Teoria das Estruturas - Equilíbrio de Forças e Classificação de Estruturas

TEORIAS DAS ESTRUTURAS Diego Guimarães Revisão técnica André Luís Abitante Mestre em Engenharia e Ciência dos Materiais ênfase em Controle de Processos Engenheiro Civil Rossana Piccoli Mestre em Engenharia Civil Engenheira Civil Catalogação na publicação Karin Lorien Menoncin CRB102147 T314 Teoria das estruturas Douglas Andrini Edmundo et al revisão técnica André Luís Abitante Rossana Piccoli Porto Alegre SAGAH 2018 392 p il 225 cm ISBN 9788595023543 1 Engenharia civil I Edmundo Douglas Andrini CDU 62401 Unidade 4 Equilíbrio de forças Objetivos de aprendizagem Ao final deste capítulo você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever o que são as forças atuantes sobre um corpo Diferenciar as estruturas hipostáticas isostáticas e hiperestáticas Identificar os impactos da aplicação de uma força em um corpo Introdução Neste capítulo você vai estudar o que são as forças atuantes sobre um corpo a diferença entre estruturas hipostáticas isostáticas e hiperestáticas e os impactos da aplicação de uma força em um corpo Forças atuantes Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento eou deformações em um corpo É uma grandeza vetorial com módulos de direção e sentido Forças de diferentes naturezas podem atuar em um corpo como a força peso a força normal ou a força centrifuga Qualquer força no espaço pode ser decomposta em três direções ortogonais entre si Figura 1 Podese fazer uma relação entre massa kg e força N pois 10 N são definidos como a força que 1 kg exerce sujeito a gravidade de g 10 ms² Figura 1 Direções ortogonais Fonte Leggerini 2007 Um corpo pode sofrer forças externas que podem ser forças de superfície Essas forças podem ser distribuídas por esse corpo e também podem ser forças distribuídas linearmente ou concentradas em apenas um único ponto além da força peso localizada no centroide do corpo como pode ser observado na Figura 2 Figura 2 Distribuição das forças em um corpo Fonte Adaptada de Hibbeler e Vianna 2013 Equilíbrio de forças 326 Se a força de superfície for aplicada em uma área de pouca largura e grande comprimento podese dizer que se tem uma carga distribuída por metro conforme a Figura 3 Figura 3 Carga distribuída linearmente A carga distribuída pode ser convertida em carga concentrada e colocada no baricentro de um determinado elemento como pode ser visto na Figura 4 Figura 4 Carga distribuída linearmente 327 Equilíbrio de forças As forças aplicadas em um corpo geram reações Se esse corpo está travado restringindo alguma translação ou algum giro ele possui um vínculo e as forças desenvolvem reações nos apoios O apoio pode ser de primeira segunda e terceira ordem O vínculo de primeira ordem deixa liberados os movimentos na horizontal e os giros nas estruturas impedindo apenas o deslocamento no eixo y e pode ser visualizado na Figura 5 Figura 5 Apoio de primeira ordem Os vínculos de segunda ordem impedem dois tipos de movimento que podem ser um deslocamento na horizontal e um deslocamento na vertical Contudo o giro no eixo z é liberado como pode ser visualizado na Figura 5 Equilíbrio de forças 328 Figura 6 Apoio de segunda ordem Existem ainda os vínculos de terceira ordem Figura 7 que impedem três tipos de movimentos a translação em x a translação em y e o giro no eixo z como visto na Figura 6 Figura 7 Apoio de terceira ordem 329 Equilíbrio de forças Essas cargas que atuam na estrutura podem ser de natureza permanente ou de natureza variável As cargas de natureza permanente geralmente são consideradas como o peso próprio e o revestimento entre outros As cargas acidentais podem ser consideradas como aquelas que variam ao longo do tempo As forças acrescidas de um braço de alavanca geram um efeito chamado momento fletor ou seja que causa giro na estrutura Nas diversas áreas da engenharia procurase que o corpo esteja em equilíbrio estático ou seja que o somatório das forças em todos os sentidos seja igual a zero e que também o somatório dos giros na estrutura seja igual a zero F 0 M 0 Expandindo no espaço têmse as componentes dessas forças em todos os eixos Fx 0 Mx 0 Fy 0 My 0 Fz 0 Mz 0 Buscase sempre resolver estas incógnitas e para isso têmse as três equações de equilíbrio da estática que são Fx 0 Fy 0 Fz 0 Nem sempre as estruturas têm vínculos que impedem movimento nas três direções do espaço Estruturas em um plano x y geralmente têm as cargas aplicadas nesse plano e assim reações em x e y e giros no eixo z diferentemente de grelhas nas quais o carregamento está aplicado no eixo z gerando momentos fletores no eixo x e eixo y Equilíbrio de forças 330 Estruturas hipostática isostática e hiperestática Hipostática Esse tipo de estrutura não é estável o que significa que não apresenta equi líbrio estático podendo ocorrer algum movimento da estrutura Apresenta um número de reações de apoio inferior ao número de equações de equilíbrio Na Figura 8 está representado um exemplo de estrutura hipostática onde se observa que não há restrição dos movimentos horizontais Figura 8 Estrutura hipostática Fonte Marques 2016 Isostática Este tipo de estrutura apresenta o número de reações de apoio é igual ao nú mero de equações de equilíbrio para manter a estaticidade dos movimentos As reações estão dispostas de forma a evitar os possíveis movimentos da estrutura conforme demonstrado na Figura 9 331 Equilíbrio de forças Figura 9 Estrutura isostática Fonte Marques 2016 Existem dois diferentes tipos de estruturas isostáticas Estruturas que apresentam o número de reações igual ao número de equações de equilíbrio Estruturas que apresentam número de reações maior do que o número de equações de equilíbrio que se tornam isostáticas devido à libertação das ligações entre os corpos da estrutura Hiperestática A estrutura cujo número de reações de apoio é superior ao número de equações de equilíbrio Na Figura 10 está ilustrado esse tipo de estrutura É possível deduzir que a estrutura isostática possui um grau de hiperestaticidade igual a zero Figura 10 Estrutura hiperestática Fonte Marques 2016 Existem elementos nas estruturas que reduzem o grau de hiperestaticidade da estrutura que são as rótulas Rótulas são elementos que permitem o giro da estrutura Os momentos nesses pontos são zero Na Figura 11 podese visualizar um exemplo de rótula Figura 11 Viga com rótula 333 Equilíbrio de forças A estrutura hiperestática não pode ser calculada apenas com as equações de equi líbrio Devese utilizar algum método como o método das forças e o método dos deslocamentos Para saber mais sobre treliças LIMA 2008 acesse o link a seguir httpsgooglttrcHd Impactos da aplicação de uma força em um corpo Quando se aplicam forças em um corpo internamente são gerados esforços que afetam o seu comportamento Os esforços podem ser divididos em cinco grupos esforços de compressão esforços de tração esforços de cisalhamento esforços de flexão e esforços de torção Compressão é quando uma força é aplicada no sentido para dentro do corpo em estudo encurtando sua direção longitudinal Figura 12 Equilíbrio de forças 334 Figura 12 Esforços de compressão Tração é quando uma força é aplicada no sentido para fora do corpo em estudo esticando sua direção longitudinal Figura 13 Figura 13 Esquema de tração em elementos 335 Equilíbrio de forças Cisalhamento é o que ocorre quando forças são aplicadas em sentidos opostos porém em direções semelhantes no material analisado Exemplo a aplicação de forças paralelas mas em sentidos opostos Figura 14 Figura 14 Esquema de cisalhamento em elementos Flexão é quando se tem forças perpendiculares ao eixo longitudinal princi pal Esses esforços causam deslocamento das seções criandose compressão nas fibras superiores e tração nas fibras inferiores de acordo com a Figura 15 Figura 15 Esquema de flexão em elementos Equilíbrio de forças 336 Torção é quando existem forças que torcem o elemento Figura 16 Figura 16 Esquema de torção em elementos 1 Quando se faz análise de vigas podese estimar as cargas que atuam sobre elas o peso próprio a carga da alvenaria e as reações das lajes De acordo com a figura a quais tipos de esforços a viga está submetida a Esforços normais b Esforços de flexotração c Esforço de torção d Esforços de flexocompressão e Esforços de cisalhamento combinado com flexão 2 Das estruturas abaixo identifique qual representa uma estrutura isostática a b c 337 Equilíbrio de forças d e 3 Um engenheiro fez um projeto de uma ponte Para que a obra final não apresente patologias na estrutura o engenheiro deve identificar a qual tipo de esforço a ligação de um tabuleiro com o pilar está submetida Das alternativas abaixo escolha a correta a Esforços de tração b Esforços normais de compressão primordialmente c Esforços de cisalhamento d Esforços de flexão e Esforços de flexão composta 4 Um engenheiro observou uma fratura na coluna de direção do seu carro O carro apresenta 280000 km rodados Por não ser um carro novo ele averiguou que os esforços que acarretaram essa fratura foram a Esforços de compressão b Esforços de torção c Esforços de flexotração d Esforços de flexão e Esforços de flexocompressão 5 Qual o tipo de carga a que um piso industrial está sujeito quando ocorre o trânsito de empilhadeiras e caminhões a A força que uma roda de um caminhão exerce no piso pode ser considerada como carga distribuída b A força que a roda de um caminhão exerce no piso é considerada como carga pontual c Quando se têm efeitos térmicos o piso sofre efeitos de flambagem d Quando se pensa no dimensionamento devese equacionar de forma que o somatório de forças seja diferente de zero e As cargas de vários paletes acondicionados próximos formam cargas pontuais Equilíbrio de forças 338 HIBBELER R C VIANNA P Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEGGERINI M R C Resistência dos materiais I EM notas de aula Porto Alegre PUCRS 2007 Disponível em httpwwwfengpucrsbrprofessoresmreginaENGENHA RIAResistenciadosMateriaisIresistenciaiemapostila2007pdf Acesso em 10 jan 2018 LIMA L R O Capítulo 6 treliças Rio de Janeiro UERJ 2008 Disponível em http wwwlabcivenguerjbrrm4trelicaspdf Acesso em 10 nov 2018 MARQUES A R Resistência dos materiais estruturas SlideShare 2016 Disponível em httpsptslidesharenetmarques0404resistnciadosmateriaisestruturas Acesso em 10 jan 2018 Leituras recomendadas ANÁLISE estrutural Curitiba UFPR 2017 Disponível em httpwwweletricaufpr brufpr2professor49TE224Aula20620Analise20estruturalpdf Acesso em 10 jan 2018 BEER F P et al Estática e mecânica dos materiais Porto Alegre AMGH 2013 728p SILVEIRA R A M SILVA A R D PALHARES B Teoria das estruturas I parte 1 notas de aula CIV208 Ouro Preto UFOP 2008 Disponível em httpsptscribdcom doc103486593ApostilaTeoriaDasEstruturasParte1Final Acesso em 10 jan 2018 339 Equilíbrio de forças Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo S A G A H SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS TEORIAS DAS ESTRUTURAS Rossana Piccoli Revisão técnica André Luís Abitante Mestre em Engenharia e Ciência dos Materiais ênfase em Controle de Processos Engenheiro Civil Rossana Piccoli Mestre em Engenharia Civil Engenheira Civil Catalogação na publicação Karin Lorien Menoncin CRB102147 T314 Teoria das estruturas Douglas Andrini Edmundo et al revisão técnica André Luís Abitante Rossana Piccoli Porto Alegre SAGAH 2018 392 p il 225 cm ISBN 9788595023543 1 Engenharia civil I Edmundo Douglas Andrini CDU 62401 Treliças Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir o que são treliças e suas classificações quanto à estaticidade Avaliar as treliças quanto à lei de formação simples compostas e complexas Analisar os esforços solicitantes pelo método do equilíbrio dos nós pelo método de Ritter e pelo método de Cremona Introdução A treliça é uma estrutura de elementos relativamente delgados ligados entre si pelas extremidades Todos os elementos da treliça utilizados em construções são de madeira ou barras de metal e em geral são unidos uns aos outros por meio de uma placa de reforço na qual eles são aparafusados ou soldados Também podem ser mantidos unidos por um grande parafuso ou pino que perfura cada um dos elementos Neste capítulo você verá que as aplicações das treliças são diversas como estrutura de suporte em telhados estruturas fechadas ou abertas em pontes torres de telecomunicações antenas torres de energia elétrica campos de futebol cobertura guindastes entre outros Os três métodos de análise estrutural para o cálculo de esforços são método dos nós método de Ritter Seções e método de Carmona gráfico Treliças e estaticidade Uma treliça é um sistema articulado de plano rígido Esse sistema pode ser definido como uma estrutura de barras rígidas delgadas complanares ligadas entre si por extremidades formando um conjunto estável GOMES 2016 Os elementos de uma treliça costumam ser executados em barras de madeira aço alumínio e concreto armado e em geral são unidos por uma rótula ou placa de reforço Figura 1 Os elementos são delgados e incapazes de suportar cargas transversais Figura 1 Ligações a placa de reforço e b rótula Fonte Silveira sd a b Na Figura 2 a seguir você pode ver alguns dos formatos mais comuns de treliças Figura 2 Alguns formatos de treliças Fonte Facige 2013 documento online Uma treliça é uma estrutura composta por elementos lineares unidos por nós localizados nas extremidades de cada elemento como você pode ver nas Figuras 3 e 4 Treliças 134 Figura 3 Representação dos nós e aplicação de forças em uma treliça plana Fonte Adaptada de Kalil e Azambuja 2013 P F G H A B C D E P P P Sabese que o triângulo é a figura mais estável Assim a treliça é um sistema estrutural formado por uma série de triângulos que resulta em uma estrutura resistente e rígida Figura 5 Nessa estrutura todas as cargas devem ser aplicadas nas junções ou nós Figura 4 Treliça plana Fonte Adaptada de Valle Rovere Pillar 2013 documento online 135 Treliças Figura 5 Estruturas formadas por treliças planas e espaciais Fonte Marino BocelliShutterstockcom e KulikovvShutterstockcom Classificação quanto à estaticidade Você deve saber que uma rótula não transmite momento apenas esforços na direção do eixo e em direções perpendiculares a ele Por outro lado as cargas externas nas treliças só estão aplicadas nos nós A análise do equilíbrio mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal e que esses esforços são de mesmo módulo porém em sentidos contrários Figura 6 Todas as cargas são aplicadas aos nós e normalmente o peso próprio é desprezado pois a carga suportada é bem maior que o peso do elemento É possível demonstrar facilmente que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras Você pode visualizar isso isolando uma barra de uma treliça KALILL AZAMBUJA 2013 Figura 6 Barra submetida a esforço de tração ou compressão Treliças 136 Na barra os esforços perpendiculares ao seu eixo esforço cortante são eliminados pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo e têm momentos nulos nas suas extremidades Assim você pode chegar à seguinte conclusão mesmo as barras sendo unidas por meio de rótulas ou soldas se costuma considerar que elas são ligadas por pinos Portanto as forças que atuam em cada extremidade de uma barra são reduzidas a uma única força sem nenhum momento Conforme Leggerini 2017 a única solicitação interna desenvolvida é um esforço normal constante ao longo da barra Figura 7 Figura 7 a Barra tracionada e b ponte de treliça com transmissão de cargas do pavimento para os nós da treliça Fonte Adaptada de Kalil e Azambuja 2013 R a b R Treliça da ponte A B E D C As treliças assim como outros sistemas estruturais podem dividirse em hipoestáticas isostáticas e hiperstáticas Segundo Gomes 2016 além do cálculo das incógnitas das reações de apoio é necessário calcular os esforços nas barras da treliça Você também deve fazer a análise da estaticidade interior número de barras que é necessário calcular exterior número de incógnitas de reações de apoio e global da estrutura Para a estaticidade o número de equações será de 2n pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio de um ponto material Σ Fx 0 e Σ Fy 0 Considerando r o número de reações b o número de barras n o número de nós 137 Treliças Se r b 2n a treliça é isostática e o número de reações é igual ao necessário r b 2n a treliça é hipoestática e o número de reações é menor que o necessário r b 2n a treliça é hiperstática e o número de reações é maior que o necessário A seguir você vai ver as definições para estaticidade global interior e exterior GOMES 2016 Estaticidade global Uma treliça é globalmente isostática se o número de incógnitas é igual ao número de equações disponíveis a b 2n O grau de estaticidade global hg de uma treliça é igual a hg a b 2n Se hg 0 treliça globalmete hipoestática hg 0 treliça globalmete isostática hg 0 treliça globalmete hiperstática Estaticidade interior Ainda é possível determinar a estaticidade interior das treliças Admitindo que a treliça está simplesmente apoiada você tem como número de incógnitas de reações de apoio a 3 por exemplo um apoio móvel possui uma incógnita e um apoio fixo duas incógnitas A equação pode ser escrita assim hi 3 b 2n b 2n 3 Treliças 138 Se hi 0 há uma deficiência de barras por isso a treliça é considerada interiormente hipoestática hi 0 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a treliça é interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada hi 0 essa relação é uma condição necessária para a estabilidade da treliça Estaticidade exterior A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema Os apoios restringem os graus de liberdade Por isso as incógnitas a que surgem são calculadas a partir das equações de equilíbrio independentes da estática No caso do plano serão três he a 3 Se he 0 treliça exteriormente hipoestática he 0 treliça exteriormente isostática he 0 treliça exteriormente hiperstática Como você pode ver na Figura 8 a seguir um elemento não precisa ser reto para ser de duas forças Embora as treliças com elementos retos sejam mais comuns elas também podem conter elementos com curvas ou outras formas complexas 139 Treliças Classificação de treliças quanto à formação É importante classificar as treliças quanto à sua lei de formação para defi nir sua resolução Quanto à lei de formação as treliças podem ser simples compostas e complexas Treliças simples Treliças simples são as treliças formadas a partir de um triângulo inicial sem possível deformação três barras e três rótulas Nesse triângulo para cada novo nó adicionamse duas novas barras Uma treliça triangular composta por três elementos e três nós pode ser considerada uma treliça rígida A treliça rígida é aquela que não sofre grandes deformações com a ação de pequenas cargas É possível acrescentar mais duas barras não colineares obtendo um novo nó A estrutura resulta numa nova treliça Figura 9 Você pode continuar acrescentando barras de duas em duas até obter uma treliça triangular básica desejada Figura 9b À treliça formada dessa maneira dáse o nome de treliça simples Figura 10 Figura 8 Treliças também podem conter elementos com curvas Fonte Roman SigaevShutterstockcom Treliças 140 Figura 9 Três nós são considerados uma treliça e é possível acrescentar mais duas barras para expandir a treliça Fonte O autor figura a e adaptada de Kalil e Azambuja 2013 figura b a b Figura 10 Formação de uma treliça simples de telhado Howe Fonte Gomes 2016 141 Treliças Treliças compostas A treliça é chamada composta quando formada por duas treliças simples ligadas por três barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado Figura 11 Segundo Kalil e Azambuja 2013 para resolver uma treliça composta é possível considerar que ela é formada por duas treliças simples Assim se verifica o cálculo dos esforços nos elementos de ligação o que permitirá isolar as treliças para fins de cálculo estático Figura 11 Treliça composta Fonte Tudo Engenharia c2017 a b 1 1 2 3 C Treliças complexas De acordo com Kalil e Azambuja 2013 uma treliça complexa é classificada pela análise de eliminação Ou seja se não é simples nem composta é uma treliça complexa Mas você não pode afirmar se ela é isostática apenas aplicando a análise de b r 2n que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade Uma treliça complexa pode ser formada com uma série de combinações de elementos triangulares quadriláteros ou mesmo poligonais Além disso ela pode apresentar barras que se cruzam sem estarem vinculadas umas às outras Figura 12 Treliças 142 Figura 12 Treliça complexa Fonte Adaptada de Kalil e Azambuja 2013 Para saber mais sobre o cálculo da estaticidade em treliças acesse o link httpsgoogl5JsZj9 Determinação dos esforços em treliças Considerações Para uma treliça simples sujeita a um carregamento você deve considerar as reações de apoio calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática Conforme Leggerini 2007 isolandose a barra que se deseja calcular em uma treliça se verifica que o esforço normal é constante ao longo dessa barra Então é possível calcular o seu valor em uma seção qualquer Figura 13 143 Treliças Figura 13 Seção S na barra em que se deseja calcular os esforços Fonte Kalil e Azambuja 2013 Você pode determinar os esforços axiais das barras de treliças utilizando vários métodos Por exemplo método do equilíbrio dos nós método de Ritter ou método das seções método de Cremona Método do equilíbrio dos nós Nesse método isolase cada um dos nós e marcamse as forças externas atuantes e os esforços normais das barras que nele concorrem As forças que garantem o equilíbrio do nó denominadas esforços normais das barras serão determinadas como se a treliça estivesse em equilíbrio Assim todos os seus nós também o estarão O cálculo deve sempre iniciar pelos nós que possuam apenas duas incógnitas para resolver Assim a sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços como incógnitas em cada novo nó A barra estará sujeita à compressão se a força que a comprime convergir para os nós Ela estará sujeita à tração se a força que a traciona sai dos nós GOMES 2016 Na Figura 14 você pode ver as convenções de sinais Figura 14 Convenções de sinais para barras de treliças Se você considerar um diagrama do corpo livre da treliça como um todo então as forças nos elementos devem ser tratadas como forças internas Mas para considerar o equilíbrio do nó você deve tornálo uma força externa no diagrama de corpo livre Observe a Figura 15 a seguir Figura 15 Forças de tração e compressão atuando em uma treliça Fonte Adaptada de Ponte de espaguete 2015 documento online 500 N 500 N FBA tração FBC compressão 2 m B B A C 2 m 45 45 500 N FBA tração FBC compressão B 45 a b c Na Figura 15 FBA está puxando o pino BA está sendo tracionado Além disso FBC está empurrando BC está sob compressão Resolvendo as equações 145 Treliças Fonte Ponte Espaguete 2015 Equilíbrio no nó B Equilíbrio no nó C Equilíbrio no nó A Representação dos esforços nos nós da treliça 45 45 500 N 7071 N A Tração Tração Compressão B C 500 N 500 N 500 N 500 N 500 N 500 N 500 N 7071 N Treliças 146 Método de Ritter ou método das seções O método de Ritter consiste em cortar a treliça por uma secção obtendo duas partes totalmente independentes Esse método determina que se um corpo está em equilíbrio qualquer parte dele mesmo seccionada também deverá estar Esse método consiste em dividir o elemento que se deseja analisar na treliça e aplicar as equações de equilíbrio na região selecionada O método das seções é normalmente mais utilizado em relação ao método dos nós quando apenas se deseja determinar a força num dos elementos da treliça ou num número reduzido de elementos Ao dividir uma treliça numa secção SS do ponto de vista estático nada deve se alterar desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais atuantes Os esforços são determinados para que garantam o equilíbrio da estrutura treliçada Você pode analisar a parte esquerda ou a parte direita da treliça Figura 16 Assim é possível escolher aquela que contiver o menor número de incógnitas na obtenção do cálculo dos esforços normais Figura 16 Treliça com corte da seção SS a e a representação das forças das barras sec cionadas b Para determinar a força na barra BD da treliça da Figura 16 você deve seccionar por meio das barras BD BE e CE Depois deve remover essas barras e estudar a porção ABC da treliça como um corpo livre 147 Treliças O seccionamento deve ocorrer de modo a se obter no máximo três forças desconhecidas ou seja você deve cortar no máximo três elementos ou barras Assim pode utilizar um número igual de equações de equilíbrio para resolver o problema Na Figura 17 você pode verificar a seção cortando a treliça bem como as forças indicadas das barras e suas direções para o cálculo das equações de equilíbrio Figura 17 Treliça a corte da seção direita e b corte da seção esquerda c Fonte Ponte Espaguete 2015 T T T T C C C 1000 N 1000 N A B C C C D G G G FGF FGF Dx Fx FGC FGC FBC FBC 45º 45º F E a a a b c 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m C C C Compressão T T Forças internas de tração Forças internas de compressão Tração Método de Cremona ou diagrama de Maxwell O método de Cremona consiste na representação gráfica das forças que agem nas barras da treliça e na verificação do equilíbrio de cada nó na treliça Dessa forma você precisa proceder da seguinte maneira desenhar em escala a tre liça colocar o carregamento e calcular as reações de apoio e a força normal de cada barra da treliça Ficam definidas as áreas abertas entre as forças do carregamento de reações de apoio e as áreas internas entre esforços normais de cada barra VALLE ROVERE PILLAR 2013 Assim você deve desenhar em escala as forças traçando uma poligonal iniciada por um dos nós Tome como exemplo a treliça mostrada na Figura 18 É necessário desenhar em escala as forças traçando poligonais iniciadas por um dos nós com no mínimo Treliças 148 duas incógnitas O polígono resultante deverá ser um polígono fechado e isso representa que a treliça está em equilíbrio Figura 18 Resolução do método de Cremona em treliças Fonte Valle Rovere e Pillar 2013 149 Treliças Para exercitar o que você viu até aqui resolva a treliça a seguir pelo método do equi líbrio dos nós Primeiro verifique se a treliça é uma estrutura isostática barras b 9 nós n 6 reações r 3 r b 2n 3 9 2 6 12 12 A treliça é uma estrutura isostática 1 Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio de momentos como a estrutura está em equilíbrio a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula Tomando o nó A como referência temse Σ M A 0 4 R E 50 4 100 2 0 R E 400 4 RE 100 kN Substituindo o valor de RE na equação R A 100 200 kN Logo R A 100 kN α 45º Treliças 150 2 Cálculo das forças nas barras 151 Treliças Resultados NAB 100 kN Compressão NAF 0 kN NBC 50 kN Compressão NBF 707 kN Tração NCF 100 kN Compressão NCD 50 kN Compressão NDF 707 kN Tração NDE 100 kN Compressão NFE 0 kN 1 Determine o grau de estaticidade da treliça com dois apoios iniciais mostrada na figura a seguir definindo se ela é isostática hiperestática ou hipoestática e também indique se é estável ou instável Além disso estabeleça o número de incógnitas totais da treliça a Hiperestática estável total de incógnitas 14 b Hipoestática instável total de incógnitas 13 c Isostática estável total de incógnitas 14 d Isostática instável total de incógnitas 15 e Hiperestática estável total de incógnitas 20 2 A treliça de aço representada na figura a seguir é uma estação de telecomunicações muito utilizada no Brasil e no mundo inteiro Ela é uma estrutura unida por barras em formatos triangulares Assinale a alternativa que responde corretamente às seguintes questões I Qual é o tipo de estaticidade da treliça II A treliça é estável ou não III Qual é o número de incógnitas totais na estrutura Treliças 152 a Hiperestática estável e 18 incógnitas b Isostática instável e 18 incógnitas c Hiperestática estável e 16 incógnitas d Hipoestática instável e 18 incógnitas e Hipoestática estável e 16 incógnitas 3 Calcule a força no elemento DJ da treliça de telhado Howe mostrada na figura a seguir Despreze quaisquer componentes horizontais de força nos apoios Utilize o método de Ritter ou o método das seções 10 kN 6 painéis de 4 m 10 kN 10 kN 1 2 D E F G H I J K L B A C 6 m a DJ 1843 kN Compressão b DJ 1414 kN Compressão c DJ 1414 kN Tração d DJ 1667 kN Compressão e DJ 1667 kN Tração 4 Resolva o problema a seguir pelo método das seções a N2 12 tf T N9 2 tf C N16 14 tf C b N2 14 tf T N9 4 tf C N16 14 tf C c N2 14 tf C N9 2 tf T N16 14 tf T d N2 14 tf T N9 2 tf C N16 14 tf C e N2 14 tf T N9 2 tf T N16 14 tf C 5 Encontre os esforços internos na treliça apresentada a seguir Utilize o método de Cremona 2 tf D C A 2m 2m 1m 1m B a AD 2830 kgf CD 2000 kgf BD 2830 kgf AC 2230 kgf BC 2230 kgf b AD 2530 kgf CD 2000 kgf BD 2530 kgf AC 2130 kgf BC 2130 kgf c AD 2830 kgf CD 2000 kgf BD 2830 kgf AC 2230 kgf BC 2230 kgf d AD 2830 kgf CD 2000 kgf BD 2830 kgf AC 2230 kgf BC 2230 kgf e AD 2030 kgf CD 2000 kgf BD 2030 kgf AC 2230 kgf BC 2230 kgf 153 Treliças BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros estática 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 FACIGE Treliças 2013 Disponível em httpfacigecombrbibliotecawpcontent uploads201305trelicaspdf Acesso em 16 fev 2018 GOMES M I S Estudo e análise de treliças Lisboa Instituto Superior Engenharia de Lisboa 2016 Apostila da disciplina de Estatística Disponível em httpdocplayer combr49130649Estudoeanalisedetrelicashtml Acesso em 14 jan 2018 KALIL S B AZAMBUJA E Treliças isostáticas Porto Alegre PUCRS 2013 Apostila de Técnicas dos Materiais e Estruturas II Disponível em httpwwwfengpucrsbr professoressoaresTecnicasMateriaiseEstruturasIIAula01Trelicaspdf Acesso em 11 fev 2018 LEET K M UANG C GILBERT A M Fundamentos da análise estrutural 3 ed Porto Alegre AMGH 2010 LEGGERINI M R C Resistência dos materiais I EM Porto Alegre PUCRS 2007 Notas de aula Disponível em httpwwwfengpucrsbrprofessoresmreginaENGENHARIAResis tenciadosMateriaisIresistenciaiemapostila2007pdf Acesso em 11 fev 2018 PONTE ESPAGUETE Como calcular os esforços de treliça 2015 Disponível em http pontedespagueteblogspotcombr201505comocalcularosesforcosdetrelicaha html Acesso em 11 fev 2018 SILVEIRA R Treliças isostáticas Ouro Preto UFOP sd Apostila de Teoria das estruturas I Disponível em httpsptscribdcomdoc89249435ApostilaTrelicasIsostaticasI Acesso em 11 fev 2018 TUDO ENGENHARIA Questões teóricas sobre treliças teoria das estruturas 2 c2017 Disponível em httpwwwtudoengcivilcombr201510questoesteoricassobre trelicasteoriahtml Acesso em 11 fev 2018 VALLE A ROVERE H L PILLAR N M P Análise estrutural I Florianópolis UFSC 2013 Apostila do Departamento de Engenharia Civil Disponível em httpswwwsli desharenetjucarraroanliseestruturali Acesso em 11 fev 2018 Leituras recomendadas GHISI E Resistência dos sólidos para estudantes de arquitetura Florianópolis UFSC 2005 Apostila da disciplina Resistência dos sólidos do curso de Arquitetura Disponível em httpwwwlabeeeufscbrantigograduacaoecv5645ApostilaECV5645pdf Acesso em 11 fev 2018 HIBBELER R C Estática mecânica para engenharia 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 SCHMIDT R J BORESI A P Estática São Paulo Thompson 2003 Treliças 154 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo S A G A H SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS TEORIA DAS ESTRUTURAS Douglas Andrini Edmundo Vigas I Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer os tipos de vigas mais comuns Resolver o cálculo das equações para esforço normal esforço cortante e momento fletor Construir os diagramas das solicitações internas Introdução Neste capítulo você vai ver como identificar e projetar uma viga para que ela possa resistir aos esforços solicitantes provocados pelas cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo longitudinal Por meio da resolução das equações de equilíbrio você pode desenvolver o projeto de uma viga prismática e construir os diagramas dos esforços solicitantes internos Conceito de vigas Vigas são elementos estruturais constituídos de uma barra horizontal na qual a dimensão longitudinal predomina sobre as demais dimensões como você pode ver na Figura 1 Figura 1 Viga As vigas são projetadas para suportar cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo longitudinal que provocam tensões de cisalhamento e momentos fletores devido a esforços de flexão Figura 2 Também podem surgir esforços axiais ou esforços normais porém os efeitos dessas forças axiais são muito menores que os efeitos provocados pela força cortante e pelo momento fletor podendo ser desprezados em alguns casos Figura 2 Viga em estrutura metálica de uma ponte sendo instalada na Rodovia Transpantaneira MT060 MT Vigas biapoiadas são comuns em estruturas de pontes rodoviárias Fonte Logística 2017 Vigas I 78 Tipos de vigas mais comuns A distribuição dos esforços internos solicitantes em uma viga depende das condições de contorno que envolvem o projeto dessa viga Ela também de pende da posição dos apoios e do tipo de cada apoio dos vãos entre os apoios da existência de trechos em balanço ou não bem como da configuração do carregamento aplicado sobre a viga As configurações de vigas mais comuns em edificações são as mostradas na Figura 3 Figura 3 Configurações mais comuns de vigas Esforços solicitantes O projeto de uma viga tem o objetivo de determinar uma seção transversal que atenda às condições de resistência aos esforços internos provocados pelas cargas aplicadas Também é necessário haver inércia suficiente para vencer os vãos entre os apoios Os esforços internos solicitantes ou somente esforços solicitantes são esforços que surgem na seção transversal de uma viga Eles são provocados pelas cargas aplicadas pelo comprimento dos vãos entre os apoios e pela inércia para limitar as deformações 79 Vigas I Para determinar o valor dos esforços internos nas vigas você deve utilizar as equações de equilíbrio da estática para as vigas isostáticas ou seja vigas que possuem o número de reações de apoio igual ao número de equações A partir do cálculo dos esforços solicitantes é possível traçar os diagramas de esforços solicitantes ou linhas de estado Os diagramas de esforços solicitantes representam graficamente a variação dos esforços solicitantes ao longo do eixo de uma estrutura submetida à ação de esforços externos cargas apoios e vãos Considere uma viga simplesmente apoiada biapoiada submetida a uma carga concentrada P aplicada no meio do seu vão Observe as Figuras 4 e 5 a seguir Figura 4 Viga biapoiada na posição indeformada A seção S está perpendicular ao eixo da viga Vigas I 80 Figura 5 Viga biapoiada na posição deformada A seção S permanece perpendicular ao eixo da viga Devido à aplicação das cargas a viga sofre deformação Você pode observar que os esforços externos cargas e reações de apoio estão atuando apenas em algumas seções da viga porém todas as suas infinitas seções sofrem deformação Como as deformações ocorrem ao longo de toda a viga você pode concluir que os esforços internos são responsáveis pelas deformações Os esforços internos recebem a denominação de esforços solicitantes e são divididos em quatro categorias Duas das categorias são em forma de força e outras duas em forma de momentos todas atuantes nos centros de gravidade das seções transversais da viga A análise dos esforços internos é feita considerandose que ambas as faces de uma mesma seção transversal possuem esforços positivos e negativos garantindo dessa forma o equilíbrio da seção transversal A maior atenção deve ser dada à convenção de sinais adotada Assim a somatória das forças pode ser feita de forma correta e é possível a determinação do valor correto dos esforços 81 Vigas I Força normal N A força normal é o esforço solicitante que atua em forma de força e tem sua linha de ação perpendicular ao plano transversal da viga ou seja atua no sentido longitudinal paralelo ao eixo da viga Você pode entender melhor observando a Figura 6 Figura 6 Força normal Considere a Figura 6 A força P atuando na viga em balanço irá provocar o surgimento de esforços internos de força normal na viga Seccionando a viga em uma seção qualquer será possível analisar os esforços internos para cada seção da barra como você pode ver na Figura 7 Vigas I 82 Figura 7 Viga seccionada e esforços internos Aplicando a equação de equilíbrio das forças horizontais na seção S po sicionada a uma distância qualquer x do engaste da barra você pode analisar o trecho à direita do corte da seção ΣFx 0 N P 0 N P Convenção de sinais N Tração N Compressão 83 Vigas I Força cortante V A força cortante é o esforço solicitante que atua em forma de força e tem sua linha de ação paralela ao plano transversal da viga ou seja atua no sentido perpendicular ao eixo da viga Agora observe as Figuras 8 e 9 a seguir Figura 8 Viga em balanço sob ação de carga vertical Figura 9 Corte na seção SS para análise dos esforços internos Vigas I 84 Utilizando a equação de equilíbrio das forças verticais você pode deter minar o valor de V na seção S posicionada a uma distância x do engaste da viga Essa análise pode ser feita em qualquer posição ao longo do eixo da viga Cálculo da reação de apoio em A ΣFy0 VA P 0 VA P Face à esquerda da seção S ΣFy 0 V VA 0 V VA Face à direita da seção S ΣFy 0 V P 0 V P Convenção de sinais A força cortante é positiva na face direita da seção transversal e negativa na face esquerda da seção transversal como você pode ver na Figura 10 Figura 10 Convenção de sinais 85 Vigas I Momento fletor M O momento fletor é o esforço solicitante que atua em forma de momento e tem seu plano de ação perpendicular ao plano transversal da viga Observe a Figura 11 a seguir Figura 11 Viga em balanço e cortada para análise Aplicando a equação de equilíbrio para os momentos fletores você pode determinar o valor de M Cálculo da reação de apoio em A ΣMA 0 VA PL 0 VA PL Face à esquerda da seção S ΣMs 0 Vigas I 86 MA M 0 M MA Face à direita da seção S ΣMs 0 M PL x 0 M PL x Convenção de sinais O momento fletor é positivo quando tende a tracionar as fibras inferiores da barra e negativo quando tende a tracionar as fibras superiores da barra Observe a Figura 12 Figura 12 Convenção de sinais Momento de torção T O momento de torção é o esforço solicitante que atua em forma de momento e tem seu plano de ação no próprio plano da seção transversal da viga Observe a Figura 13 a seguir 87 Vigas I Figura 13 Viga em balanço e momento de torção Neste exemplo você vai analisar e determinar os esforços internos da viga a seguir submetida à ação de uma carga uniformemente distribuída Diagrama de Corpo Livre DCL Vigas I 88 No DCL você pode observar as reações de apoio as cargas e a seção escolhida para análise dos esforços internos Reações de apoio ΣFx 0 HA 0 ΣFy 0 VA VB 155 0 VA VB 75 kN ΣMA 0 VB 3750 kN VA 3750 75 kN VA 3750 kN Esforços solicitantes 0 x1 50 m DCL da seção x1 ΣFx 0 HA H1 0 HA H1 H1 0 ΣFy 0 89 Vigas I 3750 15 x1 V1 0 V1 15x1 3 750 ΣMx1 0 M1 75x12 375x1 Agora você deve traçar o diagrama de esforços solicitantes da viga Para 0 x1 50 m H1 0 V1 15x1 3750 M1 75x12 375x1 Para x1 0 V1 15 0 3750 V1 3750 kN M1 75 02 375 0 0 M1 0 kNm Para x1 25 m V1 15 25 3750 V1 0 kN M1 75 252375 25 0 M1 4688 kNm Para x1 50 m V1 15 50 3750 V1 3750 kN M1 75 502 375 50 0 M10 kNm Vigas I 90 Diagramas de esforços solicitantes Os diagramas de esforços solicitantes representam graficamente a distribuição dos esforços ao longo de uma viga Primeiramente você deve determinar as reações de apoio Em seguida calcular os esforços solicitantes em cada elemento Por fim desenhar os diagramas para cada um dos esforços que atuam na estrutura O cálculo dos esforços solicitantes pelo método das seções possibilita determinar o valor dos esforços em qualquer ponto ao longo da viga Isso é possível pois o método resulta em equações que representam as curvas dos diagramas seja uma reta ou uma parábola Além disso em casos de cargas distribuídas não uniformemente a equação de momento fletor pode ser uma equação de terceiro grau Em resumo as curvas dos diagramas podem ser expressas em equações que as representem conforme cada tipo de carregamento aplicado a uma viga Os diagramas de esforços solicitantes ou linhas de estado são representados individualmente para cada tipo de esforço como você pode ver a seguir Diagrama de esforço normal DEN O diagrama de esforço normal Figura 14 representa as tensões de tração e de compressão que estão atuando no elemento Como você viu no exemplo anterior a viga analisada não possui cargas horizontais aplicadas portanto os esforços normais não existem para esse caso específico de uma viga carregada apenas com uma carga uniformemente distribuída Figura 14 Diagrama de esforço normal 91 Vigas I Diagrama de esforço cortante DEC O diagrama de esforço cortante Figura 15 representa a variação ou a dis tribuição das tensões de cisalhamento ao longo da viga No caso do exemplo anterior o diagrama de esforço cortante é representado por uma reta inclinada Essa configuração do diagrama é particular para uma carga uniformemente distribuída Figura 15 Diagrama de esforço cortante Diagrama de momento fletor DMF O diagrama de momento fletor Figura 16 representa graficamente a variação ou a distribuição das tensões normais devido à flexão da viga provocada pelo carregamento O DMF representa também como deverá ocorrer a flexão da viga ao longo do seu comprimento indicando os bordos comprimidos e os bordos tracionados A representação dos momentos fletores no diagrama obedece ao sentido em que ocorre a flexão na viga Os momentos positivos são representados para baixo já que provocam tração nas fibras mais inferiores Já os momentos fletores negativos são representados acima do eixo da viga já que estão tracionando as fibras mais superiores da seção transversal No caso particular do exemplo anterior a carga distribuída uniformemente está provocando flexão na viga para baixo portanto tracionando as fibras inferiores e comprimindo as fibras superiores da seção transversal Vigas I 92 Figura 16 Diagrama de momento fletor A seguir você pode ver os diagramas de esforços solicitantes referentes aos cálculos apresentados no final da seção anterior DEN DEC DMF Confira no link a seguir um estudo sobre a análise dos esforços solicitantes e da resistência de uma estrutura em situação de incêndio Esse estudo também oferece uma proposta para revisão das normas brasileiras que regem esse assunto Acesse httpsgooglGqEsVH 93 Vigas I BEER F P et al Estática e mecânica dos materiais Porto Alegre AMGH 2013 BEER F P et al Mecânica dos materiais 7 edição Porto Alegre AMGH 2015 LEET K M UANG C GILBERT A M Fundamentos da análise estrutural 3 ed Porto Alegre AMGH 2010 LOGÍSTICA eficaz Arquitetura Aço Rio de Janeiro n 50 nov 2017 Disponível em httpwwwcbcaacobrasilorgbrsitenoticiasdetalhesphpcod7476bscori gnoticias Acesso em 17 fev2018 Leituras recomendadas HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2013 ILKIU A M Teoria das estruturas parte I Sl sn 1998 Notas de aula TIMOSHENKO S P GERE J E Mecânica dos sólidos volume I Rio de Janeiro LTC 1983 94 Vigas I Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS ESTRUTURAS Diego Adorna SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Explicar o conceito de vigas Gerber Detalhar os procedimentos de cálculo das reações de apoio Especif car os procedimentos de traçado dos diagramas de momento de f exão e esforço cortante Introdução As vigas Gerber são estruturas formadas pela associação de trechos de vigas estáveis e não estáveis formando um conjunto isostático que permite que grandes vãos sejam construídos As vigas Gerber são muito utilizadas na construção de pontes Neste capítulo você aprenderá o conceito das vigas Gerber como é o seu comportamento e as vantagens de sua utilização Além disso você estudará os procedimentos de cálculo das reações de apoio das estruturas e como determinar os diagramas de momento de flexão e esforço cortante dessas estruturas Conceito de vigas Gerber As vigas Gerber são assim nomeadas de acordo com Soriano 2010 em re ferência ao engenheiro alemão Heinrich Gerber 1822 1912 Elas consistem em estruturas compostas por uma associação de vigas apoiadas umas sobre as outras Vigas sem estabilidade própria são apoiadas sobre vigas com esta bilidade própria descarregando seu carregamento sobre estas A associação destas vigas resulta em um conjunto estável As vigas Gerber podem ser formadas por vigas biapoiadas vigas biapoia das com balanços ou vigas engastadas e livres Na Figura 1 é apresentada a estrutura de uma viga Gerber formada pela associação de vigas biapoiadas e em balanço apoiadas umas sobre as outras Figura 1 Estrutura de uma viga Gerber Fonte Soriano 2010 p 104 As ligações entre as diversas vigas isostáticas que compõem o sistema são idealizadas como rótulas conforme Figura 2 Soriano 2010 p 146 destaca que pelo menos um dos apoios dessa viga deve ser projetado para absorver eventuais forças horizontais Figura 2 Ligações entre as vigas isostáticas Fonte Soriano 2010 p 151 A construção com vigas Gerber confere vantagens à estrutura conforme apresentado a seguir Não desenvolve esforços internos devido a variações de temperatura e recalques diferenciais de apoio Facilita a construção com componentes préfabricados ou prémoldados Quando comparadas com estruturas em forma de pórticos apresenta a vantagem de não transmitir momentos para a infraestrutura As vigas Gerber são muito utilizadas na construção de estruturas de pontes Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 38 Cálculo das reações de apoio O cálculo das reações de apoio das vigas Gerber pode ser realizado de duas maneiras 1 Aplicação das três equações de equilíbrio estático associadas a mais uma equação de momento nulo para cada uma das rótulas internas 2 Decomposição da viga Gerber em vigas isostáticas resolvendo pri meiramente aquelas sem estabilidade própria aplicando em seguida suas cargas diretamente nas demais vigas Soriano 2010 destaca que o segundo procedimento é mais prático No exemplo a seguir são demonstrados ambos os procedimentos Determine as reações de apoio da viga Gerber apresentada na Figura 3 Figura 3 Viga Gerber Fonte Soriano 2010 p 148 Solução Na Figura 4 estão apresentadas as reações de apoio que devem ser calculadas As reações horizontais serão nulas em função da viga não possuir carregamentos normais Desse modo poderá ser descartada a equação de equilíbrio FH 0 Figura 4 Reações de apoio da viga Gerber Fonte Adaptada de Soriano 2010 p 148 39 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 1 Aplicação das equações de equilíbrio estático As equações utilizadas na resolução do problema são Deste modo Resolvendo o sistema Obtémse Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 40 Aplicando os valores de RB e RD nas equações anteriores são obtidos 2 Decomposição da viga Gerber em vigas isostáticas a decomposição da viga Gerber é realizada de acordo com a Figura 5 Figura 5 Decomposição da viga Gerber Fonte Soriano 2010 p 148 Inicialmente são determinadas as reações de apoio referentes ao trecho EF con forme segue Os valores correspondentes a RE e RF são então aplicados como cargas nas vigas formadas pelos trechos AE e FH As reações de apoio são calculadas por meio das equações de equilíbrio estático como segue 41 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes I Trecho AE II Trecho FH Notase que o segundo método é muito mais prático conforme destacado por Soriano 2010 Traçado dos diagramas de momento de flexão e esforço cortante O diagrama de momento de fl exão DMF e o diagrama de esforço cortante DEC são importantes peças analíticas que permitem a determinação dos esforços atuantes em qualquer ponto da estrutura Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 42 A concepção dos diagramas é realizada por meio do cálculo dos esforços nas seções de transição da estrutura Além disso os valores de momento máximo devem ser determinados em cada trecho da estrutura A convenção de sinais normalmente utilizada está representada na Figura 6 A de terminação adequada dos valores e sinais é fundamental para o traçado adequado dos diagramas Figura 6 Convenção de sinais Fonte Adaptada de Soriano 2010 p 74 O exemplo a seguir apresenta os procedimentos necessários para o traçado dos diagramas de momento de flexão DMF e esforço cortante DEC Determine os diagramas de momento de flexão DMF e de esforço cortante DEC da viga Gerber apresentada no exemplo anterior Solução Na Figura 7 é apresentada a estrutura da viga Gerber com seus carregamentos e reações de apoio Figura 7 Carregamentos e reações de apoio das vigas Gerber Fonte Adaptada de Soriano 2010 p 148 43 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes Determinação do DMF Devem ser determinados os momentos de flexão nas seções de transição das vigas Inicialmente calculamse os momentos na viga AE da esquerda para a direita conforme segue Em seguida calculamse os momentos na viga FH da direita para a esquerda conforme segue As rótulas E e F permitem a rotação ou seja têm momento de flexão igual a 0 Com os momentos obtidos é traçada a linha de referência do DMF representada de forma tracejada na Figura 8 O traçado da curvatura da parábola é realizado pela determinação do momento de flexão máximo resultante de um carregamento uniformemente distribuído em uma viga biapoiada conforme segue I Trecho BC Trecho CD II Trecho GH III Trecho EF Os valores são aplicados no meio de seus respectivos trechos conforme observado na Figura 8 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 44 Figura 8 Diagrama de momento de flexão Fonte Soriano 2010 p 149 Pela análise da Figura 8 notase que os momentos atuantes máximos nos trechos BD e EF são respectivamente 150KNm e 60KNm No trecho GH contudo o momento de flexão máximo deve ser definido analiticamente pela determinação da coordenada de x e do valor do momento atuante nesta coordenada conforme segue 1 Determinação do DEC Os esforços cortantes devem ser determinados em cada um dos pontos de transição da estrutura Os esforços são calculados nos pontos antes e depois da aplicação da carga conforme segue Da esquerda para a direita Da direita para a esquerda 45 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes Com os valores obtidos o DEC é montado conforme Figura 9 Figura 9 Diagrama de esforço cortante Fonte Soriano 2010 p 149 Viga Gerber reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes 46 SORIANO H L Estática das estruturas 2 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 Leitura recomendada SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1981 Referência Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo S A G A H SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS TEORIA DAS ESTRUTURAS sagah OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Explicar a estrutura e a geometria de grelhas isostáticas Reconhecer as restrições e limitações de grelhas isostáticas Descrever o equilíbrio de forças em grelhas isostáticas Introdução As grelhas isostáticas são definidas como estruturas planas submetidas a car regamentos que atuam perpendicularmente ao plano da estrutura Almeida 2009 Elas são formadas por barras retas e rígidas conectadas entre si por nós em pontos específicos formando um sistema estrutural estável e equilibrado As grelhas são fundamentais em várias aplicações de engenharia e arquitetura pois oferecem uma solução eficiente para suportar cargas distribuindoas de maneira uniforme por meio dos seus membros Pense nas grelhas isostáticas como um quebracabeça de elementos lineares cada peça ou barra se conecta a outras formando uma rede que trabalha unida para suportar cargas Essa interconexão não é apenas uma questão de encaixe ela é a chave para entender como essas estruturas distribuem forças e mantêm o equilíbrio Neste capítulo você vai estudar esses elementos compreendendo suas po tencialidades e limitações Você também vai aprender a determinar o equilíbrio de forças em grelhas isostáticas Introdução a grelhas isostáticas Igor Ribeiro Estrutura e geometria das grelhas isostáticas As grelhas isostáticas são essenciais na engenharia e na arquitetura agindo como um conjunto de elementos lineares interconectados que distribuem cargas de maneira eficiente Essas estruturas por meio de sua configuração inteligente oferecem uma solução robusta e versátil para desafios estruturais diversos como a sustentação de coberturas e a estabilidade de pontes sendo também utilizadas para o cálculo de lajes de concreto armado Araújo 2014 Abrangendo membros barras e nós as grelhas isostáticas enfrentam forças de tração e de compressão A maneira como esses elementos são or ganizados determina a eficiência da estrutura em distribuir forças garantindo sua estabilidade e durabilidade ao longo do tempo Araújo 2014 Em grelhas planas os padrões ortogonais não só facilitam a distribuição uniforme de cargas mas também aumentam a rigidez estrutural Essa confi guração é particularmente eficaz em edifícios e outras estruturas em que a carga é predominantemente vertical O design simplificado também facilita a análise e a construção dessas estruturas Araújo 2014 Algumas grelhas podem ser pensadas para lidar com cargas em várias direções Diferentemente das grelhas planas que são eficazes principalmente para cargas verticais essas estruturas podem resistir a forças laterais e de torção tornandose ideais para situações em que as cargas são complexas e multidirecionais Martha 2022 A Figura 1 traz alguns exemplos de grelhas isostáticas Figura 1 Exemplos de grelhas isostáticas a grelha triapoiada b grelha engastada e em balanço Fonte Adaptada de Martha 2022 Z X Y A B Introdução a grelhas isostáticas 2 Essas estruturas são frequentemente utilizadas em grandes edifícios estádios e outras construções que exigem resistência a variadas forças incluindo condições climáticas adversas ou movimentos sísmicos Seu design tridimensional não apenas proporciona uma maior resistência estrutural mas também permite formas arquitetônicas mais criativas e expressivas Martha 2022 Ao projetar grelhas para coberturas é essencial considerar o impacto das cargas ambientais como neve vento e até mesmo variações de temperatura A neve acumulada pode impor uma carga significativa exigindo uma disposição robusta dos membros para distribuir esse peso de maneira uniforme Já os ventos fortes impõem forças laterais e de sucção desafiando a integridade estrutural da cobertura Leet Uang Gilbert 2010 Martha 2022 Além disso variações de temperatura podem causar expansão e contração dos materiais o que deve ser levado em conta no design da grelha para evitar deformações ou danos Amorim Barboza Barbirato 2010 Portanto o cálculo detalhado e a escolha de materiais apropriados são cruciais para garantir que a grelha mantenha sua integridade e sua funcionalidade sob diferentes condições ambientais A configuração dos membros nas grelhas é fundamental para determinar a capacidade de carga e a resistência estrutural das grelhas Leet Uang Gilbert 2010 Em pontes essa configuração é especialmente crítica pois precisa acomodar cargas móveis como veículos em movimento induzindo forças dinâmicas e oscilações A escolha adequada dos membros e a sua disposição garantem que a ponte possa suportar essas forças sem compro meter a segurança Amorim Barboza Barbirato 2010 A Figura 2 traz uma representação de grelha utilizada em uma ponte de vigas Figura 2 Exemplo de grelha utilizada em uma ponte em vigas Fonte Amorim Barboza e Barbirato 2010 p 140 Introdução a grelhas isostáticas 3 Em edifícios a configuração das grelhas é vital para resistir a cargas verticais como o peso do próprio edifício e seu conteúdo além de cargas dinâmicas como tremores de terra Uma grelha bem projetada pode ajudar na dissipação dessas forças prevenindo danos estruturais e garantindo a integridade do edifício em condições adversas Leet Uang Gilbert 2010 Martha 2022 O Estádio Olímpico de Munique Figura 3 é um exemplo notável da aplicação prática de grelhas Sua cobertura uma maravilha da engenharia moderna é composta por uma vasta grelha espacial que não apenas cobre eficientemente o estádio mas também se tornou um ícone arquitetônico Britto 2012 Haydamus 2019 Esse projeto destaca como as grelhas espaciais podem ser usadas para criar estruturas que são ao mesmo tempo funcionais e esteticamente agradáveis A habilidade de suportar cargas variadas e ao mesmo tempo garantir uma aparência elegante demonstra a versatilidade e a eficiência das grelhas espaciais em grandes projetos de engenharia Britto 2012 Haydamus 2019 Figura 3 Exemplo de grelha espacial no Estádio Olímpico de Munique Fonte AmreiMarie 2016 Introdução a grelhas isostáticas 4 Nesta seção você aprendeu sobre os elementos básicos que constituem as grelhas Para saber mais sobre essas estruturas é importante conhecer as restrições de seu uso para saber quando e como as grelhas isostáticas podem ser utilizadas de modo pleno Esse será o tema do próximo tópico Restrições e limitações de grelhas isostáticas Em engenharia estrutural ao projetar grelhas isostáticas várias restrições e limitações devem ser meticulosamente consideradas Essa análise inclui a estabilidade estrutural a capacidade de carga e a relação entre a estrutura e o ambiente Araújo 2014 Para garantir a segurança e a funcionalidade é essencial compreender e abordar esses desafios Quando falamos de estabilidade a quantidade e a disposição dos apoios são vitais Amorim Barboza Barbirato 2010 Cada apoio fornece resistência a movimentos específicos seja impedindo deslocamentos ou rotações Um número inadequado de apoios pode resultar em instabilidade enquanto apoios excessivos podem criar tensões internas desnecessárias O segredo está em equilibrar estabilidade com eficiência assegurando que a grelha permaneça estável e segura sob todas as condições de carga Almeida 2009 A localização dos apoios é igualmente crucial Apoios mal posicionados po dem enfraquecer a estrutura levando a pontos de falha sob cargas excessivas Almeida 2009 Por exemplo em uma grelha que suporta uma cobertura os apoios devem ser estrategicamente posicionados para distribuir uniforme mente o peso incluindo o peso próprio e o das cargas adicionais como neve ou equipamentos As situações de número de apoios insuficiente e número de apoios excessivo estão representadas nas Figuras 4a e 4b respectivamente Figura 4 Exemplos de restrições em grelhas a número de apoios insuficiente b número de apoios excessivo e posicionamento inadequado A B Introdução a grelhas isostáticas 5 Essa abordagem de equilíbrio entre a quantidade e o posicionamento dos apoios é fundamental para a durabilidade e a funcionalidade da estrutura a longo prazo Caso contrário esforços de torção que muitas vezes são verificados nesses elementos podem ser desnecessariamente introduzidos o que pode aumentar custos ou prejudicar o desempenho caso não sejam devidamente abordados Amorim Barboza Barbirato 2010 Araújo 2014 A capacidade de carga é outra restriçãochave no design de grelhas isos táticas A estrutura deve ser capaz de suportar tanto o peso próprio quanto cargas adicionais Um design inadequado que não leve em conta a capacidade de carga pode resultar em falhas estruturais sérias Por outro lado um design superdimensionado pode ser economicamente ineficiente As solicitações atuantes devem ser corretamente modeladas e as transferências entre os membros devem ser devidamente concebidas Amorim Barboza Barbirato 2010 Araújo 2014 Adicionalmente a distribuição da carga na grelha é fundamental Distribui ções desiguais podem levar a pontos de concentração de tensões em seções particulares enquanto uma distribuição uniforme viabiliza um desempenho otimizado Esse aspecto é crítico em estruturas com grandes vãos ou em locais com condições ambientais extremas como zonas de fortes ventos onde a grelha deve ser projetada para distribuir eficientemente as forças do vento entre os diversos membros Amorim Barboza Barbirato 2010 Araújo 2014 A estabilidade está diretamente relacionada com a geometria e o design da grelha Mudanças no leiaute podem impactar a estabilidade A remoção ou adição de um membro pode mudar a distribuição de forças potencialmente levando a falhas Portanto uma avaliação detalhada da estabilidade é es sencial em todas as fases do projeto da grelha Amorim Barboza Barbirato 2010 Araújo 2014 Adicionalmente tem sido cada vez mais comum a ade quação de espaços para novos usos retrofit Cabe ao engenheiro analisar as limitações e as possibilidades de disposições dos elementos estruturais no antigo e no novo uso Por fim as restrições estruturais das grelhas isostáticas têm um impacto direto no design arquitetônico Amorim Barboza Barbirato 2010 Araújo 2014 A colaboração entre arquitetos e engenheiros é crucial para desenvolver soluções que integrem estética e funcionalidade respeitando as limitações estruturais Por vezes o projeto arquitetônico exigirá modelos estruturais assimétricos introduzindo regiões mais sensíveis sujeitas a esforços distintos que devem ser consideradas na concepção da estrutura O desafio está em encontrar um equilíbrio entre a beleza do design e as exigências estruturais para alcançar soluções seguras e eficazes Introdução a grelhas isostáticas 6 Fique atento As restrições das grelhas constituem um importante ponto Observe que caso ignoradas as restrições podem reduzir a vida útil da estrutura e no pior dos casos gerar estruturas hipostáticas que falharão por instabilidade Mantenhase atento às limitações e aos possíveis problemas que você concebe ou analisa Tendo sido compreendidos os elementos fundamentais e as restrições discutidas nas seções anteriores podemos progredir A próxima etapa consistirá na exploração do equilíbrio das grelhas isostáticas com ênfase na análise dos esforços presentes em diferentes segmentos Equilíbrio de grelhas Apesar das particularidades previamente descritas as grelhas isostáticas têm equilíbrio como qualquer estrutura as forças atuantes no plano em que elas estão contidas e os momentos fletores devem ser nulos Almeida 2009 Essa condição é expressa matematicamente por ΣFᵢ 0 1 ΣMᵢ 0 2 em que Fᵢ representa todas as forças atuantes no plano da grelha e Mᵢ representa os momentos Almeida 2009 Recomendase que você identifique alinhamentos entre os apoios para a determinação das reações de apoio Com as reações de apoio determinadas você deve prosseguir traçando os esforços barra a barra sempre transferindo os esforços Almeida 2009 O passo a passo geral para realizar a análise estrutural de uma grelha engloba Almeida 2009 Martha 2022 atribuir uma identificação em cada nó e em cada apoio na grelha o que facilitará a aplicação dos métodos matemáticos durante a análise determinar os tipos de apoios em cada nó fixo articulado móvel sendo as condições de contorno essenciais para a análise e utilizar as equações de equilíbrio para calcular as reações nos apoios Este exemplo foi adaptado de Martha 2022 Considere a grelha isostática representada na Figura 5 10 kNm 5 m 5 m 5 m D C E A B Figura 5 Exemplo de grelha isostática Inicialmente observando que os apoios A e B se alinham e utilizando a Equação 2 temos que Uma vez que esse eixo foi utilizado devemos selecionar outro eixo distinto e não paralelo Tomando C e D por exemplo obtemos Finalmente fazendo o equilíbrio das forças verticais obtemos Observe que neste exemplo apenas princípios de estática foram empregados para o cálculo das reações de apoio Para o cálculo de esforços internos devemos proceder de modo similar ao apresentado no exemplo anterior observando quais efeitos serão transferidos Dessa forma devese selecionar uma barra na grelha e aplicar os concei tos de equilíbrio para calcular as forças internas de tração ou compressão os momentos e as forças cortantes na barra Martha 2022 Para melhor entendimento observe a Figura 6 Introdução a grelhas isostáticas 8 Figura 6 Exemplo de grelha Fonte Martha 2022 p 66 Após determinar os esforços de modo similar ao exemplo anterior o dia grama de esforços pode ser traçado Para os segmentos AE e DB os momentos fletores serão função apenas da reação de apoio Para a barra EC como não há braço de alavanca em relação à reação VA o momento em E se torna nulo Ao avançar em direção a C o momento é gerado por VA pela distância Para a barra CD a extremidade em D terá momentos nulos de modo similar à extremidade da barra EC Na outra extremidade teremos a influência da carga distribuída e VB de modo que Adicionalmente os momentos fletores na extremidade de cada barra geram torção na barra seguinte o que explica os valores de 36 kNm em CD e CE Martha 2022 Introdução a grelhas isostáticas 9 Neste capítulo você estudou as grelhas isostáticas compreendendo suas definições básicas e as restrições de uso relacionadas às cargas e à estabi lidade Você também aprendeu a aplicar as equações básicas de equilíbrio e a calcular os esforços internos observando como eles atuam nas barras isoladas e considerando o panorama global da estrutura O entendimento desse tema permite que o profissional desempenhe um papel essencial na análise e no projeto de estruturas garantindo estabilidade e eficiência às construções Esse conhecimento é crucial para engenheiros e profissionais da construção pois contribui para a criação de estruturas seguras e robustas Referências ALMEIDA M C F Estruturas isostáticas São Paulo Oficina de Textos 2009 Ebook AMORIM D L N F BARBOZA A S R BARBIRATO J C C Análise do comportamento de sistemas estruturais de pontes em vigas utilizando a técnica de analogia de grelha aplicada ao tabuleiro associada a um modelo de pórtico Mecánica Computacional v 29 p 133157 2010 AMREIMARIE Blick vom Olympiaberg auf das Olympiastadion Wikimedia Commons 2018 Disponível em httpscommonswikimediaorgwikiFileBlickvomOlympia bergaufdasOlympiastadionjpg Acesso em 24 jan 2024 ARAÚJO J M Curso de concreto armado Rio Grande Dunas 2014 4 v BRITTO F Estádio Olímpico de Munique Frei Otto Gunther Behnisch ArchDaily Brasil 2012 Disponível em httpswwwarchdailycombrbr0134759estadioolimpicode muniquefreiottoeguntherbehnisch Acesso em 26 jan 2024 HAYDAMUS A H Busca da forma aplicada a sistemas de cabos de aço retesados 2019 Dissertação Mestrado em Arquitetura e Urbanismo Universidade de São Paulo São Paulo 2019 LEET K M UANG CM GILBERT A M Fundamentos da análise estrutural 3 ed Porto Alegre AMGH 2010 MARTHA L F Análise de estruturas conceitos e métodos básicos 3 ed Rio de Janeiro LTC 2022 Ebook Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os edito res declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Introdução a grelhas isostáticas 10 Conteúdo sagah