Lista de Exercícios Resolvidos - Movimento Harmônico Simples e Oscilações

3 Em um barbeador elétrico a lâmina se move para a frente e para trás ao longo de uma distância de 20 mm em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz Determine a a amplitude b a velocidade máxima da lâmina e c o módulo da aceleração máxima da lâmina 7 Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de 0500 kg ligado a uma mola Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 350 cm o oscilador repete o movimento a cada 0500 s Determine a o período b a frequência c a frequência angular d a constante elástica e a velocidade máxima e f o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco 10 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição xt aparece na Fig 1529 se a função posição é da forma x xm cosωt ϕ A escala do eixo vertical é definida por xs 60 cm 11 A função x 60 m cos3π radst π3 rad descreve o movimento harmônico simples de um corpo Em t 20 s quais são a o deslocamento b a velocidade c a aceleração e d a fase do movimento Quais são também e a frequência e f o período do movimento 15 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola k 400 Nm Em um certo instante t a posição medida a partir da posição de equilíbrio do sistema a velocidade e a aceleração do bloco são x 0100 m v 136 ms e a 123 ms2 Calcule a a frequência de oscilação b a massa do bloco e c a amplitude do movimento 22 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 200 kg preso a uma mola de constante elástica 100 Nm Em t 100 s a posição e a velocidade do bloco são x 0129 m e v 3415 ms a Qual é a amplitude das oscilações Quais eram b a posição e c a velocidade do bloco em t 0 s 30 A Fig 1537 mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual se encontra uma partícula de 20 kg a função Ux é da forma bx2 e a escala do eixo vertical é definida por Us 20 J a Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 85 cms ela retorna antes de chegar ao ponto x 15 cm b Caso a resposta seja afirmativa calcule a posição do ponto de retorno caso a resposta seja negativa calcule a velocidade da partícula no ponto x 15 cm 35 Um bloco de massa M 54 kg em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante elástica k 6000 Nm Uma bala de massa m 95 g e velocidade v de módulo 630 ms atinge o bloco e fica alojada nele Fig 1539 Supondo que a compressão da mola é desprezível até a bala se alojar no bloco determine a a velocidade do bloco imediatamente após a colisão e b a amplitude do movimento harmônico simples resultante 42 Suponha que um pêndulo simples seja formado por um pequeno peso de 600 g pendurado na extremidade de uma corda de massa desprezível Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por ϕ 00800 rad cos443 radst ϕ qual é a o comprimento da corda e b qual a energia cinética máxima do peso 59 Em um oscilador amortecido como o da Fig 1516 o bloco possui uma massa de 150 kg e a constante elástica é 800 Nm A força de amortecimento é dada por bdxdt em que b 230 gs O bloco é puxado 120 cm para baixo e liberado a Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial b Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo 1 Uma onda possui uma frequência angular de 110 rads e um comprimento de onda de 180 m Calcule a o número de onda e b a velocidade da onda 2 Um escorpião da areia pode detectar a presença de um besouro sua presa pelas ondas que o movimento do besouro produz na superfície da areia Fig 1631 As ondas são de dois tipos ondas transversais que se propagam com uma velocidade vt 50 ms e ondas longitudinais que se propagam com uma velocidade vl 150 ms Se um movimento brusco produz essas ondas o escorpião é capaz de determinar a que distância se encontra o besouro a partir da diferença Δt entre os instantes em que as duas ondas chegam à perna que está mais próxima do besouro FIG 1631 Problema 2 Se Δt 40 ms a que distância está o besouro 7 Uma onda senoidal de 500 Hz se propaga em uma corda a 350 ms a Qual é a distância entre dois pontos da corda cuja diferença de fase é π3 rad b Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos de um ponto da corda que acontecem com um intervalo de 100 ms 8 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é y 60 sen0020πx 40πt onde x e y estão em centímetros e t em segundos Determine a a amplitude b o comprimento de onda c a frequência d a velocidade e o sentido de propagação da onda e f a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda g Qual é o deslocamento transversal em x 35 cm para t 026 s 11 Uma onda senoidal que se propaga em uma corda é mostrada duas vezes na Fig 1634 antes e depois que o pico A se desloque de 60 cm no sentido positivo de um eixo x em 40 ms A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm H 60 mm Se a equação da onda é da forma yx t ym senkx ωt determine a ym b k c ω e d o sinal que precede ω 19 A massa específica linear de uma corda é 16 104 kgm Uma onda transversal na corda é descrita pela equação y 0021 m sen20 m1x 30 s1t Quais são a a velocidade da onda e b a tensão da corda 29 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por yxt 200 mm20 m¹x 40 s¹t⁰⁵ 33 Duas ondas senoidas com a mesma amplitude de 900 mm e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda que está esticada ao longo de um eixo x A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig 1640 antes e depois que o vale A se deslocue de uma distância d 560 cm em 80 ms A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm H 80 mm Suponha que a equação de uma das ondas é da forma yx t ym senkx ωt ϕ₁ onde ϕ₁ 0 e é preciso determinar o sinal que precede ω Na equação da outra onda determine a ym b k c ω d ϕ₂ e d o sinal que precede ω 27 Uma onda senoidal é produzida em uma corda com uma massa especifica linear de 20 gm Enquanto a onda se propaga a energia cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia A Fig 1639a mostra a taxa dKdt com a qual a energia cinética passa pelos elementos da corda em um certo instante em função da distância x ao longo da corda A Fig 1637b é semelhante exceto pelo fato de que mostra a taxa com a qual a energia cinética passa por um certo elemento de massa situado em um certo ponto em função do tempo t Nos dois casos a escala do eixo vertical é definida por Rs 10 W Qual é a amplitude da onda 35 Uma fonte pontual emite 300 W de som isotropicamente Um pequeno microfone intercepta o som em uma área de 0750 cm² a 200 m de distância da fonte Calcule a a intensidade sonora nessa posição e b a potência interceptada pelo microfone 36 Duas fontes sonoras A e B na atmosfera emitem isotropicamente com potência constante Os níveis sonoros β das emissões estão plotados na Fig 1740 em função da distância r das fontes A escala do eixo vertical é definida por β₁ 850 dB e β₂ 650 dB Para r 10 m determine a a razão entre a maior e a menor potência e b a diferença entre os níveis sonoros das emissões Fig 1734 mostra duas fontes sonoras pontuais isotrópicas S1 e S2 As fontes que emitem ondas em fase de comprimento de onda λ 050 m estão separadas por uma distância D 175 m Se um detector é deslocado ao longo de uma grande circunferência cujo raio é o ponto médio entre as fontes em quantos pontos as ondas chegam ao detector a exatamente em fase e b com fases opostas Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra Ao contrário de um gás a Terra pode transmitir tanto ondas sonoras transversais S como ondas sonoras longitudinais P A velocidade das ondas S é da ordem de 45 kms e a das ondas P é da ordem de 80 kms Um sismógrafo registra as ondas P e S de um terremoto As primeiras ondas P chegam 30 min antes das primeiras ondas S Se as ondas se propagaram em linha reta a que distância ocorreu o terremoto 8 Um homem bate com um martelo na ponta de uma barra delgada A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que a velocidade do som no ar Uma mulher na outra extremidade com o ouvido próximo da barra escuta o som da pancada duas vezes com um intervalo de 012 s um som vem da barra e outro vem do ar em torno da barra Se a velocidade de som no ar é 343 ms qual é o comprimento da barra 10 A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação Δp 15 Pa sen π0900 m¹x 315 s¹t Determine a a amplitude b a frequência c o comprimento de onda e d a velocidade da onda 11 Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é sxt 60 nm coskx 3000 radst φ quanto tempo uma molécula de ar no caminho onda leva para se mover entre os deslocamentos s 20 nm e s 20 nm 14 A Fig 1733 mostra a leitura de um monitor de pressão montado em um ponto da trajetória de uma onda sonora de uma só frequência propagandose a 343 ms em um ar de massa específica uniforme 121 kgm³ A escala do eixo vertical é definida por Δps 40 mPa Se a função deslocamento da onda é sxt sm coskx ωt determine a sm b k e c ω Quando o ar é resfriado a massa específica aumenta para 135 kgm³ e a velocidade da onda sonora diminui para 320 ms A fonte emite uma onda com a mesma frequência e a mesma pressão que antes Qual é o novo valor d de sm e de k e f de ω QUESTÃO 3 Solução O deslocamento total do barbeador é 20 mm e sabemos que a amplitude é sempre a metade do deslocamento total Isso quer dizer que a amplitude é metade do comprimento desse arco pontilhado que representa a trajetória Ou seja A 12 20 x 103 A 10 x 103 m A 100 mm Agora pra gente ir para letra b vamos primeiro só achar achar a frequência angular ω dada como ω 2πf Logo ω 2π120 ω 240π rads E agora chegamos na equação final da posição xt 103 cos240πt Pra achar a função da velocidade é só derivar a equação da posição em relação ao tempo xt vt Dessa maneira obtemos que vt 240π 103 sen240πt Como o seno varia entre 1 e 1 o valor máximo dessa função da velocidade vai ser v máx 240π 103 v máx 075 ms Agora pra achar a função que dá a aceleração é só derivar de novo essa função vt at De modo que at 240π2 103 cos240πt A função cosseno também varia entre 1 e 1 então o valor máximo que a aceleração assume é a máx 240π2 103 a máx 57 x 102 ms2 QUESTÃO 7 Solução Vamos começar pelo item a Bom o movimento se repete a cada 0500 s então o período é T 0500 s Agora o item b A frequência é o inverso do período f 1T Então f 105 2 Hz Item c A frequência angular pode ser calculada pela equação ω 2πf Então 2π2 126 rads Agora o item d Bom a gente pode encontrar a constante da mola usando a frequência angular Outra equação para a frequência angular é ω km Agora a gente pode isolar k ω² km k ω²m Agora a gente pode substituir os valores k 126²05 79 Nm Item e A velocidade máxima Bom a gente pode encontrar a velocidade máxima se a gente souber a frequência angular e a amplitude vmax ωA A frequência angular a gente já calculou e a amplitude é dada no enunciado x 35 cm ou A 035 m Vamos substituir os valores então vmax 126035 440 ms Agora o último item o item f O módulo da força máxima Bom a força num sistema massa mola é dada por F kx k é constante então a força vai ser máxima quando a posição for máxima em outras palavras a força é máxima na amplitude Vamos substituir os valores Fmax 79 035 276 N Através do gráfico podemos observar que o valor máximo de que 𝑥𝑚 atinge é igual a 60 cm Logo QUESTÃO 11 Solução A letra a quer o deslocamento no instante t 20 s xt 60 cos 3πt π3 Então podemos substituir o valor de t 2 na nossa fórmula tal que x2 60 cos 6π π3 x2 60 cos 19π3 x2 60 05 Logo x2 30 m b Pra achar a função da velocidade é só derivar a fórmula do deslocamento em relação ao tempo xt 60 cos 3πt π3 xt vt 60 3π sen 3πt π3 E agora é só substituir os valores de novo v2 18π sen 6π π3 v2 18π sen 19π3 v2 49 ms c Pra achar a aceleração é só derivar mais uma vez Porque a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração xt vt at 603π² cos3πt π3 at 54π² cos3πt π3 a2 54π² cos19π3 Sendo assim a2 54π²05 a2 27 x 10² ms² d A fase do movimento é simplesmente o que está na função cosseno dessa função xt 60 cos 3πt π3 No caso quando t 2 s x2 60 cos3π2 π3 Ou seja a fase é φ 6π π3 19π3 Segue que φ 19π3 rad 20 rad e Agora queremos a frequência de oscilação A questão já deu o valor da frequência angular ω então teremos que ω 2πf 3π 2πf Isolando f f 32 15 Hz QUESTÃO 15 Solução Essa é a frequência angular pra chegarmos na frequência de oscilação é só fazer c Agora fica faltando a amplitude do movimento Tem várias formas de resolver mas a mais fácil deve ser aproveitar o sistema que já tínhamos Lembrando Acosωtφ0100 Aωsenωtφ136 Aω²cosωtφ123 Podemos por exemplo pegar as duas primeiras equações e isolar os cossenos e senos cosωtφ0100A senωtφ136Aω Agora elevando ao quadrado e somando vamos usar o fato de que sen²xcos²x1 0100A² 136Aω² 1 Multiplicando tudo por A² 0100² 1363507² A² A² 0160 A 0400 m QUESTÃO 22 Solução Vamos começar escrevendo as funções que dão a velocidade e a posição do oscilador xtAcosωtφ vtAωsenωtφ As primeiras informações que a questão dá são a massa e a constante elástica da mola Podemos usar isso pra achar a frequência angular do oscilador ωkm100250707 rads E o resto a gente pode resumir em um sistema x10129 Aco sω φ v13415 Aωsenω φ Nosso primeiro objetivo é achar o valor de A Tem várias formas de resolver esse sistema pra achar A mas o jeito mais fácil é tirar proveito dessa propriedade dos senos e cossenos sen² x cos² x 1 Quer ver Primeiro vamos elevar as duas equações ao quadrado 0129² A²cos²ωt φ 3415² Aω²sen²ωt φ Agora vamos isolar os senos e os cossenos em cada uma cos²ωt φ 0129²A² sen²ωt φ 3415²Aω² A soma desses dois tem que dar 1 então 0129²A² 3415²Aω² 1 Agora multiplicando tudo por A² e substituindo o valor de ω 0129² 3415²707² A² A² 0249 A 0500 m b e c Agora queremos saber os valores de x0 e v0 Substituindo t 0 nas funções lá de cima encontramos o seguinte x0Acosφ v0Aωsenφ A única coisa que não conhecemos aí é o valor da constante de fase φ Mas dá pra descobrir sem problemas Vamos pegar por exemplo uma das informações que o enunciado deu 0129 Aco sω φ Agora que a gente sabe o valor de A cosω φ 012905 cosω φ 0258 Daí a gente descobre que ω φ cos¹0258 Ou seja φ cos¹0258 ω E uma solução entre 0 e 2π é φ 131 707 838 rad Agora sim voltando às fórmulas originais que queríamos usar x0Acosφ v0Aωsenφ Já podemos substituir x0 05cos838 0251 m v0 05707sen838 306 ms QUESTÃO 30 Solução Sabendo que Se a partícula passa pelo ponto de equilíbrio onde a energia potencial é nula com velocidade 085 ms a primeira parte da lei de conservação fica assim Mas energia cinética negativa não existe Ou seja esse movimento é impossível então a partícula retorna antes de chegar no ponto x 15cm QUESTÃO 35 Solução Partindo da conservação do momento linear temse para o momento linear inicial E para o momento linear final Para b o enunciado diz que logo antes da colisão o bloco estava em repouso isso quer dizer que a mola não estava comprimida nem esticada e então a energia potencial é nula Daí basta substituirmos os valores na seguinte equação QUESTÃO 42 Solução Sabendo a frequência angular de oscilação do pêndulo a gente consegue determinar o comprimento dele só aplicando a equação da frequência angular para pêndulos com massa concentrada na ponta dada como Agora pra gente encontrar a energia cinética máxima do peso precisamos saber qual a máxima velocidade que ele atinge Pra isso podemos usar a equação da posição angular Então derivando a função da posição obtemos que a velocidade será vt L443rads00800 rad sin443radst Φ O módulo da velocidade máxima atingida por ele ocorre quando o valor do seno na equação acima é máximo de forma que vmáx L443rads00800 rad vmáx 0499 m443rads00800 rad Logo a energia cinética máxima será Kmáx 12 m vmáx2 Kmáx 12 00600 kg0499 m443rads00800 rad2 Kmáx 940 104 J QUESTÃO 59 Solução Antes de tudo a gente sabe que o movimento é amortecido e que a amplitude decai no tempo de forma exponencial Assim a gente tem quer saber qual o tempo para que a razão de queda de amplitude seja de 13 Então temos ebt2m 13 Tomando logaritmo neperiano dos dois lados da equação a gente consegue isolar o t na equação acima bt2m ln13 t 2mbln13 2mbln3 t 2150 kg 0230 kgs ln3 143 s QUESTÃO 7 Solução Primeiramente vamos chamar de 𝑑 a distância entre a localização do terremoto e o sensor sismógrafo O tempo que as ondas demoram para chegar até ele relacionamse com essa distância através da expressão Daí colocando 𝑑 em evidência segue QUESTÃO 8 Solução Sabese que O enunciado nos diz que a mulher escuta o som da pancada duas vezes com um intervalo de 012s um som vem da barra e outro vem do ar em torno da barra Isso significa que a diferença entre 𝑡𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 e 𝑡𝑎𝑟 é igual a esse intervalo QUESTÃO 10 Solução Como a amplitude de uma onda senoidal é o coeficiente da função seno ou cosseno teremos que a amplitude será Agora na letra b queremos encontrar o valor da frequência mas pra isso vamos precisar extrair algumas informações da equação de onda QUESTÃO 11 Solução Vamos tomar como exemplo aqui o ponto em que x 0 para simplificar a nossa solução Como na física podemos escolher o instante em que t 0 vamos considerar aqui esse tempo no instante em que s 0 Nesse caso temos que sxt 60 nm coskx 3000 radst π2 No ponto x 0 sxt 60 nm cos3000 radst π2 Logo como cosa π2 sena obtemos que s 60 nm sen3000 rads t A equação acima nos possibilita colocar o tempo t em função do deslocamento s t 13000 rads arcsens60 nm Isso quer dizer que em s 20 nm temos que t 13000 rads arcsen20 nm 60 nm t 13000 rads arcsen13 t 01133 ms E para s 20 nm obtemos t 13000 rads arcsen20 nm 60 nm t 13000 rads arcsen13 t 01133 ms Portanto a variação de tempo será Δt 01133 01133 Δt 201133 Δt 023 ms QUESTÃO 14 Solução Sabendo que 𝑝𝑚 2 𝑝𝑠 80 𝑀𝑃𝑎 temse Δpm v2 ρ k sm Δpm v ρ v k sm Δpm v ρ ω sm Temos 80 mPa 343 ms 121 kgm3 2π 20 ms sm Então isolando sm obtemos que sm 61 109 m b O número de onda k vale k ω v k 2π T v Logo k 92 radm c A frequência angular é dada por ω 2π T ω 3142 rads Ou ω 31 103 s1 d Para calcularmos sm correspondente à densidade de ρ 135 kgm³ e à velocidade v 320 ms basta substituirmos esses valores nas equações que achamos acima sm Δpm v ρ ω sm Δpm v ρ 2π T sm 59 10⁹ m Ou em nm sm 59 nm e O número de onda é igual a k 2π λ k ω v Logo k 98 radm f A frequência angular é igual a ω 2π T ω 3142 rads Ou ω 31 10³ s¹ QUESTÃO 1 Solução QUESTÃO 2 Solução Igualando as duas equações que determinam 𝑑 obtemos o seguinte QUESTÃO 7 Solução A gente sabe que um comprimento de onda equivale a uma fase de 2π beleza Então fazendo uma regra de três considerando que um comprimento de onda está para 2π assim como a distância que queremos está para π3 obtemos 2π π3 λ d Sendo assim descobrimos que d λ 6 Então o problema é só descobrir o comprimento de onda Mas como a questão já deu a frequência e a velocidade da onda é só fazer v λ f λ v f Logo λ 350 500 λ 07 m E então d 07 6 d 0117 m d 117 cm A letra b pede a diferença de fase entre dois deslocamentos de um mesmo ponto que aconteceram com um intervalo de tempo de 100 ms Dá pra usar a mesma lógica Tanto a distância quanto o tempo aparecem dentro do cosseno na função da onda então os dois correspondem a alguma fase Assim como um comprimento de onda corresponde a uma fase 2π um período também corresponde a 2π Pra descobrir o período é só tirar o inverso da frequência T 1 f QUESTÃO 8 Solução Partindo da forma geral da equação da onde temse Tal que λ 2π 0020π λ 2 0020 λ 100 cm c Para achar a frequência podemos aproveitar o valor de ω ω 2π f Logo f ω 2π f 40π 2π f 2 Hz d Para achar a velocidade podemos usar o valor de k e de ω v ω k Portanto substituindo os valores v 40π 0020π v 40 002 v 200 cms e O sentido de propagação da onda é definido pelo sinal que acompanha o ω Onda se propagando no sentido positivo Sinal negativo no ω Onda se propagando no sentido negativo Sinal positivo no ω No nosso caso o sinal é positivo então a onda se propaga no sentido negativo QUESTÃO 11 Solução O enunciado nos deu uma onda senoidal que se propaga em uma corda em dois momentos diferentes antes e depois que o pico A se desloque de uma distância de 60 cm no sentido positivo de um eixo x em 40 ms E sabendo que a distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm e 𝐻 60 𝑚𝑚 dado a equação da onda 𝑦ሺ𝑥 𝑡ሻ 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝑥 𝜔𝑡ሻ o enunciado pede pra gente encontrar na era a amplitude 𝑦𝑚 do movimento A amplitude é a altura dos picos da onda ou a distância máxima que a onda atinge em relação ao eixo x Se a gente reparar no gráfico vamos ver que essa distância máxima é a metade daquela altura H que está marcado do lado afinal é distância máxima entre os extremos da corda sendo assim Em seguida calculamos a frequência pela fórmula 𝑓 𝑣 𝜆 Sabese que a velocidade é igual Por fim para d sabese O enunciado disse que a onda se propaga no sentido positivo então 𝜔 tem um sinal negativo Portanto QUESTÃO 19 Solução QUESTÃO 29 Solução QUESTÃO 33 Solução Sendo assim ω será ω 1670 ω 11 x 10³ rads d O gráfico do enunciado mostra a onda que resulta da soma de outras duas O objetivo agora é saber qual era a constante de fase da segunda onda dado que o da primeira era zero Bom sabemos que a fórmula pra amplitude da onda que vem da soma de outras duas é Ym 2yn cosφ22 Como a amplitude vai ser metade daquela altura H obtemos que 40 x 103 2900 x 103 cosφ22 Logo cosφ22 418 Então isolando a constante de fase φ22 arccos418 φ22 134 rad φ2 269 rad e O sinal que precede o ω segue aquele relação importante que você precisa saber Onda se propagando no sentido positivo Sinal negativo no ω Onda se propagando no sentido negativo Sinal positivo no ω No nosso caso a onda se propaga no sentido negativo então o sinal do ω é positivo QUESTÃO 27 Solução Pelo gráfico obtemos o período e o comprimento da onda ou seja 𝑇 20 103𝑠 𝜆 02 𝑚 QUESTÃO 35 Solução QUESTÃO 36 Solução As potências de cada fonte se relacionam com a intensidade da seguinte forma Sabendo que o nível sonoro e a intensidade se relacionam conforme equação abaixo temse QUESTÃO 17 Solução A diferença de fase tem que ser um múltiplo inteiro de 2𝜋 tal que As ondas vão estar exatamente em fase quando atenderem a Mas como temos dois pontos da circunferência sobre essa reta vamos dizer que o ponto da esquerda é positivo Como o caso onde os pontos estão sobre a reta que liga as fontes já é o valor máximo da diferença 𝐿 𝑛 3 vai ser o valor máximo que o 𝑛 atinge E o caso da letra b já foi até calculado também temos 14 pontos onde as ondas tem fases opostas