Lista de Exercícios Resolvidos - Gravitação Universal - Física

5 Uma dimensão Na Fig 1333 duas partículas pontuais são mantidas fixas sobre um eixo x separadas por uma distância d A partícula A tem massa mA e a partícula B tem massa 300mA Uma terceira partícula C de massa 750 mA deve ser colocada sobre o eixo x nas proximidades das partículas A e B Em termos da distância d qual deve ser a coordenada x da partícula C para que a força gravitacional resultante a que está submetida a partícula A seja zero FIG 1333 Problema 5 1 Na Fig 1322 uma partícula central está cercada por dois anéis circulares de partículas de raios r e R com R r Todas as partículas têm a mesma massa m Quais são o módulo e a orientação da força gravitacional resultante a que está submetida a partícula central 2 Na Fig 1323 duas partículas de massas m e 2m estão fixas sobre um eixo a Em que lugar do eixo uma terceira partícula de massa 3m pode ser colocada excluindo o infinito para que a força gravitacional resultante exercida sobre ela pelas duas primeiras partículas seja nula FIG 1322 Pergunta 1 m 2m FIG 1323 Pergunta 2 35 As três esferas da Fig 1345 de massas mA 80 g mB 10 g e mC 20 g têm seus centros sobre uma mesma reta com L 12 cm e d 40 cm Você desloca a esfera B ao longo da reta até que sua distância centro a centro da esfera C seja d 40 cm Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B a por você e b pela força gravitacional das esferas A e C FIG 1345 Problema 35 8 Duas estrelas de nêutrons estão separadas pela distância centroacentro de 934 km Cada uma tem massa de 156 x 1030 kg e raio de 126 km Elas estão inicialmente em repouso uma em relação à outra a A que velocidade elas estarão se movendo quando a separação entre elas houver diminuído até a metade do seu valor inicial b A que velocidade elas estarão se movendo pouco antes de colidirem Ignore efeitos relativísticos 99 Vários planetas Júpiter Saturno Urano possuem anéis talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anéis Considere um anel fino homogêneo de massa M e raio externo R Fig 1355 a Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central do anel a uma distância x do centro do anel b Suponha que a partícula do item a seja liberada a partir do repouso Com que velocidade ela passa pelo centro do anel QUESTÃO 35 a O trabalho que você executa para deslocar a esfera de massa mBé igual à variação da energia potencial do sistema de três esferas A energia potencial inicial é U iG m AmB d G mAmC L Gm BmC Ld E a energia potencial final é U fG mA mB Ld G m AmC L G mBmC d O trabalho executado vale W U fUiG mBmA 1 d 1 LdmC 1 Ld 1 d W G mB m AL2d dLd mC2dL dLd W G mB m AmCL2d dLd Assim W 67710 110 010080020122004 0040120 04 W 510 13 J b O trabalho realizado pela força gravitacional é U fU i510 13J QUESTÃO 5 O Módulo da força exercida pela partícula C sobre a partícula A seja igual ao módulo da força exercida pela partícula B sobre a partícula A Para isso temse Gm AmC r ² Gm AmB d ² G m A 75m A r ² G m A 3m A d ² 75G m A² r² 3G mA ² d ² Dividindo os termos da igualdade por G m A² temse 75 r ² 3 d² 75d ²3r ² r 75 3 d² r25 d² r5d Logo a partícula C deve estar situada no eixo x à esquerda da partícula A com coordenada 5d QUESTÃO 99 a Como todos os pontos do anel estão à mesma distância r x 2R² da partícula a energia gravitacional é U GMm x 2R 2 Sendo assim a força correspondente por simetria coincide com o eixo x podendo ser calculada tomando o negativo da derivada de U ou seja FdU dx d dx GMm x 2R 2 F GMm x2R 2 32 b A variação da energia potencial quando a partícula se desloca até o centro do anel é U GMm 1 R 1 x 2R 2 Conforme a Lei de Conservação da Energia Mecânica essa diferença se transforma em energia cinética ou seja KU m v 2 2 Logo 1 2 m v 2GMm QUESTÃO 10 O módulo da força gravitacional total a que está submetida uma das estrelas menores de massa m é GMm r ² Gmm 2r 2 Gm r 2 M m 4 Como essa força é a força centrípeta que mantém a estrela em órbita temos Gm r 2 M m 4 mv 2 r Na qual v2π r T Substituindo v pelo valor e explicitando o período T obtemos T 2 π r 3 2 G M m 4 QUESTÃO 8 Estamos falando da energia de um sistema que está mudando com o tempo isso sugere fortemente a aplicação da lei da conservação de energia E é isso o que faremos Para a energia potencial inicial vamos usar a fórmula para a energia potencial gravitacional entre dois corpos Para a energia potencial final podemos usar o fato de que no nosso estado final a distância entre os corpos é metade da distância inicial Então Substituindo tudo isso na lei de conservação de energia Isolando o que queremos encontrar Agora é só obter a velocidade a partir da energia cinética final É importante lembrar que estamos aplicando a lei de conservação sobre o sistema inteiro então temos que somar as energias cinéticas das duas estrelas Cortando M e isolando a velocidade v obtemos v GM d 66710 1115610 30 93410 4 11110 15 Para o item b a lógica será muito parecida mas como agora estamos na iminência da colisão teremos Portanto a única mudança em relação à conta que fizemos no item anterior vai ser na U final Aplicando a conservação de energia Cortando uma vez a massa M e isolando a velocidade v segue v 66710 1115610 30 1 212610 4 1 93410 4 v54910 7 QUESTÃO 1 Como temos cargas dispostas simetricamente estas se anulam não influenciando a carga central Porém a única carga que não possui uma outra disposta simetricamente está situada na vertical eixo y positivo logo acima da carga central no círculo de raio r Assim a orientação da força está exposta na figura E o módulo desta força vale F6771 0 11m ² r ² QUESTÃO 2 a A partícula de massa 3m para que a sua resultante das forças seja nula pode ocupar somente um espaço entre as duas partículas de forma com que ela esteja mais próxima da partícula de menor massa m b Não se altera pois o ponto de equilíbrio ainda se encontrará numa região que seja mais próxima da partícula de menor massa Todavia essa região se encontrará mais distante de m do que no caso da questão a já que a massa aqui é maior c Não existe nenhum ponto fora do eixo que satisfaça essa condição Já que não há nada fora do eixo que possa exercer uma força sobre a terceira partícula sendo assim não anularia a força gravitacional sobre ela e a mesma então aceleraria 10 Um determinado sistema triplo de estrelas consiste em duas estrelas cada uma de massa m que giram em torno de uma estrela central de massa M na mesma órbita circular As duas estrelas situamse nos extremos opostos de um diâmetro da órbita circular veja a Fig 49 Deduz a uma expressão para o período de revolução das estrelas o raio da órbita é r QUESTÃO 35 a O trabalho que você executa para deslocar a esfera de massa 𝑚𝐵é igual à variação da energia potencial do sistema de três esferas A energia potencial inicial é 𝑈𝑖 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐵 𝑑 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐶 𝐿 𝐺𝑚𝐵𝑚𝐶 𝐿 𝑑 E a energia potencial final é 𝑈𝑓 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐵 𝐿 𝑑 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐶 𝐿 𝐺𝑚𝐵𝑚𝐶 𝑑 O trabalho executado vale 𝑊 𝑈𝑓 𝑈𝑖 𝐺𝑚𝐵 𝑚𝐴 1 𝑑 1 𝐿 𝑑 𝑚𝐶 1 𝐿 𝑑 1 𝑑 𝑊 𝐺𝑚𝐵 𝑚𝐴 𝐿 2𝑑 𝑑𝐿 𝑑 𝑚𝐶 2𝑑 𝐿 𝑑𝐿 𝑑 𝑊 𝐺𝑚𝐵𝑚𝐴 𝑚𝐶 𝐿 2𝑑 𝑑𝐿 𝑑 Assim 𝑊 677 1011 001 008 002 012 2 004 004 012 004 𝑾 𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟑𝑱 b O trabalho realizado pela força gravitacional é 𝑼𝒇 𝑼𝒊 𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟑𝑱 QUESTÃO 5 O Módulo da força exercida pela partícula C sobre a partícula A seja igual ao módulo da força exercida pela partícula B sobre a partícula A Para isso temse 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐶 𝑟² 𝐺𝑚𝐴𝑚𝐵 𝑑² 𝐺𝑚𝐴75𝑚𝐴 𝑟² 𝐺𝑚𝐴3𝑚𝐴 𝑑² 75𝐺𝑚𝐴² 𝑟² 3𝐺𝑚𝐴² 𝑑² Dividindo os termos da igualdade por 𝐺𝑚𝐴² temse 75 𝑟² 3 𝑑² 75𝑑² 3𝑟² 𝑟 75 3 𝑑² 𝑟 25𝑑² 𝒓 𝟓𝒅 Logo a partícula C deve estar situada no eixo x à esquerda da partícula A com coordenada 5d QUESTÃO 99 a Como todos os pontos do anel estão à mesma distância r 𝑥2 𝑅² da partícula a energia gravitacional é U GMm 𝑥2𝑅2 Sendo assim a força correspondente por simetria coincide com o eixo x podendo ser calculada tomando o negativo da derivada de U ou seja 𝐹 dU 𝑑𝑥 d 𝑑𝑥 GMm 𝑥2 𝑅2 𝑭 𝐆𝐌𝐦 𝒙𝟐 𝑹𝟐𝟑𝟐 b A variação da energia potencial quando a partícula se desloca até o centro do anel é 𝑈 𝐺𝑀𝑚 1 𝑅 1 𝑥2 𝑅2 Conforme a Lei de Conservação da Energia Mecânica essa diferença se transforma em energia cinética ou seja 𝐾 𝑈 𝑚𝑣2 2 Logo 1 2 𝑚𝑣2 𝐺𝑀𝑚1 𝑅 1 𝑥2 𝑅2 𝒗 𝟐𝑮𝑴 𝟏 𝑹 𝟏 𝒙𝟐 𝑹𝟐 QUESTÃO 10 O módulo da força gravitacional total a que está submetida uma das estrelas menores de massa m é 𝐺𝑀𝑚 𝑟² 𝐺𝑚𝑚 2𝑟2 𝐺𝑚 𝑟2 𝑀 𝑚 4 Como essa força é a força centrípeta que mantém a estrela em órbita temos 𝐺𝑚 𝑟2 𝑀 𝑚 4 𝑚 𝑣2 𝑟 Na qual 𝑣 2𝜋𝑟 𝑇 Substituindo v pelo valor e explicitando o período T obtemos 𝑻 𝟐𝝅𝒓 𝟑 𝟐 𝑮 𝑴 𝒎 𝟒 QUESTÃO 8 Estamos falando da energia de um sistema que está mudando com o tempo isso sugere fortemente a aplicação da lei da conservação de energia E é isso o que faremos Para a energia potencial inicial vamos usar a fórmula para a energia potencial gravitacional entre dois corpos Para a energia potencial final podemos usar o fato de que no nosso estado final a distância entre os corpos é metade da distância inicial Então Substituindo tudo isso na lei de conservação de energia Isolando o que queremos encontrar Agora é só obter a velocidade a partir da energia cinética final É importante lembrar que estamos aplicando a lei de conservação sobre o sistema inteiro então temos que somar as energias cinéticas das duas estrelas Cortando M e isolando a velocidade v obtemos 𝑣 𝐺𝑀 𝑑 667 1011 156 1030 934 104 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟓 Para o item b a lógica será muito parecida mas como agora estamos na iminência da colisão teremos Portanto a única mudança em relação à conta que fizemos no item anterior vai ser na 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 Aplicando a conservação de energia Cortando uma vez a massa M e isolando a velocidade v segue 𝑣 667 1011 156 1030 1 2 126 104 1 934 104 𝒗 𝟓 𝟒𝟗 𝟏𝟎𝟕 QUESTÃO 1 Como temos cargas dispostas simetricamente estas se anulam não influenciando a carga central Porém a única carga que não possui uma outra disposta simetricamente está situada na vertical eixo y positivo logo acima da carga central no círculo de raio r Assim a orientação da força está exposta na figura E o módulo desta força vale 𝑭 𝟔 𝟕𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒎² 𝒓² QUESTÃO 2 a A partícula de massa 3m para que a sua resultante das forças seja nula pode ocupar somente um espaço entre as duas partículas de forma com que ela esteja mais próxima da partícula de menor massa m b Não se altera pois o ponto de equilíbrio ainda se encontrará numa região que seja mais próxima da partícula de menor massa Todavia essa região se encontrará mais distante de m do que no caso da questão a já que a massa aqui é maior c Não existe nenhum ponto fora do eixo que satisfaça essa condição Já que não há nada fora do eixo que possa exercer uma força sobre a terceira partícula sendo assim não anularia a força gravitacional sobre ela e a mesma então aceleraria