Lista - Álgebra Linear 2 2021 2

5ª Questão: q(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 , q(T(x,y)) = ax^2 + \left(c - \frac{b^2}{a}\right)y^2 q(x,y) = (x,y) \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} q(T(x,y)) = T(x,y) \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} T(x,y) = ax^2 + \left(c - \frac{b^2}{a}\right) y^2 Para \ T(x,y) \sei uma \ transformacao \ linear \ que \ transforma \ (x,y), T(x,y):\ (x,y) Resposta: T(x,y) = (x,y) 03 - 05 - 22 01. (x,y) = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} Resposta: T(x,y) = (x,y) 1) Seja T: R^3 \rightarrow R^3 um operador linear. Seja B = \{(1,1,2), (1,-1,2), (2,1,1)\} uma base de R^3 tal que T(1,1,2) = (1,1,0), T(1,-1,2) = (1,0,0), e T(2,1,1) = (0,0,1). Calcule T*. 2) Seja W um espaço vetorial de dimensão finita e sejam U e V dois subespaços de W. Verifique que: a) (U+V)^{\perp} = U^{\perp} \cap V^{\perp}. b) (U \cap V)^{\perp} = U^{\perp} + V^{\perp}. 3) Encontrar a expressão diagonal da forma quadrática q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 4x_2x_3. 4) Seja U um espaço vetorial com produto interno \langle , \rangle. Sejam u e v vetores fixos de U. Verifique que a função T: V \longrightarrow V dada por T(w) = \langle w, u \rangle v possui uma adjunta T* e descreva T* explicitamente. 5) Seja q(x_1, x_2) = a x_1^2 + 2b x_1 x_2 + c x_2^2, a \neq 0, uma forma quadrática. Determine uma transformação linear T: R^2 \longrightarrow R^2 tal que q(T(x_1,x_2)) = a x_1^2 + \left(c - \frac{b^2}{a}\right)x_2^2. Dica: Na forma quadrática, completem o quadrado, calcule T^{-1} e em seguida calcule T.