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Ciências Atuariais ·
Cálculo 2
· 2023/2
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EXERCICIOS 16.1 1. Seja a função f de duas variáveis x e y o conjunto dos pares ordenados da forma (P, z), tal que z = x + y => f(x, y) = x + y x - y x - y Ache: (a) f(-3, 4); (b) f(3, -1); (c) f(x + 1, y - 1); (d) f(x - y, y) = f(x, -y). 2. Seja a função g de duas variáveis x e y o conjunto dos pares ordenados da forma (P, z), tal que z = sqrt(x² - y) g(x, y) = sqrt(x² - y) Ache: (a) g(3, 5); (b) g(4, -9); (c) g(x + 2, 4x + 4); (d) g(1/x - 1/x^3). 3. Seja a função g de três variáveis x, y e z o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que w = sqrt(4 - x² - y² - z²) g(x, y, z) = sqrt(4 - x² - y² - z²) Ache: (a) g(1, -1, 1); (b) g(1 - i, 1/2); (c) g(x#1z#1232k); (d) f(x, z + 1) + f(x, z + 1). 4. Seja f uma função de três variáveis x, y e z que é o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que w = 4 4 x + y +1 + x² + y² / x + x + y² + 4z - 9 Ache: (a) f(1, 2, 3); (b) f(2, -1/2, 1/2); (c) f(2, 2 - x^2 + x, y - 1); (d) g(x + 1, 1 - x - 2). Nos Exercícios de 5 a 20, determine o domínio da função f e faça um esboço mostrando como uma região em R² seja o conjunto de pontos do domínio de f. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite no domínio. 5. f(x, y) = 1, 1 x² + y² - 1 6. f(x, y) = 4 x² - y² 7. f(x, y) = 1 1 - x² - y² 8. f(x, y) = sqrt(16 - x² - 4y²) 13. f(x, y) = x² - y² 15. x² - y² Nos Exercícios de 29 a 36, ache o domínio da função f e faça um esboço do gráfico. 29. f(x, y) = sqrt(16 - x² - y² 30. f(x, y) = 6 - 2x + 2y 31. f(x, y) = 16 - x² - y² Nos Exercícios 45 e 46, ache h(x, y) se h = f o g; ache também o domínio de h. 47. Dada f(x, y) = x - y, g(t) = sqrt(t), h(s) = s². Ache (a) g o f(s, 1); (b) f(h(3), g(9)); (c) f(g(x), h(y)); (d) g(f o f(x, y)); (e) g o h(g(f(x, y))). 48. Dada f(x, y) = x² y³, g(x) = x², h(x) = sqrt(x). Ache (a) f o f(2, 1); (b) f(2x, f(4x)); (c) f(g(sqrt(x), 4); (d) h(g o f(x, y)); (e) (h o g)(f(x, y)). Nos Exercícios de 1 a 10 (a) ache D₁f(x, y); (b) ache D₂f(x, y); (c) mostre que D₁₂f(x, y) = D₂₁f(x, y). 1. f(x, y) = x² - y y x² 2. f(x, y) = 2x³ - 3x²y² + xy² 3. f(x, y) = e^x sen y 4. f(x, y) = e^-xy + ln y x 5. f(x, y) = (x² + y²) tg^(-1)y x 6. 7. 8. f(x, y) = x cos y - y e^x 9. Nos Exercícios de 11 a 18, ache as derivadas parciais indicadas 11. f(x, y, z) = 2x³ + 5x²y² - 3xy²; (a) f₁₁(x, y); (b) f₁₁(x, y) 12. g(x, y, z) = 5x²y + 2zx²; (a) g₂₁(x, y); (b) g₁₃(x, y, z) 13. f(x, y, z) = sen²(xyz) (a) g₂₃(x, z); (b) f₂₃(x, z) 14. h(u, v, w) = w cos (α - 3; g₃₁(w, i); (b) h₂₁(x, y) 15. gr, s, t) = ln(r^4 - 4s² - 5rx); g₂(r, s, t) (a) g₁(g(r, s)) (b) g₁₁₂(x, y, z) 16. u = ln(cos u, q) h₂₁(u, q) 18. f(x, y, z) = ln(-(13xyz); (a) f₁₁, x, z); (b) f₁₃, x, z) 19. f(x, y) = ln(x² + y² 20. u(x, y) = e^x sen y + e^x cos x Nos Exercícios de 23 a 27, ache f₁₂(0, 0) e f₂₁(0, 0), se existirem. 23. A equação de Laplace em R³ é del²u = del²u + del²u + del²u = 0 del x² del y² del z² del z² Mostre que u(x, y, z) = (x² + y² + z²)^(-1/2) satisfaz essa equação para (x, y, z) ≠ (0, 0, 0). 24. Para a função do Exemplo 4, mostre que f₁₂ é descontínua em (0, 0) e então as hipóteses do Teorema 16.7.1 não estão satisfeitas se y₀₁₀, y₂₀ = (0, 0). Nos Exercícios de 25 a 27: 25. f(x, y) = 2xy 26. f(x, y) = x + y 29. Dado que u = f(x, y), x = F(r, s), y = G(r, s) e supondo que fxy = fyx prove, usando a regra da cadeia, que d²u = dr ds with f_xx, xy, f(Fr, s)F_r(r, s) + d+(x, y)f(Fr, s)g + F_r(r, s)g(x, y, s) + f_yx, y, g + with f_xxr, s, g + f(x, y, g(r, s) Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado, usando a Definição 17.1.1 ou a Definição 17.1.4, e então verifique seu resultado, aplicando o Teorema 17.1.2 ou o Teorema 17.1.5, conforme o caso. 1. f(x, y) = 2x² + 5y²; U = cos 2pi i + sen 1pi j 2. g(x, y) = 3x² - 4y²; U = cos i lul i + sen l2pi j 3. h(x, y, z) = 3x² + 4yz + 4z²; U = cos i lul zpi i + cos zpi k 4. 5. f(x, y) = x x² - y² 6. f(x, y) = 1 x² + y²; U = 3i - b j Nos Exercícios de 7 a 14, ache o gradiente da função dada. 7. f(x, y) = 4x² - 3xy + y² 8. g(x, y) = x^2 cis x² + y² 9. g(x, y) = ln sqrt(x² + y² 10. f(x, y) = e^x tg 2x 11. f(x, y, z) = x + x + z 12. f(x, y, z) = 3x ln(x + y 13. g(x, y, z) = xe^z sec z 14. g(x, y, z) = e^(sen x - cos y) Nos Exercícios de 15 a 22, ache o valor da derivada direcional no ponto P₀ para a função dada na direção e sentido de U. 15. f(x, y) = x² - 2xy; U = cos πi + sen πj; P₀ = (1, -2) 16. g(x, y) = 3x²y + 4y² - xy; U = cos 2πi sem 1/2πj; P₀ = (4π, 0 17. g³(x, y) = e² ln(-1); f(2, ln x/3) = -ln x^2 18. f(x, y) = xe³z; U = j + 1/2 √3k; P₀ = (2, 0, 0) 19. H(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz); U = j + 2k; P₀ = (0, 1, 0)
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EXERCICIOS 16.1 1. Seja a função f de duas variáveis x e y o conjunto dos pares ordenados da forma (P, z), tal que z = x + y => f(x, y) = x + y x - y x - y Ache: (a) f(-3, 4); (b) f(3, -1); (c) f(x + 1, y - 1); (d) f(x - y, y) = f(x, -y). 2. Seja a função g de duas variáveis x e y o conjunto dos pares ordenados da forma (P, z), tal que z = sqrt(x² - y) g(x, y) = sqrt(x² - y) Ache: (a) g(3, 5); (b) g(4, -9); (c) g(x + 2, 4x + 4); (d) g(1/x - 1/x^3). 3. Seja a função g de três variáveis x, y e z o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que w = sqrt(4 - x² - y² - z²) g(x, y, z) = sqrt(4 - x² - y² - z²) Ache: (a) g(1, -1, 1); (b) g(1 - i, 1/2); (c) g(x#1z#1232k); (d) f(x, z + 1) + f(x, z + 1). 4. Seja f uma função de três variáveis x, y e z que é o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que w = 4 4 x + y +1 + x² + y² / x + x + y² + 4z - 9 Ache: (a) f(1, 2, 3); (b) f(2, -1/2, 1/2); (c) f(2, 2 - x^2 + x, y - 1); (d) g(x + 1, 1 - x - 2). Nos Exercícios de 5 a 20, determine o domínio da função f e faça um esboço mostrando como uma região em R² seja o conjunto de pontos do domínio de f. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite no domínio. 5. f(x, y) = 1, 1 x² + y² - 1 6. f(x, y) = 4 x² - y² 7. f(x, y) = 1 1 - x² - y² 8. f(x, y) = sqrt(16 - x² - 4y²) 13. f(x, y) = x² - y² 15. x² - y² Nos Exercícios de 29 a 36, ache o domínio da função f e faça um esboço do gráfico. 29. f(x, y) = sqrt(16 - x² - y² 30. f(x, y) = 6 - 2x + 2y 31. f(x, y) = 16 - x² - y² Nos Exercícios 45 e 46, ache h(x, y) se h = f o g; ache também o domínio de h. 47. Dada f(x, y) = x - y, g(t) = sqrt(t), h(s) = s². Ache (a) g o f(s, 1); (b) f(h(3), g(9)); (c) f(g(x), h(y)); (d) g(f o f(x, y)); (e) g o h(g(f(x, y))). 48. Dada f(x, y) = x² y³, g(x) = x², h(x) = sqrt(x). Ache (a) f o f(2, 1); (b) f(2x, f(4x)); (c) f(g(sqrt(x), 4); (d) h(g o f(x, y)); (e) (h o g)(f(x, y)). Nos Exercícios de 1 a 10 (a) ache D₁f(x, y); (b) ache D₂f(x, y); (c) mostre que D₁₂f(x, y) = D₂₁f(x, y). 1. f(x, y) = x² - y y x² 2. f(x, y) = 2x³ - 3x²y² + xy² 3. f(x, y) = e^x sen y 4. f(x, y) = e^-xy + ln y x 5. f(x, y) = (x² + y²) tg^(-1)y x 6. 7. 8. f(x, y) = x cos y - y e^x 9. Nos Exercícios de 11 a 18, ache as derivadas parciais indicadas 11. f(x, y, z) = 2x³ + 5x²y² - 3xy²; (a) f₁₁(x, y); (b) f₁₁(x, y) 12. g(x, y, z) = 5x²y + 2zx²; (a) g₂₁(x, y); (b) g₁₃(x, y, z) 13. f(x, y, z) = sen²(xyz) (a) g₂₃(x, z); (b) f₂₃(x, z) 14. h(u, v, w) = w cos (α - 3; g₃₁(w, i); (b) h₂₁(x, y) 15. gr, s, t) = ln(r^4 - 4s² - 5rx); g₂(r, s, t) (a) g₁(g(r, s)) (b) g₁₁₂(x, y, z) 16. u = ln(cos u, q) h₂₁(u, q) 18. f(x, y, z) = ln(-(13xyz); (a) f₁₁, x, z); (b) f₁₃, x, z) 19. f(x, y) = ln(x² + y² 20. u(x, y) = e^x sen y + e^x cos x Nos Exercícios de 23 a 27, ache f₁₂(0, 0) e f₂₁(0, 0), se existirem. 23. A equação de Laplace em R³ é del²u = del²u + del²u + del²u = 0 del x² del y² del z² del z² Mostre que u(x, y, z) = (x² + y² + z²)^(-1/2) satisfaz essa equação para (x, y, z) ≠ (0, 0, 0). 24. Para a função do Exemplo 4, mostre que f₁₂ é descontínua em (0, 0) e então as hipóteses do Teorema 16.7.1 não estão satisfeitas se y₀₁₀, y₂₀ = (0, 0). Nos Exercícios de 25 a 27: 25. f(x, y) = 2xy 26. f(x, y) = x + y 29. Dado que u = f(x, y), x = F(r, s), y = G(r, s) e supondo que fxy = fyx prove, usando a regra da cadeia, que d²u = dr ds with f_xx, xy, f(Fr, s)F_r(r, s) + d+(x, y)f(Fr, s)g + F_r(r, s)g(x, y, s) + f_yx, y, g + with f_xxr, s, g + f(x, y, g(r, s) Nos Exercícios de 1 a 6, ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado, usando a Definição 17.1.1 ou a Definição 17.1.4, e então verifique seu resultado, aplicando o Teorema 17.1.2 ou o Teorema 17.1.5, conforme o caso. 1. f(x, y) = 2x² + 5y²; U = cos 2pi i + sen 1pi j 2. g(x, y) = 3x² - 4y²; U = cos i lul i + sen l2pi j 3. h(x, y, z) = 3x² + 4yz + 4z²; U = cos i lul zpi i + cos zpi k 4. 5. f(x, y) = x x² - y² 6. f(x, y) = 1 x² + y²; U = 3i - b j Nos Exercícios de 7 a 14, ache o gradiente da função dada. 7. f(x, y) = 4x² - 3xy + y² 8. g(x, y) = x^2 cis x² + y² 9. g(x, y) = ln sqrt(x² + y² 10. f(x, y) = e^x tg 2x 11. f(x, y, z) = x + x + z 12. f(x, y, z) = 3x ln(x + y 13. g(x, y, z) = xe^z sec z 14. g(x, y, z) = e^(sen x - cos y) Nos Exercícios de 15 a 22, ache o valor da derivada direcional no ponto P₀ para a função dada na direção e sentido de U. 15. f(x, y) = x² - 2xy; U = cos πi + sen πj; P₀ = (1, -2) 16. g(x, y) = 3x²y + 4y² - xy; U = cos 2πi sem 1/2πj; P₀ = (4π, 0 17. g³(x, y) = e² ln(-1); f(2, ln x/3) = -ln x^2 18. f(x, y) = xe³z; U = j + 1/2 √3k; P₀ = (2, 0, 0) 19. H(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz); U = j + 2k; P₀ = (0, 1, 0)