do entreferro Devido à simplicidade das relações resultantes a não linearidade magnética e as perdas do núcleo são em geral desprezadas na análise de dispositivos práticos Os resultados finais dessas análises aproximadas podem ser se necessário corrigidas por métodos semiempíricos para se levar em consideração os efeitos dos fatores despre zados Logo as análises são realizadas supondo que o fluxo e a FMM são diretamente proporcionais ao longo de todo o circuito magnético Assim o fluxo concatenado λ e a corrente i são considerados como relacionados linearmente por uma indutância que depende somente da geometria e portanto da posição x da armadura λ Lxi 314 onde mostrase a dependência explícita de L em função de x Como o sistema de armazenamento de energia magnética não tem perdas trata se de um sistema conservativo e o valor de Wcmp é especificado unicamente pelos valores de λ e x Assim as variáveis λ e x são denominadas variáveis de estado já que seus valores determinam de forma única o estado do sistema Como a força magnéti ca fcmp foi definida atuando a partir do relé sobre o sistema mecânico externo então Pmec é definida como a saída de energia mecânica do relé coerente com as deduções feitas na Seção 32 e na Eq 313 que é repetida aqui mostrando a dependência ex plícita de Wcmp com λ e x dWcmpλ x i dλ fcmp dx 315 Dessa discussão vemos que a energia armazenada Wcmp determinada unica mente pelos valores de λ e x é a mesma independentemente de como as variáveis λ e x são levadas até os seus valores finais Considere a Figura 35 na qual dois cami nhos separados são mostrados para os quais a Eq 315 pode ser integrada para obter Wcmp no ponto λ0 x0 O caminho 1 é o caso geral e é difícil de integrar a menos que ambos i e fcmp sejam conhecidos explicitamente como funções de λ e x No entanto como a integração da Eq 315 não depende da forma do caminho o caminho 2 dá o mesmo resultado e permite uma integração muito mais fácil Da Eq 315 caminho 2a caminho 2b 316 λ λ0 2b 2a x0 Wcmp λ0 x0 x 1 Figura 35 Caminhos de integração para Wcmp Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 131 Observe que no caminho 2a dλ 0 e fcmp 0 porque λ 0 e não pode haver força magnética na ausência de campos magnéticos Assim da Eq 315 dWcmp 0 no ca minho 2a No caminho 2b dx 0 e assim da Eq 315 a Eq 316 reduzse à integral de i dλ no caminho 2b para o qual x x0 317 Para um sistema linear no qual λ é proporcional a i como na Eq 314 a Eq 317 dá 318 Observe que como o ponto λ0 x0 é arbitrário a expressão de Wcmp da Eq 318 é válida para todos os pontos λ x Para destacar esse ponto a Eq 318 pode ser escrita também como 319 Podese mostrar que a energia magnética armazenada também pode ser expres sa em termos da densidade de energia do campo magnético integrada no seu volume V Neste caso 320 Para material magnético mole de permeabilidade constante B μH isso reduzse a 321 Exemplo 32 O relé mostrado na Figura 36a é construído de material magnético de permeabilidade infinita com um êmbolo móvel também de permeabilidade infinita A altura do êmbolo é muito maior que o comprimento do entreferro h g Calcule a energia magnética armazenada Wcmp em função da posição do êmbolo 0 x d para N 1000 espiras g 20 mm d 015 m l 01 m e i 10 A Solução A Eq 319 pode ser usada para determinar Wcmp quando λ é conhecido Nesse caso i é mantido constante Agora seria útil ter uma expressão para Wcmp em função de i e x Isso pode ser obti do simplesmente substituindo a Eq 314 na Eq 319 do que resulta A indutância é dada por 132 Máquinas elétricas onde Agap é a área do entreferro da seção reta Da Eq 36b podese ver que Agap é Assim e Problema prático 32 O relé da Figura 36 é modificado de modo que os entreferros acima e abaixo do êmbolo não sejam mais uniformes O comprimento do entreferro superior é aumentado para gsup 35 mm e o do entreferro inferior é aumentado para ginf 25 mm O número de espiras é aumentado para N 1500 espiras Calcule a energia armazenada em função da posição do êmbolo 0 x d para uma corrente de i 5 A Solução Nesta seção vimos as relações existentes entre a energia magnética armazenada e as variáveis de terminais elétrico e mecânico para o caso de um sistema que pode λ Êmbolo magnético μ Núcleo magnético μ i Bobina de N espiras sem perdas d l h Fluxo magnético g d x g g g b a x x Figura 36 a Relé de êmbolo móvel para o Exemplo 32 b Detalhe mostrando a configura ção do entreferro quando o êmbolo está parcialmente removido Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 133 ser representado em termos de um elemento de armazenamento de energia magnética sem perdas Se tivéssemos escolhido como exemplo um dispositivo com um terminal rotativo em vez de um com deslocamento linear os resultados teriam sido idênticos exceto que força e deslocamento linear teriam sido substituídos por conjugado e des locamento angular respectivamente Na Seção 34 veremos como o conhecimento da energia magnética armazenada permitenos obter a força mecânica e o conjugado 34 Determinação da força e do conjugado magnéticos a partir da energia Como foi discutido na Seção 33 em um sistema de armazenamento de energia mag nética sem perdas a energia magnética armazenada Wcmp é uma função de estado determinada unicamente pelos valores das variáveis independentes de estado λ e x Isso está mostrado explicitamente pela Eq 315 repetida aqui dWcmpλ x i dλ fcmp dx 322 Para qualquer função de estado de duas variáveis independentes por exemplo Fx1 x2 a diferencial total de F em relação às duas variáveis de estado x1 e x2 pode ser escrita como 323 É extremamente importante ter em mente que cada uma das derivadas parciais da Eq 323 é determinada em relação a uma das variáveis de estado mantendo constante a outra variável A Eq 323 é válida para qualquer função de estado F e portanto também o será para Wcmp assim cmp cmp cmp 324 Como λ e x são variáveis independentes as Eqs 322 e 324 devem ser iguais para todos os valores de dλ e dx Assim igualando termos vemos que cmp 325 onde a derivada parcial foi obtida mantendo x constante e cmp cmp 326 onde λ foi mantido constante para se obter a derivada parcial Esse é o resultado que procurávamos Uma vez conhecido Wcmp em função de λ e x a Eq 325 pode ser usada para se obter iλ x Mais importante ainda a Eq 326 pode usada para se obter a força mecânica fcmpλ x Não é demais enfatizar que a derivada parcial da Eq 326 é obtida mantendo constante o fluxo concatenado λ 134 Máquinas elétricas Isso é feito facilmente desde que Wcmp seja uma função conhecida de λ e x Observe que essa é uma exigência puramente matemática e não tem nada a ver com manter λ constante quando o dispositivo real for operado A força fcmp é obtida diretamente da Eq 326 em termos da variável de estado λ Se então quisermos expressar a força em função de i poderemos fazêlo substituindo a expressão adequada de λ em função de i na expressão de fcmp obtida usandose a Eq 326 Observe que essa substituição deve ser feita somente após obtermos a deri vada parcial Para sistemas magnéticos lineares nos quais λ Lxi a energia é expressa pela Eq 319 e a força pode ser encontrada por substituição direta na Eq 326 resultando 327 Se desejado agora a força pode ser expressa diretamente em termos da corrente i fazendo apenas a substituição λ Lxi 328 Exemplo 33 A Tabela 31 contém dados de um experimento no qual a indutância de um solenoide foi medi da em função da posição x onde x 0 corresponde a uma retração total do solenoide Tabela 31 Dados para o Exemplo 33 x cm 0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 L mH 28 226 178 152 134 126 120 116 113 111 110 Plote a força do solenoide para uma corrente de 075 A em função da posição no intervalo 02 x 18 cm Solução A solução é obtida mais facilmente usando MATLAB Primeiro um ajuste polinomial de quar ta ordem da indutância em função de x é obtido usando a função polyfit do MATLAB O resul tado tem a forma Lx a1 x4 a2 x3 a3 x2 a4 x a5 A Figura 37a mostra uma plotagem dos pontos de dados juntamente com os resultados do ajuste polinomial Uma vez obtido esse ajuste é uma questão imediata calcular a força a partir da Eq 328 Essa força está plotada na Figura 37b Observe que a força é negativa significando que atua em um sentido tal que o êmbolo é puxado para dentro do solenoide em direção a x 0 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 135 3 28 26 24 22 2 16 14 18 12 1 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 x cm a L mH 0 001 002 003 004 006 007 005 02 008 04 06 08 12 14 16 18 2 1 x cm b Força N Figura 37 Exemplo 33 a Ajuste de indutância a uma curva polinomial b Força em função da posição x para i 075 A 136 Máquinas elétricas Aqui está o script de MATLAB clc clear Aqui estão os dados x em cm L em mH xdata 0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 Ldata 28 226 178 152 134 126 120 116 113 111 110 Converta para unidades SI x xdata1e2 L Ldata1e3 len lengthx xmax xlen Use polyfit para realizar um ajuste de quarta ordem de L em função de x Armazene os coeficientes polinomiais em um vetor a O ajuste será da forma Lfit a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 a polyfitxL4 Vamos conferir o ajuste n 1101 xfit xmaxn1100 Lfit a1xfit4 a2xfit3 a3xfit2 a4xfit a5 Plote os dados e em seguida o ajuste para comparação converta xfit para cm e Lfit para mH plotxdataLdata hold plotxfit100Lfit1000 hold xlabelx cm ylabelL mH fprintf Pausa Aperte qualquer tecla para plotar a força pause Agora plote a força A força será dada i2 dL i2 4a1x3 3a2x2 2a3x a4 2 dx 2 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 137 Inicialize a corrente com 075 A I 075 n 1101 xfit 0002 016n1100 F 4a1xfit3 3 a2xfit2 2a3xfit a4 F I22F plotxfit100F xlabelx cm ylabelForça N Problema prático 33 Um controlador externo é conectado ao solenoide do Exemplo 33 que mantém constante o flu xo concatenado da bobina com λ 15 mWb Plote a força resultante do solenoide no intervalo 02 x 18 cm Solução A força resultante está plotada na Figura 38 0 001 002 003 004 006 005 02 04 06 08 12 14 16 18 2 1 x cm Força N Figura 38 Problema prático 33 Plotagem da força versus x para λ 15 mWb 138 Máquinas elétricas Em um sistema com um terminal mecânico rotativo as variáveis mecânicas tor namse o deslocamento angular θ e o conjugado Tcmp Nesse caso a Eq 322 tornase dWcmpλ θ i dλ Tcmp dθ 329 onde a dependência explícita de Wcmp em função das variáveis de estado λ e θ foi indicada Por analogia ao desenvolvimento que levou à Eq 326 podese obter o con jugado como o negativo da derivada parcial da energia em relação a θ mantendo λ constante 330 Em sistemas magnéticos lineares nos quais λ Lθi e por analogia à Eq 319 a energia é dada por 331 Portanto o conjugado é dado por 332 que pode ser expresso indiretamente em termos da corrente i como 333 Exemplo 34 O circuito magnético da Figura 39 consiste em um estator de bobina única e um rotor oval Como o entreferro não é uniforme a indutância da bobina varia com a posição angular do rotor medida entre o eixo magnético da bobina do estator e o eixo principal do rotor de acordo com Lθ L0 L2 cos 2θ onde L0 106 mH e L2 27 mH Observe a variação de indutância de segunda harmônica em função do ângulo θ do rotor Isso é consistente com o fato de que a indutância não se altera se o rotor for girado de 180 λ θ Rotor Estator i Eixo do rotor Eixo do estator Entreferro Figura 39 Circuito magnético para o Exemplo 34 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 139 Encontre o conjugado em função de θ para uma corrente de 2 A na bobina Solução Da Eq 333 A substituição numérica dá Tcmpθ 108 102 sen 2θ N m Observe que neste caso o conjugado atua em um sentido tal que o eixo do rotor é tracionado para se alinhar com o eixo da bobina e assim maximizar a indutância desta Problema prático 34 Constatase que a indutância de uma bobina de um circuito magnético similar ao da Figura 39 varia em função da posição do rotor conforme Lθ L0 L2 cos 2θ L4 sen 4θ onde L0 254 mH L2 83 mH e L4 18 mH a Encontre o conjugado em função de θ para uma corrente de enrolamento de 35 A b Encontre uma posição de rotor θmax tal que produza um máximo negativo de conjugado Solução a Tcmpθ 01017 sen 2θ 0044 cos 4θ N m b O máximo negativo de conjugado ocorre quando θ 45 e θ 225 Isso pode ser de terminado analiticamente mas é útil plotar o conjugado usando o MATLAB 35 Determinação da força e do conjugado magnéticos a partir da coenergia Uma manipulação matemática da Eq 322 pode ser usada para definir uma nova função de estado conhecida como coenergia que permite obter a força diretamente como uma função de corrente A escolha de energia ou coenergia como função de estado é apenas uma questão de conveniência ambas fornecem o mesmo resultado mas uma ou outra pode ser analiticamente mais simples dependendo do resultado desejado e das características do sistema analisado A coenergia Wcmp é definida como uma função de i e x tal que Wcmpi x iλ Wcmpλ x 334 A dedução desejada é realizada usando a diferencial de iλ diλ i dλ λ di 335 e a diferencial de dWcmpλ x da Eq 322 Da Eq 334 temse dWcmpi x diλ dWcmpλ x 336 140 Máquinas elétricas A substituição das Eqs 322 e 335 na Eq 336 resulta em dWcmpi x λ di fcmp dx 337 Da Eq 337 podese ver que a coenergia Wcmpi x é uma função de estado das duas variáveis independentes i e x Assim sua diferencial pode ser expressa como 338 As Eqs 337 e 338 devem ser iguais para todos os valores de di e dx Assim 339 340 A Eq 340 fornece a força mecânica diretamente em termos de i e x Observe que a derivada parcial da Eq 340 é obtida mantendo i constante Assim Wcmp deve ser uma função conhecida de i e x Para qualquer sistema dado as Eqs 326 e 340 darão o mesmo resultado a escolha de qual usar para calcular a força será ditada pela preferência e conveniência do usuário Por analogia à dedução da Eq 317 a coenergia pode ser calculada da integral de λ di 341 Portanto em sistemas magnéticos lineares para os quais λ Lxi a coenergia é dada por 342 e a força pode ser encontrada a partir da Eq 340 como 343 a qual como esperado é idêntica à expressão dada pela Eq 328 Observe que em sistemas lineares a substituição de Lxi em λ na Eq 319 mostra que numericamente Wcmp Wcmp Esse fato é utilizado para obter Wcmp no Exemplo 32 Entretanto é importante considerar que quando se calcula a força a partir da energia utilizando a Eq 326 a energia deve ser expressa explicitamente em termos de λ na forma da Eq 319 De modo similar quando se calcula a força a partir da coenergia utilizando a Eq 340 a energia deve ser expressa explicitamente em termos de i na forma da Eq 342 Em um sistema com deslocamento mecânico rotacional a coenergia pode ser expressa em termos da corrente e do deslocamento angular θ por 344 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 141 e o conjugado é dado por 345 Se o sistema for magneticamente linear 346 e 347 a qual é idêntica à Eq 333 Em termos da teoria de campo para materiais magnéticos moles em que B 0 quando H 0 podese mostrar que 348 No caso de material magnético mole de permeabilidade constante B μH isso reduzse a 349 Para materiais magnéticos permanentes duros como os discutidos no Capítu lo 1 e para os quais B 0 quando H Hc a energia e a coenergia são iguais a zero quando B 0 e portanto quando H Hc Assim embora a Eq 320 ainda seja apli cável ao cálculo de energia a Eq 348 deve ser modificada para a forma 350 Observe que a Eq 350 pode ser considerada de aplicação genérica já que os mate riais magnéticos moles podem ser considerados simplesmente como materiais mag néticos duros com Hc 0 Nesse caso a Eq 350 reduzse à Eq 348 Em alguns casos as representações de circuitos magnéticos podem ser difíceis de se obter ou podem não fornecer soluções com a exatidão desejada Frequentemente tais situações caracterizamse por geometrias complexas eou materiais magnéticos em satu ração profunda Nessas situações técnicas numéricas podem ser utilizadas para calcular a energia do sistema usando a Eq 320 ou a coenergia usandose a Eq 348 ou a 350 Uma dessas técnicas conhecida como método dos elementos finitos1 tornouse muito usada Por exemplo esses programas disponibilizados comercialmente por diversos fornecedores podem ser usados para calcular as coenergias correspondentes a diversos valores do deslocamento x de um atuador de deslocamento linear assegu 1 Veja por exemplo PPSylvester e RLFerrari Finite Elements for Electrical Engineers Cambridge Uni versity Press New York 1983 142 Máquinas elétricas randose de manter constante a corrente quando o valor de x é variado A força então pode ser obtida da Eq 340 calculandose numericamente a derivada da coenergia em relação a x a partir dos resultados da análise de elementos finitos Exemplo 35 Para o relé do Exemplo 32 encontre a força no êmbolo em função de x quando a bobina é acionada por um controlador que produz uma corrente em função de x dada por Solução Do Exemplo 32 Esse é um sistema magneticamente linear para o qual a força pode ser calculada usando a Eq 343 obtendose Substituindo ix nessa expressão a força em função de x pode ser determinada por Observe que da Eq 342 a coenergia desse sistema é igual a e a derivada dessa expressão em relação a x dá a expressão esperada para a força em termos da corrente i Neste exemplo poderíamos pensar em introduzir a expressão de ix diretamente na expressão da coenergia Nesse caso a coenergia seria dada por Embora essa seja uma expressão perfeitamente correta da coenergia em função de x dentro das condições especificadas de operação se tentássemos calcular a força tomando a derivada par cial dessa expressão de Wcmp em relação a x a expressão resultante não forneceria a expressão correta da força A razão é bem simples como visto a partir da Eq 340 a derivada parcial deve ser calculada mantendo constante a corrente Depois de substituir ix para obter essa equação de coenergia a corrente não é mais constante e tal requisito não pode ser atendido Isso ilustra os problemas que poderão surgir se as diversas expressões de força e conjugado desenvolvidas aqui forem mal aplicadas Problema prático 35 Considere um êmbolo cuja indutância varia como Lx L01 xd2 Figura 321 a Circuito magnético genérico contendo uma seção de material magnético permanente ímã linear b Circuito magnético genérico no qual o ímã permanente foi substituído por uma seção de material magnético linear e um enrolamento fictício Figura 310 Interpretação gráfica da energia e da coenergia em um sistema de excitação única Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 145 b A densidade máxima de fluxo nas porções sobrepostas dos entreferros está limitada a 165 T para evitar saturação excessiva do aço Calcule o conjugado máximo para r1 25 cm h 18 cm e g 3 mm Solução a Há dois entreferros em série cada um de comprimento g e portanto como a permeabi lidade do aço foi assumida infinita a intensidade de campo Hg do entreferro é igual à O valor de Baço deve permanecer finito e como μ Haço Baçoμ e portanto a densidade de coenergia Eq 349 do aço é zero μH2aço 2 B2aço 2μ 0 Assim a coenergia do sistema é igual à dos entreferros nos quais a densidade de coenergia é μ0H2g 2 O volume dos dois entreferros sobrepostos é 2ghr1 05gθ Consequen temente a coenergia é igual ao produto da densidade de coenergia do entreferro e do volume do entreferro ou seja e assim da Eq 340 O sinal do conjugado é positivo e atua portanto no sentido de aumentar o ângulo de sobreposição θ e de assim alinhar o rotor e as faces polares do estator b Para Bg 165 T e assim Ni 2gHg 23 103131 106 7860 Ae i r1 g θ Rotor Comprimento axial perpendicular à página h Figura 312 Sistema magnético do Exemplo 36 146 Máquinas elétricas Tcmp pode agora ser calculado como Problema prático 36 a Escreva uma expressão para a indutância do circuito magnético da Figura 312 em fun ção de θ b Usando essa expressão deduza uma outra para o conjugado que atua no rotor em função da corrente de entreferro i e do ângulo de rotor θ Solução a b 36 Sistemas de campo magnético multiexcitado Muitos dispositivos eletromecânicos têm terminais elétricos múltiplos Em sistemas de medição frequentemente é desejável obter conjugados proporcionais a dois sinais elétricos um exemplo é um medidor que determina a potência como o produto de tensão e corrente Do mesmo modo a maioria dos dispositivos de conversão eletro mecânica de energia consiste em sistemas de campo magnético multiexcitado A análise desses sistemas seguese diretamente das técnicas discutidas nas se ções anteriores Esta seção ilustra essas técnicas com base em um sistema de dois terminais elétricos Uma representação esquemática de um sistema simples com dois terminais elétricos e um mecânico está mostrada na Figura 313 Nesse caso repre senta um sistema de movimento rotacional As variáveis do terminal mecânico são o conjugado Tcmp e o deslocamento angular θ Como há três terminais o sistema deve ser descrito em termos de três variáveis independentes Podem ser o ângulo mecânico θ juntamente com os fluxos concatenados λ1 e λ2 ou as correntes i1 e i2 ou um con junto híbrido incluindo uma corrente e um fluxo2 Quando os fluxos são usados a função diferencial de energia dWcmpλ1 λ2 θ correspondente à Eq 329 é dWcmpλ1 λ2 θ i1 dλ1 i2 dλ2 Tcmp dθ 352 2 Veja por exemplo HHWoodson e JRMelcher Electromechanical Dynamics Wiley New York 1968 Pt I Cap 3 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 147 e em analogia direta com a dedução anterior para um sistema de excitação única 353 354 e 355 Observe que em cada uma dessas equações a derivada parcial em relação a cada variável independente deve ser tomada mantendo constantes as outras duas variáveis independentes A energia Wcmp pode ser encontrada integrando a Eq 352 Como no caso de excitação única embora a energia em qualquer ponto seja independente do caminho de integração isso é feito de maneira mais conveniente mantendo λ1 e λ2 constantes em zero e integrando primeiro em θ Sob essas condições Tcmp é zero e assim essa integral é nula Em seguida podese integrar em λ2 mantendo λ1 em zero e final mente em λ1 Assim 356 Esse caminho de integração está ilustrado na Figura 314 e é um análogo direto do mostrado na Figura 35 Podese claro permutar a ordem de integração em relação a λ1 e λ2 Entretanto é muito importante ter em mente que para a expressão da Eq 356 as variáveis de estado são integradas em um caminho específico no qual apenas uma variável de estado é variada por vez Por exemplo λ1 é inicialmente mantido em zero enquanto se integra em relação a λ2 Isso está explicíto na Figura 356 e também pode ser visto na Figura 314 A não observância das restrições impostas por um determinado caminho de integração escolhido é um dos erros mais comuns feitos na análise desses sistemas Sistema de armazenamento sem perdas de energia magnética λ1 θ λ2 Terminais elétricos Terminal mecânico i1 Tcmp i2 Figura 313 Sistema multiexcitado de armazenamento de energia magnética 148 Máquinas elétricas Em um sistema magnético linear as relações entre λ e i podem ser especifica das em termos das indutâncias como discutido na Seção 12 por λ1 L11i1 L12i2 357 λ2 L21i1 L22i2 358 onde L12 L21 359 Aqui as indutâncias são geralmente funções da posição angular θ Essas equações podem ser manipuladas para se obter expressões de i em função de θ 360 361 onde D L11L22 L12L21 362 A energia desse sistema linear pode ser encontrada a partir da Eq 356 363 onde a dependência das indutâncias e do determinante Dθ em função do desloca mento angular θ foi indicada explicitamente λ10 λ20 λ1 λ2 θ0 θ Wcmpλ10 λ20 θ0 Figura 314 Caminho de integração para se obter Wcmpλ10 λ20 θ0 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 149 Na Seção 35 para o caso de sistemas de enrolamento único a função coenergia foi definida de modo que permita a determinação da força e do conjugado diretamen te em termos da corrente Uma função semelhante de coenergia pode ser definida para o caso de sistemas de dois enrolamentos como Wcmpi1 i2 θ λ1i1 λ2i2 Wcmp 364 É uma função de estado que depende das correntes dos dois terminais e do desloca mento mecânico A sua diferencial seguindo a substituição da Eq 352 fornece dWcmpi1 i2 θ λ1 di1 λ2 di2 Tcmp dθ 365 Da Eq 365 vemos que 366 367 Agora de forma mais significativa o conjugado pode ser determinado direta mente em termos das correntes como 368 De modo semelhante à Eq 356 a coenergia pode ser obtida como 369 Para o sistema linear das Eqs 357 a 359 temse 370 Em tal sistema linear o conjugado pode ser encontrado ou a partir da energia dada pela Eq 363 usando a Eq 355 ou da coenergia dada pela Eq 370 usando a Eq 368 É nesse ponto que a utilidade da função coenergia tornase aparente A expressão de energia da Eq 363 é uma função complexa do deslocamento A sua derivada também o é em grau ainda maior Como alternativa a coenergia é uma função relativamente simples de deslocamento e a partir de sua derivada podese determinar com facilidade uma expressão para o conjugado em função das correntes de enrolamento i1 e i2 como 371 150 Máquinas elétricas Os sistemas com mais de dois terminais elétricos são tratados de modo análo go Como no caso dos dois pares de terminais recém utilizados o uso da coenergia em função das correntes de terminal simplifica muito a determinação do conjugado ou da força Exemplo 37 No sistema mostrado na Figura 315 as indutâncias em henrys são dadas por L11 3 cos 2θ 103 L12 03 cos θ e L22 30 10 cos 2θ Encontre e plote o conjugado Tcmpθ para as correntes i1 08 A e i2 001 A Solução O conjugado pode ser determinado a partir da Eq 371 Para i1 08 A e i2 001 A O conjugado é Tcmp 164 103 sen 2θ 24 103 sen θ Observe que a expressão do conjugado consiste em termos de dois tipos Um deles proporcional a i1i2 sen θ é devido à interação mútua entre as correntes do rotor e do estator atuando no sentido de alinhar o rotor e o estator de modo a maximizar a sua indutância mútua Como opção podese pensar também que é devido à tendência de alinhamento de dois campos magnéticos nesse caso os do rotor e do estator A expressão do conjugado também tem termos proporcionais a 2θ e ao quadra do das correntes individuais das bobinas Esses termos são devidos à ação individual das correntes de enrolamento e correspondem aos conjugados vistos em sistemas de excitação única Aqui cada componente de conjugado atua em uma direção que Mola λ1 e1 θ Fonte elétrica 1 Fonte elétrica 2 i1 i2 λ2 e2 Estator Tcmp Tmec Rotor Figura 315 Sistema magnético de excitação múltipla do Exemplo 37 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 151 maximiza a respectiva indutância de modo a maximizar a coenergia A variação 2θ de conjugado é devido à variação 2θ nas indutâncias próprias exatamente como foi visto no Exemplo 34 o que por sua vez é devido à variação da relutância de entreferro Observe que uma rotação de 180 a partir de qualquer posição resulta na mesma relutância de entreferro por isso a variação em dobro do ângulo Esse componente de conjugado é conhecido como conjugado de relutância Os dois componentes de conjugado mútuo e de relutância juntamente com o conjugado total estão plotados com MATLAB na Figura 316 Problema prático 37 Encontre uma expressão para o conjugado de um sistema simétrico de dois enrolamentos cujas indutâncias variam conforme dada a condição de que i1 i2 037 A Solução Tcmp 0148 sen 4θ 0178 sen 2θ 0 0 1 1 2 2 3 4 103 3 1 1 2 2 3 3 4 Teta radianos Torque Nm Conjugado de interação mútua Conjugado total Conjugado de relutância Figura 316 Plotagem dos componentes de conjugado do sistema de excitação múltipla do Exemplo 37 152 Máquinas elétricas A dedução recém apresentada para deslocamento angular pode ser repetida de modo semelhante à dos sistemas de deslocamento linear Se isso for feito as expres sões encontradas para a energia e a coenergia serão 372 373 Do mesmo modo a força pode ser obtida de 374 ou 375 Em um sistema magnético linear a expressão de coenergia dada pela Eq 370 tornase 376 e assim a força é dada por 377 37 Forças e conjugados em sistemas com ímãs permanentes As deduções das expressões de força e conjugado das Seções 34 a 36 voltaramse a sistemas nos quais os campos magnéticos são produzidos pela excitação elétrica de enrolamentos específicos do sistema No entanto na Seção 35 foi visto que é preciso um cuidado especial quando são considerados os sistemas que contêm ímãs perma nentes também referidos como materiais magnéticos duros Especificamente a dis cussão que acompanhou a dedução da expressão da coenergia da Eq 350 mostrou que em tais sistemas a densidade de fluxo magnético é zero quando H Hc e não H 0 Por essa razão as deduções das expressões de força e conjugado das Seções 34 a 36 devem ser modificadas para o caso de sistemas que contenham ímãs permanen tes Considere por exemplo que a dedução da Eq 317 depende do fato de que na Eq 316 quando a integração se dá ao longo do caminho 2a a força pode ser consi Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 153 derada nula porque não há excitação elétrica no sistema Um argumento semelhante aplicase à dedução das expressões de coenergia das Eqs 341 e 369 Em sistemas com ímãs permanentes essas deduções devem ser revisitadas com cuidado Em alguns casos tais sistemas não apresentam enrolamento Os seus cam pos magnéticos devemse apenas à presença de material magnético permanente e não é possível fundamentar as deduções puramente em fluxos e correntes de enrolamen tos Em outros casos os campos magnéticos podem ser produzidos por meio de uma combinação de ímãs permanentes e enrolamentos Uma modificação das técnicas apresentadas nas seções anteriores pode ser usada em sistemas que contenham ímãs permanentes Embora a dedução apresen tada aqui seja aplicável especificamente a sistemas em que o ímã aparece como um elemento pertencente a um circuito magnético de campo interno uniforme podese generalizála para situações mais complexas No caso mais geral as expressões da teoria de campo para a energia Eq 320 e a coenergia Eq 350 podem ser usadas A essência dessa técnica está em considerar o sistema com um enrolamento fictício adicional que atua na mesma porção do circuito magnético que o ímã per manente Em condições normais de operação o enrolamento fictício conduz uma corrente nula A sua função é simplesmente a de uma muleta matemática que pode ser usada para realizar a análise requerida A corrente nesse enrolamento pode ser ajustada de modo a cancelar o campo magnético produzido pelo ímã permanente Dessa forma podese obter o ponto de partida de força zero para as análises como as que levam da Eq 316 à Eq 317 Com o propósito de se calcular a energia e a coenergia do sistema esse enro lamento é tratado como outro enrolamento qualquer com seu próprio conjunto de corrente e fluxo concatenado Como resultado as expressões de energia e coenergia podem ser obtidas como função de todos os fluxos concatenados ou correntes de enrolamento incluindo o enrolamento fictício Como em condições normais de ope ração a corrente nesse enrolamento será ajustada para o valor zero é útil deduzir a expressão da força a partir da coenergia do sistema pois as correntes de enrolamento são expressas explicitamente nessa representação A Figura 317a mostra um circuito magnético com um ímã permanente e um êmbolo móvel Para encontrar a força no êmbolo em função de sua posição supomos Êmbolo Enrolamento fictício Nf espiras b a λf if Êmbolo Ímã permanente μ μ μ μ x x Figura 317 a Circuito magnético com ímã permanente e êmbolo móvel b Enrolamento fictício acrescentado 154 Máquinas elétricas que haja um enrolamento fictício de Nf espiras conduzindo uma corrente if enrolado de tal modo que é produzido um fluxo através do ímã permanente como se mostra na Figura 317b Para esse sistema de enrolamento único podemos escrever a expressão da dife rencial de coenergia a partir da Eq 337 como dWcmpif x λf dif fcmp dx 378 onde o índice f indica o enrolamento fictício De acordo com a Eq 340 a força nesse sistema pode ser escrita como 379 onde a derivada parcial é obtida mantendose if constante com if 0 como foi indi cado na Eq 379 Como vimos manter if constante na derivada da Eq 379 é uma exigência do método da energia Nesse caso ela deve ser tornada zero para se calcu lar apropriadamente apenas a força do ímã de modo a não incluir uma componente de força da corrente no enrolamento fictício Para calcular a coenergia Wcmpif 0 x desse sistema é necessário integrar a Eq 378 Como Wcmp é uma função de estado de if e x estamos livres para escolher qualquer caminho de integração que desejarmos A Figura 318 ilustra um caminho em que essa integração é especialmente simples Para esse caminho podemos escre ver a expressão da coenergia do sistema como 380 que corresponde diretamente à expressão análoga de energia encontrada na Eq 316 Observe que a integração é feita primeiro em x com a corrente if mantida cons tante em if If0 Essa é uma corrente muito específica igual à corrente fictícia de 0 Caminho 1a If0 i9f Caminho 1b x x9 W9cmpif 0 x A Figura 318 Caminho de integração para calcular Wcmpif 0 x no sistema de ímã perma nente da Figura 317 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 155 enrolamento que reduz o fluxo magnético a zero no sistema Em outras palavras a corrente If0 é a corrente no enrolamento fictício que contrabalança totalmente o campo magnético produzido pelo ímã permanente Dessa forma a força fcmp é zero no ponto A da Figura 318 e assim permanece na integração em x ao longo do caminho 1a Por tanto a integral ao longo do caminho 1a da Eq 380 é zero e essa equação reduzse a 381 Devemos enfatizar que a Eq 381 é completamente geral e não requer que nem o ímã permanente nem o material magnético do circuito magnético sejam lineares Após calcular a Eq 381 a força em uma posição dada x do êmbolo pode ser obtida com facilidade da Eq 379 Exemplo 38 O circuito magnético da Figura 319 é excitado por um ímã permanente de samáriocobalto e contém um êmbolo móvel Também está mostrado o enrolamento fictício de Nf espiras condu zindo uma corrente if que foi incluído aqui para a análise As dimensões são Wm 20 cm Wg 30 cm W0 20 cm d 20 cm g 02 cm D 30 cm Encontre a uma expressão para a coenergia do sistema em função da posição x do êmbolo e b uma expressão para a força no êmbolo em função de x Finalmente c calcule a força em x 0 e x 05 cm Despreze os efeitos dos fluxos de espraiamento nesse cálculo Solução a Como é bem linear na maior parte de seu intervalo útil de operação a curva de magne tização CC do samáriocobalto pode ser representada como uma linha reta dada pela Eq 160 Bm μRHm Hc μRHm Br Êmbolo móvel Enrolamento fictício Espessura D if x μ μ Nf Wm Wg W0 g0 d Ímã permanente de samáriocobalto μ Figura 319 Circuito magnético do Exemplo 38 156 Máquinas elétricas onde o índice m é usado aqui para indicar especificamente os campos dentro do ímã de samáriocobalto e Observe com base na Figura 119 que a curva de magnetização CC do samário cobalto não é completamente linear ela se dobra ligeiramente para baixo nos valores baixos de densidade de fluxo Assim na curva característica BH dada acima a coercivi dade aparente Hc é um pouco maior do que a real do samáriocobalto Da Eq 15 podemos escrever Nf if Hmd Hgx H0g0 onde o índice g referese ao entreferro variável de comprimento x e o índice 0 ao en treferro fixo de comprimento g0 De modo semelhante da condição de continuidade de fluxo Eq 13 podemos escrever BmWmD BgWgD B0W0D Considerando que nos entreferros temos Bg μ0Hg e B0 μ0H0 podemos resol ver as equações acima em relação a Bm Finalmente podemos determinar o fluxo concatenado λf do enrolamento fictício como Assim vemos que o fluxo concatenado λf será zero quando if If0 onde e da Eq 381 podemos obter a coenergia como Observe que a resposta não depende nem de Nf nem de if Isso é o esperado pois o enrolamento fictício não existe de fato nesse sistema Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 157 b Uma vez encontrada a coenergia a força pode ser determinada da Eq 379 como Observe que a força é negativa indicando que ela atua no sentido de diminuir x isto é puxar o êmbolo no sentido que diminui o entreferro c Finalmente a substituição na expressão da força fornece Problema prático 38 a Deduza uma expressão para a coenergia do circuito magnético da Figura 320 em função da posição x do êmbolo b Deduza uma expressão para a força na direção de x sobre o êmbolo e calculea para x Wg 2 Despreze os efeitos dos fluxos de espraiamento As dimensões são Wm 20 cm Wg 25 cm D 30 cm d 10 cm g 02 cm g Ímã permanente de samáriocobalto Espessura D Wm Wg d g μ μ μ x Figura 320 Circuito magnético do Problema prático 38 Solução a b Em x Wg2 fcmp 386 N Considere o circuito magnético esquemático da Figura 321a Consiste em uma seção de material magnético duro ímã e linear Bm μRHm Hc de área A e com primento d Está conectado em série com um circuito magnético externo de FMM Fe Figura 311 Efeito de Δx sobre a energia e a coenergia de um dispositivo de excitação única a variação de energia mantendo λ constante b variação de coenergia mantendo i constante Considera o circuito magnético do Exemplo 12 Para as condições de funcionamento expressas no exemplo a encontre a energia magnética armazenada da Eq 321 e b Encontre i a indutância do enrolamento de N espiras ii o fluxo concatenado do enrolamento e iii a energia magnética armazenada da Eq 319 160 Máquinas elétricas Baseado nessa substituição o circuito equivalente do sistema tornase o da Figura 322b Há duas fontes de FMM em série com três relutâncias a Rx do entreferro variá vel a R0 do entreferro fixo e a Rm do ímã Com i1 0 o atuador é equivalente a um sistema de enrolamento único cuja coenergia é dada por A força sobre o êmbolo pode então ser obtida de Substituindo os valores dados obtémse fcmp 703 N em que o sinal negativo indica que a força atua no sentido de reduzir x fechar o entreferro b O fluxo no atuador é proporcional ao valor total efetivo de ampèresespiras Niequiv N1i1 que atua no circuito magnético Assim a força será nula quando o valor líquido de ampèresespiras for igual a zero ou quando Observe no entanto que o sinal da corrente isto é em que sentido ela deve ser aplicada ao enrolamento de excitação não pode ser determinado a partir da informação dada aqui considerando que desconhecemos o sentido de magnetização do ímã Como a força depende do quadrado da densidade do fluxo magnético o ímã na perna esquerda do circuito magnético pode ser orientado para produzir fluxo tanto no sentido ascendente como no descendente e a força calculada na parte a será a mesma Para reduzir a força a zero uma corrente de 501 ampères deve ser aplicada ao enrolamento de excitação em um sentido tal que o fluxo seja reduzido a zero Se a corrente oposta for aplicada tanto a densidade de fluxo como a força aumentarão Problema prático 39 O Problema prático 38 deve ser refeito substituindo o ímã de samáriocobalto por uma seção de material linear e um enrolamento equivalente Escreva a expressões para Rm a relutância da se ção de material linear Rg a relutância do entreferro e Niequiv os ampèresespiras do enrolamen to equivalente e b uma expressão para a indutância do enrolamento equivalente e a coenergia Wm 20 cm Wg 25 cm D 30 cm d 10 cm g0 02 cm Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 161 Solução a b É evidente que os métodos descritos neste capítulo podem ser estendidos para tratar de situações em que há ímãs permanentes e múltiplos enrolamentos condu zindo corrente Em muitos dispositivos de interesse prático independentemente do número de enrolamentos eou ímãs permanentes a geometria é bastante complexa Nesses casos a análise dos circuitos magnéticos não é necessariamente aplicável Se for possível encontrar soluções podese esperar que elas serão inexatas Contudo po deremos usar técnicas numéricas como o método dos elementos finitos já discutido Aplicando esse método ao caso de ímã permanente a coenergia da Eq 348 ou da Eq 350 pode ser calculada numericamente para correntes constantes de enrolamento e valores variáveis de deslocamento 38 Equações dinâmicas Deduzimos expressões para as forças e conjugados produzidos em dispositivos de con versão eletromecânica de energia como funções das variáveis dos terminais elétricos e do deslocamento mecânico Essas expressões foram deduzidas para sistemas conservativos de conversão de energia nos quais assumese que as perdas podem ser atribuídas a ele mentos elétricos e mecânicos externos conectados aos terminais do sistema de conversão de energia Tais dispositivos de conversão de energia são planejados para operar como um meio de acoplamento entre sistemas elétricos e mecânicos Portanto estamos inte ressados basicamente na operação por completo do sistema eletromecânico e não apenas no sistema de conversão eletromecânica de energia em torno do qual ele é construído O modelo de um sistema eletromecânico simples como o mostrado na Figura 323 ilustra os componentes básicos do sistema Os detalhes variam de sistema para sistema O sistema mostrado consiste em três partes o sistema elétrico externo o sistema de conversão eletromecânica de energia e o sistema mecânico externo O sistema elétrico é representado por uma fonte de tensão v0 e uma resistência R a fonte poderia ser repre sentada alternativamente por uma fonte de corrente e uma condutância G em paralelo 162 Máquinas elétricas Nesse modelo observe que todas as perdas do sistema incluindo as que são inerentes ao sistema de conversão eletromecânica de energia são atribuídas à re sistência R Por exemplo se a fonte de tensão tiver uma resistência equivalente Rf e a resistência de enrolamento do sistema de conversão eletromecânica de ener gia for Renr então a resistência R será dada pela soma dessas duas resistências R Rf Renr A equação elétrica desse modelo é 387 Se o fluxo concatenado puder ser expresso como λ Lxi a equação externa tornase 388 O segundo termo da direita Ldidt é o termo de tensão da indutância própria O terceiro termo i dLdxdxdt inclui o multiplicador dxdt Essa é a velocidade do terminal mecânico muitas vezes denominada simplesmente tensão de velocidade O termo de tensão de velocidade é comum a todos os sistemas de conversão eletrome cânica de energia representando o mecanismo pelo qual a energia é transferida de e para o sistema mecânico pelo sistema elétrico Em um sistema de excitação múltipla equações elétricas correspondentes à Eq 387 são escritas para cada par de entradas Se as expressões para os λ forem expan didas em termos de indutâncias como na Eq 388 então serão necessárias as indu tâncias própria e mútua O sistema mecânico da Figura 323 inclui a representação de uma mola cons tante de elasticidade ou de mola K um amortecedor constante de amortecimento B uma massa M e uma força externa de excitação f0 Aqui como no sistema elétrico o amortecedor representa as perdas do sistema mecânico externo e também todas as perdas mecânicas do sistema de conversão eletromecânica de energia As forças na direção x e o deslocamento x relacionamse como segue Mola fK Kx x0 389 Sistema de conversão eletromecânica de energia v0 λ e R i fcmp f0 K B M x Figura 323 Modelo de um sistema eletromecânico de excitação simples Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 163 Amortecedor 390 Massa 391 onde x0 é o valor de x com a mola normalmente não esticada Nesse caso o equilíbrio de forças requer que 392 Combinando as Eqs 388 e 392 temos que as equações diferenciais para o sistema completo da Figura 323 com entradas arbitrárias v0t e f0t são 393 394 As funções Lx e fcmpx i dependem das propriedades do sistema de conversão ele tromecânica de energia e são calculadas como já foi discutido Exemplo 310 A Figura 324 mostra a seção transversal de um eletroímã com um solenoide cilíndrico dentro do qual o êmbolo cilíndrico de massa M movese verticalmente dentro de guias de latão de espessura g e diâmetro médio d A permeabilidade do latão é a mesma do vácuo e vale μ0 4π 107 Hm em unidades SI O êmbolo está sustentado por uma mola cuja constante de elasticidade é K O comprimento dela quando não esticada é l0 Uma força mecânica de carga ft é aplicada ao êmbolo pelo sistema mecânico a ele conectado como mostrado na Figura 324 Suponha que a força de atrito seja linearmente proporcional à velocidade e que o coeficiente de atrito seja B A bobina tem N espiras e resistência R Sua tensão de terminal é vt e sua corrente é i Os efeitos da dispersão magnética e da relutância do aço são desprezíveis Deduza as equações dinâmicas de movimento do sistema eletromecânico isto é as equações diferenciais que expressam as variáveis dependentes i e x em termos de vt ft e das constantes e dimensões dadas Solução Começamos expressando a indutância em função de x Os termos de acoplamento ou seja a força magnética fcmp e a FEM induzida e podem ser expressos então em termos de x e i A seguir essas expressões são substituídas nas equações dos sistemas mecânico e elétrico A relutância do circuito magnético é a dos dois anéis guias em série onde o fluxo é direcionado radialmente através deles como mostrado pelas linhas tracejadas de fluxo ϕ na Figura 324 Como g d a densidade de fluxo nos anéisguias é quase constante em relação à distância radial Em uma região onde a densidade de fluxo é constante a relutância é 164 Máquinas elétricas A relutância do entreferro superior é onde assumese que o campo está concentrado na área entre o lado superior do êmbolo e o lado inferior do anelguia superior Do mesmo modo a relutância do entreferro inferior é A relutância total é Assim a indutância é Mola a Bobina Anelguia Estrutura cilíndrica de aço g d Êmbolo cilíndrico de aço Força aplicada ft l1 l0 ϕ x a h Figura 324 Eletroímã com solenoide do Exemplo 310 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 165 onde A força magnética que atua verticalmente para cima sobre o êmbolo na direção x positiva é A FEM induzida na bobina é ou A substituição da força magnética na equação diferencial de movimento do sistema me cânico Eq 394 fornece A equação de tensão do sistema elétrico é da Eq 393 Essas duas equações são os resultados desejados São válidas apenas enquanto o lado superior do êmbolo estiver bem dentro do anelguia superior digamos entre os limites 01a x 09a Esse é o intervalo normal de trabalho do solenoide 39 Técnicas analíticas Discutimos dispositivos relativamente simples neste capítulo Os dispositivos têm um ou dois terminais elétricos e um mecânico que em geral está restrito a um movimento incremental Dispositivos mais complicados capazes de conversão contínua de energia serão tratados nos capítulos seguintes As técnicas analíticas discutidas aqui aplicamse aos dispositivos simples mas os princípios são aplicáveis também aos mais complicados Alguns dos dispositivos descritos neste capítulo são usados para produzir mo vimento grosseiro como em relés e solenoides onde os dispositivos operam em con dições essencialmente de ligado ou desligado Técnicas descritas neste capítulo podem ser usadas para determinar a força em função do deslocamento e da reação so bre a fonte elétrica Tais cálculos já foram feitos neste capítulo Se forem necessários detalhes do movimento como o deslocamento em função do tempo após a energiza ção do dispositivo então equações diferenciais não lineares na forma das Eqs 393 e 394 deverão ser resolvidas 166 Máquinas elétricas Contrastando com dispositivos de movimento grosseiro outros dispositivos como altofalantes cápsulas fonográficas ou de microfone e transdutores de vários tipos são projetados para operar com deslocamentos relativamente pequenos e para produzir uma relação linear entre os sinais elétricos e os movimentos mecânicos e viceversa A relação entre as variáveis elétricas e mecânicas é tornada linear tanto pelo projeto do dispositivo quanto pela limitação da excursão dos sinais a um inter valo linear Em ambos os casos as equações diferenciais são lineares e podem ser resolvidas usando técnicas padronizadas para resposta transitória em frequência e assim por diante conforme a necessidade 391 Movimento grosseiro As equações diferenciais de um dispositivo de excitação simples como deduzidas no Exemplo 310 são da forma 395 396 Um problema comum usando essas equações diferenciais é encontrar o des locamento xt quando uma determinada tensão vt V0 é aplicada em t 0 Não há solução analítica genérica para essas equações diferenciais elas são não lineares en volvendo produtos e potências das variáveis x e i e de suas derivadas Em geral uma solução pode ser obtida com mais facilidade usando técnicas de integração numéricas baseadas em computadores Diversos pacotes comerciais estão disponíveis para acelerar a análise desses sis temas Um deles é o pacote MATLABSimulink3 Com o uso de Simulink as Eqs 395 e 396 podem ser resolvidas prontamente reformulandoas como equações integrais que em seguida são integradas numericamente Em especial o Simulink resolve pro blemas na forma de um sistemas de equações integrais não lineares de primeira ordem As Eqs 395 e 396 poderão ser formuladas na forma requerida se definirmos uma variável x1 tal que 397 a qual quando combinada com as Eqs 395 e 396 produz um sistemas de três equa ções diferenciais não lineares de primeira ordem 398 399 3 MATLAB e Simulink são marcas registradas de The MathWorks Inc 3 Apple Hill Drive Natick MA 01760 httpwwwmathworkscom Matlab e Simulink estão disponíveis em edição estudantil Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 167 3100 Na forma integral esse sistema tornase 3101 3102 3103 Exemplo 311 O sistema de êmbolo do Exemplo 310 tem as seguintes características O sistema está inicialmente em repouso com vt 0 e ft 0 Use Simulink para calcular e plotar a posição x do êmbolo e a corrente i se a tensão vt for chaveada para 10 V no tempo t 05 s Solução A Figura 325 mostra o modelo Simulink Como se pode ver há três integradores corres pondendo a cada uma das três equações integrais Eqs 3101 a 3103 O modelo contém dois subsistemas que implementam as Eqs 3102 e 3103 Os detalhes dessas implementações estão mostrados na Figura 326 A Figura 327 mostra os resultados da simulação Observe que a corrente atinge um valor estável em torno de 05 s tendo o valor esperado de VtR 2 A com uma resposta que basicamente aparenta ser de primeira ordem Por outro lado o transitório em x é basicamente de segunda ordem e amortece em mais ou menos 45 segundos Sem ser surpreendente au mentando o valor da constante de amortecimento B e repetindo a simulação obteremos uma resposta que amortece com mais rapidez Com frequência o problema do movimento grosseiro pode ser simplificado Al guns casos permitem solução por métodos analíticos eliminando assim a necessidade de elaborar e resolver uma simulação numérica Em muitos casos essa simplificação fornece insight importante a respeito do comportamento do sistema e dos mecanismos físicos que determinam esse comportamento Por exemplo quando o enrolamento do Exemplo 310 tem uma resistência relativamente elevada o termo iR pode dominar o segundo membro da equação no lado direito da Eq 396 em comparação com o termo de tensão didt da indutância própria e o termo dxdt da tensão de velocidade Pode se supor então que a corrente i seja igual a vtR e inserila diretamente na Eq 395 De modo semelhante nos casos em que a corrente é fornecida diretamente por um circuito eletrônico a forma de onda da corrente fornecida também pode ser inserida diretamente na Eq 395 168 Máquinas elétricas 392 Linearização Muitas vezes embora o comportamento dos dispositivos eletromecânicos seja ineren temente não linear os dispositivos são projetados para fornecer uma resposta linear aos sinais de entrada Em outros casos eles são projetados para trabalhar em pontos fixos de operação e sua estabilidade nesses pontos pode ser investigada examinando os seus comportamentos com pequenos desvios em torno desses pontos de operação Por exemplo quando forem usados como transdutores os dispositivos caracteriza dos por equações diferenciais não lineares como as Eqs 395 e 396 geralmente fornecerão respostas não lineares a sinais de entrada arbitrários Para obter compor tamento linear os deslocamentos e os sinais elétricos em tais dispositivos devem ser limitados a pequenos desvios em torno de seus valores de equilíbrio Por exemplo o ponto de equilíbrio em um dado sistema poderia ser determinado por uma FMM de polarização produzida por um enrolamento CC ou por um ímã permanente que atua contra uma mola Em outro sistema poderia ser determinado por dois enrolamentos que produzem FMMs cujas forças cancelamse no ponto de equilíbrio Em ambos os casos o ponto de equilíbrio deve ser estável o transdutor deve retornar à posição de equilíbrio após uma pequena perturbação Considere o sistema do Exemplo 310 Com a tensão e a força aplicada iguais a seus valores de equilíbrio Vt0 e Ft0 respectivamente as equações para o deslocamento i x1 scope x dxdt integrator integrator integrator x scope vt lo 005 i ft 0 dxdt scope a 25e2 To Workspace simout x1 x i R a Lprime vt didt Eq 3103 Subsystem x1 x i M K B lo a Lprime ft dx1dt Eq 3102 Subsystem R 5 M 04 Lprime 46 8e3 K 60 1 s 1 xos 1 s B 1 Figura 325 Um modelo Simulink para o Exemplo 311 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 169 de equilíbrio X0 e a corrente I0 podem ser determinados para o sistema descrito a partir das Eqs 395 e 396 tornando as derivadas em relação ao tempo iguais a zero Assim 3104 Vt0 I0R 3105 dx1dt 1 05 ft 10 Lprime 9 a 8 lo 7 B 6 K 5 M 4 i 3 x 2 x1 1 a didt 1 vt 7 Lprime 6 a 5 R 4 i 3 x 2 x1 1 b Figura 326 Subsistemas Simulink que implementam a Eq 3102 e b Eq 3103 170 Máquinas elétricas A operação incremental pode ser descrita expressando cada variável como a soma de seus valores de equilíbrio e de incremento assim i I0 i ft Ft0 f vt Vt0 v e x X0 x Então as Eqs 395 e 396 são linearizadas cancelando todos os produtos de incrementos que são de segunda ordem Portanto 3106 e 3107 50 52 51 53 56 55 54 57 58 05 15 25 3 1 Tempo s x cm 2 35 4 a b 00 05 1 15 2 25 05 15 25 3 1 Tempo s i A 2 35 4 Figura 327 Plotagens de a x e b i para o exemplo 311 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 171 Os termos de equilíbrio são cancelados e mantendose apenas os termos incre mentais de primeira ordem resulta um conjunto de equações diferenciais lineares 3108 3109 Para obter a resposta no tempo técnicas padronizadas incluindo integração numérica podem ser usadas para resolver esse sistema de equações diferenciais Al ternativamente como em geral se faz ao projetar sistemas de controle eou inves tigar a estabilidade de um sistema podese supor que o funcionamento em regime permanente seja senoidal Em seguida as Eqs 3106 e 3107 podem ser convertidas em um sistema de equações algébricas lineares complexas e finalmente podem ser resolvidas no domínio de frequência 310 Resumo Em sistemas eletromecânicos a energia é armazenada em campos elétricos e mag néticos Quando a energia do campo for influenciada pela configuração das partes mecânicas que delimitam o campo criamse forças mecânicas que tendem a mover os elementos mecânicos de forma que a energia seja transmitida do campo para o sistema mecânico Sistemas magnéticos de excitação simples foram considerados primeiro na Seção 33 Removendo os elementos de perdas elétricas e mecânicas do sistema de conversão eletromecânica de energia e incorporandoos como elementos de perdas nos sistemas externos elétricos e mecânicos o dispositivo de conversão de energia pode ser modelado como um sistema conservativo A sua energia tornase então uma função de estado determinada pelas variáveis λ e x Na Seção 34 foram deduzidas expressões para determinar a força e o conjugado como o negativo da derivada parcial da energia em relação ao deslocamento e calculada mantendose constante o fluxo concatenado λ Na Seção 35 a função de estado da coenergia com variáveis de estado i e x ou θ é introduzida Mostrase então que a força e o conjugado são dados pela derivada parcial da coenergia em relação ao deslocamento e calculada mantendose constante a corrente i Esses conceitos são ampliados na Seção 36 para incluir sistemas com enrola mentos múltiplos A Seção 37 expande ainda mais esse desenvolvimento para incluir sistemas em que os ímãs permanentes estão presentes entre as fontes de energia mag nética armazenada Os dispositivos de conversão de energia operam entre sistemas elétricos e me cânicos O seu comportamento é descrito por equações diferenciais que incluem os termos de acoplamento entre sistemas como foi discutido na Seção 38 Normalmen te essas equações são não lineares e se necessário podem ser resolvidas por méto dos numéricos Como discutido na Seção 39 em alguns casos aproximações podem Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 173 v Velocidade ms Wcmp Energia magnética armazenada J Wcmp Coenergia J x X Posição m Índices e Externo equiv Equivalente c Campo g Entreferro gap m Magnético 312 Problemas 31 O rotor da Figura 328 é semelhante ao da Figura 32 Exemplo 31 exceto o fato de que tem duas bobinas em vez de uma O rotor é não magnético e está colocado em um campo magnético uniforme de valor B0 Os lados das bobinas têm raio R e estão espaçados uniformemente ao redor da superfície do rotor A primeira bobina está conduzindo uma corrente I1 e a segunda uma corrente I2 Supondo que o rotor tenha um comprimento de 032 m R 013 m e B0 087 T encontre o conjugado no sentido de θ em função da posição α do rotor para a I1 0 A e I2 5 A b I1 5 A e I2 0 A e c I1 8 A e I2 8 A 32 As correntes de enrolamento do rotor do Problema 31 são controladas em função do ângulo α do rotor de modo que I1 8 sen α A e I2 8 cos α A Escreva uma expressão para o conjugado do rotor em função da posição α do rotor ix θˆ rˆ R α Campo magnético uniforme B0yˆ Corrente I1 para dentro do papel Corrente I2 para fora do papel Corrente I1 para fora do papel Corrente I2 para dentro do papel Figura 328 Rotor de duas bobinas do Problema 31 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 175 O comprimento total do entreferro é 2g e o formato da palheta é tal que pode mos assumir que a área efetiva do entreferro é dada por válido apenas no intervalo θ π6 a Encontre a indutância Lθ b Para g 09 mm A0 50 mm2 N 450 espiras e i 5 A use o MAT LAB para plotar a energia magnética armazenada no atuador em função do ângulo θ para θ π6 37 O indutor do Problema 36 é conectado a um controlador que mantém cons tante o fluxo concatenado do enrolamento Observase que a corrente de en rolamento é 5 A quando θ 0 Usando MATLAB plote a energia magnética armazenada no atuador em função do ângulo θ para θ π6 38 Um circuito RC está conectado a uma bateria como mostrado na Figura 330 A chave S está inicialmente fechada e é aberta no tempo t 0 a Encontre a tensão vCt do capacitor para t 0 b Quais são os valores inicial e final t da energia armazenada no capacitor Sugestão Wcmp q2C onde q Cvc Qual é a energia ar mazenada no capacitor em função do tempo c Qual é a potência dissipada no resistor em função do tempo Qual é a ener gia total dissipada no resistor 39 Um circuito RL está conectado a uma bateria como mostrado na Figura 331 A chave S está inicialmente fechada e é aberta no tempo t 0 a Encontre a corrente iLt do indutor para t 0 Sugestão Observe que enquanto a chave estiver fechada o diodo está inversamente polarizado podendo ser visto como um circuito aberto Logo após a chave ser aber ta o diodo tornase diretamente polarizado podendo ser visto como um curtocircuito b Quais são os valores inicial e final t da energia armazenada no in dutor Qual é a energia armazenada no indutor em função do tempo c Qual é a potência dissipada no resistor em função do tempo Qual é a ener gia total dissipada no resistor vc iR R S C V0 t 0 Figura 330 Circuito RC do Problema 38 176 Máquinas elétricas 310 A constante de tempo LR do enrolamento de campo de um gerador síncrono de 500 MVA é 48 s Em condições normais de funcionamento sabese que o enrolamento de campo dissipa 13 MW a Calcule a energia magnética armazenada nessas condições b Se a tensão dos terminais do enrolamento de campo for subitamente reduzida para 70 do valor da parte a calcule a energia magnética armazenada em função do tempo 311 No seu intervalo normal de funcionamento a indutância do atuador de uma campainha elétrica é medida como sendo da forma na faixa de funcionamento 05 X0 x 2 X0 a Encontre a energia magnética armazenada Wcmpλ x b Encontre uma expressão para a força do atuador em função de λ e x c Encontre uma expressão para a força em função de x assumindo que a cor rente do atuador é mantida constante em i I0 A força atua no sentido de aumentar ou diminuir x 312 A indutância de um enrolamento de fase de um motor trifásico de polos salien tes foi medida e é dada por Lθm L0 L2 cos 2θm onde θm é a posição angular do rotor a Quantos polos há no rotor deste motor b Supondo que todas as demais correntes de enrolamento sejam zero e que esta fase seja excitada por uma corrente constante I0 encontre o conjugado Tcmpθ que atua sobre o rotor 313 Um sistema de campo magnético contém uma única bobina e um rotor tal que a indutância da bobina varia com o ângulo do rotor θm segundo Lθm L0 L6 sen 6θm A bobina é alimentada por uma fonte de energia que usa realimentação para manter uma corrente constante I0 a Encontre uma expressão para o conjugado magnético Tcmp que atua no rotor em função de sua posição θm iL R L Diodo ideal S V0 t 0 Figura 331 Circuito RL do Problema 39 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 177 Atuações do solenóide cilíndricos e envoltos em ferro na forma mostrada na Figura 333 são usados em acionamento de disjuntivos operação de válvulas e outras aplicações em que uma força relativamente grande deve ser aplicada a um elemento que se desloca por uma distância relativamente pequena Quando a corrente da bobina é zero o êmbolo cai até um pino limitador de deslocamento de modo que o entreferro g tenha um valor máximo gmax Quando a bobina é energizada por uma corrente contínua de intensidade suficiente o êmbolo é erguido até um outro pino limitador ajustado de modo que o entreferro g seja gmin O êmbolo é montado de tal modo que pode se mover livremente na direção vertical Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 179 O êmbolo é suportado por um conjunto de molas com constante de mola com binada K que produz uma força líquida no êmbolo de fK Kδ0 δ Limitadores mecânicos no êmbolo restringem o valor mínimo de δ a 1 mm Para os propósitos deste problema você pode desconsiderar os efeitos dos campos de espraiamento a Escreva uma expressão para a indutância da bobina em função de δ b Encontre uma expressão para a força magnética no êmbolo em função da posição do êmbolo δ e i o fluxo concatenado da bobina λ e ii a corrente da bobina i Em cada caso indique se a força atua no sentido de aumentar ou diminuir δ c Usando MATLAB plote a força líquida no êmbolo no intervalo 1 mm δ δ0 para uma corrente de 150 mA Encontre a respectiva posição de equilíbrio do êmbolo 318 O indutor da Figura 335 é constituído de dois núcleos em forma de C cada um com uma área de seção reta Ac e comprimento médio lc Há dois entrefer ros cada um de comprimento g e duas bobinas conectadas em série cada uma de N espiras Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita e despreze qualquer espraiamento nos entreferros δ R Êmbolo Molas Bobina N espiras Núcleo μ g h μ i v Figura 334 Sistemavibrador de baixa frequência do Problema 317 180 Máquinas elétricas a Calcule a indutância b O espaçamento dos entreferros é mantido constante por meio de espaça dores de 5 mm Calcule a densidade de fluxo magnético nos entreferros a força em N e a pressão em Ncm2 que atua apertando os espaçadores quando está circulando uma corrente de 15 A nas bobinas 319 Os resultados de um conjunto de medições das características de magnetiza ção CC de um aço elétrico estão nesta tabela Dados BH de um aço elétrico para o Problema 319 H Am BT H Am BT 0 0 1100 1689 68 0733 1500 1703 135 1205 2500 1724 203 1424 4000 1731 271 1517 5000 1738 338 1560 9000 1761 406 1588 12000 1770 474 1617 20000 180 542 1631 25000 1816 609 1646 a Use MATLAB para plotar a curva BH desse material Considere o indutor do Problema 318 e a Figura 335 com núcleos em C constituídos desse material b Para intervalos de entreferro e densidades de fluxo no núcleo de até 18 T plote a densidade de fluxo em função da corrente de bobina necessária Su gestão Use a função spline do MATLAB para encontrar o valor de H para um determinado valor de B Esse valor poderá então ser usado para encontrar a queda de FMM para aquele valor de B Para o mesmo intervalo de corren te plote a densidade de fluxo no núcleo que resultaria se o núcleo em C fosse de permeabilidade infinita Até que valor de densidade de fluxo e corrente de bobina o núcleo pode ser aproximado como tendo permeabilidade infinita c Calcule a força e a pressão que atuam apertando cada espaçador quando está circulando uma corrente de 10 A na bobina Bobina g Área Ac da seção reta comprimento lc Entreferro Figura 335 Indutor com núcleos em C do Problema 318 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 181 d Calcule a força e a pressão que atuam apertando cada espaçador quando está circulando uma corrente de 20 A na bobina Sugestão Use MATLAB para calcular a coenergia W cmp para uma corrente na bobina de 20 A e comprimentos de entreferro de 5 e 501 mm 320 Um indutor é constituído de uma bobina de 480 espiras montada em um nú cleo com seção reta de 15 cm2 de área e comprimento de entreferro de 014 mm A bobina está conectada diretamente a uma fonte de tensão de 120 V eficaz e 60 Hz Despreze a resistência da bobina e a indutância de disper são Supondo que a relutância da bobina seja desprezível calcule a força média em relação ao tempo que atua sobre o núcleo tendendo a fechar o entreferro Como essa força iria variar se o comprimento do entreferro fosse dobrado 321 A Figura 336 mostra de forma genérica o fluxo dispersivo em uma ranhura produzido por uma corrente i em um condutor de seção retangular que está inserido em uma ranhura retangular no ferro Suponha que a relutância do ferro seja desprezível e que o fluxo dispersivo cruze retilineamente a ranhura na região entre a parte superior do condutor e o topo da ranhura a Deduza uma expressão para a densidade de fluxo Bs na região entre a parte superior do condutor e o topo da ranhura b Deduza uma expressão para a coenergia armazenada na região da ranhura acima do condutor por metro de comprimento de ranhura em função da corrente líquida i e das dimensões s e x c Deduza uma expressão para a força fx por metro na direção de x no con dutor a partir da coenergia da parte b usando a Eq 340 Observe que embora haja coenergia adicional associada com o fluxo dentro do condu tor essa coenergia permanece constante independentemente da posição do condutor dentro da ranhura e portanto sua derivada em relação a x é zero e não desempenha um papel no cálculo da força Em que sentido a força atua d Quando a corrente no condutor é 900 A calcule a força por metro em um condutor que está inserido em uma ranhura de 50 cm de largura Ferro Condutor corrente i Ar x s Figura 336 Condutor em uma ranhura Problema 321 182 Máquinas elétricas 322 Um solenóide comprido e delgado de raio r0 e altura h está mostrado na Figura 337 O campo magnético dentro de um solenoide como esse está direcionado axialmente e é essencialmente uniforme igual a H Nih Podese mostrar que o campo magnético fora do solenóide é desprezível Calcule a pressão radial em newtons por metro quadrado que age sobre os lados do solenoide para uma corrente constante i I0 323 Um sistema eletromecânico no qual o armazenamento de energia elétrica dá se nos campos elétricos pode ser analisado por técnicas diretamente análogas às deduzidas neste capítulo para os sistemas de campo magnético Considere um sistema como esse em que é possível separar matematicamente o mecanis mo de perdas e o de armazenamento de energia nos campos elétricos Então o sistema poderá ser representado como na Figura 338 Para um único terminal elétrico a Eq 38 pode ser aplicada tendose dWele vi dt v dq onde v é a tensão no terminal elétrico e q é a carga líquida associada ao arma zenamento de energia elétrica Assim por analogia com a Eq 315 dWcmp v dq fcmp dx a Deduza uma expressão para a energia elétrica armazenada Wcmpq x aná loga à da energia magnética armazenada da Eq 317 b Deduza uma expressão análoga à Eq 326 para a força de origem elétrica fcmp Expresse claramente qual variável deve ser mantida constante quando se calcula a derivada i r0 h N espiras Figura 337 Bobina solenoide Problema 322 i q fcmp Sistema de armazenamento de energia elétrica sem perdas v x Terminal elétrico Terminal mecânico Figura 338 Sistema de armazenamento de energia elétrica sem perdas Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 183 c Por analogia com a dedução das Eqs 334 a 341 deduza uma expressão para a coenergia Wcmp v x e a correspondente força de origem elétrica 324 Um capacitor Figura 339 é constituído de duas placas condutoras de área A separadas no ar por uma distância x A tensão nos terminais é v e a carga nas placas é q A capacitância C definida como a razão entre a carga e a tensão é onde ϵ0 é a constante dielétrica do vácuo em unidades do SI ϵ0 885 1012 Fm a Usando os resultados do Problema 323 deduza expressões para a energia Wcmp q x e a coenergia Wcmp v x b Os terminais do capacitor são conectados a uma fonte de tensão constante V0 Deduza uma expressão que forneça a força necessária para manter as placas separadas por uma distância constante x δ 325 A Figura 340 mostra esquematicamente um voltímetro eletrostático que é um sistema capacitivo constituído por um eletrodo fixo e um outro móvel O ele trodo móvel é conectado a um braço que gira em torno de um eixo de modo v Capacitância C Placas condutoras de área A x ϵ0A x q q Figura 339 Placas de capacitor Problema 324 Mola de torção Braço Eletrodo móvel Eletrodo fixo Profundidade d dentro do papel R g Vcc α2 θ Figura 340 Voltímetro eletrostático esquemático Problema 325 184 Máquinas elétricas que o entreferro entre os eletrodos mantémse constante quando o braço gira A capacitância deste sistema é dada por Uma mola de torção está conectada ao braço móvel produzindo um conjugado Tmola Kθ θ0 a Para 0 θ α usando os resultados do Problema 323 deduza uma ex pressão para o conjugado eletromagnético Tcmp em termos da tensão apli cada Vcc b Encontre uma expressão para a posição angular do braço móvel em função da tensão aplicada Vcc c Para um sistema com Plote a posição do braço em graus como uma função da tensão aplicada para 0 Vcc 1800 V 326 O circuito magnético de dois enrolamentos da Figura 341 tem um enrola mento em um yoke fixo e um segundo enrolamento em um elemento móvel O elemento móvel é obrigado a se movimentar de modo que os comprimentos g dos dois entreferros permaneçam iguais a Encontre as indutâncias próprias dos enrolamentos 1 e 2 em termos das dimensões do núcleo e do número de espiras b Encontre a indutância mútua entre os dois enrolamentos c Calcule a coenergia Wcmpi1 i2 d Encontre uma expressão para a força que atua sobre o elemento móvel em função das correntes dos enrolamentos Área da seção reta A g0 g0 Enrolamento 1 N1 espiras Enrolamento 2 N2 espiras Yoke Elemento móvel λ1 λ2 i1 i2 μ μ Figura 341 Circuito magnético de dois enrolamentos para o Problema 326 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 185 327 Duas bobinas uma montada em um estator e a outra em um rotor têm indu tâncias próprias e mútuas de L11 53 mH L22 27 mH L12 31 cos θ mH onde θ é o ângulo entre os eixos das bobinas que está limitado ao intervalo 0 θ 90 Elas estão conectadas em série e conduzem uma corrente a Deduza uma expressão para o conjugado instantâneo T no rotor em função da posição angular θ b Encontre uma expressão para o conjugado médio Tmédio em relação ao tempo em função de θ c Calcule o valor numérico de Tmédio para I 10 A e θ 90 d Faça o esboço gráfico das curvas de Tmédio versus θ para as correntes I 5 707 e 10 A e Agora uma mola helicoidal controladora de posição tendendo a manter o rotor em θ 90 é conectada ao rotor O conjugado da mola é proporcio nal à deflexão angular medida desde θ 90 e vale 01 N m quando o rotor é girado até θ 0 Mostre nas curvas da parte d como você pode ria obter a posição angular da combinação rotor mais mola para correntes de bobina de I 5 707 e 10 A Com base nas curvas estime o ângulo do rotor para cada uma dessas correntes f Escreva um script de MATLAB para plotar a posição angular do rotor em função da corrente eficaz para 0 I 10 A Observe que esse problema ilustra os princípios do amperímetro CA do tipo eletrodinâmico 328 Dois enrolamentos um montado em um estator e o outro em um rotor têm indutâncias próprias e mútuas de L11 73 H L22 47H L12 56 cos θ H onde θ é o ângulo entre os eixos dos enrolamentos As resistências dos enro lamentos podem ser desprezadas O enrolamento 2 está em curtocircuito e a corrente no enrolamento 1 em função do tempo é Plote o conjugado médio no tempo versus θ para I0 10 A para 0 θ 180 329 Um altofalante é constituído de um núcleo magnético de permeabilidade infinita e simetria circular como mostrado nas Figs 342a e b O compri mento g do entreferro é muito menor que o raio r0 do núcleo central A bo bina móvel só pode se movimentar na direção x e está conectada ao cone do altofalante não mostrado na figura Um campo magnético radial constante é produzido no entreferro por uma corrente contínua na bobina 1 i1 I1 Um sinal de audiofrequência i2t é aplicado então à bobina móvel Suponha que a bobina móvel tenha uma espessura desprezível e que seja composta de N2 espiras distribuídas uniformemente ao longo de sua altura h Suponha também que o seu deslocamento é tal que ela permanece dentro do entrefer ro 0 x l h 186 Máquinas elétricas a Deduza uma expressão para a força sobre a bobina móvel usando a Lei da Força de Lorentz Eq 31 em termos do deslocamento x da bobina móvel e da corrente i2 b Deduza uma expressão para a indutância própria de cada bobina c Deduza uma expressão para a indutância mútua entre as bobinas Suges tão Suponha que uma corrente seja aplicada à bobina móvel A seguir calcule o fluxo concatenado da bobina 1 Observe que o fluxo concatenado varia com o deslocamento x d Deduza uma expressão para a coenergia do sistema Wcmp e a força na bo bina móvel em função do deslocamento da bobina móvel e da corrente i2 330 Repita o Exemplo 38 com o ímã de samáriocobalto substituído por um de neodímioferroboro 331 A estrutura magnética da Figura 343 é uma vista esquemática de um sistema projetado para sustentar um bloco de material magnético μ de massa M contra a força de gravidade O sistema contém um ímã permanente e um enrolamento Sob condições normais a força é fornecida apenas pelo ímã per x r0 i2 i1 i2 h λ2 λ2 μ λ1 g r0 Bobina móvel N2 espiras Bobina móvel N2 espiras N1 espiras Os sentidos da corrente são mostrados para i2 positiva b a l Figura 342 Altofalante do Problema 329 Enrolamento N espiras Espessura D para dentro do papel Material magnético de massa M g02 g02 μ μ μ d x Gravidade Ímã permanente i w h Figura 343 Sistema de sustentação magnética para o Problema 331 Capítulo 3 Princípios de conversão eletromecânica de energia 187 manente A função do enrolamento é contrabalançar o campo produzido pelo ímã de modo que a massa possa ser removida do dispositivo O sistema é pro jetado de forma que os entreferros nos lados da massa permanecem constantes com comprimento g02 Suponha que o ímã permanente possa ser representado por uma caracte rística linear da forma Bm μRHm Hc e que o sentido do enrolamento é tal que uma corrente positiva de enrolamento reduz o fluxo de entreferro produzido pelo ímã permanente Despreze os efei tos do espraiamento magnético a Suponha que a corrente de enrolamento seja zero i Encontre a força fcmpx que atua sobre a massa devido apenas ao ímã permanente 0 x h ii Encontre a massa máxima Mmax que pode ser sustentada contra a gra vidade b Para M Mmax2 encontre a corrente mínima Imin necessária para garantir que a massa caia do sistema quando a corrente é aplicada 332 O enrolamento 1 no altofalante do Problema 329 Figura 342 é substituído por um ímã permanente como mostrado na Figura 344 O ímã pode ser repre sentado pela característica linear Bm μRHm Hc a Supondo que a corrente da bobina móvel seja zero i2 0 deduza uma expressão para a densidade de fluxo magnético no entreferro b Deduza uma expressão para o fluxo concatenado da bobina móvel referen te ao ímã permanente em função do deslocamento x c Deduza uma expressão para a coenergia W cmpi2 x supondo que a cor rente da bobina móvel seja suficientemente pequena de modo que a com ponente de Wcmp devido à indutância própria da bobina móvel possa ser ignorada d Baseado na expressão da coenergia da parte c deduza uma expressão para a força na bobina móvel Ímã permanente r0 i2 λ2 μ Bobina móvel N2 espiras l d μ Figura 344 Núcleo do altofalante da Figura 342 com o enrolamento 1 substituído por um ímã permanente Problema 332 188 Máquinas elétricas 333 A Figura 345 mostra um sistema de simetria circular no qual um êmbolo mó vel que pode se mover apenas na direção vertical é sustentado por uma mola de constante de elasticidade K O sistema é excitado por um ímã permanente de samáriocobalto com a forma de uma arruela de raio externo R3 raio inter no R2 e espessura tm As dimensões do sistema são Observase que a posição de equilíbrio do êmbolo é X0 05 mm a Encontre a densidade de fluxo magnético Bg no entreferro constante e Bx no entreferro variável b Calcule a força magnética na direção x que puxa para baixo o êmbolo c Plote a força magnética sobre o êmbolo no intervalo 0 x X0 d Encontre o valor mínimo da constante de mola K em Ncm garantindo que o êmbolo retornará a seu ponto de equilíbrio estável se ele for baixado até x 0 sendo liberado em seguida 334 O êmbolo de um solenoide é conectado a uma mola A indutância do sole noide tem a forma L L01 xX0 e sua resistência de enrolamento é Rc A força na mola é dada por fmola K0 05 X0 x onde x é o comprimento do entreferro Inicialmente o êmbolo está em repouso na posição x 05X0 quando uma tensão CC de magnitude V0 é aplicada ao solenoide a Encontre uma expressão em função do tempo para a força necessária para manter o êmbolo na posição X02 tm x R2 R1 R3 Ímã Êmbolo Mola g h μ μ CL g R1 Figura 345 Sistema com ímã permanente para o Problema 333 A energia total Egen fornecida à fonte de corrente Sugestão Use a conservação de energia Como a corrente da bobina é constante a potência dissipada na resistência da bobina também é constante e não precisa ser considerada neste cálculo CAP ÍTUL O 4 Introdução às máquinas rotativas O objetivo deste capítulo é introduzir e discutir alguns dos princípios que fun damentam o funcionamento das máquinas elétricas Como será visto esses princípios são comuns a ambas as máquinas CA e CC São desenvolvidas várias técnicas e aproximações utilizadas na redução de uma máquina real a modelos matemáticos simples capazes de ilustrar os princípios básicos 41 Conceitos elementares A Equação 126 e dλdt pode ser usada para determinar as tensões induzidas por campos magnéticos variáveis no tempo A conversão eletromagnética de energia ocorre quando surgem alterações no fluxo concatenado λ decorrentes do movimento mecânico Nas máquinas rotativas as tensões são geradas nos enrolamentos ou gru pos de bobinas quando estes giram mecanicamente dentro de um campo magnético ou quando um campo magnético gira mecanicamente próximo aos enrolamentos ou ainda quando o circuito magnético é projetado de modo que a relutância varie com a rotação do rotor Por meio desses métodos o fluxo concatenado em uma bobina espe cífica é alterado ciclicamente e uma tensão variável no tempo é gerada Um grupo dessas bobinas conectadas em conjunto é referido normalmente como enrolamento de armadura Em geral o termo enrolamento de armadura de uma máquina rotativa é usado para se referir a um enrolamento ou grupo de enro lamentos que conduzam corrente alternada Em máquinas CA tais como as síncro nas ou as de indução os enrolamentos de armadura alojamse geralmente na parte estacionária do motor conhecida como estator caso em que esses enrolamentos podem ser referidos também como enrolamentos de estator A Figura 41 mostra o enrolamento de estator de um motor síncrono trifásico multipolos de grande porte em construção Em uma máquina CC o enrolamento de armadura encontrase na parte rota tiva conhecida como rotor A Figura 42 mostra o rotor de uma máquina CC Como veremos o enrolamento de armadura de uma máquina CC consiste em muitas bo binas conectadas entre si para formar um laço fechado Quando o rotor está giran do um contato mecânico rotativo é usado para fornecer corrente ao enrolamento de armadura Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 191 Em geral as máquinas síncronas e CC apresentam um segundo enrolamento ou conjunto de enrolamentos que conduz corrente contínua e que é usado para pro duzir o fluxo principal de operação da máquina Tal enrolamento é referido como enrolamento de campo O enrolamento de campo em uma máquina CC encontrase no estator ao passo que no caso de uma máquina síncrona ele é encontrado no rotor caso em que a corrente deve ser fornecida ao enrolamento de campo por meio de um contato mecânico rotativo A exceção são as máquinas nas quais um sistema de excitação rotativo fornece a corrente de campo Como já vimos os ímãs permanentes também produzem fluxo magnético CC e em algumas máquinas são usados no lugar Figura 41 Estator de um gerador síncrono trifásico refrigerado a ar de 100 MVA em constru ção Foto cortesia da empresa General Electric Company Figura 42 Armadura de um motor CC Foto cortesia da empresa Baldor ElectricABB 192 Máquinas elétricas dos enrolamentos de campo A Figura 43 mostra o enrolamento de campo sendo ins talado no rotor de um gerador síncrono de grande porte de 200 MW e 4 polos Na maioria das máquinas rotativas o estator e o rotor são feitos de aço elétrico e os enrolamentos são instalados em ranhuras alojadas nessas estruturas Como foi discutido no Capítulo 1 o uso de um material como esse de alta permeabilidade ma ximiza o acoplamento entre as bobinas e aumenta a densidade de energia magnética associada com a interação eletromecânica Também permite que o projetista de má quinas dê forma aos campos magnéticos e distribuaos de acordo com as exigências de projeto de cada máquina em particular O fluxo variável no tempo presente nas estruturas da armadura dessas máquinas tende a induzir correntes conhecidas como correntes parasitas no aço elétrico As correntes parasitas podem ser uma grande fonte de perdas nessas máquinas e podem reduzir significativamente o seu desem penho Para minimizar os efeitos das correntes parasitas a estrutura da armadura é construída muitas vezes com chapas delgadas de aço elétrico isoladas entre si Em algumas máquinas tais como máquinas de relutância variável e motores de passo o rotor não tem enrolamentos A operação dessas máquinas depende da não uniformidade da relutância de entreferro associada às variações de posição do rotor e também das correntes variáveis no tempo que são aplicadas aos seus enrolamentos de estator Em tais máquinas tanto as estruturas do estator como as do rotor estão sujeitas a um fluxo magnético variável no tempo e como resultado ambas podem necessitar de chapas para reduzir as perdas por correntes parasitas As máquinas elétricas rotativas assumem diversas formas e são conhecidas por diversos nomes CC síncronas de ímã permanente de indução de relutância variável de histerese sem escovas e assim por diante Embora essas máquinas aparentem ser bastante diferentes os princípios físicos que regem o seu comportamento são muito similares e frequentemente é útil pensar nelas em termos de um mesmo ponto de vista físico Por exemplo a análise de uma máquina CC mostra que associadas tanto ao ro tor como ao estator há distribuições fixas de fluxo magnético no espaço e que a carac terística de produção de conjugado da máquina CC provém da tendência desses fluxos a se alinhar entre si Uma máquina de indução apesar de muitas diferenças funda mentais trabalha exatamente de acordo com o mesmo princípio É possível identificar Figura 43 Instalação do enrolamento de campo no rotor de um gerador síncrono de 200 MW e 2 polos Foto cortesia da empresa General Electric Company Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 193 distribuições de fluxo associadas ao rotor e o estator Embora não sejam estacionárias mas estejam na realidade girando em sincronismo exatamente como no motor CC elas estão distanciadas entre si por uma separação angular constante e o conjugado é produzido pela tendência dessas distribuições de fluxo a se alinhar entre si Modelos analíticos são essenciais à análise e ao projeto de máquinas elétricas e ao longo deste livro tais modelos serão desenvolvidos Entretanto é importante também reconhecer que um insight físico do desempenho desses dispositivos também é útil Um dos objetivos deste capítulo e dos subsequentes é conduzir o leitor no de senvolvimento de tal insight 42 Introdução às máquinas CA e CC 421 Máquinas CA As máquinas CA tradicionais classificamse em duas categorias síncronas e de in dução Nas máquinas síncronas as correntes do enrolamento do rotor são fornecidas diretamente na parte estacionária do motor através de contatos rotativos Nas máqui nas de indução as correntes são induzidas nos enrolamentos do rotor por meio da combinação da variação no tempo das correntes de estator e do movimento do rotor em relação ao estator Máquinas síncronas Uma descrição preliminar do desempenho de uma máquina síncrona pode ser obtida discutindo a tensão induzida na armadura do gerador síncro no CA de polos salientes muito simplificado que está mostrado esquematicamente na Figura 44 O enrolamento de campo dessa máquina produz apenas um par de polos magnéticos como os de uma barra imantada e por essa razão essa máquina é referida como máquina de dois polos Estator Rotor a a Caminho de fluxo Enrolamento de campo Eixo magnético do enrolamento de armadura θa Enrolamento de armadura de N espiras Figura 44 Vista esquemática de um gerador síncrono monofásico com um único enrolamen to e dois polos 194 Máquinas elétricas Com raras exceções o enrolamento de armadura de uma máquina síncrona lo calizase no estator e o enrolamento de campo está no rotor como também é o caso da máquina simplificada na Figura 44 O enrolamento de campo é excitado por uma corrente contínua que é levada até ele por meio de escovas estacionárias de carvão que fazem contato com anéis coletores ou anéis deslizantes girantes embora em al guns casos o enrolamento de campo pode ser alimentado a partir de um sistema de excitação rotativo conhecido como sistema de excitação sem escovas Normalmente essa disposição para os dois enrolamentos é ditada por fatores de ordem prática é vantajoso ter o enrolamento de campo único e de baixa potência no rotor e o enrola mento de armadura de potência elevada e geralmente polifásico no estator O enrolamento de armadura consiste aqui em uma única bobina de N espiras Está mostrada por meio de uma vista transversal dos seus dois lados a e a que estão alojados em ranhuras estreitas diametralmente opostas localizadas na periferia in terna do estator da Figura 44 Os condutores que formam esses lados da bobina são paralelos ao eixo da máquina e são ligados em série por terminais de conexão não mostrados na figura O rotor é girado a velocidade constante a partir de uma fonte de potência mecânica conectada ao seu eixo Supõese que o enrolamento de armadura esteja em circuito aberto e portanto o fluxo dessa máquina será produzido apenas pelo enrolamento de campo Os caminhos de fluxo estão mostrados esquematicamen te por linhas tracejadas na Figura 44 Em uma análise altamente idealizada dessa máquina será assumido que a dis tribuição do fluxo magnético no entreferro é senoidal A distribuição radial resultante da densidade de fluxo B está mostrada na Figura 45a como função do ângulo espa cial θa medido em relação ao eixo magnético do enrolamento da armadura ao longo da periferia do rotor Na prática moldandose as faces dos polos de forma adequada podese conseguir com que a densidade de fluxo no entreferro de máquinas reais de polos salientes esteja muito próxima de uma distribuição senoidal À medida que o rotor gira o fluxo concatenado do enrolamento da armadura varia no tempo Considerando as suposições de distribuição senoidal da densidade de fluxo e de velocidade constante do rotor a tensão resultante na bobina será senoidal no tempo como está mostrado na Figura 45b A tensão da bobina passa por um ciclo completo a cada revolução da máquina de dois polos da Figura 44 Sua frequência em ciclos por segundo Hz é a mesma que a velocidade do rotor em rotações por segundo a frequência elétrica da tensão gerada está sincronizada com a velocida de mecânica sendo essa a razão para a expressão máquina síncrona Assim uma B e 0 b a π 2π θa t 0 Figura 45 a Distribuição espacial senoidal ideal da densidade de fluxo radial no entreferro e b a respectiva forma de onda da tensão gerada no gerador monofásico da Figura 44 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 195 máquina síncrona de dois polos deve girar a 3600 rotações por minuto para produzir uma tensão de 60 Hz Um número bem elevado de máquinas síncronas tem mais de dois polos Como exemplo específico a Figura 46 mostra esquematicamente um gerador mo nofásico de quatro polos As bobinas de campo estão ligadas de modo que os polos tenham polaridades alternadas Há dois comprimentos de onda completos ou ci clos na distribuição de fluxo ao longo da periferia como se mostra na Figura 47 O enrolamento de armadura consiste agora em duas bobinas a1 a1 e a2 a2 que podem estar ligadas em série ou paralelo A cada bobina corresponde um compri mento de onda de fluxo Agora a tensão gerada passa por dois ciclos completos a cada revolução do rotor A frequência em hertz será assim o dobro da velocidade em rotações por segundo Quando uma máquina tem mais de dois polos é conveniente concentrarse em apenas um par de polos e assegurarse de que as condições elétricas magnéticas e mecânicas associadas aos demais pares de polos sejam repetições das do par con siderado Por essa razão é conveniente expressar os ângulos em graus elétricos ou radianos elétricos em vez de unidades mecânicas Um par de polos em uma máquina de múltiplos polos ou um ciclo de distribuição de fluxo corresponde a 360 graus elé a1 a2 a1 N N S S a2 Figura 46 Vista esquemática de um gerador simples síncrono monofásico e de quatro polos a1 a1 a2 a2 π 2π 0 2π π2 3π2 θa radianos mecânicos θae radianos elétricos 4π π 3π B Figura 47 Distribuição espacial da densidade de fluxo de entreferro em um gerador síncrono ideal de quatro polos 196 Máquinas elétricas tricos ou 2π radianos elétricos Como há polos2 comprimentos de onda ou ciclos a cada revolução completa resulta por exemplo que 41 onde θae é o ângulo em unidades elétricas e θa é o ângulo espacial Essa mesma relação aplicase a todas as medidas angulares em uma máquina de múltiplos polos Seus va lores em unidades elétricas serão iguais a polos2 vezes seus valores espaciais reais A tensão de bobina de uma máquina de múltiplos polos passa por um ciclo com pleto toda vez que um par de polos passa pela bobina ou polos2 vezes a cada revo lução A frequência elétrica fe da tensão gerada em uma máquina síncrona é portanto 42 onde n é a velocidade mecânica em rotações por minuto e portando n60 é a velo cidade em rotações por segundo A frequência elétrica da tensão gerada em radianos por segundo é 43 onde ωm é a velocidade mecânica em radianos por segundo Os rotores mostrados nas Figuras 44 e 46 têm polos salientes com enrola mentos concentrados A Figura 48 mostra esquematicamente um rotor de polos não salientes referido também como cilíndrico ou liso O enrolamento de campo no rotor é um enrolamento distribuído de dois polos Os lados da bobina estão distribuídos em múltiplas ranhuras ao longo da periferia do rotor e posicionados de modo tal que uma distribuição aproximadamente senoidal de fluxo radial no entreferro é produzida A relação entre a frequência elétrica e a velocidade de um rotor dada pela Equa ção 42 pode servir de base para compreendermos a razão pela qual alguns geradores síncronos têm rotores com estruturas de polos salientes ao passo que outros têm rotores cilíndricos A maioria dos sistemas de potência do mundo operam com frequência de 50 N S Figura 48 Enrolamento elementar de campo de um rotor cilíndrico de dois polos Figura 49 Rotor de um gerador a turbina de 100 MW Um sistema de excitação sem escovas usado para fornecer a corrente de campo pode ser visto na extremidade mais próxima do rotor Foto cortesia da empresa General Electric Company 198 Máquinas elétricas triz externa para que a rotação seja mantida Esse conjugado eletromecânico é o me canismo através do qual o gerador síncrono converte a energia mecânica em elétrica A máquina correlata do gerador síncrono é o motor síncrono Uma corrente alternada é aplicada ao enrolamento de armadura do estator e uma excitação CC ao enrolamento de campo do rotor O campo magnético produzido pelas correntes de armadura gira em velocidade síncrona igual a 2polos vezes a frequência elétrica das correntes de armadura Um conjugado eletromecânico constante é produzido quan do o rotor gira em sincronismo com o campo magnético produzido pelas correntes de armadura Assim a velocidade de regime permanente em um motor síncrono é determinada pelo número de polos e pela frequência da corrente de armadura Dessa forma um motor síncrono operado a partir de uma fonte CA de frequência constante funcionará com velocidade constante de regime permanente Em um motor o conjugado eletromecânico tem o sentido da rotação e contraba lança o conjugado oposto necessário para movimentar a carga mecânica O fluxo pro duzido pelas correntes na armadura de um motor síncrono gira à frente do fluxo produ zido pelo enrolamento de campo do rotor arrastando assim o enrolamento de campo e consequentemente o rotor além de realizar trabalho O oposto ocorre em um gerador síncrono onde o campo faz trabalho quando seu fluxo arrasta o da armadura Tanto em geradores como em motores além de um conjugado eletromecânico é induzida uma tensão de velocidade FEM na armadura pelo enrolamento de campo girante Como foi discutido no Capítulo 3 a produção de força ou conjugado e uma tensão de velo cidade são ambas componentes essenciais da conversão eletromecânica de energia Máquinas de indução Um segundo tipo de máquina CA é a máquina de indução Em uma máquina de indução os enrolamentos do estator são basicamente os mesmos de uma máquina síncrona Entretanto os enrolamentos do rotor são eletricamente curto circuitados e muitas vezes não apresentam conexões externas As correntes são induzi das por ação de transformador a partir dos enrolamentos do estator Uma vista em corte longitudinal de um motor de indução com gaiola de esquilo rotor está mostrado na Figura 411 Aqui os enrolamentos do rotor são na realidade barras sólidas de alumí nio que são fundidas nas ranhuras do rotor e colocadas em curto circuito por anéis de a c c N S b a b a b b b N S S N c a b b c a a c c a c a a c c b b c b b c a a Figura 410 Vistas esquemáticas de geradores trifásicos a dois polos b quatro polos e c ligação em Y dos enrolamentos Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 199 alumínio fundido localizados em cada extremidade do rotor Esse tipo de construção de rotor resulta em motores de indução que são relativamente baratos e altamente confiá veis fatores que contribuem à sua imensa popularidade e ampla aplicação Diferentemente de uma máquina síncrona na qual um enrolamento de campo no rotor é excitado com corrente CC e o rotor gira em sincronismo com a onda de fluxo produzida pelas correntes CA de armadura os enrolamentos do rotor de uma máqui na de indução não são excitados por uma fonte externa Em vez disso correntes são induzidas nos enrolamentos curtocircuitados do rotor quando este atravessa a onda de fluxo da armadura sincronicamente Assim as máquinas de indução são máquinas assíncronas e produzem conjugado apenas quando a velocidade do rotor é diferente da velocidade síncrona É interessante observar que embora o rotor opere de forma assíncrona a onda de fluxo produzida pelas correntes induzidas do rotor giram em sincronismo com a onda de fluxo do estator De fato isso é um requisito e está coerente com a capacida de de uma máquina de indução produzir conjugado líquido Os motores de indução operam com velocidades abaixo da velocidade mecânica síncrona caso em que o fluxo de armadura no motor de indução está à frente daquele do rotor produzindo um conjugado eletromecânico que puxa o rotor como no caso de um motor síncrono Uma curva característica comum de velocidade versus conjugado para um motor de indução está mostrada na Figura 412 Como as correntes do rotor são produzidas por indução um máquina de indu ção pode ser vista com um transformador genérico no qual a potência elétrica é trans formada entre rotor e estator juntamente com uma mudança de frequência e um fluxo de potência mecânica Embora as máquinas de indução sejam usadas basicamente como motores nos últimos anos verificouse que os geradores de indução são bem adequados em aplicações que envolvem energia eólica Figura 411 Vista em corte longitudinal de um motor de indução de 460 V e 75 HP com rotor gaiola de esquilo 200 Máquinas elétricas 422 Máquinas CC Como já foi discutido o enrolamento de armadura de um gerador CC está no rotor com a corrente entrando e saindo dele por meio de escovas de carvão O enrolamento de campo está no estator e é excitado por corrente contínua Uma vista em corte lon gitudinal de um motor CC está mostrada na Figura 413 Considere um gerador CC de dois polos muito elementar como o mostrado na Figura 414 O enrolamento de armadura consistindo em uma única bobina de N espiras está indicado pelos dois lados da bobina a e a colocados em pon tos diametralmente opostos sobre o rotor com os condutores paralelos ao eixo O rotor gira normalmente com velocidade constante a partir de uma fonte de potên cia mecânica conectada ao eixo Em geral a distribuição de fluxo no entreferro Conjugado 20 40 0 Velocidade em percentagem da velocidade síncrona 60 80 100 Figura 412 Curva característica de velocidade versus conjugado de um motor de indução típico Figura 413 Vista em corte longitudinal de um motor CC de 25 HP 1750 rpm e 500 V Foto cortesia da empresa Baldor ElectricABB Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 201 aproximase de uma onda de picos achatados em vez da onda senoidal encontrada nas máquinas CA como se mostra na Figura 415a A rotação da bobina mostrada esquematicamente na Figura 415a gera uma tensão de bobina que é uma função de tempo com a mesma forma que a da onda de distribuição da densidade de fluxo espacial A função de um gerador CC é a produção de tensão e corrente CC Assim as tensões e correntes CA induzidas no enrolamento de armadura devem ser retifica das Em uma máquina CC a retificação é produzida mecanicamente por meio de um comutador um cilindro formado de segmentos de cobre aos quais as bobinas da armadura são conectadas Esses segmentos são em geral isolados entre si por mica ou algum outro material altamente isolante e montados mas isolados sobre o eixo do rotor Escovas estacionárias de carvão são mantidas apoiadas contra a superfície do comutador que conecta o enrolamento aos terminais externos de armadura O co mutador e as escovas podem ser vistos na Figura 413 e um comutador simples de dois segmentos está mostrado na Figura 414 A necessidade de comutação é a razão pela qual os enrolamentos de armadura das máquinas CC são encontrados no rotor No caso do gerador CC elementar o comutador assume a forma mostrada na Figura 414 Para compreender a sua função como retificador observe que o comu tador em qualquer instante conecta o lado da bobina que está mais próximo do polo sul à escova positiva e o lado que está mais próximo do polo norte à escova negativa Assim a cada meia rotação do rotor as escovas mudam de polaridade em relação à polaridade da bobina Como resultado embora a tensão da bobina seja uma tensão alternada semelhante em forma à distribuição de fluxo no entreferro da Figura 415a o comutador executa uma retificação de onda completa transformando a tensão de bobina na tensão entre escovas da Figura 415b e tornando disponível uma tensão unipolar para o circuito externo Naturalmente a máquina CC da Figura 414 foi simplificada até o ponto de estar fora da realidade em termos práticos e depois será essencial examinar a ação de comutadores mais realistas Rotação Rotor Escova de carvão Bobinas da armadura N espiras Segmentos de cobre do comutador a N S a Figura 414 Máquina CC elementar com comutador O rotor a bobina da armadura e o co mutator giram enquanto as escovas permanecem estacionárias 202 Máquinas elétricas A corrente contínua no enrolamento de campo de uma máquina CC cria uma distribuição estacionária de fluxo magnético em relação ao estator De modo simi lar o efeito do comutador é tal que quando uma corrente contínua flui através das escovas a armadura cria uma distribuição de fluxo magnético que também é fixa no espaço e cujo eixo determinado pelo projeto da máquina e pela posição das escovas é normalmente perpendicular ao eixo do fluxo de campo Assim da mesma como nas máquinas CA discutidas anteriormente é a inte ração dessas duas distribuições de fluxo que cria o conjugado da máquina CC Se a máquina estiver atuando como gerador esse conjugado opõese à rotação Se estiver atuando como motor o conjugado eletromecânico atua no sentido da rotação Co mentários semelhantes aos já feitos em relação aos papéis desempenhados no pro cesso de conversão de energia das máquinas síncronas pela tensão gerada e pelo conjugado eletromecânico aplicamse bem às máquinas CC 43 FMM de enrolamentos distribuídos A maioria das armaduras tem enrolamentos distribuídos enrolamentos que se esten dem por diversas ranhuras ao redor da periferia do entreferro como nas Figuras 41 e 42 As bobinas individuais são conectadas entre si de modo que o resultado seja um campo magnético que tem o mesmo número de polos que o enrolamento de campo Distribuição espacial da densidade de fluxo 0 0 Ângulo ao redor da periferia do entreferro B a a π 2π a b Tensão entre escovas Tempo t Figura 415 a Distribuição espacial da densidade de fluxo no entreferro de uma máquina CC elementar b forma de onda da tensão entre as escovas Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 203 Os campos magnéticos de enrolamentos distribuídos podem ser estudados exa minandose o campo magnético produzido por um enrolamento que tenha uma única bobina de N espiras compreendendo 180 graus elétricos como mostrado na Figura 416a Uma bobina que se estende por 180 graus elétricos é conhecida como bobina de passo pleno Os pontos e cruzes indicam fluxos de corrente que se aproximam ou se afastam do leitor respectivamente Por uma questão de simplicidade o rotor cilíndrico mostrado é concêntrico A natureza bipolar do campo magnético produzido pela corrente na bobina está mostrada pelas linhas de fluxo 416a Como as permea bilidades do ferro da armadura e do campo são muito maiores que a do ar podemos assumir com exatidão suficiente para nossos objetivos que toda a relutância do circui to magnético encontrase no entreferro Pela simetria da estrutura é evidente que a intensidade do campo magnético Hg de entreferro na posição angular θa sob um dos polos é a mesma em valor que aquela localizada no ângulo θa π sob o polo oposto Entretanto os campos apresentam sentidos opostos Ao longo de qualquer um dos caminhos fechados mostrados pelas linhas de fluxo na Figura 416a temos que a FMM é Ni Como assumimos que a relutância do circuito magnético é predominantemente a do entreferro a queda de FMM no ferro pode ser desprezada e toda a queda de FMM aparecerá no entreferro Por simetria podemos argumentar que os campos Hg no entreferro nos lados opostos do rotor são iguais em valor mas opostos em sentido Seguese que a FMM no entreferro deve estar distribuída de modo uniforme Como cada linha de fluxo cruza o entreferro duas vezes a queda de FMM no entreferro deve ser igual à metade do total ou Ni2 Bobina de N espiras conduzindo uma corrente i Linhas de fluxo Eixo magnético da bobina de estator a θa θa π 2π Fundamental Fg1 Ni 2 Ni 2 0 Superfície do rotor Superfície do estator b Figura 416 a Fluxo produzido por um enrolamento concentrado de passo pleno em uma máquina de entreferro uniforme b A FMM produzida no entreferro por uma corrente nesse enrolamento 204 Máquinas elétricas A Figura 416b mostra o entreferro e o enrolamento em forma desenvolvida isto é dispostos em forma plana A distribuição de FMM no entreferro está mostrada pela distribuição de amplitude Ni2 semelhante a degraus Supondo que as aberturas das ranhuras sejam estreitas a FMM faz um salto Ni ao passar de um lado a outro da bobina Essa distribuição de FMM será discutida novamente na Seção 44 onde os campos magnéticos resultantes serão calculados 431 Máquinas CA A análise de Fourier pode mostrar que a FMM produzida no entreferro por uma única bobina como a de passo pleno da Figura 416 consiste em uma componente espacial harmônica fundamental mais uma série de componentes harmônicas de ordem mais elevada No projeto de máquinas CA sérios esforços são feitos para distribuir as bobi nas construindo os enrolamentos de modo a minimizar as componentes harmônicas de ordem mais elevada e a produzir uma onda de FMM de entreferro constituída predomi nantemente pela componente fundamental senoidal no espaço Assim é adequado as sumir aqui que isso foi feito e concentrar a nossa atenção na componente fundamental A onda retangular da FMM de entreferro da bobina concentrada de dois polos e passo pleno da Figura 416b pode ser decomposta em uma série de Fourier com preendendo uma componente fundamental e uma série de harmônicas ímpares A componente fundamental Fg1 é 44 onde θa é medido a partir do eixo magnético da bobina do estator como mostrado pela senoide tracejada na Figura 416b É uma onda senoidal espacial de amplitude 45 com seu pico alinhado com o eixo magnético da bobina Agora considere um enrolamento distribuído consistindo em bobinas distri buídas em diversas ranhuras Por exemplo a Figura 417a mostra a fase a do enrola mento de armadura de uma máquina CA trifásica de dois polos que foi um tanto sim plificada As fases b e c ocupam as ranhuras vazias Os enrolamentos das três fases são idênticos e estão posicionados com os seus eixos magnéticos separados de 120 graus entre si Vamos direcionar nossa atenção apenas à FMM de entreferro da fase a Deixaremos a discussão das três fases para a Seção 45 O enrolamento está disposto em duas camadas Cada bobina de passo pleno de Nb espiras tem um lado no topo de uma ranhura e o outro lado da bobina está no fundo de uma ranhura distanciada de um polo Em máquinas reais essa disposição de duas camadas simplifica o problema geométrico de se fazer passar as espiras dos terminais das bobinas individuais umas pelas outras A Figura 417b mostra um polo do enrolamento que foi desenvolvido no plano Com as bobinas conectadas em série e desse modo conduzindo a mesma corrente a onda de FMM é uma série de degraus de altura 2Nbia cada um igual aos ampèreses piras na ranhura onde ia é a corrente de enrolamento Sua componente fundamental espacial é mostrada pela senoide Podese ver que o enrolamento distribuído produz Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 205 uma onda que se aproxima mais de uma onda de FMM senoidal do que a bobina con centrada da Figura 416 A forma modificada da Equação 44 para um enrolamento distribuído de múlti plos polos tendo Nfase espiras por fase em série é 46 em que o fator 4π surge da análise de série de Fourier da onda retangular da FMM de uma bobina concentrada com passo pleno como na Equação 44 e o fator de enrolamento kenr leva em consideração a distribuição do enrolamento Esse fator é a a c b b c Eixo da fase a θa θa Eixo da fase a 0 Onda fundamental espacial da FMM 2Ncia a a a b π π Figura 417 A FMM de uma fase de um enrolamento trifásico distribuído de dois polos com bobinas de passo pleno 206 Máquinas elétricas necessário porque as FMMs produzidas pelas bobinas individuais de qualquer grupo de uma fase têm eixos magnéticos diferentes e portanto não se somam diretamente Quando elas são ligadas em série para formar o enrolamento de fase a sua soma fa sorial é então menor do que a sua soma numérica Veja o Apêndice B para detalhes Para a maioria dos enrolamentos trifásicos o valor de k enr está normalmente no inter valo de 085 a 095 O fator kenrNfase é o número efetivo de espiras por fase em série para a FMM fundamental A amplitude de pico dessa onda de FMM é 47 Exemplo 41 O enrolamento da fase a da armadura de dois polos da Figura 417a pode ser considerado como consistindo em oito bobinas de passo pleno e Nb espiras ligadas em série com cada ranhura contendo duas bobinas Há um total de 24 ranhuras de armadura e assim cada ranhura está separada por 36024 15 Defina o ângulo θa como sendo medido a partir do eixo magné tico da fase a de modo que as quatro ranhuras contendo os lados indicados por a das bobinas estejam em θa 675 825 975 e 1125 Os lados opostos de cada bobina estão assim nas ranhuras localizadas em 1125 975 825 e 675 respectivamente Suponha que esse enrolamento esteja conduzindo uma corrente ia a Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental produzida pelas duas bobinas cujos lados estão nas ranhuras em θa 1125 e 675 b Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental produzida pelas duas bobinas cujos lados estão nas ranhuras em θa 675 e 1125 c Escreva uma expressão para a FMM espacial fundamental do enrolamento completo da armadura d Determine o fator de enrolamento kenr para esse enrolamento distribuído Solução a Observando que o eixo magnético desse par de bobinas está em θa 1125 6752 225 e que o total de ampèresespiras em cada ranhura é igual a 2Nbia a FMM produ zida por esse par de bobinas pode ser obtida por analogia com a Equação 44 obtendose b Esse par de bobinas produz a mesma FMM espacial fundamental que o par da parte a com a exceção de que essa FMM está centrada em θa 225 Assim c Em analogia com as partes a e b a FMM espacial fundamental total pode ser escrita como Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 207 d Verificando que para esse enrolamento temos Nfase 8Nb a FMM total da parte c pode ser reescrita como Uma comparação com a Equação 46 mostra que nesse enrolamento o fator de enrola mento é kenr 0958 Problema prático 41 Calcule o fator de enrolamento para o enrolamento da fase a da Figura 417 se o número de espiras nas quatro bobinas nos dois pares externos de ranhuras for reduzido a seis ao passo que o número de espiras nas quatro bobinas nas ranhuras internas permanece em oito Solução kenr 0962 A Equação 46 descreve a componente fundamental espacial da onda de FMM produzida pela corrente da fase a de um enrolamento distribuído Se a corrente da fase a for senoidal no tempo por exemplo ia Imax cos ωt o resultado será uma onda de FMM que é estacionária no espaço e varia senoidalmente em relação a θa e ao tempo Na Seção 45 estudaremos o efeito das correntes nas três fases e veremos que a aplicação de correntes trifásicas produzirá uma onda girante de FMM De modo semelhante os enrolamentos do rotor são distribuídos frequentemente nas ranhuras para reduzir os efeitos das harmônicas espaciais A Figura 418a mostra o rotor de um gerador típico de dois polos e rotor cilíndrico Embora o enrolamento seja simétrico em relação ao eixo do rotor o número de espiras por ranhura pode ser variado para controlar as diversas harmônicas Na Figura 418b podese ver que há menos espiras nas ranhuras próximas da face do polo eixo do motor Além disso o projetista pode variar o distanciamento entre as ranhuras Em relação aos enrola mentos distribuídos de armadura a onda fundamental de FMM no entreferro de um enrolamento de rotor de múltiplos polos pode ser obtida a partir da Equação 46 em termos do número total Nr de espiras em série a corrente de enrolamento Ir e um fator de enrolamento kr obtendose 48 onde θr é o ângulo espacial medido em relação ao eixo magnético do rotor como mostrado na Figura 418b Sua amplitude de pico é 49 208 Máquinas elétricas 432 Máquinas CC Devido às restrições impostas à disposição do enrolamento pelo comutador a onda de FMM da armadura de uma máquina CC aproximase mais da forma de onda em dente de serra do que da forma de onda senoidal das máquinas CA Por exemplo a Figura 419 mostra esquematicamente em corte transversal a armadura de uma máquina CC de dois polos Na prática em todas as máquinas CC com exceção das muito peque nas um número mais elevado de bobinas e ranhuras seria provavelmente usado Os sentidos das correntes são mostrados por pontos e cruzes As conexões da bobina do Faces polares 1 2 3 4 5 Rotor Eixo do rotor 6 7 8 9 10 θr 1 Onda fundamental espacial da FMM Eixo do rotor FMM θr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N10Ir N9Ir N8Ir N7Ir N6Ir N1Ir N2Ir N3Ir N4Ir N5Ir a b Figura 418 A FMM de entreferro do enrolamento distribuído do rotor de um gerador de ro tor cilíndrico Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 209 enrolamento da armadura são tais que esse enrolamento produz um campo magnético cujo eixo é vertical sendo assim perpendicular ao eixo do enrolamento de campo À medida que a armadura gira as conexões das bobinas aos circuitos externos são al teradas pelo comutador de tal modo que o campo magnético da armadura permaneça vertical Assim o fluxo da armadura está sempre perpendicular ao produzido pelo enrolamento de campo resultando um conjugado unidirecional contínuo A ação do comutador será discutida com algum detalhe na Seção 72 A Figura 420a mostra esse enrolamento desenvolvido no plano A onda de FMM está mostrada na Figura 420b Assumindo que as ranhuras sejam estreitas ela consistirá em uma série de degraus A altura de cada degrau será igual ao número de ampèresespiras 2Nbib em uma ranhura onde Nb é o número de espiras em cada bobi na e ib é a corrente da bobina O valor de pico da onda de FMM ocorre na direção do eixo magnético da armadura a meio caminho entre os polos do campo Esse enrola mento é equivalente a uma bobina de 12Nbib ampèresespiras distribuídos ao redor da armadura Supondo que os polos sejam simétricos o valor de pico da onda de FMM em cada polo de armadura é 6Nbib ampèresespiras Essa onda de FMM pode ser representada aproximadamente pela forma de onda em dente de serra da Figura 420b e repetida na Figura 420c Em um enrolamento mais realista com um número maior de ranhuras de armadura por polo a distribui ção triangular tornase uma aproximação maior Essa onda de FMM seria produzida por uma distribuição retangular de densidade de corrente na superfície da armadura como mostrado na Figura 420c Neste nosso estudo preliminar é conveniente decompor as ondas de FMM dos en rolamentos distribuídos em suas componentes de série de Fourier A componente funda mental da forma de onda em dente de serra da FMM da Figura 420c está mostrada pela onda senoidal Seu valor de pico é 8π2 081 vezes a altura da onda em dente de serra Essa onda fundamental de FMM é a que seria produzida pela componente harmônica es pacial fundamental da distribuição retangular de densidade de corrente da Figura 420c Observe que a distribuição de FMM nos entreferros depende apenas da disposi ção dos enrolamentos e da simetria das estruturas magnéticas em cada polo Entretan Eixo magnético do enrolamento de armadura a1 a1 Eixo magnético do enrolamento de campo Figura 419 Seção transversal de uma máquina CC de dois polos 210 Máquinas elétricas to a densidade de fluxo magnético nos entreferros não depende apenas da FMM mas também das condições magnéticas nos limites geométricos principalmente o compri mento do entreferro o efeito das aberturas das ranhuras e a forma das faces dos polos O projetista leva em consideração esses efeitos por meio de análises detalhadas com as quais no entanto não precisamos nos ocupar aqui As máquinas CC em geral têm uma estrutura magnética com mais de dois po los Por exemplo a Figura 421a mostra de forma esquemática uma máquina CC de quatro polos O enrolamento de campo produz alternadamente polaridades nor tesulnortesul e os condutores da armadura são distribuídos em quatro feixes nas ranhuras conduzindo correntes que alternadamente aproximamse ou afastamse do leitor como está simbolizado pelas áreas hachuradas Essa máquina está mostrada em 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 a b c 0 2Nbib π 4Nbib 6Nbib 6Nbib 4Nbib 2Nbib 6Nbib onda de FMM Corrente Componente fundamental da onda FMM Componente fundamental da corrente Figura 420 a Desenvolvimento no plano da máquina CC da Figura 419 b onda de FMM c onda equivalente em dente de serra da FMM sua componente fundamental e a corrente retangular laminar equivalente Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 211 forma plana na Figura 421b A respectiva onda da FMM em forma de dente de serra também está mostrada Supondo que haja simetria nos enrolamentos e polos do cam po cada par sucessivo de polos será igual a qualquer outro par Então as condições magnéticas no entreferro podem ser determinadas examinando um par qualquer de polos adjacentes de 360 graus elétricos O valor de pico da onda em dente de serra da FMM de armadura pode ser escri ta em termos do número total de condutores nas ranhuras da armadura como 410 onde Ca número total de condutores no entreferro de armadura m número de caminhos paralelos no enrolamento de armadura ia corrente de armadura A Essa equação leva em consideração o fato de que em alguns casos a armadura pode estar enrolada com múltiplos caminhos de corrente em paralelo Essa é a razão pela qual muitas vezes é mais conveniente pensar na armadura em termos do número de condutores em que cada condutor corresponde a um único caminho que conduz cor rente dentro de uma ranhura Assim iam é a corrente em cada condutor Essa equa ção vem diretamente da integral de linha ao longo do caminho fechado tracejado da Figura 421b que cruza o entreferro duas vezes e envolve Capolos condutores cada um desses conduzindo a corrente iam no mesmo sentido Em forma mais compacta 411 onde Na Ca 2m é o número de espiras em série da armadura Da série de Fourier da onda de FMM em dente de serra da Figura 421b o valor de pico da respectiva componente fundamental espacial da onda de FMM é dada por 412 S S N N b a Ca polos condutores Figura 421 a Seção transversal de uma máquina CC de quatro polos b planificação da corrente e da onda de FMM 212 Máquinas elétricas 44 Campos magnéticos em máquinas rotativas Nossas investigações preliminares das máquinas CA e CC estão baseadas na supo sição de que as distribuições espaciais de FMM sejam senoidais Veremos que essa suposição levará a resultados muito satisfatórios na maioria dos problemas que envol vem máquinas CA porque em geral seus enrolamentos estão distribuídos de modo a minimizar os efeitos das componentes harmônicas espaciais Devido às restrições impostas pelo comutador à disposição dos enrolamentos as ondas de FMM das má quinas CC aproximamse intrinsecamente mais de uma forma de onda em dente de serra No entanto uma análise baseada no modelo senoidal coloca em evidência as características fundamentais do funcionamento das máquinas CC Sempre que ne cessário os resultados podem ser prontamente modificados para explicar qualquer discrepância significativa Muitas vezes é mais fácil começar examinando uma máquina de dois polos na qual os ângulos e as velocidades elétricas e mecânicas são iguais Os resultados podem ser extrapolados imediatamente a máquinas de múltiplos polos relembrando se que ângulos elétricos e velocidades angulares estão relacionados com os ângulos mecânicos e as velocidades angulares por um fator de polos2 veja por exemplo a Equação 41 O comportamento das máquinas elétricas é determinado pelos campos magné ticos criados por correntes nos diversos enrolamentos da máquina Esta seção discute como esses campos magnéticos e correntes relacionamse 441 Máquinas com entreferros uniformes A Figura 422a mostra uma bobina de N espiras e passo pleno alojada em uma estru tura magnética de alta permeabilidade μ com um rotor cilíndrico concêntrico A FMM Fg de entreferro dessa configuração está plotada em função do ângulo θa na Figura 422b Para essa estrutura com um entreferro uniforme de dimensão g no raio rr muito maior que g podese assumir com boa exatidão que o campo magné tico H no entreferro tem predominantemente sentido apenas radial e que seu valor é constante no entreferro A distribuição de FMM no entreferro da Figura 422b é igual à integral de linha de Hg através do entreferro Nesse caso de Hg radial constante essa integral é igual ao produto do campo magnético radial Hg no entreferro vezes o comprimento g do entreferro Assim Hg pode ser obtido dividindose a FMM do entreferro pelo com primento deste 413 Assim na Figura 422c podese ver que o campo radial Hg e a FMM apresentam forma idêntica relacionandose entre si simplesmente pelo fator 1g A componente harmônica espacial fundamental de Hg pode ser obtida direta mente da componente fundamental Fg1 dada pela Equação 44 414 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 213 É uma onda espacial senoidal de amplitude 415 Para um enrolamento distribuído como o da Figura 417 com um fator de en rolamento kenr a intensidade de campo magnético no entreferro é obtida facilmente tão logo a FMM de entreferro seja conhecida Assim generalizando para o caso de uma máquina de múltiplos polos com Nfase espiras em série por polo a componente fundamental de Hg pode ser encontrada dividindose a componente fundamental da FMM de entreferro Equação 46 pelo comprimento de entreferro g 416 θa Hg1 fundamental Fg1 fundamental FMM 0 0 Ni 2 Ni 2g Ni 2g Hg π 2π Ni 2 Ni 2 Fg Fg1 fundamental θa b c Bobina de N espiras ra g rr Eixo magnético da bobina de estator θa a μ μ Ni 2 π π 2π Figura 422 A FMM de entreferro e a componente radial de Hg para um enrolamento concen trado de passo pleno 214 Máquinas elétricas Observe que a FMM espacial fundamental de entreferro Fg1 com o campo mag nético de entreferro Hg1 produzida por um enrolamento distribuído com fator de enro lamento kenr e Nfase polos espiras em série por polo é igual à produzida por um enrola mento concentrado de passo pleno com kenrNfasepolos espiras por polo Na análise de máquinas com enrolamentos distribuídos esse resultado é útil porque quando se con sideram grandezas fundamentais espaciais ele permite que a solução distribuída seja obtida a partir da solução para uma única bobina de N espiras e passo pleno apenas subs tituindo N pelo número efetivo de espiras kenrNfase polos do enrolamento distribuído Exemplo 42 Um gerador CA síncrono de quatro polos com um entreferro liso tem um enrolamento de rotor distribuído com 264 espiras em série um fator de enrolamento de 0935 e um entreferro de comprimento 07 mm Supondo que a queda de FMM no aço elétrico seja desprezível encontre a corrente de enrolamento de rotor necessária para produzir uma densidade de fluxo magnético espacial fundamental de pico de 16 T no entreferro da máquina Solução A fundamental espacial do campo magnético no entreferro pode ser encontrada a partir da fun damental espacial da FMM no entreferro dividida pelo comprimento de entreferro g A seguir multiplicando pela permeabilidade do vácuo μ0 teremos a fundamental espacial da densidade de fluxo magnético no entreferro Assim da Equação 49 A corrente Ir pode ser obtida de Problema prático 42 Uma máquina síncrona de dois polos tem um comprimento de entreferro de 22 cm e um enro lamento de campo com um total de 830 espiras em série Quando excitada por uma corrente de campo de 47 A a fundamental espacial da densidade de fluxo magnético de pico no entreferro da máquina é medida como 135 T Com base na densidade de fluxo medida calcule o fator de enrolamento kr do enrola mento de campo Solução kr 0952 442 Máquinas com entreferros não uniformes A Figura 423a mostra a estrutura de uma máquina CC típica e a Figura 423b mostra a estrutura de uma máquina síncrona típicas de polos salientes Ambas as máquinas Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 215 consistem em estruturas magnéticas com entreferros extremamente não uniformes Nesses casos a distribuição do campo magnético no entreferro é mais complexa do que a de máquinas de entreferro uniforme A análise detalhada das distribuições de campo magnético nessas máquinas requer soluções completas para o problema do campo Por exemplo a Figura 424 mostra a distribuição de campo magnético em um gerador CC de polos salientes obtida por um programa de elementos finitos No entanto a experiência tem mostrado que por meio de diversas suposições de simplificação podese desenvolver técnicas analíticas que produzem resultados de exatidão razoável Essas técnicas serão ilustradas em capítulos posteriores em que serão discutidos os efeitos das saliências em máquinas CC e CA Bobina de campo Rotor a b Bobina de campo Rotor Estator Estator Figura 423 Estrutura de máquinas típicas de polos salientes a máquina CC e b máquina síncrona de polos salientes Bobinas de campo Rotor Estator Bobinas de armadura Dentes de rotor Figura 424 Solução baseada em elementos finitos mostrando a distribuição do campo mag nético em uma máquina CC de polos salientes com as bobinas de campo excitadas bobinas de armadura sem corrente 216 Máquinas elétricas 45 Ondas girantes de FMM em máquinas CA Para compreender a teoria e a operação das máquinas CA polifásicas é necessário es tudar a natureza da onda de FMM produzida por um enrolamento polifásico A atenção será focada em uma máquina de dois polos ou de forma equivalente um par de polos de um enrolamento de múltiplos polos π θae π Para desenvolver um insight do caso polifásico começaremos com a análise de um enrolamento monofásico 451 Onda de FMM de um enrolamento monofásico A Figura 425a mostra a componente fundamental espacial da distribuição de FMM de um enrolamento monofásico onde a partir da Equação 46 417 onde θae é dado pela Eq 41 Quando esse enrolamento é excitado por uma corrente que varia de forma senoidal no tempo com a frequência ωe ia Ia cos ωet 418 a distribuição da FMM é dada por Fg1 Fmax cos θae cos ωet 419 A Equação 419 foi escrita de forma a enfatizar o fato de que o resultado é uma distribuição de FMM de amplitude máxima 420 Essa distribuição de FMM permanece fixa no espaço com uma amplitude que varia de forma senoidal no tempo com frequência ωe como mostrado na Figura 425a Observe que para simplificar a notação a Equação 41 foi usada para expressar a distribuição de FMM da Equação 419 em termos do ângulo elétrico θae O uso de uma identidade trigonométrica comum1 permite reescrever a Equação 419 na forma 421 mostrando que a FMM de um enrolamento monofásico pode ser decomposta em duas ondas girantes de FMM cada uma de amplitude igual à metade da amplitude máxima de Fg1 com uma delas Fg1 girando no sentido θae e a outra Fg1 girando no sentido θae 422 423 1 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 217 Ambas as ondas de fluxo giram em seus respectivos sentidos com a velocidade angular elétrica ωe correspondendo a uma velocidade angular mecânica ωm onde 424 em que n é a velocidade rotacional em rpm Essa decomposição está mostrada grafi camente na Figura 425b e em representação fasorial na Figura 425c O fato de que a FMM no entreferro de um enrolamento monofásico excitado por uma fonte de corrente alternada pode ser decomposta em ondas progressivas girantes é um passo conceitual importante na compreensão das máquinas CA Em máquinas mo nofásicas CA a onda progressiva positiva de fluxo produz conjugado útil ao passo que a onda progressiva negativa de fluxo produz conjugado tanto negativo como pulsante e também perdas Embora as máquinas monofásicas sejam projetadas para minimizar π θae π 2 π 2 π Fmax Fg1 t t1 t 0 π ωe t t t2 Fmax Eixo magnético do enrolamento da fase a ωet ωet Fg1 F F Eixo magnético do enrolamento da fase π π ωet Fg1 Eixo magnético do enrolamento da fase θae θae π π ωet ωet F F Eixo magnético do enrolamento da fase b c Figura 425 FMM fundamental espacial de entreferro para um enrolamento monofásico a distribuição de FMM para um enrolamento monofásico em diversos instantes b FMM total Fg1 decomposta em duas ondas progressivas F e F c decomposição fasorial de Fg1 218 Máquinas elétricas os efeitos da onda progressiva negativa de fluxo eles não podem ser completamente eliminados Por outro lado como mostrado na Seção 452 em máquinas CA polifá sicas os enrolamentos estão igualmente deslocados em termos de fase no espaço e as correntes de enrolamento estão deslocadas de modo similar em termos de fase no tempo com o resultado de que as ondas progressivas negativas de fluxo dos vários en rolamentos somamse resultando zero ao passo que as ondas progressivas positivas de fluxo reforçamse resultando uma única onda progressiva positiva de fluxo 452 Onda de FMM de um enrolamento polifásico Nesta seção estudaremos as distribuições de FMM em enrolamentos trifásicos como as encontradas no estator de máquinas trifásicas síncronas e de indução As análises apresentadas podem ser prontamente estendidas para um enrolamento polifásico com qualquer número de fases Aqui também a atenção estará focada em uma máquina de dois polos ou um par de polos de um enrolamento de múltiplos polos Em uma máquina trifásica os enrolamentos das fases individuais estão afasta dos entre si por 120 graus elétricos no espaço ao redor da circunferência de entreferro como mostrado pelas bobinas a a b b e c c na Figura 426 As bobinas concentradas de passo pleno mostradas aqui podem ser consideradas representando enrolamentos distribuídos que produzem ondas senoidais de FMM centradas nos ei xos magnéticos das respectivas fases As ondas senoidais fundamentais espaciais de FMM das três fases estão respectivamente afastadas de 120 graus elétricos no espaço Cada fase é excitada por uma corrente alternada que varia de forma senoidal no tem po Sob condições de equilíbrio trifásico as correntes instantâneas são ia Imax cos ωet 425 ib Imax cos ωet 120 426 ic Imax cos ωet 120 427 onde Imax é o valor máximo de corrente e a origem do tempo é tomada arbitrariamente como o instante em que a corrente de fase a está em seu valor máximo positivo Assu mese que a sequência de fases seja abc As correntes instantâneas estão mostradas na a a b c c b Eixo da fase b Eixo da fase a Eixo da fase c θa Figura 426 Enrolamento de estator trifásico simplificado de dois polos Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 219 Figura 427 Os pontos e cruzes ao lado das bobinas Figura 426 indicam os sentidos de referência para correntes positivas de fase Foi mostrado anteriormente que a FMM da fase a é Fa1 Fa1 Fa1 428 onde 429 430 e 431 Observe que para evitar uma complexidade excessiva de notação o índice g foi des cartado Aqui o índice a1 indica a componente fundamental espacial da FMM da fase a no entreferro Do mesmo modo para as fases b e c cujos eixos estão em θae 120 e θae 120 respectivamente podese mostrar que as FMMs de entreferro são Fb1 Fb1 Fb1 432 433 434 e Fc1 Fc1 Fc1 435 436 437 0 ia ib ic ωet π 3 2π 3 Figura 427 Correntes de fase instantâneas em condições de equilíbrio trifásico 220 Máquinas elétricas A FMM total é a soma das contribuições de cada uma das três fases Fθae t Fa1 Fb1 Fc1 438 Essa soma pode ser realizada bem facilmente em termos de ondas progressivas positi vas e negativas A soma das ondas progressivas negativas resulta em zero 439 ao passo que as ondas progressivas positivas reforçamse 440 Assim o resultado de se deslocar os três enrolamentos de 120 em termos de fase espacial e de deslocar as correntes de enrolamento 120 em termos de fase tem poral é uma onda progressiva positiva de FMM 441 A onda de FMM de entreferro descrita pela Equação 441 é uma função senoi dal fundamental espacial do ângulo espacial elétrico θae e consequentemente do ân gulo espacial θa 2 θaepolos Ela tem uma amplitude constante de 32Fmax isto é 15 vezes a amplitude de pico da onda de FMM de entreferro produzida pelas fases individuais e apresentando um pico positivo no ângulo θa 2 ωe tpolos Assim em condições de equilíbrio trifásico o enrolamento trifásico produz uma onda de FMM de entreferro que gira na velocidade angular síncrona ωs 442 onde ωe frequência angular da excitação elétrica aplicada rads ωs velocidade angular espacial síncrona da onda de FMM de entreferro rads A respectiva velocidade síncrona ns em rpm rotações por minuto pode ser expressa em termos da frequência elétrica aplicada 443 como 444 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 221 Em geral um campo girante de amplitude constante será produzido por um en rolamento de q fases q 3 excitado por q correntes de fase equilibradas de frequên cia fe quando os respectivos eixos de fase estiverem afastados de 2πq radianos elétri cos no espaço A amplitude dessa onda de fluxo será q2 vezes a contribuição máxima de qualquer fase e a velocidade angular síncrona permanecerá ωs 2 ωepolos radianos por segundo Para uma máquina bifásica os eixos de fase estão localizados com um afastamento de π2 radianos elétricos no espaço e a amplitude da onda de fluxo girante será igual a das fases individuais Nessa seção vimos que um enrolamento polifásico excitado por correntes polifásicas equilibradas produz uma onda de FMM girante A produção de uma onda de FMM girante e o respectivo fluxo magnético girante é a chave da opera ção das máquinas elétricas rotativas polifásicas É a interação dessa onda de fluxo magnético com o fluxo magnético do rotor que produz conjugado Conjugado constante é produzido quando o fluxo magnético produzido pelo rotor gira em sincronismo com o do estator 453 Análise gráfica de FMM polifásica Para correntes trifásicas equilibradas como dadas pelas Equações 425 a 427 a pro dução de uma FMM girante também pode ser mostrada graficamente Considere a situação em t 0 Figura 427 o momento em que a corrente de fase a está em seu valor máximo Imax Então a FMM da fase a está com o seu valor máximo Fmax como mostrado pelo vetor Fa desenhado ao longo do eixo magnético da fase a na máqui na de dois polos mostrada esquematicamente na Figura 428a Nesse momento as correntes ib e ic são ambas Imax2 no sentido negativo como está mostrado pelos pontos e cruzes na Figura 428a indicando os sentidos reais instantâneos As respec tivas FMMs das fases b e c são mostradas pelos vetores Fb e Fc ambos de módulo Fmax2 desenhados no sentido negativo ao longo dos eixos magnéticos das fases b e c respectivamente A resultante obtida pela soma das contribuições individuais das três fases é um vetor de módulo centrado no eixo da fase a Ela representa uma onda senoidal espacial com o seu pico positivo centrado no eixo da fase a e tendo uma amplitude vezes a da fase a sozinha a a a b c c Fa Fb Fc F b b a c b Fa Fb a a b c c b b 60 a c c F Fc c Fa Fc a a b c c b a b F Fb Figura 428 A produção de um campo magnético girante por meio de correntes trifásicas 222 Máquinas elétricas Em um tempo posterior ωet π3 Figura 427 as correntes das fases a e b são a metade do máximo positivo e a da fase c é um máximo negativo As com ponentes de FMM individuais e suas resultantes estão mostradas agora na Figura 428b A resultante tem a mesma amplitude que em t 0 mas agora ela girou 60 graus elétricos no espaço em sentido antihorário Do mesmo modo em ωet 2π3 quando a corrente de fase b é um máximo positivo e as correntes de fase a e c são a metade do máximo negativo a mesma distribuição resultante de FMM é obtida no vamente mas ela girou 60 graus elétricos ainda mais além em sentido antihorário e agora está alinhada com o eixo magnético da fase b veja a Figura 428c À medida que o tempo passa a onda de FMM resultante retém a amplitude e a forma senoi dal mas gira progressivamente ao redor do entreferro Podese ver que o resultado líquido é uma onda de FMM de amplitude constante girando com uma velocidade angular uniforme Depois de um ciclo a FMM resultante deve estar de volta à posição da Figura 428a Portanto a onda de FMM executa uma revolução por ciclo elétrico em uma máquina de dois polos Em uma máquina de múltiplos polos a onda progride um par de polos a cada ciclo elétrico e portanto uma revolução em polos2 ciclos elétricos Exemplo 43 Considere um estator trifásico excitado com correntes equilibradas de 60 Hz Obtenha a ve locidade angular síncrona em rads e a velocidade em rpm para estatores com dois quatro e seis polos Solução Para uma frequência fe 60 Hz a frequência angular elétrica é igual a ωe 2π fe 120π rads Usando as Equações 442 e 444 a seguinte tabela pode ser construída Polos ns rpm ωs rads 2 3600 120π 4 1800 60π 6 1200 40π Problema prático 43 Repita o Exemplo 43 para um estator trifásico excitado por correntes equilibradas de 50 Hz Solução Polos ns rpm ωs rads 2 3000 100π 4 1500 50π 6 1000 100π3 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 223 46 Tensão gerada A natureza genérica da tensão induzida já foi discutida na Seção 42 Agora expres sões quantitativas para a tensão induzida serão determinadas 461 Máquinas CA Uma máquina CA elementar está mostrada em corte transversal na Figura 429 As bobinas do rotor e do estator estão ilustradas como concentradas de múltiplas espiras e de passo pleno Como vimos o funcionamento de uma máquina com enrolamentos distribuídos pode ser determinado a partir do funcionamento de uma máquina com en rolamentos concentrados simplesmente multiplicando o número de espiras em série no enrolamento por um fator de enrolamento Supondo um entreferro pequeno podemos assumir que o enrolamento de campo do rotor produz basicamente um fluxo funda mental espacial radial senoidal com uma densidade de fluxo de pico Bpico no entreferro Como foi deduzido no Exemplo 42 se o entreferro for uniforme o valor de Bpico poderá ser obtido de 445 onde g comprimento do entreferro Nf total de espiras em série no enrolamento de campo kf fator de enrolamento do enrolamento de campo If corrente de campo N de T O índice f referese a campo field em inglês a a Bobina de N espiras Bobina de campo de Nf espiras e Eixo magnético da fase b Eixo magnético da fase c Eixo magnético da fase a Eixo magnético do enrolamento do rotor ωmt b c c θr b Figura 429 Vista em seção transversal de uma máquina elementar CA trifásica Quando os polos do rotor estão alinhados com o eixo magnético de um enrolamento de fase do estator o fluxo conectado com esse enrolamento de Nfase espiras em série por fase e fator de enrolamento ken de uma fase do estator é kωNfaseΦp onde Φp é o fluxo de entreferro por polo Para a densidade de fluxo senoidal de entreferro que foi assumida temse B Bpico cos polos2 θr O primeiro termo no segundo membro da Equação 449 é uma tensão de transformação e está presente apenas quando a amplitude da onda de fluxo de entreferro varia no tempo O segundo termo é tensão de velocidade gerada pelo movimento relativo da onda de fluxo de entreferro em relação à bobina de estator Usando Φp 2Bpicorl a partir da Equação 447 e substituindo obtémse e ω0N2Bpicorl sen ωt que é idêntica à tensão determinada usando a equação de cruzamento de fluxo Na operação normal de máquinas CA em regime permanente estamos normalmente interessados nos valores eficazes de tensões e correntes em vez de seus valores instantâneos Da Equação 450 o valor máximo da tensão induzida é Emax ω0BkenrNfaseΦp 2πfckenrNfaseΦp onde fe é a frequência elétrica da tensão gerada em Hz Seu valor eficaz é Eef 2πfckenrNfaseΦp2 2πfckenrNfaseΦp Observe que essas equações são idênticas em forma às respectivas equações de FEM de um transformador Em uma máquina rotativa o movimento relativo entre uma bobina e uma onda de densidade de fluxo espacial e amplitude constante produz tensão da mesma forma que um fluxo variável no tempo o faz nas bobinas estacionais de um transformador A rotação introduz o elemento de variação no tempo e transforma a distribuição espacial de densidade de fluxo em uma variação de fluxo concatenado e de tensão no tempo A tensão induzida em um único enrolamento é uma tensão nominal Assim a Equação 452 fornece a tensão eficaz de fase produzida nessa máquina quando Nfase é o número total de espiras em série por fase Para uma máquina ligada em Δ a tensão de enrolamento calculada a partir da Equação 452 seria uma tensão de linha da máquina Exemplo 45 Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois polos ligado em Y e rotor cilíndrico tem um enrolamento distribuído de campo com Nf espiras em série e um fator de enrolamento kr O enrolamento de armadura tem Nnasc espiras por fase e fator de enrolamento ken O comprimento do entreferro g e o raio médio do entreferro r O comprimento ativo do enrolamento de armadura ℓ As dimensões e os dados do enrolamento são Nf 68 espiras em série kr 0945 Nnasc 18 espiras em sériefase ken 0933 r 053 m g 45 cm ℓ 38 m O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3600 rpm Para uma corrente de campo de If 720 A CC calcule a a FMM fundamental de pico Fg1pico produzida pelo enrolamento de campo b a densidade de fluxo fundamental de pico Bg1pico no entreferro c o fluxo fundamental por polo Φp e d o valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto ou a vácuo na armadura Da Equação 49 Fg1pico 4π krNf polos If 4π 0945 682 720 4π 321720 294 10⁴ espiraspolo b Usando a Equação 413 obtemos Bg1pico μ0Fg1picog 4π 10⁷ 294 10⁴45 10² 0821 T Devido ao efeito das ranhuras que contêm o enrolamento de armadura a maioria do fluxo do entreferro está confinada aos dentes do estator A densidade de fluxo dos dentes no centro de um polo é mais elevada que o valor calculado na parte b provavelmente cerca de 2 vezes mais Em um projeto detalhado essa densidade de fluxo deve ser calculada para determinar se os dentes estão excessivamente saturados c Da Equação 447 Φp 2Bg1picolr 2082138053 331 Wb d Da Equação 452 com fe 60 Hz Eef linha 2πfckenrN picoΦp 2π60093318331 148 kV eficaz A tensão de linha é portanto Eef linha 3 148 kV 257 kV eficaz 228 Máquinas elétricas bobinas giram através da distribuição de fluxo CC do enrolamento de campo esta cionário Portanto a tensão alternada do enrolamento de armadura deve ser retifi cada A retificação mecânica é obtida por meio do comutador como foi discutido na Seção 422 Considere a bobina de armadura de N espiras da máquina elementar de dois po los da Figura 414 O comutador simples de dois segmentos proporciona retificação de onda completa da tensão de bobina Embora a distribuição espacial do fluxo de entreferro em máquinas CC esteja normalmente muito longe de ser senoidal pode mos aproximar o valor da tensão gerada supondo uma distribuição senoidal Como vimos uma tal distribuição de fluxo produzirá uma tensão CA senoidal na bobina de armadura A ação de retificação do comutador produzirá uma tensão CC sobre as es covas como na Figura 430 O valor médio ou CC dessa tensão pode ser encontrado obtendo a média da Equação 450 com kenr 10 ou seja 453 Em máquinas CC em geral é mais conveniente expressar a tensão Ea em termos da velocidade mecânica ωm rads ou n rpm A substituição da Equação 424 na Equação 453 para uma máquina de múltiplos polos fornece 454 Em sentido prático o enrolamento da bobina da armadura subentendido aqui está naturalmente fora da realidade Mais adiante será essencial examinar com mais cuidado a ação dos comutadores De fato em termos práticos a Equação 454 fornece resultados corretos para o caso de enrolamentos distribuídos de armadura desde que N seja tomado como o número total de espiras em série entre os terminais de arma dura Em geral a tensão é expressa em termos do número total de condutores ativos Ca e do número m de caminhos paralelos no enrolamento de armadura Como são necessários dois lados de uma bobina para perfazer uma espira e 1m dessas estão co nectadas em série o número de espiras em série é Na Ca2m Então substituindo na Equação 454 obtémse 455 0 π 2π ωt e Figura 430 Aproximação senoidal da tensão entre as escovas da máquina elementar CC da Figura 414 Primeiro podemos determinar a FMM de rotor máxima a partir da Equação 49 Frmax 4π krNf polos Irmax 4π 0976 7864 18 4395 A Supondo que o valor de pico do fluxo de entreferro resultante esteja limitado a 15 T podemos estimar o conjugado máximo a partir da Equação 480 tornando δ1 igual a π2 lembrando que valores negativos de δh com a FMM do rotor atrasada em relação à FMM resultante correspondem a um conjugado positivo motor Portanto Tmax polos2πDI2 BxFrmax 42π 027 0322 15 4395 1789 N m Para uma velocidade síncrona de 1800 rpm temse ωm ns π30 1800 π30 60π rads e assim a respectiva potência pode ser calculada como Pmax ωmTmax 337 kW Problema prático 46repita o Exemplo 45 para um motor síncrono de dois polos e 60 HZ com comprimento de entreferro de 13 mm um diâmetro médio de entreferro de 22 cm e um comprimento axial de 41 cm O enrolamento do rotor tem 900 espiras e um fator de enrolamento de 0965 A corrente máxima de rotor é 22 A Solução Tmax 2585 N m e Pmax 975 kW Formas alternativas da equação de conjugado surgem quando se verifica que o fluxo resultante por polo é Φp valor médio de B em um poloárea do polo e que o valor médio de uma senoide no intervalo de meio comprimento de onda é 2π vezes o seu valor de pico Assim Φp 2π Bpico πDI polos 2DI polos Bpico onde Bpico é o valor de pico da respectiva onda de densidade de fluxo Por exemplo usando o valor de pico do fluxo resultante Bsr e substituindo a Equação 480 na Equação 481 obtemse T π2 polos2² ΦsrFr sen δr onde Φsr é o fluxo resultante por polo que é produzido pelo efeito combinado das FMMs do estator e do rotor Recapitulando temos agora diversas formas para expressar o conjugado de uma máquina de entreferro uniforme em termos de seus campos magnéticos Todas são Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 229 47 Conjugado em máquinas de polos não salientes O comportamento de qualquer dispositivo eletromagnético como componente de um sistema eletromecânico pode ser descrito em termos de suas equações de terminais elétricos e de seu deslocamento e de sua força ou conjugado eletromecânico O obje tivo desta seção é deduzir as relações de terminais e as equações de conjugado para uma máquina elementar ideal Os resultados podem ser facilmente estendidos depois para máquinas mais complexas Deduziremos essas equações desde dois pontos de vista e mostraremos que basicamente elas originamse das mesmas ideias O primeiro ponto de vista é essencialmente o mesmo da Seção 36 A máqui na será vista como um elemento de circuito cujas indutâncias dependem da posição angular do rotor O fluxo concatenado λ e a coenergia do campo magnético serão ex pressos em termos das correntes e indutâncias Então o conjugado pode ser encontra do a partir da derivada parcial da coenergia em relação à posição do rotor As tensões de terminal podem ser obtidas a partir da soma das quedas de tensão Ri nas resistên cias e das tensões da lei de Faraday dλdt O resultado será um conjunto de equações diferenciais não lineares que descrevem o desempenho dinâmico da máquina O segundo ponto de vista considera a máquina como dois grupos de enrolamen tos que produzem fluxo magnético no entreferro um grupo no estator e o outro no rotor Fazendo suposições adequadas em relação a esses campos similares às usadas para deduzir expressões analíticas para as indutâncias poderemos desenvolver ex pressões simples para o fluxo concatenado e a coenergia de entreferro em termos das grandezas de campo O conjugado e a tensão gerada podem ser encontrados então a partir dessas expressões Desse modo o conjugado poderá ser expresso explicita mente como a tendência de dois campos magnéticos a se alinhar do mesmo modo que ímãs permanentes tendem a se alinhar A tensão gerada poderá ser expressa em termos do movimento relativo entre um campo e um enrolamento Essas expressões levam a uma descrição física simples do comportamento normal das máquinas elétri cas em regime permanente 471 Ponto de vista de circuito acoplado Considere a máquina elementar de entreferro liso da Figura 431 com um enrolamen to no estator e um no rotor em que θm é ângulo mecânico entre os eixos dos dois en rolamentos Esses enrolamentos estão distribuídos por um determinado número de ranhuras de modo que suas ondas de FMM podem ser aproximadas por senoides es paciais Na Figura 431a os lados das bobinas s s e r r de estator e rotor mar cam as posições dos centros dos feixes de condutores que compreendem os enrola mentos distribuídos Outro modo de desenhar esses enrolamentos está mostrado na Figura 431b que também mostra os sentidos de referência para as tensões e as cor rentes Assumese aqui que uma corrente no sentido da seta produz um campo mag nético no entreferro também no sentido da seta de modo que uma única seta define os sentidos de referência para a corrente e o fluxo O estator e o rotor são cilindros concêntricos e as aberturas das ranhuras são desprezadas Consequentemente o nosso modelo elementar não inclui os efeitos dos N de T Nas próximas discussões adotaremos os índices r e s para indicar rotor e estator 230 Máquinas elétricas polos salientes que serão investigados em capítulos posteriores Supomos também que as relutâncias dos ferros do estator e do rotor são desprezíveis Finalmente em bora a Figura 431 mostre uma máquina de dois polos escreveremos as deduções seguintes para o caso geral de uma máquina de múltiplos polos substituindo θm pelo ângulo elétrico do rotor 456 Com base nessas suposições podese ver que as indutâncias próprias Lss e Lrr do estator e do rotor são constantes mas a indutância mútua entre o estator e o rotor depende do ângulo elétrico θme entre os eixos magnéticos dos enrolamentos do estator e do rotor A indutância mútua está em seu máximo positivo quando θme 0 ou 2π está em zero quando θme π2 e está em seu máximo negativo quando θme π Supondo ondas senoidais de FMM e um entreferro uniforme a distribuição espacial do fluxo de entreferro é senoidal e a indutância mútua será da forma Lsrθme Lsr cos θme 457 onde a letra manuscrita L denota uma indutância que é função do ângulo elétrico θme A letra maiúscula em itálico L denota um valor constante Assim Lsr é o valor da indutância mútua esse é seu valor quando os eixos magnéticos do estator e do rotor estão alinhados θme 0 Em termos de indutâncias os fluxos concatenados λs e λr do estator e do rotor são λs Lssis Lsrθmeir Lssis Lsr cos θmeir 458 λr Lsrθmeis Lrrir Lsr cos θmeis Lrrir 459 onde as indutâncias podem ser calculadas como no Apêndice B Em notação matricial 460 s r s r Eixo magnético de s Eixo magnético de r r s b a θm θm Figura 431 Máquina elementar de dois polos com entreferro liso a distribuição de enrola mentos e b representação esquemática Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 231 As tensões vs e vr dos terminais são 461 462 onde Rs e Rr são as resistências dos enrolamentos do estator e do rotor respectivamente Quando o rotor está girando θme varia com o tempo A diferenciação das Equa ções 458 e 459 e a substituição dos resultados nas Equações 461 e 462 levam a 463 464 onde 465 é a velocidade instantânea em radianos elétricos por segundo Em uma máquina de dois polos como a da Figura 431 θme e ωe são iguais aos valores instantâneos do ângulo θm no eixo e da velocidade ωm no eixo respectivamente Em uma máquina de múltiplos polos eles estão relacionados entre si por meio das Equações 456 e 43 Os segundos e terceiros termos nos segundos membros das Equações 463 e 464 são tensões induzi das Ldidt como as induzidas em circuitos estacionários acoplados tais como enrola mentos de transformadores Os quartos termos são causados pelo movimento mecânico e são proporcionais à velocidade instantânea São os termos das tensões de velocidade que correspondem à transferência de potência entre os sistemas elétrico e mecânico O conjugado eletromecânico pode ser obtido a partir da coenergia Usandose a Equação 370 temse 466 Observe que a coenergia da Equação 466 foi expressa especificamente em termos do ângulo no eixo θm porque a expressão do conjugado da Equação 368 exige que o conjugado seja obtido a partir da derivada da coenergia em relação ao ângulo espacial θm e não em relação ao ângulo elétrico θme Assim da Equação 368 467 onde T é o conjugado eletromecânico que atua acelerando o rotor isto é um conju gado positivo atua aumentando θm O sinal negativo na Equação 467 significa que o 232 Máquinas elétricas conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que leva os campos magnéticos do estator e do rotor ao alinhamento As Equações 463 464 e 467 são um conjunto de três equações que rela cionam as variáveis elétricas vs is vr ir com as variáveis mecânicas T e θm Essas equações junto com as restrições impostas às variáveis elétricas pelas redes co nectadas aos terminais fontes ou cargas e impedâncias externas e as restrições impostas ao rotor conjugados aplicados e conjugados inercial de atrito e elástico determinam o desempenho do dispositivo e as suas características como um dis positivo de conversão de energia entre os sistemas elétrico e mecânico externos Essas são equações diferenciais não lineares e são de difícil solução exceto em casos especiais Não estamos especialmente interessados em sua solução aqui Nós estamos usandoas meramente como degraus no desenvolvimento da teoria das máquinas rotativas Exemplo 46 Considere a máquina elementar de dois polos e dois enrolamentos da Figura 431 Seu eixo está acoplado a um dispositivo mecânico que pode absorver ou fornecer conjugado mecânico dentro de um amplo intervalo de velocidades Essa máquina pode ser conectada e operada de diversos modos Para esse exemplo vamos considerar a situação em que o enrolamento do ro tor é excitado com corrente contínua Ir e o enrolamento do estator é conectado a uma fonte CA que pode tanto absorver como fornecer potência elétrica Seja a corrente de estator is Is cos ωet onde t 0 é escolhido arbitrariamente como o momento em que a corrente de estator tem seu valor de pico a Deduza uma expressão para o conjugado magnético desenvolvido pela máquina quando a sua velocidade é variada Essa variação é controlada pelo dispositivo mecânico conec tado a seu eixo b Quando a frequência do estator é 60 Hz encontre a velocidade na qual é produzido um conjugado médio diferente de zero c Com as excitações que foram dadas para as fontes de corrente que tensões são induzidas nos enrolamentos de estator e de rotor na velocidade síncrona ωm ωe Solução a Da Equação 467 para uma máquina de dois polos T Lsrisir sen θm Para as condições dadas neste problema com θm ωmt δ T Lsr Is Ir cos ωet sen ωmt δ onde ωm é a velocidade angular em sentido horário aplicada ao rotor pelo aciona mento mecânico e δ é a posição angular do rotor em t 0 Usando uma identidade trigonométrica2 temos 2 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 233 O conjugado consiste em dois termos senoidais variáveis no tempo de frequên cias ωm ωe e ωm ωe Como foi mostrado na Seção 45 uma corrente CA aplicada ao enrolamento monofásico do estator de dois polos da máquina da Figura 431 cria duas ondas de fluxo uma deslocandose no sentido de θm positivo com velocidade angular ωe e a segunda no sentido de θm negativo também com velocidade angular ωe É da interação do rotor com essas duas ondas de fluxo que resultam as duas componentes da expressão do conjugado b Exceto quando ωm ωe o conjugado médio em um intervalo de tempo suficientemen te longo é zero Entretanto quando ωm ωe o rotor está girando em sincronismo com a onda de fluxo de estator que se desloca em sentido positivo e o conjugado tornase O primeiro termo do seno é um componente de frequência dupla cujo valor médio é zero O segundo termo é o conjugado médio Um conjugado médio diferente de zero também será produzido quando ωm ωe o que simplesmente significa rotação em sentido antihorário o rotor está se deslocando agora em sincronismo com a onda de fluxo do estator que se desloca em sentido negativo Tratase de uma máquina síncrona monofásica ideal Com uma frequência de es tator de 60 Hz produzirá um conjugado médio diferente de zero de ωm ωe 2π60 rads correspondendo a velocidades de 3600 rpm como se pode ver na Equação 444 c A partir dos segundo e quarto termos da Equação 463 com θe θm ωmt δ a tensão induzida no estator quando ωm ωe é es ωeLss Is sen ωet ωeLsr Ir sen ωet δ A partir dos terceiro e quarto termos da Equação 464 a tensão induzida no rotor é A componente de rotação retrógrada do fluxo no estator induz uma tensão de frequência dupla no rotor ao passo que a componente de rotação progressiva que está girando em sincronismo com o rotor aparece como um fluxo CC ao rotor e consequentemente não induz tensão no enrolamento do rotor Agora considere uma máquina de entreferro uniforme com diversos enrola mentos de estator e rotor Os mesmos princípios gerais que se aplicam ao modelo elementar da Figura 431 aplicamse também à máquina de múltiplos enrolamentos As indutâncias próprias e mútuas entre pares de enrolamentos do mesmo lado do entreferro são constantes supondose um entreferro uniforme e saturação magné tica desprezível Entretanto as indutâncias mútuas entre pares de enrolamentos de estator e rotor variam proporcionalmente ao cosseno do ângulo entre os seus eixos magnéticos O conjugado resulta da tendência do campo magnético dos enrolamentos do rotor a se alinhar com o campo magnético dos enrolamentos do estator Pode ser expresso pela soma de termos como o da Equação 467 234 Máquinas elétricas Exemplo 47 Considere uma máquina síncrona trifásica de quatro polos com um entreferro uniforme Supo nha que as indutâncias próprias e mútuas do enrolamento de armadura sejam constantes Laa Lbb Lcc Lab Lbc Lca Do mesmo modo assuma que a indutância própria Lf do enrolamento de campo é cons tante ao passo que as indutâncias mútuas entre o enrolamento de campo e os três enrolamentos de fase da armadura variam com o ângulo θm entre os eixos magnéticos do enrolamento de campo e o da fase a Mostre que quando o campo é excitado com corrente constante If e a armadura é excita da com correntes trifásicas equilibradas da forma então o conjugado será constante se o rotor girar na velocidade síncrona como dado pela Equação 442 Solução O conjugado pode ser calculado a partir da coenergia como foi descrito na Seção 36 Essa máquina em especial é um sistema de quatro enrolamentos Assim a coenergia consistirá em quatro termos envolvendo metade da indutância própria multiplicada pelo quadrado da respec tiva corrente de enrolamento assim como termos de produtos que consistem em indutâncias mútuas entre pares de enrolamentos multiplicadas pelas respectivas correntes de enrolamento Observando que apenas os termos que envolvem as indutâncias mútuas entre o enrolamento de campo e os três enrolamentos de fase da armadura conterão termos que variam com θm pode mos escrever a coenergia na forma termos constantes termos constantes termos constantes O conjugado pode ser encontrado agora a partir da derivada parcial de Wcmp em relação a θm Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 235 Dessa expressão vemos que o conjugado será constante quando o rotor girar na velocidade síncrona ωs tal que Nesse caso o conjugado será igual a T 3Laf Ia If sen δ Observe que diferentemente do caso da máquina monofásica do Exemplo 46 o conjugado dessa máquina trifásica operando na velocidade síncrona sob condições trifá sicas equilibradas é constante Como vimos isso é devido ao fato de que a onda de FMM do estator consiste em uma única onda de fluxo girante ao contrário do caso monofásico em que a corrente de fase do estator produz duas ondas de fluxo uma progressiva e outra retrógrada Essa onda de fluxo retrógrada não está em sincronismo com o rotor e portanto é responsável pela componente de conjugado variável no tempo de frequência dupla vista no Exemplo 46 Problema prático 45 Para a máquina de quatro polos do Exemplo 47 encontre a velocidade síncrona na qual um conjugado constante será produzido se as correntes do rotor forem da forma Solução ωs ωe 2 No Exemplo 47 encontramos que sob condições equilibradas uma máquina síncrona de quatro polos produz conjugado constante na velocidade angular de rota ção igual à metade da frequência elétrica de excitação Esse resultado pode ser ge neralizado para mostrar que sob condições equilibradas de operação uma máquina síncrona multifásica e de múltiplos polos produzirá conjugado constante na velocida de de rotor em que este gira em sincronismo com a onda girante de fluxo produzida pelas correntes do estator Por isso ela é conhecida como velocidade síncrona da máquina Das Equações 442 e 444 a velocidade síncrona é igual a ωs 2polosωe em rads ou ns 120polos fe em rpm 472 Ponto de vista do campo magnético Na discussão da Seção 471 as características de uma máquina rotativa vista de seus terminais elétricos e mecânicos foram expressas em termos de suas indutâncias de en rolamento Esse ponto de vista dá pouco insight dos fenômenos físicos que ocorrem dentro da máquina Nesta seção exploraremos uma formulação alternativa em termos dos campos magnéticos interatuantes 236 Máquinas elétricas Como vimos as correntes nos enrolamentos do rotor e do estator produzem dis tribuições de FMM que por sua vez produzem campos magnéticos na máquina As on das de FMM de rotor e estator estão mostradas esquematicamente na Figura 432a para uma máquina de dois polos com um entreferro liso O conjugado é produzido pela ten dência dos respectivos campos magnéticos do rotor e do estator a alinhar mutuamente os seus eixos magnéticos Uma visão física útil é que essa situação é muito semelhante à de duas barras magnéticas fixadas em seus centros no mesmo eixo Haverá um con jugado proporcional ao deslocamento angular das barras magnéticas que atuará de modo a alinhálas Na máquina da Figura 432a o conjugado é proporcional ao produto das amplitudes das ondas de FMM do estator e do rotor e é também uma função do ân gulo δsr medido desde o eixo da onda de FMM do estator até a do rotor De fato mos traremos que em uma máquina de entreferro liso o conjugado é proporcional a sen δsr Em uma máquina comum a maioria do fluxo produzido pelos enrolamentos de estator e rotor cruzam o entreferro e acoplam ambos os enrolamentos Isso é deno minado fluxo mútuo em analogia direta com o fluxo mútuo ou de magnetização de um transformador Entretanto uma parte do fluxo produzido pelos enrolamentos do rotor e do estator não cruzam o entreferro em analogia ao fluxo de dispersão de um transformador Esses componentes de fluxo são conhecidos como fluxo de dispersão do rotor e fluxo de dispersão do estator Os componentes desse fluxo de dispersão incluem fluxos dispersivos de ranhura e de topo de dente fluxo dispersivo de cabeça de espira e harmônicas espaciais no campo de entreferro Apenas o fluxo mútuo é de interesse direto para a produção de conjugado En tretanto os fluxos de dispersão afetam de fato o desempenho das máquinas devido às tensões que eles induzem em seus respectivos enrolamentos Seus efeitos sobre as ca racterísticas elétricas são explicados por meio de indutâncias de forma análoga ao uso da inclusão de indutâncias de dispersão nos modelos de transformadores do Capítulo 2 Quando se expressa o conjugado em termos de correntes de enrolamento ou de suas respectivas FMMs as expressões resultantes não incluem termos que contêm indutâncias de dispersão Nossa análise aqui será então em termos do fluxo mútuo resultante Desenvolveremos uma expressão para a coenergia magnética armazenada no entreferro em termos das FMMs de estator e rotor e do ângulo δsr entre seus eixos Fr Fr Fs Fs Fsr δsr δsr δs δr Estator Rotor Fr sen δsr Fsr sen δs Fs sen δsr Fsr sen δr b a Figura 432 Máquina de dois polos simplificada a modelo elementar e b diagrama veto rial das ondas de FMM O conjugado é produzido pela tendência ao alinhamento mútuo dos campos magnéticos do rotor e do estator Observe que essas figuras são desenhadas com δsr positivo isto é com a onda de FMM Fr do rotor à frente da Fs do estator Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 237 magnéticos O conjugado pode então ser obtido a partir da derivada parcial da coener gia em relação ao ângulo δsr Para simplificar a análise iremos supor que o comprimento radial g do entre ferro o espaço livre entre o rotor e o estator seja pequeno quando comparado com o raio do rotor ou do estator Em uma máquina com entreferro liso construída com aço elétrico de permeabilidade magnética elevada é possível mostrar que resultará um fluxo de entreferro orientado basicamente em forma radial e que há uma diferença relativamente pequena entre as densidades de fluxo na superfície do rotor na super fície do estator ou a qualquer distância radial intermediária no entreferro O campo no entreferro pode então ser representado como um campo radial Hg ou Bg cuja in tensidade varia com o ângulo ao redor da periferia A integral de linha de Hg através do entreferro é então simplesmente Hgg e é igual à FMM resultante Fsr de entreferro produzida pelos enrolamentos de estator e rotor assim Hgg Fsr 468 onde o F manuscrito denota a onda de FMM em função do ângulo ao redor da periferia As ondas de FMM do estator e do rotor são ondas senoidais espaciais nas quais δsr é o ângulo de fase entre seus eixos magnéticos em graus elétricos Elas podem ser representadas pelos vetores espaciais Fs e Fr desenhados ao longo dos eixos magnéti cos das ondas de FMM do estator e do rotor respectivamente como na Figura 432b A FMM resultante que atua produzindo fluxo através do entreferro é a sua soma vetorial representada pelo vetor espacial Fsr Da fórmula trigonométrica da diagonal de um paralelogramo o valor de pico é obtido de 469 em que os Fs são os valores de pico das ondas de FMM O campo radial resultante Hg é uma onda senoidal espacial cujo valor de pico Hgpico é da Equação 468 470 Agora considere a coenergia do campo magnético armazenada no entreferro Da Equação 349 a densidade de coenergia em um ponto onde a intensidade de campo magnético é H é μ02H2 em unidades do SI Assim a densidade média de coenergia em todo o volume do entreferro é μ02 vezes o valor médio de Hg2 O valor médio do quadrado de uma onda senoidal é a metade de seu valor de pico Assim 471 Com base na aproximação para entreferro delgado o volume do entreferro é dado por π Dlg onde l é o comprimento axial do entreferro e D é seu diâmetro médio A coenergia total pode ser encontrada multiplicando a densidade de coenergia média pelo volume do entreferro Portanto 472 238 Máquinas elétricas Da Equação 469 a coenergia armazenada no entreferro pode ser expressa ago ra em termos das amplitudes de pico das ondas de FMM de estator e rotor e do ângulo de fase espacial entre elas assim 473 Considerando que manter uma FMM constante é equivalente a manter uma corrente constante uma expressão para o conjugado eletromecânico T pode ser ob tida agora em termos dos campos magnéticos interatuantes calculandose a deri vada parcial da coenergia do campo em relação ao ângulo Para uma máquina de dois polos 474 A expressão genérica para o conjugado de uma máquina de múltiplos polos é 475 Nessa equação δsr é o ângulo elétrico de fase espacial entre as ondas de FMM do rotor e do estator O conjugado T atua no sentido de acelerar o rotor Assim quando δsr é negativo o conjugado é positivo atuando em um sentido que acelera o rotor e a máquina está funcionando como motor De modo semelhante um valor positivo de δsr corresponde a um conjugado negativo que tende a desacelerar o rotor como é o caso quando a máquina está operando como gerador Essa importante equação afirma que o conjugado é proporcional aos valores de pico das ondas de FMM Fs e Fr do estator e do rotor e ao seno do ângulo elétrico de fase espacial δsr entre elas Conjugados iguais e opostos são exercidos sobre o estator e o rotor O sinal negativo significa que os campos tendem a se alinhar mutuamente Agora podese comparar os resultados da Equação 475 com os da Equação 467 Considerando que Fs é proporcional a is e Fr é proporcional a ir podese ver que são semelhantes na forma De fato eles devem ser iguais como pode ser verificado substituindose Fs Fr Seção 431 e Lsr Apêndice B por expressões apropriadas Observe que esses resultados foram deduzidos supondo que a relutância do ferro fosse desprezível No entanto as duas técnicas são igualmente válidas para uma per meabilidade finita do ferro Referindose à Figura 432b podese ver que Fr sen δsr é a componente da onda Fr em quadratura espacial elétrica com a onda Fs De modo semelhante Fs sen δsr é a componente da onda Fs em quadratura com a onda Fr Assim o conjugado é pro porcional ao produto de um campo magnético vezes a componente do outro em qua dratura consigo muito semelhante ao produto vetorial da análise vetorial Observe também que na Figura 432b Fs sen δsr Fsr sen δr 476 e Fr sen δsr Fsr sen δs 477 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 239 onde como visto na Figura 432 δr é o ângulo medido desde o eixo da onda de FMM resultante até o eixo da onda de FMM do rotor De modo semelhante δs é o ângulo me dido desde o eixo da onda de FMM do estator até o eixo da onda de FMM resultante O conjugado que atua acelerando o rotor pode então ser expresso em termos da onda de FMM resultante Substituindose a Equação 476 ou a Equação 477 na Equação 475 temos 478 479 A comparação das Equações 475 478 e 479 mostra que o conjugado pode ser ex presso em termos dos campos magnéticos componentes devidos a cada corrente iso ladamente como na Equação 475 ou em termos do campo resultante e de qualquer um dos componentes como nas Equações 478 e 479 desde que usemos o respectivo ângulo entre os eixos dos campos A capacidade de pensar em qualquer uma dessas formas é útil na análise de máquinas Nas Equações 475 478 e 479 os campos foram expressos em termos dos valo res de pico de suas ondas de FMM Quando se despreza a saturação magnética os cam pos podem naturalmente ser expressos em termos dos valores de pico de suas ondas de densidade de fluxo ou em termos do fluxo total por polo Assim o valor de pico Bg de campo devido a uma onda de FMM distribuída senoidalmente em um entreferro unifor me de máquina é μ0Fgpicog onde Fgpico é o valor de pico da onda de FMM Por exem plo a FMM resultante Fsr produz uma onda de densidade de fluxo resultante cujo valor de pico é Bsr μ0Fsrg Assim Fsr gBsrμ0 e substituindo na Equação 479 obtémse 480 Uma das limitações inerentes ao projeto de aparelhos eletromagnéticos é a densidade de fluxo de saturação dos materiais magnéticos Devido à saturação nos dentes da armadura o valor de pico Bsr da onda de densidade de fluxo resultante no entreferro é limitado a cerca de 15 a 20 T O valor máximo admissível para a corren te de enrolamento e consequentemente a respectiva onda de FMM é limitado pela elevação de temperatura do enrolamento e por outros requisitos de projeto Como a densidade de fluxo resultante e a FMM aparecem explicitamente na Equação 480 essa equação está em uma forma conveniente aos propósitos de projeto Ela pode ser usada para estimar o conjugado máximo que é possível obter de uma máquina de um determinado tamanho Exemplo 48 Um motor síncrono de quatro polos operando a 1800 rpm e 60 Hz tem um entreferro de 12 mm O diâmetro médio do entreferro é 27 cm e seu comprimento axial é 32 cm O enrolamen to do rotor tem 786 espiras e um fator de enrolamento de 0976 Supondo que razões térmicas limitam a corrente do rotor a 18 A estime o conjugado e a potência de saída máximos que se pode esperar dessa máquina Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 241 simplesmente expressões de que o conjugado é proporcional ao produto dos valores dos campos interatuantes e ao seno do ângulo espacial elétrico entre os seus eixos magnéticos O sinal negativo indica que o conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que a distância angular entre os campos diminui Em nossa discussão pre liminar dos tipos de máquinas a Equação 483 será a forma preferida Além disso podese fazer um outro comentário relativo às equações de conju gado e ao processo de raciocínio que leva a elas Durante a dedução não houve res trições em relação a manter as ondas de FMM ou de densidade de fluxo estacionárias no espaço Elas podem permanecer estacionárias ou serem ondas progressivas como foi discutido na Seção 45 Como vimos se os campos magnéticos do estator e do ro tor forem constantes em amplitude e se deslocarem ao redor do entreferro na mesma velocidade um conjugado constante será produzido pela tendência dos campos do es tator e do rotor a se alinharem mutuamente de acordo com as equações do conjugado 48 Máquinas lineares Em geral cada um dos tipos de máquinas discutidos neste livro pode ser produzido em versões lineares além das versões rotativas que normalmente são encontradas e que serão discutidas de forma ampla nos próximos capítulos De fato pela clareza de discussão muitos dos tipos de máquinas discutidos neste livro são desenhados em suas formas desenvolvidas ou planificadas coordenadas cartesianas tal como na Figura 416b Os motores lineares podem ser encontrados em alguns sistemas de transporte É comum o estator CA estar no veículo em movimento e um rotor estacionário condutor constituir os trilhos Nesses sistemas além de propiciar a propulsão as cor rentes induzidas nos trilhos podem ser usadas para propiciar levitação oferecendo assim um mecanismo de transporte a alta velocidade sem as dificuldades associadas com as interações que ocorrem entre as rodas e os trilhos no transporte mais conven cional efetuado com trilhos Os motores lineares também encontraram aplicação na indústria de máquinasferramentas e em robótica onde o movimento linear neces sário ao posicionamento e à operação de manipuladores robóticos é um requisito co mum Além disso máquinas alternativas recíprocas lineares estão sendo construídas para o acionamento de compressores e alternadores recíprocos A análise de máquinas lineares é muito similar à das máquinas rotativas Em geral dimensões e distâncias lineares substituem as angulares e forças substituem os conjugados Com essas exceções as expressões para os parâmetros de máquina são desenvolvidas de modo análogo aos apresentados aqui para as máquinas rotativas e os resultados são semelhantes em forma Considere o enrolamento linear mostrado na Figura 433 Esse enrolamento consistindo em N espiras por ranhura e conduzindo uma corrente i é diretamente análogo ao enrolamento circular mostrado em forma plana na Figura 422 De fato a única diferença é a substituição de uma dependência de posição angular θa por uma dependência de posição linear z A componente fundamental da onda de FMM da Figura 433 pode ser encontra da diretamente da Equação 414 considerando que esse enrolamento tem um compri mento de onda igual a β e que a componente fundamental dessa onda de FMM varia 242 Máquinas elétricas de acordo com cos 2π zβ Assim substituindo o ângulo θa na Equação 414 por 2π zβ poderemos obter a componente fundamental da onda de FMM diretamente como 484 Se uma máquina real tiver um enrolamento distribuído similar a seu equiva lente circular mostrado na Figura 417 consistindo em um total de Nfase espiras dis tribuídas em polos2 períodos ao longo de z isto é em um comprimento de β polos2 a componente fundamental de Hg pode ser encontrada por analogia com a Equação 416 como 485 onde kenr é o fator de enrolamento De modo análogo à discussão da Seção 452 um enrolamento trifásico linear pode ser construído a partir de três enrolamentos como os da Figura 428 Cada fase está deslocada em posição a uma distância β3 e as fases são excitadas por correntes trifásicas equilibradas de frequência angular ωe ia Ipico cos ωet 486 ib Ipico cos ωet 120 487 ic Ipico cos ωet 120 488 β Ni 2 Ni 2 Fg Fg1 fundamental g z Hg1 fundamental Fg1 fundamental FMM β2 β2 Ni 2 0 0 Ni 2 Ni 2g Ni 2g z Hg a b β β2 β2 Figura 433 A FMM e o campo H de um enrolamento linear concentrado de passo pleno Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 243 Seguindo o desenvolvimento das Equações 428 até 440 podemos ver que ha verá uma única FMM progressiva positiva que pode ser escrita diretamente da Equa ção 440 apenas substituindo θa por 2πzβ obtendose 489 onde Fmax é dada por 490 Da Equação 489 podemos ver que o resultado é uma onda de FMM que se desloca na direção z com uma velocidade linear 491 onde fe é a frequência de excitação em hertz Da Eq 489 e usando a Eq 413 podemos encontrar a densidade de fluxo fun damental no entreferro 492 onde 493 Exemplo 49 Um motor linear CA trifásico tem um enrolamento com um comprimento de onda de β 05 m e um entreferro com 10 cm de comprimento Um total de 48 espiras com um fator de enrolamento kenr 092 é distribuído em um comprimento total de enrolamento de 3β 15 m polos 6 Suponha que os enrolamentos sejam excitados com correntes trifásicas equilibradas de amplitude de pico de 700 A e frequência de 25 Hz Calcule a a amplitude da componente fundamental da onda de FMM resultante b a amplitude da respectiva densidade de fluxo no entreferro e c a velocidade dessa onda progressiva de FMM Solução a Das Equações 489 e 490 a amplitude da componente fundamental da onda de FMM resultante é 244 Máquinas elétricas b A amplitude da respectiva onda de densidade de fluxo é c Finalmente a velocidade da onda progressiva pode ser determinada a partir da Equa ção 491 v feβ 25 05 125 ms Problema prático 47 Um motor linear síncrono trifásico tem um comprimento de onda de 093 m Observase que ele se desloca a uma velocidade de 83 kmh Calcule a frequência da excitação elétrica neces sária nessas condições de operação Solução f 248 Hz As máquinas lineares não são discutidas de forma específica neste livro No entanto recomendase que o leitor verifique que os fundamentos de seus desempe nho e análise correspondem diretamente a seus equivalentes rotativos Uma diferença maior entre esses dois tipos de máquinas é que as máquinas lineares têm efeitos de extremidade correspondendo aos campos magnéticos que se dispersam do entrefer ro à frente e atrás da máquina Esses efeitos estão além do escopo deste livro e foram tratados em detalhe na literatura já publicada3 49 Saturação magnética As características das máquinas elétricas dependem muito do uso de materiais mag néticos Esses materiais são necessários para formar o circuito magnético e são usa dos pelos projetistas de máquinas para obter as características específicas das má quinas Como vimos no Capítulo 1 os materiais magnéticos estão abaixo do ideal À medida que o fluxo magnético é aumentado eles começam a saturar com o resultado de que suas permeabilidades magnéticas começam a diminuir assim como a sua efe tividade em contribuir à densidade de fluxo total da máquina O conjugado eletromecânico e a tensão gerada em todas as máquinas depen dem dos fluxos concatenados em seus enrolamentos Para FMMs específicas nos enrolamentos os fluxos dependem das relutâncias das partes de ferro dos circuitos magnéticos e das relutâncias dos entreferros Portanto a saturação pode influenciar significativamente as características das máquinas 3 Veja por exemplo S Yamamura Theory of Linear Induction Motors 2ª edição Halsted Press 1978 Também S Nasar e I Boldea Linear Electric Motors Theory Design and Practical Applications Pren ticeHall 1987 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 245 Outro aspecto da saturação mais sutil e mais difícil de ser avaliado sem compa rações experimentais e teóricas relacionase com a sua influência sobre as premissas básicas a partir das quais a abordagem analítica das máquinas é desenvolvida Especi ficamente as relações envolvendo a FMM de entreferro baseiamse em geral na supo sição de que a relutância do ferro é desprezível Quando essas relações são aplicadas às máquinas na prática com graus variados de saturação no ferro erros significativos nos resultados das análises podem ser esperados Para aperfeiçoar tais relações em uma abordagem analítica a máquina real pode ser substituída por uma máquina equi valente cujo ferro tem relutância desprezível mas cujo entreferro é aumentado sufi cientemente para absorver a queda de potencial magnético no ferro da máquina real Do mesmo modo aumentando o comprimento efetivo do entreferro também po dem ser incorporados os efeitos das não uniformidades de entreferro como as de ranhu ras e condutos de ventilação No final essas diversas técnicas de aproximação devem ser verificadas e confirmadas experimentalmente Nos casos em que se constata que essas técnicas simples não são adequadas podem ser usadas análises detalhadas como as que empregam elementos finitos ou outras técnicas numéricas Muitas vezes o uso dessas técnicas representa um aumento significativo da complexidade da modelagem As características de saturação das máquinas rotativas são apresentadas na for ma de uma característica de circuito aberto ou a vazio também denominada curva de magnetização ou curva de saturação Para uma máquina síncrona a curva de sa turação de circuito aberto é obtida operando a máquina com velocidade constante e medindo a tensão de armadura com circuito aberto em função da corrente de campo Uma curva de saturação comum de circuito aberto para uma máquina síncrona tem a forma mostrada na Figura 434 A natureza dessa curva é determinada pela geometria da máquina em análise e também pela característica de magnetização do aço elétrico usado na máquina A linha reta tangente à porção inferior da curva é a linha de en treferro correspondendo aos níveis baixos de densidade de fluxo dentro da máquina Nessas condições a relutância do ferro da máquina é normalmente desprezível e a FMM necessária para excitar a máquina é simplesmente a necessária para superar a relutância do ar Se não fosse pelos efeitos de saturação a linha de entreferro e a característica de circuito aberto iriam coincidir Assim quando a corrente de campo Linha de entreferro Característica de circuito aberto Excitação de campo em ampèresespiras ou em ampères de campo Tensão de circuito aberto Figura 434 Curva característica típica de circuito aberto ou a vazio e a linha de entreferro 246 Máquinas elétricas é aumentada o afastamento entre a curva e a linha de entreferro é uma indicação do grau de saturação na máquina Em máquinas comuns na tensão nominal a razão entre a FMM total e a requerida apenas pelo entreferro habitualmente está entre 11 e 125 Na fase de projeto a característica de circuito aberto pode ser calculada usan do técnicas como a análise de elementos finitos Uma solução comum de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor do polo de uma máquina de polos salien tes está mostrada na Figura 435 A distribuição do fluxo de entreferro obtida nessa solução juntamente com as componentes fundamental e de terceira harmônica está mostrada na Figura 436 Além dos efeitos de saturação a Figura 436 ilustra claramente o efeito de um entreferro não uniforme Como esperado a densidade de fluxo ao redor da face polar onde o entreferro é pequeno é muito mais elevada que nas regiões mais afastadas do polo Esse tipo de análise detalhada é de grande utilidade para um projetista obter propriedades específicas para a máquina Como vimos a curva de magnetização de uma máquina síncrona existente pode ser determinada operando a máquina como um gerador sem carga e medindo os valores da tensão nos terminais correspondendo a uma série de valores de corrente de campo No caso de um motor de indução a máquina opera na ou em torno da velocidade sín crona caso em que uma corrente muito baixa será induzida nos enrolamentos do rotor e a corrente de estator é medida em função da tensão nos terminais de estator A curva de magnetização é obtida plotando a tensão de estator em função da corrente de estator Enfatizamos que a saturação em uma máquina totalmente sob carga ocorre como resultado da FMM total que atua no circuito magnético Como a distribuição de fluxo sob carga é em geral diferente de quando não há carga os detalhes das características de saturação da máquina podem ser diferentes da curva de circuito aberto da Figura 434 Polo saliente Face polar Fluxo mútuo ou de entreferro Superfície lisa de armadura equivalente Enrolamento de campo Fluxo dispersivo Figura 435 Solução de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor de um polo saliente Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 247 410 Fluxos dispersivos Na Seção 24 mostramos que em um transformador de dois enrolamentos o fluxo cria do por cada enrolamento pode ser decomposto em dois componentes Um componente consiste no fluxo que concatena ambos os enrolamentos e o outro consiste no fluxo que concatena apenas o enrolamento que cria o fluxo O primeiro componente denominado fluxo mútuo é responsável pelo acoplamento das duas bobinas O segundo conhecido como fluxo dispersivo contribui apenas à indutância própria de cada bobina Observe que o conceito de fluxos mútuo e dispersivo é significativo apenas no contexto de sistemas de múltiplos enrolamentos Para sistemas de três ou mais enro lamentos a contabilidade deve ser feita com muito cuidado Considere por exemplo o sistema de três enrolamentos da Figura 437 Os vários componentes de fluxo cria dos por uma corrente no enrolamento 1 estão mostrados esquematicamente Aqui ϕ123 é claramente um fluxo mútuo que concatena os três enrolamentos e ϕ1l é clara mente um fluxo dispersivo associado ao enrolamento 1 porque ele concatena apenas o enrolamento 1 Entretanto ϕ12 é um fluxo mútuo em relação ao enrolamento 2 apesar de ser fluxo dispersivo em relação ao enrolamento 3 ao passo que ϕ13 é fluxo mútuo em relação ao enrolamento 3 e fluxo dispersivo em relação ao enrolamento 2 Em geral as máquinas elétricas contêm sistemas de múltiplos enrolamentos exigindo uma contabilidade cuidadosa para explicar as contribuições de fluxo dos vários enrolamentos Embora os detalhes de tal análise estejam além do escopo deste livro é útil discutir esses efeitos de modo qualitativo e descrever como afetam as indutâncias básicas da máquina Fluxos de harmônicas espaciais no entreferro Neste capítulo vimos que embora bobinas simples distribuídas produzam fluxo de entreferro com uma quantidade sig N de T Relembrando o índice l referese a dispersão leakage em inglês Distribuição de densidade de fluxo Componente fundamental Componente de terceira harmônica Linha central do polo Figura 436 Onda de densidade de fluxo correspondente à Figura 435 com suas componen tes fundamental e de terceira harmônica 248 Máquinas elétricas nificativa de conteúdo harmônico espacial é possível distribuir esses enrolamentos de modo que a componente fundamental espacial seja enfatizada ao passo que os efeitos das harmônicas sejam muito reduzidos Como resultado podemos desprezar os efeitos das harmônicas e considerar apenas os fluxos fundamentais espaciais nas expressões de indutâncias própria e mútua das Equações B24 e B25 Mesmo que muitas vezes sejam pequenas as componentes harmônicas espaciais existem de fato Em máquinas CC elas constituem fluxos úteis produtores de conjuga do e portanto podem ser contabilizadas como fluxo mútuo entre os enrolamentos do rotor e do estator Em máquinas CA entretanto elas podem gerar tensões harmônicas no tempo ou ondas de fluxo que giram assincronamente Em geral esses efeitos não po dem ser incluídos de modo rigoroso na maioria das análises comuns No entanto con sistente com as suposições básicas dessas análises podese considerar que esses fluxos formam uma parte do fluxo dispersivo dos enrolamentos individuais que os produzem Fluxo dispersivo de ranhura A Figura 438 mostra o fluxo criado por um único lado de uma bobina em uma ranhura Observe que além do fluxo que cruza o entreferro contribuindo para o fluxo de entreferro há componentes de fluxo que atravessam a ranhura Em uma ranhura contendo bobinas de uma única fase esse fluxo concatena I1 λ1 λ2 λ3 ϕ1l ϕ12 ϕ13 ϕ123 Bobina 1 Bobina 2 Bobina 3 Figura 437 Sistema de três bobinas mostrando os componentes de fluxos mútuo e dispersi vo produzidos pela corrente na bobina 1 Entreferro Lado da bobina conduzindo corrente para dentro do papel Figura 438 Fluxo criado por um lado de uma bobina em uma ranhura Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 249 apenas a bobina que o está produzindo Ele também constitui um componente da indutância de dispersão do enrolamento que o produz Em outros casos bobinas de duas fazes compartilham uma única ranhura e parte do fluxo da ranhura é mútuo entre as fases Entretanto como esse fluxo não cruza o entreferro ele permanece fluxo dispersivo em relação a qualquer enrolamento do rotor Fluxo de cabeça de espira A Figura 439 mostra as terminações cabeças dos enro lamentos do estator em uma máquina CA A distribuição do campo magnético criada pelas cabeças das espiras é extremamente complexa Em geral esses fluxos não con tribuem para o fluxo mútuo útil entre o rotor e o estator e desse modo contribuem também para a indutância de dispersão A partir dessa discussão vemos que a expressão da indutância própria da Equa ção B24 deve em geral ser modificada com um termo adicional Ll que representa a indutância de dispersão do enrolamento Essa indutância de dispersão corresponde diretamente à indutância de dispersão de um enrolamento de transformador como foi discutido no Capítulo 1 Embora a indutância de dispersão seja muitas vezes difícil de calcular analiticamente e deva ser determinada por técnicas aproximativas ou empíri cas ela representa um papel importante no desempenho das máquinas 411 Resumo Este capítulo apresenta uma descrição breve e elementar dos três tipos básicos de máquinas rotativas síncrona de indução e de corrente contínua Em todas elas os Figura 439 Vista da extremidade do estator de um gerador a turbina de 165 kV 275 MVA e 3600 rpm Foto cortesia da empresa Siemens onde φR fluxo resultante por polo no entreferro Ff FMM do enrolamento CC de campo δRF ângulo de fase elétrica entre os eixos magnéticos de φR e Ff O sinal negativo da Eq 483 foi omitido mas fica subentendido que o conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que os campos interatuantes são alinhados entre si Em operação normal e em regime permanente o conjugado eletromecânico contrabalança o conjugado mecânico aplicado ao eixo Em um gerador o conjugado da máquina motriz atua no sentido de rotação do rotor impulsionando a onda de FMM do rotor à frente do fluxo de entreferro resultante O conjugado eletromecânico se opõe e se entoa à rotação A situação oposta ocorre em um motor síncrono em que o conjugado eletromecânico atua no sentido da rotação opondose ao conjugado resistente da carga mecânica sobre o eixo Variações no conjugado eletromecânico resultam em variações correspondentes no ângulo de conjugado δRF como se vê na Eq 51 Essa relação está mostrada na forma de uma curva de conjugado versus ângulo na Figura 51 onde a corrente de campo FMM de rotor e o fluxo resultante no entreferro são considerados constantes Valores positivos de conjugado representam ação geradora correspondendo a valores positivos de δRF para os quais a onda de FMM do rotor está adiantada em relação ao fluxo resultante de entreferro 250 Máquinas elétricas princípios básicos são essencialmente os mesmos As tensões são geradas pelo movi mento de um campo magnético relativo a um enrolamento e os conjugados são produ zidos pela interação dos campos magnéticos dos enrolamentos do estator e do rotor As características dos diversos tipos de máquinas são determinadas pelos métodos de conexão e excitação dos enrolamentos mas os princípios básicos são similares As ferramentas analíticas básicas para o estudo das máquinas rotativas são as equações das tensões geradas e do conjugado eletromecânico Em conjunto elas ex primem o acoplamento entre os sistemas elétrico e mecânico Para desenvolver uma teoria quantitativa razoável sem a confusão que provém de detalhes demasiados fize mos diversas aproximações simplificadoras No estudo das máquinas CA adotamos variações senoidais no tempo para as tensões e correntes e ondas senoidais espaciais para a densidade de fluxo no entreferro e FMM no entreferro Ao examinar a FMM produzida pelos enrolamentos CA distribuídos constatamos que a componente fun damental espacial é a mais importante Por outro lado nas máquinas CC a FMM do enrolamento de armadura aproximase mais de uma onda dente de serra No estudo preliminar deste capítulo entretanto adotamos distribuições senoidais de FMM para ambas as máquinas CA e CC No Capítulo 7 examinaremos essa abordagem com mais profundidade para o caso de máquinas CC Da lei de Faraday resulta a Equação 452 da tensão eficaz gerada no enrolamento de uma máquina CA e a Equação 455 da tensão média gerada entre as escovas de uma máquina CC Ao examinar a onda de FMM de um enrolamento trifásico constatamos que cor rentes trifásicas equilibradas produzem um campo magnético de amplitude constante no entreferro girando na velocidade síncrona como mostrado na Figura 428 e na Equação 441 A importância desse fato não pode ser subestimada pois significa que é possível operar tais máquinas tanto motores como geradores sob condições de conjugado cons tante e consequentemente de potência elétrica constante como é discutido no Apêndice A eliminado o conjugado de frequência dobrada variável no tempo e inerente às má quinas monofásicas Por exemplo imagine um gerador monofásico de multimegawatts a 60 Hz sujeito a um conjugado instantâneo pulsante com potência de multimegawatts a 120 Hz A descoberta de que enrolamentos polifásicos podem produzir campos girantes levou à invenção do motor de indução polifásico simples robusto confiável e de partida própria que será analisado no Capítulo 6 Um motor de indução monofásico não inicia sozinho ele necessita de um enrolamento auxiliar como se mostra no Capítulo 9 Em máquinas monofásicas ou em máquinas polifásicas que operam sob condi ções desequilibradas a componente girante retrógrada da onda de FMM da armadura induz correntes e perdas na estrutura do rotor Assim a operação de máquinas polifá sicas sob condições equilibradas elimina não só a componente de segunda harmônica do conjugado gerado mas também elimina uma fonte significativa de perdas e aque cimento no rotor Foi a invenção de máquinas polifásicas que operam sob condições equilibradas que tornou possível o projeto e a construção de geradores síncronos de grande porte com especificações tão elevadas quanto 1000 MW Depois de supor que os campos magnéticos têm uma distribuição senoidal no entreferro desenvolvemos expressões para o conjugado magnético Uma imagem fí sica simples da produção de conjugado é a de dois ímãs um no estator e outro no ro tor como mostrado esquematicamente na Figura 432a O conjugado atua em sentido tal que os ímãs sejam alinhados entre si Para obtermos uma análise quantitativa ra zoavelmente aproximada sem que os detalhes atrapanhem assumimos um entreferro Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 251 252 Máquinas elétricas g Comprimento de entreferro m H H Intensidade de campo magnético Am i I Corrente A kf kr kenr Fator de enrolamento l r D Dimensões lineares m m Número de caminhos paralelos no enrolamento de armadura de uma máquina CC n Velocidade angular rpm ns Velocidade angular síncrona rpm N Número de espiras N b Número de espiras por bobina Nf Número de espiras em série no enrolamento de campo Nfase Número de espiras por fase polos Número de polos q Número de fases t Tempo s T Conjugado N m v Velocidade ms W Coenergia J z Posição linear m Índices a Armadura abc Designações para as fases g Entreferro b Bobina f Campo field max Máximo r Rotor ef Eficaz s Estator 413 Problemas 41 O rotor de um gerador síncrono de seis polos está girando na velocidade me cânica de 1200 rpm a Expresse essa velocidade mecânica em radianos por segundo b Qual é a frequência em hertz e em radianos por segundo da tensão gerada c Que velocidade mecânica em rotações por minuto é necessária para gerar tensão na frequência de 50 Hz 42 A tensão gerada em uma fase de um gerador síncrono trifásico a vazio é da forma i Escreva expressões para as tensões nas de mais fases a e b ii Escreva uma expressão para a tensão de linha vabt 43 Uma turbina eólica é conectada a um gerador com ímãs permanentes de oito polos por meio de uma engrenagem com uma relação elevadora de velocidade de 110 O gerador cuja saída será retificada produz uma tensão de linha de 480 V eficaz a uma velocidade de 900 rpm Dependendo da velocidade do Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 253 vento a turbina eólica funcionará com velocidades na faixa de 05 a 175 ro tações por segundo rps Calcule a frequência de saída do gerador e a tensão para as velocidades da turbina eólica de i 05 rps e ii 175 rps 44 Um motor trifásico é usado para acionar uma bomba Quando ligado a um sistema de potência de 50 Hz observase pelo uso de um estroboscópio que a velocidade do motor diminui de 998 rpm quando a bomba está sem carga e para 945 rpm quando a bomba está com carga a Esse motor é síncrono ou de indução b Quantos polos tem esse motor 45 Um sistema trifásico de acionamento de frequência variável é usado para ali mentar um motor síncrono de quatro polos Calcule a velocidade do motor em rpm se a frequência de acionamento for 200 Hz 46 O objetivo deste problema é ilustrar como os enrolamentos de certas máqui nas máquinas CC podem ser representadas aproximadamente por lâminas uniformes de corrente considerando que o grau de correspondência melhora à medida que o enrolamento é distribuído entre um número maior de ranhuras ao redor da periferia da armadura Com esse propósito considere uma arma dura com oito ranhuras distribuídas uniformemente ao longo de 360 graus elé tricos correspondendo a uma abrangência de um par de polos O entreferro tem comprimento uniforme as aberturas das ranhuras são muito pequenas e a relutância do ferro é desprezível Faça um desenho de 360 graus elétricos da armadura com suas ranhuras em forma plana como na Figura 420a e numere as ranhuras de 1 a 8 da esquerda para a direita O enrolamento consiste em oito bobinas de espira única cada uma conduzindo uma corrente contínua de I0 Os lados de bobina colocados em qual quer uma das ranhuras 1 a 4 conduzem corrente para dentro do papel e as coloca das em qualquer uma das ranhuras 5 a 8 conduzem corrente para fora do papel a Considere que todas as oito bobinas são colocadas com um lado na ranhura 1 e o outro na ranhura 5 As demais ranhuras estão vazias Desenhe a onda de FMM retangular produzida por essas ranhuras b A seguir considere que quatro bobinas têm um lado na ranhura 1 e o ou tro na ranhura 5 ao passo que as demais quatro bobinas têm um lado na ranhura 3 e o outro na ranhura 7 Desenhe as componentes retangulares das ondas de FMM produzidas por cada grupo de bobinas e sobreponha as componentes para obter a onda de FMM resultante c Agora considere que duas bobinas são colocadas nas ranhuras 1 e 5 duas nas ranhuras 2 e 6 duas em 3 e 7 e duas em 4 e 8 Novamente sobreponha as ondas retangulares componentes para produzir a onda resultante Obser ve que a tarefa pode ser sistematizada e simplificada considerando que a onda de FMM é simétrica em relação a seu eixo e apresenta um degrau em cada ranhura diretamente proporcional ao número de ampèrescondutores na ranhura d Suponha agora que a armadura consista em 16 ranhuras por 360 graus elétricos com um lado de bobina por ranhura Desenhe a onda de FMM resultante 254 Máquinas elétricas 47 Uma máquina CA trifásica ligada em Y está alimentando inicialmente uma carga trifásica equilibrada quando um dos enrolamentos de fase tornase um circuito aberto Como não há conexão de neutro no enrolamento isso exige que as correntes nos dois enrolamentos restantes tornemse iguais e opostas Sob essa condição calcule os valores relativos das ondas resultantes de FMM progressivas positiva e negativa 48 Em um enrolamento trifásico qual será o efeito sobre as ondas girantes de FMM e de fluxo produzidas por correntes trifásicas equilibradas se duas das conexões de fase forem trocadas 49 Em uma máquina bifásica equilibrada os dois enrolamentos estão deslocados de 90 graus elétricos no espaço e as correntes nos dois enrolamentos estão deslocadas em fase de 90 graus elétricos no tempo Para essa máquina desen volva um raciocínio que leve à equação da onda de FMM girante correspon dente à Equação 441 que foi deduzida para o caso de uma máquina trifásica 410 Esse problema investiga as vantagens de encurtar o passo das bobinas de esta tor de uma máquina CA A Figura 440a mostra uma bobina simples de passo pleno em uma máquina de dois polos A Figura 440b mostra uma bobina de passo encurtado para a qual os lados da bobina estão afastados de β radianos em vez de π radianos 180 como no caso da bobina de passo pleno Para uma distribuição de fluxo radial no entreferro da forma onde n 1 corresponde à harmônica fundamental espacial n 3 corresponde à terceira harmônica e assim por diante o fluxo concatenado de cada bobina é a integral de Br sobre a superfície abrangida por aquela bobina Assim para a nésima harmônica espacial a razão entre o fluxo concatenado máximo da bobina de passo encurtado e o da bobina de passo pleno é π Rotor Estator β Rotor Estator b a Bobina de N espiras Figura 440 Problema 410 a bobina de passo pleno e b bobina de passo encurtado Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 255 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 256 Exemplo 51 Observase que um motor síncrono trifásico de 60 Hz tem uma tensão de terminal de 460 V linha e uma corrente de terminal de 120 A com um fator de potência de 095 atrasado Nessas condições de operação a corrente de campo é 47 A A reatância síncrona da máquina é igual a 168 Ω 0794 por unidade em uma base trifásica de 460 V e 100 kVA Suponha que a resistência da armadura seja desprezível Calcule a a tensão gerada Eaf em volts b o valor da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura e c a potência elétrica de entrada do motor em kW e em HP rotor consiste em 264 espiras com um fator de enrolamento de kf 095 O enrolamento de armadura ligado em Y consiste em 45 espiras por fase com um fator de enrolamento de kenr 093 a Calcule o fluxo por polo e a componente fundamental da densidade de fluxo de pico no entreferro dos quais resultaram uma tensão de armadura a circuito aberto de 60 Hz e uma tensão eficaz de 120 V por fase b Calcule a corrente CC de campo necessária para obter as condições de operação da parte a c Calcule o valor de pico da indutância mútua entre o enrolamento de campo e o enrolamento de fase da armadura 258 Máquinas elétricas Exercite o seu programa no caso de um gerador com os seguintes parâmetros R 84 cm l 32 cm g 065 mm polos 4 fe 50 Hz Bpico 094 T kf 0955 kenr 0935 Vnominal 415 V If 80 A 425 Um gerador síncrono de quatro polos e 60 Hz tem um comprimento de rotor de 48 m um diâmetro de 113 m e um comprimento de entreferro de 59 cm O enrolamento de campo consiste em uma conexão em série de 244 espiras com um fator de enrolamento de kenr 0925 O valor de pico da fundamental da densidade de fluxo no entreferro está limitada a 115 T e a corrente de enro lamento do rotor a 2800 A Calcule os valores máximos do conjugado N m e da saída de potência MW que podem ser fornecidos por esse gerador 426 Razões de ordem térmica limitam a corrente de campo do gerador síncrono do Problema 421 de uso em laboratório a um valor máximo de 26 A Se a componente fundamental de densidade de fluxo de pico no entreferro estiver limitada a um máximo de 135 T calcule os valores máximos do conjugado N m e da potência kW que podem ser produzidos por esse gerador 427 Escreva um script de MATLAB que calcula os valores máximos de conjugado e potência de um gerador São dadas as seguintes informações Raio do rotor R metros Comprimento do rotor l metros Comprimento do entreferro g metros Número de polos Frequência elétrica fe Hz Valor de pico da fundamental da densidade de fluxo no entreferro Bpico T Fator de enrolamento do campo kf Número de espiras do enrolamento de campo Nf Corrente de campo máxima Ifmax A Exercite o seu programa com o gerador de laboratório dos Problemas 421 e 426 428 A Figura 441 mostra em seção transversal uma máquina que tem um enrolamen to de rotor f e dois enrolamentos idênticos de estator a e b cujos eixos estão em quadratura A indutância própria de cada enrolamento de estator é Laa e do rotor é Lff O entreferro é uniforme A indutância mútua entre um par de enrolamentos do estator depende da posição angular do rotor e podese assumir que é da forma Maf M cos θ0 Mbf M sen θ0 onde M é o valor máximo da indutância mútua A resistência de cada enrola mento de estator é Ra a Deduza uma expressão genérica para o conjugado T em termos do ângulo θ0 dos parâmetros de indutância e das correntes instantâneas ia ib e if Essa expressão aplicase quando o rotor está em repouso Quando ele está girando Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 259 b Suponha que o rotor esteja estacionário e correntes contínuas constantes ia I0 ib I0 e if 2I0 sejam aplicadas aos enrolamentos nos sentidos indicados pelos pontos e cruzes na Figura 441 Se for permitido que o ro tor entre em movimento ele girará continuamente ou tenderá a entrar em repouso Neste último caso em que valor de θ0 c O enrolamento de rotor é excitado agora por uma corrente contínua cons tante If ao passo que os enrolamentos do estator conduzem correntes bifá sicas equilibradas O rotor está girando na velocidade síncrona de modo que sua posição angu lar instantânea é dada por θ0 ωt δ onde δ é o ângulo de fase que descre ve a posição do rotor em t 0 Tratase de uma máquina síncrona bifásica elementar Deduza uma expressão para o conjugado nessas condições d Para as condições da parte c deduza uma expressão para as tensões ins tantâneas de terminal das fases a e b do estator 429 Considere a máquina síncrona bifásica do Problema 428 Deduza uma expres são para o conjugado que atuará sobre o rotor se este estiver girando a uma velocidade angular constante tal que θ0 ωt δ e as correntes se desequili brarem de modo que Quais são os conjugados instantâneo e médio no tempo nessas condições 430 A Figura 442 mostra em seção transversal esquemática uma máquina sín crona de polos salientes que tem dois enrolamentos de estator idênticos a e b sobre um núcleo de chapas de aço O rotor de polos salientes é feito de aço e tem um enrolamento de campo f conectado aos anéis coletores Devido ao entreferro não uniforme as indutâncias próprias e mútuas são funções da posição angular θ0 do rotor Sua variação com θ0 pode ser aproxi mada por Laa L0 L2 cos 2θ0 Lbb L0 L2 cos 2θ0 Mab L2 sen 2θ0 θ0 Estator Rotor a f b a b f Figura 441 Máquina síncrona elementar bifásica de rotor cilíndrico do Problema 428 260 Máquinas elétricas onde L0 e L2 são constantes positivas A indutância mútua entre os enrolamen tos do rotor e do estator são funções de θ0 Maf M cos θ0 Mbf M sen θ0 onde M é também uma constante positiva A indutância própria do enrolamen to de campo Lff é constante independente de θ0 Considere a condição de operação em que o enrolamento de campo é ex citado por corrente contínua If e os enrolamentos do estator são conectados a uma fonte de tensão bifásica equilibrada de frequência ω Com o rotor girando na velocidade síncrona sua posição será dada por θ0 ωt Nessas condições de operação as correntes do estator serão da forma a Deduza uma expressão para o conjugado eletromagnético que atua sobre o rotor b A máquina pode ser operada como um motor eou um gerador Explique c A máquina continuará a fornecer conjugado se a corrente de campo If for reduzida a zero Fundamente sua resposta com uma expressão para o con jugado e uma explicação de por que tal operação é ou não possível 431 Um motor linear trifásico CA tem um enrolamento de armadura com compri mento de onda de 35 cm Um conjunto trifásico equilibrado de correntes na frequência de 120 Hz é aplicado à armadura a Calcule a velocidade linear da onda de FMM de armadura b Para o caso de um rotor síncrono calcule a velocidade linear do rotor c Para o caso de um motor de indução operando com um escorregamento de 0055 calcule a velocidade linear do rotor 432 A armadura do motor linear do Problema 431 tem um comprimento ativo total de 7 comprimentos de onda com um total de 322 espiras por fase e um fator de enrolamento kenr 093 Para um comprimento de entreferro de 103 cm calcule o valor eficaz das correntes trifásicas equilibradas que devem ser for ω θ0 Estator Rotor b a a f b Figura 442 Máquina síncrona bifásica esquemática de polos salientes do Problema 430 Capítulo 4 Introdução às máquinas rotativas 261 necidas à armadura para obter uma componente fundamental espacial de pico de 14 T para a densidade de fluxo 433 Um motor linear síncrono bifásico de ímãs permanentes tem um comprimento de entreferro de 12 mm um comprimento de onda de 17 cm e uma largura de polo de 45 cm O rotor tem uma extensão de 6 comprimentos de onda Os ímãs permanentes no rotor estão dispostos de modo a produzir uma distribui ção de fluxo magnético no entreferro que é uniforme em relação à largura do polo mas que varia senoidalmente no espaço na direção do movimento do rotor A densidade de fluxo desse fluxo de entreferro é 087 T a Calcule o fluxo líquido por polo b Cada fase da armadura consiste em 12 espiras por polo com todos os polos ligados em série Supondo que o enrolamento da armadura estendase por muitos comprimentos de onda além de ambas as extremidades do rotor calcule o fluxo concatenado do enrolamento da armadura c Se o rotor estiver se deslocando a uma velocidade de 63 ms calcule a tensão eficaz induzida no enrolamento da armadura CAP ÍTUL O 5 Máquinas síncronas C omo vimos na Seção 421 em uma máquina síncrona e em condições de regime permanente o rotor juntamente com o campo magnético criado por uma corrente CC ou por ímãs gira na mesma velocidade ou em sincronismo com o campo magnético girante produzido pelas correntes de armadura e tem como resultado um conjugado constante Uma imagem elementar de como uma máquina síncrona funciona foi dada na Seção 421 com ênfase na produção de conjugado em termos das interações entre os campos magnéticos da máquina Serão desenvolvidos neste capítulo métodos analíticos para examinar o desem penho em regime permanente das máquinas síncronas polifásicas Uma considera ção inicial será dada às máquinas de rotor cilíndrico os efeitos dos polos salientes serão discutidos nas Seções 56 e 57 51 Introdução às máquinas síncronas polifásicas Como indicado na Seção 421 uma máquina síncrona é aquela na qual uma corrente alternada flui no enrolamento de armadura e um fluxo CC de rotor é produzido por uma excitação CC no enrolamento de campo ou por ímãs O enrolamento de armadu ra está quase invariavelmente no estator e em geral é trifásico como foi discutido no Capítulo 4 A construção de um rotor cilíndrico mostrada nas Figuras 410 e 411 é usada para turbogeradores de dois e quatro polos A construção com polos salientes mostrada na Figura 49 é melhor adaptada aos geradores multipolares hidrelétricos de baixa velocidade e muitos motores síncronos A potência CC necessária para excitar o enrolamento de campo de uma má quina síncrona indo de aproximadamente um até uns poucos por cento dos valores nominais da máquina síncrona é fornecida pelo sistema de excitação No caso de uma máquina síncrona com ímãs permanentes não há necessidade de potência para excitar o fluxo CC do rotor e portanto há potencial para aumentar a eficiência da máquina Entretanto há um custo porque a excitação com ímãs não permite ajustar a intensidade do fluxo CC no rotor em resposta às condições de operação da máquina Em máquinas mais antigas a corrente de excitação era muitas vezes fornecida por meio de anéis deslizantes a partir de uma máquina CC conhecida como excitatriz que frequentemente era montada no mesmo eixo da máquina síncrona Em sistemas Capítulo 5 Máquinas síncronas 263 mais modernos a excitação é fornecida a partir de excitatrizes CA e retificadores de estado sólido tanto pontes simples a diodos como retificadores de fase controlada Em alguns casos a retificação ocorre na parte estacionária da máquina e a corrente de excitação é fornecida ao rotor por meio de anéis coletores Em outros sistemas co nhecidos como sistemas de excitação sem escovas o alternador da excitatriz CA está no rotor assim como o sistema de retificação e a corrente é fornecida diretamente ao enrolamento de campo sem a necessidade de anéis coletores Um sistema desse tipo está descrito no Apêndice D Como foi discutido no Capítulo 4 um gerador síncrono simples atua como uma fonte de tensão cuja frequência é determinada pela velocidade do seu acionador me cânico primário máquina motriz ou máquina primária como pode ser visto na Eq 42 Das Eqs 444447 450 e 452 vemos que a amplitude da tensão gerada é pro porcional à velocidade do rotor e à corrente de campo Como veremos a corrente de terminal do gerador e o fator de potência são determinados pela excitação do campo do gerador e pelas impedâncias do gerador e da carga Os geradores síncronos podem facilmente operar em paralelo De fato os sis temas de fornecimento de eletricidade dos países industrializados têm normalmente dezenas ou mesmo centenas deles operando em paralelo São interligados por mi lhares de quilômetros de linhas de transmissão e fornecem energia elétrica a cargas espalhadas por áreas com muitos milhares de quilômetros quadrados Esses sistemas imensos continuam crescendo mesmo sendo necessário projetálos de modo que o sincronismo seja mantido depois da ocorrência de perturbações e problemas técnicos ou administrativos os quais devem ser resolvidos para ser possível coordenar a ope ração de tais sistemas complexos Quando um gerador síncrono é conectado a um sistema interligado de gran de porte contendo muitos outros geradores síncronos a tensão e a frequência em seus terminais de armadura são determinadas de modo substancial pelo sistema Assim o fluxo magnético correspondente a essa tensão aplicada gira na velocidade síncrona Eq 444 determinada pela frequência elétrica fe do sistema Como foi discutido no Capítulo 4 para produzir um conjugado eletromecânico unidirecional e constante os campos do estator e do rotor devem girar na mesma velocidade e portanto o rotor deve girar precisamente na velocidade síncrona imposta pelo sistema Como um gerador qualquer individual representa uma pequena fração da geração total de todo o sistema ele não consegue afetar de forma significativa a tensão ou a frequência do sistema Assim ao se estudar o comportamento de um ge rador isolado ou de um grupo deles em geral é útil representar o restante do sistema como uma fonte com frequência e tensão constantes normalmente referida como barramento infinito Muitas características importantes do comportamento da máquina síncrona po dem ser compreendidas a partir da análise de uma única máquina conectada a um barramento infinito O comportamento em regime permanente de uma máquina sín crona pode ser visualizado em termos da equação de conjugado Da Eq 483 fazendo alterações de notação apropriadas à teoria das máquinas síncronas vem 51 Capítulo 5 Máquinas síncronas 265 campo Essas variações decorrem de diversos fatores tais como os efeitos de satu ração o efeito da impedância de dispersão da máquina a resposta do sistema de excitação da máquina e assim por diante Para enfatizar os princípios fundamentais da operação das máquinas síncronas tais efeitos serão desprezados nesta discussão No laboratório após uma alteração de carga o ajustamento do rotor a uma nova posição angular pode ser observado experimentalmente examinando o rotor da má quina com uma luz estroboscópica disparada a partir da tensão aplicada à armadura tendose assim uma frequência de lampejo que faz o rotor dar a impressão de es tar estacionário quando de fato está girando com sua velocidade síncrona normal Como alternativa sensores eletrônicos podem ser usados para determinar a posição do eixo em relação ao sistema de referência síncrono associado com a tensão do es tator O sinal resultante pode ser exibido em um osciloscópio ou armazenado em um sistema de aquisição de dados Como pode ser visto na Figura 51 um aumento no conjugado da máquina mo triz resultará em um aumento correspondente no ângulo do conjugado Quando δRF tornase igual a 90 o conjugado eletromecânico alcança o seu valor máximo sendo conhecido como conjugado máximo em sincronismo Qualquer aumento adicional no conjugado da máquina motriz não pode ser contrabalançado por um aumento corres pondente no conjugado eletromecânico síncrono Com isso resulta que o sincronis mo não é mais mantido e o rotor é acelerado Esse fenômeno é conhecido como perda de sincronismo Nessas condições o gerador em geral é desligado do sistema elétrico externo pelo disparo automático de disjuntores Rapidamente a força motriz é desa tivada evitando velocidades elevadas perigosas Observe a partir da Eq 51 que o valor do conjugado máximo em sincronismo pode ser aumentado elevandose tanto a corrente de campo como o fluxo resultante de entreferro No entanto isso só pode ser feito até certo ponto A corrente de campo é limitada pela capacidade de refrigeração do enrolamento de campo e o fluxo de entreferro é limitado pela saturação do ferro da máquina Como vimos na Figura 51 uma situação similar ocorre em um motor síncrono no qual um aumento de conjugado de carga no eixo além do conjugado má ximo em sincronismo fará o rotor perder o sincronismo e dessa forma desacelerar Como um motor síncrono desenvolve conjugado apenas na velocidade síncro na a sua partida não pode ser feita simplesmente aplicando tensões de armadura com a frequência nominal Em alguns casos uma estrutura de gaiola de esquilo é incluída no rotor Dessa forma o motor pode partir como motor de indução e ser sincronizado quando estiver próximo da velocidade síncrona Alternativamente os motores sín cronos muitas vezes operam acionados por equipamentos eletrônicos de frequência e tensão variáveis as quais são controladas de tal forma que asseguram um funcio namento síncrono durante todo o período em que o motor é levado até a velocidade de operação 52 Indutâncias das máquinas síncronas circuitos equivalentes Na Seção 51 as características do ângulo de conjugado das máquinas síncronas fo ram descritas em termos dos fluxos que interagem no entreferro com as ondas de FMM O nosso propósito agora é deduzir um circuito equivalente que represente as características de voltsampères dos terminais em regime permanente 266 Máquinas elétricas O esboço de um corte de uma máquina síncrona trifásica de rotor cilíndrico está mostrado na Figura 52 A figura mostra uma máquina de dois polos os quais alter nativamente podem ser considerados como dois polos de uma máquina de múltiplos polos O enrolamento trifásico da armadura no estator é do mesmo tipo que foi usado na discussão dos campos magnéticos girantes da Seção 45 As bobinas aa bb e cc representam enrolamentos distribuídos que produzem ondas senoidais de FMM e de densidade de fluxo no entreferro Os sentidos de referência das correntes são mostra dos usando pontos e cruzes O enrolamento de campo ff no rotor também representa um enrolamento distribuído que produz uma onda senoidal de FMM e de densidade de fluxo centrada em seu eixo magnético girando com o rotor Quando os fluxos concatenados das fases de armadura a b c e do enrolamento de campo f são expressos em termos de indutâncias e correntes como segue λa Laaia Labib Lacic Lafif 52 λb Lbaia Lbbib Lbcic Lbfif 53 λc Lcaia Lcbib Lccic Lcfif 54 λf Lfaia Lfbib Lfcic Lff if 55 então as tensões induzidas podem ser obtidas da lei de Faraday Aqui dois índices iguais indicam uma indutância própria e dois índices distintos representam uma in dutância mútua entre os dois enrolamentos A letra manuscrita L é usada para indicar que em geral ambas as indutâncias próprias e mútuas de uma máquina trifásica podem variar com o ângulo do rotor Isso é visto por exemplo na Seção C2 onde os efeitos dos polos salientes são analisados Antes de prosseguirmos é útil investigar a natureza das várias indutâncias Com base no rotor cilíndrico e supondo FMM senoidal cada uma dessas indutâncias pode ser expressa em termos de coeficientes constantes a a9 ia ia va c9 b9 ω c f9 f b Eixo magnético da fase a Eixo magnético do rotor θm ωt θ0 va Figura 52 Diagrama esquemático de uma máquina síncrona trifásica de rotor cilíndrico e dois polos Capítulo 5 Máquinas síncronas 267 521 Indutância própria do rotor Em um estator cilíndrico a indutância própria do enrolamento de campo não depende da posição do rotor θm Nesse caso os efeitos das harmônicas devido às aberturas das ranhuras do estator são desprezados Assim Lff Lff Lff0 Lfl 56 onde o L em itálico é usado para indicar uma indutância que não depende de θm A componente Fff0 corresponde àquela porção de Lff devido à componente fundamental espacial de fluxo de entreferro Essa componente pode ser calculada a partir das dimen sões do entreferro e dos dados de enrolamento como mostrado no Apêndice B A com ponente adicional Lfl é responsável pelo fluxo de dispersão do enrolamento de campo Sob condições de transitórios ou de desequilíbrio os fluxos concatenados do enrolamento de campo Eq 55 variam no tempo e as tensões induzidas nos circui tos do rotor têm um efeito importante sobre o desempenho da máquina No entanto com o rotor girando na velocidade síncrona e com correntes trifásicas equilibradas de armadura o fluxo magnético de amplitude constante produzido pelas correntes de armadura gira em sincronismo com o rotor Assim o fluxo concatenado do enro lamento de campo produzido por esse fluxo não varia com o tempo e portanto não induz tensão no enrolamento de campo Como resultado aplicando uma tensão CC constante Vf aos terminais do enrolamento de campo a corrente contínua de campo If pode ser determinada pela lei de Ohm If VfRf 522 Indutâncias mútuas entre estator e rotor As indutâncias mútuas entre estator e rotor variam periodicamente com θme que é o ângulo elétrico entre o eixo magnético do enrolamento de campo e o da fase a como está mostrado na Figura 52 e como foi definido pela Eq 456 Supondo que a FMM espacial e a distribuição de fluxo no entreferro sejam senoidais a indutância mútua entre o enrolamento de campo f e a fase a varia proporcionalmente a θme Assim Laf Lfa Laf cos θme 57 Expressões similares aplicamse às fases b e c com θme substituído por θme 120 e θme 120 respectivamente Aqui a atenção será dada à fase a A indutância Laf pode ser calculada como se discute no Apêndice B Com o rotor girando na velocidade síncrona ωs Eq 442 o ângulo do rotor irá variar segundo θm ωst δ0 58 onde δ0 é o ângulo do rotor no tempo t 0 Da Eq 456 temos 59 Aqui ωe polos2 ωs é a frequência elétrica e δe0 é o ângulo elétrico do rotor no tempo t 0 Assim substituindo na Eq 57 obtémse Laf Lfa Laf cos ωet δe0 510 268 Máquinas elétricas 523 Indutâncias do estator indutância síncrona Em um rotor cilíndrico a geometria do entreferro não depende de θm quando os efei tos das ranhuras do rotor são desprezados Nesse caso as indutâncias próprias do estator serão constantes Assim Laa Lbb Lcc Laa Laa0 Lal 511 onde Laa0 é a componente de indutância própria devido ao fluxo fundamental espacial de entreferro Apêndice B e Lal é a componente adicional devido ao fluxo dispersivo de enrolamento de armadura veja a Seção 410 As indutâncias mútuas de armadura entre as fases podem ser obtidas supondo que a indutância mútua dependa exclusivamente do fluxo fundamental espacial de entreferro1 Da Eq B26 do Apêndice B vemos que a indutância mútua no entreferro de dois enrolamentos idênticos deslocados de α graus elétricos é igual à componente de entreferro de suas indutâncias próprias multiplicadas por cos α Assim como as fases de armadura estão deslocadas de 120 graus elétricos e as indutâncias mútuas entre as fases de armadura são iguais e dadas por 512 Substituindo as Eqs 511 e 512 indutâncias próprias e mútuas na expressão do fluxo concatenado da fase a Eq 52 obtémse 513 Com correntes de armadura trifásicas em equilíbrio veja a Figura 427 e as Eqs 425 a 427 temse ia ib ic 0 514 ib ic ia 515 A substituição da Eq 515 na Eq 513 dá 516 É útil definir a indutância síncrona Ls como 517 e assim λa Lsia Lafif 518 1 Como geralmente os enrolamentos de armadura das máquinas reais são construídos com sobreposição de fases porções de enrolamentos adjacentes compartilham as mesmas ranhuras há uma componente adicional de indutância mútua entre as fases que é devida ao fluxo de dispersão na ranhura Capítulo 5 Máquinas síncronas 269 Observe que a indutância síncrona Ls é a indutância efetiva vista pela fase a quando a máquina está funcionando em regime permanente e condições trifásicas equilibradas Ela é constituída por três componentes A primeira Laa0 originase na componente fundamental espacial do fluxo concatenado da fase a no entreferro de vido apenas às correntes da fase a A segunda Lal conhecida como indutância de dispersão do enrolamento de armadura é devido à componente de dispersão do fluxo concatenado da fase a A terceira componente é devido ao fluxo concatenado da fase a originado pela componente fundamental espacial do fluxo de entreferro produzido pelas correntes nas fases b e c Sob condições trifásicas equilibradas as correntes das fases b e c estão relacionadas com a corrente da fase a segundo a Eq 515 Assim a indutância síncrona é uma indutância aparente no sentido de que leva em conta o fluxo concatenado da fase a em termos da corrente da fase a mesmo que uma parte desse fluxo concatenado seja devido às correntes das fases b e c Assim devese lembrar que embora Ls pareça ser na Eq 518 a indutância própria da fase a esse não é o caso é importante também lembrar que ela foi definida supondose que as correntes trifásicas de armadura fossem equilibradas O significado da indutância síncrona pode ser apreciado mais profundamente referindose à discussão sobre campos magnéticos girantes da Seção 452 onde foi mostrado que sob condições de equilíbrio trifásico as correntes de armadura criam uma onda de fluxo magnético girante no entreferro com valor igual a vezes o valor do fluxo devido apenas à fase a e a componente adicional é devido às correntes das fases b e c Isso corresponde diretamente à componente da indutância síncrona da Eq 517 Essa componente da indutância síncrona leva em conta a componente fundamental espacial total do fluxo concatenado da fase a no entreferro Esse fluxo é produzido pelas três correntes de armadura em condições trifásicas equilibradas 524 Circuito equivalente A tensão nos terminais da fase a é a soma da queda de tensão Raia na resistência da armadura e da tensão induzida A tensão eaf induzida pelo fluxo do enrolamento de campo frequentemente referida como a tensão gerada ou tensão interna pode ser obtida da derivada em relação ao tempo da Eq 518 fazendo a corrente de armadura ia ser igual a zero Com If sendo a excitação CC do enrolamento de campo a substi tuição da Eq 510 dá 519 Usando a Eq 518 a tensão de terminal pode ser expressa como 520 A tensão gerada eaf da Eq 519 tem frequência ωe que é igual à frequência elé trica da tensão de terminal do gerador Sua amplitude eficaz é dada por 521 270 Máquinas elétricas Nessa condição de operação síncrona todas as grandezas de armadura da má quina corrente e fluxo concatenado também irão variar no tempo de forma senoidal nessa frequência Desse modo podemos escrever a equação de tensão de terminal Eq 520 em termos de amplitudes complexas eficazes como 522 onde Xs ωeLs é conhecida como reatância síncrona A amplitude eficaz complexa da tensão gerada Êaf pode ser encontrada consi derando que 523 onde a notação Re indica a parte real de uma grandeza complexa Assim a partir da Eq 519 vemos que 524 Um circuito equivalente em notação complexa está mostrado na Figura 53a O leitor deve observar que a Eq 522 e a Figura 53a foram escritas com o sentido de re ferência de Îa tomado como positivo quando a corrente está entrando nos terminais da máquina Isso é conhecido como sentido de referência do tipo motor para a corrente Como alternativa o sentido de referência do tipo gerador é definido com o sentido de referência de Îa tomado como positivo quando a corrente está saindo dos terminais da máquina como mostra a Figura 53b Com essa escolha de sentidos de referência para a corrente a Eq 522 tornase 525 Observe que essas duas representações são equivalentes Quando se analisa uma condição de operação em particular de uma máquina síncrona a corrente real é a mesma O sinal de Îa será determinado simplesmente pela escolha do sentido de re ferência Ambas as opções são aceitáveis não dependendo de se a máquina síncrona sob análise está operando como motor ou gerador No entanto na análise do funcio namento de um motor como a potência tende a fluir para dentro dele intuitivamente talvez seja mais satisfatório escolher o sentido de referência em que a corrente flui para dentro da máquina O oposto é verdadeiro quando a máquina opera como gera dor Nesse caso a potência tende a fluir para fora da máquina Em sua maioria as a Xs Vaˆ Ra Îa b Îa Êaf Xs Vaˆ Ra Êaf Figura 53 Circuitos equivalentes de máquina síncrona a sentido de referência do tipo mo tor e b sentido de referência do tipo gerador 272 Máquinas elétricas Solução a Usando o sentido de referência do tipo motor para a corrente e desprezando a resistência de armadura a tensão gerada pode ser obtida do circuito equivalente da Figura 53a ou Eq 522 como Escolheremos a tensão de terminal como nossa referência de fase Como se trata de um equivalente entre linha e neutro a tensão de terminal Va deve ser expressa como uma tensão de fase Um fator de potência atrasado de 095 corresponde a um ângulo de fator de potência φ arccos 095 182 Assim a corrente da fase a é Portanto e desse modo a tensão gerada Eaf é igual a 2788 V eficaz tensão de fase b A indutância mútua entre o campo e a armadura pode ser encontrada com base na Eq 521 Com ωe 120π temse c A potência trifásica de entrada Pentrada para o motor é três vezes a potência de entrada da fase a Assim Exemplo 52 Supondo que a potência de entrada e a tensão de terminal do motor do Exemplo 51 perma neçam constantes calcule a o ângulo de fase δ da tensão gerada e b a corrente de campo necessária para conseguir um fator de potência unitário nos terminais do motor Solução a Para se ter um fator de potência unitário nos terminais do motor a corrente no terminal da fase a deverá estar em fase com a tensão de fase da fase a Assim Da Eq 522 Portanto Eaf 328 V tensão de fase e δ 358 Capítulo 5 Máquinas síncronas 273 b Após encontrar Laf no Exemplo 51 podemos obter a corrente de campo necessária a partir da Eq 521 Problema prático 51 A máquina síncrona dos Exemplos 51 e 52 devem operar como gerador síncrono Para uma operação em 60 Hz com uma tensão de terminal de 460 V tensão de linha calcule a corrente de campo necessária para abastecer uma carga com 85 kW e um fator de potência adiantado de 095 Solução 463 A Problema prático 52 Considere o motor síncrono do Exemplo 51 operando com uma tensão de terminal de 460 V de linha Escreva um script de MATLAB para plotar a corrente de campo necessária para manter unitário o fator de potência quando a potência do motor varia de 50 a 100 kW Solução Potência kW If A 48 56 58 100 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 54 52 50 Figura 55 Plotagem da corrente de campo versus potência do motor para o Problema prático 52 É útil ter uma ideia aproximada da ordem de grandeza das componentes da im pedância Em máquinas com especificações nominais superiores a algumas centenas de kVA a queda de tensão na resistência de armadura para a corrente nominal é normalmente inferior a 001 vezes a tensão nominal isto é a resistência de armadura é em geral inferior a 001 por unidade tomando como base as especificações nomi nais da máquina O sistema por unidade será descrito na Seção 29 A reatância de dispersão da armadura está com frequência no intervalo de 01 a 02 por unidade e a reatância síncrona está muitas vezes no intervalo de 10 a 20 por unidade Em 274 Máquinas elétricas geral quando o tamanho da máquina diminui a resistência de armadura por unida de cresce e a reatância síncrona por unidade decresce Em máquinas de pequeno porte como as encontradas em laboratórios de ensino a resistência de armadura pode estar em torno de 005 por unidade e a reatância síncrona na vizinhança de 05 por unidade Em todas as máquinas com exceção das pequenas normalmente podese desprezar a resistência de armadura na maioria das análises a não ser que seus efeitos sobre as perdas e o aquecimento sejam de interesse 53 Características a vazio e de curtocircuito As características fundamentais de uma máquina síncrona podem ser determinadas por um par de ensaios um feito com os terminais de armadura a vazio em circuito aberto e o segundo com os terminais de armadura em curtocircuito Esses ensaios são discutidos aqui Exceto umas poucas observações sobre o grau de validade de cer tas suposições as discussões aplicamse tanto às máquinas de rotor cilíndrico como às de polos salientes 531 Características de saturação a vazio e perdas rotacionais sem carga A característica de circuito aberto ou a vazio também referida como curva de satura ção de circuito aberto ou a vazio de uma máquina síncrona quando ela está girando na velocidade síncrona é uma curva da tensão de terminal da armadura a vazio Vavz em volts ou por unidade em função da excitação de campo If como mostrado pela curva cav característica a vazio na Figura 56 A característica a vazio representa a relação entre a componente fundamental espacial do fluxo de entreferro e a FMM que atua no circuito magnético quando o enrolamento de campo constitui a única fonte de FMM Os efeitos da saturação magnética podem ser vistos claramente na Figura 56 A característica dobrase para baixo com o aumento da corrente de campo à medida que a saturação do material magnético aumenta a relutância dos caminhos magnéticos na máquina e reduz a efetividade da corrente de campo para produzir fluxo magnético cav 0 Linha de entreferro If Ifs Vavz9Eaf Va Ifns Figura 56 Característica a vazio de uma máquina síncrona Capítulo 5 Máquinas síncronas 275 Observe que com o enrolamento de armadura da máquina em circuito aberto a tensão de terminal é igual à tensão gerada Eaf Assim a característica a vazio é também uma medida da relação entre a corrente de campo If e Eaf podendo assim fornecer uma medida direta da indutância mútua Laf entre o campo e a armadura Poderemos usar qualquer uma dessas duas tensões na discussão a seguir Como podemos ver na Figura 56 quando a corrente cresce desde zero a carac terística a vazio é inicialmente linear Essa porção da curva e sua extensão linear para valores mais elevados de corrente de campo é conhecida como linha de entreferro Ela representa a característica de tensão a vazio da máquina correspondente na con dição de operação não saturada Nesse caso o entreferro tem a relutância dominante no caminho de fluxo da máquina Considere a excitação de campo necessária para al cançar a tensão de armadura Va a vazio na Figura 56 No caso de não saturação ns a característica de tensão a vazio da máquina corresponderia à linha de entreferro e essa tensão seria produzida pela corrente de campo Ifns Entretanto devido aos efeitos de saturação s uma corrente de campo de valor Ifs é necessária para produzir a mesma tensão A diferença entre Ifs e Ifns é uma medida do grau da saturação na máquina naquele nível de tensão Exemplo 53 Um ensaio a vazio realizado em um gerador síncrono trifásico de 60 Hz mostra que uma ten são nominal a vazio de 138 kV é produzida por uma corrente de campo de 318 A Extrapolan do a linha de entreferro a partir de um conjunto de medidas feitas na máquina podese mostrar que a corrente de campo correspondente a 138 kV sobre a linha de entreferro é 263 A Calcule os valores saturado e não saturado de Laf Solução Da Eq 521 Laf é obtido de Aqui Assim o valor saturado de Laf é dado por e o valor não saturado é Nesse caso vemos que a saturação reduz a indutância mútua entre os enrolamentos de campo e de armadura em aproximadamente 18 Problema prático 53 Se o gerador síncrono do Exemplo 53 funcionar com uma velocidade correspondente a uma tensão gerada de 50 Hz calcule a a tensão de linha dos terminais a vazio correspondente a uma corrente de campo de 318 A e b a corrente de campo correspondente a essa mesma ten são na linha de entreferro de 50 Hz 276 Máquinas elétricas Solução a 115 kV b 263 A Em uma máquina real a característica a vazio é muitas vezes determinada ex perimentalmente Para isso acionase a máquina mecanicamente na velocidade sín crona com seus terminais de armadura a vazio A seguir lêse a tensão de terminal em função da corrente de campo Se a potência mecânica requerida para impulsionar a máquina síncrona durante o ensaio a vazio for medida as perdas rotacionais a vazio podem ser obtidas Essas perdas consistem em atrito e ventilação associadas à rota ção e em perdas no núcleo correspondentes ao fluxo que está presente na máquina a vazio Na velocidade síncrona as perdas por atrito e por ventilação são constantes ao passo que as perdas a vazio no núcleo são uma função do fluxo que por sua vez é proporcional à tensão a vazio Na ausência de excitação a potência mecânica necessária para acionar a má quina na velocidade síncrona corresponde às perdas por atrito e ventilação Quan do o campo é excitado a potência mecânica igualase à soma das perdas por atrito ventilação e no núcleo a vazio Portanto as perdas a vazio no núcleo podem ser obtidas a partir da diferença entre esses dois valores de potências mecânicas Uma curva típica de perdas a vazio no núcleo em função da tensão a vazio assume a forma encontrada na Figura 57 É comum supor que sob carga as perdas no nú cleo em uma determinada tensão são iguais às perdas no núcleo a vazio na tensão correspondente 532 Característica e perdas de curtocircuito A característica de curtocircuito de uma máquina síncrona é uma curva da corrente de terminal em curtocircuito Iacc em ampères ou por unidade em função da cor rente de campo A característica de curtocircuito pode ser obtida aplicandose um curtocircuito trifásico através de sensores adequados de corrente aos terminais de ar madura de uma máquina síncrona Com a máquina acionada na velocidade síncrona a corrente de campo pode ser aumentada e um gráfico da corrente de armadura versus Tensão a vazio Perdas a vazio no núcleo Figura 57 Forma comum de uma curva de perdas no núcleo a vazio Capítulo 5 Máquinas síncronas 277 a corrente de campo pode ser obtido2 Uma característica de circuito aberto ou a vazio cav e uma característica de curto circuito ccc são mostradas na Figura 58 Com a armadura em curtocircuito Va 0 e usando a Eq 525 com o sentido de referência do tipo gerador para a corrente obtémse 527 O respectivo diagrama fasorial está mostrado na Figura 59 Como a resistência é muito menor que a reatância síncrona a corrente de armadura está atrasada em rela ção à tensão de excitação em praticamente 90 Consequentemente a onda de FMM da reação de armadura praticamente alinhase com o eixo dos polos do campo e está em oposição à FMM de campo como está mostrado pelos fasores  e os quais representam as ondas FMM da armadura e do campo respectivamente A FMM resultante cria a onda resultante de fluxo de entreferro a qual gera a tensão de entreferro ÊR veja Figura 54 Essa tensão é igual à tensão presente na resistência de armadura Ra e na reatância de dispersão Xal ou seja como equação ÊR ÎaRa jXa1 528 Em muitas máquinas síncronas a resistência de armadura é desprezível e a rea tância de dispersão varia entre 010 e 020 por unidade Um valor representativo está em torno de 015 por unidade Assim para a corrente nominal de armadura a queda de tensão na reatância de dispersão é de cerca de 015 por unidade ou 15 da tensão nominal da máquina Desse modo a partir da Eq 528 e para a corrente nominal de armadura de curtocircuito a tensão de entreferro é de cerca de 015 por unidade isto é o fluxo de entreferro resultante é apenas 015 vezes o seu valor normal de tensão Logo a máquina está operando em condições não saturadas Portanto a corrente de armadura de curtocircuito é diretamente proporcional à corrente de campo dentro de um intervalo que se estende de zero até bem acima da corrente nominal de armadura 2 Na realidade esse ensaio não precisa ser realizado na velocidade síncrona A corrente de armadura de curtocircuito permanecerá basicamente constante com a velocidade desde que a respectiva frequência elétrica seja suficientemente elevada para que a reatância síncrona nessa frequência seja muito maior que a resistência de armadura cav Linha de entreferro ccc If0 If O Ia0 Iacc Vavz9Eaf Va09Eaf0 Figura 58 Características de circuito aberto e a vazio de uma máquina síncrona Figura 59 Diagrama fasorial para condições de curtocircuito Quando plotada versus a corrente de campo temos uma linha reta como se pode ver na Figura 58 A reatância síncrona não saturada Xsns correspondendo a condições não saturadas de operação da máquina pode ser encontrada a partir das características a vazio cav e de curtocircuito ccc Para qualquer excitação de campo conveniente como If0 na Figura 58 a corrente de armadura de curtocircuito é Ia0 e para o mesmo campo a tensão gerada não saturada é Ea0 lida a partir da linha de entreferro Observe que a tensão dada pela linha de entreferro deve ser usada porque foi suposto que a máquina estaria operando em condições não saturadas Se Ea0 e Ia0 forem expressas em unidades reais com Ea0 sendo a tensão de fase eficaz gerada então da Eq 527 com resistência de armadura Ra desprezada a reatância síncrona Xsns não saturada em ohms por fase pode ser calculada como Xsns Ea0Ia0 529 Como a linha de entreferro e a característica de curtocircuito são ambas lineares o valor da reatância síncrona calculado pela Eq 529 não depende do valor específico da corrente de campo If0 Observe que para calcular a reatância síncrona em ohms por fase usamos a tensão de fase Frequentemente a curva de saturação a vazio é dada em termos da tensão de linha Nesse caso para se converter para unidade de fase a tensão deve ser dividida por 3 Se por outro lado Vaz e Iacef forem expressas no sistema por unidade a reatância síncrona calculada pela Eq 529 será dada por unidade Capítulo 5 Máquinas síncronas 279 terística de magnetização que inicia na origem e passa pelo ponto de tensão nominal da característica a vazio como mostrado pela linha tracejada Op na Figura 510 Com essa aproximação a máquina pode ser representada por um circuito equivalente da forma da Figura 53 em que a tensão gerada Eaf é linearmente proporcional à cor rente de campo de modo que é igual à tensão nominal Vanominal ou um por unidade quando If é igual a um determinado valor de corrente de campo denominado CCAV Corrente de Campo A Vazio tal que produz a tensão nominal a vazio Vanominal na característica a vazio como mostrado na Figura 510 Respectivamente supomos que Xs seja igual à reatância síncrona saturada para a tensão nominal dada por 530 em que Ia é a corrente de armadura lida da característica de curtocircuito no ponto onde If CCAV Em relação à reatância síncrona não saturada se Vanominal e Ia forem expressas em por unidade a reatância síncrona o será também em por unidade Se Vanominal e Ia forem expressas em tensão eficaz de fase e em corrente eficaz por fase respectivamente a reatância síncrona o será em ohms por fase Esse método de lidar com os efeitos da saturação poderá ser justificado se levar mos em conta que as máquinas síncronas como geradores síncronos com regulação de tensão de terminal ligados aos sistemas de potência operam com uma tensão de terminal relativamente constante Com uma boa aproximação desprezando a queda de tensão na resistência do enrolamento de armadura e na reatância de dispersão isso implica que o fluxo líquido no entreferro da máquina e por consequência o grau de saturação permanecem relativamente constantes seja qual for a carga Um grau fixo de saturação por sua vez corresponde a um circuito magnético com relutâncias constantes o que por sua vez implica uma relação linear entre a corrente de campo If e o fluxo magnéticotensão de terminal Va produzido por campo como mostrado na Figura 510 cav p Linha de entreferro ccc O Vanominal CCAVg If CCAV CCCC I9a I0a Iacc Vavz9Eaf Ianominal Figura 510 Características a vazio e de curtocircuito mostrando a linha de magnetização equivalente em condições saturadas de operação 280 Máquinas elétricas Embora não seja feito normalmente esse mesmo argumento poderia ser aplica do para determinar os parâmetros do circuito equivalente de uma máquina síncrona Eaf em função da corrente de campo e Xs para o funcionamento em tensões de termi nal diferentes do valor nominal Por exemplo se a máquina estivesse operando em tensões de terminal muito baixas a tensão gerada seria calculada a partir da linha de entreferro e a respectiva reatância síncrona não saturada seria dada por 531 Comparando as Figuras 58 e 510 vemos que as Eqs 530 e 531 são equivalentes Observe que com a corrente de terminal em curtocircuito expressa por unida de a característica de corrente ccc de curtocircuito pode ser expressa como 532 onde CCCC Corrente de Campo em CurtoCircuito é o valor da corrente de campo que produz a corrente nominal 10 por unidade de curtocircuito Portanto com If CCAV Eaf Vanominal 10 por unidade e 533 Assim a reatância síncrona não saturada por unidade pode ser calculada da Eq 530 como 534 Usando um argumento similar a reatância síncrona não saturada por unidade pode ser calculada como 535 onde CCAVg é a corrente de campo correspondente à tensão a vazio nominal na linha de entreferro A relação de curtocircuito RCC é definida como a razão entre CCAV e CCCC e portanto é igual ao inverso da reatância síncrona saturada por unidade Xs 536 Como já discutimos observe que quando a máquina está operando na tensão nominal assumimos que a tensão gerada é linearmente proporcional à corrente de campo com uma inclinação tal que a tensão gerada é igual a um valor nominal 10 por unidade quando a corrente de campo If é igual a CCAV como está represen tado pela linha tracejada Op na Figura 510 Assim para qualquer valor dado da Capítulo 5 Máquinas síncronas 281 tensão gerada a corrente de campo pode ser encontrada do valor por unidade de Eaf como If Eaf CCAV A 537 Exemplo 54 Os dados a seguir foram tomados das características a vazio e de curtocircuito de uma máqui na síncrona trifásica ligada em Y de 45 kVA 220 V tensão de linha seis polos e 60 Hz Da característica a vazio Corrente de campo 284 A Tensão de linha 220 V e da linha de entreferro Corrente de campo 220 A Tensão de linha 202 V Da característica de curtocircuito Corrente de campo A 220 284 Corrente de armadura A 118 152 Calcule o valor não saturado da reatância síncrona e o seu valor saturado na tensão no minal em ohms por fase e por unidade considerando as especificações nominais da máquina como base Solução Para ajudar a visualizar a solução as tensões e correntes dadas estão mostradas nas característi cas a vazio e de curtocircuito da Figura 511 Com uma corrente de campo de 220 A a tensão de fase na linha de entreferro é e para a mesma corrente de campo a corrente de armadura em curtocircuito é 118 A Assim da Eq 529 cav Linha de entreferro ccc If Iacc O 118 A 152 A 1167 V 1270 V 220 A 284 A Vavz9Eaf Figura 511 Plotagem das características do motor do Exemplo 54 Capítulo 5 Máquinas síncronas 283 na Figura 512 Geralmente costumase supor que essas perdas variam de forma pa rabólica em função da corrente de armadura As perdas de curtocircuito consistem em perdas ôhmicas I2R no enrolamento de armadura perdas locais no núcleo causadas pelo fluxo de dispersão de armadura e perdas baixas no núcleo causadas pelo fluxo resultante Em uma máquina de q fases as perdas resistivas CC de curtocircuito Parmcc dadas por 538 poderão ser calculadas se a resistência CC de enrolamento Rcc for medida e corrigi da se necessário em relação à temperatura dos enrolamentos durante um ensaio de curtocircuito Para condutores de cobre 539 onde RT e Rt são as resistências nas temperaturas T e t respectivamente em graus Cel sius Se essas perdas CC na resistência forem subtraídas das perdas de curtocircuito a diferença fornecerá as perdas relativas aos efeitos peliculares e às correntes parasitas nos condutores da armadura mais as perdas locais no núcleo causadas pelo fluxo de dispersão da armadura Essa diferença entre as perdas de curtocircuito e as perdas CC na resistência são as perdas adicionais causadas pela corrente alternada na armadura São as perdas suplementares descritas no Apêndice D Normalmente são consideradas como tendo o mesmo valor tanto em condições normais de carga como em curto circuito É função da corrente de armadura como mostrado pela curva da Figura 512 Como ocorre com qualquer dispositivo de corrente alternada a resistência efetiva de armadura Raef pode ser calculada como a perda de potência atribuível à corrente de armadura dividida pelo quadrado da corrente Supondo que as perdas suplementares sejam função apenas da corrente de armadura a resistência efetiva de armadura pode ser determinada a partir das perdas de curtocircuito 540 Se as perdas de curtocircuito e a corrente de armadura forem dadas por uni dade a resistência efetiva também será por unidade Se forem em watts por fase e ampères por fase respectivamente a resistência efetiva será em ohms por fase Em geral para o valor nominal de corrente obtémse exatidão suficiente encontrando o valor de Raef e então assumindo que seu valor seja constante Perdas suplementares Corrente de armadura Perdas Perdas de curtocircuito Figura 512 Forma típica das curvas de perdas suplementares e de curtocircuito Em forma similar a tensão nominal de terminal a vazio de 220 V corresponde a uma tensão de fase de 2203 1270 V é produzida por uma corrente de campo de 284 A A respectiva corrente de curtocircuito é 152 A e portanto da Eq 530 temos Xs 127152 0836 Ωfase Observando que a corrente nominal de armadura é Ianominal 450003 x 220 118 A vemos que dos dados fornecidos CCCC 220 A e CCAV 284 A Assim da Eq 534 temos Xs CCCCCCAV 220284 0775 por unidade Extrapolando os dados fornecidos da linha de entreferro até a tensão nominal podemos encontrar CCAVg 220 220220 240 A e portanto da Eq 535 temos Xsns CCCCCCAVg 220240 0917 por unidade Observe que as reatâncias por unidade também podem ser calculadas dividindo seus valores em Ωfase pela impedância de base Zbase 220²45 x 10³ 1076 Ω De forma equivalente as reatâncias em Ωfase podem ser calculadas de seus valores por unidade multiplicando por Zbase Capítulo 5 Máquinas síncronas 285 pressões para os limites de potência em regime permanente de máquinas síncronas em situações simples em que o sistema externo pode ser representado por uma impe dância em série com uma fonte de tensão Considerando que tanto o sistema externo como a própria máquina podem ser representados como uma impedância em série com uma fonte de tensão o estudo dos limites de potência tornase simplesmente um caso especial do problema mais geral de limitar o fluxo de potência em uma impedância em série A impedância será constituída pela impedância síncrona da máquina síncrona e também pela impedância equivalente do sistema externo que pode consistir em linhas de transmissão e bancos de transformadores assim como em máquinas síncronas adicionais Considere o circuito simples da Figura 513a consistindo em duas tensões CA Ê1 e Ê2 conectadas por uma impedância Z R j X na qual a corrente é Î O diagra ma fasorial está mostrado na Figura 513b Observe que nesse diagrama fasorial a tensão Ê2 é escolhida como fasor de referência e o sentido de referência para ângulos positivos é o antihorário Assim na Figura 513b podese ver que o ângulo de fase δ é positivo ao passo que o ângulo de fase φ da corrente é negativo O fasor de corrente é 541 A potência P2 entregue através da impedância à fonte de tensão Ê2 é P2 ReÊ2 Î 542 onde a notação Re indica a parte real de um número complexo e o símbolo indica o conjugado complexo Se como frequentemente é o caso na análise de grandes sistemas de potência a resistência R for desprezível então não haverá potência dissipada na impedância em série e a potência P1 fornecida pela fonte Ê1 será igual a potência P2 Nesse caso a Eq 542 fica reduzida à forma simples 543 R X Ê1 Ê2 Ê1 Î RÎ jXÎ Ê2 δ φ b a Î Figura 513 a Impedância que interconecta duas tensões b diagrama fasorial Problema prático 54 Calcule a reatância síncrona saturada em Ωfase e por unidade de uma máquina síncrona de 85 KVA que alcança a tensão nominal a vazio de 460 V com uma corrente de campo de 87 A e que atinge a corrente nominal de curtocircuito com uma corrente de campo de 112 A Solução Xs 321 Ωfase 129 por unidade Como o nível de fluxo da máquina é baixo em condições de curtocircuito considerase em geral que as perdas no núcleo são desprezíveis nessas condições Assim a potência mecânica necessária para acionar a máquina síncrona durante o ensaio de curtocircuito é igual à soma das perdas por atrito e ventilação determinadas a partir do ensaio a vazio com uma corrente de campo nula mais as perdas causadas pela corrente de armadura Então as perdas causadas pela corrente de armadura podem ser obtidas subtraindo as perdas por atrito e ventilação da potência de acionamento As perdas causadas pela corrente de armadura em curtocircuito são conhecidas coletivamente como perdas de curtocircuito Uma curva que mostra a forma típica das perdas com uma carga em curtocircuito versus a corrente de armadura está plotada 286 Máquinas elétricas Quando a expressão do ângulo de potência da Eq 543 é comparada com a da Eq 51 para conjugado em termos de fluxo e ondas de FMM interatuantes vemos que são da mesma forma Isso não é coincidência Lembrese de que conjugado e potên cia são proporcionais quando como é o caso aqui a velocidade é constante O que estamos realmente dizendo é que a Eq 51 aplicada especificamente a uma máquina síncrona ideal de rotor cilíndrico e convertida para termos de circuito tornase a Eq 543 Uma rápida revisão mental dos fundamentos de cada expressão deve mostrar que elas originamse das mesmas considerações básicas A Eq 543 é uma equação muito importante no estudo de máquinas síncronas e certamente no estudo de sistemas de potência CA em geral A Eq 543 é referida normalmente como característica do ângulo de potência e o ângulo δ é conhecido como ângulo de potência Observe que quando δ é positivo a tensão Ê1 está adian tada em relação a Ê2 e a potência circula da fonte Ê1 para a Ê2 De modo similar quando δ é negativo a tensão Ê1 está atrasada em relação a Ê2 e a potência circula da fonte Ê2 para a Ê1 Da Eq 543 a potência máxima que pode ser transferida entre as fontes 1 e 2 é 544 que ocorre quando δ 90 Deve ser enfatizado que a dedução das Eqs 541 a 543 baseiase em um cir cuito CA monofásico entre linha e neutro Quando se considera um circuito trifásico se E1 e E2 forem expressas por unidade ou em termos de tensões de linha a Eq 543 fornece diretamente a potência trifásica Como alternativa se E1 e E2 forem tensões de fase a potência deverá ser multiplicada por três para se obter a potência trifásica total e a Eq 543 tornase 545 As Eqs 543 e 545 são válidas para qualquer fonte de tensão Ê1 e Ê2 separa das por uma impedância reativa jX Assim para uma máquina síncrona trifásica com tensão gerada Êaf e reatância síncrona Xs conectada a um sistema cujo equivalente Thévenin é uma fonte de tensão em série com uma impedância reativa jXeq como mostrado na Figura 514 a característica de ângulo de potência pode ser escrita como 546 se Eaf e Veq forem expressas em termos de tensão de linha ou por unidade nesse caso P Xs e Xeq também devem ser expressas por unidade e 547 se Eaf e Veq forem expressas em termos de tensão de fase Aqui P é a potência trans ferida da máquina síncrona ao sistema e δ é o ângulo de fase de Êaf em relação a Capítulo 5 Máquinas síncronas 287 De modo semelhante é possível escrever uma equação para a característica do ângulo de potência em termos de Xs Eaf a tensão de terminal Va e o ângulo relativo entre elas ou como alternativa Xeq Va Veq e seu ângulo relativo Embora essas várias expressões sejam igualmente válidas elas não são igualmente úteis Por exemplo se a máquina operar com corrente de campo constante quando P for variada ambas Eaf e Veq permanecerão constantes mas a tensão de terminal Va não Assim ao passo que as Eqs 546 e 547 propiciam uma relação entre P e δ de fácil solução uma equação característica de ângulo de potência baseada em Va Veq e Xeq não pode ser resolvida sem uma expressão adicional que relacione Va com P Observe que as Eqs 543 545 546 e 547 foram deduzidas baseandose no sentido de referência do tipo gerador para a corrente Se for escolhido o sentido de referência do tipo motor o sinal da corrente deverá ser trocado na Eq 541 Um sinal negativo deve ser incluído nessas equações para levar em conta o fato de que com a escolha do sentido de referência do tipo motor P representa a potência que entra na máquina e uma potência de entrada positiva corresponde a valores negativos de ângulo de potência δ Das Eqs 546 e 547 vemos que o pico da característica de ângulo de potên cia associada com o funcionamento da máquina síncrona é proporcional ao valor da tensão de sistema Veq e também ao da tensão interna do gerador Eaf Assim para uma tensão de sistema constante a potência máxima que pode ser fornecida por um gerador síncrono ou fornecida para um motor síncrono pode ser incrementada elevandose a corrente de campo da máquina síncrona e consequentemente a ten são interna É claro que isso não pode ser feito de forma ilimitada Nem a corrente do campo nem os fluxos da máquina podem ser elevados além do ponto em que as perdas tornamse excessivas e a máquina não pode ser refrigerada de modo adequado Em geral considerações de estabilidade ditam que o ponto de operação em re gime permanente de uma máquina síncrona é alcançado com um ângulo de potência muito inferior a 90 Assim o pico da característica de ângulo de potência de uma máquina síncrona em condições normais de operação é consideravelmente maior do que a potência mecânica fornecida a ela no caso de funcionamento como gerador ou da potência de carga no caso de um motor síncrono Xs Xeq Vaˆ Veq ˆ Gerador Equivalente Thévenin do sistema externo Êaf Îa Figura 514 Representação usando um circuito equivalente de uma máquina síncrona conec tada a um sistema externo 288 Máquinas elétricas Exemplo 56 Um gerador trifásico síncrono de 75 MVA e 138 kV com uma reatância síncrona saturada Xs 135 por unidade e uma reatância síncrona não saturada Xsns 156 por unidade é liga do a um sistema externo cuja reatância equivalente é Xeq 023 por unidade e cuja tensão é Veq 10 por unidade ambas considerando o gerador como base Ele atinge a tensão nominal a vazio com uma corrente de campo de 297 A a Encontre a potência máxima Pmax em MW e por unidade que pode ser fornecida ao sistema externo se a tensão interna do gerador for mantida igual a 10 por unidade b Usando MATLAB plote a tensão de terminal por unidade do gerador quando a saída do gerador é variada desde zero até Pmax com as condições da parte a Solução a Da Eq 546 Observe que embora esse gerador seja trifásico não é necessário fator de 3 porque esta mos trabalhando no sistema por unidade Como a máquina está operando com uma tensão de terminal próxima de seu valor nominal devemos expressar Pmax em termos da reatância síncrona saturada Assim b Do circuito equivalente da Figura 514 vemos que a corrente de terminal do gerador pode ser expressa como uma função do ângulo de potência δ dada por Então a tensão de terminal do gerador é dada por e a potência do gerador pode ser expressa como Assim a tensão de terminal pode ser plotada como uma função da potência do gerador variando o ângulo de potência no intervalo de 0 a 90 A Figura 515 é a plotagem de MATLAB desejada Podese ver que a tensão de terminal varia de 10 a aproximadamen te 087 quando o gerador é carregado até seu valor máximo de 0633 por unidade Aqui está o script de MATLAB clc clear Solução da parte b Parâmetros do sistema Veq 10 Capítulo 5 Máquinas síncronas 289 Eaf 10 Xeq 23 Xs 135 n 1101 delta pi2n1100 Iahat Eaf expjdelta VeqjXs Xeq Vahat Veq jXeqIahat Vamag absVahat P realVahatconjIahat Agora plote os resultados plotPVamag xlabelPotência do gerador por unidade ylabelTensão de terminal por unidade Problema prático 56 Considere a máquina de 75 MVA e 138 kV do Exemplo 56 Observe que ela está operando com uma tensão de terminal de 137 kV e uma potência de saída de 53 MW com um fator de potência de 087 atrasado Encontre a a corrente de fase em kA b a tensão interna por uni dade e c a respectiva corrente de campo em ampères Solução a Ia 257 kA b Eaf 181 por unidade c If 538 ampères Como foi demonstrado no Exemplo 56 a maioria dos geradores síncronos co nectados a um sistema de potência não podem ser carregados até a potência nominal Tensão de terminal por unidade Potência do gerador por unidade 086 098 1 07 0 01 02 03 04 05 06 096 094 092 09 088 Figura 515 Plotagem de MATLAB da tensão de terminal versus potência do gerador por uni dade do Exemplo 56 290 Máquinas elétricas com sua tensão interna igual à tensão nominal O pico da característica de ângulo de potência Pmax é menor do que o valor nominal do gerador Assim para carregar ade quadamente o gerador a corrente de campo deve ser aumentada elevando a tensão interna à medida que a carga é incrementada Embora isso possa ser feito manualmente costuma ser feito de forma auto mática através da ação de um regulador automático de tensão RAT Um regu lador automático de tensão mede uma tensão de sistema por exemplo a tensão de terminal de um gerador e controla a corrente de campo do gerador para man ter aquela tensão em um valor préespecificado Como podemos ver no Exemplo 56 carregar a máquina com uma corrente de campo constante resulta em uma redução na tensão de terminal Assim como será demonstrado no Exemplo 57 um RAT ajustado para manter a tensão de terminal responderá automaticamente a um aumento na carga do gerador elevando a corrente de campo e assim o pico da característica de ângulo de potência permitindo que o gerador seja carregado completamente Exemplo 57 Assuma que o gerador do Exemplo 56 está equipado com um regulador automático de tensão ajustado para manter a tensão de terminal do gerador em seu valor nominal a Se o gerador for carregado com seu valor nominal calcule o respectivo ângulo de potên cia a tensão interna por unidade e a corrente de campo b Usando MATLAB plote a corrente de campo em ampères como função da potência por unidade do gerador até a plena carga Solução a Com a tensão de terminal mantida constante em Va 10 por unidade a potência pode ser expressa como onde δt é o ângulo da tensão de terminal em relação a Para P 10 por unidade δt 133 e consequentemente Î é igual a e ou Eaf 178 por unidade correspondendo a uma corrente de campo da Eq 537 de If 178 297 529 A O respectivo ângulo de potência é 627 b A Figura 516 é a plotagem MATLAB desejada Podemos ver que If varia indo de 10 em P 0 até 178 em P 10 Capítulo 5 Máquinas síncronas 291 292 Máquinas elétricas O motor tem um regulador automático de tensão que é ajustado para manter sua tensão de terminal em 2300 V Se o motor estiver operando com sua potência nominal calcule sua corrente de terminal a potência reativa fornecida ao motor em seus terminais e a respectiva corrente de campo do motor Solução Embora essa máquina seja certamente do tipo de polos salientes resolveremos o problema usando a teoria simples do rotor cilíndrico Desse modo a solução não leva em consideração o conjugado de relutância e portanto como discutido na Seção 57 subestima de certa forma a capacidade de potência máxima da máquina Como mostrado no circuito equivalente da Figura 517a para os objetivos deste exem plo usaremos o sentido motor de referência para a corrente Da Eq 545 e do diagrama fasorial da Figura 517b tensão de fase e com P 2000 HP 1492 kW obtemos Xs Xf Vaˆ Vsˆ Motor Fonte Êaf Îa b a Îa jXf Îa jXs Îa Vsˆ Vaˆ Êaf δ δt φ Figura 517 Circuito equivalente e diagrama fasorial para o Exemplo 58 Capítulo 5 Máquinas síncronas 293 onde o sinal negativo é devido ao fato de que a potência circula da fonte para o motor e portan to está atrasada em relação a Assim e a potência reativa Q fornecida ao motor é igual a onde a notação Im indica a parte imaginária de um número complexo e o símbolo indica o conjugado complexo O fato da potência reativa que entra no motor ser negativa significa que o motor na realidade está fornecendo potência reativa ao sistema nessas condições de operação Do circuito equivalente monofásico entre linha e neutro da Figura 517a vemos que Observe que tensões de fase devem ser usadas e portanto Eaf 1544 V tensão de fase ou 2674 V tensão de linha Aqui vemos que Eaf é igual a 116 vezes a tensão nominal de máqui na 116 por unidade e assim podemos calcular a corrente de campo a partir da Eq 537 como Problema prático 57 Repita o Exemplo 58 para uma tensão de fonte de 2315 V Solução Ia 375 A Q 235 kVA If 417 A 55 Características de operação em regime permanente As principais características de funcionamento de uma máquina síncrona em regime permanente são descritas pelas interrelações existentes entre a tensão de terminal a corrente de campo a corrente de armadura o fator de potência e o rendimento Uma seleção de características importantes de desempenho de máquinas síncronas em aplicações práticas será apresentada nesta seção Em geral os valores nominais dos geradores síncronos são fornecidos em ter mos de uma carga de potência aparente máxima kVA ou MVA que pode ser forne cida continuamente sem superaquecimento com valores específicos de tensão e fator 294 Máquinas elétricas de potência muitas vezes 80 85 ou 90 atrasado Como elas costumam operar com regulação de tensão de terminal os geradores síncronos operam normalmente com uma tensão de terminal cujo valor está dentro de 5 em torno da tensão no minal Quando a potência ativa de carga e a tensão são fixadas a potência de carga reativa permitida é limitada pelo aquecimento dos enrolamentos da armadura ou do campo A região de operação permitida de um gerador síncrono é apresentada na maioria das vezes na forma de uma curva de capacidade que fornece os carregamen tos máximos de potência reativa correspondentes a diversas cargas de potência ativa operando na tensão de terminal nominal A Figura 518 mostra um conjunto típico de curvas de capacidade para um turbogerador de grande porte refrigerado com hidrogênio Observe que as três curvas vistas na figura correspondem a pressões diferentes do gás hidrogênio de refrigera ção O aumento da pressão de hidrogênio melhora o resfriamento e como se pode ver na Figura 518 permite uma carga global maior para a máquina O aquecimento do enrolamento de armadura é o fator limitante dentro da região que está compreendida entre os valores unitário e nominal do fator de potência 085 atrasado na Figura 518 Por exemplo para uma determinada potência de carga ati va quando se aumenta a potência reativa além dos limites da porção de aquecimento de armadura da curva de capacidade resulta uma corrente de armadura superior a que é possível de ser refrigerada com sucesso resultando temperaturas de enrolamento de armadura que danificam o seu isolamento e degradam a sua vida útil De modo 098 095 0 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 Potência por unidade Potência reativa por unidade indutiva 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 090 085 080 075 070 Aquecimento de armadura limitado Aquecimento do campo limitado 30 psig H2 15 psig H2 05 psig H2 fator de potência Figura 518 Curvas de capacidade de um turbogerador refrigerado com hidrogênio fator de potência de 085 e relação de curtocircuito de 080 A potência da base em MVA é a potência nominal na pressão de 05 psig de hidrogênio Capítulo 5 Máquinas síncronas 295 semelhante para fatores de potência baixos o aquecimento do enrolamento de campo é o fator limitante As curvas de capacidade fornecem uma orientação valiosa tanto para os plane jadores de sistemas de potência como para os operadores Quando os planejadores de sistema estão analisando modificações e acréscimos a um sistema de potência eles podem rapidamente verificar se os diversos geradores existentes ou propostos podem abastecer com segurança as cargas demandadas De modo semelhante os operadores de sistema podem ver rapidamente se geradores individuais podem responder com segurança às alterações de carga do sistema que em geral ocorrem durante a operação do sistema A seguir será vista a obtenção das curvas de capacidade como as da Figura 518 A operação sob condições de tensão de terminal e corrente de armadura cons tantes no valor máximo permitido pelas limitações de aquecimento corresponde a um valor constante de potência aparente de saída que é determinada pelo produto da tensão de terminal pela corrente Como a potência aparente S por unidade é dada por 548 onde P representa a potência ativa por unidade e Q representa a potência reativa por unidade é possível ver que uma potência aparente constante corresponde a um círcu lo cujo centro está na origem do gráfico da potência reativa versus a potência ativa Da Eq 548 e para uma tensão de terminal constante observe também que a potência aparente constante corresponde a uma corrente de enrolamento de armadura constan te e consequentemente a um aquecimento constante do enrolamento de armadura Esse círculo que corresponde ao nível máximo aceitável de aquecimento da armadu ra está mostrado na Figura 519 Limite do aquecimento do campo Valor nominal da máquina Limite do aquecimento da armadura 0 VaIa P Q VaEaf Xs Va2 Xs Figura 519 Construção usada na obtenção da curva de capacidade de um gerador síncrono 296 Máquinas elétricas De modo semelhante considere o funcionamento quando a tensão de terminal é constante e a corrente de campo e consequentemente a tensão gerada Eaf está limitada a um valor máximo também determinado por limitações de aquecimento Por unidade temos 549 Da Eq 525 com Ra 0 550 As Eqs 549 e 550 podem ser resolvidas resultando 551 Essa equação corresponde ao círculo centrado em na Figura 519 e determina o limite de aquecimento do campo na operação da máquina mostra da na Figura 518 É comum especificar os valores nominais da máquina potência aparente e fator de potência como o ponto de interseção das curvas limites de aque cimento da armadura e do campo como mostrado na Figura 519 Com se pode ver nas curvas de capacidade da Figura 518 há limitações adi cionais impostas à operação de um gerador quando está trabalhando subexcitado e absorvendo potência reativa Q 0 Essas limitações não mostradas na Figura 519 estão associadas com o aquecimento nas regiões de terminação do núcleo do estator de um gerador operando em condições de subexcitação assim como limites de estabi lidade impostos pelo sistema ao qual um gerador específico está conectado Exemplo 59 Considere um gerador síncrono com especificações nominais de 138 kV 150 MVA 09 de fator de potência fp com uma reatância síncrona de 118 pu por unidade e CCAV 680 A Sabendo que o fator de potência nominal do gerador é determinado pela intersecção das cur vaslimites de aquecimento da armadura e do campo calcule a corrente de campo máxima que pode ser fornecida ao gerador sem ultrapassar o limite de aquecimento do campo Solução Baseado na suposição de que o fator de potência nominal desse gerador é determinado pela intersecção das curvaslimites de aquecimento da armadura e do campo como mostrado na Figura 519 vemos que neste ponto de operação Va 10 por unidade e Ia 10 e jφ onde φ cos1 09 2584 Observe que φ é negativo porque a potência reativa é positiva Da Eq 550 Assim vemos que o aquecimento de campo limita o valor máximo da tensão gerada a 185 e assim limita a corrente de campo a um valor máximo de 185 CCAV 1258 A Capítulo 5 Máquinas síncronas 297 Para uma determinada potência ativa de carga e tensão de terminal o fator de potência com o qual uma máquina síncrona opera e consequentemente sua corrente de armadura pode ser controlado ajustando a excitação do seu campo Uma curva da corrente de armadura em função da corrente de campo para potência ativa e tensão de terminal constantes é conhecida como curva V devido à sua forma característica Uma família de curvas V para um gerador síncrono correspondente a várias cargas de potência ativa tem a forma mostrada na Figura 520 As linhas tracejadas são os locais de fator de potência constante Elas são de nominadas curvas compostas mostrando como a corrente de campo deve ser variada à medida que a carga é alterada para manter constante o fator de potência Pontos à direita da curva composta de fator de potência unitário correspondem a uma sobre excitação e a fator de potência atrasado pontos à esquerda correspondem a uma subexcitação e fator de potência adiantado As curvas V e as curvas compostas de um motor síncrono são muito semelhantes às dos geradores síncronos De fato se não fosse pelos pequenos efeitos da resistência de armadura as curvas compostas de motores e geradores seriam idênticas exceto que as curvas com fatores de potência atrasado e adiantado seriam trocadas A natureza de uma curva V é melhor compreendida com o auxílio de um diagra ma fasorial Considere o diagrama fasorial da Figura 521 representando a Eq 550 para um gerador síncrono operando com tensão de terminal constante Va potência ativa constante P e três valores diferentes de corrente de campo Para simplificar esta discussão vamos supor que todas as grandezas são expressas por unidade e portanto a potência ativa é dada por 552 onde φ é o ângulo de Îa em relação a Como Va e P são constantes vemos da Eq 552 que Ia cos φ constante 553 0 025 05 075 10 fp 08 adiantado fp 08 atrasado Corrente de campo Corrente de armadura fp 10 Potência de saída por unidade Figura 520 Forma típica das curvas V de um gerador síncrono 298 Máquinas elétricas e desse modo a projeção de Îa sobre é constante Como resultado as extremidades de todos os fasores Îa devem estar localizadas ao longo da linha vertical tracejada denominada Lugares de Îa na Figura 521 De modo semelhante como Êaf é obtido adicionando o fasor j XsÎa que é perpendicular ao fasor Îa a podese mostrar que as extremidades de todos os fasores Êaf devem estar localizadas ao longo da linha horizontal tracejada denominada Lugares de Êaf na Figura 521 Considere o funcionamento com a corrente Îa1 da Figura 521 caso em que o gerador está operando com um fator de potência adiantado φ1 é positivo Nesse caso portanto sua saída de potência reativa dada por 554 é negativa isto é o gerador está absorvendo potência reativa do sistema externo Observe que nessa condição de funcionamento a respectiva tensão gerada Êaf tem o menor valor dos três pontos de operação correspondendo ao menor valor de corrente de campo como pode ser visto da Eq 537 Quando um gerador síncrono está absor vendo potência reativa dizemos que ele está subexcitado A seguir considere o funcionamento com fator de potência unitário correspon dendo à corrente de terminal Îa2 no diagrama fasorial Vemos que o valor da respecti va tensão gerada Êaf2 é maior do que o da primeira condição de operação Assim se o gerador estiver operando subexcitado um aumento de corrente de campo reduzirá a corrente de armadura e melhorará o fator de potência reduzindo a potência reativa absorvida pelo gerador O mínimo de corrente de armadura ocorre quando o gerador está operando com fator de potência unitário potência reativa zero Como se pode ver no diagrama fasorial um novo aumento na corrente de cam po e o respectivo aumento em Eaf resultará em um incremento na corrente de arma dura desde seu valor mínimo Por exemplo considere o ponto de operação corres pondente à corrente de terminal Îa3 e tensão gerada Êaf3 Nessas condições o gerador está funcionando com fator de potência atrasado φ3 é negativo e portanto a potência reativa de terminal é positiva Nesse caso o gerador fornece potência reativa ao siste ma externo Quando um gerador síncrono está fornecendo potência reativa dizemos que ele está sobreexcitado Lugares de Êaf Lugares de Îa δ1 θ1 Êaf1 Êaf2 Êaf3 jXsÎa3 jXsÎa2 Îa2 Îa3 Îa1 jXsÎa1 Va Figura 521 Diagrama fasorial para operação com potência constante em tensão de terminal constante Capítulo 5 Máquinas síncronas 299 Exemplo 510 Calcule a corrente de campo em ampères do gerador do Exemplo 59 se ele estiver operando com sua tensão de terminal nominal e fator de potência unitário com cargas de potência ativa de 05 075 e 10 por unidade Solução Com fator de potência unitário a corrente de terminal por unidade é Como se pode ver no diagrama fasorial da Figura 521 o fasor j XsÎa é perpendicular a e portanto e da Eq 537 temos If Eaf CCAV 1161 680 789 A De modo semelhante para P 075 por unidade If 908 A e para P 10 por unidade If 1052 A Exemplo 511 Usando MATLAB plote a corrente de terminal por unidade versus a corrente de campo em ampères para o gerador do Exemplo 59 que está operando na tensão de terminal nominal e potência ativa de 07 por unidade quando o fator de potência do gerador varia de 08 adiantado até 08 atrasado Solução Para o intervalo especificado de fator de potência o ângulo de fator de potência varia no inter valo φ0 φ φ0 onde φ0 cos1 08 3687 Da Eq 552 vemos que para um determi nado valor de φ a corrente de terminal por unidade pode ser obtida por e assim A tensão gerador por unidade poderá então ser obtida da Eq 550 e a corrente de campo da Eq 537 A plotagem resultante está mostrada na Figura 522 Aqui está o script de MATLAB onde AFNL corresponde a CCAV clc clear Parâmetros do gerador Va 10 Xs 118 300 Máquinas elétricas AFNL 680 P 07 theta acos081011 Ia PVacostheta Iahat Iaexpjtheta Eafhat VajXsIahat Eaf absEafhat If EafAFNL plotIfIaLineWidth2 xlabelIf AFontSize20 ylabelIa por unidadeFontSize20 setgcaFontSize20 setgcaxlim600 1200 grid on Como vimos os geradores síncronos podem fornecer potência tanto ativa como reativa Um tipo especial de gerador síncrono projetado para fornecer apenas potên cia reativa é denominado condensador síncrono Os condensadores síncronos ope ram sem máquinas motrizes4 e sua função é fornecer ou absorver potência reativa de um sistema de potência controlando assim a tensão do sistema no ponto ao qual estão conectados Como aproximação simples podemos vêlos como uma fonte de tensão CA ajustável controlada por sua corrente de campo Observe que esse tipo de funcio namento corresponde a operar ao longo do eixo de potência ativa zero das curvas de capacidade das Figuras 518 e 519 4 Um motor relativamente pequeno suficiente para fornecer potência para as perdas rotativas pode ser usado para atingir a velocidade de operação e para a colocação em paralelo com o sistema de potência If A Ia por unidade 065 095 1 600 700 800 900 1000 1100 1200 09 085 08 075 07 Figura 522 Plotagem MATLAB da corrente de terminal por unidade versus corrente de cam po do Exemplo 511 Capítulo 5 Máquinas síncronas 301 Exemplo 512 Considere um condensador síncrono conectado a um sistema de potência que pode ser repre sentado por uma tensão de equivalente Thévenin Veq e reatância em série Xeq como mostrado na Figura 514 O condensador síncrono tem especificações nominais de 75 MVA e 138 kV com uma reatância síncrona de 095 por unidade e CCAV 830 A Se a tensão equivalente do sistema for 1375 kV e Xeq 002 por unidade tomando como base o gerador calcule a cor rente de campo do gerador necessária para elevar a tensão de terminal do gerador e consequen temente a tensão local do sistema para 138 kV e a potência reativa fornecida nessa condição de operação Solução Nessa condição de operação Veq 13751380 09964 por unidade e a tensão de terminal do gerador é Va 10 por unidade Como não há circulação de potência ativa sabemos que essas tensões estão em fase e portanto a corrente de terminal do gerador é A tensão gerada por unidade pode então ser obtida da Eq 550 como Êaf Va j XsÎa 1172 por unidade Assim da Eq 537 a corrente de campo é igual a If 830 1172 973 A Finalmente a potência reativa de saída do gerador é Problema prático 58 Repita o Exemplo 512 quando a tensão equivalente do sistema é 1388 kV Solução If 601 A Q 0290 por unidade 217 MVA Como ocorre com todas as máquinas eletromecânicas o rendimento de uma máquina síncrona que esteja operando em um ponto qualquer em especial é de terminado pelas perdas perdas ôhmicas I2R nos enrolamentos perdas no núcleo perdas suplementares e perdas mecânicas Como essas perdas variam de acordo com as condições de operação e são um tanto difíceis de serem medidas com exatidão vários procedimentos padronizados foram desenvolvidos para se calcular o rendi mento das máquinas síncronas5 Os princípios gerais desses cálculos estão descritos no Apêndice D 5 Veja por exemplo IEEE Std 1152009 IEEE Guide Test Procedures for Synchronous Machines In stitute of Electrical and Electronic Engineers Inc wwwieeeorg e NEMA Standards Publication No MG 12009 Motors and Generators National Electrical Manufactures Association wwwnemaorg No Bra sil a entidade responsável por essas especificações é a ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas Exemplo 58 Um motor síncrono trifásico de 2000 HP 2300 V ligado em Y 30 polos e 60 Hz tem uma reatância síncrona de 195 Ωfase e CCAV 370 A O motor está conectado a uma fonte de tensão constante de 60 Hz a 2300 V por meio de um alimentador de reatância 32 Ωfase Para os propósitos deste problema todas as perdas podem ser desprezadas Capítulo 5 Máquinas síncronas 303 Para as condições especificadas de operação o motor está trabalhando em seus valores de tensão e kVA nominais e portanto com o valor nominal de corrente de armadura 10 por unidade 118 A A corrente de armadura é portanto Îa 10e jφ onde φ arccos 08 369 A tensão gerada por unidade pode ser encontrada como Êaf Va Ra j Xs Îa Aqui Va 10 por unidade e Xs 0775 como foi calculado no Exemplo 54 Ra por unidade é calculada usando a impedância de base Zbase 220 V245 kVA 1076Ω como Assim Êaf 1572ej241 por unidade Do Exemplo 54 temos que CCAV 284 A A corrente If pode ser encontrada a partir da Eq 537 como If Eaf CCAV 447 A As perdas I2R são portanto If 2 Rf 4472 355 708 W As perdas I2R da armadura por unidade são Ia2 Ra 3 102 00371 00371 por unidade e assim Ia2 Ra 00371 45 103 1670 W Da Figura 523 com Ia 118 A as perdas suplementares são iguais a 036 kW Con siderase que as perdas suplementares são responsáveis pelas perdas causadas pelo fluxo de dispersão da armadura As perdas no núcleo sob carga são basicamente uma função do fluxo principal presente no núcleo do motor Como foi discutido no Capítulo 2 a tensão no ramo de magnetização de um transformador correspondendo ao fluxo no núcleo do trans formador é calculada subtraindo da tensão de terminal a queda de tensão na impedância de dispersão Fazendo uma analogia o fluxo principal no núcleo de uma máquina síncrona isto é o fluxo de entreferro pode ser calculado como se fosse a tensão frequentemente referida como tensão de entreferro presente na impedância de dispersão da máquina Em geral como a resistência de armadura é pequena é comum ignorar a resistência e calcular a tensão na reatância de dispersão Então as perdas no núcleo podem ser estimadas a partir da curva de perdas no núcleo a vazio usando o valor de tensão presente na reatância de dispersão Neste exemplo desconhecemos a reatância de dispersão da máquina Assim uma abor dagem consiste em simplesmente supor que a tensão de entreferro seja igual à tensão de ter minal e determinar as perdas no núcleo sob carga a partir da curva de perdas no núcleo cor respondentes à tensão de terminal6 Neste caso a tensão de terminal é 220 V tensão de linha e assim da Figura 523 as perdas no núcleo a vazio são 120 kW 6 Mesmo não sendo rigorosamente correta tornouse comum a prática de ignorar a queda de tensão na impedância de dispersão quando as perdas no núcleo sob carga são determinadas 304 Máquinas elétricas Para estimar o efeito de se ignorar a queda de tensão na reatância de dispersão vamos supor que a reatância de dispersão deste motor seja Xal 015 por unidade Nesse caso a ten são de entreferro por unidade é igual a o que corresponde a uma tensão de linha de 242 V Da Figura 523 as perdas correspondentes no núcleo são 142 kW ou seja 220 W superiores ao valor obtido quando se usa a tensão de terminal Para os objetivos deste exemplo usaremos 142 kW Incluindo 091 kW de perdas por atrito e ventilação agora todas as perdas foram obtidas Perdas totais 0708 167 036 142 091 507 kW A potência total de entrada do motor é a potência de entrada da armadura mais a potência dissipada no enrolamento de campo Potência de entrada 08 45 0708 367 kW e a potência de saída é igual à potência total de entrada menos as perdas totais Potência de saída 367 507 316 kW Portanto Problema prático 59 Repita o Exemplo 513 para o caso em que o motor está operando com uma potência de entrada de 45 kW e um fator de potência unitário Solução Rendimento 899 Exemplo 514 Resultados experimentais são muitas vezes apresentados na forma tabular ou como gráficos como os dados de perdas apresentados na Figura 523 Em geral é útil expressar esses dados de forma funcional de modo que possam ser facilmente incorporados em programas de projeto e análise O MATLAB contém diversas funções que podem ser usadas para realizar essa tarefa Com base nos seguintes pontos de dados lidos da curva de perdas no núcleo a vazio use a função spline do MATLAB para plotar uma curva das perdas no núcleo a vazio versus a tensão a vazio Tensão a vazio V Perdas no núcleo a vazio W 0 0 50 200 80 600 110 1200 140 2000 Capítulo 5 Máquinas síncronas 305 Solução A plotagem de perdas no núcleo a vazio versus tensão a vazio está na Figura 524 Aqui está o script de MATLAB clc clear Tensão a vazio V Voc1 0 Voc2 50 Voc3 80 Voc4 110 Voc5 140 Perdas no núcleo W Pcore1 0 Pcore2 200 Pcore3 600 Pcore4 1200 Pcore5 2000 Selecione um intervalo de tensões a vazio para a plotagem VOC 0150 Use a função spline para calcular as respectivas perdas no núcleo PCORE splineVocPcoreVOC Plote os resultados plotVOCPCORE1000 xlabelTensão a vazio ylabelPerdas no núcleo a vazio kW Tensão a vazio Perdas no núcleo a vazio kW 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 22 24 140 150 0 20 40 60 80 100 120 Figura 524 Plotagem MATLAB de perdas no núcleo a vazio versus tensão a vazio do Exemplo 514 306 Máquinas elétricas 56 Efeitos dos polos salientes introdução à teoria dos eixos direto e em quadratura As características essenciais das máquinas de polos salientes são desenvolvidas nesta seção com base no raciocínio físico Um tratamento matemático baseado na indutân cia para o equacionamento como o apresentado na Seção 52 é dado no Apêndice C onde a transformação dq0 é desenvolvida 561 Ondas de fluxo e de FMM Como o entreferro é uniforme o fluxo produzido por uma onda de FMM em uma máquina de entreferro uniforme não depende do alinhamento espacial da onda em relação aos polos do campo Entretanto em uma máquina de polos salientes como a mostrada esquematicamente nas Figuras 44 e 46 a direção preferencial de magne tização é determinada pelos polos com protuberâncias do campo A permeância ao longo do eixo polar referido em geral como eixo direto do rotor é consideravelmente maior do que a presente ao longo do eixo interpolar referido muitas vezes como eixo de quadratura O enrolamento de campo produz fluxo que está alinhado com os polos do campo e consequentemente segundo o eixo direto do rotor Assim quando diagra mas fasoriais são desenhados a FMM do enrolamento de campo e o fluxo corres pondente estão localizados ao longo do eixo direto do rotor A tensão interna gerada é proporcional à derivada em relação ao tempo do fluxo do enrolamento de campo e assim o seu fasor Êaf em relação ao fluxo está adiantado de 90 Se guindo a convenção de que o eixo em quadratura está adiantado em relação ao eixo direto de 907 vemos que o fasor da tensão gerada Êaf está localizado ao longo do eixo em quadratura Desse modo um pontochave da análise dos diagramas fasoriais de uma máquina síncrona é que após localizar o fasor Êaf as localizações dos eixos direto e em quadratura podem ser determinadas imediatamente Isso for ma a base da formulação em termos de eixos direto e em quadratura que é usada na análise das máquinas de polos salientes em que todas as tensões e correntes da máquina podem ser decompostas em suas componentes segundo os eixos direto e em quadratura Em uma máquina de rotor cilíndrico sem polos salientes uma onda de FMM distribuída senoidalmente produzirá uma distribuição de fluxo no entreferro com har mônicas espaciais senoidais Isso não ocorre nas máquinas de polos salientes nas quais a mesma onda de FMM distribuída senoidalmente produzirá componentes har mônicas espaciais do fluxo de entreferro além da componente fundamental Feliz mente a experiência mostrou que em muitos casos essas componentes harmônicas espaciais de fluxo podem ser ignoradas e as máquinas de polos salientes são em geral analisadas simplesmente baseandose nas componentes harmônicas espaciais funda 7 Alternativamente embora menos comum alguns autores definem o eixo direto como adiantado em rela ção ao eixo de quadratura em 90º Capítulo 5 Máquinas síncronas 307 308 Máquinas elétricas componente líquida de entreferro do fluxo que concatena o enrolamento de armadura é a soma de e o fluxo de campo 562 Diagramas fasoriais para máquinas de polos salientes Os efeitos indutivos das ondas de fluxo de armadura nos eixos direto e em quadratura podem ser vistos como responsáveis pelas reatâncias de magnetização de eixo direto e em quadratura Xϕd e Xϕq respectivamente similares à reatância de magnetização Xϕ da teoria do rotor cilíndrico Essas reatâncias são responsáveis pelos efeitos in dutivos dos fluxos fundamentais espaciais de entreferro criados pelas correntes de armadura ao longo dos eixos direto e em quadratura e respectivamente De vido ao entreferro maior entre os polos e à respectiva relutância mais elevada o fluxo fundamental espacial de armadura quando a FMM de armadura está alinhada com o eixo em quadratura é menor do que o fluxo fundamental espacial de armadura que seria criado pela mesma corrente de armadura se a onda FMM de armadura estivesse alinhada com o eixo direto Para cada uma das componentes de corrente Îd e Îq há associada uma compo nente de queda de tensão nas reatâncias síncronas j ÎdXd e j ÎqXq respectivamente As reatâncias Xd e Xq são respectivamente as reatâncias síncronas de eixo direto e em quadratura e são iguais à soma das reatâncias de magnetização de eixos direto e em quadratura e a reatância de dispersão do enrolamento de armadura As reatâncias síncronas de eixo direto e em quadratura são dadas então por Xd Xϕd Xal 556 Xq Xϕq Xal 557 onde Xal é a reatância de dispersão da armadura considerada a mesma para as corren tes de eixo direto e em quadratura Compare as Eqs 556 e 557 com a Eq 526 do caso de polo não saliente Como já discutimos a reatância síncrona de eixo em qua dratura Xq é menor do que a de eixo direto Xd devido à relutância maior do entreferro mais longo no eixo em quadratura Observe que um pequeno efeito de polo saliente está presente mesmo nos turboalternadores de rotor cilíndrico devido ao efeitos das ranhuras para o enrolamento de campo no eixo em quadratura do rotor Como mostrado no diagrama fasorial do gerador da Figura 526 a tensão ge rada Êaf é igual à soma fasorial da tensão de terminal mais a queda de tensão na resistência de armadura ÎaRa e as quedas de reatância síncrona j ÎdXd j ÎqXq Êaf a RaÎa j XdÎd j XqÎq 558 Desse diagrama fasorial vemos também que dados o ângulo φ de fator de po tência e o ângulo de potência δ os valores das correntes componentes podem ser encontrados como Id Ia sen δ φ 559 Iq Ia cos δ φ 560 Observe que poderia parecer a partir da Figura 526 que o ângulo apropriado seria δ φ Entretanto isso não é correto porque o diagrama fasorial da Figura 526 foi Capítulo 5 Máquinas síncronas 309 desenhado para o caso de um fator de potência atrasado e portanto o ângulo φ assim como está desenhado tem um valor negativo Como no caso da reatância síncrona Xs de uma máquina de rotor cilíndrico as reatâncias Xd e Xq não são constantes em relação à densidade de fluxo mas saturam à medida que a densidade de fluxo da máquina cresce É comum encontrar especi ficados os valores desses parâmetros tanto para o caso de saturação como o de não saturação8 Os valores de saturação aplicamse a condições típicas de operação da máquina em que a tensão de terminal está próxima de seu valor nominal Para os nossos propósitos neste capítulo e em outros locais do livro não daremos atenção a essa questão e a não ser que especificamente expresso o leitor pode assumir que os valores de Xd e Xq dados são os de saturação Ao desenhar um diagrama fasorial como o da Figura 526 a corrente de arma dura deve ser decomposta em suas componentes de eixos direto e em quadratura Essa decomposição supõe que o ângulo de fase δ φ da corrente de armadura em relação à tensão gerada é conhecido Normalmente entretanto embora o ângulo de fator de potência φ nos terminais da máquina seja conhecido o ângulo δ entre a ten são de terminal e a tensão gerada não é conhecido Assim é necessário localizar o eixo em quadratura e calcular δ Uma porção do diagrama fasorial da Figura 526 está repetido na Figura 527 Observe que neste caso em vez de adicionar os fasores j ÎdXd e j ÎqXq até a extremi dade do fasor ÎaRa a figura mostra a soma dos fasores j ÎdXq e j ÎqXq Embora o fasor j ÎdXq seja menor do que o fasor j ÎdXd da Figura 526 ambos são paralelos ao eixo em quadratura e portanto em cada caso a adição do fasor j ÎqXq resulta em um fasor que termina no eixo em quadratura O pontochave do diagrama fasorial da Figura 527 é que da Eq 555 j Îd Îq Xq j ÎaXq e desse modo o eixo de quadratura pode ser localizado adicionando o fasor j ÎaXq ao fasor Logo que o eixo em quadratura e consequente mente δ for conhecido Îd e Îq podem ser determinados e a tensão gerada Êaf pode ser obtida da Eq 558 8 Veja por exemplo IEEE Std 1152009 IEEE Guide Test Procedures for Synchronous Machines Institute of Electrical and Electronic Engineers Inc wwwieeeorg Îq jXdÎd Êaf Vaˆ RaÎa Îd Îa δ φ Eixo direto Eixo em quadratura Figura 526 Diagrama fasorial de um gerador síncrono mostrando as relações entre as ten sões e as correntes 310 Máquinas elétricas Exemplo 515 As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 100 e 060 por unidade respectivamente A resistência de armadura pode ser considerada desprezível Calcule a tensão gerada quando o gerador fornece seus kVA nominais com fator de potência atrasado 080 e tensão nominal de terminal Solução O diagrama fasorial está mostrado na Figura 528 Como se faz normalmente em tais proble mas a tensão de terminal será usada como fasor de referência isto é Neste caso a máquina está operando com tensão de terminal nominal e portanto Va 10 por unidade Além disso como a máquina está operando com seus kVA nominais o valor da cor rente de armadura é Ia 10 por unidade Vaˆ Êaf Îq Îa φ δ Îd jXqÎq jXqÎa jXdÎd Eixo direto Eixo em quadratura Figura 528 Diagrama fasorial do Exemplo 515 Vaˆ Êaf Îq Îa φ δ Îd jXqÎq jXqÎa jXqÎd RaÎa Eixo direto Eixo em quadratura Figura 527 Diagrama fasorial ilustrando a técnica de localização do eixo em quadratura Capítulo 5 Máquinas síncronas 311 Para um fator de potência 08 atrasado o ângulo de fase φ da corrente de armadura é φ arccos 08 369 e portanto Îa Ia e jφ 10 ej369 A posição do eixo em quadratura é localizado pelo fasor Assim δ 194 e o ângulo de fase entre Êaf e Îa é δ φ 194 369 563 Agora a corrente de armadura pode ser decomposta em suas componentes de eixo direto e em quadratura Das Eqs 559 e 560 Id Ia sen δ φ 100 sen 563 0832 e Iq Ia cos δ φ 100 cos 563 0555 e como fasores Îd 0832 e j194 90 0832 ej706 e Îq 0555 e j194 Agora podemos obter Êaf da Eq 558 e vemos que Eaf 178 por unidade Como esperado observe que Êaf 194 δ confir mando assim que Êaf está localizado sobre o eixo em quadratura Problema prático 510 Repita o Exemplo 515 para fatores de potência de a 095 adiantado e b 095 atrasado Solução a Êaf 111 e j351 por unidade b Êaf 159 e j256 por unidade Exemplo 516 Na teoria simplificada da Seção 52 assumiuse que a máquina síncrona pudesse ser repre sentada por uma única reatância a reatância síncrona Xs da Eq 526 Naturalmente surge a questão Quão boa uma aproximação será quando uma máquina de polos salientes for analisa da desse modo simplificado Podese supor que uma máquina de polos salientes seja analisada pela teoria do rotor cilíndrico como se ela tivesse uma única reatância síncrona igual ao seu 312 Máquinas elétricas valor de eixo direto Xd Para investigar essa questão vamos repetir o Exemplo 515 fazendo tal suposição Solução Neste caso assumindo que Xq Xd Xs 10 por unidade podese obter a tensão gerada simplesmente como Comparando esse resultado com o do Exemplo 515 em que encontramos Êaf 178e j194 vemos que o valor da tensão gerada prevista está relativamente próximo do valor correto Como resultado vemos que o cálculo da corrente de campo necessária para essa con dição de operação será relativamente exato desde que se faça a suposição simplificadora de que os efeitos das saliências possam ser desprezados Entretanto o cálculo do ângulo de potência δ 194 versus um valor de 266 quando as saliências são desconsideradas mostra um erro consideravelmente maior Em geral tais erros de cálculo dos ângulos de potência em regime permanente podem ser significativos quando se estuda o comportamento transitório de um sistema que inclua diversas máquinas síncronas Assim embora as saliências possam ser ignoradas em alguns casos como quando os cálculos feitos para um sistema são simplificados elas raramente são ignoradas em estudos baseados em computador de sistemas de grande escala 57 Características de ângulo de carga das máquinas de polos salientes Para os propósitos desta seção analisaremos uma máquina síncrona que atua como gerador e desprezaremos a resistência de armadura Ra porque em geral é pequena Com Ra desprezada a Eq 558 pode ser escrita novamente em termos das componen tes de eixos direto e em quadratura da tensão e da corrente como 561 Sabendo que os fasores Êaf e j XdId estão localizados ao longo do eixo em quadratura e j XqIq está sobre o eixo direto negativo podemos reescrever a Eq 561 em termos dos valores das componentes de eixos direto e em quadratura como Eixo direto 0 Vd XqIq 562 Eixo em quadratura Eaf Vq XdId 563 Essas relações estão ilustradas no diagrama fasorial da Figura 529 Observe que as Eqs 561 a 563 baseiamse no uso do sentido de referência do tipo gerador para a Capítulo 5 Máquinas síncronas 313 corrente No caso de uma análise baseada no sentido de referência do tipo motor o sinal de cada termo envolvendo corrente deve ser trocado ou seja substitua Îd por Îd e Îq por Îq A potência de saída do gerador por fase e por unidade pode ser calculada como 564 Do diagrama fasorial da Figura 529 e Îa podem ser escritos em termos dos valores de suas componentes dos eixos e do ângulo de potência δ como 565 Îa Îd Îq j Id e jδ Iq e jδ 566 Então a substituição na Eq 564 dá 567 Do diagrama fasorial da Figura 529 vemos que Vd Va sen δ 568 Vq Va cos δ 569 e das Eqs 562 e 563 570 571 Eixo em quadratura Eixo direto Îa jXdÎd jXqÎq Îq Vd ˆ Vaˆ Vqˆ Îd Êaf δ φ Figura 529 Diagrama fasorial ilustrando as componentes de eixos direto e em quadratura da Eq 561 Capítulo 5 Máquinas elétricas 314 Capítulo 5 Máquinas síncronas 315 316 Máquinas elétricas impedância de base do motor é 230021492 103 354 Ω Assim as reatâncias por unidade são Xd 195355 0550 e Xq 140354 0395 Como estamos analisando um funcionamento do tipo motor escolheremos para a cor rente o sentido de referência do tipo motor como mostrado na Figura 532a A análise desen volvida nesta e nas seções anteriores baseada no sentido de referência do tipo gerador para a corrente pode ser facilmente aplicada a uma análise baseada no sentido de referência do tipo motor apenas trocando o sinal de cada termo envolvendo a corrente Îa ou suas componentes de eixos direto e em quadratura Como resultado e como mostrado no diagrama fasorial da Figura 532b desenhado neste caso para operação com fator de potência unitário o eixo em quadratura pode ser localizado adicionando o fasor j XqÎa à tensão de terminal Assim trabalhando por unidade com tensão de terminal e kVA nominais Va 10 Ia 10 e o diagrama fasorial da Figura 532b vemos que Agora podemos obter Id e Vq Id Ia sen δ 0367 Vq Va cos δ 0930 e da Eq 563 modificada como foi indicado para usar o sentido motor de referência Eaf Vq IdXd 0930 0367 0550 1132 Da Eq 573 a característica de ângulo de potência desse motor é A potência máxima de entrada no motor ocorre quando d Pdδ 0 ou seja b a M Îa Êaf Eixo em quadratura Eixo direto Îa jXdÎd jXqÎa Îq Vaˆ Vqˆ Vaˆ Îd Êaf δ Figura 532 a Diagrama unifilar e b diagrama fasorial para o motor do Exemplo 517 Capítulo 5 Máquinas síncronas 317 318 Máquinas elétricas Defina Va e Eaf Va 10 Eaf 15 Intervalo de delta em graus delta 9090 Potência com as saliências Psalient EafVaXdsinddelta Va221Xq1Xdsind2delta Potência desprezando as saliências Pnonsalient EafVaXdsinddelta Plote os resultados hold off plotdeltaPsalientbLineWidth2 hold on plotdeltaPnonsalientrLineWidth2 hold off xlabeldelta graus ylabelPotência por unidade 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 3 δ graus Potência por unidade 25 2 15 1 05 0 05 1 2 15 25 3 Saliências incluídas Saliências desprezadas Figura 533 Plotagem de MATLAB da potência por unidade versus ângulo de potência do Exemplo 518 Capítulo 5 Máquinas síncronas 319 58 Motores CA de ímã permanente Os motores CA de ímã permanente são motores síncronos polifásicos com rotores de ímã permanente Assim são semelhantes às máquinas síncronas discutidas até aqui neste capítulo com a exceção de que os enrolamentos de campo são substituídos por ímãs permanentes A Figura 534 mostra um diagrama esquemático de uma máquina síncrona CA de ímã permanente A comparação dessa figura com a Figura 52 destaca as seme lhanças entre a máquina CA de ímã permanente e a máquina síncrona convencional de rotor enrolado De fato a máquina síncrona de ímã permanente pode ser analisada com as técnicas deste capítulo assumindose simplesmente que a máquina é excitada por uma corrente de campo de valor constante e assegurando que as diversas indutân cias da máquina são calculadas com base na permeabilidade efetiva do rotor de ímã permanente Pequenos motores de ímãs permanentes são encontrados em muitas aplicações especialmente na indústria eletrônica como acionadores de disco e ventiladores e na indústria automotiva onde são usados em bombas de combustível limpadores de parabrisa e ainda para acionar vidros portas assentos etc Uma aplicação crescente de máquinas com ímãs permanentes maiores está nos veículos elétricos híbridos e mesmo em tamanhos ainda maiores em geradores de turbinas eólicas de grande porte Embora as harmônicas espaciais e temporais de fluxos produzidos pelo estator pos sam induzir perdas na estrutura do rotor das máquinas com ímãs permanentes esses rotores são relativamente livres de perdas porque os ímãs produzem fluxo de rotor sem dissipação Como resultado com a ênfase aumentada em eficiência energética as máquinas de ímãs permanentes serão encontradas em um número crescente de aplicações com especificações nominais continuamente em elevação As vantagens dos ímãs permanentes não acontecem entretanto sem um preço Além do custo real dos próprios materiais de ímãs permanentes há desafios tecnoló gicos que devem ser considerados tanto no estágio de projeto como no de aplicação Como discutido na Seção 16 as características dos ímãs permanentes depen dem da temperatura A densidade de fluxo residual dos ímãs permanentes de a a9 c9 b9 ωm c b S N Eixo magnético da fase a Rotor de ímã permanente Eixo magnético do rotor θm ωmt θ0 Figura 534 Diagrama esquemático de uma máquina CA trifásica de ímã permanente A seta indica o sentido de magnetização do rotor 320 Máquinas elétricas terras raras tal como neodímioferroboro diminui com o aumento de tempe ratura do ímã Como as máquinas esquentam em condições de funcionamento é necessário levar em conta as respectivas reduções da tensão gerada e da pro dução de conjugado Diferentemente de uma máquina síncrona de rotor enrolado a excitação do ro tor em uma máquina de ímã permanente é fixa Isso traz desafios em relação ao controle e também à proteção Por exemplo Em geral os motores de ímãs permanentes são projetados de tal forma que a tensão gerada é igual à tensão nominal de terminal em uma veloci dade muitas vezes referida como velocidade de base do motor signifi cativamente inferior à sua velocidade máxima de funcionamento Nessas condições o sistema de acionamento que alimenta o motor deve ser capaz de fornecer a corrente necessária para limitar a tensão de terminal a seu valor nominal Além disso problemas poderão surgir no caso de ser necessário desligar o acionamento em alta velocidade Embora a saturação limite um pouco a tensão de terminal do motor ela ainda poderá ser suficientemente alta para danificar o isolamento De modo similar problemas poderão surgir no caso de ocorrer uma falta seja externa ao motor seja interna aos enrolamentos do motor já que não há maneira de desativar a excitação do rotor A não ser que haja um disjuntor ou um fusível que possa isolar a falta uma corrente de falta continuará circulando enquanto o motor não parar de girar Como são máquinas síncronas os motores CA de ímã permanente devem ser operados a partir de acionamentos de motor de frequência variável A Figura 535 mostra uma vista em corte de um típico motor CA de ímã permanente superficial Figura 535 Vista em corte de um motor CA de ímã permanente superficial Também está mostrado o sensor de velocidade e posição usado para controlar o motor Essa figura também mostra um sensor de velocidade e posição montado no eixo do rotor Esse sensor é usado para controlar o motor como discutiremos na Seção 1022 Diversas técnicas podem ser utilizadas para medir a posição do eixo incluindo dispositivos de efeito Hall diodos emissores de luz e fototransistores em combinação com uma roda pulsada e sensores indutivos O motor é alimentado com um acionamento de fonte de alimentação que fornece correntes trifásicas equilibradas de frequência e valor variáveis e com um ângulo de fase que pode ser variado em relação ao tempo dos pulsos produzidos por um sensor de posição instalado no eixo do motor Com uma velocidade de 1800 rpm a frequência elétrica pode ser obtida da Eq 42 resultando o valor de 60 Hz Usando a notação Eam para a tensão gerada pelos ímãs a frequência tensão gerada é portanto Eam 331 VHz 60 Hz 1986 V tensão de linha 1147 V tensão de fase e a reatância síncrona é 324 Máquinas elétricas onde o sinal negativo foi incluído considerando o fato de que δ é negativo no funciona mento como motor Assim Vd Va sen δ 290 V Vq Va cos δ 117 V Isolando a Îa temos do que obtemos φ 375 Assim Id Ia sen φ δ 145 V Iq Ia cos φ δ 115 V Da Eq 567 e multiplicando por três para levar em conta o fato de que neste caso estamos calculando em unidades reais com tensões de fase a potência de saída do motor pode ser calculada como P 3Vd Id Vq Iq 529 kW e o respectivo conjugado é onde ωm rpm π30 80π À primeira vista poderíamos esperar que a potência de saída máxima do motor seria simplesmente determinada pela tensão e corrente nominais como P 3Va Ia 3 1201 185 667 kW Nesse caso a dificuldade está em que o fluxo magnético sozinho produz uma tensão gerada superior à tensão de terminal desejada Como re sultado a corrente de armadura deve atender a duas funções Ela deve interagir com o fluxo magnético para produzir conjugado e deve fornecer uma componente de fluxo de entreferro que reduz o fluxo líquido de entreferro ao valor correspondente a uma tensão de terminal de 208 V tensão de linha Especificamente a corrente do eixo q 115 A produz conjugado ao passo que a corrente do eixo d 145 A reduz o fluxo líquido do enrolamento do estator como é necessário para manter a tensão de terminal em 208 V Como será discutido na Seção 1022 quando um motor de ímã permanente funciona comandado por controle vetorial ou orientação de campo esse uso da corrente de eixo d para controlar a tensão de terminal é denominado enfraquecimento de campo ou enfra quecimento de fluxo Problema prático 512 Repita a parte b do Exemplo 519 supondo que o motor esteja operando em 2200 rpm Solução P 629 kW T 273 Nm Id 109 A Iq 150 A Capítulo 5 Máquinas síncronas 325 A Figura 539 mostra uma seção reta do rotor do rotor de uma típica máquina CA de ímã permanente interior Nessa máquina os ímãs são colocados em fendas no interior do rotor O rotor da Figura 539 é um rotor de 4 polos com pares de ímãs de polaridades alternadas A Figura 540 a mostra uma solução bidimensional de ele mentos finitos para a distribuição de fluxo de circuito aberto produzida por esse rotor em um estator típico Devido à presença dessas fendas e ao fato de que a permeabi lidade efetiva dos ímãs está próxima da do vácuo os rotores de ímãs permanentes interiores apresentam saliências Como resultado eles se assemelham a máquinas síncronas de polos salientes e rotor enrolamento e produzem conjugados de relutân cia e magnético Há entretanto uma diferença significativa entre máquinas síncronas de polos salientes e rotor enrolamento e as suas semelhantes de ímãs permanentes interio res Nas máquinas síncronas de polos salientes e rotor enrolamento a indutância de eixo direto é maior do que a de eixo em quadratura Como pode ser visto na Figura 540a o fluxo de eixo direto na máquina nesse caso produzido apenas pelos ímãs passa através dos ímãs Por outro lado a Figura 540b mostra que o fluxo do eixo em quadratura passa em torno dos ímãs e permanece no aço no rotor O resultado líquido é que o rotor apresenta uma relutância maior ao fluxo de eixo direto do que ao fluxo de eixo em quadratura e consequentemente a indutância de eixo em quadratura é maior do que a de eixo direto Um exame cuidadoso na Figura 540a também mostra uma concentração de fluxo magnético em torno das extremidades de cada ímã A concentração de fluxo é crítica para o desempenho do rotor Da seção reta da Figura 539 vemos que há mate rial magnético cercando cada ímã Se o material magnético nessas pontes de fluxo fosse linear e de permeabilidade razoável essas pontes simplesmente desviariam a maior parte do fluxo magnético em torno dos ímãs e um fluxo magnético muito pe queno cruzaria o entreferro para interagir com o estator Ímãs N N N N N N N N S S S S S S S S Eixo Aço do rotor Figura 539 Seção reta do rotor de uma típica máquina CA de ímã permanente interior 326 Máquinas elétricas Na realidade o aço elétrico não é linear e a saturação do material magnético nessas pontes de fluxo representa um papelchave na determinação do desempenho da máquina de ímãs permanentes interiores Como são delgados eles suportam ape nas uma pequena quantidade de fluxo antes de saturar forçando por sua vez a maior parte do fluxo magnético a cruzar o entreferro Entretanto observe que as pontes tam bém servem a uma segunda função de suporte estrutural mantendo os ímãs no lugar e evitando que o rotor se desfaça com as partes voando para todos os lados Assim como com o anel de retenção de uma máquina de ímãs permanentes superficiais o projeto das pontes envolve a determinação de um ponto intermediário entre a integri dade estrutural e o desempenho magnético pontes delgadas são desejáveis para fazer uso mais efetivo do fluxo produzido pelos ímãs do rotor ao passo que pontes espessas são desejáveis para assegurar que o motor mantenhase intacto em sua velocidade máxima de operação A disposição dos ímãs em V da Figura 539 é uma das muitas que podem ser encontradas em máquinas de ímãs permanentes interiores Por exemplo os ímãs po dem ter orientação paralela ou perpendicular às linhas radiais pode haver múltiplos ímãs em fendas paralelas etc9 Para cada topologia pontes de fluxo saturadas ou barreiras de fluxo fendas não magnéticas no aço do rotor são necessárias para guiar o fluxo magnético através do entreferro Embora os detalhes das diversas topologias variem normalmente a saliência do rotor resultará em uma indutância de eixo em quadratura maior do que a do eixo direto A saturação também desempenha um papel na determinação dos caminhos de fluxo através do rotor quando as máquinas de ímãs permanentes interiores estão sob carga Como resultado embora os motores de ímãs permanentes interiores sejam em geral analisados usando a teoria dos eixos direto e em quadratura das Seções 56 e 57 suas indutâncias de eixos direto e em quadratura podem variar significativamente com a carga 9 Para uma discussão aprofundada das máquinas CA de ímãs permanentes e suas diversas topologias veja JR Hendershot TJE Miller Design of Brushless PermanentMagnet Machines Motor Design Books LLC httpwwwmotordesignbookscom a b Figura 540 Distribuições de fluxo da máquina de ímã permanente interior da Figura 539 a Distribuição de fluxo de circuito aberto b Distribuição de fluxo de eixo em quadratura Capítulo 5 Máquinas síncronas 327 Exemplo 520 Neste exemplo analisaremos um motor trifásico de ímãs permanentes interiores de quatro polos que é similar ao do Exemplo 519 e é alimentado pelo mesmo acionamento Especifi camente considere um motor com uma indutância síncrona de eixo direto de 050 mH e uma indutância síncrona de eixo em quadratura de 230 mH e ambas serão consideradas constantes e independentes da carga do motor Como no caso do motor de ímãs permanentes superficiais do Exemplo 519 este motor tem uma tensão gerada de linha de 331 VHz e pode operar até uma tensão de terminal máxima de 208 V tensão de linha e uma corrente de terminal máxima de 185 A Encontre a potência e o conjugado máximos que o motor pode desenvolver a uma velo cidade de 1800 rpm com a tensão de terminal e corrente limitadas pelos seus valores máximos Encontre também as respectivas correntes de eixos direto e em quadratura Solução Como esta máquina é de polos salientes haverá ambos os conjugados magnético e de relu tância A capacidade de ângulo de potência desta máquina pode ser expressa em termos de tensões de fase a partir da Eq 572 como Com a tensão de terminal fixada em Va 1201 V tensão de fase ou 208 V tensão de linha e a tensão gerada a 1800 rpm 60 Hz igual a Eam 1147 V tensão de fase ou 1986 V tensão de linha podemos ser tentados a encontrar a potência máxima diretamente da potência de pico da característica de ângulo de potência Entretanto nesse caso a corrente de terminal não pode exceder os 185 A e portanto a potência máxima será significativamente menor do que a correspondente ao pico da característica de ângulo de potência Como resultado a solução desejada é encontrada com mais facildade por meio de uma busca com MATLAB Especificamente considere o diagrama fasorial da Fi gura 541 Assumindo que Ia esteja fixo em 185 A então para qualquer valor dado do ângulo γ podemos escrever Id Ia sen γ Iq Ia cos γ Eixo em quadratura Eixo direto Îa jXdÎd jXqÎq Îq Vaˆ Vdˆ Vqˆ Îd Êam δ γ Figura 541 Diagrama fasorial do Exemplo 520 328 Máquinas elétricas o que então nos permite encontrar as componentes dos eixos d e q da tensão de terminal a partir das Eqs 562 e 563 com a troca apropriada de sinal para o sentido de referência do tipo motor da corrente como Vd Xq Iq Vq Eam Xd Id e desse modo encontramos Pesquisando diversos valores de γ para encontrar o correspondente a uma tensão de ter minal de 208 V tensão de linha a tensão desejada P 649 kW T 344 Nm Id 157 A Iq 98 A foi obtida usando o seguinte script de MATLAB clc clear Parâmetros de máquina VpHz 331 V tensão de linha Ld 05e3 H Lq 23e3 H Vrated 208 Tensão nominal Irated 185 Corrente nominal rpm 1800 fe rpm30 omegae 2pife omegam omegae2 Eam tensão de fase Eam feVpHzsqrt3 Reatâncias síncronas Xd omegaeLd Xq omegaeLq Faça Ia Irated e pesquise em gamma Ia Irated N 10000 Capítulo 5 Máquinas síncronas 329 gamma linspacepi20N Correntes dos eixos d e q Iq Iacosgamma Id Iasingamma Tensões dos eixos d e q das Eqs 560 e 561 com uma mudança para a notação motor Vq EamXdId Vd XqIq Potência P 3VdIdVqIq Magnitude de Va Va sqrtVdVdVqVq Encontre a potência máxima sob a condição de não exceder Vrated PMAX 0 for n 1N if sqrt3Van Vrated Pn PMAX PMAX Pn m n end end TMAX PMAXomegam ID Idm IQ Iqm fprintf P 21f kW PMAX1000 fprintf T 21f Nm TMAX fprintf Id 31f A Iq 31f A IDIQ Em geral os motores CA de ímã permanente são referidos como motores sem escovas ou motores CC sem escovas Quando combinado com um sistema de aciona mento de frequência e tensão variáveis essa terminologia surge devido à similaridade de suas características de velocidade versus conjugado com as dos motores CC e tam bém devido ao fato de que é possível ver esses motores como motores CC às avessas em que o enrolamento de campo está no rotor e a armadura é comutada eletronica mente pelo sensor de posição e por chaves conectada aos enrolamentos de armadura 330 Máquinas elétricas 59 Resumo Sob condições de funcionamento em regime permanente a operação de uma máquina síncrona polifásica pode ser descrita em termos da interação de dois campos magnéti cos como foi discutido na Seção 472 As correntes polifásicas do estator produzem uma onda de fluxo magnético girante ao passo que as correntes CC ou um ímã per manente no rotor produzem uma onda de fluxo estacionária em relação ao rotor Um conjugado constante é produzido apenas quando o rotor gira em sincronismo com a onda de fluxo do estator Nessas condições há um deslocamento angular constante entre as ondas de fluxo do rotor e do estator O resultado é um conjugado proporcio nal ao seno do ângulo de deslocamento Vimos que um conjunto simples de ensaios pode ser usado para determinar os parâmetros significativos de uma máquina síncrona como a reatância síncrona Dois desses ensaios são o ensaio a vazio em que a tensão de terminal da máquina é medida em função da corrente de campo e o ensaio de curtocircuito em que a armadura é curtocircuitada e a corrente de armadura de curtocircuito é medida em função da corrente de campo Esses métodos de ensaio são uma variação de uma técnica de teste aplicável não só às máquinas síncronas mas também a qualquer sistema elétri co cujo comportamento possa ser aproximado por um circuito equivalente linear ao qual aplicase o teorema de Thévenin Do ponto de vista do teorema de Thévenin um ensaio a vazio fornece a tensão equivalente Thévenin e um ensaio de curtocircuito dá informações sobre a impedância equivalente Thévenin Do ponto de vista mais específico das máquinas elétricas um ensaio a vazio fornece informações sobre as exigências de excitação as perdas no núcleo e para máquinas rotativas as perdas por atrito e ventilação ao passo que um ensaio de curtocircuito fornece informações sobre as reações magnéticas da corrente de carga as impedâncias de dispersão e as perdas associadas às correntes de carga tais como as ôhmicas I2R e as suplementares A única complicação real surge dos efeitos da não linearidade magnética efeitos que podem ser levados em conta de forma aproximada tratando a máquina como equivalente de uma outra não saturada cuja curva de magnetização é a linha reta Op da Figura 510 e cuja reatância síncrona é ajustada empiricamente em relação à satu ração como na Eq 530 Em muitos casos as máquinas síncronas operam em conjunto com um sistema externo Esse sistema pode ser representado por uma fonte de frequência e tensão constantes conhecido como barramento infinito Nessas condições a velocidade sín crona é determinada pela frequência do barramento infinito e a potência de saída da máquina é proporcional ao produto da tensão de barramento pela tensão interna da máquina proporcional por sua vez à excitação de campo e pelo seno do ângulo de fase entre eles o ângulo de potência Essa potência é inversamente proporcional à reatância líquida entre eles Ao passo que a potência ativa nos terminais da máquina é determinada pela potência de entrada no eixo da máquina se estiver atuando como gerador ou pela carga no eixo se for um motor a variação da excitação de campo altera a potência reativa Para valores baixos de corrente de campo a máquina absorverá potência rea tiva do sistema e o ângulo de potência será grande O aumento da corrente de campo reduz a potência reativa absorvida pela máquina assim como o ângulo de potência Para algum valor de corrente de campo o fator de potência da máquina será unitário e qualquer aumento adicional de corrente de campo fará a máquina fornecer potência reativa para o sistema Uma vez levados até a velocidade síncrona os motores síncronos podem ser operados de modo muito eficiente quando conectados a uma fonte de frequência constante No entanto como já vimos um motor síncrono desenvolve conjugado apenas na velocidade síncrona e assim não tem conjugado de partida Para fazer com que um motor síncrono tenha partida própria um enrolamento do tipo gaiola de esquilo chamado amortecedor ou o enrolamento amortecedor pode ser inserido nas faces polares do rotor Então o rotor atinge quase totalmente a velocidade síncrona por uma ação do tipo motor de indução sem exitação no enrolamento de campo Se a carga e a inércia não forem muito elevadas o motor entrará em sincronismo quando o enrolamento de campo for energizado a partir de uma fonte CC Com uma frequência cada vez maior os motores síncronos podem ser operados usando sistemas de acionamento polifásico de frequência variável Nesse caso eles podem arrancar facilmente e ser operados com bastante flexibilidade Máquinas síncronas de pequeno porte com ímãs permanentes quando operadas nessas condições são em geral referidos como motores sem escovas ou motores CC sem escovas Isso devese à similaridade de suas características de velocidade versus conjugado com os motores CC e também devido ao fato de que esses motores podem ser vistos como motores CC às avessas nos quais a comutação dos enrolamentos do estator é produzida eletronicamente pelo sistema de acionamento eletrônico de potência 510 Variáveis do Capítulo 5 δ Ângulo de fase elétrico ângulo de conjugado rad δRF Ângulo de fase elétrico entre eixo magnético de ΦR e Ff rad λ Fluxo conectado Wb φ Ângulo de fase rad Φ Fluxo Wb ΦR Fluxo de entreferro resultante por polo Wb θm Posição do rotor rad θme Posição do rotor em unidades elétricas rad ωe Frequência elétrica rads ωm Velocidade angular mecânica rads ωs Velocidade angular síncrona rads A Fasor da FMM do estator A CCAV Corrente de Campo A Vazio A CCCCC Corrente de Campo em CurtoCircuito A e v Tensão V E V Tensão V por unidade E Tensão amplitude complexa V por unidade eat Eam Tensão gerada V Eat Eam Tensão gerada amplitude complexa V ER Tensão de entreferro amplitude complexa V por unidade F Fasor de FMM de campo A Ft FMM do campo CC do enrolamento de campo A polos Número de polos Capítulo 5 Máquinas síncronas 335 Corrente de campo A 1690 3260 Corrente de armadura ensaio de curtocircuito kA 982 189 Tensão de linha característica a vazio kV 260 318 Tensão de linha linha de entreferro kV 296 569 Os números entre parênteses são extrapolações baseadas nos dados medidos Encontre a a relação de curtocircuito b o valor não saturado da reatância síncrona em ohms por fase e por unidade e c a reatância síncrona saturada por unidade e em ohms por fase 515 Um fabricante forneceu dados sobre as características a vazio e em curto circuito para um motor síncrono trifásico de quatro polos 45 MW 4160 V e 1800 rpm operando na velocidade nominal Os dados estão resumidos na seguinte tabela Corrente de campo A 203 218 Corrente de armadura ensaio de curtocircuito A 625 672 Tensão de tinha característica a vazio V 3949 4160 Tensão de linha linha de entreferro V 4279 4601 Encontre a A relação de curtocircuito b O valor não saturado da reatância síncrona em ohms por fase e por unidade c A reatância síncrona saturada em ohms por fase e por unidade d A reatância de dispersão de armadura é estimada em 014 por unidade considerando as especificações nominais do motor Calcule a componente de entreferro da indutância própria da fase a em henries 516 Escreva um script de MATLAB que automatize os cálculos dos Problemas 514 e 515 O seguinte conjunto mínimo de dados é necessário j CCAV A corrente de campo requerida para atingir a tensão nominal de terminal a vazio j A respectiva tensão de terminal na linha de entreferro j CCCC A corrente de campo requerida para atingir a corrente nominal de curtocircuito na característica de curtocircuito O seu script deve calcular a a relação de curtocircuito b o valor não sa turado da reatância síncrona em ohms por fase e por unidade e c a reatância síncrona saturada por unidade e em ohms por fase 517 Os dados a seguir foram obtidos de ensaios realizados em um gerador hidrelé trico trifásico de 64 polos 175 MVA 138 kV e 60 Hz Característica a vazio If A 150 300 400 500 600 700 800 900 1000 Tensão kV 27 55 71 87 101 113 125 137 145 Capítulo 5 Máquinas síncronas 337 b Repentinamente a carga é aumentada para 800 kW Calcule o fator de potência resultante de terminal c Calcule a corrente de campo requerida para o motor retornar ao fator de potência unitário de terminal 522 Considere o motor do Problema 515 a Calcule a corrente de campo requerida quando o motor está operando com a tensão nominal e 36 MW de potência de entrada e um fator de potência de 087 adiantado Dê uma explicação para a saturação sob carga por meio do método descrito no parágrafo que trata da Eq 530 b Além dos dados fornecidos no Problema 515 pontos adicionais da carac terística a vazio são fornecidos abaixo Corrente de campo A 200 225 250 275 300 325 350 Tensão de linha V 3906 4247 4556 4846 5098 5325 5539 Se o disjuntor que alimenta o motor da parte a for desativado deixando o mo tor repentinamente em circuito aberto estime o valor da tensão de terminal do motor após o desarmamento antes que o motor comece a perder velocidade e antes que qualquer circuito de proteção reduza a corrente de campo Sugestão Use MATLAB e um ajuste com spline para construir a característica a vazio 523 Considere o gerador síncrono do Problema 512 a Encontre a corrente de campo mínima tal que o gerador operando em sua tensão de terminal nominal pode fornecer potências de saída por unidade de 02 04 e 06 b Para cada uma das potências de saída por unidade das parte a escreva um script de MATLAB para plotar a corrente de armadura por unidade em função da corrente de campo quando esta varia desde seu valor mínimo até um valor máximo de 5000 A 524 Considere um gerador síncrono operando em sua tensão de terminal nominal cuja reatância síncrona é 20 por unidade cuja corrente de terminal não pode exceder seu valor nominal e cuja corrente de campo máxima está limitada a 175 vezes a necessária para obter a tensão de terminal em condições a vazio a Qual é a potência ativa máxima por unidade que pode ser fornecida pela máquina tal que a máquina pode continuar a operar com sua corrente de armadura nominal Qual é a respectiva potência reativa por unidade e qual é o fator de potência b Qual é a potência reativa máxima por unidade que pode ser fornecida por essa máquina 525 Uma máquina síncrona de 45 MVA e 138 kV está operando como condensador síncrono conforme está discutido no Apêndice D Seção D41 A relação de curtocircuito do gerador é 168 e a corrente de campo na tensão nominal a vazio é 490 A Assuma que o gerador está ligado diretamente a uma fonte de 138 kV a Qual é por unidade e em ohms por fase a reatância síncrona saturada do gerador A corrente de campo do gerador é ajustada para 260 A 338 Máquinas elétricas b Desenhe um diagrama fasorial indicando a tensão de terminal a tensão interna e a corrente de armadura c Calcule o valor da corrente de armadura por unidade e em ampères e o seu ângulo de fase relativo à tensão de terminal d Nessas condições o condensador síncrono parece atrasado ou adiantado para o sistema de 115 kV e Repita as partes b até d para uma corrente de campo de 740 A 526 O condensador síncrono do Problema 525 é conectado a um sistema de 138 kV por meio de um alimentador cuja reatância em série é 009 por unida de tendo como base as especificações da máquina Usando MATLAB plote a tensão de linha kV nos terminais do condensador síncrono quando sua corrente de campo varia entre 260 A e 740 A 527 Uma máquina síncrona com reatância síncrona de 113 por unidade está ope rando como gerador com uma potência ativa de carga de 075 por unidade Ela está ligada a um sistema por uma reatância em série de 006 por unidade Observase que um aumento na sua corrente de campo causa uma diminuição na corrente de armadura a Antes do aumento o gerador estava fornecendo ou absorvendo potência reativa do sistema de potência b Como resultado desse aumento de excitação a tensão de terminal do gera dor aumentou ou diminuiu c Repita as partes a e b considerando que a máquina síncrona está ope rando como motor 528 Diversos fabricantes propuseram a construção de máquinas síncronas super condutoras Elas são projetadas com enrolamentos de campo supercondutores que podem suportar elevadas densidades de corrente e criar altas densidades de fluxo Como em algumas configurações as densidades de fluxo magnético de operação excedem as densidades de fluxo de saturação do ferro o resulta do é que geralmente essas máquinas são projetadas com circuitos magnéticos desprovidos de ferro Como resultado elas não exibem efeito de saturação e têm baixas reatâncias síncronas Considere um gerador supercondutor de dois polos 60 Hz 138 kV e 50 MVA que atinge a tensão nominal de armadura a vazio com uma corrente de campo de 1520 A A corrente nominal de armadura é obtida com um curtocircuito trifásico dos terminais para uma corrente de campo de 413 A a Calcule a reatância síncrona por unidade Considere a situação em que esse gerador está conectado a um alimentador de distribuição de 138 kV e impedância desprezível operando com uma potên cia de saída de 43 MW e um fator de potência de 09 atrasado Calcule b a corrente de campo em ampères a saída de potência reativa em MVA e o ângulo de rotor para essas condições de operação c o ângulo de rotor resultante e a saída de potência reativa em MVA se a corrente de campo for reduzida a 1520 A enquanto a potência no eixo for necida pela máquina motriz ao gerador permanece constante Capítulo 5 Máquinas síncronas 341 537 Qual é a porcentagem máxima da potência de saída nominal que um motor de polos salientes entrega sem perda de sincronismo quando está operando em sua tensão nominal de terminal e excitação de campo nula Eaf 0 se Xd 115 por unidade e Xq 075 por unidade Calcule por unidade a cor rente de armadura e a potência reativa nessas condições de operação 538 O motor do Problema 537 está operando com tensão e potência nominais e com fator de potência unitário a Calcule a excitação de campo por unidade onde 10 por unidade de exci tação corresponde a uma corrente de campo de CCAV b Repita o cálculo da parte a assumindo que o motor não tem polos salien tes ou seja assuma que Xq Xd 115 por unidade 539 Considere um motor de polos salientes com Xd 093 por unidade e Xq 077 por unidade a O motor está operando em sua tensão de terminal nominal fornecendo a potência de saída nominal em seu eixo com fator de potência unitário Calcule sua excitação de campo por unidade onde uma excitação de 10 por unidade corresponde a uma corrente de campo de CCAV b Repentinamente a carga do motor cai para 05 por unidade Assumindo que a excitação de campo é a mesma da parte a calcule i a corrente por unidade e ii a potência reativa por unidade nos terminais do motor Su gestão Uma pesquisa com MATLAB pode ser mais simples do que tentar uma solução analítica direta 540 Um gerador síncrono de polos salientes com reatâncias síncronas saturadas Xd 172 por unidade e Xq 147 por unidade está conectado a um barramento infinito por meio de uma impedância externa X 009 por unidade baseado no gerador O gerador está operando com tensão e potência MVA nominais com fator de potência 095 atrasado medidas nos terminais do gerador a Desenhe um diagrama fasorial indicando a tensão do barramento infinito a corrente de armadura a tensão de terminal do gerador a tensão de exci tação e o ângulo de rotor medido em relação ao barramento infinito b Calcule por unidade as tensões de terminal do barramento infinito e a gerada Calcule também o ângulo do rotor em graus medido em relação ao barramento infinito 541 Um gerador síncrono de polos salientes com reatâncias síncronas satura das Xd 087 por unidade e Xq 071 por unidade está conectado a um barramento infinito de tensão nominal por meio de uma impedância externa X 0075 por unidade a i Suponha que o gerador esteja fornecendo apenas potência reativa En contre as excitações de campo mínima e máxima por unidade onde 10 por unidade é a corrente de campo necessária para obter a tensão nominal a vazio de modo que o gerador não ultrapasse a sua corrente nominal de terminal 342 Máquinas elétricas ii Usando MATLAB plote a corrente de armadura em função da excita ção de campo quando a excitação de campo por unidade varia entre os limites determinados na parte i b Supondo agora que o gerador esteja fornecendo uma potência ativa nomi nal de 040 por unidade acrescente sobre o mesmo eixo a plotagem da cor rente de armadura por unidade em função da excitação de campo quando a corrente de campo varia no intervalo para o qual a corrente de armadura é inferior a 10 por unidade c Repita a parte b para potências de saída do gerador de 06 e 08 por uni dade O resultado final será uma plotagem de curvas V para esse gerador nessa configuração 542 Um condensador síncrono de 150 MVA e 138 kV é conectado a um sistema de potência de 138 kV por meio de um transformador de 150 MVA e 138 kV138 kV O condensador síncrono gera uma tensão nominal a vazio com uma corrente de campo de 2480 A e tem uma indutância síncrona de eixo di reto de 131 por unidade e uma indutância síncrona de eixo em quadratura de 098 por unidade O transformador pode ser representado por uma reatância em série de 0065 por unidade Para os objetivos deste problema você pode representar o sistema externo como uma fonte de tensão constante de 138 kV a Observase que a tensão de terminal do condensador síncrono é 1395 kV Calcule sua corrente de terminal em kA a potência reativa em Mvar e a corrente de campo em A b Observase que o condensador síncrono está absorvendo 85 Mvar de po tência reativa Calcule sua tensão de terminal em kV a corrente de terminal em kA e a corrente de campo em A 543 Um motor CA trifásico de ímã permanente e quatro polos tem uma tensão nominal de linha de 208 V e uma saída de 10 kW quando está funcionando na velocidade de 2000 rpm O motor deverá operar a partir de um sistema de acionamento com velocidade variável até 2500 rpm O motor tem uma indu tância síncrona de 56 mH e produz uma tensão de linha a vazio de 185 V na velocidade de 2000 rpm Para os objetivos deste problema você pode considerar a densidade de fluxo operacional do motor como proporcional à razão da tensão de terminal do mo tor dividida pela frequência elétrica de funcionamento Você pode desprezar todas as perdas dentro do motor O algoritmo de controle do acionamento do motor assegura que 1 A densidade de fluxo operacional do motor não excede o valor correspon dente à sua tensão nominal para 2000 rpm 2 A tensão de terminal do motor não excede 208 V 3 A corrente de terminal do motor não excede seu valor nominal a Calcule a frequência elétrica do motor na velocidade de 2000 rpm b Calcule a corrente de terminal nominal do motor e o fator de potência quando o motor está trabalhando a 2000 rpm com a tensão de terminal e a potência de saída nominais CAP ÍTUL O 6 Máquinas polifásicas de indução O objetivo deste capítulo é estudar o comportamento das máquinas de indu ção polifásicas Nossa análise começará com o desenvolvimento de circuitos equivalentes monofásicos cuja estrutura genérica é sugerida pela semelhança existente entre uma máquina de indução e um transformador Esses circuitos equiva lentes podem ser usados para estudar as características eletromecânicas da máquina de indução e o efeito da carga apresentado pela máquina sobre a sua fonte de energia seja ela uma fonte de frequência fixa como um sistema de potência seja um aciona mento de motor com frequência e tensão variáveis 61 Introdução às máquinas de indução polifásica Como foi mostrado na Seção 421 no motor de indução a corrente alternada é forne cida diretamente ao estator ao passo que o rotor recebe a corrente por indução como em um transformador a partir do estator O enrolamento de estator é do tipo discutido na Seção 45 como na máquina síncrona Quando a excitação é feita por uma fonte polifásica equilibrada um campo magnético é produzido no entreferro girando na velocidade síncrona Essa velocidade é determinada pelo número de polos do estator e pela frequência fe aplicada ao estator Equação 444 O rotor de uma máquina de indução polifásica pode ser de dois tipos O rotor enrolado ou bobinado é construído na forma de um enrolamento polifásico seme lhante ao estator tendo o mesmo número de polos Os terminais do enrolamento do rotor são conectados a anéis deslizantes isolados montados sobre o eixo Escovas de carvão apoiadas sobre esses anéis permitem que os terminais do rotor tornemse disponíveis externamente ao motor As máquinas de indução de rotor bobinado são relativamente incomuns encontradas apenas em um número limitado de aplicações especializadas Por outro lado o motor de indução polifásico mostrado em vista longitudinal na Figura 61 tem o assim denominado rotor de gaiola de esquilo no qual o enro lamento consiste em barras condutoras encaixadas em ranhuras no ferro do rotor e curtocircuitadas em cada lado por anéis condutores A extrema simplicidade e a ro bustez da construção em gaiola de esquilo representam vantagens notáveis para esse tipo de motor de indução e de longe fazem dele o tipo de motor mais usado partindo Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 345 dos motores fracionários até os de grande porte A Figura 62a mostra o rotor de um pequeno motor do tipo gaiola de esquilo ao passo que a Figura 62b mostra a própria gaiola de esquilo depois que as lâminas do rotor foram removidas quimicamente por corrosão Vamos supor que o rotor esteja girando na velocidade constante de n rpm no mesmo sentido que o campo girante do estator Seja ns rpm a velocidade síncrona do campo de estator dada pela Equação 444 A diferença entre a velocidade sín crona e a do rotor é normalmente referida como o escorregamento do rotor Neste caso o escorregamento do rotor é ns n medido em rotações por minuto rpm Figura 61 Vista longitudinal de um motor trifásico do tipo gaiola de esquilo As lâminas da gaiola de esquilo podem ser vistas no rotor em corte Foto cortesia da empresa Baldor Electric ABB Figura 62 a O rotor de um pequeno motor do tipo gaiola de esquilo b A estrutura da gaiola de esqui lo depois que as lâminas do rotor foram submetidas à corrosão 346 Máquinas elétricas O escorregamento é expresso em geral como uma fração da velocidade síncrona como 61 É essa a definição de escorregamento usada nas equações que caracterizam o desem penho das máquinas de indução como será desenvolvido neste capítulo Finalmente o escorregamento é muitas vezes expresso em porcentagem sendo igual simplesmen te a 100 vezes o escorregamento fracionário da Equação 61 Por exemplo diremos que um motor operando com um escorregamento de s 0025 está operando com um escorregamento de 25 A velocidade do rotor em rpm pode ser expressa em termos do escorregamento s e da velocidade síncrona como n 1 s ns 62 De modo semelhante a velocidade angular mecânica ωm pode ser expressa em ter mos da velocidade síncrona angular ωs e do escorregamento como ωm 1 s ωs 63 O movimento relativo entre o fluxo do estator e os condutores do rotor induz tensões de frequência fr dadas por fr s fe 64 denominada frequência de escorregamento no rotor Assim o comportamento elétri co de uma máquina de indução é similar ao de um transformador mas apresentando a característica adicional da transformação de frequência produzida pelo movimento relativo entre os enrolamentos do estator e do rotor Na realidade uma máquina de indução de rotor bobinado pode ser usada para realizar conversão de frequência No caso de gaiola de esquilo os terminais do rotor de um motor de indução po dem ser curtocircuitados por construção ou externamente no caso do motor de rotor bobinado O fluxo girante de entreferro induz tensões com a frequência de escorrega mento nos enrolamentos do rotor As correntes do rotor são determinadas então pelas magnitudes das tensões induzidas e pela impedância apresentada pelo rotor na fre quência de escorregamento Na partida o rotor está parado n 0 o escorregamento é unitário s 1 e a frequência do rotor é igual à frequência do estator fe Portanto o campo produzido pelas correntes do rotor gira com a mesma velocidade que o campo do estator resultando um conjugado de partida que faz o rotor tender a girar no senti do de rotação do campo de indução do estator Se esse conjugado for suficiente para superar a oposição à rotação criada pela carga no eixo então o motor atingirá a sua velocidade de operação No entanto essa velocidade nunca pode se igualar à veloci dade síncrona porque então os condutores do rotor estariam estacionários em relação ao campo do estator não haveria indução de corrente neles e consequentemente não seria produzido qualquer conjugado Com o rotor girando no mesmo sentido de rotação que o campo do estator a frequência das correntes do rotor será sfe e elas produzirão uma onda girante de flu xo que irá girar com sns rpm em relação ao rotor no sentido para frente Entretanto superposta à essa rotação existe a rotação mecânica do rotor atuando com n rpm 348 Máquinas elétricas Em condições normais de funcionamento o escorregamento é pequeno 2 a 10 a plena carga na maioria dos motores de gaiola de esquilo A frequência do rotor fr sfe portanto é muito pequena da ordem de 1 a 6 Hz em motores de 60 Hz Para essas frequências a impedância do rotor é bastante resistiva e portanto independente do escorregamento A tensão induzida no rotor por outro lado é pro porcional ao escorregamento e adiantase de 90o em relação ao fluxo de entreferro resultante Como os enrolamentos do rotor estão em curtocircuito a corrente do rotor deve ser igual ao negativo da tensão induzida pelo fluxo de entreferro dividida pela impedância do rotor Assim ela é muito aproximadamente proporcional ao es corregamento e também é proporcional à tensão do rotor estando defasada desta em 180o Como resultado a onda de FMM do rotor está atrasada de aproximadamente 90 graus elétricos em relação ao fluxo de entreferro resultante e assim sen δr 1 Portanto dentro do intervalo em que o escorregamento é pequeno é de se espe rar uma proporcionalidade aproximada da corrente do rotor e consequentemente do conjugado em relação ao escorregamento À medida que o escorregamento aumenta a impedância do rotor elevase devido à contribuição crescente da indutância de disper são do rotor Assim o aumento de corrente e conjugado com o escorregamento torna se menos do que proporcional A corrente do rotor também fica mais atrasada em relação à tensão induzida e o valor de δr decresce diminuindo ainda mais o conjugado resultante Uma análise mais detalhada mostrará que o conjugado aumenta com o in cremento do escorregamento até um valor máximo e então diminui como mostrado na Figura 63 O conjugado máximo que normalmente é o dobro ou mais que conjugado nominal do motor limita a capacidade de sobrecarga de curta duração do motor Veremos que o escorregamento no qual ocorre o conjugado de pico é propor cional à resistência do rotor Para motores de gaiola de esquilo esse escorregamento de conjugado de pico é relativamente pequeno tal como está mostrado na Figura 63 Assim o motor de gaiola de esquilo é basicamente um motor de velocidade constan te tendo uma queda de velocidade de uns poucos por cento quando passa da condição de ausência de carga para plena carga No caso de um motor de rotor bobinado a re sistência do rotor pode ser aumentada inserindo uma resistência externa aumentando assim o escorregamento de conjugado de pico e diminuindo portanto a velocidade do motor para um valor especificado de conjugado Como as máquinas de indução de rotor bobinado são maiores e mais caras requerendo uma manutenção significativa mente mais dispendiosa do que as máquinas de gaiola de esquilo é raro esse método de controle de velocidade ser usado A tendência das máquinas de indução acionadas com fontes de frequência constante é estarem basicamente limitadas a aplicações de velocidade constante Nos anos recentes o uso de sistemas de acionamento de estado sólido de tensão e frequência variáveis vem tornando possível controlar com faci lidade a velocidade das máquinas de indução de gaiola e como resultado são muito usadas hoje em uma larga faixa de aplicações que exigem velocidade variável 62 Correntes e fluxos em máquinas de indução polifásicas Em um rotor bobinado a situação do fluxo e FMM pode ser vista com ajuda da Fi gura 64 Esse esquema mostra a planificação de um enrolamento simples de rotor trifásico e dois polos dentro de um campo de dois polos Podese ver que atende à Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 349 restrição de que um rotor bobinado deve ter o mesmo número de polos que o estator embora o número de fases não precise ser o mesmo A onda de densidade de fluxo do rotor está se movendo para a direita com velocidade angular ωs e com a velocidade angular de escorregamento sωs em relação ao enrolamento do rotor o qual por sua vez está girando para a direita com velocidade angular 1 sωs Ela está mostrada na Figura 64 na posição de tensão instantânea máxima da fase a Se a reatância de dispersão que é igual a sωs vezes a indutância de dispersão do rotor for muito pequena em comparação com a resistência do rotor o que normalmente é o caso para os pequenos escorregamentos que ocorrem em funcionamento normal a corrente da fase a também será máxima Como mostrado na Seção 45 a onda de FMM do rotor estará então centrada na fase a como se vê na Figura 64a Nessas condições o ângulo de deslocamento ou ângulo de conjugado δr está em seu valor ótimo de 90 Entretanto se a reatância de dispersão do rotor for considerável a corrente da fase a estará atrasada em relação à tensão induzida de um ângulo igual ao ângulo de fator de potência φ2 da impedância de dispersão do rotor A corrente da fase a não estará em seu valor máximo até um instante correspondentemente mais atrasado A onda de FMM do rotor estará centrada na fase a somente após a onda de fluxo ter se deslocado mais φ2 graus no entreferro como mostrado na Figura 64b O ângulo δr é agora 90 φ2 Dessa forma o ângulo de conjugado de um motor de indução é dado em geral por δr 90 φ2 67 O seu afastamento do valor ótimo de 90o é dado pelo ângulo do fator de potência para a impedância de dispersão do rotor na frequência de escorregamento Na Figura 64 o conjugado eletromagnético do rotor está dirigido para a direita ou seja no sentido de deslocamento da onda de fluxo A situação comparativa para o caso de um rotor de gaiola de esquilo está ilus trada na Figura 65 Um rotor de 16 barras colocado em um campo de dois polos está mostrado em forma planificada Para simplificar o desenho apenas um número relativamente pequeno de barras do rotor foi escolhido e esse número é um múlti plo inteiro do número de polos Normalmente não se adota essa escolha para evitar efeitos danosos devido às componentes harmônicas Na Figura 65a a onda senoidal de densidade de fluxo induz uma tensão em cada barra e os valores instantâneos são indicados pelas linhas cheias verticais Um pouco depois as correntes nas barras assumem os valores instantâneos in dicados pelas linhas cheias verticais da Figura 65b e o atraso de tempo corresponde a b c Onda de FMM do rotor Conjugado Rotação Onda de densidade de fluxo resultante δ 90 a a b c c c a b a b a a Onda de FMM do rotor Conjugado Rotação δ 90 φ2 b Onda de densidade de fluxo resultante Figura 64 Enrolamento planificado do rotor de um motor de indução com suas ondas de densidade de flu xo e de FMM em suas posições relativas para reatância de dispersão a igual a zero e b diferente de zero 350 Máquinas elétricas ao ângulo do fator de potência do rotor φ2 Nesse intervalo de tempo a onda de densidade de fluxo sofre um deslocamento de um ângulo espacial φ2 segundo seu sentido de rotação em relação ao rotor e chega então à posição mostrada na Figura 65b A respectiva onda de FMM do rotor está representada pela onda em degraus na Figura 65c A componente fundamental está mostrada na forma de uma senoide em linha tracejada e a onda de densidade de fluxo pela senoide em linha cheia O estudo dessas figuras confirma o princípio geral de que o número de polos do rotor em um rotor de gaiola de esquilo é determinado pela onda de fluxo indutivo a 9 10 11 12 13 14 15 16 1 Rotor 8 7 6 5 4 3 2 1 Onda de densidade de fluxo Rotação Valores instantâneos de tensão nas barras Rotação ωs 1 s ωs φ2 b 12 13 14 15 16 1 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 s ωs Valores instantâneos de corrente nas barras ωs 11 c 14 15 16 1 12 4 3 2 1 1 s ωs Onda de FMM do rotor ωs 90 Componente fundamental da onda de FMM do rotor φ2 δ Figura 65 Reações de um rotor de gaiola de esquilo em um campo de dois polos Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 351 63 Circuito equivalente do motor de indução As considerações anteriores sobre fluxo e ondas de FMM podem ser expressas fa cilmente na forma de um circuito equivalente para a máquina de indução polifásica em regime permanente Nesse desenvolvimento apenas máquinas com enrolamentos polifásicos simétricos excitados por tensões polifásicas equilibradas são considera das Como em muitas outras discussões de dispositivos polifásicos é útil pensar que as máquinas trifásicas estão ligadas em Y de modo que as correntes e tensões sejam sempre expressas por valores de fase Nesse caso podemos deduzir o circuito equiva lente para uma fase ficando subentendido que as tensões e correntes nas demais fases podem ser obtidas por meio de um simples deslocamento adequado da fase que está sendo estudada 120 no caso de uma máquina trifásica Primeiro considere as condições no estator A onda de fluxo de entreferro gi rando sincronicamente gera forças contraeletromotrizes FCEMs polifásicas equi libradas nas fases do estator A tensão de terminal do estator difere da FCEM pela queda de tensão na impedância de dispersão do estator Z1 R1 j X1 Assim 68 onde Tensão de fase de terminal do estator Ê2 FCEM de fase gerada pelo fluxo de entreferro resultante Î1 Corrente do estator R1 Resistência efetiva do estator X1 Reatância de dispersão do estator As polaridades das tensões e correntes estão mostradas no circuito equivalente da Figura 66 O fluxo de entreferro resultante é criado pelas FMMs combinadas das correntes de estator e rotor Exatamente como no caso de um transformador a corrente de estator pode ser decomposta em duas componentes uma componente de carga e uma compo nente de excitação magnetização A componente de carga Î2 produz uma FMM que corresponde à FMM da corrente do rotor A componente de excitação Îϕ é a corrente de estator adicional que é necessária para criar o fluxo de entreferro resultante e é uma função da FEM Ê2 A corrente de excitação pode ser decomposta em uma componen te de perdas no núcleo Îc em fase com Ê2 e uma componente de magnetização Îm atrasada em relação a Ê2 de 90o No circuito equivalente a corrente de excitação pode Rl Xl Rc Xm a b Eˆ2 V1ˆ Î1 Îc Îϕ Î2 Îm Figura 66 Circuito equivalente do estator de um motor de indução polifásico 352 Máquinas elétricas ser levada em consideração incluindose um ramo em derivação formado por uma resistência de perdas no núcleo Rc em paralelo com uma reatância de magnetização Xm ligado a Ê2 como na Figura 66 Normalmente ambas Rc e Xm são determinadas para a frequência nominal do estator e para um valor de E2 próximo do valor esperado de operação A seguir assumiremos que esses valores permanecem constantes quando pequenos desvios em E2 ocorrerem durante o funcionamento normal do motor O circuito equivalente da Figura 66 que representa os fenômenos ocorridos no estator é exatamente igual ao usado para representar o primário de um transformador Para completar o nosso modelo os efeitos do rotor devem ser incluídos Do ponto de vista do circuito equivalente do estator da Figura 66 o rotor pode ser representado por uma impedância equivalente Z2 69 que corresponde à impedância de dispersão de um secundário equivalente estacioná rio Para completar o circuito equivalente devemos determinar o valor de Z2 que re presente as tensões e correntes em termos das grandezas do rotor referidas ao estator Como vimos na Seção 23 do ponto de vista do primário o enrolamento do secundário de um transformador pode ser substituído por um enrolamento secundário equivalente que tem o mesmo número de espiras que o enrolamento do primário Em um transformador no qual a relação de espiras e os parâmetros do secundário são conhecidos isso pode ser feito referindo a impedância do secundário ao primário Para tanto essa impedância é multiplicada pelo quadrado da relação de espiras entre o primário e o secundário O circuito equivalente resultante é perfeitamente geral do ponto de vista das grandezas do primário De modo semelhante no caso de um motor de indução polifásico quando o rotor é substituído por um rotor equivalente tendo um enrolamento polifásico com os mesmos números de fases e espiras que o estator mas produzindo a mesma FMM e fluxo de entreferro que o rotor real o desempenho não será alterado quando for observado do ponto de vista dos terminais do estator Esse conceito adotado aqui é especialmente útil no modelamento de rotores de gaiola nos quais a identificação dos enrolamentos de fase não é óbvia de modo algum O rotor de uma máquina de indução é curtocircuitado e desse modo a impe dância vista pela tensão induzida é simplesmente a impedância de curtocircuito do rotor Portanto a expressão que fornece a relação entre a impedância de dispersão Z2s do rotor equivalente na frequência de escorregamento e a impedância de dispersão Zrotor na frequência de escorregamento do rotor real deve ser 610 onde Nef é relação de espiras efetiva entre o enrolamento do estator e o enrolamento do rotor real Aqui o índice 2s referese às grandezas associadas ao rotor referido Assim Ê2s é a tensão induzida pelo fluxo de entreferro resultante no rotor equivalente e Î2s é a respectiva corrente induzida Quando se está interessado nas correntes e tensões do rotor real a relação de espiras Nef deve ser conhecida para que se possa converter as grandezas do rotor Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 353 equivalente de volta para o rotor real Entretanto para os propósitos de estudo do desempenho do motor de indução visto dos terminais do estator não há necessidade dessa conversão e uma representação em termos das grandezas do rotor equivalente é perfeitamente adequada Assim um circuito equivalente baseado nas grandezas do rotor equivalente pode ser usado para representar ambos os rotores bobinado e de gaiola de esquilo Depois de examinar os efeitos da relação de espiras entre o estator e o rotor de vemos considerar agora o movimento relativo entre o estator e o rotor com o objetivo de substituir o rotor real com suas tensões e correntes na frequência de escorrega mento por um rotor equivalente estacionário com tensões e correntes na frequência do estator Considere primeiro a impedância de dispersão do rotor referido na fre quência de escorregamento 611 onde R2 Resistência do rotor referido sX2 Reatância de dispersão do rotor referido na frequência de escorregamento Observe que aqui X2 foi definida como a reatância referida de dispersão do rotor na frequência do estator fe Como a frequência do rotor real é fr sfe X2 foi convertida para a reatância na frequência de escorregamento simplesmente multipli cando pelo escorregamento s O circuito equivalente de uma fase do rotor referido na frequência de escorregamento está na Figura 67 Esse é o circuito equivalente do ro tor como é visto na frequência de escorregamento no quadro de referência do rotor A seguir observamos que a onda de FMM resultante no entreferro é produzida pelos efeitos combinados da corrente do estator Î1 e da corrente de carga equivalente Î2 De modo semelhante ela pode ser expressa em termos da corrente de estator e da corrente de rotor equivalente Î2s Essas duas correntes são iguais em magnitude pois Î2s é definida como a corrente em um rotor equivalente com o mesmo número de espiras por fase que o estator Como a onda de FMM resultante no entreferro é determinada pela soma fasorial da corrente do estator e da corrente do rotor real ou equivalente então Î2 e Î2s devem ser iguais também em fase nas suas frequências elétricas respectivas e assim podemos escrever Î2s Î2 612 sX2 R2 Ê2s Î2s Figura 67 Circuito equivalente de um rotor de motor de indução polifásico na frequência de escorregamento 354 Máquinas elétricas Finalmente considere que a onda de fluxo resultante induz a FEM no rotor referido Ê2s na frequência de escorregamento e também a FCEM no estator Ê2 Se não fosse pelo efeito da velocidade essas tensões teriam a mesma magnitude por que o enrolamento do rotor referido tem o mesmo número de espiras por fase que o enrolamento do estator No entanto como a velocidade relativa da onda de fluxo em relação ao rotor é s vezes a sua velocidade em relação ao estator a relação entre essas FEMs é E2s sE2 613 Podemos ainda argumentar que como o ângulo de fase entre cada uma dessas tensões e a onda de fluxo resultante é 90 essas duas tensões devem ser iguais tam bém em sentido fasorial nas suas respectivas frequências elétricas Portanto Ê2s sÊ2 614 Dividindo a Equação 614 pela Equação 612 e usando a Equação 611 temos 615 Então dividindo pelo escorregamento s obtemos 616 Assim alcançamos o nosso objetivo Z2 é a impedância de rotor equivalente estacionário que aparece nos terminais de carga do circuito equivalente do esta tor mostrado na Figura 66 O resultado final é o circuito equivalente monofásico da Figura 68 Os efeitos combinados da carga no eixo e da resistência do rotor aparecem na forma de uma resistência refletida R2s que é uma função do es corregamento e portanto da carga mecânica A corrente na impedância refletida de rotor é igual à componente de carga Î2 da corrente do estator A tensão sobre essa impedância é igual à tensão de estator Ê2 Observe que quando as correntes e tensões do rotor são refletidas no estator sua frequência também é alterada para a frequência do estator Todos os fenômenos elétricos do rotor quando vistos a partir do estator tornamse fenômenos que têm a frequência do estator porque simplesmente o enrolamento do estator vê as ondas de FMM e fluxo deslocandose na velocidade síncrona Rl Xl R2 s X2 Rc Xm Ê2 V1ˆ Î1 Î2 a b Îϕ Figura 68 Circuito equivalente monofásico de um motor de indução polifásico Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 355 64 Análise do circuito equivalente O circuito equivalente monofásico da Figura 68 pode ser usado para determinar uma ampla variedade de características de desempenho das máquinas de indução poli fásicas em regime permanente Estão incluídas as variações de corrente velocida de e perdas que ocorrem quando as exigências de carga e conjugado são alteradas Incluemse também o conjugado máximo e o de partida Entretanto observe que na prática os parâmetros do circuito equivalente podem depender das condições de operação De forma específica a temperatura afetará os valores das resistências e os parâmetros do rotor de um motor de gaiola de esquilo podem se alterar com o escor regamento como será discutido na Seção 672 O circuito equivalente mostra que a potência total Pg transferida através do en treferro desde o estator é 617 onde q é o número de fases do estator As perdas totais I2R do rotor Protor podem ser calculadas a partir das perdas I2R no rotor equivalente como Protor q I22s R2 618 Como I2s I2 podemos escrever a Equação 618 como Protor q I22 R2 619 Agora a potência eletromagnética Pmec desenvolvida pelo motor pode ser de terminada subtraindo a dissipação de potência do rotor Equação 619 da potência de entreferro na Equação 617 obtendose 620 ou de forma equivalente 621 Comparando a Equação 617 com a Equação 621 obtêmse Pmec 1 sPg 622 e Protor s Pg 623 Vemos então que da potência total fornecida através do entreferro para o rotor a fração 1 s é convertida em potência mecânica e a fração s é dissipada como perdas I2R nos condutores do rotor De forma similar a potência dissipada no rotor pode ser expressa em termos da potência eletromecânica como 624 Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 357 O conjugado eletromecânico Tmec correspondente à potência Pmec pode ser ob tido lembrando que a potência mecânica é igual ao conjugado vezes a velocidade angular Assim Pmec ωm Tmec 1 s ωs Tmec 625 Para Pmec em watts e ωs em rads Tmec será em newtonsmetros O uso das Equações 621 e 622 leva a 626 Com a velocidade angular mecânica síncrona ωs sendo dada por 627 onde ωe é a frequência elétrica fe expressa em rads como ωe 2π fe 628 a Eq 626 pode ser escrita em termos da frequência elétrica ωe como 629 O conjugado mecânico Tmec e a potência Pmec não são os valores de saída dispo níveis no eixo porque o atrito a ventilação e as perdas suplementares não foram ainda considerados Obviamente é correto subtrair o atrito a ventilação e outras perdas rotacionais de Tmec ou Pmec Assumese em geral que os efeitos das perdas suple mentares podem ser subtraídos do mesmo modo O restante está disponível como potência de saída no eixo em forma de trabalho útil Assim Peixo Pmec Prot 630 e 631 em que Prot e Trot são a potência e o conjugado associados ao atrito à ventilação e às demais perdas rotacionais Em geral a análise do circuito equivalente do transformador é simplificada desprezandose por completo o ramo de magnetização ou adotandose uma aproxi mação que consiste em movêlo diretamente até os terminais do primário No caso das máquinas de indução em condições normais de funcionamento tais aproxima ções não são usadas porque com a presença do entreferro resulta uma impedância de magnetização relativamente mais baixa e de forma correspondente uma corrente de excitação relativamente mais elevada 30 a 50 da corrente a plena carga e também porque as reatâncias de dispersão são mais elevadas Algumas simplificações no circuito equivalente da máquina de indução ocorrem quando a resistência Rc de perdas no núcleo é omitida e quando o efeito correspondente das perdas no núcleo é deduzido de Tmec ou Pmec ao mesmo tempo que os efeitos das perdas rotacionais e Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 359 e desse modo a corrente de estator pode ser calculada como A corrente de estator é assim 188 A e o fator de potência é igual a cos 385 0783 atrasado A velocidade síncrona pode ser obtida da Equação 444 ou da Equação 627 A velocidade do rotor é n 1 sns 1 0016 1200 1181 rpm ou ωm 1 sωs 1 0016 40π 1237 rads Da Equação 617 No entanto observe que como a única resistência incluída em Zg é R2s a potência dissipada em Zg é igual à potência dissipada em R2s e assim podemos escrever Pg q I2 1 Rg 32452821 1480 kW Agora podemos calcular o valor de Pmec dado pela Equação 621 e a potência de saída no eixo dada pela Equação 630 Assim e o conjugado de saída no eixo pode ser encontrado a partir da Equação 631 como O rendimento é calculado como a razão entre a potência de saída no eixo e a potência de entrada no estator A potência de entrada é dada por Assim o rendimento η é igual a As características completas de desempenho do motor podem ser determinadas repetindose esses cálculos para outros valores de escorregamento que forem adotados 360 Máquinas elétricas Problema prático 62 Encontre a velocidade a potência de saída e o rendimento do motor do Exemplo 62 quando está operando na tensão e frequência nominais para um escorregamento de 12 Solução Velocidade 1186 rpm Peixo 1105 kW Rendimento 934 65 Conjugado e potência usando o teorema de Thévenin Quando se deseja enfatizar as relações de conjugado e potência uma considerável simplificação resulta aplicando o teorema de Thévenin ao circuito equivalente do mo tor de indução Em sua forma geral o teorema de Thévenin permite a substituição de qualquer rede vista em dois terminais a e b Figura 611a por uma única fonte de tensão complexa em série com uma única impedância Zeq Figura 611b A tensão equivalente de Thévenin é a que aparece nos terminais a e b da rede original quan do esses terminais estão em circuito aberto A impedância equivalente de Thévenin Zeq é aquela que aparece nos mesmos terminais quando todas as fontes de tensão dentro da rede são zeradas Em aplicações que envolvem o circuito equivalente do motor de indução os pontos a e b são os indicados na Figura 610a e b Então o circuito equiva lente apresenta as formas dadas na Figura 612 onde o teorema de Thévenin foi usado para transformar a rede localizada à esquerda dos pontos a e b em uma fonte de tensão equivalente em série com uma impedância equivalente Z1eq R1eq j X1eq De acordo com o teorema de Thévenin a tensão da fonte equivalente é a tensão que aparece nos terminais a e b da Figura 610 quando os circuitos de rotor são removidos O resultado é um divisor de tensão simples e assim 632 Rede elétrica de elementos de circuitos lineares e fontes de tensão fasorial constante Fonte de tensão única Impedância constante Pode ser conectado a qualquer outra rede Pode ser conectado a qualquer outra rede a b a b Zeq Veq ˆ b a Figura 611 a Rede linear genérica e b seu equivalente nos terminais ab de acordo com o teorema de Thévenin Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 361 Para a maioria dos motores de indução surgirão erros desprezíveis se a resis tência de estator da Equação 632 for desprezada A impedância de estator Z1eq dada pelo equivalente Thévenin é a impedância entre os terminais a e b da Figura 610 vista em direção à fonte cuja tensão foi zerada ou o que é equivalente substituída por um curtocircuito Portanto obtémse Z1eq R1eq j X1eq R1 j X1 em paralelo com j Xm 633 ou 634 Observe que a resistência das perdas no núcleo Rc foi desprezada na dedução das Equações 632 a 634 Embora tratese de uma aproximação muito usada o seu efeito pode ser incorporado facilmente às deduções apresentadas aqui substituindo a reatância de magnetização jXm pela impedância de magnetização Zm igual à combi nação da resistência de perdas no núcleo Rc em paralelo com a reatância de magne tização jXm Do circuito equivalente Thévenin Figura 612 temse 635 e desse modo da expressão do conjugado Equação 629 obtémse 636 A Eq 636 expressa o conjugado eletromecânico em função do escorregamen to A forma geral de uma curva de conjugado versus velocidade ou conjugado versus escorregamento para um motor de indução conectado a uma fonte de tensão e fre quência constantes está mostrada nas Figuras 613 e 614 R1eq X1eq X2 a b V1eq ˆ Iˆ2 R2 s a R2 1 s s a b R1eq X1eq R2 X2 V1eq ˆ Î2 b Figura 612 Circuitos equivalentes do motor de indução simplificados pelo teorema de Thévenin 362 Máquinas elétricas Durante o funcionamento normal como motor o rotor gira no sentido de rota ção do campo magnético produzido pelas correntes de estator a velocidade está entre zero e a velocidade síncrona e o respectivo escorregamento está entre 10 e 0 indi cado por Região como motor na Figura 613 As condições de partida do motor correspondem a s 10 Para operar na região de s superior a 1 correspondendo a uma velocidade ne gativa do motor o motor deve ser acionado em sentido contrário contra o sentido de rotação do seu campo magnético por uma fonte de potência mecânica capaz de contra balançar o conjugado eletromecânico Tmec A principal utilização prática dessa região está em trazer rapidamente o motor até uma parada por um método denominado frena gem por inversão de fases Trocando dois terminais do estator de um motor trifásico a sequência de fases e consequentemente o sentido de rotação do campo magnético é invertida repentinamente e o que era um pequeno escorregamento antes da inversão de fases tornase um escorregamento próximo de 20 após a inversão Desse modo a ve locidade do motor tornase negativa em relação à onda de fluxo síncrona do estator e o conjugado positivo resultante obriga o escorregamento do motor a diminuir Se o motor permanecer conectado à linha o motor terminará acelerando em direção a um escor regamento nulo Entretanto o motor poderá ser facilmente parado se for desconectado da linha na velocidade zero s 1 antes que comece a girar no sentido oposto Dessa forma a região de s 1 a s 2 é indicada por Região de frenagem na Figura 613 Uma máquina de indução funcionará como gerador se seus terminais de estator forem conectados a uma fonte de tensão polifásica e seu rotor for acionado por uma máquina motriz acima da velocidade síncrona resultando em um escorregamento negativo como mostrado na Figura 613 A fonte determina a velocidade síncrona e Região de frenagem Região como motor Região como gerador Gerador Motor Conjugado Velocidade em porcentagem da velocidade síncrona Escorregamento como fração da velocidade síncrona 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 02 04 06 08 10 12 Figura 613 Curva de conjugado versus escorregamento de uma máquina de indução mostrando as re giões de frenagem e de funcionamento como motor e gerador Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 363 fornece a entrada de potência reativa necessária para excitar o campo magnético de entreferro Uma aplicação desse tipo consiste em um gerador de indução conectado a um sistema de potência acionado por uma turbina eólica A Figura 614 mostra as características de conjugado e potência típicas de um motor de indução operando na região de funcionamento como motor 0 s 10 Na figura as condições de operação em plena carga são indicadas pelo escorrega mento spc conjugado Tpc e potência Ppc Vemos que a capacidade máxima de conju gado e potência é em geral algumas vezes a de seu valor de plena carga ocorrendo com um escorregamento significativamente mais elevado O conjugado eletromecâ nico máximo Tmax ocorre em smaxT ao passo que a potência máxima Pmax ocorre em um escorregamento um pouco menor smaxP Uma expressão para Tmax pode ser obtida com facilidade a partir de uma análise do circuito Como se pode ver na Figura 626 o conjugado eletromecânico é máximo quando a potência entregue para R2s na Figura 612a é máximo Podese demonstrar que essa potência será máxima quando a impedância de R2s for igual ao valor da impedância R1eq j X1eq X2 que está entre ela e a tensão equivalente constante Assim o conjugado eletromecânico máximo ocorrerá com um valor de escorre gamento smaxT para o qual temse 637 Portanto o escorregamento smaxT no conjugado máximo é 638 e o respectivo escorregamento é da Equação 636 639 Conjugado Tmax Potência Pmax Tpartida Tpc 0 spc smaxP smaxT Escorregamento 1 0 Ppc Figura 614 Curvas típicas de conjugado linha cheia e potência linha tracejada para a re gião de funcionamento como motor 366 Máquinas elétricas Quando está operando com frequência constante um motor comum de indução convencional com rotor de gaiola é essencialmente um motor de velocidade cons tante apresentando uma queda de velocidade de cerca de 10 ou menos ao passar da condição a vazio para a de plena carga No caso de um motor de indução de rotor bobinado a variação de velocidade pode ser obtida inserindo uma resistência externa no circuito do rotor A influência do aumento da resistência do rotor sobre a curva característica de conjugado versus velocidade está mostrada pelas curvas tracejadas da Figura 616 Para esse motor variações significativas de velocidade podem ser obtidas quando a resistência do rotor é variada De modo semelhante as variações de conjugado com velocidade nula vistas na Figura 616 ilustram como o conjugado de partida de um motor de indução de rotor bobinado pode ser variado alterandose a resistência do rotor Observe a partir das Equações 638 e 639 que o escorregamento para con jugado máximo é diretamente proporcional à resistência do rotor R2 mas o valor do conjugado máximo não depende de R2 Quando o valor de R2 é incrementado inserindo uma resistência externa no rotor de um motor de rotor bobinado o conju gado eletromecânico máximo não é afetado mas a velocidade na qual isso ocorre pode ser controlada diretamente Esse resultado também pode ser visto observando que o conjugado eletromecânico expresso pela Equação 636 é uma função da razão R2s Assim o conjugado não se altera desde que a razão R2s permaneça constante 300 250 200 150 Conjugado em porcentagem do conjugado nominal Velocidade em porcentagem da velocidade síncrona 100 0 20 40 60 80 100 50 0 R2 R2 R2 R2 R2 Escorregamento como fração da velocidade síncrona Conjugado máximo 10 08 06 04 02 0 R2 R2 R2 Figura 616 Curvas de conjugado versus escorregamento de um motor de indução mostrando o efeito da variação da resistência do circuito do rotor 368 Máquinas elétricas Calcule a velocidade síncrona omegas 4pifepoles ns 120fepoles Calcule o equivalente Thévenin do estator Z1eq jXmR1jX1R1 jX1Xm R1eq realZ1eq X1eq imagZ1eq V1eq absV1jXmR1 jX1Xm Aqui está o laço de repetição da resistência do rotor for m 15 if m 1 R2 01 elseif m2 R2 02 elseif m3 R2 05 elseif m4 R2 10 else R2 15 end Calcule o conjugado s 00011 Escorregamento rpm ns1s I2 absV1eqZ1eq jX2 R2s I2 Tmech NphI22R2somegas Conjugado eletromecânico Agora plote plotrpmTmechLineWidth2 if m 1 hold on end end Fim do laço de repetição da resistência hold off xlabelrpmFontSize20 ylabelTmec NcdotmFontSize20 xlim0 1800 setgcaFontSize20 setgcaxtick0 500 1000 1500 1800 setgcaytick0 50 100 150 200 250 300 grid on Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 369 Problema prático 65 Usando MATLAB refaça o Exemplo 64 plotando a corrente de terminal em função da veloci dade para os cinco valores de R2 Solução A plotagem da corrente versus velocidade está dada na Figura 618 rpm I1 A 0 125 150 1800 0 500 1000 1500 100 75 50 25 Figura 618 Plotagem da corrente versus velocidade para o Problema prático 65 Quando o circuito equivalente do motor de indução é aplicado devese ter em mente as idealizações nas quais foi baseado Isso é especialmente necessário quando as análises são desenvolvidas para um largo intervalo de velocidades tal como é o caso na análise da partida de um motor A saturação sob as intensas correntes transitó rias iniciais associadas às condições de partida tem um efeito relevante sobre as rea tâncias do motor Além disso a frequência das correntes do rotor é a do escorregamen to variando desde a frequência de estator para a velocidade nula até um valor baixo para a velocidade de plena carga A distribuição das correntes nas barras do rotor dos motores de gaiola pode ter variação significativa em função da frequência dando origem a variações consideráveis da resistência do rotor De fato como foi discutido nas Seções 672 e 673 os projetistas de motores podem adequar a forma das barras do rotor dos motores de gaiola de esquilo de modo a obter diversas características de conjugado versus velocidade Erros devido a essas causas podem ser mantidos em um número mínimo quando são usados parâmetros de circuito equivalente que corres pondem tão próximo quanto possível aos das condições de funcionamento propostas 66 Determinação de parâmetros a partir de ensaios a vazio e com rotor bloqueado Os parâmetros de circuito equivalente necessários para o cálculo do desempenho de um motor de indução polifásico submetido a uma carga podem ser obtidos dos 370 Máquinas elétricas resultados de um ensaio a vazio de um ensaio de rotor bloqueado e das medidas das resistências CC dos enrolamentos do estator As perdas suplementares que devem ser levadas em consideração quando valores exatos de rendimento devem ser calculados também podem ser medidas por ensaios a vazio com o motor No entanto os ensaios de perdas suplementares não são descritos aqui2 661 Ensaio a vazio Como no caso do ensaio em circuito aberto de um transformador o ensaio a vazio ou em circuito aberto de um motor de indução fornece informações em relação à corren te de excitação e às perdas a vazio Em geral esse ensaio é executado em frequência nominal e com tensões polifásicas equilibradas aplicadas aos terminais do estator Depois de o motor terminal ter funcionado por um tempo suficiente para que os man cais se lubrifiquem apropriadamente as leituras são executadas na tensão nominal Vamos supor que o ensaio a vazio tenha sido realizado com o motor operando em sua frequência elétrica nominal fen e que as seguintes medidas tenham sido obtidas no ensaio V1vz A tensão de fase V I1vz A corrente de linha A Pvz A potência elétrica polifásica total de entrada W Em máquinas polifásicas o mais comum é medir a tensão de linha Desse modo a ten são de fase deve ser calculada dividindo por no caso de uma máquina trifásica A vazio a corrente do rotor é apenas a mínima necessária para produzir conju gado suficiente para superar as perdas por atrito e ventilação associadas à rotação As perdas a vazio I2R do rotor são portanto muito baixas e podem ser desprezadas Ao contrário do núcleo magnético contínuo de um transformador o caminho de magne tização do motor de indução inclui um entreferro o que aumenta significativamente a corrente de excitação necessária Assim contrastando com o transformador cujas perdas I2R a vazio no primário são desprezíveis no caso do estator do motor de indu ção as perdas I2R a vazio podem ser consideráveis devido a essa corrente de excitação maior Desprezando as perdas I2R do rotor e as perdas no núcleo as perdas rotacio nais Prot em condições normais de funcionamento podem ser encontradas subtrain do as perdas I2R do estator da potência de entrada a vazio 640 As perdas rotacionais totais sob carga em tensão e frequência nominais são nor malmente consideradas constantes e iguais ao seu valor a vazio Observe que a resis tência de estator R1 varia segundo a temperatura do enrolamento do estator Assim ao aplicar a Equação 640 devese ter cuidado para usar o valor correspondente à temperatura do ensaio a vazio 2 Para informações relativas a métodos de ensaio veja IEEE Std 1122004 Test Procedures for Poly phase Induction Motors and Generators Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc 345 East 47th Street New York New York 10017 Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 371 Observe que as deduções apresentadas aqui ignoram as perdas no núcleo e a respectiva resistência associada a essas perdas atribuindo todas as perdas a vazio ao atrito e à ventilação Vários ensaios podem ser realizados para separar as perdas por atrito e ventilação das perdas no núcleo Por exemplo se o motor não estiver energi zado um motor de acionamento externo poderá ser usado para impulsionar o rotor até atingir velocidade a vazio As perdas rotacionais serão iguais à potência de saída requerida do motor de acionamento Como alternativa se o motor for operado a vazio na velocidade nominal e então for desligado repentinamente da fonte o decaimento da velocidade do motor será determinado pelas perdas rotacionais como 641 Assim se a inércia do rotor J for conhecida as perdas rotacionais para qualquer ve locidade ωm podem ser obtidas a partir do decaimento de velocidade resultante como 642 Portanto as perdas rotacionais na velocidade nominal podem ser determinadas apli cando a Equação 642 logo que o motor é desligado após estar operando na veloci dade nominal Se as perdas rotacionais a vazio forem determinadas desse modo as perdas no núcleo podem ser obtidas como Pnúcleo 643 Aqui Pnúcleo representa o total das perdas a vazio no núcleo correspondentes à tensão do ensaio a vazio normalmente a tensão nominal Em condições a vazio a corrente de estator é relativamente baixa e como pri meira aproximação podese desprezar a respectiva queda de tensão na resistência de estator e na reatância de dispersão Nessa aproximação a tensão sobre a resistência de perdas no núcleo será igual à tensão de fase a vazio A resistência de perdas no núcleo pode ser determinada como Pnúcleo 644 Desde que a máquina esteja operando próximo da velocidade e da tensão no minais o refinamento acima de separar as perdas no núcleo e incorporálas especi ficamente ao circuito equivalente na forma de uma resistência de perdas no núcleo não fará diferença significativa nos resultados da análise Por essa razão é comum ignorar a resistência de perdas no núcleo e simplesmente incluílas nas perdas rota cionais Por uma questão de simplicidade de análise essa abordagem será adotada no restante do texto Entretanto se necessário o leitor constatará que é relativamente simples modificar as seguintes deduções incluindo de modo apropriado a resistência de perdas no núcleo Como o escorregamento a vazio svz é muito pequeno a resistência de rotor R2svz refletida é muito elevada A combinação em paralelo dos ramos do rotor e de 372 Máquinas elétricas magnetização tornase então jXm em paralelo com a combinação em série da reatân cia de dispersão do rotor X2 e de uma resistência muito elevada A impedância dessa associação em paralelo estará então muito próxima da impedância de magnetização jXm O circuito equivalente está mostrado na Figura 619 Consequentemente a rea tância aparente Xvz medida nos terminais do estator a vazio estará muito próxima de X1 Xm que é a reatância própria X11 do estator isto é Xvz X11 X1 Xm 645 Portanto a reatância própria do estator pode ser determinada das medidas a vazio A potência reativa a vazio Qvz pode então ser determinada como 646 em que Svz qV1vz I1vz 647 é a potência aparente total de entrada a vazio A reatância a vazio Xvz pode então ser calculada de Qvz e I1vz como 648 Observando que o fator de potência a vazio é pequeno isto é Qvz Pvz e portanto R1 X11 uma aproximação para a reatância a vazio costuma ser obtida por 649 662 Ensaio de rotor bloqueado Como no caso do ensaio em curtocircuito de um transformador o ensaio de rotor bloqueado ou travado de um motor de indução fornece informações sobre as im pedâncias de dispersão O rotor é bloqueado de modo que não possa girar sendo o escorregamento portanto igual à unidade e tensões polifásicas equilibradas são aplicadas aos terminais do estator Vamos assumir que as seguintes medidas foram obtidas em um ensaio de rotor bloqueado V1bl A tensão de fase V I1bl A corrente de linha A Rl Xl Xm V1vz ˆ Î1vz Figura 619 Circuito equivalente aproximado de motor de indução condições a vazio Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 373 Pbl A potência elétrica polifásica total de entrada W fbl A frequência do ensaio de rotor bloqueado Hz Em alguns casos medese também o conjugado de rotor bloqueado Para as condições de rotor bloqueado o circuito equivalente Figura 620 é idêntico ao de um transformador em curtocircuito Entretanto um motor de indução é mais complexo do que um transformador porque a sua impedância de dispersão pode ser afetada pela saturação magnética dos caminhos de fluxo de dispersão asso ciados com as ranhuras do estator e as barras do rotor e pela frequência das correntes induzidas do rotor o que afeta a distribuição das correntes nas barras do rotor como será discutido na Seção 672 A impedância de rotor bloqueado também pode ser afetada pela posição do rotor e a respectiva orientação relativa das ranhuras do rotor com os dentes do estator embora geralmente esse efeito seja pequeno em rotores de gaiola de esquilo Como as reatâncias de dispersão são em geral afetadas significativamente pela saturação é importante realizar os ensaios de rotor bloqueado com valores de cor rente similares aos que são encontrados na máquina nas condições de operação para as quais o desempenho será calculado mais tarde De modo similar no caso das má quinas de indução nas quais é conhecido que a distribuição das correntes do rotor e portanto a impedância do rotor é afetada pela frequência da corrente do rotor sem pre que possível o ensaio de rotor bloqueado deve ser executado em uma frequência que é quase a mesma que ocorre na máquina nas condições de operação que estão sendo analisadas Por exemplo se o interesse é nas características de escorregamentos próximos da unidade como na partida o ensaio de rotor bloqueado deve ser realizado na fre quência normal com as correntes próximas dos valores encontrados na partida Se entretanto o interesse for nas características normais de funcionamento o ensaio de rotor bloqueado deverá ser executado com uma tensão reduzida da qual resulta aproximadamente a corrente nominal A frequência também deve ser reduzida uma vez que os valores efetivos de resistência e de indutância de dispersão do rotor em frequências baixas correspondentes a pequenos escorregamentos podem diferir de modo considerável de seus valores em frequência normal em especial com rotores de gaiola dupla ou de barras profundas como será discutido na Seção 672 Na prática é difícil realizar ensaios nas frequências baixas que correspondem às condições de operação com escorregamentos pequenos Por exemplo a frequência do rotor em uma máquina de 60 Hz que está funcionando com um escorregamento de 3 é 18 Hz Como resultado a norma IEEE 112 sugere uma frequência de ensaio Rl Xl X2 Xm V1bl ˆ R2 Î1bl Figura 620 Circuito equivalente de motor de indução condições de rotor bloqueado 374 Máquinas elétricas de rotor bloqueado de 25 da frequência nominal com a expectativa de que a im pedância do rotor nessa frequência não seja muito diferente daquela para escorrega mentos pequenos A reatância na frequência nominal pode ser obtida do valor desse ensaio multiplicando a reatância do ensaio pela razão entre a frequência nominal e a frequência do ensaio Muitas vezes a dependência existente entre a impedância do rotor e a frequência é desprezível para muitos motores com menos de 25 HP nomi nais Nesses motores os parâmetros do rotor determinados por um ensaio de rotor bloqueado realizado na frequência nominal são igualmente aplicáveis às condições de operação de partida e de carga nominal Com base nas medidas de rotor bloqueado a reatância de rotor bloqueado pode ser encontrada da potência reativa de rotor bloqueado como 650 onde Sbl qV1bl I1bl 651 é a potência aparente total de rotor bloqueado A reatância de rotor bloqueado corri gida para a frequência nominal pode então ser calculada como 652 onde fbl é a frequência do ensaio de rotor bloqueado A resistência de rotor bloqueado pode ser calculada a partir da potência de en trada de rotor bloqueado como 653 Depois desses parâmetros poderemos encontrar os do circuito equivalente Quando o rotor está bloqueado poderemos obter uma expressão para a impedância de entrada do estator examinando a Figura 620 e encontrando 654 Aqui estamos supondo que as reatâncias sejam dadas para seus valores de frequência nominal Assim a respectiva resistência de rotor bloqueado é dada por 655 Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 375 e a respectiva reatância de rotor bloqueado é 656 Neste ponto a partir das Eqs 655 e 656 o nosso objetivo é encontrar R2 e X2 Não há um modo simples para isso porque como podemos ver essas equações são complexas demais Entretanto costuma ser adequado aplicar a aproximação R2 Xm Nesse caso as Eqs 655 e 656 podem ser reduzidas a 657 e 658 Das Equações 657 e 658 a resistência R2 e a reatância de dispersão X2 do rotor podem ser encontradas como 659 e 660 Como no ensaio a vazio para obter a máxima exatidão é necessário que quando possível a resistência de estator R1 usada na Equação 659 seja corrigida com o valor correspondente à temperatura do ensaio de rotor bloqueado Usando a Equação 645 para substituir Xm na Equação 660 obtémse 661 A Equação 661 expressa a reatância de dispersão do rotor X2 em termos das grandezas medidas Xvz e Xbl e da reatância de dispersão desconhecida do estator X1 Não é possível realizar uma medida adicional da qual X1 e X2 possam ser determi nados de forma única Felizmente o desempenho do motor é relativamente pouco afetado pelo modo de distribuição da reatância de dispersão total entre o estator e o rotor A norma IEEE 112 recomenda a distribuição empírica mostrada na Tabela 61 As diversas classes de motores serão discutidas na Seção 673 Se a classe do motor for desconhecida costumase assumir que X1 e X2 são iguais Após determinar a relação fracionária entre X1 e X2 ela pode ser substituída na Equação 661 e X2 e consequentemente X1 pode ser encontrado em termos de Xvz e Xbl resolvendo a equação quadrática resultante A reatância de magnetização Xm pode então ser determinada da Equação 645 obtendose Xm Xvz X1 662 380 Máquinas elétricas R11 00303 R12 00303 R21 00235 R22 00234 X11 0221 X12 0216 X21 0332 X22 0324 Xm1 754 Xm2 754 nph 3 Número de fases phases poles 4 Número de polos Prot 1140 Aqui estão as condições de operação V1 460sqrt3 fe 60 rpm 1746 Calcule a velocidade síncrona ns 120fepoles omegas 4pifepoles slip nsrpmns Escorregamento omegam omegas1slip Laço de repetição para os dois motores for m 12 Zentreferro gap Zgap jXmmjX2mR2mslipR2mslipjXmmX2m Zentrada input Zin R1m jX1m Zgap I1 V1Zin I2 I1jXmmR2mslipjXmmX2m Tmech nphabsI22R2mslipomegas Conjugado eletromecânico Pmech omegamTmech Potência eletromecânica Pshaft Pmech Prot Potência no eixo shaft if m 1 fprintf Solução do Exemplo 65 else fprintf Solução do Exemplo 66 end fprintf Pmec 31f kW Peixo 31f kW Pmech1000Pshaft1000 fprintf I1 31f A absI1 end fim do laço de repetição for m 12 67 Efeitos da resistência do rotor rotores bobinados e de dupla gaiola de esquilo Uma limitação básica dos motores de indução com resistência de rotor constante é que o projeto do rotor deve ser um meiotermo entre diversos fatores Rendimento elevado em condições normais de funcionamento requer uma resistência de rotor bai Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 381 xa Entretanto na partida um valor baixo de resistência de rotor resulta em conjuga do e fator de potência baixos e uma corrente elevada 671 Motores de rotor bobinado O uso do rotor bobinado é um modo efetivo de evitar a necessidade de obter um meio termo entre os diversos fatores Em um motor de rotor bobinado o rotor é construído com um enrolamento polifásico similar ao do estator Os terminais dos enrolamentos do rotor são conectados a anéis deslizantes Escovas estacionárias em contato com os anéis deslizantes são usadas para conectar os enrolamentos em série com resistores externos que podem ser usados para controlar o conjugado e a corrente de partida À medida que o motor ganha velocidade os valores dos resistores podem ser variados e por fim po dem ser curtocircuitados para obter o máximo rendimento nas velocidades de operação A natureza genérica dos efeitos causados por uma resistência variável de rotor so bre a curva característica de conjugado versus velocidade está mostrada na Figura 616 Usando um valor adequado para a resistência do rotor podese fazer com que o conju gado máximo ocorra com o rotor parado quando é necessário um elevado conjugado de partida À medida que a velocidade aumenta as resistências externas podem ser diminuí das tornando disponível o conjugado máximo dentro de todo o intervalo de aceleração Como a maior parte das perdas I2R do rotor é dissipada nos resistores externos a eleva ção da temperatura do rotor durante a partida é menor do que se a resistência tivesse sido incluída no enrolamento do rotor Em funcionamento normal o enrolamento do rotor pode ser curtocircuitado diretamente nas escovas Para operação normal o enrolamento do rotor costuma ser projetado para ter resistência baixa de modo que o rendimento de funcionamento é elevado e o escorregamento a plena carga é baixo Além de ser usado quando as exigências de partida são severas os motores de indução de rotor bobinado podem ser usados em acionamentos de velocidade variável A sua principal desvantagem é custo e complexidade maiores do que com os motores de gaiola de esquilo Os principais efeitos da variação da resistência do rotor sobre as características de partida e funcionamento dos motores de indução podem ser mostrados quantitati vamente pelo exemplo a seguir Exemplo 67 Um motor de indução trifásico de rotor bobinado quatro polos 460 V 60 Hz 500 HP e com os anéis deslizantes curtocircuitados tem as seguintes propriedades Escorregamento a plena carga 15 Perdas I2R para o conjugado de plena carga 569 kW Escorregamento para o conjugado máximo 6 Corrente de rotor em conjugado máximo 282I2pc onde I2pc é a corrente de rotor a plena carga Conjugado com 20 de escorregamento 120Tpc em que Tpc é o conjugado a plena carga Corrente do rotor com 20 de escorregamento 395I2pc Se a resistência do circuito de rotor for incrementada para 5Rrotor conectando resistências não indutivas em série com cada anel deslizante do rotor determine a para qual escorre gamento o motor desenvolve o mesmo conjugado de plena carga b as perdas I2R totais do circuito do rotor para o conjugado de plena carga c a saída em HPs do conjugado de plena 382 Máquinas elétricas carga d escorregamento para o conjugado máximo e corrente de rotor para o conjugado máximo f conjugado de partida e g corrente de rotor na partida Expresse os conjugados e as correntes de rotor por unidade com base nos valores de conjugado de plena carga Solução A solução envolve a constatação de que os efeitos das alterações na resistência do rotor são vistos pelo estator em termos de variações na resistência referida R2s O exame do circuito equivalente mostra que para a tensão e a frequência especificadas aplicadas tudo que se refere ao desempenho do estator será determinado pelo valor de R2s desde que os demais elementos de impedância permaneçam constantes Por exemplo do ponto de vista do estator se o valor de R2 for dobrado e simultaneamente o valor de s também o for não haverá indicação de que algo mudou A corrente de estator o fator de potência a potência entregue ao entreferro e o conjugado permanecerão inalterados desde que a razão R2s permaneça constante Podese acrescentar um significado físico a esse argumento examinando os efeitos de dobrar simultaneamente R2 e s do ponto de vista do rotor Um observador no rotor veria a onda de fluxo resultante no entreferro deslocandose com o dobro da velocidade original de escorregamento gerando o dobro da tensão original do rotor e com o dobro da velocidade de escorregamento original Portanto a reatância do rotor é dobrada e tendo em vista a premissa original de que a resistência do rotor também foi duplicada a impedância do rotor é dobrada ao passo que o fator de potência do rotor não se altera Como a tensão e a impedância do rotor fo ram dobradas o valor efetivo da corrente de rotor permanece o mesmo apenas a sua frequência é alterada O entreferro ainda apresenta as mesmas ondas de fluxo e FMM girando sincronica mente com o mesmo ângulo de conjugado Um observador no rotor concordaria então com um outro posicionado no estator que o conjugado não se alterou Entretanto um observador no rotor verificaria duas mudanças que não são aparentes no estator 1 as perdas I2R no rotor serão dobradas e 2 o rotor estará girando mais lentamente e portanto desenvolvendo menos potência mecânica com o mesmo conjugado Em outras palavras uma quantidade maior de potência absorvida do estator irá se transformar em calor I2R no rotor e estará menos disponível como potência mecânica Esses raciocínios podem ser aplicados diretamente à solução deste exemplo a Se a resistência do rotor for aumentada cinco vezes o escorregamento também deverá aumentar cinco vezes com o mesmo valor de R2s e portanto com o mesmo conjugado Como o escorregamento original de plena carga é 0015 o novo escorregamento para o conjugado de plena carga será portanto 5 0015 0075 b O valor efetivo da corrente de rotor é o mesmo de seu valor a plena carga antes do acrés cimo da resistência em série Portanto suas perdas I2R de rotor são cinco vezes o valor de 569 kW a plena carga ou Perdas I2R de rotor 5 569 284 kW c O escorregamento aumentado faz com que a velocidade por unidade para o conjugado de plena carga baixe de 1 s 0985 para 1 s 0925 Como a razão R2s não se altera o conjugado é o mesmo Desse modo a saída de potência diminui proporcional mente obtendose Como a potência no entreferro não se altera a diminuição de potência eletromecânica no eixo deve se fazer acompanhar de um aumento correspondente de perdas I2R no rotor d Se a resistência do rotor for aumentada cinco vezes então o escorregamento de conju gado máximo também aumentará cinco vezes O escorregamento original de conjugado Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 383 máximo é 0060 Portanto com o aumento da resistência do rotor o novo escorregamen to para esse conjugado máximo será smaxT 5 0060 030 e O valor efetivo da corrente de rotor no conjugado máximo não depende da resistência do rotor apenas sua frequência alterase quando a resistência de rotor é variada Portanto I2maxT 282 I2pc f Se a resistência do rotor for aumentada cinco vezes o conjugado de partida será o mes mo que o conjugado original de partida para um escorregamento de 020 Portanto será igual ao conjugado de operação normal sem as resistências em série ou seja Tpartida 120 Tpc g Se as resistências do rotor forem acrescentadas então a corrente de partida do rotor será a mesma da corrente do rotor quando ele está operando com um escorregamento de 020 e os anéis deslizantes estão curtocircuitados ou seja I2partida 395 I2pc Problema prático 67 Considere o motor do Exemplo 67 Um resistor externo é acrescentado aos circuitos do rotor de modo tal que o conjugado de plena carga é obtido na velocidade de 1719 rpm Calcule a a resistência acrescentada em termos da resistência inerente do rotor Rrotor b a dissipação de potência do rotor a plena carga e c a respectiva potência eletromecânica Solução a Resistência acrescentada 2 Rrotor b Perdas I2R de rotor 171 kW c Pmec 485 HP Com o advento dos acionamentos de velocidade variável que podem aplicar ten sões e correntes de frequência variável ao estator e portanto podem controlar o escor regamento em função da velocidade do motor tornouse possível controlar a frequência aplicada e consequentemente o escorregamento do motor para conseguir o conjugado máximo em qualquer velocidade desejada do rotor mesmo durante a partida Como resultado o uso de motores de rotor bobinado tornouse menos comum porque agora um desempenho semelhante pode ser conseguido com motores de gaiola de esquilo 672 Rotores de barras profundas e dupla gaiola de esquilo Um modo simples e engenhoso de ter uma resistência de rotor que varia automati camente com a velocidade é fazendo uso do fato de que em repouso a frequência do rotor é igual à do estator e à medida que o motor acelera a frequência do rotor diminui até um valor muito baixo quando é atingida a velocidade normal de operação Com barras de rotor com configurações e formatos adequados os rotores de gaiola de esquilo podem ser projetados de modo que suas resistências efetivas a 60 Hz sejam diversas vezes as suas resistências CC Todos os diversos esquemas fazem uso do efeito indutivo do fluxo de dispersão da ranhura sobre a distribuição de corrente nas 384 Máquinas elétricas barras do rotor Esse fenômeno é similar ao efeito pelicular e de proximidade existente em qualquer sistema de condutores em que correntes alternadas estejam circulando Considere primeiro um rotor de gaiola de esquilo que tem barras profundas e es treitas como o mostrado em corte na Figura 621 A figura mostra uma ranhura dentro da qual alojase uma barra Estão representadas também as propriedades gerais do cam po de dispersão criado pela corrente que circula na barra Supondo que o ferro do rotor tivesse permeabilidade infinita todas as linhas do fluxo de dispersão iriam se fechar em caminhos abaixo da ranhura como está mostrado Agora imagine que a barra consista em um número infinito de camadas de espessura diferencial uma na base e outra no topo estão hachuradas na Figura 621 A indutância de dispersão da camada de baixo é maior do que a da camada do topo porque a camada inferior está concatenada por mais fluxo de dispersão Como todas as camadas estão eletricamente em paralelo então para o caso de corrente alternada a corrente nas camadas superiores de baixa reatância será maior do que aquela nas camadas inferiores de alta reatância Como resultado a corrente será forçada em direção ao topo da ranhura e a fase da corrente nas camadas superiores estará adiantada em relação à corrente presente nas camadas inferiores Com essa distribuição não uniforme resulta um aumento da resistência efeti va da barra e uma diminuição menor da indutância efetiva de dispersão da barra Como a distorção na distribuição de corrente depende de um efeito indutivo então a resistência efetiva será função da frequência da profundidade e forma da barra da permeabilidade e também da resistividade do material da barra A Figura 622 mostra uma curva que fornece a razão entre a resistência efetiva CA e a resistência CC em função da frequência calculada para uma barra de 25 cm de profundidade Um ro tor de gaiola de barras profundas pode ser facilmente projetado para apresentar uma resistência efetiva na frequência do estator correspondendo a um rotor em condição de repouso diversas vezes maior que sua resistência CC À medida que o motor acelera a frequência do rotor diminui e portanto a sua resistência efetiva diminui aproximandose de seu valor CC correspondente a pequenos escorregamentos Uma forma alternativa de obter resultados semelhantes é a configuração em dupla gaiola de esquilo mostrada na Figura 623 Nesse caso o enrolamento de gaio la de esquilo consiste em duas camadas de barras curtocircuitadas por anéis nas extremidades As barras superiores têm seções retas menores do que as barras infe riores e consequentemente têm resistência mais elevada A natureza geral do campo de dispersão na ranhura está mostrada na Figura 623 na qual podese ver que a indutância das barras inferiores é maior do que a das superiores devido ao fluxo que Barra de rotor Figura 621 Barra de rotor profunda e fluxo de dispersão na ranhura mostrados de forma esquemática Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 385 cruza a ranhura entre as duas camadas A diferença de indutância pode se tornar bem elevada quando se dimensiona de forma adequada o canal estreito na ranhura entre as duas barras Em repouso quando a frequência do rotor é igual à frequência do estator há relativamente pouca corrente nas barras inferiores devido à sua reatância elevada a resistência efetiva do rotor em repouso é quase igual à da camada superior de resistência elevada Entretanto nas frequências baixas de rotor que correspondem a pequenos escorregamentos os efeitos da reatância tornamse desprezíveis e a resis tência do rotor aproximase da resistência das duas camadas em paralelo Observe que como a resistência efetiva e a indutância de dispersão dos rotores de gaiola dupla e barras profundas variam com a frequência os parâmetros R2 e X2 que representam os efeitos da resistência de rotor e a indutância de dispersão referi das ao estator variam com a velocidade do rotor e não são constantes Estritamente falando uma forma mais complexa de circuito equivalente com múltiplos ramos em paralelo é requerida para representar esses casos Nesses casos e em condições de regime permanente ainda é possível usar o circuito equivalente desenvolvido na Seção 63 para representar as máquinas de indu ção Entretanto R2 e X2 devem ser variados de acordo com o escorregamento Todas as relações básicas ainda poderão ser aplicadas ao motor desde que os valores de R2 e X2 sejam ajustados apropriadamente quando o escorregamento variar Por exemplo para calcular o desempenho de partida os valores de R2 e X2 serão os valores efetivos na frequência do estator ao passo que para calcular o desempenho do funcionamento com escorregamentos pequenos o valor de R2 será o seu valor efetivo em uma fre 0 0 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 Frequência Hz resistência efetiva CA resistência CC Figura 622 Efeito pelicular em uma barra de rotor de cobre com 25 cm de profundidade Barra superior Barra inferior Figura 623 Barras do rotor de uma dupla gaiola de esquilo com fluxo de dispersão na ranhu ra mostrados de forma esquemática 386 Máquinas elétricas quência baixa e o valor de X2 será o valor da reatância na frequência do estator que corresponde a um valor efetivo da indutância de dispersão do rotor em baixa frequên cia Na faixa de valores de escorregamento em funcionamento normal a resistência do rotor e a indutância de dispersão em geral podem ser consideradas constantes correspondendo substancialmente a seus valores CC 673 Considerações sobre a aplicação de motores Usando rotores de gaiola dupla e barras profundas os motores de gaiola podem ser projetados para ter as boas características de partida que resultam de uma resistência de rotor elevada e ao mesmo tempo as boas características de funcionamento resul tantes de uma resistência de rotor baixa Entretanto como o projeto será necessaria mente o resultado de alguma forma de meio termo entre diversos requisitos ele con terá limitações Assim falta a esses motores a flexibilidade de uma máquina de rotor bobinado com resistência de rotor externa Como resultado os motores de rotor bobi nado eram normalmente os preferidos quando as exigências de partida eram elevadas No entanto como foi discutido na Seção 672 quando são combinados com eletrô nica de potência os motores de gaiola podem ter toda a flexibilidade dos motores de rotor bobinado Por essa razão os motores de rotor bobinado estão se tornando cada vez menos comuns mesmo nos casos em que os requisitos de partida são elevados Para atender às necessidades usuais da indústria motores de gaiola trifásicos de grande porte são oferecidos pelos fabricantes apresentando uma faixa de especificações nominais padronizadas até 200 HP com várias frequências tensões e velocidades padro nizadas Motores maiores são muitas vezes vistos como motores de uso especial e não como motores de uso geral Diversos modelos padronizados estão disponíveis para aten der a diversas exigências de partida e funcionamento Curvas características representa tivas de conjugado versus velocidade para os quatro tipos mais comuns estão mostradas na Figura 624 Essas curvas são bem comuns para motores de 1800 rpm velocidade síncrona com especificações nominais de 75 a 200 HP embora deva ficar subentendido que há motores em especial que podem se afastar bastante dessas curvas médias Resumidamente as características desses tipos são as seguintes Classe A conjugado de partida normal corrente de partida normal escorrega mento baixo Este tipo tem normalmente uma resistência baixa e um rotor de gaiola simples Apresenta um bom desempenho em operação normal à custa da partida A plena carga o escorregamento é baixo e o rendimento é elevado O conjugado má ximo está em geral bem acima de 200 do conjugado de plena carga e ocorre com um escorregamento pequeno menor que 20 O conjugado de partida para a tensão plena varia de cerca de 200 do conjugado de plena carga em motores pequenos até cerca de 100 em motores de grande porte A corrente de partida elevada 500 a 800 da corrente de plena carga quando a partida dáse na tensão nominal é a principal desvantagem desse tipo Com motores abaixo de 75 HP essas correntes de partida estão muitas vezes dentro dos limites da corrente transitória inicial suportada pelo sistema de distribui ção que alimenta o motor Nesse caso a partida pode ser dada com plena tensão N de T No Brasil essas categorias são definidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 387 diretamente da linha Em caso contrário uma partida com tensão reduzida deve ser usada A partida com tensão reduzida resulta em uma diminuição do conjugado de partida porque este é proporcional ao quadrado da tensão aplicada aos terminais do motor Normalmente a tensão reduzida para a partida é obtida de um autotransfor mador chamado compensador de partida que pode ser operado de forma manual ou automática por meio de relés que aplicam a tensão plena depois de o motor ter atingi do velocidade de operação O diagrama do circuito de um tipo de compensador está mostrado na Figura 625 Se for necessária uma partida mais suave uma resistência ou reatância em série pode ser usada no estator O motor de classe A é o tipo básico padrão para tamanhos abaixo de 75 HP e acima de 200 HP É usado também com especificações intermediárias quando devido a considerações de projeto se torna difícil atender às limitações da corrente de parti da da classe B O seu campo de aplicação é aproximadamente o mesmo da classe B descrita a seguir Classe B conjugado de partida normal corrente de partida baixa escorregamen to baixo Esse tipo tem aproximadamente o mesmo conjugado de partida da classe A mas com 75 da corrente de partida Portanto podemos ter partida com tensão plena usando tamanhos maiores do que os da classe A A corrente de partida é reduzida incluindo no projeto uma reatância de dispersão relativamente alta O conjugado de partida é mantido usando um rotor de gaiola dupla ou barras profundas Com plena 0 0 50 100 Porcentagem de conjugado de plena carga 150 200 250 300 350 20 40 60 Porcentagem de velocidade síncrona 80 100 Classe A Classe B Classe C Classe D Figura 624 Curvas típicas de conjugado versus velocidade para motores de indução de 1800 rpm de uso geral 388 Máquinas elétricas carga o escorregamento e o rendimento são bons quase os mesmos da classe A Entretanto o uso de uma reatância elevada diminui ligeiramente o fator de potência e baixa em muito o conjugado máximo em geral é possível obter um valor apenas ligeiramente superior a 200 do conjugado de plena carga Esse tipo é o mais comum na faixa de tamanhos de 75 a 200 HP É usado es sencialmente no acionamento de velocidade constante em que as exigências de con jugado de partida não são severas como no acionamento de ventiladores sopradores bombas e máquinasferramentas Classe C conjugado de partida alto corrente de partida baixa Este tipo usa um rotor de gaiola dupla com uma resistência de rotor mais elevada do que a da classe B O resultado é um conjugado de partida mais elevado com baixa corrente de partida mas com um rendimento de funcionamento um pouco inferior e um escorregamento mais alto do que o das classes A e B Aplicações típicas incluem compressores e transportadores Classe D conjugado de partida alto escorregamento alto Em geral este tipo apresenta gaiola simples e rotor de alta resistência barras de latão frequentemente Produz conjugado de partida muito elevado com corrente de partida baixa e um con jugado máximo elevado com 50 a 100 de escorregamento No entanto funciona com escorregamento elevado a plena carga 7 a 11 e por consequência tem um baixo rendimento de funcionamento Seus principais usos estão no acionamento de cargas intermitentes desenvolvendo trabalho com acelerações elevadas e no acio namento de cargas de alto impacto como em prensas perfuradoras e máquinas de cortar chapas Quando está acionando cargas de alto impacto o motor é geralmente auxiliado por um volante que auxilia a fornecer o impacto e a reduzir os pulsos de potência que são fornecidos pelo sistema de alimentação elétrica Tornase necessário um motor cuja velocidade cai consideravelmente com um aumento de conjugado para que o volante possa baixar de velocidade e transferir uma parcela de sua energia cinética para o impacto 1 2 3 3 1 2 1 2 Autotransformador trifásico Terminais da linha Terminais do motor Sequência de partida a Fecha 1 e 3 b Abre 1 e 3 c Fecha 2 Figura 625 Conexões de um autotransformador de partida de um estágio Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 389 68 Resumo Em um motor de indução polifásico correntes com a frequência de escorregamento são induzidas nos enrolamentos do rotor à medida que o rotor se desloca em relação à onda de fluxo do estator a qual gira sincronicamente Por sua vez essas correntes de rotor produzem uma onda de fluxo que gira em sincronismo com a onda de flu xo do estator O conjugado é produzido pela interação dessas duas ondas de fluxo Com um aumento de carga no motor a velocidade do rotor diminui resultando em aumento de escorregamento aumento de correntes induzidas no rotor e elevação de conjugado Em um motor de indução polifásico o exame das interações entre fluxos e FMM mostra que eletricamente a máquina é uma forma de transformador A onda de fluxo no entreferro que gira sincronicamente na máquina de indução é equivalen te ao fluxo mútuo no núcleo de um transformador O campo girante induz FEMs com a frequência do estator nos enrolamentos do estator e FEMs com a frequência de es corregamento nos enrolamentos do rotor para qualquer velocidade de rotor diferente da velocidade síncrona Assim a máquina de indução transforma as tensões e ao mesmo tempo altera a frequência Quando vistos do estator todos os fenômenos elé tricos e magnéticos do rotor são convertidos para a frequência do estator A FMM do rotor reage com os enrolamentos do estator da mesma forma que a FMM da corrente de secundário de um transformador reage com o primário Seguindo nessa linha de raciocínio obtémse um circuito equivalente monofásico para máquinas de indução polifásicas muito semelhante ao de um transformador Em aplicações que requerem uma velocidade constante considerável sem con dições de partida muito exigentes o motor de gaiola de esquilo não costuma ter rival devido à sua robustez simplicidade e custo relativamente baixo A sua única desvan tagem está em seu fator de potência relativamente baixo cerca de 085 a 090 a plena carga para motores de quatro polos e 60 Hz e bem menor para cargas leves e para motores de velocidades mais baixas O baixo fator de potência é uma consequência do fato de que toda a excitação deve ser fornecida por potência reativa indutiva reti rada da fonte CA Um dos fatos notáveis que afetam as aplicações do motor de indução é que o escorregamento para o qual ocorre o conjugado máximo pode ser controlado va riando a resistência do rotor Uma elevada resistência de rotor proporciona ótimas condições de partida mas um pobre desempenho de funcionamento Entretanto uma baixa resistência de rotor pode resultar em condições de partida não satisfatórias De qualquer modo portanto é bem provável que o projeto de um motor de indução seja o resultado do encontro de um meiotermo entre todas as exigências Uma melhoria notável no desempenho de partida com um sacrifício relativa mente pequeno de desempenho de funcionamento pode ser incorporada a um motor de gaiola de esquilo usando um rotor de barras profundas ou gaiola dupla cuja resis tência efetiva de rotor aumenta com o escorregamento Um motor de rotor bobinado pode ser usado em condições de partida muito exigentes ou quando é necessário controlar a velocidade por meio de uma resistência de rotor Sistemas de acionamento de estado sólido e frequência variável conferem uma flexibilidade considerável à uti lização dos motores de indução em aplicações de velocidade variável Essas questões serão discutidas no Capítulo 10 Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 391 c Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo estator no entreferro em relação ao estator em rads Em relação ao rotor d Qual é a velocidade angular da onda de fluxo produzida pelo rotor no en treferro em relação ao estator em rads Em relação ao rotor 62 Um motor de indução de enrolamento bobinado dois polos 60 Hz e 208 V tem um enrolamento de estator trifásico com 42 espirasfase e um enrolamen to de rotor com 38 espiras fase Quando está operando na tensão de terminal nominal observase que o motor está girando na velocidade de 3517 rpm Cálculos indicam que nessa condição de operação a onda de fluxo de entre ferro induz uma tensão de linha de 193 V no enrolamento do estator Calcule a respectiva tensão induzida no enrolamento do rotor 63 Campos de dispersão induzirão tensões com a frequência do rotor em uma bobina de captação montada no eixo de um motor de indução A medição da frequência dessas tensões induzidas pode ser usada para determinar a veloci dade do rotor a Qual será a velocidade do rotor em rpm de um motor de indução de seis polos e 50 Hz se a frequência da tensão induzida é 073 Hz b Calcule a frequência da tensão induzida produzida por um motor de indu ção de quatro polos e 60 Hz operando na velocidade de 1763 rpm Qual é o respectivo escorregamento 64 Um motor de indução trifásico funciona na velocidade de 1198 rpm a vazio e 1119 rpm a plena carga quando alimentado por uma fonte trifásica de 60 Hz a Quantos polos este motor deve ter b Qual é o escorregamento em porcentagem a plena carga c Qual é a respectiva frequência das correntes do rotor d Qual é a respectiva velocidade em rpm do campo do rotor em relação ao rotor Em relação ao estator 65 Os motores de indução lineares têm sido propostos para diversas aplicações incluindo transporte terrestre a alta velocidade Um motor linear fundamentado no princípio do motor de indução consiste em um carro que se desloca sobre uma base Essa base consiste em um enrolamento de gaiola de esquilo em for ma plana e o carro com 67 m de comprimento e 175 m de largura apresenta um enrolamento de armadura trifásico com 10 pares de polos também em for ma plana A potência a 40 Hz é fornecida ao carro por meio de braços que se estendem através de ranhuras até trilhos situados abaixo do nível do solo a Qual é a velocidade síncrona em kmh b O carro atingirá essa velocidade Explique a sua resposta c Qual será o escorregamento se o carro estiver se deslocando a 89 kmh Nessas condições qual é a frequência das correntes que circulam na base d Se o sistema de controle determina o valor e a frequência das correntes do car ro para manter constante o escorregamento qual é a frequência das correntes do enrolamento de armadura quando o carro está se deslocando a 75 kmh Nessas condições qual é a frequência das correntes que circulam na base 392 Máquinas elétricas 66 O estator de um motor de indução de 208 V e 60 Hz é enrolado com bobinas de 10 espiras Os enrolamentos do motor devem ser refeitos para que o motor opere com 400 V e 50 Hz Calcule o número de espiras por bobina para que o motor com novos enrolamentos funcione com a mesma densidade de fluxo do motor original 67 Descreva o efeito sobre a característica de conjugado versus velocidade de um motor de indução produzido pela a redução à metade da tensão aplicada e b redução à metade de ambas a tensão e frequência aplicadas Esboce as curvas resultantes de conjugado versus velocidade relativas às que são produzidas com tensão e frequência nominais Despreze os efeitos da resistência de esta tor e da reatância de dispersão 68 Um sistema como o mostrado na Figura 626 é usado para converter tensões equilibradas de 60 Hz em outras frequências O motor síncrono tem seis polos e aciona o eixo de acoplamento no sentido horário A máquina de indução tem quatro polos e seus enrolamentos de estator são conectados à fonte de modo a produzir um campo que gira em sentido antihorário no sentido oposto à ro tação do motor síncrono A máquina de indução tem um rotor bobinado cujos terminais são levados para fora por anéis deslizantes a Com o sistema alimentado com uma fonte de 50 Hz com que velocidade o motor funciona b Qual é a frequência das tensões produzidas nos anéis deslizantes do motor de indução c Qual será a frequência das tensões produzidas nos anéis deslizantes do mo tor de indução se dois terminais do estator do motor de indução forem tro cados entre si invertendo o sentido de rotação do campo girante resultante 69 Um motor de indução trifásico de gaiola oito polos 60 Hz 4160 V e 1000 kW tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase Y referidos ao estator R1 0187 R2 0176 X1 166 X2 206 Xm 3885 Motor síncrono Terminais do rotor Anéis deslizantes Eixo Fonte trifásica Motor de indução Figura 626 Máquinas de indutância e síncrona interconectadas Problema 68 394 Máquinas elétricas sumindo que as perdas do motor no núcleo são de 1200 W e as perdas por atrito e ventilação são de 700 W Sugestão A solução é mais fácil fazendo uma pesquisa com MATLAB 614 Um motor de indução trifásico de 4 polos 75 kW e 460 V tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente monofásico em ohms por fase R1 245 103 R2 552 103 X1 0267 X2 0277 Xm 198 Você pode assumir que as perdas por atrito e ventilação de 1250 W perma necem constantes na faixa normal de operação e que as perdas do motor no núcleo para 460 V são de 780 W a Calcule o escorregamento do motor a velocidade a corrente de terminal o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua potência de saída nominal Sugestão Pode ser mais fácil pesquisar o ponto desejado de operação usando MATLAB b Faça uma tabela incluindo o escorregamento do motor a velocidade a cor rente de terminal o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V com plena carga parte a 75 50 e 25 da carga nominal e também a vazio 615 O motor do Problema 614 deve funcionar a partir de um acionamento trifásico de tensão e frequência variáveis A tensão de saída do acionamento é 460 V ten são de linha em 60 Hz e é proporcional à frequência Assuma que os parâme tros do motor resistências e indutâncias não variam com a tensão e frequência aplicadas Você também pode assumir que nesse funcionamento as perdas por atrito e ventilação variam com o cubo da velocidade do motor 1250 W em 1800 rpm e que as perdas no núcleo variam com o quadrado da frequência aplicada a Calcule o escorregamento do motor a velocidade a corrente de terminal o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua potência de saída nominal Sugestão Pode ser mais fácil pesquisar o ponto desejado de operação usando MATLAB Com as frequências de operação do acionamento do motor abaixo de 60 Hz a saída de potência máxima do motor corresponde à potência que resulta em uma corrente de terminal do motor igual àquela encontrada na parte a b Calcule a potência de carga máxima que pode ser fornecida por esse sis tema na frequência de 50 Hz Calcule as respectivas tensão de terminal escorregamento velocidade fator de potência e rendimento 616 Considere o motor de indução do Problema 612 operando em sua tensão de terminal nominal a Encontre a velocidade do motor em rpm que corresponde à potência de saída nominal no eixo de 37 kW Sugestão Isso pode ser feito facilmente escrevendo um script de MATLAB que faz uma pesquisa com o escorrega mento do motor Capítulo 6 Máquinas polifásicas de indução 395 b De modo semelhante encontre a velocidade em rpm para a qual o motor funciona sem carga externa no eixo supondo que a carga do motor nessa velocidade consista apenas em perdas por atrito e ventilação c Plote o rendimento do motor versus a potência de saída quando a potência de saída do motor varia de 5 kW até a plena carga 617 Escreva um script de MATLAB para analisar o desempenho de um motor de indução trifásico operando com suas frequência e tensão nominais As entra das devem ser a tensão a potência e a frequência nominais do motor além do número de polos os parâmetros de circuito equivalente e as perdas rotacio nais Dada uma velocidade específica o programa deve calcular a potência de saída a potência de entrada o fator de potência e o rendimento do motor Teste o seu programa com um motor de indução trifásico de quatro polos 450 kW 33 kV e 50 Hz operando com 1466 rpm cujas perdas rotacionais na velocidade nominal são de 28 kW cujas perdas no núcleo são de 37 kW e cujos parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase são R1 0178 R2 028 X1 228 X2 269 Xm 215 618 Um motor de indução trifásico com gaiola de esquilo de alumínio seis polos 120 kW e 460 V tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente monofá sico em ohms por fase R1 153 103 R2 345 103 X1 0183 X2 0219 Xm 134 Você pode assumir que as perdas por atrito e ventilação de 1370 W perma necem constantes na faixa normal de operação e que as perdas do motor no núcleo para 460 V são de 1100 W a Faça uma tabela incluindo o escorregamento do motor a velocidade a corrente de terminal o fator de potência e o rendimento quando o motor está operando em 460 V e fornecendo a sua potência de nominal Suges tão Pode ser mais fácil pesquisar o ponto desejado de operação usando MATLAB b O fabricante propõe a substituição do rotor desse motor por um outro rotor idêntico exceto que a gaiola de esquilo é feita de cobre em vez de alumí nio Assumindo que a condutividade elétrica do cobre é 15 vezes a do alu mínio repita os cálculos da parte a para o motor funcionando com esse novo rotor Amplie a tabela da parte a incluindo o desempenho do motor com rotor de cobre e comparando os resultados c Compare o desempenho desse motor com rotor de alumínio e de cobre quan do está operando com a tensão nominal e 75 50 e 25 da carga nominal 619 Um motor de indução de gaiola de esquilo trifásico seis polos 10 kW 460 V 60 Hz e ligado em Y desenvolve o conjugado nominal com escorregamen to de 32 quando está funcionando em tensão e frequência nominais Para os propósitos deste problema as perdas no núcleo e as rotacionais podem ser C AP Í TU LO 7 Máquinas CC A s máquinas CC caracterizamse por sua versatilidade Por meio das diversas combinações de enrolamentos de campo excitados em derivação série ou independentemente elas podem ser projetadas de modo a apresentar uma ampla variedade de características de tensão versus corrente ou de velocidade versus conjugado para operações dinâmicas e em regime permanente Devido à facilidade com que podem ser controladas sistemas de máquinas CC têm sido usados com fre quência em aplicações que exigem uma ampla faixa de velocidades ou de controle preciso da saída do motor Nos últimos anos a tecnologia de estado sólido que é utilizada nos sistemas de acionamento CA desenvolveuse o suficiente para que esses sistemas estejam substituindo as máquinas CC em aplicações antes associadas quase exclusivamente às máquinas CC Entretanto a versatilidade das máquinas CC em combinação com a relativa simplicidade dos seus sistemas de acionamento irá asse gurar o seu uso continuado em uma ampla variedade de aplicações 71 Introdução As características essenciais de uma máquina CC estão mostradas esquematicamente na Figura 71 O estator tem polos salientes e é excitado por uma ou mais bobinas de campo A distribuição do fluxo criado pelos enrolamentos de campo no entreferro é simétrica em relação à linha central dos polos de campo Esse eixo é denominado eixo de campo ou eixo direto Como foi discutido em detalhes na Seção 462 a tensão CA gerada em cada bobina de armadura rotativa é convertida em CC nos terminais externos da armadura por meio de um comutator rotativo e de escovas estacionárias às quais os condutores da armadura estão conectados A combinação de comutador e escovas forma um retificador mecânico resultando em uma tensão CC de armadura e uma onda de FMM de armadura que está fixa no espaço A ação do comutador será discutida em detalhes na Seção 72 As escovas estão posicionadas de modo que a comutação ocorra quando os la dos da bobina estão na zona neutra a meio caminho entre os polos de campo O eixo da onda de FMM de armadura estará então distanciado 90 graus elétricos do eixo dos polos de campo isto é no eixo em quadratura Na representação esquemática da Fi gura 71a as escovas estão mostradas no eixo em quadratura porque essa é a posição das bobinas às quais elas estão conectadas A onda de FMM de armadura estará então Capítulo 7 Máquinas CC 405 em que o sinal negativo foi desconsiderado porque o sentido positivo do conjugado pode ser determinado por meio de um raciocínio físico O valor de pico da onda dente de serra da FMM da armadura é dado pela Eq 410 e sua fundamental espacial Fa1 é 8π2 vezes o seu valor de pico Portanto 74 A substituição da Eq 74 na Eq 73 dá então 75 onde ia corrente no circuito externo de armadura Ca número total de condutores no enrolamento de armadura m número de caminhos em paralelo no enrolamento Aqui 76 é uma constante determinada pelo projeto do enrolamento A tensão gerada e retificada de armadura já foi obtida na Seção 462 para uma armadura elementar com uma única bobina Sua forma de onda está mostrada na Figura 430 O efeito da distribuição do enrolamento em diversas ranhuras está mos trado na Figura 72 onde cada uma das ondas senoidais retificadas é a tensão gerada em uma das bobinas A comutação ocorre no momento em que os lados das bobinas estão na zona neutra A tensão gerada observada entre as escovas é a soma das tensões retificadas de todas as bobinas em série entre as escovas e é mostrada pela linha ondulada ea na Figura 72 Com uma dúzia ou tanto de lâminas de comutador por polo a ondulação tornase muito pequena e a tensão média gerada que é observada nas escovas é igual à soma dos valores médios das tensões retificadas de bobina Da Eq 455 obtémse que a tensão retificada ea entre as escovas também conhecida como tensão de velocidade é 77 Tensão t Tensão de escovas ea Tensões retificadas de bobina Figura 72 Tensões retificadas de bobina e a tensão resultante entre escovas em uma máquina CC Capítulo 7 Máquinas CC 407 ou em termos da velocidade de rotação em rpm 711 onde n0 é a velocidade de rotação em rpm correspondente à velocidade ωm0 No caso em que apenas um enrolamento de campo é excitado a curva de mag netização pode ser plotada mais facilmente em função da corrente de campo if em vez dos ampèresespiras líquidos Nfif do campo como também está mostrado na Figura 73b Essa curva pode ser obtida com mais facilidade usando métodos ba seados em ensaios Como a corrente de campo pode ser medida diretamente não é necessário conhecer detalhes de projeto Dentro de uma faixa bem ampla de excitação a relutância do aço elétrico da máquina é desprezível em comparação com a do entreferro Nessa região o fluxo é linearmente proporcional à FMM total dos enrolamentos de campo e a constante de proporcionalidade é a permeância de eixo direto Pd assim 712 A linha reta tracejada que passa pela origem e coincide com a porção reta das curvas de magnetização da Figura 73 é denominada linha de entreferro Essa deno minação referese ao fato de que essa seria a característica de magnetização linear que encontraríamos se a relutância da porção de material magnético do caminho de fluxo permanecesse desprezível em comparação com a do entreferro independente mente do grau de saturação magnética do aço do motor As notáveis vantagens das máquinas CC provêm da grande variedade de carac terísticas de operação que podem ser obtidas quando se escolhe o método de excitação dos enrolamentos de campo Vários diagramas de ligações estão mostrados na Figura 74 O método de excitação influencia profundamente as características de regime per manente e no caso de sistemas de controle o comportamento dinâmico da máquina Campo em série Campo Para a fonte CC Armadura Campo em série Campo em derivação Campo em derivação Reostato de campo Reostato de campo b a d c Figura 74 Ligações do circuito de campo de máquinas CC a excitação independente b em série c em derivação d composta 408 Máquinas elétricas Considere primeiro os geradores CC O diagrama de ligações de um gerador com excitação independente está mostrado na Figura 74a A corrente de campo re querida é uma fração muito pequena da corrente nominal de armadura na ordem de 1 a 3 para um gerador médio Uma pequena quantidade de potência no circuito de campo pode controlar uma quantidade relativamente elevada de potência no circuito de armadura isto é o gerador é um amplificador de potência Os geradores de excita ção independente são usados frequentemente em sistemas realimentados de controle quando é necessário controlar a tensão de armadura dentro de uma ampla faixa Os enrolamentos de campo de um gerador autoexcitado podem ser conectados de três modos diferentes O campo pode ser ligado em série com a armadura Figura 74b resultando um gerador série O campo pode ser ligado em derivação paralelo com a armadura Figura 74c resultando um gerador em derivação O campo pode ainda estar divido em duas seções Figura 74d uma das quais é ligada em série e a outra em derivação com a armadura resultando um gerador composto Nos gerado res autoexcitados deve estar presente um magnetismo residual no ferro da máquina para que o processo de autoexcitação possa se iniciar Os efeitos do magnetismo resi dual podem ser vistos claramente na Figura 73 onde o fluxo e a tensão são diferentes de zero quando a corrente de campo é nula A Figura 75 mostra as curvas características de tensão versus corrente de gera dores CC em regime permanente tendose assumido um funcionamento de velocida de constante A relação entre a FEM gerada Ea em regime permanente e a tensão de terminal da armadura Va é Va Ea IaRa 713 onde Ia é a corrente de armadura de saída e Ra é a resistência do circuito de armadura Em um gerador Ea é maior que Va e o conjugado eletromagnético Tmec é um contra conjugado que se opõe à rotação A tensão de terminal de um gerador com excitação independente decresce li geiramente com o aumento da corrente de carga principalmente devido à queda de N de T Também conhecido por shunt 0 0 25 50 75 Corrente de carga em porcentagem da corrente nominal Tensão em porcentagem da tensão nominal 100 25 50 75 100 Série Composto Excitação independente Derivação Figura 75 Características de tensão versus corrente de geradores CC Capítulo 7 Máquinas CC 409 tensão na resistência de armadura A corrente de campo de um gerador série é a mes ma que a corrente de carga de modo que o fluxo de entreferro e consequentemente a tensão variam muito com a carga Por essa razão os geradores série não são muito usados A tensão de um gerador em derivação cai um pouco com a carga mas isso não o impede de ser usado para muitos propósitos Os geradores compostos são li gados normalmente de modo que a FMM do enrolamento em série auxilie a do en rolamento em derivação A vantagem é que devido à ação do enrolamento em série o fluxo por polo pode aumentar com a carga resultando uma tensão de saída que é quase constante ou que até cresce um pouco com o aumento da carga O enrolamen to em derivação contém em geral muitas espiras de fio relativamente delgado O enrolamento em série disposto por fora consiste em poucas espiras de um condutor relativamente espesso porque toda a corrente de armadura da máquina passa por ele A tensão de um gerador em derivação ou composto pode ser controlada dentro de limites razoáveis por meio de reostatos que atuam sobre o campo em derivação Todos os métodos de excitação usados nos geradores também podem ser usados nos motores Curvas características típicas de velocidade versus conjugado para motores CC em regime permanente estão mostradas na Figura 76 na qual assumese que os ter minais do motor são alimentados a partir de uma fonte de tensão constante Em um mo tor a relação entre a FEM Ea gerada na armadura e a tensão de terminal de armadura Va é Va Ea IaRa 714 ou 715 onde Ia é agora a corrente de armadura de entrada da máquina Agora a FEM gerada Ea é menor do que a tensão de terminal Va pois a corrente de armadura tem sentido oposto à de um gerador e o conjugado eletromagnético tem um sentido tal que man tém a rotação da armadura Nos motores em derivação e de excitação independente o fluxo de campo é aproximadamente constante Logo um aumento de conjugado deve ser acompanhado Série Composto Derivação 0 0 25 50 Conjugado de carga em porcentagem do conjugado nominal 75 100 25 50 75 Velocidade em porcentagem da velocidade nominal 100 Figura 76 Características de velocidade versus conjugado de motores CC 410 Máquinas elétricas de um acréscimo quase proporcional de corrente de armadura e portanto de um pe queno decréscimo de força contraeletromotriz Ea para permitir que esse aumento de corrente circule através da baixa resistência de armadura Como a força contraeletro motriz é determinada pelo fluxo e pela velocidade Eq 77 a velocidade deve baixar um pouco De modo semelhante ao motor de indução de gaiola de esquilo o motor em derivação é substancialmente um motor de velocidade constante apresentando uma queda de velocidade em torno de 6 quando se passa da condição de carga a vazio para carga total Uma curva característica típica de velocidade versus conjuga do está mostrada pela linha cheia na Figura 76 Os conjugados de partida e máximo são limitados pela corrente de armadura que pode ser comutada de modo eficiente Uma vantagem notável do motor em derivação é a facilidade do controle de ve locidade Com um reostato no circuito de campo em derivação a corrente de campo e o fluxo por polo podem ser variados à vontade A variação de fluxo causa uma va riação inversa de velocidade de modo que a força contraeletromotriz é mantida quase igual à tensão de terminal aplicada Uma faixa máxima de velocidade de aproxima damente 4 ou 6 para 1 pode ser obtida por esse método A limitação aqui também são as condições de comutação Por meio da variação da tensão de armadura aplicada podese obter faixas bem amplas de velocidade No motor série o aumento de carga é acompanhado por elevações da corrente da FMM de armadura e do fluxo de campo do estator desde que o ferro não esteja completamente saturado Como o fluxo aumenta com a carga a velocidade deve cair para se manter o equilíbrio entre a tensão aplicada e a força contraeletromotriz Além disso o aumento na corrente de armadura causado pelo aumento de conjugado é menor do que no motor em derivação devido ao aumento de fluxo O motor série é portanto um motor de velocidade variável cuja curva característica apresenta um declive bem acentuado do tipo mostrado na Figura 76 Para aplicações que exigem elevadas sobrecargas de conjugado essa característica é especialmente vantajosa por que as respectivas sobrecargas de potência são mantidas em valores mais razoáveis pelas respectivas reduções de velocidade Com a elevação da corrente de armadura características muito favoráveis de partida também são obtidas a partir do aumento de fluxo No motor composto o campo em série pode ser ligado de forma aditiva ou cumulativa de modo que sua FMM somase à do campo em derivação ou de forma subtrativa ou diferencial opondose A ligação subtrativa raramente é usada Como está mostrado pela linha de traços e pontos da Figura 76 um motor composto aditivo tem características de velocidade versus carga que são intermediárias entre as de um motor em derivação e as de um motor série A diminuição da velocidade com a carga depende do número relativo de ampèresespiras nos campos em derivação e em série Não apresenta as desvantagens do motor série velocidades muito elevadas com cargas leves mas mantém ainda em grau considerável as vantagens da excitação em série A vantagem do uso de máquinas de corrente contínua está nas diversas carac terísticas de desempenho que são oferecidas pelas possibilidades de excitação em derivação série ou composta Algumas dessas características foram mencionadas nesta seção Possibilidades ainda maiores existirão se forem acrescentados conjuntos adicionais de escovas de modo que outras tensões possam ser obtidas do comutador Assim a versatilidade dos sistemas de máquinas CC e sua adaptabilidade ao controle tanto manual como automático são suas características principais Capítulo 7 Máquinas CC 411 72 Ação do comutador A máquina de corrente contínua é diferente do modelo ideal da Seção 422 em diversos aspectos Embora os conceitos básicos da Seção 422 ainda sejam válidos uma nova análise das suposições feitas e uma modificação no modelo são desejáveis O ponto central são os efeitos decorrentes da ação do comutador mostrado nas Figuras 41 e 413 A Figura 77 mostra esquematicamente o enrolamento de armadura das Fgs 419 e 420a tendose acrescentado o comutador as escovas e as conexões entre as bobinas e as lâminas do comutador Este foi representado pelo anel de lâminas no centro da figura As lâminas estão isoladas entre si e do eixo Duas escovas estacioná rias estão representadas pelos retângulos pretos dentro do comutador Na realidade em geral as escovas fazem contato com a superfície externa como se mostra na Figu ra 413 Os lados das bobinas dentro das ranhuras aparecem transversalmente na forma de pequenos círculos com pontos e cruzes os quais representam correntes que se deslocam em direção ao leitor e para longe dele respectivamente como na Figura 419 As conexões das bobinas até as lâminas do comutador são representadas pelos arcos circulares Na parte posterior da armadura as conexões das terminações das duas bobinas das ranhuras 1 e 7 estão mostradas na forma de linhas tracejadas e as conexões dessas bobinas às lâminas adjacentes do comutador estão mostradas por arcos espessos Todas as bobinas são idênticas Para evitar que a figura ficasse confu sa as conexões das terminações posteriores das demais bobinas foram omitidas mas podem ser traçadas com facilidade lembrandose de que cada bobina tem um lado no topo da ranhura e um outro no fundo da ranhura diametralmente oposta Na Figura 77a as escovas estão em contato com as lâminas 1 e 7 do comutador A corrente que entra pela escova do lado direito dividese igualmente entre dois cami nhos paralelos dentro do enrolamento O primeiro caminho começa levando ao lado da bobina que está no fundo da ranhura 1 e no fim termina na escova que está sobre a lâmina 7 O segundo caminho leva ao lado da bobina que está no topo da ranhura 6 e termina também na escova que está sobre a lâmina 7 Na Figura 77a os sentidos das correntes podem ser determinados facilmente traçando esses dois caminhos São os mesmos da Figura 419 O efeito é idêntico ao de uma bobina que foi enrolada ao redor da armadura com seu eixo magnético na posição vertical e sobre a qual é exercido um conjugado magnético horário tendendo a alinhar o campo magnético da armadura com o do enrolamento de campo Agora suponha que a máquina esteja atuando como um gerador que está sendo acionado no sentido antihorário pela aplicação de um conjugado mecânico A Figura 77b mostra a situação depois que a armadura girou de um ângulo correspondente a meia lâmina de comutador Neste momento a escova do lado direito está em contato com as lâminas 1 e 2 e a escova do lado esquerdo está em contato com as lâminas 7 e 8 Agora as bobinas das ranhuras 1 e 7 estão sendo curtocircuitadas pelas escovas As correntes nas outras bobinas estão indicadas por pontos e cruzes produzindo um campo magnético cujo eixo é novamente vertical Depois de nova rotação as escovas estarão em contato com as lâminas 2 e 8 e as ranhuras 1 e 7 terão alcançado as posições que anteriormente eram ocupadas pelas N de T Fundo e topo referemse às distâncias mais próxima e mais afastada até o eixo da armadura respectivamente O topo da ranhura também é conhecido por boca da ranhura 412 Máquinas elétricas ranhuras 12 e 6 da Figura 77a Os sentidos das correntes serão semelhantes aos da Figura 77a exceto que as correntes das bobinas das ranhuras 1 e 7 terão os sentidos invertidos O eixo magnético da armadura ainda é vertical a Bobina de campo 12 11 11 12 1 2 Eixo magnético da armadura 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ia ia b 12 11 1 7 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Eixo magnético do campo Figura 77 Enrolamento de armadura de uma máquina CC com comutador e escovas a e b Sentidos das correntes para duas posições da armadura Capítulo 7 Máquinas CC 415 Solução a Da Eq 720 com Vt 128 V e Ea 125 V a corrente de armadura é no sentido motor A potência de entrada nos terminais do motor é Vt Ia 128 150 1920 kW A potência eletromagnética é dada por Ea Ia 125 150 1875 kW Neste caso a máquina CC está operando como motor Consequentemente a potência eletromagnética é inferior à potência de entrada do motor por um valor que corresponde à potência dissipada na resistência de armadura Por fim o conjugado eletromagnético é dado pela Eq 719 b Neste caso Ea é maior do que Vt e consequentemente a corrente de armadura está fluin do para fora da máquina Assim a máquina está operando como gerador Portanto e a potência de terminal é Vt Ia 124 50 620 kW A potência eletromagnética é Ea Ia 125 50 625 kW e o conjugado eletromagnético é Problema prático 71 Observase que a velocidade da máquina CC de excitação independente do Exemplo 71 é 2950 rpm para uma corrente de campo igual à do Exemplo 71 Para uma tensão de terminal de 125 V calcule a corrente e a potência ambas de terminal e a potência eletromagnética da máquina Ela está atuando como motor ou como gerador Solução Corrente de terminal Ia 104 A Potência de terminal VtIa 130 kW Potência eletromecânica EaIa 128 kW A máquina está atuando como motor 416 Máquinas elétricas Exemplo 72 Considere novamente a máquina CC de excitação independente do Exemplo 71 com a corrente de campo sendo mantida constante no valor que produziria uma tensão de terminal de 125 V com uma velocidade de 3000 rpm Observase que a máquina está operando como motor com uma tensão de terminal de 123 V e uma potência de terminal de 219 kW Calcule a velocidade do motor Solução A corrente de terminal pode ser encontrada da tensão de terminal e da potência como Assim a tensão gerada é Ea Vt IaRa 1194 V Da Eq 711 a velocidade de rotação pode ser obtida como Problema prático 72 Repita o Exemplo 72 observando que a máquina está operando como gerador com uma tensão de terminal de 124 V e uma potência de terminal de 24 kW Solução 3069 rpm Nas máquinas compostas pode ocorrer uma outra variação A Figura 79 mos tra uma ligação em derivação longa em que o campo em derivação está conectado diretamente aos terminais de linha e o campo em série está localizado entre eles e a armadura Uma possibilidade alternativa é a ligação em derivação curta ilustrada na Figura 710 em que o campo em derivação foi ligado diretamente à armadura estando o campo em série localizado entre ele e os terminais de linha A corrente do campo em série é então It em vez de Ia e as equações de tensão são adequadamente modificadas Na prática há tão pouca distinção entre essas duas ligações que em geral ignorase a diferença entre elas A não ser que seja especificado de outro modo as máquinas com postas serão tratadas como se as conexões fossem do tipo ligação em derivação longa Armadura Campo em derivação Reostato de campo Vt Va Ia It If Is Campo em série Figura 710 Ligação em derivação curta de um gerador composto 418 Máquinas elétricas excitada a distribuição de densidade de fluxo no entreferro está mostrada pela linha espessa da Figura 711 Como se pode ver com facilidade ela se reduz consideravel mente devido ao longo caminho de ar do espaço interpolar A localização das escovas posiciona o eixo da FMM de armadura a 90 graus elétricos do eixo do campo principal O fluxo correspondente segue os caminhos mostrados na Figura 712 Podese ver que o efeito da FMM de armadura é o de criar um fluxo que cruza as faces polares Assim nas sapatas polares o seu caminho cruza com o caminho de fluxo do campo principal Por essa razão esse tipo de reação da armadura é denominado reação de armadura de magnetização cruzada É evidente que debaixo de uma das metades do polo essa reação causa uma redução na densida de do fluxo de entreferro resultante e debaixo da outra metade um aumento Quando os enrolamentos de armadura e de campo são ambos excitados a dis tribuição da densidade de fluxo resultante no entreferro tem a forma dada pela linha espessa da Figura 713 Superpostas a essa figura estão as distribuições de fluxo quando apenas a armadura está excitada curva de traços longos e quando apenas o campo está excitado curva de traços curtos O efeito da reação de armadura de magnetização cruzada consistindo em reduzir o fluxo em uma das extremidades do polo e em aumentálo na outra pode ser visto comparando as curvas de traços curtos e longos Em geral a curva espessa não é a soma algébrica das duas curvas tracejadas porque o circuito magnético no ferro não é linear Devido à saturação do ferro a den sidade de fluxo é reduzida com mais intensidade em uma das extremidades do polo do que é aumentada na outra Consequentemente o fluxo resultante por polo é infe rior ao que seria produzido apenas pelo enrolamento de campo Essa consequência é denominada efeito de desmagnetização da reação de armadura de magnetização cruzada Como é devido à saturação a sua intensidade é uma função não linear de ambas a corrente de campo e a de armadura No caso do funcionamento normal das máquinas com as densidades de fluxo usadas comercialmente o efeito em geral é significativo especialmente com cargas elevadas e muitas vezes deve ser considerado nas análises de desempenho A distorção da distribuição de fluxo causada pela reação de armadura de mag netização cruzada pode ter uma influência prejudicial sobre a comutação da corrente de armadura especialmente quando a distorção tornarse excessiva De fato essa distorção é normalmente um importante fator limitante da capacidade de sobrecarga de curta duração de uma máquina CC A tendência de distorção da distribuição de fluxo é mais evidente nas máquinas como em um motor em derivação onde a excita ção de campo permanece bem constante enquanto a FMM de armadura para cargas Ferro do campo Ferro da armadura Figura 712 Fluxo com apenas a armadura excitada e as escovas na posição neutra Capítulo 7 Máquinas CC 419 elevadas pode atingir proporções muito significativas A tendência é menos evidente em máquinas com excitação em série como no motor série pois ambas FMMs de campo e de armadura podem crescer com a carga Durante o projeto e a construção da máquina podese limitar o efeito da reação de armadura de magnetização cruzada A FMM do campo principal deve controlar de forma predominante o fluxo de entreferro de modo que condições de campo fraco e FMM de armadura forte sejam evitadas Podese aumentar a relutância do caminho de fluxo cruzado essencialmente os dentes da armadura as sapatas polares e o en treferro em especial nas extremidades dos polos aumentandose o grau de saturação dos dentes e das faces polares evitando um entreferro muito pequeno e usando uma face polar chanfrada ou excêntrica o que aumenta o entreferro nas extremidades do polo Essas formas de tratar o projeto afetam também o caminho do fluxo principal mas a influência sobre o fluxo cruzado é muito maior A melhor medida curativa mas também a mais dispendiosa é compensar a FMM de armadura por meio de um enro lamento que é alojado nas faces polares uma medida que será discutida na Seção 79 Se as escovas não estiverem na posição neutra o eixo da onda de FMM da armadura não estará a 90 do eixo do campo principal Então a FMM de armadura produzirá não apenas magnetização cruzada mas também um efeito de magnetização ou desmagnetização sobre o eixo direto de acordo com o sentido de deslocamento das escovas O afastamento das escovas da posição neutra ocorre normalmente por descuido devido ao posicionamento incorreto ou ao ajuste insatisfatório das escovas Antes da invenção dos interpolos no entanto o deslocamento das escovas era um mé Polo de campo Sul Polo de campo Norte Bobina de campo Condutores distribuídos finamente sobre a armadura Escova Rotação de gerador Rotação de motor Distribuição da densidade de fluxo apenas a armadura Distribuição da densidade de fluxo apenas o campo principal Distribuição da densidade de fluxo resultante Condutores distribuídos finamente sobre a armadura Figura 713 Distribuição da densidade de fluxo de armadura a de campo principal e a resul tante com as escovas na posição neutra 420 Máquinas elétricas todo comum para assegurar uma comutação satisfatória e o sentido do deslocamento era tal que produzia uma ação de desmagnetização Podese mostrar que deslocamen tos no sentido de rotação no caso de um gerador ou contra a rotação no caso de um motor resultam em um funcionamento instável do motor ou em excessiva queda de tensão no gerador Escovas incorretamente posicionadas poderão ser detectadas por meio de um teste de carga Se as escovas estiverem na posição neutra a tensão de terminal de um gerador ou a velocidade de um motor deverão permanecer as mesmas quando o sentido de rotação é invertido desde que as condições de excitação de cam po e de corrente de armadura sejam idênticas 75 Fundamentos analíticos aspectos do circuito magnético O fluxo líquido por polo é o que resulta da combinação das FMMs dos enrolamentos de campo e de armadura Em uma máquina CC ideal com a excitação em derivação ou independente a FMM de armadura produz fluxo magnético apenas no eixo em quadratura Entretanto em um dispositivo real a corrente de armadura produz flu xo no eixo direto produzido diretamente como por exemplo por um enrolamento de campo em série ou indiretamente por meio dos efeitos de saturação como foi discutido na Seção 74 A interdependência entre a tensão de armadura gerada Ea e as condições do circuito magnético da máquina é portanto uma função da soma de todas as FMMs ao longo do caminho de fluxo do eixo polar ou direto Primeiro consideraremos a FMM que foi intencionalmente colocada sobre os polos principais do estator para criar o fluxo de trabalho isto é a FMM do campo principal e em seguida incluiremos os efeitos da reação de armadura 751 Reação de armadura desconsiderada Com a máquina a vazio ou com os efeitos da reação de armadura ignorados a FMM resultante é a soma algébrica das FMMs que atuam sobre o eixo principal ou direto Para o motor ou o gerador composto usual que tem Nf espiras de campo em derivação por polo e Ns espiras de campo em série por polo temse FMM de eixo direto Nf If Ns Is 723 A corrente de campo em série Is é definida na Eq 723 de tal forma que produz uma FMM que se soma à do enrolamento de campo em derivação Observe no entanto que sua polaridade pode ser invertida em qualquer configuração dada e sua corrente de operação pode ser portanto positiva ou negativa Em uma ligação que produz uma corrente de campo em série positiva Is 0 referida como ligação aditiva cumula tiva de campo em série sua FMM somase de fato à do campo em derivação Para uma ligação que produz uma corrente de campo em série negativa Is 0 referida como ligação subtrativa diferencial de campo em série sua FMM é subtraída de fato da corrente do campo em derivação Termos adicionais surgirão na Eq 723 quando houver enrolamentos adicionais de campo nos polos principais e quando diferentemente dos enrolamentos de compensação da Seção 79 esses enrolamentos forem concêntricos em relação aos enrolamentos de Capítulo 7 Máquinas CC 421 campo normais permitindo um controle mais apurado Naturalmente se o campo em série ou em derivação estiver ausente o termo correspondente na Eq 723 será omitido A Eq 723 acrescenta ampèresespiras por polo à FMM total dos enrolamentos do campo de eixo direto que atuam sobre o circuito magnético principal A curva de magnetização de uma máquina CC é dada geralmente em termos da corrente que circula apenas no enrolamento do campo principal o qual quase sempre é o enrola mento do campo em derivação quando há um presente As unidades de FMM dessa curva de magnetização e as da Eq 723 podem ser igualadas por um de dois passos óbvios A corrente de campo na curva de magnetização pode ser multiplicada pelas espiras por polo daquele enrolamento dando uma curva em termos de ampères espiras por polo Podese também dividir os dois lados da Eq 723 pelas espiras Nf do enrolamento de campo em derivação convertendo as unidades para a corrente equivalente no enrolamento de campo em derivação que sozinha produziria a mesma FMM Assim 724 caso em que a Eq 723 pode ser escrita como 725 Muitas vezes esse último procedimento é o mais conveniente e é o mais adotado Como foi discutido em relação à Eq 723 a ligação em série do enrolamento de cam po determinará se a FMM do campo em série será somada ou subtraída da FMM do enrolamento de campo principal Um exemplo de característica de magnetização a vazio é dado pela curva para Ia 0 na Figura 714 com valores representativos de um gerador de 100 kW 250 V e 1200 rpm Observe que a escala de FMM é dada em termos da corrente de campo em derivação e em ampèresespiras por polo Essa última é obtida da primeira com base em um campo em derivação de 1000 espiras por polo A curva característica também pode ser apresentada em forma normalizada ou por unidade como está mostrado pelas escalas de FMM na parte superior e de tensão no lado direito Nessas escalas uma corrente de campo ou FMM de 10 por unidade é a necessária para produzir a tensão nominal na velocidade nominal quando a máquina está sem carga De modo semelhante uma tensão de 10 por unidade é igual à tensão nominal O uso da curva de magnetização plotando no eixo vertical a tensão gerada em vez do fluxo pode ser um tanto complicado porque a velocidade de uma máquina CC não permanece necessariamente constante e assim a velocidade entra na relação en tre o fluxo e a tensão gerada Desse modo as ordenadas da tensão gerada são relativas a uma única velocidade de máquina A tensão gerada Ea em qualquer velocidade ωm é dada pelas Eqs 710 e 711 repetidas aqui em termos dos valores da tensão gerada em regime permanente 726 424 Máquinas elétricas Solução a Da Eq 78 Pmec Ea Ia A substituição da Eq 720 fornece resultando a seguinte expressão para Ea em termos de Pmec Claramente o sinal deve ser usado porque sabemos que Ea Va quando Pmec 0 Das características dadas do motor vemos que Ea0 450 V quando n0 1000 rpm Assim da Eq 711 temos Essa equação pode ser usada para plotar a velocidade do rotor em função de Pmec quando varia de 0 a Pnominal A plotagem resultante está mostrada na Figura 715 b Como o motor está conectado conforme a ligação de derivação longa a corrente de cam po permanece constante com um valor de Além disso sabemos que quando a máquina opera a vazio com uma velocidade n0 1000 rpm a respectiva FMM de eixo direto produz uma tensão gerada Ea0 Vnominal 450 V Desse modo podemos escrever que na velocidade n0 1000 Velocidade rpm 920 940 960 980 0 10 20 30 Pmec kW 40 50 Figura 715 Plotagem de rpm versus carga do motor do Exemplo 74a Capítulo 7 Máquinas CC 425 onde sabendo que nesse caso Is Ia temos da Eq 724 Finalmente da Eq 711 podemos escrever uma expressão para a tensão gerada em fun ção da velocidade do motor Da Eq 721 incluindo a resistência do campo em série a corrente de armadura é dada por A manipulação adequada dessas equações dá uma expressão para a corrente de armadura Ia em função da velocidade do motor e então a respectiva potência mecânica de saída em função da velocidade do motor é dada por Pmec EaIa A plotagem desejada está mostrada na Figura 716 que foi obtida diminuindo a velocidade desde um valor inicial de 1100 rpm até que a potência nominal de 50 kW fosse encontrada Aqui está o script de MATLAB desse exemplo clc clear Características do motor Prated 50e3 Potência nominal rated Vrated 450 Tensão nominal Ra 0242 Resistência de armadura 1000 Velocidade rpm 960 970 980 990 0 10 20 30 40 50 Pmec kW Figura 716 Plotagem de rpm versus carga do motor do Exemplo 74b 426 Máquinas elétricas Rf 167 Resistência de campo Nf 1250 Campo espiraspolo Rs 0032 Resistência de campo em série Ns 1 Campo em série espiraspolo n0 1000 Velocidade a vazio Ea0 450 Tensão a vazio Parte a Va 450 Tensão de terminal Pmech linspace0Prated100 Potência mecânica n n0VasqrtVa24RaPmech2Ea0 plotPmech1000nLineWidth2 xlabelPmec kWFontSize20 ylabelVelocidade rpmFontSize20 setgcaFontSize20 setgcaxlim0 50 setgcaxtick0 10 20 30 40 50 grid on dispPressione qualquer tecla para ir à parte b pause Parte b clear n Pmech Vt 450 Tensão de terminal If0 VtRf Corrente de campo em derivação P 0 m0 while P 501000 m m1 nm 1000m1 Ia NfIf0n0VtnmVratedn0NfIf0RaRsnmNsVrated Ea nmVratedIf0NsNfIan0If0 P EaIa Pmechm P end plotPmech1000nLineWidth2 xlabelPmec kWFontSize20 ylabelVelocidade rpmFontSize20 setgcaFontSize20 setgcaxlim0 50 setgcaxtick0 10 20 30 40 50 grid on Capítulo 7 Máquinas CC 427 752 Efeitos da reação de armadura incluídos Como foi descrito na Seção 74 a corrente no enrolamento de armadura dá origem a um efeito de desmagnetização causado por uma reação de armadura de magnetização cruzada A inclusão analítica desse efeito não é imediata devido às não linearidades envolvidas Uma abordagem comum é basear as análises no desempenho medido da máquina em questão ou de outra com projeto e tamanho semelhantes Os dados são obtidos excitando o campo e a armadura e os ensaios são conduzidos de modo que os efeitos sobre a FEM gerada possam ser observados variando a excitação do campo principal e a FMM de armadura Análises numéricas baseadas em técnicas como método de elementos finitos também podem ser usadas Uma forma de se resumir e correlacionar os resultados está ilustrada na Figura 714 As curvas são plotadas não apenas para a característica a vazio Ia 0 mas também para uma família de valores de Ia Então na análise do desempenho da má quina a inclusão da reação de armadura tornase simplesmente uma questão de usar a curva de magnetização que corresponde à corrente de armadura envolvida Observe que as ordenadas de todas essas curvas fornecem valores para a tensão de armadura gerada Ea não para a tensão de terminal sob carga Observe também que todas as cur vas tendem a se sobrepor à linha de entreferro quando a saturação do ferro diminui As curvas de saturação sob carga são deslocadas para o lado à direita da cur va a vazio de um valor que é função de Ia O efeito da reação de armadura é então aproximadamente igual ao de uma FMM desmagnetizante Fra que atua sobre o eixo principal Esse termo adicional pode então ser incluído na Eq 723 com o resultado de que a FMM líquida sobre o eixo direto pode ser assumida como FMM líquida FMM total Fra Nf If Ns Is Fra 728 Assim a curva de magnetização a vazio pode ser usada como a relação entre a FEM gerada e a excitação líquida sob carga tendose considerado que a reação de armadura é uma FMM de desmagnetização Dentro do intervalo normal de operação em torno de 240 até aproximadamente 300 V para a máquina da Figura 714 pode se assumir que o efeito desmagnetizante da reação de armadura é aproximadamente proporcional à corrente de armadura O leitor deve ter em mente que a quantidade de reação de armadura presente na Figura 714 foi escolhida para que alguns de seus efeitos inconvenientes aparecessem de forma acentuada nos exemplos numéricos e nos problemas subsequentes usados para ilustrar as características de desempenho dos motores e geradores Definitivamente está além do que poderíamos esperar en contrar em uma máquina comum bem projetada operando com correntes normais Exemplo 75 Considere novamente o gerador CC composto com ligação em derivação longa do Exemplo 73 Como naquele exemplo calcule a tensão de terminal para a corrente nominal de terminal quando a corrente do campo em derivação é 47 A e a velocidade é 1150 rpm No entanto in clua agora os efeitos da reação de armadura Solução Como foi calculado no Exemplo 73 Is Ia 405 A e a FMM total é igual a 59 ampères equivalentes de campo em derivação Dada a resolução das curvas da Figura 714 temos que 434 Máquinas elétricas 762 Análise do motor Em geral a tensão de terminal de um motor é mantida bem constante ou controlada em um valor específico Assim a análise de um motor assemelhase muito à dos geradores de excitação independente embora a velocidade seja agora uma variável importante e frequentemente é aquela cujo valor deve ser encontrado As bases da análise incluem o seguinte as Eqs 720 e 721 que relacionam a tensão de terminal e a tensão gerada for ça contraeletromotriz a Eq 724 para a excitação do campo principal a curva de mag netização para a corrente apropriada de armadura na forma da relação gráfica entre a força contraeletromotriz e a excitação a Eq 716 mostrando a dependência do conjuga do eletromagnético em função do fluxo e da corrente de armadura e por fim a Eq 717 relacionando a força contraeletromotriz ao fluxo e à velocidade Na análise de motores essas duas últimas relações são especialmente significativas A primeira é pertinente porque a interdependência do conjugado com as intensidades de campo do estator e do rotor devem ser examinadas com frequência A segunda é o meio usual de determinar a velocidade do motor a partir de outras condições de operação especificadas A velocidade do motor que corresponde a uma dada corrente de armadura Ia pode ser encontrada calculando primeiro a tensão gerada real Ea a partir da Eq 720 ou 721 Em seguida a excitação do campo principal pode ser obtida da Eq 724 Como a curva de magnetização será plotada para uma velocidade constante ωm0 que em geral será diferente da velocidade real ωm do motor a tensão gerada obtida na curva de magnetização para a excitação de campo principal acima corresponderá às condições de fluxo corretas mas para uma velocidade ωm0 Então a substituição na Eq 726 fornecerá a velocidade real do motor Observe que no início desse processo foi postulado o conhecimento da corrente de armadura Como muitas vezes é o caso quando se deve obter a velocidade para uma dada potência no eixo ou conjugado de saída um procedimento iterativo constitui nor malmente o fundamento da obtenção da solução com base em valores assumidos de Ia Exemplo 79 Um motor em derivação de 100 HP e 250 V tem as curvas de magnetização incluindo os efei tos da reação de armadura da Figura 714 A resistência do circuito de armadura incluindo as Tempo ms Tensão de terminal V 0 250 300 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 200 150 100 50 Figura 720 Plotagem da tensão de terminal versus tempo para o gerador CC idealizado do Exemplo 78 436 Máquinas elétricas Problema prático 76 Repita o Exemplo 79 para uma corrente de armadura de Ia 200 A Solução a Velocidade 1097 rpm e P0 465 kW 624 HP b Velocidade 1085 rpm 77 Máquinas CC de ímã permanente As máquinas CC de ímã permanente são muito encontradas em uma ampla variedade de aplicações de baixa potência O enrolamento de campo é substituído por um ímã permanente resultando uma construção mais simples Para essas aplicações os ímãs permanentes oferecem uma série de benefícios úteis O principal é que os ímãs não necessitam de excitação externa nem dissipam a potência correspondente para criar campos magnéticos na máquina O espaço necessário para os ímãs permanentes pode ser inferior ao exigido pelos enrolamentos de campo e assim as máquinas de ímã permanente podem ser menores e em alguns casos de custo inferior ao de seus simi lares com excitação externa Por outro lado as máquinas CC de ímã permanente estão sujeitas às limitações impostas pelos próprios ímãs permanentes Entre elas está incluído o risco de des magnetização devido a correntes excessivas nos enrolamentos do motor ou a um so breaquecimento do ímã Além disso os ímãs permanentes são um tanto limitados em relação à intensidade da densidade de fluxo de entreferro que são capazes de produzir No entanto com o desenvolvimento de novos materiais magnéticos como o samário cobalto e o neodímioferroboro Seção 16 essas características estão se tornando cada vez menos restritivas em relação ao projeto de máquinas de ímã permanente A Figura 721 mostra uma vista em corte de um típico motor CC de potência elevada e ímã permanente Diferentemente da característica de estrutura de campo com polos salientes de uma máquina CC com excitação de campo externa os motores de ímã permanente em geral têm uma estrutura de estator lisa consistindo em uma carcaça cilíndrica externa ou uma fração dela de material magnético permanente com espessura uniforme magnetizado no sentido radial Tal estrutura está ilustrada na Figura 722 onde as setas indicam o sentido da magnetização O rotor da Figura 722 tem comutador escovas e ranhuras para os enrolamentos como em todas as má quinas CC Observe também que nesses motores a carcaça externa serve a um duplo propósito é feita de material magnético servindo assim de caminho de retorno para o fluxo magnético e de suporte para os ímãs Exemplo 710 A Figura 723a define as dimensões de um motor CC de ímã permanente similar ao da Figura 722 Assuma os seguintes valores Raio do rotor Rr 12 cm Comprimento de entreferro g 005 cm Espessura do ímã tm 035 cm Capítulo 7 Máquinas CC 437 Assuma também que o rotor e a carcaça externa são feitos de material magnético infinitamente permeável μ e que o ímã seja de neodímioferroboro veja a Figura 119 Ignorando os efeitos das ranhuras do rotor estime a densidade de fluxo magnético B no entreferro desse motor Solução Como foi assumido que o rotor e a carcaça externa são feitos de um material com permeabili dade magnética infinita o motor pode ser representado por um circuito magnético equivalente consistindo em um entreferro de 2g em série com uma seção de neodímioferroboro de com primento 2tm veja a Figura 723b Observe que esse circuito equivalente é uma aproximação Figura 721 Vista em corte de um típico motor CC de potência elevada e ímã permanente Foto cortesia da empresa Baldor ElectricABB Carcaça externa Ímãs permanentes magnetizados radialmente as setas indicam o sentido da magnetização Rotor Figura 722 Seção transversal de um motor típico de ímã permanente As setas indicam o sentido de magnetização dos ímãs permanentes 438 Máquinas elétricas porque em um motor a área da seção reta do caminho de fluxo cresce com o aumento do raio ao passo que nesse circuito equivalente foi suposta constante A solução pode ser escrita de forma análoga à do Exemplo 19 Se substituirmos o com primento de entreferro g por 2tg e o comprimento do ímã lm por 2tm a equação da linha de carga poderá ser escrita como Essa relação pode ser plotada sobre a Figura 119 para determinar o ponto de operação com base na sua interseção com a curva de magnetização CC do neodímioferroboro Por outro lado considerando que em unidades SI a curva de magnetização CC para o neodímio ferroboro é uma linha reta dada por Bm 106μ0Hm 125 encontramos que Bm Bg 109 T Problema prático 77 Estime a densidade de fluxo magnético do motor do Exemplo 710 se o raio do rotor for au mentado para Rr 13 cm e a espessura magnética for diminuída para tm 025 cm Solução Bm Bg 103 T A Figura 724 mostra uma vista explodida de uma forma alternativa de motor CC de ímã permanente Nesse motor os enrolamentos de armadura são colocados sobre um disco delgado sem ferro na armadura Como em qualquer motor CC 2tm 2g Área A Ímã de neodímioferroboro b μ Rr g tm Ímã permanente Dente do rotor Carcaça externa μ μ a Figura 723 a Definições das dimensões do motor da Figura 722 b circuito magnético equivalente aproximado Capítulo 7 Máquinas CC 439 escovas são usadas para comutar a corrente de armadura contatando a porção de comutação da armadura que está em seu raio interno As correntes fluem radialmente no disco de armadura o qual está colocado entre dois conjuntos de ímãs permanentes criando um fluxo axial que cruza o enrolamento da armadura A combinação do fluxo magnético axial e as correntes radiais cria um conjugado que produz rotação como em qualquer motor CC Podese mostrar que essa configuração de motor produz uma aceleração elevada devido à baixa inércia do rotor um conjugado contínuo não intermitente devido ao fato de o rotor não ser magnético uma vida longa para as Figura 724 Vista explodida de um servomotor de ímã permanente com armadura na forma de disco Os ímãs são de Alnico Foto cortesia da empresa Kollmorgen Corporation 442 Máquinas elétricas 78 Comutação e interpolos Um dos fatores mais importantes que limitam a operação satisfatória de uma máquina CC é a capacidade de transferir a corrente de armadura necessária através dos con tatos entre as escovas e o comutador sem faiscamento nem excessivas perdas locais por aquecimento das escovas e do comutador O faiscamento causa enegrecimento corrosão e desgaste destrutivo do comutador e das escovas condições que rapida mente se agravam queimando e destruindo o cobre e o carvão O faiscamento pode ser causado por condições mecânicas defeituosas tais como trepidação das escovas ou um comutador áspero que se desgastou de forma não uniforme ou por condições elétricas como ocorre em qualquer problema de chaveamento Essas últimas condi ções são afetadas seriamente pela FMM de armadura e pela onda de fluxo resultante Como foi indicado na Seção 72 uma bobina submetida à comutação está em transição entre dois grupos de bobinas de armadura no final do período de comuta ção a corrente na bobina deve ser igual e de sentido oposto à que tinha no início A Figura 77b mostra a armadura em uma posição intermediária durante a qual as bobi nas 1 e 7 estão sendo comutadas Essas bobinas são curtocircuitadas pelas escovas Durante esse período as escovas devem continuar conduzindo a corrente de armadu ra Ia do enrolamento de armadura para o circuito externo A bobina em curtocircuito constitui um circuito indutivo com resistência variável no tempo nos contatos das escovas tensões rotacionais induzidas na bobina e acoplamento condutivo e indutivo com o restante do enrolamento de armadura A obtenção de uma boa comutação é mais uma arte empírica do que uma ciência quantitativa O principal obstáculo à análise quantitativa está no comportamento elétri co do filme de contato entre o carvão e o cobre escova e comutador Sua resistência não é linear sendo função da densidade e sentido da corrente da temperatura do mate rial da escova da umidade e da pressão atmosférica Seu comportamento sob alguns as pectos é idêntico ao de um gás ionizado ou plasma O fato mais significativo é que uma densidade indevidamente elevada de corrente em uma porção da superfície da escova e desse modo uma densidade de energia indevidamente alta naquela parte do filme de contato produz faiscamento e ruptura do filme naquele ponto O filme de contato tam bém desempenha uma parte importante no comportamento mecânico das superfícies que estão se friccionando Em altitudes elevadas passos específicos devem ser dados para preserválo senão ocorrerá um desgaste extremamente rápido das escovas Portanto o fundamento empírico para assegurar uma comutação sem faisca mento é evitar densidades excessivas de corrente em qualquer ponto de contato entre o cobre e o carvão Esse requisito combinado com o objetivo de utilizar todo o mate rial ao máximo leva os projetistas a procurar soluções nas quais a densidade de cor rente é uniforme em toda a superfície da escova e durante todo o período comutação Tal condição pode ser alcançada na bobina se ela for comutada com uma variação linear de corrente com o tempo Isso corresponde a uma comutação linear como a mostrada na Figura 78 e portanto vem a ser o ótimo procurado O principal fator que auxilia na produção de uma comutação linear é a variação da resistência de contato das escovas que resulta da diminuição linear de área na bor da traseira da escova e do aumento linear de área na borda dianteira Diversos fatores elétricos opõemse à linearidade A resistência da bobina em comutação é um exem plo Em geral no entanto a queda de tensão nos contatos das escovas é suficiente mente grande da ordem de 10 V quando comparada com a queda na resistência de Capítulo 7 Máquinas CC 443 uma única bobina de armadura para que essa última possa ser ignorada A indutância da bobina é um fator muito mais sério Tanto a tensão de indução própria da bobina em comutação como as tensões de indução mútua de outras bobinas especialmente aquelas da mesma ranhura que estão sendo comutadas ao mesmo tempo opõemse a mudanças de corrente na bobina em comutação A soma dessas duas tensões em geral é referida como tensão de reatância O resultado é que os valores de corrente da bobina curtocircuitada estão atrasados no tempo em relação aos valores ditados pela comutação linear Essa condição é conhecida como comutação atrasada Assim na borda traseira da escova os efeitos da indutância de armadura ten dem a produzir perdas elevadas e faiscamento Para melhorar a comutação a indutân cia deve ser mantida em um mínimo usando o menor número possível de espiras por bobina de armadura e usando uma máquina projetada com polos múltiplos e arma dura curta O efeito de atrasar a comutação devido a uma determinada tensão de rea tância é minimizado quando a queda de tensão na resistência de contato da escova é significativamente maior do que a tensão de reatância Esse fato é uma das principais razões para o uso de escovas de carvão tendo em vista a queda de tensão apreciável no contato Quando uma boa comutação é assegurada por meio de quedas resistivas o processo é referido como comutação resistiva geralmente usado como único método apenas em máquinas de potência fracionária Um outro fator importante no processo de comutação é a tensão rotacional in duzida na bobina curtocircuitada Dependendo do sinal sua tensão pode prejudicar ou ajudar a comutação Na Figura 713 por exemplo a reação de armadura de mag netização cruzada cria um fluxo definido na região interpolar O sentido da respectiva tensão rotacional na bobina em comutação é o mesmo da corrente sob a face polar imediatamente precedente Essa tensão favorece então a continuação da corrente com o sentido anterior e opõese à sua inversão como a tensão na resistência Para ajudar a comutação a tensão rotacional deve se opor à tensão da reatância O princípio geral é produzir uma tensão rotacional na bobina que está sendo comutada de modo que a tensão de reatância seja compensada de modo aproximado Esse princípio é deno minado comutação por tensão A comutação por tensão é usada em quase todas as máquinas de potências elevadas que usam comutação Uma densidade de fluxo apro priada é introduzida na zona de comutação por meio de polos pequenos e estreitos localizados entre os polos principais Esses polos auxiliares são denominados inter polos ou polos de comutação A Figura 726 mostra o estator de um motor CC de qua tro polos em construção É possível ver claramente os polos e os interpolos de campo O aspecto geral dos interpolos e um mapa esquemático do fluxo produzido quando apenas os interpolos estão excitados podem ser vistos na Figura 727 A pola ridade de um polo de comutação deve ser a do polo principal imediatamente à frente dele no sentido de rotação no caso de um gerador e imediatamente atrás no caso de um motor A FMM no interpolo deve ser suficiente para neutralizar a FMM de arma dura de magnetização cruzada na região interpolar e um pouco mais para fornecer a densidade de fluxo requerida para que a tensão rotacional na bobina de armadura curtocircuitada cancele a tensão de reatância Como a FMM de armadura e a tensão de reatância são proporcionais à corrente de armadura o enrolamento de comutação deve ser conectado em série com a armadura Para preservar a linearidade desejada o polo de comutação deve operar com um nível relativamente baixo de fluxo Usando os campos de comutação podese obter uma comutação sem faiscamento em máqui nas CC de grande porte dentro de um amplo intervalo 444 Máquinas elétricas 79 Enrolamentos de compensação No caso de máquinas que funcionam com sobrecargas elevadas cargas rapidamente variáveis ou campo principal fraco é possível que ocorram outros problemas além do simples faiscamento das escovas No instante em que uma bobina de armadura posi cionase no pico de uma onda de fluxo muito distorcida causada por exemplo pelos efeitos de saturação associados com a reação de armadura a tensão na bobina pode se tornar suficientemente elevada para romper o ar entre as lâminas vizinhas conecta das à bobina resultando um arco elétrico entre elas Devido à presença do plasma que conduz a corrente de armadura do comutador até as escovas a tensão de ruptura não é elevada porque o ar próximo ao comutador está em condições favoráveis de ruptura A máxima tensão permitida entre as lâminas é da ordem de 30 a 40 V Esse fato limita a tensão média entre as lâminas a valores baixos determinando desse modo o número mínimo de lâminas que pode ser usado no projeto de uma máquina proposta Figura 726 O estator de um motor CC de quatro polos em construção mostrando os polos e interpolos de campo Foto cortesia da empresa Baldor ElectricABB Polo de campo Polo de campo Fluxo de dispersão de interpolo Fluxo interpolar efetivo Ferro da armadura Ferro do campo Enrolamento de comutação ou interpolar Polo de comutação ou interpolar Figura 727 Interpolos e seus componentes de fluxo associados Capítulo 7 Máquinas CC 445 Sob condições transitórias tensões elevadas entre as lâminas podem resultar das tensões induzidas associadas ao aumento e diminuição do fluxo de armadura Uma inspeção da Figura 712 por exemplo permite ver que tensões muito apreciáveis dessa natureza serão induzidas em uma bobina debaixo da região central dos polos devido ao crescimento ou decaimento do fluxo de armadura mostrado no desenho Análises relacionadas com o sinal dessa tensão induzida mostram que quando a car ga de um gerador é diminuída ou a de um motor é aumentada ela se soma à FEM rotacional normal Um arco entre as lâminas pode se espalhar rapidamente ao redor de todo o comutador e além de seus possíveis efeitos destrutivos sobre o comutador representa um curtocircuito direto para a linha Portanto a reação da armadura de baixo dos polos limita as condições de operação de uma máquina mesmo na presen ça de interpolos Essas limitações podem ser consideravelmente abrandadas pela compensação ou neutralização da FMM de armadura debaixo das faces polares Tal compensação pode ser conseguida por meio de um enrolamento de compensação ou de face polar mostrado esquematicamente na Figura 728 alojado em ranhuras na face do polo e com uma polaridade oposta à do enrolamento de armadura contíguo Como o eixo do enrolamento de compensação é igual ao da armadura ele irá neutralizar quase inteiramente a reação de armadura dos condutores da armadura que estão sob as faces polares desde que seja usado o número apropriado de espiras Para que conduza uma corrente proporcional ele deve ser ligado em série com a armadura O efeito líquido do campo principal da armadura do enrolamento de comutação e do enrolamento de compensação sobre o fluxo de entreferro é que a distribuição de densidade de fluxo resultante exceto pela zona de comutação é substancialmente a mesma que aquela produzida apenas pelo campo principal Figura 713 Além disso o acréscimo de um enrolamento de compensação melhora a velocidade de resposta da máquina porque reduz a constante de tempo do circuito de armadura A principal desvantagem dos enrolamentos de face polar é o seu custo São usados em máquinas projetadas para sobrecargas elevadas ou cargas rapidamente va riáveis os motores para laminação de aço são um bom exemplo de máquinas sujeitas a ciclos de intensos trabalho ou em motores planejados para operar com amplos in tervalos de velocidade sendo controlados pelo campo em derivação Por meio de um resumo esquemático a Figura 729 mostra o diagrama de circuito de uma máquina Interpolo Campo de comutação ou interpolo Enrolamento do campo principal Enrolamento de compensação Armadura Figura 728 Seção esquemática de uma máquina CC mostrando um enrolamento de compensação Capítulo 7 Máquinas CC 447 normalmente está posicionado em seu valor ótimo de 90 Se corrente alternada for fornecida a um motor série universal o conjugado terá sempre o mesmo sentido em bora pulse em magnitude com o dobro da frequência de linha Um conjugado médio será produzido e em geral o desempenho do motor será semelhante ao desempenho de uma corrente contínua Pequenos motores universais são usados onde um baixo peso é importante como em aspiradores de pós eletrodomésticos e ferramentas portáteis funcionando normalmente com velocidades elevadas 1500 a 15000 rpm As características tí picas estão mostradas na Figura 731 As características CA e CC são diferentes por duas razões 1 Com corrente alternada as quedas de tensão nas reatâncias de campo e de armadura absorvem parte da tensão aplicada Portanto para uma corrente e um conjugado dados a FCEM rotacional gerada na armadura é inferior à FCEM com corrente contínua e a velocidade tende a ser menor 2 Com corrente alternada o circuito magnético pode ficar bastante saturado durante os picos da onda de corren te Assim o valor eficaz do fluxo pode ser consideravelmente menor com corrente alternada do que com o mesmo valor eficaz de corrente contínua Portanto o conju gado tende a ser menor com corrente alternada do que com contínua Na faixa das potências fracionárias o motor universal proporciona a maior potência por centavo às custas de ruído vida relativamente curta e alta velocidade Para controlar a velocidade e o conjugado de um motor série universal podese variar a tensão CA aplicada usando elemento de chaveamento eletrônico denominado Triac O ângulo de disparo do Triac pode ser ajustado de modo manual como em uma furadeira elétrica controlada pelo gatilho ou comandado por um circuito de controle de velocidade como em algumas ferramentas e aparelhos elétricos portáteis A com binação de um motor série com um dispositivo de estado sólido propicia um conjunto de motor controlável e econômico 711 Resumo Esse capítulo discutiu as características significativas de funcionamento das máqui nas CC Em geral a principal vantagem das máquinas CC está em sua flexibilidade e versatilidade Antes que os acionamentos de motores CA fossem disponibiliza dos de forma ampla as máquinas CC eram basicamente a única opção disponível 60 Hz CA 400 300 200 Conjugado 100 0 0 Velocidade nominal 80 100 60 20 40 CC Figura 731 Característica de conjugado versus velocidade de um motor série universal 448 Máquinas elétricas para muitas aplicações que requeriam um elevado grau de controle Suas principais desvantagens vêm da complexidade associada com o enrolamento de armadura e o sistema de comutador e escova Esse acréscimo de complexidade aumenta não só o custo em relação às máquinas CA competitivas mas também aumenta a neces sidade de manutenção além de reduzir a confiabilidade potencial dessas máquinas Mesmo assim as vantagens dos motores CC permanecem Eles ainda mantêm uma forte posição competitiva tanto nos tamanhos de grande porte usados em aplica ções industriais como nos tamanhos menores usados em uma ampla variedade de aplicações Os geradores CC são uma solução simples para o problema de converter ener gia mecânica em elétrica na forma de corrente contínua No entanto certamente os geradores CA que alimentam sistemas retificadores são uma opção que deve ser levada em consideração Entre os próprios geradores CC as máquinas de excitação independente e as autoexcitadas compostas aditivas são as mais comuns Os gera dores de excitação independente têm a vantagem de permitir um amplo intervalo de tensões de saída ao passo que as máquinas autoexcitadas podem produzir tensões instáveis em tensões de saída mais baixas na região em que a linha de resistência de campo tornase basicamente tangente à curva de magnetização Os geradores com postos aditivos podem produzir uma característica de tensão muito plana ou uma que cresce com a carga ao passo que os geradores em derivação ou de excitação independente podem produzir uma característica de tensão em declive a não ser que meios externo de regulação como um enrolamento de campo em série sejam acrescentados Entre os motores CC as características notáveis de cada tipo são estas O motor série opera com uma velocidade que de fato baixa à medida que se aumenta a carga De modo geral a velocidade a vazio é proibitivamente elevada Em baixos níveis de fluxo o conjugado é quase proporcional ao quadrado da corrente e à medida que a saturação cresce a uma potência entre 1 e 2 O motor em deriva ção com corrente de campo constante funciona com uma velocidade ligeiramente decrescente quase constante quando a carga é aumentada O conjugado é quase proporcional à corrente de armadura Entretanto também é importante o fato de que sua velocidade pode ser ajustada dentro de largos intervalos por meio do controle do campo em derivação do controle da tensão de armadura ou da combinação de ambos Dependendo das intensidades relativas dos campos em derivação e em série o motor composto aditivo é um intermediário entre os outros dois e basicamente apresenta as vantagens de ambos Em uma ampla variedade de aplicações de baixa potência com sistemas que operam a partir de uma fonte CC aplicações automotivas eletrônica portátil etc as máquinas CC são a opção mais efetiva em custo Essas máquinas CC são construídas com ampla faixa de configurações e muitas delas baseiamse na excitação com ímã permanente Apesar da grande variedade de máquinas CC que pode ser encontrada nessas diversas aplicações os seus desempenhos podem ser determinados com facili dade usando os modelos e as técnicas apresentadas neste capítulo CAP ÍTUL O 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo P ossivelmente a máquina de relutância variável1 em geral abreviada como MRV é a mais simples das máquinas Consistem em um estator com enrola mentos de excitação e um rotor magnético com saliências Os condutores do rotor não são necessários porque o conjugado é produzido pela tendência do rotor a se alinhar com a onda de fluxo produzida pelo estator de modo a maximizar os flu xos concatenados que resultam da aplicação de uma determinada corrente de estator Nessas máquinas as indutâncias dos enrolamentos do estator são funções da posição angular do rotor Assim o conjugado produzido por essas máquinas pode ser analisa do usando as técnicas do Capítulo 3 Embora o conceito de MRV seja conhecido já há muito tempo apenas nas déca das recentes essas máquinas alcançaram um amplo uso em aplicações de engenharia Isso é devido em grande parte ao fato de que embora sejam de construção simples o seu controle é um tanto complicado Por exemplo a posição do rotor deve ser conhe cida para que os enrolamentos de fase sejam apropriadamente energizados A grande disponibilidade e o baixo custo da computação digital em combinação com a eletrô nica de potência tornaram as MRVs competitivas com outras tecnologias de motores em uma larga faixa de aplicações Excitando sequencialmente as fases de uma MRV o rotor irá girar na forma de uma sequência de passos girando de um ângulo específico a cada passo Os moto res de passo são projetados para tirar vantagem dessa característica Esses motores muitas vezes combinam uma geometria de relutância variável com ímãs permanentes para produzir um conjugado aumentado e precisão de posicionamento 81 Fundamentos da análise MRV As máquinas comuns de relutância variável podem ser classificadas em dois tipos MRV saliente e MRV duplamente saliente Em ambos os casos as suas características 1 As máquinas de relutância variável em geral são referidas como máquinas de relutância chaveada SRM Switched Reluctance Machines para indicar a combinação de uma MRV e um inversor chaveado neces sário para acionála Esse termo é popular na literatura técnica Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 461 mais notáveis são rotores sem enrolamentos nem ímãs permanentes e uma única fonte de excitação aplicada aos enrolamentos do estator Isso pode ser uma característica importante porque significa que todas as perdas resistivas de enrolamento da MRV ocorrem no estator Como muitas vezes o estator pode ser facilmente refrigerado com mais eficiência que o rotor o resultado em geral é um motor menor para uma deter minada especificação de potência e tamanho Como foi discutido no Capítulo 3 para produzir conjugado as MRVs devem ser projetadas de modo que as indutâncias dos enrolamentos do estator variem com a posi ção do rotor A Figura 81a mostra a seção reta de uma MRV de rotor saliente Podese ver que ela consiste em um estator não saliente e um rotor saliente de dois polos ambos construídos com material magnético de alta permeabilidade A figura mostra um enro lamento de estator de duas fases apenas mas é possível um número qualquer de fases A Figura 82a mostra a forma de variação das indutâncias do estator em função do ângulo do rotor θm para uma MRV de rotor saliente como a da Figura 81a Observe que a indutância de cada enrolamento de fase do estator varia com a posição do rotor de modo que a indutância é máxima quando o eixo do rotor está alinhado com o eixo magnético daquela fase e mínimo quando os dois eixos são perpendiculares A figura mostra também que a indutância mútua entre os enrolamentos de fase é zero quando o rotor está alinhado com o eixo magnético de qualquer uma das fases mas que varia periodicamente com a posição do rotor nos demais casos A Figura 81b mostra a vista em seção reta de uma MRV duplamente saliente de duas fases em que o rotor e o estator têm polos salientes Nessa máquina o esta tor tem quatro polos cada um com um enrolamento No entanto os enrolamentos de polos opostos têm a mesma fase podendo ser conectados em série ou em pa ralelo Assim essa máquina é bem similar à da Figura 81a no sentido de que há um enrolamento bifásico de estator e um rotor de dois polos salientes De modo semelhante a indutância por fase dessa configuração varia desde um valor máxi mo quando o eixo do rotor está alinhado com o eixo daquela fase até um mínimo quando são perpendiculares Diferentemente da máquina de rotor saliente da Figura 81a supondo que a relutância do ferro seja desprezível as indutâncias mútuas entre as fases da MRV duplamente saliente da Figura 81b serão zero com exceção de uma pequena com ponente essencialmente constante associada ao fluxo de dispersão Além disso as saliências do estator aumentam a diferença entre as indutâncias máxima e mínima o que por sua vez aumenta a capacidade da máquina duplamente saliente de produzir conjugado A Figura 82b mostra a forma de variação das indutâncias por fase para a MRV duplamente saliente da Figura 81b A relação entre o fluxo concatenado e a corrente para a MRV saliente é da forma 81 Aqui L11θm e L22θm são as indutâncias próprias das fases 1 e 2 respectiva mente e L12θm é a indutância mútua Por simetria observe que L22θm L11θm 90 82 462 Máquinas elétricas 1 θm 1 2 2 Eixo magnético da fase 1 Eixo magnético da fase 2 Eixo do rotor Rotor Estator a θm Eixo magnético da fase 1 Eixo magnético da fase 2 Eixo do rotor Rotor Estator b 1 1 1 1 2 2 2 2 Figura 81 Máquinas de relutância variável bifásicas básicas a saliente e b duplamente saliente Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 463 Observe também que todas essas indutâncias são periódicas com um período de 180 porque uma rotação do rotor de 180 a partir de qualquer posição angular dada não resulta em alterações no circuito magnético da máquina Da Eq 368 o conjugado eletromagnético desse sistema pode ser determinado a partir da coenergia como 83 em que a derivada parcial é obtida mantendo i1 e i2 constantes Aqui a coenergia pode ser obtida a partir da Eq 370 84 Assim combinando as Eqs 83 e 84 o conjugado é dado por 85 Para a MRV duplamente saliente da Figura 81b o termo de indutância mútua dL12θm dθm é zero e a expressão do conjugado dada pela Eq 85 é simplificada resultando 86 180 180 90 180 90 0 180 90 90 0 θm L12θm L11θm L22θm θm L11θm L22θm b a Figura 82 Gráficos de indutância versus θm para a a MRV saliente da Figura 81a e b a MRV duplamente saliente da Figura 81b 464 Máquinas elétricas Então a substituição da Eq 82 dá 87 As Eqs 86 e 87 ilustram uma característica importante das MRVs em que os efeitos de indutância mútua são desprezíveis Nessas máquinas a expressão do conjugado consiste em uma soma de termos cada um dos quais é proporcional ao quadrado de uma corrente de fase individual Como resultado o conjugado depende apenas do módulo das correntes de fase e não de suas polaridades Assim a eletrônica que fornece as correntes de fase para essas máquinas pode ser unidirecional isto é correntes bidirecionais não são necessárias Como normalmente as correntes de fase são ligadas e desligadas por chaves de estado sólido tais como transistores ou tiristores e como cada chave deve lidar com as correntes em apenas um sentido isso significa que o acionamento do motor requer apenas metade do número de chaves assim como apenas metade da respec tiva eletrônica de controle que seria necessário em um acionamento bidirecional O resultado é um sistema de acionamento menos complexo podendo ser menos dispendioso A suposição de indutância mútua desprezível é válida para a MRV duplamente saliente da Figura 81b devido à simetria da geometria da máquina e à relutância do ferro supostamente desprezível Mesmo naquelas situações em que a simetria pode sugerir que as indutâncias mútuas sejam nulas ou que possam ser ignoradas porque não dependem da posição do rotor por exemplo fases acopladas por fluxos de dis persão efeitos significativos não lineares e de indutância mútua podem surgir na prática devido à saturação do ferro da máquina Nesses casos embora as técnicas do Capítulo 3 e as expressões de conjugado na forma da Eq 83 permaneçam válidas muitas vezes tornase difícil obter expressões analíticas veja a Seção 84 Na fase de projeto e análise o conjugado do motor e as relações de fluxo e corrente no enrolamento podem ser determinados por meio de pacotes de análise numérica que levam em consideração a não linearidade do material magnético da máquina Depois da máquina ter sido construída medidas podem ser realizadas tanto para validar as diversas suposições e aproximações que foram feitas como para ca racterizar exatamente o desempenho real da máquina Deste ponto em diante usaremos o símbolo ps para indicar o número de polos do estator e pr para indicar o número de polos do rotor A máquina correspondente é chamada de máquina ps pr O Exemplo 81 examina uma MRV 42 Exemplo 81 Uma MRV 42 bifásica está mostrada na Figura 83 Suas dimensões são R 38 cm α β 60 π3 rad g 254 102 cm D 130 cm e os polos de cada enrolamento de fase são ligados em série de modo que há um total de N 100 espiras 50 espiras por polo em cada enrolamento de fase Assuma que o rotor e o estator têm permeabilidade magnética infinita Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 465 a Desprezando os fluxos de dispersão e de espraiamento plote a indutância Lθm da fase 1 em função de θm b Plote o conjugado assumindo i i1 I1 e i2 0 e ii i1 0 e i2 I2 c Calcule o conjugado líquido em Nm que atua sobre o rotor quando ambos os en rolamentos são excitados de modo que i1 i2 5 A para os ângulos i θm 0 ii θm 45 e iii θm 75 Solução a Usando as técnicas de circuito magnético do Capítulo 1 vemos que a indutância máxima Lmax da fase 1 ocorre quando o eixo do rotor está alinhado com o eixo magnético da fase 1 Da Eq 130 vemos que Lmax é igual a em que αRD é a área da seção reta do entreferro e 2g é o comprimento total do entreferro no circuito magnético Para os valores dados Desprezando o espraiamento a indutância Lθm irá variar linearmente com a área da seção reta do entreferro como está mostrado na Figura 84a Se não houver sobreposição observe que essa situação ideal prevê que a indutância será zero quando na realidade haverá um pequeno valor de indutância como está mostrado na Figura 82 Eixo magnético Eixo do rotor Comprimento D g R Rotor μ Estator μ θm 1 1 1 1 2 2 2 2 α β R g Figura 83 A MRV 42 do Exemplo 81 466 Máquinas elétricas b Da Eq 87 o conjugado consiste em dois termos podendose ver que dL11dθm é a forma de onda em degraus da Figura 84b cujos valores máximos são dados por Lmaxα com α expresso em radianos Assim o conjugado é como o mostrado na Figura 84c 0 180 180 120 150 150 180 120 150 90 60 30 30 60 90 120 150 180 90 120 150 180 60 60 30 30 0 120 90 60 30 30 60 90 120 150 180 θm Lmax 0128 H Lmax L11θm a 90 θm Lmaxα dL11θm dθm α π3 Lmax α b 0 θm Conjugado Tmax1 Tmax2 Tmax1 Tmax2 i1 0 i2 I2 i1 I1 i2 0 LmaxI1 2 2α Tmax1 Tmax2 LmaxI2 2 2α c Figura 84 a L11θm versus θm b dL11θmdθm versus θm e c conjugado versus θm Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 467 c O conjugado de pico devido a cada enrolamento é dado por i Do gráfico da Figura 84c para θm 0 a contribuição da fase 2 para o conjugado é claramente nula Embora a contribuição da fase 1 pareça indeterminada em uma máquina real a variação de conjugado de Tmax1 para Tmax1 em θm 0 teria uma declividade finita e o conjugado seria zero em θ 0 Assim o conjugado líquido das fases 1 e 2 nessa posição é zero Observe que o conjugado θm 0 é zero independentemente dos níveis de corrente das fases 1 e 2 Isso é um problema com a configuração 42 da Figura 83 porque o rotor pode emperrar nessa posição assim como também em θm 90 180 e caso isso ocorra não há maneira de produzir um conjugado elétrico capaz de movêlo dessa posição ii Para θm 45 ambas as fases estão fornecendo conjugado O da fase 1 é negativo ao passo que o da fase 2 é positivo Portanto como as correntes de fase são iguais os conjugados são iguais e opostos resultando um conjugado líquido nulo No entanto diferentemente do caso θm 0 o conjugado nesse ponto pode ser tornado tanto positivo como negativo apenas selecionando apropriadamente as correntes de fase iii Para θm 75 a fase 1 não produz conjugado ao passo que a fase 2 produz um conjugado positivo de valor Tmax2 Assim nessa posição o conjugado líquido é po sitivo e de valor 153 Nm Observe que não há qualquer combinação de correntes de fase que seja capaz de produzir um conjugado negativo nessa posição porque o conjugado da fase 1 é sempre nulo ao passo que o da fase 2 pode ser apenas positi vo ou nulo Problema prático 81 Repita os cálculos do Exemplo 81 parte c para o caso em que α β 70 Solução i T 0 Nm ii T 0 Nm iii T 159 Nm O Exemplo 81 ilustra uma série de considerações que são importantes no pro jeto de MRVs É evidente que essas máquinas devem ser projetadas de modo a evitar a ocorrência de posições de rotor nas quais não há fase capaz de produzir conjugado Essa é uma preocupação que acompanha o projeto de máquinas 42 as quais sempre apresentarão tais posições se forem construídas com entreferros uniformes e simétricos Também está claro que para se operar uma MRV com características especifi cadas de conjugado as correntes de fase devem ser aplicadas de modo consistente com a posição do rotor Por exemplo podese ver na Figura 84c que a produção de conjugado positivo a partir de cada enrolamento de fase do Exemplo 81 ocorre so mente para valores específicos de θm Desse modo para obter o funcionamento dese jado a operação das MRVs deve incluir algum tipo de sensor de posição do rotor assim como um controlador que determina tanto a sequência como a forma de onda das correntes de fase Em geral isso é implementado usando dispositivos de chavea 468 Máquinas elétricas mento eletrônico transistores tiristores dispositivos GTO etc sob a supervisão de um controlador baseado em microprocessador Mesmo que uma MRV 42 como a do Exemplo 81 seja capaz de funcionar na prática ela não é especialmente útil devido a características indesejáveis como posições de conjugado nulo e o fato de que há posições angulares em que não é pos sível obter conjugado positivo Por exemplo devido a essas limitações essa máquina não pode gerar um conjugado constante independentemente do ângulo do rotor Com certeza não há qualquer combinação de correntes de fase que seja capaz de fornecer conjugado nas posições de conjugado nulo ou um conjugado positivo no intervalo de posições angulares em que somente conjugado negativo pode ser produzido Como foi discutido na Seção 82 essas dificuldades podem ser eliminadas por meio de pro jetos do tipo 42 que usam geometrias assimétricas Assim a construção prática de máquinas 42 tornase possível Como foi visto nesta seção a análise de MRVs é conceitualmente simples Para o caso em que o ferro usado na máquina é linear sem saturação magnética a ob tenção do conjugado é apenas uma questão de se encontrar as indutâncias por fase do estator próprias e mútuas em função da posição do rotor expressandose a coe nergia em termos dessas indutâncias e em seguida calcular a derivada da coenergia em relação à posição angular mantendo constantes as correntes de fase De modo similar como foi discutido na Seção 38 a tensão de terminal elétrico para cada uma das fases pode ser encontrada a partir da soma das derivadas em relação ao tempo do fluxo concatenado de fase e a queda iR na resistência de fase Quando o ferro usado na máquina não é linear caso em que os efeitos de satu ração são importantes como foi discutido na Seção 84 a coenergia pode ser encon trada pela integração apropriada dos fluxos concatenados de fase e o conjugado pode ser encontrado novamente a partir da derivada da coenergia em relação à posição angular do rotor Em ambos os casos não há enrolamentos de rotor e em um motor de relutância variável bem projetado em geral não há outras correntes no rotor Des se modo diferentemente de outros tipos de máquinas CA síncronas e de indução não há dinâmica elétrica associada ao rotor da máquina Isso simplifica muito a sua análise Embora as MRVs sejam simples em termos construtivos e conceitualmente a sua operação é um tanto complicada Para conseguir características úteis de funcio namento é necessário dispor de uma eletrônica sofisticada para controlar e acionar o motor Essas e outras questões serão discutidas nas Seções 82 a 85 82 Configurações MRV práticas Sistemas práticos de acionamento das MRVs motor e inversor são projetados para atender a critérios tais como Baixo custo Conjugado constante independente da posição angular do rotor Uma faixa desejada de velocidades de funcionamento N de T Gated Turn Off 470 Máquinas elétricas à posição angular esse alinhamento simultâneo de pontos de indutância máxima ou mínima produz necessariamente um conjugado líquido nulo A Figura 85 mostra uma MRV 64 na qual podemos ver que uma característica fundamental da máquina 64 é que esses alinhamentos simultâneos de indutâncias de fases não são possíveis Como resultado essa máquina não apresenta posições em que o conjugado seja nulo Esse é um ponto significativo porque elimina a possibili dade de que o rotor possa emperrar e ficar parado em uma dessas posições exigindo que seja movido mecanicamente até uma nova posição antes que possa partir Em uma MRV 64 além do fato de que não há posições de alinhamento simultâneo podese ver também que não há qualquer posição do rotor na qual seja possível pro duzir conjugado somente de um mesmo sinal positivo ou negativo Assim com um controle apropriado das correntes de fase deve ser possível obter conjugado constan te independentemente da posição do rotor No caso de uma MRV simétrica com ps polos de estator e pr polos de rotor um teste simples poderá determinar se há posições de conjugado nulo Se a razão pspr polos ou como alternativa prps no caso de pr ser maior do que ps for um número inteiro então haverá posições de conjugado nulo Por exemplo em uma máquina 64 a razão é 15 e portanto não haverá posições de conjugado nulo No entanto a razão é 20 em uma máquina 63 e haverá posições de conjugado nulo Em alguns casos as restrições de projeto podem tornar desejável uma máquina que tenha uma razão inteira de polos Nesses casos é possível eliminar as posições de conjugado nulo construindo a máquina com um rotor assimétrico Por exemplo po demos variar o raio do rotor de acordo com o ângulo como está mostrado na Figura 86a Esse tipo de projeto que também exige uma maior largura dos polos do rotor do que a do estator não produz conjugado nulo nas posições de alinhamento porque dLθmdθm não é zero nesses pontos como se pode ver na Figura 86b Rotor Estator 3 2 3 2 1 Fase 3 Fase 2 1 Fase 1 Figura 85 Vista em seção reta de uma MRV 64 trifásica Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 471 Um procedimento alternativo para se construir uma MRV com uma razão intei ra de polos sem posições de conjugado nulo é combinar duas ou mais MRVs em série empilhamentos alinhadas de tal modo que as MRVs estejam angularmente deslo cadas entre si e que todos os rotores estejam compartilhando um eixo comum Desse modo as posições de conjugado nulo de cada máquina não estarão alinhadas entre si e assim a máquina como um todo não apresentará conjugado nulo Por exemplo uma combinação em série de duas MRVs 42 bifásicas como as do Exemplo 81 Fi gura 83 com um deslocamento angular de 45 entre as MRVs individuais resultará em uma MRV de quatro fases sem posições de conjugado nulo Em geral as MRVs são enroladas com uma única bobina em cada polo Embo ra seja possível controlar separadamente cada um desses enrolamentos como fases individuais é prática comum combinálos em grupos de polos excitados simulta neamente Por exemplo a Figura 83 mostra a MRV 42 ligada como uma máquina bifásica Como está mostrado na Figura 85 em geral uma MRV 64 é ligada como uma máquina trifásica com polos opostos conectados à mesma fase e de tal modo que os enrolamentos impulsionem os fluxos no mesmo sentido através do rotor θm a b 0 dLθm Lθm π dθm θm π Rotor Estator β α Figura 86 Uma MRV 42 com entreferro não uniforme a vista esquemática e b gráficos de Lθm e dLθmdθm versus θm 472 Máquinas elétricas Em algumas situações as MRVs são enroladas com um conjunto de bobinas em paralelo para cada fase Em alguns casos essa disposição conhecida como enro lamento bifilar pode levar a um inversor de configuração simples e a um acionamento simples e de baixo custo Em geral quando uma determinada fase é excitada o conjugado é tal que o rotor é arrastado para a posição mais próxima de fluxo concatenado máximo Quando a excitação é removida naquela fase e a próxima fase é excitada o rotor segue em frente porque é arrastado para uma nova posição de fluxo concatenado máximo Assim a velocidade do rotor é determinada pela frequência das correntes de fase No entanto diferentemente do caso de uma máquina síncrona a relação da velocidade do rotor com a frequência e a sequência de excitação dos enrolamentos de fase pode ser bem complexa dependendo do número de polos do rotor e do número de polos e fases do estator Isso está ilustrado no Exemplo 82 Exemplo 82 Considere uma MRV 86 Se as fases do estator forem excitadas sequencialmente necessitan do de um tempo total de T0 segundos para excitar as quatro fases cada fase é excitada durante um tempo de T04 s encontre a velocidade angular da onda de fluxo do estator e a respectiva velocidade angular do rotor Despreze qualquer característica dinâmica do sistema e assuma que o rotor acompanhará instantaneamente a excitação do estator Solução A Figura 87 mostra de forma esquemática uma MRV 86 Os detalhes da forma dos polos não são importantes neste exemplo e por essa razão os polos do rotor e do estator são mostrados simplesmente como setas que indicam a sua localização A figura mostra o rotor alinhado com os polos da fase 1 do estator Essa posição corresponde àquela que ocorre quando não há carga no rotor e os enrolamentos de estator da fase 1 estão excitados pois corresponde a uma posição da fase 1 em que o fluxo concatenado é máximo Considere a seguir que a excitação da fase 1 seja removida e que a fase 2 seja ex citada Nesse instante a onda de fluxo do estator girou 45 no sentido horário De modo semelhante quando a excitação da fase 2 é removida e a fase 3 é excitada a onda de fluxo 1 1 2 3 2 3 4 4 45 60 Rotor Estator Figura 87 Vista esquemática de uma MRV 86 de quatro fases As localizações dos polos são indicadas por setas Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 473 do estator irá girar mais 45 no sentido horário Assim a velocidade angular ωs da onda de fluxo do estator pode ser calculada simplesmente como π4 rad 45 dividido por T04 s ou ωs πT0 rads No entanto observe que essa não é a velocidade angular do rotor em si Quando a exci tação da fase 1 for removida e a fase 2 for excitada o rotor irá se mover de modo a maximizar os fluxos concatenados da fase 2 Nesse caso a Figura 87 mostra que o rotor irá se mover 15 no sentido antihorário já que os polos do rotor mais próximos da fase 2 estão na realidade 15 à frente dos polos da fase 2 Assim a velocidade angular do rotor pode ser calculada como π12 rad 15 com o sinal negativo indicando uma rotação no sentido antihorário dividido por T04 s ou ωm π3T0 rads Nesse caso o rotor deslocase com um terço da velocidade angular da excitação do es tator e em sentido contrário Problema prático 82 Repita os cálculos do Exemplo 82 para o caso de uma MRV 810 Solução ωm π5T0 radsec O Exemplo 82 ilustra a relação complexa que pode existir entre a frequência de excitação de uma MRV e a frequência síncrona do rotor Essa relação é similar à existente entre duas engrenagens mecânicas quando a escolha de diferentes formas e configurações de engrenagens dá origem a uma ampla variedade de relações de velo cidades É difícil deduzir uma regra simples que descreva essa relação e se aplique à imensa variedade de configurações de MRVs possíveis de serem concebidas No en tanto é muito simples seguir um procedimento semelhante ao mostrado no Exemplo 82 quando se deseja analisar qualquer configuração em especial Outras configurações de MRVs são possíveis quando os polos principais do estator e do rotor são subdivididos adicionandose dentes individuais que podem ser vistos como um conjunto de pequenos polos excitados simultaneamente por um único enrolamento O conceito básico está ilustrado na Figura 88 que mostra esque maticamente três polos de uma MRV trifásica com um total de seis polos principais de estator Essa máquina com os polos do estator e do rotor subdivididos em dentes é conhecida como MRV em castelo Esse nome resulta do fato de que os dentes do estator são semelhantes às torres de um castelo medieval Na Figura 88 cada polo do estator foi subdividido em quatro subpolos pelo acréscimo de quatro dentes que têm de largura indicados pelo ângulo β na figu ra com ranhuras de mesma largura entre os dentes O mesmo espaçamento dente ranhura é escolhido para o rotor resultando em um total de 28 dentes no rotor Ob serve que esse número de dentes de rotor e os correspondentes valores de β foram escolhidos de modo que quando os dentes do rotor estão alinhados com os do polo de estator da fase 1 eles não estão alinhados com os das fases 2 e 3 Desse modo a excitação sucessiva das fases do estator resultará na rotação do rotor Essa estrutura em castelo torna ainda mais complexa a relação entre a veloci dade do rotor e a frequência e a sequência de excitação do enrolamento de estator Por exemplo na Figura 88 podese ver que nessa configuração quando a excitação 474 Máquinas elétricas da fase 1 é removida e a fase 2 é excitada correspondendo a uma rotação da onda de fluxo do estator de 60 no sentido horário o rotor gira de um ângulo de no sentido antihorário Da análise anterior vemos que a técnica de construção em castelo pode ser usada para criar MRVs capazes de operar em baixas velocidades produzindo as sim um conjugado elevado para uma determinada potência de entrada do estator com uma precisão de posicionamento muita elevada Por exemplo a máquina da Figura 88 pode girar com precisão executando incrementos angulares de 2β3 O uso de mais dentes pode aumentar ainda mais a resolução de posicionamento dessas máquinas Tais máquinas podem ser encontradas em aplicações nas quais velocidade baixa conjugado elevado e resolução angular acurada são necessárias Essa configuração em castelo é um exemplo de uma classe de MRVs em geral refe rida como motores de passo devido à sua capacidade de produzir pequenos passos de resolução angular 83 Formas de onda na produção de conjugado Como foi visto na Seção 81 o conjugado produzido por uma MRV em que a satu ração e os efeitos de indutância mútua podem ser desprezados é determinado pela soma das derivadas das indutâncias de fase em relação à posição angular do rotor e cada uma delas é multiplicada pelo quadrado da respectiva corrente de fase Por exemplo vemos a partir das Eqs 86 e 87 que o conjugado da MRV 42 bifásica da Figura 81b é dado por 89 1 3 2 1 2 3 60 60 Estator Rotor β β β β 2β3 4β3 Figura 88 Vista esquemática de uma MRV trifásica em castelo com seis polos no estator com quatro dentes por polo e 28 polos no rotor Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 475 Para cada fase de uma MRV a indutância de fase é periódica em relação à po sição angular do rotor Assim a área abaixo da curva de dLdθm calculada em um período completo de Lθm é zero isto é 810 em que pr é o número de polos do rotor O conjugado médio produzido por uma MRV pode ser encontrado integrando a equação de conjugado Eq 89 em um período completo de rotação É evidente que se as correntes do estator forem mantidas constantes a Eq 810 mostrará que o conjugado médio é zero Assim para produzir um conjugado médio em relação ao tempo as correntes do estator devem variar com a posição do rotor O conjugado de saída desejado médio de uma MRV depende da natureza da aplicação Por exemplo no funcionamento como motor é necessário um conjugado médio positivo no eixo em relação ao tempo De modo semelhante uma ação de frenagem ou um funciona mento como gerador requerem um conjugado médio negativo em relação ao tempo Um conjugado positivo é produzido quando uma fase é excitada nas posições angulares em que dLdθm é positiva para aquela fase Um conjugado negativo é pro duzido aplicando a excitação nas posições em dLdθm é negativa Considere uma MRV 64 trifásica semelhante à mostrada na Figura 85 com polos de rotor e de estator de 40 A curva de indutância versus posição do rotor será semelhante à repre sentação idealizada mostrada na Figura 89 A operação dessa máquina como motor requer um conjugado líquido positivo Como alternativa ela pode funcionar como gerador quando são atendidas as condições necessárias para um conjugado líquido negativo Observando que um conjugado positivo 90 80 90 90 60 20 10 30 70 80 90 70 30 1020 60 90 50 40 40 50 90 0 Fase 1 0 Fase 2 0 Fase 3 θm θm θm dLθm dθm Lθm Figura 89 Curvas de indutância idealizada e dLdθm para uma MRV 64 trifásica com polos de rotor e estator de 40 476 Máquinas elétricas é produzido quando se aplica a excitação nas posições de rotor em que dLdθm é posi tiva vemos que um sistema de controle aplica conforme a necessidade excitação aos enrolamentos individuais de fase com base na posição do rotor De fato é a necessidade desse tipo de controle que torna os sistemas de acionamento MRV mais complexos do que se poderia esperar quando se leva em conta apenas a simplicidade da própria MRV Uma das razões pelas quais as MRVs encontraram aplicação em uma larga varie dade de situações foi a ampla disponibilidade e o baixo custo dos microprocessadores e da eletrônica de potência Com isso os custos do controle e dos sensores necessários para operar com êxito os sistemas de acionamento MRV baixaram a tal ponto que esses sistemas tornaramse competitivos em relação a outras tecnologias concorrentes Ape sar de o controle do acionamento de uma MRV ser mais complexo do que o de sistemas de motores CC de indução ou de ímã permanente em muitas aplicações o acionamen to MRV no todo é menos dispendioso e mais flexível do que os outros sistemas Mesmo supondo que esteja disponível um sistema para determinar e controlar a posição do rotor ainda permanece a questão de como excitar as fases da armadura A partir da Figura 89 vemos que um esquema possível de excitação seria aplicar uma corrente constante a cada uma das fases nas posições angulares em que dLdθm é positiva e uma corrente zero em caso contrário Se isso for feito a forma de onda do conjugado resultante será a da Figura 810 Observe que como as formas de onda de conjugado das fases individuais sobrepõem se o conjugado resultante não será constante mas pelo contrário terá uma compo nente pulsante sobreposta a seu valor médio Em geral os perfis de conjugado com componentes pulsantes significativas são considerados problemáticos porque podem produzir esforços destrutivos na MRV e porque podem resultar na geração de vibra ção e ruído excessivos A análise da Figura 89 mostra que há estratégias alternativas de excitação que podem reduzir as pulsações de conjugado da Figura 810 Talvez a estratégia mais simples seja excitar cada fase por apenas 30o do posicionamento em vez de 40o re sultando o que está mostrado na Figura 89 Assim cada fase seria simplesmente desligada quando a fase seguinte fosse ligada e com isso não haveria sobreposição de conjugados entre as fases Embora essa estratégia seja uma solução ideal do problema em termos práticos não é possível implementála O problema é que como cada enrolamento de fase tem uma indutância própria não é possível instantaneamente ligar ou desligar as correntes 90 90 0 Conjugado θm Fase 1 Fase 2 Fase 3 Total Figura 810 Conjugados individuais por fase e o conjugado total para o motor da Figura 89 Cada fase é excitada com uma corrente constante I0 apenas nas posições em que dLdθm 0 480 Máquinas elétricas Tensões V1 100 Tensão positiva V2 200 Tensão negativa Intervalo de tempo delt 1e5 sw 1 n 0 i1 A 0 5 10 15 20 25 30 Tempo ms 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 a Conjugado Nm 0 5 10 15 20 25 30 Tempo ms 20 15 10 5 0 5 10 15 20 b Figura 811 Exemplo 83 a corrente da fase 1 e b perfil do conjugado correspondente Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 481 Inicialização das integrais de conjugado int1 0 int2 0 while sw 0 n n1 tn 2deltn1 thetam pi3omegamtn if thetam 0 i1n V1tnLl3Lmaxomegampitn dL11dtheta 3Lmaxpi Torquen 05dL11dthetai1n2 Conjugado int1 int1 Torquendelt else m findi1 maxi1 L11 Ll3Lmaxomegampi2tmtn i1n maxi1V2tntmL11 if i1n 0 sw 1 end dL11dtheta 3Lmaxpi Torquen 05dL11dthetai1n2 int2 int2 Torquendelt end end Plote a corrente plott1000i1LineWidth2 setgcaylim0 21 setgcaxlim0 34 setgcaFontSize20 setgcaxtick0 5 10 15 20 25 30 xlabelTempo msFontSize20 ylabeli1 AFontSize20 grid on pause Plote o conjugado plott1000TorqueLineWidth2 ylim23 23 xlim0 34 setgcaFontSize20 xlabelTempo msFontSize20 ylabelConjugado NcdotmFontSize20 setgcaxtick0 5 10 15 20 25 30 setgcaytick20 15 10 5 0 5 10 15 20 482 Máquinas elétricas grid on fprintfint1 g Nms int1 fprintfint2 g Nms int2 Problema prático 83 Reconsidere o Exemplo 83 supondo que uma tensão de 250 V seja aplicada para desligar a corrente de fase Use MATLAB para calcular a integral abaixo da curva de conjugado versus tempo e comparea com a integral abaixo da curva de conjugado versus tempo durante o inter valo de tempo em que o conjugado é positivo Solução A corrente retorna a zero em t 322 ms A integral abaixo do trecho negativo da curva de con jugado é 0030 Nms ao passo que a integral abaixo do trecho positivo da curva de conjugado permanece igual a 0228 Nms Nesse caso o conjugado negativo produz uma redução de 13 de conjugado em relação ao que estaria disponível se de outro modo a corrente pudesse ser reduzida instantaneamente a zero O Exemplo 83 ilustra aspectos importantes do desempenho das MRVs que não surgem em uma análise idealizada como a do Exemplo 81 mas que desempenham um papel extremamente importante nas aplicações práticas É evidente que não é possível aplicar de modo imediato correntes de fase com formas de onda arbitrá rias As indutâncias de enrolamento e suas derivadas em relação ao tempo afetam significativamente as formas de onda das correntes que podem ser obtidas com uma determinada tensão aplicada Em geral o problema tornase mais grave quando a velocidade do rotor é au mentada Para uma determinada tensão aplicada a análise do Exemplo 83 mostra que 1 quando a velocidade é aumentada a corrente ocupará uma fração maior do tempo disponível durante o qual dLθmdθm é positiva para atingir um determinado nível e que 2 a corrente de regime permanente que pode ser obtida é progressiva mente reduzida Um método comum para maximizar o conjugado disponível é aplicar a tensão de fase um pouco adiantada em relação ao instante em dLθmdθm começa a aumentar Isso dá tempo para que a corrente atinja um nível significativo antes que a produção de conjugado comece Uma dificuldade ainda mais significativa também ilustrada no Exemplo 83 é que da mesma forma que as correntes requerem um certo tempo para crescer no início do ciclo em que são ligadas elas também requerem tempo para diminuir no final Como resultado quando a excitação de fase é removida próximo do final ou no próprio final de um período de dLθmdθm positiva é muito provável que ainda haja corrente de fase quando dLθmdθm tornase negativa Desse modo haverá um período em que é produzido conjugado negativo reduzindo assim a capacidade efetiva da MRV de fornecer conjugado Uma maneira de evitar essa produção de conjugado negativo seria desligar a excitação de fase suficientemente antes dentro do ciclo Desse modo a corrente terá diminuído basicamente até zero quando a dLθmdθm tornarse negativa No Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 483 entanto é claro que há uma diminuição de desempenho porque o desligamento da corrente de fase enquanto dLθmdθm é positiva também reduz a produção de conju gado positivo Como resultado frequentemente é necessário aceitar uma certa quan tidade de conjugado negativo para se conseguir o conjugado positivo requerido e compensar essa diminuição produzindo um conjugado positivo adicional a partir de uma outra fase Uma outra possibilidade está ilustrada na Figura 812 A Figura 812a mostra uma vista em corte de uma MRV 42 similar à da Figura 83 exceto que o ângulo dos polos do rotor foi aumentado de 60 para 75 com o resultado de que os polos do rotor ultrapassam os do estator em 15 Como pode ser visto na Figura 812b isso resulta em uma região de indutância constante separando as regiões de dLθmdθm positiva e negativa Por sua vez isso proporciona um tempo adicional para que a cor rente de fase seja desligada antes que seja alcançada a região de produção negativa de conjugado Rotor 75 60 a a a a b b b b a 1725 180 150 120 90 60 30 30 60 90 120 150 180 1125 675 675 1125 1725 75 75 b θm dL11θm dθm L11θm Figura 812 Uma MRV 42 com um excesso de 15 no rotor a vista em corte e b gráficos de L11θm e dL11θmdθm versus θm 484 Máquinas elétricas Embora a Figura 812 mostre um exemplo com um excesso de 15 no rotor em qualquer projeto em especial o valor desse excesso é determinado como parte do pro cesso global de projeto e dependeria de questões tais como a velocidade de funcio namento da MRV e o valor de tempo necessário para que a corrente de fase diminua Nesse processo de projeto devese levar em consideração também que o uso de polos de rotor mais largos resultará em um valor mais elevado de Lmin o que por si mesmo tende a reduzir a produção de conjugado veja a discussão da Eq 88 e a aumentar o tempo necessário para que a corrente se estabeleça Em condições de funcionamento com velocidade constante em geral é desejá vel obter conjugado constante independentemente da posição do rotor Esse modo de funcionamento minimizará os conjugados pulsantes os quais podem causar vibração e ruído excessivos que por sua vez podem causar falhas nos componentes devido à fatiga do material Isso significa que quando a produção de conjugado de uma fase começa a diminuir a de uma outra fase deve aumentar para compensála Como pode ser visto com base nas formas de onda de conjugado como na Figura 811 isso re presenta um problema complexo de controle para a excitação das fases e em muitos casos é difícil conseguir um conjugado totalmente livre de oscilações Exemplo 84 As soluções analíticas do Exemplo 83 são possíveis porque as variações de indutância da MRV 42 ideal são de forma simples e porque a resistência de enrolamento é suficientemente baixa para que possa ser ignorada sem perda significativa de exatidão Em geral a inclusão dos efeitos resistivos e o fato de que na prática as variações de indutância são mais complexas do que a variação idealizada daquele exemplo tornam a Eq 813 difícil ou impossível de ser resolvida analiticamente Como resultado a análise de MRVs requer técnicas de análise numérica Embora tais análises não sejam examinadas neste capítulo um exemplo simples será apresentado aqui usando o MATLABSimulink4 Especificamente examinaremos novamente o desempenho de estado permanente da MRV 42 do Exemplo 83 incluindo os efeitos da resistência de enrola mento e com ambos os enrolamentos controlados pelo mesmo algoritmo descrito no Exemplo 83 a Usando Simulink iremos plotar a corrente da fase 1 e o conjugado b Novamente usando Simulink examinaremos os efeitos de se modificar o algoritmo de tensão de fase para adiantar o ângulo de chaveamento das tensões em 5 graus isto é aplicar 100 V em cada fase 5 graus antes que a derivada da tensão de fase tornese positiva e 200 V 5 graus antes que a derivada tornese negativa Solução a A Figura 813 mostra o diagrama de blocos Simulink Os diversos blocos são j Bloco L Esse bloco calcula as indutâncias de fase em função do ângulo θm do rotor veja a Figura 84a j Bloco dLdtheta Esse bloco calcula as derivadas das indutâncias de fase em função do ângulo θm do rotor veja a Figura 84b 4 MATLAB e Simulink são marcas registradas da empresa The MathWorks Inc 3 Apple Hill Drive Natick MA 01760 httpwwwmathworkscom Matlab e Simulink estão disponíveis em edições para estudantes Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 485 j Bloco V Esse bloco calcula as resistências aplicadas a cada fase em função do ângulo θm e das correntes de fase Ele desliga a tensão aplicada de 250 V quando as correntes de fase chegam a zero ou ficam negativas pela primeira vez porque como a simulação é resolvida numericamente é improvável que ambas serão identicamente zero em qualquer ponto quando estão decaindo j Bloco didt Esse bloco calcula as derivadas das correntes de fase a partir da Eq 815 onde Observe que com uma velocidade constante de 400 rpm Devido à implementação numérica é possível que um valor ligeiramente negativo de corrente de fase apareça na entrada desse bloco e portanto haja um trecho de código Torque i1 omega m 400pi30 To Workspace results 1 s 1 s 1 s i1 i2 v 1 v 2 L11 L22 dL11dtheta dL22dtheta omegam di1dt di2dt didt thetam i1 i2 v 1 v 2 V i1 i2 dL11dtheta dL22dtheta Torque Torque thetam dL11dtheta dL22dtheta dLdtheta thetam L11 L22 L Figura 813 Diagrama de blocos Simulink para o Exemplo 84 486 Máquinas elétricas adicional nesse bloco para reinicializar as correntes com zero no caso de aparecer um valor negativo de corrente na entrada j Bloco Torque Conjugado Esse bloco calcula o conjugado eletromecânico da Eq 89 A Figura 814a mostra um gráfico da corrente da fase 1 durante uma rotação do rotor O valor máximo da corrente é 184 A que pode ser comparado com o valor de 188 A calculado no Exemplo 83 O conjugado total produzido pelas fases 1 e 2 está plotado na Figura 814b Ele tem um valor médio de 101 Nm b Adiantando o ângulo de chaveamento em 5 graus vemos que a corrente em cada enrola mento de fase sobe muito rápido porque o termo dL j jdθm da Eq 815 está inicialmente em zero e o crescimento da corrente é limitado apenas pela indutância de dispersão e a resistência Isso pode ser visto com facilidade na forma de onda da corrente da fase 1 na Figura 815a onde a corrente de pico é igual a 476 A diferente de 184 A da parte a Como resultado há corrente de fase significativa quando 5 graus após a aplicação da tensão dLdθm tornase positiva e o motor começa imediatamente a desenvolver conju gado como podemos ver na forma de onda de conjugado plotada na Figura 815b Embora o desligamento mais cedo da corrente de fase isto é quando dLdθm é positiva reduza o conjugado positivo o resultado é um conjugado negativo menor quan do dLdθm tornase negativa O resultado líquido é um conjugado médio maior Nesse caso o conjugado médio é 192 N m que pode ser comparado com o valor de 101 Nm encontrado na parte a sem adiantamento dos ângulos de chaveamento 15 i1A 5 10 0 0 25 50 75 100 125 150 Tempo ms a 20 0 25 50 75 100 125 150 Tempo ms Conjugado Nm 20 15 10 5 0 5 10 15 b Figura 814 a Corrente da fase 1 e b o perfil de conjugado de uma rotação para a parte a do Exemplo 84 Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 487 84 Análise não linear Como a maioria das máquinas elétricas as MRVs empregam materiais magnéticos tanto para direcionar e dar forma aos campos magnéticos da máquina como para au mentar a densidade de fluxo magnético que pode ser obtida com uma determinada am plitude de corrente Na prática para obter o máximo benefício do material magnético as MRVs funcionam com uma densidade de fluxo magnético suficientemente elevada para que o material magnético esteja em saturação sob condições normais de operação Como nas máquinas síncronas CC e de indução discutidas nos Capítulos 5 a 7 a densidade do fluxo real de operação é determinada obtendo um meiotermo en tre grandezas como custo rendimento e razão entre conjugado e massa Entretanto como a MRV e sua eletrônica de acionamento estão muito interrelacionadas o proje to de MRVs envolve geralmente a obtenção de meiostermos adicionais que por sua vez afetam a escolha da densidade de fluxo de operação A Figura 82 mostra curvas típicas de indutância versus ângulo para as MRVs da Figura 81 Essas curvas são características de todas as MRVs Devese levar em consideração que o uso do conceito de indutância é estritamente válido apenas sob a condição de que o circuito magnético da máquina seja linear de modo que a den sidade de fluxo e logo o fluxo concatenado do enrolamento seja proporcional à 50 i1A 10 20 30 40 00 25 50 75 100 125 150 0 25 50 75 100 125 150 Tempo ms a 150 125 100 75 50 25 0 Tempo ms Conjugado Nm 25 b Figura 815 a Corrente da fase 1 e b o perfil de conjugado para uma rotação com o ângulo de chaveamento adiantado em 5 graus para a parte b do Exemplo 84 488 Máquinas elétricas corrente de enrolamento Essa análise linear baseiase na suposição de que o material magnético do motor tenha permeabilidade magnética constante Essa suposição foi usada em todas as análises anteriores deste capítulo Uma representação alternativa da curva característica de fluxo concatenado ver sus corrente de uma MRV está mostrada na Figura 816 Essa representação consiste em uma série de gráficos de fluxo concatenado versus corrente para diversos ângulos do rotor Nessa figura as curvas correspondem a uma máquina com um rotor de dois polos como o da Figura 81 e portanto uma plotagem de curvas de 0 a 90 é sufi ciente para caracterizar completamente a máquina A Figura 816a mostra o conjunto de curvas características λi que seriam me didas em uma máquina com comportamento magnético linear isto é permeabilidade magnética constante e sem saturação magnética Para cada ângulo do rotor a curva é uma linha reta cuja declividade corresponde à indutância Lθm naquela posição angular De fato uma plotagem de Lθm versus θm como a da Figura 82 é uma re presentação equivalente daquela da Figura 816a Na prática as MRVs operam com o seu material magnético em saturação Suas curvas λi assumem a forma da Figura 816b Observe que para níveis baixos de corrente as curvas são lineares correspondendo à suposição de comportamento mag nético linear da Figura 816a Entretanto para níveis mais elevados de corrente a saturação começa a ocorrer e as curvas dobramse de modo acentuado O resultado é um fluxo concatenado significativamente menor para um dado valor de corrente Por fim observe que os efeitos de saturação são máximos em θm 0 caso em que os polos do rotor e do estator estão alinhados e mínimos para ângulos maiores à medida que o rotor aproximase da posição de não alinhamento A saturação tem dois efeitos importantes até certo ponto contraditórios sobre o desempenho da MRV De um lado a saturação limita as densidades de fluxo para um dado nível de corrente e assim tende a limitar a quantidade disponível de conjugado fornecido pela MRV Por outro lado podese mostrar que a saturação tende a baixar a potência nominal VA que o inversor deve fornecer para uma determinada potência 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 θm Corrente de fase i Fluxo concatenado λ a 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 θm Corrente de fase i Fluxo concatenado λ b Figura 816 Gráficos de λ versus i para uma MRV com comportamento magnético a linear e b não linear Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 489 de saída da MRV tornando assim o inversor menor e mais barato Um sistema de MRV bem projetado será baseado em um meiotermo entre esses dois efeitos5 Esses efeitos de saturação podem ser investigados considerando que as duas máquinas das Figuras 816a e b estejam operando com a mesma velocidade de rota ção e sob as mesmas condições de operação Por uma questão de simplicidade assu mimos uma condição até certo ponto idealizada em que a corrente da fase 1 é ligada instantaneamente com um valor I0 em θm 90 a posição não alinhada da fase 1 e desligada instantaneamente em θm 0 a posição alinhada Essa operação é similar à discutida no Exemplo 81 em que desprezamos os efeitos complicadores dos transitórios de aumento e diminuição da corrente ilustrados nos Exemplos 83 e 84 Devido à simetria do rotor os fluxos concatenados para ângulos negativos do rotor são idênticos àqueles para ângulos positivos Assim as trajetórias de fluxo con catenado e corrente para um ciclo de corrente podem ser determinadas a partir das Figuras 816a e b e estão mostradas para as duas máquinas nas Figura 817a e b À medida que cada trajetória é percorrida a potência de entrada do enrolamento é dada pelo produto de tensão vezes corrente 816 A entrada líquida de energia elétrica na máquina a energia que é convertida em trabalho mecânico em um ciclo pode ser determinada pela integração da Eq 816 ao longo da trajetória 817 5 Para uma discussão sobre os efeitos da saturação em sistemas de acionamento MRV veja TJEMillerConverter VoltAmpere Requirements of the Switched Reluctance Motor IEEE Trans Ind Appl IA2111361144 1085 λ λmax θm 0 θm 90 0 I0 i Wlíq Wrec a λ λmax θm 0 θm 90 0 I0 i Wrec b Wlíq Figura 817 a Trajetória de fluxo concatenado versus corrente para as máquinas b linear e c não li near da Figura 816 490 Máquinas elétricas Isso pode ser visto graficamente como a área compreendida pela trajetória in dicada por Wlíq nas Figuras 817a e b Observe que a máquina em saturação converte menos trabalho útil por ciclo do que a máquina não saturada Como resultado para obter uma máquina com a mesma potência de saída a máquina saturada deverá ser maior do que a respectiva máquina não saturada hipotética Essa análise demonstra os efeitos da saturação em reduzir o conjugado e a potência de saída O pico da entrada de energia do enrolamento vinda do inversor também pode ser calculada É igual à integral da potência de entrada desde o ponto inicial da traje tória até o ponto I0 λmax 818 Essa é a área total sob a curva λi mostrada nas Figuras 817a e b como a soma das áreas indicadas por Wrec e Wlíq Como já vimos que a energia representada pela área Wlíq corresponde à energia útil de saída é claro que a energia representada pela área Wrec corresponde à entrada de energia que é necessária para fazer a MRV funcionar isto é usada na criação dos campos magnéticos da MRV Essa energia não produz trabalho útil Mais exata mente ela corresponde à potência reativa que é reciclada para dentro e para fora do inversor durante o desenrolar de um ciclo A potência nominal VA do inversor é determinada pela potência média por fase que é manipulada pelo inversor quando o motor está funcionando Ela é igual ao pico da entrada de energia da MRV dividida pelo tempo T entre os ciclos De modo semelhante a potência média de saída por fase da MRV é dada pela entrada líquida de energia dividida por T Assim a razão entre a potência nominal VA do inversor e a potência de saída é 819 Em geral a potência nominal VA determina o custo e o tamanho Assim para uma dada potência de saída de uma MRV uma razão menor entre potência nominal VA do inversor e potência de saída significa que o inversor será menor e menos dispendioso A comparação das Figuras 817a e b mostra que essa razão é menor em uma máquina que sofre saturação O efeito da saturação é diminuir a quantidade de energia que deve ser reciclada em cada ciclo e portanto a potência nominal VA do inversor necessária para alimentar a MRV Exemplo 85 Considere uma MRV 42 bifásica simétrica cuja característica λi pode ser representada pela seguinte expressão λi para a fase 1 em função de θm no intervalo 0 θm 90 A fase 2 desse motor é idêntica à fase 1 não havendo indutância mútua significativa entre as fases Assuma que a resistência do enrolamento é desprezível Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 491 a Usando MATLAB plote uma família de curvas λ1i1 para esse motor quando θm varia de 0 a 90 em incrementos de 10 e quando i1 é variada de 0 a 30 A b Novamente usando MATLAB use a Eq 819 e a Figura 817 para calcular a razão entre a potência nominal VA do inversor e a saída de potência líquida da MRV para o seguin te ciclo de operação ideal i A corrente cresce instantaneamente até 25 A quando θm 90 ii Então a corrente é mantida constante enquanto o motor gira até θm 0 iii Em θm 0 a corrente é reduzida a zero c Assumindo que a MRV está funcionando como um motor segundo o ciclo descrito na parte b e girando a uma velocidade constante de 2500 rpm calcule a potência eletro magnética líquida fornecida ao motor Solução a As curvas λ1i1 estão mostradas na Figura 818a b A Figura 818b mostra as áreas Wlíq e Wrec Observe que como salientado no texto as curvas λi são simétricas em torno de θm 0 e assim para valores negativos de θm as curvas são idênticas às curvas para os respectivos valores positivos A área Wlíq é delimi tada pelas curvas λ1i1 correspondentes a θm 0 e θm 90 e a linha i1 25 A A área Wrec é delimitada pela linha λ1 λmax e a curva λ1i1 correspondente a θm 0 em que λmax λ125 A 0 Usando MATLAB para integrar as áreas a razão desejada pode ser calculada a partir da Eq 819 como c Uma energia igual à área Wlíq é fornecida por cada fase ao rotor duas vezes a cada ro tação do rotor Se a área Wlíq for medida em joules a potência fornecida em watts por fase será portanto igual a em que T é o tempo para uma rotação em segundos Do MATLAB a área Wlíq 991 joules e para 2500 rpm T 602500 0024 s e portanto Pmec 2Pfase 1650 W Aqui está o script MATLAB clc clear a Primeiro plote as características lambdai for m 110 thetam 10m1 for n1101 492 Máquinas elétricas a b Família de curvas lambdai quando tetam varia de 0 a 90 graus Família de curvas lambdai quando tetam varia de 0 a 90 graus tetam 0 graus tetam 90 graus tetam 90 graus tetam 90 graus Corrente A Corrente A Lambda WB Lambda Wb 08 07 06 05 04 03 02 01 08 07 06 05 04 03 02 01 0 5 10 15 20 25 30 0 00 5 10 15 20 25 30 Figura 818 a Curvas λ1i1 para o Exemplo 85 b Áreas usadas no cálculo da parte b Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 493 in 30n1100 Lambdan in0005 00990thetam908in8 end plotiLambda if m1 hold end end hold xlabelCorrente A ylabelLambda Wb titleFamília de curvas lambdai quando tetam varia de 0 a 90 graus text177 tetam 0 graus text2006 tetam 90 graus b Agora integre para obter as áreas Lambda de pico em 0 graus 25 ampères lambdamax 2500050098258 AreaWnet 0 AreaWrec 0 100 passos de integração deli 25100 for n1101 in 25n1100 AreaWnet AreaWnet deliin0098in8 AreaWrec AreaWrec delilambdamax in00050098in8 end Ratio AreaWrec AreaWnetAreaWnet Razão fprintf Parte b Razão gRatio c Calcule a potência rpm 2500 rps 250060 T 1rps Pphase 2AreaWnetT Ptot 2Pphase fprintf Parte c ÁreaWlíq g joulesAreaWnet fprintf Pfase g W e Ptot gW PphasePtot 494 Máquinas elétricas Problema prático 84 Considere uma MRV bifásica idêntica àquela do Exemplo 85 exceto que ela tem uma indutân cia de dispersão adicional de 5 mH em cada fase a Calcule a razão entre a potência nominal VA do inversor e a potência de saída líquida da MRV para o seguinte ciclo ideal de operação i A corrente elevase instantaneamente até 25 A quando θm 90 ii Em seguida a corrente é mantida constante enquanto o rotor gira até θm 10 iii Em θm 10 a corrente é reduzida a zero b Supondo que a MRV esteja operando como motor usando o ciclo descrito na parte a e girando com uma velocidade constante de 2500 rpm calcule a potência eletromecânica líquida fornecida ao rotor Solução a b Pmec 1467 W Os efeitos de saturação representam claramente um papel significativo no desempenho da maioria das MRVs e devem ser considerados Além disso o ciclo ideal de operação ilustrado no Exemplo 85 não pode ser alcançado na prática pois é provável que surja algum movimento do rotor dentro da escala de tempo em que ocorrem as variações de corrente Como resultado na prática muitas vezes é neces sário usar pacotes de análise numérica tais como programas de elementos finitos como parte do processo de projeto de sistemas de MRVs Muitos desses programas incorporam a capacidade de modelar os efeitos não lineares da saturação mag nética assim como os efeitos mecânicos por exemplo movimento do rotor e os efeitos elétricos dinâmicos por exemplo a elevação da corrente Como vimos normalmente o projeto de um sistema de acionamento de MRV requer a obtenção de um meiotermo De um lado para uma dada potência de saída a saturação tende a aumentar o tamanho da MRV Por outro lado ao se comparar dois sistemas MRV de mesma potência de saída o sistema com nível mais alto de saturação em geral necessitará de um inversor com uma potência nominal VA mais baixa Assim o projeto final será determinado por um equilíbrio entre tamanho custo e rendimento da MRV e do inversor 85 Motores de passo Como vimos quando as fases de uma MRV são energizadas de modo sequencial indo passo a passo a MRV irá girar de um ângulo específico a cada passo Motores pro jetados especificamente para tirar vantagem dessa característica são referidos como motores de passo Em geral os motores de passo são projetados para produzir um Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 495 grande número de passos por rotação por exemplo 50 100 ou 200 passos corres pondendo a um deslocamento angular de 72 36 e 18 por passo Uma característica importante do motor de passo é sua compatibilidade com os sistemas eletrônicos digitais Esses sistemas são comuns em uma ampla varieda de de aplicações e continuam tornandose mais potentes e menos dispendiosos Por exemplo o motor de passo é usado com frequência em sistemas de controle digital em que o motor recebe comandos a laço aberto na forma de um trem de pulsos para girar um eixo ou mover um objeto por uma distância específica Aplicações típicas incluem motores para alimentação de papel e posicionamento da cabeça de impressão em impressoras e plotters motores para acionamento e posicionamento da cabeça em unidades de disco e CD players e motores para posicionamento da mesa de trabalho e da ferramenta em equipamentos de usinagem controlados numericamente Em mui tas aplicações a informação de posição pode ser obtida apenas deixando registrado o número de pulsos enviados ao motor caso em que não são necessários sensores de posição nem controle realimentado A resolução angular de uma MRV é determinada pelo número de dentes do rotor e do estator e pode ser muito aumentada por técnicas como a de estrutura em castelo como foi discutido na Seção 82 Os motores de passo são oferecidos com uma ampla variedade de modelos e configurações Além das configurações de relutância variável há também as de ímã permanente e as híbridas O uso de ímãs permanentes combinados com uma geometria de relutância variável pode aumentar significativamente o conjugado e a exatidão de posicionamento de um motor de passo As configurações de MRV discutidas nas Seções 81 a 83 consistem em um rotor e um estator com múltiplas fases Um motor de passo com essa configuração é chamado de motor de passo de relutância variável de empilhamento simples6 Uma forma alternativa de motor de passo de relutância variável é conhecida como motor de passo de relutância variável de empilhamento múltiplo7 Nessa configuração o mo tor pode ser considerado como constituído por um conjunto de MRVs monofásicas axialmente deslocadas e montadas sobre um único eixo A Figura 819 mostra um motor de passo de relutância variável de empilha mento múltiplo Esse tipo de motor consiste em uma série de empilhamentos cada um deslocado axialmente de geometria idêntica e cada um excitado por um enro lamento monofásico como está mostrado na Figura 820 O motor da Figura 819 tem três empilhamentos e três fases embora motores com fases e empilhamentos adicionais sejam comuns Em um motor com ns empilhamentos stacks o rotor ou o estator mas não ambos em cada empilhamento está deslocado de 1ns vezes o ângulo de passo polar Na Figura 819 os polos do rotor estão alinhados mas os estatores estão deslocados angularmente de um terço do passo polar Excitando su cessivamente as fases individuais o rotor pode ser girado em incrementos iguais ao ângulo de deslocamento Um diagrama esquemático de um motor de passo bifásico de ímã permanente e um rotor de dois polos está mostrado na Figura 821 Observe que essa máquina 6 N de T Em inglês singlestack variablereluctance stepping motor 7 N de T Em inglês multistack variablereluctance stepping motor 496 Máquinas elétricas Figura 819 Vista em corte longitudinal de um motor de passo trifásico de relutância variável e empilhamento triplo Foto cortesia da empresa Warner Electric uma companhia Altra Indus trial Motion Rotor Estator Enrolamento de fase i Figura 820 Diagrama de um empilhamento e uma fase de um motor de passo de relutância variável multifásico como o da Figura 819 Para um motor de ns empilhamentos o rotor ou o estator mas não ambos de cada empilhamento está deslocado de 1ns vezes o passo do motor Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 497 é de fato uma máquina síncrona bifásica semelhante por exemplo à máquina trifásica CA de ímã permanente da Figura 534 A distinção entre esse motor de passo e um motor síncrono não vem da construção do motor mas de como o motor é operado Normalmente o motor síncrono é planejado para acionar uma carga a uma velocidade específica e o motor de passo é planejado para controlar a posição de uma carga O rotor do motor de passo da Figura 821 assume os ângulos θm 0 45 90 quando os enrolamentos são excitados na sequência 1 Corrente positiva na fase 1 apenas 2 Correntes positivas de mesmo valor nas fases 1 e 2 3 Corrente positiva na fase 2 apenas 4 Corrente negativa na fase 1 e corrente positiva na fase 2 ambas de mesmo valor 5 Corrente negativa na fase 1 apenas 6 E assim por diante Observe que se o rotor de ímã permanente fosse substituído por um rotor ferro magnético o rotor se deslocaria de modo similar O motor de passo da Figura 821 também poderá ser usado para passos de 90 se as bobinas forem excitadas uma a uma Neste último caso apenas um rotor de ímã permanente pode ser usado Isso pode ser visto a partir das curvas de conjugado versus ângulo para os dois tipos de rotores mostrados na Figura 822 Ao passo que o rotor de ímã permanente produz conjugado de pico quando a excitação está des locada de 90 o rotor ferromagnético produz conjugado nulo e pode se mover em qualquer sentido A posição do rotor no motor de passo de ímã permanente da Figura 821 é definida sem ambiguidade pelas correntes de enrolamento e depende do sentido das correntes de fase A inversão das correntes de fase inverterá o sentido do ro N S θm 1 2 1 2 Figura 821 Diagrama esquemático de um motor de passo bifásico de ímã permanente 498 Máquinas elétricas tor Isso contrasta com a configuração de MRV com rotor ferromagnético Nesta há duas posições de rotor igualmente estáveis para uma combinação qualquer de correntes de fase e por consequência a posição do rotor não pode ser determina da de forma não ambígua Os motores de passo de ímã permanente são também diferentes dos MRVs de relutância variável porque o conjugado que tende a ali nhar o rotor com os polos do estator será gerado mesmo quando não há excitação aplicada aos enrolamentos de fase Assim o rotor apresentará posições preferidas de repouso quando não estiver excitado um fato que pode ser aproveitado em algumas aplicações Exemplo 86 Usando as técnicas do Capítulo 3 e desprezando os efeitos de saturação o conjugado de um motor de passo bifásico de ímã permanente com a forma da Figura 821 pode ser expresso como Tmec T0 i1 cos θm i2 sen θm em que T0 é uma constante positiva que depende da geometria do motor e das proprie dades do ímã permanente 0 90 90 180 270 Posição do rotor para a fase 1 excitada 0 0 0 90 90 180 270 θm θm S N Tr conjugado que atua sobre o rotor no sentido de θm Tr conjugado que atua sobre o rotor no sentido de θm a Rotor construção com ímã permanente b Rotor construção com relutância variável Fase 2 excitada Fase 1 excitada Posição do rotor para a fase 1 excitada Fase 2 excitada Fase 1 excitada Figura 822 Curvas de conjugado versus ângulo para o motor de passo da Figura 821 a ro tor de ímã permanente e b rotor de relutância variável Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 499 Calcule as posições de repouso conjugado nulo que resultarão se o motor for coman dado por um sistema de acionamento tal que as correntes de fase possam ser ajustadas com valores iguais a I0 0 e I0 Usando esse acionamento qual é o tamanho do passo do motor Solução Em geral as posições de conjugado nulo do motor podem ser encontradas tornando a expres são do conjugado igual a zero e obtendo a posição resultante do rotor Assim fazendo Tmec T0 i1 sen θm i2 cos θm 0 obtémse i1 sen θm i2 cos θm 0 ou Observe que nem todas essas posições de conjugado nulo correspondem a posições de equilíbrio estável Por exemplo operando com i1 I0 e i2 0 obtêmse duas posições de con jugado nulo θm 0 e θm 180 No entanto apenas a posição θm 0 será estável Isso está em analogia direta com o caso de um pêndulo suspenso que apresenta conjugado nulo quando está suspenso para baixo θm 0 e também quando está em posição invertida θm 180 É claro que a mínima perturbação da posição de pêndulo invertido fará com que ele gire para baixo e que termine entrando em repouso na posição suspensa estável As posições de repouso estável do rotor são determinadas pela condição de que um conjugado de restauração seja produzido quando o rotor se afasta daquela posição Assim um conjugado negativo deverá resultar se o rotor moverse no sentido θm e um conjugado positivo deve resultar quando o movimento ocorrer no sentido θm Matematicamente isso pode ser expresso como uma condição adicional em relação ao conjugado quando ele está na posição de repouso em que a derivada parcial é calculada na posição de conjugado nulo e mantendo constantes as correntes de fase Assim nesse caso a posição de repouso deve satisfazer à condição adicional de que Nessa equação por exemplo vemos que com i1 I0 e i2 0 em θm 0 Tmec θm 0 e portanto θm 0 é uma posição de repouso estável De modo similar em θm 180 Tmec θm 0 e portanto θm 180 não é uma posição de repouso estável Usando essas relações a Tabela 81 lista as posições de repouso estável do rotor para diversas combinações de correntes de fase A partir dessa tabela vemos que esse acionamento produz um tamanho de passo de 45 500 Máquinas elétricas Problema prático 85 Para obter um tamanho de passo de 225 o acionamento do motor do Exemplo 86 é modi ficado de modo que cada fase possa ser acionada por correntes de intensidade 0 kI0 e I0 Encontre o valor necessário para a constante k Solução k arctg 225 04142 No Exemplo 86 vemos que as posições de equilíbrio estável de um motor de passo sem carga satisfaz as condições de conjugado nulo isto é Tmec 0 820 e que há um conjugado positivo de restauração isto é 821 Na prática naturalmente haverá um conjugado de carga finito tendendo a afas tar o motor de passo dessas posições idealizadas Para sistemas de controle de laço aberto sistemas de controle em que não há nenhum mecanismo com a realimentação da posição um grau elevado de controle da posição pode ser alcançado projetando o motor de passo para produzir um conjugado elevado de restauração isto é um valor elevado de Tmecθm Nesse motor de passo os conjugados de carga causarão apenas um pequeno afastamento do rotor das posições idealizadas que satisfazem as Eqs 820 e 821 O Exemplo 86 também mostra como combinações de correntes de fase cuida dosamente controladas podem melhorar a resolução de um motor de passo Esse modo referido como técnica de micropasso pode ser usado para obter passos com N de T Microstepping em inglês Tabela 81 Posições de repouso do rotor do Exemplo 86 i1 i2 θm 0 0 0 I0 270 0 I0 90 I0 0 180 I0 I0 225 I0 I0 135 I0 0 0 I0 I0 315 I0 I0 45 Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 501 resoluções aumentadas em uma ampla variedade de motores de passo Como será mostrado no exemplo seguinte a técnica de micropasso pode ser usada para produzir resoluções de posição extremamente elevadas Entretanto a resolução aumentada é obtida à custa de um aumento da complexidade da eletrônica de acionamento e dos algoritmos de controle do motor de passo que devem controlar precisamente a distri buição simultânea das correntes para as múltiplas fases Exemplo 87 Considere novamente o motor de passo bifásico de ímã permanente do Exemplo 86 Calcule a posição do rotor que resultará se as correntes de fase forem controladas de modo que sejam funções senoidais de um ângulo de referência θref na forma i1 I0 cos θref i2 I0 sen θref Solução A substituição das expressões de corrente na expressão do conjugado do Exemplo 86 dá Tmec T0 i1 cos θm i2 sen θm T0 I0 cos θref cos θm sen θref sen θm Usando a identidade trigonométrica cos α β cos α cos β sen α sen β obtémse Tmec T0 I0 cos θref θm Dessa expressão e usando a análise do Exemplo 86 vemos que a posição de equilíbrio do rotor é igual ao ângulo de referência isto é θm θref Em uma implementação prática é provável que um controlador digital seja usado para incrementar θref em passos finitos resul tando passos finitos na posição do motor de passo O motor de passo híbrido combina as características dos motores de passo de relutância variável e de ímã permanente Uma foto de um motor de passo híbrido está mostrada na Figura 823 e uma vista esquemática de um motor de passo híbrido está mostrada na Figura 824 A configuração do rotor de um motor de passo híbrido asse melhase muito à do rotor de um motor de passo de relutância variável com múltiplos empilhamentos No rotor da Figura 824a dois empilhamentos idênticos estão separa Figura 823 Motor de passo híbrido desmontado com passo de 18 polegada 502 Máquinas elétricas dos axialmente ao longo do rotor e deslocados de um ângulo igual à metade do ângulo de passo polar A estrutura dos polos do estator é contínua ao longo do comprimento do rotor Diferentemente do motor de passo de relutância variável com empilhamento múltiplo no motor de passo híbrido os empilhamentos do rotor estão separados por um ímã permanente orientado axialmente Na Figura 824a como resultado podese considerar que uma extremidade do rotor tenha um polo magnético norte e que a outra extremidade tenha um polo magnético sul A Figura 824b mostra uma vista esque mática de uma extremidade de um motor de passo híbrido O estator tem quatro polos com o enrolamento da fase 1 nos polos verticais e o da fase 2 nos polos horizontais O rotor está mostrado com o lado do polo norte na extremidade mais próxima do motor e o lado do polo sul mostrado hachurado na extremidade mais distante A Figura 824b mostra a fase 1 excitada de modo que o polo superior do esta tor seja um polo sul e o polo inferior seja um polo norte Essa excitação do estator interage com o fluxo do ímã permanente do rotor de modo a alinhar o rotor com um dos seus polos da extremidade norte verticalmente para cima e com um dos polos da extremidade sul verticalmente para baixo como está mostrado na figura Observe que se a excitação do estator for removida ainda haverá um conjugado de ímã per manente tendendo a manter o rotor na posição mostrada Para girar o rotor a excitação é retirada da fase 1 e a fase 2 é excitada Se a fase 2 for excitada de modo tal que o polo do estator do lado direito seja um polo sul e o do lado esquerdo seja um polo norte o rotor realizará uma rotação de 30 em sentido anti horário De modo semelhante se a excitação oposta for aplicada ao enrolamento da fase 2 uma rotação de 30 em sentido horário ocorrerá Assim com a aplicação alter nada de excitações com polaridades apropriadas nas fase 1 e 2 é possível fazer o rotor executar uma rotação em ambos os sentidos com passos de um dado incremento angular Na prática para se obter uma resolução angular bem melhor os motores de pas so híbridos são geralmente construídos com mais polos no rotor do que os mostrados Fase 1 S N Estator b a Rotor Fase 2 N N N S S S N S Figura 824 Vista esquemática de um motor de passo híbrido a Rotor de empilhamento duplo mos trando o ímã permanente orientado axialmente e as peças polares deslocadas de metade do passo polar b Vista da extremidade do polo norte do rotor mostrando o polo sul na extremidade mais distante mos trado hachurado A fase 1 do estator é energizada alinhando o rotor como está mostrado Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 503 no motor esquemático da Figura 824 De modo correspondente os polos do estator são frequentemente construídos em forma de castelo veja a Figura 88 de modo a aumentar ainda mais a resolução angular Além disso eles podem ser construídos com mais de dois empilhamentos por rotor O modelo híbrido de motor de passo oferece vantagens em relação ao modelo de ímã permanente discutido anteriormente Com uma estrutura magnética simples pe quenos valores de passo são obtidos com facilidade ao passo que um motor com ímãs permanentes exigiria um ímã permanente multipolar Em comparação com o motor de passo de relutância variável o modelo híbrido pode exigir uma excitação menor para se obter um dado conjugado porque parte da excitação é fornecida pelo ímã permanente Além disso o motor de passo híbrido tenderá a manter sua posição quando a excitação do estator for removida tal como acontece com o motor de passo de ímã permanente A escolha efetiva de um modelo de motor de passo para uma aplicação em especial é determinada com base nas características de operação na disponibilidade no tamanho e no custo desejados Além das três classes de motor de passo discutidas neste capítulo uma série de outros modelos diferentes e em geral muito engenhosos foi desenvolvida Mesmo apresentando uma ampla variedade de configurações e de técnicas construtivas os princípios de operação continuam os mesmos 86 Resumo As máquinas de relutância variável são talvez as mais simples das máquinas elétricas Consistem em um estator com enrolamentos de excitação e um rotor magnético com saliências O conjugado é produzido pela tendência do rotor de polos salientes a se alinhar com polos magnéticos excitados no estator As MRVs são máquinas síncronas no sentido de que produzem conjugado lí quido apenas quando o movimento do rotor é de alguma forma síncrono com a FMM aplicada do estator Essa relação síncrona pode ser complexa com a velocidade do rotor sendo uma fração específica da frequência elétrica aplicada e determinada não somente pelo número de polos do estator e do rotor mas também pelo número de dentes desses polos De fato em alguns casos o rotor gira em sentido oposto ao sen tido de rotação da FMM de estator aplicada A operação bemsucedida de uma MRV depende de se excitar os enrolamentos de fase do estator seguindo um modo específico correlacionado com a posição ins tantânea do rotor Assim a posição do rotor deve ser medida e um controlador deve ser empregado para se determinar as formas de onda de excitação apropriadas e para controlar a saída do inversor Normalmente o uso de chopping é necessário para se obter essas formas de onda O resultado líquido é que embora a MRV seja em si um dispositivo simples é necessária uma eletrônica de certa complexidade para se cons truir um sistema completo de acionamento O significado das MRVs em aplicações de engenharia originase em seu baixo custo confiabilidade e controlabilidade Como o seu conjugado depende apenas do quadrado das correntes de estator aplicadas e não dos seus sentidos essas máquinas podem ser operadas com sistemas de acionamento unidirecionais reduzindo o custo da eletrônica de potência Entretanto só recentemente com o aparecimento de circui tos eletrônicos de potência e sistemas de controle microprocessados de baixo custo e 504 Máquinas elétricas flexíveis é que as MRVs começaram a ter aplicação de ampla escala em sistemas que vão desde tração até sistemas de controle preciso de posição com conjugado elevado em aplicações de robótica A experiência prática com MRVs mostrou que elas têm potencial para uma confiabilidade elevada Isso em parte devese à simplicidade de sua construção e ao fato de que não há enrolamentos em seus rotores Além disso os acionadores de MRVs podem continuar funcionando com uma potência um pouco reduzida mesmo após a ocorrência de falhas em uma ou mais fases tanto na máquina como no inver sor Geralmente as MRVs têm um número maior de fases no estator quatro ou mais e desse modo uma potência de saída significativa ainda pode ser obtida mesmo se algumas dessas fases ficarem fora de serviço Como não há excitação no rotor se algum enrolamento de fase ficar em aberto não haverá geração de tensão ou se um enrolamento de fase entrar em curtocircuito não haverá geração de corrente Desse modo a máquina pode continuar funcionando sem risco de maiores danos ou perdas adicionais e aquecimento Como as MRVs podem ser construídas facilmente com um grande número de dentes no rotor e no estator resultando em grandes variações de indutância com pequenas mudanças no ângulo do rotor elas podem ser construídas para produzir um conjugado muito elevado por unidade de volume Entretanto como há um meio termo entre conjugado e velocidade essas máquinas terão uma baixa velocidade de rotação coerente com o fato de que só uma determinada quantidade de potência pode ser produzida com um determinado tamanho de máquina No extremo oposto a con figuração simples de um rotor de MRV e o fato de que ele não contém enrolamentos sugerem que é possível construir rotores de MRV extremamente robustos Esses roto res podem suportar altas velocidades Motores capazes de funcionar com velocidades acima de 200000 rpm já foram construídos Finalmente vimos que a saturação desempenha um papel importante no desem penho de uma MRV Assim como os progressos recentes da eletrônica de potência e dos circuitos microeletrônicos permitiram que os sistemas de acionamento MRV entrassem no campo prático o mesmo aconteceu com as técnicas analíticas baseadas em computador relativas à análise dos campos magnéticos Na prática o uso dessas técnicas possibilitou a realização de projetos otimizados de sistemas de acionamento MRV que são competitivos com tecnologias alternativas em muitas aplicações Os motores de passo estão intimamente relacionados com as MRVs na medida em que a excitação de cada fase sucessiva do estator resulta em uma rotação angular específica do rotor Os motores de passo estão disponíveis em uma ampla variedade de modelos e configurações Entre essas temos as configurações de relutância variá vel ímã permanente e híbrida A posição do rotor de um motor de passo de relutância variável não é determinada de forma única pelas correntes de fase pois as indutâncias de fase não são funções unívocas do ângulo do rotor Entretanto o acréscimo de um ímã permanente altera essa situação e a posição do rotor de um motor de passo de ímã permanente será uma função unívoca das correntes de fase Os motores de passo são os parceiros eletromecânicos da eletrônica digital Pela aplicação apropriada de correntes de fase aos enrolamentos do estator podese fazer com que esses motores executem rotações em passos bem definidos atingindo uma fração de grau por pulso Desse modo são componentes essenciais dos siste 506 Máquinas elétricas 84 Uma MRV 64 da forma mostrada na Figura 85 tem as seguintes propriedades Ângulo dos polos do estator β 30 Ângulo dos polos do rotor α 30 Comprimento do entreferro g 045 mm Raio externo do rotor R 63 cm Comprimento ativo D 8 cm Essa máquina é ligada como um motor trifásico com polos opostos conectados em série para formar cada um dos enrolamentos de fase Há 45 espiras por polo 90 espiras por fase O ferro do rotor e do estator pode ser considerado de permeabilidade infinita e portanto os efeitos de indutância mútua poderão ser desprezados a Definindo o zero do ângulo do rotor θ m como a posição em que a indutân cia da fase 1 é máxima plote a indutância da fase 1 em função do ângulo do rotor Inclua também legendas no gráfico b Sobre o gráfico da parte a plote as indutâncias das fases 2 e 3 c Encontre a corrente I0 da fase 1 da qual resulta uma densidade de fluxo magnético sob a face polar da fase 1 de 11 T no entreferro quando o rotor está em uma posição de indutância máxima para a fase 1 d Assumindo que a corrente da fase 1 é mantida constante com o valor en contrado na parte c e que não há correntes nas fases 2 e 3 plote o conju gado em função da posição do rotor O motor deve ser acionado por um inversor trifásico com uma fonte de cor rente que pode ser desligada ou ligada para fornecer corrente zero ou corrente constante de intensidade I0 para qualquer uma das três fases e Com a suposição ideal de que as correntes possam ser ligadas instantane amente determine a sequência de correntes de fase em função da posição do rotor da qual resultará um conjugado do tipo motor positivo constante independentemente da posição do rotor f Se a frequência de excitação do estator for tal que será necessário um tem po T0 40 ms para percorrer a sequência de todas as três fases nas condi ções de excitação da parte e encontre a velocidade angular do rotor e seu sentido de rotação 85 Repita o Problema 84 para uma MRV 64 com ângulos polares de rotor e estator de 35 Use as mesmas suposições do Problema 84 86 Na Seção 82 quando se discute a Figura 85 o texto afirma Em uma MRV 64 além do fato de que não há posições de alinhamento simultâneo podese ver também que não há posição do rotor na qual seja possível produzir con jugado somente de um mesmo sinal positivo ou negativo Mostre que essa afirmação é verdadeira 87 Considere uma MRV 68 trifásica As fases do estator são excitadas sequen cialmente exigindo um tempo total de 10 ms Encontre a velocidade angular do rotor em rpm 508 Máquinas elétricas a Calcule e plote Lθm para essa máquina b Repita o Exemplo 83 exceto que a tensão constante de 100 V é aplicada primeiro em θm 675 quando dLθmdθm tornase positiva A seguir a tensão constante de 100 V é aplicada em θm 75 isto é quando dLθmdθm tornase zero mantendose constante até que a corrente de enrolamento chegue a zero c Plote o conjugado correspondente 816 Repita o Exemplo 85 para uma MRV 42 bifásica e simétrica cuja caracte rística λi pode ser representada pela seguinte expressão para a fase 1 em função de θm dentro do intervalo 0 θm 90 817 Considere um motor de passo bifásico com rotor de ímã permanente como o mostrado na Figura 821 e cuja curva de conjugado versus ângulo é como a mostrada na Figura 822a Essa máquina deve ser excitada com uma sequência digital de quatro bits correspondendo à seguinte excitação de enrolamentos bit i1 bit i2 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1 I0 0 1 I0 1 0 I0 1 0 I0 1 1 0 1 1 0 a Faça uma tabela com valores de quatro bits que produzirão as posições angulares do rotor de 0 45 315 b Percorrendo a sequência dada pelos valores de bits encontrados na parte a podese fazer o motor girar Qual é o intervalo de tempo em milisse gundos entre as mudanças de valores de bits que resultará em uma veloci dade de rotor de 1400 rpm 818 Considere um motor de passo bifásico de ímã permanente com uma relação entre conjugado e corrente da forma Tmec T0i1 cos θm i2 sen θm como no Exemplo 86 com T0 3 Nm O motor é acionado por uma fonte de corrente bifásica cujo controle é baseado na posição do rotor de tal forma que i1 I0 cos θm φ i2 I0 sen θm φ O motor está acionando uma carga cuja potência varia segundo a velocidade elevada ao expoente 25 e que consome 35 kW a uma velocidade de 1400 rpm A inércia combinada do motor e da carga é 085 kgm2 Supondo que inicialmente o motor está em repouso quando o acionamento é ativado com I0 8 A escreva uma simulação MATLABSimulink desse sis tema e plote a velocidade do motor em função do tempo para γ 0 e γ π4 Capítulo 8 Máquinas de relutância variável e motores de passo 509 819 A Figura 825 mostra um motor de passo bifásico híbrido com os polos do es tator apresentando uma estrutura em castelo O rotor está mostrado na posição que ocupa quando a corrente está entrando no terminal positivo da fase 1 a Se a fase 1 for desligada e a fase 2 for excitada com a corrente entrando no seu terminal positivo calcule a respectiva rotação angular do rotor Esta se dará em sentido horário ou antihorário b Descreva uma sequência de excitação para os enrolamentos de fase que resultará em uma rotação uniforme do rotor em sentido horário c Determine a frequência das correntes de fase necessária para obter uma velocidade de rotor de 10 rpm 820 Considere um motor de passo de relutância variável multifásico e de empilha mento múltiplo como o mostrado esquematicamente na Figura 820 com 16 po los em cada um dos empilhamentos do rotor e do estator O motor tem três empi lhamentos com um enrolamento de fase por empilhamento O motor é construído de modo que os polos do estator de cada empilhamento estejam alinhados a Calcule o afastamento angular entre os empilhamentos do rotor b Determine a frequência das correntes de fase necessária para obter uma velocidade de rotor de 750 rpm 10 4 4 S N S N S N S N Polo sul na extremidade distante do rotor Polo norte na extremidade próxima do rotor Estator Fase 2 Rotor Estator Fase 1 Figura 825 Motor de passo híbrido em castelo para o Problema 819 CAP ÍTUL O 9 Motores mono e bifásicos E ste capítulo discute os motores monofásicos Ao mesmo tempo que focaliza os motores de indução também discute os motores de indução os síncronos de relutância os de histerese e os de polos sombreados Observe que outro motor monofásico comum o motor série universal foi discutido na Seção 710 A maioria dos motores de indução com uma especificação de potência fracionária fração de quilo watt são motores monofásicos Em aplicações residenciais e comerciais são encon trados em uma ampla variedade de equipamentos incluindo refrigeradores condiciona dores de ar trocadores de calor ventiladores bombas máquinas de lavar e secadores Neste capítulo descreveremos esses motores qualitativamente em termos da teoria do campo girante e começaremos com uma análise rigorosa de um motor mo nofásico que opera com um único enrolamento Entretanto na realidade a maioria dos motores de indução monofásicos são motores bifásicos com enrolamentos as simétricos Normalmente os dois enrolamentos são bem diferentes com números diferentes para as espiras eou a distribuição de enrolamentos Assim este capítulo discute também os motores bifásicos e inclui o desenvolvimento de uma teoria quan titativa para a análise de motores de indução monofásicos que estejam funcionando com ambos os enrolamentos principal e auxiliar 91 Motores de indução monofásicos um exame qualitativo Estruturalmente os tipos mais comuns de motores de indução monofásicos são seme lhantes aos motores polifásicos de gaiola de esquilo exceto em relação à disposição dos enrolamentos do estator Um motor de indução com um rotor gaiola de esquilo e um enrolamento de estator monofásico está representado esquematicamente na Figura 91 No lugar de uma bobina concentrada o enrolamento real do estator está distribuído em ranhuras de modo a produzir uma distribuição espacial de FMM aproximadamente se noidal Como vimos na Seção 451 um enrolamento monofásico produz ondas de FMM iguais progressiva para frente e retrógrada para trás Quando está em repouso é evidente que por simetria esse motor basicamente não apresenta conjugado de partida porque ele está produzindo conjugados iguais em ambos os sentidos No entanto mos N de T Na literatura também encontramse expressões como ondas de FMM direta e inversa ou po sitiva e negativa Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 511 traremos que se for dada a partida por meios auxiliares o resultado será um conjugado líquido no sentido de rotação da partida e o motor continuará a funcionar Antes de examinarmos os métodos auxiliares de partida discutiremos as pro priedades básicas do motor esquemático da Figura 91 Se a corrente do estator for uma função cosseno do tempo a FMM resultante no entreferro será dada pela Eq 419 Fg1 Fmax cos θae cos ωet 91 a qual como foi mostrado na Seção 451 pode ser escrita como a soma de ondas progressiva e retrógrada de amplitudes iguais A onda progressiva é dada por 92 e a onda retrógrada é dada por 93 Cada uma dessas ondas componentes da FMM produz uma ação do tipo motor de indução mas os conjugados correspondentes estão em sentidos opostos Com o rotor em repouso as ondas progressiva e retrógrada de fluxo no entreferro criadas pelas FMMs combinadas das correntes de estator e de rotor são iguais Consequente mente os conjugados componentes são iguais e conjugado de partida não se produz Se as ondas de fluxo progressiva e retrógrada no entreferro permanecessem iguais enquanto o rotor girasse cada um dos campos componentes produziria uma caracte rística de conjugado versus velocidade semelhante à de um motor polifásico com uma impedância de dispersão de estator desprezível como está ilustrado pelas linhas tracejadas f e b da Figura 92a A característica de conjugado versus velocidade re sultante que é a soma algébrica das duas curvas componentes mostra que se fosse usado algum meio auxiliar para dar partida no motor seria produzido um conjugado com o sentido que foi usado na partida qualquer que fosse ele A suposição de que as ondas de fluxo no entreferro permanecem iguais quando o rotor está em movimento é uma simplificação um tanto drástica da situação real N de T A letra f é de forward para frente progressiva e a b é de backward para trás retrógrada Î Vˆ Enrolamento do estator Rotor gaiola de esquilo Figura 91 Vista esquemática de um motor de indução monofásico 512 Máquinas elétricas Primeiro os efeitos da impedância de dispersão do estator são ignorados Segundo os efeitos das correntes induzidas no rotor não são adequadamente levados em consi deração Esses efeitos serão incluídos na teoria quantitativa detalhada da Seção 93 A seguinte explicação qualitativa mostra que o desempenho de um motor de indução monofásico é muito melhor que o previsto com base em ondas iguais progressiva e retrógrada de fluxo Quando o rotor está em movimento as componentes da corrente de rotor indu zidas pelo respectivo campo retrógrado são maiores do que quando em repouso e seu fator de potência é mais baixo Sua FMM que se opõe à da corrente do estator resulta b f b Conjugado Progressiva Conjugado Progressiva Progressiva Retrógrada Retrógrada Retrógrada Retrógrada Porcentagem de velocidade síncrona progressiva Porcentagem de velocidade síncrona 50 100 100 100 100 0 50 a 50 0 b f 50 Figura 92 Característica de conjugado versus velocidade de um motor de indução monofási co a com base em ondas constantes progressiva e retrógrada de fluxo b levando em consi deração as alterações nas ondas de fluxo Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 513 em uma redução da onda retrógrada de fluxo De modo inverso o efeito magnéti co das componentes de corrente induzidas pelo campo progressivo é menor do que quando em repouso porque as correntes do rotor são menores e seu fator de potência é mais elevado Portanto à medida que a velocidade cresce a onda progressiva do fluxo cresce ao passo que a do fluxo retrógrado diminui A soma dessas ondas de fluxo deve permanecer aproximadamente constante porque é ela que induz a força contraeletromotriz do estator a qual será aproximadamente constante quando a queda de tensão na impedância de dispersão do estator for pequena Portanto com o rotor em movimento o conjugado do campo progressivo é maior e o do campo retrógrado é menor do que o da Figura 92a A situação real é aproxima damente a mostrada na Figura 92b Na região normal de funcionamento com um es corregamento de alguns poucos por cento o campo progressivo é diversas vezes maior do que o campo retrógrado e a onda de fluxo não é muito diferente do campo girante de amplitude constante presente no entreferro de um motor polifásico equilibrado Na região de funcionamento normal portanto a característica de conjugado versus velo cidade de um motor monofásico não é muito inferior à de um motor polifásico que tem o mesmo rotor e que funcione com a mesma densidade máxima de fluxo no entreferro Além dos conjugados mostrados na Figura 92 pulsações de conjugado com o dobro da frequência do estator são produzidas pelas interações entre as ondas de fluxo e FMM que giram em sentidos opostos e cruzamse com o dobro da velocidade síncrona Essas interações não produzem conjugado médio mas tendem a tornar o motor mais ruidoso e menos eficiente do que um motor polifásico Essas pulsações de conjugado são inevitáveis em um motor monofásico porque as pulsações na po tência instantânea de entrada são inerentes a um circuito monofásico Os efeitos do conjugado pulsante podem ser minimizados usando uma montagem elástica para o motor O conjugado referido nas curvas de conjugado versus velocidade de um motor monofásico é a média no tempo do conjugado instantâneo 92 Desempenhos de partida e de funcionamento dos motores monofásicos de indução e síncronos Os motores de indução monofásicos são classificados de acordo com os seus métodos de partida e em geral são referidos por nomes que descrevem esses métodos A seleção do motor apropriado baseiase nas exigências dos conjugados de partida e de trabalho da carga no ciclo de trabalho da carga e nas limitações das correntes de partida e de trabalho impostas ao motor pela linha de abastecimento de energia elétrica O custo dos motores monofásicos aumenta com a sua potência e com as características de desempenho como a razão entre conjugado de partida e corrente Normalmente para minimizar o custo um engenheiro de aplicações escolherá o motor com as menores especificações de potência e desempenho capazes de atender às exigências da aplica ção Quando um grande número de motores deve ser usado para um propósito especí fico um motor especial pode ser projetado para garantir o custo mínimo No negócio de motores de potência fracionária pequenas diferenças de custo são importantes Os métodos de partida e as características resultantes de conjugado versus velo cidade são examinados qualitativamente nesta seção Uma teoria quantitativa para a análise desses motores será desenvolvida na Seção 942 514 Máquinas elétricas 921 Motores de fase dividida Os motores de fase dividida apresentam dois enrolamentos no estator o enrolamento principal também referido como enrolamento de trabalho que será indicado pelo índice principal e o enrolamento auxiliar também referido como enrolamento de partida que será indicado pelo índice aux Como em um motor bifásico os eixos desses enrolamentos estão deslocados entre si de 90 graus elétricos no espaço e são li gados como está mostrado na Figura 93a O enrolamento auxiliar tem uma razão mais elevada entre resistência e reatância do que o enrolamento principal A consequência disso é que as duas correntes estarão fora de fase como está indicado no diagrama fasorial da Figura 93b que é representativo das condições na partida Como a corrente do enrolamento auxiliar Îaux está adiantada em relação à corrente do enrolamento prin cipal Îprincipal o campo do estator atinge primeiro o máximo no eixo do enrolamento auxiliar e então um pouco depois atinge o máximo no eixo do enrolamento principal As correntes de enrolamento são equivalentes a correntes bifásicas desequili bradas e o motor é equivalente a um motor bifásico desequilibrado O resultado é um campo girante de estator que causa a partida do motor Após a partida do motor o enrolamento auxiliar é desligado normalmente por meio de uma chave centrífuga que atua em torno de 75 da velocidade síncrona Uma maneira simples de obter uma razão elevada entre resistência e reatância no enrolamento auxiliar é pelo uso de um fio mais fino no enrolamento auxiliar do que no enrolamento principal Esse pro cedimento é permitido porque embora as perdas nesse enrolamento sejam maiores o enrolamento atua somente durante a partida A sua reatância poderá ser reduzida um pouco se ele for colocado no topo das ranhuras Uma característica típica de conjuga do versus velocidade para esse motor está mostrada na Figura 93c Os motores de fase dividida têm conjugados de partida moderados com uma baixa corrente de partida Aplicações comuns incluem ventiladores sopradores bom bas centrífugas e equipamentos de escritório As potências nominais comuns estão entre 50 e 500 watts Nessa faixa esses motores são os disponíveis com menor custo 922 Motores com capacitor Capacitores podem ser usados para melhorar o desempenho de partida do motor o desempenho de funcionamento ou ambos dependendo do tamanho e da conexão do c 00 100 200 300 400 20 40 60 Velocidade síncrona Conjugado 80 100 Velocidade de chaveamento b a Enrolamento principal Vˆ Î Îprincipal Îaux Enrolamento auxiliar Chave Vˆ Î Îprincipal Îaux Enrolamentos principal e auxiliar Enrolamento principal apenas Figura 93 Motor de fase dividida a conexões b diagrama fasorial na partida e c característica típica de conjugado versus velocidade Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 515 capacitor O motor com partida a capacitor também é um motor de fase dividida mas o deslocamento de fase no tempo entre as duas correntes é obtido por meio de um capacitor em série com o enrolamento auxiliar como está mostrado na Figura 94a Novamente o enrolamento auxiliar é desconectado depois da partida do motor e por tanto o capacitor e o enrolamento auxiliar podem ser projetados a um custo mínimo para uso intermitente Usando um capacitor de partida de valor apropriado podese fazer com que a corrente do enrolamento auxiliar Îaux com o rotor parado fique adiantada em relação à corrente do enrolamento principal Îprincipal de 90 graus elétricos como ocorreria em um motor bifásico equilibrado veja a Figura 94b Na prática o melhor meiotermo entre conjugado de partida corrente de partida e custo ocorre geralmente com um ângulo de fase um pouco inferior a 90 Uma característica típica do conjugado ver sus velocidade está mostrada na Figura 94c em que se destaca o elevado conjugado de partida Esses motores são usados com compressores bombas equipamentos de refrigeração e de ar condicionado e outras cargas de partida difícil No motor de fase dividida com capacitor permanente o capacitor e o enrola mento auxiliar não são desconectados após a partida A construção pode ser simplifi cada omitindose a chave Com isso obtêmse melhorias no fator de potência no desempenho e nas pulsações de conjugado Por exemplo o capacitor e o enrolamento auxiliar poderiam ser projetados para uma operação bifásica perfeita isto é sem a onda retrógrada de fluxo com uma carga desejada qualquer Nesse ponto de funcio namento as perdas causadas pelo campo que gira de forma retrógrada seriam elimi nadas melhorandose o desempenho resultante As pulsações de conjugado com o dobro da frequência de estator também seriam eliminadas porque o capacitor serviria como um reservatório de armazenamento de energia que suavizaria as pulsações na entrada de potência a partir da linha monofásica resultando uma operação mais silen ciosa O conjugado de partida deve ser sacrificado porque a escolha da capacitância é necessariamente um meiotermo entre os melhores valores de partida e de funciona mento A característica resultante de conjugado versus velocidade e um diagrama esquemático estão dados na Figura 95 N de T Também denominado capacitor de marcha c 00 100 200 300 400 20 40 60 Velocidade síncrona Conjugado 80 100 Velocidade de chaveamento Enrolamentos principal e auxiliar a b Enrolamento principal Vˆ Î Îaux C Enrolamento auxiliar Chave Îprincipal Îaux Vˆ Î Îprincipal Enrolamento principal apenas Figura 94 Motor com partida a capacitor a conexões b diagrama fasorial na partida e c característica típica de conjugado versus velocidade 516 Máquinas elétricas Se forem usados dois capacitores um de partida e um de trabalho podemse obter teoricamente desempenhos ótimos de partida e de trabalho Uma maneira de se conseguir esse resultado está mostrado na Figura 96a O pequeno valor de capacitân cia necessário para as condições ótimas de trabalho é ligado de modo permanente em série com o enrolamento auxiliar e o valor bem mais elevado necessário na partida é obtido com um capacitor ligado em paralelo com o capacitor de trabalho por meio de uma chave que abre quando o motor atinge a velocidade de trabalho Tal motor é conhecido como motor com capacitores de partida e de trabalho Em motores com partida a capacitor a capacitância tem um valor típico de 300 μF para um motor de 500 W Como deve conduzir corrente apenas durante a par tida o capacitor é de um tipo eletrolítico compacto especial para ser usado na partida de motores de corrente alternada O capacitor permanente para o mesmo motor tem um valor típico de 40 μF e como opera continuamente o capacitor é um tipo CA de papel e óleo O custo dos vários tipos de motores está relacionado com o desempe nho o motor de partida a capacitor tem o menor custo a seguir vem o motor de fase dividida com capacitor permanente e por fim o de custo mais elevado que é o motor com capacitores de partida e de trabalho 0 0 100 200 20 40 60 Velocidade síncrona b a Conjugado 80 100 Enrolamento principal Vˆ Î Enrolamento auxiliar Figura 95 Motor de fase dividida com capacitor permanente e característica típica de conju gado versus velocidade 00 100 200 300 20 40 60 Velocidade síncrona b a Conjugado 80 100 Enrolamento principal Î Enrolamento auxiliar Chave Capacitor de partida Capacitor de trabalho Velocidade de chaveamento Vˆ Figura 96 Motor com capacitores de partida e de trabalho e a característica típica de conjugado versus velocidade 518 Máquinas elétricas 923 Motores de indução de polos sombreados Como está ilustrado esquematicamente na Figura 97a o motor de indução de polos sombreados tem normalmente polos salientes com uma porção de cada polo envolvi da por uma espira de cobre em curtocircuito denominada de bobina de arraste ou de sombreamento As correntes induzidas na bobina de arraste fazem com que o fluxo presente na porção sombreada do polo fique atrasado em relação ao fluxo da outra porção O resultado é similar a um campo girante que se move no sentido que vai da porção não sombreada para a porção sombreada do polo correntes são induzidas no rotor de gaiola e um baixo conjugado de partida é produzido A Figura 97b mostra uma característica típica de conjugado versus velocidade O rendimento é baixo mas os motores de polos sombreados são o tipo mais barato de motor de potência fracio nária Encontramse disponíveis com potências nominais de até cerca de 50 W 924 Motores síncronos de relutância com partida própria Qualquer um dos tipos de motores de indução descritos acima pode se tornar um mo tor síncrono de relutância com partida própria Qualquer coisa que faça a relutância de entreferro tornarse uma função da posição angular do rotor em relação ao eixo da bobina de estator produzirá um conjugado de relutância quando o motor estiver girando na velocidade síncrona Por exemplo suponha que alguns dos dentes de um rotor de gaiola sejam removidos deixando intactas as barras e os anéis de terminação como em um motor de indução comum de gaiola A Figura 98a mostra uma chapa de um rotor desse tipo projetado para ser usado com um estator de quatro polos O estator pode ser polifásico ou qualquer um dos tipos monofásicos descritos acima O motor partirá como um motor de indução e com cargas leves aumentará de velocidade até atingir um valor pequeno de escorregamento O conjugado de relutân cia surge da tendência do rotor a tentar se alinhar ele próprio na posição de relutância mínima em relação à onda de fluxo no entreferro a qual gira sincronicamente para frente progressiva de acordo com os princípios discutidos no Capítulo 3 Para um pequeno escorregamento esse conjugado troca lentamente de sentido o rotor é acele rado durante um semiciclo positivo da variação de conjugado e desacelerado durante o semiciclo negativo seguinte Se o momento de inércia do rotor e sua carga mecânica forem suficientemente pequenos o rotor irá se acelerar indo da velocidade de escorre gamento até a velocidade síncrona durante um semiciclo de aceleração do conjugado 0 20 40 60 80 100 0 100 200 Conjugado Velocidade síncrona b a Enrolamento principal Bobina de arraste Rotor de gaiola Î Vˆ Figura 97 Motor de indução de polos sombreados e a característica típica de conjugado versus velocidade Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 519 de relutância Então o rotor entrará em sincronismo e continuará funcionando na velo cidade síncrona A presença de qualquer onda retrógrada de fluxo que gire para trás no estator produzirá oscilações de conjugado e perdas adicionais mas o funcionamento síncrono será mantido desde que o conjugado de carga não seja excessivo Uma característica típica de conjugado versus velocidade de um motor síncrono de relutância com partida por fase dividida está mostrada na Figura 98b Observe os altos valores de conjugado do motor de indução A razão disso é que para obter as ca racterísticas satisfatórias de um motor síncrono constatouse que era necessário cons truir os motores síncronos de relutância em estruturas que eram adequadas para motores de indução de duas ou três vezes as suas potências nominais como motores síncronos Observe também que o efeito principal do rotor de polos salientes sobre a característica do motor de indução ocorre com o rotor parado Nesse caso um considerável cogging é evidente isto é o conjugado depende consideravelmente da posição do rotor 925 Motores de histerese O fenômeno de histerese pode ser usado para produzir conjugado mecânico Em sua forma mais simples o rotor de um motor de histerese é um cilindro liso de aço mag neticamente duro sem enrolamentos nem dentes Ele é colocado no interior de um es tator ranhurado tendo enrolamentos distribuídos que foram projetados para produzir tão aproximadamente quanto possível uma distribuição de fluxo senoidal espacial N de T Cogging é um termo que descreve uma forma peculiar de ocorrer a rotação do eixo de um motor O leitor talvez já tenha tido a oportunidade de em um motor de pequeno porte girar o eixo com os dedos e sentir que a rotação não se dá de forma contínua e suave mas de forma irregular como se ocorresse em pequenos saltos de forma intermitente Essa forma peculiar de ocorrer a rotação denominase cogging Enrolamentos principal e auxiliar 600 500 400 300 200 100 0 0 20 40 60 80 100 Conjugado Velocidade síncrona b a Varia com a posição de partida do rotor Enrolamento principal apenas Velocidade de chaveamento Figura 98 Perfuração das chapas do rotor de um motor síncrono de relutância de quatro po los e a característica típica de conjugado versus velocidade 520 Máquinas elétricas já que flutuações na onda de fluxo aumentam muito as perdas Nos motores monofá sicos os enrolamentos de estator em geral são do tipo de fase dividida com capacitor permanente como na Figura 95 O capacitor é escolhido de modo de que resulte uma configuração bifásica aproximadamente equilibrada nos enrolamentos do motor O estator produz então um campo no entreferro que consiste principalmente em uma fundamental espacial que está girando na velocidade síncrona As condições magnéticas instantâneas no entreferro e no rotor estão mostradas na Figura 99a para um estator de dois polos O eixo SS da onda de FMM do estator gira na velocidade síncrona Devido à histerese a magnetização do rotor está atrasada em relação à onda FMM de indução e portanto o eixo RR da onda de fluxo do rotor está atrasado em relação ao eixo da onda de FMM do estator de um ângulo de histe rese em atraso δ Figura 99a Quando o rotor está parado o conjugado de partida produzido é proporcional ao produto das componentes fundamentais da FMM do estator e do fluxo do rotor e ao seno do ângulo de conjugado δ Então se o conjugado de carga for inferior ao conjugado desenvolvido pelo motor o rotor será acelerado Enquanto o rotor estiver girando com velocidade inferior à síncrona cada região do rotor estará sujeita a um ciclo repetitivo de histerese na frequência de escorregamen to Enquanto o rotor é acelerado o ângulo de atraso δ permanecerá constante se o fluxo for constante porque o ângulo δ depende apenas do laço de histerese do material do rotor e é independente da taxa com a qual o laço é percorrido Portanto o motor desen volve conjugado constante até a velocidade síncrona como está mostrado na caracte rística ideal de conjugado versus velocidade da Figura 99b Essa particularidade é uma das vantagens do motor de histerese Em contraste com o motor de relutância que deve conduzir a sua carga até o sincronismo de acordo a curva característica de conjugado versus velocidade de um motor de indução um motor de histerese pode sincronizar qualquer carga que possa acelerar não importando o quanto a inércia é grande Depois de atingir o sincronismo o motor continua girando na velocidade síncrona e ajusta o ângulo de conjugado de modo a desenvolver o conjugado exigido pela carga δ ωs S S R R b a Rotor Estator Conjugado Velocidade síncrona 100 0 Figura 99 a Constituição geral do campo magnético no entreferro e no rotor de um motor de histerese b característica ideal de conjugado versus velocidade Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 521 O motor de histerese é inerentemente silencioso e produz rotação suave de sua carga Além disso o rotor tem o mesmo número de polos que o campo do estator O motor prestase ao funcionamento síncrono com velocidades múltiplas quando o esta tor for enrolado com diversos conjuntos de bobinas e utilizar conexões que permitam a troca de polos O motor de histerese pode acelerar e sincronizar cargas de inércia elevada porque seu conjugado é uniforme desde o repouso até a velocidade síncrona 93 Teoria do campo girante de motores de indução monofásicos Como foi discutido na Seção 91 podese mostrar que a onda de FMM do estator de um motor de indução monofásico é equivalente a duas ondas de FMM de amplitude constante que giram com velocidade síncrona em sentidos opostos Cada uma des sas ondas componentes da FMM do estator induz as suas próprias componentes de corrente no rotor e produz ação do tipo motor de indução exatamente como em um motor polifásico equilibrado Esse conceito de campo girante duplo não é útil apenas para uma visualização qualitativa mas também pode ser usado no desenvolvimento de uma teoria quantitativa aplicável a uma ampla variedade de tipos de motores de indução Não discutiremos toda a teoria quantitativa aqui1 Entretanto examinaremos o caso mais simples mas importante de um motor de indução monofásico que está funcionando apenas com o enrolamento principal Considere a situação em que o rotor está parado e apenas o enrolamento prin cipal do estator está excitado Então o motor é equivalente a um transformador com seu secundário em curtocircuito O circuito equivalente está mostrado na Figura 910a em que R1principal e X1principal são respectivamente a resistência e a reatância de dispersão do enrolamento principal Xmprincipal é a reatância de magnetização e R2principal e X2principal são os valores de repouso da resistência e da reatância de disper são do rotor parado referidas ao enrolamento principal do estator usando a relação de espiras adequada As perdas no núcleo omitidas aqui serão levadas em consideração mais tarde como se fossem perdas rotacionais A tensão aplicada é e a corrente do enrolamento principal é Îprincipal A tensão Êprincipal é a força contraeletromotriz gerada no enrolamento principal pela onda de fluxo pulsante estacionária de entreferro pro duzida pela ação combinada das correntes de estator e rotor De acordo com o conceito de campo girante duplo da Seção 91 a FMM do estator pode ser decomposta em campos que giram de forma progressiva e retrógrada ambos com metade da amplitude Com o rotor parado as amplitudes das ondas resul tantes progressiva e retrógrada do fluxo no entreferro são ambas iguais à metade da amplitude do campo pulsante Na Figura 910b a parte do circuito equivalente que representa os efeitos do fluxo no entreferro está dividida em duas partes iguais repre sentando os efeitos dos campos progressivo e retrógrado respectivamente Agora considere a situação depois que o motor atingiu a velocidade de traba lho por meio de algum método auxiliar e está funcionando apenas com o enrolamento principal no sentido do campo progressivo com um escorregamento s por unidade As correntes de rotor induzidas pelo campo progressivo têm a frequência de escorrega 1 Para um tratamento extensivo dos motores monofásicos veja por exemplo C B Veinott Fractional and SubfractionalHorsepower Electric Motors McGrawHill New York 1970 522 Máquinas elétricas mento sfe em que fe é a frequência elétrica aplicada ao estator Exatamente como em qualquer motor polifásico com um rotor simétrico polifásico ou gaiola de esquilo essas correntes de rotor produzem uma onda progressiva de FMM que se desloca para frente na velocidade de escorregamento em relação ao rotor e portanto na velocidade síncrona em relação ao estator A FMM resultante das ondas progressivas do estator e do rotor cria uma onda resultante progressiva de fluxo no entreferro que gera uma força contra eletromotriz Êprincipalf no enrolamento principal do estator O efeito refletido do rotor visto do estator é semelhante àquele de um motor polifásico e pode ser representado por uma impedância 05 R2principals j05X2principal em paralelo com j05Xmprincipal como na porção do circuito equivalente da Figura 910c indicada por f Os fatores 05 vêm da decomposição da FMM pulsante de estator em componentes progressiva e retrógrada Agora considere a situação em relação ao campo retrógrado Enquanto o motor continua girando com um escorregamento s em relação ao campo progressivo seu escorregamento em relação ao campo retrógrado é 2 s O campo retrógrado induz então correntes de rotor cuja frequência é 2 s fe Para pequenos escorregamentos essas correntes de rotor têm quase o dobro da frequência do estator Para escorregamentos de pequeno valor as correntes do rotor consistirão em uma componente de alta frequência causada pelo campo retrógrado superposta a uma componente de baixa frequência causada pelo campo progressivo Vista do es tator a onda de FMM do rotor devido à corrente de rotor induzida pelo campo re trógrado deslocase na velocidade síncrona mas no sentido retrógrado O circuito equivalente que representa essas reações internas do ponto de vista do estator é como o de um motor polifásico cujo escorregamento é 2 s como está mostrado na porção do circuito equivalente Figura 910c indicada por b Como no caso do campo progressivo os fatores de 05 originamse da decomposição da FMM pulsante do estator em componentes progressiva e retrógrada A tensão Êprincipalb na combinação R1principal X1principal X2 Xmprincipal R2 R1principal Îprincipal Îprincipal Êprincipalf Êprincipalf 05 Zf Êprincipalb 05 Zb Êprincipalb X1principal R1principal X1principal 05 X2 05 X2 05 R2 05 R2 05 Xmprincipal 05 Xmprincipal 05 Xmprincipal 05 Xmprincipal 05 R2 f b 05 X2 05 R2 a b 05 X2 c f b s 2 s Vˆ Vˆ Vˆ Îprincipal Êprincipal Figura 910 Circuitos equivalentes de um motor de indução monofásico a rotor bloqueado b rotor bloqueado mostrando os efeitos dos campos progressivo e retrógrado c condições normais de funcionamento Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 523 em paralelo que representa o campo retrógrado é a força contraeletromotriz gerada no enrolamento principal do estator pelo campo retrógrado resultante Usando o circuito equivalente da Figura 910c a corrente de estator a potência de entrada e o fator de potência podem ser calculados para qualquer valor escolhido de escorregamento quando a tensão aplicada e as impedâncias do motor são conheci das Para simplificar a notação sejam 94 e 95 Do ponto de vista do enrolamento monofásico principal do estator as impedâncias que representam as reações dos campos progressivo e retrógrado são 05Zf e 05Zb respectivamente na Figura 910c O exame do circuito equivalente Figura 910c confirma a conclusão obtida por raciocínio qualitativo na Seção 91 Figura 92b de que a onda progressiva de fluxo no entreferro cresce e a onda retrógrada diminui quando o rotor é colocado em movimento Quando o motor está funcionando com um escorregamento pequeno o efeito refletido da resistência do rotor sobre o campo progressivo 05R2principals é muito maior do que seu valor com o rotor parado ao passo que o respectivo efeito no campo retrógrado 05R2principal2 s é menor Portanto a impedância do campo progressivo é maior do que seu valor com o rotor parado ao passo que a do campo retrógrado é menor A força contraeletromotriz do campo progressivo Êprincipalf por tanto é maior do que com o rotor parado ao passo que a força contraeletromotriz do campo retrógrado Êprincipalb é menor isto é a onda progressiva de fluxo cresce ao passo que a onda retrógrada de fluxo decresce A potência e o conjugado mecânicos podem ser calculados aplicando as rela ções de conjugado e potência desenvolvidas para os motores polifásicos no Capítu lo 6 Os conjugados produzidos por cada um dos campos progressivo e retrógrado podem ser tratados dessa maneira As interações entre as ondas girantes opostas de fluxo e de FMM produzem pulsações de conjugado com o dobro da frequência do estator mas nenhum conjugado médio é produzido Como na Eq 626 o conjugado eletromagnético Tprincipalf do campo progressi vo em newtonsmetros é igual a 1ωs vezes a potência Pentreferrof em watts entregue pelo enrolamento do estator ao campo progressivo onde ωs é a velocidade angular síncrona em radianos mecânicos por segundo e assim 96 Quando a impedância de magnetização é tratada como puramente indutiva Pentreferrof é a potência absorvida pela impedância 05Zf isto é Pentreferrof I 2principal05Rf 97 em que Rf é a componente resistiva da impedância do campo progressivo definida na Eq 94 526 Máquinas elétricas Supondo que as perdas no núcleo possam ser combinadas com as perdas por atrito e ventilação as perdas rotacionais tornamse 24 13 37 W e a potência de saída no eixo é a diferença Assim Peixo 184 37 147 W 0197 HP Da Eq 442 a velocidade síncrona em rads é dada por ou em termos de rpm da Eq 444 e ωm 095 1885 179 rads O conjugado pode ser obtido da Eq 914 e o rendimento é A título de verificação da contabilidade da potência calcule as perdas De Pentrada Peixo as perdas totais são iguais a 97 W o que está correto dentro da precisão dos cálculos Problema prático 92 Suponha que o motor do Exemplo 92 esteja operando com um escorregamento de 0065 em tensão e frequência nominais Determine a a corrente de estator e o fator de potência e b a potência de saída Solução a 40 A fator de potência 070 atrasado b 190 W Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 527 A análise da ordem de magnitude dos valores numéricos do Exemplo 92 su gere aproximações que em geral podem ser feitas Essas aproximações relacionam se em especial com a impedância do campo retrógrado Observe que a impedância 05Rb j Xb é apenas cerca de 5 da impedância total do motor para um escorre gamento próximo da carga total Logo uma aproximação tão grande quanto 20 dessa impedância causaria apenas cerca de 1 de erro na corrente do motor Embora estritamente falando a impedância do campo retrógrado seja uma função do escorre gamento normalmente um erro muito baixo resulta quando se calcula seu valor para qualquer escorregamento conveniente dentro da região normal de funcionamento por exemplo 5 e então supõese que Rb e Xb sejam constantes Correspondendo a uma aproximação ligeiramente maior o efeito do ramo em derivação jXmprincipal sobre a impedância do campo retrógrado pode ser frequente mente desprezado obtendose 915 Essa equação dá valores de resistência para o campo retrógrado que são uns poucos por cento maiores como se pode ver fazendo uma comparação com a ex pressão exata dada no Exemplo 92 Se s fosse desprezado na Eq 915 ela tenderia a fornecer valores baixos demais de resistência de campo retrógrado e portanto tal aproximação tenderia a contrabalançar o erro na Eq 915 Assim para pequenos es corregamentos 916 Em um motor polifásico Seção 65 o conjugado interno máximo e o escorre gamento com o qual isso ocorre podem ser expressos facilmente em termos dos parâ metros do motor O conjugado interno máximo não depende da resistência do rotor No caso de um motor monofásico tal expressão simples não existe O problema mo nofásico é muito mais complexo devido à presença do campo retrógrado Seus efeitos são duplos 1 ele absorve parte da tensão aplicada reduzindo assim a tensão dispo nível para o campo progressivo e diminuindo o conjugado progressivo desenvolvido e 2 o campo retrógrado produz conjugado negativo reduzindo o conjugado efetivo desenvolvido Ambos os efeitos dependem da resistência do motor e da reatância de dispersão Consequentemente ao contrário do motor polifásico o conjugado interno máximo de um motor monofásico é influenciado pela resistência do rotor O aumento da resistência do rotor diminui o conjugado máximo e aumenta o escorregamento para o qual ocorre o conjugado máximo Devido principalmente aos efeitos do campo retrógrado o motor de indução monofásico é um tanto inferior a um motor polifásico que usa o mesmo rotor e o mesmo núcleo de estator O motor monofásico tem um conjugado máximo menor o qual ocorre para um escorregamento menor Para o mesmo conjugado o motor mo nofásico tem um escorregamento mais elevado e perdas maiores causadas em grande parte pelas perdas I2R do campo retrógrado no rotor A potência aparente de entra da do motor monofásico é maior principalmente devido às potências ativa e reativa consumidas pelo campo retrógrado As perdas I2R do estator também são maiores no motor monofásico porque uma fase e não diversas deve suportar toda a corrente 528 Máquinas elétricas Devido às perdas maiores o rendimento é menor e a elevação de temperatura para um mesmo conjugado é maior Uma carcaça de maior tamanho deve ser usada em um motor monofásico do que em um motor polifásico de mesma potência e velocidade nominais Devido à carcaça maior o conjugado máximo pode se tornar comparável ao de um motor polifásico fisicamente menor mas de igual potência nominal Apesar do tamanho maior da carcaça e da necessidade de configurações auxiliares de partida um motor monofásico para uso geral dentro das especificações padrões nominais de potência fracionária custa aproximadamente o mesmo que o respectivo motor polifá sico devido ao volume muito maior de fabricação do primeiro 94 Motores de indução bifásicos Como vimos na realidade a maioria dos motores monofásicos de indução é construída na forma de motores bifásicos com dois enrolamentos de estator em quadratura no espa ço Geralmente os enrolamentos principal e auxiliar são bem distintos com diferenças no número de espiras espessura do fio e distribuição das espiras Essa diferença em com binação com o capacitor que costuma ser usado em série com o enrolamento auxiliar garante que as FMMs produzidas pelas correntes dos dois enrolamentos serão bem dese quilibradas no máximo elas poderão estar equilibradas em apenas um ponto específico de operação Desse modo vamos discutir diversas técnicas analíticas para motores bifá sicos tanto para ampliar a compreensão e o insight do desempenho das máquinas como também para desenvolver técnicas de análise para motores monofásicos e bifásicos Sob condições equilibradas de operação um motor bifásico simétrico pode ser analisado usando as técnicas desenvolvidas no Capítulo 6 para motores trifásicos depois de modificálas ligeiramente para levar em consideração o fato de que há duas fases em vez de três Nesta seção discutiremos primeiro uma técnica que pode ser usada para analisar um motor bifásico simétrico que está operando em condições desequilibradas de funcionamento A seguir deduziremos formalmente um modelo analítico de motor assimétrico bifásico que pode ser aplicado ao caso geral de mo tores monofásicos que estejam operando com os enrolamentos principal e auxiliar 941 Operação desequilibrada de máquinas bifásicas simétricas o conceito de componentes simétricas Quando está funcionando apenas com o enrolamento principal o motor monofási co é o caso extremo de um motor que está operando com a corrente de estator em condições desequilibradas Em alguns casos tensões ou correntes desequilibradas são produzidas na rede de alimentação de um motor por exemplo quando um fusí vel de linha se abre Em outros casos tensões desequilibradas são produzidas pelas impedâncias de partida de motores monofásicos como foi descrito na Seção 92 O objetivo desta seção é desenvolver a teoria das componentes simétricas de motores de indução bifásicos a partir do conceito de campo girante duplo e mostrar como a teoria pode ser aplicada a diversos problemas que envolvem motores de indução que têm dois enrolamentos em quadratura espacial no estator A título de revisão considere primeiro o que acontece quando tensões bifásicas equilibradas são aplicadas aos terminais de estator de uma máquina bifásica que tem Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 529 um entreferro uniforme um rotor simétrico polifásico ou de gaiola e dois enrolamentos idênticos de estator α e β em quadratura no espaço As correntes de estator são de mesmo valor e estão em quadratura no tempo Quando a corrente no enrolamento α está em seu máximo instantâneo a corrente no enrolamento β é zero e a onda de FMM do estator está centrada no eixo do enrolamento β De modo semelhante a onda de FMM do estator está centrada no eixo do enrolamento β no instante em que a corrente no enrolamento β está em seu máximo instantâneo Portanto a onda de FMM do estator deslocase 90 graus elétricos no espaço em um intervalo de tempo correspondente a uma variação de fase na tensão aplicada de 90 sendo que o sentido do seu deslocamento depende da sequência de fase das correntes Uma análise mais completa como a da Seção 45 mostra que a onda em deslocamento tem amplitude e velocidade angular constantes Naturalmente esse fato é a base da teoria do funcionamento equilibrado das máquinas de indução O comportamento do motor pode ser determinado facilmente quando são aplica das tensões bifásicas equilibradas de uma ou outra das sequências de fase Assim se o rotor estiver girando com um escorregamento s no sentido que vai do enrolamento α para o enrolamento β a impedância de terminal por fase é dada pelo circuito equi valente da Figura 911a quando a tensão aplicada está atrasada em relação à tensão aplicada de 90 Até o final desta discussão essa sequência de fase será denominada sequência positiva e será designada pelo índice f já que correntes com uma sequên cia positiva de fases resultam em um campo progressivo Com o rotor ainda girando com a mesma velocidade e no mesmo sentido a impedância de terminal por fase é dada pelo circuito equivalente da Figura 911b quando está adiantada em relação a de 90 Essa sequência de fase é denominada sequência negativa e é designada pelo índice b já que as correntes com sequência negativa produzem um campo retrógrado Suponha agora que duas fontes de tensão bifásicas e equilibradas de sequên cias opostas de fases sejam conectadas em série e aplicadas simultaneamente ao mo tor da forma que está indicada na Figura 912a em que as tensões fasoriais e aplicadas respectivamente aos enrolamentos α e β formam um sistema equilibrado de sequência positiva e as tensões fasoriais e formam outro sistema equili brado mas de sequência negativa A tensão resultante Vα aplicada ao enrolamento α é como fasor 917 e aquela aplicada ao enrolamento β é 918 R1 X1 X2 Vbˆ R2 2 s b R1 X1 X2 Vfˆ Zf Xm R2 s a Zb Xm Figura 911 Circuitos equivalentes monofásicos para um motor bifásico sob condições dese quilibradas a campo progressivo e b campo retrógrado 530 Máquinas elétricas A Figura 912b mostra um diagrama fasorial generalizado em que o sistema progressivo ou de sequência positiva é dado pelos fasores e e o sistema retrógrado ou de sequência negativa é dado pelos fasores e Em geral as tensões resultantes dadas pelos fasores e não são iguais nem em valor nem em quadratura de tempo Dessa discussão vemos que um sistema bifásico desequilibrado com tensões aplicadas Vα e Vβ pode ser sintetizado combinando dois conjuntos de tensões equilibradas com sequências de fase opostas No entanto é muito mais fácil trabalhar com os sistemas de componentes simétricas do que com o sistema desequilibrado que resulta deles Assim é fácil calcular as componentes de corrente que são produzidas pelas tensões aplicadas por cada um dos sistemas de componentes simétricas porque o motor de indução funciona como um motor bifásico equilibrado para cada um dos sistemas de com ponentes Por superposição a corrente real em um enrolamento será então a soma de suas componentes Assim se Îf e Îb forem respectivamente as componentes fasoriais de corrente das sequências positiva e negativa no enrolamento α então as respectivas correntes fasoriais componentes das sequências positiva e negativa no enrolamento β serão respectivamente jÎf e jÎb e as correntes reais de enrolamen to Îα e Îβ serão Îα Îf Îb 919 Îβ jÎf jÎb 920 Frequentemente devese realizar a operação inversa de encontrar as compo nentes simétricas das tensões ou correntes especificadas Resolvendo as Eqs 917 e 918 para se obter as componentes fasoriais e em termos das tensões fasoriais conhecidas e obtêmse 921 Vαˆ Vβˆ jVbˆ jVfˆ jVbˆ Vbˆ Vfˆ Vαˆ Vβˆ jVfˆ Vfˆ Vbˆ Îα Îβ β a b f b 90 90 α Figura 912 Síntese de um sistema bifásico desequilibrado a partir da soma de dois sistemas equilibrados com sequências de fase opostas Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 531 922 Essas operações estão ilustradas no diagrama fasorial da Figura 913 Obvia mente relações similares fornecem as componentes fasoriais simétricas Îf e Îb da corrente no enrolamento α em termos das correntes fasoriais especificadas Îm e Îa nas duas fases Assim 923 924 Exemplo 93 Os parâmetros em ohms por fase do circuito equivalente de um motor de indução de 5 HP 220 V 60 Hz quatro polos bifásico e de gaiola de esquilo são R1 0534 X1 245 Xm 701 R2 0956 X2 296 Esse motor é operado a partir de uma fonte bifásica desequilibrada de 60 Hz cujas ten sões de fase são respectivamente 230 V e 210 V e a tensão menor está adiantada em relação à maior de 80 Para um escorregamento de 005 encontre a as componentes de sequências positiva e negativa das tensões aplicadas b as componentes de sequências positiva e negativa das correntes de fase do estator c os valores efetivos das correntes de fase e d a potência interna mecânica Solução Resolveremos esse problema usando MATLAB3 a Sejam e as tensões aplicadas às duas fases respectivamente Então 3 MATLAB é uma marca registrada da The MathWorks Inc jVβˆ jVβˆ Vβˆ Vαˆ Vbˆ Vfˆ Figura 913 Decomposição de tensões bifásicas desequilibradas em duas componentes simétricas 532 Máquinas elétricas Das Eqs 921 e 922 as componentes progressiva e retrógrada de tensão são respec tivamente b Devido à facilidade com que o MATLAB manipula números complexos não há ne cessidade de usar aproximações tais como as deduzidas no Exemplo 92 Pelo contrá rio as impedâncias de entrada dos campos progressivo e retrógrado do motor podem ser calculadas a partir dos circuitos equivalentes das Figuras 911a e b Dividindo a tensão do campo progressivo pela impedância de entrada do campo progressivo obtémse De modo semelhante dividindo a tensão do campo retrógrado pela impedância de entra da do campo retrógrado obtémse c As correntes de enrolamento podem ser calculadas a partir das Eqs 919 e 920 conforme Îα Îf Îb 130 j78 152 310 A 925 Îβ jÎf jÎb 48 j56 74 491 A 926 Observe que as correntes no enrolamento estão muito mais desequilibradas do que as tensões aplicadas Mesmo que o motor não esteja sobrecarregado em termos da carga no eixo as perdas são aumentadas consideravelmente pelo desequilíbrio de correntes e o enrolamento de estator pode superaquecer com uma corrente mais elevada d A potência entregue no entreferro pelo campo progressivo é igual à potência de entrada do circuito equivalente do campo progressivo menos as respectivas perdas no estator em que o fator 2 é usado para levar em consideração o fato de que se trata de um motor bifásico De modo semelhante a potência entregue ao campo retrógrado é Aqui o símbolo Re indica a parte real de um número complexo e o símbolo indica o conjugado complexo Finalmente da Eq 914 a potência mecânica interna desenvolvida é igual a 1 s vezes a potência total no entreferro ou seja Pmec 1 sPentreferrof Pentreferrob 3927 W Se as perdas por atrito e ventilação as suplementares e as no núcleo forem conhe cidas a saída no eixo poderá ser obtida subtraindoas da potência interna As perdas por atrito e ventilação dependem somente da velocidade e são iguais às que seriam obtidas no caso de funcionamento equilibrado na mesma velocidade Entretanto as perdas no núcleo e as suplementares são um tanto maiores do que as obtidas no caso de funcio namento equilibrado usando a mesma tensão e a mesma corrente de sequência positiva Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 533 O aumento devese principalmente às perdas no núcleo e às suplementares causadas no rotor pelo campo retrógrado com a frequência 2 s Aqui está o script de MATLAB clc clear Constantes úteis f 60 Sistema de 60 Hz omega 2pif s 005 Escorregamento Parâmetros R1 0534 X1 245 Xm 701 R2 0956 X2 296 Tensões de enrolamento Valpha 230 Vbeta 210 expj80pi180 a Calcule Vf e Vb das Equações 921 e 922 Vf 05Valpha jVbeta Vb 05Valpha jVbeta magVf absVf angleVf angleVf180pi magVb absVb angleVb angleVb180pi fprintf a fprintf Vf 1f j 1f 1f no ângulo de 1f graus V realVfimagVfmagVfangleVf fprintf Vb 1f j 1f 1f no ângulo 1f graus V realVbimagVbmagVbangleVb b Primeiro calcule a impedância de entrada do campo progressivo do motor a partir do circuito equivalente da Figura 912 a Zf R1 jX1 jXmR2sjX2R2sjX2Xm Agora calcule a corrente do campo progressivo If VfZf magIf absIf angleIf angleIf180pi 534 Máquinas elétricas A seguir calcule a impedância de entrada do campo retrógrado do motor a partir da Figura 912 b Zb R1 jX1 jXmR22sjX2R22sjX2Xm Agora calcule a corrente do campo retrógrado Ib VbZb magIb absIb angleIb angleIb180pi fprintf b fprintf If 1f j 1f 1f no ângulo de 1f graus A realIfimagIfmagIfangleIf fprintf Ib 1f j 1f 1f no ângulo de 1f graus A realIbimagIbmagIbangleIb c Calcule as correntes de enrolamento das Equações 919 e 920 Ialpha If Ib Ibeta jIf Ib magIalpha absIalpha angleIalpha angleIalpha180pi magIbeta absIbeta angleIbeta angleIbeta180pi fprintf c fprintf Ialpha 1f j 1f 1f no ângulo de 1f graus A realIalphaimagIalphamagIalphaangleIalpha fprintf Ibeta 1f j 1f 1f no ângulo de 1f graus A realIbetaimagIbetamagIbetaangleIbeta d A potência entregue ao campo progressivo é igual à potência entregue ao campo progressivo menos as perdas I2R no enrolamento de estator Pgf 2realVfconjIf R1magIf2 A potência entregue ao campo retrógrado é igual à potência entregue ao campo retrógrado menos as perdas I2R no enrolamento de estator Pgb 2realVbconjIb R1magIb2 A potência eletromagnética é igual a 1s vezes a potência líquida de entreferro Pmech 1sPgf Pgb Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 535 fprintf d fprintf Potência entregue ao campo progressivo 1f WPgf fprintf Potência entregue ao campo retrógrado 1f WPgb fprintf Pmec 1f W Pmech fprintf Problema prático 93 Para o motor do Exemplo 93 use MATLAB para plotar a potência mecânica interna em fun ção do escorregamento quando este varia de s 004 até s 005 com as mesmas tensões desequilibradas que foram usadas no exemplo Com os mesmos eixos usando linhas traceja das plote a potência mecânica interna para tensões bifásicas equilibradas de 220 V e 90 de defasagem Solução Pmec W 4000 3900 3800 3700 3600 Linha tracejada tensões equilibradas Linha contínua tensões desequilibradas 3500 3400 3300 3200 004 0042 0044 0046 0048 escorregamento 005 0052 005 Figura 914 Plotagem de MATLAB para o Problema prático 93 942 O caso geral máquinas de indução bifásicas assimétricas Como discutimos um motor de indução monofásico com um enrolamento princi pal e outro auxiliar é um exemplo de motor de indução bifásico assimétrico Nesta seção desenvolveremos um modelo para esse motor bifásico usando uma notação apropriada ao motor monofásico Vamos supor como é comum nesse caso que os eixos magnéticos dos enrolamentos estejam em quadratura espacial mas que sejam assimétricos no sentido de que podem ter um número diferente de espiras uma distri buição diferente de enrolamentos e assim por diante 536 Máquinas elétricas Nossa abordagem analítica consiste em representar o rotor por um enrolamento equivalente bifásico como está mostrado esquematicamente na Figura 915 e come çar com as relações existentes entre o fluxo concatenado e a corrente para o rotor e o estator dadas por 927 em que θme é o ângulo do rotor medido em radianos elétricos Lprincipal Indutância própria do enrolamento principal Laux Indutância própria do enrolamento auxiliar Lr Indutância própria dos enrolamentos equivalentes do rotor Lprincipalr1θme Indutância mútua entre o enrolamento principal e o enrola mento equivalente 1 do rotor Lprincipalr2θme Indutância mútua entre o enrolamento principal e o enrola mento equivalente 2 do rotor Lauxr1θme Indutância mútua entre o enrolamento auxiliar e o enrolamento 1 do rotor Lauxr2θme Indutância mútua entre o enrolamento auxiliar e o enrolamento 2 do rotor principal aux r1 θme r2 Rotor Estator Figura 915 Representação esquemática de um motor de indução bifásico com um rotor bifá sico equivalente Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 537 Supondo uma distribuição senoidal de fluxo no entreferro as indutâncias mútu as entre o enrolamento principal e o rotor serão da forma Lprincipalr1θme Lprincipalr cos θme 928 e Lprincipalr2θme Lprincipalr sen θme 929 em que Lprincipalr é a amplitude da indutância mútua As indutâncias mútuas envolvendo o enrolamento auxiliar serão da mesma for ma com exceção de que o enrolamento auxiliar encontrase deslocado de 90 elétri cos no espaço em relação ao enrolamento principal Desse modo podemos escrever Lauxr1θme Lauxr sen θme 930 e Lauxr2θme Lauxr cos θme 931 Observe que normalmente o enrolamento auxiliar tem um número diferente de espiras e talvez uma distribuição diferente de enrolamento do que o enrolamento principal Assim para os propósitos de modelagem em geral é mais conveniente escrever Lauxr a Lprincipalr 932 em que 933 De modo semelhante se escrevermos a indutância mútua do ramo de magne tização como a soma de uma indutância de dispersão Lprincipal1 e uma indutância de magnetização Lm dada por Lprincipal Lprincipall Lm 934 então a indutância mútua do enrolamento auxiliar poderá ser escrita na forma Laux Lauxl a2 Lm 935 As equações de tensão dessa máquina podem ser escritas em termos das corren tes de enrolamento e dos fluxos concatenados como 936 937 938 939 538 Máquinas elétricas em que Rprincipal Raux e Rr são as resistências dos enrolamentos principal auxiliar e do rotor respectivamente Observe que as tensões dos enrolamentos do rotor são igua ladas a zero porque em um motor de indução esses enrolamentos estão internamente em curtocircuito Quando se modela um motor de indução de fase dividida Seção 921 os enro lamentos principal e auxiliar são simplesmente ligados em paralelo e assim vprincipal e vaux tornamse ambas iguais à tensão de alimentação monofásica quando se dá a partida do motor Depois que o enrolamento auxiliar é desligado a corrente do enrola mento auxiliar é zero e o motor é representado por um modelo de ordem reduzida que inclui apenas o enrolamento principal e os dois enrolamentos equivalentes de rotor Quando os vários motores com capacitor da Seção 922 são modelados as equações de circuito devem levar em consideração o fato de que um capacitor é inse rido entre a fonte e os terminais do enrolamento auxiliar ao passo que o enrolamento principal está conectado diretamente à alimentação monofásica Dependendo do tipo de motor que está sendo modelado o enrolamento auxiliar pode ou não ser desconec tado quando o motor atinge a velocidade de trabalho Finalmente as técnicas da Seção 35 podem ser usadas para mostrar que o con jugado eletromagnético deste motor pode ser escrito como 940 em que θm 2polosθme é o ângulo do rotor em radianos De modo semelhante ao desenvolvimento dos circuitos equivalentes deduzidos no Capítulo 6 para as máquinas de indução polifásicas e anteriormente neste capítulo para as máquinas monofásicas a dedução das equações desta seção pode ser levada mais adiante supondo um funcionamento em regime permanente com uma velocida de mecânica constante ωme correspondendo a um escorregamento s e uma fonte com frequência elétrica ωe Consistente com essa suposição as correntes do rotor terão frequências ωr ωe ωme sωe produzida pelo campo de sequência positiva do estator e ωr ωe ωme 2 sωe produzida pelo campo de sequência negativa do estator Depois de uma considerável manipulação algébrica que inclui o uso das Eqs 938 e 939 para eliminar as correntes do rotor as relações entre os fluxos con catenados e as correntes dos enrolamentos principal e auxiliar da Eq 927 podem ser escritas como equações fasoriais 941 e 942 Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 539 em que 943 e 944 De modo semelhante as equações de tensão Eqs 936 e 937 tornamse 945 946 As correntes de rotor consistem cada uma em componentes das sequências po sitiva e negativa As amplitudes complexas das componentes de sequência positiva na frequência sωe são dadas por 947 e 948 ao passo que as amplitudes complexas das componentes de sequência negativa na frequência 2 sωe são dadas por 949 e 950 Finalmente depois de uma cuidadosa manipulação algébrica podese mostrar que o conjugado eletromagnético médio no tempo é dado por 951 em que o símbolo Re indica novamente a parte real de um número complexo e o símbolo indica o conjugado complexo Observe que a Eq 951 é deduzida supondo que as diversas correntes são expressas em grandezas eficazes Exemplo 94 Considere o caso de um motor bifásico simétrico como o discutido na Seção 941 Nesse caso as Eqs 927 a 939 simplificamse quando as indutâncias próprias e mútuas e as resistências 540 Máquinas elétricas são iguais nos dois enrolamentos Usando a notação da Seção 941 com α e β substituindo principal e aux as relações entre os fluxos concatenados e as correntes das Eqs 941 e 942 tornamse e as equações de tensão Eqs 945 e 946 tornamse Mostre que quando operado a partir de uma sequência positiva de tensões tal que o circuito equivalente monofásico é o circuito equivalente do campo progressivo sequência positiva da Figura 911a Solução A substituição das tensões de sequência positiva nas equações acima e a solução para a impe dância dá Essa equação pode ser reescrita como Fazendo Rα R1 Xα Xαr X1 Xαr Xm Xr Xαr X2 e Rr R2 vemos que essa equação representa de fato um circuito equivalente da forma da Figura 911a Problema prático 94 De forma análoga ao cálculo do Exemplo 94 mostre que quando está funcionando a partir de uma sequência negativa de tensões de modo que o circuito equivalente monofásico é o circuito equivalente do campo retrógrado sequência negativa da Figura 911b Solução Para uma sequência negativa a impedância Zα é igual a Como no Exemplo 94 podese mostrar que isso corresponde a um circuito equivalente da forma da Figura 911b Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 541 Exemplo 95 Um motor de indução monofásico de dois polos tem os seguintes parâmetros Ele opera com uma fonte monofásica de 230 V eficazes e 60 Hz funcionando como motor de fase dividida e capacitor permanente de 35 μF conectado em série com o enrolamento auxiliar Para obter a defasagem necessária de corrente no enrolamento auxiliar os enrolamentos devem ser conectados com as polaridades mostradas na Figura 916 O motor tem perdas rotacionais de 40 W e de 105 W no núcleo Considere que o motor está operando a 3500 rpm a Encontre as correntes da fonte de alimentação e dos enrolamentos principal e auxiliar além da tensão no capacitor b Encontre o conjugado eletromagnético médio no tempo e a potência de saída no eixo c Calcule a potência de entrada do motor e seu rendimento elétrico Observe que como as perdas no núcleo não são levadas em consideração de modo explícito no modelo de senvolvido nesta seção você pode simplesmente considerálas como uma componente adicional da potência de entrada d Plote o conjugado eletromagnético médio no tempo em função da velocidade desde o repouso até a velocidade síncrona Solução O MATLAB com a sua facilidade para manipular números complexos é ideal para resolver este problema a O enrolamento principal deste motor está ligado diretamente à fonte de tensão monofási ca Assim podemos fazer diretamente No entanto o enrolamento auxiliar está conectado à fonte de tensão monofásica por meio de um capacitor e sua polaridade encontrase invertida Assim devemos escrever em que a tensão do capacitor é dada por Îprincipal Iˆaux Îs Vsˆ VC ˆ Vprincipal ˆ Enrolamento principal Vaux ˆ Enrolamento auxiliar Figura 916 Conexões do motor de indução de fase dividida e capacitor permanente do Exemplo 95 542 Máquinas elétricas Aqui a impedância do capacitor Xc é igual a Fazendo substituindo essas expressões nas Eqs 945 e 946 e usando as Eqs 941 e 942 obtémse então a seguinte equação matricial para as corren tes dos enrolamentos principal e auxiliar em que e Os parâmetros e podem ser obtidos das Eqs 943 e 944 depois de encon trar o escorregamento por meio da Eq 61 Essa equação matricial pode ser resolvida facilmente usandose o MATLAB obtendose os resultados Îprincipal 159 376 A Îaux 520 1507 A e Îs 185 227 A O módulo da tensão do capacitor é b Usando MATLAB o conjugado eletromagnético médio no tempo pode ser encontrado a partir da Eq 951 obtendose Tmec 974 N m Então a potência no eixo pode ser encontrada subtraindose as perdas rotacionais Prot da potência de entreferro Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 543 c A potência de entrada do enrolamento principal pode ser obtida como e a potência que é fornecida ao enrolamento auxiliar incluindo o capacitor que não dissipa potência é dada por A potência total de entrada incluindose a potência das perdas no núcleo Pnúcleo é obtida como Pentrada Pprincipal Paux Pnúcleo 4041 W Finalmente o rendimento pode ser determinado como d A plotagem gerada pelo MATLAB de Tmec versus velocidade encontrase na Figura 917 Aqui está o script de MATLAB onde main referese ao enrolamento principal core ao núcleo speed à velocidade de rotação e in à entrada clc clear Parâmetros da fonte V0 230 omegae 120pi 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 00 500 1000 1500 2000 Velocidade rpm 2500 3000 3500 4000 Tmec Nm Figura 917 Conjugado eletromagnético médio no tempo versus velocidade para o motor de indução monofásico do Exemplo 95 544 Máquinas elétricas Parâmetros do motor poles 2 Lmain 0806 Rmain 058 Laux 0196 Raux 337 Lr 47e6 Rr 376e6 Lmainr 588e4 Lauxr 909e4 C 35e6 Xc 1omegaeC Prot 40 Pcore 105 Execute o programa duas vezes Se calcswitch chave de cálculo 1 então calcule apenas na velocidade de 3500 rpm Na segunda vez o programa fará a plotagem da parte d for calcswitch 12 if calcswitch 1 mmax 1 else mmax 101 end for m 1mmax if calcswitch 1 speedm 3500 else speedm 3599m1100 end Calcule o escorregamento ns 2poles3600 s nsspeedmns Parte a Calcule as várias constantes complexas Kplus K Kminus K Kplus somegae2Rr jsomegaeLr Kminus 2somegae2Rr j2somegaeLr A1 Lmain jLmainr2KplusKminus A2 LmainrLauxrKplusKminus A3 Laux jLauxr2KplusKminus Monte a matriz M11 Rmain jomegaeA1 M12 jomegaeA2 M21 jomegaeA2 M22 Raux jXc jomegaeA3 Aqui está o vetor de tensões V V0 V0 Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 545 Agora encontre a matriz de correntes I MV Imain I1 Iaux I2 Is ImainIaux magImain absImain angleImain angleImain180pi magIaux absIaux angleIaux angleIaux180pi magIs absIs angleIs angleIs180pi Tensão do capacitor Vcap IauxXc magVcap absVcap Parte b Tmech1 conjKplusKminus Tmech1 Tmech1Lmainr2ImainconjImainLauxr2IauxconjIaux Tmech2 jLmainrLauxrconjKplusKminus Tmech2 Tmech2conjImainIauxImainconjIaux Tmechm poles2realTmech1Tmech2 Pshaft 2poles1somegaeTmechmProt Parte c Pmain realV0conjImain Paux realV0conjIaux Pin PmainPauxPcore eta PshaftPin if calcswitch 1 fprintfParte a fprintf Iprincipal g A para o ângulo g grausmagImainangleImain fprintf Iaux g A para o ângulo g grausmagIauxangleIaux fprintf Ifonte g A para o ângulo g grausmagIsangleIs fprintf Vcap g V magVcap fprintf parte b fprintf Tmec g NmTmech fprintf Peixo g W Pshaft fprintf parte c fprintf Pprincipal g WPmain fprintf Paux g WPaux fprintf Pentrada g WPin fprintf eta g por cento 100eta else plotspeedTmech xlabelVelocidade rpm ylabelTmec Nm end end Fim do laço de m end Fim do laço de calcswitch 546 Máquinas elétricas Problema prático 95 a Calcule o rendimento do motor de indução monofásico do Exemplo 95 funcionando com uma velocidade de 3475 rpm b Faça uma pesquisa dentro do intervalo de valores de 25 μF a 45 μF para encontrar o valor do capacitor que dará o rendimento máximo nessa velocidade e o respectivo rendimento Solução a 864 b 418 μF 866 95 Resumo Um dos temas deste capítulo é a continuação da teoria da máquina de indução do Capí tulo 6 e sua aplicação ao motor de indução monofásico Essa teoria é ampliada por meio de um processo de raciocínio gradativo que inicia na teoria do campo girante simples do motor de indução polifásico simétrico O conceito básico é a decomposição da onda de FMM do estator em duas ondas de amplitudes constantes que se deslocam girando ao redor do entreferro na velocidade síncrona em sentidos opostos Se o escorregamento do campo progressivo for s então o do campo retrógrado será 2 s Cada uma dessas componentes de campo produz uma ação do tipo motor de indução exatamente como em um motor polifásico simétrico Do ponto de vista do estator os efeitos refletidos do rotor podem ser visualizados e expressos quantitativamente em termos de circuitos equi valentes simples A facilidade com que as reações internas podem ser analisadas dessa forma é a razão fundamental da utilidade da teoria do campo girante duplo Em um enrolamento monofásico as ondas componentes de FMM progressiva e retrógrada são iguais e sua amplitude é a metade do valor máximo de pico da onda de FMM estacionária pulsante produzida pelo enrolamento A decomposição da onda de FMM em suas componentes progressiva e retrógrada leva então ao conceito físico do motor monofásico descrito na Seção 91 e finalmente à teoria quantitativa desen volvida na Seção 93 e aos circuitos equivalentes da Figura 910 Na maioria dos casos os motores monofásicos de indução são na realidade motores bifásicos com enrolamentos assimétricos que funcionam com uma fonte de tensão monofásica Assim para completar o nosso entendimento dos motores de indução monofásicos é necessário examinar o desempenho dos motores bifásicos Desse modo o próximo passo é aplicar a imagem do campo girante duplo a um mo tor bifásico simétrico com tensões aplicadas em desequilíbrio como na Seção 941 Essa investigação conduz ao conceito de componentes simétricas pelo qual um sis tema bifásico desequilibrado de correntes ou tensões pode ser decomposto na soma de dois sistemas de componentes bifásicas equilibradas com sequências opostas de fase A decomposição das correntes em sistemas de componentes simétricas é equi valente a decompor a onda de FMM de estator em suas componentes progressiva e retrógrada e desse modo as reações internas do rotor para cada um dos sistemas de componentes simétricas são iguais às que já investigamos Um processo muito seme lhante de raciocínio que não será examinado aqui leva ao método bem conhecido de componentes simétricas trifásicas usado no tratamento de problemas que envolvem 548 Máquinas elétricas m Magnetizante principal Enrolamento principal max Máximoa r Rotor rot Rotacionalais s Fonte supply 97 Problemas 91 Um motor com partida a capacitor de 750 W 120 V e 60 Hz tem os seguintes parâmetros para os enrolamentos principal e auxiliar na partida Zprincipal 643 j967Ω enrolamento principal Zaux 106 j122Ω enrolamento auxiliar a Encontre o módulo e os ângulos de fase das correntes dos dois enrolamen tos quando a tensão nominal é aplicada ao motor durante a partida b Encontre o valor do capacitor de partida capaz de colocar em quadratura de tempo as correntes dos enrolamentos principal e auxiliar durante a partida c Repita a parte a quando a capacitância da parte b é inserida em série com o enrolamento auxiliar Encontre o módulo e a fase em relação à ten são aplicada da tensão do enrolamento auxiliar 92 Repita o Problema 91 quando o motor funciona a partir de uma fonte de 120 V e 50 Hz 93 Dadas a frequência elétrica aplicada e as respectivas impedâncias Zprincipal e Zaux dos enrolamentos principal e auxiliar na partida escreva um script de MATLAB para calcular o valor da capacitância que produz quando conectada em série com o enrolamento de partida uma corrente no enrolamento de par tida que está adiantada em relação à corrente do enrolamento principal de 90 Teste seu programa com o motor de 60 Hz do Problema 91 94 Um motor de indução monofásico de fase dividida com capacitor permanente de 120 V 60 Hz e dois polos tem uma potência nominal de saída de 500 W Quando está operando com sua tensão e carga nominais e um capacitor de enrolamento auxiliar de 413 μF observase que a corrente do enrolamento principal é 489 A com um ângulo de fase em relação à tensão aplicada de 558 Observase também que a corrente do enrolamento auxiliar é 332 A com um ângulo de fase de 342 a Calcule a potência de entrada o fator de potência e o rendimento do motor b Calcule as impedâncias Zprincipal e Zaux dos enrolamentos principal e auxiliar c Os enrolamentos principal e auxiliar diferem apenas no número de espiras O enrolamento principal tem 180 espiraspolo Calcule as espiraspolo do enrolamento auxiliar d Mostre que nessa condição de operação as FMMs combinadas dos enro lamentos principal e auxiliar produzem apenas uma única onda de fluxo girante 550 Máquinas elétricas 911 Deduza uma expressão em termos de Q2principal para a velocidade diferente de zero de um motor de indução monofásico no qual o conjugado interno é zero Veja o Exemplo 92 912 Os parâmetros de circuito equivalente de um motor de indução de 75 kW 230 V 60 Hz quatro polos bifásico e de gaiola de esquilo em ohms por fase são R1 0266 X1 127 Xm 341 R2 0465 X2 139 Esse motor opera com uma fonte bifásica desequilibrada de 60 Hz cujas ten sões de fase são respectivamente 232 e 198 V e a tensão menor está adian tada em relação à maior de 75 Para um escorregamento de 0047 encontre a as componentes de sequências positiva e negativa da tensão aplicada e as correntes de motor resultantes b as correntes de fase em cada um dos enrolamentos e c a potência mecânica interna 913 Considere o motor de indução bifásico de gaiola de esquilo do Problema 912 operando com uma velocidade constante de 1725 rpm e com a tensão do pri meiro enrolamento mantida constante em 230 V a Assuma que a tensão do segundo enrolamento varia de 200 V a 240 V com um ângulo de fase constante de 90 estando adiantada em relação à tensão do primeiro enrolamento Plote a potência mecânica interna em função da tensão do segundo enrolamento b Assuma que a tensão do segundo enrolamento é mantida constante em 230 V enquanto seu ângulo de fase constante varia de 70 a 110 es tando adiantada em relação à tensão do primeiro enrolamento Plote a potência mecânica interna em função do ângulo de fase do segundo enrolamento 914 Considere o motor bifásico do Exemplo 93 a Encontre o conjugado de partida para as condições especificadas no exemplo b Compare o resultado da parte a com o conjugado de partida que o motor produziria se tensões bifásicas equilibradas de 220 V fossem aplicadas ao motor c Mostre que se as tensões de estator e de um motor de indução bifá sico estiverem em quadratura de tempo mas forem desiguais em módulo então o conjugado de partida será o mesmo que aquele desenvolvido quan do tensões bifásicas equilibradas de módulo são aplicadas 915 O motor de indução do Problema 912 é abastecido a partir de uma fonte bifá sica desequilibrada por um alimentador que tem uma impedância Z 032 j15Ωfase As tensões da fonte podem ser expressas como Para um escorregamento de 52 mostre que as tensões de terminal do mo tor de indução correspondem mais aproximadamente a um conjunto bifásico equilibrado do que aquelas da fonte Capítulo 9 Motores mono e bifásicos 551 916 Os parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase referidos ao estator de um motor de indução bifásico 15 kW 220 V quatro polos 60 Hz e de gaio la de esquilo estão dados abaixo As perdas rotacionais a vazio são de 106 W R1 049 R2 26 X1 X2 37 Xm 66 a A tensão aplicada à fase α é 220 0 V e a aplicada à fase β é 204 80 V En contre o conjugado líquido de entreferro para um escorregamento s 0042 b Qual é o conjugado de partida para as tensões aplicadas da parte a c As tensões aplicadas são alteradas de modo que e Encontre o escorregamento para o qual a potência de saída a plena carga é obtida d Enquanto o motor está funcionando como na parte c a fase β é aberta Qual é a potência de saída da máquina para um escorregamento s 0042 e Que tensões aparecem nos terminais da fase aberta β nas condições da parte d 917 Um motor de indução monofásico com capacitor permanente de trabalho 120 V 60 Hz e dois polos tem os seguintes parâmetros Você pode assumir que o motor tem 48 W de perdas no núcleo e 23 W de per das rotacionais Os enrolamentos do motor estão conectados com a polaridade mostrada na Figura 916 e o capacitor de trabalho é de 46 μF a Calcule o conjugado de partida do motor Com o motor funcionando com uma velocidade de 3475 rpm calcule b as correntes dos enrolamentos principal e auxiliar c a corrente total de linha e o fator de potência do motor d a potência de saída e e a potência de entrada elétrica e o rendimento Observe que este problema é resolvido mais facilmente usando MATLAB 918 Um motor de indução monofásico com capacitor permanente de trabalho 230 V 50 Hz e quatro polos tem os seguintes parâmetros Você pode assumir que o motor tem 62 W de perdas no núcleo e 27 W de per das rotacionais Os enrolamentos do motor estão conectados com a polaridade mostrada na Figura 916 e o capacitor de trabalho é de 18 μF a Com o motor funcionando na velocidade de 230 rpm calcule a velocidade na qual o motor produzirá uma potência de saída de 15 kW 552 Máquinas elétricas b Encontre a potência de saída e o rendimento nas condições de operação da parte a 919 A máquina de indução monofásica do Problema 918 deve operar em um siste ma de 230 V e 60 Hz Calcule a capacitância necessária para maximizar o ren dimento do motor na velocidade de 1710 rpm Você pode assumir que as perdas no núcleo permanecem iguais a 62 W e as perdas rotacionais aumentam para 39 W Para o funcionamento em 230 V e 1710 rpm usando essa capacitância calcule a potência de saída o rendimento e a corrente de terminal do motor 920 Considere o motor monofásico do Problema 917 Escreva um script de MAT LAB para pesquisar dentro do intervalo de valores de capacitor de 50 μF a 100 μF e encontrar o valor que maximizará o rendimento do motor para uma velocidade de 3475 rpm Qual é o respectivo rendimento máximo 921 Para elevar o conjugado de partida o motor de indução monofásico do Proble ma 917 deve ser convertido em um motor com capacitores de partida e de tra balho Escreva um script de MATLAB para encontrar o valor mínimo do capa citor de partida necessário para elevar o conjugado de partida até 055 N m 922 Considere o motor de indução monofásico do Exemplo 95 funcionando no intervalo de velocidade de 3350 rpm a 3580 rpm a Use o MATLAB para plotar a potência de saída dentro no intervalo de velocidade dado b Plote o rendimento do motor nesse intervalo de velocidade c Sobrepondo à mesma plotagem da parte b plote o rendimento do motor se o capacitor permanente for aumentado para 30 μF C AP Í TU LO 10 Controle de velocidade e conjugado O s motores elétricos são empregados em muitas aplicações que requerem contro le de velocidade e conjugado A maioria das máquinas CA do século passado tendia a ser empregada basicamente como dispositivos de velocidade única Normalmente elas funcionavam com fontes de frequência fixa na maioria dos casos era a rede elétrica de 50 ou 60 Hz ao passo que o controle da velocidade requeria uma fonte de velocidade variável Assim as aplicações que exigiam velocidade variável e conjugado controlado eram atendidas por máquinas CC que podem proporcionar controle de velocidade altamente flexível embora a certo custo porque elas são mais complexas mais caras e necessitam de mais manutenção do que as máquinas CA A disponibilidade de interruptores ou chaves de potência de estado sólido e microprocessadores para controle alterou muito essa situação Hoje é possível cons truir sistemas eletrônicos de potência capazes de fornecer as formas de onda de tensãocorrente e frequência variáveis necessárias para obter a operação com veloci dade variável e controle de conjugado com máquinas CA Como resultado agora as máquinas CA substituíram as máquinas CC em muitas aplicações tradicionais e um amplo conjunto de novas aplicações se desenvolveu O objetivo deste capítulo é discutir as várias técnicas de controle das máquinas elé tricas Como uma discussão aprofundada desse tópico seria ao mesmo tempo demasiado extensa para um único capítulo e estaria além do escopo deste livro a apresentação aqui será necessariamente de natureza introdutória Apresentaremos as técnicas básicas de controle de velocidade e de conjugado e ilustraremos as configurações típicas da eletrô nica de acionamento que são usadas para implementar os algoritmos de controle Deve se considerar que a dinâmica dos sistemas pode desempenhar um papel crítico em algu mas aplicações com questões que vão da velocidade de resposta até a estabilidade total do sistema Embora as técnicas apresentadas aqui formem a base das análise dinâmicas o foco da discussão deste capítulo é a operação em estado permanente Na discussão sobre o controle de conjugado em máquinas síncronas e de indução serão introduzidas as técnicas de controle vetorial ou de campo orientado Será feita uma analogia com o controle de conjugado em máquinas CC Esse material é um pouco mais sofisticado matematicamente do que a discussão sobre o controle de velocidade e requer a aplicação das transformações dq0 desenvolvidas no Apêndice C O capítulo é escrito de tal modo que esse material possa ser omitido dependendo da escolha do professor sem que a discussão sobre o controle de velocidade seja prejudicada 554 Máquinas elétricas 101 Controle de motores CC Antes da aplicação em larga escala dos acionamentos baseados em eletrônica de po tência para controlar as máquinas CA os motores CC eram de longe as máquinas escolhidas em aplicações que necessitassem de flexibilidade de controle Apesar dos acionamentos CA terem se tornado bem comuns nos últimos anos a facilidade de con trole das máquinas CC assegura que continuem sendo usadas em muitas aplicações 1011 Controle de velocidade Os três métodos mais comuns de controle de velocidade de motores CC são ajuste de fluxo geralmente por meio do controle da corrente de campo ajuste da resistência associada ao circuito de armadura e ajuste da tensão de terminal da armadura Controle da corrente de campo Em parte porque envolve o controle com um nível de potência relativamente baixo a potência para o enrolamento de campo em geral é uma pequena fração da potência que é entregue à armadura de uma máquina CC o controle por corrente de campo é usado frequentemente para controlar a velocida de de um motor CC com enrolamento de campo de excitação independente ou em derivação O diagrama de conexões de uma máquina CC com excitação independen te achase na Figura 74a e o respectivo circuito equivalente para está mostrado na Figura 101 É evidente que o método também é aplicável aos motores compostos A corrente do campo em derivação pode ser ajustada por meio de uma resistência variável em série com o campo em derivação Como alternativa para um enrolamen to de campo de excitação independente a corrente de campo pode ser fornecida por circuitos eletrônicos de potência que são usados para mudar rapidamente a corrente de campo em resposta a uma ampla variedade de sinais de controle Para examinarmos o efeito do controle sobre a corrente de campo vamos come çar com o caso de um motor CC que está acionando uma carga de conjugado constan te Tcarga Das Eqs 712 e 717 a tensão gerada de um motor CC pode ser escrita como Ea Kfifωm 101 em que if é a corrente de campo ωm é a velocidade angular em rads e Kf KaPdNf é uma constante geométrica que depende das dimensões do motor das propriedades do material magnético usado para construir o motor assim como do número de N de T Lembrese o índice f adotado para campo vem de field campo em inglês va ea Ra vf Rf Lf ia if Armadura Campo Figura 101 Circuito equivalente de um motor CC de excitação independente Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 555 espiras do enrolamento de campo Observe que estritamente falando Kf não é cons tante porque é proporcional à permeância do eixo direto que normalmente varia quando o nível de fluxo no motor cresce até o ponto em que os efeitos da saturação magnética tornamse significativos O conjugado eletromagnético é dado pela Eq 719 como 102 e podese ver no circuito equivalente da Figura 101 que a corrente de armadura é dada por 103 Tornando o conjugado do motor Tmec igual a Tcarga as Eqs 101 a 103 podem ser usadas para determinar ωm 104 Da Eq 104 e considerando que a queda de tensão IaRa na resistência de arma dura em geral é bem pequena em comparação com a queda de tensão Va vemos que para uma dada tensão de armadura e um dado conjugado de carga a velocidade do motor aumentará com a diminuição da corrente de campo e diminuirá quando a cor rente de campo crescer A menor velocidade que se obtém é a que corresponde à má xima corrente de campo a corrente de campo é limitada em razão do aquecimento A máxima velocidade é limitada mecanicamente pela integridade mecânica do rotor e eletricamente pelos efeitos da reação de armadura diante de condições de campo fraco dando origem a uma comutação pobre A corrente de armadura é limitada geralmente pela capacidade de refrigeração do motor Em muitos motores CC a refrigeração é auxiliada por um ventilador acionado pelo eixo cuja capacidade de refrigeração depende da velocidade do motor Para exa minar de modo aproximado as limitações de saída contínua do motor que é permitida quando se varia a velocidade desprezaremos a influência das alterações decorrente da ventilação e assumiremos que a corrente de armadura Ia não pode ultrapassar o seu va lor nominal de modo a assegurar que o motor não sobreaqueça Além disso em nossa aproximação desprezaremos os efeitos das perdas rotacionais que também mudam com a velocidade do motor Como a queda de tensão na resistência de armadura é relativa mente pequena a tensão de velocidade Ea permanecerá praticamente constante com um valor ligeiramente inferior à tensão de armadura aplicada Qualquer mudança na corrente de campo será compensada por uma mudança na velocidade do motor Assim nessas condições de operação com tensão de terminal constante e corrente de campo variável o produto máximo EaIa e como consequência a potência de saída permitida do motor permanecem substancialmente constantes quando a velocidade é variada Um motor CC controlado dessa forma é referido como de acionamento de po tência constante O conjugado entretanto varia diretamente com o fluxo de campo e portanto o seu mais alto valor permitido é determinado pela corrente de campo mais elevada e consequentemente pela menor velocidade O controle por corrente de campo é assim mais adequado para acionamentos que requeiram conjugado elevado em baixas Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 557 Tendo obtido o valor da corrente de campo a tensão de campo pode ser encontrada como Vf Rf if Isso leva a esta tabela rpm Tcarga N m If A Vf V 1800 149 0679 127 3600 594 0334 625 Portanto o controlador deve ser capaz de fornecer tensões no intervalo de 62 a 127 V Controle por resistência do circuito de armadura O controle por resistência do cir cuito de armadura fornece um meio de se obter velocidades reduzidas pela inserção no circuito de armadura de uma resistência externa em série Pode ser usado com mo tores em série em derivação e compostos Para esses dois últimos tipos o resistor em série deve ser ligado entre o campo em derivação e a armadura não entre a linha e o motor É um método comum de controle de velocidade de motores série e em geral é análogo em funcionamento ao controle de um motor de indução com rotor bobinado em que se acrescenta uma resistência em série com a resistência do rotor Dependendo do valor da resistência em série da armadura a velocidade pode variar significativamente com a carga porque a velocidade depende da queda de ten são nessa resistência e portanto da corrente de armadura demandada pela carga Por exemplo um motor em derivação de 1200 rpm cuja velocidade com carga é reduzida a 750 rpm pela resistência de armadura em série retornará para um funcionamento de quase 1200 rpm se a carga for removida porque a corrente a vazio produz uma queda de tensão insignificante na resistência em série A desvantagem desse controle pobre de velocidade pode não ser importante em um motor série que é usado apenas onde um serviço com velocidade variável é requerido ou onde pode ser tolerado Uma desvantagem significativa desse método de controle de velocidade é que a perda de potência no resistor externo é elevada especialmente quando a velocidade é bastante reduzida De fato para uma carga de conjugado constante a potência de entrada do motor mais a do resistor permanece constante ao passo que a potência de saída entregue à carga diminui com a velocidade Os custos de operação são portan to comparativamente elevados no caso de períodos prolongados de funcionamento a velocidades reduzidas Entretanto devido a seu baixo custo inicial o método da resistência em série ou a sua variação a ser discutida no próximo parágrafo pode ser atrativo em termos econômicos em aplicações que requerem redução de velocida de por períodos curtos ou intermitentes Diferentemente do controle por corrente de campo o controle por resistência de armadura resulta em um acionamento de conju gado constante porque tanto o fluxo de campo como em primeira aproximação a corrente de armadura permitida permanecem constantes quando a velocidade varia Uma variação desse esquema de controle é dada pelo método da armadura em derivação que pode ser aplicado a um motor série como na Figura 102a ou a um motor em derivação como na Figura 102b De fato os resistores R1 e R2 atuam como um divisor de tensão que aplica uma tensão reduzida à armadura Uma maior flexi bilidade é possível porque agora dois resistores podem ser ajustados para propiciar o 558 Máquinas elétricas desempenho desejado Em um motor série a velocidade a vazio pode ser ajustada para um valor finito razoável e portanto o esquema é aplicável à produção de baixas ve locidades com cargas leves Para motores em derivação a regulação de velocidade na faixa de baixa velocidade é melhorada consideravelmente porque a velocidade a vazio é definitivamente inferior ao valor obtido sem nenhum dos resistores de controle Controle pela tensão de terminal de armadura Podese obter com facilidade o con trole pela tensão de terminal de armadura com o uso de sistemas inversores baseados em eletrônica de potência Há muitas configurações de inversores Por exemplo a Fi gura 103 mostra a topologia de um inversor de ponte H completa Com as chaves C1 e C3 fechadas a tensão de armadura é igual à VCC ao passo que com as chaves C2 e C4 fechadas a tensão de armadura é igual a VCC Evidentemente usando essa configura ção em ponte H em combinação com sinais de controle escolhidos de modo apropriado para as chaves rapidamente chaveando entre VCC e VCC tornase possível para esse sistema produzir qualquer tensão desejada de armadura no intervalo Vcc Va Vcc Esse tipo de controle é denominado modulação por largura de pulso PWM O controle da tensão de armadura tira vantagem do fato de que como a queda de tensão na resistência de armadura é relativamente pequena então em regime per manente uma variação na tensão de terminal de armadura de um motor em derivação N de T Do inglês PulseWidth Modulation Arm R1 Vt Campo em série R2 Arm R1 Vt Campo em derivação b a R2 Figura 102 Método da armadura em derivação para controle de velocidade aplicado a a um motor série e b um motor em derivação C4 C3 C1 C2 va Vcc Figura 103 Controle pela tensão de terminal de armadura implementado com um inversor de ponte H completa 560 Máquinas elétricas Exemplo 103 O motor do Exemplo 102 está operando inicialmente com uma velocidade de 2150 rpm e uma potência de 45 kW O enrolamento de campo é alimentado a partir de uma fonte CC de tensão constante de 300 V a Calcule i o conjugado de carga ii a corrente de terminal e iii a tensão de terminal b O motor e a carga tem uma inércia combinada de J 175 kgm2 Assumindo que o conjugado de carga permanece constante com a velocidade calcule a velocidade do motor em função do tempo se a tensão de terminal for repentinamente diminuída em 100 V Solução a i Para 2150 rpm ωm 2150 π30 225 rads ii Do Exemplo 102 If 275 A e portanto da Eq 101 a tensão de velocidade é Ea Kf If ωm 0694 275 225 430 V e da Eq 102 iii Nessas condições de operação a tensão de terminal é igual a Va Ea Ra Ia 430 0084 105 440 V b A velocidade do motor é governada pela equação diferencial em que Combinando essas equações obtemos uma equação diferencial para ωm Substituindo Tcarga 200 Nm e Va 340 V obtemos cuja solução é ωm ωm ωm0 ωmetτ onde ωm0 225 rads 2150 rpm ωm 181 rads 1730 rpm e τ 405 ms A velo cidade do motor está plotada em função do tempo na Figura 104 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 561 Frequentemente o controle da tensão do motor é combinado com o controle da corrente de campo para obter a faixa de velocidade mais ampla possível Com esse controle duplo a velocidade de base pode ser definida como a velocidade na qual o motor opera com tensão nominal e fluxo nominal de armadura Abaixo da velocidade de base a tensão de terminal máxima costuma ser limitada pela tensão nominal multiplicada pela fração de velocidade de base em um determinado ponto de operação Para operação acima da velocidade de base a tensão de terminal cos tuma ser limitada a seu valor nominal Isso é conseguido em parte por uma redução de corrente de campo Como a tensão e a corrente de armadura máximas estão restritas a valores cons tantes a faixa de velocidades superiores à de base é limitada a uma potência máxima constante Por outro lado a faixa abaixo da velocidade de base é limitada a um con jugado máximo constante porque como no controle por resistência de armadura o fluxo e a corrente de armadura permitidas permanecem aproximadamente constantes As limitações globais de saída são portanto como as mostradas na Figura 105a para o conjugado permitido aproximado e na Figura 105b para a potência permitida Tempo s Velocidade rpm 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2 0 02 04 06 08 1 14 16 18 12 Figura 104 Plotagem de velocidade versus tempo para o Exemplo 103b resultante de um degrau de 440 V para 340 V 0 Velocidade de base Velocidade Controle por tensão de armadura Conjugado constante Conjugado permitido aproximado Potência constante Controle por corrente de campo Velocidade máxima 0 Velocidade de base Velocidade b a Controle por tensão de armadura Potência permitida aproximada Potência constante Controle por corrente de campo Velocidade máxima Conjugado constante Figura 105 a Limitações de conjugado e b potência dos métodos combinados de controle de velocidade por tensão de armadura e por corrente de campo 562 Máquinas elétricas aproximada A característica de conjugado constante é bem adequada a muitas apli cações na indústria de máquinasferramentas onde a maior parcela da maioria das cargas consiste em vencer o atrito das partes móveis e portanto as exigências são basicamente as de conjugado constante A regulação de velocidade e as limitações da faixa de velocidade acima da ve locidade de base são as que já foram apresentadas no controle por corrente de campo Assim a velocidade máxima não excede ordinariamente a quatro vezes e preferen cialmente não deve exceder a duas vezes a velocidade de base Em máquinas con vencionais o limite inferior de operação confiável e estável é cerca de um décimo da velocidade de base correspondendo a uma faixa total entre máximo e mínimo que não ultrapassa 401 Ignorando a reação de armadura a diminuição de velocidade quando se varia o conjugado desde a vazio até a plena carga é inteiramente causada pela queda de tensão a plena carga na resistência de armadura Essa queda de tensão na resistência de armadura a plena carga é constante dentro da faixa de controle por tensão porque o conjugado de plena carga e por isso a corrente de plena carga em geral são con siderados constantes nessa faixa Quando medido em rpm portanto o decréscimo de velocidade desde a vazio até a plena carga é constante independentemente da velocidade a vazio Logo as curvas de conjugado versus velocidade podem ser bem aproximadas por uma série de linhas retas paralelas para os diversos ajustes de cam po do motor Observe que uma diminuição em 40 rpm a partir de uma velocidade a vazio de 1200 rpm frequentemente é de pouca importância Entretanto às vezes uma diminuição em 40 rpm a partir de uma velocidade a vazio de 120 rpm pode ser de importância crítica requerendo ações corretivas na configuração do sistema A Figura 106 mostra o diagrama de blocos de um sistema realimentado de controle que pode ser usado para regular a velocidade de um motor CC de excitação independente ou em derivação As entradas do bloco do motor CC incluem a tensão de armadura e a corrente de campo assim como o conjugado de carga Tcarga A veloci dade resultante ωm do motor é realimentada para o bloco controlador que representa tanto a lógica de controle como a eletrônica de potência e que controla a tensão de armadura e a corrente de campo aplicadas ao motor CC com base no sinal de refe rência da velocidade ωref Dependendo do projeto do controlador esse esquema pode controlar a velocidade do motor em regime permanente com um grau elevado de exatidão independentemente das variações do conjugado de carga Tcarga ωref va if ωm Motor CC Controlador de velocidade Figura 106 Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade para um motor CC de excitação independente ou em derivação Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 563 Exemplo 104 A Figura 107 mostra o diagrama de blocos de um sistema simples de controle de velocidade que deve ser aplicado ao motor CC do Exemplo 102 Neste controlador a tensão de campo não mostrada é mantida constante em seu valor nominal de 300 V Portanto o controle é apli cado apenas à tensão de armadura e assume a forma Va Va0 G ωref ωm em que Va0 é a tensão de armadura quando ωm ωref e G é uma constante multiplicativa G Va0 ωref ωm va Figura 107 Controlador de velocidade simples para o motor CC do Exemplo 104 Com a velocidade de referência ajustada para 2000 rpm ωref 2000 π30 calcule Va0 e G de modo que a velocidade do motor seja 2000 rpm a vazio e caia apenas de 25 rpm quando o conjugado é aumentado até seu valor nominal de plena carga Solução Como foi calculado no Exemplo 102 a corrente de campo nessas condições será de 275 A A vazio e 2000 rpm temse e portanto Va0 400 V No Exemplo 103 obtevese o conjugado de plena carga como Tnominal 286 Nm As sim a corrente de armadura requerida para obter o conjugado nominal de plena carga pode ser obtido da Eq 102 ou seja Para uma velocidade de 1975 rpm Ea será dada por e desse modo Va Ea IaRa 395 150 0084 408 V Isolando G obtémse Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 565 Isolando G do diagrama de blocos da Figura 107 temos 4397 8 d O MATLABSimulink requer que equações dinâmicas sejam formuladas em termos de equações integrais A velocidade do motor é determinada pela equação diferencial ou na forma de integral onde ω0 2304 rads é a velocidade inicial do motor 2200 rpm e da Eq 102 temos onde da Eq 103 e da Eq 101 Ea Kf Ifωm Com o controlador Va Va0 Gωm ωref onde ωref é tornado igual a ωm0 o controlador tenta manter a velocidade do motor em 2200 rpm Sem o controlador temos Va Va0 A Figura 108 é o modelo Simulink resultante O bloco denominado Initializa tion Inicialização chama um script de MATLAB que faz a carga inicial dos parâmetros do modelo e das condições iniciais para a simulação O bloco do controlador de veloci Figura 108 Modelo Simulink do Exemplo 105 566 Máquinas elétricas dade Speed controller inclui uma chave Manual Switch que pode ser usada antes da simulação para ativar ou desativar o controlador de velocidade A chave de carga Load switch opera automaticamente no tempo 01 segundos para aplicar a carga de 200 N m Plotagens de velocidade corrente de armadura e tensão de terminal podem ser en contradas na Figura 109 Observe que o uso do controlador resulta não só na regulação de velocidade desejada como também em um tempo de resposta mais rápido Tempo ms Velocidade rpm 2155 2160 2165 2170 2175 2180 2185 2190 2195 2200 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Sem controlador Com controlador a Tempo s Ia A 0 25 50 75 100 1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Sem controlador Com controlador b Tempo s Va V 446 440 441 442 443 444 445 1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Sem controlador Com controlador c Figura 109 Exemplo 105 Plotagem de a velocidade do motor b Ia e c tensão de termi nal Va versus tempo para o Exemplo 105 568 Máquinas elétricas Problema prático 103 Calcule a variação de velocidade em rpm do motor CC de ímã permanente do Exemplo 106 se a tensão de armadura for mantida constante em 50 V e a potência de carga variar de 100 W até 500 W Solução 2077 rpm até 1540 rpm 1012 Controle de conjugado Como vimos o conjugado eletromagnético do motor CC é proporcional à corrente de armadura Ia e é dado por Tmec Kf If Ia 107 para o caso de um motor em derivação ou de excitação independente e por Tmec KmIa 108 para o caso de um motor de ímã permanente Dessas equações vemos que o conjugado pode ser controlado diretamente pelo ajuste da corrente de armadura O controle de corrente pode ser implementado fa cilmente com eletrônica de potência A Figura 1010 mostra esquematicamente três configurações possíveis para chavear uma corrente CC em geral fornecida de um assim denominado indutor de link CC que podem ser usadas para criar uma corrente CC variável a qual pode ser aplicada diretamente aos terminais de um motor CC Na Fig 1010a um retificador controlado por fase combinado com um indutor de filtro de link CC pode ser usado para criar uma corrente de link CC variável a qual pode ser aplicada diretamente aos terminais de armadura do motor CC Na Figura 1010b uma corrente constante de link CC é produzida por um retificador a diodos A tensão no terminal de armadura é variada então usando um esquema de modulação por largura de pulso PWM em que a chave C é aberta e fechada de modo alternado Quando a chave C está aberta a corrente ICC entra na armadura do motor CC ao pas so que quando a chave C está fechada a armadura entra em curto e Ia decai Assim o ciclo de trabalho da chave C controlará a corrente média que entra na armadura ICC Ia a ICC Ia b ICC C4 C3 C1 C2 Ia c C Figura 1010 Três configurações típicas de controle por corrente de armadura a Corrente variável de link CC produzida por um retificador de fase controlada aplicada aos terminais de armadura do motor CC b Corrente constante de link CC com modulação por largura de pulso unipolar c Corrente constante de link CC com uma ponte H completa Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 569 Finalmente a Figura 1010c mostra uma configuração em ponte H O controle apro priado das quatro chaves C1 a C4 permite que esse sistema PWM forneça qualquer corrente de armadura média desejada dentro da faixa ICC Ia ICC Observe que em cada uma das configurações PWM da Figura 1010b e c mu danças rápidas na corrente instantânea que circula pela armadura da máquina CC podem dar origem a grandes picos de tensão os quais podem danificar o isolamento da máquina assim como dar origem a arcos e a rupturas por tensão no comutador Para eliminar esses efeitos um sistema prático deve incluir algum tipo de filtro nos terminais da armadura como um capacitor de valor elevado para limitar a elevação da tensão e para prover um caminho de baixa impedância para as componentes de alta frequência da corrente de acionamento A Figura 1011 mostra um controlador típico no qual o controle de conjugado está circundado por uma malha de realimentação de velocidade Isso se assemelha ao controle de velocidade da Figura 106 Nesse caso entretanto em vez de controlar a tensão de armadura a saída do controlador de velocidade é um sinal de referência de conjugado Tref o qual por sua vez serve de entrada para o controlador de conjugado Além de fornecer uma resposta de controle potencialmente mais rápida devido ao controle direto do conjugado uma outra vantagem desse sistema é que a corrente de armadura do motor CC é limitada automaticamente a níveis aceitáveis em todas as condições de operação como está mostrado no Exemplo 107 Exemplo 107 Considere que o motor CC de 100 HP do Exemplo 102 esteja acionando uma carga cujo conjuga do varia linearmente com a velocidade de modo que é igual ao conjugado nominal de plena carga 286 Nm para uma velocidade de 2500 rpm Vamos assumir que o momento de inércia combi nado do motor e da carga é igual a 15 kgm2 A tensão de campo é mantida constante em 300 V a Calcule a tensão e a corrente de armadura requeridas para conseguir velocidades de 2000 e 2500 rpm e as respectivas tensões de velocidade b Assuma que o motor está operando com um controlador por tensão de armadura e que a tensão de armadura é repentinamente chaveada de seu valor correspondente a 2000 rpm para o de 2500 rpm Calcule a velocidade e a corrente de armadura do motor resultantes em função do tempo c Assuma que o motor está operando com um controlador por corrente de armadura e que a corrente de armadura é repentinamente chaveada de seu valor correspondente a 2000 rpm para o de 2500 rpm Calcule a velocidade resultante do motor em função do tempo Tcarga ωref ωm Motor CC Controlador de velocidade Controlador de conjugado Ia If Figura 1011 Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade para motor CC usando controle direto do conjugado do motor 570 Máquinas elétricas Solução a Desprezando as perdas rotacionais a corrente de armadura pode ser obtida da Eq 102 fazendo Tmec Tcarga e resultando o seguinte equacionamento em ωm que é a velocidade do motor em rads ωf 2500 π30 2618 rads 2500 rpm e Tpc 286 N m obtendose pc Então resolvendo Va Ea IaRa podemos completar esta tabela rpm ωm rads Ea V Va V Ia A Tcarga N m 2000 2094 400 410 120 229 2500 2618 500 513 150 286 b A equação dinâmica que governa a velocidade do motor é Com controle por tensão de armadura temos e portanto a equação diferencial procurada é ou Com essa equação diferencial podemos ver que com o motor iniciando em ωm ωi 209 rads se a tensão de armadura Va for repentinamente chaveada de Vi 410 V para Vf 513 V a velocidade crescerá exponencialmente até ωm ωf 2618rads conforme N de T O índice pc indica plena carga pc pc Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 571 em que τ 1297 340 ms Expressando em termos de rpm temos n 2500 500etτ rpm No instante em que a tensão é chaveada na primeira vez para 513 V a tensão de velocidade será igual a seu valor para 2000 rpm de Ei 400 V Assim o valor inicial da corrente de armadura será A corrente de armadura decairá exponencialmente com a mesma constante de tempo de 340 ms desde esse valor inicial até seu valor final de 150 A Assim Ia 150 1195etτ A Observe que é improvável que a fonte do motor CC possa fornecer essa corrente inicial elevada em torno de oito vezes a corrente de armadura nominal de plena carga e além disso a corrente elevada e o respectivo conjugado elevado poderiam potencialmente danificar o comutador as escovas e o enrolamento de armadura do motor CC Assim em termos práticos de fato um controlador real limitaria a taxa de variação da tensão de arma dura para evitar essas mudanças repentinas de tensão com o resultado de que as mudanças de velocidade não ocorreriam tão rapidamente quanto foi calculado aqui c A equação dinâmica que determina a velocidade do motor permanece a mesma da parte b assim como a equação do conjugado de carga Entretanto nesse caso como o motor está sendo operado a partir de um controlador de corrente o conjugado eletromagnético permanecerá constante em Tmec Tpc 286 Nm depois que a corrente for chaveada de seu valor inicial de 120 A para seu valor final de 150 A Assim Tpc ou Nesse caso a velocidade crescerá exponencialmente até ωm ωf 2618 rads conforme onde agora a constante de tempo é τ 100728 137 s Evidentemente usando o controlador de corrente a variação de velocidade do motor é muito mais lenta No entanto em nenhum momento esse transitório seja de corrente seja de conjugado excede o seu valor nominal Além disso se uma resposta mais rápida fosse desejada a corrente de armadura e por consequência o conjugado do motor poderia ser ajustada temporariamente para um valor fixo mais elevado que o va lor nominal por exemplo duas ou três vezes o nominal comparado com o fator de nove encontrado na parte b Desse modo a possibilidade de danificar o motor fica limitada pc pc 572 Máquinas elétricas Problema prático 104 Considere que a combinação de motor CC e carga do Exemplo 107 esteja operando com controle de corrente conjugado em regime permanente a uma velocidade de 2000 rpm e uma corrente de armadura de 119 A Se a corrente de armadura for repentinamente chaveada para 250 A calcule o tempo requerido para que o motor atinja a velocidade de 2500 rpm Solução 36 s 102 Controle de motores síncronos 1021 Controle de velocidade Como foi discutido nos Capítulos 4 e 5 os motores síncronos são essencialmente má quinas de velocidade constante em que a velocidade é determinada pela frequência das correntes de armadura como descrito pelas Eqs 442 e 444 De modo específico a Eq 442 mostra que a velocidade angular síncrona é proporcional à frequência elé trica da tensão de armadura aplicada e inversamente proporcional ao número de polos da máquina ou seja 109 em que ωs velocidade angular espacial síncrona da onda de FMM no entreferro rads ωe 2π fe frequência angular da excitação elétrica aplicada rads fe frequência elétrica aplicada Hz Claramente o meio mais simples de controlar um motor síncrono é variando a velocidade por meio do controle de frequência da tensão de armadura aplicada Isso é obtido acionando o motor com um inversor fonte de tensão polifásica como o inversor trifásico mostrado na Figura 1012 O bloco de retificação produz a tensão contínua VCC no capacitor do link CC e controlando as chaves do bloco inversor é possível produzir formas de onda de tensão de amplitude variável através da mo dulação por largura de pulso PWM A tensão VCC do link CC pode ela própria ser variada por exemplo usando controle de fase no bloco retificador A frequência das formas de onda do inversor pode naturalmente ser variada controlando a frequência de chaveamento das chaves do inversor Em aplicações de máquinas CA junto com esse controle de frequência deve haver controle da amplitu de da tensão aplicada como veremos a seguir Da lei de Faraday sabemos que a componente de entreferro da tensão de arma dura em uma máquina CA é proporcional à densidade de fluxo de pico da máquina e à frequência elétrica Assim se desprezarmos a queda de tensão na resistência de armadura e na reatância de dispersão poderemos escrever 1010 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 573 em que Va é a amplitude da tensão de armadura fe é a frequência de operação e Bpico é a densidade de fluxo de pico no entreferro Vnominal fnominal e Bnominal são os respec tivos valores nominais de operação Considere a situação em que a frequência da tensão de armadura é variada en quanto a sua amplitude é mantida em seu valor nominal Va Vnominal Nessas con dições da Eq 1010 podemos ver que 1011 A Eq 1011 demonstra claramente o problema do funcionamento com tensão constante e frequência variável Especificamente para uma dada tensão de armadura a densidade de fluxo da máquina é inversamente proporcional à frequência e desse modo quando a frequência diminui a densidade de fluxo aumenta Portanto em uma máquina típica que opera saturada com a tensão e frequência nominais qualquer re dução de frequência aumentará ainda mais a densidade de fluxo da máquina De fato uma queda significativa de frequência aumentará a densidade de fluxo até o ponto em que a máquina pode ser danificada devido ao aumento das perdas no núcleo e das correntes de máquina necessárias para suportar a densidade de fluxo mais elevada Como resultado para frequências inferiores ou iguais à nominal a máquina costuma ser operada com densidade de fluxo constante Da Eq 1010 com Bpico Bnominal temse 1012 que pode ser escrita como 1013 Da Eq 1013 vemos que a operação com fluxo constante pode ser obtida man tendo uma relação constante entre a tensão de armadura e a frequência Isso é conhe cido como operação com voltshertz constante VHz constante Normalmente essa Retificador de fase controlada Link CC Inversor Entrada CA trifásica VCC VCC fe Saída trifásica Controlador Frequência Figura 1012 Inversor fonte de tensão trifásica 574 Máquinas elétricas relação é mantida a partir da frequência nominal baixando até a frequência em que a queda de tensão na resistência de armadura tornase uma componente significativa da tensão aplicada Em geral a corrente de terminal da máquina é limitada por restrições térmicas Assim desde que a refrigeração da máquina não seja afetada pela velocidade do ro tor a corrente de terminal máxima permitida permanecerá constante com seu valor Inominal independentemente da frequência aplicada Como resultado para frequências abaixo da frequência nominal com Va proporcional a fe a potência máxima da má quina será proporcional a feVnominalInominal O conjugado máximo nessas condições pode ser encontrado dividindo a potência pela velocidade do rotor ωs que também é proporcional a fe como se pode ver na Eq 109 Assim vemos que o conjugado má ximo é proporcional a VnominalInominal e consequentemente é constante tendo o valor correspondente ao ponto de operação nominal De modo semelhante vemos na Eq 1010 que se a máquina for operada na tensão nominal e com frequências superiores à nominal a densidade de fluxo no entreferro cairá abaixo de seu valor nominal Assim para manter a densidade de fluxo em seu valor nominal seria necessário aumentar a tensão de terminal para frequências acima da frequência nominal Entretanto para evitar danos ao isola mento é comum manter a tensão de terminal da máquina em seu valor nominal para frequências acima da nominal Nessa condição com ambas a corrente e a tensão de terminal limitadas a seus valores nominais a potência máxima será constante e igual a VnominalInominal a potência nominal O respectivo conjugado máximo irá variar então inversamente com a velocidade da máquina segundo Vnominal Inominalωs A ve locidade máxima de operação para esse regime de funcionamento será determinada ou pela frequência máxima que pode ser fornecida pela eletrônica de potência ou pela velocidade máxima na qual o rotor pode funcionar sem risco de danos decor rentes de considerações mecânicas tais como uma força centrífuga excessiva ou a presença de uma ressonância no sistema de eixo A Figura 1013 mostra uma plotagem de potência e conjugado máximos versus velocidade para um motor síncrono que está operando com frequência variável O regime de operação abaixo da frequência e velocidade nominais é referido como re gime de conjugado constante e acima da velocidade nominal é referido como regime de potência constante Velocidade nominal Velocidade 0 Regime de conjugado constante Regime de potência constante Valor nominal Conjugado Potência Figura 1013 Regimes de operação de velocidade variável para um motor síncrono Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 575 Exemplo 108 A máquina síncrona trifásica de 45 kVA 220 V 60 Hz e seis polos do Exemplo 54 deve fun cionar como motor e ser acionada com um inversor fonte de tensão trifásica com frequência variável Deve fornecer 220 V a 60 Hz e manter a relação VHz constante quando a frequência é reduzida A máquina tem uma reatância síncrona saturada de 0836 por unidade e em circuito aberto atinge a tensão nominal com uma corrente de campo de 284 A Para os propósitos deste exemplo assuma que as perdas do motor são desprezíveis a Com o motor funcionando com 60 Hz 220 V potência nominal e fator de potência uni tário calcule i a velocidade do motor em rpm e ii a corrente de campo do motor b Se a frequência do inversor for reduzida a 50 Hz e a carga do motor for ajustada para o conjugado nominal calcule i a velocidade resultante do motor e ii a corrente de cam po necessária para operar novamente com fator de potência unitário Solução a i O motor operará na velocidade síncrona a qual pode ser obtida da Eq 444 encon trandose ii Como foi visto no Capítulo 5 a corrente de campo pode ser obtida a partir da tensão gerada Quando a máquina opera como motor em que Va foi escolhido como o fasor de referência Assim a corrente de campo é If 130 284 370 A Observe que optamos por calcular Eaf no sistema por unidade Naturalmente uma solu ção em unidades reais teria produzido o mesmo resultado b i Quando a frequência for reduzida de 60 Hz para 50 Hz a velocidade do motor cairá de 1200 rpm para 1000 rpm ii Vamos examinar novamente a equação da tensão gerada para a qual assumiremos aqui que a equação está escrita em unidades reais com as ten sões iguais a seus valores de fase Quando a frequência do inversor é diminuída ficando abaixo de 60 Hz a tensão do inversor cairá proporcionalmente porque o inversor mantém constante a relação VHz Assim podemos escrever em que o índice 0 é usado para indicar um valor de 60 Hz como na parte a A reatância também é proporcional à frequência e assim 576 Máquinas elétricas A tensão gerada é proporcional à velocidade do motor e portanto à frequência e também à corrente de campo Portanto podemos escrever Finalmente sabendo que para operar com conjugado nominal e fator de potência unitário nessas condições de frequência reduzida a corrente de armadura deverá ser igual ao valor encontrado na parte a isto é Ia Ia0 podemos escrever a equação da tensão gerada como ou Como as grandezas com índice correspondem à solução da parte a elas devem satisfazer e vemos portanto que devemos ter If If0 Em outras palavras a corrente de campo nessa condição de funcionamento é igual à encontrada na parte a ou If 370 A Problema prático 105 Considere o motor síncrono do Exemplo 108 parte b funcionando em 50 Hz Se o con jugado de carga for reduzido para 75 do conjugado nominal calcule a corrente de campo necessária para obter um fator de potência unitário Solução 335 A Embora durante o funcionamento em regime permanente a velocidade de um motor síncrono seja determinada pela frequência do acionamento o controle de velo cidade por meio do controle de frequência tem uso limitado na prática Isso é devido em grande parte ao fato de que é difícil para o rotor de uma máquina síncrona acompa nhar mudanças arbitrárias na frequência da tensão de armadura aplicada Além disso a partida é um problema complexo e como resultado os rotores dos motores síncronos são equipados frequentemente com um enrolamento de gaiola de esquilo conhecido como enrolamento amortecedor semelhante ao enrolamento de gaiola de esquilo de um motor de indução como está mostrado na Figura 53 Após aplicar uma tensão polifásica à armadura o rotor atingirá uma velocidade muito próxima da velocidade síncrona por meio de uma ação igual a que ocorre no motor de indução sem que o enrolamento de campo esteja excitado Com carga e inércia não muito elevadas o motor entrará em sincronismo se o enrolamento de campo for energizado em seguida Problemas com mudanças de velocidade resultam do fato de que para desen volver conjugado o rotor de um motor síncrono deve permanecer em sincronismo Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 577 com o fluxo do estator O controle de motores síncronos pode ser melhorado bastante usando algoritmos de controle em que o fluxo de estator e sua relação com o fluxo do rotor são controlados diretamente Esse tipo de controle que equivale ao controle direto de conjugado será discutido na Seção 1022 1022 Controle de conjugado O controle direto de conjugado em uma máquina CA que pode ser implementado de muitas formas diferentes é geralmente referido como controle por campo orientado ou controle vetorial Para facilitar nossa discussão do controle por campo orientado é útil retornar à discussão da Seção 561 De acordo com esse ponto de vista que está formalizado no Apêndice C as grandezas de estator fluxo corrente tensão etc são decompostas em componentes que giram em sincronismo com o rotor As grandezas de eixo direto representam aquelas componentes que estão alinhadas com o eixo do enrolamento de campo e as componentes de eixo em quadratura estão alinhadas per pendicularmente ao eixo do enrolamento de campo A Seção C2 do Apêndice C desenvolve as relações básicas de uma máquina em termos de variáveis dq0 para uma máquina síncrona que é constituída por um enrola mento de campo e um enrolamento trifásico de estator As relações transformadas de corrente de fluxo obtidas são λd Ldid Laf if 1014 λq Lqiq 1015 1016 em que os índices d q e f referemse respectivamente a grandezas relativas aos en rolamentos direto e em quadratura de armadura e ao de campo field Observe que neste capítulo vamos admitir condições equilibradas de operação caso em que as grandezas de sequência zero serão nulas e por isso serão ignoradas As respectivas equações transformadas de tensão são 1017 1018 1019 em que ωme polos2ωm é a velocidade angular elétrica do rotor Finalmente é demonstrado que o conjugado eletromagnético que atua sobre o rotor de um motor síncrono é Eq C31 1020 Em condições de operação trifásica equilibrada e em regime permanente ωme ωe em que ωe é a frequência elétrica da tensão e da corrente de armadura em rads Como as ondas de FMM e fluxo produzidas na armadura giram em sincronis mo com o rotor e consequentemente em relação ao sistema de referência dq um 578 Máquinas elétricas observador nessas condições postado no sistema de referência dq verá fluxos cons tantes e portanto podese fazer ddt 01 Usando os índices F D e Q para indicar os valores constantes de estado permanen te das grandezas relacionadas respectivamente com o eixo do campo o eixo direto e o em quadratura então as relações entre fluxo e corrente das Eqs 1014 a 1016 tornamse λD LdiD LafiF 1021 λQ LqiQ 1022 1023 Em geral a resistência de armadura é muito pequena e se a desprezarmos as equações de tensão em regime permanente Eqs 1017 a 1019 se tornarão então vD ωeλQ 1024 vQ ωeλD 1025 vF RfiF 1026 Por fim podemos escrever a Eq 1020 como 1027 Deste ponto em diante a nossa atenção se voltará a máquinas nas quais os efei tos das saliências podem ser desprezados Nesse caso as indutâncias síncronas dos eixos direto e em quadratura são iguais e podemos escrever Ld Lq Ls 1028 em que Ls é a indutância síncrona A substituição nas Eqs 1021 e 1022 e então na Eq 1027 dá polos 1029 A Eq 1029 mostra que o conjugado é produzido pela interação do fluxo de campo proporcional à corrente de campo e da componente do eixo em quadratura da corrente de armadura ou em outras palavras a componente da corrente de arma dura que é ortogonal ao fluxo de campo Vemos também que em uma máquina de polos não salientes a componente de eixo direto da corrente de armadura que está alinhada com o fluxo de campo não produz conjugado Esse resultado é inteiramente consistente com as expressões genéricas de con jugado que foram deduzidas no Capítulo 4 Considere por exemplo a Eq 475 que 1 Formalmente isso pode ser deduzido com facilidade fazendo substituições nas equações de transforma ção por expressões de correntes e tensões trifásicas equilibradas de armadura Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 579 expressa o conjugado em termos do produto das FMMs de estator e de rotor Fs e Fr respectivamente e o seno do ângulo entre elas 1030 em que δsr é o ângulo espacial elétrico entre as FMMs do estator e do rotor Isso mos tra claramente que não será produzido qualquer conjugado pela componente de eixo direto da FMM de armadura que por definição é aquela componente da FMM do estator que está alinhada com a do enrolamento de campo no rotor A Eq 1029 mostra que o conjugado em um motor síncrono sem polos salien tes é proporcional ao produto da corrente de campo pela componente no eixo em quadratura da corrente de armadura Isso está em analogia direta com a produção de conjugado em uma máquina CC para a qual as Eqs 713 e 716 podem ser combina das mostrando que o conjugado é proporcional ao produto da corrente de campo pela corrente de armadura A analogia entre uma máquina síncrona sem saliências e uma máquina CC pode ser aprofundada ainda mais Considere a Eq 521 que expressa o valor eficaz da ten são de fase gerada por um gerador síncrono como 1031 A substituição na Eq 1029 dá 1032 Isso está em analogia direta com a Eq 719 Tmec Ea Iaωm de uma máquina CC em que o conjugado é proporcional ao produto da tensão gerada pela corrente de armadura As escovas e o comutador de uma máquina CC atuam sobre a corrente comu tada de armadura e sobre o fluxo de armadura ao longo do eixo em quadratura de tal modo que Id 0 É a interação do fluxo do eixo em quadratura com o fluxo de campo de eixo direto que produz o conjugado2 Um controlador por campo orientado que detecta a posição do rotor e controla a componente de eixo em quadratura da corrente de armadura produz o mesmo efeito em uma máquina síncrona Embora a componente de eixo direto da corrente de armadura não represente um papel na produção de conjugado na realidade ela representa um papel na deter minação do fluxo de estator resultante e assim da tensão de terminal da máquina como pode ser demonstrado com facilidade Especificamente das equações de trans formação do Apêndice C temse va vD cos ωet vQ sen ωet 1033 N de T Lembrese adotamos os índices s e r para indicar o estator e o rotor 2 Na prática as escovas de um motor CC podem ser ajustadas ficando um pouco afastadas dessa condição ideal para melhorar a comutação Nesse caso alguma corrente de eixo direto é produzida correspondendo a uma pequena componente de eixo direto do fluxo de armadura 580 Máquinas elétricas e assim a amplitude eficaz da tensão de fase de armadura é igual a3 1034 Dividindo a tensão de fase eficaz Va pela frequência elétrica ωe obtemos uma expres são para o fluxo concatenado eficaz de fase de armadura dada por 1035 De modo semelhante as equações de transformação do Apêndice C podem ser usadas para mostrar que a amplitude eficaz da corrente de armadura é igual a 1036 Da Eq 1029 vemos que o conjugado é controlado pelo produto iFiQ da cor rente de campo pela componente de eixo em quadratura da corrente de armadura Assim a simples especificação do conjugado desejado não é suficiente para de terminar de forma unívoca tanto iF como iQ De fato do ponto de vista do controle por campo orientado apresentado aqui há na realidade três variáveis independen tes iF iQ e iD e geralmente três condições serão necessárias para determinálas de forma unívoca Além disso quando se especifica o conjugado desejado um controlador típico implementará outras restrições relacionadas com o fluxo con catenado e a corrente de terminal usando as relações básicas encontradas nas Eqs 1035 e 1036 A Figura 1014a mostra um típico sistema de controle de conjugado por campo orientado na forma de diagrama de blocos O sistema de controle calcula valores de referência set points para as diversas correntes do motor indicadas pelo índice ref Vamos assumir um desempenho ideal para o controlador de modo que em condições de estado permanente as correntes fornecidas ao motor são iguais a seus valores de referência isto é iD idref iQ iqref e iF ifref Usaremos esses valo res conforme apropriado O bloco do controlador de conjugado que calcula o valor da corrente de referência iqref para o eixo em quadratura tem duas entradas de referência con jugado Tref e corrente de campo ifref O valor de ifref é calculado por um controlador auxiliar que determina também o valor de referência idref da corrente de eixo direto 3 Estritamente falando a resistência de armadura deveria ser incluída na expressão da tensão caso em que a amplitude eficaz da tensão de armadura seria dada pela expressão Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 581 O controlador de conjugado calcula a corrente iqref usando a Eq 1029 com base em Tref e ifref obtendo 1037 Observe que um sensor de posição é necessário para determinar a posição angular do rotor de modo a implementar a transformação dq0abc a qual determinará os valores de referência para as correntes de fase do motor Essas correntes por sua vez serão fornecidas pelos inversores fontes de corrente trifásica Em muitas aplicações típicas o objetivo último do controle não é controlar o conjugado do motor mas controlar a velocidade ou a posição A Figura 1014b mos tra como o sistema de controle de conjugado da Figura 1014a pode ser usado como componente de uma malha de controle de velocidade em que a realimentação de ve locidade forma uma malha externa de controle em torno da malha interna de controle de conjugado θm a Controle por campo orientado Tref ia ib ic ωm Motor síncrono G ωmref b Inversores fontes de corrente trifásica Transformação dq0abc Controlador de conjugado Controlador auxiliar Fonte do campo iaref ibref Tref icref ia ib ic iqref θme θm ωm idref ifref if Enrolamento de campo polos 2 Motor síncrono Figura 1014 a Diagrama de blocos de um sistema de controle de conjugado por campo orientado para um motor síncrono b Diagrama de blocos de uma malha de controle de velo cidade para motor síncrono construída em torno de um sistema de controle de conjugado por campo orientado 582 Máquinas elétricas Exemplo 109 Considere novamente o motor síncrono do Exemplo 108 de 45 kVA 220 V e seis polos ope rando a 60 Hz com uma corrente de campo de 370 A Se o motor for carregado com o conju gado nominal e estiver operando na velocidade nominal em estado permanente e submetido a um sistema de controle por campo orientado de modo tal que iD 0 calcule a a corrente de armadura por unidade e b a tensão de terminal por unidade do motor Solução a Primeiro devemos calcular Laf Do Exemplo 108 vemos que o motor produz a tensão nominal de 60 Hz em circuito aberto 220 V eficazes tensão de linha com uma corrente de campo de 284 A Da Eq 1031 temos em que Eaf é a tensão de fase eficaz gerada Assim O conjugado nominal para esse motor de seis polos é igual a Portanto fazendo Tref T nominal 358 N m e iF 370 A podemos encontrar iQ da Eq 1037 como Com iD 0 e da Eq 1036 a corrente de armadura eficaz é igual a A corrente de base desse motor é e portanto Ia 905118 077 por unidade b Com iD 0 e da Eq 1021 λD Laf iF 0168 370 0622 Wb A impedância da indutância de base dessa máquina é Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 583 e respectiva indutância de base é e assim a indutância síncrona é Ls 0836 287 mH 240 mH Da Eq 1022 com Lq Ls porque se trata de um motor sem polos salientes temos λQ Ls iQ 240 103 128 0307 Wb Finalmente da Eq 1034 a tensão de fase nessas condições de operação é correspondendo a uma tensão de linha de terminal de 320 V muito acima da tensão nominal de 220 V Na prática além do fato de que essa forma de funcionamento prova velmente danificará o isolamento do motor é improvável que fosse alcançada porque o motor estaria altamente saturado e portanto a indutância síncrona e a indutância mútua entre campo e armadura seriam menores do que as assumidas aqui No próximo exemplo veremos como uma escolha diferente de iF iD e iQ podem produzir o mesmo conjugado com uma tensão de terminal reduzida Exemplo 1010 Neste exemplo visitaremos novamente o Exemplo 109 com o objetivo de examinar um con trolador de campo orientado que ajusta o conjugado do motor para que seja igual a seu valor nominal Tnominal e verifica se o fluxo concatenado eficaz de fase de armadura λaef é maior do que o valor nominal Em caso afirmativo fornece corrente de eixo direto para reduzir λaef a seu valor nominal Escreva um script de MATLAB que aplica esse algoritmo e pesquisa as correntes de campo até 50 A para encontrar um ponto de operação que requer o valor mínimo de corrente de armadura Observe que como o motor está operando com velocidade e frequência nominais e porque o fluxo concatenado de armadura está restrito ao valor nominal no máximo a tensão de terminal do motor não excederá o valor nominal de 220 V tensão de linha diferentemente do valor de 320 V que resultou com o controlador do Exemplo 109 Solução Da Eq 1035 o valor nominal do fluxo concatenado eficaz de fase correspondendo à tensão de terminal nominal é igual a O script de MATLAB implementará o seguinte algoritmo j Da Eq 1035 vemos que há um valor máximo de iQ tal que iD pode ser ajustado varian do iF para fazer λaef igual a λanominal 584 Máquinas elétricas j Com base no requisito que deve ser atendido para obter o conjugado nominal Tnominal o res pectivo valor mínimo da corrente de campo pode ser encontrado com a Eq 1029 obtendose j Para cada valor de corrente de campo iF calcule iQ da Eq 1037 como j Fazendo iD 0 calcule o fluxo concatenado eficaz de fase de armadura usando a Eq 1035 e obtendo j Verifique se λaef é maior do que o valor nominal λanominal Em caso afirmativo use a Eq 1035 para calcular a corrente de eixo direto necessária para tornar o fluxo concate nado eficaz de fase igual ao valor nominal j O fluxo concatenado eficaz de fase de armadura pode ser calculado por meio da Eq 1035 como e a tensão eficaz de fase de terminal pode ser calculada como Va ωeλaef j Finalmente a corrente eficaz de armadura pode ser calculada por meio da Eq 1036 como e seu valor por unidade é dado por IaInominal A Figura 1015 é uma plotagem da corrente de armadura versus corrente de campo re sultantes A corrente de armadura mínima de 100 por unidade 118 A ocorre com uma cor rente de campo de 370 A As correntes de eixo direto e eixo em quadratura são iD 107 A e iQ 128 A A respectiva tensão de terminal é 220 V tensão de linha Aqui está o script MATLAB onde rated referese a nominal e AFNL corresponde a CCAV clc clear Parâmetros do motor Prated 45e3 Vrated 220 Irated Pratedsqrt3Vrated Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 585 poles 6 Lspu 0836 AFNL 284 frated 60 omegaerated 2pifrated omegamrated omegaerated2poles Impedância e indutância de base Zbase Vrated2Prated Lbase Zbaseomegaerated Indutância síncrona Ls LspuLbase Tensão de fase nominal Varated Vratedsqrt3 Calcule Laf Laf sqrt2VaratedomegaeratedAFNL Fluxo concatenado eficaz de fase Lambdaarated Varatedomegaerated Valor máximo de iQ tal que o fluxo concatenado possa ser limitado ao valor nominal iQmax sqrt2LambdaaratedLs Conjugado nominal Trated Pratedomegamrated Defina o intervalo de iF iniciando com o valor mínimo da corrente de campo para assegurar o conjugado nominal iFmin 232polesTratedLafiQmax iFmax 50 Pesquise a corrente de campo para encontrar o valor que resulta em uma corrente de armadura mínima iF A Ia pu 16 1 11 12 13 14 15 5 2 25 3 35 4 45 Figura 1015 Plotagem da corrente de armadura por unidade versus corrente de campo para o Exemplo 1010 586 Máquinas elétricas deliF 0001 n 0 iF iFmin while iF iFmax n n1 ifldn iF iQn 232polesTratedLafiF iDn 0 Lambdaarms sqrtLafiF2LsiQn22 iD necessária se Lambdaarms Lambdaarated if Lambdaarms Lambdaarated iDn sqrt2Lambdaarated2LsiQn2 LafiFLs end Ian sqrtiDniDn iQniQn2 Iapun IanIrated iF iF deliF end Encontre o índice para Ia mínima m findIa minIa Iamin Iam Iapumin Iapum iFmin ifldm iDmin iDm iQmin iQm lambdaamin sqrtLafiFminLsiDmin2LsiQmin22 Vamin omegaeratedlambdaamin fprintfAt iF 12f iFmin fprintf Va 31f V ll sqrt3Vamin fprintf Ia 21f A 12f pu IaminIapumin fprintf iQ 21f A iD 21f pu iQminiDmin Plote os resultados hold off plotifldIapuLineWidth2 setgcaFontSize20 xlabeliF AFontSize20 ylabelIa puFontSize20 setgcaylim09816 setgcaytick10 11 12 13 14 15 16 setgcaxlim2 5 setgcaxtick20 25 30 35 40 45 50 grid on Como discutimos na prática um controle por campo orientado deve determinar valores para todas as três correntes iF iD e iQ No Exemplo 109 dois desses valores foram escolhidos de forma relativamente arbitrária iF 284 e iD 0 e o resultado foi um controle que produziu o conjugado desejado mas com uma tensão de terminal com 30 acima da tensão nominal do motor Em um sistema prático restrições adi cionais são necessárias para chegar a um algoritmo de controle aceitável Um desses algoritmos poderia exigir que o motor operasse com fluxo nominal e corrente de ar 588 Máquinas elétricas Exemplo 1011 Um motor síncrono trifásico de 25 kW 4000 rpm 220 V dois polos e ímã permanente produz a tensão nominal a vazio com uma velocidade de rotação de 3200 rpm e tem uma indutância síncrona de 175 mH Assuma que o motor deve operar com controle por campo orientado a 2800 rpm e 65 do conjugado nominal a Calcule a corrente de eixo em quadratura requerida b Se o controlador for projetado para minimizar apenas a corrente de armadura iD 0 calcule o fluxo concatenado de armadura resultante por unidade c Se o controlador for projetado para manter o fluxo concatenado de armadura em seu valor nominal 10 por unidade calcule o valor correspondente de iD e os respectivos valores eficaz e por unidade da corrente de armadura Solução a A velocidade nominal desta máquina é e o conjugado nominal é Este motor atinge sua tensão eficaz nominal a vazio de com uma velo cidade de n 3200 rpm A respectiva frequência elétrica é Inversor fonte de corrente trifásica Transformação dq0abc Controlador de conjugado Controlador auxiliar iaref ibref Tref icref ia ib ic iqref θme θm ωm idref polos 2 Motor síncrono IP Figura 1016 Diagrama de blocos de um sistema de controle de conjugado por campo orien tado para um motor síncrono de ímã permanente 590 Máquinas elétricas Comparando os resultados das partes b e c vemos como o enfraquecimento de flu xo devido à introdução de corrente de eixo direto pode ser usado para controlar a tensão de terminal de um motor síncrono de ímã permanente que está submetido ao controle por campo orientado Problema prático 106 Considere novamente o motor do Exemplo 1011 Repita os cálculos das partes b e c do Exemplo 1011 para o caso em que o motor está operando com 80 do conjugado nominal a uma velocidade de 2500 rpm Solução Para a parte b λa 127 por unidade Para a parte c Ia 098 por unidade Exemplo 1012 Neste exemplo examinaremos o controle por campo orientado de um motor trifásico de ímã permanente de dois polos projetado para conjugado máximo constante com velocidades abaixo da velocidade de base e potência máxima constante para velocidades acima da velocidade de base Quando operado com fluxo nominal o motor atinge a sua tensão de terminal nominal de 460 V com uma velocidade de base de 3000 rpm e tem uma corrente máxima de operação segura de 80 A O motor foi projetado de modo que pode operar com velocidades acima da ve locidade de base com uma tensão de terminal máxima de 460 V até a velocidade de 7000 rpm O motor não tem polos salientes tem uma indutância síncrona de 485 mH e alcança a tensão nominal a vazio com uma velocidade de 4900 rpm O motor é alimentado por um acionamento eletrônico que inclui um controlador por campo orientado com uma malha de realimentação de velocidade como está mostrado na for ma de diagrama de blocos na Figura 1017 Nessa aplicação o ganho do controlador foi ajus tado para G 314 Nmrads O algoritmo de controle do acionamento inclui as seguintes características j A corrente de saída do acionamento está limitada à corrente de operação segura máxima Iamax 80 A j O acionamento fornecerá apenas corrente para o eixo em quadratura até o ponto em que a corrente de eixo direto é necessária para assegurar que a densidade de fluxo do motor θm Controlador por orientação de campo Tref ia ib ic ωm Motor síncrono de ímã permanente G ωmref Figura 1017 Diagrama de blocos da malha de controle da velocidade de motor síncrono para o motor síncrono de ímã permanente do Exemplo 1012 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 591 não exceda seu valor nominal e que a tensão de terminal não exceda 460 V Se a com binação requerida de correntes de eixo em quadratura e eixo direto exceder a corrente máxima de operação segura o acionamento reduzirá a corrente do eixo em quadratura reduzindo assim o conjugado do motor até que nenhuma condição de operação fluxo concatenado tensão e corrente de terminal tenha sido excedida Para investigar o desempenho do controlador assumiremos que o motor está acionando uma carga que consome uma potência constante de 30 kW na faixa de operação 2800 7000 rpm Para os propósitos deste exemplo desprezaremos os efeitos das perdas e da resistência de armadura a Observase que o motor está operando com uma velocidade de 2800 rpm i Calcule o conjugado do motor e a respectiva velocidade de referência ωmref ii Calcule as cor rentes de eixo direto e eixo em quadratura iii Calcule a corrente de armadura e a tensão de terminal do motor b A velocidade de referência é ajustada para 7000 rpm i Calcule as respectivas velocida de e conjugado do motor ii Calcule as correntes de eixo direto e eixo em quadratura e a corrente de armadura em ampères c O motor e a carga têm uma inércia combinada de J 010 kgm2 Com o motor inicial mente operando a 2800 rpm a velocidade de referência é repentinamente mudada para 7000 rpm Use MATLABSimulink para plotar a velocidade o conjugado a velocidade de terminal e as correntes de eixo q de eixo d e a eficaz de armadura do motor em função do tempo Solução Alguns cálculos preliminares j Da Eq 1035 o fluxo concatenado nominal eficaz de fase de armadura é calculado a partir da tensão nominal de fase e da velocidade de base ωebase ωmbase 3000 π30 3142 rpm j O motor alcança a tensão nominal a vazio com uma velocidade de 4900 rpm ωe 4900 π30 5131 rads e da Eq 1038 a i Para 2800 rpm com ωm 2800 π30 2932 rads o respectivo conjugado é Do diagrama de blocos da Figura 107 e fazendo Tref Tcarga a velocidade de referência pode ser calculada como correspondendo a uma velocidade de 2831 rpm Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 593 ii A corrente de eixo em quadratura pode ser calculada novamente a partir da Eq 1041 obtendose Como o motor está operando acima da velocidade de base se necessário o controlador limitará o fluxo concatenado eficaz de fase da armadura a seu valor nominal e a tensão de linha de terminal do motor a seu valor nominal de 460 V Para verificar se será ne cessário incluir alguma ação por parte do controlador começaremos assumindo que o enfraquecimento de fluxo com a corrente de eixo direto não é necessária Com iD 0 e da Eq 1035 o fluxo concatenado eficaz de fase da armadura seria que novamente é menor do que λanominal Entretanto como o motor está operando acima da velocidade de base é necessário verificar a respectiva tensão de terminal Da Eq 1035 com ωe ωm 7317 rads a tensão eficaz de fase é Va ωeλarms 3900 V correspondendo a uma tensão de linha de 6758 V que excede a tensão nominal de terminal Assim nessa condição de operação o enfraquecimento de campo será necessário e o controlador fornecerá uma corrente negativa de eixo direto suficiente para limitar a tensão de linha de terminal a 460 V 2656 V tensão de fase O fluxo concatenado eficaz de fase da armadura é e portanto Podemos encontrar iD da Eq 1039 obtendo Como esperado observe que iD é negativa Isso é necessário para produzir o enfraqueci mento de fluxo reduzindo o fluxo de eixo direto Da Eq 1036 a corrente de armadura é que novamente está bem dentro do intervalo de operação segura do motor c Assumiremos que o acionamento pode fornecer correntes de fase que ajustamse exata mente às correntes requeridas de eixos direto e em quadratura Desse modo o conjugado necessário é produzido com exatidão Como resultado escreveremos a simulação direta mente em termos das grandezas de eixo direto e eixo em quadratura sem necessidade de fazer a transformação para variáveis de fase 594 Máquinas elétricas As equações básicas necessárias para essa simulação são as que descrevem o con trolador de velocidade da Figura 1017 Tref Gωref ωm Gnref n π30 e a equação diferencial de primeira ordem que descreve a velocidade do motor onde Na forma de integral como requerido pelo Simulink a velocidade do motor dada por onde ωm0 é a velocidade do motor usada no início da simulação Neste caso é ωm0 2800 π30 2932 radsec A Figura 1018 é o diagrama de blocos do modelo Simulink O bloco denominado Initialization Inicialização chama um script de MATLAB que faz o carregamento inicial dos parâmetros do modelo e as condições iniciais da simulação O elemento de nome Speed switch Chave de velocidade faz a mudança de velocidade trocando a velocidade de referência de nrefa 2831 rpm para nrefb 7000 rpm O algoritmo de controle do acionamento está implementado no subsistema de nominado Drive Controller Controlador do Acionamento pela seguinte função de MATLAB onde PM referese a IP rated referese a nominal rms a valor eficaz function TmechIaVallidiq ControlIamaxTref LambdaPMLsVratedlambdaaratedomegaepoles Tmechmax LambdaPMIamaxsqrt232poles2 Faça Tmech Tref para iniciar Tmech Tref omegam Vall Ia rpm Tref omegam ref Tmech Tload omegam id iq omegam To Workspace output omegae Tref Tmech Ia Vall id iq Drive Controller Initialization Speed switch 1 s xo 30pi pi30 poles2 1J G Pload nrefa nrefb napi30 Clock Speed controller Figura 1018 Modelo Simulink para o Exemplo 1012 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 595 if Tmech Tmechmax Tmech Tmechmax end Primeiro passe por iq e id iq 232polesTmechLambdaPM id 0 Laço para encontrar Tmec Tmech se necessário sw 0 while sw 0 Verifique se a respectiva Ia é maior do que Iamax Se sim reduza iq if iq sqrt2Iamax iq 0999sqrt2Iamax end Encontre a maior id negativa aceitável id1 LambdaPMLs id2 sqrt2Iamax2iq2 idmin maxid1id2 Encontre o respectivo valor mínimo de lambdaarms lambdaarmsmin sqrtLambdaPMLsidmin2 Lsiq2 2 Vamin omegaelambdaarmsmin Verifique se esses valores mínimos são aceitáveis if lambdaarmsmin lambdaarated Vamin Vratedsqrt3 Aceitáveis Primeiro descubra se id é necessária assumindo apenas iq e verificando lambdaarms e Va sw 1 Ajusta a chave switch para sair do laço Tmech lambdaarms sqrtLambdaPM2Lsiq22 Va omegaelambdaarms if lambdaarms lambdaarated Va Vratedsqrt3 id 0 Não há necessidade de id sw 1 else id é necessária Encontre o valor que atende a ambas as condições id1 sqrt2lambdaarated2Lsiq2 LambdaPMLs id2 sqrt2Vratedsqrt3omegae2Lsiq2 LambdaPMLs A id requerida é o valor mínimo maior negativo id minid1id2 end else Valores mínimos não aceitáveis Reduza Tmec e loop até que um Tmec aceitável seja encontrado Tmech 0999Tmech A respectiva iq iq 232polesTmechLambdaPM 596 Máquinas elétricas end end Fim de while sw 0 Calcule Ia e Va Ia sqrtid2iq22 Corrente eficaz de armadura lambdaarms sqrtLambdaPMLsid2Lsiq22 Va omegaelambdaarms Vall sqrt3Va Tensão de linha A velocidade do motor está plotada na Figura 1019a Observe que a chave de velocidade aplica a mudança na velocidade de referência 01 s após o início da simu lação A seguir o motor leva um pouco mais de 09 s para atingir sua velocidade final de 6988 rpm Imediatamente após a mudança na velocidade de referência o sinal de conjugado de referência do controlador de velocidade salta para um valor elevado Tref nrefb nrefa π30 G 137 kN m Como a corrente eficaz do acionamento está limitada a 80 A correspondendo a um valor máximo possível da corrente do eixo em quadratura de o conjugado máximo do motor será limitado pelo acionamento a 7000 Velocidade rpm 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 0 02 04 06 08 1 Tempo s 12 02 04 06 08 1 12 0 a Tmec N m 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Tempo s b 125 Corrente A 100 75 50 25 0 25 50 75 100 0 02 04 06 08 1 12 0 02 04 06 08 12 1 Tempo s c Tensão de linha V 300 325 350 375 400 425 450 475 Tempo s d iq Ia id Figura 1019 Resultados da simulação para o Exemplo 1012 a velocidade b conjugado c correntes e d tensão de linha Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 597 como pode ser visto na Fig 1019b O conjugado do motor salta imediatamente para esse valor quando a velocidade de referência é mudada para 7000 rpm Na Figura 1019c vemos que a corrente eficaz de armadura Ia e a corrente do eixo em quadratura também salta imediatamente para seus respectivos valores máximos de 80 A e 113 A Como pode ser visto na Figura 1019d a respectiva tensão de terminal salta para 328 V sendo inferior à tensão nominal do motor de 460 V Como resultado não há necessidade de enfraquecimento de fluxo e a corrente de eixo direto é tornada zero À medida que a velocidade do motor aumenta vemos que a corrente do eixo em quadratura permanece constante em seu valor máximo enquanto a tensão de terminal aumenta Como se pode ver na figura a tensão de terminal alcança 460 V quando a velocidade do motor é aproximadamente 4000 em torno de 042 segundos Nesse ponto há necessidade de enfraquecimento de fluxo para limitar a tensão de terminal e o acionamento deve fornecer corrente negativa de eixo direto como pode ser visto na Figura 1019c Por sua vez isso requer que o acionamento reduza a componente de eixo em quadratura da corrente de armadura para limitar a corrente eficaz de armadura a 80 A e há uma redução correspondente no conjugado do motor Ambas podem ser vistas na Figura 1019 Por fim quando a velocidade do motor aproximase do valor de referência de 7000 rpm vemos que o conjugado de referência cai rapidamente e a velocidade o conjugado e as correntes do motor acomodamse nos valores de estado permanente como calculado na parte b 103 Controle de motores de indução 1031 Controle de velocidade Os motores de indução alimentados por fontes de frequência constante atendem de modo admirável às exigências do acionamento com velocidade altamente constante Muitas aplicações de motores entretanto exigem velocidades diversas ou mesmo uma faixa continuamente ajustável de velocidades Desde os primeiros tempos dos sistemas de potência CA os engenheiros têm se interessado pelo desenvolvimento de motores CA de velocidade ajustável A velocidade síncrona de um motor de indução pode ser alterada a mudando o número de polos ou b variando a frequência de linha Podese mudar o escorre gamento de funcionamento c variando a tensão de linha d variando a resistência do rotor ou e aplicando tensões de frequência adequada aos circuitos do rotor As características notáveis dos métodos de controle de velocidade baseados nessas cinco possibilidades serão discutidas nas próximas cinco seções Motores de polos variáveis Nos motores de polos variáveis o enrolamento de es tator é projetado de modo que por alterações simples nas ligações das bobinas o número de polos pode ser mudado na razão de 2 para 1 Podese selecionar uma entre duas velocidades síncronas O rotor é sempre do tipo gaiola de esquilo que reage produzindo um campo de rotor com o mesmo número de polos do campo indutor do estator Com dois conjuntos independentes de enrolamentos de estator cada um permitindo alterações de polos quatro velocidades síncronas podem ser obtidas em um motor gaiola de esquilo por exemplo 600 900 1200 e 1800 rpm para um fun cionamento em 60 Hz Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 599 bobina e assim a densidade de fluxo de entreferro dividindoa por De modo similar mudando uma conexão de duas bobinas em série para duas em paralelo du plicará a tensão em cada bobina e portanto duplicará a magnitude da densidade de fluxo no entreferro Naturalmente essas mudanças de densidade de fluxo podem ser compensadas mudando a tensão de enrolamento aplicada De qualquer forma elas devem ser levadas em consideração junto com as respectivas mudanças de conjugado do motor quando as configurações a serem usadas em uma aplicação específica são analisadas Controle da frequência de armadura A velocidade síncrona de um motor de in dução pode ser controlada variando a frequência da tensão de armadura aplicada Esse método de controle de velocidade é idêntico ao discutido na Seção 1021 para máquinas síncronas De fato as mesmas configurações de inversor usadas com má quinas síncronas como o inversor fonte de tensão trifásica da Figura 1012 podem ser usadas para acionar motores de indução Como ocorre com qualquer motor CA para manter a densidade de fluxo aproximadamente constante a tensão de armadura também deveria ser variada diretamente com a frequência volts por hertz constante A curva de conjugado versus velocidade de um motor de indução em uma dada frequência pode ser calculada usando os métodos do Capítulo 6 dentro da exatidão dos parâmetros do motor naquela frequência Considere a expressão do conjugado da Eq 636 que está repetida aqui 1042 em que ωs 2polosωe e ωe é a frequência de excitação elétrica do motor em rads 1043 e 1044 Para investigar o efeito da mudança de frequência assumiremos que R1 é des prezível Nesse caso 1045 R1eq 0 1046 e 1047 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 601 0 400 200 0 200 400 600 rpm a 800 1000 1200 1400 1600 1800 10 20 30 40 50 Tmec 60 70 80 90 100 fe 12 Hz fe 24 Hz fe 36 Hz fe 48 Hz fe 60 Hz 400 200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0 rpm b 10 20 30 40 50 Tmec 60 70 80 90 100 fe 12 Hz fe 24 Hz fe 36 Hz fe 48 Hz fe 60 Hz Figura 1022 Uma família de curvas de velocidade versus conjugado de um motor de indu ção típico para um motor de quatro polos e diversos valores de frequência elétrica de alimen tação a R1 suficientemente pequena de modo que seus efeitos são desprezíveis b R1 não desprezível 602 Máquinas elétricas Exemplo 1013 Um motor de indução trifásico de 575 V 60 Hz 100 kW e quatro polos tem os seguintes parâmetros X1 0239 X2 0344 Xm 354091 R1 0102 R2 0125 Este motor deve ser operado a partir de um acionamento de motor de frequência variável e voltshertz constante cuja tensão de terminal é 575 V a 60 Hz Podese assumir que o motor está acionando uma carga cuja potência varia conforme onde n é velocidade de carga em rpm Podese assumir que as perdas rotacionais do motor são desprezíveis Escreva um script de MATLAB para encontrar a tensão de linha de terminal o escorrega mento e a velocidade do motor em rpm a carga do motor em kW a corrente de terminal e o fator de potência para a uma frequência de fonte de 60 Hz e b uma frequência de fonte de 40 Hz Solução Quando a frequência elétrica fe é variada as reatâncias do motor variam conforme em que X0 é o valor da reatância a 60 Hz De modo semelhante a tensão de fase de armadura deve variar conforme Da Eq 442 a velocidade angular síncrona do motor é igual a e para qualquer velocidade dada do motor ωm o respectivo escorregamento é dado por Usando as Eqs 1042 a 1044 podese obter a velocidade do motor pesquisando ωm para encontrar a velocidade na qual Pcarga ωmTmec A corrente de tensão e o fator de potência pode ser calculado a partir da impedância de entrada do motor como mostrado no Capítulo 6 Se isso for feito o resultado será a Para fe 60 Hz Tensão de terminal 575 V tensão de linha Velocidade 1736 rpm Escorregamento 356 Pcarga 825 kW Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 603 Corrente de terminal 914 A Fator de potência 906 b Para fe 40 Hz Tensão de terminal 383 V tensão de linha Velocidade 1172 rpm Escorregamento 234 Pcarga 254 kW Corrente de terminal 417 A Fator de potência 918 Aqui está o script de MATLAB onde slip referese a escorregamento load referese à carga in à entrada clc clear Aqui estão os parâmetros do motor para 60 Hz V10 575sqrt3 Nph 3 poles 4 fe0 60 R1 0102 R2 0125 X10 0239 X20 0344 Xm0 3540 Laço para dois valores de frequência fe1 60 fe2 40 for m 12 if m 1 fe fe1 else fe fe2 end Calcule as reatâncias e a tensão X1 X10fefe0 X2 X20fefe0 Xm Xm0fefe0 V1 V10fefe0 Calcule a velocidade síncrona omegas 4pifepoles ns 120fepoles Calcule o equivalente Thévenin do estator V1eq absV1jXmR1 jX1Xm 604 Máquinas elétricas Z1eq jXmR1jX1R1 jX1Xm Faça uma pesquisa com o escorregamento até que Pload Pmech Pcarga Pmec slip 0 error 1 while error 0 slip slip 000001 rpm ns1slip omegam omegas1slip I2hat V1eqZ1eqjX2R2slip I2 absI2hat Pmech 3I22R21slipslip Pload 92e3rpm18003 error Pload Pmech end Fim do laço while Encontre I1 Z2 R2slip jX2 Zm jXm Z1 R1jX1 Zin Z1ZmZ2ZmZ2 I1hat V1Zin I1 absI1hat Calcule o fator de potência pf Pmech3V1I1 fprintf Para fe g Hzfe fprintf Tensão de resistor g V llV1sqrt3 fprintf rpm grpm fprintf Escorregamento g por cento 100slip fprintf Pcarga g kWPload1000 fprintf I1 g AI1 fprintf fp 12f por cento100pf fprintf end Fim do laço for m 12 Problema prático 107 Repita o Exemplo 1013 para uma frequência de fonte de 50 Hz Solução Tensão de terminal 479 V tensão de linha Velocidade 1456 rpm Escorregamento 294 Pcarga 487 kW Corrente de terminal 639 A Fator de potência 918 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 605 Controle por tensão de linha O conjugado interno desenvolvido por um motor de indução é proporcional ao quadrado da tensão aplicada aos terminais primários como está mostrado pelas duas características de conjugado versus velocidade da Figura 1023 Se a carga apresentar a característica de conjugado versus velocidade indicada pela linha tracejada a velocidade será reduzida de n1 para n2 Esse método de con trole de velocidade é usado normalmente com pequenos motores de gaiola de esquilo que acionam ventiladores Nesse caso o custo é um problema e o baixo rendimento do funcionamento com escorregamento elevado pode ser tolerado Caracterizase por um intervalo bastante limitado de controle de velocidade Controle por resistência de rotor A possibilidade de controlar a velocidade de um motor de rotor bobinado variando a resistência do seu circuito de rotor já foi apontada na Seção 671 As características de conjugado versus velocidade para três valores diferentes de resistência de rotor estão mostrados na Figura 1024 Se a carga tiver a ca racterística de conjugado versus velocidade mostrada pela linha tracejada as velocida des correspondentes a cada um dos valores de resistência de rotor serão n1 n2 e n3 Esse método de controle de velocidade tem características similares às do controle de velo cidade de motores CC em derivação por meio de resistência em série com a armadura As principais desvantagens dos controles por tensão de linha e resistência de rotor são o baixo rendimento em velocidades reduzidas e a regulação pobre de ve Velocidade Carga 05 V1 V1 Conjugado n2 n1 Figura 1023 Controle de velocidade por tensão de linha Velocidade Carga Conjugado n2 n1 n3 Figura 1024 Controle de velocidade por resistência de rotor 606 Máquinas elétricas locidade em relação a mudanças na carga Além disso o custo e as necessidades de manutenção dos motores de indução de rotor bobinado são suficientemente elevados para que os motores de gaiola de esquilo combinados com acionamentos de estado sólido tenham se tornado a opção preferida na maioria das aplicações 1032 Controle de conjugado Na Seção 1022 desenvolvemos o conceito de controle por campo orientado para máquinas síncronas Sob esse ponto de vista o fluxo e a corrente de armadura são decompostos em duas componentes que giram em sincronismo com o rotor e com a onda de fluxo de entreferro As componentes da corrente e do fluxo de armadura que estão alinhadas com o enrolamento de campo são referidas como componentes de eixo direto ao passo que aquelas perpendiculares a esse eixo são referidas como componentes de eixo em quadratura O mesmo ponto de vista que aplicamos às máquinas síncronas pode ser apli cado às máquinas de indução Como foi discutido na Seção 61 em regime per manente as ondas de FMM e fluxo produzidas pelos enrolamentos de rotor e de estator de um motor de indução giram na velocidade síncrona e sincronizadas entre si Assim o mecanismo de produção de conjugado em uma máquina de indu ção é equivalente ao de uma máquina síncrona A diferença entre os dois é que na máquina de indução as correntes do rotor não são fornecidas diretamente mas em vez disso são induzidas quando o rotor do motor de indução deslocase escorre ga em relação à onda de fluxo girante produzida pelas correntes do estator Desse modo ao contrário de uma máquina síncrona embora os fluxos de rotor e estator girem sincronicamente em um motor de indução eles não giram sincronicamente com o rotor Para examinar a aplicação do controle por campo orientado às máquinas de indução começaremos com a transformação dq0 da Seção C3 do Apêndice C Essa transformação converte as grandezas do estator e do rotor em um sistema de refe rência que gira sincronicamente Em condições trifásicas equilibradas e em regime permanente as grandezas de sequência zero serão nulas e as demais grandezas de eixo direto e em quadratura serão constantes Dessa forma as relações entre fluxo concatenado e corrente das Eqs C52 a C58 tornamse λD LSiD LmiDR 1053 λQ LSiQ LmiQR 1054 λDR LmiD LRiDR 1055 λQR LmiQ LRiQR 1056 Nessas equações os índices D Q DR e QR indicam os valores constantes das componentes diretas e em quadratura das grandezas do estator e do rotor respectiva mente É uma questão simples mostrar que os parâmetros de indutância podem ser determinados a partir dos parâmetros de circuito equivalente como 1057 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 607 1058 1059 em que o índice 0 indica valor na frequência nominal Em condições de estado permanente as equações transformadas de tensão Eqs C63 a C64 e C66 a C67 tornamse vD RaiD ωeλQ 1060 vQ RaiQ ωeλD 1061 0 RaRiDR ωe ωmeλQR 1062 0 RaRiQR ωe ωmeλDR 1063 onde ωme é a velocidade angular elétrica do rotor Podese mostrar que as resistências relacionamse com as do circuito equiva lente segundo Ra R1 1064 e RaR R2 1065 Para os propósitos de desenvolvimento de um esquema de controle por campo orientado começaremos com a expressão de conjugado da Eq C70 1066 Para a dedução da transformação dq0 da Seção C3 o sistema de referência escolhido consiste no sistema síncrono constituído pelas ondas de fluxo do estator e rotor girando com a velocidade angular ωs 2polos ωe Para os propósitos da dedução não foi necessário especificar a posição angular absoluta do sistema de re ferência Nesse ponto é conveniente escolher o eixo direto do sistema de referência como estando alinhado com o fluxo do rotor Se isso for feito não haverá fluxo de rotor alinhado com o eixo em quadratura do sistema de referência Portanto λQR 0 1067 e a expressão do conjugado da Eq 1066 tornase 1068 Da Eq 1062 vemos que iDR 0 1069 608 Máquinas elétricas e assim λDR LmiD 1070 e λD LSiD 1071 Das Eqs 1070 e 1071 alinhando o sistema de referência síncrono e assim alinhando λQR 0 com o eixo do fluxo do rotor vemos que tanto o fluxo de eixo direto do rotor na realidade o fluxo total do rotor quanto o fluxo de eixo direto se rão determinados pela componente de eixo direto da corrente de armadura Observe a analogia direta com um motor CC Nesse motor os fluxos de eixo de campo e de eixo direto de armadura são determinados pela corrente de campo e no esquema de controle por campo orientado os fluxos de rotor e de eixo direto da armadura são determinados pela corrente de armadura de eixo direto Em outras palavras nesse esquema de controle por campo orientado a componente de eixo direto da corrente de armadura serve à mesma função que a corrente de campo em uma máquina CC A equação de conjugado Eq 1068 completa a analogia com o motor CC Vemos que após o fluxo de eixo direto λDR do rotor ser determinado pela corrente de armadura de eixo direto então o conjugado é determinado pela corrente de armadura de eixo em quadratura do mesmo modo que em um motor CC o conjugado é deter minado pela corrente de armadura Em uma implementação prática dessa técnica que desenvolvemos as correntes de eixo direto e em quadratura iD e iQ devem ser transformadas nas três correntes de fase do motor iat ibt e ict Isso pode ser feito usando a transformação dq0 inversa da Eq C48 que requer o conhecimento de θs o ângulo elétrico entre o eixo da fase a e o eixo direto do sistema de referência síncrono girante Como não é possível medir diretamente o eixo do fluxo do rotor é necessário calcular θs em que θs ωet θ0 como é dado pela Eq C46 Na Eq 1063 isolando ωe temos 1072 Da Eq 1056 com λQR 0 vemos que 1073 A Eq 1073 combinada com a Eq 1070 resulta então em 1074 em que τR LRRaR é a constante de tempo do rotor Agora podemos integrar a Eq 1074 obtendo 1075 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 609 em que é o valor calculado de θs frequentemente referido como valor estimado de θs No sentido dinâmico mais geral 1076 Observe que as Eqs 1075 e 1076 requerem o conhecimento de θ0 o valor de para t 0 Embora não demonstremos aqui ocorre que em uma implementação práti ca os efeitos de um erro nesse ângulo inicial tendem a zero com o tempo e portanto pode ser zerado sem perda de generalidade A Figura 1025a mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle de conjugado por campo orientado para uma máquina de indução O bloco denomina do Estimador representa um algoritmo que implementa a integração da Eq 1076 calculando assim o valor estimado de θs Esse valor é necessário à transformação de variáveis dq0 para abc Observe que um sensor de velocidade é necessário para medir a velocidade do rotor requerida pelo estimador Observe também que o estimador necessita conhecer Inversor fonte de corrente trifásica Transformação dq0abc Controlador de conjugado Controlador auxiliar iaref ibref Tref icref ia ib ic iQref θSˆ ωme ωm iDref λDRref λaref polos 2 Motor de indução Controlador por campo orientado ia ib ic ωm Motor de indução G ωmref b a Estimador Iaref Figura 1025 a Diagrama de blocos de um sistema de controle de conjugado por campo orientado para um motor de indução b Diagrama de blocos de uma malha de controle de velocidade para motor de indução construída em torno de um sistema de controle de conju gado por campo orientado 610 Máquinas elétricas a constante de tempo do rotor τR LRRaR Em geral ela não será conhecida com exatidão devido à incerteza nos parâmetros da máquina como também devido ao fato de que a resistência do rotor RaR certamente mudará com a temperatura quando o motor estiver em operação Podese mostrar que erros em τR resultam em um desvio offset na estimativa de θs que por sua vez produz um erro na estimativa da posição do fluxo do rotor O resultado é que as correntes de armadura aplicadas não estarão exatamente alinhadas com os eixos direto e em quadratura O controlador de conjuga do ainda funciona basicamente como o esperado embora haja erros correspondentes tanto no conjugado como no fluxo do rotor Como no motor síncrono o fluxo concatenado eficaz de armadura pode ser encontrado a partir da Eq 1035 como 1077 Combinando as Eqs 1054 e 1073 obtemos 1078 Substituindo as Eqs 1071 e 1078 na Eq 1077 resulta 1079 Finalmente como foi discutido na nota de rodapé da Eq 1034 a tensão de fase eficaz da armadura pode ser obtida como 1080 Essas equações mostram que o fluxo concatenado e a tensão de terminal da armadura são determinados pelas componentes de eixo direto e em quadratura da corrente de armadura Assim o bloco marcado Controlador de conjugado na Figu ra 1025a deve calcular os valores de referência das correntes dos eixos direto e em quadratura iDref e iQref para produzir o conjugado desejado atendendo a restrições no fluxo concatenado de armadura evitando saturação no motor na corrente de ar madura evitando aquecimento excessivo de armadura e na tensão de armadura evitando dano potencial no isolamento Observe que como foi discutido em relação às máquinas síncronas na Seção 1022 o sistema de controle de conjugado da Figura 1025a é inserido normalmente dentro de uma malha de controle maior Um exemplo desse tipo é a malha de controle de velocidade da Figura 1025b ef Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 611 Exemplo 1014 O motor de indução trifásico de 575 V 60 Hz 100 kW e quatro polos do Exemplo 1013 deve ser acionado por um sistema de controle de velocidade por campo orientado similar ao da Figura 1025b O controlador está programado para alcançar o conjugado de referência desejado sob as condições de que a tensão do motor e o fluxo concatenado eficaz de armadura não excedam os valores nominais da máquina e de que a corrente de terminal do motor não seja superior a 100 A eficazes de modo a evitar o sobreaquecimento do motor Se o conjugado eletromagnético desejado não puder ser obtido sem ultrapassar uma ou mais das condições o controlador reduzirá suficientemente o conjugado do motor para assegurar que todas as condições sejam satisfeitas Encontre as correntes de eixo direto e eixo em quadratura a amplitude eficaz da corrente de armadura a frequência elétrica e a tensão eficaz de terminal quando a potência eletromag nética é 825 kW e a velocidade do motor é 1736 rpm Solução Este exemplo pode ser resolvido mais facilmente usando um script MATLAB para implemen tar o algoritmo do controlador Primeiro precisamos determinar os parâmetros desta máquina Das Eqs 1057 a 1065 temos A tensão eficaz de fase nominal de terminal dessa máquina é Vanominal 575 3320 V e assim o fluxo concatenado eficaz nominal de armadura da máquina é Como sabemos que esse é um ponto de operação permitido veja Exemplo 1013 não precisamos incluir o trecho do algoritmo que reduz o conjugado do motor para o caso em que o ponto de operação não pode ser alcançado sem exceder as condições de operação do motor Para as condições de operação especificadas temos e o conjugado mecânico é Implementaremos o trecho relevante do algoritmo de controle como segue j Passo 1 Como estimativa inicial façamos λDR λaefnominal j Passo 2 Calcule iQ a partir da Eq 1068 obtendo 612 Máquinas elétricas j Passo 3 Calcule iD a partir da Eq 1070 como segue e a corrente eficaz de armadura usando a Eq 1036 e obtendo j Passo 4 Das Eqs 1071 e 1078 calcule e o respectivo fluxo concatenado eficaz de armadura usando a Eq 1077 j Passo 5 Calcule a tensão de fase eficaz de terminal a partir da Eq 1080 obtendo j Passo 6 Verifique se todas as condições foram satisfeitas Especificamente a solução aceitável deve ter e Va Vanominal Se todas as condições estiverem satisfeitas o ponto de operação foi encontrado Em caso negativo reduza λDR e retorne ao Passo 2 Esse algoritmo é implementado pelo seguinte script de MATLAB onde rated referese a nominal peak referese a pico e mech a mecânicoa clc clear Aqui estão os parâmetros do motor para 60 Hz Varated 575sqrt3 poles 4 R1 0102 R2 0125 X10 0239 X20 0344 Xm0 3540 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 613 fe0 60 omegae0 2pife0 Lm Xm0omegae0 LS LmX10omegae0 LR LmX20omegae0 Ra R1 RaR R2 Corrente máxima de armadura Iamax 100 Fluxo concatenado eficaz de armadura lambdaarmsrated Varatedomegae0 lambdaarmsratedpeak sqrt2lambdaarmsrated Condições especificadas de operação rpm 1736 omegam rpmpi30 omegame omegampoles2 Pmech 825e3 Tmech Pmechomegam Valor inicial de lambdaDR lambdaDR lambdaarmsratedpeak Laço de repetição para encontrar a saída do controlador sw 0 while sw 0 iQ 232polesLRLmTmechlambdaDR iD lambdaDRLm Ia sqrtiD2iQ22 omegae omegame RaRLRiQiD fe omegae2pi lambdaD LSiD lambdaQ LSLm2LRiQ lambdaarms sqrtlambdaD2lambdaQ22 Va sqrtRaiDomegaelambdaQ2 RaiQomegaelambdaD22 if lambdaarms lambdaarmsrated Va Varated Ia Iamax lambdaDR 0999lambdaDR else sw 1 end end Fim do laço fprintfiQ 31f iD 31f A iQiD fprintfIa 31f A Ia fprintfomegame 31f rads omegae 31f rads nomegameomegae fprintffe 31f Hz fe fprintfVa 31f Vln Va 31f Vll VaVasqrt3 614 Máquinas elétricas Ao executar o script de MATLAB obtemos os seguintes resultados iD 126 A iQ 1287 A Ia 914 A fe 600 Hz Va 5749 A Observe que nessas condições de operação o algoritmo de controle de campo orientado aplica no motor basicamente os mesmos valores de tensão corrente e frequência elétrica que o controle voltshertz do Exemplo 1013 parte a Isso não surpreende porque o motor responde às suas tensões e correntes de terminal e não ao algoritmo que as produz Nesse caso ambos os algoritmos aplicam basicamente as mesmas tensões e correntes ao motor Problema prático 108 Considere novamente o motor de indução e o sistema de controle de campo orientado do Exemplo 1014 Assuma que a velocidade é alterada para 1172 rpm e que a potência eletromag nética é 245 kW correspondendo às condições de operação da parte b do Exemplo 1013 Encontre as correntes de eixo direto e de eixo em quadratura a amplitude eficaz da corrente de armadura a frequência elétrica e a tensão de terminal eficaz Solução iD 131 A iQ 565 A Ia 410 A fe 400 Hz Va 3897 A Nesse caso observe que o algoritmo voltshertz do Exemplo 1013 e o algoritmo por campo orientado do Exemplo 1014 dão resultados ligeiramente diferentes de tensão e corrente de terminal para operação com mesmos valores de potência e velocidade A razão disso é que o algoritmo voltshertz faz uma aproximação da densidade de fluxo constante de armadura com base na tensão de terminal que inclui a queda de tensão na resistência de armadura ao passo que o algoritmo de campo orientado computa diretamente a densidade de fluxo de armadura A capacidade de controlar separadamente o fluxo de rotor e o conjugado tem implicações importantes no controle Considere por exemplo a resposta dinâmica do fluxo de eixo direto do rotor a uma mudança na corrente de eixo direto A Eq C66 com λqR 0 tornase 1081 Substituindo idR em termos de λdR a partir da Eq 1055 ou seja 1082 temos uma equação diferencial para o fluxo concatenado λDR do rotor que é dada por 1083 Da Eq 1083 vemos que a resposta do fluxo do rotor a uma mudança em de grau na corrente de eixo direto id é relativamente lenta λdR irá variar exponencial Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 615 mente segundo a constante de tempo do rotor dada por τR LRRaR Como o conju gado é proporcional ao produto λdRiq vemos que uma resposta rápida de conjugado será obtida com variações em iq Assim por exemplo para implementar uma variação em degrau no conjugado um algoritmo prático de controle poderia começar com uma variação em degrau em iQref para obter a variação desejada de conjugado seguida de um ajuste em iDref e portanto em λdR para reajustar a corrente de armadura ou a tensão de terminal conforme desejado Esse ajuste em iDref seria associado a um ajuste de compensação em iQref para manter o conjugado no nível desejado Como discutido no Exemplo 1014 em condições de funcionamento de estado permanente tanto um controlador voltsHz como um controlador por campo orien tado podem alcançar o mesmo ponto de operação Em muitas aplicações é a capaci dade de um controlador de campo orientado de controlar rapidamente o conjugado e responder a mudanças nas condições de operação que o distingue de um controlador de voltsHz 104 Controle de motores de relutância variável Ao contrário das máquinas CC e CA síncronas e de indução os motores de relutân cia variável MRVs não podem ser simplesmente ligados na tomada de uma fonte de alimentação CC ou CA e então esperar que comecem a funcionar Como foi discu tido no Capítulo 8 as fases devem ser excitadas com correntes em geral unipolares e a sequência dessas correntes no tempo deve estar cautelosamente correlacionada com a posição dos polos do rotor para que um conjugado útil médio no tempo seja produ zido O resultado é que um sistema de acionamento MRV é relativamente complexo embora a MRV em si talvez seja a mais simples das máquinas rotativas Os sistemas de acionamento MRV são competitivos apenas porque essa com plexidade pode ser facilmente concretizada a baixo custo pelo uso de circuitos de po tência e de microeletrônica Esses sistemas de acionamento exigem um nível bastante sofisticado de controlabilidade mesmo nos casos mais simples de operação MRV Quando é possível implementar esse tipo de controle poderemos acrescentar caracte rísticas bem sofisticadas de controle normalmente na forma de software adicional a baixo custo Isso melhora ainda mais a posição competitiva dos acionamentos MRV Além da própria MRV o sistema básico de acionamento MRV consiste nos seguintes componentes um sensor da posição do rotor um controlador e um inversor A função do sensor da posição do rotor é propiciar uma indicação da posição do eixo podendo ser usada para controlar o sequenciamento no tempo e a forma de onda das excitações de fase Isso está em analogia direta com o sinal de tempo que é usado para controlar as explosões nos cilindros de um motor de automóvel Em geral o controlador é implementado em software por meio de circuitos microeletrônicos microprocessadores Sua função é determinar a sequência e a for ma de onda das excitações de fase necessárias para obter a característica desejada de velocidade versus conjugado Além de determinar os pontos desejados de velocidade eou conjugado e da posição do eixo a partir do sensor de posição do eixo os con troladores sofisticados muitas vezes empregam entradas adicionais para os valores da velocidade do eixo e da corrente de fase Além da função básica de controle que é 616 Máquinas elétricas a determinação do conjugado desejado para uma dada velocidade os controladores mais sofisticados procuram fornecer excitações que de alguma forma sejam otimiza das para rendimento máximo comportamento transitório estável etc Os circuitos de controle consistem em geral em eletrônica de baixo nível que não pode ser usada para fornecer diretamente as correntes necessárias para excitar as fases do motor Em vez disso a sua saída consiste em sinais que controlam um inver sor que por sua vez fornece as correntes de fase O controle da MRV é conseguido aplicando um conjunto apropriado de correntes aos enrolamentos de fase da MRV As Figuras 1026a até c mostram três configurações comuns encontradas em sistemas inversores de acionamento de MRVs Essas configurações são referidas como inversores em ponte H As chaves de nome C representam componentes de eletrô nica de potência como transistores ou TRIACs diodos chaveáveis Os elementos de nome D são diodos elementos de circuito que conduzem corrente somente em uma direção no sentido da seta formada pelo símbolo do diodo Os diodos podem ser modelados como um curtocircuito quando as correntes circulam no sentido da seta e como um circuito aberto quando as correntes tentam circular no sentido oposto Cada inversor da Figura 1026 está mostrado em uma configuração bifásica Como se pode ver é fácil estender cada configuração acrescentando mais fases A configuração da Figura 1026a é talvez a mais simples Ao fechar as chaves C1a e C1b o enrolamento de fase 1 é ligado à fonte v1 V0 e a corrente de enrolamento cresce Ao abrir apenas uma das chaves é estabelecido um curtocircuito sobre o enrola mento e a corrente decairá através do diodo associado diretamente polarizado Por outro lado ao abrir ambas as chaves o enrolamento é ligado à fonte com polaridade C1a D1a C2a D2a D1b C1b D2b C2b Fase 1 Fase 2 i1 v1 i2 v1 v2 v2 V0 Fase 2 Fase 1 C1 D1 D2 C2 Fase 1 Fase 2 i1 i2 V0 V0 C1 C2 D1 D2 V0 c b a Figura 1026 Configurações de inversor a Inversor bifásico que usa duas chaves por fase b Inversor bifásico que usa uma fonte com derivação central e uma chave por fase c Inversor bifásico com enrola mentos bifilares de fase e uma chave por fase Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 617 negativa por meio dos diodos D1a e D1b v1 V0 e a corrente do enrolamento de cairá mais rápido Observe que essa configuração é capaz de regeneração devolução de energia à fonte mas não de fornecimento de corrente negativa ao enrolamento de fase No entanto como o conjugado em uma MRV é proporcional ao quadrado da corrente de fase não há necessidade de corrente de enrolamento negativa A corrente média de enrolamento pode ser controlada pelo processo de modula ção por largura de pulso no qual um conjunto adequadamente configurado de chaves carrega e descarrega de modo alternado um enrolamento de fase Usando essa técni ca podese facilmente fazer com que um inversor como o da Figura 1026a forneça todas as formas de onda necessárias para acionar uma MRV A configuração de inversor da Figura 1026a é talvez a mais simples das con figurações em ponte H que proporciona a capacidade de regeneração Sua principal desvantagem é que requer duas chaves por fase Em muitas aplicações o custo das chaves e seus circuitos de acionamento associados prepondera no custo do inversor e o resultado é que essa configuração é menos atrativa em termos de custo quando comparada com outras configurações que requerem uma chave por fase A Figura 1026b mostra uma dessas configurações Ela requer uma fonte com derivação central duas fontes de tensão V0 mas apenas uma única chave e um único diodo por fase Ao fechar a chave C1 o enrolamento de fase 1 é ligado à fonte CC su perior Ao abrir a chave a corrente de fase é transferida ao diodo D1 e o enrolamento é conectado à fonte CC inferior Assim a fase 1 é abastecida pela fonte CC superior e regenera a energia para a fonte inferior Observe que para manter a simetria e para equilibrar igualmente a energia fornecida de cada fonte a fase 2 é conectada de forma oposta Assim a fase 2 é abastecida pela fonte inferior e regenera a energia para a fonte superior As principais desvantagens da configuração da Figura 1026b são a necessidade de uma fonte com derivação central e que quando a chave está aberta ela deve su portar uma tensão dupla de 2V0 Isso pode ser visto com facilidade verificando que quando o diodo D1 está polarizado diretamente conduzindo corrente ele funciona como um curtocircuito Nesse caso a chave C1 está conectada às duas fontes Prova velmente essas chaves serão mais caras do que as chaves requeridas pela configura ção da Figura 1026a Essas duas questões tendem a neutralizar em parte a vantagem econômica que se pode ter quando se elimina uma chave e um diodo quando compa ramos com o circuito de inversor da Figura 1026a Uma terceira configuração de inversor está mostrada na Figura 1026c Essa configuração requer apenas uma única fonte de tensão CC e usa apenas uma única chave e um único diodo por fase Essa configuração propicia regeneração por meio do uso de enrolamentos bifilares de fase Em um enrolamento bifilar cada fase é enro lada com duas bobinas separadas que estão estreitamente acopladas magneticamente isso pode ser obtido enrolando as duas bobinas ao mesmo tempo Podese pensar em enrolamento primário e secundário de um transformador Quando a chave C1 é fechada o enrolamento primário da fase 1 é energizado excitando o enrolamento de fase Quando a chave é aberta uma tensão é induzida no enrolamento secundário observe a polaridade indicada pelas marcas circulares na Figura 1026c com sentido tal que o diodo D1 é polarizado diretamente Como resultado uma corrente é transferida do enrolamento primário para o secundário com uma polaridade tal que a corrente na fase decai a zero e a energia é devolvida à fonte 618 Máquinas elétricas Embora essa configuração requeira apenas uma única fonte CC ela necessita de uma chave que deve suportar uma tensão acima de 2V0 o quanto acima é determina do pela tensão desenvolvida sobre a reatância de dispersão do primário quando a corrente é chaveada do enrolamento primário para o secundário além de requerer o uso de enrolamentos bifilares mais complexos no sistema Além disso as chaves des sa configuração devem incluir circuitos suavizadores consistindo em geral em uma combinação de resistor e capacitor para protegêlas de transitórios de sobreten são Essas sobretensões resultam do fato de que embora os dois enrolamentos do enrolamento bifilar sejam bobinados de modo a estarem magneticamente acoplados do modo mais estreito possível não se pode conseguir um acoplamento perfeito Como resultado nos campos de dispersão do enrolamento primário haverá energia armazenada que deverá ser dissipada quando a chave for aberta Como foi discutido no Capítulo 8 a operação de uma MRV requer o controle da corrente aplicada a cada fase Por exemplo uma estratégia de controle para pro duzir conjugado constante é aplicar corrente constante a cada fase durante o tempo em que dLdθm para aquela fase é constante Isso resulta em um conjugado constante proporcional ao quadrado do valor da corrente de fase O valor do conjugado pode ser controlado mudando a intensidade da corrente de fase O controle requerido para acionar os enrolamentos de fase de uma MRV é mais complexo porque devido aos efeitos de saturação do material magnético as indu tâncias dos enrolamentos de fase mudam com a posição do rotor e com os níveis de corrente Como resultado em geral não é possível implementar um esquema PWM de malha aberta com base em um algoritmo précalculado Pelo contrário a modula ção por largura de pulso normalmente é obtida por meio do uso de realimentação de corrente Podese medir a corrente instantânea de fase e elaborar um esquema de cha veamento de modo tal que a chave pode ser aberta quando se constata que a corrente alcançou o valor máximo desejado e fechada quando a corrente diminui até o valor mínimo desejado Dessa maneira a corrente de fase média é controlada de acordo com uma função predeterminada que depende da posição do rotor e do conjugado desejado Esta seção forneceu uma breve introdução ao tema dos sistemas de acionamen to de máquinas de relutância variável Na maioria dos casos muitas questões adicio nais devem ser consideradas antes que se possa implementar um sistema prático de acionamento Por exemplo uma medição exata da posição do rotor é necessária para controlar apropriadamente a excitação de fase e uma compensação adequada da ma lha de controle deve ser feita para assegurar a sua estabilidade Além disso em última análise serão os tempos finitos de subida e descida das correntes nos enrolamentos de fase do motor que limitarão os valores máximos alcançáveis de velocidade e con jugado do rotor O desempenho de um sistema completo de acionamento MRV está intrinseca mente ligado ao desempenho de todos os seus componentes incluindo a MRV o seu controlador e o seu inversor Nesse sentido a MRV é bem diferente das máquinas CC síncronas e de indução que já foram discutidas neste capítulo Como resultado é útil projetar por inteiro o sistema de acionamento na forma de um pacote integrado e não projetar individualmente cada componente MRV inversor controlador etc em separado As configurações de inversor da Figura 1026 são representativas de N de T Snubbing circuitry em inglês Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 619 uma série de configurações possíveis de inversor que pode ser usada em sistemas de acionamento MRV A escolha de um inversor para uma aplicação específica deve ser feita com base em considerações econômicas e de engenharia como parte do projeto integrado de um sistema de acionamento MRV 105 Resumo Este capítulo introduz diversas técnicas para o controle de máquinas elétricas O extenso tema do controle das máquinas elétricas requer uma discussão muito mais ampla do que foi possível aqui Desse modo os nossos objetivos foram um tanto limitados O ponto de maior destaque é que a discussão deste capítulo enfoca quase exclusivamente o comportamento em regime permanente As questões de comporta mento transitório e dinâmico não foram consideradas O ponto de partida é uma discussão sobre motores CC em que é conveniente subdividir as técnicas de controle em duas categorias controle de velocidade e de conjugado O algoritmo de controle de velocidade em um motor CC é relativamente simples Com exceção de uma correção relativa à queda de tensão na resistência de armadura a velocidade em regime permanente é determinada pela condição de que a tensão gerada deve ser igual à tensão de armadura aplicada Como a tensão gerada é proporcional ao fluxo de campo e à velocidade do motor vemos que a velocidade de regime permanente do motor é proporcional à tensão de armadura e inversamente proporcional ao fluxo de campo Um ponto de vista alternativo é o controle de conjugado Como o sistema de co mutador e escovas mantém uma relação angular constante entre o campo e o fluxo de armadura o conjugado de um motor CC é simplesmente proporcional ao produto da cor rente de armadura pelo fluxo de campo Como resultado o conjugado de um motor CC pode ser controlado diretamente controlando a corrente de armadura e o fluxo de campo Como os motores síncronos desenvolvem conjugado apenas na velocidade síncrona a velocidade de um motor síncrono é determinada simplesmente pela fre quência elétrica da excitação aplicada à armadura Assim em regime permanente o controle de velocidade é simplesmente uma questão de controlar a frequência da armadura O controle de conjugado também é possível Pela transformação das gran dezas do estator para um sistema de referência que gira em sincronismo com o rotor usando a transformação dq0 do Apêndice C encontramos que o conjugado é pro porcional ao fluxo de campo e à componente da corrente de armadura que está em quadratura espacial com o fluxo de campo Isso é diretamente análogo à produção de conjugado em um motor CC Esquemas de controle que adotam esse ponto de vista são referidos como controle vetorial ou por campo orientado As máquinas de indução operam de forma assíncrona as correntes do rotor são induzidas pelo movimento do rotor em relação à onda de fluxo que gira sincronica mente e que é produzida pelo estator Quando alimentado por uma fonte de tensão aplicada à armadura com frequência constante o motor funcionará com uma veloci dade um pouco inferior à velocidade síncrona A velocidade do motor vai diminuindo à medida que o conjugado da carga é aumentado Como resultado a regulação precisa da velocidade não é uma questão simples embora na maioria dos casos a velocidade não se afaste excessivamente da velocidade síncrona Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 627 c Calcule a frequência do inversor a potência de entrada do motor e o fator de potência d Calcule a corrente de campo requerida para que o motor volte a operar com fator de potência unitário 1016 Considere um motor síncrono trifásico para o qual são fornecidos os seguintes dados Tensão de linha nominal V Potência aparente nominal VA Frequência Hz e velocidade rpm nominais Reatância síncrona por unidade Corrente de campo para a tensão nominal a vazio CCAV A O motor deve operar com um inversor de frequência variável e VHz constan te com velocidades de até 120 da velocidade nominal do motor a Supondo que a tensão e a corrente de terminal do motor não possam exce der seus valores nominais escreva um script de MATLAB que calcule para uma dada velocidade de operação a tensão de terminal do motor a máxima potência de entrada possível do motor e a respectiva corrente de campo re querida para obter essa condição de funcionamento Você pode considerar os efeitos da saturação e da resistência de armadura como desprezíveis b Aplique o seu programa ao motor síncrono do Problema 1015 para velo cidades de motor de 1500 rpm e 2000 rpm 1017 Com a finalidade de realizar cálculos relativos ao controle por campo orientado em motores síncronos não salientes escreva um script de MATLAB que calcu lará a indutância síncrona Ls e a indutância mútua entre armadura e campo Laf ambas em henrys e o conjugado nominal em Nm a partir dos seguintes dados j Tensão de linha nominal V j Potência aparente nominal VA j Frequência nominal Hz j Número de polos j Reatância síncrona por unidade j Corrente de campo para a tensão nominal a vazio CCAV A Teste o seu programa em um motor de 460 V 100 kW 60 Hz e quatro polos com reatância síncrona de 0932 por unidade e CCAV 158 A 1018 Uma máquina síncrona trifásica de quatro polos 125 kVA 540 V e 60 Hz deve funcionar como motor síncrono submetida a controle de conjugado por campo orientado usando um sistema como o mostrado na Figura 1014a A máquina tem uma reatância síncrona de 0882 por unidade e uma CCAV igual a 173 A O motor está operando na velocidade nominal carregado com 50 de seu conjugado nominal com uma corrente de campo de 146 A O controla dor por campo orientado está ajustado para manter iD 0 a Calcule a indutância síncrona Ls e a indutância mútua entre armadura e campo Laf ambas em henrys 628 Máquinas elétricas b Encontre a corrente de eixo em quadratura iQ e o respectivo valor eficaz da corrente de armadura ia c Encontre a tensão de linha de terminal do motor 1019 O motor síncrono do Problema 1018 está operando sob controle de conjugado por campo orientado de modo tal que iD 0 Com a corrente de campo ajustada para 156 A e com a referência de conjugado ajustada para 08 vezes o conjuga do nominal do motor observase que a velocidade do motor é 1515 rpm a Calcule a potência de saída do motor b Encontre a corrente de eixo em quadratura iQ e o respectivo valor eficaz da corrente de armadura ia c Calcule a frequência elétrica do estator d Encontre a tensão de linha de terminal do motor 1020 Tendo em vista o sistema de controle de conjugado por campo orientado do Problema 1018 considere o caso em que a carga do motor síncrono é aumen tada e o motor começa a baixar de velocidade Com base em algum conheci mento da característica de carga determinase que será necessário aumentar o valor de referência Tref de 50 para 85 do conjugado nominal do motor para que o motor retorne à velocidade nominal a Se a corrente de campo fosse deixada constante em 146 A calcule os valores da corrente de eixo em quadratura a corrente eficaz de armadura e a tensão de linha de terminal em volts e por unidade que resultariam da resposta a essa alteração no conjugado de referência b Para conseguir essa condição de operação com uma tensão de terminal de armadura razoável o algoritmo de controle por campo orientado é substi tuído por um que resulta no funcionamento com fator unitário de potência de terminal operando na tensão de terminal nominal Com base nesse algo ritmo calcule a corrente de campo a corrente de armadura e as correntes iD e iQ de eixo direto e eixo em quadratura 1021 Considere um motor síncrono de seis polos 450 kW 2300 V e 50 Hz com uma reatância síncrona de 132 por unidade e uma CCAV 117 A Deve operar controlado por campo orientado de tal forma que o fluxo concatenado de armadura permaneça em seu valor nominal com o mínimo de corrente de armadura em cada ponto de operação Será usado para acionar uma carga cujo conjugado varia com o quadrado da velocidade e cujo conjugado na velocida de de 1000 rpm é 4100 Nm O sistema completo de acionamento incluirá uma malha de controle de velocidade como a mostrada na Figura 1014b Escreva um script de MATLAB para plotar a corrente de campo as correntes dos eixos direto e em quadratura e a corrente de armadura no intervalo 01000 rpm 1022 Uma máquina síncrona trifásica de quatro polos 125 kVA 480 V e 60 Hz tem uma reatância síncrona saturada de 115 por unidade e atinge a tensão nominal de circuito aberto com uma corrente de campo de 185 A Essa máquina fun cionará como motor sendo operada a partir de um inversor com um algoritmo de controle por campo orientado Para funcionamento com conjugado nomi 630 Máquinas elétricas 1027 Um motor síncrono trifásico de ímã permanente 480 V 25 kVA e dois polos tem uma velocidade máxima de 9500 rpm e produz a tensão nominal em circuito aberto a uma velocidade de 7675 rpm Ele tem uma indutância síncrona de 559 mH O motor deverá operar com controle de conjugado por campo orientado a Calcule o conjugado máximo que o motor pode produzir sem exceder a corrente nominal de armadura b Assumindo que o motor deve operar com o controlador de conjugado ajus tado para produzir conjugado máximo como na parte a e iD 0 calcule a velocidade máxima na qual ele pode funcionar sem ultrapassar a tensão nominal de armadura c Para operar com velocidades superiores à encontrada na parte b a técni ca de enfraquecimento de fluxo será empregada para manter a tensão de armadura em seu valor nominal Assumindo que o motor está operando a 9500 rpm com tensão e corrente nominais de armadura calcule i o conjugado do motor ii a potência do motor e o fator de potência iii a corrente de eixo direto iD e iv a corrente de eixo em quadratura iQ 1028 O motor de ímã permanente do Problema 1027 deve operar com controle vetorial usando o seguinte algoritmo j Tensão de terminal não deve exceder o valor nominal j Corrente de terminal não deve exceder o valor nominal j iD 0 a menos que um enfraquecimento de fluxo seja necessário para evitar tensão de armadura excessiva Escreva um script de MATLAB para produzir plotagens de potência e conju gado máximos que esse sistema pode produzir em função da velocidade do motor para velocidades de até 9500 rpm 1029 Um motor síncrono trifásico de dois polos e ímã permanente alcança sua ten são nominal de circuito aberto de 475 V com uma velocidade de 19250 rpm e tem uma indutância síncrona de 036 mH Considerações térmicas limitam a corrente de terminal do motor a um valor máximo de 350 A O motor deve ser operado a partir de um controlador por campo orientado que limita a den sidade de fluxo eficaz de terminal a seu valor nominal para velocidades abaixo de 19250 rpm e que limita a tensão de terminal do motor a seu valor nominal para velocidades acima de 19250 rpm Calcule a potência de saída máxima possível do motor e as respectivas corrente e tensão de terminal e as correntes de eixo direto e eixo em quadratura para funcionamento com velocidades de a 16000 rpm e b 25000 rpm 1030 Considere um motor de indução de quatro polos 460 V 50 kW e 60 Hz que tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase referi dos ao estator R1 0049 R2 0118 X1 053 X2 055 Xm 296 Capítulo 10 Controle de velocidade e conjugado 633 d a tensão eficaz de linha da armadura 1038 Um sistema de acionamento por campo orientado será aplicado a um motor de indução de 230 V 15 kW 60 Hz e quatro polos que tem os seguintes parâme tros de circuito equivalente em ohms por fase referidos ao estator R1 00429 R2 00937 X1 0459 X2 0471 Xm 248 O motor é conectado a uma carga podendose assumir que seu conjugado é proporcional à velocidade segundo Tcarga 64 n1800 N m em que n é a velocidade do motor em rpm O controlador por campo orientado é ajustado de modo que o fluxo concatenado do rotor λDR seja igual ao fluxo concatena do nominal de pico e a velocidade do motor é de 1275 rpm Encontre a a frequência elétrica em Hz b a corrente eficaz de armadura e a tensão eficaz de linha e c a potência aparente de entrada do motor em kVA d Se o controle por campo orientado for ajustado para manter a velocida de do motor em 1275 rpm plote a VHz eficaz de armadura como uma porcentagem da VHz nominal em função de λDR quando λDR varia en tre 75 e 100 do fluxo concatenado nominal de pico da máquina Que porcentagem do fluxo concatenado nominal de pico resultará no funciona mento do motor com o valor VHz nominal eficaz de armadura 1039 O sistema de acionamento do motor de indução de 15 kW com carga do Pro blema 1038 está operando a uma velocidade de 1425 rpm O controlador por campo orientado está ajustado para manter o fluxo concatenado λDR do rotor igual a 85 do valor nominal de pico da máquina a Calcule os respectivos valores das componentes de eixo direto e em qua dratura da corrente de armadura iD e iQ e a corrente eficaz de armadura b Calcule a respectiva frequência elétrica da tensão de linha de terminal do sistema de acionamento Agora a corrente de eixo em quadratura iQ é aumentada em 10 ao passo que a corrente de eixo direto é mantida constante c Calcule a velocidade do motor e a potência de saída resultantes d Calcule a tensão de terminal e a frequência de acionamento e Calcule a potência aparente total kVA que entra no motor f Com o controlador ajustado para manter a velocidade constante determine o ponto de referência para λDR como uma porcentagem do fluxo concate nado nominal de pico que torna o valor VHz de terminal igual ao valor VHz nominal da máquina Sugestão Essa solução é encontrada mais facilmente usando um script de MATLAB para pesquisar o resultado desejado 1040 Um motor trifásico de indução de gaiola de esquilo 60 Hz 4160 V 1250 kW e oito polos tem os seguintes parâmetros de circuito equivalente em ohms por fase Y referidos ao estator R1 0212 R2 0348 X1 187 X2 227 Xm 446 634 Máquinas elétricas Ele está operando com um sistema de acionamento por campo orientado a uma velocidade de 836 rpm e uma saída de potência de 1135 kW O contro lador de campo orientado é ajustado para manter o fluxo concatenado λDR do rotor igual ao fluxo concatenado nominal de pico da máquina a Calcule a tensão eficaz de linha de terminal do motor a corrente eficaz de armadura e a frequência elétrica b Mostre que o circuito equivalente do motor de indução em regime per manente e os respectivos cálculos do Capítulo 6 dão a mesma potência de saída e corrente de terminal quando a velocidade do motor de indução é de 836 rpm e a tensão e a frequência de terminal são iguais às encontradas na parte a AP Ê N D I C E A Circuitos trifásicos A geração a transmissão e a utilização em grande escala de energia elétrica CA en volve quase invariavelmente um tipo de sistema ou circuito denominado sistema ou circuito polifásico Nesse sistema cada fonte de tensão consiste em um conjunto de tensões com valores e ângulos de fase que guardam relação entre si Assim um sistema de q fases emprega fontes de tensão que consistem em geral em q tensões basicamente iguais em módulo e deslocadas entre si sucessivamente de um angulo de fase de 360q graus Um sistema trifásico emprega fontes de tensão que consistem geralmente em três tensões basicamente iguais em módulo e deslocadas entre si por ângulos de fase de 120 Como possui importantes vantagens econômicas e operacio nais o sistema trifásico é de longe o mais comum e por isso neste apêndice a ênfase será dada aos circuitos trifásicos As três tensões individuais de uma fonte trifásica podem ser ligadas cada uma ao seu próprio circuito independente Teríamos então três sistemas monofásicos se parados Como alternativa Seção A1 ligações elétricas simétricas podem ser feitas entre as três tensões e seus circuitos associados para formar um sistema trifásico É com esta última alternativa que estaremos preocupados aqui neste apêndice Observe que a palavra fase agora tem dois significados distintos Pode se referir a uma porção de um sistema ou circuito polifásico ou como na teoria básica de circuitos de regime permanente pode ser usada referindose ao deslocamento angular entre fasores de tensão ou corrente É pouco provável confundir os dois significados A1 Geração de tensões trifásicas Considere o gerador trifásico elementar de dois polos da Figura A1Na armadura há três bobinas aa bb e cc cujos eixos estão deslocados no espaço de 120 entre si Esse enrolamento pode ser representado esquematicamente como está mostrado na Figura A2 Quando o campo é excitado e posto a girar tensões serão geradas nas três fases de acordo com a lei de Faraday Se a estrutura do campo for projetada de modo que o fluxo esteja distribuído de forma senoidal em relação aos polos o fluxo que concatena qualquer uma das fases irá variar senoidalmente no tempo e tensões senoidais serão induzidas nas três fases Como está mostrado na Figura A3 essas três fases estarão deslocadas entre si de 120 graus elétricos no tempo em consequência das fases estarem deslocadas de 120 no espaço O diagrama fasorial correspondente 636 Apêndice A Circuitos trifásicos está mostrado na Figura A4 Em geral a origem do tempo e o eixo de referência em diagramas como os das Figuras A3 e A4 são escolhidos considerando a conveniên cia da análise Estrutura da armadura ou estator Estrutura do campo ou rotor Enrolamento de campo excitado com corrente contínua através de anéis deslizantes Enrolamento de armadura Polo do campo produzido pela corrente contínua no enrolamento de campo Rotação N S b c a a b c Figura A1 Gerador trifásico elementar de dois polos a b b c a a b c a a b b c c Figura A2 Representação esquemática dos enrolamentos da Figura A1 v 0 vaa9 vbb9 vcc9 vaa9 ωt 2π 3π2 π2 π Figura A3 Tensões geradas dos enrolamentos das Figuras A1 e A2 638 Apêndice A Circuitos trifásicos clusões obtidas aplicamse a sistemas desequilibrados Na prática a maioria das aná lises é conduzida supondo que o sistema esteja equilibrado Muitas cargas industriais são trifásicas e portanto inerentemente equilibradas Quando cargas monofásicas são alimentadas a partir de uma fonte trifásica esforços bem definidos são realizados para manter o sistema trifásico em equilíbrio atribuindo cargas monofásicas aproxi madamente iguais a cada uma das três fases A2 Tensões correntes e potências trifásicas Quando as três fases do enrolamento da Figura A1 são ligadas em Y como na Figura A5a o diagrama fasorial das tensões é o da Figura A6 A ordem das fases ou a se quência das fases na Figura A6 é abc isto é a tensão da fase a atinge o seu máximo 120 antes que a tensão da fase b As tensões trifásicas e são denominadas tensões de fase linhaneutro As três tensões e são denominadas tensões de linha linhalinha O uso da notação de duplo índice na Figura A6 simplifica muito a tarefa de desenhar o diagra ma completo Os índices indicam os pontos entre os quais a tensão é determinada Por exemplo a tensão é calculada como Vbˆ Vaˆ Vcˆ Vbˆ Vcˆ Vca ˆ Vaˆ Vab ˆ Vbc ˆ 30 120 Figura A6 Diagrama fasorial de tensões para um sistema ligado em Y Apêndice A Circuitos trifásicos 643 e reativa em cada um dos três sistemas de transmissão as potências totais ativa reativa e aparente fornecidas às cargas e as perdas totais de potências ativa e aparente nos três sistemas de transmissão A seguir considere que os três condutores de retorno são combinados em um único e que a relação de fase das fontes de tensão é tal que resulta em um sistema trifásico equilibrado a quatro fios como na Figura A11 c Para a Figura A11 obtenha a corrente de linha a tensão de carga tanto de linha como de fase as potências ativa reativa e aparente de cada fase da carga as perdas de potência ativa e reativa em cada linha as potências trifásicas totais ativa reativa e aparente da carga e as perdas totais trifásicas de potência ativa e reativa das linhas d Na Figura A11 qual é a corrente no condutor combinado de retorno ou neutro e Se fosse desejado esse condutor poderia ser dispensado na Figura A11 Assuma agora que esse condutor neutro é omitido Isso resulta no sistema trifásico a três fios da Figura A12 f Repita a parte c para a Figura A12 g Com base nos resultados deste exemplo esboce brevemente o método para reduzir um problema de circuito trifásico equilibrado ligado em Y ao problema monofásico equiva lente Seja cuidadoso para diferenciar o uso de tensões de linha do de tensões de fase 120 V 120 V 120 V 100 j300 100 j300 100 j300 005 j020 G G 005 j020 005 j020 G Figura A10 Circuito para o Exemplo A1 parte b 120 V 120 V 120 V 100 j300 100 j300 100 j300 005 j020 005 j020 005 j020 Figura A11 Circuito para o Exemplo A1 partes c a e 644 Apêndice A Circuitos trifásicos Solução a b Obviamente os quatro primeiros itens têm os mesmos valores da parte a Potência total ativa 3 PL 3 1300 3900 W Potência total reativa 3 QL 3 390 1170 var Potência total aparente 3 SL 3 1357 4071 VA Perdas totais de potência ativa nas linhas 3 Pl 3 65 195 W Perdas totais de potência reativa nas linhas 3 Ql 3 26 78 var c Os resultados obtidos na parte b não se alteram com essa modificação A tensão das partes a e b é agora a tensão de fase A tensão de linha é d Pela lei das correntes de Kirchhoff a corrente de neutro é a soma fasorial das três correntes de linha Essas correntes de linha são iguais e defasadas de 120 Como a soma fasorial de três fasores iguais defasados de 120 entre si é zero a corrente de neutro é nula e Se a corrente de neutro for nula o condutor de neutro poderá ser dispensado se desejado 120 V 120 V 120 V 100 j300 100 j300 100 j300 005 j020 005 j020 005 j020 Figura A12 Circuito para o Exemplo A1 parte f Apêndice A Circuitos trifásicos 649 Devese ter em mente entretanto que o ângulo do fator de potência θ dado pela Eq A24 é o ângulo entre e Îp e não entre e Îp Exemplo A4 A Figura A15 é o circuito equivalente de uma carga alimentada por duas estações geradoras trifásicas por meio de linhas que têm as impedâncias por fase dadas no diagrama A carga re quer 30 kW com um fator de potência 080 atrasado O gerador G1 opera com uma tensão de linha de terminal de 797 V e fornece 15 kW com um fator de potência 080 atrasado Encontre a tensão da carga e para o gerador G2 obtenha a tensão de terminal e as potências ativa e rea tiva de saída Solução Sejam I P e Q respectivamente a corrente de linha e as potências trifásicas ativa e reativa Os índices 1 e 2 denotam os respectivos ramos do sistema o índice r denota uma grandeza medida no lado de recepção da linha Temos então Pr1 P1 3 I1 2 R1 15000 3 1362 14 1422 kW Qr1 Q1 3 I1 2 X1 15000 tg arccos 080 3 1362 16 1035 kvar O fator 3 aparece antes de I1 2 R1 e I1 2 X1 nas duas últimas equações porque a corrente I1 é a corrente de fase A tensão da carga é Como a carga requer 30 kW de potência ativa e 30 tg arccos 080 225 kvar de po tência reativa vem Pr2 30000 14220 15780 W e 652 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos B11 Enrolamentos distribuídos de passo encurtado Um exemplo simples de um enrolamento distribuído está ilustrado na Figura B1 para uma máquina trifásica de dois polos Esse caso contém todas as características de um mais geral com qualquer número inteiro de fases polos e ranhuras por polo e por fase Ao mesmo tempo um enrolamento de dupla camada está mostrado Os enro lamentos de dupla camada usualmente levam a conexões terminais mais simples e a uma máquina mais econômica de ser fabricada Esses enrolamentos são encontrados em todas as máquinas com exceção de alguns pequenos motores com menos de 10 kW Em geral um lado da bobina como a1 é colocado no fundo de uma ranhura e o outro lado a1 é colocado no topo de outra ranhura Lados de bobina como a1 e a3 ou a2 e a4 que estão em ranhuras adjacentes e associados à mesma fase constituem um cinto de fase Todos os cintos de fase são idênticos quando se usa um número inteiro de ranhuras por polo e por fase Na máquina normal o ângulo periférico su bentendido por um cinto de fase é de 60 graus elétricos para uma máquina trifásica e de 90 graus elétricos para uma máquina bifásica As bobinas individuais na Figura B1 cobrem um passo polar pleno ou de 180 graus elétricos Portanto o enrolamento é de passo pleno Suponha agora que to dos os lados de bobina nos topos das ranhuras sejam deslocados de uma ranhura em sentido horário como na Figura B2 Qualquer uma das bobinas como a1 a1 está abrangendo então apenas 56 de um passo polar ou graus elétricos e o enrolamento é denominado de passo encurtado ou fracionário Um deslocamento semelhante de duas ranhuras produz um enrolamento de 23 de passo e assim por diante Agora os agrupamentos por fase estão entrelaçados porque algumas ranhu ras contêm lados das fases a e b a e c e b e c Grupos de fases individuais como os 15 15 30 Y X Z O b2b1 b4 b3 c3c4 c1 c2 a2 a1 a4 a3 a1 a2 a3 a4 c4 c3 c1 c2 b2 b1 b4 b3 Figura B1 Enrolamento distribuído de armadura trifásico com dois polos e de passo pleno com o diagrama fasorial de tensão Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 653 formados por a1 a2 a3 e a4 em um lado e a1 a2 a3 e a4 no outro ainda estão deslocados de 120 graus elétricos em relação aos agrupamentos das outras fases de modo que tensões trifásicas são produzidas Além da característica menos importante de encurtar as conexões terminais podese mostrar que os enrolamentos encurtados diminuem o conteúdo harmônico de ambas as ondas de tensão e de FMM As conexões terminais entre os lados das bobinas estão normalmente em uma região de densidade de fluxo desprezível e portanto modificálas não afeta de forma significativa o fluxo concatenado do enrolamento A distribuição dos lados das bobi nas nas ranhuras é então o fator determinante para a geração de tensões e apenas essa distribuição precisa ser especificada nas Figuras B1 e B2 O único requisito é que todos os lados de bobina de uma fase sejam incluídos na interconexão de modo tal que as tensões individuais façam uma contribuição positiva ao total A consequência prática é que as conexões terminais podem ser feitas de acordo com o que é ditado pela simplicidade de fabricação A consequência teórica é que resultam vantagens computacionais os lados de bobina em uma fase podem ser combinados de modo arbitrário para formar bobinas equivalentes Um sacrifício é feito quando são usados os enrolamentos distribuídos e encur tados das Figuras B1 e B2 e não um enrolamento concentrado de passo pleno para o mesmo número de espiras por fase a tensão gerada de frequência fundamental é menor Entretanto em geral as harmônicas são diminuídas por um fator conside ravelmente maior e o número total de espiras que podem ser acomodadas em uma geometria fixa no ferro é aumentado O efeito de distribuir o enrolamento da Figura B1 é que as tensões das bobinas a1 e a2 não estão em fase com as das bobinas a3 e a4 Assim a tensão das bobinas a1 e a2 pode ser representada pelo fasor OX na Figura B1 e a das bobinas a3 e a4 pelo fasor OY A defasagem no tempo entre essas duas 30 30 60 Y W X Z O c2 c3 c1 c4 a1 a3 a2 a4 b1 b3 b4 b2 b2 b4 b3 c2 c4 c3 a2 a1 a4 a3 c1 b1 Figura B2 Enrolamento distribuído de armadura trifásico com dois polos e de passo encurta do com o diagrama fasorial de tensão Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 655 No entanto a soma aritmética dos fasores é nAB Consequentemente o fator de redução que surge da distribuição do enrolamento em n ranhuras separadas de γ graus elétricos é B6 O fator kd é denominado fator de distribuição do enrolamento O efeito do encurtamento sobre a tensão de bobina pode ser obtido determinan do primeiro o fluxo concatenado na bobina de passo encurtado Como há n bobinas por fase e um total de Nfase espiras em série por fase então cada bobina terá Nb Nfasen espiras por bobina Da Figura B4 o lado a da bobina dista do lado a apenas ρ graus elétricos com uma abrangência angular menor que 180o completos O fluxo concatenado com a bobina de Nb espiras é B7 onde l comprimento axial do lado da bobina r raio da bobina polos número de polos Com α substituído por ωt para poder indicar um movimento de rotação que ocorre com ω radianos elétricos por segundo a Eq B7 tornase B8 γ γ γ γ γ nγ d a A D O B C γ 2 γ 2 b a Figura B3 a Fasores de tensão de bobinas e b soma fasorial 656 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos e a tensão instantânea é B9 O ângulo de fase ρ2 na Eq B9 indica simplesmente que a tensão instantânea não é mais nula quando α na Figura B5 é zero No entanto o fator sen ρ2 é um fator de redução de amplitude de modo que a tensão eficaz da Eq B1 é modificada para B10 em que o fator de passo kp é B11 Quando ambos os fatores de distribuição e de passo são aplicados a tensão eficaz é B12 que é uma forma alternativa da Eq B2 Vemos que o fator de enrolamento kenr é o produto dos fatores de passo e de distribuição ou seja kenr kdkp B13 dθ a a α π 2π 0 θ θ Bobina de Nb espiras B Bpico sen θ ρ α Distribuição espacial de densidade de fluxo Figura B4 Bobina de passo encurtado em um campo senoidal Fasor representando cos ωt Fasor representando a diferença dos outros dois Fasor representando cos ωt ρ ρ π ρ 2 Figura B5 Soma fasorial para bobina de passo encurtado Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 657 Exemplo B1 Calcule os fatores de distribuição passo e enrolamento para o enrolamento distribuído de passo encurtado da Figura B2 Solução O enrolamento da Figura B2 tem duas bobinas por cinto de fase separadas por um ângulo elétrico de 30 Da Eq B6 o fator de distribuição é As bobinas de passo encurtado abrangem 150 5π6 rad e da Eq B11 o fator de passo é O fator de enrolamento é kenr kdkp 0933 B2 Ondas de FMM de armadura A distribuição de um enrolamento em diversas ranhuras por polo e fase e o uso de bobinas de passo encurtado influenciam não apenas a FEM gerada no enrolamento como também o campo magnético produzido por ele As componentes fundamentais espaciais das distribuições de FMM são examinadas nesta seção B21 Enrolamentos concentrados de passo pleno Vimos na Seção 43 que um enrolamento polifásico concentrado de Nfase espiras em uma máquina com múltiplos polos produz uma onda retangular de FMM ao longo da circunferência do entreferro Para uma excitação com corrente senoidal de amplitude I a amplitude máxima da componente fundamental espacial dessa onda no tempo é de acordo com a Eq 47 B14 em que o fator de enrolamento kenr da Eq 47 foi tornado unitário já que nesse caso estamos discutindo a onda de FMM de um enrolamento concentrado Cada fase de um enrolamento concentrado polifásico cria uma dessas ondas de FMM variáveis no tempo e estacionárias no espaço Essa situação fundamenta a análise que conduz à Eq 441 Para enrolamentos concentrados a Eq 441 pode ser escrita como fase B15 B16 fase 658 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos A amplitude da onda de FMM resultante em uma máquina trifásica é então em ampèresespiras por polo B17 De modo semelhante para uma máquina de q fases a amplitude é B18 Nas Eqs B17 e B18 I é a corrente eficaz por fase As equações incluem ape nas a componente fundamental da distribuição real e aplicamse a enrolamentos con centrados de passo pleno com excitação equilibrada B22 Enrolamentos distribuídos de passo encurtado Quando as bobinas de cada fase de um enrolamento estão distribuídas entre diversas ranhuras por polo a FMM fundamental espacial resultante pode ser obtida usando sobreposição com base nas análises mais simples feitas anteriormente sobre os en rolamentos concentrados O efeito da distribuição pode ser visto na Figura B6 que é uma reprodução do enrolamento trifásico de dois polos e passo pleno com duas ranhuras por polo e por fase dado na Figura B1 As bobinas a1 e a2 b1 e b2 e c1 e c2 constituem elas próprias o equivalente de um enrolamento trifásico concentrado de dois polos porque elas formam três conjuntos de bobinas excitadas por correntes polifásicas estando mecanicamente separadas de 120 entre si Portanto elas produ zem uma FMM fundamental espacial girante A amplitude dessa contribuição é dada 15 15 30 b2b1 b4 b3 c3 c4 c1 c2 a2 a1 a4 a3 Y X Z O a1 a2 a3 a4 c4 c3 c1 c2 b2 b1 b4 b3 Figura B6 Enrolamento distribuído de armadura trifásico dois polos e passo pleno com o diagrama fasorial de FMM Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 659 pela Eq B17 quando Nfase é a soma das espiras em série das bobinas a1 e a2 apenas De modo semelhante as bobinas a3 e a4 b3 e b4 e c3 e c4 produzem uma outra onda idêntica de FMM mas que está defasada no espaço de um ângulo de ranhura γ 30 em relação à primeira onda A onda de FMM fundamental espacial que resulta desse enrolamento pode ser obtida somando essas duas contribuições senoidais A contribuição de FMM das bobinas a1a2 b1b2 e c1c2 pode ser representada pelo fasor OX na Figura B6 Essa representação fasorial é adequada porque as for mas de onda envolvidas são senoidais e os diagramas fasoriais são simplesmente um meio conveniente para somar ondas senoidais Entretanto essas ondas são senoides no espaço e não senoides no tempo O fasor OX é desenhado na posição espacial de pico da FMM para o instante de tempo em que a corrente da fase a é um máximo O comprimento de OX é proporcional ao número de espiras das bobinas associadas De modo semelhante a contribuição de FMM das bobinas a3a4 b3b4 e c3c4 pode ser re presentada pelo fasor OY Portanto o fasor OZ representa a onda de FMM resultante Exatamente como no respectivo diagrama de tensões vêse que a FMM resultante é menor do que se o mesmo número de espiras por fase estivesse concentrado em uma ranhura por polo Do mesmo modo os fasores de FMM podem ser desenhados para os enrola mentos de passo encurtado como está ilustrado na Figura B7 que é uma reprodução do enrolamento trifásico de dois polos e passo encurtado com duas ranhuras por polo por fase dado na Figura B2 O fasor OW representa a contribuição das bobinas equivalentes formadas pelos condutores a2 e a1 b2 e b1 e c2 e c1 OX para a1a4 e a3a2 b1b4 e b3b2 e c1c4 e c3c2 e OY para a3 e a4 b3 e b4 e c3 e c4 O fasor resultante OZ é naturalmente menor do que a soma algébrica das contribuições individuais e é também menor do que OZ na Figura B6 30 30 60 b2 b1 b4 b3 c3 c4 c1 c2 a2 a1 a4 a3 Y W X Z O a1 a2 a4 a3 c4 c3 c1 c2 b2 b1 b4 b3 Figura B7 Enrolamento distribuído de armadura trifásico dois polos e passo encurtado com o diagrama fasorial de FMM 660 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos Comparando com as Figuras B1 e B2 podese ver que esses diagramas fa soriais são idênticos aos das tensões geradas Assim resulta que os fatores de passo e de distribuição anteriormente desenvolvidos podem ser aplicados diretamente à determinação da FMM resultante Assim para um enrolamento distribuído polifásico de passo encurtado a amplitude da componente espacial fundamental de FMM pode ser obtida usando kd kp Nfase kenr Nfase em vez de simplesmente Nfase nas Eqs B17 e B18 Essas equações tornamse então B19 para uma máquina trifásica e B20 para uma máquina de q fases em que FA é dada em ampèresespiras por polo B3 Indutâncias de entreferro de enrolamentos distribuídos A Figura B8a mostra um enrolamento de armadura concentrado de N espiras e pas so pleno em uma estrutura magnética com um rotor cilíndrico concêntrico A FMM dessa configuração está mostrada na Figura B8b Como o comprimento de entreferro g é muito menor do que o raio médio r de entreferro o campo magnético radial de entreferro pode ser considerado uniforme e igual ao valor de FMM dividido por g Da Eq 44 a FMM fundamental espacial é dada por B21 e a respectiva densidade de fluxo no entreferro é B22 Fundamental espacial a g Bobina de N espiras Eixo magnético da bobina r θa θa cos θa π 4 π π Ni 2 Ni 2 Ni 2 F Fg1 0 b π 2 π 2 Figura B8 a Uma bobina concentrada de N espiras e b FMM resultante Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos 661 A Eq B22 pode ser integrada para encontrar o fluxo fundamental de entreferro por polo Eq 447 obtendose B23 em que l é o comprimento axial do entreferro A indutância de entreferro da bobina pode ser obtida da Eq 128 encontrandose B24 Para um enrolamento distribuído multipolos com Nfase espiras em série e um fator de enrolamento kenr kd kp a indutância de entreferro pode ser obtida da Eq B24 substituindo N pelas espiras efetivas por par de polos 2kenrNfasepolos obtendose B25 Finalmente a Figura B9 mostra esquematicamente duas bobinas indicadas por 1 e 2 com fatores de enrolamento kenr1 e kenr2 e com 2N1polos e 2N2polos espiras por par de polos respectivamente Os seus eixos magnéticos estão separados por um ângulo elétrico α igual a polos2 vezes o seu deslocamento angular espacial A in dutância mútua entre esses dois enrolamentos é dada por B26 Embora a figura mostre um enrolamento no rotor e um segundo no estator a Eq B26 é igualmente válida para o caso em que ambos os enrolamentos estão no mesmo membro 2 1 2 r g 1 Eixo magnético de 2 Eixo magnético de 1 α Figura B9 Dois enrolamentos distribuídos separados por um ângulo elétrico α 662 Apêndice B Tensões campos magnéticos e indutâncias de enrolamentos CA distribuídos Exemplo B2 A distribuição do enrolamento do estator de dois polos da Figura B2 encontrase em um motor de indução com um comprimento de entreferro de 0381 mm um raio médio de rotor de 635 cm e um comprimento de eixo axial de 203 cm Cada bobina de estator tem 15 espiras e as co nexões das bobinas de fase são as mostradas na Figura B10 Calcule a indutância de entreferro Laa0 da fase a e a indutância mútua Lab entre as fases a e b Solução Observe que a colocação das bobinas ao redor do estator é tal que os fluxos concatenados em cada um dos dois ramos paralelos são iguais Além disso a distribuição de fluxo no entreferro não se modificará se em vez de fazer uma divisão igual entre os dois ramos como ocorre na realidade um ramo for desconectado e toda a corrente circular pelo outro ramo Assim as indutâncias de fase podem ser encontradas calculando as indutâncias associadas a apenas um dos ramos paralelos Esse resultado pode parecer um pouco enigmático porque os dois ramos estão ligados em paralelo e assim poderia parecer que a indutância em paralelo deveria ser a metade da indutância de um único ramo Entretanto as indutâncias compartilham um circuito magnético comum e a sua indutância combinada deve refletir esse fato No entanto deve ser salientado que a resistência de fase é a metade da resistência de cada um dos ramos O fator de enrolamento foi calculado no Exemplo B1 Assim da Eq B25 vem Os eixos dos enrolamentos estão separados por α 120 e assim da Eq B26 temse a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4 Fase a b1 b2 b3 b4 b1 b2 b3 b4 Fase b c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c4 Fase c Figura B10 Ligações das bobinas de fase da Figura B2 do Exemplo B2 A PÊ NDIC E C A transformação dq0 Neste apêndice a teoria dos eixos direto e em quadratura dq0 introduzida na Se ção 56 é formalizada A transformação matemática formal das grandezas trifásicas de estator em suas componentes de eixos direto e em quadratura é apresentada Em seguida essas transformações são usadas para expressar as equações que governam uma máquina síncrona em termos de grandezas dq0 C1 Transformação para variáveis de eixo direto e em quadratura Na Seção 56 o conceito de decomposição das grandezas de armadura de uma máqui na síncrona em duas componentes girantes uma alinhada com o eixo do enrolamento de campo a componente de eixo direto e a outra em quadratura com o eixo do en rolamento de campo a componente de eixo em quadratura foi introduzido como um meio de facilitar a análise das máquinas de polos salientes A utilidade desse conceito originase no fato de que embora cada uma das fases de estator veja uma indutância variável no tempo devido às saliências do rotor as grandezas transformadas giram com o rotor e vêem portanto caminhos magnéticos constantes Embora não discu tido aqui efeitos adicionais em razão das saliências estão presentes em condições transitórias devido aos caminhos condutores diferentes no rotor Assim o conceito dessa transformação tornase ainda mais útil De modo semelhante essa transformação é útil do ponto de vista da análise da in teração das ondas de fluxo e FMM de rotor e estator independentemente de se há ou não efeitos causados pelas saliências presentes Quando as grandezas de estator são transfor madas em grandezas equivalentes que giram em sincronismo com o rotor essas intera ções em regime permanente tornamse as que existem entre as ondas constantes de FMM e de fluxo distanciadas de um ângulo espacial constante Na verdade esse é o ponto de vista que corresponde ao de um observador postado no sistema de referência do rotor A ideia que está por trás é antiga originandose no trabalho de André Blondel na França A técnica é referida algumas vezes como o método das duas reações de Blondel Muito do desenvolvimento como está sendo usado aqui foi realizado por R E Doherty C A Nickle R H Park e seus associados nos Estados Unidos A trans formação em si conhecida como transformação dq0 pode ser representada de forma Apêndice C A transformação dq0 665 imediata em termos do ângulo elétrico θme igual a polos2 vezes o ângulo espacial θm entre o eixo direto do rotor e o eixo da fase a do estator como está definido pela Eq 41 e mostrado na Figura C1 Se S representar uma grandeza de estator que deve ser transformada corrente tensão ou fluxo então poderemos escrever a transformação em forma matricial como C1 e a transformação inversa como C2 Aqui a letra S referese à grandeza que deve ser transformada e os índices d e q representam os eixos direto e em quadratura respectivamente Uma terceira compo nente a componente de sequência zero indicada pelo índice 0 também está incluída Essa componente é necessária para que se obtenha uma transformação unívoca das três grandezas de fase do estator Ela corresponde às componentes da corrente de armadura que produzem fluxo líquido nulo de entreferro e portanto nenhum fluxo líquido que concatene os circuitos do rotor Como podemos ver na Eq C1 em con dições trifásicas equilibradas não há componentes de sequência zero Neste livro apenas condições trifásicas equilibradas são consideradas e portanto componentes de sequência zero não são discutidas em nenhum nível de detalhe Observe que a transformação dq0 aplicase aos valores instantâneos das gran dezas a serem transformadas não aos valores eficazes Assim quando as transfor Eixo da fase a Eixo da fase c Eixo da fase b Eixo direto do rotor Rotação θm Eixo em quadratura do rotor Enrolamento de campo Enrolamento do estator a a c b c b Figura C1 Máquina síncrona ideal 666 Apêndice C A transformação dq0 mações formais instantâneas forem aplicadas como as apresentadas aqui devese ter cuidado e evitar o uso de valores eficazes como se faz frequentemente em análises fasoriais tais como as do Capítulo 5 Exemplo C1 Uma máquina síncrona de dois polos está conduzindo correntes trifásicas equilibradas de ar madura dadas por O rotor está girando na velocidade síncrona ω e o eixo direto do rotor está alinhado com o eixo da fase a do estator no tempo t 0 Encontre as componentes de eixo direto e em quadratura da corrente Solução O ângulo entre o eixo direto do rotor e o eixo da fase a do estator pode ser expresso como θme ωt Da Eq C1 Usando a identidade trigonométrica obtémse De modo semelhante e usando a identidade trigonométrica obtémse iq 0 Esse resultado corresponde diretamente à nossa imagem física da transformação dq0 A partir da discussão da Seção 45 verificamos que as correntes trifásicas equilibradas aplicadas a essa máquina produzem uma onda de FMM que gira sincronicamente e que produz fluxo ao longo do eixo da fase a do estator no tempo t 0 Essa onda de fluxo está portanto alinhada com o eixo direto do estator em t 0 e assim permanece já que o rotor está girando na mesma velocidade Consequentemente a corrente de estator produz apenas fluxo de eixo direto e as sim consiste apenas em uma componente de eixo direto Apêndice C A transformação dq0 667 C2 Relações básicas das máquinas síncronas em variáveis dq0 As Eqs 52 a 55 fornecem as relações entre fluxo concatenado e corrente para uma máquina síncrona que consiste em um enrolamento de campo e um enrolamento trifá sico de estator Essa máquina simples é suficiente para demonstrar as características básicas da representação das máquinas em variáveis dq0 Os efeitos dos circuitos adicionais de rotor como enrolamentos de amortecimento podem ser introduzidos de modo imediato As relações entre o fluxo concatenado e a corrente em termos de variáveis de fase Eqs 52 a 55 são repetidas aqui por conveniência C3 Diferentemente da análise da Seção 52 esta análise incluirá os efeitos das saliências que fazem com que as indutâncias própria e mútua de estator variem com a posição do rotor Para os propósitos desta análise admitese que a máquina síncrona ideal da Fi gura C1 satisfaz duas condições 1 a permeância de entreferro tem uma componen te constante e uma de menor valor que varia cossenoidalmente com o ângulo de rotor medido em unidades elétricas desde o eixo direto e 2 os efeitos das harmônicas espaciais no fluxo de entreferro podem ser ignorados Embora essas aproximações possam parecer um tanto restritivas elas formam a base da análise dq0 clássica de máquinas dando excelentes resultados em uma ampla variedade de aplicações Essen cialmente elas significam desprezar efeitos que resultem em harmônicas de tempo das tensões e correntes de estator e portanto são consistentes com as nossas supo sições anteriores de ignorar as harmônicas produzidas por enrolamentos discretos As várias indutâncias de máquina podem então ser escritas em termos do ân gulo elétrico θme do rotor entre o eixo direto do rotor e o eixo da fase a do estator usando a notação da Seção 52 como segue Para as indutâncias próprias do estator Laa Lal Laa0 Lg2 cos 2θme C4 Lbb Lal Laa0 Lg2 cos 2θme 120 C5 Lcc Lal Laa0 Lg2 cos 2θme 120 C6 onde Lal é a indutância de dispersão do enrolamento Laa0 é a indutância que corres ponde à componente constante da permeância de entreferro e Lg2 é o valor da indu tância que corresponde à componente da permeância de entreferro que varia com o ângulo do rotor Para as indutâncias mútuas entre estator e estator C7 C8 668 Apêndice C A transformação dq0 C9 Para a indutância própria do enrolamento de campo Lff Lff C10 e para as indutâncias mútuas entre estator e rotor Laf Lfa Laf cos θme C11 Lbf Lfb Laf cos θme 120 C12 Lcf Lfc Laf cos θme 120 C13 Uma comparação com a Seção 52 mostra que os efeitos das saliências apa recem apenas nos termos de indutância própria e mútua do estator na forma de um termo de indutância que varia em função de 2θme Essa variação de duplo ângulo pode ser entendida com base na Figura C1 onde é possível ver que uma rotação de 180 do rotor reproduz a geometria original do circuito magnético Observe que a indutância própria de cada fase de estator é máxima quando o eixo direto do rotor está alinhado com o eixo daquela fase e que a indutância mútua entre fases é máxima quando o eixo direto do rotor está alinhado a meio caminho entre duas fases Esse é o resultado esperado porque o eixo direto do rotor é o caminho de relutância mínima permeância máxima do fluxo de entreferro As expressões de fluxo concatenado da Eq C3 tornamse muito mais simples quando são expressas em termos de variáveis dq0 Isso pode ser feito aplicando a transformação da Eq C1 a ambas as correntes e os fluxos concatenados da Eq C3 As manipulações são um tanto laboriosas e são omitidas aqui por serem simplesmen te algébricas Os resultados são λd Ldid Lafif C14 λq Lqiq C15 C16 λ0 L0i0 C17 Nessas equações aparecem novos termos de indutância C18 C19 L0 Lal C20 As grandezas Ld e Lq são respectivamente as indutâncias síncronas de eixo direto e de eixo em quadratura correspondendo diretamente às reatâncias síncronas de eixo direto e em quadratura discutidas na Seção 56 isto é Xd ωeLd e Xq ωeLq A indutância L0 é a indutância de sequência zero Observe que as relações Apêndice C A transformação dq0 669 transformadas entre correntes e fluxos concatenados expressas pelas Eqs C14 a C17 deixaram de conter indutâncias que dependiam da posição do rotor Essa carac terística é a responsável pela utilidade da transformação dq0 A transformação das equações de tensão C21 C22 C23 C24 resulta em C25 C26 C27 C28 novamente os detalhes algébricos foram omitidos em que ωme dθmedt é a velo cidade angular elétrica do rotor Nas Eqs C25 e C26 os termos ωmeλq e ωmeλd são termos de tensão de ve locidade que surgem como resultado de optarmos por definir nossas variáveis em um sistema girante com velocidade angular elétrica ωme Esses termos de tensão de velocidade são análogos diretos dos termos de tensão de velocidade encontrados na análise de máquinas CC do Capítulo 9 Em uma máquina CC o sistema de comutador e escovas executa a transformação que converte as tensões de armadura rotor para o sistema de referência do enrolamento de campo estator Agora temos as relações básicas para a análise de nossa máquina síncrona sim ples Elas consistem nas Eqs C14 a C17 envolvendo fluxos concatenados e cor rentes as Eqs C25 a C28 de tensão e as Eqs C1 e C2 de transformação Quando a velocidade angular elétrica do rotor ωme é constante as equações diferenciais são lineares com coeficientes constantes Além disso os termos de transformador dλddt e dλqdt nas Eqs C25 e C26 frequentemente são desprezíveis quando comparados com os termos de tensão de velocidade ωmeλq e ωmeλd propiciando simplificação adicional A omissão desses termos corresponde a desprezar as harmônicas e a com ponente CC na solução transitória das tensões e correntes do estator De qualquer 670 Apêndice C A transformação dq0 forma as equações transformadas são em geral muito mais fáceis de resolver tanto analiticamente como por simulação em computador do que as equações expressas diretamente em termos de variáveis de fase Ao usar essas equações e as respectivas equações encontradas na literatura so bre máquinas elétricas devese prestar uma cuidadosa atenção à convenção de si nais e às unidades empregadas Aqui escolhemos a referência do tipo motor como convenção para as correntes de armadura ou seja correntes positivas entram nos terminais da máquina Também foram usadas aqui as unidades SI volts ampères ohms henrys etc Na literatura normalmente usase um entre diversos sistemas por unidade para conseguir simplificações numéricas1 Para que o conjunto de equações úteis fique completo são necessárias expressões para a potência e o conjugado A potência instantânea que entra no estator trifásico é ps vaia vbib vcic C29 As grandezas de fase da Eq C29 poderão ser eliminadas se usarmos a Eq C2 escrita em termos de tensões e correntes O resultado é C30 Usando as técnicas do Capítulo 3 podemos obter facilmente o conjugado ele tromagnético Tmec como sendo igual à potência de saída que corresponde às tensões de velocidade divididas pela velocidade no eixo em radianos mecânicos por segun do Da Eq C30 com os termos de tensão de velocidade das Eqs C25 e C26 e usando ωme como velocidade do rotor em radianos elétricos por segundo obtemos C31 Uma palavra a respeito de convenção de sinais Quando como no caso do de senvolvimento deste apêndice escolhese a convenção do tipo motor para ser usada como referência de corrente isto é o sentido positivo de referência de corrente é para dentro da máquina o conjugado da Eq C31 será um conjugado que atua acelerando o rotor Por outro lado se for escolhida a convenção do tipo gerador como referência então o conjugado da Eq C31 será um conjugado que atua desacelerando o rotor Esse resultado representa em geral conformidade com a produção de conjugado a partir de campos magnéticos que interagem de acordo com o que está expresso na Eq 483 Na Eq C31 vemos a sobreposição da interação das componentes o fluxo magnético de eixo direto produz conjugado por meio de sua interação com a FMM do eixo em quadratura e o fluxo magnético de eixo em quadratura produz conjugado por meio de sua interação com a FMM de eixo direto Observe que para ambas as interações o fluxo e as FMMs que interagem estão distanciados de 90 graus elétricos Portanto o seno do ângulo de interação veja Eq 483 é unitário o que por sua vez leva à forma simples da Eq C31 Como uma nota preventiva final o leitor é novamente lembrado de que as cor rentes fluxos e tensões nas Eqs C29 a C31 são valores instantâneos Assim o leitor 1 Veja A W Rankin PerUnit Impedances of Synchronous Machines Trans AIEE 64569573 839841 1945 Apêndice C A transformação dq0 671 deve evitar o uso de valores eficazes nessas e em outras equações de transformação encontradas neste apêndice C3 Relações básicas das máquinas de indução em variáveis dq0 No desenvolvimento seguinte assumiremos que a máquina de indução contém en rolamentos trifásicos tanto no rotor como no estator e que não há efeitos devido a saliências Nesse caso as relações entre fluxos concatenados e correntes podem ser escritas como C32 em que os índices a b e c referemse a grandezas de estator ao passo que os índices aR bR e cR referemse a grandezas de rotor As várias indutâncias de máquina podem então ser escritas em termos do ângu lo elétrico θme de rotor definido nesse caso entre os eixos da fase aR do rotor e o eixo da fase a do estator como segue Para as indutâncias próprias de estator Laa Lbb Lcc Laa0 Lal C33 em que Laa0 é a componente de entreferro da indutância própria do estator e Lal é a componente de dispersão leakage Para as indutâncias próprias de rotor LaRaR LbRbR LcRcR LaRaR0 LaRl C34 onde LaRaR0 é a componente de entreferro da indutância própria do rotor e LaRl é a componente de dispersão Para as indutâncias mútuas entre estator e estator C35 Para as indutâncias mútuas entre rotor e rotor C36 e para as indutâncias mútuas entre estator e rotor LaaR LaRa LbbR LbRb LccR LcRc LaaR cos θme C37 LLbaR LaRb LcbR LbRc LacR LcRa LaaR cos θme 120 C38 LcaR LaRc LabR LbRa LbcR LcRb LaaR cos θme 120 C39 672 Apêndice C A transformação dq0 A respectivas equações de tensão tornamse C40 C41 C42 C43 C44 C45 onde as tensões vaR vbR e vcR anulamse porque os enrolamentos do rotor estão em curtocircuito em seus terminais No caso de uma máquina síncrona em que a onda de fluxo do estator e o rotor giram em sincronismo pelo menos em regime permanente a escolha do sistema de referência para a transformação dq0 é relativamente óbvia Especificamente a trans formação mais útil tem o sistema de referência fixo no rotor No caso de um motor de indução a escolha não é tão óbvia Por exemplo pode se escolher um sistema de referência fixo no rotor e aplicar diretamente as transfor mações das Eqs C1 e C2 Se isso for feito como o rotor de um motor de indução não gira na velocidade síncrona os fluxos concatenados vistos no sistema de referência do rotor não serão constantes e consequentemente as derivadas de tempo nas equações transformadas de tensão não serão iguais a zero Como consequência será constado que os fluxos concatenados as correntes e as tensões dos eixos direto e em quadratura estarão variando no tempo Isso torna a transformação de pouco valor prático Um opção alternativa é escolher um sistema de referência que está girando na velocidade angular síncrona Nesse caso as grandezas do estator e do rotor devem ser transformadas No caso das grandezas do estator o ângulo de rotor θme nas Eqs C1 e C2 é substituído por θS em que θS ωet θ0 C46 é o ângulo entre o eixo da fase a e o eixo do sistema de referência dq0 girando sin cronicamente e θ0 As equações de transformação para as grandezas de estator tornamse então C47 Apêndice C A transformação dq0 673 e a transformação inversa é C48 De modo semelhante no caso do rotor θS é substituído por θR em que θR ωe ωmet θ0 C49 é o ângulo entre o eixo da fase aR do rotor e o do sistema de referência dq0 girando sincronicamente O termo ωe ωme é a velocidade angular elétrica do sistema de referência girando sincronicamente tal como é visto do rotor As equações de transformação para as grandezas de rotor tornamse então C50 e a transformação inversa será C51 Usando esse conjunto de transformações para as grandezas de rotor e estator as relações transformadas entre fluxos concatenados e correntes tornamse λd LSid LmidR C52 λq LSiq LmiqR C53 λ0 L0i0 C54 para o estator e λdR Lmid LRidR C55 λqR Lmiq LRiqR C56 λ0R L0Ri0R C57 para o rotor Aqui definimos um novo conjunto de indutâncias C58 C59 L0 Lal C60 C61 674 Apêndice C A transformação dq0 L0R LaRl C62 As equações transformadas de tensões de estator são C63 C64 C65 e as de rotor são C66 C67 C68 Finalmente usando as técnicas do Capítulo 3 o conjugado pode ser expresso de diversas formas equivalentes incluindo C69 e C70 C4 Variáveis do Apêndice C λ Fluxo concatenado Wb θ Ângulo de fase rad θme Ângulo do rotor em unidades elétricas rad θR θS Ângulo para o sistema de referência girante síncrono rad ω ωe Frequência elétrica velocidade do rotor rads ωme Velocidade angular do rotor em unidades elétricas rads i I Corrente A L L Indutância H Laa0 Componente de indutância correspondente à componente constante da permeância de entreferro H Lal Indutância de dispersão H Lg2 Componente de indutância correspondente à componente de entreferro da permeância que varia com o ângulo do rotor H p Potência W A PÊ NDIC E D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de máquinas elétricas Neste livro foram discutidas as características básicas essenciais das máquinas elé tricas Esse material forma a base da compreensão do comportamento das máquinas elétricas de todos os tipos Neste apêndice o nosso objetivo é introduzir questões de ordem prática relacionadas com a engenharia de implementação dos conceitos que foram desenvolvidos sobre máquinas Tópicos comuns a todos os tipos de máquinas elétricas como perdas refrigeração e características nominais são discutidos D1 Perdas A análise das perdas nas máquinas é importante por três razões 1 As perdas determi nam o rendimento da máquina e influenciam consideravelmente o custo de seu funcio namento 2 as perdas aquecem a máquina e a elevação de temperatura correspondente determina a potência máxima de saída que pode ser obtida sem deterioração indevida do isolamento e 3 em uma representação da máquina devemos incluir de forma adequada as quedas de tensão e as correntes associadas às perdas O rendimento da máquina como o de transformadores ou de qualquer outro dispositivo conversor de energia é dado por Rendimento saída entrada D1 que pode ser expresso como Rendimento entrada perdas perdas entrada entrada D2 Rendimento saída saída perdas D3 Em geral as máquinas rotativas funcionam eficientemente exceto com cargas leves Por exemplo em motores na ordem de 1 a 10 kW o rendimento de plena carga de motores médios varia de 80 a 90 passando por 90 a 95 em motores de até poucas cente nas de kW e chegando a alguns por cento a mais em motores maiores Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 677 As formas expressas pelas Equações D2 e D3 em geral são usadas em máqui nas elétricas já que seu rendimento é determinado muitas vezes por medições das perdas ao invés de medir diretamente a entrada e a saída sob carga Os rendimentos determinados a partir das medições de perdas podem ser usados para comparar má quinas semelhantes quando exatamente os mesmos métodos de medição e de cálculo são usados em cada caso Por essa razão as diversas perdas e as condições de sua medição são definidas com rigor pelo American National Standards Institute ANSI o Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE e a National Electrical Ma nufacturers Association NEMA As discussões a seguir resumem alguns dos diver sos mecanismos de perdas que são normalmente considerados Perdas ôhmicas As perdas ôhmicas ou I2R são encontradas em todos os enrolamen tos de uma máquina Por convenção essas perdas são calculadas frequentemente com base nas resistências CC do enrolamento a 75o C embora o cálculo possa ser me lhorado medindo a temperatura do enrolamento em cada ponto específico de opera ção Além disso a componente CA das perdas I2R do enrolamento que determina a resistência efetiva CA do enrolamento depende da frequência de operação e das condições de fluxo da máquina O incremento nas perdas representado pela diferença entre a resistência CC e a efetiva está incluído nas perdas suplementares de carga discutidas abaixo Nos enrolamentos de campo de máquinas CC e síncronas apenas as perdas no enrolamento de campo são descontadas do rendimento da máquina as per das nas fontes externas que alimentam a excitação são descontadas da planta da qual a máquina faz parte Intimamente associadas às perdas I2R estão as perdas nos contatos das escovas dos anéis deslizantes e comutadores Por convenção em geral essas per das são desprezadas em máquinas síncronas e de indução Nas máquinas CC de tipo industrial a queda de tensão nas escovas é vista como constante tendo um total de 2 V quando são usadas escovas de carvão e grafite com seus cabos flexíveis de ligação Perdas mecânicas As perdas mecânicas consistem em atrito nas escovas e mancais em ventilação e na potência necessária para fazer o ar circular por dentro da máquina e pelo sistema de ventilação Se este último estiver presente poderá ser com ventiladores próprios ou externos exceto pela potência necessária para forçar o ar para dentro da má quina através de condutos externos longos ou estreitos As perdas por atrito e ventilação podem ser medidas determinando a entrada de potência da máquina quando ela está fun cionando na velocidade apropriada mas sem carga nem excitação Frequentemente elas são combinadas com as perdas no núcleo e são determinadas ao mesmo tempo Perdas no ferro em circuito aberto ou a vazio As perdas no ferro em circuito aberto ou a vazio consistem nas perdas por histerese e por correntes parasitas que surgem da alteração de densidades de fluxo no ferro da máquina quando apenas o enrolamento principal de excitação está energizado Nas máquinas CC e síncronas essas perdas es tão confinadas principalmente ao ferro da armadura embora as variações de fluxo que se originam nas aberturas das ranhuras também causem perdas no ferro do núcleo em especial nas sapatas polares ou nas superfícies do ferro do campo Nas máquinas de indução as perdas estão confinadas em sua maior parte ao ferro do estator As perdas no N de T No Brasil essas definições são estabelecidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT 678 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de núcleo em circuito aberto podem ser obtidas medindo a potência de entrada da máquina quando ela está operando a vazio na velocidade ou frequência nominais e nas condições apropriadas de fluxo ou tensão e subtraindo então as perdas por atrito e ventilação e se durante o ensaio a máquina estiver se impulsionando também as perdas I2R de armadura a vazio perdas I2R a vazio de estator para um motor de indução Em geral dados são obtidos para uma curva de perdas no núcleo em função da tensão de armadura na vizi nhança da tensão nominal As perdas no núcleo sob carga são então consideradas como o valor em uma tensão igual à tensão nominal corrigida para levar em conta a queda na resistência de armadura sob carga uma correção fasorial no caso de uma máquina CA Entretanto nos motores de indução essa correção é dispensada usandose as perdas no núcleo para a tensão nominal Para determinar apenas o rendimento não há necessidade de separar as perdas no núcleo em circuito aberto das perdas por atrito e ventilação a soma dessas duas é denominada perdas rotacionais a vazio As perdas por correntes parasitas Pp variam com o quadrado da densidade de fluxo a frequência e a espessura das chapas Em condições normais de operação pode ser expressa com aproximação suficiente por Pp KpBmax f δ2 D4 em que δ espessura das chapas Bmax densidade de fluxo máxima f frequência Kp constante de proporcionalidade O valor de Kp depende das unidades usadas do volume de ferro e da resistividade do ferro A variação nas perdas por histerese Ph pode ser expressa em forma de equa ção apenas com base empírica Uma relação normalmente usada é Ph Kh f Bn max D5 em que Kh é uma constante de proporcionalidade que depende das características e do volume do ferro e das unidades usadas O expoente n varia de 15 a 25 sendo que um valor de 20 é usado muitas vezes quando a finalidade é fazer estimativas nas máquinas Nas Equações D4 e D5 a frequência pode ser substituída pela velocidade e a densidade de fluxo pela tensão apropriada As constantes de proporcionalidade também devem ser alteradas adequadamente Quando a máquina está carregada a distribuição espacial da densidade de fluxo alterase de forma significativa pela FMM das correntes de carga As perdas reais no nú cleo podem se elevar de forma notável Por exemplo nas proximidades das superfícies do entreferro as harmônicas de FMM causam perdas consideráveis no ferro O incre mento total de perdas no núcleo é classificado como parte das perdas suplementares Perdas suplementares As perdas suplementares consistem em perdas que se origi nam na distribuição não uniforme de corrente no cobre e em perdas adicionais no nú cleo produzidas no ferro pela distorção do fluxo magnético devido à corrente de carga São perdas difíceis de serem determinadas com exatidão Por convenção em máquinas CC admitese que elas representam 10 da saída No caso de máquinas síncronas e de indução elas podem ser obtidas por diversos ensaios padronizados Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 679 D2 Características nominais e aquecimento A potência nominal de dispositivos elétricos como máquinas e transformadores é determinada normalmente por considerações de ordem mecânica e térmica Por exemplo a corrente máxima de enrolamento é determinada em geral pela máxima temperatura de funcionamento que o isolamento pode suportar sem sofrer danos ou diminuição excessiva da vida útil De modo semelhante a velocidade máxima de um motor ou gerador costuma ser determinada por considerações mecânicas relaciona das com a integridade estrutural do rotor ou o desempenho dos mancais Portanto a elevação de temperatura que resulta das perdas analisadas na Seção D1 é um fator da maior importância na especificação da potência de uma máquina A temperatura de operação de uma máquina está intimamente associada à sua expectativa de vida porque a deterioração do isolamento é uma função tanto do tem po como da temperatura Essa deterioração é um fenômeno químico que envolve oxi dação lenta e endurecimento quebradiço levando à perda de durabilidade mecânica e de rigidez dielétrica Em muitos casos a taxa de deterioração é tal que a vida do isolamento pode ser representada por uma exponencial Vida AeBT D6 em que A e B são constantes e T é a temperatura absoluta de funcionamento Assim de acordo com a Eq D6 quando a vida é plotada na escala logarítmica em função do recíproco da temperatura absoluta em escala uniforme deve resultar uma linha reta Essas plotagens constituem guias valiosos para a avaliação térmica de materiais e sistemas de isolamento Uma ideia muito aproximada da relação entre vida e tem peratura pode ser obtida a partir da antiga regra mais ou menos obsoleta de que o tempo necessário para ocorrer falha em um isolamento orgânico reduzse à metade a cada incremento de 8 a 10oC de temperatura A avaliação dos materiais isolantes e sistemas de isolamento podendo incluir combinações de materiais e técnicas muito diferentes é em ampla extensão baseada em ensaios de vida útil acelerada Tanto a expectativa de vida normal como as condi ções de serviço irão variar muito entre classes diferentes de equipamento elétrico A expectativa de vida por exemplo pode ser uma questão de minutos em algumas apli cações militares e de mísseis pode ser de 500 a 1000 horas em certos equipamentos de aeronaves e eletrônicos e pode variar de 10 até 30 anos ou mais em equipamentos industriais de grande porte Os procedimentos de ensaio irão variar de acordo com o tipo de equipamento Ensaios de envelhecimento acelerado feitos com modelos denominados motorettes são usados normalmente na avaliação do isolamento Esses ensaios entretanto não podem ser aplicados facilmente a todos os equipamentos em especial os sistemas de isolamento das máquinas de grande porte Em geral os ensaios relativos à vida útil do isolamento tentam simular as con dições de serviço Incluem muitas vezes os seguintes elementos Choque térmico resultante do aquecimento até a temperatura de ensaio Aquecimento sustentado nessa temperatura Choque térmico resultante do esfriamento até a temperatura ambiente ou abaixo Esforços mecânicos e de vibração como podem ser encontrados em funciona mento real 680 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de Exposição à umidade Ensaio dielétrico para determinar as condições do isolamento Amostras em quantidade suficiente devem ser testadas para permitir que méto dos estatísticos sejam aplicados à análise dos resultados As relações entre a vida e a temperatura obtidas nesses ensaios permitem classificar o isolamento ou classe de isolamento dentro da classe apropriada de temperatura Para conhecer os limites máximos de temperatura dos sistemas isolantes usados comercialmente devemse consultar as normas mais recentes da ANSI IEEE e NEMA As três classes de sistemas de isolamento da NEMA de maior interesse para máquinas industriais são as classes B F e H Os materiais isolantes da classe B incluem mica fibra de vidro asbesto e materiais similares acompanhados de substân cias aglutinantes adequadas O isolamento de classe F também inclui mica fibra de vidro e substâncias sintéticas similares às da classe B mas o sistema deve ser capaz de suportar temperaturas mais elevadas O isolamento de classe H voltado para tem peraturas ainda maiores pode consistir em materiais como elastômeros de silicone e suas combinações incluindo mica fibra de vidro asbesto e assim por diante com substâncias aglutinantes tais como resinas apropriadas de silicone Experiência e en saios mostrando que o material ou sistema são capazes de operar na temperatura re comendada constituem os critérios importantes de classificação Quando estiver estabelecida a classe de temperatura do isolamento as eleva ções de temperatura observáveis que são permitidas nas diversas partes de uma má quina do tipo industrial poderão ser encontradas consultando as normas apropriadas Distinções razoavelmente detalhadas são feitas em relação ao tipo de máquina méto do de medição de temperatura parte da máquina envolvida se a máquina é aberta ou não e tipo de resfriamento com ar ventilador hidrogênio etc Distinções também são feitas entre máquinas de aplicação geral e especial definida O termo motor de aplicação geral referese a um motor de potência padronizada até 200 HP com características de operação e construção mecânica padronizadas para uso em con dições usuais de serviço sem estar restrito a uma aplicação em particular ou tipo de aplicação Em contraste um motor de aplicação especial é projetado com caracte rísticas de operação ou de construção mecânica ou ambas próprias para uso em uma aplicação em particular Para a mesma classe de isolamento a elevação permitida de temperatura é menor em um motor de aplicação geral do que em um motor de aplica ção especial Em grande parte isso é feito para permitir um fator de segurança maior onde as condições de serviço são desconhecidas Parcialmente compensando a menor elevação entretanto está o fato de que é permitido aos motores de aplicação geral um fator de serviço de 115 sob tensão nominal O fator de serviço é um multiplicador que aplicado à saída nominal indica qual é a carga permitida que pode ser suportada continuamente nas condições especificadas para esse fator de serviço Exemplos de elevações de temperatura permitidas podem ser vistos na Tabela D1 A tabela aplicase aos motores de indução de potência acima de 1 HP e está baseada em temperaturas ambientes de 40C e supõe que a medição do aumento de temperatura pode ser feita determinandose o aumento do valor das resistências de enrolamento N de T No Brasil devese consultar as normas apropriadas da Associação Brasileira de Normas Téc nicas ABNT Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 681 A especificação mais comum de potência é a potência nominal contínua que define a saída para geradores CC em quilowatts para geradores CA em quilovolts ampères e fator de potência especificado e para motores em HPs ou quilowatts que pode ser mantida indefinidamente sem exceder as limitações estabelecidas Para os casos de operação intermitente periódica ou de ciclo de trabalho variável uma má quina pode receber uma especificação de potência de curta duração que define a carga possível de ser mantida por um tempo específico Períodos padronizados para espe cificações de carga de curta duração são 5 15 30 e 60 minutos Velocidades tensões e frequências também são fornecidas com as especificações da máquina e são dadas indicações relativas a possíveis variações de tensão e frequência Por exemplo os mo tores devem funcionar bem com tensões 10 acima e abaixo da tensão nominal e no caso de motores CA 5 abaixo e acima da frequência nominal A variação combina da de tensão e frequência não pode exceder 10 Outras condições de desempenho são estabelecidas de modo que sobrecargas razoáveis de curta duração possam ser suportadas Assim o usuário de um motor pode esperar que seja possível aplicar uma sobrecarga de curta duração de digamos 25 com 90 da tensão normal dentro de uma ampla margem de segurança O problema inverso ao da especificação das máquinas é o de escolher o tama nho da máquina para uma aplicação em particular Esse problema é relativamente simples quando o requerimento de carga mantémse basicamente constante Em mui tas aplicações de motores entretanto os requerimentos de carga variam de forma mais ou menos cíclica dentro de um amplo intervalo O ciclo de trabalho de um típico motor de um guindaste ou elevador de carga fornece um bom exemplo Do ponto de vista térmico o aquecimento médio do motor deve ser obtido pelo estudo detalhado das perdas do motor durante as várias partes do ciclo Devese levar em conta as mu danças de ventilação com a velocidade do motor em motores abertos e semifechados Uma seleção criteriosa baseiase em uma grande quantidade de dados experimentais e em uma considerável experiência com os motores envolvidos Para estimar o tama nho necessário dos motores que operam com velocidades praticamente constantes supõese algumas vezes que o aquecimento do isolamento varie segundo o quadrado da carga uma suposição que claro superenfatiza o papel das perdas I2R de armadura às custas das perdas no núcleo A ordenada eficaz da curva de potência versus tempo que representa o ciclo de trabalho é obtida pela mesma técnica usada para encontrar o valor eficaz de correntes que variam periodicamente Uma potência nominal para o motor é escolhida com base nesse resultado isto é D7 Tabela D1 Elevação permitida de temperatura C Tipo de motor Classe B Classe F Classe H Fator de serviço 115 90 115 Fator de serviço 100 enrolamentos encapsulados 85 110 Totalmente fechado resfriamento com ventilador 80 105 125 Totalmente fechado não ventilado 85 110 130 Extraída das normas da NEMA 682 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de onde a constante k leva em conta que o resfriamento é mais pobre na parada e é igual a aproximadamente 4 em um motor aberto O tempo de um ciclo completo deve ser curto quando comparado com o tempo necessário para o motor alcançar uma tempe ratura constante Embora grosseiro o método dos quilowatts eficazes é usado com muita frequência A necessidade de que o resultado seja arredondado para um tamanho de motor que esteja disponível comercialmente1 dispensa a necessidade de cálculos precisos Uma conside ração especial deve ser dada aos motores que muitas vezes sofrem partida ou inversão de marcha já que essas operações são tecnicamente equivalentes a sobrecargas pesadas Atenção também deve ser dada a ciclos de trabalho que contêm conjugados tão elevados que motores com potências nominais contínuas escolhidos em bases puramente térmi cas são incapazes de fornecer os conjugados requeridos É a esse tipo de ciclo de traba lho que motores de aplicação especial com especificações de curta duração costumam ser aplicados Os motores com especificações de potência de curta duração têm geral mente uma capacidade melhor para produzir conjugado do que os motores especificados para produzir continuamente a mesma saída de potência embora naturalmente a sua capacidade térmica seja inferior Essas duas propriedades vêm do fato de que um motor especificado para curta duração é projetado para densidades de fluxo elevadas no ferro e densidades de corrente elevadas no cobre Em geral a razão entre a capacidade de conju gado e a capacidade térmica cresce à medida que o período do intervalo de curta duração nominal diminui As elevações permitidas de temperatura são maiores em motores com especificação de curta duração do que em motores de aplicação geral Um motor com uma especificação de 150 kW 1 hora e 50oC por exemplo pode ter a capacidade de con jugado de um motor de potência nominal contínua de 200 kW Entretanto ele será capaz de manter continuamente apenas cerca de 08 vezes a sua saída nominal ou seja 120 kW Em muitos casos essa será a solução econômica para um acionamento que requer uma capacidade térmica contínua de 120 kW mas que tem picos de conjugado que requerem a capacidade de um motor com uma potência nominal contínua de 200 kW D3 Métodos de refrigeração das máquinas elétricas Em geral o problema da refrigeração nos aparelhos elétricos aumenta de dificuldade com o aumento do tamanho A área da superfície da qual o calor deve ser retirado au menta aproximadamente com o quadrado das dimensões ao passo que o calor desen volvido pelas perdas é aproximadamente proporcional ao volume e portanto aumenta aproximadamente com o cubo das dimensões Esse problema é particularmente sério em geradores a turbina de grande porte onde economia exigências mecânicas transporte e montagem exigem compacidade especialmente para o rotor que é uma peça forjada Mesmo em máquinas de tamanho moderado por exemplo acima de uns poucos milha res de kVA no caso de geradores usase comumente um sistema fechado de ventilação Devese providenciar um sistema bem elaborado de dutos de refrigeração para assegurar que o meio refrigerante possa remover efetivamente o calor originário das perdas 1 Os motores disponíveis para fins comerciais são geralmente encontrados em tamanhos padronizados definidos pela NEMA As normas da NEMA para motores e geradores especificam as potências nominais dos motores assim como o tipo e as dimensões da carcaça do motor Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 683 Em geradores a turbina usase normalmente o hidrogênio como meio refrige rante dentro de um sistema de ventilação totalmente fechado O hidrogênio tem as seguintes propriedades que o tornam bem adequado para esse propósito Sua densidade é apenas 007 vezes a do ar para a mesma temperatura e pressão e portanto as perdas pela movimentação do ar e pelo sistema de ventilação são muito menores Para pesos iguais seu calor específico é cerca de 145 vezes o do ar Isso signi fica que para a mesma temperatura e pressão o hidrogênio e o ar apresentam aproximadamente a mesma eficiência em sua capacidade de armazenar calor por volume unitário mas a transferência de calor por convecção forçada entre as partes aquecidas da máquina e o gás refrigerante é bem maior com hidrogê nio do que com ar A vida do isolamento é aumentada e as despesas de manutenção são diminuídas devido à ausência de sujeira umidade e oxigênio O risco de incêndio é minimizado Uma mistura de hidrogênio e ar não explodi rá se o conteúdo de hidrogênio for superior a 70 O resultado das duas primeiras propriedades é que para as mesmas condições de operação diminuise o calor que deve ser dissipado e ao mesmo tempo aumenta se a facilidade com que ele pode ser retirado A máquina e o trocador de calor refrigerado a água usado para o resfriamento do hidrogênio devem estar selados em um invólucro à prova de vazamento de gás O ponto crucial do problema está em selar os mancais O sistema é mantido em uma pressão ligeiramente maior no mínimo 05 psi do que a pressão atmosférica de modo que o vazamento de gás seja para fora e uma mistura explosiva não possa se acumular na máquina Com essa pressão a potência da máquina pode ser aumentada em torno de 30 acima de sua potência nominal para refrigeração a ar e o rendimen to de plena carga é aumentado em cerca de 05 A tendência é pelo uso de pressões mais elevadas 15 a 60 psi Para a mesma elevação de temperatura um aumento de 05 para 15 psi na pressão do hidrogênio aumenta a saída em cerca de 15 um au mento adicional até 30 psi proporciona cerca de 10 adicionais Um passo importante que possibilitou a quase duplicação da potência de saída de um gerador a turbina de um dado tamanho físico e refrigerado a hidrogênio foi o desenvolvimento do resfriamento dos condutores também denominado resfriamento interno Aqui o refrigerante líquido ou gás é forçado através de dutos ocos por den tro dos condutores ou feixes de condutores Exemplos desses condutores podem ser vistos na Figura D1 Assim a barreira térmica apresentada pelo isolamento elétrico é amplamente contornada e as perdas no condutor podem ser absorvidas diretamente pelo refrigerante O hidrogênio é usualmente o meio refrigerante dos condutores do rotor O resfriamento tanto a gás como líquido pode ser usado nos condutores do estator O hidrogênio é o refrigerante do primeiro caso e o óleo ou a água são normal mente usados no segundo As Figs 42 e 49 mostram um gerador hidroelétrico de grande porte em que o estator e o rotor são refrigerados com água N de T Pound per square inch ou libra por polegada quadrada 684 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de D4 Excitação O fluxo resultante do circuito magnético de uma máquina é estabelecido pela FMM combinada de todos os enrolamentos da máquina Na máquina CC convencional a parte maior da FMM efetiva é fornecida pelos enrolamentos de campo No trans formador a excitação líquida pode ser fornecida tanto pelo enrolamento primário como pelo secundário ou uma parte pode ser fornecida por cada um Uma situação semelhante existe nas máquinas CA O fornecimento da excitação às máquinas CA apresenta dois aspectos operacionais diferentes os quais têm importância econômica na aplicação das máquinas D41 Fator de potência em máquinas CA O fator de potência com o qual as máquinas CA operam é uma característica economica mente importante devido ao custo dos quilovoltsampères reativos Um fator de potência baixo afeta de forma negativa a operação do sistema de três modos principais 1 Ge radores transformadores e equipamentos de transmissão são especificados em termos de kVA ao invés de kW porque as suas perdas e o aquecimento são determinados pela tensão e a corrente independentemente do fator de potência O tamanho físico e o custo dos equipamentos CA são aproximadamente proporcionais à potência aparente kVA O investimento em geradores transformadores e equipamentos de transmissão para for necer uma determinada quantidade útil de potência ativa é portanto aproximadamente proporcional ao inverso do fator de potência 2 Um fator de potência baixo significa mais corrente e perdas I2R mais elevadas nos equipamentos de geração e transmissão 3 Uma desvantagem adicional é a regulação pobre de tensão Os fatores que influenciam as necessidades de kVA reativos nos motores podem ser visualizados facilmente em termos da relação dessas necessidades com o estabele cimento do fluxo magnético Como em qualquer dispositivo eletromagnético o fluxo resultante necessário para a operação do motor deve ser estabelecido por uma compo nente magnetizante de corrente Não fará diferença tanto para o circuito magnético a b c Figura D1 Seções em corte de barras para enrolamentos de duas camadas para estatores de geradores a turbina O sistema de isolamento consiste em resina sintética com impregnação a vácuo a Barra refrigerada indiretamente com feixes tubulares b barras refrigeradas a água feixes combinados com largura de dois condutores c barras refrigeradas a água feixes com binados com largura de quatro condutores Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 685 como para o processo básico de conversão de energia se essa corrente de magneti zação fluir no enrolamento de rotor ou no de estator No caso de um transformador não fará diferença qual de seus enrolamentos conduzirá a corrente de excitação Em alguns casos cada um dos enrolamentos fornece uma parte Se toda ou parte da cor rente de magnetização for suprida por um enrolamento CA então a entrada daquele enrolamento deve incluir uma potência reativa kVA atrasada porque a corrente de magnetização está atrasada de 90 em relação à queda de tensão De fato é a potência reativa kVA atrasada que estabelece o fluxo no motor Em um motor de indução a única fonte possível de excitação é a entrada de estator Portanto o motor de indução deve operar com um fator de potência atrasado Esse fator de potência a vazio é muito baixo e cresce até cerca de 85 a 90 a plena carga A melhoria é causada pelo aumento das exigências de potência ativa com o aumento de carga Em um motor síncrono há duas fontes possíveis de excitação corrente alter nada na armadura ou corrente contínua no enrolamento de campo Se a corrente de campo for o mínimo suficiente para suprir a FMM necessária nenhuma componente de corrente magnetizante ou potência aparente kVA será necessária na armadura e o motor irá operar com fator de potência unitário Se a corrente de campo for menor isto é o motor está subexcitado o déficit de FMM deverá ser preenchido pela arma dura e o motor irá operar com um fator de potência atrasado Se a corrente de campo for maior isto é o motor está superexcitado a FMM em excesso deverá ser contra balançada na armadura e uma componente adiantada de corrente estará presente o motor funcionará então com um fator de potência adiantado Como a corrente de magnetização deve ser fornecida a cargas indutivas como transformadores e motores de indução a capacidade dos motores síncronos supe rexcitados em fornecer corrente atrasada indutiva é uma característica altamente desejável que pode ter uma importância econômica considerável De fato motores síncronos superexcitados atuam como geradores de quilovoltsampères reativos atra sados e dessa forma aliviam a fonte de potência da necessidade de fornecer essa componente Assim eles podem desempenhar a mesma função que uma instalação local de capacitores Algumas vezes máquinas síncronas a vazio são instaladas em sistemas de potência somente para corrigir o fator de potência ou para controlar o flu xo de kVA reativos Essas máquinas denominadas condensadores síncronos podem ser mais econômicas em tamanhos grandes do que capacitores estáticos As máquinas síncronas e as de indução podem se tornar autoexcitadas quando uma carga capacitiva suficientemente grande está presente em seus circuitos de estator A corrente capacitiva fornece então a excitação e pode causar sérias sobretensões ou conju gados transitórios excessivos Devido à capacitância inerente das linhas de transmissão o problema pode surgir quando geradores síncronos estão energizando linhas longas a vazio ou levemente carregadas Algumas vezes é necessário o uso de reatores em de rivação no lado de envio da linha para compensar a corrente capacitiva Com motores de indução é prática normal evitar a autoexcitação limitando o tamanho de qualquer capacitor em paralelo quando o motor e o capacitor são chaveados como uma unidade D42 Sistemas de excitação de geradores a turbina À medida que as potências nominais dos geradores acionados a turbina aumentaram os problemas de suprir a excitação CC de campo chegando a 4000 A ou mais nas 686 Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de unidades maiores tornaramse progressivamente mais difíceis Uma fonte comum de excitação é um gerador CC acionado pelo eixo cuja saída alimenta o campo do al ternador por meio de escovas e anéis deslizantes Como alternativa a excitação pode ser fornecida por um alternador de projeto convencional acionado pelo eixo que atua como excitatriz principal Esse alternador tem uma armadura estacionária e um enrolamento rotativo de campo Sua frequência pode ser 180 ou 240 Hz Sua saída alimenta um retificador de estado sólido estacionário que por sua vez supre o campo do gerador a turbina por meio de anéis deslizantes Problemas de refrigeração e manutenção ocorrem inevitavelmente com anéis deslizantes comutadores e escovas Muitos sistemas modernos de excitação redu ziram esses problemas minimizando o uso de contatos deslizantes e escovas Como resultado alguns sistemas de excitação empregam alternadores CA acionados pelo eixo cujos enrolamentos de campo são estacionários e cujos enrolamentos CA giram Pelo uso de retificadores que estão girando uma excitação CC pode ser aplicada dire tamente ao enrolamento de campo do gerador sem o uso de anéis deslizantes Sistemas de excitação de projeto muito recente estão sendo construídos sem qualquer tipo de alternador excitatriz rotativo Nesses sistemas a potência de excita ção é obtida por meio de um transformador auxiliar especial que é alimentado a partir da rede local de energia elétrica Como alternativa ela pode ser obtida diretamente dos terminais do gerador principal Em um desses sistemas um enrolamento especial de armadura é incluído no gerador principal para suprir a potência de excitação Em cada um desses sistemas a potência é retificada usando retificadores controlados de silício SCRs de fase controlada Esses tipos de sistemas de excitação que se torna ram possível com o desenvolvimento de SCRs confiáveis de alta potência são de pro jeto relativamente simples e fornecem as características de resposta rápida requeridas em muitas aplicações modernas D5 Eficiência energética das máquinas elétricas Com a preocupação crescente com o fornecimento e custo da energia surge também uma preocupação com a eficiência do seu uso Para se obter rendimento máximo embora a energia elétrica possa ser convertida eficientemente em energia mecânica é necessário tanto um projeto cuidadoso das máquinas elétricas como um casamento adequado da máquina com a aplicação pretendida Evidentemente um meio de maximizar o rendimento de uma máquina elétrica é minimizando as suas perdas internas como as descritas na Seção D1 Por exemplo as perdas I2R de enrolamento podem ser reduzidas aumentando a área das ranhuras de modo que mais cobre possa ser usado aumentando a área da seção reta dos enro lamentos e reduzindo a resistência As perdas no núcleo podem ser reduzidas diminuindo a densidade de fluxo magnético no ferro da máquina Isso pode ser feito aumentando o volume do ferro mas embora as perdas diminuam em termos de watts por quilograma o volume total de material e desse modo a massa é aumentado Na realidade dependendo de como o projeto da máquina é modificado pode haver um ponto além do qual as perdas começam a aumentar De modo semelhante para uma dada densidade de fluxo as perdas por correntes parasitas podem ser reduzidas usando chapas de ferro mais finas Apêndice D Aspectos de engenharia sobre o desempenho e a operação prática de 687 Podese ver que há necessidade de encontrar um meiotermo Máquinas de pro jeto mais eficiente requerem mais material e por isso são maiores e mais caras Os usuários geralmente irão escolher a solução de menor custo para uma necessidade em particular Se for possível esperar que o custo aumentado de capital de um motor de alto rendimento seja contrabalançado pela economia de energia durante a vida útil esperada da máquina os usuários provavelmente escolherão a máquina de alto rendi mento Em caso contrário é muito improvável que eles escolham essa opção apesar do aumento de eficiência De modo semelhante alguns tipos de máquinas elétricas são inerentemente mais eficientes do que outros Por exemplo motores de indução monofásicos com partida a capacitor Seção 92 são de custo relativamente baixo e altamente confiá veis encontrando uso em todos os tipos de dispositivos pequenos como por exemplo refrigeradores aparelhos de arcondicionado e ventiladores No entanto são ineren temente menos eficientes do que seus equivalentes trifásicos Modificações como o capacitor permanente de trabalho podem levar a uma maior eficiência no caso de motores de indução monofásicos mas são caros e muitas vezes não se justificam economicamente Para otimizar o rendimento do uso de máquinas elétricas a máquina deve ser combinada de forma apropriada com a aplicação tanto em termos de tamanho como de desempenho Como os motores de indução comuns tendem a consumir uma potên cia reativa aproximadamente constante independentemente da carga e como isso dá origem a perdas resistivas nas linhas de abastecimento é prudente escolher o motor de indução com a menor potência nominal que pode satisfazer adequadamente as necessidades de uma aplicação específica Como alternativa a correção capacitiva do fator de potência pode ser usada A aplicação apropriada da tecnologia de controle moderna de estado sólido também pode desempenhar um papel importante na otimi zação do desempenho e do rendimento Há naturalmente limitações de ordem prática que afetam a seleção do motor para uma aplicação em particular A principal entre elas é que os motores em geral es tão disponíveis apenas em certos tamanhos padronizados Por exemplo um fabricante típico poderia construir motores CA fracionários com potências de e 1 HP valores nominais padronizados da NEMA Essa seleção discreta limita assim a capacidade de fazer um ajuste fino em uma aplicação em especial Se for necessária uma potência de 08 HP o usuário com certeza acabará comprando um motor de 1 HP e contentandose com um rendimento um pouco menor do que o ótimo Um motor de 08 HP projetado e fabricado sob encomenda poderá se justificar economicamente apenas se for necessário em grandes quantidades Deve ser destacado que uma fonte extremamente comum de baixo rendimento em aplicações de motores elétricos é a falta de adequação entre o motor e sua aplica ção Mesmo os motores mais eficientes de 50 kW serão um tanto ineficientes quando estiverem acionando uma carga de 20 kW Na prática no entanto faltas de adequação desse tipo ocorrem com frequência devido em grande parte à dificuldade de caracteri zar as cargas de operação e à tendência de conservadorismo por parte dos engenheiros de aplicação Desse modo eles se asseguram de que o sistema em questão certamente funcionará apesar das incertezas do projeto Em aplicações de máquinas elétricas uma atenção mais cuidadosa a essa questão pode levar a um longo caminho que deve ser percorrido em direção a um aumento de rendimento no uso da energia A PÊ NDIC E E Tabela de constantes e fatores de conversão para unidades SI Constantes Permeabilidade do vácuo μ0 4π 107 Hm Permissividade do vácuo ϵ0 8854 1012 Fm Fatores de conversão Comprimento 1 m 3281 pés 3937 pol Massa 1 kg 00685 slug 2205 lb massa 3527 onças Força 1 N 0225 lbf libraforça 723 poundals Conjugado torque 1 N m 0738 lbfpés 1416 onçaspés Pressão 1 Pa Nm2 145 104 lbfpol2 986 106 atm Energia 1 J Ws 948 104 BTU 0239 calorias Potência 1 W 1341 103 HP 3412 BTUh Momento de inércia 1 kgm2 0738 slugpés2 237 lbpés2 1416 onçaspols2 Fluxo magnético 1 Wb 104 quilolinhas Densidade de fluxo magnético 1 T Wbm2 10000 gauss 645 quilolinhaspol2 Força magnetizante 1 Aespiram 00254 Aespiraspol 00126 oersted Índice A Ação de retificação do comutador 228 Ação do comutador 411413 Acionamento de conjugado constante 557 Acionamento de potência constante 555 Aço de grão orientado 27 Aço elétrico 13 máquina de entreferro liso construída com 237 medindo características magnéticas do 58 relutância do 407 Aço elétrico M5 13 laços de histerese para 20 29 30 magnetização residual 29 voltsampères eficazes de excitação 25 Aços de grão não orientado 27 Aços orientados operando com densidades de fluxo mais elevadas 27 Açosilício propriedades desejáveis do 64 Ajuste de fase alinhamento de onda de fluxo 322 Alnico temperatura Curie do 43 Alnico 5 cinco 29 30 35 36 Alnico 8 oito 35 36 Altofalante 61 185186 187 Altofalante de ímã permanente 61 American National Standards Institute ANSI 677 American Society for Testing and Materials ASTM 20 Amortecedor 162 Ampères 5 124 Ampèresespiras totais 16 Amplitude 243 Amplitude complexa eficaz da tensão gerada 270 Amplitude de pico da onda de FMM 206 Amplitude eficaz 269 579 Amplitude máxima no tempo 657 Análise de circuito monofásico aplicação 648 Análise de sistemas procedimento para realização de análises no sistema por unidade 102 Análise de transformador aspectos de engenharia da 7887 Análise do gerador 429434 Análise do motor de máquinas CC 434436 Análise não linear de MRVs 487495 Análises de sistema de potência na forma por unidade 101 Análises de transformadores de potência em frequência constante 79 Análises por elementos finitos 246 Anéis coletores 194 Anéis deslizantes 194 263 686 Anel de retenção não magnético 321 Ângulo de conjugado variáveis em 264 Ângulo de fator de potência 640 Ângulo de potência 286 Ângulo elétrico de fase espacial entre as ondas de FMM de estator e rotor 238 Ângulo espacial medido em relação ao eixo magnético do rotor 207 Ângulos de potência do gerador em estado permanente 312 Aproximação senoidal da tensão entre escovas 228 Aquecimento da armadura 295 Aquecimento ôhmico 2526 Arco entre lâminas 445 Armadura de uma máquina CC de dois polos 209 ondas de FMM 657660 resistência efetiva da 283 transferência através do contato de escova 442 Atraso de tempo associado com o surgimento da corrente 477 Atuador 159 174175 Atuadores de solenoide cilíndricos envoltos em ferro 177178 Autotransformador MVA 66 Autotransformadores 8790 388 B Barra retangular de cobre curva da razão entre a resistência efetiva CA e a resistência CC 384 Barramento infinito 263 330 Barras do rotor de uma dupla gaiola de esquilo 385 Barreiras de fluxo 326 Base em voltsampères 102 Base para base equações de conversão de 106 Bloco Estimator 609 Bloco de Initialization na chamada de um script de MATLAB 565 594 Bloco do controlador de conjugado 580 Blondel Andre 664 Bobina de excitação resistência da 129 Bobina de passo encurtado 254 656 Bobina de passo pleno 203 Bobina de sombreamento 518 Bobina em curtocircuito constituindo um circuito indutivo 442 Bobina solenoide 182 Bobinas 185 411 Bobinas de estator da fase a 598 Bobinas em comutação 442 C CA características de excitação de materiais do núcleo 2324 CA estator no veículo em movimento 241 CA excitação 2229 CA excitatriz 263 CA laço de histerese 23 24 CA máquinas 193200 204208 223227 categorias de 193 690 Índice desempenho de velocidade variável e controlador de conjugado de 553 enrolamento de armadura 190 enrolamentos terminais de estator de 249 fator de potência em 684685 ímã permanente 319329 ondas girantes de FMM em 216222 CA tensões produzidas nas bobinas do enrolamento de armadura 227 Caminhos de fluxo em uma máquina síncrona 194 Campo de dispersão na ranhura 385 Campo magnético de entreferro 213 214 Campo magnético girante do estator 126 Campo magnético radial constante 185 Campo magnético rotativo produzido por meio de correntes trifásicas 221 Campo resultante 239 Campo retrógrado induzindo correntes de rotor 522 Campo rotativo de amplitude constante produção 221 Campos de dispersão 9 391 Campos de espraiamento efeito dos 8 Campos elétricos resultando em correntes contidas 26 Campos magnéticos coenergia armazenada no criados pela ação de correntes nos enrolamentos 109 de enrolamentos distribuídos 203 distribuição em um gerador CC de polos salientes 215 em máquinas rotativas 212215 forças e conjugados em 123125 linhas espraiandose para fora 8 ponto de vista 235241 produzidos por ímãs permanentes e enrolamentos 153 variando com o tempo 11 Capacitor 183 516 Capacitor de partida 515 Capacitores estáticos 91 Característica a vazio circuito aberto e de curtocircuito 245 274284 Característica BH 37 Característica de ângulo de potência 286 de máquinas de polos salientes 312318 de um motor 316 forma geral da 314 pico proporcional ao valor da tensão do sistema 287 Característica de ângulo de potência por unidade pico da 289 Característica de conjugado versus velocidade 515 de um motor de fase dividida 514 de um motor de indução monofásico 511 512 de um motor monofásico 513 deslocamento ao longo do eixo de velocidade 600 Característica de curtocircuito 276 277 278 280 Característica de magnetização 43 Característica de magnetização a vazio 421 Característica de velocidade versus conjugado de um motor conectado em série em condições CC de operação 446 447 de um motor de indução 199 200 Características de ângulo de potência em estado permanente 284293 Características de conjugado constante 561 Características de desempenho de máquinas CC 410 Características de funcionamento em estado permanente 293306 Características de magnetização CC 180 Características de produção de conjugado 461 Características de saturação das máquinas rotativas 245 Características de tensão versus corrente de geradores CC 408 Características de um motor plotagem das 281 Carga burden em um transformador 96 97 Carga burden finita presença de 97 Cargas de alto impacto acionamento de 388 CCAV Corrente de Campo A Vazio 279 CCCC Corrente de Campo em CurtoCircuito 280 Cerâmica 7 sete 3536 41 Chaves preponderantes no custo do inversor 617 Chopping necessário 503 Ciclo de trabalho obtenção 681 Cintos de fase 652 Circuito de campo potência em 408 Circuito elétrico 7 Circuito equivalente com o secundário em circuito aberto 85 Circuito equivalente do estator para um motor de indução polifásico 351 Circuito equivalente entre linha e neutro 322 323 Circuito equivalente L 80 83 85 Circuito equivalente na frequência de escorregamento 353 Circuito equivalente por unidade 104 Circuito equivalente T 77 79 81 Circuito magnético de dois enrolamentos 184 Circuito magnético estático indutância fixa 17 Circuito magnético fechado 68 Circuito magnético genérico 158 Circuito magnético simétrico 57 Circuito polifásico 635 Circuito RC conectado a uma bateria 175 Circuito RL conectado a uma bateria 175176 Circuitos equilibrados esquema geral de comutação para 647 Circuitos equivalentes 269274 análise de 355360 característica de tensão versus corrente de estado permanente 265 com resistência de perdas no núcleo desprezada 358 de motores de indução monofásicos 522 de transformadores com enrolamentos múltiplos 91 de um transformador de instrumentação 96 97 eliminando um transformador ideal de um 101 Índice 691 em forma complexa 270 ensaios para a determinação dos parâmetros de 8285 mostrando um transformador ideal 73 Circuitos equivalentes aproximados de transformador 79 Circuitos equivalentes de motor de indução 351354 aplicação 369 aplicação do teorema de Thévenin a 360 condições a vazio 372 simplificados pelo teorema de Thévenin 361 Circuitos equivalentes de um transformador 104 análise de 357 desenvolvimento de 74 75 parâmetros 101 Circuitos equivalentes de uma máquina síncrona 270 271 280 Circuitos equivalentes monofásicos 355 393 647 Circuitos equivalentes trifásicos 648 Circuitos L 79 Circuitos ligados em Y estrela e em delta triângulo exemplos de 642647 Circuitos magneticamente acoplados 74 Circuitos magnéticos 2 3 7 com entreferro 5 com um ímã permanente e um êmbolo móvel 153154 de múltiplos elementos em série e em paralelo 8 estator de bobina única e rotor oval 138139 estruturas 158 fundamentos analíticos 420428 introdução aos 24 modelo 9 permeabilidade das partes de ferro dos 9 sem entreferro e dois enrolamentos 16 técnicas de análise 12 45 Circuitos suavizadores 618 Circuitos trifásicos 635649 análise de circuitos equilibrados 647649 transformadores em 9196 Classes de isolamento 680 Classes de motores de gaiola de esquilo 386388 Classes de sistemas de isolamento da NEMA para máquinas industriais 680 Coenergia cálculo 153 154 definição 139 densidades 143 237 em termos de corrente e deslocamento angular 140 em termos do ângulo do eixo 231 encontrando 149 156 escrevendo a expressão da 234 expressões para 152 função 149 para sistemas magnéticos lineares 140 variação em um dispositivo de excitação única 144 Coenergia de um sistema igual à dos entreferros 145 Coercividade 29 32 Coercividade aparente 41 Coercividade de um material 41 Compensador de partida 387 Componente de carga 76 351 Componente de excitação magnetização 351 Componente de excitação 76 Componente de magnetização 76 Componente de sequência zero 665 Componente do fluxo fundamental espacial de reação de armadura 308 Componente em fase 68 Componente fundamental 68 Componente fundamental espacial de FMM de entreferro 214 Componente fundamental espacial do campo de entreferro 214 Componente fundamental espacial do fluxo de entreferro 268 Componente fundamental espacial enfatizada 247 da FMM de entreferro da fase a 219 da onda de FMM 207 Componentes de eixo em quadratura 577 606 664 da corrente de armadura 307 308 620 diagrama fasorial ilustrando as 313 Componentes de entreferro 203 237 Componentes de espraiamento de entreferro 8 Componentes de impedância de máquinas síncronas típicas 273 Componentes harmônicas espaciais 212 248 Componentes harmônicas espaciais de fluxo ignorando 307 Comportamento de uma máquina síncrona 263 Comportamento linear obtenção de 168 Comprimento de entreferro 5 245 Comutação 443 Comutação obtenção de uma boa 442 Comutação atrasada 443 Comutação de tensão 443 Comutação linear 413 442 Comutação resistiva 443 Comutação sem faiscamento 413 442 443 Comutadores 201 228 686 Conceito de campo girante duplo 521 Conceito de componente simétrico 547 Condensadores síncronos 91 300 301 685 Condições de operação em saturação 279 Condições de rotor bloqueado circuito equivalente para 373 Condições magnéticas no entreferro 211 Condições não saturadas máquina operando em 277 Condições trifásicas correntes de fase instantâneas em situação de equilíbrio 219 Condutores em ranhuras de armadura 211 Conexão delta V aberto 92 Confiabilidade de MRVs 504 Configuração de entreferro 132 Configurações de pontes H 558 568569 Configurações práticas de MRV 468474 Conjugado aumento com o incremento de escorregamento até um valor máximo 348 692 Índice cálculo 234235 323 324 capacidade de controle independente 614 consistindo em dois termos senoidais de frequências variáveis no tempo 233 de um motor de ímã permanente 440 de um motor de passo bifásico de ímã permanente 498499 de uma máquina 202 determinação 139146 149 150 do campo retrógrado 524 em máquinas de polos não salientes 229241 em sistemas com ímãs permanentes 152161 em sistemas de campo magnético 123125 em um motor CC 619 estimativa do valor máximo 240 expresso de diversas formas equivalentes 674 expresso em termos da onda de FMM resultante 239 implementando uma variação em degrau de 615 maximizando o conjugado disponível 482 menor com corrente alternada do que com corrente contínua 447 MRV 466 617 obtenção 139 149 otimizando em relação à velocidade 504 positivo 238 produção 236 578 relações proporcionais 236 238 241 330 Conjugado assíncrono 347 Conjugado constante 250 Conjugado de cogging 439 519 Conjugado de carga 556 592 Conjugado de carga finita 500 Conjugado de máquina motriz 264 265 Conjugado de partida menor que o nominal 364 Conjugado de pico em uma MRV 467 Conjugado de relutância 151 314 518 Conjugado de saída no eixo 359 Conjugado eletromagnético 555 577 670 cálculo 415 de um motor DC proporcional à corrente de armadura 568 de uma máquina CC 413 determinado a partir da coenergia 463464 do campo progressivo 523 expressão do 404405 para motores DC de ímã permanente 567 Conjugado eletromagnético médio no tempo 539 542 543 Conjugado eletromecânico acelerando o rotor 231232 contrabalançando 362 contrabalançando o conjugado mecânico 264 contrabalançando o conjugado no eixo 264 de um motor 198 em função do escorregamento 361 expressão do 238 máximo 363 obtenção a partir da coenergia 231 oposição à rotação 264 para motor de indução de rotor bobinado 367 variações de 264 Conjugado eletromecânico máximo 363 Conjugado interno do campo retrógrado 523 Conjugado líquido interno 524 Conjugado líquido negativo MRV como gerador 475 Conjugado líquido positivo MRV como motor 475 Conjugado líquido zero 469 Conjugado livre de oscilações dificuldade de obtenção 484 Conjugado magnético expressão para o 250 Conjugado máximo 348 363 366 383 574 Conjugado máximo em sincronismo 265 Conjugado mecânico 357 611 Conjugado médio 475 487 Conjugado médio diferente de zero produção de 233 Conjugado negativo 238 475 482 Conjugado nominal 559 Conjugado permitido aproximado 561 Conjugado positivo produção em uma MRV 475 Conjugado zero em MRVs 42 simétricas 469 Conservação da energia 126 Considerações sobre a aplicação de motores 386388 Constante de conjugado de um motor de ímã permanente 440 Constantes 688 Construção com polos salientes 197 262 Construção do tipo núcleo envolvente 65 Construção do tipo núcleo envolvido 65 Contabilidade da potência verificação da 526 Controlador em uma MRV 615 Controle da corrente de campo 554557 Controle da frequência de armadura 599605 Controle da tensão de linha 605 Controle de conjugado 568572 577597 605615 Controle de motor síncrono 572 576 Controle de velocidade de motores CC 554568 de motores de indução 597606 de motores síncronos 572576 por meio da resistência de rotor 605606 por meio da tensão de linha 605 por meio de frequência de uso limitado na prática 576 Controle de velocidade em estado permanente como uma questão de controle da frequência de armadura 619 Controle direto de conjugado em uma máquina CA 577 Controle pela tensão de terminal de armadura 558568 Controle por campo orientado 577 590 606 619 Controle por corrente de armadura 568569 Controle por resistência do circuito de armadura 557558 Controle vetorial 553 577 619 Índice 693 Conversão eletromagnética de energia 190 dispositivos 1 129 princípios 122172 processo 122 Conversão eletromecânica de energia 122 127 Corrente equações para 169 Corrente CC chaveando para criar uma corrente CC variável 568 no rotor produzindo a onda de fluxo 330 Corrente constante de link CC produzida por um retificador a diodos 568 Corrente de armadura 555 amplitude eficaz da 580 atendendo duas funções 324 cálculo 592 593 decompondo em duas componentes 307 309 311 em função da velocidade do motor 425 expressa por unidade 283 limitada pela capacidade de refrigeração do motor 555 Corrente de armadura em curto circuito 277278 281 Corrente de armadura por unidade 303 584 589 Corrente de base de sistemas trifásicos 106 de um motor 582 Corrente de campo 291 407 421 Corrente de campo em derivação 432 554 Corrente de campo em série 420 Corrente de carga por unidade 108 Corrente de eixo direto D 323 Corrente de eixo em quadratura 587 Corrente de eixo Q 323 Corrente de estado permanente limitação no funcionamento de uma MRV 479 Corrente de estator cálculo 359 decompondo em duas componentes 351 medida em função da tensão de terminal do estator 246 Corrente de excitação 23 6566 analisada pelos métodos da série de Fourier 68 desprezando inteiramente 80 para uma forma de onda senoidal 68 produção de fluxo no núcleo e entrada de potência 24 Corrente de excitação de campo alimentação da 263 Corrente de excitação retificada 263 Corrente de excitação senoidal equivalente 76 Corrente de fase 1 plotagem 480 Corrente de fase a 207 272 Corrente de magnetização 68 Corrente de partida reduzida 387 Corrente de primário ou armadura ajustandose sozinha 110 Corrente de terminal 299 300 414 416 Corrente de terminal do gerador 288 301 Corrente do primário 76 Corrente do secundário 110 Corrente eficaz de armadura 584 589 Corrente fasorial 285 Corrente média controlada por fase 618 Corrente média de enrolamento 617 Corrente nominal de armadura 282 Correntes de enrolamento equivalentes a correntes bifásicas não equilibradas 514 muito mais desequilibradas do que as tensões aplicadas 532 produzindo campos magnéticos fora do núcleo 9 valor máximo permitido de 239 Correntes de fase 106 aplicação de modo consistente com a posição do rotor em uma MRV 467 cálculo em ampères 107 condições associadas à remoção de 477 desligamento mais cedo da 486 desligando antes para reduzir a produção de conjugado positivo 483 em MRVs ligadas e desligadas por chaves de estado 464 inversão de 498 Correntes de fase instantâneas das três fases 640 Correntes de rotor a vazio 370 composição das 522 determinação 346 frequência das 346 frequência de escorregamento 521 produção de uma onda de FMM 521 Correntes parasitas 26 192 Correntes polifásicas no estator 330 Correntes trifásicas produção de uma onda girante de FMM 207 Coulombs 123 Curva BH 20 Curva de conjugado versus escorregamento de uma máquina de indução 361 362 363 Curva de conjugado versus velocidade de um motor de indução 599 de uma máquina de indução 361 362 363 plotagem 365 Curva de conjugado versus velocidade de um motor de indução polifásico de gaiola de esquilo 347 Curva de magnetização 245 com a tensão gerada 421 de ímãs permanentes comuns 35 de uma máquina 406 de uma máquina CC 420421 422 de uma máquina síncrona existente 246 do Alnico 5 cinco 39 40 do samáriocobalto 155 Curva de magnetização a vazio 427 Curva de magnetização CC 21 41 155 156 Curva de magnetização média 431 Curva de magnetização normal 21 Curva de perdas no núcleo a vazio circuito aberto 276 303 Curva de saturação 245 Curva de saturação a vazio ou de circuito aberto 245 274 278 Curva ondulada 405 Curvas compostas 297 Curvas de capacidade 294 295 Curvas de conjugado e potência para a região de funcionamento como motor 363 Curvas de conjugado versus ângulo 264 498 694 Índice Curvas de indutância versus ângulo para MRVs 488 Curvas V 297 Curvas V de um gerador síncrono 297 Curvas V de um motor síncrono 297 D Decaimento de velocidade 371 Densidade da onda de fluxo 247 Densidade de carga 123 Densidade de coenergia no entreferro 145 Densidade de corrente 2 123 Densidade de fluxo mantendo no valor nominal 574 no entreferro do circuito magnético 32 obtenção da 1011 12 obtenção de valores elevados 19 Densidade de fluxo de entreferro 194 210 243 660 Densidade de fluxo de máquina 573 Densidade de fluxo em saturação dos materiais magnéticos 239 Densidade de fluxo magnético 2 21 Densidade de fluxo radial de entreferro 194 Densidade de fluxo residual 42 Densidade de força força por unidade de volume 123 124 Densidade de força em sistema magnético 124 Densidade de pico no entreferro 573 Densidade média de coenergia 237 Dependência das características de magnetização em função da temperatura 42 43 Derivador do campo em série 431 Desempenho de máquina CC em estado permanente 428436 Deslocamento de equilíbrio 169 170 Desmagnetização 3738 436 Diagrama fasorial a vazio 69 Diagrama vetorial de ondas de FMM 236 Diagramas fasoriais 285 como meio conveniente para somar ondas senoidais 659 construção de 6869 de tensões geradas 636 637 em condições de curtocircuito 277 278 para máquinas de polos salientes 308312 para um gerador síncrono 297 298 resolução de problemas 82 Diagramas unifilares exemplos de 648 Diodos 616 Disposição dos ímãs em V encontrada em máquinas de ímãs permanentes interiores 326 Dispositivo de conversão eletromecânica de energia baseado em campo magnético 127 Dispositivos de conversão de energia 122 161 171 Dispositivos elétricos especificação nominal de 679682 Dispositivos produtores de força 122 127 Distribuição da FMM fundamental espacial de um enrolamento monofásico 216 217 Distribuição de corrente não uniforme 384 Distribuição de fluxo em circuito aberto 321 325 326 Distribuição de fluxo no eixo em quadratura 326 579 Distribuição de fluxo radial de entreferro 254 Distribuição de FMM no entreferro 204 212 Distribuição interna de forças 126 Distribuições de fluxo associadas ao rotor e ao estator 192 com apenas a armadura excitada e apenas o campo excitado 418 de uma máquina de ímã permanente interior 326 em torno de um polo saliente 246 tendência à distorção 418 Distribuições espaciais senoidais de FMM 212 Distribuições senoidais de FMM para máquinas CA e CC 250 Doherty R E 665 Dois entreferros em série 145 Domínios de materiais ferromagnéticos 19 dq0 fundamentos da análise clássica de máquinas 667 dq0 transformação 664674 aplicada aos valores instantâneos das grandezas 665666 imagem física da 666 sistema de referência para uma máquina síncrona 672 dq0 variáveis 671 E Efeito de desmagnetização da reação de armadura 418 427 Efeito de histerese 20 Efeitos da reação de armadura ignorados 420426 Efeitos de extremidade de máquinas lineares 244 Eficiência energética das máquinas elétricas 686687 Eixo de campo 403 Eixo de potência ativa zero 300 Eixo direto 306 403 componentes 313 606 664 fluxo 325 fluxo de entreferro 406 FMM 421 grandezas 307 577 indutância síncrona 668 permeância 407 reatâncias de magnetização 308 reatâncias síncronas 308 relação entre fluxo e corrente 587 variáveis 664666 Eixo em quadratura 306 309310 403 Eixo magnético do enrolamento de fase 217 Eixos de fácil magnetização 19 Eletroímã elevação de uma barra de ferro 177 Eletrônica digital motores de passo como acompanhantes eletromecânicos para 504 Êmbolo de permeabilidade elevada 38 Empilhamento simples motor de passo de relutância variável 495 Energia cálculo 153 conversão em calor 127 densidades 143 em sistemas de campo magnético de excitação única 129133 expressões de 152 força e conjugado magnéticos a partir da 133139 variação em um dispositivo de excitação única 144 Índice 695 Energia elétrica armazenada sistema com 127 Energia magnética armazenada 18 131 Enfraquecimento de campo 324 Enfraquecimento de fluxo 324 587 590 593 597 Enrolamento efeito da distribuição em diversas ranhuras 405 produtor de campo magnético no núcleo 3 produtor de fluxo adicional 64 tornado plano planificado 209 210 Enrolamento amortecedor 331 576 Enrolamento auxiliar 514 Enrolamento de armadura 190 aquecimento 294 com acréscimo de comutador escovas e conexões 411 412 conexões de bobina 209 de uma máquina CC 200 de uma máquina síncrona 194 efeitos das ranhuras que contém 227 FMM 250 tensão alternada 227 Enrolamento de armadura concentrado de Nespiras e passo pleno 660 Enrolamento de armadura de uma máquina em circuito aberto 275 Enrolamento de campo 194 de uma máquina CC 200 fase de enrolamento 214 fluxo 269 indutância própria 667 instalado no rotor de um gerador síncrono de 200 MW e quatro polos de grande porte 192 rotor cilíndrico de dois polos 196 substituído por ímãs permanentes 319 substituído por um ímã permanente 436 Enrolamento de compensação ou de face polar 445 Enrolamento de dupla camada 652 Enrolamento de estabilização 435 Enrolamento de gaiola de esquilo 384385 Enrolamento de partida 514 Enrolamento de polos variáveis intercambiáveis princípios de 598 Enrolamento de trabalho ou principal 514 Enrolamento distribuído de múltiplos polos 205 Enrolamento distribuído trifásico de dois polos com bobinas de passo pleno 204 205 com diagrama fasorial da tensão 652 Enrolamento em derivação 409 Enrolamento em série 409 Enrolamento fictício tendo um adicional 153 Enrolamento linear 241 242 Enrolamento linear trifásico 242 Enrolamento monofásico onda de FMM de um 216218 Enrolamento principal 514 Enrolamentos bifilares em acionamentos MRV 472 618 Enrolamentos concentrados 196 Enrolamentos de alta tensão 63 Enrolamentos de baixa tensão 63 Enrolamentos de compensação 444446 Enrolamentos de estator 190 191 232 510 Enrolamentos de face polar principal desvantagem dos 445446 Enrolamentos de fase controle necessário para acionamento em uma MRV 618 Enrolamentos de fase bifilares 617 Enrolamentos de passo encurtado 653 Enrolamentos de passo pleno 652 657658 Enrolamentos de rotor de motores de indução 349 de uma máquina de indução 199 eletricamente curtocircuitados 198 excitados com corrente contínua 232 Enrolamentos distribuídos 204 desempenho de uma máquina com 223 FMM de 202212 indutâncias de entreferro de 660662 no rotor 208 produção de ondas senoidais de FMM centradas nos eixos magnéticos 218 Enrolamentos distribuídos de passo encurtado 652654 658660 Enrolamentos do primário 63 75 Enrolamentos do secundário 63 77 Enrolamentos múltiplos sistemas de 247 Enrolamentos polifásicos 218221 250 Ensaio a vazio em um motor de indução 370372 Ensaio a vazio ou de circuito aberto 8485 275 330 Ensaio de curtocircuito 8384 86 330 Ensaio de rotor bloqueado 372380 Entrada como primário de um transformador 63 Entrada de corrente de armadura 409 Entrada de energia no núcleo magnético 26 Entrada de potência a vazio 372 no enrolamento 489 no enrolamento principal 543 Entreferro armazenamento de energia no 130 campo magnético radialmente orientado 212 Entreferro dominante 14 Entreferros não uniformes 214 215 246 Entreferros uniformes máquinas com 212214 Equação da tensão de terminal em termos de amplitudes complexas eficazes 269 Equação de conjugado 240 263 Equação de cruzamento de fluxo 225 226 Equações das leis de Kirchhoff 647 Equações de Maxwell solução das 2 Equações de tensão 669 Equações de tensão de estator transformadas 674 Equações de transformação 669 672 Equações diferenciais lineares 171 Equações dinâmicas 161165 Equipamento de conversão contínua de energia 122 Equivalência DeltaY triângulo estrela 647 Equivalente de Thévenin 286 696 Índice Erro inerente do transformador de corrente com um secundário em curtocircuito 99 Escorregamento com conjugado máximo 363 366 do rotor 346 Escorregamento de conjugado de pico em motores de gaiola de esquilo 348 Escorvamento elevação de tensão em um gerador CC autoexcitado 430 Escovas em contato com as lâminas do comutador 411 em máquinas síncronas 194 forma de onda da tensão entre 202 refrigeração e problemas de manutenção associados com 686 Especificação nominal de dispositivos elétricos 679682 Espiras efetivas em série por fase para a FMM fundamental 206 Esquema PWM de malha aberta 618 Estado permanente tratamento analítico de tensões CA e FMMs em 651 Estator 190 com enrolamentos de excitação 460 de um motor CC de quatro polos 443 444 ondas de FMM 236 Estator trifásico excitado com correntes equilibradas de 60 Hz 222 simplificado com enrolamentos de dois polos 218 Estrutura de um relé mesma de estruturas magnéticas 129 Estrutura duplamente saliente 469 Estrutura em castelo 474 495 502 Excitação 22 684686 Excitação das fases problema complexo de controle para a 484 Excitação de campo ajuste da 297 Excitatriz 263 Expectativa de vida de equipamentos elétricos 679 Expressão de ângulo de potência comparação com a expressão para conjugado 286 Expressão para o conjugado de um motor 587 Expressões da teoria de campo para energia e coenergia 153 Expressões de força e conjugado mal aplicadas 142 F Face polar 419 Faces polares chanfradas ou excêntricas 419 Faiscamento 442 Fase significados de 635 Fases do estator de MRVs 504 Fasores de FMM 659 Fasores de tensão de bobinas 655 Fator de distribuição do enrolamento 655 Fator de enrolamento 56 205 207 654 657 Fator de passo 656 Fator de potência 640 ângulo 299 atrasado porque o sistema é indutivo 69 de um sistema trifásico equilibrado 642 definição no lado de carga de um transformador 81 em máquinas CA 684685 Fator de potência adiantado capacitivo 640 Fator de potência atrasado indutivo 640 685 Fator de potência unitário potência reativa zero corrente de campo necessária para manter 273 corrente de terminal por unidade 299 curva composta 297 diagrama fasorial desenhado para 316 gerador operando com 298 nos terminais do motor 272 Fator de serviço para motores de propósitos gerais 680 Fatores de conversão 688 FCEM 109 351 522 FEM força eletromotriz 11 225 Veja também tensão de velocidade equações para um transformador 226 relação com a armadura 409 FEM de armadura 406 FEM gerada 409 427 Fenômenos do estator representação por circuito equivalente 352 Ferramentas analíticas para estudar máquinas rotativas 250 Ferrites 64 Ferro propriedades magnéticas não lineares 68 Ferro linear de uma máquina determinação do conjugado 468 Ferro não linear de uma máquina determinação do conjugado 468 Figura de mérito de ímãs permanentes 33 Filme de contato 442 Fluxo contínuo ao longo do circuito magnético 31 criado por um único lado de uma bobina em uma ranhura 248 para qualquer circuito magnético 7 produzido por enrolamentos concentrados de passo pleno 203 produzido por uma onda de FMM em uma máquina de entreferro uniforme 306 Fluxo concatenado com o enrolamento de campo 267 com um enrolamento de estator da fase a 224 de bobinas 11 17 do enrolamento fictício 156 equações de corrente 669 expresso em termos de indutâncias e correntes 266 expressões de 668 relações de corrente 667 versus corrente característica de uma MRV 488 Fluxo concatenado de armadura 610 Fluxo concatenado de enrolamento 11 244 Fluxo concatenado eficaz de armadura 580 610 Fluxo concatenado eficaz de fase valor nominal do 583 Fluxo concatenado eficaz de fase de armadura 583 Fluxo concatenado resultante resolução do 17 Índice 697 Fluxo de dispersão do estator 236 Fluxo de dispersão do primário 67 74 Fluxo de entreferro 1011 227 Fluxo de núcleo principal de uma máquina síncrona 303 Fluxo dispersivo de cabeça de espira 236 Fluxo dispersivo em uma ranhura 181 248249 268 384 Fluxo do estator 233 346 Fluxo fundamental de entreferro 243 661 Fluxo líquido em um nó de um circuito magnético 9 Fluxo magnético 3 4 Fluxo magnético de amplitude constante 267 Fluxo magnético líquido que cruza uma superfície 4 Fluxo mútuo 63 236 247 concatenando ambos os enrolamentos primário e secundário 76 em máquinas rotativas 109 em transformadores e máquinas rotativas 110 indução de tensões nos enrolamentos 109 Fluxo mútuo resultante 74 237 Fluxo no núcleo 6768 109 Fluxo no núcleo de um transformador 109 Fluxo resultante valor de pico do 240 Fluxo resultante no núcleo produzido pela FMM total 16 Fluxo total concatenando o enrolamento primário 74 Fluxo variável no tempo valor instantâneo do 11 Fluxos de cabeça de espira 249 Fluxos de dispersão 6465 75 110 236 247249 Fluxos dispersivos de ranhura e de topo de dente 236 FMM de enrolamentos distribuídos 202212 impulsionando fluxo através de um laço fechado 8 total 16 total atuando no circuito magnético 246 total de todas as três fases 220 FMM distribuições de amplitude máxima 216 componentes fundamentais espaciais de 657 de enrolamentos trifásicos 218 de um enrolamento monofásico 217 produzindo campos magnéticos 236 FMM da fase a 256 FMM de armadura 417420 FMM de entreferro de enrolamento monofásico decomposta em ondas progressivas girantes 217 de um enrolamento de rotor de múltiplos polos 207 dependendo só da configuração do enrolamento e da simetria da estrutura magnética 210 distribuição da 203 para um enrolamento concentrado de passo pleno 213 produzida por corrente 203 FMM de excitação 23 FMM do campo principal 420 428 FMM do estator decompondo 521 FMM fundamental espacial 206 660 FMM fundamental espacial de entreferro para um enrolamento monofásico 217 FMM líquida produzida por todas as correntes 110 FMM máxima de rotor 240 FMM polifásica análise gráfica 221222 FMM resultante de entreferro 237 FMM total atuando no circuito magnético 246 FMM única progressiva positiva 242 FMMs de entreferro para as fases 219 Fonte com derivação central 617 Força cálculo a partir da energia 140 determinação em termos da variável de estado elétrico 134 em função da posição 135 em sistemas com ímãs permanentes 152161 em sistemas de campo magnético 123125 obtenção 152 156157 obtenção em um êmbolo 142 plotando 137138 Força de solenoide plotagem 134138 Força eletromotriz FEM 11 225 Veja também Tensão de velocidade equações para um transformador 226 relação com a armadura 409 Força magnética 139146 Força magnetomotriz 3 Força mecânica 133 144 Forma de equivalente Thévenin redução de um circuito à 364 Forma de onda da corrente de excitação 68 Forma de onda da corrente para a produção de conjugado 474487 Frenagem por inversão de fases 362 Frequência de escorregamento no rotor 346 Frequência de excitação de uma MRV 473 Frequência de operação 573 Frequência elétrica 196197 357 Função de estado de duas correntes de terminal e deslocamento mecânico 149 de duas variáveis independentes 133 definindo uma nova 139 Função diferencial de energia 147 Função periódica de tempo valor eficaz 23 Fundamentos analíticos aspectos de circuito elétrico 413417 G Gerador aquecimento nas regiões de terminação do núcleo do estator de um 296 Gerador alternador recíproco 57 58 Gerador CC de dois polos 200201 Gerador composto plano 431 Gerador em derivação 408 409 430 Gerador em série 408 409 Gerador ligado em derivação 429430 Gerador monofásico 194 Gerador síncrono CA de polos salientes 193 Gerador síncrono CA de quatro polos com um entreferro liso 214 698 Índice Gerador síncrono de 200MW e dois polos 192 Gerador síncrono de polos salientes 307 310 314 Gerador síncrono monofásico de dois polos 193 Gerador síncrono monofásico de quatro polos 195 Gerador síncrono sobreexcitado 298 Gerador síncrono subexcitado 298 Gerador trifásico elementar de dois polos 635 636 Geradores a turbina curvas de capacidade de um turbogerador refrigerado com hidrogênio 294 hidrogênio comumente usado com meio de refrigeração 682683 sistemas de excitação 685686 vista da extremidade do estator de um 249 Geradores autoexcitados 408 429 Geradores CA monofásicos de ímã permanente 343 Geradores CC 201 408 448 Geradores com excitação em derivação 429 Geradores com excitação independente 408 Geradores compostos 408 409 Geradores síncronos 293 atuando como fontes de tensão 263 como máquinas trifásicas 197 diagrama fasorial para 309 fornecendo as potências ativa e reativa 300 fornecendo potência elétrica a uma carga 197 normalmente conectados a um sistema externo 315 operando em paralelo 263 Grandeza complexa parte real de 270 Grandezas de base independentes escolha arbitrária 102 Grandezas do eixo em quadratura 307 Grandezas do estator transformação em grandezas equivalentes 664 Graus elétricos expressando ângulos em 195 Guias de latão densidade de fluxo em 163 H Harmônica principal 68 Harmônicas efeitos encobertos de 68 produzidas por enrolamentos discretos 667 Harmônicas espaciais de fluxo de entreferro 247248 Harmônicas espaciais no campo de entreferro 236 Henrys medição 12 Henrys por metros 5 Hidrogênio propriedades do 682683 Histerese magnética 20 430 I Ímã permanente substituição de seção 158 Ímã permanente de samáriocobalto 43 155 160161 Ímã permanentes cerâmicos 35 Ímã solenoide cilíndrico 163 164 Ímãs direção de magnetização 160 estabilização 41 fluxo magnético em torno das extremidades de 325 produção de fluxo de rotor sem dissipação 319 Ímãs de cerâmica efeitos da temperatura 42 Ímãs de ferrite 35 Ímãs permanentes 2934 benefícios dos 436 características dependentes de temperatura 319 forças e conjugados em sistemas com 152161 no rotor produzindo uma onda de fluxo 330 vantagens tendo um preço 319 Ímãs permanentes materiais 1 aplicação de 3445 força de 141 imensa diferença em relação aos materiais magnéticos moles 32 propriedades dependentes de temperatura 41 Impedância convertendo para o sistema por unidade 107 do rotor estacionário equivalente 354 em série com o secundário 73 em série com uma fonte de tensão 285 propriedades de transformação do transformador ideal 72 referida ao primário 73 referindo 72 Impedância da indutância de base 582 Impedância de base de um motor 315316 Impedância de base trifásica 106 Impedância de campo retrógrado 525 527 Impedância de circuito aberto 84 85 Impedância de dispersão do primário desprezando 84 Impedância de dispersão na frequência de escorregamento 352 353 Impedância de entrada do estator 358 Impedância de equivalente Thévenin 330 360 Impedância de estator de equivalente Thévenin 361 Impedância de magnetização 76 Impedância de transformador por unidade 108 Impedância do campo progressivo cálculo 525 Impedância em série limitações ao fluxo de potência por meio de 285 Impedância equivalente em série 79 Impedâncias de dispersão 91 303 Impedâncias por unidade 102 Indutância 132 ajuste de curva polinomial da 135 de um circuito magnético 146 de um enrolamento em um circuito magnético 12 de uma bobina em um circuito magnético 139 escrita em termos do ângulo elétrico do rotor 667 expressão da 163 165 investigando a 266269 medida em henrys ou webers espiras por ampère 12 obtenção da 12 variável no tempo 17 Indutância aparente 269 Indutância de armadura 443 Indutância de dispersão do enrolamento 249 Índice 699 Indutância de dispersão do primário 75 Indutância de dispersão do secundário 77 Indutância de eixo em quadratura 325 Indutância de magnetização 76 Indutância de sequência zero 668 Indutância de uma bobina 443 Indutância efetiva 268 Indutância mútua entre bobinas 17 entre os enrolamentos de rotor e estator 260 máximo positivo e máximo negativo 230 valor de 230 Indutância mútua entre o campo e a armadura 272 Indutância própria de cada fase de estator 668 de uma bobina 17 do enrolamento de campo 260 266 Indutância síncrona 268 269 Indutância síncrona de eixo em quadratura 668 Indutâncias de dispersão 236 268 Indutâncias de entreferro 268 660662 Indutâncias de fase de uma MRV duplamente saliente 461 463 periódicas em relação à posição angular do rotor 475 Indutâncias do estator em função do ângulo do rotor 461 463 Indutâncias mútuas entre estator e estator 667 Indutâncias mútuas entre estator e rotor 230 267 668 Indutâncias mútuas entre fases da armadura 268 Indutâncias próprias do estator 267268 Indutâncias próprias e mútuas entre pares de enrolamentos 233 Indutor constituído de dois núcleos em C 49 179180 indutor potcore 52 Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE 677 Integração caminho de 147 148 independência do caminho de 130 Intensidade de campo elétrico 11 Intensidade do campo magnético 2 4 no entreferro e no material magnético 31 reduzindo a densidade de fluxo do material a zero 29 relação com a densidade de fluxo magnética 5 Interação mútua entre correntes de rotor e estator 150 Interações entre fluxo e FMM em um motor de indução polifásico 389 Interpolos 443 Inversor de ponte H completa 558 Inversor polifásico fonte de tensão para acionamento de motor 572 Inversor trifásico de fonte de tensão 572 573 Inversores 616 618619 Inversores bifásicos 616 Inversores com pontes H 616 Isolamento 679 680 J Joelho da curva de magnetização 36 Joules por segundo 18 K kVA reativos necessidades de 684 L Laço de histerese 20 25 26 formação da característica BH 37 46 para o aço elétrico M5 29 30 para o Alnico 5 cinco 29 30 Laço menor de histerese 37 Lados de uma bobina distribuição em ranhuras 653 Lâminas de material magnético 26 Lei de Ampère 2 Lei de Faraday 11 25 224 250 266 572 635 Lei de Gauss para campos magnéticos 2 Lei de Kirchhoff das correntes 9 639 644 Lei de Kirchhoff das tensões 8 639 646 Lei de Ohm 267 429 Lei dos cossenos 323 Levitação correntes induzidas usadas para proporcionar 241 Ligação triângulo equilibrada substituição por uma ligação Y equilibrada 647 Ligação aditiva cumulativa de campo em série 420 Ligação em derivação curta 416 Ligação em derivação longa 416 Ligação em Y estrela 637 647 Ligação subtrativa diferencial 410 420 Limitação do aquecimento de campo na operação de uma máquina 296 Limites de potência estudo dos 285 Linear material magnético duro conectado em série 157158 Linearização 168171 Linha de entreferro 245 275 278 407 Linha de resistência de campo 429 430 Linha de carga 32 39 40 equação da 438 Linhas de transmissão impedâncias de 92 M Magnetismo residual 406 408 Magnetização remanescente 21 29 Magnetização residual 29 Malha de controle de velocidade de um motor síncrono diagrama de blocos 590 Máquina CA de ímã permanente interior 325329 Máquina CA de ímã permanente superficial 321324 Máquina CA trifásica 223 Máquina CA trifásica de ímã permanente diagrama esquemático de uma 319 Máquina CA trifásica ligada em Y estrela 254 Máquina CC de polos salientes 215 Máquina CC de quatro polos seção transversal de 211 Máquina composta 446 Máquina de dois polos 212 236 Máquina de entreferro liso 229 230 237 Máquina de entreferro uniforme 233 Máquina de múltiplos enrolamentos 233 700 Índice Máquina de múltiplos polos 224 238 Máquina duplamente saliente 469 Máquina saliente 469 Máquina saturada conversão de trabalho menos útil por ciclo 490 Máquina síncrona bifásica de polos salientes 259260 Máquina síncrona de dois polos fator de enrolamento de campo para 214 Máquina síncrona de múltiplos polos e fases produzindo conjugado constante 235 Máquina síncrona de polos não salientes comparada com uma máquina CC 579 Máquina síncrona de polos salientes MS 315 Máquina síncrona de quatro polos produzindo conjugado constante 235 Máquina síncrona ideal 667 Máquina síncrona monofásica ideal 233 Máquina síncrona trifásica de rotor cilíndrico 265 266 Máquina trifásica amplitude da onda de FMM resultante em uma 658 Máquina trifásica de dois polos 197 198 Máquinas especificando o tamanho 681 Máquinas alternativas recíprocas lineares 241 Máquinas assíncronas máquinas de indução como 199 Máquinas autoexcitadas produção de tensões instáveis 448 Máquinas CA com ímã permanente 319329 Máquinas CA monofásicas 217218 Máquinas CA polifásicas 216 218 Máquinas CC 200202 208212 227228 403448 aspectos de circuito elétrico 413417 aspectos de circuito magnético 420428 características essenciais de 403404 com comutador 201 conexão com um enrolamento de campo ligado em série 446 conexões do circuito de campo 407 curvas de magnetização 406 distribuição espacial da densidade de fluxo no entreferro 202 enrolamento de armadura 190 enrolamento de campo nas 191 enrolamentos de armadura de 253 escovas e comutador de 579 estrutura magnética com mais de dois polos 211 expressando a tensão em termos da velocidade mecânica 228 representações esquemáticas de 404 rotor 190 191 vantagens da aplicação de 410 vantagens notáveis das 407 Máquinas CC com ímã permanente 436441 Máquinas de indução 198200 circuito equivalente simplificado 357 curva de conjugado versus escorregamento 362 descrição 193 onda de fluxo no entreferro girando sincronicamente em 389 operando como geradores 362 operando de forma assíncrona 619 relações em variáveis dq0 671 semelhanças com transformadores 344 sistema de referência para 672 transformação de tensões e mudando a frequência 389 valores de parâmetros por unidade 102 Máquinas de indução bifásicas não simétricas 536546 Máquinas de indução de rotor bobinado 344 346 Máquinas de indução e síncronas interconexão de 392 Máquinas de polos não salientes conjugado em 229241 Máquinas de polos salientes característica de ângulo de potência 312318 características essenciais das 306312 conjugados magnético e de relutância 327 diagramas fasoriais para 308 312 estrutura típica de 215 mais duras que com rotor cilíndrico 315 tratamento por meio da teoria do rotor cilíndrico 312 Máquinas de relutância chaveada SRMs 460 Máquinas de relutância variável MRVs Veja MRVs máquinas de relutância variável Máquinas elétricas 212 desempenho e operação 676687 métodos de refrigeração para 682683 684 Máquinas elétricas rotativas formas e nomes de 192 Máquinas lineares 241244 Máquinas motrizes 263 300 Máquinas polifásicas de indução 344389 características de desempenho em estado permanente de 355 circuitos equivalentes de estado permanente para 351354 correntes e fluxos em 348350 introdução a 344348 Máquinas polifásicas operando em condições equilibradas 250 Máquinas rotativas comparadas com transformadores 109 campos magnéticos em 212215 compreendendo o comportamento das 126 descrição 172 introdução às 190251 Máquinas simétricas bifásicas funcionamento não equilibrado de 528535 Máquinas síncronas 193198 262331 665 características de funcionamento em estado permanente de 293 306 com enrolamentos de campo 587 com ímãs permanentes no rotor 587 descrição 262 enrolamento de campo em 191 estrutura magnética de 10 limites de potência em estado permanente de 285 MRVs como 503 Índice 701 operando com uma tensão de terminal relativamente constante 279 operando em conjunto com um sistema externo 330 rendimento de 301 trifásicas de quatro polos com entreferro uniforme 234 valores por unidade de 102 Máquinas síncronas de ímã permanente 587 Máquinas síncronas de rotor bobinado e polos salientes 325 Máquinas síncronas polifásicas 262265 319 Materiais ferromagnéticos 1 19 45 Materiais magnéticos abaixo do ideal 244 dados numéricos sobre 20 permeabilidades variando com o nível de fluxo 8 propriedades dos 1922 sustentando um bloco de 186 187 Materiais magnéticos de terras raras 36 Materiais magnéticos duros 32 152 em situações de FMM e geometria variáveis 38 em um núcleo de material magnético mole altamente permeável 36 estabilizados para operar em uma região especificada 38 sujeitos à desmagnetização 41 Materiais magnéticos moles 32 de permeabilidade constante 131 em termos da teoria de campo 141 Material de permeabilidade elevada presença de 3 Material saturado 19 MATLAB forma de onda e conjugado plotados 479482 função polyfit 134 136137 função spline 180 304306 plotagem da corrente de armadura por unidade versus corrente de campo 584 plotagem da corrente de terminal em função da velocidade 369 resolução de problema usando 9899 script para implementar o algoritmo de controle 611 script para plotar a indutância 15 16 uso de 1416 MATLABSimulink pacote 166 equações dinâmicas formuladas como equações integrais 565 investigação do escorvamento de tensão em uma máquina CC autoexcitada 432 plotagem da tensão de terminal em função do tempo 432 Mecanismo de produção de conjugado em uma máquina de indução 606 Mecanismos de perdas 2536 127 Medições das perdas rendimento determinado por 677 Método da armadura em derivação para controle de velocidade 557 558 Método da energia 126 128 Método da resistência em série 557 Método das duas reações de Blondel 664 Método dos elementos finitos 2 141 Método dos quilowatts eficazes 681 Metros por segundo 123 Micropasso técnica de 500 Modulação por largura de pulso PWM 558 572 Mola de torção conectada a um braço móvel 184 Mola helicoidal controladora de posição 185 Momentos magnéticos dos domínios alinhamento 19 Monofásico circuitos equivalentes entre linha e neutro 271 Motor CA de ímã permanente superficial 320 Motor CC de potência elevada de ímã permanente 436 437 Motor com partida a capacitor 515 516 Motor composto 410 Motor composto aditivo cumulativo 410 Motor de aplicação geral 680 Motor de fase dividida com capacitor permanente 515 516 541 Motor de indução de fase dividida modelagem 538 Motor de indução de gaiola de esquilo 198199 Motor de indução de rotor bobinado 366 Motor de indução monofásico de dois polos parâmetros de um 541 Motor de indução polifásico 354 356 370 Motor de passo bifásico diagrama esquemático de 497 Motor de passo bifásico híbrido com polos em castelo 509 Motor de passo de relutância variável de empilhamento múltiplo 495 496 Motor de passo híbrido 501503 Motor de passo híbrido em castelo 505 Motor de passo trifásico de relutância variável com três empilhamentos 497 Motor de propósito especial 680 Motor série 410 448 Motor série monofásico 447 Motor síncrono de relutância com partida por fase dividida 519 Motor sobreexcitado 685 Motor subexcitado 685 Motor universal 447 Motores disponíveis comercialmente 681 falta de adequação às aplicações 687 partida como motor de indução 265 tamanhos padronizados de 687 Motores bifásicos 510 529 Motores CA de velocidade ajustável 597 Motores CC analogia com 608 característica de velocidade versus conjugado 409 características de velocidade versus conjugado de 409 circuito equivalente para motor de excitação independente 554 controle de 554572 controle de velocidade de um motor de excitação independente ou em derivação 562 equação dinâmica governando a velocidade de 570 sistema de controle de velocidade 569 tipos de 448 Motores CC com ímã permanente circuito equivalente para 440 702 Índice fluxo de campo determinado pelo ímã permanente 567 vista explodida de uma forma alternativa de 438440 Motores CC sem escovas 329 331 Motores com capacitor 515517 Motores com capacitor modelagem 538 Motores com especificações de potência de curta duração 682 Motores com excitação independente 410 Motores de fase dividida 514 Motores de gaiola de esquilo 386388 389 Motores de histerese 519521 Motores de ímã permanente 319 436 437 Motores de indução 344 característica de velocidade versus conjugado 199 200 com rotores de gaiola de esquilo e enrolamento monofásico de estator 510 511 controle de 597615 curvas de velocidade versus conjugado 601 curvas de velocidade versus conjugado de uso geral 386 387 distribuição empírica de reatâncias de dispersão em 376 fonte de excitação em 685 malha de controle de velocidade 609 operando com escorregamento elevado de forma ineficiente 356 operando em velocidades abaixo da velocidade síncrona mecânica 199 operando na ou próximo da velocidade síncrona 246 Motores de indução bifásicos 528546 Motores de indução de polos sombreados 518 Motores de indução monofásicos 522 classificados de acordo com o método de partida 513 com enrolamentos principal e auxiliar 536 comparados com os motores polifásicos 527528 desempenhos de partida e de funcionamento 513521 exame qualitativo 510513 teoria do campo girante de 521528 Motores de indução monofásicos com partida a capacitor 687 Motores de passo 192 460 474 503 a questão do controle 503 projetados para produzir um conjugado elevado de restauração 500 relação estreita com MRVs 504 Motores de passo de ímã permanente 498 Motores de polos variáveis 597599 Motores de relutância variável Veja MRVs máquinas de relutância variável Motores de rotor bobinado 381383 aumento da resistência de rotor 348 tornandose menos comuns 386 usados em condições de partida muito exigentes 389 Motores em derivação 410 448 Motores lineares 241 Motores monofásicos 510 527 528 Motores polifásicos 527528 Motores sem escovas 329 331 Motores série universais 446447 510 Motores síncronos como correlatos de geradores síncronos 198 comparação com motores de passo 497 conjugado eletromecânico em oposição ao conjugado resistente 264 controle de 572597 desempenho de partida e de trabalho de 513521 desenvolvimento de conjugado apenas na velocidade síncrona 265 fontes de excitação 685 operando a partir de sistemas polifásicos de acionamento de frequência variável 331 operando conectado a uma fonte de frequência constante 331 plotagem de potência e conjugado máximos versus velocidade 574 velocidade em estado permanente de 198 Motores síncronos de ímã permanente de entreferro radial classes de 321 Motores síncronos de relutância com partida própria 518 Motores síncronos de relutância construídos em estruturas adequadas 519 Motores síncronos sobreexcitados 685 Motorettes 679 Movimento grosseiro 165 166168 MRV 42 471 483 MRV 64 trifásica 470 MRV 86 de quatro fases 472 MRV duplamente saliente 461464 MRV em castelo 473 MRV trifásica com um total de seis polos principais de estator 473 474 MRVs máquinas de relutância variável 460 ampla variedade de configurações 469 análise de MRVs que requerem tratamento numérico 484 análise não linear 487495 controle de 615619 em série 471 sem enrolamentos no rotor 192 significado em aplicações de engenharia 504 tipos de 461 MRVs de rotor saliente 461 462 463 N Não uniformidades de entreferro efeitos das 245 National Electrical Manufacturers Association NEMA 677 680 Natureza bipolar de um campo magnético 203 Natureza histerética dos materiais magnéticos 25 26 Newtons 123 Nickle C A 665 Nível de fluxo de máquina em condições de curtocircuito 282 Notação de gerador para a corrente de armadura 307 Núcleo aquecimento do 25 Núcleo de aço laminado com enrolamento 28 Índice 703 Núcleo magnético alta permeabilidade do 3 Número complexo 285 293 O Onda de fluxo 199 347 Onda de fluxo de entreferro 225 277 347 Onda de fluxo progressiva negativa 218 Onda de fluxo retrógrada 235 Onda de FMM da armadura em dente de serra 211 Onda de FMM de armadura 403 417 Onda de FMM de armadura componente girante retrógrada das correntes induzidas e perdas na estrutura do rotor 250 Onda de FMM do estator de um motor monofásico 521 decomposição em duas ondas que se deslocam com amplitude constante 546 eixo da 520 em deslocamento 529 Onda de FMM em dente de serra 209210 Onda de FMM fundamental espacial valor de pico da 211212 Onda de FMM fundamental espacial para um enrolamento 659 Onda de FMM no entreferro 204 220 511 Onda de FMM rotativa produção de 221 Onda de FMM única progressiva positiva 220 Onda espacial senoidal amplitude de 213 Ondas de FMM 209 210 da armadura de um máquina CC 208 de estator e rotor 237 de máquinas CC 212 de um enrolamento trifásico 250 encontrando a componente fundamental de 242 ideais 417 produzindo uma ação do tipo motor de indução 511 Ondas de FMM senoidais fundamentais espaciais 218 Ondas progressivas negativas ou retrógradas 220 511 Ondas progressivas positivas 220 511 Operação com volts por hertz constantes VHz constante 574 Operação de fluxo constante 573 574 Operadores de sistema de potência 295 Ordem das fases 638 P Pacotes para análise numérica 494 Paralelogramo fórmula trigonométrica da diagonal do 237 Parâmetros de dispositivo por unidade na base do dispositivo 102103 Park R H 665 Parte de fluxo crescente do laço de histerese 23 Parte de fluxo decrescente do laço de histerese 23 Partida com tensão reduzida resultando em uma diminuição do conjugado de partida 386 Passo encurtado bobinas de estator de uma máquina CA 254 Perda de sincronismo 265 Perdas análise das 676678 em transformadores e máquinas rotativas 110 em uma máquina síncrona trifásica de seis polos 302 ensaios para a determinação 110 mudança com a condição de operação 301 Perdas a vazio atribuição de 371 Perdas a vazio em um rotor 370 Perdas de carga em curtocircuito 282283 302 Perdas de máquina análise das 676678 Perdas do estator 370 Perdas I2R 677 Perdas I2R de armadura 681 Perdas I2R de armadura a vazio 678 Perdas internas minimização 686 Perdas mecânicas 677 Perdas no núcleo 69 componente 68 69 76 correspondente ao fluxo a vazio 276 densidade 26 27 29 determinação 371 redução 686 resistência 76 352 371 sob carga 303 678 Perdas no núcleo a vazio ou circuito aberto 276 302 303 305 371 677678 Perdas nos contatos das escovas dos anéis deslizantes e comutadores 677 Perdas ôhmicas 677 Perdas por correntes parasitas 677 678 Perdas por histerese 26 677 678 Perdas resistivas CC 283 Perdas resistivas CC de curto circuito 283 Perdas rotacionais cálculo 377 em condições normais de operação 370 para qualquer velocidade 371 Perdas rotacionais a vazio 276 678 Perdas suplementares 283 302 303 370 677678 Perdas totais no núcleo 29 Perdas totais no rotor 355 Perfis de conjugado 476 480 Permeabilidade de material magnético linear 5 do vácuo 19 em função da densidade de fluxo do material 48 Permeabilidade constante de um material 6 Permeabilidade de recuo 37 Permeabilidade efetiva 19 Permeabilidade elevada de material 7 Permeabilidade infinita suposição de 33 Permeabilidade relativa 5 Permeabilidades magnéticas 3 244 Permeância de um circuito magnético 7 eixo direto 407 Perturbação no dispositivo 144 Planejadores de sistemas 295 Plotagem de corrente versus velocidade 369 Polos de comutação 443 Polos salientes 196 246 Pontes projeto de 326 Pontes de fluxo 325 326 Ponto de conjugado máximo 364 Ponto de equilíbrio 168 Ponto de vista de circuito acoplado 229235 704 Índice Por unidade conversão para e de 101 Posições de conjugado zero de um motor 499 de uma MRV 42 468 não possíveis em MRVs 64 470 nem todas correspondendo a posições de equilíbrio estável 499 teste das 470 Posições de equilíbrio estável de um motor de passo sem carga 500 Posições de repouso estável do rotor 499 Potência 357 determinada pelo produto de tensão e corrente 17 entregue através da impedância à fonte de tensão 285 entregue através do entreferro pelo campo progressivo 532 entregue pelo enrolamento de estator 524 transferida do estator através do entreferro 355 Potência aparente constante 295 Potência aparente por fase 642 Potência aparente trifásica total 642 Potência CC requerida para a excitação 262 Potência contínua especificações de máquina mais comuns 680 Potência de carga por unidade 108 Potência de entrada 304 543 Potência de entrada a vazio 370 Potência de entrada de um motor 304 Potência de entrada máxima de um motor 316 Potência de entrada total obtenção da 543 Potência de saída 304 Potência de saída de um motor 324 Potência de saída do gerador por fase ou por unidade 313 Potência de saída no eixo 526 Potência de terminal 415 Potência do gerador 288 Potência elétrica de entrada 128 Potência eletromagnética 413414 415 435 441 Potência eletromecânica 355 356 Potência instantânea 640641 670 Potência instantânea total de um sistema trifásico equilibrado 641 Potência interna convertida para a forma mecânica 524 Potência máxima 284 317 Potência máxima de uma máquina 574 Potência mecânica igual ao conjugado vezes a velocidade angular 357 necessária para acionar uma máquina na velocidade síncrona 276 necessária para acionar uma máquina síncrona durante o ensaio de curtocircuito 282 produto do conjugado e a velocidade mecânica 406 Potência mecânica de saída 128 425 Potência mecânica interna 525 532 Potência média de cada fase 640 Potência média de saída por fase da MRV 490 Potência no eixo 542 Potência nominal VA do inversor 490 Potência nominal do autotransformador 90 Potência permitida aproximada 561 Potência por unidade plotagem de MATLAB versus ângulo de potência 318 Potência reativa 293 372 Potência reativa por fase 641 Potência reativa trifásica total 641 Potência total transferida através do entreferro a partir do estator 355 Problema da refrigeração 682 Problemas trifásicos resolução no sistema por unidade na forma de problemas monofásicos 106 Produção de conjugado forma de onda da corrente para a 474487 Produto energético máximo de um material de ímã permanente 32 Projeto duplamente saliente 469 Pulsações de conjugado 513 641 Pulsações de conjugado com o dobro da frequência do estator 513 515 Q Queda de FMM 7 8 Queda de tensão a plena carga na resistência de armadura 562 Queda de tensão na resistência de armadura 269 273 Queda em resistência a vazio na maioria dos transformadores de grande porte 67 R Radianos elétricos expressando ângulos em 195 Radianos por segundo 196 Ramo de excitação de um circuito equivalente 76 Razão elevada entre resistência e reatância 514 Razão entre FEMs induzidas 77 Re símbolo para indicar a parte real de um número complexo 539 Reação de armadura 427428 Reação de armadura de magnetização cruzada 418 419 Realimentação de velocidade formação de uma malha externa de controle 580 581 Reatância a vazio 372 Reatância de carga burden mínima 99 Reatância de dispersão de armadura 273 Reatância de dispersão de máquina 303 Reatância de dispersão de rotor referida na frequência do estator 353 Reatância de dispersão do primário 75 Reatância de dispersão do secundário 77 Reatância de magnetização 76 85 271 352 Reatância de rotor bloqueado 374 375 378 Reatância elevada diminuindo o fator de potência 387 Reatância equivalente 81 Reatância equivalente em série 79 Reatância própria do estator 372 Reatância síncrona 269 273 274 278 322 Reatância síncrona não saturada 278 279 280 Reatância síncrona saturada 279 282 Reatâncias de dispersão 81 271 277 afetadas pela saturação 373 efeito de ignorar a queda de tensão na 304 em máquinas síncronas 277 Índice 705 frequentemente supostas constantes 110 Reatâncias de magnetização de eixo em quadratura 308 Reatâncias por unidade cálculo 282 Reatâncias síncronas de eixo em quadratura 308 Reatores em derivação 685 Referindo a impedância 72 Regeneração configuração capaz de 617 Região de operação permitida para um gerador síncrono 294 Regime de conjugado constante 574 Regime de potência constante 574 Regra da mão direita 45 123 124 Regulação de tensão de um transformador 86 Regulador automático de tensão RAT 290 Relação de curtocircuito RCC 280 Relação de espiras característica não única em um circuito equivalente de transformador 81 Relação de espiras efetiva do autotransformador 90 Relação de tensões entre dois enrolamentos 64 Relação de transformação entre dois enrolamentos 64 Relações lineares entre sinais elétricos e movimento mecânico 166 Relações para máquinas síncronas em termos de variáveis dq0 666670 Relé de êmbolo móvel 132 Relé eletromagnético esquema de 129 Relutância de um circuito magnético 163 164 do aço elétrico 407 do caminho de fluxo cruzado 419 do núcleo e do entreferro 6 dos caminhos de fluxo de dispersão 110 obtenção 9 Relutância de entreferro 22 203 Rendimento 304 359 543 Rendimento de uma máquina expressão para o 676 Representação com circuito equivalente de uma máquina síncrona 287 Requerimentos de carga 681 Requisitos de excitação de um material magnético 24 Resfriamento dos condutores 683 Resfriamento interno 683 Resistência CC da armadura 284 Resistência de armadura 273 274 284 578 Resistência de campo crítica 430 Resistência de estator variando com a temperatura do enrolamento de estator 370371 Resistência de magnetização 76 85 Resistência de rotor bloqueado cálculo 374 Resistência de rotor refletida 371 Resistência do primário 67 75 Resistência do secundário 77 Resistência equivalente em série 79 Resistência equivalente total 81 Resistência inerente do rotor 383 Resistência referida alterações na 382 Resistências CA e CC razão entre as 284 Resistências de enrolamento correção 302 Resistividade do cobre 56 Resistor derivador 432 Resolução angular de uma MRV 495 Resolução de tensões bifásicas não equilibradas 531 Restrições térmicas limitação da corrente de terminal da máquina 574 Resultados experimentais em forma funcional 304 Reta de recuo 37 Retificação de onda completa comutador tornando disponível a 201 Retificação em uma máquina CC 201 Retificação mecânica 227 Retificador de fase controlada 568 Retificadores controlados de silício de fase controlada 686 Retificadores de estado sólido 263 Rotação introduzindo a variação no tempo 226 Rotor 190 barras 369 circuito equivalente de um motor de indução polifásico 353 condutores 346 conjugado 173 controle por resistência 605606 de um motor de histerese 519 de uma máquina de indução como um curtocircuito 352 de uma máquina de indução polifásica 344 dentes 473 dissipação de potência por fase de estator 356 eixo direto 306 eixo em quadratura 306 emperrando em uma MRV 467 equações de tensão 674 escorregamento 346 excesso no 484 excitação 320 extremamente robusto para MRV 504 fluxo 614 fluxo de dispersão 236 frequência 383386 gerador de dois polos e rotor cilíndrico 207 208 girando na mesma velocidade que o campo magnético girante 262 impedância 373 374 indutância própria do rotor 266267 ondas de FMM 236 522 perdas totais 355 polos em um rotor de gaiola de esquilo 350 posição de equilíbrio 501 reatância de dispersão 349 375 resistência 381388 389 resistência do circuito 366 sensor de posição do 467468 615 terminais 346 velocidade 359 Rotor assimétrico MRV com 470 Rotor bobinado 344 348 Rotor bobinado situação da FMM e do fluxo 348 349 Rotor com bobina de espira única 124 Rotor de duas bobinas 173 Rotor de ímã permanente produção de campo de pico 498 Rotor de máquina observação com luz estroboscópica 265 Rotor de polos não salientes 196 706 Índice Rotor estacionário constituindo os trilhos 241 Rotor ferromagnético produzindo conjugado nulo 498 Rotor magnético com saliências 460 Rotores cilíndricos 196 197 Rotores de gaiola de esquilo 344 345 349350 384 Rotores de ímã permanente interior 325 S Saída secundário 63 Saída de potência 323 Saída de potência reativa 298 Saída de potência reativa do gerador 301 Saída no eixo 532 Saliências do estator 461 efeitos das 668 Samáriocobalto 36 41 Saturação baixa a potência nominal VA requerido do inversor 489 efeitos da 244 489 490 efeitos sobre o desempenho de uma MRV 488489 em uma máquina totalmente carregada 246 grau de 245 grau fixo de 279 método de lidar com 279 papel na determinação dos caminhos de fluxo 326 papel no desempenho de uma MRV 494 504 sob as intensas correntes transitórias iniciais 369 Saturação magnética 110 244247 274 Secundário em curtocircuito circuito equivalente com 83 Segundo enrolamento 191 Sensor de velocidade 610 Sensor para medir a posição do eixo 321 Sensores eletrônicos determinando a posição do eixo 265 Sentido de referência do tipo gerador 270 Sentido de referência do tipo motor 270 Sequência das fases 638 Sequência negativa 529 Sequência positiva 529 Sequências opostas de fases fontes de tensão bifásicas e equilibradas de 529 Série de Fourier 204 Simplificação de problemas de movimento grosseiro 167 Simplificação de suposições permitindo a obtenção de soluções úteis de engenharia 23 Simulação resultados de 167 170 Simulink plotando a corrente e conjugado da fase 1 484 resolvendo problemas 166 Simulink diagrama de blocos 484486 Simulinkmodelo 167 168 169 565 594 Sinais de entrada propiciando reposta linear aos 168 Sinal de audiofrequência 185 Sincronismo manutenção entre geradores 263 Sistema bifásico síntese de um sistema não equilibrado 530 Sistema conservativo 130 Sistema de acionamento de MRV 495 615 Sistema de armazenamento de energia sem perdas 127 182 Sistema de controle de conjugado 580 581 Sistema de controle de conjugado por campo orientado 587588 609 Sistema de controle de velocidade para motor CC de excitação independente ou em derivação 562 Sistema de controle por realimentação diagrama de blocos do 562 Sistema de distribuição de grande porte 91 Sistema de excitação 262 Sistema de ímã permanente 188 Sistema de q fases 635 Sistema de referência escolha do 270 Sistema de referência rotativo 672 Sistema de três enrolamentos 247 248 Sistema eletromecânico equações dinâmicas do movimento de um 163165 modelo de um simples 161162 Sistema ligado em Y estrela diagrama fasorial de tensões para um 638 Sistema magneticamente linear 143 152 Sistema polifásico 635 Sistema por unidade 101109 Sistema só com campo elétrico 123 Sistema só com campo magnético 123 Sistema trifásico equilibrado 637 638 Sistema trifásico não equilibrado 637638 Sistemas de acionamento unidirecionais operando MRVs com 504 Sistemas de campo magnético multiexcitado 146152 Sistemas de componentes simétricos 530 Sistemas de controle de laço aberto 500 Sistemas de conversão de energia 129 Sistemas de excitação sem escovas 194 263 Sistemas digitais de controle motores de passo usados em 495 Sistemas inversores baseados em eletrônica de potência 558 Sistemas inversores para o acionamento de MRVs 616 Sistemas monofásicos três separados 635 Sistemas trifásicos 635 a maioria dos sistemas de potência do mundo como 197 análise de valores de base 106 potência instantânea em 641 Sistemavibrador cilíndrico simétrico 178179 Sobrecargas elevadas de conjugado 410 Solenoide êmbolo conectado a uma mola 188 Soma fasorial para bobina de passo encurtado 656 T Técnica de campo orientado 553 Técnica do circuito equivalente 74 Técnicas analíticas 165171 Técnicas de integração numérica baseadas em computador 166 Índice 707 Técnicas para o controle de máquinas elétricas 553 Tecnologia de estado sólido usada em sistemas de acionamento CA 403 Temperatura Curie 43 Temperatura Curie do neodímio ferroboro 43 características de magnetização CC 159 curva de magnetização CC do 41 438 curvas de magnetização 4142 materiais 36 valores baixos de permeabilidade de recuo 41 Temperatura de funcionamento de uma máquina 679 Tensão CC de armadura 403 Tensão constante operação com frequência variável 573 Tensão de armadura amplitude da 573 Tensão de armadura aplicada 599 Tensão de bobina 196 444 Tensão de carga por unidade 108 Tensão de entreferro 271 303 304 Tensão de equivalente Thévenin 301 330 360 Tensão de fase valores de base para a 106 Tensão de fase de carga real cálculo 94 Tensão de fase eficaz cálculo para uma máquina de polos não salientes 592 Tensão de linha expressão da 94 para um enrolamento ligado em triângulo delta 654 valor da 639 Tensão de linha cálculo 227 Tensão de reatância 443 Tensão de terminal cálculo 560 como referência de fase 272 de geradores síncronos 294 de um gerador com excitação independente 408409 de uma máquina CC 414 determinação 610 expressão da 269 plotada em função da potência do gerador 288 plotagem MATLAB versus a potência do gerador por unidade 289 velocidade do motor variando linearmente com a 559 Tensão de terminal da fase a 269 Tensão de terminal de enrolamento obtenção 17 Tensão de terminal de um motor 323 Tensão de terminal do estator 351 Tensão de terminal do gerador 288 Tensão de terminal do primário 75 Tensão de transformador 83 224 Tensão de um motor controle da 560 Tensão de velocidade 109 162 405406 Veja também FEM força eletromotriz de motores CC de ímã permanente 567 gerada pelo movimento relativo da onda de fluxo de entreferro e a bobina de estator 224 induzida na armadura pelo enrolamento de campo girante 198 Tensão eficaz de fase da armadura 610 Tensão eficaz de fase de terminal 584 Tensão eficaz gerada por fase 651 Tensão gerada 223228 269 272 299 651657 de uma máquina CC 413 em função da velocidade do motor 425 fasor ao longo do eixo em quadratura 306 por unidade 301 303 proporcional à velocidade do motor e à corrente de campo 576 valor da respectiva 298 Tensão gerada de frequência fundamental 653 Tensão gerada produzida por ímã 322 Tensão induzida expressões quantitativas da 223 nos terminais de enrolamento 11 polaridade da 224 valor máximo da 226 Tensão interna 269 Tensão por detrás da reatância de dispersão 271 Tensão retificada gerada na armadura 405 Tensão rotacional 443 Tensões de ambos geradores em derivação e compostos 409 geradas em enrolamentos 190 impedância interconectando duas 285 induzidas por campos magnéticos variáveis no tempo 190 Tensões de fase 272 358 638 na linha de entreferro 281 para um enrolamento ligado em Y 654 uso de 293 645 Tensões de linha 638 Tensões instantâneas 640 Tensões trifásicas geração de 635638 Teorema de Thévenin 330 360369 Teoria do rotor cilíndrico 292 Teoria dos componentes simétricos de motores de indução bifásicos 528 Terceira harmônica 68 Terminais com marcas circulares de polaridades correspondentes 7172 Terminais de armadura 274 569 Terminais elétricos sistemas com mais de dois 150 Terminais elétricos múltiplos dispositivos eletromecânicos com 146 Terminal mecânico velocidade de 162 Termo da corrente de deslocamento nas equações de Maxwell 2 Teslas 5 123 The MathWorks Inc 166 Trajetória BH 3637 Trajetória de fluxo concatenado versus corrente 489 Transdutores 122 Transformada de Laplace na forma de 433 Transformador omissão de termos de 669 Transformador de distribuição com proteção própria 65 Transformador de dois enrolamentos 87 88 Transformador de núcleo de ferro 64 109 708 Índice Transformador de potência de grande porte 65 66 Transformador de um sistema de potência tensões na placa de identificação de um 78 Transformador estático como componente indispensável 63 Transformador ideal características do 72 com carga 70 eliminando do circuito equivalente 101 explicitamente desenhado ou omitido 78 propriedades da transformação de impedância do 72 transformação de correntes 71 Transformador ideal no sistema por unidade com relação de espiras unitária 102 Transformador real 74 77 Transformadores 1 cálculo no lado de alta tensão 108 com o circuito secundário aberto 65 66 comparação com máquinas rotativas 109 diagramas esquemáticos de 65 66 em circuitos trifásicos 9196 enrolados em núcleos fechados 5 introdução aos 6365 Transformadores de corrente TCs 96 99101 Transformadores de distribuição 65 9091 102 Transformadores de instrumentação 96 Transformadores de múltiplos circuitos 90 Transformadores de potência e distribuição características de 102 Transformadores de potencial TPs 9697 Transformadores do tipo núcleo envolvente 64 Transformadores do tipo núcleo envolvido 64 Transformadores múltiplos enrolamentos 9091 Transformadores trifásicos construção 91 92 partes internas de 92 93 vantagens dos 92 Transitório de ajustamento hunting 264 Transporte terrestre a alta velocidade motores de indução lineares propostos para 391 TRIACS diodos chaveáveis 447 616 Triângulo ligação em 637 diagrama fasorial de correntes 639 valor da corrente de linha 640 Turbina eólica gerador de indução acionado por 363 Turbinas a gás 197 Turbinas a vapor operando melhor em velocidades relativamente elevadas 197 Turbinas hidráulicas operando em velocidades relativamente baixas 197 U Unidades SI tabela de constantes e fatores de conversão 688 V Vácuo permeabilidade magnética 3 Valor de pico da onda de FMM 209 Valor médio quadrático eficaz Veja Valores eficazes Valores de base 101 105 Valores de estado permanente da tensão gerada 421 Valores de referência set points para correntes de motor 580 Valores eficazes de tensões e correntes 23 Valores por unidade 104 280 Valores por unidade pu conversão 103 Valores saturados aplicados às condições típicas de operação de uma máquina 309 Variação de segunda harmônica da indutância 138 Variações no tempo de campos magnéticos 2 Variáveis de eixo em quadratura transformação para 664666 Variáveis de estado 130 147 Velocidade angular da onda de fluxo do estator 473 Velocidade angular mecânica síncrona 357 Velocidade angular síncrona 220 Velocidade da onda progressiva 244 Velocidade de base de motores de ímã permanente 320 definição 560 faixas acima e abaixo da 561 Velocidade de um motor cálculo 567 correspondente a uma dada corrente de armadura 434 em forma integral como requerido pelo Simulink 594 obtenção 559 plotada em função do tempo 560 561 Velocidade em estado permanente de uma máquina síncrona 262 Velocidade síncrona 220 de um motor 575 de um motor de indução 597 de uma máquina 235 do campo de estator 345 obtenção 359 Velocidade versus tensão termos de 669 Versatilidade das máquinas CC 403 Vetores espaciais 237 Volante para auxiliar um motor 388 Voltampères eficazes de excitação 24 Voltímetro eletrostático esquemático 183184 Volts por hertz algoritmo 614 Volts por metro 123 Voltsampères eficazes de excitação 24 25 Voltsampères por fase 642 Volume de entreferro redução 33 W Watts W 18 Weber Wb 4 5 Webersespiras por ampère 12