Pf Explicada - Álgebra Linear 2 - 2023-1

(1) Ortonomalizar a base 𝐵 = {√3𝑡, 1 + √3𝑡} = {𝑢1, 𝑢2} Vamos escrever o primeiro vetor: 𝑤1 = 𝑢1 = √3𝑡 Segundo vetor, 𝑤2 = 𝑢2 − (𝑢2 ∙ 𝑤1 𝑤1 ∙ 𝑤1 )𝑤1 Este método é chamado de PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT. 𝑤2 = 𝑢2 − (⟨𝑢2, 𝑤1⟩ ⟨𝑤1,𝑤1⟩) 𝑤1 ⟨𝑢2, 𝑤1⟩ = ⟨1 + √3𝑡, √3𝑡⟩ = 0 + (√3) 2 = 3 ⟨𝑤1,𝑤1⟩ = ⟨√3𝑡, √3𝑡⟩ = (√3) 2 = 3 𝑤2 = 1 + √3𝑡 − (3 3) √3𝑡 = 1 Base ortonormal: 𝑊 = {√3𝑡, 1} (2) Quais transformações abaixo são auto-adjuntas? (a) 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 , 𝑧, 𝑥 + 𝑧) Vamos escrever na forma matricial e, em seguida, calculamos a transposta de T, Como a transposta não é igual a matriz da transformação, T não é auto-adjunta. (b) 𝑇: 𝑃1 → 𝑃1, 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑡) = 𝑎 − 𝑏 + (𝑎 + 𝑏)𝑡 Vamos escrever 𝑇(𝑝) = 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑡) = 𝑎 − 𝑏 + (𝑎 + 𝑏)𝑡 𝑇(𝑞) = 𝑇(𝑐 + 𝑑𝑡) = 𝑐 − 𝑑 + (𝑐 + 𝑑)𝑡 Para que T seja auto-adjunta, precisamos ter a seguinte igualdade, ⟨𝑇(𝑝), 𝑞⟩ = ⟨𝑝, 𝑇(𝑞)⟩ Vamos calcular os dois produtos, ⟨𝑇(𝑝), 𝑞⟩ = ⟨(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 𝑏)𝑡, 𝑐 + 𝑑𝑡⟩ = (𝑎 − 𝑏)𝑐 + (𝑎 + 𝑏)𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 ⟨𝑝, 𝑇(𝑞)⟩ = ⟨𝑎 + 𝑏𝑡, (𝑐 − 𝑑) + (𝑐 + 𝑑)𝑡⟩ = 𝑎(𝑐 − 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 Podemos ver que as expressões não são iguais. Logo, T não é auto-adjunta. (3) Cayley-Hamilton – Inversa. Vamos escrever a relação que dá o determinante da matriz do enunciado que chamaremos de A, Vamos multiplicar toda a equação pela inversa de A, 𝐴2𝐴−1 − 2𝐴𝐴−1 + 2𝐼𝐴−1 = 0 𝐴(𝐴𝐴−1) − 2(𝐴𝐴−1) + 2(𝐼𝐴−1) = 0 𝐴(𝐼) − 2(𝐼) + 2(𝐴−1) = 0 Isolando a inversa, 𝐴−1 = 1 2 [2𝐼 − 𝐴]. (4) Na base 𝐵 = {(1,0), (0,1)}, temos Precisamos escrever essa mesma matriz na base 𝐶 = {(1,1), (1, −1)}. Vamos escrever os elementos da base C como combinação linear dos elementos de B, (1,1) = 𝑎(1,0) + 𝑏(0,1), 𝑎 = 𝑏 = 1 (1, −1) = 𝑐(1,0) + 𝑑(0,1), 𝑐 = −𝑑 = 1 A matriz de mudança de base B para C é (5) Transformações lineares: 𝜑: 𝑅2 ⟶ 𝑅 e 𝜓: 𝑅2 ⟶ 𝑅. Prove que 𝜑 ⊗ 𝜓 − 𝜓 ⊗ 𝜑 = 0 se e somente se 𝜑, 𝜓 são LD. Para que este produto resulte em zero sem que nem 𝜑 e nem 𝜓 sejam nulos, deve ser possível escrever uma das transformações como um múltiplo da outra e a expressão abaixo pode anular-se, ainda que 𝜑 ⊗ 𝜓 − 𝜓 ⊗ 𝜑 = 0 ⟶ 𝜓, 𝜑 ≠ 0