Coletânea de Textos Estatística - Licenciatura em Matemática UEPA

Universidade do Estado do Pará Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica PróReitoria de Graduação Centro de Ciências Sociais e Educação Licenciatura em Matemática COLETÂNEA DE TEXTOS DA DISCIPLINA Professores Organizadores Fabrício Martins da Costa BelémPará Julho 2011 Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica PARFOR Material organizado para desenvolvimento da disciplina Estatística no Curso de Licenciatura em Matemática a ser ofertado por meio de convênio firmado entre o Ministério da Educação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior MECCAPES e a Universidade do Estado do Pará UEPA Universidade do Estado do Pará Reitora Marília Brasil Xavier ViceReitora Maria das Graças da Silva PróReitoria de Graduação PROGRAD Rui Guilherme Castro de Almeida PróReitoria de Pesquisa e PósGraduação PROPESP Jofre Jacob da Silva Freitas PróReitoria de Gestão PROGESP Manoel Maximiniano Júnior PróReitoria de Extensão PROEX Cléa Nazaré Carneiro Bichara Diretora do Centro de Ciências Sociais e Educação Maria José de Souza Cravo Coordenador Geral do PARFORUEPA Neivaldo Oliveira da Silva Coordenadora Adjunta da Universidade Aberta do Brasil UAB Léa Maria Gomes da Costa Coordenador do Curso de Matemática Rubens Vilhena Fonseca Assessoria Pedagógica Roseani Souza da Silva SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 4 PLANO DE ENSINO ATIVIDADES NÃO PRESENCIAIS EAD Erro Indicador não definido UNIDADE 1 CONHECENDO A ESTATÍSTICA 5 UNIDADE 2 REPRESENTAÇÃO TABULAR 13 UNIDADE 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 33 UNIDADE 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO 51 4 APRESENTAÇÃO Prezado a aluno a este livro didático da disciplina Estatística foi elaborado com muito cuidado visando uma aprendizagem consistente Pois uma das metas do educador centrase em preparar seus alunos para que os mesmos no período do curso de graduação possam capacitarse e no final dela estarem habilitados para dar sua parcela de contribuição a sociedade ou seja sendo protagonistas do saber e assim repassar as experiências obtidas neste tempo favorável para aqueles que estão trabalhando com a ciência Por exemplo orientar trabalhos de cunho acadêmico ou participar de grupos de pesquisa muitas atividades podese desenvolver após a graduação isto é apenas o começo de uma longa jornada No material aborda a Estatística que no diaadia a palavra é muito pronunciada nos meios de comunicação de forma tão comum que por diversas vezes não paramos para fazer a seguinte reflexão O que é a Estatística Qual a utilidade Essas e outras perguntas não serão respondidas responder no decorrer do livro mas daremos algumas indicações que serão bastante úteis futuramente Hoje em dia percebemos que a Estatística está praticamente ao nosso redor de uma forma tão forte por exemplo falase no noticiário de televisão que houve um aumento nas estatísticas de acidentes ou que a probabilidade de rebaixamento de um clube para série B do campeonato brasileiro de futebol é 70 O ENEM Exame nacional do ensino médio adotou em 2009 um novo formato usarse á Estatística mais precisamente a Teoria de Resposta ao Item TRI Quando os meios de comunicação noticiam um assunto com relação à estatística será que você entende por completo ou fica algo sem compreensão Por exemplo a nota média do Enem aumentou com relação ao ano passado Primeiro as provas dos dois anos estão na mesma escala Se as provas não estão na mesma escala não pode haver comparações Logo temos que ficar atentos a tudo que se fala nos meios de comunicação pois vivemos a era da globalização e o advento da internet Precisamos estar antenados para não cometer nenhum tipo de erro grosseiro Este material didático não tem como objetivo formar estatísticos mas formar profissionais que possam utilizar corretamente as técnicas estatísticas em uma pesquisa mais especificamente análise dos dados Nosso material está dividido em 4 unidades a Unidade 1 aborda os conceitos iniciais da Estatística a Unidade 2 é a estatística gráfica muito valorizada nos estudos Unidade 3 mostra as principais medidas descritivas que são imprescindíveis no inicio de qualquer pesquisa e a Unidade 4 evidencia as medidas de variabilidade que são bastante significativas em um estudo estatístico pois a Estatística é conhecida como a ciência das médias então é preciso conhecer a variação das variáveis estudadas para que se possa entender o fator variação Estude cuidadosamente este material Refaça os exemplos apresentados e busque apoio nas indicações fornecidas no tópico pesquisando Depois de fazer isto faça as questões propostas que estão no final de cada unidade que estão de acordo com os exemplos apresentados Tenham um bom estudo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 5 UNIDADE 1 CONHECENDO A ESTATÍSTICA Nesta unidade estaremos apresentando a ciência estatística Mostraremos sua importância no estudo cientifico e como ela está presente no nosso cotidiano Inicialmente estudaremos os seguintes itens 11 Introdução 12 Definições 13 Conceitos atuais 14 Conceitos importantes 15 Tipos de variáveis 11 INTRODUÇÃO Na verdade a Estatística é uma ciência muito útil nos dias atuais entretanto ela precisa ser entendida de forma correta Por exemplo muitas pessoas acham que Estatística composta apenas de gráficos e tabelas e assumem este conceito errado de forma tão concreta que são incapazes de aceitar algo contrário Isto se dá em virtude de vários fatores por exemplo o modo como uma noticia é dada na mídia em muitas ocasiões o meio de comunicação desconhece a estatística e fazem afirmações sem fundamento a respeito do assunto A palavra Estatística vem de Status Estado em Latim Então ela significa estudo do estado Afinal o que é Estatística Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 6 12 DEFINIÇÕES Abaixo temos algumas definições sobre Estatística A Estatística está interessada nos métodos científicos para a coleta organização resumo apresentação e análise de dados bem como na obtenção de conclusões válidas e na tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises SPIEGEL 1994 p 1 Entendemos a Estatística como um conjunto de técnicas que permite de forma sistemática organizar descrever analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos realizados em qualquer área de conhecimento MAGALHÃES 2002 p1 13 CONCEITOS ATUAIS Estatística é a ciência que se preocupa com coleta análise interpretação e apresentação dos dados permitindonos a obtenção de conclusões válidas a partir destes dados bem como a tomada de decisões razoáveis baseadas nessas conclusões A Estatística se divide didaticamente em duas partes Estatística Descritiva é aquela que se preocupa com a coleta análise interpretação e apresentação dos dados estatísticos Estatística Indutiva também conhecida como amostral ou inferencial é aquela que partindo de uma amostra estabelece hipóteses sobre a população de origem e fórmula previsões fundamentandose na teoria das probabilidades 14 CONCEITOS IMPORTANTES População é todo conjunto finito ou infinito que possui ao menos uma característica em comum entre todos os seus elementos componentes População Finita é aquela população em que é possível enumerar todos os seus elementos componentes Exemplos Idade dos alunos da UEPA as notas dos alunos da disciplina Estatística ou o número de consumidores de algum produto População Infinita é aquela população em que não é possível enumerar todos os seus elementos componentes Exemplo O número de astros no universo Censo é o conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade estado etc com todas as suas características num determinado período de tempo É a coleta exaustiva das informações de todas as N unidades da população Amostra é um subconjunto uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela população da qual se quer inferir alguma coisa parte representativa da população Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 7 Amostragem é o processo de coleta das informações de parte da população n chamada amostra mediante métodos adequados de seleção destas unidades 15 TIPOS DE VARIÁVEIS a Estatística nos deparamos com diversas variáveis antes de realizar algum estudo estatístico é necessário conhecer as variáveis pois para cada tipo de variável existe um teste estatístico especifico por exemplo suponha que 150 crianças foram expostas a três tipos de comerciais de TV sobre cereais para café da manhã Após a exposição foi solicitado a cada criança para indicar qual dos comerciais ela gostou mais O que se deseja saber é se a escolha do comercial está relacionada ao gênero da criança pois se suspeita de que o gênero pode estar influenciando na escolha do comercial Neste caso utilizaremos o teste de Independência Pois as variáveis são qualitativas 151 Variáveis qualitativas Quando seus valores são expressos por atributos de forma não numérica Ex Estado civil sexo raça cor dos cabelos nível de instrução classe social As variáveis qualitativas categóricas se dividem em Nominal e Ordinal Variável Nominal é aquela para a qual não existe nenhuma ordenação nas prováveis realizações Ex População Alunos do Ensino a Distância Variáveis sexo religião naturalidade cor tipagem sanguínea A variável ordinal é aquela para a qual existe uma ordem ou hierarquia nos possíveis resultados N Quantitativas Contínuas Discretas Nominais Ordinais Qualitativas Classificação das variáveis Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y População Amostra Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 8 Ex População Funcionários das empresas paraenses Variáveis classe social grau de instrução 152 Variáveis quantitativas Quando seus valores são expressos por números Ex idade peso temperatura número de filhos volume tempo massa As variáveis quantitativas numéricas ainda são classificadas como discreta quando os seus valores podem ser enumerados Ex Número de acertos na Mega Sena 0 1 2 3 4 5 e 6 contínua quando os seus valores podem ser qualquer um número num intervalo Ex Alturas dos jogadores de um time de futebol 15 m 20 m 179 m 16 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO Agora estudaremos os seguintes itens 161 Definição do problema 162 Planejamento 163 Coleta de dados 164 Crítica dos dados 165 Apresentação dos dados 166 Análise e interpretação dos dados 161 Definição do Problema Para chegar ao estágio de interpretação de dados que é o objetivo final de uma pesquisa é preciso passar por algumas etapas denominadas fases do método estatístico Saber exatamente o que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema Portanto a primeira fase consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado Por exemplo A nota média no ENEM dos alunos do estado do Pará é menor do que as dos alunos dos outros estados 162 Planejamento Nele se determina o procedimento necessário para resolver o problema como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo Nesta fase é importante a escolha das perguntas que na medida do possível devem ser fechadas No caso de um experimento devese atentar para os objetivos que se pretende alcançar O levantamento de dados pode ser de dois tipos Censitário quando envolve toda a população Por amostragem quando é utilizada uma fração da população Outros elementos do planejamento de uma pesquisa são cronograma das atividades custos envolvidos exame das informações disponíveis delineamento da amostra etc Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 9 163 Coleta de dados É o registro sistemático de dados com um objetivo determinado Dados primários Quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido Dados secundários Quando são publicados por outra organização Ex quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE É mais seguro trabalhar com fontes primárias O uso da fonte secundária traz o grande risco de erros de transcrição Consiste na busca ou compilação dos dados Quanto ao tempo ela pode ser classificada em a Contínua quando realizada permanentemente Ex inflação registros de nascimentos e óbitos b Periódica quando é feita em intervalos de tempo Ex Inflação mensal censo c Ocasional quando efetuada sem época preestabelecida Ex pesquisa de mercado pesquisa eleitoral 164 Crítica dos dados Objetiva a eliminação de erros capazes de provocar futuros enganos Fazse uma revisão crítica dos dados suprimindo os valores estranhos ao levantamento 165 Apresentação dos dados A organização dos dados denominase Série Estatística Sua apresentação pode ocorrer por meio de tabelas ou gráficos 166 Análise e interpretação dos dados Esta fase consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema descrevendo o fenômeno através do cálculo de medidas estatísticas especialmente as de posição e as de dispersão O objetivo último da estatística é tirar conclusões sobre o todo população a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo amostra Assim realizadas as fases anteriores fazemos uma análise dos resultados obtidos através dos métodos da estatística indutiva ou inferencial que tem por base a indução ou a inferência e tiramos desses resultados conclusões e previsões O seguinte esquema pretende resumir as diferentes etapas que normalmente são seguidas num procedimento estatístico ALGUNS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 10 Teoria da resposta ao item Uma Universidade pretende estudar a proficiência dos estudantes submetidos ao processo seletivo e os parâmetros dos itens questões da prova População Conjunto de todos os estudantes submetidos ao exame Amostra Conjunto de alguns estudantes submetidos ao exame que foram selecionados Problema Estudar a proficiência dos estudantes e os parâmetros dos itens questões pelo método da Máxima verossimilhança marginal Medicina Pretendese estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença É selecionado um grupo de 20 doentes administrandose o medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual aos restantes População Conjunto de todos os doentes com a doença especifica Amostra Conjunto dos 20 doentes selecionados Problema Pretendese ter uma idéia a respeito de qual dos medicamentos é melhor E isto é feito por meio de um este estatístico a partir dos resultados obtidos na amostra Controle de qualidade O administrador de uma fábrica de parafusos pretende assegurarse de que a percentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor a partir do qual determinada encomenda poderia ser rejeitada População Conjunto de todos os parafusos fabricados pela fábrica Amostra Conjunto de alguns parafusos escolhidos ao acaso de entre o lote de produzidos Problema A partir da percentagem de parafusos defeituosos presentes na amostra estimar a percentagem de defeituosos em toda a produção Pedagogia Um conjunto de pedagogos desenvolveu uma técnica nova para a aprendizagem da leitura na escola primária a qual segundo dizem diminuem o tempo de aprendizagem relativamente ao método habitual População Conjunto dos alunos que entram para a escola primária sem saber ler Amostra Conjunto de alunos de algumas escolas selecionadas para o estudo Os alunos foram separados em dois grupos para se aplicarem as duas técnicas em confronto Problema A partir dos tempos de aprendizagem obtidos verificar se existe evidência significativa para afirmar que os tempos com a nova técnica são menores População Amostra Estudo da amostra tabelas gráficos medidas Características amostrais Características populacionais Estatística Descritiva Estatística Indutiva Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 11 ATIVIDADES 1 Classifique as variáveis abaixo em quantitativas ou qualitativas a Número de livros em uma estante de biblioteca b Frequência cardíaca c Diâmetro de artéria d Raça e QI Quociente de inteligência f Taxonomia dos animais g Número de casas de uma cidade sem rede de esgoto h Classificação de um paciente quanto ao estagio de uma determinada doença i Nota em uma prova de Estatística j Classificação em um concurso 2 Classifiquem em variáveis qualitativas ou quantitativas as variáveis que estão no texto abaixo O Grupo de Estudos em Pesquisas Estatísticas e Computacionais GEPEC e o Laboratório de Sistemas de Informação e Georeferenciamento LASIG ambos da UFPA realizaram mais uma pesquisa amostral durante a VII Parada do Orgulho GLBT que aconteceu no dia 14 deste mês em Belém A iniciativa do GEPEC e do LASIG de estudarem o universo dos gays lésbicas bissexuais e transgêneros começou na Parada do Orgulho GLBT de 2007 dando continuidade este ano Os entrevistados foram abordados em diferentes pontos do evento e responderam a questões pessoais como idade renda familiar raça grau de escolaridade Quando o assunto foi saúde por exemplo os entrevistados disseram se usam ou não camisinha Abordando assuntos sociais os pesquisadores perguntaram sobre adoção de criança participação em movimentos sociais e conhecimentos de projetos de leis que beneficiem a classe GLBT Somada a esses assuntos a questão da violência sofrida por eles também foi abordada Para a coordenadora da pesquisa a professora Sílvia Almeida os principais resultados da avaliação deste ano a serem observados referemse ao fato de 4878 dos GLBTs declararem que já sofreram algum tipo de homofobia Quanto ao tipo de homofobia podese destacar que 75 dos participantes declararam que sofreram discriminação Quanto ao tipo de discriminação sofrida destacase que 3031 dos GLBTs declararam terem recebido tratamento diferenciado 1818 foram excluídos ou marginalizados em ambiente familiar todos por conta de sua orientação sexual A importância geral deste trabalho consiste em contribuir para futuras políticas sociais e de saúde pública no que se refere aos homossexuais Além de contribuir para o combate das discriminações e das violências sofridas pela classe GLBT ressaltou Sílvia Almeida avaliando também os benefícios deste trabalho para a comunidade acadêmica Além da formação de banco de dados para futuras publicações científicas tanto na área de estatística quanto nas outras áreas como por exemplo Ciências Sociais Política entre outras finalizou Texto Dandara Almeida Assessoria de Comunicação UFPA Foto Divulgação Google Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 12 3 Classifique cada uma das variáveis abaixo em Qualitativa Nominal Ordinal ou Quantitativa Discreta Contínua a Turma em que o aluno foi alocado A ou B b Intenção de voto para presidente possíveis respostas são os nomes dos candidatos além de não sei c Perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre em quilos d Tolerância ao cigarro indiferente incomoda pouco incomoda muito e Grau de satisfação da população brasileira com relação ao trabalho de seu presidente valores de 0 a 5 com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito f Tolerância ao cigarro indiferente incomoda pouco incomoda muito g Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre leve moderada forte h Ocorrência de hipertensão prénatal em grávidas com mais de 35 anos sim ou não são possíveis respostas para esta variável i Nota média de uma turma de Matemática na disciplina Estatística j Precipitação pluviométrica anual k Nível da lesão medular 4 Qual a principal etapa da fase do método estatístico 5 Elabore uma situação pratica e aplique as fases do método estatístico 6 Cite uma situação do seu dia a dia em que se observa o uso da estatística PESQUISANDO Aprenda mais sobre a história da estatística e os conceitos estudados acessando os seguintes sites httpwwwmoodlecpsceteccombrcapacitacaoposmstechProducaoMBAdocsd08Aula 201pdf httpwwwimufrjbrlpbragaprob1historiaestatisticapdf httpwwwsomatematicacombrestatbasicapagina2php httpaleaestpinept httpwwwlegufprbrsilviaCE055 httpfeferraznetbrDocsTagsTeoriadaRespostaaoItemTRI Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 13 UNIDADE 2 REPRESENTAÇÃO TABULAR Nesta unidade trataremos da questão das tabelas e gráficos estatísticos Também observaremos as séries estatísticas que são de fundamental importância no estudo descritivo Pois em todo estudo estatístico os dados observados necessitam serem organizados para que se faça a análise dos mesmos Estudaremos nesta unidade os seguintes itens 2 Tabelas estatísticas 21 Tabela 22 Séries estatísticas 23 Representação gráfica 24 Tipos de gráficos 25 Distribuição de frequências 2 TABELAS ESTATÍSTICAS A apresentação tabular é uma apresentação numérica dos dados Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídos de modo ordenado segundo algumas regras práticas adotadas pelos diversos sistemas estatísticos As regras que prevalecem no Brasil foram fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística 21 Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações As tabelas têm a vantagem de conseguir expor sinteticamente em um só local os resultados sobre determinado assunto de modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo que se pretende analisar Uma tabela compõese de título cabeçalho corpo rodapé e colunas indicadoras e numéricas Título O que fato Ondelugar Quando tempo Corpo Cabeçalho da Tabela Coluna indicadora Coluna Numérica O cruzamento de linha com a coluna chamase casa ou célula Rodapé fonte notas observações Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 14 Obs 1 Recomendase não delimitar fechar por traços verticais os extremos da tabela à direita e à esquerda 2 Usase um traço horizontal quando o dado for nulo inexisti o fenômeno 3 Usase quando não se dispuser dos dados embora ele possa ser quantificado 4 Usase zero 0 quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada 5 Usase uma interrogação quando o valor é duvidoso 22 SÉRIES ESTATÍSTICAS É um conjunto de dados estatísticos referenciados aos seguintes fatores tempo local e fenômeno 221 Série Temporal ou Cronológica Nesta série o elemento de variação é o tempo dia mês ano etc 222 Série Geográfica O elemento de variação é o lugar município bairro escola etc Produção de ovos de galinha No Brasil 1988 Região Quantidade 1000 dúzias Norte Nordeste Sudeste Sul CentroOeste 66092 356810 937463 485098 118468 Fonte IBGE Título Corpo Cabeçalho Coluna numérica Coluna indicadora Rodapé Anos Produção 1000 t 1991 1992 1993 1994 1995 1221 2234 1254 1445 1112 Produção de café no Brasil em 1991 1995 Fonte IBGE Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 15 223 Série Especificativa O elemento de variação é a espécie material escolar produto de uma fabrica remédios etc Produção de veículos de Autopropulsão Brasil 1993 Tipos Quantidade Automóveis 1100278 Comerciais Leves 224387 Comerciais Pesados 66771 Fonte ANFAVEA 224 Série Mista É a junção de duas ou mais séries simples geográfica especificativa ou temporal Nº de Casos de Malária por Município no período de 1993 a 1996 Município Anos 1993 1994 1995 1996 Abaetetuba Ananindeua Barcarena Belém 1 2 3 1 3 1 2 2 2 1 4 1 2 1 2 1 Fonte Pesquisa de Campo do Curso de FarmáciaUFPA fevereiro de 1997 23 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Em relação a uma tabela estatística um gráfico estatístico possibilita uma impressão visual mais rápida da distribuição dos valores em estudo Isto não significa que a representação tabular seja de pouca mas a representação gráfica vem para complementála Os gráficos estatísticos propiciam uma idéia inicial mais satisfatória da concentração e dispersão dos valores uma vez que através deles os dados estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis O que é um gráfico estatístico É uma forma de apresentação dos dados estatísticos cujo objetivo é o de produzir no investigador ou no público em geral uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries 231 Requisitos fundamentais de uma representação gráfica a Simplicidade Deve possibilitar a análise rápida do fenômeno em estudo Deve conter apenas o essencial b Clareza Deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo c Veracidade Deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 16 24 TIPOS DE GRÁFICOS a Diagramas São gráficos geométricos de no máximo duas dimensões Para sua construção usase o sistema cartesiano b Cartogramas É a representação sobre uma carta geográfica sendo muito usado na Geografia História e Demografia c Pictogramas A representação gráfica consta de figuras representativas do fenômeno Desperta logo a atenção do público 241 Gráfico em linha ou em curva Este tipo de gráfico utiliza a linha poligonal para representar a série estatística Constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas Neste sistema fazse uso de duas retas perpendiculares as retas são os eixos coordenados e o ponto de intersecção a origem O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas ou eixo dos x e o vertical eixo das ordenadas ou eixo dos y Considere a série abaixo Produção de café no Brasil em 1991 1995 Anos Produção 1000 t 1991 1992 1993 1994 1995 1221 2234 1254 1445 1112 Fonte IBGE Tomase a coluna dos ANOS como abscissas e a coluna de PRODUÇÃO como ordenadas Desta forma um ano dado x e a respectiva quantidade da produção y formam um par ordenado xy que pode ser representado num sistema cartesiano Determinados graficamente todos os pontos da série usando as coordenadas liga se todos estes pontos dois a dois por segmentos de reta que irão dar uma poligonal que é o gráfico em linha ou em curva correspondente ao gráfico abaixo Produção de café no Brasil 19911994 1221 2234 1254 1445 1112 0 500 1000 1500 2000 2500 1991 1992 1993 1994 1995 Anos Produção 242 Gráfico em coluna ou em barras É a representação de uma série por meio de retângulos dispostos verticalmente em colunas ou horizontalmente em barras Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 17 Quando em colunas os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados E Quando em barras os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados Dada a série abaixo Anos Vendas 1970 2181 1971 3948 1972 5462 1973 7550 1974 10009 1975 11728 1976 18873 1977 29076 Fonte Departamento de marketing da Companhia X Abaixo temos a representação gráfica da série acima Vendas de seguros da Companhia X 19701977 Brasil 2181 3948 5462 7550 10009 11728 18873 29076 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 Anos Vendas NOTAS Sempre que os dizeres a serem inscritos forem extensos devese dar preferência ao gráfico em barra séries geográficas e específicas Se ainda assim preferir o gráfico em coluna os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima nunca ao contrário A ordem a ser observada é a cronológica se a série for histórica e a decrescente se for geográfica ou categórica À distância entre as colunas ou barras por questões estéticas não deverá ser menor que a metade nem maior que os dois terços da largura ou da altura dos retângulos 243 Gráfico em coluna ou em barras múltiplas Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando se deseja representar simultaneamente dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 18 Entrada de imigrantes em três Estados do Brasil 19921994 Número de imigrantes Anos Total Estados Amapá São Paulo Paraná 1992 4526 2291 1626 609 1993 4633 2456 1585 592 1994 4450 2353 1389 708 Fonte Fictícia Abaixo temos a representação gráfica da série acima 2291 1626 609 2456 1585 592 2353 1389 708 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 1992 1993 1994 Anos N de imigrantes Amapá São Paulo Paraná 244 Gráfico em setores Este gráfico é construído com base em um círculo e é empregado sempre que se deseja ressaltar a participação do dado no total O total é representado pelo círculo que fica dividido em tantos setores quantas são as partes Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série Obtémse cada setor por meio de uma regra de três simples e direta lembrando que o total da série corresponde a 360º Vacinas Quantidade BCG 3000 Sabin 5000 Tríplice 1500 Sarampo 600 Hepatite 400 Total 10500 Fonte SespaPA Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 19 Temos X2 17143 X2 172º X3 5143 X3 51º X4 2057 X4 20º X5 1372 X5 14º Com esses dados valores em graus marcase num círculo de raio arbitrário com um transferidor os arcos correspondentes obtendo o gráfico NOTAS O gráfico em setores só deve ser empregado quando há no máximo sete dados Se a série já apresenta os dados percentuais obtêmse os respectivos valores em graus multiplicando o valor percentual por 36 245 Cartograma É a representação sobre uma carta geográfica Este gráfico é empregado com o objetivo de representar dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas Exemplo 10500 360º 3000 X1 X1 10286 X1 103º Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 20 246 Pictograma Constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva A representação gráfica consta de figuras que lembrem o fato considerado Exemplo Em meados de 1969 uma região situada ao sul do estado do Texas no Estados Unidos tinha sua economia baseada quase que exclusivamente no comércio varejista e no turismo No entanto em 1970 descobriuse que nesta região havia petróleo Estudos geológicos indicavam que ali encontravase a maior reserva petrolífera já encontrada em solo norteamericano Desde então várias empresas começaram a explorar este petróleo O gráfico abaixo mostra a evolução da produção entre os anos de 1970 e 1976 em milhares de barris Obs A linha verde indica a produção máxima e a linha vermelha a produção mínima Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 21 Obs O exemplo acima foi retirado do site httpestatisticaesteouaqueleblogspotcom200710pictogramahtml em agosto de 2009 25 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA Na estatística trabalhase habitualmente com grande número de informações resultados de medições realizadas Que podem ser dados discretos o valor inteiro que não pode ser partido ou contínuo em intervalos Assim é quase impossível examinálos mesmo que arrolados em ordem crescente ou decrescente Rol Daí a necessidade de organizálos em tabelas de distribuições de frequência Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 22 251 Tipos de distribuição de frequência a Sem Classe Notas Escola Jardim Encantado 97 b Com Classe Idade de 40 alunos Escola Atlas98 NotasX N alunosfi 3 2 4 2 5 3 6 4 7 4 8 4 9 1 Total 20 Classe Frequência fi 5 І 7 7 7 І 9 5 9 І 11 6 11 І 13 4 13 І 15 8 15 І 17 7 17 Іl 19 3 Total 40 Fonte IBGE Observase que a primeira tabela é composta de duas colunas onde na primeira coluna encontramse os valores obtidos da variável em estudo notas dos alunos apresentados de forma ordenada cada nota correspondendo a uma classe na segunda coluna encontramse os números de alunos que obtiveram as respectivas notas frequências fi O número total de alunos é a soma dos alunos em cada nota 2 2 3 4 4 4 10 20 A primeira tabela de dados na forma acima é chamada Distribuição de Frequências Sem Classe ou Por Pontos Quando o conjunto de dados possui muitas observações diferentes ou quando a variável em estudo é continua é conveniente construir uma distribuição de frequência em intervalos de classe por intervalo Para tanto alguns passos devem ser seguidos 252 Distribuição de frequência por intervalos CONCEITO é uma série estatística na qual a variável observada está dividida em subintervalos do intervalo total observado e o tempo a espécie e a região permanecem fixas I ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS a Convenções Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita apenas o limite inferior pertence ao intervalo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 23 Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita apenas o limite superior pertence ao intervalo Intervalo fechado de ambos os lados os dois limites pertencem ao intervalo Intervalo aberto em ambos os lados os dois limites não pertencem ao intervalo Observação Um símbolo como 5 10 é chamado intervalo de classe O intervalo de classe apresenta dois limites um inferior e outro superior Para esse intervalo o limite inferior é 5 e o limite superior é 10 a Limite inferior da distribuição de frequência LI é o valor a partir do qual são contadas as observações na distribuição de frequências b Limite superior da distribuição de frequência LS é o valor até o qual são contadas as observações na distribuição de frequências c d Amplitude total da distribuição de frequência AT é a diferença existente entre o maior e o menor valor observado da distribuição de frequência LI LS AT d Classes de uma distribuição de frequência são os subintervalos nos quais são contadas as observações da variável Observação o número de classes K é calculado a partir de uma das expressões mostradas a abaixo K 1 3322 log n fórmula de STURGES Método Prático se n 25 utilize k 5 se n 25 utilize n k Observação existem n maneiras de calcularmos o número de classes depende da sensibilidade do pesquisador e Limite Inferior de Classe li é o valor a partir do qual são contadas as observações dentro da classe f Limite Superior de Classe ls é o valor até o qual são contadas as observações dentro da classe g Amplitude de Classe at é a diferença entre o maior e o menor valor observado dentro da classe Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 24 Observação A amplitude de classe é obtida através da seguinte equação li ls at h Frequência Simples ou Frequência Absoluta da Classe fi é o número de observações contadas dentro da classe i Frequência Absoluta acumulada de Classe Fi é a acumulação sucessiva a partir da primeira classe até uma classe qualquer das frequências simples ou absoluta das classes j Frequência Relativa de Classe fr é a relação existente entre a frequência absoluta ou simples de classe e o número de observações da variável Observação Obtémse a frequência relativa de cada classe a partir da seguinte equação i i f f fr k Frequência Relativa Acumulada Fr é a acumulação sucessiva a partir da primeira classe até uma classe qualquer das frequências relativas das classes l Ponto Médio de Classe xi é a média aritmética calculada entre o limite inferior e o superior da classe Observação Obtémse o ponto médio de cada classe a partir da seguinte equação 2 li ls ix m Intervalo de Classe ou Amplitude do intervalo de Classe h é o comprimento da classe Observações Obtémse o intervalo de cada classe a partir da seguinte equação K h AT Convém arredondar o número correspondente à amplitude do intervalo de classe para facilitar os cálculos As séries de dados grupados distribuição de frequências por intervalos e por pontos são também chamadas de séries de magnitude de variável II CONSTRUÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 25 1º Passo Colocar os dados em forma de Rol Isto é organizálos de forma crescente ou decrescente Aqui se recomenda colocálos em ordem crescente 2º Passo Identificar o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados e encontrar a Amplitude Total AT Definimos por Amplitude Total AT a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados LI LS Mínimo Valor Máximo Valor AT 3º Passo Determinar o Número de Classes K que irão formar uma distribuição de frequências Embora não exista uma fórmula precisa para esse número K podese orientar a seguinte prática K n aproximadamente 4º Passo Calcular o comprimento ou a amplitude que deve ter o Intervalo de Classe h que é obtido dividindose a amplitude total pelo número de classe ou seja K h AT Exemplo Precisamos organizar as notas da primeira avaliação da disciplina estatística dos 25 alunos matriculados regularmente As notas são dadas abaixo 101095855561001325710865857545498 dados brutos 1º Passo Organizar em Rol 00112344555556657758888859951010 2º Passo Obter a Amplitude Total 10 0 10 AT 3º Passo Calcular o número de classes K K 25 5 4º Passo obter Intervalo de Classe h e escrever os intervalos da tabela 2 5 h 10 Intervalo de classe Como construir uma distribuição de frequências Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 26 Acompanhe todos os passos III REPRESENTAÇÂO GRÀFICA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS a Histograma é a representação gráfica de uma distribuição de frequência através de retângulos justapostos onde a base é colocada no eixo das abscissas corresponde ao intervalo das classes e a altura é dada pela frequência absoluta ou relativa das classes Pressão arterial em milímetros de mercúrio de 50 cães anestesiados Notas Frequência 0 2 4 2 4 2 4 6 6 6 8 4 8 10 9 Total 25 1 Comece pela 1a classe e escreva o menor valor observado 2 Agora some o menor valor com o h2 assim encontramos o limite superior da classe 022 3 A partir da 2a classe usase a regra o limite superior da classe anterior será o limite inferior da classe subseqüente e o limite superior é o resultado da soma do limite inferior com o h intervalo de classe 4 Agora temos que contar os elementos que pertencem a cada intervalo Por exemplo na 1a classe temse 0 2 que significa intervalo fechado à esquerda e aberto à direita Os valores deste intervalo se aproximam de 2 isto é não pertencem ao intervalo 5 Os elementos 0011 pertencem a 1a classe então colocamos o valor 4 na 2acolunaFrequência pois temos quatro elementos que pertencem ao intervalo Já os elementos 23 pertencem a 2a classe então na 2acolunaFrequência colocamos o valor 2 Assim é feito para as demais classes observa se o Rol Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 27 b Polígono de Frequência é outro tipo de apresentação bastante comum para dados quantitativos ou seja é um sumário gráfico que pode ser preparado para dados que tenham sido sumariamente sintetizados numa distribuição de frequência Utilizandose os pontos médios de cada classe para a construção do mesmo ou seja é um gráfico em linhas sendo que as frequências são marcadas no eixo vertical e no eixo horizontal são colocados os pontos médios dos intervalos de cada classe Utilizando o exemplo da tabela abaixo obtemos os seguintes gráficos Polígono de frequências da pontuação de 60 alunos da escola Aberlado Condurú em 1999 Agora mostraremos a aplicação da frequência acumulada na distribuição de frequências que será muito útil na obtenção da mediana e das medidas separatrizes que serão estudadas na próxima unidade CLASSE fi Fac 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 Total 40 Onde fi frequência simples Fac frequência acumulada Somase a fi desta classe com a acumulada anterior 9413 Inicialmente repetese a fi da 1a classe O mesmo procedimento é feito para as demais classes Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 28 Agora estudaremos um item muito simples que faz a diferença quando o nosso objetivo é calcular a média aritmética em distribuições de frequências estamos falando do ponto médio xi que é a média aritmética calculada entre o limite inferior e o superior da classe Agora nosso foco será na construção da frequência relativa que é um tópico bastante interessante A obtenção da frequência relativa é a seguinte dividese o valor de pela frequência total como podemos observar abaixo Obs Se o interesse for apresenta a frequência relativa em termos percentuais basta multiplicar cada frequência relativa por 100 CLASSE fi fri 50 54 4 0100 54 58 9 0225 58 62 11 0275 62 66 8 0200 66 70 5 0125 70 74 3 0075 Total 40 1000 4 0100 fri 40 9 0225 fri 40 11 0275 fri 40 8 0200 fri 40 5 0125 fri 40 3 0075 fri 40 CLASSE fi xi 50 54 4 52 54 58 9 56 58 62 11 60 62 66 8 64 66 70 5 68 70 74 3 72 Total 40 50 54 52 2 xi 54 58 56 2 xi 58 62 60 2 xi 62 66 64 2 xi 66 70 68 2 xi 70 74 72 2 xi Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 29 ATIVIDADES 1 Crie uma série estatística 2 Pesquise em livros ou na internet uma série estatística 3 Quais que elementos que compõe uma tabela estatística 4 Qual a série estatística que é a junção de outras duas 5 Uma tabela estatística pode ser fechada ou seja ser delimitada nos extremos Justifique 6 Quais as perguntas que uma tabela estatística precisa responder 7 Qual a vantagem de um gráfico estatístico com relação a uma série estatística 8 Quais os requisitos fundamentais de uma representação gráfica 9 Quais os tipos de gráficos 10 Faça uma representação gráfica da série que você criou na questão 1 11 Fazer uma tabela estatística para representar o movimento religioso de certo município no período 19751977 que apresentou os seguintes dados em 1975 houve 56738 habitantes batizados 15884 casamentos e 13678 extremasunções Em 1976 houve 63483 batizados os casamentos foram em número de 17032 e as extremasunções 14328 Em 1977 realizouse um total de 71232 batizados as extremasunções foram 16107 e os casamentos 16774 Classifique esta série estatística e faça sua representação gráfica 12 Quais os tipos de distribuição de frequências 13 Quais os passos para a construção de uma Tabela de frequências 14 O que é o rol Para que serve 15 Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um curso noturno obtendose a tabela abaixo Idades anos Nº de Alunos 16 20 8 20 24 16 24 28 12 28 32 4 40 Considerando esta turma como uma população determine a A frequência acumulada Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 30 b Os pontos médios c A frequência relativa d A percentagem de alunos com menos de 24 anos 16 Construa um diagrama de setores percentual correspondente aos empregados da Martins Ltda que possui a seguinte distribuição por área de trabalho Diretoria 3 pessoas Assessoria 6 pessoas Transporte 18 pessoas Administração 5 pessoas Área técnica 15 pessoas e Área operacional 33 pessoas 17 Completar os dados que faltam Valores Frequência simples F Acumulada F Relativa 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 7 5 7 16 28 38 45 008 016 014 014 18 Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro X foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada Não existem observações coincidentes com os extremos das classes Classes Porcentagem Acumulada 70 90 5 90 110 15 110 130 40 130 150 70 150 170 85 170 190 95 190 210 100 Qual a estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 31 19 Faça uma representação gráfica da série dada abaixo Vendas de Seguros da companhia Vera Cruz 1970 1977 Brasil Ano Vendas 1970 2181 1971 3948 1972 5462 1973 7550 1974 10009 1975 11728 1976 18873 1977 29076 Fonte Departamento de marketing da Companhia 20 Qual a diferença entre o gráfico de barras e o Histograma 21 Qual a diferença entre o gráfico de linhas e o polígono de frequências 22 Classifique a série dada abaixo Duração média de estudos Superiores na Europa em 1998 Países No de anos Itália Alemanha França Holanda 75 65 55 40 Fonte Revista Veja 23 Para os dados abaixo construa duas distribuições de frequências uma com classe e a outra sem classe 45 41 42 41 42 43 44 41 50 46 50 46 60 54 52 58 57 58 60 51 24 Crie uma série de dados e faça a duas distribuições de frequências uma adotando a fórmula de Sturges e a outra não Compare as diferenças 25 O número de gols marcados no último campeonato da Federação Paulista de Futebol pelos 20 clubes participantes nos seus 38 jogos é uma variável com os seguintes valores Clubes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gols 32 42 73 35 79 57 37 52 35 25 55 70 42 41 68 36 74 29 47 53 a Classifique a variável em estudo Construa uma distribuição tabela de frequência para essa variável agrupando as observações em intervalos de comprimento 10 a partir de 20 b Obtenha o histograma correspondente Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 32 c Que porcentagem dos clubes marcou mais de 38 gols 26 O posto de saúde de certo bairro mantém um arquivo com o número de crianças nas famílias que utilizam o posto Os dados são os seguintes 3 4 3 4 1 5 6 3 4 5 3 4 3 3 4 3 5 5 5 5 6 11 10 2 1 2 3 1 5 e 2 a Organize uma tabela de frequência b Construa um histograma 27 Uma indústria de laticínios está planejamento redirecionar seus produtos Para tanto decidiu investigar a quantidade de leite em litros consumida diariamente por diferentes famílias Os dados ordenados estão a seguir 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 44 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 7 7 8 e 15 a Obtenha a distribuição de frequências b Obtenha a frequência relativa percentual PESQUISANDO Para saber mais sobre a unidade que acabamos de estudar sugiro que pesquise Acessem os sites httpwwwimeuspbrmae116 httpwww4sharedcomaccountdir9kXCHfzxonlinehtmlrnd50 Os seguintes livros BUSSAB W O MORETTIN PA Estatística Básica 5ª ed São Paulo SARAIVA 2002 IEZZI G Fundamentos de Matemática Elementar Vol 11 São Paulo Ed Ática VIEIRA Sonia Princípios de Estatística 1ª reimpr da 1ª ed São Paulo Editora Pioneira Thomson Learning 2003 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 33 UNIDADE 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Nesta unidade conheceremos as principais medidas de posição Será nosso foco a obtenção dessas medidas através das distribuições de frequências que foram estudadas na unidade anterior Também abordaremos as medidas separatrizes que são medidas que ocupam determinados lugares na distribuição de frequências Agora estudaremos os seguintes itens abaixo 3 Introdução 31 Conceito 32 Média aritmética Simples 33 Média aritmética Ponderada 34 Média geométrica 35 Média harmônica 36 Mediana 37 Moda 38 Medidas separatrizes 3 INTRODUÇÃO A Estatística também é chamada de a ciência das médias portanto vamos estudar nesta unidade as medidas de posição que são bastante utilizadas na prática Tornase necessário após a tabulação dos resultados e da representação gráfica encontrar valores que possam representar a distribuição como um todo São as chamadas medidas de tendência central ou medidas de posição 31 CONCEITO as medidas de posição ou também conhecidas como medidas de tendência central compõemse de um número que representa um conjunto particular de informações Geralmente se localizam em torno do centro da distribuição onde a maior parte das observações tende a concentrase 32 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES consiste em somar todas as observações ou medidas dividindose o resultado pelo número total de valores Observação têmse duas formas de calcular uma média aritmética 1 Quando estamos trabalhando com dados brutos n x n x x x n i i n X 1 2 1 onde Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 34 X é a média aritmética ix são os valores das observações n número de observações Exemplo 1 seja o conjunto X 8 9 10 10 8 calcule a média 09 5 8 10 10 9 8 X 321 PROPRIEDADES DA MEDIA ARITMÉTICA a A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula 0 X xi Ex voltando ao exemplo 1 temos que a média é 9 então calculando os desvios em torno da média temse 0 1 1 1 0 1 9 8 9 10 9 10 9 9 9 8 X xi b Somandose ou subtraindose uma constante c a todos os valores de uma variável a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante k X n nk x n k x n k x i i i c Multiplicandose ou dividindose todos os valores de uma variável por uma constante c a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante i i kx k x kX n n 33 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA é uma média aritmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série n i i n i i i n i i n n f x f f f x f x f x X 1 1 1 2 2 1 1 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 35 X é a média aritmética ponderada if frequência simples n número de observações Observação se os valores forem distribuídos em classes o xi será o ponto médio de cada classe Exemplo Uma escola adotou os seguintes pesos para as notas bimestrais 1o bimestre peso 1 3obimestre peso 3 2o bimestre peso 2 4obimestre peso 4 Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de Matemática 5 4 3 e 2 nos respectivos bimestres 34 MÉDIA GEOMÉTRICA É apropriada para aqueles casos em que comportamento dos valores da série que se está estudando possuem um comportamento progressivo tendendo a uma progressão geométrica Para dados brutos temos que a fórmula da média geométrica é n i n i n n x x x x x Mg 1 2 1 Exemplo A média geométrica dos seguintes dos números 1 6 36 é obtida da seguinte forma 6 216 36 61 3 3 Mg Para dados tabelados temos que a fórmula da média geométrica é i i i i n n f f i f f i f f f f n f f x x x x x Mg 2 1 2 1 2 1 51 42 33 24 5 8 9 8 30 3 10 10 10 X Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 36 Observação se os valores forem distribuídos em classes o xi será o ponto médio de cada classe Exemplo Um aluno realiza três provas obtendo as seguintes notas 6 4 e 5 onde os pesos atribuídos a elas são os seguintes 1aprova peso 2 2aprova peso 3 e 3aprova peso 4 Calcule a Média Geométrica 82 5 308416 2 3 4 15 6 4 5 5 4 6 Mg 35 MÉDIA HARMÔNICA É definida como o inverso da média aritmética dos inversos dos valores da série Para dados brutos temos que a fórmula da Média Harmônica é 1 1 1 1 2 1 i n x n x x x n Mh Exemplo Determinar a Média Geométrica dos números 24 e 8 3 43 0 875 3 8 1 4 1 2 1 3 Mh Para dados tabelados temos que a fórmula da Média Harmônica é 2 2 1 1 2 1 i i n n n x f n x f x f x f f f f Mh Exemplo Calcular a Média Harmônica da distribuição de frequências dada abaixo Notas dos alunos da disciplina Estatística no Instituto Datavox ano de 2002 NOTAS fi xi 1 3 3 5 5 7 5 7 8 2 4 6 Total 20 20 58 3 12 67 20 6 8 4 7 2 5 8 7 5 Mh Obs onde Ma Média aritmética Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 37 36 MEDIANA Me é o valor central em um rol ou seja a Mediana de um conjunto de valores ordenados ou ainda a Mediana divide a distribuição ao meio 361 Mediana de valores brutos Ordenar os valores em ordem crescente Rol Verifica se o número de elementos é par ou ímpar Se n for ímpar posição da mediana no conjunto será o valor localizado na posição dada por 2 P n1 Se n for par o conjunto terá dois valores centrais neste caso a mediana será igual à média aritmética dos valores centrais cujas posições são dadas por P1 n 2 e P2 n 2 1 Exemplo 1 Calcule a Mediana dos valores 2 5 7 15 13 4 10 Rol 2 4 5 7 10 13 15 n 7 ímpar Posição da Mediana P 7 1 2 4 Me 7 Exemplo 2 Em um grupo de 6 pessoas cujas as alturas medidas em centímetros fossem as seguintes 183 cm 170 cm 165 cm 180 cm 185 e 160 cm qual a altura Mediana deste grupo de pessoas Rol 160 165 170 180 183 185 n 6 par Posição da Mediana P1 6 2 3 P2 6 2 14 A Mediana será a Média Aritmética das posições P1 e P2 então Me 1701802 175 352 Mediana de valores tabelados h f FAA l Me i n i if i 2 1 li FAA fi h Limite inferior da classe da mediana Frequência acumulada anterior da classe da Me Frequência simples da classe da mediana Intervalo de classe Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 38 1º passo Calculase a posição 2 1 n i if p 2º passo Identificase a classe Mediana pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula Exemplo Calcule a Mediana da distribuição dada abaixo NOTAS fi 1 3 3 5 5 7 5 7 8 Total 20 Resolução a Calcule a Mediana 1º passo Calculase a posição 10 2 20 2 1 n i if p 2º passo Identificase a classe Mediana pela coluna das Frequências Acumuladas Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P 3º passo Aplicase a fórmula 4 43 1 4285 3 2 7 5 10 3 Me Logo a Mediana é aproximadamente 243 Observação a Mediana é muito empregada em pesquisas onde não interessam valores extremos por terem pouca significação para o conjunto em geral NOTAS fi Fac 1 3 3 5 5 7 5 7 8 5 12 20 5 é maior ou igual a 10 Posição NÃO 12 é maior ou igual a 10 Posição SIM Então esta é classe da Mediana Total 20 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 39 37 MODA Mo é aquilo que está em evidencia o valor que mais aparece num conjunto de informações ou o de maior frequência em uma tabela Observação a Moda pode não ser única ou até mesmo pode não existir 371 Moda de valores brutos Basta observar o valor que mais aparece no conjunto Exemplo 3 3 6 8 10 10 10 11 11 12 Mo 10 372 Moda de valores tabelados Numa distribuição de frequência chamamos classe modal à classe que possui maior frequência Como o ponto médio é representativo de qualquer classe de frequências chamamos moda bruta ao ponto médio da classe modal MODA PELO PROCESSO DE CZUBER h f f f f f l Mo post ant Mo ant Mo i 2 li fpost fant h fmo Limite inferior da classe modal Frequência simples posterior à classe modal Frequência simples anterior à classe modal Intervalo de classe Frequência modal Observação É valida a seguinte relação empírica 2 3 Md Mo x Exemplo Calcular a moda da distribuição dada abaixo NOTAS fi 1 3 3 5 5 7 5 7 8 Total 20 Primeiramente observamos a coluna das frequências simples e verificamos qual o maior valor Neste caso a última classe apresenta o maior valor 8 em relação às outras classes Agora é só usar a fórmula pelo processo de CZUBER Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 40 5 22 9 2 5 2 0 7 8 2 7 8 5 Mo Então a Moda é aproximadamente 522 38 MEDIDAS SEPARATRIZES 381 Quartis Qi São os valores que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais representados por Q1 Q2 e Q3 denominamse primeiro segundo e terceiro quartis respectivamente sendo o valor de Q2 igual à mediana Assim temos 0 25 50 75 100 Q1 Q2 Q3 A fórmula para determinação dos Quartis para dados agrupados é semelhante à usada para o cálculo da mediana a Quartis para dados brutos Para obtenção dos Quartis para dados brutos são necessários os seguintes passos 1o Passo Ordenar os dados 2o Passo Obter a posição do Quartil pela fórmula Q1 025n1 Primeiro Quartil Q2 050n1 Segundo Quartil Q3 075n1 Terceiro Quartil 3o Passo Se o cálculo da posição for exato o valor localizado na posição obtida será o Quartil caso contrário o Quartil será obtido a partir da média aritmética entre os valores que estão nas posições que delimitam a posição calculada Por exemplo se a posição calculada for 424 a medida do Quartil será a média aritmética entre os valores que estão na 4a e 5a posições Exemplo 1 Calcule o Q1 Dados 19 20 21 25 30 31 33 37 61 77 pois n 10 Posição do Q1 025n1 Então a posição de Q1 é 025 11 275 Como o valor encontrado não é inteiro temos que o 1o Quartil Q1 será a média aritmética entre o 2o e 3o elementos Q1 2212205 Portanto o 1o Quartil Q1 é igual a 205 Exemplo 2 Calcule o Q1 Dados 09 10 17 29 31 53 55 122 129 140 336 onde n 11 Posição do Q1 025n1 Então a posição de Q1 é 025 111 3 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 41 Portanto o 1o Quartil Q1 é igual a 17 b Quartis para dados tabelados Determinação de Qi 1º passo Calculase a posição 4 1 n i if i p 2º passo Identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde h f FAA l Q i f i i i n i i 4 1 i li FAA fi h Ordem do quartil i 1 ou 2 ou 3 Limite inferior da classe do quartil de ordem i Frequência acumulada anterior da classe do quartil de ordem i Frequência simples da classe do quartil de ordem i Intervalo de classe Exemplo Considerando a tabela abaixo calcule o Q1 Q2 e Q3 Idades dos alunos da disciplina Estatística no Instituto Datavox ano de 2002 IDADES fi 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 Soma 50 Fonte dados hipotéticos Resolução a Calcule Q1 1º passo Calculase a posição Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 42 12 5 4 50 1 4 1 n i if i p 2º passo Identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P IDADES fi Fac 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 8 20 40 46 50 8 é maior ou igual a 125 NÃO 20 é maior ou igual a 125 SIM Então esta é classe do 1o Quartil Q1 Soma 50 3º passo Aplicase a fórmula 1975 0 75 19 2 12 8 12 5 19 1 Q Portanto o 1o Quartil é igual a 1975 b Calcule Q2 1º passo Calculase a posição 25 4 50 2 4 1 n i if i p 2º passo Identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P IDADES fi Fac 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 8 20 40 46 50 8 é maior ou igual a 25 NÃO 20 é maior ou igual a 25 NÃO 40 é maior ou igual a 25 SIM Então esta é classe do 2o Quartil Q2 Soma 50 3º passo Aplicase a fórmula 215 50 21 2 20 20 25 21 2 Q Portanto o 2o Quartil é igual a 215 c Calcule Q3 1º passo Calculase a posição 37 5 4 50 3 4 1 n i if i p Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 43 2º passo Identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P IDADES fi Fac 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 8 20 40 46 50 8 é maior ou igual a 375 NÃO 20 é maior ou igual a 375 NÃO 40 é maior ou igual a 375 SIM Então esta é classe do 3o Quartil Q3 Soma 50 3º passo Aplicase a fórmula 2275 1 75 21 2 20 20 37 5 21 3 Q Portanto o 3o Quartil é igual a 2275 382 Decis Di são as medidas separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais e são representadas por D1 D2 D9 O quinto decil corresponde à mediana 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 a Decis para dados brutos Os procedimentos para obtenção dos Decis são semelhantes aos dos Quartis Exemplo 1 Calcule o D8 Dados 19 20 21 25 30 31 33 37 61 77 n 10 Posição do D8 08n1 Então a posição de D8 é 08 101 88 Como o valor encontrado não é inteiro temos que o 8o Decil D8 será a média aritmética entre o 8o e 9o elementos D8 3761249 Portanto o 8o Decil D8 é igual a 49 Exemplo 2 Calcule o D8 Dados 09 10 17 29 31 53 55 122 129 140 336 n 11 Posição do D8 08n1 Então a posição de D8 é 08 111 96 Como o valor encontrado não é inteiro temos que o 8o Decil D8 será a média aritmética entre o 9o e 10o elementos D8 1291421345 Portanto o 8o Decil D8 é igual a 1345 b Decis para dados tabelados A fórmula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Determinação de Di 1º passo Calculase a posição Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 44 10 1 n i if i p 2º passo Identificase a classe Di pela Frequência acumulada 3º Passo Aplicase a fórmula 1 10 n i i i i i f i iD iD FAA D l h f i liDi FAA fiDi h Ordem do decil i 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 Limite inferior da classe do decil de ordem i Frequência acumulada anterior da classe do decil de ordem i Frequência simples da classe do decil de ordem i Intervalo de classe Exemplo Considerando a tabela abaixo calcule o D3 Idades dos alunos da disciplina Estatística no Instituto Datavox ano de 2002 IDADES fi 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 Soma 50 Fonte dados hipotéticos Resolução 1º passo Calculase a posição 15 10 150 10 50 3 P 2º passo Identificase a classe Di pela Frequência acumulada Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P IDADES fi Fac 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 8 20 40 46 50 8 é maior ou igual a 15 NÃO 20 é maior ou igual a 15 SIM Então esta é classe do 3o Decil D3 Soma 50 3º Passo Aplicase a fórmula 3 15 8 14 19 2 19 20167 12 12 D Portanto o 3o Decil é aproximadamente 20167 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 45 383 Centis Ci São as medidas separatrizes que dividem a série em 100 partes iguais e são representadas por C1 C2 C99 O quinquagésimo centil corresponde à mediana 0 1 2 3 50 97 98 99 100 C1 C2 C3 C50 C97 C98 C99 A metodologia para obtenção dos valores dos Centis é a mesma adotada para os Quartis e Decis a Centis para dados brutos Vamos abordar este assunto por meio de dois exemplos Exemplo 1 Calcule o C30 Dados 19 20 21 25 30 31 33 37 61 77 onde n 10 Posição do P30 03n1 Então a posição de P30 é 03 101 33 Como o valor encontrado não é inteiro temos que o 30o Centil C30 será a média aritmética entre o 3o e 4o elementos C3 2125223 Portanto o 30o Centil C30 é igual a 23 Exemplo 2 Calcule o C30 Dados 09 10 17 29 31 53 55 122 129 140 336 n11 Posição do P30 03n1 Então a posição de P30 é 03 111 36 Como o valor encontrado não é inteiro temos que o 30o Centil C30 será a média aritmética entre o 3o e 4o elementos C30 1729223 Portanto o 30o Centil C30 é igual a 23 b Centis para dados tabelados A fórmula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Determinação de Pi 1º passo calculase a posição 100 1 n i if i p 2º passo Identificase a classe de Pi pela Frequência acumulada 3º Passo Aplicase a fórmula 1 10 n i i i i i f i iD iD FAA D l h f i liPi FAA fiPi h Ordem do percentil i 1239798 e 99 Limite inferior da classe do percentil de ordem i Frequência acumulada anterior da classe do percentil de ordem i Frequência simples da classe do percentil de ordem i Intervalo de classe Exemplo Considerando a tabela abaixo calcule o C70 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 46 Idades dos alunos da disciplina Estatística no Instituto Datavox ano de 2002 IDADES fi 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 Soma 50 Fonte dados hipotéticos Resolução 1º passo Calculase a posição 35 100 3500 100 50 70 p 2º passo Identificase a classe Di pela Frequência acumulada Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P IDADES fi Fac 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 8 20 40 46 50 8 é maior ou igual a 35 NÃO 20 é maior ou igual a 35 NÃO 40 é maior ou igual a 35 SIMEntão esta é classe do 70o Centil C70 Soma 50 3º Passo Aplicase a fórmula 35 20 21 2 21 15 225 20 iP Portanto o 70o Percentil é igual a 225 ATIVIDADES 1 Foi organizado um churrasco para comemorar a conclusão do Curso de Engenharia Mecânica Foram compradas as seguintes carnes aos respectivos preços 10 Kg de filé mignon R 1200 o Kg 20 Kg de linguiça R 700 o Kg 10 Kg de picanha R 1600 o Kg Qual o valor médio do Kg de carne adquirida Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 47 2 Uma escola possui 18 professores Um deles aposentase e é substituído por um professor de 22 anos Com isso a média das idades dos professores diminui 2 anos Qual a idade do professor que se aposentou 3 Os dados a seguir foram obtidos em indivíduos contaminados pelo veneno de um certo tipo de inseto e submetidos a tratamento A variável de interesse Recup é definida como o tempo em horas entre a administração do tratamento e a recuperação do indivíduo Os valores de Recup são os seguintes 3 90 23 46 2 42 47 37 12 51 11 1 3 3 45 3 4 11 2 8 56 39 22 16 5 e 52 a Construa a Tabela de frequências para a variável Recup b Obtenha a Média c O Primeiro Quartil d O Terceiro Quartil 4 Em um time de futebol o jogador mais velho entre os onzes titulares foi substituído por um jogador de 16 anos Isto fez com que a média de idade dos 11 jogadores diminuísse 2 anos Calcule a idade do jogador mais velho que foi substituído 5 Durante um jogo de futebol entre Vasco e Flamengo foi feita uma pesquisa de idades das duas torcidas Constatouse que a idade média da torcida em geral era 27 anos independente da preferência Qual a idade média dos torcedores do Flamengo sabendose que se constituem 60 da torcida presente no estádio e que os torcedores do Vasco têm em média 30 anos 6 65 dos alunos de uma escola para adultos têm média 20 anos Considerando que 15 tem em média 30 anos A média geral é de 275 anos Qual a média dos demais alunos 7 O salário pago aos funcionários de uma empresa X é de R 71000 Os salários médios pagos aos funcionários especializados e não especializados correspondem respectivamente a R 80000 e R 50000 Pedese determinar o percentual de empregados especializados e não especializados da empresa 8 Em uma classe de 50 alunos as notas obtidas formaram a seguinte distribuição Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1 Calcule a A nota média b A nota mediana Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 48 c A nota modal 9 Os dados seguintes ordenados do menor para o maior foram obtidos de uma amostra aleatória de 50 preços Xi de ações tomada numa bolsa de valores internacional A unidade monetária é o dólar americano 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 12 12 13 1314 15 15 15 16 16 18 23 Obtenha a Média a Mediana e a Moda 10 Considere os valores dos pesos de 32 alunos de uma classe apresentados abaixo 64 68 63 67 65 64 67 64 66 67 70 67 67 66 69 66 70 62 71 64 69 65 71 66 63 70 68 69 71 68 68 68 Determine a A Média b A Mediana c A Moda 11 Dos salários de um grupo de 4000 funcionários da empresa são conhecidos os seguintes parâmetros C95 R 360000 Md R 220000 D3 R 200000 Q1 R 160000 Responda a O no de funcionários que recebem entre 1600 a 2200 reais b O no de funcionários que recebem mais R 360000 c O no de funcionários que recebem entre 2000 e 2200 reais d O percentual de funcionários que recebem entre 1600 e 2200 reais 12 O preço médio aritmético de produto químico produzido por uma empresa é igual a 50 reais o preço geométrico é de 40 reais Qual o preço médio na forma harmônica 13 Um jogo completo de xadrez é composto das seguintes peças 08 peões 02 torres 02 cavalos 01 dama e 01 rei Atribuemse os seguintes valores comparativos para as peças rei 24 pontos dama10 pontos cavalo03 pontos torres05 pontos e peão01 ponto Se neste sistema 04 ponto é valor médio de uma peça levando em conta o jogo completo Qual o valor comparativo da peça bispo 14 Dada a distribuição de frequências dada abaixo Idades dos alunos da disciplina Estatística no Instituto Datavox ano de 2002 IDADES fi 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 8 12 20 6 4 Soma 50 Fonte dados hipotéticos Calcule a A Média b A Moda c A Mediana Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 49 15 Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado 2 supervisores 1 chefe de seção e 1 gerente que ganham respectivamente R 130000 R 160000 R 275000 R 500000 Qual o valor do salário médio desses funcionários 16 Uma distribuidora de refrigerantes fez um levantamento sobre o consumo semanal em litros por pessoa em jan2002 em uma cidade do litoral obtendo a tabela abaixo Consumo Nº de Pessoas 00 05 05 10 10 15 15 20 20 25 10 25 9 7 6 Determine e interprete o consumo médio a Qual o percentual de pessoas que consomem menos de 1 litro por semana b Determine os intervalos que contém o consumo modal e o consumo mediano 17 A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de bactérias Uma contagem de microorganismos presentes no petróleo número de bactérias por 100 mililitros em 10 porções de água do mar indicou as seguintes medidas 49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 Determine a Média a Mediana e a Moda 18 Abaixo temos as notas de 15 alunos na 1a avaliação da disciplina Análise Real 70 75 53 68 55 42 80 70 75 65 59 80 25 57 50 Determine a o 1o Quartil b o 8o Decil c 90o Percentil 19 O preço geométrico de produto F produzido por uma empresa é igual a 9 reais o preço harmônico é de 3 reais Qual o preço médio na forma aritmética 20 FISCAL DE TRIBUTOS DE MG96 A estatura média dos sócios de um clube é165 cm sendo a dos homens 172 cm e a das mulheres 162 cm Qual a porcentagem de mulheres no clube 21 Auditor do Tesouro Municipal Recife 2003 Em uma amostra realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres encontrouse que o salário médio vale R 120000 O salário médio observado para os homens foi de R 130000 e para as mulheres foi de R 110000 Assinale a opção correta e mostre os cálculos a O número de homens na amostra é igual ao de mulheres b O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 50 c O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres d O número de mulheres é o dobro do número de homens e O número de mulheres é o quádruplo do número de homens PESQUISANDO Para você aprofundar os conteúdos apresentados nesta unidade sugiro que pesquise Os seguintes livros COSTA NETO Pedro Luiz de Oliveira Estatística 12 ed São Paulo Editora Edgard Blücher Ltda 1992 BUSSAB W O MORETTIN PA Estatística Básica 5ª ed São Paulo SARAIVA 2002 FONSECA J S Curso de Estatística São Paulo Atlas 1980 acesse os sites wwwimeuspbrmae116 httpaleaestpinept httpwwwsomatematicacombrestatisticaphp httpwwwaleixomktcombrfisio62pdf httpwwwheliorochacombrgraduacaoturismodownloadEATMedidasDePosicaopdf Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 51 UNIDADE 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO Nesta unidade estudaremos as medidas de dispersão que tem um papel importantíssimo na análise dos dados pois avaliam a variabilidade em torno da Média Verificaremos também que as medidas de dispersão avaliam a representatividade das medidas de posição Também estudaremos as medidas de Assimetria e Curtose Na Assimetria estudaremos o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria enquanto que na Curtose estudaremos o grau de achatamento ou afunilamento de uma distribuição Caroa alunoa eis o s itens que estudaremos nesta unidade 41 Amplitude 42 Desvio Médio 43 Variância 44 Desvio Padrão 45 Coeficiente de Variação 46 Assimetria 48 Curtose 41 AMPLITUDE TOTAL Um modo mais simples de se ter uma indicação da dispersão dos valores de uma amostra ou população é comparar o valor máximo com o mínimo Entretanto a Amplitude Total não nos fornece qualquer indicação do que ocorre no interior do conjunto AT Valor máximo Valor mínimo Temos três situações para obtenção da Amplitude Total 411 Amplitude Total para dados brutos Por exemplo notas em matemática em cinco avaliações 7 75 8 85 10 A amplitude Total será AT 10 7 3 412 Amplitude Total para uma distribuição de frequências sem classe xi fi 0 2 1 6 3 5 4 3 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 52 A amplitude Total será AT 4 0 4 413 Amplitude Total para uma distribuição de frequências com classe Neste caso a Amplitude Total será a diferença entre o limite superior da última classe LS e o limite inferior da primeira classe LI AT LS LI Classes fi 6 8 6 8 10 2 10 12 3 A amplitude Total será AT 12 6 6 42 DESVIO MÉDIO É a medida de dispersão ou o grau de concentração dos valores em torno da Média Quando estamos calculando o Desvio Médio estamos medindo a dispersão entre cada xi e a Média x Temos dois tipos de Desvio Médio 421 Desvio Médio para dados brutos n X x DM n i i 1 onde X é a Média Aritmética ix são os valores das observações xi X é o valor absoluto do desvio de ix em relação à X n número de observações Exemplo Calcular o Desvio Médio para os dados abaixo 3 5 7 4 6 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 53 5 5 6 4 7 5 3 X 21 5 6 5 1 1 2 0 2 1 n X x DM n i i Logo o Desvio médio é igual a 12 422 Desvio Médio para dados tabelados n f X x DM n i i i 1 onde X é a Média Aritmética ix são os valores das observações if frequência simples xi x é o valor absoluto do desvio de ix em relação à x n número de observações i X X i X X i X X 3 5 2 2 5 5 0 0 7 5 2 2 4 5 1 1 6 5 1 1 Total 6 Calculamos as diferenças entre os valores da série e a média Aplicamos o módulo nas diferenças Primeiro calculase a média Aplicase a fórmula Segundo montase a tabela Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 54 Exemplo Calcular o Desvio Médio da distribuição de frequências abaixo 85 25 145 25 9 8 7 3 5 8 3 3 3 1 X Notas fi Xi X Xi X Xi X Xi X fi 02 3 1 58 48 48 144 24 3 3 58 28 28 84 46 8 5 58 08 08 64 68 3 7 58 12 12 36 810 8 9 58 32 32 256 Total 25 584 Agora aplicase a fórmula 2 34 2 336 25 58 4 1 n f X x DM n i i i Logo o Desvio Médio é aproximadamente 234 Notas fi xi 02 3 1 24 3 3 46 8 5 68 3 7 810 8 9 Total 25 Primeiro calculase a Média Segundo monta se a tabela Calculamos as diferenças entre os Pontos Médios e a Média Aplicamos o módulo nas diferenças Multiplicamos as diferenças pelas frequências Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 55 43 VARIÂNCIA É a média quadrática das somas dos desvios em relação à média aritmética É uma medida de dispersão bastante estudada no meio cientifico Quando o estudo for feito na amostra a Variância é simbolizada por S2 E quando estudamos a Variância de uma população o símbolo usado é σ2 431 Variância para dados brutos Processo longo 1 1 2 2 n n i X ix S Processo breve ou simplificado 1 2 1 2 2 n X n n i ix S Observação Quando se tratar de população dividise apenas por n Exemplo Calcular a variância para os dados abaixo 3 5 7 4 6 5 5 6 4 7 5 3 X 52 4 10 1 5 10 1 1 2 2 n n i x ix S Logo a Variância é igual a 25 i X X i X X i X X 2 3 5 2 4 5 5 0 0 7 5 2 4 4 5 1 1 6 5 1 1 Total 10 Primeiro calculase a média Calculamos as diferenças entre os valores da série e a média Segundo montase a tabela Elevamos ao quadrado as diferenças Aplicase a fórmula Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 56 Vamos calcular a Variância do exemplo anterior pelo Processo Breve Os dados são 3 5 7 4 6 Qual o valor da Variância 52 4 10 4 125 135 1 5 5 5 6 4 7 5 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n X n n i ix S Logo a Variância é igual a 25 432 Variância para dados tabelados Processo longo 2 2 1 1 n x X f i i i S n Processo breve ou simplificado 1 2 1 2 2 n nX if n i ix S Observação Quando se trata de população dividimos apenas por n Exemplo Calcular a Variância da distribuição de frequências abaixo 85 25 145 25 9 8 7 3 5 8 3 3 3 1 X Notas fi xi 02 3 1 24 3 3 46 8 5 68 3 7 810 8 9 Total 25 Notas fi Xi X Xi X Xi X 2 Xi X 2 fi 02 3 1 58 48 2304 6912 24 3 3 58 28 784 2352 46 8 5 58 08 064 512 68 3 7 58 12 144 432 810 8 9 58 32 1024 8192 Total 25 18400 Segundo montase a tabela Calculamos as diferenças entre os pontos médios e a média Elevamos ao quadrado as diferenças Multiplicamos os quadrados das diferenças pelas frequências Primeiro calculase a média Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 57 Logo a Variância é aproximadamente igual 767 Agora calcularemos a Variância do exemplo anterior pelo processo breve 7 67 24 184 24 841 1025 1 25 85 25 8 9 3 7 8 5 3 3 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n nX if n i ix S Logo a Variância é aproximadamente igual 767 433 Propriedades da Variância A Variância absoluta de uma constante é igual a zero Somandose ou diminuindose a todos os valores da série um valor constante K 0 a nova Variância será igual à anterior isto é não se altera Multiplicandose ou dividindose todos os valores de uma série por um valor constante K 0 a nova Variância calculada será igual à Variância absoluta original multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante utilizada 44 DESVIO PADRÃO É a raiz quadrada da Variância É a medida mais informativa da variação dos dados O Desvio Padrão nos fornece uma indicação do que ocorre entre os dois extremos Portanto o Desvio Padrão é a medida de quanto os valores observados variam em torno da média O Desvio Padrão amostral é dado por S2 S O Desvio Padrão populacional é dado por 2 Exemplo 1 Calcule o Desvio Padrão dos dados brutos abaixo 3 5 7 4 6 Como já vimos anteriormente o cálculo da Variância para os dados acima basta extrair a raiz quadrada da Variância Como a Variância foi igual a 25 então 158 52 2 S S Então o Desvio Padrão é igual a 158 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 58 Exemplo 2 Calcular o Desvio Padrão da distribuição de frequências abaixo Como já vimos anteriormente o cálculo da Variância para os dados acima basta extrair a raiz quadrada da Variância Como a Variância foi aproximadamente igual a 767 então Então o Desvio padrão é igual a 277 Resumindo Para o cálculo do Desvio Padrão devese primeiramente determinar o valor da Variância e em seguida extrair a raiz quadrada desse resultado 45 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO é o valor positivo da raiz quadrada da variância relativa SÍMBOLO 100 X S CV onde S Desvio padrão X Média Observação 1 Será considerada a série mais homogênea aquela que apresentar menor valor do coeficiente de variabilidade Observação 2 É uma medida estatística que serve para avaliar a homogeneidade de séries estatísticas que é o grau de concentração dos valores observados em torno da sua média aritmética Observação 3 O seu valor numérico pode ser expresso em percentual MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE Agora trataremos que são as medidas de assimetria e curtose Elas referemse à forma da curva de uma distribuição de frequência mais especificamente do polígono de frequência ou do histograma Notas fi xi 02 3 1 24 3 3 46 8 5 68 3 7 810 8 9 Total 25 2 77 7 67 2 S S Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 59 46 ASSIMETRIA E o que são as medidas de assimetria É o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria Destacamos que as distribuições de frequências não diferem apenas quanto ao valor médio e a variabilidade como também quanto a sua forma 461 Tipos de curvas a Simétrica Quando a Média Mediana e a Moda são iguais isto é apresentam o mesmo valor b Assimetria Positiva Neste caso a média aritmética apresentará um valor maior do que a Mediana e esta por sua vez apresentará um valor maior do que a Moda A cauda é mais alongada à direita da ordenada máxima ordenada correspondente à Moda Nas distribuições assimétricas à direita há uma predominância de valores superiores a Moda fi Mo Me X fi X Me Mo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 60 c Assimetria Negativa Neste caso a Média Aritmética será menor do que a Mediana e esta por sua vez é menor do que a Moda A cauda é mais alongada à esquerda da ordenada máxima Nas distribuições assimétricas negativas predominam valores inferiores à Moda 47 COEFICIENTES DE ASSIMETRIA Há vários coeficientes de Assimetria na literatura entretanto utilizaremos os de Pearson por serem mais conhecidos Temos dois tipos de coeficientes que são dados abaixo 471 Primeiro coeficiente de assimetria de Pearson S Mo x A 472 Segundo coeficiente de assimetria de Pearson S Me x A 3 onde A Coeficiente de Assimetria x Média aritmética Mo Moda S Desviopadrão O Coeficiente de Assimetria A pode ser classificado fi X Me Mo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 61 se A 0 Simétrica se A 0 Assimetria Positiva se A 0 Assimetria Negativa Exemplo 1 Calcular o Coeficiente de Assimetria para os dados da série abaixo 3 8 7 4 3 a Iniciamos obtendo a Moda Neste caso 3 é a Moda b Calculamos a Média 3 8 7 4 3 25 5 5 5 X c Obter o Desvio Padrão antes porém precisamos calcular a Variância 55 4 22 4 125 147 1 5 5 5 3 4 7 8 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n x n n i ix S Então o Desvio Padrão será 2 55 235 S S Agora aplicamos a fórmula 0 85 35 2 3 5 S Mo x A Portanto o coeficiente de Assimetria é igual a 085 A distribuição é Assimétrica Positiva Exemplo 2 Calcular o coeficiente de Assimetria da distribuição de frequências abaixo a Calculase a Mediana 1º passo calculase a posição Notas fi xi 02 3 1 24 3 3 46 8 5 68 3 7 810 8 9 Total 25 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 62 3 1 3 3 8 5 3 7 8 9 145 58 25 25 X 12 5 2 25 2 1 n i if p 2º passo Identificase a classe Mediana pela coluna das Frequências Acumuladas Comparamos o valor da posição P com os valores da Fac iniciando com a Fac da primeira classe e fazendo a seguinte pergunta esta Fac é maior ou igual a P 3º passo Aplicase a fórmula 5 625 1 625 4 2 8 6 12 5 4 Me Logo a Mediana é aproximadamente 5625 b Calculase a Média c Obter o Desvio Padrão antes porém precisamos calcular a Variância 7 67 24 184 24 841 1025 1 25 85 25 8 9 3 7 8 5 3 3 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n nX if n i ix S Logo a Variância é aproximadamente igual 767 Então o Desvio Padrão será Agora aplicamos a fórmula 0189 77 2 5 625 3 85 3 S Me x A Portanto o Coeficiente de Assimetria é igual a 0189 A distribuição é Assimétrica Positiva Notas fi Fac 02 3 3 3 é maior ou igual a 125 NÃO 24 3 6 6 é maior ou igual a 125 NÃO 46 8 14 14 é maior ou igual a 125 SIM Logo esta classe da Mediana 68 3 17 810 8 25 Total 25 2 77 7 67 2 S S Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 63 48 CURTOSE 49 TIPOS DE CURVAS DE FREQUÊNCIAS 491 Curva Mesocúrtica Quando a curva de frequências apresenta um grau de achatamento equivalente ou da curva normal 492 Curva Platicúrtica Quando uma curva de frequências apresenta um alto grau de achatamento superior ao da normal 493 Curva Leptocúrtica Quando uma curva de frequências apresenta um alto grau de afilamento superior ao da normal 410 COEFICIENTE PERCENTÍLICO DE CURTOSE Para avaliar o grau de Curtose de uma curva de frequência usaremos o coeficiente Percentílico de Curtose 10 90 2 1 3 1 9 C C Q Q D D q D K onde K Coeficiente Percentílico de Curtose Dq Desvio Quartílico Q3 Q1 2 D9 9º Decil D1 1º Decil C90 90º Centil C10 10º Centil O que é curtose É o estudo do grau de achatamento de uma distribuição considerado em relação a uma distribuição normal De acordo com o grau de curtose podemos ter três tipos de curvas de frequência k 0263 Curva ou distribuição mesocúrtica k 0263 Curva ou distribuição platicúrtica k 0263 Curva ou distribuição leptocúrtica Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 64 Exemplo determinar o Coeficiente Percentílico de Curtose do resumo estatístico dado abaixo Q145 Q395 D115 D9105 Então aplicase a fórmula 0 277 180 50 90 2 50 105 15 2 45 95 10 90 2 1 3 C C Q Q K Então podemos classificar o grau de curtose como Platicurtica pois k 0263 ATIVIDADES 1 Dada a tabela abaixo Pedese A Variância o Desvio médio o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação NOTAS fi 1 3 3 5 5 7 5 7 8 20 Fonte dados hipotéticos 2 Quinze pacientes de uma clínica de ortopedia foram avaliados quanto ao número de meses previstos de fisioterapia se haverá S ou não N sequelas após o tratamento e o grau de complexidade da cirurgia realizada alto A médioM ou baixoB Os dados são apresentados na tabela abaixo Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Fisioterapia 7 8 5 6 4 5 7 7 6 8 6 5 5 4 5 Sequelas S S N N N S S N N S S N S N N Cirurgia A M A M M B A M B M B B M M A a Classifique cada uma das variáveis b Divida os pacientes em dois grupos com S e sem N sequelas Compare os grupos em relação ao tempo médio de fisioterapia Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 65 c Qual dos dois grupos é mais homogêneo menor dispersão em relação ao tempo de fisioterapia 3 São apresentados abaixo o diâmetro em polegadas a altura em pés e o volume em pés cúbicos de uma amostra de 10 cerejeiras Diâmetro 83 105 108 111 120 133 145 163 175 180 Altura 700 720 830 800 750 860 740 770 820 800 Volume 103 164 197 226 191 274 383 426 557 515 Qual das três variáveis tem maior variabilidade 4 AFC94 Entre os funcionários de um órgão do governo foi retirada uma amostra de dez indivíduos Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles no último ano são 0 0 0 2 2 2 4 4 6 e 10 Sendo assim qual o valor do Desvio Padrão desta amostra 5 Um experimento é conduzido para comparar dois regimes alimentares no que diz respeito ao aumento de peso Vinte indivíduos são distribuídos ao acaso entre dois grupos em que ao primeiro deles foi dada a dieta A e ao segundo a dieta B Decorrido certo período verificase que o ganho de peso em Kg para os indivíduos da amostra foram os seguintes A 10 00 21 31 33 43 50 52 55 68 B 25 30 40 57 60 69 70 72 73 81 a Calcule a Média Mediana e Desvio Padrão da variável ganho de peso para cada dieta b Obtenha o Coeficiente de Variação e comente o resultado 6 Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro X foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa Esse exercício produziu a tabela de frequência abaixo A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada Não existem observações coincidentes com os extremos das classes Classes P 70 90 90 110 110 130 130 150 150 170 170 190 190 210 5 15 40 70 85 95 100 Calcule a Coeficiente de Assimetria b Classifique o Coeficiente de Assimetria Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 66 c Coeficiente de Curtose d Classifique o Coeficiente de Curtose 7 O atributo do tipo contínuo X observado como um inteiro numa amostra de tamanho 100 que foi obtida de uma população de 1000 indivíduos produziu a tabela de frequências seguinte Classes Frequência fi 295 395 395 495 495 595 595 695 695 795 795 895 895 995 4 8 14 20 26 18 10 Calcule a Coeficiente de Assimetria b Coeficiente de Curtose 8 Obtenha a Variância o Desvio Padrão e o Coeficiente de variação da distribuição de frequências dada abaixo Produção de 100 empregados da empresa Schalcher BelémPA 2004 Produção Frequência 30 39 4 40 49 14 50 59 29 60 69 35 70 79 18 Total 100 Fonte fictícia 9 Um estudo foi realizado por um professor em três turmas obtendo a Média e o Desvio Padrão das notas de sua disciplina conforme abaixo Qual a turma com menor variabilidade Justifique adequadamente TURMA A B C MÉDIA 65 80 80 DESVIO PADRÃO 22 17 20 10 O Desvio Padrão pode ser zero O que isso significa 11 Na empresa Mercury Ltda Foi observada a distribuição de funcionários do setor de serviços gerais com relação ao salário semanal conforme mostra a distribuição de frequência Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 67 Salário Semanal em US fi 2530 10 3035 20 3540 30 4045 15 4550 40 5055 35 Total 150 Calcule a O Desvio Médio b O Desvio Padrão 12 Classifique corretamente os coeficientes de Assimetria e Curtose dados abaixo a A 245 e K 0367 b A245 e K 0123 c A 035 e K 0267 d A 045 e K 0256 e A 177 e k 0479 12 Um banco tem à disposição dos seus clientes duas zonas de atendimento e cada uma com duas máquinas multibanco Na zona Z1 os clientes formam fila única e na zona Z2 fazem duas filas separadas uma para cada máquina Registaramse os seguintes tempos de espera de 10 clientes Z1 48 48 49 51 54 55 57 58 58 58 Z2 20 35 41 45 51 58 58 58 84 86 a Com base nestes dados que conselho daria ao banco quanto ao método a usar uma fila única ou filas separadas b Calcule o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação para Z1 e Z2 13 Como parte de uma avaliação médica em uma certa universidade foi medida a frequência cardíaca dos alunos do primeiro ano Os dados serão apresentados em seguida a Obtenha a Amplitude Total b Obtenha a Média c Qual o Desvio Médio d Encontre a Variância e Qual o valor do Desvio Padrão f Calcule o Coeficiente de Variação Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 68 Frequência cardíaca Frequência 60 65 11 65 70 35 70 75 68 75 80 20 80 85 12 85 90 10 90 95 1 95 100 3 14 Alunos da Escola de Educação Física foram submetidos a um treinamento de resistência por um período de 2 meses Antes de iniciarem o treinamento foram submetidos a um teste de resistência quanto ao número de quilômetros que conseguiram correr sem parar Depois de 4 meses de treinamento foram novamente submetidos ao mesmo teste Os dados estão apresentados a seguir Faixas Frequências Antes do treinamento Depois do treinamento 0 2 442 80 2 4 211 205 4 8 128 297 812 25 184 1216 11 45 16 22 3 9 a Calcule o Desvio Médio para ambos os grupos b Obtenha a Variância para ambos os grupos c Obtenha o Desvio Padrão Para ambos os grupos d Qual o grupo mais homogêneo 15 Um laboratório clínico precisa escolher dentre três aparelhos A B C para dosagem de sangue qual deverá comprar Para isto o responsável pelas análises preparou uma substância de concentração conhecida 10 mgml e extraiu várias amostras para serem dosadas pelos três aparelhos Os resultados obtidos em cada um deles foram os seguintes A 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13 B 10 9 20 9 11 8 9 7 8 9 C 10 11 9 10 10 9 11 12 8 10 Qual instrumento lhe parece recomendável Justifique sua resposta Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 69 PESQUISANDO Para melhorar sua aprendizagem nesta unidade sugiro que você pesquise Os seguintes livros CRESPO Antonio Arnot Estatística Fácil São Paulo Editora Saraiva 1998 MAGALHÃES Marcos Nascimento e LIMA Antonio Carlos Pedroso de Noções de Probabilidade e Estatística São Paulo 5a ed Editora da Universidade de São Paulo 2002 SPIEGEL M R Estatística São Paulo Makron Books 1993 STEVENSON Willian J Estatística Aplicada à Administração São Paulo Ed Harbra 1981 acesse os sites wwwimeuspbrmae116 httpestatisticaxblogspotcom200802medidasdedispersohtml httparquivosunamabrneadgolgoladm2modestatisticapdfESTAimpressoaula05pdf httpaleaestpinepthtmlnocoeshtmlcap531html httpeducacaouolcombrmatematicault1705u28jhtm Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 70 RESPOSTAS Unidade 1 1 a Quantitativa b Quantitativa c Quantitativa d Qualitativa e Quantitativa f Quantitativa g Quantitativa h Qualitativa i Quantitativa j Quantitativa k Quantitativa l Quantitativa m Qualitativa 2 Idade Quantitativa Renda familiar Quantitativa Raça Qualitativa Grau de escolaridade Qualitativa Uso da camisinha Qualitativa Participação em movimentos sociais Qualitativa Violência sofrida Qualitativa Discriminação sofrida Qualitativa 3 a Qualitativa Nominal b Qualitativa Nominal c Quantitativa Contínua d Qualitativa Ordinal e Qualitativa Ordinal f Qualitativa Ordinal g Qualitativa Nominal h Qualitativa Nominal 4 Definição do Problema Unidade 2 3 Titulo Cabeçalho Coluna Indicadora Coluna Numérica Corpo Rodapé 4 Série Mista 5 Não pode ser fechada pois se assim for teremos um quadro e não uma tabela 6 O que Onde e Quando 7 É que um gráfico explica melhor que uma tabela ou seja é mais fácil compreendêlo 8 Clareza simplicidade e veracidade 9 Diagramas pictogramas e cartogramas 12 Com classe e sem classe 14 É a Organização os dados de forma crescente ou decrescente 15 a Frequência Acumulada Fac 8 24 36 40 b os Pontos Médios Xi 18 22 26 30 c Frequência Relativa Fr 02 04 03 01 d 60 16 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 71 17 Valores Fi Fac fr 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 8 7 5 10 7 5 4 8 16 23 28 38 45 50 008 008 016 014 010 020 014 010 18 625 20 No Histograma as colunas são justapostas enquanto que no gráfico de barras as colunas são separadas 21 No polígono de frequências o eixo das abscissas é cortado pela linha já o gráfico de linhas não 22 Série especificativa 23 Com classe Classes Frequências 4145 4549 4953 5357 5761 7 3 4 1 5 Soma 20 Sem classe Dados Frequência 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Total 20 25 a Número de gols Variável Quantitativa Discreta Classes Frequências 2030 2 3040 5 4050 4 5060 4 6070 1 7080 4 Soma 20 b 70 26 a Classes Frequências 13 5 35 14 57 9 79 0 911 2 Soma 30 27 a Obtenha a distribuição de frequências Classes Frequências 13 14 35 25 57 7 79 3 911 0 1113 0 1315 1 Soma 50 b Obtenha a frequência relativa percentual Classes Frequências Frequência Relativa 13 14 28 35 25 50 57 7 14 79 3 6 911 0 0 1113 0 0 1315 1 2 Soma 50 100 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 72 Unidade 3 1 105 2 58 anos 3 a Classes fi xi Percentual 1 16 13 85 5000 16 31 3 235 1154 31 46 4 385 1538 46 61 5 535 1923 61 76 0 685 000 76 91 1 835 385 Total 26 100 b Média 2638 c Primeiro Quartil 85 d Terceiro Quartil 44125 4 38 anos 5 25 anos 6 50 anos 7 Especializados 70 Não Especializados 30 8 a 592 b 6 c 6 9 a Média 1036 b Mediana 957 c Moda 8826 10 a 6710 b 6740 c 6890 11 a 1000 funcionários b 200 funcionários c 800 funcionários d 25 12 32 reais 13 O valor comparativo é 3 14 a Média 2144 b Moda2173 c Mediana 2150 15 R 201875 16 a 10219 b 6140 c Consumo Modal 05 10 Consumo Mediano 05 10 17 A Média é 596 a Mediana é 63 a Moda é 67 18 a o 1o Quartil é 515 b o 8o Decil é 75 c 90o Percentil é 775 19 27 reais 20 Mulheres 70 e homens 30 21 Letra A Unidade 4 1 Variância 264 Desvio Padrão 163 Coeficiente de Variação 3790 Desvio Médio 136 2 a Paciente Variável Quantitativa Discreta Fisioterapia Variável Quantitativa Discreta Sequelas Variável Qualitativa Nominal Cirurgia Variável Qualitativa Ordinal b Grupo com sequelas Média 657 Grupo sem sequelas Média 525 O grupo com sequelas apresentou uma média maior em relação ao grupo sem sequelas c Cv com sequelas 1948 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 73 Cv sem sequelas 2040 Então o grupo mais homogêneo é o com sequelas 3 O Volume é que tem maior variabilidade 4 Desvio Padrão é 316 5 aGrupo A Média 343 Desvio Padrão 248 Mediana38 Grupo B Média 577 Desvio Padrão 195 Mediana 645 b CVA 7230 CVB3379 O grupo mais homogêneo é o B pois tem Coeficiente de Variação inferior ao grupo A 6 a 01035 b Assimetria Positiva c 0242 d Leptocúrtica 7 aCoeficiente de Assimetria 0272 bCoeficiente de Curtose 026 8 Variância 11413 Desvio Padrão 1068 Coeficiente de Variação 1798 9 A menor variabilidade é da turma B 10 Sim significa que não houve variação nos dados todos tinham o mesmo valor 11 a 7 b 799 12 a Assimétrica positiva Leptocúrtica b Assimétrica Negativa Leptocúrtica c Assimétrica positiva Platicúrtica d Assimétrica Negativa Leptocúrtica e Assimétrica negativa Platicúrtica 13 a Os resultados revelam que os métodos têm a mesma média então será necessário calcular o Desvio Padrão que é uma medida de dispersão pois o método que apresentar menor Desvio Padrao será o melhor b Desvio Padrão Z1 04248 Coeficiente de Variação Z1792 Desvio Padrão Z2204 Coeficiente de Variação Z238 14 a 40 b 73625 c 517 d 5029 e 709 f 963 15 a Desvio Médio 195 ANTES Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 74 Desvio Médio 282DEPOIS b S2Variância 764 ANTES S2Variância 1362DEPOIS c SDesvio Padrão 276ANTES SDesvio Padrão 369DEPOIS d Coeficiente de Variação 9857ANTES Coeficiente de Variação 5913DEPOIS 16 Como as médias são iguais é recomendável usar o desvio padrão por ser uma medida bastante representativa Neste caso temos Desvio Padrão de A é 4055 Desvio Padrão de B é 368 Desvio Padrão de C é 1155 Então o aparelho C é aparentemente o mais homogêneo Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 75 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 76 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 77 Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação 78