Exercícios Resolvidos - Combinações de Cargas em Aço e Dimensionamento de Lajes

1 10 Uma peça de aço está sujeita aos seguintes esforços Ng carga devido ao peso próprio 25 kN Nq carga variável devido a ocupação 7 kN Nq carga variável devido a efeito de temperatura 5 kN Nq vento 7 kN Determine as combinações mais desfavoráveis No estado limites último considerando combinação normal Considerando Locais em que há predominância de pesos e de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo e de elevadas concentrações de pessoas Como dados não informados deveriam ser arbitrados pelos acadêmicos temos duas possibilidades Considerando o disposto na NBR 8681 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 1 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 157 06 5 06 7 3095 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 125 07 7 06 7 2609 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 147 07 7 06 5 2411 𝑘𝑁 Portanto a combinação 1 é a mais desfavorável Ou considerando o disposto na NBR 8800 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 1 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 15 7 12 06 5 14 06 7 3227 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 12 5 15 07 7 14 06 7 2672 𝑘𝑁 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑑 12525 14 7 15 07 7 12 06 5 252 𝑘𝑁 2 10 Supondo uma laje de 195 x 215 m medidas até o eixo dos apoios sustentada por vigas de 14 cm em todas as laterais tipo 3 Edificação na zona rural 𝐸𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑟𝑢𝑟𝑎𝑙 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼 𝑁𝐵𝑅 6118 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 61 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2 𝑐𝑚 𝑁𝐵𝑅 6118 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 72 𝐿𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 3 2 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑞𝑢𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 1324 𝑁𝐵𝑅 6118 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 ℎ 8 𝑐𝑚 Temos na maior dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 O vão efetivo na maior dimensão será 𝑙𝑦 𝑙0 𝑎1 𝑎2 201 24 24 2058 𝑐𝑚 Temos na menor dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 O vão efetivo na menor dimensão será 𝑙𝑥 𝑙0 𝑎1 𝑎2 181 24 24 1858 𝑐𝑚 Tipo da laje 𝜆 𝑙𝑦 𝑙𝑥 2058 1858 111 2 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 é 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 Prédimensionamento Fazemos aqui uma estimativa da altura considerando que 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 20 𝑐𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑙 10 𝑚𝑚 1 𝑐𝑚 Usamos as seguintes expressões 𝑙 𝑙𝑥 1858 𝑐𝑚 07 𝑙𝑦 07 2058 14406 𝑐𝑚 Em metros temos 𝑙 14406 𝑚 Usamos na fórmula abaixo para estimar a altura útil onde usamos também n como número de engastes da laje 𝑑 25 01𝑛𝑙 25 01 214406 33 𝑐𝑚 Par a altura da laje usamos ℎ 𝑑 𝑐 𝑙 2 33 2 1 2 58 𝑐𝑚 Adotamos uma altura de 8 cm que é o mínimo exigido por norma 𝑑 ℎ 𝑐 𝑙 2 8 2 1 2 55 𝑐𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 ℎ 7 𝑐𝑚 Temos na maior dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 7 21 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 7 21 𝑐𝑚 O vão efetivo na maior dimensão será 𝑙𝑦 𝑙0 𝑎1 𝑎2 201 21 21 2052 𝑐𝑚 Temos na menor dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 7 21 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 7 21 𝑐𝑚 O vão efetivo na menor dimensão será 𝑙𝑥 𝑙0 𝑎1 𝑎2 181 21 21 1852 𝑐𝑚 Tipo da laje 𝜆 𝑙𝑦 𝑙𝑥 2052 1852 111 2 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 é 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 Prédimensionamento Fazemos aqui uma estimativa da altura considerando que 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 20 𝑐𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑙 10 𝑚𝑚 1 𝑐𝑚 Usamos as seguintes expressões 𝑙 𝑙𝑥 1852 𝑐𝑚 07 𝑙𝑦 07 2052 14364 𝑐𝑚 Em metros temos 𝑙 14364 𝑚 Usamos na fórmula abaixo para estimar a altura útil onde usamos também n como número de engastes da laje 𝑑 25 01𝑛𝑙 25 01 214364 33 𝑐𝑚 Par a altura da laje usamos ℎ 𝑑 𝑐 𝑙 2 33 2 1 2 58 𝑐𝑚 Adotamos uma altura de 8 cm que é o mínimo exigido por norma 𝑑 ℎ 𝑐 𝑙 2 8 2 1 2 55 𝑐𝑚 3 10 Supondo uma laje de 40 x 45 m medidas até o eixo dos apoios sustentada por vigas de 14 cm em todas as laterais tipo 1 Edificação na zona urbana 𝐸𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑢𝑟𝑏𝑎𝑛𝑎 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼𝐼 𝑁𝐵𝑅 6118 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 61 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐼𝐼 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 25 𝑐𝑚 𝑁𝐵𝑅 6118 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 72 𝐿𝑎𝑗𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 𝑠𝑒𝑚 𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑒𝑟 𝑎𝑟𝑞𝑢𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 1324 𝑁𝐵𝑅 6118 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 ℎ 8 𝑐𝑚 Temos na maior dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 O vão efetivo na maior dimensão será 𝑙𝑦 𝑙0 𝑎1 𝑎2 436 24 24 4408 𝑐𝑚 Temos na menor dimensão 𝑎1 𝑡1 2 14 2 7 𝑐𝑚 03 ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 𝑎2 𝑡2 2 14 2 7 𝑐𝑚 03ℎ 03 8 24 𝑐𝑚 O vão efetivo na menor dimensão será 𝑙𝑥 𝑙0 𝑎1 𝑎2 386 24 24 3908 𝑐𝑚 Tipo da laje 𝜆 𝑙𝑦 𝑙𝑥 4408 3908 113 2 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 é 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠 Prédimensionamento Fazemos aqui uma estimativa da altura considerando que 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 25 𝑐𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑙 10 𝑚𝑚 1 𝑐𝑚 Usamos as seguintes expressões 𝑙 𝑙𝑥 3908 𝑐𝑚 07 𝑙𝑦 07 4408 30856 𝑐𝑚 Em metros temos 𝑙 30856 𝑚 Usamos na fórmula abaixo para estimar a altura útil onde usamos também n como número de engastes da laje 𝑑 25 01𝑛𝑙 25 01 030856 77 𝑐𝑚 Par a altura da laje usamos ℎ 𝑑 𝑐 𝑙 2 77 25 1 2 107 𝑐𝑚 Adotamos uma altura de 105 cm 𝑑 ℎ 𝑐 𝑙 2 105 25 1 2 75 𝑐𝑚 4 10 Considere os dados abaixo prédimensione os pilares em concreto armado a Pilar 01 de canto que sustenta 20 pavimentos tipo considerando uma resistência do concreto de 35 Mpa e uma área de influência do pilar de 1300 m2 𝐴𝑐 30 𝛼 𝐴 𝑛 07 𝑓𝑐𝑘 001 692 𝑓𝑐𝑘 𝛼 18 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛 20 𝑓𝑐𝑘 35 𝑀𝑃𝑎 35 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝐴 1300 𝑚2 𝐴𝑐 30 18 13 20 07 35 001 692 35 349564 𝑐𝑚2 𝑆𝑒çã𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 595 595 354025 𝑐𝑚2 b Pilar 02 de extremidade que sustenta 8 pavimentos tipo considerando uma resistência do concreto de 40 Mpa e uma área de influência do pilar de 2500 m2 𝐴𝑐 30 𝛼 𝐴 𝑛 07 𝑓𝑐𝑘 001 692 𝑓𝑐𝑘 𝛼 15 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛 8 𝑓𝑐𝑘 40 𝑀𝑃𝑎 40 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝐴 2500 𝑚2 𝐴𝑐 30 15 25 8 07 40 001 692 40 210393 𝑐𝑚2 𝑆𝑒çã𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 46 46 2116 𝑐𝑚2 Ou conforme escolha 𝐴𝑐 30 𝛼 𝐴 𝑛 07 𝑓𝑐𝑘 001 692 𝑓𝑐𝑘 𝛼 13 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛 8 𝑓𝑐𝑘 40 𝑀𝑃𝑎 40 𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝐴 2500 𝑚2 𝐴𝑐 30 13 25 8 07 40 001 692 40 182341 𝑐𝑚2 𝑆𝑒çã𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 43 43 1849 𝑐𝑚2