Lista - Formas Bilineares 2021 2

Sejam u x₁ x₂ e v y₁ y₂ vetores genéricos do ℝ² Quais das seguintes funções são formas bilineares a fu v x₁y₁ b fu v x₁y₂ c fu v x₁y₁ y₂ d fu v 0 e fu v 1 f fu v x₁² x₂y₁ g fu v x₁y₁ x₂y₂ 1 h fu v x₁y₂ x₂y₁ 6 Calcular a matriz das formas bilineares que aparecem no exercício anterior em relação à base canônica 7 Seja a forma bilinear do ℝ² fu v x₁y₁ 2x₁y₂ x₂y₁ x₂y₂ Calcular sua matriz em relação às seguintes bases do ℝ² a 1 1 1 1 b 2 1 1 2 c 2 3 4 1 Sejam A 2 1 B 3 9 e P 1 2 Calcular PᵀAP e comparar com B Conclusão 2 Seja a forma bilinear do ℝ² dada por fu v x₁y₁ x₁y₂ x₂y₂ x₂y₁ para todo u x₁ x₂ e v y₁ y₂ Calcular a matriz de f em relação às bases a 0 1 1 0 b 1 0 0 1 c 1 1 1 1 Verifique que elas são congruentes duas a duas 3 Seja a forma bilinear do ℝ³ dada por fu v x₁y₁ 5x₂y₂ 8x₃y₃ x₁y₂ ³₂x₁y₃ 2x₂y₃ Calcular sua matriz em relação às bases 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e 1 1 1 1 1 0 1 0 0 e provar diretamente que as matrizes são congruentes Sejam as formas lineares do ℝ³ ϕx y z x y z e ψx y z 2x y Calcular a matriz de ϕ ψ em relação às bases do exercício 3 5 Seja A 3 11 2 Encontre uma matriz inversível P tal que PᵀAP seja uma matriz diagonal 6 Provar que se PᵀAP é uma matriz simétrica então A é simétrica e reciprocamente Que se pode dizer se A é antisimétrica Foi usado o fato de P ser inversível 1 Escrever a expressão geral de uma forma bilinear simétrica no IR² e no IR³ 2 Escrever a expressão geral de uma forma bilinear antisimétrica no IR² e no IR³ Encontrou algo de familiar 3 Sejam φ e ψ formas lineares sobre V Provar que a forma bilinear φψ ψφ é simétrica 4 Provar que φψ ψφ 0 se e somente se φ e ψ são linearmente dependentes 5 Dada f BV provar que as formas bilineares g e h definidas por gu v fu v fv u e hu v fu v fv u satisfazem as condições a g BsV b h BaV c 2f g h Exercícios 1 Em R³ sejam α₁ 1 0 1 α₂ 0 1 2 α₃ 1 1 0 a Se f é um funcional linear sobre R₃ tal que fα₁ 1 fα₂ 1 fα₃ 3 e se α a b c determinar fα b Descrever explicitamente um funcional linear f sobre R₃ tal que fα₁ fα₂ 0 mas fx₃ 0 c Seja f um funcional linear arbitrário tal que fα₁ fα₂ 0 e fα₃ 0 Se α 2 3 1 mostrar que fα 0 2 Seja B α₁ α₂ α₃ a base de C³ definida por α₁ 1 0 1 α₂ 1 1 1 α₃ 2 2 0 Determinar a base dual de B 3 Se A e B são n x n matrizes sobre o corpo F mostrar que traço AB traço BA Mostrar depois que matrizes semelhantes têm o mesmo traço 4 Seja V o espaço vetorial das funções polinomiais p de grau menor ou igual a 2 ou seja px c₀ c₁x c₂x² Definamos três funcionais lineares sobre V por f₁p ₀¹ px dx f₂p ₀² px dx f₃p ¹⁰ px dx Mostrar que f₁ f₂ f₃ é uma base de V exibindo a base de V da qual ela é dual Exercícios 1 Sejam α₁ 1 0 1 2 e α₂ 2 3 1 1 e seja W o subespaço de R³ gerado por α₁ e α₂ Quais funcionais lineares f fx₁ x₂ x₃ x₄ c₁x₁ c₂x₂ c₃x₃ c₄x₄ estão no anulado de W 2 Seja W o subespaço de R⁵ gerado pelos vetores α₁ ε₁ 2ε₂ ε₃ α₂ ε₂ 3ε₃ 3ε₄ ε₅ α₃ ε₁ 4ε₂ 6ε₃ 4ε₄ ε₅ Determinar uma base de W⁰ 3 Seja V o espaço vetorial das 2 2 matrizes sobre o corpo dos números reais e seja B 2 2 2 1 Seja W o subespaço de V que consiste em todas A tais que AB 0 Seja f um funcional linear sobre V que esteja no anulado de W Suponhamos que fI 0 e fC 3 sendo I a 2 2 matriz unidade e C 0 0 0 1 Determinar fB 4 Seja F um subcorpo do corpo dos números complexos Definimos n funcionais lineares sobre Fⁿn 2 por fₖx₁ xₙ Σ k jxᵢ 1 k n Qual é a dimensão do subespaço anulado por f₁ fₙ 1 Qual a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática do IR³ a qx₁ x₂ x₃ x₁² x₂² x₃² 2x₁x₂ 4x₁x₃ x₂x₃ b qx₁ x₂ x₃ x₁² x₂² 4x₂x₃ c qx₁ x₂ x₃ 2x₁x₂ x₁x₃ x₂x₃ 2 Escrever a matriz das formas bilineares que aparecem no exercício 1 em relação à base canônica do IR³ Seguindo o processo dado acima reduzir a uma soma de quadrados as seguintes formas quadráticas no IR² a qx₁ x₂ x₁² x₂² 4x₁x₂ b qx₁ x₂ x₁x₂ x₂² c qx₁ x₂ x₁x₂ Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadráticas no IR² a x₁² x₂² 2x₁x₂ b x₁² x₂² 2x₁x₂ c x₁² x₂² 2x₁x₂ d 4x₁x₂ x₂² e 4x₁x₂ Reduzir pelo processo de Gauss à forma diagonal as formas quadráticas seguintes no IR³ a x₁² x₁x₂ x₂² x₃² 2x₂x₃ b 3x₁² 2x₂² 3x₃² 5x₂x₃ c x₁² x₂² x₃² 2x₁x₃ 4x₂x₃ 6x₁x₂ Reduzir por operações elementares à forma diagonal as formas quadráticas do exercício 2 Comparar os resultados