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Ciências Atuariais ·
Cálculo 2
· 2024/1
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Questao 1: Seja { y^4/(x^2 + y^2) ; se (x, y) ≠ (0,0) f(x, y) = | { 0 ; se (x, y) = (0,0) a) Determine as derivadas parciais de f, ∀ (x, y) ∈ R^2. b) As derivadas parciais são contínuas em (0,0)? Questao 2: Seja f : R^2 → R uma função de classe C^1 e seja g a função definida como g(t) = t^2 ∂f/∂x (t^2, t^3). a) Expresse g'(t) em função das derivadas parciais de f. b) Determine g'(1) supondo que ∂f/∂x (1, 1) = 5, ∂f/∂y (1, 1) = 1, ∂^2f/∂x^2 (1, 1) = 3, ∂^2f/∂y^2 (1, 1) = −3, ∂^2f/∂x∂y (1, 1) = 2 e ∂^2f/∂x∂y (1, 1) = 0. Questao 3: Sejam v = (a, b) um vetor unitário e { (x^3)/(x^2 + y^2) ; se (x, y) ≠ (0,0) f(x, y) = | { 0 ; se (x, y) = (0,0) Calcule ∂f/∂v (0,0) e verifique que ∂f/∂v (0,0) ≠ ∇f(0,0) · v. Questao 4: Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = y^2 − 2xy + 2x, onde D = {(x, y) ∈ R^2; 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3}.
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Questao 1: Seja { y^4/(x^2 + y^2) ; se (x, y) ≠ (0,0) f(x, y) = | { 0 ; se (x, y) = (0,0) a) Determine as derivadas parciais de f, ∀ (x, y) ∈ R^2. b) As derivadas parciais são contínuas em (0,0)? Questao 2: Seja f : R^2 → R uma função de classe C^1 e seja g a função definida como g(t) = t^2 ∂f/∂x (t^2, t^3). a) Expresse g'(t) em função das derivadas parciais de f. b) Determine g'(1) supondo que ∂f/∂x (1, 1) = 5, ∂f/∂y (1, 1) = 1, ∂^2f/∂x^2 (1, 1) = 3, ∂^2f/∂y^2 (1, 1) = −3, ∂^2f/∂x∂y (1, 1) = 2 e ∂^2f/∂x∂y (1, 1) = 0. Questao 3: Sejam v = (a, b) um vetor unitário e { (x^3)/(x^2 + y^2) ; se (x, y) ≠ (0,0) f(x, y) = | { 0 ; se (x, y) = (0,0) Calcule ∂f/∂v (0,0) e verifique que ∂f/∂v (0,0) ≠ ∇f(0,0) · v. Questao 4: Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = y^2 − 2xy + 2x, onde D = {(x, y) ∈ R^2; 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3}.