Pf - Álgebra Linear 2 - 2023-1

ÁLGEBRA LINEAR II PF WANDERICO DE SOUZA CAMPOS 1) ORTONORMALIZAR a BASE = {√3 t, 1 + √3 t} {√3 t, 1 + √3 t} = {u₁, u₂} w₁ = u₁ = √3 t w₂ = u₂ - (w₂.u₁ / w₁.w₁) w₁ w₂ = u₂ - <u₂, u₁ / <w₁, w₁> > w₁ <u₂, w₁> = <1 + √3 t, √3 t> = 0 + (√3)² = 3 <w₁, w₁> = <√3 t, √3 t> = (√3)² = 3 w₂ = 1 + √3 t - (3/3)√3 t = 1 BASE ORTONORMAL = { √3 t, 1} 2) T: R³ -> R³ T(x,y,z) = (x-y, z, x+z) T(1,0,0) = | 1 -1 0 | T(0,1,0) = | 0 0 1 | T(0,0,1) = | 1 1 0 | T(x,y,z) = ( 1 -1 0 ) ( 0 0 1 ) ( 1 1 0 ) Como Tᵗ ≠ T, T não é auto-adjunta. 2) T: P₁(R) -> P₁(R), T(a+bt) = a-b + (a+b)t T(p) = T(a+bt) = a-b + (a+b)t T(q) = T(c+dt) = c-d + (c+d)t PRA QUE T SEJA AUTO-ADJUNTA, TEMOS <T(p),q> = <p,T(q)> <T(p),q> = <(a-b) + (a+b)t, c+dt> = (a-b)c + (a+b)d <p,T(q)> = <a+bt,(c-d) + (c+d)t> = a(c-d) + b(c+d) = ac-bc + ad+bd COMO SÃO DIFERENTES, LOGO NÃO SÃO AUTO-ADJUNTAS 3) A INVERSA DE ( λ λ ) (-λ λ ) det(A - λI) = | λ-λ λ | |-λ λ-λ| = (λ-λ)² - (-λ) = (λ-λ)² + 1 P(λ) = det(A - λI) = (λ-λ)² + 1 = λ² -2λ + 1 = λ² - 2λ + 2 A² - 2A + 2I = 0 -> 2A - 2AA¹ + 2IA¹ = 0 (I(A'A''A)-2(AA'A)) + 2(IA'A) = 0 I(A) = A² -2I + 2I(A'A) = 0 A⁻¹ = 1 ( -λ λ ) ( λ λ ) 4) f_B = ( λ 2 ) ( λ 0 ) B = {(λ 0), (0 λ)} C = {(λ λ), (λ -λ)} (λ λ) = a(λ 0) + b(0 λ), a = b = λ (1 - λ) = c(λ 0) + d(0 λ), c = -d = 1 [ ]_C^B = | a c | = | λ λ | | b d | M] = [ λ 2 ] [1 λ 0] 5) ψ ⊗ ψ - ψ ⊗ ψ = 0 se, somente se 𝜑 e ψ são LD PARA QUE ESTE PRODUTO RESULTE EM 0(Zero) SEM QUE NEM 𝜑 E NEM ψ SEJAM NULOS, DEVE SER POSSIVEL ESCREVER UMA DAS TRANSFORMAÇÕES COMO UM MULTIPLO DA OUTRA E A EXPRESSAO ABAIXO PODE SER ANULADA, AINDA QUE ψ ⊗ ψ - ψ ⊗ ψ = 0 → ψ ≠ 0 OBS: EM GERAL OS PRODUTOS 𝜑 ⊗ ψ ≠ ψ ⊗ 𝜑, LOGO SUBTRAIR DUAS EXPRESSÕES DIFERENTES NÃO DEVERIA OCORRER, ISSO SÓ OCORRE POIS 𝜑 E ψ NÃO SÃO INDEPENDENTES. 1) Considere a base B = \{ \sqrt{3}t, 1 + \sqrt{3}t \} de P_1(\mathbb{R}). Apliquemos o processo de Gram-Schmidt à base B para encontrar a base ortonormal B' = \{ u_1, u_2 \}. Seja u_1 = \frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}t} = \frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{(\sqrt{3})^2}} = \frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}} = t Agora, seja \omega_2 = (1 + \sqrt{3}t) - \langle 1 + \sqrt{3}t, t \rangle t = (1 + \sqrt{3}t) - \sqrt{3}t = 1 Logo, u_2 = \frac{\omega_2}{\| \omega_2 \|} = \frac{1}{1} = 1 Portanto, B' = \{ t, 1 \} é uma base ortonormal para P_1(\mathbb{R}). 2 (b) Seja T: P_1(\mathbb{R}) \rightarrow P_1(\mathbb{R}) dada por, T(a + bt) = a - b + (a + b)t. Sabemos que uma transformação linear é auto-adjunta se a matriz da transformação em um base ortonormal é simétrica. A base B = \{ 1, t \} é a base canônica de P_1(\mathbb{R}) além disso é ortonormal. Vamos determinar a matriz canônica de T T(1) = 1 - 0 + (1 + 0)t = 1 + t = 1 . 1 + 1 . t Logo, T(1)_B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} T(t) = 0 - 1 + (0 + 1)t = -1 + t = -1 . 1 + 1 . t Logo, T(t)_B = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} Portanto, a matriz canônica de T é dada por [T]_B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} Vejamos se a matriz T é simétrica, ou seja, [T]_B = [T]_B^t Temos [T]_B^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} Como [T]_B ≠ [T]_B^t, logo, [T]_B não é simétrica, e portanto, o operador T não é auto-adjunto. 4) Seja f: R^2 x R^2 -> R uma forma bilinear tal que, [f]_B = (1 2 \n1 0), onde B = {(1,0), (0,1)} é a base canônica de R^2. Então f(u,v) = (x_1, x_2) (1 2 \n1 0) (y_1 \n y_2) = (x_1 + x_2 2x_1) (y_1 \n y_2) = x_1y_1 + x_2y_1 + 2x_1y_2 Logo, f(u,v) = x_1y_1 + x_2y_1 + 2x_1y_2. Agora, seja C = {(1,1), (1,-1)} uma base de R^2 Vamos calcular f no base C. Temos: * f((1,1), (1,1)) = 1.1 + 1.1 + 2.1.1 = 3 * f((1,1), (1,-1)) = 1.1 + 1.1 + 2.1.(-1) = 1 + 1 - 2 = 0 * f((1,-1), (1,1)) = 1.1 + (-1).1 + 2.1.1 = 1 - 1 + 2 = 2 * f((1,-1), (1,-1)) = 1.1 + (-1).1 + 2.1.(-1) = 1 - 1 - 2 = -2 Portanto, [f]_C = (3 0 \n2 -2) ⑤ Sejam ℓ: ℝ² → ℝ e Ψ: ℝ² → ℝ transformações lineares. Suponha que ℓ ⊗ Ψ - Ψ ⊗ ℓ = 0 , ou seja, ℓ ⊗ Ψ = Ψ ⊗ ℓ => ℓ(Ψ(v)) = Ψ(ℓ(v)), v ∈ ℝ² Logo, Ψ é múltipla de ℓ, ou seja, ℓ e Ψ são linearmente dependentes. Reciprocamente, suponha que ℓ e Ψ são linearmente dependentes. Então, existe 0 ≠ a ∈ ℝ tal que, ℓ = a Ψ. Logo, ℓ ⊗ Ψ - Ψ ⊗ ℓ = (a Ψ) ⊗ Ψ - Ψ ⊗ (a Ψ) = a (Ψ ⊗ Ψ) - a (Ψ ⊗ Ψ) = 0 Portanto, ℓ ⊗ Ψ - Ψ ⊗ ℓ = 0.