Cálculo de Reações de Apoio e Esforços em Vigas - Método das Seções

Exemplo 4 Inicialmente calculamos as reações de apoio usando as equações de equilíbrio sendo o vínculo A de segunda ordem e o B de primeira ordem 𝐹𝑋 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 40 𝑅𝐵𝑌 0 𝑀𝐴𝑍 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝑅𝐴𝑌 0 40 1 𝑅𝐵𝑌 3 0 0 0 40 3𝑅𝐵𝑌 0 40 3𝑅𝐵𝑌 0 3𝑅𝐵𝑌 40 𝑅𝐵𝑌 40 3 𝑅𝐵𝑌 1333 𝑘𝑁 Retornando na equação anterior 𝑅𝐴𝑌 40 𝑅𝐵𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 40 1333 0 𝑅𝐴𝑌 2667 𝑘𝑁 Ao utilizarmos o Método das Seções toda vez que há mudança de carregamento sobre a estrutura criamos uma seção nesta estrutura para determinar os esforços que ali ocorrem Neste caso temos somente carga distribuída mas ela não percorre a barra toda portanto será necessário que se use duas seções uma para representar o trecho onde há carga distribuída e outra para representar o trecho onde não há carga Analisamos agora o que ocorre do início da barra até a secção já com as reações de apoio substituídas por seus valores previamente determinados A distância x pode ser qualquer valor deste 0 zero no início da barra até no máximo 20 m que é o final da carga distribuída Ou seja a seção pode estar em qualquer ponto do início da viga até o final da carga distribuída pois a seção deve representar este trecho da viga Cabe lembrar que o ponto que consideramos fixo para o cálculo do momento é na seção não é mais no apoio Também é importante que 𝑁𝑥 𝑉𝑥 𝑒 𝑀𝑥 estão aplicados no ponto que está fixo ou seja na secção Então aplicamos as equações de equilíbrio na secção para determinar equações onde atribuímos valores a x Atribuímos pelo menos dois valores ao Esforço Normal e também ao Esforço Cortante pois os gráficos são retas e dois pontos são suficientes para definir uma reta Já para o momento fletor usase pelo menos três pontos pois geralmente são parábolas e dois pontos seriam insuficientes para desenhar este gráfico 0 𝑥 20 ESFORÇO NORMAL 𝐹𝑋 0 𝑁𝑥 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 0 𝑁0 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 1 𝑁1 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑁2 0 ESFORÇO CORTANTE 𝐹𝑌 0 2667 20𝑥 𝑉𝑥 0 𝑉𝑥 20𝑥 2667 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 0 𝑉0 20 0 2667 0 2667 2667 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 1 𝑉1 20 1 2667 20 2667 667 𝑘𝑁 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 2667 20 13335 𝑚 𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 13335 𝑉13335 20 13335 2667 2667 2667 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑉2 20 2 2667 40 2667 1333 𝑘𝑁 MOMENTO FLETOR 𝑀𝑆𝑍 0 2667 𝑥 20 𝑥 𝑥 2 𝑀𝑥 0 2667𝑥 20𝑥2 2 𝑀𝑥 0 2667𝑥 10𝑥2𝑀𝑥 0 𝑀𝑥 2667𝑥 10𝑥2 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 0 𝑀0 26670 1002 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 1 𝑀1 26671 1012 2667 10 1667 𝑘𝑁 𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 13335 𝑀13335 266713335 10133352 3556 1778 1778 𝑘𝑁 𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 15 𝑀15 266715 10152 40005 225 17505 𝑘𝑁 𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑀2 26672 1022 5334 40 1334 𝑘𝑁 𝑚 Com os dados acima conseguimos traçar parte do gráfico então calculamos agora novamente para a segunda secção para termos dados para o restante do gráfico 20 𝑥 30 ESFORÇO NORMAL 𝐹𝑋 0 𝑁𝑥 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑁2 0 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 3 𝑁3 0 ESFORÇO CORTANTE 𝐹𝑌 0 2667 40 𝑉𝑥 0 𝑉𝑥 1333 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑉2 1333 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 3 𝑉3 1333 𝑘𝑁 MOMENTO FLETOR 𝑀𝑆𝑍 0 2667 𝑥 40 𝑥 1𝑀𝑥 0 2667𝑥 40𝑥 40𝑀𝑥 0 1333𝑥 40𝑀𝑥 0 𝑀𝑥 1333𝑥 40 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 2 𝑀2 13332 40 2666 40 1334 𝑘𝑁 𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 3 𝑀3 13333 40 40 40 0 10 kNm RAX RAY RBY Vx kN 2067 667 0 1 133 2 3 1333 x m Mx kNm 0 1 133 15 2 3 1667 1778 17505 x m Exemplo 5 Diagrama de Corpo Livre 𝐹𝑋 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 20 6 40 𝑅𝐵𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 66 𝑅𝐵𝑌 0 𝑀𝐴𝑍 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝑅𝐴𝑌 0 20 1 6 250 40 4 𝑅𝐵𝑌 5 0 0 0 20 15 160 5𝑅𝐵𝑌 0 195 5𝑅𝐵𝑌 0 5𝑅𝐵𝑌 195 𝑅𝐵𝑌 195 5 𝑅𝐵𝑌 39 𝑘𝑁 Substituindo 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 20 6 40 𝑅𝐵𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 66 𝑅𝐵𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 66 39 0 𝑅𝐴𝑌 27 0 𝑅𝐴𝑌 27 𝑘𝑁 0 𝑥 2 ESFORÇO NORMAL 𝐹𝑋 0 𝑅𝐴𝑋 𝑁𝑥 0 0 𝑁𝑥 0 𝑁𝑥 0 ESFORÇO CORTANTE 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 10𝑥 𝑉𝑥 0 𝑉𝑥 𝑅𝐴𝑌 10𝑥 10 𝑉𝑥 27 10𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑉0 27 10 0 27 𝑘𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑉2 27 10 2 7 𝑘𝑁 MOMENTO FLETOR 𝑀𝐴𝑍 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝑅𝐴𝑌 𝑥 10𝑥 𝑥 2 𝑉𝑥 0 𝑁𝑥 0 𝑀𝑥 0 0 27 𝑥 10𝑥 𝑥 2 0 0 𝑀𝑥 0 27𝑥 10𝑥2 2 𝑀𝑥 0 27𝑥 5𝑥2 𝑀𝑥 0 𝑀𝑥 27𝑥 5𝑥2 10 𝑀𝑥 27𝑥 5𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑀0 270 502 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 05 𝑀05 2705 5052 1225 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 1 𝑀1 271 512 22 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 15 𝑀15 2715 5152 2925 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑀2 272 522 34 𝑘𝑁 𝑚 2 𝑥 3 ESFORÇO NORMAL 𝐹𝑋 0 𝑅𝐴𝑋 𝑁𝑥 0 0 𝑁𝑥 0 𝑁𝑥 0 ESFORÇO CORTANTE 𝐹𝑌 0 𝑅𝐴𝑌 20 6𝑥 12 𝑉𝑥 0 27 20 6𝑥 12 𝑉𝑥 0 6𝑥 19 𝑉𝑥 0 𝑉𝑥 6𝑥 19 10 𝑉𝑥 19 6𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑉2 19 6 2 7 𝑘𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 3 𝑉3 19 6 3 1 𝑘𝑁 MOMENTO FLETOR 𝑀𝐴𝑍 0 𝑅𝐴𝑋 0 𝑅𝐴𝑌 𝑥 20 𝑥 1 6𝑥 12 𝑥 2 2 𝑉𝑥 0 𝑁𝑥 0 𝑀𝑥 0 0 27 𝑥 20𝑥 20 6𝑥 12 𝑥 2 2 0 0 𝑀𝑥 0 27𝑥 20𝑥 20 6𝑥2 12𝑥 12𝑥 24 2 𝑀𝑥 0 27𝑥 20𝑥 20 3𝑥2 12𝑥 12 𝑀𝑥 0 8 19𝑥 3𝑥2 𝑀𝑥 0 𝑀𝑥 8 19𝑥 3𝑥2 10 𝑀𝑥 8 19𝑥 3𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑀2 8 192 322 34 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 25 𝑀25 8 1925 3252 3675 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 3 𝑀3 8 193 332 38 𝑘𝑁 𝑚 0 𝑥 2 ESFORÇO NORMAL 𝐹𝑋 0 𝑁𝑥 0 𝑁𝑥 0 𝑁𝑥 0 ESFORÇO CORTANTE 𝐹𝑌 0 𝑉𝑥 20𝑥 𝑅𝐵𝑌 0 𝑉𝑥 20𝑥 39 0 𝑉𝑥 20𝑥 39 0 20𝑥 39 20𝑥 39 𝑥 39 20 195 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑉0 200 39 39 𝑘𝑁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 195 𝑉195 20195 39 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑉2 202 39 1 𝑘𝑁 MOMENTO FLETOR 𝑀𝑆3𝑍 0 𝑁𝑥 0 𝑉𝑥 0 𝑀𝑥 20𝑥 𝑥 2 39 𝑥 0 0 0 𝑀𝑥 20𝑥2 2 39𝑥 0 𝑀𝑥 10𝑥2 39𝑥 0 𝑀𝑥 10𝑥2 39𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑀0 1002 390 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 075 𝑀075 100752 39075 23625 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 125 𝑀125 101252 39125 33125 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 195 𝑀195 101952 39195 38025 𝑘𝑁 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 2 𝑀2 1022 392 38 𝑘𝑁 𝑚 s1 s2 s4 pl 102 20 kN pl 61 6 kN 20 kNm pl 202 40 kN 10 kNm 6 kNm 20 10 20 50 VDx kN 27 7 1 39 x m Mx kNm 0 05 10 15 2 25 3 375 425 5 1225 22 2925 34 3875 38 3825 33125 23625 x m