Serie de Fourir

SÉRIE DE FOURIER Resumo e Exemplos T2 1 Introdução Jean Baptiste Joseph Fourier 17681830 foi um importante matemático e físico de origem francesa que através do seu estudo sobre a propagação de calor em corpos sólidos analisou a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes mostrando que qualquer função por maior complexibilidade que possua pode ser decomposta em uma soma de senos e cossenos por isso essas séries receberam o nome de séries de Fourier em sua homenagem As séries de Fourier apresentam vastas aplicações em diversas disciplinas científicas na física e química quântica acústica oceanografia processamento de sinal logo tornase indispensável uma análise dirigida das mesmas com a finalidade de compreenderemse melhor os diversos fenômenos que ocorrem no mundo 2 Funções periódicas Uma função f de R em R é periódica se existe um número p pertencente R tal que para todo x pertencente a R fxpfx Na figura 21 temse um exemplo de uma função periódica Figura 21 Função periódica Muitas vezes existem vários números com tal propriedade sendo que o menor número real positivo com essa característica é chamado de período fundamental de f Claramente se p é período da função f todos os seus múltiplos o serão também Na figura 22 ilustrase tal conceito Figura 22 Função periódica com período fundamental 3 Série trigonométrica Uma série de senos e cossenos do tipo 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 é dita série trigonométrica onde na maior parte das aplicações a variável x é real Estas séries representam funções periódicas de período 2π e a soma também será uma função periódica de período 2π 4 Ortogonalidade Dois termos são ditos ortogonais em relação a um período quando o produto interno entre eles for nulo Tal propriedade é muito usada para a obtenção dos coeficientes de Fourier tendo em vista que tais coeficientes são calculados através de produtos internos entre dois termos Por isso através da propriedade de ortogonalidade é possível saber quais produtos serão nulos e quais não e qual é a condição para isso Logo podemse estabelecer as seguintes relações de ortogonalidade considerando o intervalo de ππ as quais serão fundamentais na resolução de problemas relacionados a séries de Fourier 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 0 𝑠𝑒 𝑚 𝑛 𝑜𝑢 𝜋 𝑠𝑒 𝑚 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑚 𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 0 𝑠𝑒 𝑚 𝑛 𝑜𝑢 𝜋 𝑠𝑒 𝑚 𝑛 5 Determinação dos coeficientes da série de Fourier Podese obter os coeficientes da série de Fourier explorandose as relações de ortogonalidade 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 1 Cálculo de a0 Integrandose os dois membros da equação inicial 1 entre ππ 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 2 𝐴𝑜 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝑛1 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 2 𝐴𝑜 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 2 𝐴𝑜 2𝜋 𝐴𝑜 𝜋 𝑨𝒐 𝟏 𝝅 𝒇𝒙𝒅𝒙 𝝅 𝝅 Cálculo de an Multiplicandose a equação inicial 1 por cos px sendo p número fixo dado e integrando entre ππ 𝑓𝑥 cos 𝑝𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 2 𝐴𝑜 cos 𝑝𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑥 cos 𝑛𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 cos 𝑝𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝑛1 Sendo n p 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥2 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐴𝑛 𝜋 𝑨𝒏 𝟏 𝝅 𝒇𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝝅 Cálculo de bn Multiplicando a equação inicial por sen px sendo p número fixo dado e integrando entre ππ 𝑓𝑥 sen 𝑝𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 2 𝐴𝑜 sen 𝑝𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐴𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑝𝑥 cos 𝑛𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝜋 𝜋 𝑑𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 sen 𝑝𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥2 𝜋 𝜋 𝐵𝑛 𝜋 Sendo n p 𝑩𝒏 𝟏 𝝅 𝒇𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝝅 Exemplo Um exemplo da utilização da série de Fourier de uma função periódica simples é a onda quadrada que é uma forma de onda básica encontrada frequentemente nas áreas da eletrônica e do processamento de sinais ela alterna regularmente e instantaneamente entre dois níveis Na figura 61 temse um exemplo de uma onda quadrada Figura 51 Onda quadrada Podese determinar a série de Fourier da onda quadrada exposta na figura 61 por meio do uso dos cálculos dos coeficientes analisados nessa seção A função apresenta a forma analítica abaixo 𝑓𝑥 1 𝜋 𝑥 0 1 0 𝑥 𝜋 𝑓𝑥 2𝜋 𝑓𝑥 Logo podese realizar os cálculos referentes aos coeficientes da série de Fourier 𝑨𝒐 1 𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 𝜋 1 𝑑𝑥 0 𝜋 1 𝑑𝑥 𝜋 0 𝟎 𝐴𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 1 𝜋 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝜋 𝜋 𝑨𝒏 𝑠𝑒𝑛 0 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛0 𝑛𝜋 𝟎 𝐵𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥 sen 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑩𝒏 𝑐𝑜𝑠 0 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠0 𝑛𝜋 𝟐 𝒏𝝅 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝅 Se n for igual a um número par 𝒃𝒏 𝟎 e se n for igual a um número ímpar 𝒃𝒏 𝟒 𝒏𝝅 Logo podese obter a série de Fourier da função fx como sendo igual a 𝒇𝒙 𝟒 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟒 𝟑𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝟒 𝟓𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙 𝟒 𝟕𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟕𝒙 𝟒 𝟗𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟗𝒙 MATLAB 𝑨𝒐 1 𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 1 𝜋 1 𝑑𝑥 0 𝜋 1 𝑑𝑥 𝜋 0 𝟎 a00 N3 termos N3 Fxzerossizet for n11N use 2n1 termos ímpares e 2n1 para pares 𝑨𝒏 𝑠𝑒𝑛 0𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑠𝑒𝑛0 𝑛𝜋 𝟎 portanto só tem Bn 𝒇𝒙 𝟒 𝝅 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟒 𝟑𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝟒 𝟓𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙 𝟒 𝟕𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟕𝒙 𝟒 𝟗𝝅 𝒔𝒆𝒏𝟗𝒙 FxFx4pisin2n1t2n1 onda quadrada End Y3a02Fx Temos que considerar que for n11N FxFx4pisin2n1t2n1 End 𝒇𝒙 𝟒 𝒏𝛑 𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 𝑵 𝒏𝟏 Para n ímpar 6 Funções pares e ímpares Uma função Px é dita par quando Px Px Ou seja a função é simétrica em relação ao eixo vertical Na figura 71 podese verificar uma função par Figura 61 Simetria par Uma função Ix é dita ímpar quando Ix Ix Ou seja é simétrica em relação à origem Na figura 72 podese verificar uma função ímpar Figura 62 Simetria ímpar Podemse estabelecer as seguintes propriedades com relação às funções pares e ímpares 1 A soma de funções pares é uma função par Exemplo Dada a soma de uma função fx por gx ambas pares o resultado será uma função par qx qx fx gx qx fx gx qx qx 2 A soma de funções ímpares é uma função ímpar Exemplo Dada a soma de uma função fx por gx ambas ímpares o resultado será uma função ímpar qx qx fx gx qx fx gx qx qx 3 O produto de duas funções pares é uma função par Exemplo Dada o produto de uma função fx por gx ambas pares o resultado será uma função par qx qx fx gx qx fx gx qx fx gx qx qx 4 O produto de duas funções ímpares é uma função par Exemplo Dada o produto de uma função fx por gx ambas ímpares o resultado será uma função par qx qx fx gx qx fx gx qx fx gx qx fx gx qx qx 5 O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar Exemplo Dada o produto de uma função fx sendo essa par por uma função gx sendo essa ímpar o resultado será uma função qx ímpar qx fx gx qx fx gx qx fx gx qx fx gx qx qx 6 Toda função f ft pode ser decomposta na soma ft f pt f it onde f p f pt é uma função par e f i f it é uma função ímpar Logo podese aplicar os conceitos enunciados a cima para a obtenção da representação em série de Fourier de uma função Portanto a série de Fourier de uma função periódica par fx que possui período 2π é uma série de Fourier em cossenos 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝑛1 Com coeficientes 𝐴𝑜 2 π 𝑓𝑥𝑑𝑥 π 0 𝐴𝑛 2 π 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 π 0 Considerando fx par temse que 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 Como f é par fx fx 𝑓𝑥 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 Somando as duas equações abaixo 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 Logo 2𝑓𝑥 𝐴𝑜 2 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 𝐴𝑜 2 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝑛1 Por outro lado 𝐴𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 Como fx e cos nx são funções pares temse que 𝐴𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 0 𝜋 1 𝜋 𝑓𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 0 𝜋 1 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 0 𝜋 1 𝜋 2 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝐴𝑛 2 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 A série de Fourier de uma função periódica ímpar fx que possui período 2π é uma série de Fourier em senos 𝑓𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 Com coeficientes 𝐵𝑛 2 π 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 π 0 Considerando fx ímpar temse que 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 𝑛1 Como f é ímpar fx fx temse que 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 𝑛1 Subtraindo as equações abaixo 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 𝑛1 Logo 2𝑓𝑥 2 𝐵𝑛 sen 𝑛𝑥 𝑛1 𝑓𝑥 𝐵𝑛 sen 𝑛𝑥 𝑛1 Por outro lado 𝐵𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 Como fx e sen nx são funções ímpares 𝐵𝑛 1 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 1 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 1 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 0 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 1 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝐵𝑛 2 𝜋 𝑓𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 Exemplos Série de Fourier de uma função par A Dada a função abaixo podese obter uma representação em série de Fourier como foi realizado 𝑓𝑥 𝑥 𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 𝜋 2 𝑥 𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜋 𝑥 2𝜋 𝑓𝑥 2𝜋 𝑓𝑥 Figura 63 Onda triangular Como fx é uma função que apresenta simetria com relação ao eixo vertical x0 ela é considerada uma função par portanto podese utilizar os recursos mostrados com relação a funções pares nesse tópico Ou seja 𝑩𝒏 𝟎 𝐴𝑜 2 𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 2 𝜋 𝑥 𝜋 𝑑𝑥 2 𝑥2 2𝜋2 0 𝜋 𝜋 0 𝜋 0 1 𝐴𝑛 2 𝜋 𝑓𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 2 𝜋 𝑥 𝜋 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝜋 0 2 𝜋2 𝑥 cos 𝑛𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 𝑨𝒏 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒑𝒂𝒓 𝟒 𝒏𝟐 𝝅𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 í𝒎𝒑𝒂𝒓 A representação da série de Fourier fica 𝒇𝒙 𝟏 𝟐 𝟒 𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝟗 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝟏 𝟐𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟓𝒙 Série de Fourier de uma função ímpar B Podese demonstrar a utilização da série de Fourier para função ímpar por meio da análise da função dente de serra 𝑓𝑥 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜋 𝑥 𝜋 𝑓𝑥 2𝜋 𝑓𝑥 Figura 64 Série de Fourier de uma função ímpar Nesse caso como a função é ímpar 𝐴𝑛 𝐴𝑜 0 assim basta calcular Bn 𝐵𝑛 4 2𝜋 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 2 𝜋 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 𝜋 0 𝜋 0 𝐵𝑛 2 𝜋 cos 𝑛𝜋 𝑩𝒏 𝟐 𝟏𝒏 𝒏 A representação da série de Fourier fica 𝒇𝒙 𝟐 𝟏𝒏 𝒏 𝐬𝐞𝐧𝒏𝒙 𝒏𝟏 7 Funções com períodos arbitrários É possível representar funções de qualquer período sob a forma de Série de Fourier para tanto é preciso utilizar uma mudança de variável Estando ft definida no intervalo 𝑇 2 𝑇 2 tem se que π x π 𝑇 2 𝑡 𝑇 2 x π t 𝑇 2 x π t 𝑇 2 Para fazer a mudança de intervalo definimos t em função de x t axb 𝑇 2 a π b 1 𝑇 2 a π b 2 Somandose essas duas equações descobrimos que b0 substituindo o valor de b em 1 temos 𝑇 2 a π a 𝑇 2 π logo t 𝑇 2 π x x 2𝜋 𝑇 t Expressando a variável t em função de x temos 𝑓𝑡 𝑓 𝑇 2 𝜋𝑥 que é definida no intervalo π π 𝑓𝑡 𝑓 𝑇 2𝜋 𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝑥 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑛1 Onde 𝑨𝒐 𝟏 𝝅 𝒇 𝑻 𝟐𝝅 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝝅 𝑨𝒏 𝟏 𝝅 𝒇 𝑻 𝟐𝝅 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝝅 𝑩𝒏 𝟏 𝝅 𝒇 𝑻 𝟐𝝅 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝝅 Para simplificar os cálculos fazse 𝒙 𝟐𝝅 𝑻 𝒕 e 𝒅𝒙 𝟐𝝅 𝑻 𝒅𝒕 𝑓𝑡 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑛1 Onde 𝑨𝒐 𝟐 𝑻 𝒇𝒕𝒅𝒕 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝑨𝒏 𝟐 𝑻 𝒇𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒏𝝅𝒕 𝑻 𝒅𝒕 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 𝑩𝒏 𝟐 𝑻 𝒇𝒕 𝐬𝐞𝐧𝟐𝒏𝝅𝒕 𝑻 𝒅𝒕 𝑻 𝟐 𝑻 𝟐 Exemplos A Um exemplo uso da série de Fourier é no estudo da onda triangular que é uma espécie básica de forma de onda nãosenoidal que recebeu este nome devido ao seu formato semelhante a um triângulo Na figura 81 há a representação gráfica de uma onda triangular cujo período é igual a 1 T 1 Figura 71 Onda triangular A função apresenta a forma analítica abaixo 𝑓𝑥 𝑥 0 𝑥 1 2 𝑥 1 𝑥 2 𝑓𝑥 2 𝑓𝑥 Realizando os cálculos referentes aos coeficientes da série de Fourier 𝑨𝒐 𝟏 𝟏 𝒇𝒙𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟎 𝟏 𝐴𝑛 1 1 𝑓𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1 1 𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 0 1 𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1 0 𝐴𝑛 1 𝑛𝜋2 cos0 1 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 cos𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 cos𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 cos0 1 𝑛𝜋2 1 𝑛𝜋2 cos𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 cos𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 𝑨𝒏 𝟐 𝒏𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 𝟏 Se n for igual a um número par 𝒂𝒏 𝟎 e se n for igual a um número ímpar 𝒂𝒏 𝟒 𝒏𝝅𝟐 𝐵𝑛 1 1 𝑓𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1 1 𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 0 1 𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1 0 𝐵𝑛 1 𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛0 1 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 1 𝑛𝜋 cos𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋 1 𝑛𝜋2 𝑠𝑒𝑛0 𝑩𝒏 𝟏 𝒏𝝅 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝅 𝟏 𝒏𝝅 𝐜𝐨𝐬𝒏𝝅 𝟎 Logo podese obter a série de Fourier da função fx como sendo igual a 𝒇𝒙 𝟏 𝟐 𝟒 𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬𝝅𝒙 𝟒 𝟗𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝅𝒙 𝟒 𝟐𝟓𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟓𝝅𝒙 𝟒 𝟒𝟗𝝅𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟕𝝅𝒙 8 Mudança de intervalo Podese generalizar o conceito de Séries de Fourier para funções dentro de um intervalo arbitrário ab onde a e b são números reais Inicialmente considerarse o caso particular de um intervalo pp 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝑝 1 Onde os coeficientes da série de Fourier são iguais a 𝐴𝑛 1 𝑝 𝑓𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 𝑝 𝐵𝑛 1 𝑝 𝑓𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 𝑝 A discussão acima pode ser adaptada pelo espaço euclidiano cp 𝑎 𝑏 Com efeito caso considerese 2𝑝 𝑏 𝑎 a série de Fourier pode ser escrita da seguinte forma 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 2𝑛𝜋𝑥 𝑏 𝑎 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝑛𝜋𝑥 𝑏 𝑎 1 Onde os coeficientes da série de Fourier para o respectivo intervalo são iguais a 𝑨𝒐 𝟐 𝒃 𝒂 𝒇𝒙 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 𝑨𝒏 𝟐 𝒃 𝒂 𝒇𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒏𝝅𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 𝑩𝒏 𝟐 𝒃 𝒂 𝒇𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒏𝝅𝒙 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 𝒃 𝒂 9 Séries em senos e cossenos As funções periódicas com simetria par e ímpar e suas respectivas representações por meio de séries de Fourier foram analisadas na seção 6 e podese apurar que se uma função é par e periódica então essa pode ser expandida em uma série de Fourier de cossenos e caso a função seja ímpar e periódica então essa pode ser expandida em uma série de Fourier de senos Por conseguinte podese desenvolver uma série de Fourier de uma função f definida no intervalo 𝑎 𝑏 sendo essa representação conhecida como expansão em meio período Seja a função fx de período 𝑇 2𝑎 caso a função fx seja par a série de Fourier fica representada da seguinte maneira 𝑓𝑥 1 2 𝐴𝑜 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑎 𝑛1 Com coeficientes iguais a 𝐴𝑜 2 𝑎 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑎 0 𝐴𝑛 2 𝑎 𝑓𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑎 𝑑𝑥 𝑎 0 Na figura 101 observase uma função fx definida no intervalo 0 𝑎 Figura 91 Função fx Efetuandose um prolongamento periódico par a função fx anterior pode ser representada graficamente pela figura 102 Figura 92 Prolongamento periódico par de fx Considerandose a função fx como sendo ímpar a série de Fourier ficará representada da seguinte forma 𝑓𝑥 𝐵𝑛 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑎 𝑛1 Com coeficiente igual a 𝐵𝑛 2 𝑎 𝑓𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑎 𝑑𝑥 𝑎 0 Realizandose um prolongamento periódico ímpar a função fx representada na figura 101 pode ser representada graficamente pela figura 103 Figura 93 Prolongamento periódico ímpar de fx Exemplos A Dada a função abaixo podese obter uma representação em série de Fourier com uma expansão par Figura 94 Prolongamento periódico par 𝑓𝑥 𝑥 0 𝑥 𝜋 Cálculo de Ao 𝐴𝑜 4 2𝜋 𝑥 𝑑𝑥 2 𝜋 𝑥2 2 0 𝜋 2 𝜋 𝜋2 2 0 𝜋 0 𝜋 Cálculo de An 𝐴𝑛 4 2𝜋 𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 2 𝜋 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑥 1 𝑛2 cos 𝑛𝑥 0 𝜋 2 𝑛2𝜋 cos 𝑛𝜋 1 𝜋 0 𝐴𝑛 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟 4 𝑛2 𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 Portanto a representação da função em série de Fourier fica 𝑓𝑥 𝜋 2 4 𝜋 cos 𝑥 4 9𝜋 cos 3𝑥 4 25𝜋 cos 5𝑥 B Dada a mesma função do exemplo anterior podese realizar uma expansão periódica ímpar sendo que o resultado obtido é exatamente o valor encontrado para a função dente de serra a qual já foi abordada anteriormente no tópico referente a funções pares e ímpares Sua representação é da forma 𝑓𝑥 2 1𝑛 𝑛 sen𝑛𝑥 𝑛1 10 Trabalho 1ª parte da 2ª avaliação parcial Para os sinais abaixo a determine seus coeficientes da série de Fourier b mostre a expressão de sua representação em série de Fourier c Plote no Matlab o gráfico dessa SF com 3 5 7 e 10 termos A 𝒇𝒙 𝟏 𝝅𝟐 𝒙 𝝅𝟐 𝟏 𝝅𝟐 𝒙 𝟑𝝅𝟐 𝒇𝒙 𝟐𝝅 𝒇𝒙 Figura 101 Onda quadrada B 𝒇𝒙 𝟏 𝒙𝝅 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝝅 𝒙 𝝅 𝒇𝒙 𝟐𝝅 𝒇𝒙 Figura 102 Onda dente de serra C 𝒇𝒙 𝟐𝒙𝝅 𝝅𝟐 𝒙 𝝅𝟐 𝟐 𝟐𝒙𝝅 𝝅𝟐 𝒙 𝟑𝝅𝟐 𝒇𝒙 𝟐𝝅 𝒇𝒙 Figura 103 Onda triangular 11 Instruções a Estão disponibilizados dois scripts MatlabOctave i PDSSFourierExemplosm Exemplos Use como referência ii PDSSFourierTrabalhom Formas de onda da seção 10 Use para gerar seus gráficos b Se tiver dificuldade para escrever as equações escrevaas à mão em uma folha branca fotografe e inclua essa foto legível no relatório c Inclua os gráficos gerados pelo MatlabOctave no seu relatório d ATENÇÃO O trabalho pode ser feito em dupla mas cada aluno deve submeter seu relatório Inclua seu nome e matrícula no cabeçalho do relatório O relatório em formato PDF deve ser submetido via email até 25012024 2359h para asobrinhoueaedubr O assunto do email deve ser apenas e obrigatoriamente PDST2 O nome do arquivo PDF anexado deve ser nomeado obrigatoriamente como PDST2nomepdf sem os colchetes Exemplo meu nome é Antonio então o nome do meu arquivo deve ser PDST2Antoniopdf 12 Referências httpswwwmaxwellvracpucriobr4545001HTM httpsmatematicasimplificadacomseriesdefourier1exerciciosresolvidos httpsmatematicasimplificadacomseriesdefourier2exerciciosresolvidos